Fundamentos de Matemática Elementar: Funções Exponenciais

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Fundamentos de Matema´tica Elementar
Lista 5: Func¸o˜es exponenciais
1. Calcule sem calculadora:
(a) (27)2/3 (b) (4)−3/2 (c) 81/3 − 11/3
2. Use as regras da potenciac¸a˜o para simplificar as seguintes expresso˜es:
(a)
1001x2y4
5x3y2
(b)
y4(x3y−2)2
2x−1
(c) 3
√
−8x6
(d)
(
M1/5
3N−1/2
)2
3. Dada a func¸a˜o f(x) = abx, determine a e b, sabendo que:
(a) f(0) = 3 e f(1) = 15
(b) f(3) = −3/8 e f(−2) = −12
(c) f(1/2) = 3 e f(1/4) = 2
√
2
(d) f(0) = 5 e f(−2) = 10
(e) f(1, 7) = 6 e f(2, 5) = 4
(f) f(1) = 4 e f(3) = m
4. Seja P(t) = 1.000(1, 04)t a populac¸a˜o de uma comunidade no ano t.
(a) Calcule P(0) e P(10).
(b) O que estas expresso˜es representam, em temos da populac¸a˜o?
(c) Qual e´ a taxa (percentual) de crescimento da populac¸a˜o?
5. Suponha que o nu´mero y de casos de uma doenc¸a seja reduzido em 10% a cada ano.
(a) Se ha´ inicialmente 10.000 casos, expresse y como uma func¸a˜o de t, o nu´mero de anos
que se passaram.
(b) Quantos casos havera´ em 5 anos a partir de agora?
(c) Qual e´ a taxa (percentual) de crescimento da populac¸a˜o?
1
6. A pressa˜o atmosfe´rica P varia em func¸a˜o da altura acima no n´ıvel do mar h. Ao n´ıvel do
mar, a pressa˜o e´ de 1.013 milibares e para cada quiloˆmetro acima do n´ıvel do mar, ela
decresce 14%.
(a) Qual a pressa˜o atmosfe´rica a 50km?
(b) Qual e´ a fo´rmula de P(h)?
7. O carbono-14 e´ usado para estimar a idade de compostos orgaˆnicos. Ao longo do tempo,
o carbono-14 radioativo decai ate´ atingir uma forma esta´vel. A taxa de decaimento e´ de
11, 4% a cada 1.000 anos. Por exemplo, se iniciarmos com uma amostra de 200 microgramas
(µg) de carbono-14, enta˜o:(
Quantidade restante
apo´s 1.000 anos
)
=
(
Quantidade inicial
)
−
(
11, 4% da quantidade
restante apo´s 1.000 anos
)
= 200 − 0, 114 · 200
(a) Determine a quantidade restante da amostra apo´s 3.000 anos.
(b) Determine a quantidade restante da amostra apo´s t anos.
8. Joa˜o recebe de seu empregador um sala´rio de R$5.000, 00. Nesta empresa, os trabalhadores
recebem aumentos anuais de 6%. Portanto, a cada ano, temos:
Novo sala´rio = antigo sala´rio + 6% do antigo sala´rio
= 100% do antigo sala´rio + 6% do antigo sala´rio
= 106% do antigo sala´rio
= 1, 06 · antigo sala´rio
Denominamos 1,06 como fator de crescimento anual. Determine o fator de crescimento
em cada situac¸a˜o que segue. O que ocorre com um fator de crescimento de uma func¸a˜o
exponencial decrescente?
(a) o consumo de a´gua esta´ crescendo 3% ao ano.
(b) uma cidade cresce 28% a cada de´cada.
(c) o volume de um ga´s diminui 10% a cada hora.
(d) uma mina de diamante e´ exaurida 1% ao dia.
(e) uma floresta diminui 80% a cada se´culo.
9. Qual e´ a diferenc¸a entre fator de crescimento e taxa de crescimento?
10. Determine o fator de crescimento e a taxa de crescimento em cada func¸a˜o exponencial que
segue:
(a) f(x) = 1750(1, 593)x
(b) f(x) = 3, 43(0, 788)x
(c) f(x) = 79, 2(1, 002)x
(d) f(x) = 0, 0022(0, 31)x
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11. A quantidade (em miligramas) de uma droga no corpo, t horas apo´s a sua ingesta˜o, e´ dada
por A(t) = 25(0, 85)t.
(a) Qual a dose inicial ingerida?
(b) Qual a percentagem da droga presente no corpo a cada hora?
(c) Qual e´ a quantidade da droga presente no corpo apo´s 10 horas?
12. Uma x´ıcara de cafe´ conte´m cerca de 100mg de cafe´ına; a cada hora, aproximadamente 16%
da quantidade de cafe´ına e´ metabolizada e eliminada.
(a) Escreva a quantidade de cafe´ına no corpo C como uma func¸a˜o do nu´mero t de horas
desde que o cafe´ foi consumido.
(b) Qual a quantidade de cafe´ına presente no corpo apo´s 5 horas?
13. O ga´lio-67 radioativo decai 1, 48% a cada hora; ha´ inicialmente 100 miligramas da substaˆncia.
(a) Determine uma fo´rmula para a quantidade de ga´lio-67 remanescente apo´s t horas.
(b) Quantos miligramas permanecem apo´s 24 horas?
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