Problemas de Matemática com Bactérias e Temperaturas

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MATEMÁTICA 
 
PROFESSOR: HICARO GALANTE 
1. Agrônomos e Matemáticos do IFPE 
estão pesquisando o crescimento de uma 
cultura de bactérias e concluíram que a 
população de uma determinada cultura P(t), 
sob certas condições, em função do tempo 
t, em horas, evolui conforme a função 
t
3P(t) 5 2 .= ⋅ Para atingir uma população de 
160 bactérias, após o início do experimento, 
o tempo decorrido, em horas, corresponde a 
a) 5 
b) 15 
c) 160 
d) 32 
e) 10 
 
2. Em um experimento, o número de 
bactérias presentes nas culturas A e B, no 
instante t, em horas, é dado, 
respectivamente, por: 
t 1A(t) 10 2 238−= ⋅ + e 
t 2B(t) 2 750.+= + De acordo com essas 
informações, o tempo decorrido, desde o 
início desse experimento, necessário para 
que o número de bactérias presentes na 
cultura A seja igual ao da cultura B é 
a) 5 horas. 
b) 6 horas. 
c) 7 horas. 
d) 9 horas. 
e) 12 horas. 
 
3. Sabendo que 
x 32 32,+ = determine o valor 
de x2 :− 
a) 4. 
b) 2. 
c) 0. 
d) 
1.
2 
e) 
1.
4 
 
4. No estudo de uma população de 
bactérias, identificou-se que o número N de 
bactérias, t horas após o início do estudo, é 
dado por 
1,5 tN(t) 20 2 .= ⋅ 
 
Nessas condições, em quanto tempo a 
população de bactérias duplicou? 
a) 15 min. 
b) 20 min. 
c) 30 min. 
d) 40 min. 
e) 45 min. 
 
5. Admita que um tipo de eucalipto tenha 
expectativa de crescimento exponencial, nos 
primeiros anos após seu plantio, modelado 
pela função 
t 1y(t) a ,−= na qual y representa a 
altura da planta em metro, t é considerado 
em ano, e a é uma constante maior que 1. 
O gráfico representa a função y. 
 
 
 
Admita ainda que y(0) fornece a altura da 
muda quando plantada, e deseja-se cortar 
os eucaliptos quando as mudas crescerem 
7,5 m após o plantio. 
 
O tempo entre a plantação e o corte, em 
ano, é igual a 
a) 3. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 2log 7. 
e) 2log 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. O governo de uma cidade está 
preocupado com a possível epidemia de 
uma doença infectocontagiosa causada por 
bactéria. Para decidir que medidas tomar, 
deve calcular a velocidade de reprodução da 
bactéria. Em experiências laboratoriais de 
uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 
mil unidades, obteve-se a fórmula para a 
população: 
 
3tp(t) 40 2= ⋅ 
 
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a 
população, em milhares de bactérias. 
 
Em relação à quantidade inicial de bactérias, 
após 20 min, a população será 
a) reduzida a um terço. 
b) reduzida à metade. 
c) reduzida a dois terços. 
d) duplicada. 
e) triplicada. 
 
 
 
 
 
7. Agrônomos e Matemáticos do IFPE 
estão pesquisando o crescimento de uma 
cultura de bactérias e concluíram que a 
população de uma determinada cultura P(t), 
sob certas condições, em função do tempo 
t, em horas, evolui conforme a função 
t
3P(t) 5 2 .= ⋅ Para atingir uma população de 
160 bactérias, após o início do experimento, 
o tempo decorrido, em horas, corresponde a 
a) 5 
b) 15 
c) 160 
d) 32 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Em um experimento no laboratório de 
pesquisa, observou-se que o número de 
bactérias de uma determinada cultura, sob 
certas condições, evolui conforme a função 
t 1B(t) 10 3 ,−= ⋅ em que B(t) expressa a 
quantidade de bactérias e t representa o 
tempo em horas. Para atingir uma cultura de 
810 bactérias, após o início do experimento, 
o tempo decorrido, em horas, corresponde a: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
9. Uma pizza a 185°C foi retirada de um 
forno quente. Entretanto, somente quando a 
temperatura atingir 65°C será possível 
segurar um de seus pedaços com as mãos 
nuas, sem se queimar. Suponha que a 
temperatura T da pizza, em graus Celsius, 
possa ser descrita em função do tempo t, em 
minutos, pela expressão 
0,8 tT 160 2 25.− ×= × + 
Qual o tempo necessário para que se possa 
segurar um pedaço dessa pizza com as 
mãos nuas, sem se queimar? 
a) 0,25 minutos. 
b) 0,68 minutos. 
c) 2,5 minutos. 
d) 6,63 minutos. 
e) 10,0 minutos. 
 
10. Os dados estatísticos sobre violência 
no trânsito nos mostram que é a segunda 
maior causa de mortes no Brasil, sendo que 
98% dos acidentes de trânsito são causados 
por erro ou negligência humana e a principal 
falha cometida pelos brasileiros nas ruas e 
estradas é usar o celular ao volante. 
Considere que em 2012 foram registrados 
60.000 mortes decorrentes de acidentes de 
trânsito e destes, 40% das vítimas estavam 
em motos. 
 
Texto Adaptado: Revista Veja, 19/08/2013. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função 
t
0N(t) N (1,2)= fornece o número de 
vítimas que estavam de moto a partir de 
2012, sendo t o número de anos e 0N o 
número de vítimas que estavam em moto em 
2012. Nessas condições, o número previsto 
de vítimas em moto para 2015 será de: 
a) 41.472. 
b) 51.840. 
c) 62.208. 
d) 82.944. 
e) 103.680. 
 
11. As matas ciliares desempenham 
importante papel na manutenção das 
nascentes e estabilidade dos solos nas 
áreas marginais. Com o desenvolvimento do 
agronegócio e o crescimento das cidades, as 
matas ciliares vêm sendo destruídas. Um 
dos métodos usados para a sua recuperação 
é o plantio de mudas. 
 
O gráfico mostra o número de mudas 
tN(t) ba (o a 1 e b 0)= < ≠ > a serem plantadas 
no tempo t (em anos), numa determinada 
região. 
 
 
 
De acordo com os dados, o número de 
mudas a serem plantadas, quando t 2 anos,= 
é igual a 
a) 2.137. 
b) 2.150. 
c) 2.250. 
d) 2.437. 
e) 2.500. 
 
12. Na pesquisa e desenvolvimento de uma 
nova linha de defensivos agrícolas, 
constatou-se que a ação do produto sobre a 
população de insetos em uma lavoura pode 
ser descrita pela expressão 
( )= ⋅ kt0N t N 2 , 
sendo 0N a população no início do 
tratamento, N(t), a população após t dias de 
tratamento e k uma constante, que descreve 
a eficácia do produto. Dados de campo 
mostraram que, após dez dias de aplicação, 
a população havia sido reduzida à quarta 
parte da população inicial. Com estes dados, 
podemos afirmar que o valor da constante 
de eficácia deste produto é igual a 
a) 
−15 
b) 
−− 15 
c) 10 
d) 
−110 
e) 
−− 110 
 
 
 
 
 
ITENS EXTRAS 
 
 
1. No estudo de uma população de 
bactérias, identificou-se que o número N de 
bactérias, t horas após o início do estudo, é 
dado por 1,5 tN(t) 20 2 .= ⋅ 
 
Nessas condições, em quanto tempo a 
população de bactérias duplicou? 
a) 15 min. 
b) 20 min. 
c) 30 min. 
d) 40 min. 
e) 45 min. 
 
2. Considerando-se que, sob certas 
condições, o número de colônias de 
bactérias, t horas após ser preparada a 
cultura, pode ser dado pela função 
t tN(t) 9 2 3 3,= − ⋅ + t 0,≥ pode-se estimar que o 
tempo mínimo necessário para esse número 
ultrapassar 678 colônias é de 
a) 2 horas. 
b) 3 horas. 
c) 4 horas. 
d) 5 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 6 horas. 
 
3. A análise de uma aplicação financeira ao 
longo do tempo mostrou que a expressão 
0,0625 tV(t) 1000 2 ⋅= ⋅ fornece uma boa 
aproximação do valor V (em reais) em 
função do tempo t (em anos), desde o início 
da aplicação. Depois de quantos anos o 
valor inicialmente investido dobrará? 
a) 8. 
b) 12. 
c) 16. 
d) 24. 
e) 32. 
 
4. Em 2000, certo país da América Latina 
pediu um empréstimo de 1 milhão de dólares 
ao FMI (Fundo Monetário Internacional) para 
pagar em 100 anos. Porém, por problemas 
políticos e de corrupção, nada foi pago até 
hoje e a dívida foi sendo “rolada” com a 
taxação de juros compostos de 8,5% ao ano. 
Determine o valor da dívida no corrente ano 
de 2015, em dólar. Considere 5(1,085) 1,5.≅ 
a) 1,2 milhões. 
b) 2,2 milhões. 
c) 3,375 milhões. 
d) 1,47 milhões. 
e) 2 milhões. 
 
5. Antes restrita à violência verbal ou física, 
a prática do bullyinginvadiu as redes sociais 
de forma severa, sendo conhecida como 
cyberbullying. A violência sistemática 
realizada por algum meio de internet vem 
crescendo com o uso frequente do celular 
pelos estudantes, item básico antes de ir à 
escola. 
Disponível em: 
<http://www.correiobraziliense.com.br/app/no
ticia/cidades/2015/06/01/interna_cidadesdf,4
85152/cyberbullying-cresce-com-o-uso-
frequente-de-celulares-por-
estudantes.shtml>. Acesso em: 26 out. 2015. 
 
 
Suponha que a quantidade de estudantes 
que pratica cyberbullying no Brasil seja 
descrita pela equação tQ(t) 3,2 (1,2) ,= ⋅ sendo 
Q medido em milhões, t em anos e t 0= 
representa o ano de 2015. Assim, mantido 
este ritmo de crescimento, o número de 
estudantes que pratica este tipo de violência 
será de aproximadamente 6,64 milhões em 
a) 2019 
b) 2018 
c) 2017 
d) 2016 
 
6. A volemia (V) de um indivíduo é a 
quantidade total de sangue em seu sistema 
circulatório (coração, artérias, veias e 
capilares). Ela é útil quando se pretende 
estimar o número total (N) de hemácias de 
uma pessoa, a qual é obtida multiplicando-se 
a volemia (V) pela concentração (C) de 
hemácias no sangue, isto é, N V C.= × Num 
adulto normal essa concentração é de 
5.200.000 hemácias por mL de sangue, 
conduzindo a grandes valores de N. Uma 
maneira adequada de informar essas 
grandes quantidades é utilizar a notação 
científica, que consiste em expressar N na 
forma nN Q 10 ,= × sendo 1 Q 10≤ < e n um 
número inteiro. 
Considere um adulto normal, com volemia 
de 5.000 mL. 
 
http://perfline.com. Acesso em: 23 fev. 2013 
(adaptado) 
 
 
Qual a quantidade total de hemácias desse 
adulto, em notação científica? 
a) 102,6 10−× 
b) 92,6 10−× 
c) 92,6 10× 
d) 102,6 10× 
e) 112,6 10× 
 
7. Os técnicos de um laboratório observaram 
que uma população de certo tipo de 
bactérias cresce segundo a função 
9 3tB 10(t) 4= ⋅ com “t” sendo medido em 
horas. Qual o tempo necessário para que 
ocorra uma reprodução de 106,4 10⋅ 
bactérias? 
a) 1h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 3 h 
c) 4 h 
d) 6 h 
e) 16 h 
 
8. Agrônomos e Matemáticos do IFPE 
estão pesquisando o crescimento de uma 
cultura de bactérias e concluíram que a 
população de uma determinada cultura P(t), 
sob certas condições, em função do tempo 
t, em horas, evolui conforme a função 
t
3P(t) 5 2 .= ⋅ Para atingir uma população de 
160 bactérias, após o início do experimento, 
o tempo decorrido, em horas, corresponde a 
a) 5 
b) 15 
c) 160 
d) 32 
e) 10 
 
9. Quando se divide o Produto Interno 
Bruto (PIB) de um país pela sua população, 
obtém-se a renda per capita desse país. 
Suponha que a população de um país 
cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para 
que sua renda per capita dobre em 20 anos, 
o PIB deve crescer anualmente à taxa 
constante de, aproximadamente, 
Dado: 20 2 1,035.≅ 
a) 4,2% 
b) 5,2% 
c) 6,4% 
d) 7,5% 
e) 8,9% 
 
10. Considerando x uma variável real 
positiva, a equação 2x 6x 9x x− + = possui três 
raízes, que nomearemos a, b e c. Nessas 
condições, o valor da expressão 2 2 2a b c+ + é 
a) 20. 
b) 21. 
c) 27. 
d) 34. 
e) 35. 
 
11. Uma substância radioativa sofre 
desintegração ao longo do tempo, de acordo 
com a relação ktm(t) ca−= , em que a é um 
número real positivo, t é dado em anos, m(t) 
a massa da substância em gramas e c, k são 
constantes positivas. Sabe-se que 0m gramas 
dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 
anos. A que porcentagem de 0m ficará reduzida 
a massa da substância, em 20 anos? 
a) 10% 
b) 5% 
c) 4% 
d) 3% 
e) 2% 
 
12. A espessura da camada de creme formada 
sobre um café expresso na xícara, servido na 
cafeteria A, no decorrer do tempo, é descrita 
pela função btE(t) a2= , onde t 0≥ é o tempo (em 
segundos) e a e b são números reais. Sabendo 
que inicialmente a espessura do creme é de 6 
milímetros e que, depois de 5 segundos, se 
reduziu em 50%, qual a espessura depois de 10 
segundos? 
Apresente os cálculos realizados na resolução 
da questão. 
 
13. O número y de pessoas contaminadas pela 
nova gripe H1N1, em função do número de 
meses x, pode ser expresso por y = y0. 2x, em 
que y0 é o número de casos reportados em 
setembro de 2009, isto é, 200.000 infectados. O 
tempo necessário, em meses, para que 
819.200.000 pessoas sejam afetadas pela nova 
doença é 
a) 12. 
b) 13. 
c) 14. 
d) 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Calculando o número inicial de bactérias, temos: 
1,5 0N(0) 20 2 20⋅= ⋅ = 
 
Vamos determinar o valor de t em horas de modo que o 
número de bactérias seja 40. 
1,5 t
1,5 t
40 20 2 .
2 2
1,5 t 1
1 2t h
1,5 3
2 2 60minh 40 min
3 3
⋅
⋅
= ⋅
=
⋅ =
= =
⋅
= =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Vamos determinar t de modo que N(t) seja 678, 
resolvendo a equação abaixo: 
( )
t t
2t t
t
t t
t
9 2 3 3 678
3 2 3 675 0
( 2) 27043
2 1
3 27 3 3
ou
3 25 (não convém)
− ⋅ + =
− ⋅ − =
− − ±
=
⋅
= ⇒ =
= −
 
 
Resposta: t 3 horas.= 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Para 0,0625 (0)t 0 V(0) 1000 2 1000⋅= ⇒ = ⋅ = 
 
Logo, 
Para t ? V(t) 2000= ⇒ = 
0,0625 (t)
0,0625 (t)
2000 1000 2
2 2
0,0625 (t) 1
t 16
⋅
⋅
⇒ = ⋅
⇒ =
⇒ ⋅ =
⇒ =
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
15
15 5 5 5
M 1000000 1 8,5%
M 1000000 1,085 1000000 1,085 1,085 1,085
M 3375000 3,375 milhões
= ⋅ +
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= =
 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Basta substituir o valo procurado na equação. 
Primeiramente note o valor de 2015 
t 0Q(t) 3,2 (1,2) Q(0) 3,2 (1,2) Q(0) 3,2= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = 
 
Aplicando o valor procurado: 
t t t
1,2Q(t) 3,2 (1,2) 6,64 3,2 (1,2) 2,075 (1,2) log (2,0= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒
 
 
Aplicando todos os valores de t possíveis para as 
alternativas temos: 
1
2
3
4
t 1 (1,2) 1,2
t 2 (1,2) 1,44
t 3 (1,2) 1,728
t 4 (1,2) 2,0736
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
 
 
Logo, como t 0= corresponde ao ano de 2015 o ano 
correto seria de 2019. 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
10
N V C
V 5.000 ml
C 5.200.000 hemácias ml
N 5.000 5.200.000 26.000.000.000 2,6 10 hemácias
= ⋅
=
=
= ⋅ = = ⋅
 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Considerando 10B(t) 6,4 10 ,= ⋅ temos a seguinte equação: 
10
10 9 3t 3t 3t 3t 3
9
6,4 106,4 10 10 4 4 4 64 4 4
10
⋅
⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
t t t
53 3 3 t160 5 2 32 2 2 2 5 t 15
3
= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 
 
Resposta 15 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Sejam 0 0r , PIB e 0P , respectivamente, a renda per capita, o 
PIB e a população do país hoje. Assim, o PIB e a 
população, daqui a 20 anos, são dados, respectivamente, 
por 
 
20
0(1 i) PIB+ ⋅ e 
20
0(1,02) P ,⋅ 
 
em que i é a taxa pedida. 
 
Portanto, 
 
20
0 0
0 20
00
20 20
2020
20
(1 i) PIB PIBr 2 r 2
P(1,02) P
(1 i) 2 (1,02)
i 2 (1,02) 1
i 1,02 2 1
i 1,02 1,035 1
i 5,6%
+ ⋅
= ⋅ ⇔ = ⋅
⋅
⇔ + = ⋅
⇒ = ⋅ −
⇒ = ⋅ −
⇒ ≅ ⋅ −
⇒ ≅
 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
2x 6x 9
2
x 1
x x x 0 (não convém)
x 6x 9 1 x 2 ou x 4
− +
 =

= ⇔ =

− + = ⇔ = =
 
 
Portanto, 12 + 22 + 42 = 21. 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Determinando m0 = c.a-k.0 ⇔ mo = c 
 
Como em 10 anos m0 foi reduzido para 0,2 m0 , temos: 
10k
0 0
10k
0,2.m m .a
1a
5
−
−
=
=
 
 
Em 10 anos: 
M(20) = 
( )
2220.k 10k
0 0 0 0
1m .a m . a m . 0,04.m
5
− −  = = = 
 
 
Correspondendo a 4% de m0. 
 
Resposta da questão 12: 
 E(0) = 6 
 
b.06 a.2 6 a.1 a 6= ⇔ = ⇔ = 
 
E(5) = 0,5 . 6 = 3 
 
b.5 b.5 1 b.53 13 6.2 2 2 2 b
6 5
−= ⇔= = ⇔ = ⇔ = − 
Portanto, E(t) = 
1 t
56.2
− ⋅
 
 
Calculando E(10), temos: 
E(10) = 
1 10
56.2
− ⋅
 
E(10) = 6.2-2 
E(10) = 6
4
 
E(10) = 3
2
 
 
Resposta 1,5 mm. 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
y = y0. 2x 
y = 20.000 .2x 
819.200.000 = 200.000.2x 
4096 = 2x 
212 = 2x 
x = 12