FENÔMENOS DE TRANSPORTE -Introdução à condução

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE 2 
Capítulo 2
Introdução à condução
(Parte 2/4)
CONDIÇÕES DE CONTORNO
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• Objetivo: particularizar os casos, para obtenção de solução única para
o problema.
• A distribuição de temperatura em um meio, assim como o fluxo de
calor através deste, dependem das condições de contorno e condições
iniciais.
• As expressões matemáticas que descrevem as condições térmicas
nas fronteiras são chamadas “condições de contorno”.
CONDIÇÕES DE CONTORNO
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• Exemplo: determinar T(x) na parede de uma casa no inverno
Precisa-se saber:
1) Equação do fenômeno
2) Alguma informação
adicional:
•temperatura interna da casa,
• temperatura externa;
• velocidade do vento;
• radiação solar na parede
externa; e
• etc.
CONDIÇÕES DE CONTORNO
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• Para descrever um problema de transferência de calor completamente
deve-se ter (regime peramente):
“DUAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA
CADA DIREÇÃO.”
• Desta forma:
• 1D: 2 condições de contorno
• 2D: 4 condições de contorno
• 3D: 6 condições de contorno
• Obs. Regime transiente => mais uma condição inicial
CONDIÇÕES DE CONTORNO
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R • A derivada temporal da temperatura nas equações
de condução de calor, são de primeira ordem, logo,
as condições iniciais lidam somente com
“temperaturas”.
• As derivadas espaciais da temperatura nas
equações de condução de calor, são de segunda
ordem, podem envolver tanto derivadas (fluxos)
quanto valores de temperatura.
• As formas mais encontradas para determinação das
condições de contorno são:
• Especificação de temperatura
• Especificação de fluxo
• Convecção
• Radiação
Condições de Contorno
1) Temperaturas nos contornos
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Condições de Contorno
2) Fluxo de Calor nos Contornos
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• O fluxo de calor em um meio pode ser expresso pela lei de Fourier
para condução:
• O sinal é positivo se o fluxo está no
sentido positivo da coordenada, ou
negativo se isto não ocorrer.
• Exemplo: para uma placa de
espessura “L”, com fluxo de calor
entrando em ambas as superfícies de
50 W/m2 especifica-se:
Condições de Contorno
2) Fluxo de Calor nos Contornos
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• Caso Especial I: Superfície isolada.
• Isolamento térmico => “q” tende a zero.
• Desta forma, o fluxo de calor na superfície isolada pode ser dada
por:
Condições de Contorno
2) Fluxo de Calor nos Contornos
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• Caso Especial II: Simetria Térmica.
•Exemplo: uma placa de
espessura “L” exposta ao ar, tem
as mesmas condições térmicas
em ambos os lados, desta forma,
a distribuição de temperatura em
metade da placa (até “L/2”) é igual
à da outra metade.
• Desta forma, não há fluxo de
calor através do plano central,
podendo ser visto como uma
superfície isolada:
Condições de Contorno
3) Convecção
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• O caso mais comum.
• Neste caso, a condição de contorno é baseada no balanço de energia
na superfície (contorno), expresso por:
• Para o caso 1D em placa de
espessura “L”:
e
Condições de Contorno
3) Convecção
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• onde h1 e h2 são os coeficientes de transferência de calor por
convecção e T͚1 e T͚2 são as temperaturas da vizinhança.
• estas relações consideram fluxo positivo na direção positiva das
coordenadas.
• Lembrando que a superfície de
um corpo é considerada como um
“volume” de controle sem volume
e sem massa, não gerando
energia, logo, o que entra de
energia é igual ao que sai.
Condições de Contorno
4) Radiação
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• Para os casos em que o corpo está no vácuo (ex. espaço, aplicações
criogênicas), a convecção não pode ser aplicada, e a radiação é o
único mecanismo de transferência de calor.
• Usando o balanço de energia nas superfícies:
• Para o caso unidimensional em
uma placa de espessura “L:
• Obs. resulta em coeficientes desconhecidos na
4ª potência, extremamente difícil de resolver. O
que torna tentador evitar contabilizar a
transferência por radiação quando possível.
Condições de Contorno
5) Interfaces
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• Alguns materiais são feitos de placas de diferentes materiais, e a
solução para a distribuição requer a solução do problema de
transferência para cada camada. .
• Isto requer a especificação da condição de contorno para cada
interface.
• As condições de contorno no
contato consideram que:
• dois corpos em contato
devem ter a mesma “T” na
superfície de contato;
• a superfície de contato não
armazena energia, logo, o
fluxo que sai de uma camada
é igual ao que entra na outra.
• Obs. se o contato é imperfeito, há
resistência de contato, será visto
posteriormente.
Condições de Contorno
5) Caso Genérico
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• Pode ocorrer casos em que existam condições de contorno
conjugadas (ex. convecção + radiação) aplicadas a determinadas
superfícies, neste caso o balanço de energia na superfície deve ser
considerado.
Solução de Problemas de Condução 
de Calor Unidimensional Regime 
Permanente
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• Sugestão para solução de problemas de condução de calor 1D em
regime permanente:
1. Formular o problema usando a equação diferencial na forma
mais simples;
2. Especificar as condições de contorno
3. Obter a solução geral da equação diferencial
4. Aplicar as condições de contorno e determnar as constantes da
solução geral .
1 ) Tendo por base a parede plana acima, determine:
a) a taxa de transferência de calor que entra na parede (x=0) e a que sai 
(x=1);
b) A taxa de variação da energia armazenada na parede;
c) A taxa de variação de temperatura em relação ao tempo em x=0 , x=0,25 
e x = 0,5 m
a= 900oC; b= -300oC; c= -50oC; 
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2 – Uma parede plana, de espessura 0,1 m e com uma condutividade 
térmica de 25 W/mK, com uma geração volumétrica de calor uniforme 
de 0,3 MW/m3, está com uma face a 30oC outra face está a 92OC . 
Determinar a temperatura máxima na parede e o fluxo de calor que sai 
de cada uma das faces.
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3 – Uma parede plana, de espessura 0,1 m e com uma condutividade 
térmica de 25 W/mK, com uma geração volumétrica de calor uniforme 
de 0,3 MW/m3, está com uma face isolada enquanto a outra face está 
a 92OC . Determinar a temperatura máxima na parede e o fluxo de calor 
que sai da mesma.
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4 – Considerando o regime 1D permanente em uma parede plana de 
espessura “L”, k=cte e sem geração interna de calor. Obtenha as 
expressões de distribuição de temperatura para cada uma das 3 
condições abaixo.
5 – Considerando que a base de um ferro de passar roupas 1200 W
tem espessura de 0,5cm e área da base de 300 cm2, k=15 W/m. 0C.
Supõe-se que a superfície interna da base está sujeita a um fluxo de
calor uniforme gerado pela resistência, e a superfície externa perde
calor para o meio (20º C) por convecção. Supondo que h=80 W/m2. 0C
e que a dissipação por irradiação é negligenciável, obtenhaa
distribuição de temperaturas na base do ferro de passar e determine as
temperaturas nas faces.
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