Transferência de calor por condução 2

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Transferência de calor por condução
Prof. Oscar Javier Celis Ariza
Descrição
A transferência de calor por condução: estado estacionário e transiente.
Propósito
Os três modos de transferência de calor podem estar presentes em
sistemas físicos reais. O conhecimento desses fenômenos é essencial
para qualquer projeto de engenharia, especificamente, na transferência
de calor por condução, tanto em estado estacionário como transiente
(variação de temperatura com o tempo).
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, faça o download do
Solucionário, nele você encontrará o feedback das atividades.
Objetivos
Módulo 1
Condução de calor estável em geometrias
simples
Identificar as equações de condução de calor e condições de
contorno em geometrias simples (paredes, cilindros e esferas).
Módulo 2
Condução em estado estacionário
Aplicar cálculos para resolução de problemas em estado estacionário
que envolvem transferência de calor por condução utilizando
resistências térmicas.
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Módulo 3
Condução em estado não estacionário
Resolver problemas uni e bidimensionais em estado transiente pelo
método de diferenças finitas.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e confira os
principais pontos abordados neste conteúdo.
1 - Condução de calor estável em geometrias simples
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car as equações de condução de calor e
condições de contorno em geometrias simples (paredes, cilindros e esferas).
Vamos começar!
Como identi�car as equações de
condução de calor e condições de


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contorno em geometrias simples?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.
Transferência por condução
unidimensional
A transferência de calor tem direção e magnitude. A razão de
transferência de calor por condução em uma direção específica é
proporcional ao gradiente de temperatura, ou seja, a variação da
temperatura com relação à distância nessa direção.
No mundo real, a transferência de calor não acontece
em uma única direção.
A condução de calor, em um meio, é tridimensional e depende do tempo
e, por sua vez, a temperatura varia com a posição e o tempo. Portanto,
podemos definir que a temperatura é uma função de e 
Atenção!
A condução em um meio é estacionária quando a temperatura não varia
com o tempo. Do contrário, é chamada de transiente!
A “força impulsora” para qualquer forma de transferência de calor é a
diferença de temperatura, e quanto maior for, maior será a taxa de
transferência. Em alguns problemas de transferência de calor, em
engenharia, requer-se a determinação da distribuição de temperatura de
um ao outro lado do meio, com a finalidade de calcular algumas
quantidades de interesse, por exemplo, expansão térmica, esforço
térmico, entre outros.
Isso é possível, primeiramente, mediante a escolha de um sistema de
coordenadas que dependem da configuração geométrica e seu ponto de
referência (origem). Portanto, há três tipos de coordenadas. São elas:
Neste sentido, veja na sequência a imagem dos espaços cartesianos
desses sistemas de coordenadas:
x, y, z t.
Retangulares (x, y, z)
Cilíndricas (r, , z)θ
Esféricas (r, )ϕ, θ
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Espaços cartesianos dos sistemas de coordenadas.
Geração de calor
Em um meio no qual se transfere calor, provavelmente, pode haver a
conversão de energia mecânica, elétrica, nuclear ou química em calor
(ou energia térmica) de outra fonte externa.
Nas análises de condução de calor, esses processos por conversão são
caracterizados como geração de calor (ou de energia térmica).
Exemplo
Uma grande quantidade de calor é gerada nos elementos combustíveis
nos reatores nucleares como resultado da fissão nuclear, que serve
como fonte de calor para as usinas nucleares de geração de energia
elétrica.
A geração de calor é um fenômeno volumétrico, ou seja, acontece em
todo o meio. Portanto, a taxa de geração de calor num meio é descrita
por unidade de volume e se denota por com unidades de ou
A taxa de geração de calor em um meio pode variar com o tempo e com
a posição dentro dele. No caso, quando é conhecida a variação de
geração com a posição, a taxa total dessa geração, em um
meio de volume pode ser calculada a partir de:
No caso de ter uma taxa de geração de calor uniforme, a relação da
equação anterior se reduz a:
Equação de condução de calor em uma parede plana
Vamos estudar agora o comportamento da transferência de calor
unidimensional através de uma parede plana. Observe a imagem a
seguir:
ėger W/m3
BTU/h ⋅ ft3.
Eger(W),
ϑ,
Ėger = ∫
ϑ
ėger ⋅ dϑ
Ėger  = ėger ⋅ ϑ
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Esquema da demonstração da transferência de calor unidimensional, por uma parede plana.
A equação de transferência de calor unidimensional para a condução de
calor no regime transiente em uma parede é dada por:
Onde:
 condutividade térmica
 geração de calor
 densidade
 calor específico
Você deve estar se perguntando o por que de o termo de derivada " "
estar presente na equação. Bom, como tínhamos falado, a transferência
de calor é multidimensional, ou seja, é função de duas variáveis, neste
caso de e Portanto, a derivada é parcial e não ordinária!
Os conceitos de derivadas parciais serão aplicados
nesta matéria.
O termo de condutividade na equação anterior indica que ela não é
constante. Isso acontece muito nos fenômenos reais, em que há a
variação de acordo com a temperatura.
No caso de condutividade térmica constante, a equação ser reduz à
seguinte forma:
Onde é a difusividade térmica:
∂
∂x
(k ⋅ ∂T
∂x
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
K :
ėgen :
P :
Cp :
∂
T
t x.
∂ 2T
∂x2
+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
α
α =
k
ρCp
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Dependendo das condições específicas do problema, é possível
simplificar a equação unidimensional da transferência de calor em uma
parede. Acompanhe na sequência:
Observe que, quando deixa de ser função de duas variáveis para uma, a
derivada passa de ser parcial à ordinária.
Equação de condução de calor em um cilindro
A equação unidimensional de transferência de calor em regime
transiente em um cilindro de raio é a seguinte:
Observe os elementos na imagem a seguir:
 Estado estacionário
( ∂∂t = 0)
d2T
dx2
+
ėger
k
= 0
 Regime transiente sem geração de calor
(ėger = 0)
∂ 2T
∂x2
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário e sem geração de calor
( ∂∂t = 0; ėger = 0)
d2T
dx2
= 0
r
1
r
∂
∂r
(r ⋅ k ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
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Transferência de calor em um cilindro em regime transiente.
No caso de condutividade térmica constante, temos:
Como vimos, a escolha das coordenadas depende da geometria do
problema.
Utilizando a mesma analogia da placa ou parede plana, é possível
simplificar a equação anterior sob condições específicas, acompanhe
na sequência:
Equação de condução de calor em uma esfera
Consideremos uma esfera de densidade calor específico e raio
exterior 
Processo de condução de calor em uma esfera.
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
)+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário( ∂∂t = 0)
1
r
d
dr
(r ⋅ dT
dr
)+
ėger
k
= 0
 Regime transiente sem geração de calor
(ėger = 0)
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
) = 1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário e sem geração de calor
( ∂∂t = 0; ėger = 0)
d
dr
(r ⋅ dT
dr
) = 0
ρ, Cp
R.
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A equação unidimensional de condução de calor, em regime ou estado
transiente, para uma esfera é:
No caso de condutividade constante:
Em condições específicas, a equação se reduz às seguintes formas:
Equação geral de condução de calor
Já consideramos a condução unidimensional de calor e desprezamos
algumas direções. Na prática, a maior parte dos problemas de
transferência de calor pode ser aproximada como unidimensional. No
entanto, em casos particulares, é preciso resolver a condução de calor
multidimensional.
Apresentaremos, a seguir, as equações considerando as dimensões
para os três sistemas de coordenadas: retangulares, cilíndricas e
esféricas.
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ k ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ ∂T
∂r
)+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário
( ∂∂t = 0)
1
r2
d
dr
(r2 ⋅ dT
dr
)+
ėger
k
= 0
 Regime transiente sem geração de calor
(ėger = 0)
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ ∂T
∂r
) = 1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário e sem geração de calor
ou
( ∂∂t = 0; ėger = 0)
d
dr
(r2 ⋅ dT
dr
) = 1
α
⋅
∂T
∂t
r
d2T
dr2
+ 2
dT
dr
= 0
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Coordenadas retangulares
A equação geral de condução de calor em coordenadas retangulares
com condutividade constante, chamada de Fourier – Biot, é:
A partir dessa equação, é possível, mediante condições específicas,
transformá-la em casos reduzidos de acordo ao problema. Por exemplo,
nas considerações de regime estacionário, transiente e sem geração,
temos:
Vamos entender melhor o uso da equação geral de condução em
coordenadas cartesianas?
Exemplo 1
Consideremos, a seguir, uma panela de aço, utilizada para ferver água,
colocada sobre a parte superior de um fogão elétrico. A seção do fundo
da panela tem uma espessura e um diâmetro de .
A unidade elétrica de aquecimento, que está na parte superior do fogão,
consome 1250W de potência durante a cocção e 85% do calor gerado
no elemento de aquecimento se transfere de maneira uniforme para a
panela. A transferência de calor desde a superfície superior da seção do
fundo até a água é por convecção com um coeficiente de transferência
de calor de h. Supondo condutividade térmica constante e transferência
unidimensional de calor, expresse a formulação matemática deste
problema de condução de calor em estado estacionário.
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário
Equação de Poisson
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
+
ėger
k
= 0
 Regime transiente sem geração de calor
Equação de difusão
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Estado estacionário e sem geração de calor
Equação de Laplace
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
= 0
L = 0, 5cm D = 20cm
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Panela de aço.
Bom, antes de resolver qualquer problema de transferência de calor
utilizando a equação geral, precisamos analisar todas as considerações
envolvidas, para simplificar a equação.
 Consideração 1
Por que utilizar coordenadas cartesianas em vez de
cilíndricas, já que a panela é cilíndrica? Como a área
superficial do fundo da panela é bem maior em
relação à sua espessura, podemos considerá-la
como uma placa, em vez de um cilindro. Vamos,
agora, tentar reduzir a equação geral de condução
de calor em coordenadas cartesianas:
∂ 2T
∂x2
+
∂ 2T
∂y2
+
∂ 2T
∂z2
+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Consideração 2
O problema descreve que somente existe condução
em uma única direção. Assumindo que seja
somente em sentido do fundo da panela para a
superfície da água. Podemos desconsiderar
qualquer transferência em outro sentido. Portanto, 
e serão desconsiderados:
x,
y
z
∂ 2T
∂x2
+
ėger
k
=
1
α
⋅
∂T
∂t
 Consideração 3
A transferência acontece em estado estacionário,
assim, não existe qualquer variação de temperatura
com o tempo. Então, o último termo da equação
será zero:
∂ 2T
∂x2
+
ėger
k
= 0
 Consideração 4
P d b t f t d
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Muito bem! Temos aqui uma equação diferencial que depende de uma
única variável. Desse modo, podemos colocar na notação de derivada
ordinária em vez de parcial. Além disso, para resolver esta equação de
segunda ordem, precisamos de umas condições de contorno e iniciais.
Mas o que seria isso? Não se preocupe, porque iremos falar desses
termos mais adiante! O objetivo desta primeira parte é de construir a
expressão matemática de transferência de calor, utilizando a equação
geral de condução em coordenadas cartesianas. Vejamos!
Coordenadas cilíndricas
A equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas, a
partir de um balanço de energia sobre um elemento de volume e,
fazendo uma conversão entre coordenadas retangulares e cilíndricas, é
dada por:
Vamos para mais um exemplo para o entendimento do uso da equação
geral de condução em coordenadas cilíndricas.
Exemplo 2
Um arame com condutividade térmica de raio de
 e um comprimento de esquenta, por resistência, de
 uma quantidade de água. Supondo condutividade térmica
constante e transferência unidimensional de calor, expresse a
formulação matemática deste problema de condução de calor durante
uma operação estacionária.
O primeiro passo é reduzir o máximo possível a equação geral de calor
por condução:
Considerando o arame como um cilindro e que a varação da superfície é
homogênea, e segundo o enunciado, de forma unidimensional, podemos
considerar razoavelmente que somente a temperatura varia com relação
ao raio. Assim, as variáveis e são desconsideradas.
Podemos observar que temos uma fonte de
geração de calor, no entanto, ela acontece no fogão
e não dentro do material condutor de aço, local
onde estamos realizando a análise de transferência.
Logo, não existe geração de calor e, finalmente,
temos a equação reduzida da seguinte forma:
∂ 2T
∂x2
= 0
d2T
dx2
= 0
1
r
∂
∂r
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂r
)+ 1
r2
∂
∂φ
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂φ
)+ ∂
∂z
(k ∂T
∂Z
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
1922W/m ⋅K,
1, 52 × 10−3m 0, 4m
2kW
1
r
∂
∂r
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂r
)+ 1
r2
∂
∂φ
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂φ
)+ ∂
∂z
(k ∂T
∂z
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
φ z
1
r
∂
∂r
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
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Operando em processo estacionário, temos, então, que o termo de
temperatura com relação tempo é nulo:
Sendo a condutividade térmica constante, é possível retirar do
parênteses e dividir a equação por de tal forma que:
Existe uma geração de calor dentro do material, a partir da potência da
resistência sobre o volume do cilindro da seguinte forma:
Substituindo o valor de geração de calor e a condutividade térmica
dentro da equação, e sendo a variação da temperatura função de uma
única variável (derivada ordinária), obtemos a expressão matemática
assim:
Coordenadas esféricas
A partir de um elemento de volume em coordenadas esféricas e
mediante uma relação entre as coordenadas retangulares e esféricas, a
equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas é:
Resolver de forma analítica esse tipo de equação é muito complexo e
precisaremos de métodos aproximados de resolução de equações
diferenciais parciais com ajuda de algum software.
Exemplo 3
Vamos analisar o comportamento de uma esfera metálicade raio 
que é esquentada dentro de um forno até uma temperatura em toda
sua extensão. Posteriormente, é retirada do forno, deixando cair dentro
de uma massa de água que está a uma temperatura de onde se
1
r
∂
∂r
(k ⋅ r ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = 0
k,
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
)+
ėger
k
= 0
ėger = E
⋅
ger/ϑ
ϑ = ( π ⋅D
2
4
) ⋅ L = (
π ⋅ (1 × 10−3m)2
4
) ⋅ 0, 4m = 3, 14 × 10−7m3
ėger =
Eger
ϑ
=
2000W
3, 14 × 10−7m3
= 6, 37 × 109
W
m3
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
)+
6, 37 × 109 W
m3
1922 W
m⋅K
= 0
1
r
∂
∂r
(r ⋅ ∂T
∂r
)+ 3, 31 × 106 K
m2
= 0
1
r
d
dr
(r ⋅ dT
dr
)+ 3, 31 × 106 K
m2
= 0
1
r2
∂
∂r
(k ⋅ r2 ⋅ ∂T
∂r
)+ 1
r2 sin2 θ
⋅
∂
∂φ
(k ∂T
∂φ
)+ 1
r2 sin θ
⋅
∂
∂θ
(k ⋅ sin θ ⋅ ∂T
∂θ
)+ ėger
= ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
r0,
Ti
T∞,
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resfria por convecção com um coeficiente médio de transferência de
calor h. Supondo que a condutividade térmica seja constante e a
transferência unidimensional de calor em regime transiente, vamos
expressar a formulação matemática deste problema de condução de
calor.
Assim como nos casos anteriores, precisamos reduzir ou simplificar a
equação geral de transferência de calor. Por ser uma esfera, as
coordenadas esféricas são as indicadas para descrever o
comportamento térmico. Comportamento de temperatura
unidimensional e uniforme é característico de uma variação de
temperatura com relação ao raio da esfera. Portanto, as variáveis e 
são desprezíveis:
O problema não descreve nenhuma geração de energia dentro da esfera,
então:
O problema é transiente, indicando que há a variação da temperatura
com o tempo, ou seja, o último termo é mantido nesta análise. No
entanto, a condutividade térmica é constante. Assim, retirando-a do
parênteses e dividindo a equação por temos:
Finalmente, observamos que os dados de condição da superfície
exterior, assim como a questão de convecção, não influenciam a
equação geral de transferência de calor por condução.
Condições de contorno e iniciais
As equações de condução de calor apresentadas foram desenvolvidas
mediante um balanço de energia sobre um elemento diferencial no
interior do meio e seguem sendo as mesmas, sem importar as
condições térmicas sob as superfícies dele.
Ou seja, as equações diferenciais não incorporam
informação detalhada com as condições sobre as
superfícies, por exemplo, a temperatura das
superfícies, temperatura do ambiente ou mesmo um
fluxo específico de calor.
A expressão matemática das condições térmicas é chamada condições
de contorno. Precisamos dessas condições para resolver as derivadas.
Lembra, em Cálculo, que para eliminar as derivadas, era possível
mediante uma integral? E que ao resolver cada integral, era gerada uma
θ φ
1
r2
∂
∂r
(k ⋅ r2 ⋅ ∂T
∂r
)+ ėger = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
(k ⋅ r2 ⋅ ∂T
∂r
) = ρ ⋅ Cp ⋅
∂T
∂t
k,
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ ∂T
∂r
) =
ρ ⋅ Cp
k
⋅
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
(r2 ⋅ ∂T
∂r
) = 1
α
⋅
∂T
∂t
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constante arbitrária? Pois é! Esses são os valores necessários para
substituir nas equações e encontrar os valores das constantes.
De acordo com a ordem da equação diferencial, será necessário igual
número de condições contorno, por exemplo, uma equação diferencial
de segunda ordem precisará de duas condições de contorno para sua
resolução.
Por outro lado, todas as condições de argumentos físicos coerentes no
tempo inicial ou no instante quando são chamadas de condição
inicial.
Vamos, a seguir, ver alguns casos específicos de condições de contorno
e inicial:
Condição de contorno de temperatura especí�ca
A temperatura de uma superfície exposta pode ser mensurável
diretamente. Portanto, as condições de contorno para uma transferência
unidimensional de calor através de uma parede plana de espessura 
são:
Onde e são as temperaturas específicas na superfície em e
 respectivamente.
Condição de contorno de �uxo especí�co de calor
Quando existe informação suficiente sobre as interações de energia na
superfície, é possível determinar, utilizando a Lei de Fourier, a velocidade
de transferência de calor e, portanto, seu fluxo:
O sinal do fluxo específico de calor é positivo se o fluxo de calor é na
direção positiva do eixo coordenador e negativo se for oposto.
No caso de contorno isolado, podemos deixar claro que não existe fluxo
de calor, assim:
Ou:
Condição de convecção no contorno
É muito provável que a convecção seja a condição de contorno comum
encontrada na prática. Isso se deve ao fato de que a maior parte das
superfícies de transferência de calor está exposta a um meio (ambiente)
e a uma temperatura específica. A condição de contorno de convecção
é baseada em um balanço de energia superficial expresso como:
t = 0
L
T (0, t) = T1
T (L, t) = T2
T1 T2 x = 0
x = L,
q̇ = −k ⋅
∂T
∂x
= ( fluxo de calor na direção positiva de x ) 
k ⋅
∂T (0, t)
∂x
= 0
∂T (0, t)
∂x
= 0
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Para a transferência de calor unidimensional na direção , numa placa
de espessura , as condições de contorno sobre ambas as superfícies
são descritas assim:
Onde e são os coeficientes de transferência de calor por
convecção, e e são as temperaturas do meio circundantes
sobre os dois lados da placa.
Vamos retomar o caso do aquecimento da panela de aço que está
aquecendo uma quantidade de água (Exemplo 1) água. A equação
matemática simplificada que expressa o fenômeno de transferência de
calor por condução de calor é:
No entanto, há ainda algumas condições que acontecem na superfície
ou no contorno do problema. Lembra que definimos que não existe
geração de calor dentro do material condutor? No entanto, a fonte de
calor que vem do fogão está aportando um fluxo à superfície do fundo
da panela. O problema sinaliza que, na parte superior do fogão,
consome 1250W de potência e que somente 85% do calor gerado no
elemento de aquecimento se transfere de maneira uniforme para a
panela. Aqui, temos uma condição de contorno com fluxo específico de
calor. Vejamos!
Quando temos um fluxo de calor de 85% da potência, ou seja,
1062,5W são atribuídos para a superfície. Portanto, o fluxo de calor
por área é:
Assim, a primeira condição de contorno de fluxo de calor específico,
quando x = 0, é:
Quando na superfície superior do aço, existe uma
transferência de contorno por convecção para água. Neste caso,
teremos:
=
⎛⎜⎝ condução de calor na superfície  numa direção selecionada  ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ convecção de calor na superfície  na mesma direção  ⎞⎟⎠xL− k ⋅ ∂T (0, t)∂x = h1 ⋅ [T∞1 − T (0, t)]− k ⋅ ∂T (L, t)∂x = h2 ⋅ [T (L, t) − T∞2 ]h1 h2 T∞1 T∞2 d2Tdx2 = 0
x = 0
q̇s =
Ėger
A
A = πD2 = π ⋅ (0, 2m)2 = 0, 125m2
q̇s =
Ėger
A
=
1200W
0, 125m2
= 8455
W
m2
q̇ = −k ⋅
∂T
∂x
−k ⋅
dT (0)
dx
= 8455
W
m2
x = L = 0, 005m,
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Finalmente, esse problema tem as seguintes equações e condições de
contorno:
Condição de contorno com radiação
Em alguns casos, por exemplo, aplicações espaciais ou criogênicas,
uma superfície de transferência de calor está rodeada por um espaço
vazio e, portanto, a transferência de calor por convecção é nula.
Nesses casos, a radiação se converte no único
mecanismo de transferência entre a superfície e o
ambiente.
Utilizando um balanço de energia, a condição de contorno com radiação
sobre uma superfície pode se expressar:
Para uma transferência unidimensional de calor na direção de numa
placa de espessura as condições de radiação no contorno sobre
ambas as superfícies podem ser expressas assim:
Onde e são as emissividades das superfícies de contorno,
 é a constantede Stefan - Boltzmann, 
e são as temperaturas médias das superfícies circundantes dos
dois lados da placa, respectivamente.
Mão na massa
As questões 1 e 2 são baseadas na seguinte informação:
−k ⋅
∂T (L, t)
∂x
= h ⋅ [T (L, t) − T∞]
−k ⋅
dT (0, 005, t)
dx
= h ⋅ [T (0, 005, t) − T∞]
d2T
dx2
= 0
−k ⋅
dT (0)
dx
= 8455
W
m2
−k ⋅
dT (0, 005, t)
dx
= h ⋅ [T (0, 005, t) − T∞]
=
⎛⎜⎝ condução de calor na superfície  numa direção selecionada  ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ Troca de radiação na superfície  na mesma direção  ⎞⎟⎠x,L,− k ⋅ ∂T (0, t)∂x = ε1 ⋅ σ ⋅ [T 4amb1 − T (0, t)4]− k ⋅ ∂T (L, t)∂x = ε2 ⋅ σ ⋅ [T (L, t)4 − T 4amb2]ε1 ε2σ = 5, 67 × 10−8W/ (m2 K4) Tamb1Tamb2
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Uma panela, usada para ferver água, é colocada sobre um fogão, a
partir do qual calor é transferido a uma taxa fixa q0 (W). Há dois
estágios no processo. No estágio 1, a água é levada de sua
temperatura inicial (ambiente) até o ponto de ebulição, quando o
calor é transferido da panela para a água por convecção natural.
Durante esse estágio, pode-se admitir um valor constante do
coeficiente de transferência de calor , enquanto a temperatura
média da água aumenta com o tempo, . No estágio 2 ,
a água encontra-se em ebulição e a sua temperatura mantém-se em
um valor fixo, , enquanto o fornecimento de calor
continua. Considere uma base de panela com espessura e
diâmetro com um sistema de coordenadas no qual e
 nas superfícies de contato com o fogão e com a água,
respectivamente.
Questão 1
Qual é a equação de calor e as condições de contorno que
determinam a variação da temperatura com a posição e o tempo na
base da panela ao longo do estágio 1? Expresse o resultado em
termos de e , assim como as propriedades pertinentes
do material da panela.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 2
Qual é a equação de calor e as condições de contorno que
determinam a variação da temperatura na base da panela ao longo
Ti
h
T∞ = T∞(t)
T∞ = Teb
L
D, x = 0
x = L
q0,D,L T∞
A
⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂tT (x, 0) = Ti−k ∂T∂x x=0 = q0(πD2/4)−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣B ⎧⎪⎨⎪⎩ d2Tdx2 = 0T (x, 0) = Ti−k dTdx x=0 = 0−k dTdx x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣C ⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂t−k ∂T∂x x=0 = q0(πD2/4)−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣D ⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂t − q0kT (x, 0) = Ti−k ∂T∂x x=0 = q0(πD2/4)−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣E ⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂tT (x, 0) = Ti−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣
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do estágio 2? A superfície da panela em contato com a água
encontra-se a uma temperatura fixa .
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
As questões 3 e 4 são baseadas na seguinte informação:
Em uma partícula esférica de raio , há geração térmica uniforme a
uma taxa e com condutividade térmica constante A
temperatura da superfície tem um valor de e está sendo
resfriada pelo ar ambiente .
Questão 3
Qual é a equação de condução de calor e as condições de contorno
do problema?
TL
A
⎧⎪⎨⎪⎩ ∂ 2T∂x2 = 1α ⋅ ∂T∂tT (x, 0) = Ti−k ∂T∂x x=0 = q0(πD2/4)−k ∂T∂x x=L = h [T (L, t) − T∞(t)]∣∣B ⎧⎪⎨⎪⎩ d2Tdx2 = 0T (L) = TL−k dTdx x=0 = q0(πD2/4)−k dTdx x=L =h [TL − Teb]∣∣C ⎧⎪⎨⎪⎩ d2Tdx2 = − q0kT (L) = TL−k dTdx x=0 = q0(πD2/4)−k dTdx x=L = h [TL − Teb]∣∣D ⎧⎪⎨⎪⎩ d2Tdx2 = 0−k dTdx x=0 = q0(πD2/4)−k dTdx x=L = h [TL − Teb]∣∣E { d2Tdx2 = 0−k dTdx x=L = h [TL − Teb]∣ r1q̇ k.Ts(T∞,h)A ⎧⎪⎨⎪⎩ ddr (r2 ⋅ dTdr ) = 0T (r1) = TS−k dTdr r=r1 = h [TS − T∞]∣
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 4
Qual pode ser a expressão que representa em função dos
parâmetros conhecidos? Deixe indicada a constante de integração
como .
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 5
Em um elemento combustível cilíndrico para reator nuclear, com
50mm de diâmetro, há geração interna de calor a uma taxa
uniforme . Em condições de regime
B
⎧⎪⎨⎪⎩ ddr(r2 ⋅ dTdr ) = − q̇k ⋅ r2T (r1) = T∞−k dTdr r=r1 = h [Ts − T∞]∣C ⎧⎪⎨⎪⎩ ddr(r2 ⋅ dTdr ) = − q̇k ⋅ r2T (r1) = TS−k dTdr r=r1 = h [Ts − T∞]∣D ⎧⎪⎨⎪⎩ ddr (r2 ⋅ dTdr ) = 0T (r1) = Ts−k dTdr r=r1 = h [T∞ − Ts]∣E ⎧⎪⎨⎪⎩ ddr(r2 ⋅ dTdr ) = − q̇k ⋅ r2T (r1) = TS dTdrC1A dTdr = C1r2B dTdr = q̇3k rC dTdr = − q̇3k r+ C1r2D dT
dr
= − q̇
3k
r2 + C1
E dTdr = C1
q̇ = 5 × 107W/m3
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estacionário, a onde está em e em 
. As propriedades do elemento combustível são
 . Qual é a taxa de
transferência de calor, por unidade de comprimento, quando
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3Dbdb100e703f941f8b1e15dbec
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma
placa plana de material semitransparente, com condutividade
térmica e espessura , exposto à irradiação laser, é descrita por:
Onde A, a, B e C são constantes conhecidas. Nesta situação, a
absorção de radiação do material é manifestada por um termo de
geração de calor distribuída, . Deduza uma expressão para
essa geração de calor.
d2T
dr2
= −8, 33 × 105 T ∘C r m
k = 30Wm⋅K ; ρ = 1100
kg
m3
; Cp = 800 Jkg.K
r = 25mm?
A 6, 1 × 104W/m
B 2, 3 × 104W/m
C 5, 7 × 104W/m
D 4, 5 × 104W/m
E 9, 8 × 104W/m
k L
T (x) = −
A
k ⋅ a2
e−ax +Bx+ C
q̇(x)
A q̇ = − Ak ⋅ e
−ax
B q̇ = A/e−ax
C q̇ = e−ax
D q̇ = A ⋅ e−ax +Bx
E q̇ = A ⋅ e−ax
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Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Teoria na prática
Na indústria de tratamento térmico, é comum o uso de fornos
descontínuos elétricos. Considere um forno descontinuo por uma placa
de aço de de espessura e condutividade térmica de . O
forno está localizado numa habitação com uma temperatura do ar
circundante de e um coeficiente de transferência de calor por
convecção de .K. Se a superfície interna do forno está sujeita a
um fluxo uniforme de calor de , e a superfície externa tem uma
emissividade de , qual é temperatura superficial interna da placa do
forno?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Analise as seguintes afirmações sobre o termo de geração de calor:
I. A geração de calor é um fenômeno volumétrico que acontece
em todo o meio.
II. O termo de geração de calor é considerado nulo quando o
problema está em regime estacionário.
III. A taxa de geração de calor em um meio pode ser função tanto
do tempo como da posição.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
_black
20mm 25W/mK
20∘C
10W/m2
5kW/m2
0, 30
Mostrar solução
A SomenteI.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20processos%20de%20convers%C3%A3o%20de%20energia%2C%20ao%20serem%20analisados%2C%
se%20como%20geradores%20de%20calor%2C%20que%2C%20por%20sua%20vez%2C%20%C3%A9%20um%20fen%C3%B
Questão 2
Analise as seguintes afirmações sobre a equação geral de
condução de calor:
I. Dependendo da geometria do meio condutor, podemos utilizar
a equação em coordenadas cartesianas, cilíndricas ou
esféricas.
II. A equação geral após as considerações do problema pode ser
reduzida em função de uma única variável, neste caso a
derivada passa de parcial para ordinária.
III. As condições de contorno e iniciais devem ser empregadas
dentro dos termos da equação geral de condução de calor.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EGrande%20parte%20dos%20problemas%20de%20transfer%C3%AAncia%20de%20calor%20pode%20ser%20
lo%20a%20um%20problema%20de%20vari%C3%A1vel%20%C3%BAnica.%20Vale%20ressaltar%20que%20as%20condi%C3
B Somente II.
C I e III.
D II e III.
E I, II e III.
A Somente I.
B Somente II.
C I e II.
D II e III.
E I, II e III.
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2 - Condução em estado estacionário
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para resolução de problemas em
estado estacionário que envolvem transferência de calor por condução utilizando resistências
térmicas.
Vamos começar!
Como resolver problemas de
condução em estado estacionário?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.
Resistência térmica em paredes
planas
A equação de taxa de transferência de calor para uma parede plana,
espessura temperaturas nas superfícies de e pode ser descrita
mediante a Lei de Fourier da seguinte forma:
E, ao separar as variáveis e integrar desde onde até
 onde obtemos:

L, T1 T2,
Q̇cond  = −k ⋅A ⋅
dT
dx
x = 0 T (0) = T1
x = L, T (L) = T2
∫
L
0
Q̇cond  ⋅ dx = −∫
T2
T1
k ⋅A ⋅ dT
Q̇cond  = k ⋅A ⋅
T1 − T2
L
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No entanto, os termos e são constantes e podem ser
reorganizados para obter a seguinte expressão:
Em que:
Onde é a resistência térmica em contrário da condução de calor e
depende somente da configuração geométrica e das propriedades
térmicas do meio. Se observarmos, a resistência térmica pode ser
expressa como que é a razão do potencial de
arraste de com relação à taxa de transferência de calor e que é
análoga à relação de fluxo de corrente elétrica expressa como:
Onde é a resistência elétrica e é queda de voltagem ao longo da
resistência. Portanto, a taxa da transferência de calor através de um
meio corresponde à corrente elétrica, a resistência térmica à resistência
elétrica e a diferença de temperatura à queda de voltagem. Observe na
imagem a seguir:
Taxa de calor dissipado pela resistência.
Corrente elétrica que atravessa a resistência.
Uma analogia de resistências também pode ser aplicada para um
processo de transferência de calor por convecção. A Lei de Newton de
resfriamento para a taxa de transferência de calor por convecção pode
ser arranjado da seguinte forma:
Em que:
Onde:
L, k A
Q̇cond  =
T1 − T2
Rcond 
Rcond  =
L
k ⋅A
Rcond
Rparede  = ΔT/Q̇cond ,
ΔT
I,
I =
V1 − V2
Re
=
ΔV
Re
Re ΔV
Q̇conv =
Ts − T∞
Rconv
Rconv =
1
h ⋅As
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 resistência térmica da superfície contra a convecção de calor
: temperatura da superfície
 : temperatura do ambiente
: área
Observemos que, se o coeficiente de transferência de calor é muito
grande a resistência da convecção tende a zero, portanto,
 Ou seja, a superfície não oferece resistência à convecção e,
assim, não desacelera o processo de transferência de calor.
A taxa de transferência de calor por radiação entre uma superfície de
emissividade área temperatura e temperatura circundante de
 pode ser expressa como:
Onde:
E sendo a resistência térmica de uma superfície contra a radiação e
No caso de radiação e convecção, simultaneamente, podemos utilizar o
coeficiente de transferência de calor combinado:
Rede de resistências térmicas
Consideremos a transferência unidimensional em regime estacionário
através de uma parede plana de espessura área e condutividade
térmica que está exposta à convecção sobre ambos os lados com
temperatura e com coeficientes de transferência de calor e
 respectivamente.
Transferência de calor (regime estacionário) por meio de uma parede.
A taxa de transferência de calor é igual nas três fases, ou seja:
Rconv: 
Ts
T∞
As
(h → ∞),
Ts ≈ T∞.
ε, As, Ts
Tamb 
Q̇rad = ε ⋅ σ ⋅As ⋅ (T 4s − T
4
amb) = hrad ⋅As ⋅ (Ts − Tamb) =
Ts − Tamb
Rrad
Rrad =
1
hrad ⋅As
Rrad
hrad :
hrad =
Q̇rad
As ⋅ (Ts − Tamb)
= ε ⋅ σ ⋅ (T 2s + T
2
amb) ⋅ (Ts + Tamb)
hcomb = hconv + hrad
L, A
k
T∞1 T∞2 h1
h2,
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Desta forma representada:
Ou assim:
Ou de uma forma geral:
Onde:
Notemos que as resistências térmicas estão em séries e a resistência
térmica equivalente se determina simplesmente ao somar cada uma
delas, assim como acontece em circuitos elétricos em série.
Algumas vezes, é conveniente expressar a transferência de calor através
de um meio de uma forma análoga à Lei de Newton de resfriamento
como:
Onde é o coeficiente de transferência de calor total em (\W/m^2 \cdot
K.\) Portanto:
Exemplo 1
Vamos considerar uma janela com dupla folha de de altura e 
de largura que consta com duas camadas de vidro 
cada uma de de espessura separadas por um espaço de ar
estancado de de largura. Qual seria a taxa de
transferência de calor estacionaria através desta janela e a temperatura
da superfície interior para um dia com a temperatura do quarto mantida
a enquanto a temperatura exterior é de ? Assumindo que os
coeficientes de transferência de calor sobre as superfícies interna e
externa são e respectivamente.
= =
⎛⎜⎝  taxa de convecção  de calor até a parede ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  taxa de condução  de calor através da parede ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  taxa de convecção  de calor desde a parede ⎞⎟⎠Q̇ = h1 ⋅A ⋅ (T∞1 − T1) = k ⋅A ⋅ T1 − T2L = h2 ⋅A ⋅ (T2 − T∞2)Q̇ = (T∞1 − T1)1/h1 ⋅A = T1 − T2L/k ⋅A = (T2 − T∞2)1/h2 ⋅AQ̇ = (T∞1 − T1)Rconv ,1 = T1 − T2Rcond  = (T2 − T∞2)Rconv ,2Q̇ = (T∞1 − T∞2)Rtotal 
Rtotal  = Rconv ,1 +Rcond  +Rconv ,2 =
1
h1 ⋅A
+
L
k ⋅A
+
1
h2 ⋅A
Q̇ = U ⋅A ⋅ ΔT
U
U ⋅A =
1
Rtotal 
1, 5m 2, 4m
(k1 = 0, 78W/mK),
3mm
(k2 = 0, 026W/mK) 12mm
21∘C −5∘C
10W/m2K 25W/m2K
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Janela contendo duas camadas de vidro.
Observemos que, através da janela, temos 3 camadas: vidro, ar e vidro.
Ou seja, podemos assumir como uma série de resistências térmicas, da
seguinte forma:
Associação de resistências térmicas: vidro - ar - vidro.
A taxa de transferência de calor total é:
Onde e são resistências convectivas, e a área é igual para todas
as camadas Então:
A taxa de transferência de calor é:
Como está em estado estacionário, essa taxa de calor é a mesma para
qualquer ponto através do material, e assim para o cálculo da
temperatura da superfície interna será:
Q̇ =
(Tint  − Text)
Rtotal 
Rtotal  = R1 +R2 +R3 +R4 +R5 =
=
1
h1 ⋅A
+
L1
k1 ⋅A
+
L2
k2 ⋅A
+
L1
k1 ⋅A
+
1
h2 ⋅A
=
=
1
A
( 1
h1
+L1
k1
+
L2
k2
+
L1
k1
+
1
h2
)
R1 R5
(A = 1, 5m ⋅ 2, 4m = 3, 6m2).
Rtotal  =
1
3, 6m2
( 1
25W/m2K
+
0, 003m
0, 78W/mK
+
0, 012m
0, 026W/mK
+
0, 003m
0, 78W/mK
+
1
10W/m2K
) = 0, 169K
Q̇ =
(Tint  − Text )
Rtotal 
=
(294K − 268K)
0, 169K/W
= 154W
Q̇ =
(Tint − T1)
R5
→ T1 = Tint −Q ⋅R5 = 294K − 154W ⋅
1
3, 6m2 ⋅ 10W/m2K
= 289, 7K ou 16, 7∘C
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Redes generalizadas de resistências térmicas
Os conceitos de resistências térmicas são análogos aos de circuitos
elétricos. Consideremos a parede composta como se apresenta na
imagem. Veja!
Parede composta e sua esquematização em associação de resistências em paralelo.
A transferência total de calor é a soma das transferências de calor
através do material:
Se utilizamos a analogia elétrica, obtemos:
Onde:
É importante que saibamos que assim se configura porque as
resistências estão em paralelo e não em série.
Resistência térmica em cilindros e
esferas
Demonstramos, no módulo anterior, que a transferência de calor em um
cilindro, estado estacionário, unidimensional e sem geração de calor,
apresenta uma variação de temperatura dependente do raio.
Considerando uma camada cilíndrica de raio interior raio exterior 
comprimento e condutividade térmica constante a transferência de
calor através dele pela Lei de Fourier é expressa como:
Q̇ = Q̇1 + Q̇2 =
T1 − T2
R1
+
T1 − T2
R2
= (T1 − T2) ⋅ (
1
R1
+
1
R2
)
Q̇ =
T1 − T2
Rtotal 
1
Rtotal 
=
1
R1
+
1
R2
→ Rtotal  =
R1 ⋅R2
R1 +R2
r1, r2,
L k,
Q̇cond,cil = −k ⋅A ⋅
dT
dr
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Acompanhe na imagem:
Variação de temperatura em um cilindro.
Onde é a área de transferência durante a posição em 
Observe que A é dependente do raio e, por consequência, varia na
direção da transferência de calor. Resolvendo a equação diferencial por
separação de variáveis e integrando o raio desde para 
Substituindo e resolvendo a integral:
Onde:
Observemos que a equação de taxa de transferência de calor de
condução no cilindro é similar à da parede plana, somente variam os
parâmetros dentro da resistência térmica.
Por outro lado, se desenvolvemos a mesma analogia para uma camada
de esfera, tomando e realizar a integração, podemos obter:
Onde a expressão a seguir é a resistência térmica para a camada
esférica:
Atenção!
A = 2π ⋅ r ⋅ L r.
r1 r2 :
∫
r2
r1
Q̇cond, cil 
A
dr = −∫
T2
T1
k ⋅ dT
A = 2π ⋅ r ⋅ L
Q̇cond,cil = 2π ⋅ L ⋅ k ⋅
T1 − T2
ln (r2/r1)
Q̇cond ,cil =
T1 − T2
Rcil
Rcil =
ln (r2/r1)
2π ⋅ k ⋅ L
A = 4πr2
Q̇cond,esf =
T1 − T2
Resf
Resf =
r2 − r1
4π ⋅ r1 ⋅ r2 ⋅ k
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As mesmas considerações de transferência de calor por condução em
múltiplas camadas descrita em paredes planas podem ser aplicadas
com camadas cilíndricas e/ou esféricas. A única diferença está na
definição do tipo de resistência térmica a ser empregado.
Transferência de calor desde
superfícies com aletas
As aletas são configurações alternativas que aumentam a área
superficial e são construídas de materiais altamente condutores, como
o alumínio.
Nessa configuração, a transferência de calor é
favorecida quando a superfície é exposta a uma área
maior à convecção e à radiação.
Portanto, dissipa calor rapidamente para o ambiente.
Exemplo
O radiador do carro, onde há folhas metálicas finas, colocadas entre si,
aumentam a área superficial de convecção.
Observe, na imagem a seguir, alguns tipos de aletas:
Tipos de aletas.
Na análise de aletas, considera-se a operação em regime estacionário,
sem geração de calor na aleta, e supondo condutividade térmica 
constante em todo o material. Além de considerar um coeficiente de
transferência de calor constante ao longo da superfície da aleta.
Dissipador de calor de CPU utilizando um conjunto de aletas.
A equação de condução de calor para uma aleta com área de seção
transversal , perímetro e condutividade térmica constante é:
k
h
Ac p k
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Ou:
Onde:
E é o excesso da temperatura. Na base da aleta, temos que
A equação diferencial de segunda ordem acima é linear, homogênea
com coeficientes constantes, e segundo o que é estudado em cálculo,
temos a seguinte solução:
Onde e são constantes arbitrárias que devem ser encontradas a
partir das condições de contorno e iniciais. É normal que a temperatura
da placa, na qual estão sujeitas as aletas, seja conhecida. Portanto, uma
condição de contorno de temperatura específica é:
Analisando a extremidade da aleta, na ponta, podemos encontrar várias
situações de acordo ao problema, tais como:
Aleta in�nitamente longa 
A condição de contorno na ponta da aleta é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Ponta da aleta isolada (perda de calor igual a zero)
A condição de contorno é:
d2T
dx2
−
h ⋅ p
k ⋅Ac
(T − T∞)
d2θ
dx2
−m2θ = 0
m2 =
h ⋅ p
k ⋅Ac
θ = T − T∞
θb = Tb − T∞.
θ(x) = C1e
mx + C2e
−mx
C1 C2
θ(0) = θb = Tb − T∞
(Tponta  = T∞)
θ(L) = TL − T∞ = 0
T (x) − T∞
Tb − T∞
= e−mx = e
−x⋅√ h⋅p
k⋅Ac
Q̇aleta,inf  = −k ⋅Ac ⋅
dT
dx x=0
= √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)∣dTdx x=L = 0∣
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A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Temperatura especí�ca 
A condição de contorno é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Convecção (ou convecção e radiação combinadas) desde a
ponta da aleta
A condição de contorno é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
A solução da equação geral para aletas com o caso de convecção na
ponta é muito complexa. Um método aproximado é substituir o
comprimento da aleta L em relação à ponta isolada por um
comprimento de aleta corrigido. Veja:
T (x) − T∞
Tb − T∞
=
cosh(m(L− x))
coshmL
Q̇ponta isolada  = −k ⋅Ac ⋅
dT
dx x=0
= √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ tanhmL∣(Tponta  = TL)θ(L) = θL = TL − T∞T (x) − T∞Tb − T∞ = [(TL − T∞) ⋅ (Tb − T∞)] ⋅ senh(mx) + senh(m(L− x))senh(mL)Q̇temp esp.  = −k ⋅Ac ⋅ dTdx x=0 =√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ cosh(mL) − [(TL − T∞)/ (Tb − T∞)]senh(mL)∣−k ⋅Ac ⋅ dTdx x=L = h ⋅Ac ⋅ (TL − T∞)∣T (x) − T∞Tb − T∞ = cosh(m(L− x)) + (h/m ⋅ k) senh(m(L− x))cosh(mL) + (h/m ⋅ k) senh(mL)Q̇conv = −k ⋅Ac ⋅ dTdx x=0 =√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ senh(mL) + (h/m ⋅ k) cosh(mL)cosh(mL) + (h/m ⋅ k) senh(mL)∣
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Onde:
Em que é a espessura da aleta retangular e o diâmetro das aletas
cilíndricas.
A eficiência de uma aleta é dada por:
Assim, teremos:
E:
Onde:
Sendo a área total superficial da aleta.
É possível calcular a transferência de calor quando se conhece a
eficiência de um aleta da seguinte forma:
Para acessar a tabela de eficiência para diferentes tipos de
configurações de aletas, clique aqui.
Exemplo 2
Consideremos uma aleta retangular muito longa, fixada a uma superfície
plana, de tal forma que a temperatura na ponta da aleta seja
praticamente a do ar circundante A largura é de espessura
de e a condutividade térmica de A temperatura na
base é de e seu coeficiente de transferência de calor de
 Qual é a temperatura da aleta a uma distância de 
medida desde a base? E sua perda de calor através de toda a aleta?
Lc = L+
Ac
p
Lc, retangular  = L+
t
2
Lc, cilíndrica  = L+
D
4
t D
ηaleta  =
Q̇aleta 
Q̇aleta,máx 
=
taxa real de transferência desde a aleta 
taxa ideal de transferência de calor desde a aleta considerando toda coma temperatura da base
ηaleta infinita  =
Q̇aleta 
Q̇aleta,máx 
=
√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)
h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)
=
1
L
⋅√ k ⋅Ac
h ⋅ p
=
1
mL
ηponta isolada  =
Q̇aleta 
Q̇aleta,máx 
=
√h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞) ⋅ tanhmL
h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)
=
tanhmL
mL
Q̇aleta,máx  = h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)
Aaleta 
Q̇aleta  = ηaleta  ⋅ Q̇aleta,máx  = ηaleta  ⋅ h ⋅Aaleta  (Tb − T∞)
(20∘C). 5cm,
1mm 200W/mK.
40∘C
20W/m2K. 5cm
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Esse problema é um caso de aleta infinitamente longa e a variação de
temperatura é dada pela seguinte equação:
Precisamos, então, encontrar o valor de e segundo a tabela de
configurações para diferentes tipos de aleta e, especificamente para a
retangular, temos:
Portanto:
A temperatura varia com x, logo, para um valor de 0,05m, temos:
Com relação à perda de calor, para aletas infinitamente longos, temos:
Mão na massa
Questão 1
A parede composta de um forno possui três materiais, dos quais
dois têm condutividade térmica e
, espessura e 
conhecidas. O terceiro material, , que se encontra entre os
materiais e , possui espessura conhecida, mas a
sua condutividade térmica é desconhecida. Sob condições de
operação em regime estacionário, medidas revelam uma
temperatura na superfície externa do forno de , uma
temperatura na superfície interna e uma temperatura
do ar no interior do forno . O coeficiente convectivo
interno é conhecido, sendo igual a . Qual é o valor
de , sabendo que o material está no interior do forno e o
material C na parte externa do forno?
T (x) − T∞
Tb − T∞
= e−mx
m,
m = √ 2h
k ⋅ t
=√
2 (20W/m2K)
(200W/mK) ⋅ (0, 001m)
= 14, 1
T (x) − 293
313 − 293
= e−14,1x
T (x) = 20e−14,1x + 293
T (0, 05) = 20e−14,1⋅(0,05) + 293 = 302, 9K ou 29, 8∘C
Q̇aleta,inf  = √h ⋅ p ⋅ k ⋅Ac ⋅ (Tb − T∞)
Q̇aleta,inf  =√(20) ⋅ (2 ⋅ 0, 05m+ 2 ⋅ 0, 001m) ⋅ (200) ⋅ (0, 001m ⋅ 0, 05m) ⋅ (313K − 293K)
Q̇aleta,inf  = 2, 86W

kA = 20W/m.K
kC = 50W/m.K LA = 0, 30m LC = 0, 15m
B
A C LB = 0, 15m
kB
Te = 20
∘C
Ti = 600
∘C
T∞ = 800
∘C
h 25W/m2.K
kB A
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 2
Um aquecedor elétrico delgado está inserido entre um longo bastão
circular em um tubo concêntrico, com raios interno e externo iguais
a e respectivamente. O bastão possui uma
condutividade térmica de e o tubo 
. A superfície externa do tubo está sujeita à
convecção com um fluido à temperatura e um
coeficiente de transferência de calor de . A superfície
externa do cilindro está a . Qual é a temperatura da
superfície externa do cilindro ? Considere comprimento unitário
do cilindro.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 3
Um vaso esférico, usado como um reator para produzir fármacos,
tem uma parede de aço inox com de
espessura e diâmetro interno de A superfície externa do vaso é
A 1, 53W/mK
B 0, 57W/mK
C 2, 77W/mK
D 3, 61W/mK
E 10W/mK
20 40mm, (A)
kA = 0, 15W/m ⋅K (B)
kB = 1, 5W/m ⋅K
T∞ = −15
∘C
50W/m2 ⋅K
B 5∘C
A
A 52∘C
B 23, 5∘C
C 10, 5∘C
D −12∘C
E 15∘C
(k = 17W/m ⋅ k) 10mm
1m.
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exposta ao ar ambiente , na qual um coeficiente
convectivo de pode ser admitido. Durante uma
operação em regime estacionário, uma temperatura da superfície
interna de é mantida pela geração de energia no interior do
reator. Qual é a perda de calor no reator?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 4
Um bastão de latão com de
comprimento e de diâmetro se estende horizontalmente a
partir de uma solda a . O bastão encontra-se em um
ambiente com e . Qual é a
temperaturas no bastão a da solda numa condição de
convecção?
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3D4501368bfd6c4e0682995e139
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
(T∞ = 25
∘C)
6W/m2K
50∘C
A 154W
B 853W
C 489W
D 241W
E 55W
(k = 133W/m ⋅K) 100mm
5mm
200∘C
T∞ = 20
∘C h = 30W/m2K
50mm
A 280K
B 200K
C 350K
D 400K
E 450K
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Questão 5
Uma aleta plana fabricada com a liga de alumínio
 tem uma espessura na base de
 e um comprimento de . Sua temperatura na base
é de e ela está exposta a um fluido para o qual
 e . Para as condições anteriores e
uma aleta de largura unitária, qual é a sua eficiência?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 6
Uma casa possui uma parede composta por uma placa de gesso
(exposto no lado interno, ), isolamento à
base de fibra de vidro (no meio, ) e uma
camada de madeira (exposto para o lado externo,
), as espessuras são e ,
respectivamente. Em um dia de frio de inverno, os coeficientes de
transferência de calor por convecção são e
 . A área total da superfície da parede é de
. Qual é a perda total de calor através da parede?
Parabéns! A alternativa E está correta.
2024(k = 185W/m ⋅K)
t = 3mm 15mm
Tb = 100
∘C
T∞ = 20
∘C h = 50W/m2K
A 0,98
B 0,95
C 0,90
D 0,85
E 0,88
k1 = 0, 17W/m ⋅K
k2 = 0, 038W/m ⋅K
k3 = 0, 12W/m ⋅K 10, 100 20mm
he = 60W/m
2K
hi = 30W/m
2K
350m2
A 9, 4 × 10−3K/W
B 1, 9 × 10−3K/W
C 3, 9 × 10−3K/W
D 4, 9 × 10−3K/W
E 8, 3 × 10−3K/W
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%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Teoria na prática
Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás, formado
por uma parede cilindrica composta, na qual um elemento combustível
de tório , encontra-se envolto em grafite 
e hélio gasoso escoa através de um canal anular de resfriamento.
Considere as condições nas quais a temperatura do hélio é de
 e o coeficiente convectivo na superficíe externa do grafite é
de . A configuração de dentro para fora é tório
 e , grafite e hélio. Se a energia
térmica é gerada uniformemente no elemento combustivel, a uma taxa
de , qual é a temperatura na superficie interna e externa do
tório? Considere de comprimento do cilindro.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Analise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor por
condução:
I. A resistência térmica por condução é totalmente independente
da condutividade térmica.
II. A condução de calor unidimensional em camadas cilíndricas
mediante resistências térmicas é dependente do raio.
III. As resistências térmicas são equivalentes às resistências
elétricas e podemos aplicar as mesmas propriedades de
circuitos elétricos.Podemos afirmar que está correto o descrito em:
_black
(kt = 57W/mK) (kg = 3W/mK)
T∞ = 600K
h = 2000W/m2.K
(r1 = 8mm r2 = 11mm) (r3 = 14mm)
1 × 108W/m3
1m
Mostrar solução
A Somente I.
B Somente II.
C I e II.
D II e III.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAo%20considerar%20a%20condu%C3%A7%C3%A3o%20de%20calor%20unidimensional%20em%20camada
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%0A%5Cdot%7BQ%7D_%7Bc%20o%20n%20d%2C%20c%20i%20l%7D%3D-
k%20%5Ccdot%20A%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bd%20T%7D%7Bd%20r%7D%0A%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 2
Analise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor em
aletas:
I. Aletas são utilizadas para facilitar a transferência de calor ou
dissipação para o ambiente.
II. Aletas infinitas são aquelas em que a temperatura na ponta é
equivalente à temperatura ambiente.
III. Aleta com condição de temperatura isotérmica na ponta
significa que não transfere calor para o ambiente.
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAletas%20que%20n%C3%A3o%20transferem%20calor%20para%20o%20ambiente%20desde%20a%20sua%
E I, II e III.
A Somente I.
B Somente II.
C I e II.
D II e III.
E I, II e III.
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3 - Condução em estado não estacionário
Ao �nal deste módulo, você será capaz de resolver problemas uni e bidimensionais em estado
transiente pelo método de diferenças �nitas.
Vamos começar!
Como resolver problemas de
condução em estado não
estacionário?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.
Condução de calor unidimensional
em regime não estacionário
Até aqui, estudamos a transferência de calor unidimensional em estado
estacionário e a solução das equações, dada de forma exata. No
entanto, quando o problema se refere à transferência de calor
unidimensional em estado transiente, mais uma variável aparece, neste
caso, o tempo. A resolução exata é um pouco complicada e, portanto, o
uso de métodos numéricos, tal como o método de diferenças finitas, é o
que mais se aproxima de um resultado satisfatório.
Método de diferenças �nitas
Consiste em substituir as derivadas encontradas por diferenciais em
variáveis espaciais e resolvendo as temperaturas em distintos pontos,
chamados de nós. Nos problemas transientes, as temperaturas mudam
com o tempo, assim como com a posição. Desse modo, a solução, em
diferenças finitas, requer a discretização no tempo e no espaço.

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Método das diferenças dos nós.
Para resolver esses problemas, é preciso escolher um intervalo
apropriado de tempo, e resolver para as temperaturas nodais
desconhecidas várias vezes para cada até obter uma solução no
instante desejado.
Os nós e os elementos de volume nos problemas transientes são
considerados. Por conveniência, toda a transferência de calor é até o
elemento. O balanço de energia sobre um elemento de volume, durante
um intervalo de tempo, pode ser expresso como:
(calor transferido até o elemento de volume desde todas as superfícies
durante )
 (calor gerado dentro do elemento de volume durante o )
 mudança no conteúdo de energia interna do elemento de volume
durante )
Ou:
Onde a transferência de calor normalmente, consta de termos de
condução para os nós internos, mas pode compreender convecção,
fluxo de calor e radiação para os nós dos contornos.
Dado que o onde é a
densidade e é o calor específico do elemento, ao dividir a relação
anterior entre temos:
Ou para qualquer nó no meio e seu elemento de volume:
Onde são as temperaturas do nó nos instantes e
 respectivamente, e representa a mudança de
temperatura do nó durante o intervalo de tempo entre os intervalos
de tempo e 
Note que o último termo é simplesmente a
aproximação em diferenças finitas da derivada parcial
 que aparece nas equações diferenciais dos
problemas em estado transiente.
As temperaturas nodais nos problemas transientes por comum variam
durante cada intervalo de tempo. Assim, dois métodos podem ser
utilizados:
Δt,
Δt
Δt,
Δt
+ Δt
= (
Δt
Δt ⋅ ∑
todos os lados 
Q̇+Δt ⋅ Ėger,elemento  = ΔEelemento 
Q̇,
ΔEelemento  = m ⋅ CP ⋅ ΔT = ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅ ΔT , ρ
Cp
Δt,
∑
todos os lados 
Q̇+ Ėger,elemento  =
ΔEelemento 
Δt
= ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅
ΔT
Δt
m
∑
todos os lados 
Q̇+ Ėger, elemento  = ρ ⋅ Velemento  ⋅ CP ⋅
T i+1m − T
i
m
Δt
T i+1m eT
i
m m, ti = iΔt
ti+1 = (i+ 1)Δt T
i+1
m − T
i
m
Δt
i i+ 1.
∂T/∂t
Método explícito 
Método implícito 
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Os dois métodos têm suas características, sendo o método explícito o
mais fácil de ser posto em prática. No entanto, coloca uma restrição
sobre o intervalo admissível de tempo para evitar instabilidades na
solução. Por outro lado, o método implícito requer que as temperaturas
nodais se resolvam simultaneamente, sem impor algum limite sobre a
magnitude do intervalo de tempo.
Consideremos a condução de calor unidimensional em regime
transiente, em uma parede plana de espessura com geração de calor
 que pode variar com o tempo e a posição, condutividade térmica
constante com um tamanho de malha tal que e os nós
 na direção tal como se apresenta na imagem a seguir:
Parede sofrendo condução de calor em regime transiente.
Sabendo que o elemento de volume de um nodo interior geral 
compreende a condução de calor, desde dois de seus lados e o volume
do elemento é a formulação em diferenças finitas no
regime transiente para um nó interior pode ser expressa assim:
Ao cancelar a área superficial e multiplicar por obtemos:
Onde é a difusividade térmica do material da parede. Para a
continuação, definimos um número discreto de Fourier adimensional
como:
Então, a equação se reduz para:
Neste caso específico, para a parede plana, não foi definida a resolução
pelo método explícito ou implícito, o qual depende do intervalo de tempo
no primeiro membro da equação. Portanto:
L,
ė(x, t)
k, Δx = L/M
0, 1, 2… . ,M x,
m
Velemento  = A ⋅ Δx,
k ⋅A ⋅
Tm−1 − Tm
Δx
+ k ⋅A ⋅
Tm+1 − Tm
Δx
+ ėm ⋅A ⋅ Δx = ρ ⋅A ⋅ Δx ⋅ CP ⋅
T i+1m − T
i
m
Δt
A Δx/k,
Tm−1 − 2Tm + Tm+1 +
ėm ⋅ Δx
2
k
=
Δx2
α ⋅ Δt
⋅ (T i+1m − T
i
m)
α = kρ⋅Cp
τ =
α ⋅ Δt
Δx2
Tm−1 − 2Tm + Tm+1 +
ėm ⋅ Δx
2
k
=
T i+1m − T
i
m
τ
11/09/2023, 20:41 Transferência de calor por condução
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Critério de estabilidade para o método explícito (limitação
sobre )
Com a finalidade de evitar as oscilações divergentes das temperaturas
nodais, o valor de deve-se manter abaixo de certo limite superior
determinado pelo critério de estabilidade. Vejamos os critérios a seguir:
A superfície superior de uma placa de latão se está resfriando mediante
um fluxo, a pressão de ar a uma temperatura de com um
coeficiente de transferência de calor por convecção de A
placa de latão de de espessura 
 tinha uma
temperatura inicial uniforme de ; além disso, a superfície inferior
da placa está isolada. Mediante um espaçamento nodal uniforme de
 e um intervalo de tempo de determine as
temperaturas nodais da placa de latão após 10 segundos de
resfriamento utilizando o método implícito.
Método explícito 
Método implícito 
Δt
Δt
 Verificar que todos os coeficientes primários de
todas as nas expressões são maiores ou
iguais a zero em todos os nósT im T
i+1
m
m.
 No caso de condução de calor unidimensional em
regime transiente, em uma parede plana com
temperaturas superficiais internas, usar:
τ =
α ⋅ Δt
Δx2
≤
1
2
 O método implícito é incondicionalmente estável,
portanto, qualquer intervalo de tempo pode ser
aplicado. Quanto menor o intervalo, maior a
precisão da solução.
15∘C
220W/m2∘C.
10cm (ρ = 8530kg/m3;Cp =
380J/kg∘C; k = 110W/m∘C;α = 33, 9 × 10−6m2/s)
650∘C
Δx = 2, 5cm Δt = 10s,
11/09/2023, 20:41 Transferência de calor por condução
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Superfície superior de uma placa de latão.
Precisamos realizar o balanço de energia para cada nó. Não temos
geração, mas temos convecção no ponto 0.
Ponto 0: no termo transiente, é a metade do volume do elemento
exposto à convecção.
Multiplicando pelos dois lados da equação por temos:
Substituindo no último termo e obtemos:
Agrupando por cada temperatura:
Ponto 1: é um ponto interno. Podemos utilizar diretamente a equação
implícita, o mesmo acontece para os pontos 2 e 3.
Ponto 2:
Ponto 3:
Ponto 4: No caso de ter uma parede isolada, temos uma condição de
taxa de transferência nula da parte de embaixo do ponto, que deve ser
considerada no balanço. Além disso, o termo transiente é a metade do
volume do elemento. Realizando o balanço, encontramos:
h ⋅ (T∞ − T i+10 )+ k ⋅
(T i+11 − T
i+1
0 )
Δx
= ρ ⋅
Δx
2
⋅ Cp ⋅
(T i+10 − T
i
0)
Δt
Δx/k,
h ⋅
Δx
k
(T∞ − T i+10 )+ T
i+1
1 − T
i+1
0 = ρ ⋅
Δx2
2k
⋅ Cp ⋅
(T i+10 − T
i
0)
Δt
α = k/ρ ⋅ Cp τ =
α⋅Δt
Δx2
,
(h ⋅ Δx
k
) ⋅ T∞ − (h ⋅
Δx
k
) ⋅ T i+10 + T
i+1
1 − T
i+1
0 =
1
2τ
⋅ (T i+10 − T
i
0)
2τ ⋅ T i+11 − [1 + 2τ + 2τ ⋅ (h ⋅
Δx
k
)] ⋅ T i+10 + (h ⋅
Δx
k
) ⋅ T∞ + T i0 = 0
τ ⋅ T i+1m−1 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
m + τ ⋅ T
i+1
m+1 + τ ⋅
ėi+1m ⋅ Δx
2
k
+ T im = 0
τ ⋅ T i+10 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
1 + τ ⋅ T
i+1
2 + T
i
1 = 0
τ ⋅ T i+11 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
2 + τ ⋅ T
i+1
3 + T
i
2 = 0
τ ⋅ T i+12 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
3 + τ ⋅ T
i+1
4 + T
i
3 = 0
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A pergunta é saber o valor da temperatura quando se passaram 10s, o
que significa que, na condição inicial, ou seja, i=0 temos a temperatura
uniforme e, após a primeira iteração é o ponto de
 Portanto, vamos substituir nas cinco equações implícitas os
valores constantes.
Obs.: nesses problemas de diferenças finitas, não tem problema
trabalhar as temperaturas em devido à simplificação da conversão
(273K) nos 
Veja que, segundo o critério, o método explícito não poderia ser usado
neste caso ). Então, substituindo os termos constantes nas
equações as equações implícitas, do ponto 0 até o 4:
Temos um sistema de 5 equações lineares com 5 incógnitas. Assim,
resolvendo em qualquer simulador on-line, encontramos que as
temperaturas após 10 segundos são:
Condução bidimensional de calor em
regime transitório
Consideremos uma região retangular onde a condução de calor é
significativa nas direções e e considere uma profundidade unitária
de na direção Pode ser gerado calor no meio com uma
velocidade de a qual pode variar com o tempo e a posição,
supondo condutividade térmica constante 
k ⋅
(T i+13 − T
i+1
4 )
Δx
+ 0 = ρ ⋅
Δx
2
⋅ Cp ⋅
(T i+14 − T
i
4)
Δt
T i+13 − T
i+1
4 = ρ ⋅
Δx2
2k
⋅ Cp ⋅
(T i+14 − T
i
4)
Δt
T i+13 − T
i+1
4 =
1
2τ
⋅ (T i+14 − T
i
4)
2τ ⋅ T i+13 − (1 + 2τ) ⋅ T
i+1
4 + T
i
4 = 0
650∘C (Δt = 10s)
i+ 1.
∘C
ΔT .
τ =
α ⋅ Δt
Δx2
=
33, 9 × 10−6 ⋅ 10
0, 0252
= 0, 5424
(τ ≥ 0, 5
1, 0848 ⋅ T i+11 − 2, 139 ⋅ T
i+1
0 + 650, 81 = 0
0, 5424 ⋅ T i+10 − 2, 0848 ⋅ T
i+1
1 + 0, 5424 ⋅ T
i+1
2 + 650 = 0
0, 5424 ⋅ T i+11 − 2, 0848 ⋅ T
i+1
2 + 0, 5424 ⋅ T
i+1
3 + 650 = 0
0, 5424 ⋅ T i+12 − 2, 0848 ⋅ T
i+1
3 + 0, 5424 ⋅ T
i+1
4 + 650 = 0
1, 0848 ⋅ T i+13 − 2, 0848 ⋅ T
i+1
4 + 650 = 0
T i+10 = 631, 23
∘C
T i+11 = 644, 73
∘C
T i+12 = 648, 51
∘C
T i+13 = 649, 55
∘C
T i+14 = 649, 76
∘C
x y,
Δz = 1 z.
ė(x, y, z),
k.
11/09/2023, 20:41 Transferência de calor por condução
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Posteriormente, dividimos o plano da região em uma malha
retangular de pontos nodais espaçados com uma separação e 
nas direções e respectivamente, e consideremos um nodo interior
geral cujas coordenadas são e como mostra
a imagem:
Malha retangular de pontos nodais.
Dado que o elemento de volume centrado em torno do nodo interior
geral compreende condução de calor desde os quatro lados
(direito, esquerdo, superior e inferior) e o elemento de volume é
 a formulação em diferenças finitas,
em regime transitório para um nodo deste tipo, pode ser expressa da
mesma forma que o balanço de energia descrito no modo
unidimensional:
Quando se toma uma malha quadrada e se divide cada
termo entre obtemos:
Da mesma forma que o caso unidimensional, podemos obter as
expressões para os métodos implícito e explícito:
Implícito
Explícito
Existe também aqui o critério de estabilidade para o método explícito:
x− y
Δx Δy
x y,
(m,n) x = mΔx y = nΔy,
(m,n)
Velemento  = Δx ⋅ Δy ⋅ 1 = Δx ⋅ Δy,
k ⋅ Δy ⋅
Tm−1,n−Tm,n
Δx
+ k ⋅ Δx ⋅
Tm,n+1−Tm,n
Δy
+ k ⋅ Δy ⋅
Tm+1,n−Tm,n
Δx
+ k ⋅ Δx ⋅
Tm,n−1−Tm,n
Δy
+ ėm,n ⋅ Δx ⋅ Δy =
= ρ ⋅ Δx ⋅ Δy ⋅ CP ⋅
T i+1m − T
i
m
Δt
(Δx = Δy = l)
k,
Tesq + Tsup  + Tdir  + Tinf  − 4Tnó +
ėnó ⋅ l
2
k
=
T i+1no − T
i
nó
τ
T iesq + T
i
sup + T
i
dir + T
i
inf − 4T
i
nó +
ėinó ⋅ l
2
k
=
T i+1no − T
i
nó
τ
T i+1no = τ ⋅ (T
i
esq + T
i
sup + T
i
dir + T
i
inf )+ (1 − 4τ) ⋅ T inó + τ ⋅
ėinó ⋅ l
2
k
τ =
α ⋅ Δt
l2
≤
1
4
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Consideremos uma barra sólida, ) de
seção transversal quadrada que está inicialmente a uma temperatura
uniforme de A seção transversal da barra tem um tamanho
 e se gera calor nela de forma uniforme, com uma
velocidade de Os quatro lados da barra estão sujeitos
à convecção com ar com uma temperatura ambiente de 
coeficiente de transferência de calor Utilizando o método
explícito das diferenças finitas com um tamanho de malha de 
 determine a temperatura do ponto central após 10 minutos.
Malha com pontos nodais.
Como os quatro lados estão expostos à convecção com ar e a barra é
simétrica, temos que as temperaturas assim como
 Ou seja, somente podemos realizar os cálculos
para os pontos 1, 2 e 5 . Assumindo que os balanços em
cada ponto são:
Ponto 1: a convecção é mais predominante neste ponto, lado esquerdo e
superior tem convecção para metade do elemento de volume. Lado
direito e inferior tem condução também para metade do elemento de
volume. No termo transiente e de geração, o ponto 1 está no centro de
 de elemento de volume. Portanto:
Multiplicando os dois lados da equação por e substituindo
 e obtemos:
Para ficar da forma explícita, o termo deve ser isolado, e T2=T4.
Portanto:
Um dos critérios de utilizar o método explícito é que os coeficientes
primários, ou seja, aqueles que acompanham as variáveis de
temperatura devem ser positivos. Os pontos que estão mais expostos a
convecções são utilizados para realizar essa análise. Da equação acima,
k = 28W/m∘C;α = 12 × 10−6m2/s
32∘C.
20cm× 20cm
ė = 8 × 105W/m3.
30∘C,
45W/m2.
Δx =
Δy = 10cm,
T1 = T3 = T7 = T9,
T2 = T4 = T8 = T6.
Δx = Δy = l,
1/4
h ⋅
l
2
⋅ (T∞ − T i1)+ h ⋅
l
2
⋅ (T∞ − T i1)+ k ⋅
l
2
⋅
T i2 − T
i
1
l
+ k ⋅
l
2
⋅
T i4 − T
i
1
l
+ ė ⋅
l2
4
=
= ρ ⋅
l2
4
⋅ CP ⋅
T i+11 − T
i
1
Δt
2/k
α = k/ρ ⋅ Cp τ =
α⋅Δt
l2
,
2h ⋅
l
k
⋅ (T∞ − T i1)+ T
i
2 − T
i
1 + T
i
4 − T
i
1 + ė ⋅
l2
2k
=
1
2τ
⋅ (T i+11 − T
i
1)
T i+11
T i+11 = [1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅
l
k
] ⋅ T i1 + 4τ ⋅ (T i2)+ (4τ ⋅ h ⋅
l
k
⋅ T∞ + ė ⋅ τ ⋅
l2
k
)
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o único termo que fica nesse critério é Será que ele
é maior ou igual a zero?
De acordo as condições do problema:
Para utilizar o método explícito, o 
Ponto 2: temos aqui a metade do elemento de volume, tanto para a
geração como no termo transiente.
Lembrando que: 
Multiplicando os dois lados da equação por e substituindo
 e obtemos:
Isolando o termo temos:
Ponto 5: por ser um ponto interno, podemos aplicar diretamente a
equação explícita:
[1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅ lk ].
1 − 4τ − 4τ ⋅ h ⋅
l
k
≥ 0
4τ + 4τ ⋅ h ⋅
l
k
≤ 1
4τ ⋅ (1 + h ⋅ l
k
) ≤ 1
τ ≤
1
4 (1 + h ⋅ l
k
)
≤
1
4(1 + 45 ⋅ 0,128 )
τ ≤ 0, 2153
α ⋅ Δt
l2
≤ 0, 2153
Δt ≤
0, 2153 ⋅ (0, 12)
12x10−6
≤ 179, 48s
Δt ≤ 179, 48s.
h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i2)+ k ⋅
l
2
⋅
T i1 − T
i
2
l
+ k ⋅
l
2
⋅
T i5 − T
i
2
l
+ k ⋅
l
2
⋅
T i3 − T
i
2
l
+ ė ⋅
l2
2
=
= ρ ⋅
l2
2
⋅ CP ⋅
T i+12 − T
i
2
Δt
T3 = T1.
h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i2)+ k ⋅
T i1 − T
i
2
2
+ k ⋅
T i5 − T
i
2
2
⋅ +k ⋅
T i1 − T
i
2
2
+ ė ⋅
l2
2
= ρ ⋅
l2
2
⋅ CP ⋅
T i+12 − T
i
2
Δt
h ⋅ l ⋅ (T∞ − T i2)+ k ⋅ (T
i
1 − T
i
2)+ k ⋅
T i5 − T
i
2
2
+ ė ⋅
l2
2
= ρ ⋅
l2
2
⋅ CP ⋅
T i+12 − T
i
2
Δt
2/k
α = k/ρ ⋅ Cp τ = α⋅Δtl2 ,
2h ⋅ l
k
⋅ (T∞ − T i2)+ 2 ⋅ (T
i
1 − T
i
2)+ T
i
5 − T
i
2 + ė ⋅
l2
k
=
T i+12 − T
i
2
2τ
T i+12 ,
T i+12 = (
4τh ⋅ l ⋅ T∞
k
+ 2ė ⋅ τ ⋅
l2
k
)+ 4τ ⋅ T i1 + 2τ ⋅ T i5 + (1 − 3τ −
4τh ⋅ l
k
)T i2
T i+1no = τ ⋅ (T
i
esq + T
i
sup + T
i
dir + T
i
inf )+ (1 − 4τ) ⋅ T inó + τ ⋅
ėinó ⋅ l
2
k
11/09/2023, 20:41 Transferência de calor por condução
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html# 49/56
Lembrando que as temperaturas Portanto:
Precisamos escolher um e, por conveniência, escolhemos
120s. Para esse valor, temos o seguinte:
Substituindo os valores constantes nas três equações explícitas,
obtemos:
No tempo i=0, temos que a temperatura era uniforme, ou seja, Em
uma folha de cálculo no Excel, podemos fazer as iterações. O valor da
temperatura será o valor anterior, lembrando que, na primeira linha,
colocaremos o valor de Assim, a temperatura no centro da placa
após um tempo de será de Observe:
i t T1 T2 T5
0 0 32 32 32
1 120 73,0 127,9 73,1
2 240 141,8 209,0 145,8
3 360 211,3 308,1 223,3
4 480 291,4 417,5 313,3
5 600 381,0 541,6 414,5
6 720 482,1 681,4 528,8
7 840 596,2 839,0 657,8
8 960 724,7 1016,8 803,3
9 1080 869,8 1217,2 967,4
10 1200 1033,3 1443,3 1152,4
Tabela: Folha de cálculo relacionando: corrente, tempo e temperaturas.
Mão na massa
T i+15 = τ ⋅ (T
i
4 + T
i
2 + T
i
6 + T
i
8)+ (1 − 4τ) ⋅ T
i
5 + τ ⋅
ė ⋅ l2
k
T2 = T4 = T8 = T6.
T i+15 = τ ⋅ (4T
i
2)+ (1 − 4τ) ⋅ T
i
5 + τ ⋅
ė ⋅ l2
k
Δt ≤ 179, 48s
τ =
α ⋅ Δt
l2
=
12 × 10−6 ⋅ (120)
0, 12
= 0, 144
T i+11 = 0, 3314 ⋅ T
i
1 + 0, 576 ⋅ (T
i
2)+ 43, 92
T i+12 = 85, 06 + 0, 576 ⋅ T
i
1 + 0, 288 ⋅ T
i
5 + 0, 4754 ⋅ T
i
2
T i+15 = 0, 576 ⋅ (T
i
2)+ 0, 424 ⋅ T
i
5 + 41, 14
32∘C.
T in
32∘C.
10min(600s) 414, 5∘C.

11/09/2023, 20:41 Transferência de calor por condução
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html# 50/56
Questão 1
Uma parede com de espessura e difusividade térmica de
, encontra-se, inicialmente, a uma temperatura
uniforme igual a . Subitamente, uma das suas faces tem a sua
temperatura reduzida a , enquanto a outra é perfeitamente
isolada. Qual é a temperatura na parede isolada após 20 minutos?
Utilize a técnica de diferenças finitas com incremento espacial e no
tempo de e , respectivamente.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 2
As questões 2 e 3 são baseadas na seguinte informação:
Uma placa de grande espessura, com difusividade térmica de
 e condutividade térmica de , está
inicialmente a uma temperatura uniforme de . De repente, a
sua superfície é exposta a uma substância refrigerante a , que
mantém um coeficiente de transferência de calor por convecção
igual a . Usando um incremento no espaço de ,
determine o seguinte:
Qual seria o intervalo de tempo adequado para utilizar o método
explícito?
0, 12m
1, 5 × 10−6m2/s
85∘C
20∘C
30mm 300s
A 76, 9∘C
B 64, 7∘C
C 52, 5∘C
D 42, 3∘C
E 85∘C
5, 6 × 10−6m2/s 20W/m ⋅K
325∘C
15∘C
100W/m2K 15mm
A ≥ 0s
B ≤ 18, 7s
C ≤ 20, 3s
D ≤ 0, 5s
11/09/2023, 20:41 Transferência de calor por condução
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3Dd9bfcc7efe364a239e0793ef50
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
Qual será a temperatura a uma profundidade de passados 3
minutos do início do processo? Assuma um .
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 4
Uma parede plana de aço inox
 e com uma
espessura de experimenta uma geração uniforme de calor de
. Os lados direito e esquerdo da parede são mantidos
à temperatura constantes de e respectivamente.
Após 20 minutos, qual é o valor da temperatura no centro da placa?
E ≤ 65s
45mm
Δt = 18s
A 276, 18∘C
B 325∘C
C 314, 07∘C
D 260, 70∘C
E 300∘C
(k = 15, 1W/m∘C;α = 3, 91 × 10−6m2/s)
1m
10000W/m3
20∘C 100∘C
A 120∘C
B 20∘C
C 66∘C
D 81∘C
11/09/2023, 20:41 Transferência de calor por condução
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html# 52/56
Parabéns! A alternativa D está correta.
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paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 5
Uma barra longa de aço tem sua seção transversal como se
apresenta a seguir. A barra é extraída de um forno de tratamento
térmico a e se coloca no fundo de um tanque cheio de água
a . Para intensificar a transferência de calor, é aplicada
agitação constante na água, de tal maneira que a temperatura fica
quase constante na superfície de todas as faces da barra,
, com exceção da face inferior à qual é adiabática. As
propriedades da barra são
.
Qual seria o intervalo de tempo ideal para aplicar o método explícito
de diferenças finitas?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Questão 6
Assumindo um intervalo de tempo de 10s, qual é o valor da
temperatura no ponto 5 após 20s?
E 92∘C
700∘C
10∘C
Ts = 10∘C
k = 40W/m∘C;Cp = 430J/kg ⋅ ∘C; ρ = 8000kg/m3
A Δt ≤ 13, 4s
B Δt ≤ 0, 25s
C Δt ≤ 0, 5s
D Δt ≤ 23, 5s
E Δt ≤ 0s
A 700∘C
11/09/2023, 20:41 Transferência de calor por condução
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/index.html# 53/56
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%20campo%
Teoria na prática
Consideremos a transferência de calor bidimensional em uma barra
sólida em formato de que está inicialmente a uma temperatura
uniforme de e cuja seção transversal está representada na
imagem a seguir. As propriedades da barra são 
. O lado direito da barra está isolado e a superfície
inferior se mantém a uma temperatura uniforme de em todo
momento. No instante , a superfície superior completa se sujeita a
uma convecção com ar a uma temperatura de e um coeficiente de
transferência de calor de . Além disso, a superfície esquerda
se