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FENÔMENOS DE TRANSPORTE 2 Capítulo 2 Introdução à condução (Parte 2/4) CONDIÇÕES DE CONTORNO EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Objetivo: particularizar os casos, para obtenção de solução única para o problema. • A distribuição de temperatura em um meio, assim como o fluxo de calor através deste, dependem das condições de contorno e condições iniciais. • As expressões matemáticas que descrevem as condições térmicas nas fronteiras são chamadas “condições de contorno”. CONDIÇÕES DE CONTORNO EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Exemplo: determinar T(x) na parede de uma casa no inverno Precisa-se saber: 1) Equação do fenômeno 2) Alguma informação adicional: •temperatura interna da casa, • temperatura externa; • velocidade do vento; • radiação solar na parede externa; e • etc. CONDIÇÕES DE CONTORNO EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Para descrever um problema de transferência de calor completamente deve-se ter (regime peramente): “DUAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA CADA DIREÇÃO.” • Desta forma: • 1D: 2 condições de contorno • 2D: 4 condições de contorno • 3D: 6 condições de contorno • Obs. Regime transiente => mais uma condição inicial CONDIÇÕES DE CONTORNO EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • A derivada temporal da temperatura nas equações de condução de calor, são de primeira ordem, logo, as condições iniciais lidam somente com “temperaturas”. • As derivadas espaciais da temperatura nas equações de condução de calor, são de segunda ordem, podem envolver tanto derivadas (fluxos) quanto valores de temperatura. • As formas mais encontradas para determinação das condições de contorno são: • Especificação de temperatura • Especificação de fluxo • Convecção • Radiação Condições de Contorno 1) Temperaturas nos contornos EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R Condições de Contorno 2) Fluxo de Calor nos Contornos EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • O fluxo de calor em um meio pode ser expresso pela lei de Fourier para condução: • O sinal é positivo se o fluxo está no sentido positivo da coordenada, ou negativo se isto não ocorrer. • Exemplo: para uma placa de espessura “L”, com fluxo de calor entrando em ambas as superfícies de 50 W/m2 especifica-se: Condições de Contorno 2) Fluxo de Calor nos Contornos EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Caso Especial I: Superfície isolada. • Isolamento térmico => “q” tende a zero. • Desta forma, o fluxo de calor na superfície isolada pode ser dada por: Condições de Contorno 2) Fluxo de Calor nos Contornos EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Caso Especial II: Simetria Térmica. •Exemplo: uma placa de espessura “L” exposta ao ar, tem as mesmas condições térmicas em ambos os lados, desta forma, a distribuição de temperatura em metade da placa (até “L/2”) é igual à da outra metade. • Desta forma, não há fluxo de calor através do plano central, podendo ser visto como uma superfície isolada: Condições de Contorno 3) Convecção EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • O caso mais comum. • Neste caso, a condição de contorno é baseada no balanço de energia na superfície (contorno), expresso por: • Para o caso 1D em placa de espessura “L”: e Condições de Contorno 3) Convecção EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • onde h1 e h2 são os coeficientes de transferência de calor por convecção e T͚1 e T͚2 são as temperaturas da vizinhança. • estas relações consideram fluxo positivo na direção positiva das coordenadas. • Lembrando que a superfície de um corpo é considerada como um “volume” de controle sem volume e sem massa, não gerando energia, logo, o que entra de energia é igual ao que sai. Condições de Contorno 4) Radiação EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Para os casos em que o corpo está no vácuo (ex. espaço, aplicações criogênicas), a convecção não pode ser aplicada, e a radiação é o único mecanismo de transferência de calor. • Usando o balanço de energia nas superfícies: • Para o caso unidimensional em uma placa de espessura “L: • Obs. resulta em coeficientes desconhecidos na 4ª potência, extremamente difícil de resolver. O que torna tentador evitar contabilizar a transferência por radiação quando possível. Condições de Contorno 5) Interfaces EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Alguns materiais são feitos de placas de diferentes materiais, e a solução para a distribuição requer a solução do problema de transferência para cada camada. . • Isto requer a especificação da condição de contorno para cada interface. • As condições de contorno no contato consideram que: • dois corpos em contato devem ter a mesma “T” na superfície de contato; • a superfície de contato não armazena energia, logo, o fluxo que sai de uma camada é igual ao que entra na outra. • Obs. se o contato é imperfeito, há resistência de contato, será visto posteriormente. Condições de Contorno 5) Caso Genérico EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Pode ocorrer casos em que existam condições de contorno conjugadas (ex. convecção + radiação) aplicadas a determinadas superfícies, neste caso o balanço de energia na superfície deve ser considerado. Solução de Problemas de Condução de Calor Unidimensional Regime Permanente EQ U AÇ Ã O D A D IF U SÃ O D E C AL O R • Sugestão para solução de problemas de condução de calor 1D em regime permanente: 1. Formular o problema usando a equação diferencial na forma mais simples; 2. Especificar as condições de contorno 3. Obter a solução geral da equação diferencial 4. Aplicar as condições de contorno e determnar as constantes da solução geral . 1 ) Tendo por base a parede plana acima, determine: a) a taxa de transferência de calor que entra na parede (x=0) e a que sai (x=1); b) A taxa de variação da energia armazenada na parede; c) A taxa de variação de temperatura em relação ao tempo em x=0 , x=0,25 e x = 0,5 m a= 900oC; b= -300oC; c= -50oC; EX ER C ÍC IO S 2 – Uma parede plana, de espessura 0,1 m e com uma condutividade térmica de 25 W/mK, com uma geração volumétrica de calor uniforme de 0,3 MW/m3, está com uma face a 30oC outra face está a 92OC . Determinar a temperatura máxima na parede e o fluxo de calor que sai de cada uma das faces. EX ER C ÍC IO S 3 – Uma parede plana, de espessura 0,1 m e com uma condutividade térmica de 25 W/mK, com uma geração volumétrica de calor uniforme de 0,3 MW/m3, está com uma face isolada enquanto a outra face está a 92OC . Determinar a temperatura máxima na parede e o fluxo de calor que sai da mesma. EX ER C ÍC IO S 4 – Considerando o regime 1D permanente em uma parede plana de espessura “L”, k=cte e sem geração interna de calor. Obtenha as expressões de distribuição de temperatura para cada uma das 3 condições abaixo. 5 – Considerando que a base de um ferro de passar roupas 1200 W tem espessura de 0,5cm e área da base de 300 cm2, k=15 W/m. 0C. Supõe-se que a superfície interna da base está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência, e a superfície externa perde calor para o meio (20º C) por convecção. Supondo que h=80 W/m2. 0C e que a dissipação por irradiação é negligenciável, obtenhaa distribuição de temperaturas na base do ferro de passar e determine as temperaturas nas faces. EX ER C ÍC IO S
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