ELÉTRICA INDUSTRIAL cap5

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Capítulo 5 
MÉTODO DOS FASORES 
 
 
Considere um circuito elétrico em que todas as fontes são alternadas senoidais com a 
mesma freqüência. Essa hipótese não é em absoluto irrealista, pois em um sistema elétrico 
todos os alternadores nas usinas geram tensão alternada senoidal com freqüência de 60 Hz, 
que é o padrão brasileiro. Considere ainda que todos os elementos de circuito são lineares e 
invariantes no tempo. Nesse caso, pode-se observar que, em regime permanente, todas as 
tensões e correntes no circuito terão forma de onda senoidal com a mesma freqüência. 
Esse importante fato pode ser compreendido com a ajuda das leis de Kirchhoff e das quatro 
propriedades apresentadas em seguida. Outra importante conseqüência desse fato é que, 
para se resolver um circuito elétrico com corrente alternada senoidal, pode-se utilizar o 
método dos fasores, evitando a solução de um sistema de equações diferenciais como feito 
na Aula 2. 
Propriedade 1: resistor linear 
Um resistor linear é descrito pela lei de Ohm: . 
Admitindo que a tensão nos terminais do resistor seja expressa por 
então a lei de Ohm garante que a corrente será dada por: 
. Portanto, em um resistor linear, tanto a tensão quanto a 
corrente têm forma de onda senoidal de mesma freqüência, bem como estão em fase, 
conforme ilustra a figura abaixo. 
 
 
Capítulo 5 – Método dos Fasores 
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Propriedade 2: indutor linear 
No caso de um indutor linear, a equação descritiva é: . 
Assumindo que a corrente que circula no indutor é dada por então 
a equação descritiva exige que a tensão nos terminais do indutor seja: 
 
 
Desse modo, a tensão e a corrente em um indutor linear têm forma de onda senoidal de 
mesma freqüência, mas estão defasadas de , sendo que a corrente está atrasada 
em relação à tensão, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
 
Propriedade 3: capacitor linear 
A equação descritiva de um capacitor linear é: . 
Admitindo que a tensão nos terminais do capacitor seja expressa por 
então sua equação descritiva garante que a corrente será dada 
por: 
 
 
Portanto, em um capacitor linear, tanto a tensão quanto a corrente têm forma de onda 
senoidal de mesma freqüência, porém estão defasadas de , sendo que a corrente está 
adiantada em relação à tensão, conforme ilustra a figura abaixo. 
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Propriedade 4: adição de senóides de mesma frequência 
Formas de onda senoidais possuem uma propriedade bastante curiosa e até mesmo 
surpreendente: “a soma (ou diferença) de duas formas de onda senoidais de amplitudes e 
fases quaisquer, porém de mesma freqüência, é também uma forma de onda senoidal com a 
mesma freqüência”. 
 
 
Essa propriedade pode ser demonstrada como segue, usando-se identidades 
trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde X = e Y = . 
A expressão pode ser escrita de forma equivalente como: 
 
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Esta última expressão sugere que X,Y e podem ser considerados como lados 
de um triângulo retângulo, e que portanto pode-se determinar, sem perda de generalidade, 
uma amplitude C e um ângulo , tais que; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando-se essas definições, tem-se: 
 
 
Finalmente, lembrando-se da identidade trigonométrica do cosseno da soma de dois 
ângulos, chega-se a: 
 
 
Como aparecem somente tensões e correntes senoidais de 
mesma freqüência 
As propriedades 1, 2 e 3 indicam que em circuitos CA com fontes senoidais de mesma 
freqüência, com resistores, indutores e capacitores lineares e estacionários, e em regime 
permanente, as correspondentes equações descritivas desses elementos somente produzem 
formas de onda senoidais com a mesma freqüência das fontes, tanto para tensões quanto 
para correntes. Elas só diferem pela amplitude e fase. Por outro lado, sabe-se que a 
aplicação das leis de Kirchhoff resultam somente em operações de adição (ou subtração) de 
tensões ou correntes. Portanto, a propriedade 4 garante que essas operações só produzirão 
alguma tensão ou corrente que tenha forma de onda senoidal e com a mesma freqüência. 
Elas só diferirão pela amplitude e fase. 
 
Como a resolução de um circuito elétrico corresponde a resolver um conjunto de equações 
descritivas e equações obtidas através das leis de Kirchhoff, pode-se afirmar que em 
circuitos CA com fontes senoidais de mesma freqüência, com resistores, indutores e 
capacitores lineares e estacionários, e em regime permanente, todas as tensões e correntes 
são senoidais e de mesma freqüência. 
Capítulo 5 – Método dos Fasores 
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Fasores 
Já que todas as tensões e correntes em um circuito CA são da forma senoidal com a mesma 
freqüência, diferindo somente na amplitude e fase, torna-se conveniente representá-las 
simbolicamente através de uma forma com características vetoriais, ou seja, definidas por 
uma magnitude e uma direção/sentido (do mesmo modo que uma força ou velocidade são 
representadas). Aqui, usa-se o valor eficaz da tensão ou corrente como magnitude e a fase 
da tensão ou corrente para indicar a direção/sentido. Desse modo, a forma de onda senoidal 
e a freqüência ficam subentendidas já que não introduzem nenhuma informação nova. 
Modernamente, essa representação vetorial de uma grandeza variando senoidalmente é 
chamada fasor. 
Representação de senóides por números complexos: uma 
brilhante idéia de Charles Steinmetz 
Um fasor pode ser representado por um número complexo. Esta forma de representação 
foi proposta, em 1893, por Charles Steinmetz (1865-1923), engenheiro da General Electric 
Co. (USA), um dos pioneiros da Engenharia Elétrica e particularmente das técnicas de 
circuitos de corrente alternada. Steinmetz usava a expressão “representação vetorial 
complexa de uma senóide”. O uso de números complexos para representar os fasores 
permite estabelecer regras bem definidas para realizar operações matemáticas com fasores, 
que obviamente são as mesmas definidas para os números complexos. 
 
Para evitar confusão em relação às fases, neste curso será considerado, por convenção 
arbitrária, que um fasor sempre representa uma função cosseno. Na literatura, às vezes se 
encontra o conceito de fasor associado a uma função seno, como mostrado na apostila da 
parte experimental. 
 
Um fasor, sendo um número complexo, pode ser representado graficamente em um plano 
complexo [Re,Im], conforme ilustra a figura abaixo, onde se mostra o fasor correspondente 
a uma tensão expressa por . 
 
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O fasor V da figura pode ser escrito na forma retangular: , em que 
, a é a parte real e b é a parte imaginária, ou então na forma polar: 
, em que Vef é o módulo e é o ângulo do fasor. 
Note que o módulo do fasor corresponde ao valor eficaz da tensão senoidal, já que este é o 
valor característico usado para especificar os equipamentos elétricos, bem como o ângulo 
do fasor corresponde à fase da tensão, que é expressa em graus por ser uma unidade que 
permite mais facilmente avaliar sua ordem de grandeza. 
De forma equivalente, pode-se utilizar um número complexo na forma exponencial para 
representar um fasor. Considere, por exemplo, a tensão de uma fonte alternada senoidal de 
127 V, 60 Hz: 
 
 
O fasor dessa tensão na forma exponencial será: 
 
 
em que . 
A equivalência entre a forma polar e a forma exponencial pode ser explicada usando-se a 
fórmula de Euler: 
 
 
.A título de exemplo, na figura abaixo estão representados os fasores correspondentes à 
tensão e à corrente 
, ambos na formaexponencial. 
 
 
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Operações com fasores 
As operações matemáticas com fasores obedecem às mesmas regras das operações com 
números complexos. 
Considere um número complexo z expresso tanto na forma retangular: z = a+jb, quanto na 
forma polar: ou na forma exponencial: , onde r é o 
módulo e o ângulo. Nesse caso, valem as seguintes relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que servem para passar de uma forma para outra. 
Dado um número complexo z, define-se número complexo conjugado da seguinte 
maneira: z* = a-jb ou ou . 
 
A representação gráfica de um número complexo no plano [Re,Im], bem como a de seu 
complexo conjugado, são mostradas na figura abaixo, evidenciando as relações entre as 
formas retangular, polar e exponencial. 
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As principais operações aritméticas com números complexos são definidas abaixo. Note 
que é mais fácil realizar as operações de adição ou subtração usando a forma retangular, 
enquanto que é melhor fazer as operações de multiplicação ou divisão usando as formas 
polar ou exponencial para representar os números complexos. 
Forma retangular: Seja z1=a1+jb1 e z2=a2+jb2. 
• adição ou subtração : . 
• multiplicação: 
 
• divisão : . 
Forma polar: Seja e . 
• adição ou subtração : mesma regra da forma retangular, considerando 
e . 
• multiplicação: 
. Lembrando de as identidades trigonométricas que fornecem o cosseno e o seno da 
soma de dois ângulos, tem-se: 
 
 
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Esse resultado permite estabelecer a seguinte regra para multiplicar dois números 
complexos na forma polar: multiplique os módulos e some as fases. 
• divisão: Substituindo-se , , e 
na expressão que define a divisão na forma retangular, bem como 
usando as identidades trigonométricas que fornecem o cosseno e o seno da diferença 
de dois ângulos, pode-se escrever: 
 
 
Esse resultado permite estabelecer a seguinte regra para dividir dois números 
complexos na forma polar: divida os módulos e subtraia as fases (numerador-
denominador). 
Forma exponencial: Seja e . 
• multiplicação: (produto de funções exponenciais). 
• divisão : (divisão de funções exponenciais). 
A propósito de números complexos, você se deu conta como são poucas as pessoas. em 
toda a Humanidade. que sabem fazer contas com eles ? Saber números complexos é um 
privilégio intelectual. Pense nisso e anime-se! 
Impedância 
O conceito de impedância está diretamente relacionado com a resolução de circuitos 
alternados senoidais por meio do método dos fasores e por isso será introduzido aqui. 
Impedância de um elemento de circuito é definida como a razão entre o fasor da tensão 
entre seus terminais pelo fasor da corrente que atravessa o elemento: 
 
 
O conceito de impedância é uma generalização do conceito de resistência, sendo mais 
adequado para descrever o comportamento dos componentes de circuitos em corrente 
alternada. Assim como a resistência, a impedância de um componente exprime uma medida 
da oposição oferecida à passagem da corrente elétrica. 
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O conceito e o nome “impedância (impedance)” foram inventados pelo físico e engenheiro 
inglês Oliver Heaviside (1850-1925) no fim do século 19. A unidade de impedância é ohm, 
mesmo para elementos que não são resistores, pois é definido por um quociente entre 
tensão e corrente. 
Uma impedância é expressa por um número complexo, que pode estar na forma retangular, 
polar ou exponencial. Seja e . Então, a impedância Z pode ser 
expressa por: 
 
 
em que 
 
 
 
 
 
A propósito, por que uma impedância, embora sendo um número complexo, não é um fasor 
? Pense nisso. 
Impedância de resistor linear 
Em um resistor linear já se sabe que, se a tensão for , então a 
lei de Ohm garante que a corrente será dada por: . 
Expressando a tensão e corrente em fasores, tem-se: 
 
 
 
 
 
e portanto a impedância de um resistor é: 
 
 
Note que a impedância de um resistor é igual a sua resistência, e que é um número 
complexo com parte real somente. 
 
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Impedância de indutor linear 
Já foi visto anteriormente que se a corrente que circula em um indutor linear é dada por 
então sua equação descritiva exige que a tensão nos 
terminais seja . 
Em termos de fasores, tem-se: 
 
 
 
 
 
e desse modo a impedância de um indutor é: 
 
 
Impedância de capacitor linear 
Sabe-se que se a tensão nos terminais de um capacitor linear é 
então sua equação descritiva exige que a corrente seja 
dada por: 
Expressando em fasores, tem-se: 
 
 
 
 
 
e portanto a impedância de um capacitor é: 
 
 
Note que as impedâncias de um indutor ou capacitor são números complexos imaginário 
puro (sem parte real) que variam com a freqüência de forma proporcional e inversamente 
proporcional, respectivamente. Desse modo, a impedância de um indutor aumenta 
quando a freqüência aumenta, enquanto que a impedância de um capacitor diminui 
quando a freqüência aumenta. Note ainda que as impedâncias de um indutor e de um 
capacitor estão em semiplanos opostos no plano complexo, significando que elas têm ações 
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contrárias em relação à defasagem entre tensão e corrente, ou seja, um indutor sempre 
atrasa a corrente e um capacitor adianta a corrente em relação à tensão. 
Reatância 
Uma impedância é sempre expressa por um número complexo. Utilizando a forma 
retangular para escrever números complexos, uma impedância qualquer pode ser expressa 
por: 
 
 
em que R representa a parte real e X a parte imaginária do número complexo. Essa parte 
imaginária, X, é chamada reatância e serve para indicar se a impedância tem um caráter 
indutivo (atrasa a corrente) ou capacitivo (adianta a corrente). A parte real, R, corresponde 
evidentemente a uma resistência. 
Para um indutor ideal, a impedância é expressa por um imaginário puro: 
 
 
e a reatância indutiva é dada por: 
 
 
Para um capacitor ideal, a impedância é expressa também por um imaginário puro: 
 
 
e a reatância capacitiva é dada por: 
 
Admitância 
Admitância é definida como o inverso da impedância. Portanto está associada à facilidade 
que um elemento de circuito oferece à passagem da corrente elétrica. Sendo o inverso da 
impedância, uma admitância é medida em ohm-1, também chamada de siemens. 
 
 
Associação de impedâncias e admitâncias 
Como o conceito de impedância é uma extensão do conceito de resistência, a associação em 
série ou paralelo de impedâncias segue as mesmas regras válidas para resistências. 
Capítulo 5 – Método dos Fasores 
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No caso de admitâncias, a associação em série ou paralelo segue regras semelhantes à 
associação de capacitores, ou seja: admitâncias em paralelo são somadas e admitâncias em 
série somam-se os inversos e inverte-se. 
Método dos fasores 
Este método sintetiza um modo operacional para resolver circuitos alternados senoidais 
com componentes lineares e estacionários, em regime permanente. O método dos fasores 
consiste basicamente nas etapas mostradas em seguida: 
• Transforme o circuito do domínio do tempo para o domínio dos fasores (plano 
complexo), usando o conceito de fasor para exprimir todas as tensões e correntes, e 
o conceito de impedância para representar todos os elementos de circuito; 
• Resolva o problema no domínio dos fasores,fazendo o diagrama fasorial, se 
conveniente; 
• Retorne ao domínio do tempo, se necessário, usando o conceito de fasor. 
A aplicação do método dos fasores evita a resolução de um sistema de equações 
diferenciais no domínio do tempo (o que pode ser trabalhoso) através da transformação do 
problema para o domínio dos fasores, onde pode ser resolvido por meio de equações 
algébricas (o que é mais simples), embora envolvendo números complexos. 
 
De certa maneira e embora pareça contraditório, os números complexos servem para 
tornar as coisas mais simples. Pense nisso. 
Exemplo de aplicação: fonte senoidal com carga indutiva 
Considere um circuito elétrico cujo modelo é um resistor linear em série com um indutor 
linear, alimentados por uma fonte ideal de tensão alternada senoidal, conforme ilustra a 
figura abaixo: 
 
O problema consiste em: (a) obter-se a corrente que a fonte fornece: (b) obter-se a tensão 
nos terminais do resistor e do indutor; e (c) obter-se a impedância total vista pela fonte, 
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assumindo-se os dados: , e com 
. 
A resolução desse circuito pelo método dos fasores deve seguir os passos já mencionados. 
A primeira providência é escrever os fasores e impedâncias conhecidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A transformação do domínio do tempo para o domínio complexo dos fasores resulta no 
circuito mostrado abaixo; 
 
Aplicando-se, nesse circuito, a lei das malhas de Kirchhoff, tem-se: 
 
 
Usando a definição de impedância, pode-se escrever: 
 
 
Explicitando a incógnita I, obtém-se a solução para o item (a): 
 
 
A resposta ao item (b) é: 
 
 
 
Capítulo 5 – Método dos Fasores 
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Observe que, no domínio dos fasores, somente se trabalha com os valores eficazes das 
tensões e correntes senoidais. 
A impedância total vista pela fonte é: 
 
 
Embora não seja essencial para resolver o circuito, o diagrama fasorial orienta a solução, 
permite visualizar as relações entre tensões e correntes, e verificar se a solução faz sentido. 
O diagrama fasorial do problema está mostrado abaixo. Note que só aparecem fasores (de 
tensão ou corrente) e nada mais. Lembre-se que impedâncias, embora sejam representadas 
por números complexos, não são fasores e, portanto, não devem aparecer em diagramas 
fasoriais. 
 
 
Fazendo agora o caminho de volta do domínio dos fasores para o domínio do tempo, pode-
se escrever diretamente as expressões senoidais para as tensões: 
 
 
 
 
 
e para a corrente fornecida pela fonte à carga: 
 
 
As formas de onda da tensão da fonte (escolhida como referência angular) e da corrente 
podem ser vistas na figura abaixo: 
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O diagrama abaixo ilustra de forma esquemática o funcionamento do método dos fasores 
para resolver circuitos de corrente alternada senoidal em regime permanente.