Apostila Lab Resmat - FEI (mecsol)

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Apostila: Laboratório
de
Resistência dos
Materiais
Extensometria Elétrica
(Strain-Gage)
e
 Fotoelasticidade
1º Semestre 2006
Orientado por: Sérgio Delijaicov
Editado por: João Paulo Buoro Perandini
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
SUMÁRIO
PARTE I: EXTENSOMETRIA 1
1. Introdução 1
2. A Extensometria Mecânica 1
3. A Extensometria Elétrica 2
4. A Extensometria Óptica 2
PARTE II: EXTENSOMETRIA ELÉTRICA 3
1. Generalidades 3
2. Princípio de Medidas 4
3. Tecnologia dos Extensômetros 19
4. Características Construtivas 22
5. Efeito Térmico Secundário 31
6. A Escolha de um Extensômetro 32
7. Técnica de Instalação dos Gages 33
8. Instrumentação 33
PARTE III: FOTOELASTICIDADE 43
1. Definições 43
2. Princípio 43
3. Polarímetro 46
4. Figuras Diversas 55
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 58
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
1
[ ]
[ ]
[ ])(1
)(1
)(1
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E
σσνσε
σσνσε
σσνσε
+⋅−⋅=
+⋅−⋅=
+⋅−⋅=
[ ]
[ ]
[ ])()1(
)()1(
)()1(
yxzz
zxyy
zyxx
k
k
k
εενενσ
εενενσ
εενενσ
+⋅+−⋅=
+⋅+−⋅=
+⋅+−⋅=
)21()1( νν −⋅+=
Ek
PARTE I: EXTENSOMETRIA
1. Introdução
A “Análise Experimental de Tensões” tem como objetivo final a avaliação dos estados de
tensões que agem nos diversos pontos de uma estrutura.
Para tal, ela utiliza os métodos ou técnicas chamadas “extensométricas”, diretas ou
indiretas, que medem as deformações envolvidas em torno de um ponto da estrutura em estudo.
A conseqüente aplicação das relações tensão x deformação permitem avaliar o respectivo
estado de tensão.
No regime elástico, estas relações lineares são dadas pela lei Hooke generalizada:
OU
onde:
E é modulo de Young do material
ν é o coeficiente de Poisson
No regime plástico, as relações tensão x deformação deixam de ser lineares e dadas por
outras leis como as de Lery-Mises ou de Prandtl-Reuss, que podem ser encontradas nos livros
avançados da Resistência dos Materiais ou da Mecânica dos Sólidos Deformáveis.
As técnicas extensométricas podem ser classificadas em três grandes categorias:
2. A Extensometria Mecânica[1]
A extensometria mecânica tem como princípio básico de trabalho a medida da distância
entre dois pontos, antes e depois da solicitação da estrutura. A distância inicial entre os pontos ´l´
é o comprimento ativo do extensômetro.
Como os deslocamentos envolvidos são muito pequenos, faz-se necessário ampliar a
medida para uma leitura mais segura, que se consegue através de dispositivos óticos ou
pneumáticos.
Um grande inconveniente do uso dos extensômetros mecânicos é o fato das
deformações serem, geralmente, heterogêneas numa estrutura, fazendo com que o comprimento
ativo seja o menor possível, fator limitante da construção dos referidos extensômetros.
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
2
3. A Extensometria Elétrica
3.1. por Analogia: monta-se um círculo elétrico no qual uma grandeza obedeça as mesmas leis
que uma certa função de tensões, verificada na estrutura em estudo. Este método, cômodo em
certos casos particulares, necessita de montagens complexas em muitos outros, o que o torna
inadequado em face dos outros métodos descritos a seguir.
3.2. por STRAIN-GAGES: a deformação em torno de um ponto e numa certa direção de uma
estrutura carregada é determinada pela medida da variação de resistência elétrica de um fio
colado na mesma direção da deformação que se quer medir. O método é cômodo, preciso e
permite a determinação do estado de tensões num ponto isolado, ao mesmo tempo que não
avalia o campo completo de tensões no corpo.
4. A Extensometria Óptica[1]
4.1. MOIRÉ: a superposição de dois reticulados de malhas muito finas, um ligado à peça
deformada e portanto distorcido e o outro de comparação, permite observar um fenômeno de
franjas, chamado de MOIRÉ, cuja configuração está ligada à deformação da peça.
4.2. Holografia por interferometria: esta técnica mede a fase de uma vibração luminosa em
função de uma vibração luminosa de referência. Esta fase é função do caminho óptico percorrido
e varia de acordo com a mesma.
4.3. Fotoelasticimetria: mede por polarimetria a distorção de forma que uma vibração luminosa é
submetida quando atravessa um meio que, inicialmente homogêneo e isotrópico, se torna
birrefringente assim que é deformado.
Obs.: as técnicas de extensometria óptica são bem adaptadas à análise do campo de tensões e
se aplicam, em geral, a modelos estruturais. No entanto, em algumas variações, como na técnica
da fotoelasticimetria por reflexão, o estudo pode ser feito na estrutura real, tornando-a de grande
importância.
Em função da sua importância, desenvolveremos a seguir, particularmente, a técnica da
Extensometria Elétrica por STRAIN-GAGES, atendendo às aplicações de medida de estados de
tensões em pontos isolados e a técnica da Fotoelasticimetria, atendendo às aplicações de
estudo do campo de tensões estabelecido em estruturas carregadas.
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
3
PARTE II: EXTENSOMETRIA ELÉTRICA
1. Generalidades[1]
A extensometria elétrica por STRAIN-GAGES utiliza como elemento sensível um fio
resistivo que transforma uma variação de comprimento em variação de resistência elétrica.
Nos primeiros gages utilizados no início deste século o elemento resistente era
constituído por um depósito de carbono coloidal sobre um suporte isolante. Notou-se
rapidamente que os fatores secundários, temperatura e umidade exerciam uma influência
considerável sobre as indicações do gage.
Estes problemas levaram à concepção de gages constituídos por fio, onde, em sua
forma mais simples, é composto por um fio muito fino (10 a 30 µm de diâmetro) em liga Ni-Cr ou
Cu-Ni. O fio, depois de dobrado, é colocado sobre um suporte isolante, em geral uma folha fina
de papel (fig. 01).
Fig. 01 – O extensômetro de resistência elétrica.[3]
No final da 2ª Guerra Mundial, registraram-se progressos consideráveis nas técnicas da
extensometria elétrica: os gages a fio foram substituidos por gages de tramos peliculares, tipo
“lâmina” ou “folha”, sobre suportes em resina epoxi (20 a 80 µm de espessura) e, posteriormente,
tratados por fotogravura (fig. 02).
Fig. 02 – Detalhes do extensômetro de resistência elétrica.[3]
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4
S
dS
l
dld
R
dR
−+=
ρ
ρ
�
�
�
�
�
�
+⋅=⋅=
l
dl
S
dS
c
v
dv
c
d
ρ
ρ
Citamos abaixo algumas vantagens do caso dos extensômetros de lâmina:
- a precisão da grelha obtida por fotogravura é da ordem de microns;
- o suporte epóxi, mais sólido que o papel, pode ser muito fino, transmitindo assim mais
fielmente as deformações ao elemento sensível;
- sendo de constituição plana possibilitam melhor dissipação térmica;
- o procedimento de fabricação permite reduzir a dispersão de características geométricas
num mesmo lote;
- o efeito transversal é muito menor que os gages a fio;
- a técnica da fotogravura permite a obtenção de geometrias variadas com grandes reduções
de dimensões.
Desta forma, os gages de lâmina ou de folha são, no dias de hoje, os mais utilizados.
2. Princício de Medidas
2.1. O Strain-Gage:[1]
Consideremos um gage tipo lâmina, colado sobre um certo ponto da superfície de uma
peça. Um sistema de eixos xyz é ligado a peça, onde o eixo x é paralelo aos fios do gage (fig.
03).
Fig. 03 – Detalhe de um fio de um gage tipo lâmina.[3]
A resistência elétrica do fio é R =ρ. l / S , onde ρ é a resistividade do metal do gage, l e S
são, respectivamente, o comprimento e a área da secção transversal dos tramos do gage.
Tomando-se a variação daresistência elétrica do fio (derivada logarítmica), temos:
 (1)
A Lei de Bridgman estabelece que a variação da resistividade é proporcional à variação
de volume do gage:
 (2)
onde c é uma constante que depende do material.
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5
S
dS
c
l
dl
c
R
dR
⋅−+⋅+= )1()1(
l
dl
onde
S
dS
S
dS
então
S
dS
como
x
y
yxy
zy
yxz
=
⋅�
�
�
�
�
�
−
−⋅�
�
�
�
�
�
−
−
=
+⋅
−
−=
+=
+⋅
−
−=
ε
ε
ν
ν
ε
ν
ν
εε
ν
ν
ε
εε
εε
ν
ν
ε
x11
21
)(
1
,
)(
1
( ) yx ccR
dR
ε
ν
ν
ε
ν
ν
ν
ν
⋅�
�
	
�
�
−⋅�
�
�
�
�
�
−
−
+⋅�
�
	
�
�
−
+�
�
�
�
�
�
−
−
⋅= 1
1
21
11
21
yx KKR
dR
εε ⋅+⋅= 21
0
0
=⋅�
�
�
�
�
�
=⋅�
�
�
�
�
�
=
yx
xy
para
R
dR
para
R
dR
L
εε
εε
Substituindo (2) em (1) resulta:
 (3)
Em se tratando de um caso típico de estado plano de tensões (σz=0), podemos escrever:
 (4)
 (5)
Substituindo (4) e (5) em (3), resulta:
(6)
que é uma expressão do tipo:
 (7)
onde K1 e K2 dependem de uma série de fatores, em particular da natureza do material do gage
e da temperatura de serviço.
Deve-se observar que a lei de Brigdman, como foi enunciada anteriormente, não leva em
consideração a anisotropia do metal dos gages, conseqüência de sua fabricação (trefilação ou
fotogravura). É provavél que a descrição exata dos fenômenos exige substituir simples
constantes c ou ν por outras grandezas mais complexas (tensoriais).
A constante K1 é o fator do gage e a constante K2 caracteriza sua sensibilidade à
deformação transversal. Em geral K2 é desprezado perante K1.
O efeito da deformação transversal sobre a longitudinal é dada pelo fabricante do gage
através do seguinte coeficiente:
 (8)
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6
xKR
dR
ε⋅=
Como o fabricante do gage procura no seu projeto o menor efeito possível da
deformação transversal sobre a longitudinal (o quociente da expressão anterior não passa de
alguns por cento), em primeira aproximação podemos escrever a seguinte expressão:
 (9)
onde K1 = K e K2 = 0 na expressão (7).
Deve-se observar a natureza estatística do fator do gage K devido a sua dependência
com inúmeros fatores, tais como material, temperatura técnicas de fabricação.
Observação: Em tudo que foi escrito, supõe-se que a deformação εx medida pelo gage, seja igual
ao do material sobre a qual ele é colado. Apesar de que seja difícil compreender que a
transmissão integral da deformação se dê através do material de suporte do gage (resina epóxi),
devemos notar que a transmissão é de deformações não de tensões. Isto se deve ao
comportamento elástico do material de suporte (caso seja viscoelástica a transmissao de
deformações, ainda esta se dá integralmente, ou com alguns desvios que não chegam a
comprometer a medida) (fig. 04).
Fig. 04 – Transmissão da deformação da estrutura para o gage.[3]
2.2 Método de Medida:[1]
Como sabemos, a medida da deformação εx, paralelamente aos fios do gage, se reduz à
avaliação da variação relativa de sua resistência elétrica:
xKR
dR
ε⋅=
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
7
Com base nesta informação, podemos dispor de dois princípios de medidas que
passamos a abordar: o método potenciométrico e o método em ponte.
2.2.1. Método Potenciométrico:
Se o gage é inserido numa montagem potenciométrica do tipo da figura 05, a tensão U
nos terminais do elemento sensível é:
Fig. 05 – Montagem potenciométrica.[3]
como : e sabendo que o sinal é máximo para
R=R’, então e, portanto:
A medida da diferença de potencial dU nos permite, então, calcular a deformação.
Esta montagem, apesar de ser simples e muito usada nas medidas dinâmicas, apresenta
um grande inconveniente: a estabilização da tensão E de alimentação deve ser extremamente
cuidadosa.
Por exemplo, uma tensão de 10 MPa (aproximadamente 1kgf/mm2) no aço (E =
200GPa), se traduz pela seguinte deformação:
Para um fator de gage de K = 2, a variação de tensão correspondente será:
 mas se E = 4V, então dU = 100µV
Estabilizar uma tensão desta ordem é impraticável.
b.) Montagem em Ponte de Wheatstone:
A figura 06 indica uma ponte de Wheatstone, onde i, j e k são as correntes nas suas 3
malhas (os respectivos sentidos estão indicados na própria figura) e G é um galvanômetro.
2'
'
2'
'
)()( RR
RR
R
dRE
RR
dRREdU
+
⋅
⋅⋅=
+
⋅
⋅=
R
dREdU ⋅⋅=
4
1
xKEdU ε⋅⋅⋅= 4
1
6
9
6
1050
10200
1010
−×=
×
×
=ε
61025
4
−×=⋅= x
K
E
dU
ε
U
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
8
Fig. 06 – Ponte de Wheatstone.[3]
O galvanômetro G, tendo uma impedância muito alta comparada à resistência
equivalente da ponte, permite escrever k<<<i e k<<<j. Então:
4321 RR
Eje
RR
Ei
+
=
+
= mas como U = VA-VB = R1i – R4j , temos:
A ponte está equilibrada quando U = 0 ou R1.R3 = R2.R4.
Se as resistências Ri da fonte variam de dRi para i = 1, 2, 3 e 4, então:
�
�
	
�
�
+
⋅−⋅
+
+
⋅−⋅
⋅= 2
43
4334
2
21
2112
)()( RR
dRRdRR
RR
dRRdRREdU ou
�
�
	
�
�
��
�
�
��
�
�
−⋅
+
⋅
+��
�
�
��
�
�
−⋅
+
⋅
⋅=
4
4
3
3
2
43
43
2
2
1
1
2
21
21
)()( R
dR
R
dR
RR
RR
R
dR
R
dR
RR
RREdU (10)
como: R1.R3 = R2.R4 ou 
43
21
3
2
4
1
RR
RR
R
R
R
R
+
+
==
ou ainda: 
43
3
21
2
43
4
21
1
RR
R
RR
R
e
RR
R
RR
R
+
=
++
=
+
)()(
)(
4321
4231
RRRR
RRRRU
+⋅+
⋅−⋅
=
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9
obtém-se pelo produto destas expressões: 2
43
43
2
21
21
)()( RR
RR
RR
RR
+
⋅
=
+
⋅
 (11)
substituindo-se (11) em (10) resulta:
�
�
	
�
�
−−−⋅
+
⋅
⋅=
4
4
3
3
2
2
1
1
2
21
21
)( R
dR
R
dR
R
dR
R
dR
RR
RREdU (12)
se R1= R2= R3= R4, então:
�
�
	
�
�
−−−⋅=
4
4
3
3
2
2
1
1
4 R
dR
R
dR
R
dR
R
dREdU
 (13)
Se somente uma das resistências varia, a tensão de desequilíbrio é então proporcional à
variação relativa desta resistência.
Cada um dos braços da ponte é afetado de um sinal (positivo ou negativo) que permite
efetuar medidas aditivas (em 2 braços opostos) ou dedutivas (em 2 braços adjacentes), como
indica a figura 06.
2.3. Análise de Medidas:[1]
2.3.1. Solicitação Simples:
Este é o caso de aplicação de gage simples (figura 07) onde, medida a deformação εx
na direção x, basta aplicar a lei de Hooke na sua forma mais simples ( xx E εσ ⋅= ) para o
cálculo da tensão xσ .
Fig. 07-01 – Detalhe do gage sob deformação.[3,6]
 Comprimento Ativo
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
10
Exemplos de strain gages para solicitação simples:
Fig. 07-02 – Exemplos de gage HBM série Y.[5]
 Apostilade Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
11
Fig. 07-03 – Exemplos de gage HBM série G.[5]
2.3.2. Solicitação Dupla:
Este é o caso de aplicação de rosetas como se ilustra na figura 08.
A análise do estado de deformação num ponto de uma estrutura solicitada de forma
dupla requer a avaliação de deformações lineares e de deformações angulares (distorções),
respectivamente xyyx e γεε , . Como os extensômetros captam somente deformações
lineares e na direção do seu comprimento ativo, necessitamos de um conjunto destes para
caracterizar o estado de deformação em torno de um ponto. Tais conjuntos são chamados de
rosetas, que utilizam, de um modo geral, 3 extensômetros dispostos a 45º (roseta retangular) ou
a 120º (roseta delta).
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
12
Exemplos de strain gages para solicitação dupla:
Fig. 08 – Exemplos de rosetas.[3,5]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
13
2.3.2.1. Caso geral:
Fig. 09 – Roseta genérica.[3]
�
�
�
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
c
xy
cycxc
b
xy
bybxb
a
xy
ayaxa
θ
γ
θεθεε
θ
γ
θεθεε
θ
γ
θεθεε
2sen
2
sencos
2sen
2
sencos
2sen
2
sencos
22
22
22
 (14)
Conhecidos os ângulos aθ , bθ e cθ (função da montagem da roseta) e medidas as
deformações aε , bε e cε , através da equação (14) calculamos: xε , yε e xyγ . Com estes
valores determinamos as deformações principais e respectivas direções:
( ) 
�
�
�
−
=
�
�
�
�
	
�
�
−
=
�
�
�
�
	
�
�
−
=
�
�
�
�
�
�
�
�
+�
�
�
�
�
�
�
� −
±
+
=
yx
xy
xy
x
xy
x
xyyxyx
tg
ouarctg
arctg
εε
γ
θ
γ
εεθ
γ
εεθ
γεεεε
ε
2
2
2
222
2
2
1
1
22
2,1
 (15)
Com os valores de 1ε e 2ε , calculamos as tensões 1σ e 2σ , através da lei de Hooke
generalizada:
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14
( )
( )
�
�
�
⋅+⋅
−
=
⋅+⋅
−
=
1222
2121
1
1
ενε
ν
σ
ενε
ν
σ
E
E
 (16)
2.3.2.2. Roseta retangular:
Fig. 10 – Roseta retangular ou 45º.[3]
2.3.2.2.1. Solução analítica:
Substituindo 0=aθ , º45=bθ e º90=cθ na expressão (14), resulta:
ax εε = ; by εε = ; cabxy εεεγ −−⋅= 2
que substituídos na expressão (15), resulta:
( ) ( )222,1 22 cabca
ca εεεεε
εε
ε −−⋅+−±+= (17)
ca
cabtg
εε
εεεθ
−
−−⋅
=
22 (18)
tal que 
�
�
�
<<−<−−⋅
<<>−−⋅
º0º9002
º90º002
1
1
θεεε
θεεε
entãose
entãose
cab
cab
�
�
�
�
�
	
�
�
−−⋅
−⋅
=
�
�
	
�
�
−−⋅
−⋅
=
cab
a
cab
a
arctge
arctgou
εεε
εεθ
εεε
εεθ
2
)(2
2
)(2
2
2
1
1
 (18-a)
não necessitando interpretar os sinais.
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15
Substituindo a expressão (17) na (16), resulta:
�
�
	
�
�
−−⋅+−⋅��
�
�
��
�
�
+
±�
�
�
�
�
� +
⋅=
22
2,1 )2()(1
1
22 cabca
caE εεεεε
γ
εε
σ
 (19)
2.3.2.2.2. Solução Gráfica (Círculo de Mohr):
As expressões (17) e (18) pode ser escritas da seguinte forma:
( ) ( )
�
�
�
−
−
=
−+−=−−⋅+−⋅=
+
=
±=
A
A
tg
AAB
eA
ondeBA
a
b
bacabca
yx
ε
εθ
εεεεεεε
εε
ε
2
)2()(
2
1
2
2222
2,1
 (20)
Fig. 11 – Círculo de Mohr das deformações
A: posiciona o centro do círculo C.
B: é o raio do círculo.
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16
Procedimento para se traçar o círculo de Mohr:
- traçar 3 retas paralelas verticais, distantes aε , bε e cε de uma origem ‘O’ arbitraria num eixo
horizontal x;
- marcar um ponto sobre a vertical de aε , a um distância arbitrária, acima do eixo x;
- marcar a mesma distância sobre a vertical de cε abaixo do eixo x obtendo um ponto;
- unir, através de uma reta, os dois pontos, que cortará o eixo x no ponto C, centro do círculo
de Mohr. A distância A está estabelecida;
- obter da própria figura os valores de Aa −ε e Ab −ε e desenhar o triângulo retângulo da
figura abaixo para obter o raio do círculo de Mohr B (de acordo com as expressões (20));
- dados, então, a origem do sistema, A e B construir o círculo de Mohr;
- como podemos ter 2 soluções para os valores de aε , bε e cε , positivos ou negativos,
devemos pesquisar o sinal de �
�
��
�
�
2
γ
 através do sinal de ( )Ab −ε :
Se ( ) 0>− Abε , o ponto ‘a’ está abaixo do eixo dos ε e o pólo fica determinado. Caso
contrário o ponto ‘a’ está acima do eixo dos ε.
Fig. 12 – Círculo de Mohr das deformações.
B Ab −ε
Aa −ε
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
17
2.3.2.3. Roseta Delta:
Fig. 13 – Roseta delta ou 120º.[3]
2.3.2.3.1. Solução Analítica:
Substituindo os valores de º0=aθ , º120=bθ e º240=cθ nas expressões (14) resulta,
após a solução do sistema de equações as seguintes expressões:
( )[ ]
( )bcxy
acby
ax
εεγ
εεεε
εε
−⋅=
−+⋅⋅=
=
3
2
2
3
1
que substituídas nas expressões (15) resulta:
( ) ( ) ( )2222,1 3
2
3 accbba
cba εεεεεε
εεε
ε −+−+−⋅±
++
= (21)
 (22)
tal que:
- se 0>− bc εε então 0º< 1θ <90º
- se 0<− bc εε então –90º< 1θ <0º
ou
( )
( )cba
bctg
εεε
εεθ
+−⋅
−⋅
=
2
32
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
18
( )
( )
�
�
�
	
�
�
−
−⋅
=
�
�
�
	
�
�
−
−⋅
=
bc
a
bc
a
arctg
arctg
εε
εεθ
εε
εεθ
2
2
1
1
3
3
não necessitando interpretar os sinais.
Substituindo a expressão (21) nas expressões (16) resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
222
2,1 13
2
13 accbba
cbaE εεεεεε
νν
εεε
σ −+−+−⋅
+⋅
±�
�
	
�
�
−⋅
++
⋅=
 (23)
2.3.2.3.2. Solução gráfica (Círculo de Mohr):
As expressões (21) e (22) pode ser escritas a seguinte forma:
( )
( ) ( ) ( )
�
�
�
��
�
�
��
�
�
−
−
⋅=
−+−+−⋅=
++⋅=
±=
A
tg
B
A
BA
a
bc
accbba
cba
ε
εεθ
εεεεεε
εεε
ε
3
22
3
2
3
1
222
2,1
 (24)
A: posiciona o centro do círculo;
B: é o raio do círculo.
Procedimento para se traçar o Círculo de Mohr:
- traçar 3 retas paralelas e verticais distantes de aε , bε e cε de uma origem ‘O’ abritrária,
num eixo horizontal x;
- dispor a roseta de um modo que a direção do extensômetro b seja vertical;
- marcar um ponto arbitrário sobre a vertical por bε . Esteponto será o Pólo do círculo de
Mohr;
- pelo Pólo traçar retas paralelas às direções dos extensômetros ‘a’ e ‘c’ que interceptam as
verticais por aε e cε nos pontos A e C;
- os três pontos A, Pólo e C determinam o círculo de Mohr.
NOTA: este procedimento é absolutamente geral e portanto aplicável a qualquer tipo de roseta,
desde que um dos gages esteja na vertical.
ac
b
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
19
3. Tecnologia dos Extensômetros
3.1. Materiais Empregados:[2]
Como verificamos anteriormente, o princípio de medidas com extensômetros elétricos, se
reduz à utilização da expressão:
xKR
dR
ε⋅=
onde K é o fator do gage que depende de inúmeros fatores, entre outros o material.
Poder-se-ia imaginar que vários materiais se prestariam à fabricação dos extensômetros,
mas uma série de considerações de compromisso devem ser atendidas restringindo, assim, a
escolha:
- o sinal deve ser, se possível, uma função linear da deformação;
- não deve ocorrer o fenômeno da histerese;
- a curva deve ser a mesma, tanto para cargas crescentes como para decrescentes;
- o material deve ter ainda:
• alta resistividade (ρ);
• alto limite de escoamento;
• baixa sensibilidade às variações com a temperatura;
• boa resistência à corrosão;
• boa soldabilidade.
A tabela I e a figura 14 e a tabela 01 ilustram alguma destas considerações:
Tabela I – Exemplos de materiais de extensômetros:[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
20
Fig. 14 – Curvas de resposta à deformação de alguns materiais metálicos.[3]
Poder-se-ia escolher, para aplicação em extensômetria, três tipos de materiais (fig.15) conforme
a resposta às deformações:
Fig. 15 – Tipos recomendados para sinais de extensômetros.[]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
21
onde:
- os tipos ‘a’ e ‘c’ são recomendados para pequenas deformações;
- o tipo ‘b’ é recomendado tanto para pequenas como para grandes deformações.
O Constantan (ADVANCE) tem uma curva do tipo ‘b’ e é uma das ligas mais usadas na
construção dos extensômetros.
Apresenta-se a seguir algumas características das ligas de maior uso:
a.) ligas Cu-Ni (55-45) – Constantan, Advance
- ensaios estáticos e dinânicos;
- temperatura até 200ºC;
- quando recozida é utilizada para grandes deformações ( %20≅ε ).
b.) ligas Ni-Cr (80-20) – Nichrome V, Tophet A, Alby 200
- uso para ensaios a altas temperaturas;
- ensaios estáticos até 600ºC;
- ensaios dinâmicos até 980ºC;
c.) ligas Ni-Fe-Mo – Isoelastic, Elinvar, Dynaloy
- 36% Ni, 8% Cr, 0,5% Mo e 55,5% Fe;
- usado para ensaios dinâmicos;
- é influenciada pela temperatura;
- possui grande fator de sensibilidade (3,5);
- usado para ε de até 0,75%.
d.) ligas Ni-Cr-adições – Karma, Evanohm, Stabiloy
- 75% Ni, 20% Cr, Al, Fe, ...;
- é estável quanto a temperaturas;
- para ensaios dinâmicos até 800ºC;
- usado para ε de até 1%.
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
22
4. Características Construtivas[1,2]
4.1. Extensômetro elétrico de fio (wire):
Os gages de fio contém de 50 a 150mm de fio de diâmetro da ordem de 25µm, enrolados
em espiras chatas contidas em um plano ou em bobina em dois planos (fig. 16a/b). A sua
resistência interna é tomada como padrão nas medidas de 120Ω ou 350Ω.
Fig. 16 – Exemplos de extensômetros elétricos de fio.[1,7]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
23
4.2. Extensômetro elétrico de folha (foil):
Os extensômetros de folha são semelhantes ao de fio, residindo a diferença básica no
processo de fabricação onde se utiliza uma lâmina muito fina (3 a 10µm) obtida por corrosão em
ácido num processo de máscara fotosensitiva como nos circuitos impressos (fig. 17).
Fig. 17-a - Exemplos de extensômetros elétricos de folha.[3,5,7]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
24
Fig.17-b – Exemplos de outros tipos extensômetros elétricos de folha.[7]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
25
Como comentou-se no capítulo I, os extensômetros de folha são os mais utilizados em
relação aos de fio devido a inúmeros fatores que reproduzimos a seguir:
- apresentam menor sensibilidade transversal;
- apresentam grande área de dissipação de calor;
- apresentam maior precisão nas dimensões, no fator do extensômetro (resistência nominal);
- apresentam uma grande área de colagem.
Como desvantagem principal temos o seu preço que é superior ao de fio.
4.3. Extensômetro de semicondutor:[1,4]
Consiste num filamento de cristal de silício de pequenas dimensões montado em
suportes epóxicos ou fenólicos (fig.18).
Possuem como características importantes:
- grande capacidade de variação da resistência em função da deformação;
- elevados fatores de gage (aproximadamente ± 150).
A variação da resistência é dada por fenômeno piezo-resistivo, enquanto que nos
extensômetros metálicos, é dada pela variação de suas dimensões.
Um dos inconvenientes dos extensômetros semicondutores é que o fator do gage varia
com a deformação numa forma não linear, dificultando a interpretação das leituras, exigindo a
utilização de dispositivos ou circuitos linearizadores desses efeitos.
Fig. 18 – Tipos de extensômetro de semicondutor.[7]
Apesar de que os extensômetros semicondutores sejam importantes devido a algumas
de suas características, inegavelmente os extensômetros metálicos são os mais utilizados.
Como os tamanhos e as aplicações são as mais variadas, recomenda-se que se
consulte manuais de fabricantes para uma boa escolha (Micro-Measurements, Kyowa, BLH,
etc...).
As figuras que se seguem mostram diferentes aplicações dentro da linha da MM (Micro-
Measurements).
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
26
Fig. 19 - Gages Simples.[3]
Fig. 20 - Roseta de 2 gages.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
27
Fig.21 - Roseta de 3 gages.[3]
Fig. 22 - Rosetas de 4 gages.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
28
Fig. 23 - Rosetas Superpostas (2 e 3 gages) .[3]
Fig. 24 - Gages longos.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
29
Fig. 25 - Gages sem suporte.[3]
Fig. 26 - Gages para tensão residual.[3]
Fig. 27 - Gages para gradiente de tensões.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
30
Fig. 28 - Gages para concentração de tensões.[3]
4.4. Material de suporte:
Como sabemos os extensômetros elétricos são constituídos de um material condutor
fixado a um material de suporte isolante que se escolhe em função da temperatura de serviço:
- para T < 80ºC: papel impregnado com nitrocelulose; uso típico à temperatura ambiente;
papel fino ou grosso; baixa resistência à umidade;
- para T < 120ºC: suporte em epóxi; melhor resistência à umidade;
- para T < 175ºC estático e T < 205ºC curta duração: suporte em poliester ou poliimida;
- para T < 180ºC estático e T < 250ºC curta duração: suporte em baquelite;
- para T < 205ºC: suporte em epóxi com reforço em fibra de vidro;
- para temperaturas mais elevadas utilizam-se gages sem suportes aplicados com material
cerâmico, como o óxido de alumínio; T < 370ºC estático e T < 760ºC curta duração.
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
31
5. Efeito térmico secundário
Quando se aquece uma peça, sobre a qual um gage é colado (fig. 29), este registrará
uma variação de sua resistênciaR, devido ao aumento de sua temperatura e da diferença de
alongamento da peça e do seu alongamento próprio.
Fig. 29 – Efeito Térmico sobre o gage.[]
Este efeito é expresso por:
( ) TTK
R
R
SGpeça
T
∆⋅+∆⋅⋅−=�
�
�
�
�
� ∆
∆
γαα (25)
onde:
peçaα : coeficiente de dilatação linear do material da peça.
SGα : coeficiente de dilatação linear do material do SG.
K : fator do gage
γ : coeficiente térmico de variação da resistividade do material do gage.
Compreende-se que este efeito deve ser eleminado para que se possa medir somente o
efeito do carregamento sobre a estrutura.
Para que ( )
TR
R
∆
∆
 seja nulo, deve ocorrer a seguinte relação de dependência a partir
da expressão (25):
 
( ) KSGpeça ⋅−−= ααγ (26)
A tabela II abaixo dá os valores de ρ, K, α, γ em função dos diferentes materiais usados
para os gages.
Tabela II: Propriedades físicas dos materiais para extensômetros.
Material ρ20ºC (µΩcm) γ.10-6 a 20ºC K α.10-6 a 20ºC
ADVANCE 49 10 2,1 16
NICHROME 103 100 2,1 13
ISOELASTIC 80 500 3,6 7,2
KARMA 134 20 2,0 13,5
PLATINA 25 1300 5,1 8,7
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
32
Um elemento que verifica a expressão (26) é chamado de autocompensado
relativamente a variação térmica.
Na realidade isto pode ocorrer em determinadas faixas de temperaturas para diferentes
materiais como se indica na figura 30 abaixo.
Fig. 30 – Strain Gages autocompensados.[3]
6. A escolha de um extensômetro[5,6,7]
A multiplicidade de tipos, formas e materiais empregados para os extensômetros fazem
com que ocorram critérios de escolha, para determinadas aplicações, baseadas em alguns
fatores:
6.1. Alongamento:
O alongamento máximo suportado pelos extensômetros clássicos (material Constantan e
suporte epóxi) varia de 0,5% a 4% dependendo do tipo de colagem. Cada fabricante indica as
diferentes técnicas de colagem para os gages de sua fabricação e fornece igualmente os
produtos necessários para esta operação.
Alguns gages, conhecidos como “gages de grande alongamento” (liga de Constantan
especialmente tratada) em geral não sao autocompensados, e permitem medidas de
deformações de até 15%.
Outros gages, utilizados para medidas dinâmicas, fabricados em material Isoelastic
(Enlivar), oferecem uma grande resistência à fadiga com alguma possibilidade de
autocompensação. Os fatores K destes gages são em geral mais elevados que o dos gages
comuns (3,2 no lugar de 2,1).
6.2. Forma Geométrica:
É o caso dos gages simples, das rosetas e dos gages especiais, abordados no capítulo 3
e ilustrados através das figuras 19 a 28.
6.3. Tamanho do Gage:
A escolha da dimensão de um gage depende do gradiente de tensões no ponto onde ele
está colado, ou das freqüências de trabalho nas medidas dinâmicas.
O comprimento ativo dos gages comuns varia de 2 a 13 mm, sendo que fora os casos
especiais (células de carga, gages colados em materiais heterogêneos, etc...) podem chegar até
40mm. Em outros casos utilizam-se gages extremamente pequenos (0,2mm).
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
33
6.4. Temperatura de Funcionamento:
0 à 80ºC : material Constantan e suporte em epóxi
80 à 200ºC : material Constantan e suporte em epóxi reforçado com vidro
200 à 300ºC : material Ni-Cr e suporte em epóxi reforçado com vidro
T > 300ºC : material Ni-Cr e suporte cerâmico
0 à 80ºC : material Constantan e suporte epóxi
T < -80ºC : material Ni-Cr e suporte epóxi
6.5. Compensação de Temperaturas:
O gage escolhido deve ser autocompensado para o material da estrutura e para o
domínio de temperaturas de trabalho. Se a escolha não é possível, procura-se uma ligação mais
adequada (ver capítulo 8) ou uma correção das medidas obtidas (ver catálogos de fabricantes).
7. Técnica de Instalação dos Gages[1,2]
Para se obter resultados de deformação com os extensômetros elétricos, é indispensável
que se proceda uma boa colagem com técnicas e materiais desenvolvidos na área e difundidos
pelos diversos fabricantes.
A escolha do adesivo é de grande importância e deve ser norteada pelo bom
desempenho à temperatura, à fluência e que seja fácil de aplicação. Podemos citar 3 tipos de
adesivos:
7.1. Adesivos a base de cianocrilato: cura à temperatura ambiente; fáceis de usar; tempos de
colagem de alguns minutos; não necessitam de pressão de colagem.
7.2. Adesivos a base de nitro-celulose: uso à temperaturas próximas da ambiente; secagem
relativamente rápida; necessitam de alta pressão entre o gage e a peça devido a evaporação do
solvente.
7.3. Adesivos a base de poliester, acrílico e epóxi: usados normalmente com um catalizador;
aplicados com alta pressão entre o gage e a peça; tempos de cura variam com o tipo de produto,
podendo ser lentos (12horas) ou praticamente instantâneos (acrílicos).
A preparação da superfície para a posterior colagem do extensômetro deve seguir as
rotinas de uma perfeita limpeza com detergentes e solventes como o tricloroetileno, a benzina, a
acetona, o álcool, o acetato de amila e outros. Evidentemente que a remoção dos óxidos e da
tinta da superfície deve ser assegurada através de lixas.
Finalmente deve ser feita a impermeabilização do gage para que se garanta a vida da
instalação. Para tal utilizam-se ceras, graxas ou borrachas de silicone.
8. Instrumentação[1]
Como vimos no item 2.2., dois métodos de medidas extensométricas são usados:
-por montagem potenciométrica;
-por montagem em ponte de Wheatstone.
Apresentaremos a seguir as ligações em ponte de Wheatstone por tratarmos, por
enquanto, de medidas estáticas.
8.1. Ligações:
As ligações em ponte de Wheatstone são feitas substituindo seus braços pelos gages,
chamados ativos, através dos quais queremos efetuar as medidas. Conforme o número de
braços ocupados, teremos ligações ou montagem de ¼ de ponte, ½ ponte ou ponte completa.
Estando os 4 braços da ponte ocupados, a expressão que traduz a variação da tensão
com a variação da resistência dos gages é a expressão (13), reproduzida abaixo pelo (26). A
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
34
expressão (27) é a mesma, mas escrita em termos de deformações, e a figura 31 é o esquema
da ponte de Wheatstone.
�
�
	
�
�
−+−⋅=
4
4
3
3
2
2
1
1
4 R
dR
R
dR
R
dR
R
dREdU (26)
[ ]43214 εεεε −+−⋅
⋅
=
KEdU (27)
Fig. 31 – Ponte de Wheatstone.[3]
8.1.1. Montagem ¼ de ponte (1gage):
Esta é a montagem mais simples, podendo ser efetuada em 2 ou 3 fios.
8.1.1.1. Montagem em 2 fios:
Nesta montagem, esquematizada na figura 32, pode-se reconhecer a diagonal de
alimentação CD, a diagonal de medidas AB e o gage ativo colocado no braço AC.
O inconveniente desta montagem é que o braço AC considera, além do gage R, os fios
de ligação EB1 e FB2. Mesmo que o gage seja autocompensado, efeitos térmicos parasitas agem
sobre os fios, além do que se os fios forem longos a resistência do braço AC pode se afastar
muito da resistência R do gage, mascarando em ambos os casos os resultados medidos.
Para este caso as expressões (26) e (27) reduzem-se em:
 
1
1
4 R
dREdU ⋅= e (28)
 ε⋅
⋅
=
4
KEdU
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
35
Fig. 32 – Ligação ¼ de ponte– 2 fios.[3]
Para que se possa observar a sensibilidade desta montagem quanto a temperaturas,
tomemos o seguinte exemplo:
-RG = 120Ω
-K = 2,1
-30m de fio de cobre 26AWG ( Ω=⋅ 121 R em cada braço)
- 004,0=γ (coeficiente térmico de variação da resistividade do fio)
-para uma variação de temperatura CT º1=∆ , teríamos:
C
R
R
K
TRR
/º2,31)2120(
008,0
1,2
11
008,01004,02
µεε
γ
=
+
⋅=
∆
⋅=
Ω=⋅⋅=∆⋅⋅=∆
8.1.1.2. Montagem em 3 fios:
Os inconvenientes destacados na montagem em 2 fios podem ser eliminados por esta
montagem, esquematizada na figura 33, que conserva um fio EB1 no braço ativo da ponte e
coloca o segundo fio FB2 ligado no braço adjacente da mesma, anulando-se, desta forma, a
influência das resistências dos fios. As expressões (28) e (29) permanecem válidas.
Fig. 33 – Ligação ¼ de ponte – 3 fios.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
36
Nota: não obstante, os efeitos térmicos secundários devido aos fios, com ligação em 3 fios,
serem eliminados, um erro deve ser considerado na leitura devido à introdução, em série, com a
resistência do gage, da resistência dos fios. Para medidas precisas deve-se considerar a
seguinte correção:
 
��
�
�
��
�
�
+
∆
⋅=
∆
⋅=
rR
R
K
R
R
K
G
medido
G
real
1
1
ε
ε
 r é a resistência dos fios.
( )
( )
medido
G
G
real
G
G
medido
real
R
rR
R
rR
εε
ε
ε
⋅
+
=
+
=
 (30)
para o exemplo anterior onde Ω= 120GR e Ω= 2r teríamos:
medidoreal εε ⋅�
�
�
�
�
� +
=
120
2120
que corresponde a um erro de 1,66%, perfeitamente desprezado nas medições usuais.
8.1.2. Montagem em ½ ponte:
Esta montagem, esquematizada pela figura 34, utiliza gages ativos instalados em braços
adjacentes ou opostos da ponte, conforme se queria a diferença, ou a adição dos sinais,
respectivamente. Das expressões (26) e (27) podemos ter:
montagem em braços adjacentes 
( )
ou
KEdU
R
dR
R
dREdU r
�
�
�
−⋅
⋅
=
��
�
�
��
�
�
−⋅=
21
21
1
4
4
εε
 (31)
montagem em braços opostos 
( )
ou
KEdU
R
dR
R
dREdU
�
�
�
+⋅
⋅
=
��
�
�
��
�
�
+⋅=
31
3
3
1
1
4
4
εε
 (32)
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
37
Fig. 34 – Ligação ½ de ponte com dummy.[3]
Uma aplicação importante desta montagem é a compensação de temperaturas com um
gage compensador (DUMMY GAGE), quando não dispomos de gages autocompensadores de
temperaturas. A montagem é feita em braços adjacentes com o gage ativo colocado na estrutura
que se quer medir as deformações, e o DUMMY colado num pedaço do mesmo material da
estrutura em estudo, isento de cargas, mas sofrendo as mesmas variações de temperatura
daquela. A compensação é feita da seguinte forma:
R
dRE
R
dRT
R
dRTdREdU ⋅=��
	
�
�
−
+
⋅=
44
Exemplos de aplicação:
1) Flexão Normal:
ε⋅
⋅
⋅=
4
2 KEdU (sinal dobrado)
( )νε +⋅⋅⋅= 1
4
KEdU (sinal multiplicado por ν+1 )
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
38
2) Tração:
ε⋅
⋅
⋅=
4
2 KEdU
( )νε +⋅⋅⋅= 1
4
KEdU
3) Flexão Oblíqua:
- gages montados em braços adjacentes para obtermos os efeitos da flexão;
- gages montados em braços opostos para obtermos os efeitos da tração.
8.1.3. Montagem em ponte completa (4gages):
Esta é a montagem mais utilizada na realização de captores que se constitui por 4 gages
ativos substituindo os 4 braços da ponte (fig. 35). As diagonais de alimentação e de medidas são
respectivamente FR e HI. As expressões (26) e (27) são diretamente aplicadas nesta montagem.
Fig. 35 – Ligação em ponte completa.[3]
Como exemplos de aplicação podemos ter montagens que quadriplicam ou que
multiplicam por ( )ν+⋅ 12 o sinal:
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
39
Flexão Normal
ε⋅
⋅
⋅=
4
4 KEdU
( ) εν ⋅⋅⋅+⋅=
4
12 KEdU
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
40
Fig. 36 – Esquema de todas as ligações.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
41
Fig. 37 – Influência do comprimento dos cabos de ligação na medida.[3]
Tabela III: Aplicações para as células de carga.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
42
Tabela IV: Aplicações para as células de carga.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
43
PARTE III: FOTOELASTICIDADE[3]
1. Definições
- fotoelasticidade: é a ciência que estuda os efeitos físicos, sobre a luz, devidos à ação de
tensões ou deformações em corpos elásticos transparentes.
- fotoelasticimetria: é a técnica experimental que serve para medir as tensões por
fotoelasticidade.
No estudo da fotoelasticidade e fotoelasticimetria estão envolvidos diversos conceitos de
Física, tomados como pré-requisitos. Estes conceitos são: luz natural, luz monocromática, luz
polarizada, filtro polarizante e birrefringência.
2. Princípio
- birrefringência acidental: certos corpos transparentes e opticamente isotrópicos (vidro, araldite,
resinas, epóxi,...) quando solicitados externamente tornam-se birrefringentes. Os eixos de
birrefringência são os eixos principais de tensões ou deformações.
Fig. 01 – Birrefrigência acidental.[3]
Eixos (1) e (2) são os eixos de birrefringência.
( )211 1 σνσε ⋅−⋅= E ; ( )122
1
σνσε ⋅−⋅=
E
 (1)
onde: E é o módulo de elasticidade do material;
 ν é o coeficiente de Poisson do material.
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
44
↓
↓
 ↓
Fig. 02 – Birrefrigência acidental.[3]
2.1. Retardos Ópticos:
Seja uma vibração luminosa polarizada, atravessando uma lâmina birrefringente de
espessura ‘e’.
Esta vibração é decomposta em duas outras, segundo os eixo de birrefingência do
material. Como as respectivas velocidades de propagação são diferentes, ao emergirem da
lâmina, as vibrações apresentarão um retardo óptico S.
Lei de NEUMANN: ( )21 εε −⋅⋅= eKS (2)
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
45
Lei de MAXWELL: ( )21 σσ −⋅⋅= eCS (3)
onde K e C são constantes características do material.
A diferença das (1) nos dá:
( )
eK
E
⋅
⋅
+
=−
δ
ν
σσ
121
e substituindo as relações (2) e (3) resulta: 
ν
δ
ν
δ
+
⋅
=→
⋅
⋅
+
=
⋅ 11
ECK
eK
E
eC
2.2. Método de Medidas:
Os procedimentos fotoelasticimétricos consistem em colocar em evidência, por métodos
interferênciais, não o retardo óptico mas a diferença de fase ϕ entre as vibrações emergentes:
( ) ( )2121 222 εελpiσσλpiλ
δ
piϕ −⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= KeCe
onde λ é o comprimento de onda.
2.2.1. Modelos: constrói-se, em um material transparente, e dotado de fenômeno da
birrefringência acidental, um modelo da estrutura à estudar, que é observado em luz polarizada,
seja por transmissão, ou seja, por reflexão (esquema segundo a figura 04).
2.2.2. Revestimentos Fotoelásticos: recobre-se asuperfície da peça a estudar com uma camada
de material birrefringente, assegurando-se da perfeita colagem, de modo a poder se afirmar que
as deformações do revestimento são idênticas às deformações da estrutura. Observa-se, agora,
o material por reflexão. Neste caso t2=θ .
• Transmissão:
Fig. 03 – Fotoelasticidade por trasmissão.[3]
F: fonte
P: polarizador
A: arralisador
O: observador
M: modelo
R: revestimento fotoelástico
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
46
• Reflexão:
Fig. 04 – Fotoelasticidade por reflexão.[3]
3. Polarímetro
Fig. 05 – Esquema de um polarímetro.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
47
- seja )sen(00 taV ⋅⋅= ω a vibração polarizada, incidente no modelo;
- seja V1 e V2 as vibrações emergentes do modelo apresentando uma defasagem ϕ ;
( ) ( )2121 222 εελpiσσλpiλ
δ
piϕ −⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= KeCe
- seja V3 e V4 as componentes de V1 e V2 na saída do analisador.
Calculemos a intensidade luminosa transmitida pelo dispositivo:
�
�
�
�
�
�
−⋅⋅⋅=
�
�
�
�
�
�
+⋅⋅⋅=
2
sensen
2
sencos
02
01
ϕ
ωα
ϕ
ωα
taV
taV
As defasagens 
21
ϕϕ += e 
22
ϕϕ −= foram tomadas por conveniência, pois o resultado
da interferência das vibrações, à saída do analisador somente depende da defasagem relativa
( )2121 2 εελpiϕϕϕ −⋅
⋅
⋅⋅=−=
Ke
�
�
�
�
�
�
−⋅⋅⋅⋅=⋅=
�
�
�
�
�
�
+⋅⋅⋅⋅=⋅=
2
sencossencos
2
sencossensen
024
013
ϕ
ωααα
ϕ
ωααα
taVV
taVV
a vibração resultante será:
t
aV
tt
aV
VVV
⋅⋅�
�
	
�
�
⋅⋅=
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
−⋅−�
�
�
�
�
�
+⋅⋅⋅=
−=
ω
ϕ
α
ϕ
ω
ϕ
ωα
cos
2
sen2sen
2
2
sen
2
sen2sen
2
0
0
43
a intensidade luminosa à saída do analisador será:
2
sen2sen
2
22
2
0 ϕα ⋅⋅= aI
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
48
Podemos ter dois casos de extinção da luz:
a.) 2002sen
piααα ==→= ou :
No ponto considerado, as direções do polarizador e do analisador coincidem com as
direções principais. O lugar dos pontos, cujas direções principais são paralelas e perpendiculares
a uma direção fixa, é uma linha ou frange negra, chamada ISÓCLINE.
b.) ,...2,1,0202sen =⋅⋅=→= nn piϕ
ϕ
:
piλ
δ
piϕ ⋅⋅=⋅⋅= n22 λδ ⋅= n
O retardo óptico entre as duas vibrações é múltiplo inteiro do comprimento de onda
utilizado e ...3,2,1,0=n é chamado de ordem de interferência. Devido à relação (3) temos:
( )21 σσ −⋅⋅= CeS mas ( )21 σσλδ −⋅⋅=⋅= Cen
( )
Ce
fcomfn
⋅
=⋅=−
λ
σσ 21
Obteremos uma linha ou frange negra ou colorida (luz monocromática ou natural) que é
o lugar dos pontos cuja diferença de tensões principais é igual a um múltiplo inteiro de ‘f’. Tal
linha é chamada ISOCROMÀTICA.
 Fig. 06 – Ordem das franjes.[3] Fig. 07 – Retardos óticos.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
49
3.1. Luz Monocromática:
3.1.1. Isóclines: são sempre franges negras, pois elas dependem unicamente do ângulo α ;
3.1.2. Isocromáticas: são sempre franges negras, pois correspondem à extinção de um mesmo e
único comprimento de onda λ .
3.2. Luz Natural:
3.2.1. Isóclines: idem item 1.1;
3.2.2. Isocromáticas: as franges tem um aspecto colorido a menos da frange de ordem zero que
é negra. Em todos os pontos, onde o retardo óptico tem o mesmo valor ( cte=− 21 σσ ), iguais
cores serão transmitidas em idênticas proporções. Isto justifica o nome isocromática, linha de
mesma cor.
Obs.: quando se observar uma passagem rápida do vermelho para o azul, fenômeno este que se
dá pela extinção de uma das componentes da luz natural, o amarelo ( µλ 5650,00 = ), a ordem
da frange é um. A experiência comprova que para 022 λλ ⋅=→=n e a passagem
rápida, agora, é do vermelho para o verde. Este fenômeno vai se repetindo para ...,4,3=n ,
mas a passagem vai se tornando menos nítida, devido a interferência de diversas cores que vão
se compondo e aproximando-se de um branco, chamado de ordem superior.
Fig. 08 – Zonas de extinção da luz em função da birrefringência.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
50
3.3. Eliminação das Isóclines:
Quando uma placa fotoelástica, solicitada externamente, é observada em um
polarímetro, dois grupos de franges estão presentes: as isóclines e as isocromáticas. As
primeiras nos permitem determinar as direções principais em todos os pontos da placa, pois
como só dependem do ângulo entre o eixo de polarização e uma das tensões principais, elas se
deslocam para uma rotação solidária do polarizador e do analisador. As isocromáticas,
permanecendo inalteradas, por essa rotação, nos indicam a diferença das tensões principais em
todos os pontos da placa.
Uma vez determinada as direções principais, é necessário eliminar as isóclines para que
não prejudiquem a observação das isocromáticas. Isto é possível para uma rotação rápida do
conjunto solidário polarizador-analisador, se bem que não seja a técnica utilizada em
fotoelasticidade.
Emprego de lâmina quarto de onda: é uma lâmina em material birrefringente e de
espessura tal que provoca um retardo óptico de 4
λ
 entre as vibrações emergentes. Quando
colocada entre o polarizador e o modelo, com seus eixos a 45º em relação ao eixo do
polarizador, tem a propriedade de fazer girar o plano de polarização.
Como 
2
422 piϕλ
λ
piϕλ
δ
piϕ =→⋅⋅=→⋅⋅=
Nestas condições, se:
a.) polarizador e analisador cruzados:
22
2
2
0 ϕsenaI ⋅= piϕ ⋅⋅=∴ n2 (n = 0, 1, 2, 3, ...)
λδpiλ
δ
piϕ ⋅=→⋅⋅=⋅⋅= nn22
b.) polarizador e analisador paralelos:
2
cos
2
2
2
0 ϕ
⋅=
a
I
( ) piϕ ⋅+⋅=∴ 12 n (n = 0, 1, 2, 3, ...)
( ) λδpiλ
δ
piϕ ⋅�
�
�
�
�
� +⋅
=→⋅+⋅=⋅⋅=
2
12122 nn
Obs.: como a presença da lâmina quarto de onda modificou a birrefringência total, compensa-se
este efeito colocando entre o modelo e o analisador uma outra lâmina quarto de onda, orientada,
perpendicularmente à primeira. Resulta desta montagem os cálculos acima.
3.4. Compensadores:
Vimos que é possível se conhecer as isocromáticas de valores correspondentes a
...,3,2,1,0=n assim como a ...,
2
5
,
2
3
,
2
1
=n .
Uma questão se coloca: como medir a diferença das tensões principais ( )21 σσ − em
um ponto situado entre as duas isocromáticas?
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
51
3.4.1. Compensador COKER:
Fig. 09 – Compensador Coker.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
52
4.2.) Compensador BABINET:
Fig. 10 – Compensador Babinet.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
53
4.3.) Compensador BRAVAIS:
Fig. 11 – Compensador Bravais.[3]
3.5. Interpolação angular:
Partindo-se de uma posição fixa do conjunto polarizador e analisador cruzados, girarmos
somente o analizador, notaremos que as isocromáticas se deslocam de tal modo que, para uma
rotação de 180º do analisador, teremos o aspecto inicial das franges, de volta à nossa
observação.
Se o polarizador é colocado paralelamente a uma direção principal, no ponto observado
(isto se faz com o auxílio das isóclines) e assinalada esta posição como a inicial ( 0=β ) e se
em seguida girarmos o analisador até que a frange de ordem inferior atinja o ponto observado, o
valor do incremento ( )21 σσ −∆ será proporcional à esta rotação do analisador.
Exemplo: o ponto observado está entre as franges 25 mmkgf e 210 mmkgf.
Se º45=β então ( ) 221 25,6180
4515 mmkgf=�
�
�
�
�
�
+⋅=−σσ
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
54
4. Figuras Diversas
Fig. 12 – Banco Fotoelástico por transmissão.[3]
Fig. 13 – Polarímetro por reflexão.[3]
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Fig. 14 – Exemplo de uma análise fotoelástica.[3]
Fig. 15 – Exemplo de uma análise fotoelástica.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
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Fig. 16 – Exemplo de uma análise fotoelástica.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
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Fig. 17 – Exemplo de uma análise fotoelástica.[3]
Fig. 18 – Exemplo de uma análise fotoelástica.[3]
 Apostila de Experiências – Laboratório de Resistência dos Materiais
58
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. DALLY, JAMES W.; RILEY, WILLIAM F. Experimental Stress Analysis. McGraw-Hill Editora,
3ª edição, 1999, p.134-136, 136-140, 164-165, 165- 168, 214-233, 311-315, 169-173, 146-
173, 146-154, 173-179.
2. WINDOW, A. L. Strain Gauge Technology. Elsevier Applied Science Editora, 2ª edição,
1992, p.5-7, 10-17, 275-292, 39-62, 151-158.
3. AVRIL, JEAN Encyclpedie Vishay D´Analyse des Contraintes. Vishay-Micromesures, 1ª
edição, 1974, p169-256, 49-152.
4. HOLISTER, G. S. Experimental Stress Analysis – Principles and Method. Cambrige
Engineering Series, 1ª edição, 1967, p.86-88.
5. WIERINGA, H., Experimental Stress Analysis, Martinus Nijhoff Publishers, 1980
6. MILES, A. W.; TANNER, K.E., Strain Measurement Biomechanics, Capman & Hau, 1982
7. DURELLI, A. J., Applied Stress Analysis, Pretence-Hall, Inc, 1967
8. Strain, Strain British Society for Strain Measurements
9. Catálogo de extensômetro HBM.
10. Catálogo de extensômetro MM.
11. Catálogo de extensômetro KYOWA.
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