Calc das Prob e Estat I AULA 9 Distribuições Contínuas

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Distribuição de Probabilidade 
Contínua.
Unidade II - Aula 09
Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Professor: ELMIRO
2015-1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
Modelo probabilístico contínuo 
Variável Aleatória Contínua: características
 Assume valores num intervalo de números reais;
 Não se pode listar, individualmente, todos os possíveis
valores assumidos;
 Associamos probabilidades a intervalos de valores da
variável
Continuação...
Propriedades dos Modelos Contínuos
Uma V.A. X contínua é caracterizada por sua função
densidade de probabilidade f(x) (f.d.p) com as seguintes
propriedades:
 A área sob a curva de densidade é 1, isto é,
 f(x)  0, para todo x  (-∞,∞);
 P(a  X  b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do
eixo x, entre os pontos a e b;
 P(X = x0) = 0, para x0 fixo.
Assim:
P(a < X < b) = P(a  X < b) 
= P(a < X  b) = P(a  X  b)=
1dxf(x)
R
 dxf(x)
b
a

Média e Variância
Valor Esperado (Média): Seja X uma v.a.
contínua, o valor esperado ou esperança matemática de
X é dada por:
Notação: E(X)=
Variância: Seja X uma v.a. contínua, a variância de
X dado por: E(X – E(X))2, ou seja:
Notação: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2
Continuação...
Continuação...
Exemplo:
Foi determinado o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas
selecionadas ao acaso em uma população. Os dados obtidos
foram dispostos em uma distribuição de frequência com sete
classes e sua representação gráfica (histograma) esta representada
abaixo:
Continuação...
Da análise do histograma, observamos que:
 a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em
torno de 70kg;
 a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo
[55;85];
 existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg
(1,2%) e acima de 92kg (1%).
Vamos definir a seguinte variável aleatória X: peso, em
kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da
população(exemplo anterior).
Vem a pergunta:
Como se distribuem os valores da variável aleatória X,
isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ?
Continuação...
A curva contínua [f(x)] da figura acima denomina-se
Curva Normal.
Continuação...
A distribuição Normal é uma das mais importantes
distribuições de probabilidade contínuas tendo em vistas que:
 Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma
próxima a essa distribuição.
Exemplos:
1.altura;
2.pressão sanguínea;
3.peso.
 Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,
probabilidades para outras distribuições, como por
exemplo, para a distribuição Binomial:
Observação:
Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.
Vejamos o exemplo abaixo:
Considere a V.A. X definida como a duração, em horas, de
uma lâmpada de certa marca. Então:
Continuação...
A experiência sugere que
esta distribuição deve ser
assimétrica pois grande
proporção de valores da
variável estão entre 0 e 500
horas e pequena proporção
de valores acima de 1500
horas(representação gráfica
ao lado).
Distribuição Normal
A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros  e
2 se sua função densidade de probabilidade é dada por:
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
𝑝𝑎𝑟𝑎 −∞ < 𝑥 < +∞
Pode ser mostrado que:
1.  é o valor esperado (média) de X ( - <  < );
2.  2 é a variância de X ( 2 > 0).
Notação: X ~ N( ;  2)
Obs: f(x) é simétrica em relação a .
Continuação...
Propriedades da distribuição normal
 E(X) =  e Var(X) =  2
 A distribuição é simétrica em torno de sua média ().
 A área total sob curva é igual a um.
 f(x)  0 quando x  
 x =  é ponto de máximo de f(x)
  -  e  +  são pontos de inflexão de f(x)
Continuação...
Influência de  na curva Normal
Curvas Normais com mesma variância 2 
mas com médias diferentes (2 > 1).
Continuação...
Influência de 2 na curva Normal
Curvas Normais com mesma variância 
mas com médias diferentes (2
2 > 1
2).
N(;1
2)
N(;2
2)
2
2 > 1
2

Continuação...
Cálculo de probabilidades
Integrar a função de densidade (utilização de métodos 
numéricos).
P(a < X < b)
Área sob a 
curva acima 
do eixo 
horizontal (x) 
entre a e b.
a b
PROBLEMAS:
Continuação...
Transformar qualquer distribuição Normal (µ , 2)
em uma distribuição normal com parâmetros fixos
(Normal Padrão), através de uma mudança de variável e
tabelar as probabilidades.
Assim:
SOLUÇÃO:
Se X ~ N( ;  2), definimos: Z =
X − μ
σ
então:
E(Z) = 0 
Var(Z) = 1
Continuação...
0 z
f(z)
a – 

b – 

Z ~ N(0 ; 1)
a  b x
f(x)
X ~ N( ; 2)
A V.A. Z ~ N(0;1) denomina-se 
normal padrão ou reduzida.
Portanto,
Continuação...
Uso da tabela da normal padrão
Denotamos por: Φ(z) = P(Z ≤ z)= −∞
𝑧
𝑓 𝑥 𝑑𝑥. Estes valores
estão tabelados para a normal padrão.
Continuação...
Exemplo: Seja Z ~ N (0; 1), calcular
a) P(Z ≤ 0,32)
P(Z ≤ 0,32) = Φ(0,32)
Encontrar o valor de Φ(0,32) na Tabela N(0;1):
Continuação...
z 0 1 2
0,0 0,5000 0,5039 0,5079
0,1 0,5398 0,5437 0,5477
0,2 0,5792 0,5831 0,5870
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
Portanto: P(Z ≤ 0,32) = Φ(0,32)=06255
Continuação...
b) P(Z ≤ –1,3)
P(Z ≤ –1,3) = Φ(-1,3) = 0,0968
c) P(Z ≥ 1,5) 
P(Z ≥ 1,5) = 1- P(Z ≤1,5) =
1 - Φ(1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668
Tabela
Continuação...
c) P(0 < Z  1,71)
P(0 < Z  1,71)=P(Z 1,71)–P(Z < 0)
= Φ(1,71) – Φ(0)
= 0,9564 – 0,5 = 0,4564
OBS.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.
d) P(1,32 < Z  1,79)
P(1,32 < Z  1,79)=
P(Z1,79)–P(Z1,32)
= Φ(1,79) - Φ 1,32)
= 0,9633 - 0,9066 = 0,0567
Tabela
Continuação...
d) P(-1,5  Z  1,5)
P(–1,5Z1,5)
P(Z1,5)–P(Z–1,5)
= Φ(1,5)–Φ(–1,5) 
= 0,9332 – 0,0668 
= 0,8664
e) P(–1,32 < Z < 0)
= P(Z  0) – P(Z  -1,32)
= Φ(0) – Φ(-1,32)
= 0,5 - 0,0934 = 0,4066
Tabela
Continuação...
f) P(-2,3 < Z  -1,49) 
P(-2,3 < Z  -1,49) 
= P(Z-1,49)–P(Z-2,3)
= Φ(-1,19) – Φ(-2,3)=
= 0,0681 - 0,0107 = 0,0574
g) P(Z<-3,2)= Φ(-3,2)= 0
Tabela
Continuação...
h) Encontre o valor de z na distribuição N(0 ; 1) de modo que:
i) P(Z<z)=0,9750
z é tal que Φ(z) = 0,9750.
Pela tabela, z = 1,96.
ii) P(Z<z)=0,9975
z é tal que Φ(z) = 0,9975.
Pela tabela, z = 2,81
Tabela
Continuação...
iii) P(Z>z) = 0,3
P(Z>z) = 1-P(Z<z)
= P(Z<z) = 1-P(Z>z) = 
= 1- 0,3 = 0,7
z é tal que Φ(z) = 0,7.
Pela tabela, z = 0,52
Exercícios:
Seja X ~ N(10 ; 64) ( = 10, σ2 = 64 e σ= 8), Calcular:
(a) P(6  X  12) (c) k tal que P( X  k) = 0,05. 
(b) P( X  8 ou X > 14) (d) k tal que P( X  k) = 0,025
Tabela
Continuação...
Solução:
(a) P(6  X  12)
P(6  X  12)
= 𝑃
6−𝜇
𝜎
<
𝑋−𝜇
𝜎
<
12−𝜇
𝜎
= 
= 𝑃
6−10
8
<
𝑋−10
𝜎
<
12−10
8
= 𝑃 −0,5 < 𝑧 < 0,25
= (0,25) - (-0,5) = 0,5987- 0,3085 = 0,2902
(b) P( X  8 ou X > 14)
P( X  8 ou X > 14) = P( X  8)+P(X >14)
=𝑃
𝑋−10
8
<
8−10
8
+
𝑋−10
8
>
14−10
8
= P(z <-0,25)+P(Z> 0,5) =(-0,25) – (1- (0,5))
= 0,4013 + 1 - 0,6915 = 0,7098
Tabela
Continuação...
(c) k tal que P( X < k) = 0,05
P(X < k)=0,05 
𝑃
𝑋−10
8
<
𝑘−10
8
=0,05 
𝑃 𝑍 <
𝑘−10
8
= 0,05
Então: 
𝑘−10
8
= -1,64 
 k= -1,64x8 +10  k=10-13,12=-3,12 
 k=-3,12
Tabela
Continuação...
Exemplo:
O tempo gasto no exame vestibular de uma
universidade tem distribuição Normal, com média 120 min e
desvio padrão 15 min.
1. Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que
ele termine oexame antes de 100 minutos?
2. Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que
95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?
3. Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos
estudantes gastam para completar o exame?
Continuação...
Solução:
a) P(X<100)=𝑃
𝑋−120
15
<
100−120
15
=𝑃 𝑍 < −1,33 = (-1,33)
= 0,0918
b) P(X < k) = 0,95 
𝑃
𝑋−120
15
<
𝑘−120
15
= 0,95 
𝑃 𝑍 <
𝑘−120
15
= 0,95
Então:
𝑘−120
15
= 1,64
 k= 1,64 x 15 +120 
 k= 24,6 + 120 = 144,6
 k= 144,6 minutos
Continuação...
Exercício 1:
O tempo gasto com todas as etapas da produção de um
novo produto tem distribuição Normal, com média 6 minutos e desvio
padrão 1,5 minutos.
a) Uma empresa estuda a possibilidade de gratificar seus
funcionários quando o tempo total gasto com a produção do
produto não ultrapassar 5 minutos. Qual a probabilidade de um
funcionário receber essa gratificação ao executar essa tarefa?
b) Ao mesmo tempo a empresa pretende penalizar os funcionários
com tempo total gasto com a produção superior a 7 minutos. Qual
a probabilidade de um funcionário ser penalizado ao executar
essa tarefa?
c) Um dos funcionários da empresa sugeriu ao diretor da empresa
que estabelece-se um intervalo de tempo satisfatório para
executar tal tarefa entre 4 e 8 minutos. Qual a probabilidade de
um funcionário executar essa tarefa no intervalo de tempo
sugerido?
d) Qual é o tempo que o diretor da empresa deveria estipular tal que
20% dos funcionários recebessem a gratificação?
Continuação...
Exercício 2:
Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos
a um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado
por uma distribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3
(em dias).
a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias
para se recuperar?
b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,
presentar tempo de cura inferior a 20 dias?
c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de
25% dos pacientes?
d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao
acaso, qual seria o número esperado de doentes curados
em menos de 11 dias?
Tabela da Normal Padrão
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Continuação...