NOTA DE AULA MATRIZES 1

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Ministério da Educação 
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso do Sul 
Campus de Campo Grande 
 
1. Matrizes 
 Em algumas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números dispostos em linhas e 
colunas numa tabela. Em Matemática essas tabelas são denominadas matrizes. Com o desenvolvimento da 
computação e o aumento na necessidade de se armazenar muita informação, as matrizes adquiriram uma 
grande importância. Para termos um exemplo da utilização de matrizes, basta olharmos para a tela do 
computador. A tela é uma grande matriz e cada valor guardado nas linhas e colunas da matriz representa 
um ponto colorido mostrado na tela, denominado pixel. Além da tela do computador, as imagens que você 
visualiza na internet e as fotos que você tira com sua máquina digital podem ser representadas por meio de 
matrizes. 
A imagem do Gato Félix (herói do desenho homônimo de 1920) pode ser representada por uma 
matriz 35 × 35 cujos elementos são os números 0 e 1, que especificam a cor do pixel. O número 0 indica a 
cor preta e o número 1, indica a cor branca. Imagens digitais que usam apenas duas cores (em geral, preta 
e branca) são denominadas imagens binárias (ou imagens booleanas). 
 
Fonte: http://www.uff.br/cdme/matrix/matrix-html/matrix-br.html 
 Se a resolução da tela do seu computador estiver configurada para 800 x 600, isso quer dizer que 
são utilizados 800 pixels na horizontal e 600 pixels na vertical. A imagem apresentada na tela utiliza 
portanto 800 x 600 = 480.000 pixels. Se a resolução escolhida for 1024 x 768, a definição da imagem será 
melhor pois contaremos agora com 786.432 pixels. 
 Outro exemplo de aplicação de matrizes é a relação de notas dos alunos de uma turma em 
determinadas disciplinas 
 Matemática Inglês Química Biologia 
André 8,0 7,2 7,8 10,0 
Felipe 7,4 6,5 8,0 6,8 
Lucia 3,8 9,0 6,7 8,7 
Marcos 7,2 8,0 5,6 9,2 
Paula 8,9 4,9 7,8 9,0 
 
 
2 
 
As notas de um determinado aluno estão dispostas em linhas enquanto as notas dos alunos de uma 
determinada disciplina estão dispostas em colunas. 
 
Definição: Considerando m e n dois números inteiros maiores do que um, denomina-se matriz m por n, 
toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linas e n colunas. Dizemos que M é uma matriz 
to tipo mxn ou de ordem mxn. 
 
Exemplos: 
ቂ2 −13 2 ቃ é uma matriz de ordem 2x2 (dois por dois) 
ቂ−1 0 12 −3 5ቃ	é uma matriz de ordem 2x3 (dois por três) 
Se m=1, então a matriz é expressa por uma única linha e desse modo é denominada matriz linha, como a 
matriz [0 −1 2], que é uma matriz do tipo 1x3. 
Se n=1, a matriz é expressa por uma única coluna, sendo denominada matriz coluna, como é o caso da 
matriz ቎
√2
−3
ହ
ସ
቏ que é uma matriz 3x1. 
 Os números que aparecem em uma matriz são chamados de elementos (ou termos) da matriz. 
Considerando a matriz ቂ−1 0 12 −3 5ቃ podemos observar que 
-1 é o elemento que está na primeira linha e primeira coluna, o qual indicamos por a11=-1 (lêia-se a um um). 
0 é o elemento que está na primeira linha e segunda coluna, indicado então por a12=0. (Lêia-se a um dois) 
2 é o elemento que está na segunda linha e primeira coluna, indicado por a21=2. 
5 é o elemento que está na segunda linha e terceira coluna, indicado por a23=5. 
 Dessa forma, em uma matriz A de m linhas e n colunas, indicamos um elemento da linha i e coluna j 
pelo elemento aij. A forma genérica da matriz A é escrita da seguinte maneira: 
 

















mnmm
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A





21
33231
22221
11211
 
 Para simplificar a notação, poderemos indicar a matriz A com m linhas e n colunas de várias formas, 
entre elas: 
Amxn, A=(aij)mxn, ou então A=(aij) com 1  i  m e 1  j n. 
 
1.1 Matrizes especiais 
 Em alguns casos, algumas matrizes são mais úteis e possuem uma denominação especial. Já 
mencionamos a matriz linha e a matriz coluna. Vejamos outras matrizes especiais: 
 
3 
 
a) Matriz quadrada de ordem n. É toda matriz onde m = n, ou seja, do tipo nxn em que o número de linhas 
é igual ao número de colunas. 
 Em uma matriz quadrada, os elementos que tem os dois índices iguais são chamados de diagonal 
principal ma matriz quadrada, ou seja, são os elementos a11, a22, ..., ann. 
 Já a diagonal secundária de uma matriz quadrada é formada pelos elementos cujas somas dos 
índices é igual a n+1, ou seja, são os elementos a1n, a2, n-1, a3, n-2 ... an1. 
 
Exemplos: 
Considere a matriz A=ቂ 3 6
−7 4ቃ. A é uma matriz quadrada de ordem 2. A diagonal principal é formada pelos 
elementos 3 e 4. A diagonal secundária é formada pelos elementos -7 e 6. 
 
Considere a matriz B=൥
0 1 23 4 56 7 8൩. B é uma matriz quadrada de ordem 3. A diagonal principal é formada 
pelos elementos 0, 4 e 8. A diagonal secundária é formada pelos elementos 6, 4 e 2. 
 A matriz M=












15141312
111098
7654
3210
 é uma matriz quadrada de ordem 4. A diagonal principal é formada pelos 
elementos 0, 5, 10 e 15. A diagonal secundária é formada pelos elementos 12, 9, 6 e 3. 
 
b) Matriz triangular superior é toda matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são 
iguais a zero. Alguns exemplos de matrizes triangulares superiores: 
൭
1 0 03 −1 00 2 4൱ ቀ7 02 4ቁ 












 7521
0308
0051
0002
 
c) Matriz triangular inferior é toda matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são 
iguais a zero. Alguns exemplos de matrizes triangulares inferiores: 
൭
1 2 60 1 00 0 −4൱ ቀ3 10 4ቁ 











 
7000
4300
5050
4312
 
d) Matriz diagonal é toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal 
são iguais a zero. 
൭
1 0 00 1 00 0 −4൱ ቀ3 00 4ቁ 












7000
0300
0050
0002
 
 
4 
 
e) Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal 
são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero. Essa matriz é indicada por In. 
ܫଵ = (1) ܫଶ = ቀ1 00 1ቁ ܫଷ = ൭1 0 00 1 00 0 1൱ 

















10000
01000
00100
00010
00001
5I 
De modo geral a matriz identidade de ordem n pode ser escrita como sendo a matriz de elementos aij onde 
ܽ௜௝ = ൝1,݌ܽݎܽ	݅ = ݆0,݌ܽݎܽ	݅ ≠ ݆. 
Observe que a matriz identidade é uma matriz quadrada, triangular superior e inferior e também uma matriz 
diagonal. 
 
f) Matriz nula é qualquer matriz do tipo mxn onde todos os elementos são iguais a zero. Representamos 
por 0mxn e caso a matriz nula seja quadrada de ordem n, sua representação é dada por 0n. 
0ଶ௫ଷ = ቂ0 0 00 0 0ቃ 0ଷ = ൭0 0 00 0 00 0 0൱ 0ଷ௫ଵ = ൥000൩ 
1.2 Igualdade de matrizes 
 Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, dizemos que essas matrizes são iguais se aij = bij para 
todo i e todo j, ou seja, para serem iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e todos os elementos 
correspondentes devem ser iguais. 
Exemplos e contra exemplos: 
ܣ = ቀ1 24 5ቁ e ܤ = ቀ1 24 5ቁ. A = B pois ambas tem mesma ordem e a11= b11, a12=b12, a21=b21, a22= b22. 
 
ܣ = ቀ1 24 5ቁ e ܥ = ቀ1 24 −5ቁ. A  C pois, embora ambas tenham a mesma ordem e a11= c11, a12=c12, a21=c21, 
ocorre que a22  b22. 
 
ܣ = ൥ 2 46 7
−1 3൩ e ܤ = ቀ2 4 67 −1 3ቁ. A  B pois são matrizes de tipos diferentes. 
 
Se considerarmos as matrizes ܣ = ൭ 3 ݔ 5−2 ݕ ݖ
ݓ 4 9൱ e ܤ = ቌ ݇
ଵ
ଶ
5
−2 4 3
−5 4 ܾቍ em que condições teremos A = B? 
 
Se considerarmos as matrizes ܣ = ൭ 3 ݔ 5−2 4ݖ
ݓ 4 9൱ e ܤ = ቌ 3
ଵ
ଶ
5
−2 4 −3
−5 4 −2ቍ em que condições teremos A = B? 
 
5 
 
1.3 Exercícios 
1) Indicar explicitamente os elementos da matriz A=(aij)3x3 tal que aij = i – j. 
2) Construir as seguintes matrizes: 
a) A=(aij)2x3 tal que aij = i2 + j2 
b) M=(aij)3x3 tal que aij = 3i + 2j - 5 
c) X=(aij)4x2 tal que aij = 2i2 - j 
d) A=(aij)4x4 tal que aij = ൜0, ݏ݁	݅ = ݆1, ݏ݁	݅ ≠ ݆ 
e) Y=(aij)2x4 tal que aij = | i – j | 
f) A=(aij)2x2 tal que aij = (-2)i .(-1)j 
3) Determinar x e y de modo que se tenha ቀ૛࢞ ૜࢟
૜ ૝
ቁ = ൬࢞ + ૚ ૛࢟૜ ࢟ + ૝൰. 
4) Determinar x, y, z e t de modo que se tenha ൬ݔ
ଶ 2ݔ ݕ4 5 ݐଶ൰ = ቀݔ ݔ 3ݖ 5ݐ ݐቁ. 
5) Sabendo que ቀܽ + ܾ ܾ + ܿ2ܾ 2ܽ − 3݀ቁ = ቀ9 −16 18ቁ, determine a, b, c e d. 
6) Seja A=(aij)2x2 tal que aij = i+j. Determine x, y, z e t para que se tenha ቀ
ݔ + ݕ ݔ + ݖ3ݔ − ݐ ݐ + ݖቁ = ܣ. 
7) Determine m e n de modo que se tenha ቀ݉ + ݊ ݉0 ݊ቁ = ܫଶ. 
8) Determine a, b e c para que se tenha ൭
ܽ + ܾ − 1 0
ܽ − 3ܿ ܾ2ܾ 0൱ = 0ଷ௫ଶ. 
Vídeos para estudo 
1) Matrizes: introdução 
http://www.youtube.com/watch?v=Y68qZtQ2H6o&list=UUPsFqRodwOk0esir1I2qaqQ&index=43&feature=plc
p 
2) Matrizes especiais 
http://www.youtube.com/watch?v=RvyB33dxnus&list=UUPsFqRodwOk0esir1I2qaqQ&index=96&feature=plc
p 
3) Igualdade de Matrizes 
http://www.youtube.com/watch?v=NiixqHPUFEk 
4) Matriz identidade 
http://www.youtube.com/watch?v=y2uM34QC6cc&list=UUPsFqRodwOk0esir1I2qaqQ&index=14&feature=pl
cp 
 
Fonte: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005. 
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 4. Atual Editora. 
 
6 
 
 
Gabarito dos Exercícios 
1)࡭ = ൭૙ −૚ −૛૚ ૙ −૚
૛ ૚ ૙
൱ 
2) a) A=ቀ૛ ૞ ૚૙
૞ ૡ ૚૜
ቁ b) M=	൭
૙ ૛ ૝
૜ ૞ ૠ
૟ ૡ ૚૙
൱ 
c) X=












3031
1617
67
01
 d) A=












0111
1011
1101
1110
 
e) Y= 





2101
3210
 f) A=ቀ 2 −2
−4 4 ቁ 
3) x=1, y =0 
4) x=0, y=3, z=4, t=1. 
5) a=6, b=3, c=-4, d=-2 
6) x=2, y=0, z=1, t=3 
7) m=0, n=1 
8) a=1, b=0, c=1/3