NOTA DE AULA MATRIZES 2

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1.4 Adição de matrizes 
 Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, definimos soma A+B como sendo a matriz C=(cij)mxn onde 
cij=aij+bij , para todo i e para todo j. Dessa forma, a soma de duas matrizes é obtida somando-se os elementos 
correspondentes em A e em B. Note que para somarmos duas matrizes é necessário portanto, que ambas tenham 
a mesma dimensão (mxn) e o resultado da adição mantém a mesma dimensão inicial (mxn). 
Exemplos 
ቂ 6 −3 4
−1 5 9ቃ+ 	 ቂ−3 5 −80 3 −6ቃ = 	 ൤6 + (−3) −3 + 5 4 + (−8)−1 + 0 5 + 3 9 + (−6)൨ = ቂ 8 3 ቃ	 (7 3 −2) + ൬4 12 −5൰ = (				+					 				+						 				+					) = ( ) 
൭
−405 ൱ + 	 ൭ 4−13 ൱ = 
 
 Sejam A, B e C matrizes quaisquer do tipo mxn. A adição de matrizes possui as seguintes propriedades: 
i) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
ii) Comutativa: A + B = B + A 
iii) Elemento Neutro: A + 0mxn = A. (A matriz nula é o elemento neutro da adição de matrizes) 
iv) Simétrico: A + A’ = 0mxn. Essa matriz A’ é também chamada oposta de A. Se A=(aij)mxn, então a sua oposta, 
indicada por –A, é a matriz dada por –A= (-aij)mxn. 
Exemplos: 
ܣ = ቎ 7 −14 ହଷ
√5 −4቏  - A = 
ܣ = ቌ 5 ଶହ
−
ଵ
ସ
−4ቍ - A = 
 Utilizando a oposta de uma matriz podemos definir a diferença entre duas matrizes. Dadas duas matrizes 
A e B de mesma ordem, definimos a diferença A – B como sendo a soma de A com a oposta de B. 
A – B = A + (-B) 
ቀ7 −32 4 ቁ 	− 	ቀ5 −49 3 ቁ 	= 	 ቀ7 −32 4 ቁ	+ 	 ቀ−5 4−9 −3ቁ 	= 	 ቀ ቁ 
൥
3
−15 ൩ 	− 	൦
−2
−4
−
16൪ = 	 ൥
3
−15 ൩ 	+ 	 ൦
2416൪ =		 
1.5 Exercícios 
9) Sendo ܣ = ቂ5 64 2ቃ e ܤ = ቂ0 −15 4 ቃ, calcule A + B, A - B e B – A. 
10) Dadas as matrizes ܣ = ൭1 35 97 11൱, ܤ = ൭2 84 106 12൱ e ܥ = ൭ 0 1−1 4−5 7൱, calcule A+B+C, A-B+C, A-B-C e –A+B-C. 
11) Calcule A+B sendo A=(aij)3x3 e B=(bij)3x3 onde aij = i2 + j2 e bij = 2ij. 
 
8 
 
12) Determine a, b, c e d de modo que ቂܽ 11 2ቃ + ቂ2 ܾ0 −1ቃ = ቂ3 2ܿ ݀ቃ. 
13) Dadas as matrizes ࡭ = ቂ૚ ૛
૛ ૜
ቃ, ࡮ = ቂ૙ ૞
ૠ ૟
ቃ e ࡯ = ቂ−૚ ૠ
૞ −૛
ቃ determine X tal que X+A=B-C. (Há dois modos 
de se resolver essa questão) 
14) Resolva a equação matricial X – A – B = C sabendo que ܣ = ቀ1 07 2ቁ, ܤ = ቀ1 52 4ቁ e ܥ = ቀ−1 −23 5 ቁ. 
15) Determine X de modo que ܺ + ൥147൩ = ൥572൩+ ൥ 1−1−2൩. 
16) Uma escola de idiomas possui duas unidades. Nas tabelas abaixo são apresentados os números de alunos 
matriculados nessa escola em cada uma dessas unidades. 
Unidade 2 
Turno Idioma Inglês Francês Espanhol 
Matutino 15 11 10 
Vespertino 9 7 7 
Noturno 17 4 13 
 
a) Com base nessas informações, associe à unidade 1 uma matriz A que indique o número de alunos 
matriculados. Faça o mesmo para a unidade 2 representando essa matriz por B. 
b) Quantos alunos matriculados a escola possui por turno e idioma nas duas unidades? 
c) Qual a diferença entre os alunos por turno e idioma entre a unidade 1 e a unidade 2? 
d) Considerando as duas unidades, quantos alunos de inglês estão matriculados? E de Francês? E de Espanhol? 
e) Considerando as duas unidades, quantos alunos estão matriculados no turno matutino? E no vespertino? E no 
noturno? 
17) Em geral, os gerentes de bancos são levados a cumprir metas, sejam em relação à quantidade de abertura de 
novas contas ou à venda de produtos e serviços. Na venda de um desses produtos, chamado título de 
capitalização, o gerente oferece a seus clientes duas modalidades (M1 e M2). Para organizar e verificar a 
quantidade de títulos vendidos durante certo mês, esse gerente construiu as matrizes A, B, C e D, as quais 
compreendem três tipos de clientes, durante as quatro semanas desse mês. Em cada uma dessas matrizes, as 
colunas indicam a quantidade, respectivamente, de clientes do tipo C1, C2 e C2, e as linhas, a de modalidades M1 
e M2. 
ܣ = ቀ10 25 4030 15 15ቁ ,ܤ = ቀ32	 18 1210 20 25ቁ ,ܥ = ቀ25 30 1516 28 36ቁ ,ܦ = ቀ34 35 3819 26 32ቁ 
a) Determine uma matriz 2x3 que represente o total de vendas das modalidades de título para cada tipo de cliente 
no mês indicado. 
b) O que cada linha da matriz que você escreveu representa? E o que cada coluna representa? 
c) Para qual tipo de cliente o gerente vendeu a maior quantidade de títulos da modalidade M1? E da modalidade 
M2? 
 
1.6 Produto de um número por uma matriz 
 Dado um número real  e uma matriz A=(aij)mxn define-se produto A como sendo a matriz B=(bij)mxn onde 
bij=.aij, para todo i e para todo j. Ao multiplicar uma matriz A por um número real , multiplicados todos os 
elementos dessa matriz por esse número real. É comum denominar esse número real  de escalar. 
 
 
Unidade 1 
Turno Idioma Inglês Francês Espanhol 
Matutino 21 18 15 
Vespertino 15 9 8 
Noturno 24 4 18 
 
9 
 
Exemplos: 
3. ൥ 1 −35 −2
−1 0 ൩ = ቎ 3.1 3. (−3)3.5 3. (−2)3. (−1) 3.0 ቏ = ൥ 3 −915 −6−3 0 ൩ 12 	.൭ 0 3 6−4 5 −1
√2 7 −2൱ = 
 
 Sejam A e B matrizes quaisquer do tipo mxn e  e  dois números reais quaisquer. As seguintes 
propriedades são válidas para o produto de um número por uma matriz: 
i) Associativa:  . ( . A) = ( . ) . A 
ii) Distributiva em relação à soma de matrizes:  . (A + B) =  . A +  . B 
iii) Distributiva em relação à soma de escalares: ( + ) . A =  . A +  . A 
iv) Elemento Neutro: 1 . A = A. 
 
1.7 Exercícios 
18) Sendo ܣ = ቀ1 15 7ቁ e ܤ = ቀ0 69 3ቁ, calcule 2ܣ, ଵଷܤ e ૚૛ (࡭ + ࡮). 
19) Considerando ܣ = ቀ1 72 6ቁ ,ܤ = ቀ2 14 3ቁ e ܥ = ቀ0 22 0ቁ, determine X em cada uma das equações a seguir: 
a) 2ܺ + ܣ = 3ܤ + ܥ 
b) ࢄ + ࡭ = ૚
૛
(࡮− ࡯) 
c) 3ܺ + ܣ = ܤ −ܺ 
d) ଵ
ଶ
(ܺ −ܣ − ܤ) = ଵ
ଷ
(ܺ − ܥ) 
20) Resolva o sistema ቄࢄ + ࢅ = ૜࡭
ࢄ− ࢅ = ૛࡮, sabendo que ࡭ = ቀ૛ ૙૙ ૝ቁ e 	࡮ = ቀ૚ ૞૜ ૙ቁ. 
21) Determine X e Y tais que ቄܺ + ܻ = ܣ
ܺ − ܻ = ܤ, onde ܣ = ൭147൱ e ܤ = ൭215൱. 
22) Determine X e Y tais que ቄ2ܺ + 3ܻ = ܣ + ܤ3ܺ + 4ܻ = ܣ− ܤ, onde ܣ = (1 3 9) e ܤ = (2 5 0). 
23) A primeira linha da matriz abaixo reprsenta quantos quilogramas de farinha são utilizados por uma padaria 
para fazer certas receitas, e a 2ª linha, o número respectivo de ovos utilizados em cada uma delas. Escreva a 
matriz que representa a quantidade necessária de farinha e de ovos para preparar 150 receitas de cada tipo. 
ቀ1,5 0,9 23 5 7ቁ 
 
Vídeos para estudo 
1) Soma e subtração de matrizes 
http://www.youtube.com/watch?v=C5hvrcXFcYg&feature=relmfu 
 
10 
 
2) Multiplicação de um número real por uma matriz 
http://www.youtube.com/watch?v=7tfdPhleeMQ&feature=plcp 
 
Bibliografia consultada: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005. 
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 4. Atual Editora. 
RIBEIRO, Jacson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, volume 2. Scipione. São Paulo, 2011. 
 
 
Gabarito Seção 1.5 
 
9) ܣ + ܤ = ቂ5 59 6ቃ, ܣ− ܤ = ቂ 5 7−1 −2ቃ e ܤ − ܣ =
ቂ−5 −71 2 ቃ 
10) ܣ + ܤ + ܥ = ൭3 128 238 30൱, ܣ − ܤ + ܥ = ൭−1 −40 3−4 6 ൱, 
ܣ − ܤ − ܥ = ൭−1 −62 −56 −8൱ −ܣ + ܤ − ܥ = ൭1 40 −34 −6൱ 
11) ܣ + ܤ = ൭ 4 9 169 16 2516 25 36൱ 
12) a=b=c=d=1. 
13) ܺ = ቂ0 −40 5 ቃ 
14) ܺ = ቂ 1 312 11ቃ 
15) ܺ = ൥ 52
−7൩ 
16) a) ܣ = ൭21 18 1515 9 824 4 18൱ ܤ = ൭15 11 109 7 717 4 13൱ 
b) ܣ + ܤ = ൭36 29 2524 16 1541 8 31൱ 
c) ܣ − ܤ = ൭6 7 56 2 17 0 5൱ 
d) Inglês 101, Francês 53 e Espanhol 71. 
e) Matutino 90, Vespertino 55 e Noturno 80. 
17) a) ቀ101 108 10575 89 108ቁ c) C2, C3 
 
Gabarito Seção 1.7 
 
18) 2ܣ = ቀ 2 210 14ቁ, ଵଷܤ = ቀ0 23 1ቁ, ଵଶ (ܣ + ܤ) = ቆଵଶ ଻ଶ7 5ቇ 
19) a) ܺ = ቌହଶ −16 ଷ
ଶ
ቍ, b) ܺ = ቌ 0 − ଵହଶ
−1 − ଽ
ଶ
ቍ	,c) ܺ =
ቌ
ଵ
ସ
−
ଷ
ଶ
ଵ
ଶ
−
ଷ
ସ
ቍ,	d) ܺ = ቀ 9 2014 27ቁ 
20) ܺ = ቂ4 53 6ቃ e ܻ = ቂ 2 −5−3 6 ቃ 
21) ܺ = ൦ଷଶହ
ଶ6൪ e ܻ = ൦
−
ଵ
ଶ
ଷ
ଶ1 ൪ 
22) ܺ = [−15 −38 −9] e ܻ = [11 28 9] 
23) ቀ225 135 300450 750 1050ቁ