Introdução à Mecânica Clássica.pdf

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Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica
Artur O. Lopes
para S´ılvia e Daniel Lopes e
em memo´ria de Ricardo Man˜e´
SUMA´RIO
Prefa´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Apresentac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. MECAˆNICA NEWTONIANA
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 O Teorema de Conservac¸a˜o de Energia Total . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Sistemas com Vı´nculos Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Sistemas Unidimensionais com Va´rias Part´ıculas . . . . . . . . . . . 37
1.5 Campos de Forc¸as Bidimensionais e Tridimensionais . . . . . . . 49
1.6 O Problema dos Dois Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§Apeˆndice.
1.7*O´rbitas Perio´dicas e Estabilidade de Pontos de Equil´ıbrio 67
2. MECAˆNICA LAGRANGIANA
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.2 Geode´sicas e o Ca´lculo das Variac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3 Lagrangianos e o Princ´ıpio de Mı´nima Ac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.4 Lagrangianos em Va´rias Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5 Sistemas Lagrangianos com Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
§Apeˆndice.
2.6 *Lagrangianos em Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3. MECAˆNICA HAMILTONIANA
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2 A Equac¸a˜o de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.3 A Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.4 Mudanc¸a de Varia´veis na Mecaˆnica Hamiltoniana . . . . . . . . 212
3.5 Introduc¸a˜o a`s Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.6 Transformac¸o˜es Canoˆnicas e Func¸o˜es Geradoras . . . . . . . . . 245
3.7 Varia´veis Ac¸a˜o-aˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
3.8 Princ´ıpio de Mı´nima Ac¸a˜o e a Equac¸a˜o de Hamilton-Jacobi 270
3.9 A Ac¸a˜o e o Teorema de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
§Apeˆndice.
3.10 Integrais de Linha e de Superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
I´ndice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
(Nota: As sec¸o˜es denotadas com * devem ser evitadas numa
primeira leitura.)
PREFA´CIO
Alguns dos to´picos mais interessantes, ricos e sofisticados da pesquisa matema´-
tica atual envolvem a f´ısica matema´tica: teoria quaˆntica de campos, teoria das
cordas, mecaˆnica estat´ıstica, relatividade, teoria dos buracos negros, mecaˆnica
de Aubry-Mather, integrais de Feynman, etc. Os estudantes de matema´tica, em
geral, na˜o se sentem atra´ıdos por tais to´picos por desconhecerem a formalizac¸a˜o
matema´tica dos princ´ıpios ba´sicos da mecaˆnica.
O objetivo do presente texto e´ apresentar o material ba´sico de um curso de
mecaˆnica cla´ssica para estudantes que ainda na˜o terminaram a graduac¸a˜o, sendo
tambe´m apropriado para programas de iniciac¸a˜o cient´ıfica. O enfoque no texto
e´ geome´trico, que e´ a maneira moderna de se entender a mecaˆnica cla´ssica. Nas
sec¸o˜es finais dos cap´ıtulos 1 e 2, marcadas com asterisco, descrevemos de maneira
geral alguns to´picos mais avanc¸ados da teoria. O leitor devera´ evita´-los em uma
primeira leitura e isto na˜o ira´ prejudicar o entendimento do livro.
O pre´-requisito necessa´rio para ler estas notas (sendo com excec¸a˜o das sec¸o˜es
com *) e´ apenas algum conhecimento ba´sico de equac¸o˜es diferenciais (ale´m de
ca´lculo e a´lgebra linear). A parte da teoria de integrais de linha e de superf´ıcie
necessa´ria para o entendimento da mecaˆnica hamiltoniana e´ brevemente desen-
volvida no apeˆndice ao final do cap´ıtulo 3. O objetivo deste apeˆndice (sec¸a˜o 10
do cap´ıtulo 3) e´ apenas relembrar e fixar a notac¸a˜o que sera´ utilizada na sec¸a˜o
1.4 e tambe´m na sec¸a˜o 3.5 (esta sobre formas diferenciais em R2 e R3).
O material e´ exposto levando-se em conta o seguinte ponto de vista: tentamos
apresentar os conceitos e resultados da maneira mais elementar poss´ıvel (algumas
vezes sob o custo de ser menos sinte´tico do que se gostaria). Sem sacrificar o rigor
matema´tico, optamos sempre pela apresentac¸a˜o menos formal poss´ıvel. Os casos
mais gerais da teoria sa˜o deixados para livros mais avanc¸ados e sinte´ticos, como
o excelente livro de V.I. Arnold, Me´todos Matema´ticos da Mecaˆnica Cla´ssica. Na
verdade, a motivac¸a˜o para escrever o presente texto e´ possibilitar um contato
8
dos estudantes de graduac¸a˜o com os principais resultados ba´sicos da mecaˆnica
cla´ssica, de tal modo que fique mais fa´cil para os mesmos, posteriormente, lerem
outros livros dispon´ıveis sobre o assunto, muitos dos quais mais sofisticados do
ponto de vista matema´tico. Va´rios exemplos interessantes sa˜o apresentados para
esclarecer aspectos da teoria — no nosso entender, os exemplos mais simples sa˜o
muito u´teis para conferir e confirmar os resultados que esta˜o sendo enunciados no
texto. Sendo assim, o leitor percebera´ que o oscilador harmoˆnico aparecera´ como
ilustrac¸a˜o de uma grande quantidade de resultados. (Evidentemente, exemplos
mais complexos tambe´m sa˜o analisados). Exerc´ıcios sa˜o propostos ao fim de cada
sec¸a˜o e tambe´m dentro de muitas delas, na posic¸a˜o indicada ao leitor, para melhor
entendimento do que se segue.
Como este e´ um texto introduto´rio, no´s consideramos, principalmente (embora
na˜o exclusivamente), os sistemas autoˆnomos; quando nada for dito em contra´rio,
este sera´ o sistema considerado. Ressaltamos no entanto que na mecaˆnica hamil-
toniana e mesmo para ana´lise de sistemas autoˆnomos, e´ util tambe´m se considerar
sistemas na˜o-autoˆnomos. A maioria dos resultados apresentados no texto sa˜o para
sistemas mecaˆnicos em que a varia´vel posic¸a˜o e´ unidimensional. Desta maneira,
as provas em geral se tornam menos sofisticadas e a notac¸a˜o fica bastante simplifi-
cada. Acreditamos que uma vez que o leitor entenda bem o caso unidimensional,
na˜o seja muito dif´ıcil estender os resultados obtidos para dimenso˜es maiores.
Informamos ao leitor que o autor escreveu tambe´m um outro texto, inti-
tulado “To´picos em Mecaˆnica Cla´ssica”, em que sa˜o abordados alguns to´picos
mais avanc¸ados de mecaˆnica cla´ssica, o qual, esperamos, sera´ editado em breve
(ver em http://mat.ufrgs.br/∼alopes/pub).
Este novo livro possibilitara´ ao leitor uma breve introduc¸a˜o a to´picos mais
sofisticados e nele tratamos, em maior generalidade, da mecaˆnica hamiltoniana. O
mencionado livro tera´ quatro blocos de assuntos independentes: o primeiro bloco
trara´ um ponto de vista da teoria ergo´dica, o segundo da geometria simple´tica em
variedades diferencia´veis, o terceiro das equac¸o˜es diferenciais parciais cobrindo a
equac¸a˜o da onda e sua relac¸a˜o com a mecaˆnica hamiltoniana. O u´ltimo bloco
cobrira´ a mecaˆnica de Aubry-Mather, J. Mather, 1991.
Na˜o temos a pretensa˜o nestes dois textos de esgotar os to´picos interessantes
da mecaˆnica cla´ssica, mas apenas abordar, de uma maneira elementar, pore´m
matematicamente rigorosa, alguns dos to´picos ba´sicos da teoria. Entre apresentar
um resultado geral (e matematicamente mais sofisticado) e um resultado menos
geral (e menos te´cnico), optamos sempre pelo u´ltimocaso. Entendemos que
assim as ide´ias centrais da teoria ficam expostas de maneira mais intelig´ıvel para
o leitor.
Refereˆncias para outros textos sobre mecaˆnica cla´ssica sa˜o: V. Arnold, 1978;
I. Percival e D. Richards, 1982; R. Abraham e J. Mardsen, 1980; I. Barros e
M. Garcia, 1995; E. Whittaker, 1944; S. Rasband, 1983; J. Mardsen e T. Ratiu,
1944; L. Pars, 1979; G. Contreras e R. Iturriaga, 1999; H. Rund, 1972 e Ter Haar,
1972, para um ponto de vista mais matema´tico, e J. Marion e S. Thorton, 1988;
M. Tabor, 1989; H. Goldstein, 1972; J. Meiss, 1992 e L. Landau e E. Lifschitz,
9
1960, para um ponto de vista mais f´ısico.
Ressaltamos o texto de J. Jose e E. Saletan, 1998, que aborda to´picos avanc¸ados
de maneira muito dida´tica.
Um to´pico importante que na˜o e´ abordado no texto por falta de espac¸o e´ o dos
corpos r´ıgidos. O leitor pode encontrar uma o´tima apresentac¸a˜o deste assunto
em V. Arnold, 1978.
A relac¸a˜o da mecaˆnica cla´ssica com o estudo de sistemas cao´ticos e´ descrita
com muitos detalhes em G. Gallavotti, 1983; que aborda tambe´m questo˜es im-
portantes sobre integrabilidade.
Diferentemente do que alguns pensam, a mecaˆnica cla´ssica e´ um to´pico de
pesquisa atual e muitos resultados importantes foram obtidos nos u´ltimos anos
na ana´lise global dos sistemas mecaˆnicos. Referimos ao leitor R. Man˜e´, 1996, A.
Fathi, 1997, e G. Contreras e R. Iturriaga, 1999, onde, por exemplo, se mostra a
existeˆncia de sub-soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Hamilton-Jacobi e sua relac¸a˜o com teoria
ergo´dica. Outro to´pico que recentemente tem sido analisado e´ a relac¸a˜o entre
soluc¸o˜es de viscosidade, a teoria de Aubry-Mather e o comportamento assinto´tico
de densidades de equil´ıbrio de certos processos estoca´sticos, conforme L. Evans e
D. Gomes, 2001 e N. Anantharaman, 2004.
Cr´ıticas, correc¸o˜es, sugesto˜es, novos exerc´ıcios, etc sa˜o bem-vindos pelo autor
em alopes@mat.ufrgs.br para a elaborac¸a˜o de futuras edic¸o˜es do presente livro.
Este texto, em uma versa˜o preliminar, fez parte da colec¸a˜o Monografias de
Matema´tica (IMPA). Va´rias correc¸o˜es foram feitas naquela versa˜o a partir da
minha experieˆncia de ensinar o assunto em considerac¸a˜o ao longo dos anos.
Gostaria de agradecer a alguns colegas que leram as presentes notas, forne-
ceram figuras e fizeram va´rias sugesto˜es para o aperfeic¸oamento do texto. Em
primeiro lugar desejo agradecer especialmente ao colega Claus Ivo Doering, que
leu o manuscrito com extremo cuidado e consertou uma se´rie de pequenas im-
perfeic¸o˜es no mesmo. Gostaria tambe´m de agradecer a Eduardo Brietzke, Jairo
Bochi, Luis Fernando Ziebell, Pierre Collet, Marcelo Viana, Manfredo do Carmo,
Flamarion Taborda, Mario Carneiro, Rafael Riga˜o Souza, Julio Schoffen, Sonia P.
de Carvalho, Silvie Kamphorst, Paulo Rodrigues, Carlos Tomei, Luis Fernando da
Rocha, Marilaine Fraga, Celene Buriol, Pedro Nowosad, Gustavo Moreira, Pedro
Mendes, Jorge Sotomayor, Luciane Conte, Fla´via Branco, Alexandre Baraviera,
Mara L. M. Botin, Elismar Rosa, Allyson Ferrari e Marcos Sebastiani.
Acreditamos que o ponto de vista utilizado no texto (ou seja, a busca do
entendimento matema´tico da formulac¸a˜o e tambe´m da resoluc¸a˜o dos problemas
ba´sicos da mecaˆnica cla´ssica) podera´ ser de grande utilidade ao leitor que tem
pretensa˜o de entender os aspectos mais sofisticados da f´ısica moderna. Esta, por
alguma raza˜o metaf´ısica, tem um gosto perverso por tudo aquilo que e´ considerado
abstrato na matema´tica atual.
Porto Alegre, 2 de abril de 2006
Artur Oscar Lopes
Instituto de Matema´tica - UFRGS
APRESENTAC¸A˜O
O objetivo desta obra consiste em apresentar o material ba´sico
de um curso de mecaˆnica cla´ssica para estudantes de matema´tica ou
f´ısica-teo´rica, sendo tambe´m apropriado para programas de iniciac¸a˜o
cient´ıfica. O livro e´ baseado num curso de graduac¸a˜o que ministrei
durante va´rios anos para o bacharelado em Matema´tica da Uni-
versidade Federal do Rio Grande do Sul. O enfoque no texto e´
geome´trico: a maneira moderna de se entender a mecaˆnica cla´ssica.
As demonstrac¸o˜es dos resultados analisados sa˜o detalhadamente
apresentadas, contando, ainda, com uma grande quantidade de exem-
plos que ilustram a teoria, e de numerosos exerc´ıcios propostos ao
fim de cada sec¸a˜o. O leitor podera´, assim, trabalhar com questo˜es
objetivas e testar o seu entendimento acerca do material apresen-
tado.
Este texto aborda os conceitos e as propriedades ba´sicas da
mecaˆnica newtoniana, lagrangiana e hamiltoniana, preparando o
aluno para a leitura de livros mais sofisticados sobre o assunto.
O material e´ apresentado de maneira matematicamente rigorosa.
1
MECAˆNICA NEWTONIANA
1.1 INTRODUC¸A˜O
A lei de Newton e´ a base da mecaˆnica cla´ssica, e com ela comec¸amos as nossas
considerac¸o˜es.
A lei de Newton: Vamos supor que x(t), t ∈ R, descreve a posic¸a˜o de uma
part´ıcula de massa m na reta R sob a ac¸a˜o de um campo de forc¸as f : R→ R. A
lei de Newton afirma que a trajeto´ria x(t) do sistema mecaˆnico satisfaz a equac¸a˜o
diferencial de segunda ordem
mx′′(t) = f(x(t)) .
Um sistema como este denominamos genericamente de “sistema mecaˆnico”, e
nosso objetivo principal no presente texto e´ analisar equac¸o˜es diferenciais deste
tipo (e suas generalizac¸o˜es).
A derivada x′(t) e´ denominada velocidade da part´ıcula, e a derivada segunda
x′′(t) e´ denominada acelerac¸a˜o da part´ıcula. Sendo assim, a lei de Newton afirma
que a forc¸a exercida pelo campo e´ igual a` massa vezes a acelerac¸a˜o. Esta lei,
enunciada por Sir Isaac Newton em seu famoso livro Os Princ´ıpios Matema´ticos
da Filosofia Natural, publicado em 1687, e´ uma das mais importantes observac¸o˜es
ja´ feitas sobre a natureza.
A partir da lei de Newton deduziremos matematicamente uma se´rie de re-
sultados interessantes. Nosso objetivo e´ tentar identificar, quando poss´ıvel, as
trajeto´rias x(t), ou enta˜o descobrir quais propriedades possuem essas trajeto´rias.
Na verdade, o objetivo do presente texto pode ser resumido na seguinte afirmac¸a˜o:
desejamos investigar as propriedades das soluc¸o˜es de equac¸o˜es da forma mx′′ =
f(x) e suas generalizac¸o˜es.
Uma part´ıcula, neste texto, e´ considerada como um ponto (portanto sem
diaˆmetro) dotado de uma massa m. Nosso ponto de vista a respeito de forc¸a,
massa, part´ıcula, etc e´ “ingeˆnuo”, ou seja, na˜o entramos em considerac¸o˜es sobre
sistemas de coordenadas absolutas ou outras questo˜es deste tipo. Os conceitos
matema´ticos e os resultados que sera˜o obtidos a seguir sa˜o claros em si mesmos e
acreditamos que elaborac¸o˜es mais sofisticadas, no in´ıcio de um curso de Mecaˆnica,
so´ servem para confundir o leitor (referimos o livro de P. Appel, 1952 para alguns
comenta´rios sobre este assunto).
Muitos problemas em mecaˆnica envolvem a descric¸a˜o da evoluc¸a˜o temporal
de um corpo de massa m sujeito a um campo de forc¸as f . Podemos alternativa-
mente descrever a evoluc¸a˜o do sistema como se o corpo fosse substitu´ıdo por uma
14 Mecaˆnica Newtoniana
-2 -1 0 1 2
Figura 1.1.1
part´ıcula de massa m, colocada exatamente no centro de massa do mencionado
corpo, e sobre a qual o campo de forc¸as f vai agir.
Nosso primeiro exemplo de sistema mecaˆnico sera´ o oscilador harmoˆnico.
Exemplo 1.1.1: Considere uma mola de massa desprez´ıvel a` qual e´ presa,
em uma ponta, uma part´ıcula de massa m. Vamos supor que a outra ponta
da mola esta´ presa a uma parede e que a mola so´ pode se deslocar, sem gerar
atrito, ao longo de uma reta, a` qual e´ dado um sistema de coordenadas em que a
posic¸a˜o de equil´ıbrio da mola esta´ no ponto 0. Observa-se experimentalmente que
dado um afastamento de tamanho x da part´ıcula da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio,
ela sofre atrave´s da reac¸a˜o da mola uma forc¸a de intensidade −kx, onde k e´
uma constante positiva(denominada constante de elasticidade), isto e´, a forc¸a de
repulsa˜o depende linearmente do deslocamento (ver figs. 1.1.1 e 1.1.2). Como se
sabe, a repulsa˜o e´ no sentido oposto ao deslocamento; este fato e´ naturalmente
observado apenas para pequenos deslocamentos, e a mola pode ate´ romper-se,
em caso de grande deslocamento da part´ıcula de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio. Sendo
assim, considerando que vamos permitir apenas pequenos deslocamentos, e´ na-
tural supor que o campo de forc¸as e´ f(x) = −kx. Supondo que x(t) descreve a
posic¸a˜o da part´ıcula no instante t, sujeita ao campo de forc¸as −kx, segue da lei
de Newton que a soluc¸a˜o x(t) deste sistema mecaˆnico satisfaz
mx′′(t) = f(x(t)) = −kx(t).
Ou seja, devemos resolver uma equac¸a˜o diferencial linear de segunda ordem
com coeficientes constantes para encontrar a soluc¸a˜o x(t). Como e´ conhecido (ver
teorema 1.1.1 a seguir), dados os valores iniciais x(t0) = x0 ∈ R e x′(t0) = y0 ∈ R,
a soluc¸a˜o de tal equac¸a˜o e´ determinada de maneira u´nica. Este fato e´ bastante
intuitivo, pois para saber como sera´ a evoluc¸a˜o temporal do extremo da mola,
na˜o basta saber de onde ela vai ser largada no tempo t = 0, mas tambe´m com
que velocidade inicial vamos lanc¸a´-la. E´ fa´cil ver que se t0 = 0, x0 = 0 e x1 = 1,
enta˜o x(t) =
√
m
k
sen (
√
k
m
t) e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Vamos agora enunciar o teorema de existeˆncia e unicidade para equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias (ver refereˆncias gerais sobre o assunto em C. Doering e
A. Lopes, 2005; D. Figueiredo e A. Neves, 1997; J. Sotomayor, 1979; M. Hirsch
e S. Smale, 1974; R. Bassanegi e W. Ferreira, 1988). Vamos supor sempre no
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 15
-2 -1 0 x(t)1 2
Figura 1.1.2
texto que esta˜o satisfeitas hipo´teses suficientes que assegurem a existeˆncia das
soluc¸o˜es; na verdade vamos assumir, a menos que ocorra refereˆncia expl´ıcita ao
contra´rio, que para as equac¸o˜es diferenciais neste texto, as soluc¸o˜es existem para
todo valor de t real. (Como e´ sabido, o problema de existeˆncia de soluc¸o˜es para
equac¸o˜es diferenciais parciais e´ muito mais complexo e nem sempre apresenta
soluc¸a˜o, mesmo para equac¸o˜es diferenciais parciais cujos coeficientes envolvam
apenas func¸o˜es infinitamente deriva´veis.)
Uma func¸a˜o F e´ dita de classe C0 se ela e´ cont´ınua. Dizemos que F e´ de
classe Cr, r > 1, se todas as derivadas parciais mistas de F ate´ ordem r existem
e sa˜o cont´ınuas. Uma func¸a˜o F e´ dita de classe C∞ se existem todas as derivadas
parciais mistas de F de todas as ordens. A menos que se especifique o contra´rio,
todas as func¸o˜es neste texto sa˜o tomadas por hipo´tese de classe C∞.
O leitor familiarizado com o teorema de existeˆncia e unicidade para equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias pode omitir a leitura do que se segue nesta sec¸a˜o e pros-
seguir diretamente para a pro´xima.
Teorema 1.1.1: Existeˆncia e Unicidade para Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias:
Dados F : Rn → Rn de classe C1 e a equac¸a˜o diferencial x′(t) = F (x(t)), com
condic¸a˜o inicial x(t0) = x0 ∈ Rn, existe ε > 0 tal que a soluc¸a˜o x(t) da equac¸a˜o
existe em (t0− ε, t0 + ε) e e´ u´nica neste intervalo, isto e´, existe apenas uma curva
x : (t0−ε, t0+ε) → Rn tal que x(t0) = x0 e, para cada |t−t0| < ε, x′(t) = F (x(t)).
Denomina-se F de campo de vetores.
O problema de encontrar soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial com uma
condic¸a˜o inicial e´ denominado problema de Cauchy; o teorema acima afirma enta˜o
que para equac¸o˜es diferenciais ordina´rias sempre existe soluc¸a˜o para o problema
de Cauchy. Muitas vezes uma equac¸a˜o diferencial estara´ definida apenas num
subconjunto aberto B ⊂ Rn e na˜o no espac¸o todo; por abuso de linguagem
continuaremos dizendo que a equac¸a˜o ou campo de vetores esta´ definido no Rn.
Referimos ao leitor o livro Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de C. Doering e
A. Lopes, para maiores detalhes a respeito deste resultado, que e´ igualmente
va´lido para equac¸o˜es definidas apenas em subconjuntos abertos do Rn, bem como
para equac¸o˜es diferenciais na˜o-autoˆnomas, isto e´, equac¸o˜es diferenciais do tipo
x′ = F (x, t).
16 Mecaˆnica Newtoniana
Dada uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem em Rn, x′′ = g(x, x′), x ∈
Rn, com condic¸o˜es iniciais x(t0) = x0, x
′(t0) = y0, (assuminos que g e´ ao menos
de classe C1) e´ sempre poss´ıvel transformar a ana´lise das soluc¸o˜es deste problema
no estudo das soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o de primeira ordem em R2n. Para isso
introduzimos as varia´veis (x1, x2) ∈ R2n com x1, x2 ∈ Rn. O campo de vetores
de primeira ordem {
x′1 = x2
x′2 = g(x1, x2)
(ou seja, F (x1, x2) = (x2, g(x1, x2))) com a condic¸a˜o inicial (x1(t0), x2(t0)) =
(x0, y0) e´ equivalente a` equac¸a˜o de segunda ordem dada pois, denotando por
(x1(t), x2(t)) a soluc¸a˜o desta equac¸a˜o, verificamos que x1(t) satisfaz
x′′1(t) = (x
′
1)
′(t) = x′2(t) = g(x1(t), x2(t)) = g(x1(t), x
′
1(t))
e x1(t0) = x0, x
′
1(t0) = x2(t0) = y0, de modo que x(t) = x1(t) e´ soluc¸a˜o de
x′′(t) = g(x(t), x′(t)), com as condic¸o˜es iniciais dadas. (Reciprocamente, se x(t)
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de segunda ordem, o par (x(t), x′(t)) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
de primeira ordem associada.)
Note que F e´ de classe C1 pois assumimos que g e´ desta classe.
Por exemplo, no caso da mola mx′′ = −kx, podemos considerar o sistema
x′1 = x2, x
′
2 = − kmx1 (ou seja, F (x1, x2) = (x2,− kmx1) ).
Na maioria das vezes e´ mais interessante trabalhar com uma equac¸a˜o di-
ferencial de primeira ordem do que com uma de segunda ordem, mesmo que
para isso tenhamos que aumentar o nu´mero de varia´veis de n para 2n. A va-
ria´vel x2(t) = x
′
1(t) acima introduzida nos da´ informac¸a˜o sobre a derivada de
x(t) = x1(t). Pelo que vimos acima, segue do teorema 1.1.1 que a soluc¸a˜o x(t)
de x′′ = g(x, x′) com condic¸o˜es iniciais x(t0) = x0, x′(t0) = y0, existe.
Exemplo 1.1.2: Seja F a transformac¸a˜o linear dada por: F (x1, x2) = (a11x1 +
a12x2, a21x1 + a22x2) onde a11, a12, a21, a22 sa˜o nu´meros reais. Neste caso, o sis-
tema de equac¸o˜es x′ = F (x) e´:{
x′1 = a11x1 + a12x2
x′2 = a21x1 + a22x2 .
Denote a matriz de F, com entradas aij , i, j ∈ {1, 2}, por A. De uma maneira
mais compacta a equac¸a˜o acima, junto com uma condic¸a˜o inicial x(t0) = x0, pode
ser descrita como
x′ = Ax, x(t0) = x0 = (x01, x
0
2) .
Neste caso a soluc¸a˜o (que sempre existe) pode ser expressa por
x(t) = e(t−t0)Ax0 = I(x0) + (t− t0)A(x0)+
+
(t− t0)2
2!
A2(x0) +
(t− t0)3
3!
A3(x0) + · · ·+ (t− t0)
n
n!
An(x0) + · · ·
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 17
Estamos usando a seguinte notac¸a˜o: An e´ o produto matricial de A consigo
mesma n vezes, A(x) denota a matriz A aplicada ao vetor x em R2 e I denota a
matriz identidade (isto e´, I(x) = x, para todo x). E´ usual dizer que a expressa˜o
acima e´ a expansa˜o de etA em se´rie de poteˆncias. Referimos ao leitor o livro de
C. Doering e A. Lopes, 2005, para considerac¸o˜es gerais sobre esse to´pico.
Pode-se mostrar (ver C. Doering e A. Lopes, 2005) que
e
t
 a b−b a

= et a
(
cos(b t) sen (b t)
− sen (b t) cos(b t)
)
.
No caso da equac¸a˜o mx′′ = −kx da mola sem atrito, o sistema
x′1 = x2, x
′
2 = −
k
m
x1,
nos conduz a analisar a matriz
A =
(
0 1
− k
m
0
)
.
Neste caso, tomando t0 = 0, temos que
e
t
 0 1− k
m
0
 (
x01
x02
)
=
(
x1(t)
x2(t)
)
,
determina a soluc¸a˜o (x1(t), x2(t)) de
x′1 = x2, x
′
2 = −
k
m
x1,
sujeito a condic¸a˜o inicial
(x1(0), x2(0)) = (x
0
1, x
0
2).
Exemplo 1.1.3: Fixada a matriz(
2.3 4.5
1.2 5
)
e a condic¸a˜o inicial x(0) = (1, 0) = (x01, x
0
2), temos que a soluc¸a˜o x(t) de
x′(t) = Ax(t)
e´ dada por
x(t) =
(
x1(t)
x2(t)
)
= et A
(
1
0
)
=
18 Mecaˆnica Newtoniana[
∞∑
n=0
1
n!
(
(
2.3 t 4.5 t
1.2 t 5 t
)
)n ]
(
1
0
)
=
[(1 0
0 1
)
+
(
2.3 t 4.5 t
1.2 t 5 t
)
+
1
2
(
2.3 t 4.5 t
1.2 t 5 t
)2
+
1
3!
(
2.3 t 4.5 t
1.2 t 5 t
)3
+ ...
] (1
0
)
Exerc´ıcio:
1. Calcule a soluc¸a˜o do sistema{
x′1 = 3x1 ,
x′2 = −2x2 ,
com condic¸a˜o inicial (x1(0), x2(0)) = x0 = (x
0
1, x
0
2). Descreva de maneira es-
quema´tica as trajeto´rias das soluc¸o˜es (x1(t), x2(t)).
Agora, calcule diretamente (atrave´s da expressa˜o em se´rie de poteˆncias) o
vetor etA(x01, x
0
2) = (x1(t), x2(t)) quando A e´ a matriz correspondente ao pre-
sente caso. Cheque que as duas expresso˜es encontradas para (x1(t), x2(t)) sa˜o as
mesmas.
2. Fac¸a as contas e mostre que(
x1(t)
x2(t)
)
= et a
(
cos(t b) sen (t b)
− sen (t b) cos(t b)
) (
x01
x02
)
,
resolve o sistema (
x
′
1(t)
x
′
2(t)
)
=
(
a b
−b a
) (
x1(t)
x2(t)
)
,
e satisfaz a condic¸a˜o inicial(
x1(0)
x2(0)
)
=
(
x01
x02
)
∈ R2.
1.2 O TEOREMA DE CONSERVAC¸A˜O DE ENERGIA TOTAL
Passamos agora a analisar o caso geral do sistema de primeira ordem em R2
associado a` equac¸a˜o de segunda ordem em R dado pela lei de Newton. Suponha
que x(t) descreve a evoluc¸a˜o de uma part´ıcula sob a ac¸a˜o de um campo de forc¸as
f : R → R. Pela lei de Newton, a trajeto´ria x(t) obedece a seguinte equac¸a˜o
diferencial, com as apropriadas condic¸o˜es iniciais:{
mx′′ = f(x)
x(t0) = x0, x
′(t0) = y0 .
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 19
Da mesma maneira como procedemos no caso geral acima, o sistema de primeira
ordem em R2 associado a esta equac¸a˜o de segunda ordem em R e´:{
x′1 = x2, x1(0) = x0
x′2 =
1
m
f(x1), x2(0) = y0
que vemos como a equac¸a˜o de primeira ordem (x′1, x
′
2) = F (x1, x2) do campo de
vetores F dado por:
F (x1, x2) =
(
x2,
1
m
f(x1)
)
.
Denote por (x1(t), x2(t)) a soluc¸a˜o em R
2 deste sistema com a condic¸a˜o inicial
(x1(0), x2(0)) = (x0, y0). Como ja´ foi feito na sec¸a˜o anterior, aqui temos que
x(t) = x1(t) e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de segunda ordem mx
′′ = f(x), x(0) =
x0, x
′(0) = y0 e portanto podemos analisar um sistema de primeira ordem em R2
em vez do sistema de segunda ordem em R associado a` lei de Newton. Como
veremos a seguir, e´ mais conveniente e natural trabalhar com o espac¸o de posic¸o˜es
e de velocidades juntos do que somente com o espac¸o de posic¸o˜es isoladamente.
Exemplo 1.2.1: No caso da equac¸a˜o da mola sem atrito (ver exemplo 1.1.1),
mx′′ = −kx, x(0) = x0, x′(0) = y0 ,
as considerac¸o˜es anteriores nos conduzem ao sistema linear{
x′1 = x2
x′2 = − kmx1 ,
ou seja, a` equac¸a˜o matricial(
x′1
x′2
)
=
(
0 1
− k
m
0
)(
x1
x2
)
.
Como sabemos da teoria das equac¸o˜es diferenciais, as soluc¸o˜es desta equac¸a˜o
sa˜o obtidas atrave´s do polinoˆmio caracter´ıstico de mx′′ + kx = 0, que neste caso
e´ mλ2 + k = 0. Enta˜o λ = ±ωi, onde ω > 0 e´ dado por
ω =
√
k
m
e a soluc¸a˜o com x1(0) = x0, x2(0) = y0 e´
(x(t), x′(t)) = (x1(t), x2(t)) =
=
(
x0 cosωt + y0
1
ω
senωt, −x0ω senωt + y0 cosωt
)
.
A soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o diferencial portanto descreve uma elipse, como
mostra a fig. 1.2.1.
20 Mecaˆnica Newtoniana
Figura 1.2.1
Exemplo 1.2.2: Considere o movimento livre de uma part´ıcula de massa m
na reta R, ou seja, considere o caso em que o campo de forc¸as f e´ nulo. Pela lei
de Newton teremos:
mx′′ = 0, x(0) = x0, x′(0) = y0 .
Integrando duas vezes, obtemos a soluc¸a˜o geral:
x(t) = at+ b .
Neste caso a velocidade x′(t) e´ constante e e´ igual a a. As constantes a, b ∈ R
podem ser encontradas em func¸a˜o das condic¸o˜es iniciais resolvendo o sistema:
x0 = x(0) = a 0 + b = b, y0 = x
′(0) = a. Logo a = y0, b = x0, e portanto
a soluc¸a˜o geral deste sistema mecaˆnico e´ x(t) = y0t + x0. Reciprocamente, se
x′′(t) = 0, ∀t ∈ R, enta˜o f = 0.
Nosso objetivo e´ analisar campos de forc¸as da forma geral f(x, x′, t).
A lei de Newton: Vamos supor que x(t) ∈ Rn para cada t ∈ R, descreve a
posic¸a˜o de uma part´ıcula de massa m em Rn sob a ac¸a˜o de um campo de forc¸as
f : R2n+1 → Rn, f(x, x′, t), x ∈ Rn, x′ ∈ Rn, t ∈ R. A lei de Newton afirma que
a trajeto´ria x(t) do sistema mecaˆnico satisfaz a equac¸a˜o diferencial de segunda
ordem
mx′′(t) = f(x(t), x′(t), t) .
Definic¸a˜o 1.2.1: Um campo de forc¸as que depende do tempo t, ou seja um
sistema do tipo x′′(t) = f(x, x′, t), com f : R2n+1 → Rn, e´ dito na˜o-autoˆnomo.
Os campos que na˜o dependem de t sa˜o ditos autoˆnomos.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 21
Quando falamos de um campo de forc¸as e na˜o especificamos nada, deve ser
entendido que este campo de forc¸as e´ autoˆnomo.
A lei de Newton, em qualquer caso, afirma que mx′′ = f(x, x′, t).
Observac¸a˜o 1.2.1: Passamos a usar a seguinte notac¸a˜o: se f(x, x′, t) e´ um
campo de forc¸as, vamos seguir a tradic¸a˜o, utilizando x˙ para indicar a varia´vel
independente da equac¸a˜o de primeira ordem associada a mx′′ = f(x, x′, t). Sendo
assim, escreveremos
F (x, x˙, t) =
(
x˙,
1
m
f(x, x˙, t)
)
,
inclusive quando, adiante, estivermos trabalhando com mais de uma varia´vel e
x = (x1, . . . , xn), x˙ = (x˙1, . . . , x˙n). Esta notac¸a˜o e´ conveniente para lembrar-nos
que x˙ denota, afinal de contas, a varia´vel que e´ substitu´ıda pela velocidade: se
x = x(t), enta˜o x˙ = x′(t). Como veremos a seguir, e´ u´til fazer esta distinc¸a˜o. O
teorema 1.1.1 assegura a existeˆncia da soluc¸a˜o x(t).
Definic¸a˜o 1.2.2: Se f(x, x′) e´ um campo de forc¸as, o espac¸o da varia´vel x ∈ Rn
e´ chamado de espac¸o de configurac¸o˜es do sistema mecaˆnico, enquanto o espac¸o
da varia´vel (x, x˙) ∈ R2n e´ chamado espac¸o de fase do sistema.
As varia´veis x e x˙ sa˜o, na verdade, independentes quando consideramos o par
(x, x˙) no espac¸o de fase. O “ ˙ ” serve apenas para nos lembrar qual termo da
equac¸a˜o diferencial de segunda ordem corresponde a` derivada temporal de x (a
velocidade) na equac¸a˜o de primeira ordem associada.
Muitas vezes os livros de mecaˆnica usam a notac¸a˜o (q, q˙) = (x, x˙) para denotar
as varia´veis independentes posic¸a˜o e velocidade. Assim o espac¸o de configurac¸o˜es
e´ o espac¸o da varia´vel q e o espac¸o de fase e´ o espac¸o da varia´vel (q, q˙). Alguns
livros chamam de espac¸o de fase apenas o conjunto dos pontos da forma (q, p),
onde p e´ o momento (que sera´ definido adiante, no cap´ıtulo 3). No´s usamos o
termo espac¸o de fase num sentido geral para qualquer um dos dois casos (q, q˙)
ou (q, p).
Tentamos sempre reservar a expressa˜o x′(t) para a derivada temporal da tra-
jeto´ria x(t). A derivada em t de uma func¸a˜o tomando valores em R ou Rn, e que
depende do tempo t ∈ R, e´ denotada por ′ ou d
dt
. Expresso˜es do tipo d
dx˙
(ou ∂
∂x˙
)
denotam derivada (ou derivada parcial) em relac¸a˜o a` varia´vel independente x˙.
Estamos, na verdade, interessados em indicar de maneira esquema´tica as tra-
jeto´rias no espac¸o de fase, como aparece, por exemplo, na fig. 1.2.1, no caso da
mola sem atrito. Usamos a seguinte notac¸a˜o: a seta sobre a trajeto´ria indica a
direc¸a˜o do tempo crescente. Duas trajeto´rias do espac¸o de fase na˜o podem se
cortar, por causa da propriedade da unicidade de soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o dife-
rencial ordina´ria (ver teorema 1.1.1). Note tambe´m que desenhar trajeto´rias no
espac¸o de fase (x, x˙), e´ algo que so´ faz sentido para sistemas autoˆnomos.
Vamos agora introduzir o conceito de energia total de um sistema mecaˆnico:
Definic¸a˜o 1.2.3: Considere um sistema regido pela lei de Newton f(x) = mx′′.
22 Mecaˆnica Newtoniana
Existindo U : Rn → R tal que ∇U(x) = ( ∂U
∂x1
, ..., ∂U
∂xn
) = −f(x), diremos que o
campo de forc¸as f e´ conservativo. Neste caso, a func¸a˜o E :R2n → R, tal que
E(x, x˙) = 12m|x˙|2 +U(x), onde, x, x˙ ∈ Rn, e´ denominada energia total do sistema
mecaˆnico mx′′ = f(x). O termo 12m|x˙|2 e´ denominado energia cine´tica e o termo
U(x) e´ denominado energia potencial.
O potencial U e´ definido a menos de uma constante aditiva, pois U(x) ou
U(x)+α, sendo α uma constante real, definem o mesmo campo de forc¸as f (con-
forme definic¸a˜o acima) e, portanto, produzem o mesmo efeito no nosso modelo.
Note que U depende so´ de x.
Nem sempre existe tal U . Para um dado f , condic¸o˜es em que se pode afirmar
que exista tal U podem ser encontradas em 3.10.
Vamos considerar primeiro o caso unidimensional (o caso n-dimensional sera´
tratado mais tarde): fixe x0 e considere U(x) = −
∫ x
x0
f(y)dy. Nesse caso, existe
U tal que dU
dx
= −f(x) e, portanto, f e´ sempre conservativo.
Seja agora x(t) a trajeto´ria de uma part´ıcula sob a ac¸a˜o de um campo de
forc¸as f : R→ R. A energia cine´tica da trajeto´ria x(t) no tempo t e´
EC(x
′(t)) =
1
2
mx′(t)2 ,
a energia potencial da trajeto´ria x(t) no tempo t e´
U(x(t)) = −
∫ x(t)
x0
f(y)dy ,
e a energia total da trajeto´ria x(t) no tempo t e´ a soma energia cine´tica + energia
potencial, ou seja,
E(x(t), x′(t)) =
1
2
mx′(t)2 + U(x(t)) .
A energia cine´tica depende somente da varia´vel x˙ ∈ R, ou seja, da velocidade,
atrave´s da expressa˜o EC(x˙) =
1
2mx˙
2. Finalmente, a energia total e´ uma func¸a˜o
de ambas as varia´veis do espac¸o de fase: E(x, x˙) = 12mx˙
2 + U(x). Para unificar
a escrita, muitas vezes consideramos tambe´m as energias cine´tica e potencial
definidas no espac¸o de fase (q, q˙) = (x, x˙), mesmo que cada uma delas na verdade
dependa de apenas uma destas duas varia´veis. EC , EP : R
2 → R enta˜o sa˜o dadas
por EC(x, x˙) =
1
2mx˙
2 e EP (x, x˙) = U(x), resultando ET (x, x˙) = EC(x, x˙) +
EP (x, x˙).
Exemplo 1.2.3:
a) Para o campo de forc¸as associado a` mola, f(x) = −kx, a energia potencial
e´ EP (x) = U(x) =
1
2kx
2 = 12mω
2x2 e a energia total e´
ET (x, x˙) =
1
2
mx˙2 +
1
2
kx2 =
1
2
m
[
x˙2 + ω2x2
]
.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 23
Vamos agora calcular os valores das energias ao longo de certos caminhos.
Primeiramente, para um caminho x(t) que na˜o e´ soluc¸a˜o deste sistema mecaˆnico,
ilustrando uma propriedade importante descrita no pro´ximo teorema.
a1) Considere x(t) = eαt, onde α ∈ R e´ constante; x(t) evidentemente na˜o e´
soluc¸a˜o da equac¸a˜o mx′′ = −kx. Nesse caso
EC(x
′(t)) = energia cine´tica =
m
2
(αeαt)2 =
1
2
mα2e2αt ,
U(x(t)) = energia potencial = −
∫ x
0
−ky dy = kx
2
2
=
1
2
ke2αt e
E(x(t)) = energia total =
1
2
(mα2 + k)e2αt .
a2) Considere agora a trajeto´ria x(t) = cosωt, que de fato e´ soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial mx′′ = −kx dada pela lei de Newton; f(x) = −kx e´ o campo
de vetores associado a` mola e x′(t) = −ω senωt. Neste caso,
EC(x
′(t)) =
1
2
m (−ω senω t)2 = 1
2
k sen2ωt ,
U(x(t)) = −
∫ x(t)
0
(−ky)dy = 1
2
kx(t)2 =
1
2
k cos2 ωt e
E(x(t)) =
1
2
k
(
cos2 ωt+ sen2ωt
)
=
1
2
k .
b) Um caso importante que merece destaque e´ o da atrac¸a˜o de dois corpos.
Considere duas part´ıculas de massas respectivamente m1 e m2. Suponha que
a primeira part´ıcula, de massa m1 , na˜o possa se mover. Vamos supor, para
simplificar, que ela esta´ fixa na origem da reta real, ou seja no ponto 0, e que
x = x(t) vai descrever a evoluc¸a˜o temporal da part´ıcula m2. Foi observado
por Newton que a part´ıcula de massa m2 , quando localizada no ponto x, sofre
uma forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional de intensidade f = −Gm1m2
(x)2
, onde G e´ uma
constante universal. A direc¸a˜o da forc¸a de atrac¸a˜o f (criada pelas part´ıcula de
massa m1 e m2) e que age sobre a part´ıcula de massa m2, aponta de x para 0 (ver
fig. 1.2.2). O potencial associado a este campo e´ enta˜o U(x) = −G ∫ x
x0
m1m2
y2
dy,
ou seja, U(x) = Gm1m2
x
. De acordo com a lei de Newton, x(t) satisfaz mx′′(t) =
−Gm1m2
(x(t))2
.
A soluc¸a˜o do presente problema mecaˆnico sera´ apresentada na sec¸a˜o 1.6.
c) Vamos analisar agora o movimento de uma part´ıcula em queda livre: um
corpo de massa m e´ largado de uma altura x0 com velocidade inicial zero, caindo
verticalmente, sem atrito, sob ac¸a˜o da forc¸a gravitacional f = −gm, onde g e´ a
constante de gravidade. Nesse caso, a energia potencial e´ EP (x) = U(x) = gmx e
a energia total e´ ET (x, x˙) =
1
2mx˙
2 +gmx. Note que a energia potencial e´ a massa
vezes a altura vezes g; adiante voltaremos a usar este fato.
24 Mecaˆnica Newtoniana
f
1
x
2
x
x
1
f
2
X
1
f
1 f
2
X
2
X
Figura 1.2.2
Figura 1.2.3
A equac¸a˜o diferencial obtida pela lei de Newton e´ mx′′ = −mg, ou seja, x′′ =
−g. Integrando, obtemos x(t) = − 12gt2 +bt+c; considerando as condic¸o˜es iniciais
x(0) = x0, x
′(0) = 0, eliminamos as constantes b e c, obtendo x(t) = − 12gt2 +x0.
A partir do x(t) geral acima obtido, deduzimos que x′(t) = −gt + b. Obtemos
assim a soluc¸a˜o geral (x(t), x˙(t)) = (− 12gt2 + bt+ c,−gt+ b) do sistema mecaˆnico
(c = x0, b = x
′(0)). As trajeto´rias deste sistema no espac¸o de fase (x, x˙) aparecem
na fig. 1.2.3. Calculando os valores das energias ao longo destas trajeto´rias x(t)
obtemos
EC(x
′(t)) =
1
2
m(−gt+ b)2,
U(x(t)) = −
∫ x(t)
0
−mgdy = mg(x(t)− x(0)) = mg(−1
2
gt2 + bt+ c)−mgx0
e, finalmente, a energia total e´ uma constante independente de t.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 25
O leitor deve ser alertado para o seguinte: a lei de atrac¸a˜o entre dois corpos
afirma que a forc¸a a ser considerada (no caso, aquela agindo da Terra sobre o
corpo que esta´ caindo) na˜o e´ constante pois, como vimos em b) acima, depende
do inverso do quadrado da distaˆncia. Acontece que para pequenas distaˆncias (em
comparac¸a˜o com o diaˆmetro da terra) sobre a superf´ıcie da terra essa forc¸a na˜o
varia muito. Sendo assim, em certas situac¸o˜es que envolvem pequenas distaˆncias,
podemos supor, para simplificar, que ela e´ constante, como fizemos neste exem-
plo. Consequ¨entemente, o potencial e´ a altura, ou seja, a distaˆncia do corpo
a algum ponto de refereˆncia, que assim define um campo de forc¸as constante.
Lembre tambe´m que o potencial pode ser sempre definido a menos de uma cons-
tante aditiva.
Nos itens a2) e c), as trajeto´rias x(t) (cada uma e´ soluc¸a˜o do problema
mecaˆnico correspondente) dos exemplos acima sa˜o tais que a energia total e´
constante, mas na˜o no item a1), no qual x(t) na˜o e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada
pela lei de Newton. Este fato e´ objeto da ana´lise a seguir, quando consideramos
o teorema de conservac¸a˜o de energia total.
Vamos relembrar no caso unidimensional um conceito introduzido antes.
Definic¸a˜o 1.2.4: Um campo de forc¸as da forma f(x) definido em R e´ dito
conservativo se existe uma func¸a˜o U(x), denominada um potencial de f, tal que
−dU
dx
(x) = f(x) .
Como vimos antes, se f depende apenas da posic¸a˜o x ∈ R e na˜o da velocidade
x˙, sempre se obte´m U : basta tomar qualquer primitiva de f .
Propriedade Importante: Todos os campos de forc¸as f(x), f : R → R sa˜o
conservativos e a energia potencial esta´ bem definida.
Adiante analisaremos este conceito no caso do Rn, onde nem todos os campos
de forc¸as da forma f(x) sa˜o conservativos.
Campos de forc¸as da forma f(q, q˙) (ou f(q, t)), ainda que q, q˙ ∈ R, sa˜o
claramente na˜o conservativos, ou seja, na˜o e´ poss´ıvel encontrar U(x) tal que
−dU
dx
= f(x, x˙).
Teorema 1.2.1: Conservac¸a˜o de Energia Total: Considere um campo de forc¸as
f(x) conservativo e com potencial U = EP . Se x(t) satisfaz a lei de Newton,
mx′′(t) = f(x(t)), enta˜o a energia total ao longo de x(t),
E(x(t), x′(t)) = EC(x′(t)) + U(x(t)) ,
e´ constante.
Demonstrac¸a˜o:Denotemos h(t) = E(x(t), x′(t)) e mostremos que h e´ cons-
tante. Como E(x, x˙) = 12mx˙
2 + U(x), temos h(t) = 12m(x
′(t))2 + U(x(t)); deri-
26 Mecaˆnica Newtoniana
vando h obtemos
h′(t) = 12m2x
′(t)x′′(t) + dU
dx
(x(t))x′(t) = mx′′(t)x′(t)− f(x(t))x′(t) =
= mx′′(t)x′(t)−mx′′(t)x′(t) = 0 ,
pois mx′′ = f(x) e dU
dx
(x) = −f(x). Isso prova que h e´ uma func¸a˜o constante e,
portanto, que a energia total e´ constante ao longo da trajeto´ria x(t).
Definic¸a˜o 1.2.5: Uma integral primeira de uma equac¸a˜o diferencial autoˆnoma
de primeira ordem x′ = F (x) definida em um aberto A ⊂ Rn e´ uma func¸a˜o
W : A → R que e´ diferencia´vel e na˜o constante em qualquer aberto contido em
A, mas que e´ constante ao longo de cada trajeto´ria da equac¸a˜o diferencial. Em
outras palavras, se x′ = F (x) e´ a equac¸a˜o com F : Rn → Rn, W na˜o deve
ser diferencia´vel e inconstante em qualquer aberto, tal que d
dt
W (x(t)) = 0, para
qualquer soluc¸a˜o x(t) ∈ Rn de x′ = F (x).
Note que estamos exigindo que o domı´nio da integral primeiraW seja o mesmo
da equac¸a˜o diferencial x′ = F (x).
Sendo assim, pelo teorema 1.2.1, a energia total e´ uma integral primeira
da equac¸a˜o diferencial de primeira ordem (x′, x˙′) = z′ = F (z) = F (x, x˙) =
(x˙, 1
m
f(x)) associada ao sistema mecaˆnico mx′′(t) = f(x(t)) e, portanto, cada
soluc¸a˜o z(t) = (x(t), x′(t)) permanece dentro de exatamente uma u´nica curva de
n´ıvel E(x, x˙) = constante da func¸a˜o energia total. Note que, acima, x e x˙ sa˜o
varia´veis independentes e que (x′(t), x˙′(t)) significa derivac¸a˜o de (x(t), x˙(t)), em
relac¸a˜o a` varia´vel t.
Exemplo 1.2.4: O resultado anterior permite identificar o conjunto dos pontos
do espac¸o de fase definidos pelas soluc¸o˜es do problema mecaˆnico em dois dos
exemplos que analisamos acima. No caso da mola sem atrito, a energia total e´
E(x, x˙) = 12mx˙
2 + k2x
2, logo as trajeto´rias esta˜o sobre elipses (ver fig. 1.2.1). No
caso do corpo em queda livre, a energia total e´ E(x, x˙) = m2 x˙
2 + gmx; tomando
E = constante, obtemos que x e´ quadra´tico em x˙, como mostra a fig. 1.2.3. Esta
e´ uma importante informac¸a˜o a respeito das trajeto´rias de um sistema mecaˆnico
conservativo: o teorema acima permite calcular x em func¸a˜o de x˙. Adiante
veremos como se pode usar esse teorema para tentar calcular x em func¸a˜o de t.
Muitas vezes a forc¸a f depende na˜o apenas de x, mas tambe´m de x˙, como,
por exemplo, no caso da mola com atrito, em que o campo de forc¸as e´ dado por
f(x, x˙) = −kx− cx˙ ,
onde k continua sendo a constante de elasticidade da mola, mas agora c e´ a
constante de atrito da mola. A lei de Newton, como afirmamos antes, e´ va´lida
da mesma maneira:
f(x, x′) = mx′′ .
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 27
x
x
.
Figura 1.2.4
Esse na˜o e´ um sistema conservativo, pois a forc¸a, nesse caso, depende da ve-
locidade e na˜o podemos expressar f(x, x′) como −dU
dx
(x). Note que as trajeto´rias
(x(t), x′(t)) da mola com atrito (ver fig. 1.2.4) teˆm um comportamento bastante
distinto dos da mola sem atrito. (O caso da mola com atrito sera´ analisado no
exemplo 1.7.9.)
Definic¸a˜o 1.2.6: Uma equac¸a˜o diferencial (ou campo de vetores) de primeira
ordem em A ⊂ Rn, x′ = F (x), e´ dita integra´vel se existe um nu´mero suficiente de
integrais primeiras, a ponto de permitir identificar as curvas (conjunto de pontos
do Rn) definidas pelas trajeto´rias do sistema.
Dizemos que n−1 integrais primeiras W1,W2, ...,Wn−1 sa˜o linearmente inde-
pendentes, se para todo x ∈ A− {x|F (x) = 0} vale que os vetores
∇W1(x),∇W2(x), ...,∇Wn−1(x)
sa˜o linearmente independentes. Segue o teorema da func¸a˜o impl´ıcita que n −
1 integrais primeiras linearmente independentes permitem identificar as curvas
soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial x′ = F (x).
Exemplo 1.2.5: A equac¸a˜o diferencial (x′1, x
′
2, x
′
3) = (−x2, x1, 0) e´ integra´vel
pois W1(x1, x2, x3) = x3 e W2(x1, x2, x3) = x
2
1 + x
2
2 sa˜o integrais primeiras do
sistema que permite identificar as curvas definidas pelas soluc¸o˜es da equac¸a˜o
diferencial: as trajeto´rias esta˜o sempre simultaneamente dentro de planos x3 =
constante e de cilindros x21 + x
2
2 = constante (ver fig. 1.2.5), ou seja, sa˜o c´ırculos
horizontais no R3. Note que W1 e W2 sa˜o linearmente independentes.
28 Mecaˆnica Newtoniana
x
3
x
2
x
1
Figura 1.2.5
Neste exemplo em R3 precisamos de duas integrais primeiras para determinar
as curvas. Em geral, em Rn, sa˜o necessa´rias n − 1 integrais primeiras Wi(x)
linearmente independentes em cada ponto, para que Wi(x) = constante, 1 ≤ i ≤
n− 1, determine implicitamente uma curva em Rn.
Definic¸a˜o 1.2.7: Um sistema mecaˆnico autoˆnomo definido por um campo de
forc¸as f : Rn → Rn e´ dito integra´vel se o associado sistema de primeira ordem
(x′, x˙′) = F (x, x˙) = (x˙, 1
m
f(x)) em R2n e´ integra´vel. Algumas vezes diremos que
o campo de forc¸as e´ integra´vel
O leitor pode avaliar agora a importaˆncia do teorema de conservac¸a˜o de ener-
gia total. Ele permite identificar o conjunto dos pontos das curvas soluc¸o˜es
no caso de sistemas conservativos unidimensionais com potencial U : as cur-
vas soluc¸o˜es esta˜o contidas dentro das curvas de n´ıvel da func¸a˜o energia total,
E(x, x˙) = 12mx˙
2 +U(x). Para sistemas mecaˆnicos em dimensa˜o maior (com cam-
pos de forc¸as em R2 ou em Rn) a energia total por si mesma na˜o permite identi-
ficar as curvas de n´ıvel que conte´m cada soluc¸a˜o e sa˜o necessa´rias mais integrais
primeiras, as quais nem sempre existem em nu´mero suficiente. Isto e´, na maioria
das vezes, em dimensa˜o maior do que dois, o sistema na˜o e´ integra´vel. Pode-se
dizer, no entanto, que no caso unidimensional, isto e´, no caso em que o campo
de forc¸as e´ definido por f : R → R, o sistema mecaˆnico autoˆnomo e´ sempre
integra´vel: uma integral primeira, a energia total, permite por si so´, identificar
as curvas que conte´m as o´rbitas (x(t), x′(t)). Mais tarde, quando analisarmos
campos de vetores em R3, voltaremos a considerar estas questo˜es.
Note que saber que a soluc¸a˜o (x(t), x′(t)) esta´ dentro de uma curva de n´ıvel
na˜o permite, em princ´ıpio, determinar, para um certo valor de t, qual e´ o valor da
soluc¸a˜o x(t). E´ importante destacar, no entanto, que no caso de x unidimensional
o teorema de conservac¸a˜o de energia total permite de fato determinar a evoluc¸a˜o
temporal de um sistema conservativo unidimensional se soubermos calcular uma
certa integral. Isso sera´ descrito a seguir.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 29
Do teorema 1.2.1, E = 12mx˙
2 + U(x) = constante, obtemos
dx
dt
= x˙ =
√
2
m
(E − U(x)) .
Esta equac¸a˜o de primeira ordem e´ separa´vel pois so´ depende de x, e portanto
e´ integra´vel. Suponha que saibamos calcular
g(x) =
∫
1√
2
m
(E − U(x))
dx ;
pela regra da cadeia,
dg(x(t))
dt
=
1√
2
m
(E − U(x))
dx
dt
= 1 .
Logo, g(x(t)) = t + c, com c constante, e encontramos x(t) implicitamente, em
func¸a˜o de t. Este me´todo e´ algumas vezes chamado de integrac¸a˜o de uma equac¸a˜o
diferencial por quadraturas.
Referimos ao leitor D. Figueiredo e A. Neves, 1997 para algumas considerac¸o˜es
sobre integrais el´ıpticas, to´pico que esta´ relacionado com as integrais acima con-
sideradas.
Exerc´ıcios:
1. Calcule a trajeto´ria da part´ıcula com massa m, sujeita ao campo de forc¸as
f(x) = kx, k > 0. Calcule as energias cine´tica, potencial e total. Descreva as
trajeto´rias no espac¸o de fase de maneira esquema´tica.
2. Considere o potencial U(x) = x4. Calcule a energia total E(x, x˙), E :
R2 → R do sistema mecaˆnico obtido e a seguir esboce as curvas de n´ıvel de ET .
3. Usando o teorema de conservac¸a˜o de energia e o me´todo de integrac¸a˜o por
quadraturas, encontre x(t) para o sistema mecaˆnico x′′ = −x, considerandoa
mola com massa 1 e constante de elasticidade 1.
1.3 SISTEMAS COM VI´NCULOS UNIDIMENSIONAIS
Vamos agora analisar a lei de Newton para o caso de campos de forc¸as bidi-
mensionais.
A lei de Newton: Vamos supor que x(t) = (x1(t), x2(t)), t ∈ R, descreve a
posic¸a˜o de uma part´ıcula de massa m no plano R2 sob a ac¸a˜o de um campo de
forc¸as f : R2 → R2. A lei de Newton afirma que a trajeto´ria x(t) = (x1(t), x2(t))
do sistema mecaˆnico satisfaz a equac¸a˜o diferencial de segunda ordem
m(x′′1(t), x
′′
2(t)) = mx
′′(t) = f(x(t)) = f(x1(t), x2(t)).
30 Mecaˆnica Newtoniana
Sendo assim, a lei de Newton em R2 e´ exatamente a mesma que na reta ou em
Rn. A equac¸a˜o diferencial e´ de segunda ordem em R2 e, portanto, dadas a posic¸a˜o
inicial (x1(0), x2(0)) = x0 ∈ R2 e a velocidade inicial (x′1(0), x′2(0)) = y0 ∈ R2,
fica determinada, de maneira u´nica, a trajeto´ria (x1(t), x2(t)) da part´ıcula.
Exemplo 1.3.1: Um corpo em queda livre em um plano sob a ac¸a˜o da gravidade
determina o campo de forc¸as f(x1, x2) = (0,−mg); o campo aponta para baixo
e e´ constante. A soluc¸a˜o de m(x′′1(t), x
′′
2(t)) = f(x1(t), x2(t)) = (0,−mg), com
as condic¸o˜es iniciais x0 = (0, 0) e y0 = (0, 0), e´ obtida de maneira simples pois
temos um par de equac¸o˜es (cada uma delas ja´ vista na sec¸a˜o 2): temos x′′1(t) = 0,
que produz x1(t) = at + b e mx
′′
2(t) = −mg, que produz x2(t) = −12gt2 + ct + d
por integrac¸a˜o; a partir das condic¸o˜es iniciais obtemos enta˜o (x1(t), x2(t)) =
(0,−12gt2).
Muitas vezes o movimento de uma part´ıcula num sistema mecaˆnico na˜o e´ de
todo livre e existem restric¸o˜es, ou v´ınculos, que o restringem. A part´ıcula pode
se mover sobre um plano mas estar sujeita a permanecer sobre uma curva, como,
por exemplo, acontece com o peˆndulo simples, cuja extremidade esta´ sempre
sobre um c´ırculo. Um v´ınculo pode ser dado implicitamente: a curva γ ⊂ R2
que vincula pode ser o conjunto dos pontos (x1, x2) que satisfazem G(x1, x2) =
c = constante. Esse v´ınculo determinado pela curva γ ⊂ R2 tambe´m pode ser
expl´ıcito: uma parametrizac¸a˜o z(s) = (x1(s), x2(s)) da curva. Neste caso, s na˜o
tem nada a ver com tempo. Por exemplo, no caso do c´ırculo unita´rio, g(x1, x2) =
x21 + x
2
2 = 1 e´ uma caracterizac¸a˜o impl´ıcita e z(s) = (cos s, sen s), s ∈ [0, 2pi) e´
uma parametrizac¸a˜o. E´ importante que o leitor na˜o confunda os conceitos de
curva (que e´ um conjunto de pontos) com parametrizac¸a˜o de uma curva (que e´
uma func¸a˜o, definida em um intervalo real, cuja imagem e´ uma curva). Curvas
permitem muitas parametrizac¸o˜es. Algumas vezes, por isso, falamos no trac¸o da
curva para enfatizar que estamos considerando o conjunto de pontos do R2 que a
determina. Se o v´ınculo e´ dado implicitamente, quase sempre se pode encontrar,
pelo menos localmente, uma maneira de escrever esse v´ınculo explicitamente,
usando o teorema da func¸a˜o impl´ıcita (ver E. Lima, 1989).
Nesta sec¸a˜o vamos considerar apenas v´ınculos dados por curvas. Outros tipos
de v´ınculo tambe´m sa˜o importantes em mecaˆnica, por exemplo, uma part´ıcula
livre no R3 pode estar sujeita a colidir com a fronteira de uma caixa fechada que
a conte´m. Problemas com v´ınculos deste tipo sera˜o analisados na sec¸a˜o 4 deste
cap´ıtulo.
Suponha que γ e´ uma curva no plano e que existe um campo de forc¸as f agindo
em todo R2; considere uma part´ıcula sujeita ao v´ınculo γ e que esta´ exatamente
no ponto b de γ. Enta˜o e´ bastante natural acreditar que a forc¸a que age sobre
a part´ıcula e´ apenas a projec¸a˜o fb da forc¸a f(b) sobre a direc¸a˜o tb tangente a`
curva γ em b, pois a componente de f(b) na direc¸a˜o normal a` curva e´ anulada
pelo v´ınculo (ver fig. 1.3.1). Fica enta˜o definido sobre a curva γ um campo de
forc¸as fb.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 31
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
n
b
tfb
f
Figura 1.3.1
A lei de Newton para sistemas mecaˆnicos com v´ınculos: Considere um campo
de forc¸as f em R2. Uma curva parametrizada (x1(t), x2(t)) sobre γ (o v´ınculo)
e´ soluc¸a˜o do problema mecaˆnico com v´ınculo se para todo t a projec¸a˜o vb de
m(x′′1(t), x
′′
2(t)) sobre a reta tb tangente a` curva γ em b = (x1(t), x2(t)) ∈ γ
coincide com fb, a projec¸a˜o do vetor f(b) sobre a reta tb (isto e´, vb = fb).
Equivalentemente pode-se afirmar que neste caso m(x′′1(t), x
′′
2(t))− f(b) e´ um
vetor normal em relac¸a˜o a` curva γ em b = (x1(t), x2(t)) para todo t ∈ R .
Note que o v´ınculo acima esta´ definido no espac¸o de configurac¸o˜es e na˜o no
espac¸o de fase. Tais v´ınculos sa˜o chamados holoˆnomos.
Para descrever a evoluc¸a˜o da part´ıcula ao longo de sua trajeto´ria sobre γ,
(contido num espac¸o (x1, x2) bidimensional) a questa˜o, na verdade, se torna um
problema unidimensional (em x ∈ R), dependendo da escolha do sistema de
coordenadas g(x) = (x1, x2). De fato, fixando uma parametrizac¸a˜o g(x) de γ; com
x variando em R obtemos os pontos g(x) da curva γ e podemos passar da varia´vel
(x1, x2) ao sistema de coordenadas x ∈ R. O vetor u(x) dado por Dg−1(x)(fb) =
u(x), no qual g(x) = b ∈ γ, (onde fb e´ o projetado de f(b) na tangente a γ em b)
determina um campo de forc¸as u(x) no espac¸o x ∈ R, correspondendo, atrave´s da
mudanc¸a de coordenadas g, ao campo de forc¸as tangente fb no problema mecaˆnico
no R2 com v´ınculo γ (ver fig. 1.3.1). Devemos enta˜o encontrar a soluc¸a˜o x(t)
do problema mx′′ = u(x) e a seguir, via (x1(t), x2(t)) = g(x(t)) obter a soluc¸a˜o
(x1(t), x2(t)) do problema mecaˆnico, sob forc¸as f , sujeito ao v´ınculo γ.
32 Mecaˆnica Newtoniana
Figura 1.3.2
Podemos portanto tranferir o problema mecaˆnico no espac¸o de configurac¸o˜es
R2 com v´ınculo unidimensional para um problema mecaˆnico unidimensional com
campo de forc¸as em R; como ja´ vimos, os problemas unidimensionais sa˜o fa´ceis
de tratar pois sa˜o integra´veis.
Veremos agora, atrave´s de alguns exemplos, como se transfere o problema
mecaˆnico de γ para a reta real, obtendo-se assim problemas mecaˆnicos seme-
lhantes aos que consideramos na sec¸a˜o anterior. Comec¸amos com um exemplo
bem simples:
Exemplo 1.3.2: Considere uma part´ıcula que se encontra sobre um plano incli-
nado, fazendo um aˆngulo θ com a superf´ıcie horizontal do cha˜o: para simplificar
o problema, podemos fazer um corte transversal, como mostra a fig. 1.3.2, re-
duzindo o problema para duas dimenso˜es (x, y). Vamos supor que a part´ıcula e´
largada do ponto P = (x0, h0) com velocidade zero e que a u´nica forc¸a atuante
e´ a da gravidade: o que desejamos saber e´ a posic¸a˜o (x(t), y(t)) da part´ıcula
no plano (x, y). O v´ınculo, neste problema, e´ a reta (determinada pelo plano
inclinado) sobre a qual a part´ıcula permanece. O problema na verdade e´ unidi-
mensional e na˜o bidimensional, visto que, se soubermos onde esta´ x(t), saberemos
que y(t) = x(t) tan θ. Como encontrar a equac¸a˜o diferencial que controla o deslo-
camento da part´ıcula?
A part´ıcula esta´ sob a ac¸a˜o da forc¸a da gravidade f = −mg, pore´m a forc¸a da
gravidade age apenas na direc¸a˜o do plano inclinado (ou melhor, da reta inclinada).
Portanto, a forc¸a que realmente esta´ agindo sobre a part´ıcula situada em q(t) = b
atua na direc¸a˜o da reta inclinada e com intensidade −mg sen θ, isto e´, fb =
−mg sen θ(cos θ, sen θ).
Escolhemos o sistema de coordenadas na varia´vel real q (sobre o plano incli-
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 33
nado) que da´ a distaˆncia (positiva) de (x(t), y(t)) ao ponto (0, 0), como mostra a
fig. 1.3.2. Nesse caso,
(x(t), y(t)) = q(t)(cos θ, senθ) e
(x′′(t), y′′(t)) = q′′(t)(cos θ, senθ) .
A lei de Newton afirma portanto que mq′′ = −mg sen θ e as condic¸o˜es iniciais
sa˜o q(0) = distaˆncia de P a (0, 0) =
√
x20 + h
2
0 = h0 cos θ, q
′(0) = 0, portanto, a
soluc¸a˜o
q(t) = −1
2
gt2 sen θ +
√
x20 + h
20
e´ simples de se obter, procedendo de maneira similar ao que ja´ foi feito an-
teriormente. Se desejarmos voltar a`s coordenadas (x, y), basta lembrar que
x(t) = q(t) cos θ e y(t) = q(t) sen θ.
Em resumo, quando temos v´ınculos devemos decompor o vetor forc¸a do pro-
blema sem v´ınculos em componentes tangencial e normal e determinar a direc¸a˜o
tangencial na qual a forc¸a do problema com v´ınculo efetivamente age. Em outras
palavras, na mecaˆnica newtoniana, que e´ basicamente vetorial, procedemos de
maneira geome´trica, projetando o vetor forc¸a na direc¸a˜o tangencial ao v´ınculo
e analisamos o problema em novas coordenadas, considerando apenas a forc¸a
tangente ao v´ınculo. Esse me´todo tem suas limitac¸o˜es computacionais quando
existem muitas forc¸as envolvidas ou quando os v´ınculos sa˜o mais complexos. Na
mecaˆnica lagrangiana, em geral, como veremos posteriormente, teremos me´todos
mais simples e poderosos para deduzir as equac¸o˜es que va˜o reger o sistema com
v´ınculo.
No exemplo acima o v´ınculo e´ uma reta; vejamos agora um exemplo muito
importante, no qual o v´ınculo e´ uma curva.
Exemplo 1.3.3: Consideramos um peˆndulo simples num plano (vertical) sob
a ac¸a˜o da forc¸a da gravidade. Supomos o peˆndulo com uma haste de tamanho l
e massa desprez´ıvel, com um extremo fixo no ponto (0, 0) do plano e com uma
pequena bola de raio desprez´ıvel e massa m no outro extremo (ver fig. 1.3.3). As
poss´ıveis posic¸o˜es do extremo livre do peˆndulo esta˜o sobre um c´ırculo de centro
(0,0) e raio l. Para saber o que acontece com este peˆndulo sujeito a` ac¸a˜o da
gravidade, basta saber onde esta´ o extremo (x1(t), x2(t)) da haste, pois o outro
extremo esta´ fixo.
Em func¸a˜o da simetria circular deste problema e´ mais conveniente trabalhar
com coordenadas polares, ou seja, em vez de descrever a posic¸a˜o do extremo do
peˆndulo por (x1(t), x2(t)), vamos descreveˆ-la por (θ(t), r(t)), onde{
x1 = r(t) cos θ(t) ,
x2 = r(t) sen θ(t) .
A convenieˆncia de tal escolha de coordenadas fica clara agora porque r(t) = l, para
todo t ∈ R e assim, na verdade, temos um problema unidimensional na varia´vel θ.
34 Mecaˆnica Newtoniana
}l
b
-mg
f
b
t
x1
x2
f =
Figura 1.3.3
Nessa coordenada, a velocidade tangencial e´ lθ′ e a acelerac¸a˜o tangencial e´ lθ′′. A
posic¸a˜o do peˆndulo em repouso, no extremo inferior do c´ırculo e´, por convenc¸a˜o,
θ = 0.
Olhando a fig. 1.3.3 e´ fa´cil de se ver que o vetor f dado pela forc¸a da gravidade
na˜o atua na direc¸a˜o perpendicular ao c´ırculo, pois a haste e´ r´ıgida, mas apenas na
direc¸a˜o tangente a ele, onde temos fb = −mg sen θ. A constante g e´ a constante
da gravidade, que relaciona a massa de um corpo com a intensidade da forc¸a de
atrac¸a˜o exercida pela Terra sobre ele. Ale´m disso, temos a forc¸a de atrito −klθ ′,
que e´ proporcional a` velocidade e atua no sentido oposto ao do movimento; a
constante k de atrito depende do meio no qual o peˆndulo se move. Pela lei de
Newton conclu´ımos que a equac¸a˜o do peˆndulo e´ dada por:
ml
d2θ
dt2
= −mg sen θ − kl dθ
dt
.
De fato, o vetor l (-sen (θ), cos(θ)) e´ tangente ao c´ırculo γ em
l (cos(θ), sen (θ))
e a derivada segunda (x
′′
1 , x
′′
2) e´ igual a
−l (θ′′sen(θ) + θ′θ′ cos(θ),−cos(θ)θ′′ + θ′θ′sen (θ)) .
Fazendo o produto interno dos dois vetores obtemos a acelerac¸a˜o projetada ml d
2θ
dt2
e, finalmente, a expressa˜o acima.
Consideramos inicialmente o caso de atrito desprez´ıvel, ou seja, nulo. Enta˜o
m
d2θ
dt2
= −mg
l
sen θ (1.1)
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 35
e´ a equac¸a˜o que descreve o problema unidimensional associado ao peˆndulo sem
atrito. Nesse caso o sistema e´ conservativo e a energia total e´ uma integral
primeira, a forc¸a deriva do potencial U(θ) = −mg
l
cos θ e a energia cine´tica e´
EC =
1
2mθ˙
2. A energia total, portanto, e´ dada por
ET =
1
2
mθ˙2 − mg
l
cos θ (1.2)
e o teorema de conservac¸a˜o de energia total nos permite identificar as trajeto´rias
no espac¸o de fase, como segue. Nos pontos da forma x = 2npi o potencial U tem
mı´nimo local (veja o gra´fico perio´dico de U na fig. 1.7.6). Assim, adicionando
o termo positivo 12mθ˙
2, temos que, em torno de (θ, θ˙) = (2npi, 0), o potencial
U tem um mı´nimo quadra´tico (que, pela fo´rmula de Taylor, e´ similar ao de
g(x, y) = x2 + y2, ou g(θ, θ˙) = θ2 + θ˙2 em torno da origem) e portanto as curvas
de n´ıvel da energia total numa pequena vizinhanc¸a de (2npi, 0) sa˜o curvas fechadas
em torno de (2npi, 0). A ana´lise em torno dos pontos da forma ((2n+ 1)pi, 0) nos
da´ que o potencial U tem pontos de sela (pela fo´rmula de Taylor, U se parece
com x2 − y2 em torno de (0, 0)) e portanto as curvas de n´ıvel da energia total
tambe´m se parecem com hipe´rboles, ou seja, parecem com as curvas de n´ıvel de
x2 − y2. Isso mostra que as curvas de n´ıvel da energia total determinam uma
decomposic¸a˜o do R2 (como a exibida na fig. 1.3.4A), e assim fica determinada,
de uma maneira bastante simples, a partir do teorema da conservac¸a˜o de energia
total, a distribuic¸a˜o global das trajeto´rias do peˆndulo sem atrito.
Supondo que existe uma forc¸a de atrito agindo sobre o peˆndulo, a equac¸a˜o do
sistema e´
m
d2θ
dt2
= −mg
l
sen θ − kdθ
dt
. (1.3)
O termo −kθ′ e´ responsa´vel pela dissipac¸a˜o de energia e faz com que o peˆn-
dulo seja amortecido pelo atrito, perdendo velocidade (energia cine´tica) e altura
(energia potencial). Nesse caso, portanto, a energia total na˜o se conserva. Note
que o campo de forc¸as tambe´m na˜o e´ a derivada de uma func¸a˜o na varia´vel x,
isto e´, o sistema mecaˆnico na˜o e´ conservativo.
Como sempre, a equac¸a˜o diferencial de segunda ordem em R pode ser trans-
formada em uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem em R2 atrave´s de um
procedimento canoˆnico: introduzimos em R2 as coordenadas (θ, ω) = (θ, θ′),
onde ω e´ a velocidade angular e a equac¸a˜o de primeira ordem em R2 associada
ao peˆndulo e´ {
θ′ = ω ,
ω′ = − g
l
sen θ − k
m
ω ,
dada pelo campo de vetores F (θ, ω) =
(
ω,− g
l
sen θ − k
m
ω
)
em R2. Note que se
(θ(t), ω(t)) satisfaz (θ′(t), ω′(t)) = F (θ(t), ω(t)), enta˜o θ(t) satisfaz a equac¸a˜o de
segunda ordem dada pela lei de Newton,
θ′′(t) = ω′(t) = −g
l
sen θ(t)− k
m
ω(t) = −g
l
sen θ(t)− k
m
θ′(t) .
36 Mecaˆnica Newtoniana
Figura 1.3.4 a) e Figura 1.3.4 b)
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 37
Sendo assim, entender o que acontece com as soluc¸o˜es da equac¸a˜o (θ′, ω′) =
F (θ, ω) vai nos permitir entender o que acontece com as soluc¸o˜es da equac¸a˜o de
segunda ordem descrita pela lei de Newton.
Observac¸a˜o 1.3.1: Lembre que estamos interessados em indicar, no espac¸o de
fase de uma equac¸a˜o de primeira ordem, o desenho esquema´tico das trajeto´rias do
sistema, que nos da´ uma ide´ia do comportamento global das soluc¸o˜es da equac¸a˜o
diferencial. No exemplo acima, F (θ, ω) e´ um campo de vetores que define uma
equac¸a˜o diferencial de primeira ordem em R2 cujo espac¸o de fase e´ dado na fig.
1.3.4: o caso A e´ o do peˆndulo sem atrito e o caso B e´ o do peˆndulo com atrito.
Mais tarde voltaremos a analisar e explicar com detalhes esses exemplos; para isto
necessitamos de alguns resultados adicionais que sera˜o apresentados na sec¸a˜o 7,
onde tambe´m justificaremos o comportamento descrito pela fig. 1.3.4A e 1.3.4B
para as trajeto´rias desses dois tipos de peˆndulo.
Exerc´ıcio:
1. Calcule as trajeto´rias de um peˆndulo sujeito a uma forc¸a de atrito, mas
na˜o a` forc¸a da gravidade (por exemplo, em cima de uma mesa horizontal), isto
e´, suponha que na˜o exista forc¸a da gravidade no problema com v´ınculo descrito
no exemplo acima. De maneira expl´ıcita, considere a equac¸a˜o
m
d2θ
dt2
= −kdθ
dt
.
Desenhe em linhas gerais o espac¸o de fase no espac¸o (θ, θ˙), θ ∈ [0, 2pi),θ˙ ∈ R.
Tome cuidado com o fato de que uma parametrizac¸a˜o do c´ırculo define uma
func¸a˜o perio´dica na carta coordenada θ.
1.4 SISTEMAS UNIDIMENSIONAIS COM VA´RIAS PARTI´CULAS
Vamos fazer agora um resumo dos principais fatos ja´ vistos, e que devem
ser bem entendidos pelo leitor, para que possamos prosseguir analisando casos
mais complexos. A lei de Newton afirma que a trajeto´ria x(t) (no espac¸o de
configurac¸o˜es) de um sistema mecaˆnico deve satisfazer a equac¸a˜o de segunda
ordem: mx′′ = f(x), f : R → R. E´ mais natural e conveniente considerar a
equac¸a˜o de primeira ordem no espac¸o de fase z = (x1, x2) = (x, x˙):{
x′1 = x2
x′2 =
1
m
f(x1) .
Isto e´, podemos considerar o campo de vetores F : R2 → R2, dado por (x, x˙) 7→
(x˙, 1
m
f(x)), que nos fornece a associada equac¸a˜o diferencial dada pela lei de New-
ton:
(x′(t), x˙′(t)) = (x′1(t), x
′
2(t))= z
′(t) =
= F (z(t)) = F (x(t), x˙(t)) = (x˙(t), 1
m
f(x(t))) .
38 Mecaˆnica Newtoniana
Os va´rios tipos de energia que introduzimos sa˜o a energia cine´tica, a potencial
e a total, dadas, respectivamente, por:
EC(x˙) =
1
2
mx˙2 ,
U(x) = −
∫ x
0
f(y)dy e
E(x, x˙) =
1
2
mx˙2 + U(x) .
Nesse caso, f e´ conservativo pois depende apenas da posic¸a˜o x no espac¸o unidi-
mensional R.
O principal teorema que vimos e´ o de conservac¸a˜o de energia total: se x(t)
satisfaz mx′′ = f(x) enta˜o E(x(t), x′(t)) = constante. Em outras palavras, as
trajeto´rias de mx′′ = f(x) esta˜o contidas nas curvas de n´ıvel de E(x, x˙) e, por-
tanto, um sistema mecaˆnico com uma part´ıcula, sujeito a um campo de forc¸as na
reta R, e´ sempre integra´vel.
No caso de va´rias part´ıculas, cada uma se deslocando no espac¸o unidimensi-
onal R, nem sempre o sistema e´ integra´vel, como veremos a seguir.
A lei de Newton: A lei de Newton para um sistema de n part´ıculas com massas
m1,m2, . . . ,mn e sob a ac¸a˜o de forc¸as fi : R
n → R, 1 ≤ i ≤ n, respectivamente
(isto e´, a forc¸a fi(x1, x2, . . . , xn) agindo sobre a i-e´sima part´ıcula depende das
posic¸o˜es x1, x2, . . . , xn de todas as part´ıculas), e´ dada pelo sistema de equac¸o˜es:
mix
′′
i (t) = fi(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)), i ∈ {1, 2, . . . , n} ,
onde xi(t) ∈ R descreve a posic¸a˜o da part´ıcula xi no tempo t.
O espac¸o de configurac¸o˜es nesse caso e´ o Rn e estamos interessados em ob-
ter a curva (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) que satisfaz a equac¸a˜o de segunda ordem
dada pela lei de Newton; assim podemos prever a evoluc¸a˜o temporal de cada
part´ıcula xi(t). Ja´ o espac¸o de fase e´ o R
2n, cujas coordenadas denotamos por
(x1, x2, x3, . . . , xn, x˙1, x˙2, x˙3, . . . , x˙n). Tambe´m nesse caso podemos transformar a
equac¸a˜o de segunda ordem em Rn dada pela lei de Newton,
(x′′1, x
′′
2, . . . , x
′′
n) =
=
(
1
m1
f1(x1, x2, . . . , xn),
1
m2
f2(x1, x2, . . . , xn), . . . ,
1
mn
fn(x1, x2, . . . , xn)
)
,
numa equac¸a˜o de primeira ordem, associada ao campo F : R2n → R2n, dada por
(x′1, x
′
2, . . . , x
′
n, x˙
′
1, x˙
′
2, . . . , x˙
′
n) = F (x1, x2, . . . , xn, x˙1, x˙2, . . . , x˙n) =
=
(
x˙1, x˙2, . . . , x˙n,
f1(x1,x2,...,xn)
m1
, f2(x1,x2,...,xn)
m2
, . . . , fn(x1,x2,...,xn)
mn
)
.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 39
Vamos agora analisar o caso particular em que temos apenas duas part´ıculas,
isto e´, n = 2. Uma vez que as principais propriedades do caso com duas part´ıculas
estejam bem entendidas, o leitor sabera´ facilmente adaptar a esse o caso geral.
Considere por exemplo duas part´ıculas, com massas m1 e m2 , e localizadas,
respectivamente, em x1 e x2, movendo-se sobre uma reta e sob ac¸a˜o do campo de
forc¸as gerado pela atrac¸a˜o entre os dois corpos. Como vimos antes, essas forc¸as
de atrac¸a˜o, chamadas forc¸as de interac¸a˜o, sa˜o dadas, respectivamente, por
f1 = G
m1m2(x2 − x1)
‖x2 − x1‖3 e f2 = G
m1m2(x1 − x2)
‖x1 − x2‖3
e apontam, cada uma delas, no sentido da outra part´ıcula; note que a soma
destas duas forc¸as e´ zero. O que se deseja encontrar nesse caso e´ a trajeto´ria
(x1(t)), x2(t)) das duas part´ıculas no plano R
2, ou seja estamos interessados em
encontrar uma curva no espac¸o de configurac¸a˜o (x1, x2).
Note que a presente situac¸a˜o e´ diferente do exemplo 1.2.3 b), onde supomos
que a part´ıcula com massa m1 estava fixa.
Naquele caso t´ınhamos um problema mecaˆnico de espac¸o de configurac¸a˜o
unidimensional e no presente caso um problema de espac¸o de configurac¸a˜o bidi-
mensional.
A soluc¸a˜o do presente problema mecaˆnico segue da sec¸a˜o 6 e do exerc´ıcio 2
ao fim desta sec¸a˜o.
No que segue, portanto, supomos que as part´ıculas x1 e x2 se deslocam sobre
a reta R e que x1 esta´ sob a ac¸a˜o de uma forc¸a f1(x1, x2) e x2 esta´ sob a ac¸a˜o
de uma forc¸a f2(x1, x2). Neste caso, o que chamamos de espac¸o de configurac¸o˜es
e´ o espac¸o R2, onde esta˜o as varia´veis (x1(t), x2(t)), e o espac¸o de fase e´ o R
4,
onde esta˜o as varia´veis (x1(t), x2(t), x
′
1(t), x
′
2(t)). Como ja´ o fizemos antes, vamos
considerar tambe´m as varia´veis independentes (x1, x2, x˙1, x˙2) no espac¸o de fase.
Definic¸a˜o 1.4.1: Se f1(x1, x2)+f2(x1, x2) = 0 para quaisquer x1, x2 ∈ R e na˜o
existe um campo externo agindo sobre todo o sistema (ou seja, existem apenas
as forc¸as internas de interac¸a˜o), dizemos que o sistema constitu´ıdo destas duas
part´ıculas e´ um sistema fechado.
Exemplo 1.4.1: O sistema de atrac¸a˜o gravitacional entre dois corpos, menci-
onado acima, e´ fechado.
Exemplo 1.4.2: Quando na˜o existe nenhuma forc¸a atuando, isto e´, se f1 e f2
sa˜o constantes e iguais a zero, o sistema e´ fechado. Este caso aparece quando
consideramos duas part´ıculas se movendo sem atrito sobre uma reta no plano de
uma mesa. A Terra na˜o exerce influeˆncia gravitacional alguma sobre as part´ıculas
nesse caso porque o v´ınculo anula esta forc¸a. (A Terra continua atraindo, mas a
resultante e´ nula.) Se as massas forem muito pequenas podemos tambe´m supor
que f1 e f2 sa˜o ambas nulas. Nesse caso, a energia total e´ apenas a energia
cine´tica.
40 Mecaˆnica Newtoniana
Definic¸a˜o 1.4.2: Suponha que x1(t) e x2(t) descrevem a evoluc¸a˜o temporal
do sistema mecaˆnico constitu´ıdo por duas part´ıculas x1 e x2 com velocidades,
respectivamente, x′1(t) e x
′
2(t) e massas, respectivamente, m1 e m2. O momento
no tempo t deste sistema e´ dado por P (t) = m1x
′
1(t) +m2x
′
2(t).
E´ mais natural pensar que P : R4 → R (ou P : R2 → R) esta´ definido por
P (x1, x2, x˙1, x˙2) = P (x˙1, x˙2) = m1x˙1 +m2x˙2 .
Teorema 1.4.1: Conservac¸a˜o de momento para duas part´ıculas: O momento
de um sistema fechado de duas part´ıculas e´ constante.
Demonstrac¸a˜o: Usando a lei de Newton, basta observar que P ′(t) = m1x′′1(t)+
m2x
′′
2(t) = f1(x1(t), x2(t)) + f2(x1(t), x2(t)) = 0, pois o sistema e´ fechado.
O teorema acima permite afirmar que o momento e´ uma integral primeira
para F, pois P permanece constante ao longo da evoluc¸a˜o do sistema x′ = F (x),
onde F : R4 → R4 e´ o campo associado no espac¸o de fase.
Estamos interessados agora em introduzir os va´rios conceitos de energia que
ja´ vimos para o caso de uma part´ıcula. Comec¸amos com o conceito de potencial
para o sistema de duas part´ıculas.
Definic¸a˜o 1.4.3: Dizemos que o sistema mecaˆnico de duas part´ıculas e´ conser-
vativo se existe uma func¸a˜o U : R2 → R definida no espac¸o de configurac¸o˜es tal
que o gradiente ∇U de U satisfaz
∇U(x1, x2) = −(f1(x1, x2), f2(x1, x2)) ,
para quaisquer x1, x2 ∈ R; U e´ enta˜o um potencial do sistema mecaˆnico.
Observac¸a˜o 1.4.1: Um sistema fechado, como definido acima, nem sempre e´
conservativo. Lembre que o problema de existeˆncia do potencial U para campos
de forc¸as agindo sobre uma part´ıcula, no espac¸o unidimensional, e´ trivial, pois
basta integrar a forc¸a. Como e´ sabido,do ca´lculo de va´rias varia´veis, dado um
campo de vetores f : Rn → Rn, com n > 1, a existeˆncia de uma func¸a˜o escalar
U : Rn → R tal que ∇U = −f, ou seja, a existeˆncia de um potencial U para f ,
esta´ associada a` independeˆncia do caminho das integrais de linha do campo f.
Dado f , nem sempre existe tal potencial U em Rn, com n > 1. (Veremos isso na
sec¸a˜o 10 do cap´ıtulo 3, que trata de integrais de linha.)
Vamos agora considerar as energias cine´tica e total.
Definic¸a˜o 1.4.4: Dizemos que a energia cine´tica de um sistema mecaˆnico de
duas part´ıculas e´ a soma das energias cine´ticas de cada uma das duas part´ıculas,
isto e´,
EC(x1(t), x2(t)) =
1
2
m1x
′
1(t)
2 +
1
2
m2x
′
2(t)
2 ;
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 41
equivalentemente, a expressa˜o
EC(x1, x2, x˙1, x˙2) =
1
2
m1x˙
2
1 +
1
2
m2x˙
2
2
define a energia cine´tica no espac¸o de fase. A energia total de um sistema
mecaˆnico de duas part´ıculas e´ a soma das energias cine´tica e potencial:
ET (x1, x2, x˙1, x˙2) =
1
2
m1x˙
2
1 +
1
2
m2x˙
2
2 + U(x1, x2) .
Teorema 1.4.2: Conservac¸a˜o de energia total: A energia total de um sistema
mecaˆnico conservativo de duas part´ıculas e´ constante ao longo das soluc¸o˜es x(t) =
(x1(t), x2(t)) do sistema de segunda ordem dado pela lei de Newton.
Demonstrac¸a˜o: Denotemos h(t) = E(x1(t), x2(t), x˙1(t), x˙2(t)) e mostremos
que h e´ constante. Pela regra da cadeia temos
h′(t) =
dE(x1(t), x2(t), x˙1(t), x˙2(t))
dt
=
=
〈
∇E(x1(t), x2(t), x˙1(t), x˙2(t)), (x′1(t), x′2(t), x˙′1(t), x˙′2(t))
〉
.
Como
∇E(x1(t), x2(t), x˙1(t), x˙2(t)) =
=
(
∂U
∂x1
(x1(t), x2(t)),
∂U
∂x2
(x1(t), x2(t)),m1x˙1(t),m2x˙2(t)
)
=
=
(−f1(x1, x2),−f2(x1, x2),m1x′1(t),m2x′2(t)) e
(x′1(t), x
′
2(t), x˙
′
1(t), x˙
′
2(t)) = (x
′
1(t), x
′
2(t), x
′′
1(t), x
′′
2(t)) ,
o produto acima e´
h′(t) = −f1x′1 − f2x′2 +m1x′′1x′1 +m2x′′2x′2 =
= (−f1 +m1x′′1)x′1 + (−f2 +m2x′′2)x′2 = 0
pela lei de Newton. Isto mostra que a energia total e´ constante ao longo da
soluc¸a˜o (x1(t), x2(t)).
Conclu´ındo esta sec¸a˜o, abordamos brevemente um caso mais geral, mas for-
malmente ideˆntico ao considerado acima, de va´rias part´ıculas no Rn sob ac¸a˜o de
forc¸as interativas, com o objetivo de apresentar uma visa˜o mais abrangente do
assunto.
Considere um sistema mecaˆnico constitu´ıdo de r part´ıculas x1, . . . , xr ∈ Rn
sob a ac¸a˜o de forc¸as fi : R
nr → Rn, 1 ≤ i ≤ r. A forc¸a que age sobre xi, fi, e´
42 Mecaˆnica Newtoniana
vetorial e depende, como no caso unidimensional considerado antes, da posic¸a˜o
de todas as demais part´ıculas. A lei de Newton e´
mix
′′
i (t) = fi(x1(t), x2(t), . . . , xr(t)), i ∈ {1, 2, . . . , r} ,
como sempre; aqui mi e´ a massa da part´ıcula xi. O espac¸o de configurac¸o˜es
de um tal sistema e´ o Rnr e o espac¸o de fase e´ o R2nr. Este sistema mecaˆnico
e´ dito conservativo se existe um potencial U : Rnr → R tal que, para cada
x = (x1, x2, . . . , xr) ∈ Rnr, vale −∇U(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fr(x)).
Considere um sistema constitu´ıdo por r part´ıculas. No que segue, supomos
que as forc¸as fi sa˜o de interac¸a˜o, ou seja, a part´ıcula i sofre uma forc¸a de atrac¸a˜o
exercida pela part´ıcula j, tal que fi,j = −fj,i , como no caso da atrac¸a˜o entre dois
corpos. Note que nesse caso fi e´ uma soma de forc¸as fi,j , j 6= i que dependem
somente das posic¸o˜es das demais part´ıculas.
Um caso muito importante e´ o seguinte: dados 1 ≤ i 6= j ≤ r, supomos que
o mo´dulo ‖fi,j‖ da forc¸a fi,j : Rnr → Rn com que a part´ıcula na posic¸a˜o xj age
sobre a part´ıcula na posic¸a˜o xi depende apenas da distaˆncia ‖xi − xj‖ de xj a xi
em Rn e que a componente vetorial de fi,j e´ xi−xj . Em outras palavras, supomos
que existem func¸o˜es reais φi,j : R
+ → R, com φi,j = φj,i, tais que
fi,j(x1, x2, . . . , xr) = φi,j(‖xi − xj‖) xi − xj‖xi − xj‖ ∈ R
n .
Uma caso particular importante desse exemplo e´ o gravitacional newtoniano
fi,j(x1, . . . , xr) = mimjG
(xi − xj)
‖xi − xj‖3 .
Convencionando que fi,i = 0, resulta que fi =
∑
j fi,j e, como no caso de
duas part´ıculas, se as u´nicas forc¸as atuantes sa˜o essas forc¸as de interac¸a˜o fi, este
sistema e´ fechado pois fi,j = −fj,i e portanto
r∑
i=1
fi =
r∑
i,j=1
fi,j = 0 .
Teorema 1.4.3: Um sistema mecaˆnico de va´rias part´ıculas definido em todo
Rn e sob a ac¸a˜o unicamente de forc¸as interativas e´ conservativo.
Demonstrac¸a˜o: Para simplificar a escrita, adotamos a seguinte convenc¸a˜o:
dada uma func¸a˜o U : Rnr → R, para cada 1 ≤ k ≤ r, denotamos a n-upla das
derivadas parciais de U em relac¸a˜o ao vetor xk = (x
1
k, x
2
k, . . . , x
n
k) ∈ Rn por
∂U
∂xk
=
(
∂U
∂x1k
,
∂U
∂x2k
, . . . ,
∂U
∂xnk
)
∈ Rn .
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 43
Fixamos c > 0 e definimos uma func¸a˜o Ui,j : R
nr → R por
Ui,j(x1, x2, . . . , xr) = −
∫ ‖xi−xj‖
c
φi,j(s)ds ,
para cada 1 ≤ i < j ≤ r. Observe que Ui,j(x1, x2, . . . , xr) = hi,j(xi − xj), com
hi,j : R
n → R dada por hi,j(v) = −
∫ ‖v‖
c
φi,j(s)ds. Queremos calcular as derivadas
parciais de Ui,j ; e´ fa´cil ver que ∇hi,j(v) = −φi,j(‖v‖) v‖v‖ e que portanto em Rnr
temos
−∂Ui,j
∂xi
= fi,j e fj,i = −∂Ui,j
∂xj
·
As demais parciais de Ui,j , em relac¸a˜o a xl com l 6= i, j, sa˜o todas nulas pois Ui,j
na˜o depende de tais xl. Definindo U =
∑
i<j Ui,j : R
nr → R obtemos, portanto,
− ∂U
∂xk
=
∑
i<j
−∂Ui,j
∂xk
=
∑
i<k
−∂Ui,k
∂xk
+
∑
k<j
−∂Uk,j
∂xk
=
=
k−1∑
i=1
fk,i +
r∑
k+1=j
fk,j =
∑
j
fk,j = fk .
Logo −∇U = (f1, f2, . . . , fr), resultando que U e´ um potencial do sistema.
O teorema acima assegura que, em particular, sistemas fechados de va´rias
part´ıculas definidos em Rn, nos quais apenas existem interac¸o˜es, sa˜o conserva-
tivos. Na˜o podemos usar diretamente o teorema 1.4.3 para o caso gravitacional
newtoniano
fi,j(x1, . . . , xr) = mimjG
(xi − xj)
‖xi − xj‖3 ,
pois a forc¸a na˜o esta´ definida quando a distaˆncia entre as part´ıculas e´ zero: logo
fi,j na˜o esta´ definido em um simplesmente conexo. De qualquer modo, nesse
caso, o sistema tambe´m e´ conservativo.
No caso em que so´ existem duas part´ıculas o potencial e´
U(x1, x2) = −m1m2G 1‖x1 − x2‖·
Definic¸a˜o 1.4.5: O centro de massa de um conjunto de r part´ıculas nas posic¸o˜es
dadas por x1, x2, . . . , xr ∈ Rn e com massas, respectivamente, m1,m2, . . . ,mr e´
o ponto
c =
1
r∑
i=1
mi
r∑
i=1
mixi ∈ Rn .
Essa definic¸a˜o e´ utilizada nos exerc´ıcios ao fim desta sec¸a˜o.
44 Mecaˆnica Newtoniana
Vamos agora analisar um exemplo interessante envolvendo duas part´ıculas
em um sistema fechado. Este exemplo exibe o sistema mecaˆnico na˜o integra´vel
conservativo mais simples poss´ıvel.
Exemplo 1.4.3: Suponha que duas part´ıculas, de massas m1 e m2, se deslocam
sobre uma mesa horizontal mas dentro de um intervalo limitado, que denotamos
por [0, 1]. Como vimos antes, este sistema e´ fechado e conservativo. Suponha
tambe´m que as massas sa˜o muito pequenas, de maneira que a forc¸a de atrac¸a˜o
entre as duas part´ıculas e´ desprez´ıvel. As part´ıculas se movem sem a ac¸a˜o de
forc¸as externas e o movimento deve-se apenas a` velocidade inicial de cada uma
das duas part´ıculas. Como na˜o existe forc¸a no sistema, a energia potencial e´ nula
(ou constante) e a energia cine´tica coincide com a energia total. Vamos supor
que as part´ıculas x1 e x2 podem se chocar entre si e com os extremos 0 e 1 do
intervalo, mas que estes choques sa˜o ela´sticos, ou seja, sem perda de energia;
denotando por x1(t) e x2(t) as trajeto´rias dessas part´ıculas no intervalo, temos
que 0 ≤ x1(t) ≤ x2(t) < 1, ja´ que as part´ıculas na˜o passam uma pela outra, mas
colidem e refletem.
Intuitivamente sabemos que havera´uma se´rie de choques entre as part´ıculas
e tambe´m das part´ıculas com os extremos do intervalo. Note que durante cada
intervalo de tempo em que na˜o ocorre um choque, as velocidades das part´ıculas
permanecem iguais pois na˜o ha´ atrito nem existem forc¸as externas; a pergunta
natural e´: como mudam as velocidades quando ha´ uma colisa˜o? Denote por vi1 e
vi2 as velocidades respectivamente das part´ıculas x1 e x2 antes de um choque, e
denote por vf1 e v
f
2 as velocidades apo´s o choque (ver fig. 1.4.1). Pelos teoremas
de conservac¸a˜o de momento e de energia total (cine´tica, no caso) temos duas
equac¸o˜es:
m1v
i
1 +m2v
i
2 = m1v
f
1 +m2v
f
2 e
1
2
m1(v
i
1)
2 +
1
2
m2(v
i
2)
2 =
1
2
m1(v
f
1 )
2 +
1
2
m2(v
f
2 )
2 .
Resolvendo o sistema, podemos encontrar as velocidades das part´ıculas, apo´s o
choque, em func¸a˜o das velocidades das part´ıculas antes do choque:
vf1 =
m1 −m2
m1 +m2
vi1 +
2m2
m1 +m2
vi2
vf2 =
2m1
m1 +m2
vi1 +
m2 −m1
m1 +m2
vi2 .
Esta equac¸a˜o corresponde a choques ela´sticos pois existe a conservac¸a˜o de energia.
Para analisar o caso do choque de uma part´ıcula com um extremo, podemos
supor que no caso anterior uma das part´ıculas apresenta massa infinita (mais
exatamente, fac¸a m2 → ∞ acima) e velocidade vi2 = 0, colocada no bordo do
intervalo. Pela u´ltima expressa˜o se deduz neste caso que, quando ha´ um choque
com um extremo, a part´ıcula mante´m a mesma velocidade, pore´m com sentido
contra´rio (isto e´ vf1 = −vi1).
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 45
v
1
i
v
1
i
v
1
f
x
1
x
2
x
x
x
v
2
i
v
2
i
v
2
f
antes da colisão
colisão
apósacolisão
x =x1 2
x
1
x
2
Figura 1.4.1
O espac¸o de configurac¸o˜es desse sistema e´ dado pelo triaˆngulo que aparece na
fig. 1.4.2, pois o sistema satisfaz 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 1. (O espac¸o de fase e´ o produto
cartesiano do triaˆngulo com o R2.) Como na˜o existem forc¸as, a acelerac¸a˜o e´
nula e os vetores velocidades de x1 e x2 na˜o se alteram ate´ haver uma colisa˜o.
Portanto, uma trajeto´ria e´ dada por uma linha reta (x1(t), x2(t)) ate´ que ocorra
uma colisa˜o bidimensional com um dos lados do triaˆngulo, quando, enta˜o, a
trajeto´ria reflete e segue uma outra linha reta, sempre por dentro do triaˆngulo.
Coliso˜es bidimensionais com a hipotenusa significam coliso˜es entre part´ıculas e
coliso˜es bidimensionais com um dos catetos significam coliso˜es de part´ıculas com
os extremos do segmento [0, 1].
Vamos descrever a seguir de maneira breve e heur´ıstica a raza˜o porque tal
sistema com massas m1 e m2, em geral (a expressa˜o “em geral” pode parecer,
matematicamente falando, meio vaga, mas pode ser tornada precisa de forma
rigorosa, conforme C. Robinson, 1970) na˜o e´ integra´vel. O leitor podera´, se o
desejar, saltar o texto que segue e partir diretamente para a sec¸a˜o 5, sem que
exista preju´ızo para o entendimento do que sera´ desenvolvido no resto do texto.
A expressa˜o “em geral” significa “para a maioria das escolhas de m1 e m2”. Por
sua vez, a palavra “maioria” poderia ter um sentido topolo´gico (E. Lima, 1977),
ou de teoria da medida (P. Fernandez, 1982).
E´ importante destacar que mesmo exemplos ta˜o simples como o que estamos
descrevendo aqui podem apresentar um comportamento dinaˆmico extremamente
complexo, sendo portanto na˜o integra´vel. Para demonstrar que o sistema de duas
part´ıculas que estamos estudando apresenta “em geral” um comportamento na˜o
integra´vel, mostraremos que as trajeto´rias desse sistema, no espac¸o de confi-
gurac¸o˜es, podem ser consideradas como as poss´ıveis trajeto´rias de uma bola de
46 Mecaˆnica Newtoniana
x
2
x
1
1
1(0,0)
Figura 1.4.2
bilhar que colide com os bordos de uma mesa de bilhar triangular. Na verdade,
faremos uma mudanc¸a de coordenadas tal que, quando ocorrer uma colisa˜o com
o bordo do triaˆngulo, os aˆngulos de incideˆncia e de reflexa˜o sera˜o iguais (ver A.
Lopes,To´picos de Mecaˆnica Cla´ssica e N. Chernov and R. Markarian, 2003, para
maiores considerac¸o˜es sobre bilhares).
Introduzimos as coordenadas u1 =
√
m1 x1 e u2 =
√
m2 x2; e´ fa´cil de se ver
enta˜o que o espac¸o de configurac¸o˜es e´ um triaˆngulo retaˆngulo, cuja hipotenusa
tem inclinac¸a˜o
√
m2√
m1
(ver fig. 1.4.3). O mo´dulo do vetor velocidade (u˙1, u˙2) e´
constante pelo teorema de conservac¸a˜o de energia total e e´ igual a√
u˙21 + u˙
2
2 =
√
2E ,
onde E denota a energia total da trajeto´ria na posic¸a˜o temporal inicial. Ainda,
pelo teorema de conservac¸a˜o de momento,
√
m1u˙1 +
√
m2u˙2 =
〈
(
√
m1,
√
m2), (u˙1, u˙2)
〉
e´ constante antes e depois de uma colisa˜o entre as duas part´ıculas (a inclinac¸a˜o
da hipotenusa e´ (
√
m1,
√
m2)). Como o mo´dulo do vetor velocidade (u˙1, u˙2)
no espac¸o de configurac¸o˜es e´ constante e o produto interno acima tambe´m e´
constante, afirmamos que os aˆngulos de incideˆncia e reflexa˜o sa˜o os mesmos.
De fato, se θi e θf sa˜o os aˆngulos de incideˆncia e reflexa˜o, enta˜o
θi =
〈
(
√
m1,
√
m2), (u˙
i
1, u˙
i
2)
〉
√
2E||(√m1,√m2)||
=
m1v˙
i
1 +m2v˙
i
2√
2E||(√m1,√m2)||
=
=
m1v˙
f
1 +m2v˙
f
2√
2E||(√m1,√m2)||
=
〈
(
√
m1,
√
m2), (u˙
f
1 , u˙
f
2)
〉
√
2E||(√m1,√m2)||
= θf .
O mesmo acontece, por o´bvias razo˜es, nas coliso˜es com os extremos ((u˙1, u˙2)
vai em (−u˙1, u˙2) quando a colisa˜o e´ no lado horizontal, ou seja, quando u2 = 0).
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 47
2 2
1
1
2
1
Figura 1.4.3
Sendo assim, o sistema, nessas novas coordenadas, se comporta como um bilhar,
ou como um sistema em que trajeto´rias sa˜o raios de luz que refletem em espelhos
(os bordos do triaˆngulo), de tal modo que o aˆngulo de incideˆncia e´ igual ao aˆngulo
de reflexa˜o (ver fig. 1.4.3). Atrave´s da descric¸a˜o acima o leitor pode imaginar a
complexidade da evoluc¸a˜o temporal de cada o´rbita do sistema.
Pode parecer surpreendente mas, dependendo apenas do aˆngulo interno destes
triaˆngulos, que por sua vez depende do quociente
√
m1√
m2
das massas das part´ıculas,
o sistema sera´ integra´vel ou na˜o. Para precisar este comenta´rio precisamos da
seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.4.6: Sejam A ⊂ B ⊂ Rn dados. Dizemos que A e´ denso em B se
todo ponto de B pode ser aproximado por pontos de A, isto e´, se dados quaisquer
x ∈ B e ξ > 0, existe y ∈ A tal que ‖x− y‖ < ξ.
Mais precisamente, no caso em considerac¸a˜o, dizemos que um conjunto A ⊂
R2+ = {(m1,m2) | m1 > 0,m2 > 0} e´ denso em R2+ se, para quaisquer
(m1,m2) ∈ R2+ e ε > 0, existe y ∈ A tal que ‖(m1,m2)− y‖ ≤ ε.
Dizemos que uma trajeto´ria z(t) = (x1(t), x2(t)) e´ transitiva se para quaisquer
y no triaˆngulo e ε > 0, existe um tempo t (talvez muito grande) tal que a
trajeto´ria z(t) = (x1(t), x2(t)) satisfaz ‖z(t)−y‖ ≤ ε.O comportamento transitivo
nesse caso significa, mais concretamente, que uma trajeto´ria se espalha ao longo
do tempo de maneira densa, no espac¸o de configurac¸o˜es. A existeˆncia de uma
o´rbita transitiva, naturalmente, faz com que o sistema na˜o seja integra´vel (o valor
constante da integral primeira sobre a o´rbita z(t) se estende por continuidade a
48 Mecaˆnica Newtoniana
todo ponto y do triaˆngulo). Neste momento, a “maioria” dos (m1,m2) e´ dito no
sentido de denso, e, assim, topolo´gico.
Com o objetivo de dar uma ide´ia da complexidade do problema em con-
siderac¸a˜o, informamos ao leitor que um teorema recentemente demonstrado (S.
Kerckhoff, A. Mazur e J. Smillie, 1986) afirma que o comportamento das part´ıculas
no espac¸o de configurac¸o˜es e´ transitivo (muito mais do que isto e´ provado, na ver-
dade) sempre que as massas m1 e m2 das part´ıculas satisfazem (m1,m2) ∈ A para
um certo conjunto A denso em R2+ e as velocidadesiniciais sa˜o escolhidas fora
de um conjunto de medida nula (ver R. Devaney, 1986; A. Lopes, To´picos de
Mecaˆnica Cla´ssica. R. Man˜e´, 1982, para definic¸o˜es). Esta propriedade, que ilus-
tra a existeˆncia de uma certa complexidade nas o´rbitas do sistema, esta´ associada
ao conceito de sistema cao´tico e ergo´dico (ver C. Doering e A. Lopes, 2005; M.
Pollicott e M. Yuri, 1998; A. Lopes, To´picos de Mecaˆnica Cla´ssica). Note como
e´ sutil a questa˜o da integrabilidade: sistemas mecaˆnicos integra´veis podem ser
aproximados por sistemas na˜o integra´veis (se (m1,m2) ∈ A).
A demonstrac¸a˜o do teorema de S. Kerckhoff, A. Mazur e J. Smillie, 1986,
citado acima requer o uso de sofisticada matema´tica e na˜o e´ apresentada aqui.
Exerc´ıcios:
1. Considere um conjunto de r part´ıculas nas posic¸o˜es x1, x2, . . . , xr ∈ Rn
como um sistema de forc¸as em que, ale´m das forc¸as de interac¸a˜o fi,j (a forc¸a que
a part´ıcula xi exerce sobre a part´ıcula xj) exista tambe´m um campo de forc¸as
externo f : Rn → Rn agindo sobre todas as part´ıculas. A lei de Newton, neste
caso, e´ mix
′′
i (t) = fi(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) + f(xi(t)), i ∈ {1, 2, . . . , r}.
Ao variar o tempo, o centro de massa c(t) do sistema se desloca. Mostre que a
evoluc¸a˜o de c(t) corresponde a` evoluc¸a˜o de um sistema com apenas uma part´ıcula
de massa m =
∑r
i=1mi sob a ac¸a˜o u´nica da forc¸a externa f em R
n (as forc¸as de
interac¸a˜o se anulam umas com as outras), ou seja, que c(t) satisfaz
mc′′(t) =
r∑
i=1
f(xi(t)) .
Sendo assim, o centro de massa se move como se toda a massa estivesse concen-
trada nele e todas as forc¸as fossem aplicadas nele. Conclua que, se o sistema e´
fechado, enta˜o o centro de massa se move em movimento retil´ıneo uniforme.
2. Considere um sistema de duas part´ıculas de massas, respectivamente m1
e m2 , que interagem atrave´s de um potencial U : R → R, de tal jeito que as
equac¸o˜es de movimento sa˜o
m1r
′′
1 = −
∂U
∂r1
, m2r
′′
2 = −
∂U
∂r2
, U = U(|r1 − r2|) .
Mostre que a diferenc¸a de posic¸a˜o dos dois corpos r = r1 − r2 evolue como
um problema mecaˆnico com apenas uma part´ıcula (descrita por r) com massa
m = m1m2(m1+m2) e sujeito ao campo de forc¸as gerado pelo potencial U(|r|). Como
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 49
sabemos que o centro de massa evolue com velocidade constante, para resolver
a situac¸a˜o recaimos num problema de dois corpos em que um esta´ fixo; este
problema sera´ resolvido na sec¸a˜o 6.
1.5 CAMPOS DE FORC¸AS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
Nesta sec¸a˜o vamos considerar campos de forc¸as em R2 e em R3. Vamos
comec¸ar com um exemplo importante e cla´ssico, o assim chamado problema dos
dois corpos.
Seja f : R3−{0} → R3 um campo de forc¸as, por exemplo,
f(x1, x2, x3) = − m1m2G‖(x1, x2, x3)‖3 (x1, x2, x3) .
Essa forc¸a e´ a que existe no campo de atrac¸a˜o gravitacional (forc¸a de interac¸a˜o)
produzido pela massa m1 da Terra sobre um outro corpo de massa m2 (muito
menor que a massa da terra); como sempre, G e´ a constante de atrac¸a˜o entre
dois corpos. O sistema de refereˆncia (x1, x2, x3) esta´ centrado sobre a Terra
na posic¸a˜o (0, 0, 0). Nesse caso, a trajeto´ria (x1(t), x2(t), x3(t)) que descreve a
evoluc¸a˜o temporal desse corpo, que sofre a ac¸a˜o do campo gravitacional terrestre,
satisfaz a equac¸a˜o de segunda ordem dada pela lei de Newton, ou seja, como antes,
massa vezes acelerac¸a˜o e´ igual a` forc¸a. Isto vale para qualquer campo de forc¸as.
Desejamos determinar as soluc¸o˜es (x1(t), x2(t), x3(t)).
Um esclarecimento ao leitor e´ necessa´rio neste momento: no problema acima,
em que a massa da terra e´ m1 e o de um outro corpo e´ m2 , dever´ıamos considerar
o problema dos dois corpos exatamente como no comec¸o da sec¸a˜o 4 (antes da
definic¸a˜o 1.4.1). No entanto, como estamos supondo que m2 e´ muito menor que
m1, o centro de massa do sistema (considerando as duas part´ıculas) fica localizado
muito pro´ximo ao centro de massa da terra, e assim, para simplificar, podemos
considerar f como acima. O erro ao assumir tal simplificac¸a˜o existe, mas e´ bem
pequeno.
A lei de Newton: A trajeto´ria (x1(t), x2(t), x3(t)) de uma part´ıcula sob a ac¸a˜o
de um campo de forc¸as f qualquer em R3 satisfaz a lei de Newton
m(x′′1(t), x
′′
2(t), x
′′
3(t)) = f(x1(t), x2(t), x3(t)) .
Em outras palavras, se o campo de forc¸as f em R3 e´ dado por f = (f1, f2, f3), isto
e´, f(x1, x2, x3) = (f1(x1, x2, x3), f2(x1, x2, x3), f3(x1, x2, x3)), enta˜o a trajeto´ria
(x1(t), x2(t), x3(t)) satisfaz a equac¸a˜o diferencial de segunda ordem em R
3 dada
pelo sistema 
x′′1 =
1
m
f1(x1, x2, x3)
x′′2 =
1
m
f2(x1, x2, x3)
x′′3 =
1
m
f3(x1, x2, x3) .
50 Mecaˆnica Newtoniana
Essa equac¸a˜o pode ser equivalentemente analisada atrave´s da equac¸a˜o dife-
rencial de primeira ordem em R6 dada pelo sistema
x′1 = x˙1
x′2 = x˙2
x′3 = x˙3
x˙′1 =
1
m
f1(x1, x2, x3)
x˙′2 =
1
m
f2(x1, x2, x3)
x˙′3 =
1
m
f3(x1, x2, x3) .
Continuaremos, como antes, denotando por f (minu´sculo) o campo de forc¸as
em R3 e por F (maiu´sculo) o campo de vetores associado em R6, dado por
F (x1, x2, x3, x˙1, x˙2, x˙3) =
=
(
x˙1, x˙2, x˙3,
1
m
f1(x1, x2, x3),
1
m
f2(x1, x2, x3),
1
m
f3(x1, x2, x3)
)
.
Neste caso estamos interessados em resolver a equac¸a˜o de primeira ordem dada
por x′ = F (x), onde x = (x1, x2, x3, x˙1, x˙2, x˙3) ∈ R6.
Pergunta: Dado um campo de forc¸as f : R3 → R3, sempre existe um potencial
U : R3 → R tal que −∇U = f ?
A resposta e´ na˜o, nem sempre existe U , pois dado f = (f1, f2, f3), se existir
tal U de classe C2, temos
f1 = − ∂U
∂x1
, f2 = − ∂U
∂x2
, f3 = − ∂U
∂x3
.
Ora, como as derivadas parciais mistas de uma func¸a˜o de classe C2 comutam,
teremos, por exemplo, que
∂f1
∂x2
= − ∂U
∂x2∂x1
= − ∂U
∂x1∂x2
=
∂f2
∂x1
e, naturalmente, que nem todos os pares de func¸o˜es f1, f2 satisfazem esta propri-
edade:
∂f1
∂x2
=
∂f2
∂x1
;
e´ fa´cil obter exemplos nos quais isso na˜o acontece (ver sec¸a˜o 10 do cap´ıtulo 3).
Em todo caso obtemos, com esse argumento, uma condic¸a˜o necessa´ria para a
existeˆncia de um potencial U cujo gradiente e´ f, isto e´, que
∂fi
∂xj
=
∂fj
∂xi
, para i, j ∈ {1, 2, 3}.
Portanto, nem sempre existe U tal que o gradiente de U seja f (ou −f). Como
ja´ comentamos antes, o fato de a integral de linha do campo de forc¸as independer
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 51
do caminho nos da´ condic¸a˜o suficiente para a existeˆncia de potenciais. Isso e´
apresentado, com todos os detalhes, na sec¸a˜o 10 do cap´ıtulo 3.
Relembrando a definic¸a˜o 1.2.3:
Definic¸a˜o 1.5.1: Um campo de forc¸as f : Rn → Rn e´ dito conservativo se
existe uma func¸a˜o U : Rn → R tal que ∇U = −f ; U e´ enta˜o dito um potencial
do campo de forc¸as f .
Definic¸a˜o 1.5.2: Seja f um campo de forc¸as em Rn. A energia cine´tica do
sistema mecaˆnico mx′′ = f(x) e´ dada por
EC(x1, x2, ..., xn, x˙1, x˙2, ..., x˙n) = EC(x˙1, x˙2, ..., x˙n) =
= 12m‖(x˙1, x˙2, ..., x˙n)‖2 = 12m(x˙21 + x˙22 + ...+ x˙2n) .
Se U e´ um potencial do campo, enta˜o a energia total do sistema mecaˆnico e´ dada
pela soma do potencial com a energia cine´tica, ou seja,
ET (x1, x2, ..., xn, x˙1, x˙2, ..., x˙n) =
= EC(x˙1, x˙2, ..., x˙n)+U(x1, x2, ..., xn) =
1
2m(x˙
2
1 + x˙
2
2 + ...+ x˙
2
n)+U(x1, x2, ..., xn) .
Teorema 1.5.1: Conservac¸a˜o de energia total: A energia total se conserva ao
longo das trajeto´rias x(t), t ∈ R, de um sistema mecaˆnico mx′′ = f(x) dado por
um campo de forc¸as f conservativo.
Demonstrac¸a˜o: A afirmac¸a˜o feita no teorema segue de:
d
dt
(
1
2
m‖x′(t)‖2 + U(x(t))
)
=
1
2
m2
〈
x′′(t), x′(t)
〉
+
〈
∇U(x(t)), x′(t)
〉
=
=
〈
mx′′(t) +∇U(x(t)), x′(t)
〉
=
=
〈
mx′′(t)− f(x(t)), x′(t)
〉
= 0 ,
ondex = x(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) e´ uma trajeto´ria do sistema mecaˆnico
mx′′ = f(x) dado por um campo de forc¸as f conservativo com um potencial U.
Observac¸a˜o 1.5.1: Acima usamos o seguinte fato: se η(t) ∈ Rn enta˜o
d
dt
‖η(t)‖2 = d
dt
〈η(t), η(t)〉 = 2〈η′(t), η(t)〉.
Para sermos mais precisos nos comenta´rios que se seguem, apresentamos agora
a definic¸a˜o de superf´ıcies (regulares) em Rm; na sec¸a˜o 10 do cap´ıtulo 3 usamos
esta definic¸a˜o para definir integrais de superf´ıcie. As refereˆncias ba´sicas para este
assunto sa˜o M. do Carmo, 2005 e E. Lima, 1989.
52 Mecaˆnica Newtoniana
Definic¸a˜o 1.5.3: Uma superf´ıcie de dimensa˜o k contida em Rm e´ um subcon-
junto S do Rm que pode ser localmente parametrizado por cartas coordenadas,
ou seja, para cada ponto p ∈ S existem um aberto V ⊂ Rm e uma aplicac¸a˜o
g : B → Rm, a carta coordenada em p, definida em um aberto B ⊂ Rk, tais que
valem as seguintes condic¸o˜es:
• p ∈ V ∩ S e g define uma bijec¸a˜o g : B → V ∩ S;
• g e´ diferencia´vel e sua inversa g−1 : V ∩ S → B e´ cont´ınua;
• A matriz jacobiana Dg das parciais de g, em cada ponto de B, tem seus k
vetores-coluna linearmente independentes em Rm (logo k ≤ m).
O espac¸o tangente TpS de S em p e´ o subespac¸o vetorial k-dimensional do R
m
gerado pelos vetores-coluna da matriz jacobiana Dg de g em g−1(p). E´ usual ver
TpS como o espac¸o afim p+ TpS de TpS por p.
Por exemplo, o gra´fico S = graf(h) = {(x, h(x)) | x ∈ A} ⊂ Rm de uma
func¸a˜o h : A → R, onde A e´ um aberto do Rm−1, e´ sempre uma superf´ıcie
de dimensa˜o m − 1 em Rm, com a carta coordenada g : A → Rm definida
por g(x) = (x, h(x)); neste caso, a inversa de g e´ a projec¸a˜o (x, s) 7→ x de
Rm = Rm−1 ×R em Rm−1 e o espac¸o tangente a S em p = (q, h(q)) ∈ S e´ dado
por TpS = {(v, 〈v,∇h(q)〉) | v ∈ Rm−1}.
Outro exemplo: considere em R3 o cilindro infinito S = {(x, y, z) |x2+y2 = 1}
que e´ uma superf´ıcie de dimensa˜o 2. De fato, neste caso bastam duas cartas
coordenadas g para cobrir todos os pontos de S. Seja ga : B = {(θ, z) | θ ∈
(0, 2pi), z ∈ R} → R3 tal que
ga(θ, z) = (x, y, z) = (cos θ, sen θ, z) = (g
1
a(θ, z), g
2
a(θ, z), g
3
a(θ, z)) .
Note que a imagem ga(B) cobre todo S menos a reta vertical passando por
(1, 0, 0). Observe que a matriz Dga(θ, z) tem como colunas
(∂g1a
∂θ
,
∂g2a
∂θ
,
∂g3a
∂θ
)
= (−sen θ, cos θ, 0) e
(∂g1a
∂z
,
∂g2a
∂z
,
∂g3a
∂z
)
= (0, 0, 1) ,
que sa˜o linearmente independentes.
No ponto p = (x, y, z) = ga(θ, z) o plano tangente TpS e´ gerado pelos vetores
(−sen θ, cos θ, 0) e (0, 0, 1).
As outras condic¸o˜es sa˜o fa´ceis de serem confirmadas
Considere agora a carta coordenada gb : B = {(θ, z) | θ ∈ (−pi, pi), z ∈ R} →
R3 tal que
gb(θ, z) = (x, y, z) = (cos θ, sen θ, z) = (g
1
b (θ, z), g
2
b (θ, z), g
3
b (θ, z)) .
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 53
Com esta parametrizac¸a˜o conseguimos cobrir a reta vertical passando por
(1, 0, 0).
Sendo assim S e´ uma superf´ıcie.
Observac¸a˜o 1.5.2: Na˜o e´ dif´ıcil de se ver que os conjuntos de n´ıvel Sc =
G−1(c) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | G(x1, x2, . . . , xn) = c}, com c constante, de
uma aplicac¸a˜o diferencia´vel G : Rn → R, determinam superf´ıcies de dimensa˜o
n − 1 em Rn se ∇G(x1, x2, . . . , xn) 6= 0 ∈ Rn para cada (x1, x2, . . . , xn) ∈ Sc;
isto decorre do teorema da func¸a˜o impl´ıcita (ver E. Lima, 1989), que afirma
que, localmente, todo conjunto de n´ıvel e´ um gra´fico. O espac¸o tangente a Sc
em p ∈ Sc e´ simplesmente o espac¸o ortogonal ao gradiente de G em p, ou seja,
TpSc = {v ∈ Rn | 〈v,∇G(p)〉 = 0}.
Por exemplo, a esfera unita´ria S2 = {(x1, x2, x3) | x21 + x22 + x23 = 1} e´
uma superf´ıcie (bidimensional) em R3; o espac¸o tangente a S2 em p ∈ S2, pela
observac¸a˜o acima, e´ o plano perpendicular ao vetor p ∈ R3 : TpS2 = {v ∈ R3 |
〈v, p〉 = 0} = [p]⊥. Note que e´ necessa´ria mais de uma carta coordenada para
cobrir todos os pontos da esfera.
No caso unidimensional (ver fig. 1.3.4 a), a maioria dos conjuntos de n´ıvel
da energia total sa˜o superf´ıcies de dimensa˜o 1, ou seja, curvas diferencia´veis. No
entanto, a curva de n´ıvel (na verdade e´ uma curva com auto-intersec¸a˜o) com a
forma de um 8 que aparece na fig. 1.7.4 do exemplo 1.7.10 na˜o e´ uma superf´ıcie de
dimensa˜o 1, no sentido da definic¸a˜o 1.5.3, por causa do ponto de corte. Os outros
conjuntos de n´ıvel que aparecem na fig. 1.7.4 sa˜o todos superf´ıcies de dimensa˜o
1, com excec¸a˜o daqueles que passam pelos pontos (a1, 0), (a2, 0), (a3, 0), que se
reduzem a pontos. Sendo assim a maioria dos conjuntos de n´ıvel da func¸a˜o
energia total deste exemplo (cujos gra´ficos aparecem na fig. 1.7.4) sa˜o realmente
superf´ıcies de dimensa˜o 1. Esse exemplo ilustra o que pode acontecer no caso
geral n-dimensional.
E´ poss´ıvel mostrar que o conjunto dos c, tal que Sc = G
−1(c) na˜o e´ uma su-
perf´ıcie, e´ muito pequeno, ou seja, tem medida zero (referimos ao leitor E. Lima,
1989; V. Guillemin e A. Pollack, 1974, para definic¸o˜es e o teorema de Sard). Seja
agora f um campo de forc¸as conservativo em R3 com energia total ET : R
6 → R.
Em geral, mas nem sempre, os conjuntos de n´ıvel ET = constante determinam
superf´ıcies de dimensa˜o 5 em R6. Pela observac¸a˜o 1.5.2 acima, basta analisar o
gradiente da energia total; e´ fa´cil ver que ∇ET (x1, x2, x3, x˙1, x˙2, x˙3) = 0 ∈ R6
se, e somente se, ∇U(x1, x2, x3) = 0 e x˙1 = x˙2 = x˙3 = 0, ou seja, se e somente
se f(x1, x2, x3) = (x˙1, x˙2, x˙3) = 0 ∈ R3 (ver exerc´ıcio 4 a seguir). Pelo teorema
1.5.1, a energia total ET e´ uma integral primeira para a equac¸a˜o diferencial de
primeira ordem x′ = F (x) associada a f. No presente caso (uma equac¸a˜o di-
ferencial em R6), a existeˆncia de uma integral primeira na˜o permite identificar
as curvas soluc¸o˜es. Podemos estabelecer apenas, com o teorema de conservac¸a˜o
de energia total, que, em R6, cada trajeto´ria do sistema esta´ sempre dentro da
mesma superf´ıcie de dimensa˜o 5 dada por ET = constante, mas sa˜o necessa´rias
54 Mecaˆnica Newtoniana
mais integrais primeiras para identificar as soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial. Na
maioria dos casos na˜o existem integrais primeiras em quantidade suficiente para
poder identificar as trajeto´rias: no caso presente seriam necessa´rias cinco inte-
grais primeiras. Fica claro neste ponto o porqueˆ da maioria dos livros de f´ısica
se preocuparem tanto em encontrar leis de conservac¸a˜o (de momento, de ener-
gia, etc.). Cada vez que encontramos alguma grandeza que se conserva, temos
mais uma integral primeira e assim conseguimos mais e mais restringir a posic¸a˜o
espacial da trajeto´ria.
Observac¸a˜o 1.5.3: E´ poss´ıvel mostrar que todo campo de vetores no plano
pode ser aproximado por um campo de vetores que na˜o possui integrais primeiras
em nu´mero suficiente para identificar suas trajeto´rias. O sentido de tal aproxi-
mac¸a˜o e´ na distaˆncia C1 (ver definic¸a˜o 2.2.5 e subsequ¨ente observac¸a˜o 2.2.4;
referimos ao leitor interessado em entender mais sobre este to´pico J. Sotomayor,
1979). O resultado ana´logo para sistemas mecaˆnicos (em que o campo de vetores
F deriva de um campo de forc¸as f) tambe´m e´ verdadeiro (ver C. Robinson, 1970;
C. Robinson, 1975). O que desejamos destacar aqui e´ que na maioria avassaladora
dos casos, os sistemas mecaˆnicos sa˜o na˜o integra´veis. Em resumo, na maioria dos
casos poderemos ter apenas a energia total como integral primeira.
Como consequ¨eˆncia dos fatos acima descritos fica claro que e´ necessa´rio de-
senvolver a teoria da mecaˆnica cla´ssica na˜o so´ para os espac¸os euclidianos Rn mas
tambe´m para superf´ıcies (as superf´ıcies de energia constante).
No espac¸o de configurac¸o˜es Rn de um sistema mecaˆnico podemos supor que
uma part´ıcula esta´ sujeita a um v´ınculo dado por uma superf´ıcie S de dimensa˜o
k. Como deve ser enunciada a lei de Newton neste caso?A lei de Newton para sistemas mecaˆnicos com v´ınculos: Considere um campo
de forc¸as f em Rn e uma superf´ıcie S de dimensa˜o k em Rn. Uma curva pa-
rametrizada x(t) e´ soluc¸a˜o do problema mecaˆnico mx′′ = f(x) com v´ınculo S
se, para todo tempo t, a projec¸a˜o zp de mx
′′(t) sobre o espac¸o tangente TpS em
p = x(t) ∈ S coincide com fp (a projec¸a˜o de f(x(t)) sobre o mesmo plano tan-
gente a S em p (isto e´ zp = fp). Equivalentemente, neste caso, podemos dizer
que mx′′ − f(x) = u e´ um vetor normal a` superf´ıcie, isto e´, para todo v em TpS
temos que 〈u, v〉 = 0.
Vamos descrever atrave´s de um exemplo concreto qual e´ a raza˜o natural da
validade dessa lei. Considere o exemplo acima do cilindro infinito em que consi-
deramos os (x, y, z) que satisfazem x2 + y2 = 1 (contido em R3) . Suponha agora
a existeˆncia de um campo de forc¸as f : R3 → R3. Em cada ponto p = (x, y, z)
do cilindro, considere o plano tangente TpS e um vetor n = n(p) perpendicular
ao plano tangente, denominado de vetor normal a` superf´ıcie S em p.
Neste caso, no ponto p = (x, y, z), o vetor normal n pode ser tomado como
n = (x, y, 0). De fato, no ponto (x, y, z) ∈ S, como vimos antes, o plano tangente
T(x,y,z)S e´ gerado pelos vetores (−y, x, 0) e (0, 0, 1). Note que n = (x, y, 0) e´
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 55
perpendicular tanto a (−y, x, 0) como a (0, 0, 1) (basta tomar o produto interno).
Decomponha agora f(p) em duas componentes f = f1 + f2 = fp + f2, onde
f1 ∈ TpS e f2 e´ colinear com n. A forc¸a f2 na direc¸a˜o de n e´ anulada pelo v´ınculo
dado por S. Ou seja, a forc¸a que realmente “age” sobre S e´ f1.
Considere agora uma curva x(t), t ∈ (a, b), sobre S (ou seja, x((a, b)) ⊂ S) tal
que x(t0) = p. Enta˜o x
′(t0) ∈ TpS, mas x′′(t0) na˜o precisa necessariamente estar
em TpS. Escreva x
′′(t0) = z1 + z2 = zp + z2, onde z1 ∈ TpS e z2 e´ colinear com
n. A componente da acelerac¸a˜o z2 e´ anulada pelo v´ınculo.
A lei acima afirma que, em esseˆncia, vale a “pre´via” lei de Newton no caso
de v´ınculo S, so´ que se despreza a componente normal a superf´ıcie tanto de mx′′
quanto de f .
Da mesma maneira que no caso unidimensional (superf´ıcie unidimensional γ
contida em R2 conforme a lei de Newton apo´s exemplo 1.3.1), podemos transfor-
mar um problema definido por um campo de forc¸as f em Rn, com v´ınculo dado
pela superf´ıcie S de dimensa˜o k em Rn, num problema sem v´ınculo em Rk. Para
isto, localmente, a cada x0 em S, se usa uma carta g(y) = x definida num aberto
B em Rk, tal que g(B) cobre uma vizinhanc¸a V ∩S ⊂ Rn de x0 em S. Considera-
se em B o campo de forc¸as u(y) = Dg−1(fg(x))), onde g(y) = x. A seguir, se
resolve o problema my′′ = u(y), encontrando y(t). A soluc¸a˜o do problema dado
por f em Rn, com v´ınculo dado pela superf´ıcie S, sera´ x(t) = g(y(t)).
Esse ponto sera´ devidamente justificado (ale´m da apresentac¸a˜o de um proce-
dimento mais eficiente de se fazer contas) nas considerac¸o˜es que sera˜o feitas junto
a` definic¸a˜o 2.5.2 do cap´ıtulo 2.
A partir da lei de Newton, vamos determinar a trajeto´ria de uma part´ıcu-
la de massa m na superf´ıcie dada pelo cilindro {(x, y, z) | x2 + y2 = 1} sujeita
apenas a uma forc¸a f normal ao cilindro; em outras palavras, a part´ıcula se move
livremente, sem estar sujeita a forc¸as, sendo obrigada a permanecer no cilindro,
o v´ınculo.
Considere para os pontos (x, y, z) do cilindro a carta de coordenadas dada
por (θ, z) 7→ (x, y, z) = (cos θ, sen θ, z), onde z e´ a altura. Se (x(t), y(t), z(t))
descreve a evoluc¸a˜o da part´ıcula sobre o cilindro, temos
(x′′, y′′, z′′) = −(θ′2 cos θ + θ′′ sen θ, θ′2 sen θ − θ′′ cos θ, z′′) .
Como o plano tangente ao cilindro em (x, y, z) e´ perpendicular ao vetor (x, y, 0)
e o campo de forc¸as f que atua na part´ıcula e´ normal ao v´ınculo, esta forc¸a e´
dada por
f(θ, z) = −h(θ, z) (cos θ, sen θ, 0) ,
para alguma func¸a˜o h. Pela lei de Newton descrita acima, como f e´ colinear com
a normal, enta˜o existe B(θ, z) tal que
mx′′ = B(θ, z) cos θ
my′′ = B(θ, z)senθ
mz′′ = 0 ,
56 Mecaˆnica Newtoniana
ou seja, z(t) = z0 + vt e temos ainda que{
θ′2 cos θ + θ′′ sen θ = 1
m
B(θ, z) cos θ
θ′2 sen θ − θ′′ cos θ = 1
m
B(θ, z) sen θ .
Para t tais que θ = θ(t) ∈ R − {. . . ,−pi/2, 0, pi/2, pi, . . .}, este sistema e´ igual
a {
θ′2 + θ′′ tan θ = 1
m
B(θ, z)
θ′2 − θ′′ cot θ = 1
m
B(θ, z)
e obtemos θ′′ (tan θ + cot θ) = 0; para os t em considerac¸a˜o, tan θ + cot θ =
cot θ(tan2 θ+1) 6= 0, ou seja, necessariamente θ′′ = 0. Por continuidade, θ′′(t) = 0
para todo t e resulta θ(t) = θ0 + ωt. Tomando a velocidade angular ω = 0,
inclu´ımos os casos θ0 = n
pi
2 , com n inteiro. Neste caso a soluc¸a˜o e´ uma linha
vertical no cilindro.
Assim, a trajeto´ria que descreve o movimento da part´ıcula e´ da forma
(x(t), y(t), z(t)) = (cos(θ0 + ωt), sen (θ0 + ωt), z0 + vt),
ou seja, e´ uma he´lice (ou uma reta vertical) no cilindro.
Exerc´ıcios:
1. Uma part´ıcula de massa 1 se move sob a ac¸a˜o de um campo de forc¸as
f(x, y) = −k(x, y) no R2, com constante k > 0; tais campos sa˜o casos particulares
de campos ditos centrais. Calcule um potencial U do sistema.
2. Determine a equac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula livre de massa 2,
com condic¸o˜es iniciais (x1(0), x2(0)) = (x1, x2), (x
′
1(0), x
′
2(0)) = (y1, y2), se mo-
vendo em R2 sem a ac¸a˜o de forc¸as externas, mas sujeita ao v´ınculo x21 + x
2
2 = 1.
(Isso acontece, por exemplo, quando a part´ıcula se move sobre uma mesa horizon-
tal.) Use coordenadas polares para determinar a soluc¸a˜o e interprete a resposta
tomando cuidado com a parametrizac¸a˜o.
3. Determine a equac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula de massa m se
movendo em R3 sob a ac¸a˜o da forc¸a da gravidade (0, 0,−mg), mas sujeita ao
v´ınculo x21 + x
2
2 = 1. Use coordenadas polares para determinar a soluc¸a˜o e
interprete a resposta tomando cuidado com a parametrizac¸a˜o.
4. Considere o potencial U : R3 → R e a energia total E(x, x˙) = 12m|x˙|2 +
U(x), x = (x1, x2, x3). Considere um valor constante E0 tal que para todo
(x, x˙) ∈ SE0 = {(x, x˙)|E(x, x˙) = E0} valha que
∇E(x1, x2, x3, x˙1, x˙2, x˙3) 6= 0 ∈ R6 .
Mostre que ∇E = 0 e´ equivalente a` ∇U(x1, x2, x3) = 0 e x˙1 = x˙2 = x˙3 = 0, ou
seja, se, e somente se, f(x1, x2, x3) = −∇U(x1, x2, x3) = (x˙1, x˙2, x˙3) = 0 ∈ R3.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 57
Mostre neste caso que se ∇E(z) 6= 0, ∀z ∈ SE0 , enta˜o SE0 e´ uma superf´ıcie de
dimensa˜o 5.
5. Determine a equac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula de massa 1 se mo-
vendo em R3 sob a ac¸a˜o da forc¸a f(x, y, z) = (x, y2, z), mas sujeita ao v´ınculo
unidimensional S dado por x2 + y2 = 1, z = 0. Para tanto, calcule primeiro
o plano normal e a reta tangente de cada ponto p na curva S. Decomponha o
vetor f = f1 + f2 na componente normal f2 e na tangente f1 e a seguir despreze
a componente normal f2. Fac¸a o mesmo com (x
′′, y′′, z′′). Utilize a lei de New-
ton com v´ınculo S e enta˜o use coordenadas polares (cos(θ(t)), sen (θ(t)), 0) para
descrever a equac¸a˜o que deve satisfazer qualquer soluc¸a˜o do problema mecaˆnico
(x(t), y(t), z(t)) sobre a curva S. Fac¸a a questa˜o recair num problema unidimen-
sional envolvendo θ(t) na reta real R. Resolva o problema encontrando θ(t) por
quadraturas (se na˜o for poss´ıvel determinar a integral, deixe indicado a expressa˜o
anal´ıtica). Finalmente, voltando pela parametrizac¸a˜o em coordenadas polares ao
R3, determine a soluc¸a˜o (x(t), y(t), z(t)) = (cos(θ(t)), sen (θ(t)), 0) ∈ S.
1.6 O PROBLEMA DOS DOIS CORPOS
Considere duas part´ıculas de massas, respectivamente, m1 e m2, que se des-
locam livremente sobre R3 e que esta˜o, respectivamente, nas posic¸o˜es x1 e x2.
Foi observado por Newton que cada part´ıcula exerce sobre a outra uma forc¸a de
atrac¸a˜o gravitacional de intensidade G m1m2
(x1−x2)2 , onde G e´ uma constante univer-
sal. A direc¸a˜oda forc¸a de atrac¸a˜o f criada pela part´ıcula de massa m2 e que age
sobre a part´ıcula de massa m1, aponta de x1 para x2 (e vice-versa). Podemos
supor que o sistema de coordenadas esta´ em repouso e centrado no centro de
massa das part´ıculas.
A lei de Newtonmx′′ = f(x) define uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem
em R3 ou, equivalentemente, uma equac¸a˜o de primeira ordem em R6.
Como vimos, no caso em que uma das duas part´ıculas (por exemplo, a pri-
meira) teˆm massa m1, que e´ muito maior do que a da outra, enta˜o o centro de
massa estara´ praticamente em cima de x1 e, assim, podemos supor que o sis-
tema de coordenadas a ser considerado esta´ de fato centrado em x1. Assim, essa
part´ıcula x1 estara´ sempre na origem e tudo que resta saber e´ onde esta´ a outra.
Vamos considerar portanto o campo de forc¸as
f(x) = − x‖x‖3 ,
com x = (x1, x2, x3) ∈ R3 − {(0, 0, 0)}, que corresponde, por exemplo, a` forc¸a de
atrac¸a˜o da Terra sobre a Lua (de maneira aproximada).
Para simplificar, consideramos acima um sistema de coordenadas normali-
zado em que a constante de atrac¸a˜o e as massas da Terra e da Lua satisfazem
Gm1m2 = 1. Essa hipo´tese na˜o causa problema maior no resultado final de nossa
ana´lise, pois, afinal de contas, podemos obter isso com uma mudanc¸a de coorde-
58 Mecaˆnica Newtoniana
nadas linear na varia´vel x e as concluso˜es que estamos interessados em obter na˜o
dependem de mudanc¸as de coordenadas.
Este exemplo, que descreveremos a seguir com detalhes, e´ um caso em que o
espac¸o de configurac¸o˜es e´ o R3 e o sistema e´ integra´vel. A maioria dos sistemas
mecaˆnicos tridimensionais sa˜o na˜o integra´veis; na verdade, esta afirmac¸a˜o e´ um
teorema de Poincare´, cuja demonstrac¸a˜o esta´ acima do escopo deste texto. De
qualquer modo, e´ extremamente importante entender o caso do problema dos dois
corpos, pois e´ um exemplo historicamente muito importante: foi um dos primeiros
exemplos em que se conseguiu obter integrais primeiras em nu´mero suficiente
para identificar as soluc¸o˜es de um sistema mecaˆnico, conforme M. Hirsch e S.
Smale, 1974. Ao mesmo tempo, estaremos tendo uma valiosa experieˆncia de
como um sistema bem simples pode requerer uma ana´lise bastante elaborada
para se descobrir todas as suas integrais primeiras.
Definic¸a˜o 1.6.1: Um campo de forc¸as f : Rn → Rn e´ dito central se f(x) e´
sempre colinear com a reta passando por 0 e x ∈ Rn.
Proposic¸a˜o 1.6.1: Seja f um campo de forc¸as conservativo com potencial U,
ou seja, temos f = −∇U. Enta˜o, as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
a) f e´ central.
b) Existe uma func¸a˜o h : R→ R tal que f(x) = h(‖x‖)x.
c) Existe uma func¸a˜o g : R→ R tal que U(x) = g(‖x‖).
Demonstrac¸a˜o: c) ⇒ b): Como U(x) = g
(√
x21 + x
2
2 + x
2
3
)
, temos
∂U
∂xi
(x) = g′(‖x‖)1
2
2xi(x
2
1 + x
2
2 + x
2
3)
− 1
2 =
1
‖x‖g
′(‖x‖)xi
para 1 ≤ i ≤ 3, e portanto
−f(x) = ∇U(x) = 1‖x‖g
′(‖x‖)(x1, x2, x3) .
Sendo assim, em b) podemos tomar h dada por
h(‖ x ‖) = −g
′(‖ x ‖)
‖ x ‖ .
b) ⇒ a) e´ trivial.
a) ⇒ c): Mostrar c) e´ mostrar que o potencial U depende apenas da norma
‖x‖ de x, ou seja, que U(x) e´ constante em esferas. Vamos, enta˜o, escrever
Sα = {x ∈ R3 | ‖x‖ = α} e mostrar que U e´ constante em Sα, para cada α.
Para provar isso, basta mostrar que U e´ constante ao longo de qualquer curva
totalmente contida em Sα. Seja, pois, x(t) ∈ Sα uma (parametrizac¸a˜o de uma)
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 59
curva qualquer. Como ‖x(t)‖ e´ constante, temos 〈x(t), x′(t)〉 = 0 (ver observac¸a˜o
1.5.1 acima) e portanto
d
dt
U(x(t)) = 〈∇U(x(t)), x′(t)〉 =
= 〈−f(x(t)), x′(t)〉 =
=
〈
−h(‖x(t)‖)x(t), x′(t)
〉
= 0,
ou seja, U(x(t)) e´ constante. Logo U depende apenas de ‖x‖.
Exemplo 1.6.1: O campo de vetores gravitacional
f(x) = − x‖x‖3
e´ central e conservativo, pois
U(x) = − 1‖x‖
define um potencial para f.
Definic¸a˜o 1.6.2: O produto vetorial de dois vetores u e v em R3, dados por
u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), e´ o vetor u× v ∈ R3 definido por
u× v =
(
det
[
u2 u3
v2 v3
]
, det
[
u3 u1
v3 v1
]
, det
[
u1 u2
v1 v2
])
. (1.4)
O produto vetorial u× v de dois vetores u, v ∈ R3 na˜o colineares, em termos
geome´tricos, e´ o vetor u × v = ‖u‖ · ‖v‖ sen θ N, onde N e´ o vetor unita´rio
perpendicular a u e a v que satisfaz a regra da ma˜o direita (ver fig. 1.6.1).
Exerc´ıcio: Mostre que
u× v = −v × u ,
v × u = 0 ⇐⇒ u e v sa˜o colineares e
d
dt
(u(t)× v(t)) = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t) .
Proposic¸a˜o 1.6.2: Se x(t) descreve o movimento de uma part´ıcula sob a ac¸a˜o
de um campo central em R3, enta˜o x(t)× x′(t) e´ constante.
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o da proposic¸a˜o segue de
d
dt
(x× x′) = x′ × x′ + x× x′′ = 0 + x× 1
m
f(x) = x× h(‖x‖)
m
x = 0 ,
onde h e´ a func¸a˜o dada pelo item b) da proposic¸a˜o 1.6.1 acima.
60 Mecaˆnica Newtoniana
Figura 1.6.1
Corola´rio 1.6.1: O movimento de uma part´ıcula sob a ac¸a˜o de um campo
central em R3 fica restrito a um plano. Mais precisamente, a trajeto´ria x(t) ∈ R3
do campo nunca sai do plano determinado por x(0) e x′(0).
Demonstrac¸a˜o: Seja v0 = x(0)×x′(0); pela proposic¸a˜o anterior, x(t)×x′(t) =
v0 para qualquer t ∈ R. Logo a trajeto´ria x(t) esta´ sempre no plano que passa
pela origem e perpendicular a v0, pois
〈x, v0〉 = 〈x, x× x′〉 = 0 ,
ja´ que x× x′ e´ perpendicular a x.
Observac¸a˜o 1.6.1: Pela proposic¸a˜o 1.6.2, se x(t) e´ soluc¸a˜o de um problema
mecaˆnico sujeito a um campo de forc¸as central enta˜o
x× x′ = (x2x′3 − x3x′2, x3x′1 − x1x′3, x1x′2 − x2x′1) = (c1, c2, c3) = constante.
Considere a equac¸a˜o diferencial de primeira ordem na varia´vel (x, x˙) ∈ R6
dada por {
x′ = x˙
x˙′ = 1
m
f(x) ,
onde (x, x˙) = (x1, x2, x3, x˙1, x˙2, x˙3) e f e´ um campo de forc¸as central. Acabamos
de mostrar na proposic¸a˜o 1.6.2 que a func¸a˜o W : R6 → R dada por
(x1, x2, x3, x˙1, x˙2, x˙3) 7→ x2x˙3 − x3x˙2
e´ uma integral primeira desta equac¸a˜o. Na verdade, obtivemos treˆs integrais
primeiras no resultado sobre a conservac¸a˜o do produto vetorial em um campo
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 61
central. (Observamos que a proposic¸a˜o 1.6.2 na˜o e´ necessariamente va´lida para
campos de forc¸as na˜o centrais.)
A conservac¸a˜o de produto vetorial em um campo central e´ um bom exemplo
de um fato ba´sico na teoria das equac¸o˜es diferenciais (ver M. Hirsch e S. Smale,
1974) e na f´ısica. Cada vez que existe uma simetria no sistema (no caso, uma
simetria esfe´rica), o problema tem menos graus de liberdade e isso nos indica que
temos uma boa chance de encontrar uma integral primeira deste sistema (no caso
em considerac¸a˜o, a conservac¸a˜o de produto vetorial).
Pelo corola´rio 1.6.1 (que explica porque a o´rbita da Lua em torno da Terra esta´
dentro de um plano), podemos considerar a lei de Newton restrita a um plano,
que nada mais e´ do que uma co´pia do R2; mudando de coordenadas, podemos
supor que este plano e´ o R2. Note que com isto reduzimos bastante a dimensa˜o
do espac¸o das varia´veis do nosso sistema mecaˆnico. O novo campo de forc¸as f,
que e´ a restric¸a˜o ao R2 do antigo campo de forc¸as f definido em R3, e´ dado
naturalmente por:
f(x) = − x‖x‖3 ,
com x = (x1, x2) ∈ R2 − {(0, 0)}. Devido a` simetria circular deste campo de
forc¸as, e´ natural considerar coordenadas polares; nestas, a trajeto´ria do campo f
e´ dada por x(t) = (x1(t), x2(t)) = r(t)(cos θ(t), sen θ(t)).
Definic¸a˜o 1.6.3: O momento angular de um sistema mecaˆnico dado em coor-
denadas polares e´
h(r, θ˙) = mr2θ˙ .
O momento angular de uma curva x(t) = (r(t), θ(t)) em coordenadas polares e´
dado por h(t) = mr2(t)θ′(t).
Exemplo 1.6.2: O momento angular da curva
x(t) = (t cos t, t sen t) = t(cos t, sen t)
e´ h(t) = mt2, pois r(t) = t e θ(t) = t. Note que x(t) na˜o e´ soluc¸a˜odo problema
mecaˆnico em considerac¸a˜o.
Teorema 1.6.1: Conservac¸a˜o do momento angular: Para uma part´ıcula se
movendo sob a ac¸a˜o de um campo central, o momento angular h e´ constante.
Antes de demonstrar a proposic¸a˜o, introduzimos uma notac¸a˜o conveniente:
escrevemos i(t) = (cos θ(t), sen θ(t)) para o vetor unita´rio colinear com x(t) e
j(t) = (−sen θ(t), cos θ(t)), para o vetor unita´rio ortogonal a i(t). Enta˜o x(t) =
r(t)i(t) e valem as seguintes regras de derivac¸a˜o:
di
dt
=
d
dt
(cos θ, sen θ) = (−θ˙ sen θ, θ˙ cos θ) = θ˙(−sen θ, cos θ) = θ˙j
62 Mecaˆnica Newtoniana
e, analogamente,
dj
dt
= −θ˙i .
Demonstrac¸a˜o: Primeiramente calculamos a acelerac¸a˜o x′′ em coordenadas
polares. Temos
x′(t) =
d
dt
r(t)i(t) = r′(t)i(t) + r(t)θ′(t)j(t) (1.5)
e portanto, esquecendo de escrever a varia´vel t, como de costume,
x′′ = r′′i+ r′θ′j + r′θ′j + rθ′′j − rθ′θ′i =
= (r′′ − rθ′2)i+ (2r′θ′ + rθ′′)j .
Como
1
r
d
dt
(r2θ′) =
1
r
(2rr′θ′ + r2θ′′) = 2r′θ′ + rθ′′ ,
resulta que
x′′ = (r′′ − rθ′2)i+ 1
r
d
dt
(r2θ′)j .
Ora, pela lei de Newton, a acelerac¸a˜o e´ dada por mx′′ = f(x); como f e´
central, temos f(x) = g(x)x para alguma func¸a˜o g (proposic¸a˜o 1.6.1) e portanto
x′′ =
1
m
f(x) =
1
m
g(x)x =
1
m
g(x)ri ,
ou seja, a componente de x′′(t) na direc¸a˜o de j(t) e´ nula, acarretando
1
r
d
dt
(r2θ′) = 0 .
Isso prova que r(t)2θ′(t) e´ constante e portanto tambe´m h(t) = mr2(t)θ′(t); a
proposic¸a˜o esta´ demonstrada.
Ja´ temos ate´ agora duas integrais primeiras em R4, E e h, respectivamente, a
energia total e o momento angular. Treˆs integrais primeiras distintas em R4 pos-
sibilitariam identificar as curvas descritas pelas trajeto´rias da equac¸a˜o diferencial
x′ = F (x) em R4 definida por f. Faltaria encontrar ainda mais uma integral pri-
meira, mas com as leis de conservac¸a˜o que ja´ temos, podemos tratar diretamente
a equac¸a˜o diferencial e resolveˆ-la: com as restric¸o˜es ja´ obtidas, vamos recair em
uma equac¸a˜o diferencial em R, que pode ser facilmente resolvida.
Podemos supor h = mr(t)2θ′(t) 6= 0, pois, se para um certo t0 isso acontece,
pelo teorema de conservac¸a˜o de momento angular o mesmo acontece para todo
t. Em particular, θ′(t) 6= 0 para todo t e podemos escrever r como func¸a˜o de
θ, r = r(θ). Isso simplificara´ muito o nosso problema, pois nos livraremos da
varia´vel t e, resolvendo uma equac¸a˜o diferencial de r na varia´vel θ, identificaremos
as curvas, que sa˜o coˆnicas em R2, descritas pelas soluc¸o˜es do problema dos dois
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 63
corpos (entretanto, na˜o poderemos dizer, para cada valor de t, onde a trajeto´ria
x(t) esta´).
Denotemos
u(θ) =
1
r(θ)
.
Lema 1.6.1: Se x(t) = (r(t), θ(t)) = (r(θ(t)), θ(t)) e´ soluc¸a˜o do problema dos
dois corpos, enta˜o
T = energia cine´tica =
1
2
h2
m
[(
du
dθ
)2
+ u2
]
,
onde h = mr2θ˙ e´ o momento angular (que e´ constante).
Demonstrac¸a˜o: Assim como em (1.4), da demonstrac¸a˜o do teorema 1.6.1
temos x′ = r′i+ rθ′j, ou seja, ‖x′‖2 = r′2 + (rθ′)2 e portanto
T = energia cine´tica =
m
2
‖x′‖2 = m
2
(
(r′2) + (rθ′)2
)
.
Mas r(t) = r(θ(t)) = 1/u(θ(t)), acarretando
r′ =
d
dt
1
u(θ(t))
= − 1
(u(θ(t)))2
du
dθ
θ′ = −r2θ′du
dθ
= − h
m
du
dθ
e portanto
T =
m
2
[
h2
m2
(
du
dθ
)2
+
h2
m2
u2
]
=
1
2
h2
m
[(
du
dθ
)2
+ u2
]
,
ja´ que h = mr2θ˙ .
Lembre que
EP (r, θ) = U(r, θ) = − 1
r(θ)
= −u(θ)
e´ a energia potencial. Logo, a energia total e´ dada por
E = ET = EC + EP =
1
2
h2
m
[(
du
dθ
)2
+ u2
]
− u , (1.6)
e portanto (
du
dθ
)2
+ u(θ)2 =
(
E + u(θ)
) 2m
h2
.
Derivando o termo da esquerda em relac¸a˜o a θ obtemos
d
dθ
[(
du
dθ
)2
+ u2
]
= 2
du
dθ
d2u
dθ2
+ 2u
du
dθ
,
64 Mecaˆnica Newtoniana
e derivando o termo da direita obtemos
d
dθ
((
E + u
) 2m
h2
)
=
2m
h2
du
dθ
,
pois a energia total E e´ constante; cancelando 2 du
dθ
, resulta
d2u
dθ2
+ u =
m
h2
= constante = c .
A partir dessa expressa˜o fica mais clara a raza˜o pela qual escolhemos a varia´vel
u = 1/r: obtemos uma equac¸a˜o mais fa´cil de integrar.
Exerc´ıcio: Mostre que a equac¸a˜o de segunda ordem na˜o homogeˆnea
u′′ + u− c = 0
tem soluc¸a˜o geral dada por
u = c(1 + e cos(θ − θ0)) ,
onde e e θ0 sa˜o constantes determinadas a partir das condic¸o˜es iniciais.
Voltando a` nossa equac¸a˜o diferencial e lembrando que u = 1/r e c = m
h2
,
obtemos, enta˜o, a seguinte relac¸a˜o entre r e θ:
1 =
mr(θ)
h2
(1 + e cos(θ − θ0)) , (1.7)
que e´ a equac¸a˜o de uma coˆnica de excentricidade e; dependendo de e, esta coˆnica
e´:
uma hipe´rbole ⇐⇒ e > 1 ⇐⇒ E > 0;
uma para´bola ⇐⇒ e = 1 ⇐⇒ E = 0;
uma elipse ⇐⇒ e < 1 ⇐⇒ E < 0;
pois a excentricidade e e´ dada por
e =
√
1 +
2Eh2
m
.
Para ver isso, basta substituir a expressa˜o obtida em (1.6) para u = 1
r
na equac¸a˜o
(1.5) da energia total.
A expressa˜o (1.6) determina uma integral primeira. Em conclusa˜o, obtivemos
uma relac¸a˜o entre r e θ, ou seja, encontramos a terceira e u´ltima integral primeira.
Podemos enta˜o afirmar que o problema dos dois corpos e´ integra´vel; as trajeto´rias
(x(t), x˙(t)) do sistema sa˜o tais que as curvas x(t) determinam elipses, hipe´rboles
ou para´bolas, dependendo de e.
Note que na˜o determinamos ainda a dependeˆncia temporal das trajeto´rias
(θ(t), r(t)) do sistema mecaˆnico em considerac¸a˜o. Isso sera´ feito a seguir, em
uma situac¸a˜o menos espec´ıfica.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 65
No pro´ximo teorema veremos que no plano, para potenciais U bem mais
gerais do que no caso anterior, e´ sempre poss´ıvel descobrir as soluc¸o˜es do sistema
mecaˆnico dado por um campo central (se soubermos calcular uma certa integral).
Este resultado afirma que, usando coordenadas polares no plano, o movimento
de uma part´ıcula (que, para simplificar, supomos ter massa 1) sob a ac¸a˜o de
um campo de forc¸as central dado por um potencial U(r) e´ tal que a distaˆncia r
da part´ıcula a` origem varia como em um problema unidimensional com energia
potencial
V (r) = U(r) +
h2
2r2
.
Esse ponto de vista simplifica sobremaneira o problema.
Como ja´ sabemos integrar sistemas unidimensionais, poderemos enta˜o deter-
minar r(t). A seguir, mostraremos que nesse caso tambe´m poderemos calcular
θ(t) e que, portanto, e´ poss´ıvel encontrar a soluc¸a˜o geral do problema.
Observac¸a˜o 1.6.2: Se V (r) = U(r) + h2/2r2 e´ o potencial de um sistema
mecaˆnico unidimensional, enta˜o, pelo teorema de conservac¸a˜o de energia total,
temos
m
1
2
r˙2 + V (r) = ET (r, r˙) = c ,
onde c e´ uma constante que depende so´ da trajeto´ria, ou seja, r(t) satisfaz
1
2
r′2 + U(r) +
h2
2r2
= c .
Neste caso (ver fim da sec¸a˜o 2), r(t) pode ser encontrado por quadraturas.
Em resumo, no pro´ximo teorema vamos analisar primeiramente apenas o que
acontece com r(t) para depois descobrir o que sucede com θ(t).
Teorema 1.6.2: Se x(t) = (r(t), θ(t)) descreve em coordenadas polares o movi-
mento de uma part´ıcula de massa 1 sob a ac¸a˜o de um campo central conservativo
em R2 com potencial U(x1, x2) = g
(√
x21 + x
2
2
)
= g(r), enta˜o r varia como em
um problema mecaˆnico unidimensional conservativo, com potencial dado por
V (r) = g(r) +
h2
2r2
,
onde h e´ o momento angular, constante. Ale´m disso, e´ poss´ıvel encontrar r(t) e
θ(t) pelo me´todo das quadraturas.
Demonstrac¸a˜o: Como U(x1, x2) = g
(√
x21 + x
2
2
)
= g(r), temos
∂U
∂x1
=
dg
dr
x1
r
e
∂U
∂x2
=
dg
dr
x2
r
,
66 Mecaˆnica Newtoniana
e, portanto, se x = (x1, x2) = r(cos θ, senθ), obtemos
∇U(x) =
(
dg
dr
cos θ,
dg
dr
sen θ
)
=
dg
dr
i ,
onde utilizamos a mesma notac¸a˜o da demonstrac¸a˜o do teorema 1.6.1, ou seja,
i = (cos θ, sen θ) e j = (−sen θ, cos θ).
Se x(t) descreve a trajeto´ria da part´ıcula sob a ac¸a˜o do campo de forc¸as central
conservativo com potencial U, enta˜o, pela lei de Newton, temos x′′ = −∇U(x).
Exatamente como na demonstrac¸a˜o do teorema 1.6.1, calculamos x′′ = (r′′ −
rθ′2)i+ (rθ′′ + 2r′θ′)j; como o campo e´ central, a componente de j em x′′ e´ nula,
portanto x′′ = (r′′ − rθ′2)i pela lei de Newton. Segue-se que
(r′′ − rθ′2) i = x′′ = −∇U(z) = −dg
dr
i ,
ou seja,
−dg
dr
= r′′ − r θ′2 .
Desejamos eliminar θ desta equac¸a˜o. Pelo teorema 1.6.1, r2θ′ = h = cons-
tante, logo θ′ = h/r2. Enta˜o,
−dg
dr
= r′′ − h
2
r3
e, portanto,
r′′ = −dg
dr
+
h2
r3
= − d
dr
(
g(r) +
h2
2r2
)
︸ ︷︷ ︸
V (r)
= − d
dr
V (r) ,
sendo assim demonstrada a primeira afirmac¸a˜o do teorema.
Um sistema unidimensional e´ sempre integra´vel, como ja´ sabemos. Veremos
agora como obter r em func¸a˜o de t. Pela observac¸a˜o 1.6.2,
E1 = E(r, r˙) =
1
2
r˙2 + V (r)
e´ constante ao longo das trajeto´rias. Como feito no fim da sec¸a˜o 2, suponha que
conhecemos
η(r) =
∫
1√
2(E1 − V (r))
dr ;
pela regra da cadeia obteremos enta˜o
dη(r(t))
dt
=
1√
2(E1 − V (r(t)))
r′(t) = 1
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 67
e, portanto, η(r(t)) = t+ c, para qualquer t ∈ R, sendo c uma constante. Assim
poderemos obter implicitamente r(t) a partir de η e, portanto, encontramos uma
integral primeira para o sistema mecaˆnico.
A integral que define η(r) muitas vezes envolve integrais el´ıpticas e tera´ que
ser deixada na forma acima, ou seja, sem ser resolvida.
Ja´ que conseguimos determinar r(t), vamos agora encontrar θ(t). Ora, como
vimos antes,
r2(t) θ′(t) = h = constante.
Portanto
θ(t) =
∫
h
r2(t)
dt .
A conclusa˜o e´ a de que podemos calcular, pelo me´todo acima, r e θ em func¸a˜o
de t, no caso em que o campo de forc¸as conservativo e´ central.
Observac¸a˜o 1.6.3: Para finalizar, queremos destacar dois fatos. Primeiro: no
problema dos treˆs corpos em R3 ja´ na˜o se consegue encontrar um nu´mero sufici-
ente de integrais primeiras para identificar as soluc¸o˜es. Segundo: se consideramos
campos na˜o centrais, nada do que foi feito nesta sec¸a˜o podera´ ser utilizado.
Este e´ um ponto importante na teoria das equac¸o˜es diferenciais e em mecaˆnica
cla´ssica: na maioria dos casos na˜o se pode encontrar explicitamente, ou mesmo
implicitamente, as soluc¸o˜es de um dado problema; por isso se torna extremamente
importante o desenvolvimento de me´todos que permitam obter informac¸o˜es so-
bre as trajeto´rias de um sistema mecaˆnico, mesmo que na˜o se saiba resolver a
equac¸a˜o diferencial associada. A teoria dos sistemas dinaˆmicos se dedica a ana-
lisar problemas dessa natureza (ver, como refereˆncia, J. Palis e W. Melo, 1982;
J. Sotomayor, 1979; C. Robinson, 1970; M. Hirsch e S. Smale, 1974; R. Devaney,
1986; A. Katok e H. Hasselblatt, 1995; M. Pollicott e M. Yuri, 1998; R. Man˜e´,
1991) Os resultados apresentados na pro´xima sec¸a˜o transmitira˜o uma breve ide´ia
do tipo de informac¸a˜o a qual estamos nos referindo.
Exerc´ıcios:
1. Mostre que no problema dos dois corpos, se a o´rbita for circular, enta˜o o
mo´dulo da velocidade na o´rbita e´ constante.
2. Considere o campo central definindo pelo potencial U(r) = − 1
r
. Use o
teorema 1.6.2 para calcular r(t).
1.7 APEˆNDICE - O´RBITAS PERIO´DICAS E ESTABILIDADE DE PON-
TOS DE EQUILI´BRIO
Nesta sec¸a˜o fazemos um estudo qualitativo detalhado do espac¸o de fase das
equac¸o˜es diferenciais que resultam da lei de Newton. Sugerimos ao leitor evitar
a presente sec¸a˜o em uma primeira leitura. O que segue nas outras sec¸o˜es na˜o
68 Mecaˆnica Newtoniana
depende do desenvolvimento desta, que tem o objetivo de aprofundar e detalhar
mais precisamente a dinaˆmica de sistemas mecaˆnicos.
Como veremos, e´ extremamente importante analisar certos tipos de trajeto´rias
do sistema mecaˆnico: as constantes e as perio´dicas. As trajeto´rias constantes sa˜o
aquelas que descrevem part´ıculas que com o decorrer do tempo na˜o se movem,
ou seja, part´ıculas que ficam paradas em cima de um ponto do espac¸o de fase,
denominado ponto de equil´ıbrio. As trajeto´rias perio´dicas sa˜o as que descrevem
part´ıculas que, comec¸ando em um certo ponto no espac¸o de fase, depois de um
determinado tempo retornam ao mesmo ponto e voltam enta˜o a repetir, periodi-
camente, a sua trajeto´ria.
Por exemplo, no caso do peˆndulo, as posic¸o˜es dele parado na vertical para cima
e para baixo correspondem a pontos de equil´ıbrio. No primeiro caso, o equil´ıbrio
e´ insta´vel (ver definic¸a˜o 1.7.8) e no segundo, esta´vel (ver definic¸a˜o 1.7.6). Em
uma vizinhanc¸a, em torno dos pontos de equil´ıbrio esta´veis do peˆndulo sem atrito,
existem o´rbitas perio´dicas (ver fig. 1.3.4A).
No que segue, F : Rn → Rn e´ um campo de vetores de classe C1 em Rn
e tratamos da equac¸a˜o diferencial de primeira ordem x′ = F (x) em Rn. Para
entender o espac¸o de fase desta equac¸a˜o, analisamos inicialmente os pontos de
equil´ıbrio do sistema.
Definic¸a˜o 1.7.1: Dizemos que x0 ∈ Rn e´ um ponto de equil´ıbrio para F se
F (x0) = 0 ∈ Rn.
Note que definimos ponto de equil´ıbrio para equac¸o˜es de primeira ordem e
na˜o para equac¸o˜es de segunda ordem. Seja f um campo de forc¸as em Rn, com
campo de vetores associado em R2n, dado por
F (x, x˙) =
(
x˙,
1
m
f(x)
)
.
Para que o ponto (x, x˙) ∈ R2n seja de equil´ıbrio para F , e´ necessa´rio e suficiente
que (x˙, 1
m
f(x)) = F (x, x˙) = (0, 0), ou seja, e´ necessa´rio e suficiente que o campo
de forc¸as f se anule em x e que a velocidade x˙ tambe´m se anule. Em outras
palavras, os pontos de equil´ıbrio de F sa˜o dados por (x, 0) ∈ R2n com f(x) = 0.
Proposic¸a˜o 1.7.1: Se x0 e´ ponto de equil´ıbrio para F, enta˜o a (u´nica) soluc¸a˜o
de x′ = F (x), x(t0) = x0 e´ uma func¸a˜o constante, dada por x(t) = x0, para todo
t ∈ R.
Demonstrac¸a˜o: Se F (x0) = 0 e x(t) = x0 para t ∈ R, enta˜o e´ claro que
x(t0) = x0 e x
′(t) = 0 = F (x0) = F (x(t)), de modo que x e´ soluc¸a˜o de x′ =
F (x), x(t0) = x0. Ale´m disso, pelo teorema 1.1.1, esta soluc¸a˜o e´ u´nica.
Pode-se dizer enta˜o que, em um ponto de equil´ıbrio, o sistema fica em repouso.
A ana´lise dos pontos de equil´ıbrio de uma equac¸a˜o diferencial e´ muitas vezes
extremamente importante para ajudar no entendimento global do comportamento
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 69
das trajeto´rias no espac¸o de fase. Vamos analisar agora os pontos de equil´ıbrio
de alguns sistemas mecaˆnicos.
Exemplo 1.7.1: Para um sistema de equac¸o˜es diferenciais lineares x′ = A(x),
o ponto 0 ∈ Rn e´ sempre de equil´ıbrio pois, para toda matriz A, vale A(0) = 0.
Exemplo 1.7.2: Os pontos de equil´ıbrio do campo F (θ, ω) associado ao peˆndulo
(ver exemplo 1.3.3), com ou sem atrito, devem satisfazer{
0 = ω ,
0 = − g
l
sen θ ,
e, portanto, sa˜o os pontos (θ, ω) = (npi, 0), com n inteiro, todos sobre o eixo
ω = 0 do espac¸o de fase, a intervalos de comprimento pi. Analisando a fig. 1.3.4
b), em que aparece o espac¸o de fase do peˆndulo com atrito, podemos concluir
que existe uma diferenc¸a bem grande entre os pontos de equil´ıbrio (npi, 0) para
n par ou ı´mpar (ver tambe´m os exemplos 1.7.7, 1.7.15 e 1.7.16 abaixo). Esse
comportamento diferente esta´ associado ao seguinte fato, bastante simples. O
peˆndulo pode ficar em equil´ıbrio vertical, com a haste para cima ou para baixo,
mas se chegarmos a um laborato´rio de f´ısica, onde se encontra um peˆndulo f´ısico,
muito provavelmente vamos encontra´-lo em repouso com a haste para baixo.
O equil´ıbrio com a haste para cima e´ poss´ıvel, embora muito improva´vel,pois
qualquer perturbac¸a˜o ambiental, por pequena que seja, vai tira´-lo do repouso.
Esta e´ a diferenc¸a entre os pontos de equil´ıbrio esta´veis e os insta´veis, que vamos
discutir a seguir. Antes, pore´m, introduzimos o conceito de fluxo associado a
uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira ordem.
Definic¸a˜o 1.7.2: O fluxo φt, t ∈ R, associado ao campo de vetores F definido
em um aberto A do Rn, e´ a famı´lia (indexada por t) de transformac¸o˜es de A
em si mesmo, tal que no tempo t ∈ R fixo, φt : A → A e´ a aplicac¸a˜o dada por
φt(x) = y, onde y = x(t) ∈ A, quando a func¸a˜o x : R → A e´ a u´nica soluc¸a˜o
de x′ = F (x), tal que x(0) = x. Variando t ∈ R, obtemos o fluxo de F, que e´ a
famı´lia de aplicac¸o˜es φ = {φt}t∈R. Para cada t fixo, φt e´ uma bijec¸a˜o de A em si
mesmo.
Na maioria dos casos tratados aqui o aberto A sera´ o Rn.
A trajeto´ria x(t), com condic¸a˜o inicial x(0) = x, descreve a posic¸a˜o da soluc¸a˜o
em func¸a˜o de t. O fluxo φt(x), por outro lado, exerce papel inverso: fixado t,
queremos saber onde se encontra a soluc¸a˜o que comec¸a em x, depois do tempo t.
Por ser func¸a˜o de x, o fluxo φt nos da´ uma informac¸a˜o global do comportamento
de todas as soluc¸o˜es, simultaneamente (num certo tempo fixado t).
Para x fixo, o conjunto {φt(x) | t ∈ R} e´ chamado a o´rbita de x (pelo fluxo).
Lembrando que g ◦ h denota a composta das duas func¸o˜es g e h (ou seja,
(g ◦ h)(x) = g(h(x)), por definic¸a˜o), observamos que o fluxo de F satisfaz a
equac¸a˜o
dφt
dt
(x) = (F ◦ φt)(x) (1.8)
70 Mecaˆnica Newtoniana
para cada x. Para ver isto, basta tomar a soluc¸a˜o x(t) de x′ = F (x), x(0) = x
e derivar φt(x) = x(t); assim
dφt
dt
(x) = x′(t) = F (x(t)) = F (φt(x)) = (F ◦ φt)(x)
vale para x.
Definimos o fluxo apenas para equac¸o˜es autoˆnomas (aquelas em que o t na˜o
aparece na equac¸a˜o) e para as quais todas as soluc¸o˜es do problema de Cauchy,
com qualquer condic¸a˜o inicial, esta˜o definidas para todo t ∈ R.
Exemplo 1.7.3: Dado o sistema linear
x′ = Ax ,
ja´ sabemos (ver exemplo 1.1.2) que para cada ponto x ∈ Rn,
etAx = x(t)
e´ a soluc¸a˜o de x′ = A(x), x(0) = x. Logo o fluxo φt : Rn → Rn de A e´ dado por
φt(x) = e
tAx.
Desta forma, neste caso, a o´rbita de x = (x1, x2, ..., xn) e´ o conjunto
{et A (x1, x2, .., xn) | t ∈ R} ⊂ Rn,
Note que se x0 for ponto de equil´ıbrio, enta˜o segue da proposic¸a˜o 1.7.1 que
φt(x0) = x0 para todo t real. Dizemos nesse caso que x0 e´ fixo para o fluxo.
Exemplo 1.7.4: No caso da mola sem atrito, de massa m = 1 e constante
de elasticidade k = 1 (ver exemplo 1.1.2), temos um sistema de primeira ordem
associado que e´ linear e dado por x′ = A(x), com
A =
(
0 1
−1 0
)
.
Nesse caso, o fluxo φt = e
tA de A em x = (x1, x2) ∈ R2 e´ dado por
φt(x1, x2) = e
tA(x1, x2) =
(
cos t sen t
− sen t cos t
)(
x1
x2
)
=
= (x1 cos t+ x2 sen t,−x1 sen t+ x2 cos t) ,
pois, fixando x = (x1, x2) e variando t, essa e´ a u´nica soluc¸a˜o determinada por
x1(0) = x1, x2(0) = x2, conforme vimos no exemplo 2.2.3.
E´ fa´cil ver que, nesse caso, aplicar etA no vetor (x1, x2) simplesmente significa
rodar esse vetor de um aˆngulo −t. Usando coordenadas polares, isto pode ser
visto assim: (x1, x2) = r(cos θ, sen θ) e portanto
etA(x1, x2) = (x1 cos t+ x2 sen t,−x1 sen t+ x2 cos t) =
= (r cos θ cos t+ r sen θ sen t,−r cos θ sen t+ r sen θ cos t) =
= (r cos(θ − t), r sen (θ − t)),
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 71
onde, na u´ltima igualdade, usamos a conhecida fo´rmula trigonome´trica que da´ os
valores do seno e cosseno da soma de dois aˆngulos em func¸a˜o do seno e cosseno
de cada um dos aˆngulos.
Passamos agora a analisar as trajeto´rias perio´dicas.
Definic¸a˜o 1.7.3: Seja x(t) a soluc¸a˜o do problema de Cauchy dado por
x′ = F (x), x(0) = x0 ∈ Rn.
Dizemos que a trajeto´ria x(t) e´ perio´dica se F (x0) 6= 0 e existe um valor t0 > 0
tal que x(t0) = x(0) = x0. (Tambe´m dizemos, neste caso, que x0 e´ um ponto
perio´dico do campo F e que a o´rbita descrita pela trajeto´ria x(t) e´ uma o´rbita
perio´dica.) O per´ıodo da trajeto´ria x(t) e´ o menor de tais poss´ıveis valores t0 > 0.
Note que, por definic¸a˜o, um ponto de equil´ıbrio na˜o e´ um ponto perio´dico.
Uma o´rbita perio´dica pode ser caracterizada pela existeˆncia de um ponto x0
(sobre a o´rbita) tal que φT (x0) = x0 para algum T > 0 mas na˜o para qualquer
T > 0. Ja´ um ponto x0 de equil´ıbrio pode ser caracterizado como um ponto tal
que φt(x0) = x0 para todo t ∈ R.
No exemplo 1.7.4 todas as trajeto´rias da mola (exceto aquela em repouso na
origem, que e´ ponto de equil´ıbrio) sa˜o perio´dicas e de per´ıodo 2pi. Isso e´ fa´cil de
se ver na expressa˜o x(t) = r(cos(θ− t), sen (θ− t)) que obtivemos das trajeto´rias.
Ale´m disso, vemos que, na˜o so´ x(2pi) = x(0) = r(cos θ, sen θ), mas tambe´m
x(2npi) = x(0), para qualquer inteiro n. Isso vale, em geral, como segue:
Observac¸a˜o 1.7.1: E´ fa´cil ver que se x(t) e´ uma trajeto´ria perio´dica de per´ıodo
t0 , enta˜o, para qualquer inteiro k vale x(kt0) = x(0) = x0. Mais geralmente, para
qualquer inteiro k e qualquer t1 ∈ R, vale
x(kt0 + t1) = x(t1) .
Decorre desse fato que cada ponto da o´rbita {x(t) | t ∈ R} ⊂ Rn definida pela
trajeto´ria x(t) e´ igualmente um ponto perio´dico e de mesmo per´ıodo.
Para se convencer disto, observe primeiro que η(t) = x(t0 + t) define uma
soluc¸a˜o de x′ = F (x), pois η′(t) = x′(t0 + t) = F (x(t0 + t)) = F (η(t)). Como
η(0) = x(t0) = x0 = x(0), o teorema 1.1.1 de existeˆncia e unicidade das soluc¸o˜es
de uma equac¸a˜o diferencial, nos da´ η(t) = x(t) para qualquer t ∈ R, ou seja, vale
x(t0 + t) = x(t)
para qualquer t ∈ R. Em particular, para t = t1 temos x(t0 + t1) = x(t1) e para
t = t0 + t1 temos x(2t0 + t1) = x(t0 + (t0 + t1)) = x(t0 + t1) = x(t1). O resultado
para qualquer k segue por induc¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.7.4: Dizemos que um conjunto C ⊆ Rn e´ invariante para o fluxo
φt de F se φt(C) ⊆ C para todo t ∈ R.
72 Mecaˆnica Newtoniana
Perceba que, pela observac¸a˜o 1.7.1 acima, toda o´rbita perio´dica e´ um conjunto
invariante para φt. Todo ponto fixo x0 tambe´m determina um conjunto unita´rio
invariante {x0}.
Definic¸a˜o 1.7.5: Dizemos que uma aplicac¸a˜o g : D → A de um aberto D ⊂ Rn
em um aberto A ⊂ Rn e´ um difeomorfismo se g e´ bijetiva e tanto g quanto a
inversa g−1 : A → D sa˜o diferencia´veis. Em geral dizemos que g : D → Rn e´
um difeomorfismo sobre A se g(D) = A. Dizemos que um conjunto aberto B e´
difeomorfo ao aberto D se existe um difeomorfismo g tal que g(D) = B.
Proposic¸a˜o 1.7.2: Para cada t ∈ R, o fluxo φt do campo F de classe C1 e´
um difeomorfismo C1. Ale´m disso, vale φt ◦ φs = φt+s para quaisquer t, s ∈ R e
φ0 = I e´ a aplicac¸a˜o identidade; em particular, para cada t ∈ R, φ−t = φ−1t e´ a
func¸a˜o inversa de φt.
Demonstrac¸a˜o: O resultado segue de propriedades bem conhecidas de equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias. A injetividade de φt segue da unicidade das trajeto´rias
(as soluc¸o˜es na˜o podem se encontrar ou cruzar) garantida pelo teorema 1.1.1.
Tambe´m a sobrejetividade de φt e´ garantida pelo teorema 1.1.1. Isso porque,
dado y ∈ Rn o valor x ∈ Rn tal que φt(x) = y pode ser obtido da seguinte
maneira: considere a soluc¸a˜o x(t) da equac¸a˜o diferencial x′ = F (x), x(0) = y e
tome enta˜o x = x(−t); resulta que φt(x) = y.
O fato de φt ser diferencia´vel na varia´vel x segue da diferenciabilidade das
soluc¸o˜es em func¸a˜o da condic¸a˜o inicial. Se o campo F e´ de classe Cr enta˜o
φt(x) = φ(t, x) tambe´m e´ de classe C
r em (t, x) (ver C. Doering e A. Lopes,
2005).
E´ claro que φ0 = I. Supondo que vale φt ◦φs = φt+s, para quaisquer t, s ∈ R,
segue-se que φt ◦ φ−t = φt+(−t) = φ0 = I = φ−t+t = φ−t ◦ φt, ou seja, φ−t = φ−1t
e´ a func¸a˜o inversa de φt, que portanto e´ um difeomorfismo.
Para provar a propriedade de grupo φt ◦ φs = φt+s, consideramos s0 ∈ R e
x0∈ Rn fixados, tomamos a soluc¸a˜o x(t) de x′ = F (x), x(0) = x0 e definimos
η(t) = x(t+s0), para t ∈ R. E´ claro que η′(t) = x′(t+s0) = F (x(t+s0)) = F (η(t)),
de modo que η(t) e´ a u´nica soluc¸a˜o de x′ = F (x), x(0) = x(s0) e portanto, por
definic¸a˜o de fluxo, x(t+ s0) = η(t) = φt(x(s0)). Mas pela mesma definic¸a˜o temos
x(s0) = φs0(x0) e x(t+ s0) = φt+s0(x0), ou seja,
φt+s0(x0) = x(t+ s0) = φt(x(s0)) = φt(φs0(x0)) = (φt ◦ φs0)(x0) .
Resta observar que isso vale para cada x0, ou seja, obtemos φt+s0 = φt ◦φs0 para
todo t e cada s0.
Definic¸a˜o 1.7.6: Seja x0 um ponto de equil´ıbrio para F. Dizemos que x0 e´ um
ponto de equil´ıbrio esta´vel se, para qualquer vizinhanc¸a U ⊂ Rn de x0, existe
uma vizinhanc¸a V ⊂ Rn de x0, tal que V ⊂ U e
φt(x) ∈ U ,
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 73
para quaisquer x ∈ V, t > 0.
Exemplo 1.7.5: O t´ıpico exemplo de ponto de equil´ıbrio esta´vel e´ o (u´nico)
ponto de equil´ıbrio x0 = (0, 0) para a equac¸a˜o da mola sem atrito, com massa
1 e constante de elasticidade tambe´m 1. Que a origem e´ de fato um ponto de
equil´ıbrio esta´vel e´ fa´cil de ser visto, pois todas as trajeto´rias deste sistema (ver
fig. 1.2.1) percorrem c´ırculos em torno da origem (exemplo 1.7.4). O caso geral
da mola sem atrito voltara´ a ser considerado no exemplo 1.7.15.
Definic¸a˜o 1.7.7: Seja x0 um ponto de equil´ıbrio para F. Dizemos que x0 e´ um
ponto de equil´ıbrio assintoticamente esta´vel se, para qualquer vizinhanc¸a U ⊂ Rn
de x0, existe uma vizinhanc¸a V ⊂ Rn de x0, tal que V ⊂ U, φt(x) ∈ U, para
quaisquer x ∈ V, t > 0 e lim
t→∞φt(x) = x0 para qualquer x ∈ V.
Pontos de equil´ıbrio assintoticamente esta´veis esta˜o em geral associados a
sistemas com dissipac¸a˜o de energia.
Existem resultados sobre a estabilidade do u´nico ponto de equil´ıbrio, a origem
0 ∈ Rn, de um sistema linear autoˆnomo x′ = Ax, analisando os autovalores da
matriz A. Tambe´m existem resultados sobre a estabilidade de pontos de equil´ıbrio
para sistemas na˜o lineares, analisando a parte linear do sistema, que e´ um sistema
linear. O leitor interessado pode consultar C. Doering e A. Lopes, 2005, a respeito
dessas duas questo˜es.
Exemplo 1.7.6: O t´ıpico exemplo de ponto de equil´ıbrio assintoticamente
esta´vel e´ o (u´nico) ponto de equil´ıbrio x0 = (0, 0) para a equac¸a˜o da mola com
atrito (ver fig. 1.2.4). No exemplo 1.7.9 veremos que, de fato, todas as soluc¸o˜es
deste problema mecaˆnico convergem ao ponto de equil´ıbrio. Adiante, no exem-
plo 1.7.16 veremos que tambe´m o peˆndulo com atrito tem pontos de equil´ıbrio
assintoticamente esta´vel nos pontos (npi, 0), com n par.
Contra-Exemplo 1.7.1: E´ claro que todo ponto de equil´ıbrio assintoticamente
esta´vel e´, em particular, um ponto de equil´ıbrio esta´vel, mas a rec´ıproca na˜o e´
va´lida. E´ fa´cil de se ver que a origem, que e´ um ponto de equil´ıbrio esta´vel para a
equac¸a˜o da mola sem atrito (ver exemplo 1.7.5), na˜o e´ assintoticamente esta´vel,
pois as trajeto´rias na vizinhanc¸a da origem sa˜o todas perio´dicas, rodando em
c´ırculos (exemplo 1.7.4), e na˜o convergem ao ponto x0 = 0 = (0, 0) quando t
tende ao infinito (ver fig. 1.2.1).
Definic¸a˜o 1.7.8: Seja x0 um ponto de equil´ıbrio para F. Dizemos que x0 e´ um
ponto de equil´ıbrio insta´vel se x0 na˜o e´ um ponto de equil´ıbrio esta´vel. Dizemos
que x0 e´ um ponto de equil´ıbrio indiferente se x0 e´ um ponto de equil´ıbrio esta´vel
mas na˜o assintoticamente esta´vel.
Exemplo 1.7.7: Os pontos de equil´ıbrio do peˆndulo simples sem atrito, dados
por (npi, 0), sa˜o pontos de equil´ıbrio insta´vel se n e´ ı´mpar; isso pode ser visto na
74 Mecaˆnica Newtoniana
fig. 1.3.4 a, pois temos duas trajeto´rias que se afastam definitivamente do ponto
de equil´ıbrio para t crescente. Ale´m do mais, nesse caso, excetuando duas que
de fato convergem ao ponto de equil´ıbrio insta´vel, todas as demais trajeto´rias
do campo de vetores saem de uma dada pequena vizinhanc¸a qualquer do ponto
de equil´ıbrio insta´vel para tempos suficientemente grandes. Ja´ os pontos (npi, 0),
para n par, sa˜o de equil´ıbrio indiferente, como veremos mais tarde, no exemplo
1.7.15.
Exemplo 1.7.8: Na˜o e´ dif´ıcil mostrar (ver, por exemplo, C. Doering e A.
Lopes, 2005) que a origem e´ sempre um ponto de equil´ıbrio insta´vel para um
sistema linear definido por uma matriz que tem um nu´mero positivo entre seus
autovalores (cf. exerc´ıcio 3 no final desta sec¸a˜o).
Pode-se mostrar que se todos os autovalores da matriz que define um sistema
linear tiverem parte real negativa, o ponto 0 e´ de equil´ıbrio assintoticamente
esta´vel (ver C. Doering e A. Lopes, 2005). Existe uma versa˜o deste resultado
para sistemas na˜o lineares a qual referimos ao leitor J. Sotomayor, 1979 para o
enunciado preciso.
Proposic¸a˜o 1.7.3: Se existe um ponto de equ´ılibrio assintoticamente esta´vel
para o campo F enta˜o a equac¸a˜o diferencial x′ = F (x) na˜o possui integrais
primeiras.
Demonstrac¸a˜o: Pela definic¸a˜o 1.2.5 de integral primeira (ver sec¸a˜o 2), e´
poss´ıvel provar o seguinte: qualquer func¸a˜o diferencia´vel W que e´ constante ao
longo das trajeto´rias de x′ = F (x), e´ necessariamente constante na vizinhanc¸a de
pontos de equ´ılibrio assintoticamente esta´veis.
Seja W (x) uma func¸a˜o diferencia´vel que e´ constante ao longo das trajeto´rias
de x′ = F (x). Dado x ∈ V, temos enta˜o que W (φt(x)) e´ constante para t ∈ R e,
portanto, lim
t→∞φt(x) = x0 acarreta W (x) = W (x0) pela continuidade de W. Como
isso vale para qualquer x ∈ V, conclu´ımos que W (x) e´ constante na vizinhanc¸a
V de x0.
Em torno de pontos de equil´ıbrio indiferentes de um campo F, no entanto,
nada impede que a equac¸a˜o diferencial x′ = F (x) possa ser integra´vel. Por
exemplo, no caso da mola sem atrito com constantes m = k = 1 (ver exemplo
1.2.3), as trajeto´rias permanecem em c´ırculos de energia total 12 x˙
2+ 12x
2 constante
e portanto o sistema e´ integra´vel, na˜o so´ na vizinhanc¸a da origem mas em todo
o plano.
No pro´ximo exemplo utilizamos o seguinte resultado ba´sico de equac¸o˜es dife-
renciais:
Proposic¸a˜o 1.7.4: Considere a equac¸a˜o diferencial de segunda ordem, linear
homogeˆnea e com coeficientes constantes em R, dada por
px′′ + qx′ + rx = 0 .
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 75
a
1
a
2
a
3
U(x)
x
Figura 1.7.1
Denote por λ1 e λ2 as ra´ızes do associado polinoˆmio caracter´ıstico
pλ2 + qλ+ r = 0 .
a) Se λ1 6= λ2 sa˜o reais, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´
x(t) = a1e
λ1t + a2e
λ2t (a1, a2 ∈ R) .
b) Se λ1 = λ = λ2 sa˜o reais, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´
x(t) = eλt(a1 + ta2) (a1, a2 ∈ R) .
c) Se as ra´ızes λ1 e λ2 sa˜o complexas (e na˜o reais), elas sa˜o conjugadas, ou
seja, existem a, b ∈ R com b 6= 0, tais que λ1 = a+ bi e λ2 = a− bi (pois o
polinoˆmio caracter´ıstico tem coeficientes reais). Nesse caso, a soluc¸a˜o geral
da equac¸a˜o diferencial e´
x(t) = eat(a1 cos bt+ a2 sen bt) (a1, a2 ∈ R) .
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o, que e´ elementar, pode ser encontrada em
qualquer texto de equac¸o˜es diferenciais (ver, por exemplo, C. Doering e A. Lopes,
2005).
Exemplo 1.7.9: Mostremos que o ponto de equil´ıbrio x0 = 0 ∈ R2 e´ assinto-
ticamente esta´vel para a mola com atrito. A equac¸a˜o diferencial da mola com
atrito, que ja´ vimos na sec¸a˜o 2, e´ dada por
mx′′ = −kx− cx′,
76 Mecaˆnica Newtoniana
onde k e´ a constante positiva de reac¸a˜o, ou de elasticidade da mola, e c e´ a
constante positiva de atrito (estamos supondo, enta˜o, que o atrito e´ linear na
velocidade; para sermos mais precisos em termos f´ısicos, isso equivale a supor
que a mola esta´ mergulhada em um fluido, que pode, aproximadamente, causar
um atrito linear a` baixa velocidade). A equac¸a˜o da mola com atrito e´ portanto
uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem, linear homogeˆnea e com coeficientes
constantes,com polinoˆmio caracter´ıstico
mλ2 + cλ+ k = 0 .
Como m e c sa˜o positivos, no caso c2 − 4mk ≥ 0 as ra´ızes do polinoˆmio carac-
ter´ıstico sa˜o ambas reais e negativas, pois
λ1 =
−c−√c2 − 4mk
2m
< 0 e
λ2 =
−c+√c2 − 4mk
2m
<
−c+
√
c2
2m
= 0 .
Se c2 − 4mk > 0 enta˜o estaremos no caso a) da u´ltima proposic¸a˜o e, portanto,
uma soluc¸a˜o qualquer do sistema de primeira ordem associado em R2 e´ da forma
(x(t), x′(t)) =
(
a1e
λ1t + a2e
λ2t, a1λ1e
λ1t + a2λ2e
λ2t
)
;
como λ1 e λ2 sa˜o negativos, (x(t), x
′(t)) converge a` x0 = 0 quando t vai ao infinito,
como pode ser facilmente verificado. Se c2 − 4mk = 0 enta˜o estaremos no caso
b) e, portanto, uma soluc¸a˜o qualquer do sistema de primeira ordem associado em
R2 e´ da forma
(x(t), x′(t)) = eλt(a1 + ta2, λa1 + tλa2 + a2) ;
como λ = −c2m < 0, (x(t), x
′(t)) novamente converge a` x0 = 0 quando t vai ao
infinito.
Se c2−4mk < 0 enta˜o estaremos no caso c) da u´ltima proposic¸a˜o e, portanto,
uma soluc¸a˜o qualquer do sistema de primeira ordem associado em R2 e´ da forma
(x(t), x′(t)) = eat
(
a1 cos bt+ a2 sen bt, (aa1 + a2) cos bt+ (aa2 − a1) sen bt
)
;
como a = − c2m < 0, (x(t), x′(t)) converge a` x0 = 0 quando t converge ao infinito.
Isso mostra que o ponto de equil´ıbrio x0 = 0 ∈ R2 e´ assintoticamente esta´vel;
pela proposic¸a˜o 1.7.3 conclui-se que na˜o existem integrais primeiras para o peˆndulo
simples com atrito.
Exemplo 1.7.10: Suponha que o potencial U : R→ R de um campo de forc¸as
conservativo f tenha o gra´fico dado na fig. 1.7.1. Ja´ observamos, no in´ıcio dessa
sec¸a˜o, que os pontos de equil´ıbrio do campo de vetores F associado a f sa˜o da
forma (x, 0), com x tal que f(x) = 0, ou seja, com x um ponto cr´ıtico de U. Assim
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 77
x
x
.
Figura 1.7.2
(a1, 0), (a2, 0) e (a3, 0) sa˜o os u´nicos pontos de equil´ıbrio de F, onde a1, a2 e a3
denotam os treˆs pontos cr´ıticos de U , como mostra a fig. 1.7.1; note que U tem
mı´nimo local em a1 e a3 e ma´ximo local em a2. A energia total do sistema e´ dada
por
E(x, x˙) =
1
2
mx˙2 + U(x)
e portanto o gradiente da energia e´
∇E(x, x˙) = (−f(x),mx˙) .
Note que o gradiente de E se anula exatamente nos pontos de equil´ıbrio de F. O
gra´fico tridimensional de E, dado por {(x, x˙, E(x, x˙))}, correspondente ao poten-
cial da fig. 1.7.1, e´ apresentado na fig. 1.7.5.
Os pontos (a1, 0) e (a3, 0) sa˜o pontos de mı´nimo local para E, pois a1 e a3
sa˜o mı´nimos locais para U e a energia cine´tica 12mx˙
2 e´ positiva e quadra´tica em
x˙. As curvas de n´ıvel em torno de um ponto de mı´nimo para E sa˜o descritas
esquematicamente na fig. 1.7.2. Como sabemos, pelo teorema de conservac¸a˜o
de energia total, E e´ constante ao longo das trajeto´rias do sistema mecaˆnico
e, dessa maneira, conseguimos identificar as soluc¸o˜es em torno de um ponto de
mı´nimo local para E. E´ bastante razoa´vel concluir que tais pontos de mı´nimo
local para E sa˜o pontos de equil´ıbrio esta´veis para F. Mais tarde, no exemplo
1.7.15, veremos que, de fato, (a1, 0) e (a3, 0) sa˜o pontos de equil´ıbrio esta´veis
(mas na˜o assintoticamente esta´veis) para F.
O ponto (a2, 0), por sua vez, e´ ponto de sela para E, pois a2 e´ ma´ximo local
para U e, como ja´ dissemos antes, a energia cine´tica e´ positiva e quadra´tica na
varia´vel x˙ em torno de 0. As curvas de n´ıvel em torno de um ponto de sela para E
sa˜o descritas na fig. 1.7.3, a menos de uma rotac¸a˜o da fig.. Sendo assim, tambe´m
conseguimos obter a descric¸a˜o do espac¸o de fase em torno de um ponto de sela
para a energia total. E´ bastante razoa´vel concluir que tais pontos de ma´ximo
78 Mecaˆnica Newtoniana
x
x
.
Figura 1.7.3
local para E sa˜o pontos de equil´ıbrio insta´veis para F pois temos duas trajeto´rias
que se afastam do ponto de equil´ıbrio para t crescente.
Observac¸a˜o 1.7.2: O que se pode dizer para pontos de equil´ıbrio muito “dege-
nerados” e que na˜o sa˜o nem mı´nimo local e nem de sela para E? Esta pergunta
e´ bastante dif´ıcil de ser respondida. Felizmente, para a maioria dos potenciais U ,
tal situac¸a˜o patolo´gica na˜o acontece, e a ana´lise feita acima sera´ suficiente para
os nossos propo´sitos neste texto. Em termos matema´ticos mais precisos, afirmar
algo sobre “a maioria dos potenciais” significa afirmar algo sobre um conjunto
aberto e denso de func¸o˜es potenciais U na topologia C1 do espac¸o das func¸o˜es
(conforme definic¸a˜o 1.4.5; ver especialmente a observac¸a˜o 2.2.4 do Cap´ıtulo 2).
Este to´pico, relacionado ao lema de Morse, pertence a` topologia diferencial e o
leitor pode encontrar refereˆncias sobre tal assunto em E. Lima, 1989; E. Lima,
1973; V. Guillemin e A. Polock, 1974; J. Milnor, 1972.
Sendo assim, conseguimos dar um sentido geome´trico ao comportamento
esquema´tico das trajeto´rias em torno de pontos de equil´ıbrio de um sistema
mecaˆnico e fica justificada a descric¸a˜o das curvas de n´ıvel no espac¸o de fase
do presente exemplo, dada na fig. 1.7.4. Note que a figura tambe´m compatibiliza
o comportamento dos treˆs pontos de equil´ıbrio (fig. 1.7.2 e fig. 1.7.3). Na fig.
1.7.5 mostramos o gra´fico da energia E(q, q˙) e as respectivas curvas de n´ıvel que
determinam as trajeto´rias do sistema.
A argumentac¸a˜o anterior, em func¸a˜o de ma´ximos e mı´nimos para o potencial,
tambe´m justifica o comportamento do peˆndulo sem atrito em torno dos pontos
de equil´ıbrio, dado na fig. 1.3.4 a e comentado na observac¸a˜o 1.3.1. Na fig. 1.7.6
e´ exibido o potencial do peˆndulo sem atrito; os pontos de ma´ximo e mı´nimo para
U se alternam, o que corresponde, no espac¸o de fase, a pontos que se alternam
na reta real em R2 e que sa˜o de sela e de mı´nimo, alternadamente, para a energia
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 79
Figura 1.7.4
total (conforme fig. 1.3.4 a).
Para um completo entendimento do espac¸o de fase apresentado nas figuras
acima, e´ necessa´rio ainda analisar o que acontece em torno de pontos que na˜o sa˜o
de equil´ıbrio. Para ver isto em seu devido contexto, tratamos antes de mudanc¸as
de coordenadas; mudar coordenadas e´ uma ide´ia muito u´til (embora nem sempre
possa ser aplicada em equac¸o˜es diferenciais), pois, a`s vezes, podemos encontrar a
soluc¸a˜o de um problema que na˜o sabemos como resolver, simplesmente mudando
de coordenadas e reca´ındo em um outro problema, que ja´ sabemos resolver.
Exemplo 1.7.11: A equac¸a˜o diferencial de primeira ordem em R dada por
x′ = −a cotx pode parecer, a` primeira vista, dif´ıcil de ser resolvida, mas com
a mudanc¸a de coordenadas y = cosx ela e´ dada, simplesmente, por y ′ = ay,
ja´ que −y′ = x′ senx = −a cotx senx = −a cosx = −ay. A nova equac¸a˜o tem
como soluc¸a˜o geral, na varia´vel y, a func¸a˜o y(t) = keat. Agora que ja´ resolvemos o
problema na varia´vel y, fazemos a mudanc¸a de coordenadas inversa, para voltar a`
equac¸a˜o na varia´vel x, e obtemos a soluc¸a˜o geral x(t) = arccos y(t) = arccos keat
da equac¸a˜o diferencial original x′ = −a cotx. (O que se pode argumentar contra
este exemplo e´ que y = cosx na˜o e´ uma mudanc¸a global de varia´vel; no entanto,
podemos resolver a equac¸a˜o localmente, como fizemos acima, e depois “colar”as
soluc¸o˜es pedac¸o a pedac¸o.)
Acreditamos que com este exemplo fica clara a ide´ia da utilidade de uma
mudanc¸a de varia´vel, pois mostra como podemos passar de um problema mais
dif´ıcil para um mais fa´cil. O maior obsta´culo em tentar fazer uma mudanc¸a de
varia´vel para um problema mais fa´cil e´ que na˜o existem maneiras muito naturais
de adivinhar qual mudanc¸a de varia´vel devemos fazer; um dos poucos casos em
que sempre existe uma escolha clara e´ o de equac¸o˜es lineares autoˆnomas com
coeficientes constantes (ver C. Doering e A. Lopes, 2005). Embora na˜o se possa,
80 Mecaˆnica Newtoniana
Figura 1.7.5
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 81-2 2
3-
0
U( )θ
θ
Figura 1.7.6
em geral, encontrar uma mudanc¸a de coordenadas conveniente para o espac¸o de
fase inteiro, em certas sub-regio˜es isso e´ muitas vezes poss´ıvel, como veremos a
seguir (a diferenc¸a do que e´ va´lido para todo espac¸o de fase e o que e´ va´lido
para uma sub-regia˜o sera´ mais tarde expressa como a diferenc¸a entre o global e
o local).
Passamos agora a` situac¸a˜o geral. Dada uma equac¸a˜o diferencial x′ = F (x)
em Rn, podemos passar das coordenadas x ∈ Rn para as coordenadas y ∈ Rn por
meio de uma mudanc¸a de varia´vel y = g(x); para isto, basta usar a regra da cadeia
para calcular y′ a partir de x′ e obter uma equac¸a˜o equivalente y′ = F˜ (y) na nova
varia´vel y, similarmente ao que fizemos no caso unidimensional. Para ser uma
auteˆntica mudanc¸a de coordenadas, supomos que g(x) = y e´ um difeomorfismo e
definimos F˜ (y) = Dg(F (g−1(y)). E´ fa´cil verificar, usando a regra da cadeia, que
se x(t) e´ uma soluc¸a˜o de x′ = F (x), x(0) = x0, enta˜o y(t) = g(x(t)) e´ soluc¸a˜o
de y′ = F˜ (y), y(0) = g(x0) e, reciprocamente, se y(t) e´ uma soluc¸a˜o de y′ =
F˜ (y), y(0) = y0, enta˜o x(t) = g
−1(y(t)) e´ soluc¸a˜o de x′ = F (x), x(0) = g−1(y0).
Do ponto de vista de fluxos temos, enta˜o, que
ψt(g(x)) = g(φt(x))
vale para quaisquer pontos x ∈ Rn e t ∈ R tais que g esta´ definida em x e φt(x),
e onde φt denota o fluxo de F enquanto ψt e´ o de F˜ . Esta equac¸a˜o que relaciona
os fluxos de F e de F˜ leva a` definic¸a˜o seguinte, que diz que F e sua versa˜o F˜ em
novas coordenadas sa˜o conjugados.
Definic¸a˜o 1.7.9: Sejam F1 : A → Rn e F2 : B → Rn dois campos de vetores
em Rn, com fluxos, respectivamente, φ1t e φ
2
t . Dizemos que os campos F1 e F2, ou
enta˜o que os fluxos φ1t e φ
2
t , sa˜o conjugados se existe um difeomorfismo g : A→ B
tal que
φ2t ◦ g = g ◦ φ1t .
E´ de fundamental importaˆncia na definic¸a˜o acima precisar exatamente quais
sa˜o os domı´nios A e B onde esta˜o definidos os campos F1 e F2. E´ natural relaxar
82 Mecaˆnica Newtoniana
y
3
y
2
y
1
c+t
c
Figura 1.7.7
a u´ltima definic¸a˜o assumindo apenas que g : A → B e´ um homeomorfismo (ver
E. Lima, 1977 para definic¸o˜es) e na˜o um difeomorfismo.
Exerc´ıcio: Se dois campos F1 e F2 sa˜o conjugados por g, enta˜o g leva ponto
de equil´ıbrio em ponto de equil´ıbrio e o´rbita perio´dica em o´rbita perio´dica.
Como futuro modelo da descric¸a˜o das trajeto´rias de uma equac¸a˜o diferencial
na vizinhanc¸a de um ponto que na˜o e´ de equil´ıbrio, consideramos agora o mais
simples de todos os exemplos de equac¸o˜es diferenciais.
Exemplo 1.7.12: Considere em Rn a equac¸a˜o diferencial y′ = F (y) definida
pelo campo constante
F (y1, y2, . . . , yn) = (1, 0, . . . , 0) ,
com a condic¸a˜o inicial y(0) = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. A soluc¸a˜o e´, claramente,
y(t) = (y1 + t, y2, . . . , yn). Portanto, todas as soluc¸o˜es comec¸ando em um ponto
(c, y2, . . . , yn) estara˜o, apo´s decorrido um tempo t, na posic¸a˜o (c+ t, y2, . . . , yn);
em outras palavras, o fluxo de F e´ dado por
ψt(y1, y2, . . . , yn) = (y1 + t, y2, . . . , yn) .
A equac¸a˜o y′ = F (y) e´ integra´vel, pois as projec¸o˜es Pi(y1, y2, . . . , yn) = yi, com
i ∈ {2, . . . , n}, sa˜o n − 1 integrais primeiras (linearmente independentes), que
permitem identificar as trajeto´rias do sistema.
Dizemos que o escoamento do fluxo do campo F e´ laminar, pois todas as
soluc¸o˜es no hiperplano afim y1 = c estara˜o no hiperplano afim y1 = c + t apo´s
decorrido o tempo t (ver fig. 1.7.7 para o caso tridimensional). Assim e´ natural
dizer que o fluxo do campo constante F e´ tubular.
Definic¸a˜o 1.7.10: Considere a equac¸a˜o diferencial x′ = F (x) em Rn. Dizemos
que o ponto x0 tem a propriedade do fluxo tubular se existem uma vizinhanc¸a V
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 83
x
0
.
Figura 1.7.8
de x0, um aberto B ⊂ Rn e um difeomorfismo g : V → B tais que [−1, 1]n ⊂ B e
o fluxo φt de F e´ conjugado ao fluxo ψt do campo constante F (y1, y2, . . . , yn) =
(1, 0, . . . , 0) em [−1, 1]n, ou seja, em [−1, 1]n vale
ψt = g ◦ φt ◦ g−1 .
Em outras palavras, o ponto x0 tem a propriedade do fluxo tubular se o campo
de vetores F, na vizinhanc¸a de x0, e´ dado por F a menos da mudanc¸a de coor-
denadas g.
No caso do R2, se x0 tem a propriedade do fluxo tubular, existe uma faixa V
contendo x0 tal que φt(x) = g
−1(ψt(g(x))) para x ∈ V, e as trajeto´rias descritas
pelas soluc¸o˜es de x′ = F (x) entram por um lado da faixa e saem pelo outro, ao
passo que os outros dois lados sa˜o constitu´ıdos por duas trajeto´rias do sistema
(ver fig. 1.7.8). No R3, e´ a fig. 1.7.9 que ilustra o comportamento do fluxo,
onde V e´ o “cubo”g−1([−1, 1]3) = g−1([−1, 1]× [−1, 1]× [−1, 1]) : as trajeto´rias
comec¸am de um lado da caixa, atravessam a caixa, e saem pelo lado oposto da
caixa.
Exemplo 1.7.13: Considere o campo de vetores linear emR2 dado por F (x, y) =
(λ1x, λ2y), com λ1 > 0, λ2 < 0. E´ fa´cil verificar que o fluxo de F e´ dado por
φt(x, y) = (xe
λ1t, yeλ2t) e que o u´nico ponto de equil´ıbrio de F e´ a origem
(0, 0), como alia´s sucede com qualquer campo linear. Vejamos se algum ponto
(x0, y0) 6= (0, 0) do plano possui a propriedade do fluxo tubular, ou seja, se existe
uma vizinhanc¸a de (x0, y0) na qual, a menos de mudanc¸as de coordenadas, o
fluxo de F e´ dado por ψt(u, v) = (u + t, v), com (u, v) ∈ R2. Para isto, calcula-
mos explicitamente uma mudanc¸a de coordenadas que efetua essa simplificac¸a˜o,
isto e´, procuramos um difeomorfismo g(x, y) = (u, v) tal que ψt = g ◦ φt ◦ g−1,
84 Mecaˆnica Newtoniana
ou g−1 ◦ ψt = φt ◦ g−1. Escrevendo g−1(u, v) = (x, y) = (x(u, v), y(u, v)), o que
queremos e´
(x(u+ t, v), y(u+ t, v)) = g−1(u+ t, v) = g−1(ψt(u, v)) = φt(g−1(u, v)) =
= φt(x(u, v), y(u, v)) = (x(u, v)e
λ1t, y(u, v)eλ2t) .
O desenho esquema´tico das curvas soluc¸o˜es do presente exemplo aparece na
fig. 1.7.10.
Para simplificar as contas, supomos, sem perda de generalidade, que g(x0, y0) =
(0, 0) e que g−1 leva a reta vertical u = 0 na reta x = x0, mantendo a escala,
ou seja, que (x(0, v), y(0, v)) = g−1(0, v) = (x0, y0 + v), para v ∈ R; da equac¸a˜o
acima decorre que
g−1(t, v) = g−1(0 + t, v) = (x(0, v)eλ1t, y(0, v)eλ2t) = (x0eλ1t, (y0 + v)eλ2t)
e portanto, trocando t por u, obtemos
(x, y) = g−1(u, v) = (x0eλ1u, (y0 + v)eλ2u) ,
ou seja,
x = x0e
λ1u ,
y = (y0 + v)e
λ2u .
Para continuar as contas, passamos a supor que x0 6= 0 e enta˜o e´ fa´cil resolver
este sistema de equac¸o˜es em (u, v), obtendo, para x0 > 0,
u =
1
λ1
log
x
x0
,
v = y
(
x
x0
)−λ2
λ1 − y0 .
Podemos concluir, finalmente, que a mudanc¸a de coordenadas g e´ definida por
g(x, y) =
(
1
λ1
log
x
x0
, y
[
x
x0
]−λ1
λ2 − y0
)
.
Note que podemos obter explicitamente uma vizinhanc¸a de (x0, y0) na qual
vale esta mudanc¸a de coordenadas; para x0 > 0, por exemplo, e´ fa´cil verificar que
g−1
(
[−1, 1]× [−1, 1]
)
=
{
(x, y)
∣∣∣ a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)} ,
onde a = x0e
−|λ1|, b = x0e|λ1| e as func¸o˜es α, β : [a, b] → R sa˜o dadas por
α(x) = (y0 − 1)
(
x
x0
)λ1
λ2
, β(x) = (y0 + 1)
(
x
x0
)λ1
λ2
.
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 85
x
o
Figura 1.7.9
Figura 1.7.10
O pro´ximo teorema diz que, localmente em torno de um ponto que na˜o e´ de
equil´ıbrio, o exemplo acima sempre pode ser reproduzido (embora talvez na˜o ex-
plicitamente), ou seja, em torno de um ponto que na˜o e´ de equil´ıbrio, todo campo
se comporta (ver fig. 1.7.10 no caso bidimensional) como o campo constante F do
exemplo 1.7.12. Voltamos a lembrar que, nesta sec¸a˜o, F e´ um campo de vetores
de classe C1 em Rn.
Teorema 1.7.1: Se x0 na˜o e´ um ponto de equil´ıbrio, isto e´, se F (x0) 6= 0, enta˜o
x0 tem a propriedade do fluxo tubular.
A demonstrac¸a˜o desse teorema, que depende basicamentedo teorema da
func¸a˜o inversa, pode ser encontrada em C. Doering e A. Lopes, 2005, e na˜o
sera´ fornecida no presente texto.
Observac¸a˜o 1.7.3: Considere a equac¸a˜o diferencial x′ = F (x), F : A → Rn,
86 Mecaˆnica Newtoniana
onde A e´ aberto em Rn. Se x0 ∈ A tem a propriedade do fluxo tubular em A,
enta˜o a equac¸a˜o diferencial restrita a A e´ integra´vel. Basta considerar as projec¸o˜es
Pi do exemplo 1.7.12 acima e observar que Pi ◦ g, com i ∈ {2, . . . , n}, constituem
um conjunto de n− 1 integrais primeiras de x′ = F (x) que permitem identificar
as trajeto´rias do sistema x′ = F (x).
O teorema 1.7.1 afirma, portanto, um fato muito importante: localmente, em
torno de um ponto x0 que na˜o e´ de equil´ıbrio, existe uma vizinhanc¸a V ⊂ A tal
que o campo de vetores F restrito a V , x′ = F (x), x ∈ V ⊂ Rn e´ integra´vel. Isso
na˜o significa, de maneira alguma, que a equac¸a˜o diferencial x′ = F (x), x ∈ A
e´ integra´vel, pois a vizinhanc¸a V em volta de x0, cuja existeˆncia e´ assegurada
pelo teorema, pode evidentemente ser muito pequena e permanece, portanto, o
problema de saber se o sistema e´ integra´vel “globalmente”, isto e´, se existem
integrais primeiras em nu´mero suficiente (para identificar as soluc¸o˜es) sobre todo
domı´nio A da equac¸a˜o diferencial x′ = F (x), F : A → Rn. Em conclusa˜o,
podemos afirmar que em torno de um ponto que na˜o e´ de equli´ıbrio toda equac¸a˜o
diferencial e´ “localmente” integra´vel.
Com esse resultado encontramos uma resposta completa para o que acontece
em torno de pontos que na˜o sa˜o de equil´ıbrio. Antes ja´ hav´ıamos analisado
o comportamento de um campo na vizinhanc¸a de pontos de equil´ıbrio e agora
passamos a estudar crite´rios pra´ticos para decidir a estabilidade de pontos de
equil´ıbrio de campos de vetores.
Definic¸a˜o 1.7.11: Sejam x¯ um ponto de equil´ıbrio para o campo de vetores F
e V : B → R uma func¸a˜o cont´ınua na vizinhanc¸a B de x¯ em Rn e diferencia´vel
em B−{x¯}. Dizemos que V e´ uma func¸a˜o de Liapunov para F em x¯ se V (x¯) = 0
e, para cada x ∈ B − {x¯}, valem
a) V (x) > 0 ;
b) d
dt
V (φt(x)) ≤ 0 .
Se, ale´m das condic¸o˜es acima, para cada x ∈ B − {x¯} vale
c) d
dt
V (φt(x)) < 0 ,
dizemos que V e´ uma func¸a˜o de Liapunov estrita para F em x¯.
Seja V uma func¸a˜o diferencia´vel. A condic¸a˜o b) significa que V na˜o cresce ao
longo das trajeto´rias de F, enquanto que c) significa que V decresce ao longo das
trajeto´rias de F. Para estimar esta variac¸a˜o de V ao longo das trajeto´rias de F,
ou seja, para calcular a derivada d
dt
V (φt(x)) da func¸a˜o real de uma varia´vel real
dada por t 7→ V (φt(x)), conve´m lembrar a equac¸a˜o (1.7) satisfeita pelo fluxo de
F e observar que
d
dt
V (φt(x)) =
〈
∇V (φt(x)), dφt
dt
(x)
〉
=
〈
∇V (φt(x)), F (φt(x))
〉
,
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 87
onde, como sempre, 〈u, v〉 indica o produto interno de u ∈ Rn e v ∈ Rn. Isto
mostra que, em geral, na˜o precisamos conhecer as soluc¸o˜es expl´ıcitas de x′ = F (x)
e em seguida derivar t 7→ V (φt(x)) para verificar as condic¸o˜es b) ou c) acima, mas
apenas calcular 〈∇V (x), F (x)〉 para x ∈ B − {x¯}, o que e´ muito mais pra´tico.
Teorema 1.7.2: Teorema de Liapunov: Seja x¯ um ponto de equil´ıbrio para F.
Se existir uma func¸a˜o de Liapunov para F em x¯, enta˜o x¯ e´ um ponto de equil´ıbrio
esta´vel. Se existir uma func¸a˜o de Liapunov estrita para F em x¯, enta˜o x¯ e´ um
ponto de equil´ıbrio assintoticamente esta´vel.
Antes de demonstrar esse teorema, vejamos sua relac¸a˜o com sistemas mecaˆnicos.
Exemplo 1.7.14: Suponha que U : R → R e´ o potencial de um campo de
forc¸as conservativo f em R, ou seja, temos U(x) = − ∫ x
c
f(y)dy. Ja´ vimos, no
exemplo 1.7.10, que os pontos de equil´ıbrio do campo de vetores
F (x, x˙) =
(
x˙,
1
m
f(x)
)
associado a f em R2 sa˜o do tipo (x, 0), onde x e´ tal que dU
dx
(x) = −f(x) = 0, ou
seja, x e´ um ponto cr´ıtico de U. Tambe´m ja´ vimos antes, na sec¸a˜o 2, que a energia
total E(x, x˙) = 12mx˙
2 +U(x) e´ uma integral primeira para F, ou seja, e´ constante
ao longo das trajeto´rias do campo de vetores F. Em particular, V (x, x˙) = E(x, x˙)
e´ claramente diferencia´vel em R2, e
d
dt
V (φt(x, x˙)) =
d
dt
E(x(t), x˙(t)) = 0 ,
portanto V e´ um candidato a func¸a˜o de Liapunov para F.
No caso da mola de constantes m = k = 1, sabemos que x¯ = (0, 0) e´ o u´nico
ponto de equil´ıbrio e que U(x) = 12x
2 (exemplo 1.2.3), ou seja,
E(x, x˙) =
1
2
(x2 + x˙2) .
Assim, neste caso, e´ imediato verificar que V = E e´ de fato uma func¸a˜o de
Liapunov para F em x¯, portanto x¯ = (0, 0) e´ ponto de equil´ıbrio esta´vel para F
pelo teorema de Liapunov, o que, alia´s, ja´ sab´ıamos pelo exemplo 1.7.5.
Tambe´m no caso geral, a energia total e´ um candidato natural a func¸a˜o de
Liapunov para sistemas mecaˆnicos conservativos.
Proposic¸a˜o 1.7.5: Considere um sistema mecaˆnico conservativo com potencial
U : Rn → R. Se x0 e´ um ponto de mı´nimo local estrito para U enta˜o x¯ = (x0, 0)
e´ um ponto de equil´ıbrio esta´vel para F.
Demonstrac¸a˜o: Seja V (x, x˙) = E(x, x˙) − U(x0) = 12mx˙2 + U(x) − U(x0).
Enta˜o V (x¯) = V (x0, 0) = 0 + U(x0) − U(x0) = 0 e, como x0 e´ mı´nimo local
88 Mecaˆnica Newtoniana
estrito para U, existe uma vizinhanc¸a B1 de x0 tal que U(x) − U(x0) > 0 para
qualquer x ∈ B1 − {x0}. Segue-se que V (x, x˙) = 12mx˙2 + U(x)− U(x0) > 0 para
qualquer (x, x˙) ∈ (B1 × Rn) − {(x0, 0)}. Pelo que acabamos de ver no exemplo
acima,
d
dt
E(φt(x, x˙)) = 0
e, portanto, o mesmo vale para V, pois a diferenc¸a entre estas duas func¸o˜es E e
V e´ a constante U(x0). Sendo assim,
d
dt
V (φt(x, x˙)) = 0
para qualquer (x, x˙) ∈ B = (B1 × Rn). Pelo teorema de Liapunov, x¯ = (x0, 0) e´
um ponto de equil´ıbrio esta´vel para F.
Exemplo 1.7.15: Aplicando a proposic¸a˜o acima ao ponto de equil´ıbrio (0, 0) da
mola sem atrito (com quaisquer constantes m e k), conclu´ımos que (0, 0) e´ ponto
de equil´ıbrio esta´vel ja´ que este sistema tem um campo de forc¸as f(x) = −kx
que deriva do potencial U(x) = 12kx
2, que teˆm um ponto de mı´nimo local estrito
na origem. (Ver exemplo 1.2.3).
O mesmo vale para os pontos de equil´ıbrio dados por (npi, 0), com n par, do
peˆndulo sem atrito: sa˜o todos de equil´ıbrio esta´vel pois o potencial −mg
l
cos θ
deste sistema tem mı´nimo local estrito nos pontos npi (ver o exemplo 1.3.3 e a fig.
1.7.6). Por outro lado, nos pontos de equil´ıbrio (npi, 0), com n ı´mpar, o potencial
na˜o tem mı´nimo e o resultado acima na˜o pode ser aplicado. Na verdade, ja´
observamos, no exemplo 1.7.7, que esses pontos sa˜o de equil´ıbrio insta´vel (ver fig.
1.3.4 a). Tampouco podemos aplicar a proposic¸a˜o no caso do peˆndulo com atrito:
na presenc¸a de atrito, o campo de forc¸as envolvido na˜o deriva de um potencial
(pois a forc¸a depende tambe´m de x˙); este caso sera´ tratado no exemplo 1.7.16.
Voltando ao potencial U do exemplo 1.7.10, como os pontos a1 e a3 sa˜o de
mı´nimo local estrito, (a1, 0) e (a3, 0) correspondem a pontos de equil´ıbrio esta´veis
pela proposic¸a˜o anterior.
Agora que ja´ ilustramos a importaˆncia do teorema de Liapunov, vamos passar
a` demostrac¸a˜o deste teorema.
Demonstrac¸a˜o do teorema de Liapunov: Seja x¯ um ponto de equil´ıbrio para
F e suponhamos que existe uma func¸a˜o de Liapunov para F em x¯; mais preci-
samente, seja V : B → R uma func¸a˜o cont´ınua na vizinhanc¸a B de x¯ em Rn e
diferencia´vel em B−{x¯}, com V (x¯) = 0 e tal que, para cada x ∈ B−{x¯}, valem
a) V (x) > 0 e b) d
dt
V (φt(x)) ≤ 0.
Vamos inicialmente demonstrar a primeira afirmac¸a˜o do teorema, ou seja, que
o ponto de equil´ıbrio x¯ e´ esta´vel; em outras palavras, queremos mostrar que para
qualquer vizinhanc¸a A de x¯ em Rn existe uma vizinhanc¸a C de x¯ tal que C ⊂ A
e φt(x) ∈ A, para quaisquer x ∈ C, t > 0.
Introduc¸a˜o a` MecaˆnicaCla´ssica 89
}
x
_
CurvasdeNívelx2
x1
v
d
Figura 1.7.11
Seja, pois, A uma vizinhanc¸a qualquer de x¯ em Rn. Escolhemos δ > 0 tal que
B(x¯, 2δ) ⊂ A ∩ B, onde B(x¯, r) = {y ∈ Rn | ‖y − x¯‖ < r} denota a bola em Rn
de centro x¯ e raio r. Como V e´ cont´ınua e a esfera {x ∈ Rn | ‖x− x¯‖ = δ} ⊂ B e´
compacta, temos que
α = min
‖x−x¯‖=δ
V (x) > 0 ,
ja´ que V (x) > 0 para x ∈ B−{x¯}. Novamente pela continuidade de V, o conjunto
C = {x ∈ B(x¯, δ) | V (x) < α} e´ aberto e portanto, como V (x¯) = 0, C e´ uma
vizinhanc¸a de x¯ que, por construc¸a˜o, satisfaz C ⊂ A ∩ B. Resta provar que
φt(x) ∈ A, para quaisquer x ∈ C, t > 0. Veja a fig. 1.7.11 para ter uma ide´ia
geome´trica da prova que estamos desenvolvendo.
Dado qualquer x ∈ C, suponha, para obter uma contradic¸a˜o, que para algum
t > 0 vale φt(x) 6∈ A. Em particular temos φt(x) 6∈ B(x¯, δ) e portanto, como
x ∈ C ⊂ B(x¯, δ) ⊂ A ∩B, em algum instante 0 < t∗ < t, a trajeto´ria por x deve
passar pela primeira vez pela esfera de centro x¯ e raio δ, ou seja, ‖φt∗(x)− x¯‖ = δ.
Mas enta˜o V (φ0(x)) = V (x) < α ≤ V (φt∗(x)), o que contradiz a hipo´tese b), que
afirma que V na˜o cresce ao longo das trajeto´rias de F. Isto prova que φt(x) ∈ A,
para quaisquer x ∈ C, t > 0 e portanto, que x¯ e´ ponto de equil´ıbrio esta´vel.
Passamos agora a` demonstrac¸a˜o da segunda afirmac¸a˜o do teorema, ou seja,
se ale´m das hipo´teses acima, c) d
dt
V (φt(x)) < 0 vale para cada x ∈ B−{x¯}, enta˜o
x¯ e´ um ponto de equil´ıbrio assintoticamente esta´vel. Supomos, enta˜o, que vale c)
d
dt
V (φt(x)) < 0 para cada x ∈ B−{x¯} e tomamos uma vizinhanc¸a qualquer A de
x¯ em Rn. Queremos mostrar que existe uma vizinhanc¸a C de x¯ tal que C ⊂ A,
φt(x) ∈ A para quaisquer x ∈ C, t > 0 e lim
t→∞φt(x) = x¯ para qualquer x ∈ C.
90 Mecaˆnica Newtoniana
Como antes, tomamos δ tal que B(x¯, 2δ) ⊂ A ∩ B e α = minV (x) para
‖x − x¯‖ = δ. Novamente α > 0 e definimos C = {x ∈ B(x¯, δ) | V (x) < α}.
Pelo que acabamos de demonstrar, x¯ ∈ C ⊂ A ∩ B ⊂ A e φt(x) ∈ B(x¯, δ) para
quaisquer x ∈ C e t > 0; em particular, φt(x) ∈ A para quaisquer x ∈ C, t > 0 e
portanto somente resta mostrar que lim
t→∞φt(x) = x¯ para qualquer x ∈ C. E´ claro
que isso vale para x = x¯, pois x¯ e´ um ponto de equil´ıbrio para F. O que devemos
mostrar, enta˜o, e´ que isso vale para x 6= x¯.
Para demonstrar isso, supomos que a afirmac¸a˜o sobre o limite na˜o e´ verdadeira
e procuramos chegar a uma contradic¸a˜o. Sejam, portanto, x˜ ∈ C − {x¯} e ε > 0
tais que para cada T > 0 podemos encontrar t > T tal que ‖φt(x˜)− x¯‖ > ε. Para
cada T = n inteiro obtemos, enta˜o, tn tal que φtn(x˜) 6∈ B(x¯, ε). Por outro lado,
pela escolha de δ e C, temos φtn(x˜) ∈ B(x¯, δ) para cada n, ou seja, a sequ¨eˆncia
dada por xn = φtn(x˜) e´ limitada.
Portanto, podemos tomar uma subsequ¨eˆncia convergente, cujo limite x0 esta´
em B mas na˜o esta´ em B(x¯, ε); em particular, x0 6= x¯. Pela hipo´tese c), temos
F (x0) 6= 0, pois, caso contra´rio, x0 seria uma singularidade e ter´ıamos φt(x0) = x0
constante, o que acarretaria d
dt
V (φt(x0)) = 0.
Como x0 na˜o e´ ponto de equil´ıbrio, o teorema 1.7.1 garante que x0 tem a
propriedade do fluxo tubular, ou seja, existe uma vizinhanc¸a de x0 contendo
uma caixa na qual as trajeto´rias entram por um lado e saem pelo outro (ver
fig. 1.7.12). Como x0 ∈ B − {x¯}, podemos supor que a caixa tambe´m esta´ toda
contida em B−{x¯}, e portanto V (φt(x)) decresce cada vez que a trajeto´ria passa
de um para o outro lado da caixa. Por continuidade de V, e´ fa´cil enta˜o estabelecer
que os valores de V no lado de entrada da caixa sa˜o todos estritamente maiores
que os valores de V no lado de sa´ıda da caixa, tomando, se necessa´rio, uma caixa
de lados menores. Mais precisamente, existem v1 > V (x0) > v2 tais que para
qualquer x no lado de entrada da caixa vale V (x) > v1 e para qualquer x do lado
de sa´ıda da caixa vale v2 > V (x).
Por outro lado, como xn converge a x0, a trajeto´ria por x˜ passa infinitas vezes
pela caixa; mas entre um tempo de sa´ıda da caixa e o seguinte de entrada, V
necessariamente decresce. Vemos enta˜o que a trajeto´ria por x˜ sai da caixa com
valor de V menor que v2 e em seguida volta a` entrada da caixa com um valor
V menor ainda, e certamente menor que v1, o que acarreta uma contradic¸a˜o.
Isto prova que lim
t→∞φt(x) = x¯ para qualquer x ∈ C e portanto, que o ponto de
equil´ıbrio x¯ e´ assintoticamente esta´vel.
No pro´ximo exemplo mostramos que existe uma func¸a˜o de Liapunov estrita
para o peˆndulo com atrito.
Exemplo 1.7.16: Mostremos que os pontos de equil´ıbrio do peˆndulo com atrito
do tipo (npi, 0), com n par, sa˜o assintoticamente esta´veis, utilizando o teorema de
Liapunov. E´ claro que basta nos atermos ao caso n = 0, que e´ a origem do R2.
Como a energia total e´ constante ao longo das trajeto´rias do peˆndulo sem
atrito mas decresce ao longo das trajeto´rias do peˆndulo com atrito, um candidato
natural a func¸a˜o de Liapunov com V na origem e´ a energia total (ver expressa˜o
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 91
x
o
.
Figura 1.7.12
(1.2) no exemplo 1.3.3), ou seja,
V (θ, ω) = ET (θ, ω) =
1
2
mω2 − mg
l
cos θ +
mg
l
,
onde adicionamos o termo mg
l
a` energia potencial, o que na˜o altera o campo de
forc¸as, para que V (0, 0) = 0. Assim
∇V (θ, ω) =
(mg
l
sen θ,mω
)
e, como o campo de vetores associado ao peˆndulo com atrito (ver exemplo 1.3.3)
e´ dado por F (θ, ω) =
(
ω,− g
l
sen θ − k
m
ω
)
, resulta〈
∇V (θ, ω), F (θ, ω)
〉
= −kω2 ;
em particular, pelo que observamos acima, temos enta˜o, tambe´m, que
d
dt
V (φt(θ(t), ω(t))) = −kω(t)2 .
Como V (0, 0) = 0 e V (θ, ω) > 0 para (θ, ω) ∈ R2 com |θ| < pi2 , e ale´m disto,
d
dt
V (φt) e´ negativo, tomamos B = {(θ, ω) ∈ R2 | |θ| < pi2 } e conclu´ımos que
V : B → R e´ uma func¸a˜o de Liapunov estrita para F em (0, 0) e portanto, pelo
teorema de Liapunov, a origem e´ um ponto de equil´ıbrio assintoticamente esta´vel
para o peˆndulo com atrito.
Na verdade, dizer que d
dt
V (φt) e´ negativo na˜o esta´ totalmente correto, pois a
func¸a˜o d
dt
V (φt(θ, ω)) e´ nula em toda a reta ω = 0 e so´ dos dois lados de ω = 0
vale que d
dt
V (φt(θ, ω)) < 0. No entanto, a prova do teorema de Liapunov, vista
92 Mecaˆnica Newtoniana
anteriormente, somente usa a hipo´tese de V decrescer ao longo das trajeto´rias de
F, como pode ser facilmente verificado. No presente caso isso vale, pois como as
trajeto´rias de F teˆm o pro´prio campo por tangente e F (θ, 0) = (0,− g
l
sen θ) e´
na˜o nulo e vertical (exceto na origem), todas as trajeto´rias cruzam a reta ω = 0
sem permanecer nela por mais que um u´nico instante de tempo; segue-se que
V realmente decresce ao longo de todas as trajeto´rias de F por qualquer ponto
(θ, ω) ∈ B − {(0, 0)}.
E´ poss´ıvel muitas vezes determinar se um ponto de equil´ıbrio x0 da equac¸a˜o
diferencial x′ = F (x) e´ insta´vel ou assintoticamente esta´vel, analisando os autova-
lores da matriz DF (x0) (ver C. Doering e A. Lopes, 2005). Esse me´todo permite
tambe´m determinar no caso em considerac¸a˜o quais sa˜o os pontos de equil´ıbrio
assintoticamente esta´veis e insta´veis do peˆndulo com atrito.
Finalizando esta sec¸a˜o, vamos agora descrever de forma esquema´tica, con-
siderando aquilo que foi apresentado anteriormente, o procedimento geral que
devemos seguir ao analisar a dinaˆmica da evoluc¸a˜o temporal, no espac¸o de fase,
do fluxo do campo de vetores
F (q, q˙) =
(
q˙,
1
m
f(q)
)
associado a um sistema mecaˆnico conservativo dado por uma forc¸a f.
• Em primeiro lugar, tentamos descobrir os pontos de equil´ıbrio (q0, 0), re-
solvendo a equac¸a˜o f(q) = 0. A seguir, verificamos se q0, que e´ um ponto
cr´ıtico para o potencial do sistema, e´ ponto de ma´ximo ou de mı´nimo; em
func¸a˜o disso sabemos se temos um comportamento local,em torno do ponto
de equil´ıbrio (q0, 0), como os das fig. 1.7.2 ou fig. 1.7.3.
• Em seguida, tentamos detectar se existem trajeto´rias perio´dicas.
• Finalmente, para desenhar o espac¸o de fase, tentamos compatibilizar as
informac¸o˜es acima descritas com o fato de que, fora dos pontos de equil´ıbrio,
as soluc¸o˜es, localmente, tem a propriedade do fluxo tubular.
No caso do peˆndulo sem atrito, por exemplo, podemos identificar (ver fig.
1.3.4 a) as partes do espac¸o de fase que teˆm a forma das fig. 1.7.2 e fig. 1.7.3,
em torno dos pontos de equil´ıbrio, e as partes que sa˜o descritas pelo teorema do
fluxo tubular, em torno dos demais pontos, que na˜o sa˜o de equil´ıbrio.
Para sistemas autoˆnomos na˜o conservativos, primeiro tentamos localizar os
pontos de equil´ıbrio para depois ver se os pontos de equil´ıbrio possuem alguma
func¸a˜o de Liapunov estrita: em caso afirmativo, localmente, na vizinhanc¸a de
cada ponto de equil´ıbrio, o espac¸o de fase e´ descrito pela fig. 1.2.4. Sistemas que
possuem uma func¸a˜o de Liapunov estrita em todo o espac¸o de fase na˜o possuem
o´rbitas perio´dicas (ver exerc´ıcio a seguir). Um bom candidato para a func¸a˜o de
Liapunov estrita e´ a energia total do mesmo sistema, mas sem considerar o atrito:
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Cla´ssica 93
esta te´cnica funcionou bem, por exemplo, no caso do peˆndulo com atrito, como
vimos no exemplo 1.7.16.
Um o´timo texto onde sa˜o analisadas diversas propriedades dinaˆmicas de sis-
temas mecaˆnicos e´ J. Jose e E. Saletan, 1998.
Exerc´ıcios:
1. Indique se os seguintes campos de forc¸as centrais f em R3 sa˜o assintoti-
camente esta´veis na origem ou na˜o:
a) f(x, y, z) = −4(x, y, z)
(√
x2 + y2 + z2
)3
b) f(x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
(x, y, z)
2. Considere o campo de vetores F em R3 dada por
F (x, y, z) =
(
2y(z − 1),−x(z − 1), − z3) .
Mostre que o u´nico ponto de equil´ıbrio de F e´ a origem (0, 0, 0). Prove que
esse ponto de equil´ıbrio e´ esta´vel, exibindo uma func¸a˜o de Liapunov do tipo
V (x, y, z) = ax2 + by2 + cz2, com a, b, c > 0 constantes, tal que 〈∇V, F 〉 =
d
dt
V (φt(x)) ≤ 0.
3. Demonstre que se um campo de vetores F possui em um ponto de equil´ıbrio
uma func¸a˜o de Liapunov estrita definida em todo o espac¸o de fase de F, enta˜o F
na˜o possui o´rbitas perio´dicas.
4. Mostre que se o sistema linear x′ = A(x), com x ∈ Rn, e´ tal que A possui
um autovalor positivo, enta˜o o ponto de equil´ıbrio 0 ∈ Rn e´ insta´vel.
5. Considere o campo de forc¸as f(q) = − sen q + aq′ com a ≤ 0 (o peˆndulo
com atrito). O campo de vetores de primeira ordem x′ = (q′, q˙′) = F (q, q˙) =
F (x), x ∈ R2, associado e´ F (q, q˙) = (q˙,−senq + aq˙).
Demonstre que a origem (q, q˙) = (0, 0) e´ um ponto de equil´ıbrio esta´vel mos-
trando que V (q, q˙) = 12 q˙
2−cos q+1 (a energia total do sistema sem atrito) e´ uma
func¸a˜o de Liapunov.