Unidade 2

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pelotas – UFPEL
Faculdade de Meteorologia – FMet
Elementos de Astronomia e Geodésia
Unidade 2. TRIGONOMETRIA 
ESFÉRICA
Professora: Graciela Redies Fischer
Universidade Federal de Pelotas – UFPEL
Faculdade de Meteorologia – FMet
Elementos de Astronomia e Geodésia
Unidade 2. TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
2.1 Noções de Posicionamento: pontos cardeais, latitude, longitude e 
altitude.
2.2 Revisão de Trigonometria Plana
2.3 Noções de Trigonometria Esférica
2.4 Sistemas de Coordenadas Esférico
2.5 Noções de Projeção Azimutal Ortogonal
Universidade Federal de Pelotas – UFPEL
Faculdade de Meteorologia – FMet
2.1 Noções de Posicionamento: 
pontos cardeais, latitude, longitude e 
altitude.
Pontos Cardeais
Pontos cardeais são pontos de referência.
Através deles é possível localizar qualquer lugar sobre a superfície da Terra.
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Os pontos cardeais são quatro:
 Norte e Sul que apontam na direção dos pólos terrestres
• Norte, inicial N, também chamado "Setentrional ou Boreal".
• Sul, inicial S, também chamado "Meridional ou Austral".
 Leste e Oeste que apontam para o lado do 
nascer e do pôr do Sol, cruzando a linha Norte-Sul. 
• Leste ou Este, inicial L ou E, também chamado 
"Oriente ou Nascente ".
• Oeste, inicial O ou W, também chamado 
"Ocidente ou Poente”.
Pontos Cardeais
 O Leste e o Oeste nem sempre apontam para o ponto onde o Sol
nasce ou se põe e sim para o lado do nascente ou lado do poente.
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Atenção:
 Durante o ano, o Sol nasce em pontos diferentes do lado do
Nascente e põe-se em pontos diferentes do lado do Poente.
 Por isso, não podemos dizer que o Sol nasce sempre a Leste e se
põe sempre a Oeste. Dependendo da época do ano, a diferença,
entre o nascente (ponto onde o Sol nasceu) e o Leste verdadeiro,
pode ser grande.
Há também quatro pontos colaterais:
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Pontos Cardeais
nordeste - NE,
sudeste - SE,
noroeste - NO ou NW e
sudoeste - SO ou SW.
Finalmente oito pontos subcolaterais:
• nor-nordeste - NNE,
• és-nordeste - ENE,
• és-sudeste - ESE,
• su-sudeste - SSE,
• su-sudoeste - SSO ou SSW,
• oés-sudoeste - OSO ou WSW,
• oés-noroeste - ONO ou WNW,
• nor-noroeste - NNO ou NNW.
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Pontos Cardeais
Para localizar uma cidade na Terra, precisamos de duas coordenadas: 
latitude e longitude. 
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Coordenadas Geográficas
Coordenadas Geográficas
Altitude – Latitude – Longitude
• ALTITUDE
É normalmente tomada como a distância vertical em relação ao nível do médio
do mar.
Ponto mais alto – 8,8 Km (Everest)
Ponto mais profundo – 11 Km (Fossas Marinhas)
Esses dois valores representam apenas 0,30% do raio médio da Terra.
Raio médio da terra = 6371 km
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Não confundir com altura!!!
Coordenadas Geográficas
Altitude – Latitude – Longitude
• LATITUDE (φ)
A latitude de um ponto qualquer sobre a superfície da Terra é o ângulo
contado a partir do equador até esse ponto, ao longo do meridiano do
lugar.
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Coordenadas Geográficas
Latitude
Latitude (φ) de um ponto (P) da superfície do globo, indicando-se o plano
equatorial (E) e o plano do meridiano de Greenwich (G).
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Latitude é positiva no Hemisfério Norte e
negativa no Hemisfério Sul, isto é:
–90° ≤φ ≤ +90°.
Costuma-se usar as letras N(norte) e S(sul) para
indicar latitudes positivas e negativas,
respectivamente.
O equador corresponde à latitude de 0°.
• LONGITUDE
A longitude é o ângulo medido sobre o equador a partir de um meridiano de
referência até o meridiano do lugar.
O meridiano de referência do Sistema de Coordenadas Geográficas é aquele 
que passa pelo Observatório de Greenwich (Inglaterra). 
A longitude é contada a partir do meridiano de Greenwich, para leste (E) e para 
oeste (O), até 180°.
Foi definida como variando de 0 a +180° (Leste de Greenwich) e de 0 a -180°
(Oeste). Na convenção usada em astronomia, varia entre -12h (Oeste) e +12h
(Leste).
Coordenadas Geográficas
Altitude – Latitude – Longitude
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Coordenadas Geográficas
Longitude
Longitude (λ) de um ponto (P) da superfície do globo, indicando-se o plano
equatorial (E) e o plano do meridiano de Greenwich (G).
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Coordenadas Geográficas
Pelotas
Latitude = 31.46°S ou – 31.46° ou -31 °27’
Longitude = 52.20°O ou -52.20°
Altitude = 7m
Altitude – Latitude – Longitude
Graus, minutos, segundos
Neste sistema, cada grau é dividido em 60 minutos, que por sua vez se 
subdividem, cada um, em 60 segundos. 
Unidade 2. Trigonometria Esférica
2.2 Revisão de Trigonometria Plana
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Círculo Trigonométrico
2.2 Revisão de Trigonometria Plana
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras
a2 = b2 + c2
2.2 Revisão de Trigonometria Plana
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Lei dos Senos
ݏ݁݊ ܣ ܽ = ݏ݁݊ ܤܾ = ݏ݁݊ ܥܿ 
Revisão aula passada
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Latitude Longitude
Altitude
2.3 Noções de trigonometria esférica
É a trigonometria sobre um plano esférico. 
Um triângulo esférico não é qualquer figura de três lados sobre 
a esfera; seus lados devem ser arcos de grandes círculos, ou seja, arcos 
esféricos.
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Triângulo Esférico
Porção da superfície esférica limitada por 3 arcos de circunferência
máxima.
Denotamos os ângulos de um triângulo esférico por letras maiúsculas
(A, B, C) e os seus lados por letras minúsculas (a, b, c).
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Propriedades dos triângulos esféricos
1. A soma dos ângulos de um triângulo esférico é sempre maior que 180
graus e menor do que 270 graus e não é constante, dependendo do
triângulo.
Unidade 2. Trigonometria Esférica
2. Os lados maiores estão opostos aos ângulos maiores do triângulo.
3. A soma dos dois lados do triângulo é sempre maior do que o terceiro
lado, e a diferença é sempre menor.
Solução de Triângulos Esféricos
Ao contrário da trigonometria plana, não é suficiente
conhecer dois ângulos para resolver o triângulo.
É sempre necessário conhecer o mínimo três elementos
(sejam eles ângulos ou lados).
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Solução de Triângulos Esféricos
As fórmulas principais para a solução dos triângulos esféricos são:
1. Lei dos Cossenos para os lados
Unidade 2. Trigonometria Esférica
2.3 Noções de trigonometria esférica
2. Lei dos Cossenos para os ângulos
Unidade 2. Trigonometria Esférica
As fórmulas principais para a solução dos triângulos esféricos são:
2.3 Noções de trigonometria esférica
ݏ݁݊ ܣ
ݏ݁݊ ܽ = ݏ݁݊ ܤݏ݁݊ ܾ = ݏ݁݊ ܥݏ݁݊ ܿ 
2. Lei dos Senos
Unidade 2. Trigonometria Esférica
As fórmulas principais para a solução dos triângulos esféricos são:
2.3 Noções de trigonometria esférica
Sinais da Funções Trigonométricas
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Quadrante 1° 2° 3° 4°
Sen + + - -
Cos + - - +
Tan + - + -
2.3 Noções de trigonometria esférica
Equivalência das Linhas Trigonométricas
cos(90°- x) = sen x
sen(90°- x) = cos x
cos(90°+ x) = - sen x
sen(90°+ x) = cos x
cos(180°- x) = - sen x
sen(180°- x) = sen x
cos(180°+ x) = - cos x
sen(180°+ x) = - sen x
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Onde x é o ângulo.
2.3 Noções de trigonometria esférica
Determinação da distância entre dois pontos
Considerando dois pontos (X e Y) com suas respectivas latitude (Φ) e
longitude (λ) sobrea esfera terrestre, sendo d a distância entre eles e PN,
temos que c1 e c2 são colatitudes, isto é, latitudes complementares a 90°.
c1 = 90° - Φx
c2 = 90° - Φy
ܿ݋ݏ݀ = ܿ݋ݏܿ1 ∗ ܿ݋ݏܿ2 + ݏ݁݊ܿ1 ∗ ݏ݁݊ܿ2 ∗ ܿ݋ݏߜߣ 
Unidade 2. Trigonometria Esférica
2.3 Noções de trigonometria esférica
Determinação da distância entre dois pontos
ܿ݋ݏ݀ = ݏ݁݊Φݔ ∗ ݏ݁݊Φݕ + ܿ݋ݏΦݔ ∗ ܿ݋ݏΦݕ ∗ ܿ݋ݏߜߣ 
δλ é dado pela diferença entre as longitudes dos pontos: δλ= λA-λB 
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Φ௫ − latitude de x
Φ௬ 	− latitude de y
cos(90°- x) = sen x
sen(90°- x) = cos x
ܿ݋ݏ݀ = ܿ݋ݏܿ1 ∗ ܿ݋ݏܿ2 + ݏ݁݊ܿ1 ∗ ݏ݁݊ܿ2 ∗ ܿ݋ݏߜߣ 
c1 = 90° - Φx
c2 = 90° - Φy
2.3 Noções de trigonometria esférica
Determinação da distância entre dois pontos
δλ= λA-λB 
ࢉ࢕࢙ࡰ = ࢙ࢋ࢔ࢶ૚ ∗ ࢙ࢋ࢔ࢶ૛ + ࢉ࢕࢙ࢶ૚ ∗ ࢉ࢕࢙ࢶ૛ ∗ ࢉ࢕࢙ࢾࣅ 
ܿ݋ݏܦ = ݏ݁݊(−35) ∗ ݏ݁݊(−37) + cos(−35) ∗ cos(−37)
∗ cos(−10) 
A: Φ1= -35°
λ1 = -50°
B: Φ2= -37°
λ2 = -40°
δλ= -10°
ܿ݋ݏܦ = 0.9861 
D = 9,5690°
݀ = ߨ ∗ ܦ180 ∗ 6371 
d = 1062 km
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Exercício
Determinação da distância entre dois pontos
δλ é dado pela diferença entre as longitudes dos pontos: δλ= λA-λB 
Calcular a distância esférica (d) entre as cidades de Viçosa e Goiânia, a partir 
de suas coordenadas geográficas:
Viçosa: Φ1= 20°20’
λ1 = 42°54’
Goiânia: Φ2= 16°40’
λ2 = 49°15’
Resposta: d = 783,4 km
ࢉ࢕࢙ࡰ = ࢙ࢋ࢔ࢶ૚ ∗ ࢙ࢋ࢔ࢶ૛ + ࢉ࢕࢙ࢶ૚ ∗ ࢉ࢕࢙ࢶ૛ ∗ ࢉ࢕࢙ࢾࣅ 
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Exercício
δλ é dado pela diferença entre as longitudes dos pontos: δλ= λA-λB 
Qual o tamanho da Constelação do Cruzeiro do Sul, medido pelo eixo maior 
da Cruz? O eixo maior da cruz é formado pelas estrelas Gacrux (α = 187,80°; 
λ = -57,11°) e Acrux (α = 186,65°; λ = -63,10°) 
Resposta: D = 6,14°
d = 683,19 km
ࢉ࢕࢙ࡰ = ࢙ࢋ࢔ࢶ૚ ∗ ࢙ࢋ࢔ࢶ૛ + ࢉ࢕࢙ࢶ૚ ∗ ࢉ࢕࢙ࢶ૛ ∗ ࢉ࢕࢙ࢾࣅ 
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Exercício
δλ é dado pela diferença entre as longitudes dos pontos: δλ= λA-λB 
Em um determinado dia, a uma frente fria estava localizada sobre a Argentina, 
na posição (54.8°S, 68.3°W). Quatro dias depois o sistema se se deslocou para 
a posição (30.03°S, 51.23°W ). Calcule a distância que o sistema percorreu.
Resposta: D = 27,66°
d = 3074,09 km
ࢉ࢕࢙ࡰ = ࢙ࢋ࢔ࢶ૚ ∗ ࢙ࢋ࢔ࢶ૛ + ࢉ࢕࢙ࢶ૚ ∗ ࢉ࢕࢙ࢶ૛ ∗ ࢉ࢕࢙ࢾࣅ 
Unidade 2. Trigonometria Esférica
2.4 Sistema de Coordenadas Esféricas
r = raio vetor
Φ = co-latitude de P
θ = longitude
Unidade 2. Trigonometria Esférica
O Sistema de coordenadas esféricas é um sistema
de referenciamento que permite a localização de
um ponto qualquer em um espaço de formato
esférico através de um conjunto de três valores,
chamados de coordenadas esféricas.
2.4 Sistema de Coordenadas Esféricas
1. Determinar coordenadas esféricas do ponto de coordenadas 
retangulares (1,-2,2). 
Exemplo
Unidade 2. Trigonometria Esférica
r
2.4 Sistema de Coordenadas Esféricas
2. Determinar as coordenadas retangulares do ponto de 
coordenadas esféricas (4, -45°,30°).
Exemplo
Unidade 2. Trigonometria Esférica
2.4 Sistema de Coordenadas Esféricas
Exercícios
1. Determinar as coordenadas esféricas do seguintes pontos:
a) (1, -2, 3)
b) (6, 3, 2)
c) (8, -4, 1)
Respostas:
a) r = 3,74 θ = 296,53° Φ = 36,72°
b) r = 7 θ = 26,57° Φ = 73,43°
c) r = 9 θ = 333,43° Φ = 83,66°
Unidade 2. Trigonometria Esférica
2.4 Sistema de Coordenadas Esféricas
Exercícios
2. Determinar as coordenadas retangulares a partir das coordenadas 
esféricas dos seguintes pontos:
a) (8, -30°, 45°)
b) (3, 52°, 32°)
c) (5, 60°, 45°)
Respostas:
a) x = 4,89 y = -2,83 z = 5,65
b) x = 0,97 y = 1,25 z = 2,54
c) x = 1,76 y = 3,06 z = 3,53
Unidade 2. Trigonometria Esférica
Obrigada!Obrigada!
Unidade 2. Trigonometria Esférica