Calculo 1 - Lista de exercicios N4 (GABARITO)

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Gabarito Lista 4 - Cálculo I – 2016.2 
 
1) a) Considere 
6)( xxf 
. 
5
66
00
9.6
9)9(
lim
)9()9(
lim)9´( 




 h
h
h
fhf
f
hh
 
 
b) Considere 
xxf cos)( 
. 
h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
)cos()cos(
lim
)()(
lim)´(
00





 
0)0(
)cos(1
lim
1)cos(
lim)0´(
00






sen
h
h
h
h
f
hh
 
 
c) Considere 
2000)( xxf 
. 
ax
ax
ax
afxf
af
axax 






20002000
lim
)()(
lim)´(
 
1999
20002000
3
3.2000
3
3
lim)3´( 



 x
x
f
x
 
 
 
2) a) 
]sec)12()22[(2)´( 22 xxxtgxxxf 
 
b) 
3/2
3
1
cos
2
1
)´(  xxxsenx
x
xf
 
 
c) 
xxxtgxsenxxxxf 2seccos2)](2cos2[)´( 
 
 
d) 
224
32224
)1(
)24()22()1)(22(
)´(



xx
xxxxxxx
xf
 
e) 
22
2
)32(
)22(sec)32)(sec(sec
)´(



xx
xxxxxxtgxxx
xf
 
f) f é contínua em x=0 pois 
  )0(0lim)(lim
0 
3
00
fxsenxxf
xx


 
. 
    






0x ,0
0x ,cos3
)´(
32 xxxsenx
xf
 
g) 












4,2
4,2
)´(
4,28
4,82
)(
x
x
xf
xx
xx
xf
 
 
 
Página 2 
 
 
h) 




x
senxxxxxxxx
xf
4
4/144/342
cos
))(cos2()22()28()22)(4/1)((cos
)´(
 
xxx
senxxxx
34/34
43
cos)22(2
)1(8cos)14(



 
 
i) 5
4
)1(
5
4
)1(5
)1(2
1
)1)(1(2
)1(5
242
1
22
)1(
)22()1(4
.
1
22
5
1
)´(
2
2
5
4
2
25
4
2
2
2
5
42






















































r
r
r
r
rr
r
rr
r
r
r
rrr
r
r
rG 
 
 
 
j) 
  3/2323/13 )2)(2)(2(cos)23()2)(3/2)(2()´( xxxxxxxsenxf
 
3/13
32
)2(3
)2)(cos2(6)2)(23(2
xx
xxxxsenx


 
 
 
l) 
xxx
xx
x
xM





2
2
2
1
1
1
)´( 
 
 
m)  
54
323422/34
54
32/34232/542
)1(
)4)(2/5)(3()1)(63()1(
)1(
)4()1)(2/5)(3()1)(63(
)´(






u
uuuuuuu
u
uuuuuuu
uF
2/74
256
)1(
63247


u
uuuu
 
 
n) 



















0, 0
0, 
1
cos
41
3
)´( 424
2
x
x
xxx
senx
xf
 
 
 
3) 
a) 
  





















 



 
x
x
xx
xxxxxxxxxxsenxg
2
1
3.
3
1
..2..cos..2)´( 2
3 23
23 33 323 32
 
b) 2
7
267
5667
77
67
6767
)7(
)67(7
..
)´(







































xx
x
xx
x
xx
x
e
xx
xxxxx
exe
xf 
 
Página 3 
 
 
c) 
x
x
tg
x
x
xf
1
1
.
1
ln.
1
lnsec.
1
lnsec4
1
)´(
4
3 











































 
 
 
d) 
        100010011001secsec 1001..sec...1.)ln()´( 10011001 xxtgxexe
x
xxxxf xxxx 












 
 
 
4) 
1
4
´
2
2
.
2
1
4
´
4
sec.
4
2
1
4
´sec.
2
1
)´(
2
22 



























gg
tg
gx
tgx
xg
 
1
444











 
gtgg
 e 
12
1
122
2
)´(




xx
xf
 
 
3
3
1.
3
1
4
´.
4
´
4
)´( 






















 
ggfgf 
 
 
 
5) 
1)1.(
2
1
.1.2
2
´1).0´().0(2
2
´)
2
)(
2
´(cos).
2
(cos2
2
´ 






















 
gffgsenffg
 
 
 
6) 
  




































22
2
22
)2(
.22
2
sec
2
´
2
2cos
2
)´(
x
xxx
x
x
x
x
tgg
x
x
tggx
x
x
tggsenxxf
 
2
1
2
1
.1.
2
1
.2
2
1
).0´()0(2)0´(  ggf
 
 
 
 
7) a) 
xxgxxgxf 2).´(.)()´( 22 
 
b) 
7
9
)4()4(88)4(1))4(1.(8)4(1)4´(8)4()2´(  gggggggf
 
 
8) 
5/9)22(
25
16
)´´(  rrf
 
 
 
Página 4 
 
 
9) 










































 































 













0 , 0
0,
1
sen.
161
cos
x
81
cos.
121
x.6
4
. 
1
sen. 
x
4
- 
1
cos
x
4.2x-
 -
4
 .
1
cos3
1
x.6
)´´(
4743434
8
3
42448
3
4
2
4
x
x
xxxxxx
sen
x
x
xxx
x
x
x
x
sen
xf
 
10) 





































0 , 0
0, 
1
sen
1
-
1
cos
21
cos
21212
)´´´( 43322
x
x
xxxxxxx
sen
xx
sen
xxf 
 
11) a) 






22 ,2
2 ou 2 ,2
)´(
xx
xxx
xh
 





22 ,2
2 ou 2 ,2
)´´(
x
xx
xh
 
 
h é duas vezes derivável em 
),2()2,2()2,( 
. 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
12) a) 
    






0 se )1(
0 se )1(
)(
2 xxf
xf
xgfxgf 
 







2 se 1
20 se 1
)1(
2
2
x
xx
xf
 (observe o gráfico ao lado) 
  










2 se 1
20 se 1
0 se 1
2
x
xx
x
xgf  
       








x
y
Gráfico f(x)=1-x2 
 
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ou 
  
 












2 se 1
2x1 se 11
10 se 1
0 se 1
22
2
x
-xx
xx
x
xgf  
b) 
0 a igual é e existe )0)´((
0
11
lim)0()´(
0
11
lim
0
)0)(())((
lim
))(())((
lim)0()´(
2
0x
0x0x0x
gf
x
x
gf
xx
gfxgf
ax
agfxgf
gf




























 
 
existe não )1)´((
2)1(lim
1
)1)(1(
lim
1
01
lim)1()´(
2)1(lim
)1(
)1)(1(
lim
1
)1)(1(
lim
1
01
lim)1()´(
1x1x
2
1x
1x1x1x
2
1x
gf
x
x
xx
x
x
gf
x
x
xx
x
xx
x
x
gf
































 
 
existe não )2)´((
0
2
11
lim)2()´(
22)2(lim
2
)2)(2(
lim
2
11
lim)2()´(
2x
2x2x
2
2x
gf
x
gf
x
x
xx
x
x
gf



























 
 
 
Resposta : 












2, 0
21, x 2
10, 2x 
0, 0
))´((
x
x
x
x
xgf  e 
}2,1{))´((domD  Rxgf 
 
 
c) 
)´())(´())´(( xgxgfxgf 
 precisamos verificar para quais valores de x, onde f(x) e g(x) são deriváveis. 















0 se 
01- se 
1 se 1
)(
1 se ||
1 se 1
)(
xx
xx
x
xf
xx
x
xf
 
Derivando a f em -1 e 0:
 
existe não )1´(
1
1
1
lim)1(´
0
1
11
lim
)1(
)1()(
lim)1(´
1x
1x1x
























f
x
x
f
xx
fxf
f
 
existe não )0´(
1
0
lim)0(´
1
0
lim
0
)0()(
lim)0(´
0x
0x0x
f
x
x
f
x
x
x
fxf
f




















 
 
Página 6 
 
 
Logo a derivada de f é igual a: 









0 se 1
01- se 1
1 se 1
)´(
x
x
x
xf
 e 
Derivando g em 0: 
0 a igual é e existe )0´(
0
11
lim)0(´
0
11
lim)0(´
2
0x
0x
g
x
x
g
x
g


















 
Então a derivada de g é igual a: 






0 se 2
0 se 0
)´(
xx
x
xg
 
Para calcularmos 
))(´( xgf
, temos que impor as condições: 






1010)(
2111)(
2
2
xxxg
xxxg 
Resposta 
}1,2{ RC
 
d) 









0, 1
01, 1
1, 0
)´(
x
x
x
xf
, 






0, 2
0, 0
)´(
xx
x
xg
, 















2, 0
21, 1
1, 1
))(´(
0 se )1´(
0 se )1´(
))(´(
2
x
x
x
xgf
xxf
xf
xgf
 
 
 
 
 
 
 
 















2 ),2(0
21 ),2(1
10 ),2(1
01 ,01
1 ,01
)´())(´())´((
xx
xx
xx
x
x
xgxgfxgf 
 
 
Resposta: 












2, 0
21, 2
10, 2
0, 0
))´((
x
xx
xx
x
xgf  
 
 
e) As respostas são iguais para 
),2()2,1()1,( x
 
 
 
1))(´( xgf
2 0))(´( xgf
1))(´( xgf
1))(´( xgf
1))(´( xgf
0)´( xg xxg 2)´( 
xxg 2)´( 
1
xxg 2)´( 
0
1
0)´( xg
 
Página 7 
 
 
 f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) gráfico de f: x=-1, x=0 
gráfico de g: derivável em todo domínio 
gráfico de fog: x=1 
 
12) 
  )´().(.cos.2)(.)´( 2 xfxfxxfsenxxg 
 
))´´().()´().´((cos2)´().(.2)´().(..2)(.cos)´´( 2 xfxfxfxfxxfxfsenxxfxfsenxxfxxg 
 
))0´´().0()0´().0´((0cos2)0´().0(.02)0´().0(.0.2)0(.0cos)0´´( 2 ffffffsenffsenfg 
 
3)24(21)0´´( g