Questão resolvida - Dados , ]0,[, considere a função f_ R-_R tal que, para todo x R, - continuidade em um intervalo - Cálculo I - UFBA

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• Dados , , considere a função tal que, para todo ,𝛼 𝛽 ∈ 0, +∞] [ f : R R→ x ∈ R
 
f x =( )
, se x < 0;
cos 𝛼x - cos 𝛽x
x
( ) ( )
2
6 +𝛼, se x = 0, se x = 0;
xsen + 𝛽 cos x , se x > 0;
1
e - 1x
2 ( )
Para que seja continua em , o par ordenado tem que ser;f 0 𝛼, 𝛽( )
Escolha uma opção:
 
 a. □ 2 , 22
 b. □ 2, 2
 c. □ 2 ,2 2
 d. □ , 22 2
 e. ⬛ 2, 2 2
 f. □ , 22
 
Resolução:
 
Para a função ser contínua em um ponto com é preciso satisfazer 3 condições;x = a
 
 1 f a tem que existir) ( )
 
 2 f x tem que existir) lim
x→a
( )
 
 3 e devemos ter f x = f a) lim
x→a
( ) ( )
Assim, para ser continua em , devemos ter;f x = 0
 
f x = f x = f 0lim
x→0+
( ) lim
x→0-
( ) ( )
Se , temos que;x = 0
 
 
 
f 0 = 6 +𝛼( )
 
Vamos, então, analisar os limites laterais de ;f x( )
 
Limite pela direita:
xsen + 𝛽 cos x = xsen + 𝛽 cos xlim
x→0+
1
e - 1x
2 ( ) lim
x→0+
1
e - 1x
lim
x→0+
2 ( )
 
fazendo os limites separadamente, temos;
limite 1 xsen→ lim
x→0+
1
e - 1x
 A função seno é um tipo de função chamada limitada, já que varia sempre entre -1 e 1 
mesmo a função tendendo para , com isso, podemos escrever as desiguadades:±∞
Com issco
-1 ⩽ sen ⩽ 1
1
e - 1x
Multiplicando a expressão por x, fica :
-1 ⋅ x ⩽ x ⋅ sen ⩽ 1 ⋅ x
1
e - 1x
 
Agora, aplicamos o limite aos termos :
 
- x ⩽ xsen ⩽ xlim
x 0→
( ) lim
x 0→
1
e - 1x
lim
x 0→
 
 Os limites - x e x são iguais a zero;lim
x 0→
lim
x 0→
 
0 ⩽ xsen ⩽ 0lim
x 0→
1
e - 1x
 
 
(1)
Com isso, podemos concluir que:
 xsen = 0lim
x 0→
1
e - 1x
 
limite 2 𝛽 cos x = 𝛽 cos 0 = 𝛽 ⋅ 1 = 𝛽→ lim
x→0+
2 ( ) 2 ( ) 2 2
Dessa forma, temos que a solução do limite é;
 
xsen + 𝛽 cos x = 0 + 𝛽 = 𝛽lim
x→0+
1
e - 1x
2 ( ) 2 2
Limite pela esquerda:
 
= = = =lim
x→0-
cos 𝛼x - cos 𝛽x
x
( ) ( )
2
cos 𝛼 ⋅ 0 - cos 𝛽 ⋅ 0
0
( ) ( )
( )2
cos 0 - cos 0
0
( ) ( ) 1 - 1
0
0
0
Em indeterminações do tipo e é possível aplicar a regra de L'Hopital, que diz que o 
0
0
±∞
±∞
limite quando ocorre uma das indeterminações citadas é:
 
=lim
x→k
f x
g x
( )
( )
lim
x→k
f' x
g' x
( )
( )
 
Assim, aplicando a regra de L'Hopital ao limite, temos que;
 
= =lim
 
x 0 →
-
cos 𝛼x - cos 𝛽x
x
( ) ( )
2
lim
 
x 0→
-
-sen 𝛼x 𝛼- -sen 𝛽x 𝛽
2x
( ) ( ( ))
lim
 
x 0 →
-
-sen 𝛼x 𝛼+ sen 𝛽x 𝛽
2x
( ) ( )
 
Substituindo o limite, temos;
 
= =lim
 
x 0 →
-
-sen 𝛼x 𝛼+ sen 𝛽x 𝛽
2x
( ) ( ) -sen 𝛼 ⋅ 0 𝛼+ sen 𝛽 ⋅ 0 𝛽
2 ⋅ 0
( ) ( ) -sen 0 𝛼+ sen 0 𝛽
0
( ) ( )
 
= =
-0 ⋅𝛼+ 0 ⋅ 𝛽
0
-0 + 0
0
0
0
 
Como a intederminação foi , podemos aplicar novamente a regra de L'Hopital;
0
0
 
 
(2)
 
=lim
 
x 0 →
-
-sen 𝛼x 𝛼+ sen 𝛽x 𝛽
2x
( ) ( )
lim
 
x 0 →
-
-cos 𝛼x 𝛼 + con 𝛽x 𝛽
2
( ) 2 ( ) 2
 
Substituindo novamente o limite, temos;
= =lim
 
x 0 →
-
-cos 𝛼x 𝛼 + con 𝛽x 𝛽
2
( ) 2 ( ) 2 -cos 𝛼 ⋅ 0 𝛼 + con 𝛽 ⋅ 0 𝛽
2
( ) 2 ( ) 2 -cos 0 𝛼 + con 0 𝛽
2
( ) 2 ( ) 2
 
= =
-1 ⋅𝛼 + 1 ⋅ 𝛽
2
2 2 -𝛼 + 𝛽
2
2 2
 
=lim
 
x 0 → -
cos 𝛼x - cos 𝛽x
x
( ) ( )
2
𝛽 -𝛼
2
2 2
Pela definição de continuidade, para ser continua, devemos ter (igualando 1, 2 e 3);f x( )
 
6 +𝛼 = 𝛽 2
 
e 
 
6 +𝛼 =
𝛽 -𝛼
2
2 2
Da equação 4, temos que;
 
6 +𝛼 = 𝛽 𝛽 = 6 +𝛼2 → 2
Substiutindo 6 em 5, temos;
 
6 +𝛼 =
6 +𝛼-𝛼
2
2
Vamos, então, isolar , temos;𝛼
 
6 +𝛼 = 2 6 +𝛼 = 6 +𝛼-𝛼 12 + 2𝛼 = 6 +𝛼-𝛼
6 +𝛼-𝛼
2
2
→ ( ) 2 → 2
 
12 + 2𝛼- 6 -𝛼+𝛼 = 0 𝛼 +𝛼- 6 = 02 → 2
 
Chegamos a uma equação do 2° grau, resolvendo; 
 
 
(3)
(4)
(5)
(6)
 
𝛼 +𝛼- 6 = 02
 
𝛼 = 𝛼' = = = = = 2
- 1 ±
2 ⋅ 1
( ) 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ -6( )2 ( )
→
-1 +
2
1 + 24 -1 +
2
25 -1 + 5
2
4
2
 
 𝛼" = = = = = - 3
-1 -
2
1 + 24 -1 -
2
25 -1 - 5
2
-6
2
Como o enunciado diz que , então temos que;𝛼 ∈ 0, +∞] [
 
𝛼 = 2
Substituindo este valor de na equação 4, fica;𝛼
 
6 + 2 = 𝛽 𝛽 = 8 𝛽 = ± 𝛽 = ± = ± ⋅ 𝛽 = ±22 → 2 → 8 → 4 ⋅ 2 4 2 → 2
 
Como o enunciado diz que , então;𝛽 ∈ 0, +∞] [
 
𝛽 = 2 2
Finalmente;
 
𝛼, 𝛽 = 2, 2( ) 2
 
 
(Resposta )