O modelo atômico de Bohr

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Universidade Estadual de Londrina
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Física
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O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio
Débora Rodrigues Rocha
Disciplina: 2FIS022 – Laboratório de Física Moderna
Docente: Américo Tsuneo Fujii
Londrina, 19 de novembro de 2015
INTRODUÇÃO
Saber do que a matéria é feita foi uma dúvida que surgiu há muitos séculos. O primeiro modelo é atribuído a Demócrito (460-370 a. C.), que viveu no século V a. C.. Baseando-se apenas na intuição e na lógica ele defendeu que se a matéria fosse dividida em partes cada vez menores, haveria um limite de partículas sem formato definido e minúsculas, os átomos (palavra que significa indivisível em grego). Assim, toda a matéria seria composta de átomos invisíveis e de vazio. Esses átomos permaneciam em movimento constante, eram eternos e existiam infinitos deles no Universo [1]. Ao contrário de Demócrito, Aristóteles (384-322 a. C.) postulou que não existiam átomos, ou seja, a matéria era contínua [2]. Esse foi o pensamento seguido pela maioria dos filósofos da época e a ideia aceita pelos pensadores e cientistas até o século XVI d. C. 
No século XIX ocorreram grandes evoluções na Química, e alguns fatos não podiam mais ser explicados pela teoria de Aristóteles, como a Lei de Lavoisier: “a massa dos reagentes é igual à massa dos produtos”. Para explicar estes fatos, John Dalton (1776-1844) volta às ideias de Demócrito, e em 1807 propõe o modelo que ficaria conhecido como bola de bilhar. Segundo Dalton, a matéria realmente é composta de pequenos corpúsculos que não se subdividem, os átomos. Eles teriam formato esférico e seriam maciços, impenetráveis, indestrutíveis e sem cargas elétricas. Os átomos do mesmo elemento seriam iguais entre si e teriam a mesma massa, e toda a matéria seria formada pela união de diferentes átomos em proporções definidas. 
Em 1897, ao estudar descargas elétricas em um tubo de raios catódicos, J. J. Thomson descobriu o elétron. Tendo provado que os elétrons eram corpúsculos com carga elétrica e massa muito menor do que a de qualquer átomo conhecido, e que fazem parte de toda a matéria, criou um novo modelo atômico em 1904 [1]. O átomo continuava a ser uma esfera maciça, mas agora tinha carga positiva com os elétrons de carga negativa dispersos na esfera. O número de elétrons em cada átomo seria tal que a carga resultante fosse nula, e o mesmo fosse neutro. Esse modelo ficou conhecido como pudim de passas.
Ernest Rutherford, que estudou com J. J. Thomson, realizou uma experiência que permitiu a ele criar um novo modelo atômico em 1908. Nela, Rutherford demonstrava o espalhamento das partículas alfa, quando um feixe atravessava uma lâmina de ouro bem fina e era possível detectar o espalhamento que as partículas sofriam ao atravessar a lâmina. Embora a maioria das partículas se comportasse como o esperado, uma quantidade significativa delas não só foi desviada, como algumas voltaram para trás. 
Imagem 1 – Existe, no interior do átomo, uma região positiva que exerce uma força repulsiva com as partículas alfa (que tem caráter positivo).
Assim, o átomo era uma estrutura praticamente vazia constituída por um núcleo pequeno com carga positiva, onde se concentrava quase toda a massa do átomo, e elétrons com carga negativa que se movem em torno do núcleo. O átomo seria um sistema semelhante ao sistema solar, por isso recebeu o nome de modelo planetário. Porém, este último modelo também era incompatível com algumas leis físicas. De acordo com o que se conhecia, o elétron perderia energia ao realizar a sua órbita e consequentemente cairia no núcleo, “destruindo” o átomo. Foi então que surgiu um novo modelo, proposto por Niels Bohr (1885-1962).
Em 1913, Bohr aperfeiçoou o modelo de Rutherford, e estudando o átomo de hidrogênio postulou que:
1 – Existência do núcleo. Um elétron no átomo se move em uma órbita circular em torno do núcleo, obedecendo as leis da mecânica clássica;
2 – Quantização do momento. Em vez de uma infinidade de órbitas, um elétron só pode se mover em uma órbita na qual o momento angular L é um múltiplo de ħ , ou seja ;
3 – Estabilidade do elétron. Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron que se move em uma dessas órbitas não emite radiação, mantendo E constante;
4 – Emissão da luz (radiação). É emitida radiação eletromagnética se um elétron mover-se de uma órbita inicial com energia Ei para uma órbita Ef. A frequência da radiação emitida é .
A partir das ideias de Bohr, para um elétron que esteja orbitando o núcleo, pode-se igualar a força elétrica (atrativa) com a centrípeta (“repulsiva”):
Onde Z é o número atômico, e a carga do elétron, r o raio da órbita, m a massa do elétron e v a velocidade do elétron.
Para o momento angular, tem-se:
 , com n = 1, 2, ...
Substituindo a velocidade acima em (1):
De forma que, para o raio r e a velocidade v teremos:
 , com n = 1, 2,... ; 	 , com n = 1, 2,...
	Para calcular a energia total do elétron se movendo em uma órbita, temos que a energia potencial é dada pela integral (fazendo V = 0 quando ):
E para a energia cinética , pela equação:
Então a energia total se torna:
Substituindo o r encontrado nos passos anteriores, temos:
Sendo , , , e Z o número atômico. No caso do hidrogênio, Z=1.
Os espectros de linhas dos elementos foram estudados sistematicamente a partir das últimas décadas do século XIX [3]. Foi verificado que as linhas tendem a se agrupar em séries. No caso do hidrogênio – o mais leve dos elementos, portanto presumivelmente o mais simples dos átomos – uma primeira série foi identificada na parte visível do espectro em 1885 por Balmer. A órbita para o qual os elétrons “pulavam” era n=2. Subsequentemente, outras séries foram identificadas, uma no ultravioleta por Lyman e outras no infravermelho por Paschen, Bracket e Pfund, como ilustra a imagem abaixo:
Imagem 2 – O átomo de Bohr e as séries estudadas por cada cientista para as transições entre os níveis de energia do elétron [4].
Embora bem fundamentado, o átomo de Bohr ainda não era satisfatório. Os postulados levavam a resultados que se ajustavam aos dados experimentais, mas muito ainda era simplesmente postulado sem maiores justificativas. O modelo de Bohr não levava em conta a massa do núcleo, nem o spin do elétron. Além disso, havia pequenas discrepâncias no espectro do hidrogênio que não eram explicadas pelo modelo, e ele não servia para átomos de outros elementos (Z diferente do Z para o hidrogênio). Uma década mais tarde, todas essas restrições foram resolvidas com um modelo mais avançado, originário da mecânica quântica. 
Em 1927, Erwin Schrödinger (1887-1961) propôs o modelo da nuvem eletrônica, deixando de acreditar que o elétron teria uma trajetória definida em torno do núcleo. Neste novo modelo, os elétrons se movem de forma desconhecida com velocidade elevadíssima, e seu movimento passou a ser descrito por uma nuvem eletrônica. Quanto mais densa é a nuvem, maior é a probabilidade de se encontrar o elétron naquela região. Essa nuvem é mais densa próximo do núcleo, e menos densa longe do núcleo. Esse modelo explica tudo o que se observa experimentalmente nos espectros, não só do hidrogênio, mas de qualquer outro elemento ou composto [5]. 
Imagem 3 – Da esquerda para a direita, evolução dos modelos atômicos.
OBJETIVO
Calcular os valores teóricos de energia do elétron em cada órbita e construir a série de Balmer. Medir os comprimentos de onda emitidos e suas respectivas energias para o hidrogênio com um espectrômetro. Verificar o modelo atômico proposto por Bohr para o hidrogênio.
METODOLOGIA
Um espectrômetro é um instrumento capaz de separar um feixe luminoso através de uma rede de difração [6]. É composto basicamente por três componentes: um colimador, um elemento de difração e um telescópio. Se o feixe for composto de várias cores, essas cores serão separadas e poderão ser observadas no telescópio em ângulos bem definidos.Imagem 4 – Um feixe de luz colimado atravessa um elemento de difração e gera várias cores, que vão do vermelho ao violeta.
Para determinarmos o comprimento de onda λ para cada cor, utilizamos a seguinte equação, que corresponde à difração de Fraunhofer para um feixe que passa através de uma fenda muito pequena (da ordem do comprimento de onda do feixe):
Onde n é um número inteiro que indica a ordem que a cor aparece no telescópio e d é a distância entre as fendas da rede de difração. O ângulo θ de difração referente a cada λ é formado ao girar o telescópio e focalizar uma cor.
Tendo posse dos valores de comprimento de onda λi podemos calcular a energia Ei para cada cor (que corresponde ao nível da transição do elétron) utilizando a equação de Planck , sabendo que podemos escrever a frequência como :
Onde h é a constante de Planck e c a velocidade de propagação da onda .
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Primeiramente calculou-se o valor teórico da energia En do elétron em cada órbita do hidrogênio através da equação (3), com n variando de 1 a 6 e fazendo Z=1. Com esses valores chegou-se à série de Balmer, apenas utilizando a relação ΔE = En - E2. Para obterem-se os valores experimentais de energia, foi realizado o procedimento abaixo.
Os materiais utilizados para a realização do experimento foram:
- Espectrômetro de Estudante PASCO Scientific Model SP-9268A;
- Fonte de alimentação para tubos PASCO, SE-9460;
- Rede de difração de 600 linhas por mm;
- Tubos de gás argônio, criptônio e hidrogênio;
- Lupa para leitura dos ângulos.
O alinhamento do equipamento já havia sido feito pelo técnico do laboratório. Para cada medida ligou-se as extremidades do tubo de gás no suporte que fornecia uma diferença de potencial entre os eletrodos. Os tubos de argônio e criptônio foram utilizados apenas para a visualização da coloração adquirida ao serem ligados, bem como suas linhas espectrais no telescópio do espectrômetro.
Imagem 5 – Suporte e fonte de alimentação para os tubos de gás.
Já para o tubo de gás hidrogênio foi feita a tomada de dados, a fim de realizar-se o objetivo do experimento. As medidas foram feitas ligando e desligando o tubo da tensão rapidamente, deixando-o ligado apenas durante o tempo necessário para alinhar o telescópio à próxima linha espectral, pois o hidrogênio é muito reativo e o tubo que o contém não pode ficar longos períodos sob tensão. 
Enquanto o tubo estava ligado variava-se a angulação do telescópio a partir do zero (90º, neste caso, quanto o telescópio está alinhado com o colimador), até que uma cor fosse vista. A leitura de cada ângulo foi feita na escala chamada Vernier. 
Imagem 2 – Exemplo de leitura da escala Vernier. Nesse caso, como a linha do zero não ultrapassou os 155,5º, leu-se a penas os 15’. O grau resultante é 155º15’. Se a linha do zero ultrapassasse os 155,5º, deveria ser somado 30’ à leitura da escala de cima.
Para calcular o valor do comprimento de onda λ de cada cor observada foi necessário tomar o valor 90º (nosso zero) menos o ângulo da leitura e, a seguir, transformá-lo em radianos:
Após as transformações para as unidades corretas, os cálculos de λ puderam ser realizados. Depois se calculou a energia E correspondente a cada λ através das equações (4) e (5). Possuindo previamente os valores da série de Balmer para a variação da energia ΔE e então os de energia E associados a cada cor emitida, a análise foi feita comparando-se estes resultados.
RESULTADOS OBTIDOS
A observação das cores que os tubos tomavam ao serem ligados foi: violeta para o argônio, violeta mais azulado para o criptônio e lilás para o hidrogênio.
Os resultados teóricos para os valores de energia do elétron em cada órbita estão organizados na tabela abaixo, utilizando a equação (3), com .
Tabela 1 – Níveis de energia En do elétron no átomo de hidrogênio e seus respectivos valores.
	Nível de energia
	Energia (eV)
	n=1
	-13,7
	n=2
	-3,43
	n=3
	-1,52
	n=4
	-0,86
	n=5
	-0,55
	n=6
	-0,38
A série de Balmer foi obtida utilizando a relação ΔE = En - E2, e organizada na tabela abaixo.
Tabela 2 – Variações dos valores de energia entre as órbitas do elétron no átomo de hidrogênio.
	En - E2
	Cor
	ΔE (eV)
	E3 - E2
	Vermelho
	1,91
	E4 - E2
	Azul esverdeado
	2,57
	E5 - E2
	Violeta
	2,88
	E6 - E2
	Violeta
	3,05
 Os dados colhidos através do espectrômetro foram organizados na Tabela 3. A mesma foi feita com o auxílio do Excel, através dos cálculos apresentados na metodologia (valores de comprimento de onda e energia para cada transição), e procedimento experimental (tratamento e transformação dos ângulos de difração de minutos para graus).
Tabela 3 – Cor e seus respectivos ângulos de deflexão, transformações realizadas, cálculos de comprimento de onda λ e energia E. A rede de difração utilizada foi de 600 linhas por mm.
	Cor
	Ângulo de deflexão (°)
	Minutos (')
	Deflexão (°)
	90°-deflexão (°)
	seno(90°-deflexão)
	Comp. de onda λ (Å)
	Energia (eV)
	Vermelho
	66
	34
	66,094
	23,906
	0,405
	6753,837
	1,837
	Azul esverdeado
	72
	51
	72,142
	17,858
	0,307
	5111,075
	2,427
	Violeta
	74
	47
	74,131
	15,869
	0,273
	4557,438
	2,722
	Violeta*
	75
	40
	75,111
	14,889
	0,257
	4282,423
	2,897
O valor para o Violeta* utilizado nesta tabela foi retirado do livro, e não medido experimentalmente como os demais dados.
ANÁLISE DOS RESULTADOS
Comparando a tabela da série de Balmer com a da análise espectroscópica, notamos que os valores são bem próximos. 
Tabela 4 – Comparação entre os valores da série de Balmer e os dados espectroscópicos.
	
	Vermelho
	Azul esverdeado
	Violeta
	Violeta*
	Série de Balmer 
	1,91
	2,57
	2,88
	3,05
	Espectroscopia
	1,84
	2,43
	2,72
	2,90
Ou seja, a variação do valor da energia entre duas órbitas possíveis ao elétron deve ser igual ao valor da energia associada à radiação emitida por um elétron ao realizar uma transição entre essas órbitas.
Assim, nota-se que para o hidrogênio os postulados de Bohr funcionam muito bem. Porém, para outros elementos com número atômico Z diferente, isso não acontece. O átomo de Bohr só é verificado quando há apenas um elétron no átomo. Também é importante considerar a ausência da massa do núcleo na equação utilizada para a energia de cada órbita. Quando a massa do núcleo é diferente (por exemplo, no deutério) é necessário utilizar a massa reduzida do sistema:
Através de um espectroscópio de resolução alta, ainda seria possível ver que a linha espectral vermelha observada é, na verdade, não apenas uma, mas duas linhas bem próximas [7]. Essa é a chamada estrutura fina da linha espectral de um átomo, e corresponde ao seu desdobramento (separação) em outras linhas de frequências próximas, detectáveis. Esta estrutura pode ser explicada através da física quântica – é o resultado do átomo de Bohr com três tipos de correções:
- O acomplamento do momento magnético de spin do elétron com campo magnético gerado por seu movimento (momento magnético orbital);
- A consideração do movimento relativístico do elétron;
- O efeito zitterbewegung.
Estruturas de nível fino podem ser desdobradas também devido à interação com o momento magnético do núcleo (estrutura hiperfina).
CONCLUSÕES
Determinamos os valores teóricos da série de Balmer e ao compará-los com os resultados experimentais notou-se que obtivemos valores muito próximos, fato suficiente para afirmar que o modelo de Bohr foi verificado para o átomo de hidrogênio ou “hidrogenoides”, átomos que possuem comportamento semelhante ao do hidrogênio (por exemplo o hélio, ao perder um dos seus elétrons). Porém, o mesmo não se aplica a outros átomos com número atômico diferente. Isso se deve às alterações de Z nas equações que, caso fossem feitas, não permitiriam mais essa concordância entre os resultados obtidos teórica e experimentalmente. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] PASSINATO, Cristina. Átomo e modelos atômicos. Apresentação em PowerPoint.< www.crispassinato.wordpress.com>. (16/11/2015)
[2] Hipótese atómica. Ciência em Portugal. Instituto Camões, 2003. < http://cvc. instituto-camoes.pt/ciencia/d43.html>. (16/11/2015)
[3] BETZ, Michel. Espectros de radiação. Instituto de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. < http://www.if.ufrgs.br/~betz/iq_XX_A/espRad /aEspRadFrame.htm>. (16/11/2015)
[4] NETTO, Luiz Ferraz. O átomo de Bohr. Feira de Ciências. < http://www. feiradeciencias.com.br/sala23/23_MA02.asp>. (16/11/2015)
[5] O espectro do hidrogênio. Seara da Ciência. Universidade Federal do Ceará. < http://www.seara.ufc.br/tintim/fisica/hidrogenio/hidrogenio4.htm>. (16/11/2015)
[6] Manual de experimento da Pasco. Student Spectrometer. Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific. Model SP-9268A. (17/11/205)
[7] Estrutura fina do átomo. < https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrutura_fina>. (19/11/2015)