Estatística 1

Prévia do material em texto

49 
5 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO A correlação e a regressão são duas técnicas estreitamente relacionadas que envolvem uma forma de estimação. As técnicas agora apresentadas se referem à estimação de uma relação que possa existir na população. Mais especificamente, a análise de correlação e regressão compreende a análise de dados amostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra numa população. A análise de correlação dá um número que resume o grau de relacionamento entre duas variáveis. A análise de regressão tem como resultado uma equação matemática que descreve o relacionamento. A equação pode ser usada para estimar, ou predizer, valores futuros de uma variável quando se conhecem ou se supõem conhecidos valores da outra variável. CORRELAÇÃO Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas. DIAGRAMA DE DISPERSÃO Representando os pares ordenados (xi, yi) em um sistema coordenado cartesiano ortogonal, obtemos uma nuvem de pontos denominada diagrama de dispersão, que fornece uma ideia da correlação existente. O diagrama de dispersão indica se existem dados discrepantes e se o padrão geral dos dados é linear. Isso é importante para o uso do coeficiente de correlação. CORRELAÇÃO LINEAR A correlação de forma elíptica tem como "imagem" uma reta, sendo por isso, denominada correlação linear. Assim, uma correlação é: a) linear positiva se os pontos do diagrama têm como "imagem" uma reta ascendente; b) linear negativa se os pontos têm como "imagem" uma reta descendente; c) não-linear se os pontos têm como "imagem" uma curva. Observação: Não haver relação linear não significa que as variáveis não possuam nenhuma ligação. 
2 
2 
4 
4 
6 
6 
8 
8 
10 
10 
. . 
. . . . 
. . . 
. 
. 
 50 
 
 
 Observe que:  Se, quando uma das variáveis “cresce”, a outra, em média, também “cresce”, dizemos que entre as duas variáveis existe uma correlação positiva, tanto mais forte quanto mais perto de uma reta imaginária os pontos estiverem;  Se, quando uma das variáveis “cresce”, a outra, em média, “decresce”, dizemos que entre as duas variáveis existe uma correlação negativa, tanto mais forte quanto mais perto de uma reta imaginária os pontos estiverem;  Se os pontos estiverem dispersos, sem definição, dizemos que a correlação é muito baixa, ou mesmo nula. As variáveis nesse caso são ditas não relacionadas. Coeficiente de correlação linear (r) Dado um problema, primeiro precisamos dizer, em teoria, porque achamos que a associação existe. Devemos examinar a qualidade dos dados e as escalas de medida e construir um diagrama de dispersão, para saber se a relação é linear e se existem valores discrepantes. A partir daí calculamos o coeficiente de correlação (indicado por ݎ) e analisamos o resultado que possui dois componentes: o sinal e o valor numérico. O sinal informa se a associação é positiva ou negativa, e o valor numérico indica o grau de correlação, que varia entre 0 (nenhuma associação linear) e 1 (associação linear perfeita). Por isso dizemos que este coeficiente indica o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (ou ). 
    
           
 
  
Correlação linear positiva 
    
      
     
 
  
Correlação linear negativa 
    
 
 
            
Correlação não-linear 
    
   
  
 
      
 
 
 Não há correlação 
 51 
Coeficiente de Pearson: O coeficiente de correlação do momento produto, também conhecido como coeficiente de correlação de Pearson é a maneira de descobrir a natureza e a extensão da associação linear entre duas variáveis. A fórmula é: 
            . . . 2222 iiii iiii yynxxn yxyxnr ,  1  ݎ  1 
 onde ݊ é o número de observações. Se r > 0, há uma correlação linear positiva entre as variáveis; Se r < 0, há uma correlação linear negativa entre as variáveis; Se r = 0, ou não há correlação entre as variáveis ou a relação que por ventura exista não é linear. Se r = 1, há uma correlação perfeita e positiva entre as variáveis; Se r = 1, há uma correlação perfeita e negativa entre as variáveis; Com respeito à intensidade do relacionamento entre as variáveis X e Y podemos adotar o seguinte critério: −1 < ݎ < −0,7  correlação linear negativa forte −0,7 ≤ ݎ ≤ −0,3  correlação linear negativa moderada −0,3 < ݎ < 0  correlação linear negativa fraca 0 < ݎ < 0,3  correlação linear positiva fraca 0,3 ≤ ݎ ≤ 0,7  correlação linear positiva moderada 0,7 < ݎ < 1  correlação linear positiva forte | | | | | | | −1 −0,7 −0,3 0 0,3 0,7 1 Coeficiente de determinação (࢘૛) O coeficiente de determinação ou simplesmente ࢘૛ é o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson. O coeficiente de determinação é uma medida de ajustamento de um modelo estatístico linear generalizado 
(como a Regressão Linear) em relação aos valores observados. O ࢘૛ varia entre 0 e 1, indicando, em percentagem, o quanto o modelo consegue explicar os valores observados. Vale ressaltar que é importante identificar a variável independente X e a variável dependente Y para uma adequada interpretação do coeficiente de determinação. Em outras palavras, o coeficiente de determinação é uma medida da proporção da variabilidade de Y que é explicada pela variabilidade de X. É pouco comum que tenhamos uma correlação perfeita (ݎଶ = 1) na prática, porque existem muitos fatores que determinam as relações entre variáveis na vida real. Por exemplo, dadas as variáveis X e Y, se tivermos ݎ =0,79, teremos ݎଶ=0,62 ou 62%. Então cerca de 38% da variabilidade de Y não pode ser descrito (ou explicado) pela variabilidade de X e vice-versa, ou seja, existem outros fatores que poderiam ser importantes, para as variabilidades de X e Y. 
 52 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES A análise de regressão tem por objetivo descrever, através de uma equação matemática, o relacionamento entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente (Y) e a outra recebe o nome de variável independente (X). Equação da Reta: ܻ = ܽ + ܾܺ, onde ܽ e ܾ são os parâmetros. Fórmulas para o cálculo dos valores dos parâmetros a e b: 
     22 ii iiii xxn yxyxnb e xbya  onde: n é o número de observações 
x é a média dos valores xi 

  nxx i e y é a média dos valores yi   nyy i Interpretação do coeficiente de regressão (࢈) Obtida uma reta de regressão, o primeiro passo na sua interpretação é verificar o sinal de ܾ que indica a inclinação da reta. Se ܾ for positivo, indica que, quanto maior o valor de X, maior o valor de Y; se ܾ for negativo, indica que quanto maior o valor de X, menor o valor de Y. 
 Uma interpretação mais informativa para o coeficiente de regressão (ܾ) é que ele representa em quanto varia a média de Y para o aumento de uma unidade da variável X. Esta variação pode ser negativa, situação em que para um acréscimo de X corresponde um decréscimo de Y. Assim, quando X aumenta em média 1 unidade tem-se em média um acréscimo (se ܾ>0) ou decréscimo (se ܾ<0), de b unidades em Y. O coeficiente ࢇ é dito intercepto e determina o ponto em que a reta corta o eixo de Y, isto indica qual o valor da variável Y quando X=0, o que muitas vezes não tem significado no contexto das variáveis. 
2 
2 
4 
4 
6 
6 
8 
8 
10 
10 
. . 
. . . . 
. . . 
. reta imagem 
 53 
OBSERVAÇÕES:  Como estamos utilizando uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o resultado é uma 
estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo assim, escrevemos:bXaY ˆ , onde Yˆ é o Y estimado.  A reta de regressão que se obtém através do método dos mínimos quadrados é apenas uma aproximação da realidade, ela é um modo útil para indicar a tendência dos dados. O coeficiente de determinação pode indicar o quanto útil ou aproximado da realidade é a reta.  Uma norma importante no uso de equações de regressão é a usá-la para interpolações, e não extrapolações, exceto quando considerações teóricas ou experimentais demonstrarem a possibilidade de extrapolação. EXERCÍCIOS - 6ª Lista – Correlação e Regressão Linear 1. Consideremos o seguinte conjunto de dados bivariados que representam as idades de 14 casais. 
Com base no Gráfico de Dispersão podemos afirmar que existe uma correlação linear a) nula. b) positiva. c) perfeita. d) negativa. e) dispersiva. 2. Observe a figura onde: X: Cobertura por Sistemas de Esgoto Sanitário (em %) Y: Taxa de Mortalidade Infantil (<1ano-por 1000nv.) Neste caso, as variáveis têm correlação linear: a) nula. b) variável. c) perfeita. d) positiva. e) negativa. 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
30 40 50 60 70 80 90 100
 54 
3. Um estudo quer determinar se há relação entre o conteúdo de flúor em um suprimento público de água e a existência de cárie dental em crianças que usam essa água. Uma amostra foi obtida mediante determinados e critérios e a análise de relação entre essas duas variáveis apresenta-se no gráfico abaixo: Com base no gráfico podemos afirmar que as variáveis: a) Tem uma correlação linear positiva. b) Tem uma correlação linear negativa. c) Tem uma correlação linear perfeita. d) Tem uma correlação circular positiva. e) Não tem correlação. 4. Os triglicerídeos presentes no nosso corpo podem ser adquiridos através da alimentação ou produzidos pelo nosso próprio organismo pelo fígado. As triglicérides são importantes, pois servem como reserva energética para os momentos de jejum prolongado ou alimentação insuficiente. Quando há um excesso de triglicerídeos circulando no sangue, damos o nome de hipertrigliceridemia. Em um estudo conduzido em um hospital, 10 pacientes com hipertrigliceridemia foram colocados sob dieta de baixas gorduras e altos carboidratos. Antes de iniciá-la, as medidas de colesterol LDL e de triglicerídeos foram registradas para cada indivíduo, resultando no gráfico de dispersão com a reta ajustada abaixo: Com base no gráfico podemos afirmar que as variáveis: a) Tem uma correlação linear positiva forte. b) Tem uma correlação linear positva fraca. c) Tem uma correlação linear perfeita. d) Tem uma correlação variável positiva. e) Não tem correlação. 5. Para estudar as relações existentes entre a idade (X) e a tensão arterial (Y), observaram-se 10 homens (n=10) de 25 a 45 anos, tendo-se obtido os seguintes resultados: X Y X2 Y2 XY  350 142 12.658 2.034 5008 Com base nos dados podemos afirmar que o coeficiente de correlação é: a) r = 0,90 b) r = 0,78 c) r = 0,45 d) r = 0,75 e) r = 0,98 6. Um estudo foi conduzido para investigar se o farelo de aveia auxilia a baixar os níveis de colesterol em homens hiperco-lesterolêmicos. Catorze indivíduos foram aleatoriamente colocados em uma dieta que incluía farelo de aveia ou flocos de milho. Depois de duas semanas seus níveis de colesterol de lipoproteína de baixa densidade (LDL, low-density lipoprotein) foram registrados. Cada homem foi, então, mudado para a dieta alternativa. Depois do período de dieta, segunda semana, o nível de colesterol LDL de cada indivíduo foi novamente aferido. Os dados desse estudo são apresentados na tabela abaixo: 
 X: LDL(mmol/l) de Flocos de milho Y: LDL(mmol/l) de Farelo de aveia 
 Calcule o Coeficiente de Correlação r entre os níveis de LDL sérico em mmol/l dos Flocos de milho e Farelo de aveia e marque a alternativa CORRETA. a) Há uma forte relação positiva (r > 0). b) Há uma forte relação negativa (r < 0). c) Apresenta uma ausência de relação (r = 0). d) O coeficiente de correlação é inadequado. e) O coeficiente de correlação é nulo. 7. Com base no exercício anterior, calcule o Coeficiente de Determinação e interprete. 
 X Y X2 Y2 XY  62,21 57,13 288,64 247,65 266,15 
0
5
10
15
20
25
0.0 5.0 10.0 15.0
número de cárie dental
níve
l de
 flú
or n
o su
prim
ento
 de 
águ
a
 55 
8. Um preparador físico está desenvolvendo uma pesquisa cujo foco principal são as qualidades físicas em meninos na faixa etária de 9 a 14 anos com I.C. (Idade cronológica) igual a I.O. (Idade óssea). Dentro das qualidades físicas, as variáveis Força explosiva e Velocidade serão utilizadas para saber como estão correlacionadas. Para análise dos dados, inicialmente foi selecionada uma amostra aleatória de 12 meninos com I.C=I.O de 10. Veja o quadro abaixo: Observação: A Força Explosiva  MI, é dada pela Impulsão Vertical e tem unidade de medida em centímetros. A velocidade é registrada pelo tempo de deslocamento em segundos para uma distância linear de 30 metros. Marque a alternativa CORRETA para o coeficiente de correlação: a) r = 0,6469 b) r = 0,06469 c) r = 0,9646 d) r = 0,4964 ] e) r = 0,6469 9. Com base nos dados do exercício anterior calcule o Coeficiente de Determinação e interprete-o. 10. Um estudo acerca da obesidade infantil deseja verificar a relação entre a medida do índice de massa corporal (X) e a porcentagem de gordura corporal (Y) em escolares, na faixa etária de 6 a 10 anos. Uma amostra piloto composta por 8 escolares apresentou os seguintes resultados: Dados: x =146; y =141 x2 =2738; y2 =2635; xy =2658 Sabendo que a reta de regressão ajustada para os dados coletados é dada por Y=3,41,2X, para um índice de massa corporal X=25, a porcentagem de gordura corporal Y esperada é de aproximadamente: a) 23 % b) 25 % c) 27 % d) 29 % e) 31 % 11. Com base nos dados do exercício anterior identifique e interprete o coeficiente b. 12. Para realizar uma investigação sobre a ocorrência de anemia e infecção em uma comunidade estimamos a contagem de eritrócitos e leucócitos no sangue pela medida do hematócrito (X) e a concentração de hemoglobina (Y). Conduzindo um estudo-piloto a partir dos resultados da rotina de um laboratório de hematologia coletados de n=10 pacientes obtemos: X 38 38 40 40 42 42 46 48 48 48 Y 10 12 13 15 14 15 16 17 18 20 Onde: X Y X2 Y2 XY  430 150 18644 2328 6550 Com base nos dados assinale a opção que representa mais aproximadamente a equação da reta de regressão Y=abX: a) Y= 130,65X b) Y= 130,65X c) Y= 130,65X d) Y= 0,6513X e) Y= 0,6513X 13. Com base nos dados do exercício anterior identifique e interprete o coeficiente b. 14. Uma dieta hipocalórica foi prescrita a 8 jovens com tendências a obesidade. Antes de iniciar a dieta foram feitas as medidas dos pesos (X), em kg. Após um período de três meses repetiu-se a medição e foram registradas suas reduções de peso (Y). Com os dados da tabela assinale a opção que representa mais aproximadamente a equação da reta de regressão de mínimos quadrados y = abx a) y = 14,80,33x b) y = 14,80,33x c) y = 14,80,33x d) y = 0,3314,8x e) y = 0,3314,8x 
Impulsão Vertical (cm) Velocidade (30m/seg) 21,70 23,00 20,20 23,00 23,00 23,80 22,90 23,50 23,10 26,00 22,80 23,80 22,70 23,50 21,80 24,50 22,60 23,50 22,50 21,50 23,20 22,70 33,10 26,50 
X 18 13 20 15 17 23 19 21 Y 20 10 25 14 15 20 17 20 
 x y xy x2 y2 
 55 4 220 3.025 16 58 5 290 3.364 25 60 3 180 3.600 9 62 7 434 3.844 49 65 6 390 4.225 36 67 8 536 4.489 64 67 5 335 4.489 25 70 10 700 4.900 100 Total 504 48 3.085 31.936 324 
 56 
15. Um pesquisador deseja estudar o relacionamento entre o índice de massa corporal (X) e as medidas (somatório) das dobras cutâneas (Y) em alunos de certa escola pública. Um estudo piloto observou 9 alunos e obteve os seguintes dados: Neste caso, o valor aproximado da reta de regressão ajustada y = a  bx é: a) Y= 3,8 + 21X b) Y= 3,8  21X c) Y= 21  3,8Xd) Y= 21  3,8X e) Y=21 + 3,8X 16. Com base nos dados do exercício anterior: a) interprete o coeficiente b. b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson c) Calcule o coeficiente de Determinação e interprete. 17. O aumento da expectativa de vida do brasileiro é resultado da melhoria das condições de vida: saneamento básico, assistência médica, por exemplo, e da redução da taxa de mortalidade infantil, conforme mostra a série abaixo: Encontre a reta de regressão e assinale a alternativa correta para a esperança de vida do brasileiro ao nascer em 2005. a) 60 anos aproximadamente b) 62 anos aproximadamente c) 67 anos aproximadamente d) 71 anos aproximadamente e) 73 anos aproximadamente 18. Um pesquisador investiga se existe uma relação entre o tamanho do vocabulário (X) e o desempenho em um teste de compreensão da leitura (Y). Quinze alunos da 6ª série fazem um teste de vocabulário e um teste de compreensão da leitura (ambos os testes são pontuados em termos da porcentagem de acertos). Os resultados para as 15 crianças escolares são: X 44 24 67 75 34 88 57 44 87 77 87 54 90 36 79 Y 67 33 45 54 45 79 67 32 95 67 78 67 78 55 91 Dados: ∑ ݔ = 943; ∑ ݕ = 953; ∑ ݔଶ = 66331; ∑ ݕଶ = 65775 e ∑ ݔݕ = 64531 a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson para esses dados e interprete. b) Explique porque se poderia usar a correlação que foi calculada no item anterior para amparar a afirmação de que um aumento no tamanho do vocabulário causa aumentos na compreensão da leitura. c) Calcule o coeficiente de determinação e interprete. d) Obtenha a equação da reta de regressão linear e interprete. 19. Foram selecionadas aleatoriamente 14 pacientes que estão sendo pesquisados sobre a síndrome metabólica. Alguns dados foram registrados para pesquisa, desde os dados socioeconômicos até os dados bioquímicos. Considere os seguintes dados: a) Identifique as variáveis X e Y. b) A equação de regressão referente aos dados da tabela é Y=0,0531X84,623, interprete o coeficiente b. c) Determine a medida estimada da circunferência de cintura para uma glicose de 99 mg/dl. 
IMC (kg/m2) Dobras Cutâneas (mm) 
11 20 15 30 17 35 18 40 19 40 20 70 
21 75 25 90 35 100 
x=181 y=500 
Ano Esperança de vida ao nascer, por anos de idade - 1920/2003 1920 42 1940 42 1950 46 1960 52 1970 54 1980 54 1990 60 2000 68 2003 69 2005 ? Fonte: IBGE. Vamos compreender Brasil 2002 e Brasil em Números 2004 
Circunferência da cintura (cm) Glicose (mg/dl) 83 92 95 92 101 92 99 93 64 95 94 105 84,5 107 102 110 75 129 94 144 107 147 90 170 100 172 88,5 189 1277 1737 
x2 =4 011 
 y2 =34 350 
 xy =11 470 
 57 
20. Um psicólogo está investigando a relação entre o tempo que o indivíduo leva para reagir a um certo estimulo (em segundos) e algumas de suas características tais como sexo, idade (em anos completos) e acuidade visual (medida em porcentagem). O resultado de 20 indivíduos foi: Considerando a idade (X) o tempo de reação (Y), e sabendo que ݊ = 20, ∑ ݔ = 600; ∑ ݕ = 2150; ∑ ݔଶ = 19000 e ∑ ݔݕ = 65400, a) Calcule os coeficientes de correlação e de determinação e interprete-os. b) determine a equação da reta de regressão ajustada ෠ܻ = ܽ + ܾܺ e a interprete. c) Estime o tempo médio de reação para pessoas de 22 anos. 21. Um estudo acerca da obesidade infantil deseja verificar a relação entre a medida do índice de massa corporal (X) e a porcentagem de gordura corporal (Y) em escolares, na faixa etária de 6 a 10 anos. Uma amostra piloto composta por 8 escolares apresentou os seguintes resultados: a) O coeficiente de correlação linear de Pearson é r=0,8075. Interprete-o. b) Calcule o coeficiente de determinação e Interprete-o. c) Sabendo que a reta de regressão ajustada para os dados coletados é dada por Y=3,41,2X, para um índice de massa corporal X=25, determine a porcentagem de gordura corporal Y esperada. Interprete o coeficiente b. 22. Para realizar uma investigação sobre a ocorrência de anemia e infecção em uma comunidade estimamos a concentração de hemoglobina (X), em g/dL, e a contagem de eritrócitos e leucócitos no sangue pela medida do hematócrito (Y), em %. Conduzindo um estudo-piloto a partir dos resultados da rotina de um laboratório de hematologia coletados de 10 pacientes obtemos: X 11 11 12 12 14 15 15 17 18 18 Y 38 38 40 40 42 45 46 48 48 48 a) Interprete o coeficiente de correlação linear de Pearson que é r=0,98. Calcule o coeficiente de determinação e interprete. b) Com base nos dados, a equação da reta de regressão é dada por Y=221,5X. Para uma concentração de hemoglobina X=13 g/dL, qual é a estimativa da medida do hematócrito (Y)? Interprete o coeficiente b. 23. Uma cadeia de supermercados financiou um estudo dos gastos realizados por família de quatro pessoas com renda 
mensal líquida entre oito e vinte salários mínimos. A pesquisa levou a equação de regressão Y= 1,2 + 0,4 X, onde Y representa a despesa mensal estimada (através do modelo) e X a renda mensal líquida expressa em número de salários mínimos. a) Estime a despesa mensal de uma família com renda líquida mensal de 15 salários mínimos. b) Interprete o coeficiente angular da equação da reta de regressão. c) A equação em questão serve para estimar a despesa mensal de uma família de 5 pessoas com renda líquida de 12 salários mínimos? Justifique. 
X 18 13 20 15 17 23 19 21 Y 20 10 25 14 15 20 17 20 
 58 
24. Procurando quantificar os efeitos da escassez de sono sobre a capacidade de resolução de problemas simples, um pesquisador tomou ao acaso 10 sujeitos e os submeteu a experimentação. Deixou-os sem dormir por diferentes números de horas, após o que solicitou que os mesmos resolvessem os itens “contas de adicionar” de um teste. Obteve, assim, os seguintes dados a) Identifique a variável independente X e a variável dependente Y. b) Com base nos dados, obteve-se o coeficiente de correlação linear de Pearson r=0,7824. Interprete-o. c) O coeficiente de determinação é r2=0,6122, o que significa? d) A equação da reta de regressão que modela o experimento é dada por y=3,2371+0,4631x. Interprete o coeficiente de regressão b. e) Qual é o número de erros esperado para uma pessoa que ficou sem dormir 22 horas? E se ela ficou 36 horas sem dormir? 25. Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos de uma determinada escola: xi 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37 yi 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25 a) Calcule o coeficiente de correlação, o coeficiente de determinação e determine a reta de regressão. b) Escreva as conclusões a que chegou sobre a relação entre essas variáveis. 
Número de erros Horas sem dormir 8 8 6 8 6 12 10 12 8 16 14 16 14 20 12 20 16 24 12 24