Apostila de Cálculo 3 - UFAL

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Ca´lculo 3
x
Q = β(t)
yt
λ(t)
ltλ
z
x
y = x
y
y2 − x2 = 1
z
por
Jose´ Adonai Pereira Seixas
Maceio´-2010
Conteu´do
1 Func¸o˜es Vetoriais 1
1.1 Func¸o˜es Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 O Caso n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 O Caso n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 O Caso n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 O Caso m = 2: Curvas Planas . . . . . . 7
1.2.2 O Caso m = 3: Curvas no Espac¸o . . . . 9
1.4 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 12
2.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . 15
2.3 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . 18
2.4 Interpretac¸a˜o F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Limite e Continuidade 21
3.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Derivadas Parciais 31
4.1 Derivadas Parciais No Plano . . . . . . . . . . 33
4.2 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . 37
4.3 Derivadas Parciais no Espac¸o . . . . . . . . . . 40
4.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . 43
4.6 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 44
Refereˆncias Bibliogra´ficas 45
UFAL – EAD – Ca´lculo 3
J. Adonai
Parte 1: Func¸o˜es Vetoriais
Objetivos Espec´ıficos
• Definir func¸o˜es com Mais de uma Varia´vel •
• Esboc¸ar Gra´ficos e Conjuntos de N´ıvel •
• Estudar Curvas Parametrizadas no Plano e no Espac¸o •
Objetivo Geral
• Introduzir Func¸o˜es Vetoriais •
Maceio´-2010
1
Func¸o˜es Vetoriais (J. Adonai) - 2
Nesta parte, estudaremos as noc¸o˜es ba´sicas relacionadas com fun-
c¸o˜es entre os espac¸os R, R2 e R3. Alguns conjuntos especiais associados
a estas func¸o˜es sera˜o, tambe´m, estudados.
Definic¸a˜o 1.1. Uma func¸a˜o vetorial e´ uma func¸a˜o com domı´nio D
contido no Rn e contradomı´nio Rm, isto e´, uma func¸a˜o do tipo
f : D ⊂ Rn −−−−−→ Rm
X −−−−−→ Y = f(X)
,
onde X ∈ D e n e m podem assumir os valores 1, 2 ou 3.
• Quando m = 1, diremos que f e´ uma func¸a˜o real.
• Quando n = 1, f e´ dita uma func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real.
• A imagem de f , denotada por Im(f), ou por f(D), e´ o conjunto
Im(f) = f(D) = {Y ∈ Rm; Y = f(X), X ∈ D}.
Dizemos, tambe´m, que f parametriza o conjunto Im(f), ou que
Im(f) e´ o conjunto parametrizado por f .
1.1 Func¸o˜es Reais
Nesta sec¸a˜o, vamos estudar os casos onde m = 1, isto e´,
f : D ⊂ Rn −→ R,
onde n = 1, 2, 3.
1.1.1 O Caso n = 1
Este e´ o caso que ja´ estudamos em cursos anteriores. Sa˜o as
func¸o˜es reais de uma vara´vel real. Vejamos alguns exemplos.
(i) f : R −→ R definida por y = f(x) = x2. O gra´fico desta func¸a˜o e´
a para´bola y = x2.
(ii) f : (0,+∞) −→ R definida por y = f(x) = 1
x
. O domı´nio de f
e´ o intervalo aberto (0,+∞) e o seu gra´fico e´ o ramo de uma
hipe´rbole.
(iii) f : [−1, 1] −→ R definida por y = f(x) = √1− x2. O domı´nio de
f e´ o intervalo fechado [−1, 1] e o seu gra´fico e´ a parte superior do
c´ırculo x2 + y2 = 1.
1.1.2 O Caso n = 2
Aqui o domı´nio de f e´ um subconjunto do plano R2 e temos
f : D ⊂ R2 −→ R,
o que chamaremos func¸a˜o real de duas varia´veis. Por simplicidade,
quando o domı´nio de f esta´ bastante claro, escrevemos z = f(x, y),
para indicar a func¸a˜o f .
Exemplo 1.2. Seja f : R2 −→ R definida por f(x, y) = x2+y2. Temos
que f e´ uma func¸a˜o real (de duas varia´veis) cuja imagem coincide com o
intervalo [0,∞), pois x2 + y2 ≥ 0 e quando variamos (x, y) em R2 estes
preenchem todo intervalo [0,∞). Vamos calcular alguns valores de f :
(x, y) f(x, y) = x2 + y2
(0, 0) 02 + 02 = 0
(1, 2) 12 + 22 = 5
(−1, 5) 5
(
√
(2),
√
3) 5
Em muitas ocasio˜es que temos nas ma˜os um func¸a˜o de duas
varia´veis, ficamos interessados em estudar os seus conjuntos de n´ıvel,
que sa˜o as soluc¸o˜es de equac¸o˜es do tipo f(x, y) = c, onde c ∈ R e x
Func¸o˜es Vetoriais (J. Adonai) - 3
e y sa˜o as inco´gnitas. O conjunto das soluc¸o˜es desta equac¸a˜o e´ um
subconjunto do domı´nio de f , claro. Vamos indica´-lo por f−1(c), isto e´,
f−1(c) = {X = (x, y) ∈ D(f); f(x, y) = c}.
Voltemos ao nosso exemplo, onde f(x, y) = x2 + y2. Se c = 1,
enta˜o
f−1(1) = {X = (x, y) ∈ D(f); f(x, y) = 1}
= {X = (x, y) ∈ D(f); x2 + y2 = 1},
que coincide com o c´ırculo centrado na origem e de raio 1. Se c = 2,
enta˜o
f−1(2) = {X = (x, y) ∈ D(f); f(x, y) = 2}
= {X = (x, y) ∈ D(f); x2 + y2 = 2},
que coincide com o c´ırculo centrado na origem e de raio
√
2. Mais
geralmente, se c > 0,
f−1(c) = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = c = (√c)2},
que e´ o c´ırculo centrado na origem e de raio
√
c. Agora, observe que
f−1(c) = ∅, se c < 0, e que f−1(0) = {(0, 0)}.
Figura 1: f(x, y) = x2 + y2
x
√
c
0
1
1f
c
y RR2
Conclusa˜o: os conjuntos de n´ıvel de f(x, y) = x2 + y2 sa˜o o conjunto
vazio, caso onde o n´ıvel c < 0, e c´ırculos centrados na origem e de raio√
c, caso onde c ≤ 0. No segundo caso, a` medida que o n´ıvel cresce os
raios dos respectivos conjuntos de n´ıvel tambe´m crescem. Ainda com
este exemplo, vamos entrar no espac¸o tridimensional R3. Marque os
n´ıveis c no eixo-z e em cada plano z = c coloque o conjunto de c´ıvel
f−1(c), fazendo o seu centro ficar exatamente sobre o ponto (0, 0, c).
Imagine agora a unia˜o de todos os conjuntos de n´ıvel. Formaria uma
superf´ıcie. O que seria ela? Bem, ela e´ o que chamamos de parabolo´ide
de revoluc¸a˜o. Desenhe a para´bola z = x2 no plano-xz (ou z = y2 no
plano-yz) e gire-a em torno do eixo-z. Isto produz o citado parabolo´ide,
x
y
11
√
cc
z = y2z = x
2
z
que chamaremos parabolo´ide de revoluc¸a˜o z = x2 + y2. Portanto, o
parabolo´ide z = x2 + y2, que indicaremos por S, e´ o subconjunto do
espac¸o R3 dado pela unia˜o dos c´ırculos {(x, y, z); x2 + y2 = c, z = c}.
O gra´fico (que definiremos a seguir) de f(x, y) = x2 + y2 e´ exata-
mente esta superf´ıcie, que vemos na figura 1.2 abaixo. Agora, observe
Figura 3: Parabolo´ide de Revoluc¸a˜o z = x2 + y2
x
y
z
que os cortes de S por planos paralelos ao plano-xy sa˜o os n´ıveis de f ,
Func¸o˜es Vetoriais (J. Adonai) - 4
e os cortes, por planos perpendiculares, produzem para´bolas.
Definic¸a˜o 1.3. Dada uma func¸a˜o f : D ⊂ R2 −→ R, o conjunto
G(f) = {(x, y, z); z = f(x, y), (x, y) ∈ D}
e´ chamado gra´fico de f .
Exemplo 1.4. [Hipe´rboles] Dados a, b > 0, vamos definir f(x, y) =
x2
a2
− y2
b2
, e esboc¸ar os conjuntos de n´ıvel f(x, y) = 1 e f(x, y) = −1, isto
e´, os conjuntos f−1(1) e f−1(−1). Este conjuntos sa˜o as hipe´rboles
H1(a, b) = {(x, y); x
2
a2
− y
2
b2
= 1} e H2(a, b) = {(x, y); y
2
b2
− x
2
a2
= 1}.
A figura 1.4 mostra estas hipe´rboles, juntamente com suas retas ass´ıntotas
Figura 4-(a): x
2
a2
− y2
b2
= 1
(a, 0) x
(0, b)
y
Figura 4-(b): y
2
b2
− x2
a2
= 1
(a, 0) x
(0, b)
y
y = ± b
a
x. Quando b = a, temos as hipe´rboles H1(a, a) e H2(a, a), que
sa˜o chamadas hipe´rboles equila´teras. Neste caso, podemos re-escrever
H1(a, a) = {(x, y); x2− y2 = a2} e H2(a, a) = {(x, y); y2− x2 = a2}.
Exemplo 1.5. [Sela] O parabolo´ide hiperbo´lico ou sela (por parecer
com uma sela que usamos para montarias) e´ o gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) = y2 − x2, (x, y) ∈ R2.
Por na˜o ser um subconjunto obtido por rotac¸o˜es, o seu esboc¸o e´ um
pouco mais trabalhoso. Comec¸ando com cortes por planos z = c ≥ 0,
obtemos as hipe´rboles
{(x, y, z); y2 − x2 = c, z = c},
que se degeneram no par de retas y = ±x, quando c =0. Agora, usando
planos c ≤ 0, vemos as hipe´rboles
{(x, y, z); x2 − y2 = c, z = c}.
Ja´ os cortes de G(f) por planos y = c produz para´bolas z = c2 − y2,
que o leitor devera´ esboc¸ar. Finalmente, obtemos a sela.
Figura 5: Parabolo´ide Hiperbo´lico (sela)
x
y = x
y
y2 − x2 = 1
z
1-1 Exerc´ıcio
Resposta
Esboce o gra´fico de z = f(x, y) = 2x2 + y2,
onde (x, y) ∈ R2.
Exemplo 1.6. Vamos agora considerar a func¸a˜o g(x, y) = x2 +y2, com
(x, y) variando no retaˆngulo D = [0, 1] × [0, 1]. A lei desta func¸a˜o e´ a
mesma da func¸a˜o f do exemplo 1.2 . A diferenc¸a entre elas e´ o domı´nio:
f esta´ sendo considerada em R2 e g em D = [0, 1]× [0, 1]. Esta diferenc¸a
fica bastante clara quando olhamos seus gra´ficos:
G(f) = {(x, y, z); z = x2 + y2, (x, y) ∈ R2}
e
G(g) = {(x, y, z); z = x2 + y2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
Func¸o˜es Vetoriais (J. Adonai) - 5
Portanto, podemos dizer que a superf´ıcie z = g(x, y) e´ a parte da su-
perf´ıcie z = f(x, y) que se projeta no retaˆngulo D = [0, 1] × [0, 1]. Em
outras palavras, o gra´fico de g e´ a parte do gra´fico de f que se projeta
sobre [0, 1]× [0, 1]. Finalmente, esboc¸amos o gra´fico de g.
x
(1, 1, 0)(1, 0, 0)
D y
(0, 1, 0)
z = g(x, y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1z
1-2 Exerc´ıcio
Resposta
Esboce o gra´fico de z = h(x, y) = x2 + y2, onde
x2 + y2 ≤ 1.
Exemplo 1.7. As superf´ıcies mais
simples, que sa˜o gra´ficos de func¸o˜es
das varia´veis x e y, sa˜o os planos (ou
parte deles). Considere
z = f(x, y) = 2− x− y,
onde (x, y) varia no triaˆngulo T do
plano com ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
Portanto, o gra´fico de f e´ a parte do x
(2, 0, 0)
(0, 2, 0)T y
(0, 1, 0)
(0, 0, 2)
z = 2− x− y, (x, y) ∈ T
plano z = 2− x− y (ou x + y + z = 2) que se projeta sobre T , olhado
como subconjunto do plano-xy.
1-3 Exerc´ıcio
Resposta
Considere a func¸a˜o constante z = f(x, y) = 2,
onde x2 + y2 ≤ 1. O que seria o gra´fico de f?
Uma forma bastante eficiente de construir func¸o˜es, juntamente
com seus gra´ficos, e´ comec¸ar com uma superf´ıcie definida por uma
equac¸a˜o e explicitar de forma u´nica, em tal equac¸a˜o, z em termos de x e
y, cuidadosamente escolhidos. Assim, teremos uma func¸a˜o f(x, y) = z
e seu gra´fico, que deve ser parte daquela superf´ıcie inicial. Por exemplo,
no exemplo anterior t´ınhamos o plano x + y + z = 2 e explicitamos
z = 2 − x − y e escolhemos (x, y) variando no triaˆngulo T . Vejamos
outro caso a seguir.
Exemplo 1.8. Consideremos a esfera x2 + y2 + z2 = 1, que tem raio 1
e centro na origem. Explicitando z nesta equac¸a˜o, obtemos
z = ±
√
1− (x2 + y2).
Para ter unicidade, vamos considerar apenas
z =
√
1− (x2 + y2).
E´ claro que devemos considerar (x, y) tais que x2 +y2 ≤ 1, o que garante
um bom radicando na definic¸a˜o de z. Portanto,
f(x, y) =
√
1− (x2 + y2), x2 + y2 ≤ 1,
define uma func¸a˜o f cujo gra´fico e´ parte da esfera. Na verdade, tal
gra´fico e´ o hemisfe´rio superior.
Figura 8: A Esfera S2 e o Gra´fico de f(x, y) =
√
1− x2 − y2
xx
(x, y,−
√
1− x2 − y2)
(1, 0, 0)
y(x,y,0)
(0, 1, 0) y
(x, y,
√
1− x2 − y2)
zz
Func¸o˜es Vetoriais (J. Adonai) - 6
Agora, uma questa˜o simples: por que a esfera toda na˜o pode ser gra´fico
de uma func¸a˜o? Bem, da definic¸a˜o 1.3 , os pontos de uma superf´ıcie S
que e´ gra´fico de uma func¸a˜o f sa˜o da forma (x, y, z), onde z = f(x, y)
e (x, y) varia no domı´nio de f . Como f e´ uma func¸a˜o, para uma ponto
(x, y), z assume apenas um valor. Portanto, se trac¸amos uma reta
perpendicular ao plano-xy pelo ponto (x, y, 0) ela intercepta S apenas
em um ponto, aquele de altura z = f(x, y). Isto na˜o ocorre com a esfera
inteira.
1-4 Exerc´ıcio
Resposta
Considere a func¸a˜o
z = f(x, y) =
√
−(x2 + 2x+ y2).
Determine o (maior) domı´nio de f e esboce o superf´ıcie z = f(x, y),
isto e´, o gra´fico de f .
1.1.3 O Caso n = 3
Este e´ o caso em que o domı´nio de f e´ um subconjunto do espac¸o
R3: f : D ⊂ R3 −→ R, que chamaremos func¸a˜o real de treˆs varia´veis.
A`s vezes, escrevemos apenas w = f(x, y, z).
Observac¸a˜o 1.9. Neste caso, a gra´fico de f e´ um subconjunto do
espac¸o euclidiano de quatro dimenso˜es, espac¸o que na˜o estudaremos
neste curso. Portanto, neste caso, olharemos apenas para os conjuntos
de n´ıvel de f :
f−1(c) = {(x, y, z) ∈ D; f(x, y, z) = c},
que, claro, sa˜o subconjuntos de R3 e, em geral, sa˜o superf´ıcies.
Exemplo 1.10. [Planos] Dados as constantes nem todas nulas a, b, c,
os planos da forma ax+ by+ cz = d podem ser olhados como conjuntos
de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y, z) = ax+ by + cz.
Exemplo 1.11. [Cilindros Circulares Retos] Seja w = f(x, y, z) =
x2 + y2. Vamos olhar o conjunto de n´ıvel 1 de f :
S = f−1(1) = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 = 1}.
Observe que o ponto (1, 0, 0) pertence
a este conjunto. Mais ainda, dado
z ∈ R, (1, 0, z) tambe´m pertence a
ele. Desta forma, podemos afirmar
que todos os pontos do espac¸o que se
projetam sobre (1, 0, 0) sa˜o pontos do
conjunto S, isto e´, a reta que passa
por (1, 0, 0) e e´ paralela ao eixo-z e´
subconjunto da nossa superf´ıcie S.
Usando este mesmo racioc´ınio, vemos
x
(1, 0, 0)
(0, 1, 0) y
z
que a superf´ıcie S e´ composta de todas as retas paralelas a eixo-z e
que furam o c´ırculo x2 + y2 = 1 do plano-xy. S e´ o cilindro circular
reto de raio 1 e eixo igual ao eixo-z. Neste ponto, o leitor deve notar a
diferenc¸a entre os conjuntos S, que sa˜o as triplas (x, y, z) que satisfazem
x2+y2 = 1, e o c´ırculo x2+y2 = 1, que sa˜o as duplas (x, y) que satisfazem
a mesma equac¸a˜o. Mais geralmente, o leitor deve verificar que
f−1(c2) = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 = c2}
e´ o cilindro circular reto de raio c.
Observac¸a˜o 1.12. Generalizando o exemplo acima, o leitor deve esbo-
c¸ar o cilindro,
{(x, y, z) ∈ R3; x2 + z2 = c2},
de eixo eixo-y, e o cilindro
{(x, y, z) ∈ R3; y2 + z2 = c2},
de eixo eixo-x.
Exemplo 1.13. [Esferas] Seja
w = f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Func¸o˜es Vetoriais (J. Adonai) - 7
Vamos estudar o conjunto de n´ıvel 1 de f :
f−1(1) = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = 1}.
Este conjunto, como sabemos e´ a esfera de raio 1 centrada em (0, 0, 0),
indicada nos textos de Geometria Diferencial por S2(1) ou, mais sim-
plesmente, S2. Mais geralmente, dado a > 0, o conjunto de n´ıvel a2
de f e´
f−1(a2) = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = a2}
e´ a esfera S2(a), de raio a e centro (0, 0, 0).
Figura 10: A Esfera S2
x
(1, 0, 0)
(0, 1, 0) y
z
Observac¸a˜o 1.14. Generalizando o exemplo anterior, o conjunto
S2(a,X0) = {(x, y, z) ∈ R3; (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = a2}
e´ a esfera de raio a e centro X0.
1.2 Curvas Parametrizadas
Nesta sec¸a˜o, vamos estudar os casos onde n = 1, isto e´,
f : D ⊂ R −→ Rm,
para m = 2 ou 3, onde, em geral, D sera´ um intervalo. Nesta situac¸a˜o,
geralmente, usamos letras gregas para indicar a func¸a˜o, e a varia´vel,
chamada paraˆmetro e´ indicada pela letra t, isto e´, trabalharemos assim:
α : D ⊂ R −→ R2, ou β : D ⊂ R −→ R3, ou γ : D ⊂ R −→ R3... Neste
contexto, a imagem de uma func¸a˜o α recebe o nome de trac¸o. Assim,
escrevemos: trα = Im(α).
1.2.1 O Caso m = 2: Curvas Planas
Este e´ o caso das curvas parametrizadas planas. Portanto, teremos
α : D ⊂ R −−−−−→ R2
t −−−−−→ α(t) = (α1(t), α2(t)).
Assim, x = α1(t) e y = α2(t) sera˜o as func¸o˜es coordenadas de α.
Exemplo 1.15. As curvas parametrizadas mais simples sa˜o as retas,
que sa˜o definidas a partir da equac¸a˜o parame´trica de uma reta. Dados
um vetor −→v na˜o-nulo e um poto P , seja α(t) = P + t−→v , t ∈ R, A
imagem de α,
Im(α) = {X ∈ R2; X = P + t−→v , t ∈ R}
e´ a reta que passa por P e e´ paralela a −→v , e temos o seguinte diagrama,
que mostra o efeito da func¸a˜o α: parametriza a reta l(P,−→v ).
q1p1O x
t α p2
MPR
−→vq2
lPQ = l(P,
−→v )
y
Exemplo 1.16. Seja α(t) = (x0 + a cos t, y0+ b sen t), t ∈ [0, 2pi], onde
a > 0, b > 0, x0 e y0 sa˜o nu´meros reais fixados. A imagem de α,
Im(α) = {(x, y) ∈ R2; x = x0 + a cos t, y = y0 + b sen t, t ∈ R},
coincide com a elipse de semi-eixos a e b, centrada em C = (x0, y0), que
denotaremos por E(C, a, b). De fato, se x e y sa˜o como acima, enta˜o
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= cos2 t+ sen2 t = 1.
Func¸o˜es Vetoriais (J. Adonai) - 8
Quando a = b, ficamos com
α(t) = (x0 + a cos t, y0 + a sen t), t ∈ [0, 2pi]
e obtemos o c´ırculo de raio a. Neste caso, vemos facilmente que podemos
xx0
0 2pi
aαt y0
bR
Im(α)
R2
y
olhar o paraˆmetro t como sendo o aˆngulo entre os vetores
−−−→
Cα(t) e
−→
CA,
a = (x0 + a, y0), indicados na figura abaixo.
α1(t) x
x0
0 2pi a
A = (x0 + a, y0)t y0α
t
R
b
Im(α)
α(t)α2(t)
y
R2
Exemplo 1.17. Uma boa maneira de construir curvas parametrizadas
e´ a partir de uma func¸a˜o y = f(x), onde x varia num certo intervalo I.
A ideia e´ construir uma nova func¸a˜o, agora com imagem em R2, de modo
que esta imagem coincida com a curva y = f(x). Para isto definimos
α(t) = (t, f(t)), t ∈ I. Logo, a imagem de α e´ a curva y = f(x). Neste
caso, dizemos que α parametriza a curva y = f(x).
Figura 1.17: Parametrizando o Gra´fico de y = f(x)
It x
I
t α
f(t)
X = α(t)
y = f(x)y
Em particular, α(t) = (t, t2), t ∈ R, parametriza a para´bola y = x2.
Como exerc´ıcio, repita o diagrama da figura 1.17 para este caso.
Exemplo 1.18. [Ciclo´ide] A ciclo´ide e´ o subconjunto γ do plano R2
percorrido por um ponto P preso a um c´ırculo que rola sem deslizar
sobre uma reta. Na figura 15 , consideramos a ciclo´ide descrita por P
partindo da origem, preso ao c´ırculo centrado em (0, a) e de raio a. Uma
parametrizac¸a˜o para a ciclo´ide pode ser obtida usando como paraˆmetro
o aˆngulo t que o segmento [C,Q], que liga o centro do c´ırculo em mo-
vimento ao ponto de contato deste c´ırculo com o eixo-x, faz com o
segmento [C,P ], que liga C ao ponto mo´vel P . O fato que o c´ırculo rola
Figura 15: Ciclo´ide
a sen t
P = O x(t) Q = (at, 0) P = Q = (2pia, 0)‘Q = (pia, 0) x
tP
y(t) a cos t
a
C C
γ
P
y
sem deslizar e´ usado para garantir que o comprimento do segmento
[O,Q] seja igual ao comprimento do arco de c´ırculo que liga P a Q, o
qual mede at, como vemos na figura. Portanto, o ponto P , no instante t,
vale
P = (x(t), y(t)) = (at− a sen t, a− a cos t).
Func¸o˜es Vetoriais (J. Adonai) - 9
Logo,
α : R −−−−−→ R2
t −−−−−→ α(t) = (at− a sen t, a− a cos t)
parametriza a ciclo´ide γ.
1.2.2 O Caso m = 3: Curvas no Espac¸o
Aqui, temos as curvas parametrizadas no espac¸o, que teˆm a forma
α : D ⊂ R −−−−−→ R2
t −−−−−→ α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t)).
Suas func¸o˜es coordenadas sa˜o x = α1(t), y = α2(t) e z = α2(t).
Exemplo 1.19. Como vimos no caso m = 2, as curvas parametrizadas
mais simples sa˜o as retas, que sa˜o definidas a partir da equac¸a˜o pa-
rame´trica de uma reta. Agora, dados um vetor −→v 6= 0 no espac¸o e um
poto P ∈ R3, a curva parametrizada α(t) = P + t−→v , t ∈ R, parametriza
a reta l(P,−→v ). Vamos estudar
α(t) = (−3t+ 3, 2, t+ 1), t ∈ R.
Observe que podemos re-escrever α como
α(t) = t(−3, 0, 1) + (3, 2, 1), t ∈ R
e, assim, vemos que α parametriza a reta l(P,−→v ), onde P = (3, 2, 1)
x
C = (6, 2, 0)
(6, 0, 0)
(3, 2, 1)
P
A y
B
(0, 0, 2)
l(A,−→v )z
e −→v = −3−→i + −→k . Para determinar o ponto C onde a reta l fura o
plano-xy, simplesmente anulamos a terceira coordenada de α, isto e´,
determinamos t tal que t + 1 = 0. E claro que t deve ser 1. Logo,
C = α(1) = (6, 2, 0). Deixamos que o leitor verifique que B = (0, 2, 2) e´
o ponto onde a reta fura o plano-yz. Note que l e´ uma reta paralela ao
plano-xz. Para exercitar a sua intuic¸a˜o geome´trica, o leitor deve calcular
(sem fazer muita conta) a a´rea do triaˆngulo 4ABC, onde A = (0, 2, 0).
O valor da a´rea e´ 6.
1-5 Exerc´ıcio
Resposta
Esboce o trac¸o das seguintes curvas parametri-
zadas
(a) α(t) = (2 cos t, 2 sen t), 0 ≤ t ≤ pi.
(b) α(t) = (1 + t, 2− t), t ∈ R.
(c) α(t) = (1 + t, 1− t, 3t), t ∈ R.
(d) α(t) = (t, t2), −1 ≤ t ≤ 1.
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 10
Exemplo 1.20. [He´lice] Uma curva
no espac¸o bastante conhecida e´ a he´lice
circular de raio a e passo 2pib e que se
enrola em torno do eixo-z. Ela e´ para-
metrizada por
α : R −−−−−→ R3
t −−−−−→ α(t) = (a cos t, a sen t, bt),
onde a e´ uma constante positiva e b
uma constante na˜o-nula. O seu trac¸o e´
mostrado ao lado. Algumas observac¸o˜es
devem ser feitas. Vamos escrever as
func¸o˜es coordenada de α:
Figura 17: He´lice Circular
x
(a, 0, 0)
(0, a, 0) y
(0, 0, 2pib)
z
x = a cos t, y = a sen t, z = bt.
Donde, obtemos
x2 + y2 = a2.
Esta e´ a equac¸a˜o do cilindro circular reto de raio a (veja o exem-
plo 1.11 ), cujo eixo coincide com o eixo-z. Isto implica que a he´lice e´
subconjunto do cilindro, como indicado na figura. Observe tambe´m que
se olhamos as triplas (x, y, 0) = (a cos t, a sen t, 0), que sa˜o as projec¸o˜es
dos pontos da he´lice sobre o plano-xy, vemos o circulo de raio a, cen-
trado na origem.
Parte 1
Sugesto˜es & Respostas
1-1 Voltar O gra´fico de f e´ um parabolo´ide el´ıptico. Suas sec¸o˜es
por planos paralelos ao plano-xy sa˜o, em geral, elipses.
1-2 Voltar O gra´fico de h e´ a parte do parabolo´ide de revoluc¸a˜o
z = x2 + y2 que se projeta sobre o disco de raio 1 centrado na
origem.
x
y
z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1z
1-3 Voltar O gra´fico de f e´ uma co´pia do disco x2 + y2 ≤ 1 posta
no plano z = 2.
1-4 Voltar O domı´nio de f e´ dado por x2 + 2x + y2 ≤ 0, o que
equivale a (x−1)2 +y2 ≤ 1, que e´ o disco de raio 1 e centro (1, 0).
Agora verifique que
(x− 1) + +y2 + z2 = 1,
o que e´ uma esfera. Agora esboce a superf´ıcie.
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 11
1-5 Voltar
(a) O trac¸o e´ um semi-c´ırculo.
(b) O trac¸o e´ a reta que passa por (1, 2) e e´ paralela ao vetor
(1,−1).
(c) O trac¸o e´ a reta l que passa por (1, 1, 0) e e´ paralela ao vetor
(1,−1, 3).
x
2
y
1
3
z
l
(d) O trac¸o e´ o arco da para´bola y = x2 que se projeta sobre o
intervalo fechado [−1, 1].
UFAL – EAD – Ca´lculo 3
J. Adonai
Parte 2: Ca´lculo das Curvas Parametrizadas
Objetivos Espec´ıficos
• Calcular Derivadas de Curvas Parametrizadas •
• Interpretar geometricamente a Derivada •
• Definir Velocidade e Acelerac¸a˜o •
Objetivo Geral
• Estender a Noc¸a˜o de Derivada do Ca´lculo 1 para Func¸o˜es Vetoriais •
Maceio´-2010
12
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas (J. Adonai) - 13
O objetivo principal desta parte e´ estender os conceitos de limite
e continuidade que conhecemos para func¸o˜es reais de uma varia´vel real,
a`s func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real. Trabalharemos com curvas no
R3. O caso no R2 e´ ana´logo e pode ser visto facilmente pelo leitor.
2.1 Limite e Continuidade
Definic¸a˜o 2.1. Sejam α : D ⊂ R −→ R3 uma func¸a˜o vetorial com
func¸o˜es coordenadas α1, α2, α3, e t0 ∈ R. Se existem
l1 = lim
t→t0
α1(t), l2 = lim
t→t0
α2(t), e l3 = lim
t→t0
α3(t),
diremos que α possui limite em t0, e a tripla
lim
t→t0
α(t) = (l1, l2, l3)
sera´ chamada limite de α em t0.
Exemplo 2.2. Seja α(t) = (cos t, t2 + 2,
sen t
t
), t 6= 0. Como
lim
t→0
cos t = 1, lim
t→0
(t2 + 2) = 2, e lim
t→0
sen t
t
= 1,
segue-se que
lim
t→0
α(t) = (1, 2, 1).
Exemplo 2.3. A func¸a˜o β(t) = (t, sen 2pi
t
), definida em R − {0}, na˜o
tem limite em t0 = 0, visto que sen(
2pi
t
), sua segunda func¸a˜o coordenada
na˜o tem limite neste ponto. Um bom modo de ver isso e´ estudar o
comportamento de β2 ao longo de dois subconjuntos especiais (duas
sequ¨eˆncias) do seu domı´nio, a saber:
e
X1 = {x ∈ R; x = 1
k
, k ∈ N}
X2 = {y ∈ R; y = 4
4k + 1
, k ∈ N},
onde N = {1,2, 3, . . .} e´ o conjunto dos nu´meros naturais. Note que
tanto os elementos de X1 quanto os de X2 ficam bem pro´ximos de t0 = 0
a` medida que o valor de k cresce. Agora, se x = 1/k e´ um elemento de
X1, enta˜o β2(x) = sen(2pi/x) = sen 2kpi = 0. Por outro lado, se y ∈ X2,
enta˜o, β2(y) = 1. Logo, β2(t) na˜o pode se aproximar de um valor bem
definido quando o paraˆmetro t tende a zero, isto e´, β2 na˜o tem limite
em t0 = 0.
Definic¸a˜o 2.4. Sejam α : D ⊂ R −→ R3 uma func¸a˜o com func¸o˜es
coordenadas α1, α2, α3 e t0 ∈ D. Se α1, α2, α3 sa˜o cont´ınuas em t0,
diremos que α e´ cont´ınua em t0. Quando α e´ cont´ınua em todos os
pontos de D, dizemos que α e´ cont´ınua em D.
Exemplo 2.5. A curva parametrizada no R3,
α(t) = (et, cos t+ sen t, 1 + t+ t2), t ∈ R,
e´ cont´ınua em R, pois suas func¸o˜es coordenadas sa˜o cont´ınuas a´ı.
A seguinte proposic¸a˜o decorre facilmente das propriedades do limite
para func¸o˜es reais de uma varia´vel real.
Proposic¸a˜o 2.6. [Operac¸o˜es com Limites] Se α, β : D ⊂ R −→ R3
e h : D −→ R teˆm limite em t0 ∈ R, e a ∈ R, enta˜o, valem as seguintes
propriedades do limite:
(i) lim
t→t0
(α + β)(t) = lim
t→t0
α(t) + lim
t→t0
β(t);
(ii) lim
t→t0
(hα)(t) = lim
t→t0
h(t) lim
t→t0
α(t);
(iii) lim
t→t0
(aα)(t) = a lim
t→t0
α(t);
(iv) lim
t→t0
(α · β)(t) = lim
t→t0
α(t) · lim
t→t0
β(t);
(v) lim
t→t0
(α× β)(t) = lim
t→t0
α(t)× lim
t→t0
β(t).
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas (J. Adonai) - 14
2-1 Exerc´ıcio
Resposta
Calcule os seguintes limites.
(a) limt→0(t2 + 1, cos t−1t , e
t).
(b) limt→1(t2 − 1, log tt−1 , et).
(c) limx→0(
tg x−x
x(1−cosx) ,
log x+1
x
, et−1).
2.2 Derivadas
Ja´ que dispomos da noc¸a˜o de limite, torna-se bastante natural
o conceito de derivada para curvas parametrizadas no R3. A ide´ia e´
trazer esta noc¸a˜o do ca´lculo das func¸o˜es reais de uma varia´vel real, como
ja´ fizemos com limite. Mais precisamente, temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.7. Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada. Dire-
mos que α e´ deriva´vel em t ∈ I se existir o limite
lim
h→0
α(t+ h)− α(t)
h
.
Este limite, quando existe, e´ chamado derivada de α em t, e e´ denotado
por α′(t). Se esta derivada existe em todo ponto de I, diremos que α
e´ deriva´vel em I.
Dados uma curva parametrizada
α : I −−−−−→ R3
t −−−−−→ α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t)),
e t ∈ I, temos, usando as definic¸o˜es de soma de triplas e de produto de
uma tripla por escalar, que
α(t+ h)− α(t)
h
=
1
h
(α1(t+ h)− α1(t), α2(t+ h)− α2(t), α3(t+ h)− α3(t))
= (
α1(t+ h)− α1(t)
h
,
α2(t+ h)− α2(t)
h
,
α3(t+ h)− α3(t)
h
),
o que, diante da definic¸a˜o 2.1 , prova a seguinte proposic¸a˜o, bastante
u´til nos exerc´ıcios.
Proposic¸a˜o 2.8. Uma curva parametrizada α : I −→ R3 e´ deriva´vel
em t ∈ I se, e somente se, suas func¸o˜es coordenadas sa˜o deriva´veis em
t, e vale a identidade:
α′(t) = (α′1(t), α
′
2(t), α
′
3(t)).
Exemplo 2.9. Agora, usando a proposic¸a˜o 2.8 , vamos calcular as de-
rivadas de algumas func¸o˜es.
(i) Se
α(t) = (cos t, sen t, t)
e´ a he´lice de raio 1, sua derivada e´ dada por
α′(t) = (− sen t, cos t, 1).
Em particular, sua derivada em t = pi/2 e´
α′(pi/2) = (−1, 0, 1).
(ii) Se β(t) = (t, t2, t3), enta˜o β′(t) = (1, 2t, 3t2). Em particular, sua
deriva em t = 0 e´ β′(0) = (1, 0, 0).
(iii) Se γ e´ a reta
γ(t) = (1 + 2t, 3 + t),
enta˜o
γ′(t) = (2, 1),
que e´ constante.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas (J. Adonai) - 15
2-2 Exerc´ıcio
Resposta
Calcule as derivadas das seguintes curvas para-
metrizadas.
(a) limt→0(t2 + 1, cos t−1t , e
t).
(b) limt→1(t2 − 1, log tt−1 , et).
(c) limx→0(
tg x−x
x(1−cosx) ,
log x+1
x
, et−1).
2.2.1 Interpretac¸a˜o Geome´trica
Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada deriva´vel em t ∈ I.
Introduzimos aqui o quociente de Newton de α em t, o qual indicaremos
por Q, e e´ definido por
Q(h) =
α(t+ h)− α(t)
h
, h 6= 0, e t+ h ∈ I.
Logo, α′(t) = lim
h→0
Q(h). Portanto, a visualizac¸a˜o de Q(h), para h
pro´ximo de zero, facilitara´ a visualizac¸a˜o do vetor α′(t). Com efeito, na
xq
y
Im(α)
t + ht
α α(t)
R α(t + h)
Q(h)
z α
′(t)
figura acima, vemos o vetor α(t+ h)−α(t) e seu mu´ltiplo Q(h). Agora
e´ so´ deixar a nossa intuic¸a˜o trabalhar, pensando com valores de h pe-
quenos. Isto ocorrendo, as retas que passam por α(t) e α(t + h) se
aproximam da reta tangente ao trac¸o de α em α(t). Portanto, os ve-
tores Q(h) se aproximam de um vetor tangente. Posto isto, podemos
interpretar geometricamente o vetor α′(t) como um vetor tangente ao
trac¸o de α em α(t).
Definic¸a˜o 2.10. Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada deri-
va´vel em t. A derivada α′(t) e´ chamado vetor tangente de α em t. Se
α′(t) 6= 0, a reta que passa pelo ponto α(t) e e´ paralela ao vetor α′(t)
e´ conhecida por reta tangente de α em t. Indicaremos esta reta por
ltα. Assim,
ltα = α(t) + [α
′(t)] = {X ∈ R3; X = α(t) + uα′(t), u ∈ R}.
Observac¸a˜o 2.11. O leitor com pouca experieˆncia deve ficar atento
com relac¸a˜o a` forma como foram indicados os pontos da reta ltα: o
paraˆmetro que descreve seus pontos esta´ sendo indicado por u. O
paraˆmetro t, de α, esta´ fixo e determina um ponto e a direc¸a˜o da reta.
Exemplo 2.12. Consideremos a curva parametrizada
α(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ [0, 2pi],
cujo trac¸o e´ o c´ırculo x2 + y2 = a2. Temos que
α′(t) = (−a sen t, a cos t),
e, fixado t, a reta tangente a α em t e´ dada por
ltα = {X = (a cos t, a sen t) + u(−a sen t, a cos t), u ∈ R}.
Em particular, a reta tangente de α em t = pi/4 e´
lpi/4α = {X = (a
√
2
2
, a
√
2
2
) + u(−a
√
2
2
, a
√
2
2
), u ∈ R}.
A curva parametrizada
β(t) = (a cos t+ at sen t, a sen t− at cos t), t ∈ [0, 2pi],
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas (J. Adonai) - 16
e´ a evolvente de α. Seu vetor tangente em ponto arbitra´rio t e´ dado por
β′(t) = t(a cos t, a sen t),
vetor que e´ perpendicular a α′(t), visto
que
α′(t) · β′(t) = 0.
Observando que
s = ‖α(t)− β(t)‖ = at,
coincide com o comprimento do arco
do c´ırculo ligando P a α(t), como mos-
tra a figura ao lado, podemos interpre-
tar geometricamente a evolvente da
seguinte forma: enrole sobre o c´ırculo
x
t
β(t)
s = at
α(t)
y
um corda˜o de modo que a extremidade livre coincida com P . A seguir,
segure P e desenrole ocorda˜o, mantendo-o sempre esticado. A trajeto´ria
descrita por P e´ exatamente o trac¸o da evolvente. O exemplo que segue
exibe um modo surpreendente de se construir a evolvente β.
Exemplo 2.13. A he´lice circular
λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R,
e´ uma curva parametrizada deriva´vel em R, visto que suas func¸o˜es co-
ordenadas sa˜o deriva´veis. A derivada de λ em t e´
λ′(t) = (−a sen t, a cos t, b).
Portanto, a reta tangente de λ, em t, e´
ltλ = {X = (a cos t− ua sen t, a sen t+ ua cos t, bt+ ub), u ∈ R}.
Note que estamos usando u como paraˆmetro para esta reta. A terceira
coordenada de cada ponto de ltλ e´ z = bt+ ub, a qual se nula para
u = −t. Logo, ltλ intercepta o plano-xy no ponto
Q = (a cos t+ at sen t, a sen t− at cos t, 0),
x
Q = β(t)
yt
λ(t)
ltλ
z
cujas duas primeiras coordenadas sa˜o as coordenadas da evolvente β
do exemplo 2.12 , e obtemos, portanto, outro modo de descrever a
evolvente do c´ırculo: as retas tangente da he´lice cortam o plano-xy ao
longo da evolvente do c´ırculo da he´lice.
Proposic¸a˜o 2.14. [Operac¸o˜es com Derivadas] Considere
α, β : I ⊂ R −→ Rn,
n = 2, ou n = 3, duas curvas parametrizadas deriva´veis em t ∈ I, e
h : I −→ R
tambe´m deriva´vel em t. Enta˜o, valem as seguintes propriedades:
(i) (α + β)′(t) = α′(t) + β′(t);
(ii) (hα)′(t) = h′(t)α(t) + h(t)α′(t);
(iii) (α · β)′(t) = α′(t) · β(t) + α(t) · β′(t);
(iv) (α× β)′(t)= α′(t)× β(t) + α(t)× β′(t).
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas (J. Adonai) - 17
Demonstrac¸a˜o. Veremos apenas a prova de (iii), para n = 2.. As
demais ficam como exerc´ıcio para o leitor. Temos que
(α · β)′(t) = (α1β1 + α2β2)′(t)
= (α1β1)
′(t) + (α2β2)′(t)
= (α′1(t)β1(t) + α1(t)β
′
1(t)) + (α
′
2(t)β2(t) + α2(t)β
′
2(t))
= α′1(t)β1(t) + α
′
2(t)β2(t) + α1(t)β
′
1(t) + α2(t)β
′
2(t)
= α′(t)β(t) + α(t)β′(t),
onde na passagem da segunda para a terceira equac¸a˜o, usamos a de-
rivada do produto de func¸o˜es reais de uma varia´vel real.
corola´rio 2.15. Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada de-
riva´vel em I. α e´ constante se, e somente se, α′(t) = (0, 0, 0), para todo
t ∈ I.
Demonstrac¸a˜o. E´ claro que se α e´ constante, enta˜o sua derivada e´
nula sempre. Vejamos a parte que falta. Se α′(t) = (0, 0, 0), enta˜o
α′1 = 0, α
′
2 = 0 e α
′
2 = 0. Logo, as func¸o˜es coordenadas de α sa˜o
constantes. Portanto α e´ constante.
O corola´rio 2.15 e a proposic¸a˜o a seguir desempenham papel
fundamental em Geometria Diferencial.
Proposic¸a˜o 2.16. Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada
deriva´vel no intervalo I. Enta˜o, α tem norma constante se, e somente
se, α′(t) e´ perpendicular a α(t), para todo t ∈ I. (Geometricamente,
isto significa que a curva α esta´ contido em uma esfera centrada na
origem, enta˜o o vetor tangente de α tambe´m e´ tangente a` esfera.)
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos, inici-
almente, que
‖α(t)‖ = c,
para todo t ∈ I. Isto significa que
trα ⊂ S2(c), onde
S2(c) = {X ∈ R3; ‖X‖ = c}
e´ a esfera de raio c centrada na origem
do R3. Logo,
‖α(t)‖2 = c2.
x
y
α(t)
α′(t)
z
Usando o item (iii) da proposic¸a˜o 2.14, obtemos que 2α(t) · α′(t) = 0,
o que prova que α′(t) e´ perpendicular a α(t). Reciprocamente, se α′(t)
e´ perpendicular a α(t), enta˜o
d ‖α(t)‖2
dt
= 2α′(t) · α(t) = 0.
Isto implica que ‖α(t)‖2 e´ constante, pois I e´ um intervalo.
2-3 Exerc´ıcio
Resposta
Ache os pontos em que a curva parametrizada
α(t) = (2t2, 1 − t, 3 + t2), t ∈ R, intercepta o
plano dado por 3x− 14y + z = 10.
2-4 Exerc´ıcio
Resposta
Encontre a reta tangente de α em t0.
(a) α(t) = (2 cos t, 2 sen t, t), t0 = 0.
(b) α(t) = t(cos t, sen t, 1), t0 = 0.
(c) α(t) = (2t, t2, t3/3), t0 = 1.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas (J. Adonai) - 18
2-5 Exerc´ıcio
Resposta
Considere α(t) = (t, t2, t3), t ∈ R.
(a) Se poss´ıvel, ache P = α(t) onde a tangente a` curva dada e´ paralela
ao vetor A = (4, 4, 3).
(b) Idem, para que a tangente seja ortogonal ao vetor A.
(c) Sendo L a reta tangente a` curva dada em um ponto qualquer
Q 6= α(0), considere o ponto M(t) em que L intercepta o plano
z = 0. Mostre que M(t) = (2t/3, t2/3, 0), t 6= 0, e que tais pontos
descrevem a para´bola definida por 4y = 3x2 e z = 0.
2.3 Derivadas de Ordem Superior
Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada deriva´vel no in-
tervalo I. Posto isto, temos uma nova curva parametrizada definida em
I, a primeira derivada de α:
α′ : I −−−−−→ R3
t −−−−−→ α′(t) = (α′1(t), α′2(t), α′3(t)).
Definic¸a˜o 2.17. Se α′ e´ deriva´vel em t ∈ I, diremos que α e´ duas
vezes deriva´vel em t, e o vetor
α′′(t) = (α′)′(t) = (α′′1(t), α
′′
2(t), α
′′
3(t))
sera´ chamado segunda derivada de α em t. Se α′′(t) existe em todo
t ∈ I, diremos que α e´ duas vezes deriva´vel em I.
As derivadas de ordem mais alta sa˜o definidas indutivamente, de
modo ana´logo ao que se faz para as func¸o˜es reais de uma varia´vel, isto
e´, a segunda derivada e´ a derivada da primeira derivada (como ja´ defini-
mos); a terceira derivada e´ a derivada da segunda... Mais precisamente,
temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.18. Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada p
vezes deriva´vel em I, p ∈ N. Se α(p), a p-e´sima derivada de α, e´
deriva´vel em t, dizemos que α e´ (p+ 1) vezes deriva´vel em t, e o vetor
α(p+1)(t) = (α(p))′(t) = (
d(p+1)α1
dt(p+1)
(t),
d(p+1)α2
dt(p+1)
(t),
d(p+1)α3
dt(p+1)
(t)), t ∈ I
e´ a (p+ 1)-e´sima derivada de α em t.
Exemplo 2.19. Seja λ(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ R, a he´lice circular de
raio 1. E´ claro que λ tem derivadas de todas as ordens em R. Suas
quatro primeiras derivadas, calculadas em um ponto arbitra´rio t, sa˜o:
λ′(t) = (− sen t, cos t, 1)
λ′′(t) = λ(2)(t) = (λ′)′(t) = (− cos t,− sen t, 0)
λ′′′(t) = λ(3)(t) = (λ′′)′(t) = (sen t,− cos t, 0)
λ′′′′(t) = λ(4)(t) = (λ′′′)′(t) = (cos t, sen t, 0).
Exemplo 2.20. Se
β(u) = (u, u2, u3), u ∈ R,
enta˜o
β′(u) = (1, 2u, 3u2),
β′′(u) = (0, 2, 6u),
β′′′(u) = (0, 0, 6)
e
β(p)(u) = (0, 0, 0),
para todo p > 3.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas (J. Adonai) - 19
2.4 Interpretac¸a˜o F´ısica
Seja α : I ⊂ R −→ R3, α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t)), uma curva pa-
rametrizada, duas vezes deriva´vel no intervalo I. Neste ponto, passa-
remos a olhar o paraˆmetro de α como o tempo e o vetor α(t) como o
vetor-posic¸a˜o de uma determinada part´ıcula P , que se move no espac¸o.
Neste caso, os vetores α′(t) e α′′(t) recebem nomes especiais, a saber: o
vetor tangente de α em t, α′(t), e´ cha-
mado vetor velocidade de P no tempo
t, e a segunda derivada de α em t, α′′(t),
e´ chamada vetor acelerac¸a˜o de P em t.
As normas destes vetores sa˜o conheci-
das por velocidade escalar e acelerac¸a˜o
escalar de α (ou P ) em t, respectiva-
mente. A velocidade escalar de α em t
e´ indicada por v(t), e acelerac¸a˜o e´ indi-
cada por a(t). Assim, x
y
α′′(t)
P
α′(t)
z
v(t) = ‖α′(t)‖ e a(t) = ‖α′′(t)‖ , t ∈ I.
Exemplo 2.21. [Movimento Circular Uniforme] Suponha que uma
part´ıcula P se mova ao longo do c´ırculo x2 + y2 = a2, a partir de (a, 0),
no sentido anti-hora´rio, a uma velocidade angular constante ω rad/seg.
Enta˜o, decorridos t segundos, sua posic¸a˜o α(t) deve fazer um aˆngulo
θ(t) = ωt com o eixo-x. Logo,
α(t) = (a cos θ(t), a sen θ(t)) = (a cosωt, a senωt), t ≥ 0.
Portanto, a velocidade e acelerac¸a˜o de
P sa˜o
α′(t) = (−aω senωt, aω cosωt)
α′′(t) = (−aω2 cosωt,−aω2 senωt).
Donde, segue-se que o movimento e´ cen-
tral, isto e´, α′′(t) aponta para o centro
do c´ırculo. Ale´m disto, obtemos que
cos θ x
θ = ωt
sen θ
P
y
v(t) = ‖α′(t)‖ = ωa e a(t) = ‖α′′(t)‖ = ω2a,
que sa˜o as conhecidas expresso˜es da velocidade escalar e da acelerac¸a˜o
escalar de uma part´ıcula em movimento circular uniforme.
Exemplo 2.22. [Movimento Uniforme] Suponhamos que uma par-
t´ıcula P , partindo do ponto Q = (q1, q2, q3), se mova com acelerac¸a˜o
constante −→a = (a1, a2, a3) e que, no momento de sua
partida (t = 0), sua velocidade seja −→v = (v1, v2, v3). O nosso obje-
tivo agora e´, a partir destas informac¸o˜es, determinar a posic¸a˜o de P
num instante t qualquer. Indiquemos, enta˜o, por α(t) a posic¸a˜o de P
no tempo t. Logo,
α(0) = Q = (q1, q2, q3)
α′(0) = −→v = (v1, v2, v3)
α′′(t) = −→a = (a1, a2, a3), ∀t ≥ 0.
Integrando duas vezes a terceira equac¸a˜o acima, vem que
α(t) = C1 + tC2 +
t2
2
−→a , t ≥ 0,
onde C1 = α(0) e C2 = α
′(0). Logo,
α(t) = Q+ t−→v + t2
2
−→a
= (q1 + tv1 +
t2
2
a1, q2 + tv2 +
t2
2
a2, q3 + tv3 +
t2
2
a3),
(E1)
para t ≥ 0. Em particular, se −→v e −→a na˜o sa˜o colineares, resulta que
a trajeto´ria de P (ou o trα) e´ plana. Mais precisamente, ela e´ uma
para´bola no plano que passa por Q e e´ paralelo aos vetores −→v e −→a .
(O que ocorre com tal trajeto´ria se −→v e −→a sa˜o colineares?) Em parti-
cular, podemos deduzir a equac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula que
e´ lanc¸ada para cima, a partir de Q = (0, 0, h0) com velocidade inicial−→v = (0, 0, v0). Neste caso, ela se movera´ ao longo do eixo-z e sua ace-
lerac¸a˜o constante e´ −→a = (0, 0,−g), onde, como sabemos, g ' 9.8 m/s2
e´ a acelerac¸a˜o da gravidade. Usando a equac¸a˜o (E1) , vemos que
α(t) = (0, 0, h0 + tv0 − t
2
2
g), t ≥ 0.
Sugesto˜es & Respostas(J. Adonai) - 20
Portanto, sua posic¸a˜o no eixo-z e´ dada por
z = z(t) = h0 + tv0 − t
2
2
g,
que o leitor, certamente, reconhecera´ do seus estudos de cinema´tica
elementar.
2-6 Exerc´ıcio
Resposta
Uma objeto e´ lanc¸ado de uma altura de 2 m
verticalmente para cima com velocidade v0 =
10 m/s. Calcule a altura em que o objeto estara´ decorridos 2 s. Qual
o tempo que ele levara´ para tocar o solo?
2-7 Exerc´ıcio
Suponha que uma part´ıcula P se mova no espa-
c¸o segundo a parametrizac¸a˜o α(t), t ≥ 0. Ad-
mita que α(0) = (−4,−4, 0), α′(0) = (1,−1,−1) e que sua acelerac¸a˜o
e´ constante α′′(t) = (2, 2, 0).
(a) Mostre que α(t) = (−4 + t+ t2,−4− t+ t2,−t), t ≥ 0.
(b) Considere B1 = {u1, u2, u3} ⊂ R3, onde
u1 = (1,−1,−1), u2 = (−1,−1, 0) e u3 = (−1, 1,−2).
Mostre que B1 e´ uma base ortogonal do R3.
(c) Mostre que α(t) = tu1 + (4− t2)u2.
(d) Conclua que α e´ um arco de para´bola contido no plano
x− y + 2z = 0.
(e) Esboce a trajeto´ria.
Parte 2
Sugesto˜es & Respostas
2-1 Voltar
(a) (1, 0, 1).
(b) (0, 1, e).
(c) (2
3
, 1, 1).
2-2 Voltar
(a) (1, 0, 1).
(b) (0, 1, e).
(c) (2
3
, 1, 1).
2-3 Voltar (2, 0, 4) e (18, 4, 12).
2-4 Voltar
(a) X(u) = (2, 2u, u), u ∈ R.
(b) X(u) = (u, 0, u), u ∈ R.
(c) X(u) = (2 + 2u, 1 + 2u, (1/3) + u), u ∈ R.
2-5 Voltar
(a) Estude a equac¸a˜o α′(t) = λA e obtenha t = 1/2. Portanto,
P = α(1/2).
(b) Mostre que α′(t) · A = 0 e´ imposs´ıvel.
2-6 Voltar h = 7.1 m e t ' 2.22.
UFAL – EAD – Ca´lculo 3
J. Adonai
Parte 3: Limite e Continuidade
Objetivos Espec´ıficos
• Definir Limite e Continuidade para Func¸o˜es Vetoriais •
• Calcular Limites •
Objetivo Geral
• Identificar Func¸o˜es Cont´ınuas •
Maceio´-2010
21
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 22
O objetivo aqui e´ estender os conceitos de limite e continuidade
que conhecemos para func¸o˜es reais de uma varia´vel real, como vimos na
parte 2 do nosso curso de Ca´lculo 1, para as func¸o˜es vetoriais de mais
de uma varia´vel real.
3.1 Limite
O significado intuitivo da notac¸a˜o
lim
X→X0
f(X) = l,
onde f : D ⊂ R2 −→ R, X0 ∈ R2 e l ∈ R, e´ o de proximidade arbitra´ria
entre f(X) e o nu´mero real l, para X = (x, y) ∈ D suficientemente
pro´ximo de X0. Indicando a noc¸a˜o de proximidade entre dois pontos
pela ordem de grandeza de sua distaˆncia, podemos reformular a inter-
pretac¸a˜o inicial: damos uma medida arbitra´ria de proximidade entre
f(X) e l, representada por � > 0, e exigimos que
‖f(X)− l‖ < �, se X ∈ D, e 0 < ‖X −X0‖ < δ,
para algum nu´mero positivo δ. A condic¸a˜o
0 < ‖X −X0‖ < δ
indica que estamos preocupados com o comportamento de f perto de
X0, mesmo que este ponto na˜o pertenc¸a a D. O que e´ preciso, isto sim, e´
que existam pontos de D suficientemente pro´ximos de X0 ou, em outras
palavras, que os pontos de D se acumulem em torno de X0. Neste caso,
chamaremos X0 de ponto de acumulac¸a˜o de D.
Definic¸a˜o 3.1. [Limite] Sejam f : D ⊂ Rn −→ R, n = 2 ou n = 3,
e X0 ∈ Rn um ponto de acumulac¸a˜o de D. Um numero real l e´ dito
limite de f em X0 (ou quando X tende a X0) quando para cada � > 0,
dado arbitrariamente, for poss´ıvel achar δ > 0 —o qual pode depender
de � e X0— tal que
se X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ, enta˜o ‖f(X)− l‖ < �.
Em outras palavras,
∀� > 0, ∃δ > 0 : X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− l‖ < �.
Um numero real l que satisfaz esta condic¸a˜o, quando existe, e´ u´nico
e, portanto, sera´ indicada por lim
X→X0
f(X).
Figura 26: limX→X0 = l
x
X0
l− �
δ
lf
D
l + �
y
Observac¸a˜o 3.2. A definic¸a˜o de limite em nenhum momento indica
como calcular limites. O que ela faz, e´ estabelecer se l, determinado
geralmente por nossa sensibilidade aritme´tica, e´ ou na˜o o limite de f .
O seguinte lema da´ mais uma propriedade da norma de um vetor
(veja o nosso Curso de Geometria Anal´ıtica) que sera´ u´til na tarefa de
computar limites.
Lema 3.3. Se X = (x1, x2, x3) ∈ R3, enta˜o |xi| ≤ ‖X‖, para i = 1, 2, 3.
Demonstrac¸a˜o. Fixando i = 1, i = 2 ou i = 3, temos que
|xi| =
√
x2i ≤
√
x21 + x
2
2 + x
2
3 = ‖X‖ .
o que prova o lema.
Exemplo 3.4. Sejam f : R2 −→ R, f(x, y) = 2x+ y, e X0 = (2, 1). O
nosso bom senso sugere que tomemos como candidato a limite de f em
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 23
X0, o nu´mero l = 5, posto que 2x+ y se aproxima de 5, quando x esta´
perto de 2, e y perto de 1. Inicialmente, observamos que
|f(x, y)− 5| = |2x+ y − 5| = |2(x− 2) + (y − 1)| ≤ 2|x− 2|+ |y − 1|.
Nesta desigualdade, usando o lema 3.3 , fazemos surgir ‖X −X0‖, onde
X = (x, y). De fato, como X −X0 = (x− 2, y − 1), segue-se que
|x− 2| ≤ ‖X −X0‖ e |y − 1| ≤ ‖X −X0‖ .
Logo,
|f(x, y)− 5| ≤ 2|x− 2|+ |y − 1| ≤ 3 ‖X −X0‖ ,
que e´ menor do que �, se ‖X −X0‖ < δ, onde δ = �/3. Logo,
lim
(x,y)→(2,1)
(2x+ y) = 5.
Figura 27: lim(x,y)→(2,1) = 5
2 x
X01
l− �
�/3
5f
D = R2
l + �
y
3-1 Exerc´ıcio
Resposta
Mostre que
lim
(x,y)→(1,2)
(3x+ y) = 5.
3-2 Exerc´ıcio
Resposta
Obtenha um nu´mero infinito de soluc¸o˜es para
as inequac¸o˜es abaixo.
(a) |2x+ y − 5| < 1.
(b) |2x+ y − 5| < 0, 5.
Exemplo 3.5. Seja f(x, y) = xy, (x, y) ∈ R2. Verificaremos que o
limite de f em X0 = (2, 1) e´, como a nossa sensibilidade indica, 2. Como
no exemplo anterior, a ide´ia e´ fazer aparecer em |xy − 2| as expresso˜es
|x − 2| e |y − 1|, e depois, via lema 3.3 , fazer aparecer ‖X −X0‖, o
que permitira´ a escolha de um δ conveniente, para um � > 0 dado. Isto
e´ feito assim:
|xy − 2| = |(x− 2 + 2)(y − 1 + 1)− 2|
= |(x− 2)(y − 1) + (x− 2) + 2(y − 1)|
≤ |(x− 2)||(y − 1)|+ |(x− 2)|+ 2|(y − 1)|
≤ ‖X −X0‖2 + ‖X −X0‖+ 2 ‖X −X0‖
≤ ‖X −X0‖2 + 3 ‖X −X0‖ .
Isto implica que
|xy − 2| ≤ 4 ‖X −X0‖ ,
se ‖X −X0‖ ≤ 1, pois, neste caso, ‖X −X0‖2 ≤ ‖X −X0‖. Portanto,
dado � > 0, somos levados a considerar δ = min{�/4, 1}. Com esta
escolha, se ‖X −X0‖ < δ, obtemos
‖X −X0‖ ≤ 1
e
‖X −X0‖ ≤ �4 ,
o que implica
|xy − 2| ≤ ‖X −X0‖2 + 3 ‖X −X0‖ ≤ 4 ‖X −X0‖ < 4 �
4
= �.
Portanto,
lim
(x,y)→(2,1)
xy = 2.
3-3 Exerc´ıcio
Resposta
Mostre que
lim
(x,y)→(1,2)
(xy) = 2.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 24
3-4 Exerc´ıcio
Resposta
Mostre que
lim
(x,y)→(2,1)
(2x+ y + xy) = 7.
Exemplo 3.6. Seja f : R2 −→ R definida por
f(x, y) =

xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Se f tem limite em (0, 0), este deve ser zero, porque f se anula, por
exemplo, ao logo do eixo-x. Vamos verificar que f na˜o possui limite em
(0, 0). Para isto, estudaremos o comportamento de f ao longo da reta
y = x, que, claro, passa pela origem. Ao longo desta reta, para x 6= 0,
temos que
f(x, y) = f(x, x) =
xx
x2 + x2
=
x2
2x2
=
1
2
.
Isto implica que f na˜o pode ter limite em (0, 0), pois se nos aproximamos
da origem ao longo de y = x, f vale 1/2.
Proposic¸a˜o 3.7. [Sandu´ıche] Se f, g, h : D ⊂ Rn −→ R (n = 2, 3)
sa˜o func¸o˜es reais tais que
f(X) ≤ g(X) ≤ h(X), ∀X ∈ D − {X0},
e f e h teˆm o mesmo limite l em X0 ∈ D′, enta˜o l tambe´m e´ o limite
de g em X0. (Nas aplicac¸o˜es, este resultado sera´ usado na forma do
seguinte diagrama:
f ≤ g ≤ h
? ?
X −→ X0.)
l l
?
l
Demonstrac¸a˜o. Seja � > 0. Temos que existe δ > 0 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ |f(X)− l| < � e |h(X)− l| < �.
Logo, para X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ, temos
f(X) ∈ (l − �, l + �) e h(X) ∈ (l − �, l + �).
Como f(X) ≤ g(X) ≤ h(X), para todo X ∈ D − {X0}, vem que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ g(X) ∈ (l − �, l + �)
e, portanto, limX→X0 g(X) = l.
Exemplo 3.8. Seja f : R2 −→ R definida por
f(x, y) =

xy√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Estudaremos o limite de f em (0, 0). Tal limite, se existir, deve ser zero,
porque f se anula, por exemplo, ao longo do eixo-x. Logo, devemos
estudar o comportamento de |f(x, y)|, para valores de (x,y) pro´ximos
de (0, 0). Se X = (x, y) 6= (0, 0), enta˜o
|f(X)| =
∣∣∣∣∣ xy√x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x| |y|‖X‖ ≤ ‖X‖ ‖X‖‖X‖ = ‖X‖ .
Portanto, temos o “sandu´ıche”:
0 ≤ f ≤ ‖X‖
? ?
X −→ 0.
0 0
?
0
Donde lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0. Compare com o exemplo 3.6 .
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 25
Teorema 3.9. [Operac¸o˜es com Limites] Sejam f, g : D ⊂ Rn −→ R
(n = 2, 3). Se limX→X0 f(X) = l1 e limX→X0 g(X) = l2, enta˜o
(i) limX→X0(f(X) + g(X)) = l1 + l2;
(ii) limX→X0 f(X)g(X) = l1l2;
(iii) limX→X0
f(X)
g(X)
= l1
l2
, se l2 6= 0 e g(X) 6= 0, para X perto de X0.
Demonstrac¸a˜o. Faremos apenas a prova de (i). Seja � > 0. Temos
que existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ1 =⇒ ‖f(X)− l1‖ < �
2
,
e
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ2 =⇒ ‖g(X)− l2‖ < �
2
.
(Note que aplicamos simplesmente a definic¸a˜o de limite para f e g,
obtendo δ1 e δ2, a partir de �/2.) Tomando δ = min{δ1, δ2} as duas
implicac¸o˜es obtidas ocorrem simultaneamente, isto e´,
0 < ‖X −X0‖ < δ ⇒ ‖f(X)− l1‖ < �
2
e ‖g(X)− L2‖ < �
2
.
Logo, para X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ, obtemos
‖f(X) + g(X)− (l1 + l2)‖ ≤ ‖f(X)− l1‖+ ‖g(X)− l2‖ < �
2
+
�
2
= �.
Isto significa que limX→X0(f(X) + g(X)) = l1 + l2.
3-5 Exerc´ıcio
Resposta
Usando o item (i) do teorema 3.9 e os exem-
plos 3.4 e 3.5 , reobtenha que
lim
(x,y)→(2,1)
(2x+ y + xy) = 7.
3-6 Exerc´ıcio
Resposta
Verifique os seguintes limites:
(a) lim(x,y)→(0,2)
x+y
x−y = −1.
(b) lim(x,y)→(1,1)
x2−y2
x2+y2
= 0.
(c) lim(x,y)→(1,a)
(x−1)2(y+1)2
(x−1)4+(y+1)2 = 0.
(d) lim(x,y)→(2,1)
xy−x−2y+2√
x2+y2−4x−2y+5
= 0.
(e) lim(x,y)→(0,0)
x sen y√
x2+y2
= 0;
(f) lim(x,y)→(0,0)
ex cos y−1−x√
x2+y2
= 0.
(g) lim(x,y)→(1,2,3)(x+ y + z) = 6.
3.2 Continuidade
Sejam f : D ⊂ Rn −→ R (n = 2, 3) e X0 ∈ D. No estudo que
faremos agora, ale´m de nossa preocupac¸a˜o com o comportamento de f
em pontos pro´ximos de X0, teremos, tambe´m, nossa atenc¸a˜o voltada
para o valor que ela assume neste ponto.
Definic¸a˜o 3.10. Func¸a˜o Cont´ınua Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e X0 ∈
D. Dizemos que f e´ cont´ınua em X0 se uma das seguintes alternativas
ocorrer:
(i) X0 e´ ponto isolado de D;
(ii) X0 e´ ponto de acumulac¸a˜o de D e lim
X→X0
f(X) = f(X0).
(A condic¸a˜o (i) na˜o e´ de grande interesse. Ela e´ posta a´ı para que a
noc¸a˜o de continuidade fac¸a sentido em qualquer ponto de D, mesmo
naqueles isolados.) Dizemos que f e´ cont´ınua em D se ela for cont´ınua
em todos os pontos de D.
Exemplo 3.11. Os exemplos mais simples de func¸o˜es cont´ınuas sa˜o
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 26
as func¸o˜es constantes. Se f(X) = c ∈ R, X ∈ Rn (n = 2, 3), enta˜o
limX→X0 f(X) = limX→X0 c = c = f(X).
Exemplo 3.12. Seja f : R2 −→ R definida por f(x, y) = 2x + y. No
exemplo 3.4 vimos que lim(x,y)→(2,1) f(x, y) = 5 e, como o leitor pode
verificar facilmente, f(2, 1) = 5. Logo, f e´ cont´ınua em (2, 1). Na
verdade, f e´ cont´ınua em todo ponto do R2.
Exemplo 3.13. Seja f : R2 −→ R definida por f(x, y) = xy. No exem-
plo 3.5 vimos que lim(x,y)→(2,1) f(x, y) = 2 e, claro, f(2, 1) = 2. Logo,
f e´ cont´ınua em (2, 1). Na verdade, f e´ cont´ınua em todo ponto do R2.
Exemplo 3.14. [Continuidade da Norma] A norma euclidiana e´
uma func¸a˜o real cont´ınua. Para o R3, no´s temos que a func¸a˜o
f : R3 −−−−−→ R
X −−−−−→ f(X) = ‖X‖ =
√
x2 + y2 + z2
e´ cont´ınua. De fato, a desigualdade triangular | ‖X‖−‖X0‖ | ≤ ‖X −X0‖
produz o seguinte “sandu´ıche”:
0 ≤ | ‖X‖ − ‖X0‖ | ≤ ‖X −X0‖
? ?
X −→ X0.
0 0
?
0
Logo, se X0 = (a, b, c), devemos ter
lim
(x,y,z)→(a,b,c)
√
x2 + y2 + z2 =
√
a2 + b2 + c2 = ‖X0‖ = f(X0)
e, portanto, f e´ cont´ınua.
Exemplo 3.15. [Continuidade das func¸o˜es lineares] Dadas as con-
tantes c1, c2 e c3, a func¸a˜o real definida em R3 por
f : R3 −−−−−→ R
(x, y, z) −−−−−→ f(x, y, z) = c1x+ c2y + c3z
e´ cont´ınua. Inicialmente, observe que, para X = (x, y, z), f(X) = C ·X,
onde C = (c1, c2, c3). Logo, usando a desigualdade de Cauchy-Schawarz,
obtemos, pondo X0 = (a, b, c),
|f(X)− f(X0)| = |C · (X −X0)| ≤ ‖C‖ ‖X −X0‖ ,
o que da´ o seguinte “sandu´ıche”:
0 ≤ |f(X)− f(X0)| ≤ ‖C‖ ‖X −X0‖
? ?
X −→ X0.
0 0
?
0
Logo,
lim
(x,y,z)→(a,b,c)
(c1x+ c2y + c3z) = c1a+ c2b+ c3c = f(X0)
e, portanto, f e´ cont´ınua. Em particular, as treˆs projec¸o˜es
p1(x, y, z) = x, p2(x, y, z) = y e p3(x, y, z) = z,
(x, y, z) ∈ R3, sa˜o func¸o˜es cont´ınuas (por queˆ?).
As condic¸o˜es (i) e (ii) na definic¸a˜o de continuidade (definic¸a˜o 3.10 )
podem ser agrupadas em uma so´ condic¸a˜o, na linguagem de �’s e δ’s,
como mostra a seguinte proposic¸a˜o, a qual conte´m a forma que alguns
textos adotam para definir continuidade.
Proposic¸a˜o 3.16. Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e X0 ∈ D. f e´ cont´ınua
em X0 se, e somente se, para cada � > 0, dado arbitrariamente, for
poss´ıvel obter δ > 0 —o qual pode depender de � e X0— tal que
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �.
Em outras palavras,
∀� > 0, ∃δ > 0 : ‖X −X0‖ < δ ⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �. (E2)
(Trocando f(X0) por L, ha´ apenas uma pequena diferenc¸a entre (E2)
e a definic¸a˜o 3.1 : la´ e´ exigido que 0 < ‖X −X0‖ < δ.)
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 27
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos, inicialmente, que f e´ cont´ınua em
X0. Temos dois casos a considerar: (i) X0 e´ ponto isolado de D; (ii)
X0 ∈ D′ e limX→X0 f(X) = f(X0). Seja � > 0, arbitra´rio. Se X0 e´
ponto isolado de D, vem que existe δ > 0 tal que D∩B(X0, δ) = {X0}.
Logo,
‖X −X0‖ < δ ⇒ X = X0 ⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ = 0 < �,
e (E2) e´ satisfeita trivialmente. Se ocorre (ii), usamos a definic¸a˜o 3.1
para obter δ > 0 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �.
Mas para X = X0, ‖f(X)− f(X0)‖ = 0 < �. Logo,
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �,
e obtemos outra vez (E2) .
Suponhamos, agora, que (E2) seja verificada. Se X0 e´ ponto
isolado, f e´ cont´ınua em X0, por definic¸a˜o. Suponhamos, enta˜o, que
X0 ∈ D′, e seja � > 0 um nu´mero positivo arbitra´rio. Como (E2)
esta´ valendo, existe δ > 0 tal que
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �.
Por maior raza˜o,
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �,
isto e´, lim
X→X0
f(X) = f(X0).
Teorema 3.17. [Operac¸o˜es com Func¸o˜es Cont´ınuas] Se D ⊂ Rn
(n = 2, 3) e f, g : D −→ R sa˜o func¸o˜es cont´ınuas no ponto X0 ∈ D,
enta˜o as seguintes aplicac¸o˜es sa˜o cont´ınuas em X0.
(i) [Soma]
f + g : D −−−−−→ R
X −−−−−→ (f + g)(X) = f(X) + g(X);
(ii) [Produto]
fg : D −−−−−→ Rm
X −−−−−→ (fg)(X) = f(X)g(X);
(iii) [Quociente]
f
g
: D −−−−−→ R
X −−−−−→ f
g
(X) =
f(X)
g(X)
,
se g(X) 6= 0, para todo X ∈ D.
Demonstrac¸a˜o. Se X0 e´ isolado, na˜o ha´ o que fazer. Suponha-
mos, enta˜o, X0 ∈ D′. Como f e g sa˜o cont´ınuas em X0, vem que
limX→X0 f(X) = f(X0) e limX→X0 g(X) = g(X0). Usando o item (i)
do teorema 3.9 , obtemos que
lim
X→X0
(f + g)(X) = lim
X→X0
f(X) + lim
X→X0
g(X) = f(X0) + g(X0).
Como (f + g)(X0) = f(X0) + g(X0), segue-se a continuidade de f + g
em X0. Fazendo uso dos demais itens do citado teorema, resultam (ii)
e (iii).
Exemplo 3.18. Uma func¸a˜o polinomial em R2 e´ uma func¸a˜o real do
tipo
p(x, y) = a00+a10x+a01y+a20x
2+a11xy+a02y
2+· · ·+ad0xd+· · ·+a0dyd,
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 28
onde (x, y) ∈ R2 e aij ∈ R sa˜o constantes, para 1 ≤ i, j ≤ d, com
i, j, d ∈ N. Abreviadamente, p pode ser posto sob a seguinte forma:
p(x, y) =
d∑
k=1
(∑
i+j=k
aijx
iyj
)
, (x, y) ∈ R2.
Usando as duas projec¸o˜es do R2, dadas por p1(x, y) = x e p2(x, y) = y,
podemos reescrever p como
p(x, y) =
d∑
k=1
(∑
i+j=k
aij(p1(x, y))
i(p2(x, y))
j
)
.
Esta forma de olhar p mostra que p e´ uma soma de produtos envolvendo
as projec¸o˜es p1 e p2, que sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em todo R2, como vimos
no exemplo 3.15 . Logo, p tambe´m e´ cont´ınuoem R2, o que resulta do
teorema 3.17 . Em R3, uma func¸a˜o polinomial e´ dada por
p(x, y, z) =
d∑
k=1
( ∑
i1+i2+i3=k
ai1i2i3x
i1yi2zi3
)
, (x, y, z) ∈ R3,
para constantes ai1i2i3 ∈ R e 1 ≤ i1, i2, i3 ≤ d, com i1, i2, i3, d ∈ N.
Usando argumentos ana´logos a`queles que usamos para as func¸o˜es poli-
nomiais em R2, segue-se que p e´ cont´ınua em todo R3. Em particular,
p(x, y, z) = x2 − xy2z + 4z3 − 2x7y3z e´ cont´ınua.
Exemplo 3.19. Seja f(x, y) = xy−x−2y+2
x2+y2−4x−2y+5 . Temos que
f(x, y) =
(x− 2 + 2)(y − 1 + 1)− (x− 2 + 2)− 2(y − 1 + 1) + 2
(x− 2)2 − 4 + (y − 1)2 − 1 + 5
=
(x− 2)(y − 1)
(x− 2)2 + (y − 1)2
Logo, f esta´ bem definida em todo R2, exceto no ponto (2, 1). Definindo
f(2, 1) = 0, f fica bem definida em R2. De x2 + y2 − 4x− 2y + 5 > 0,
se (x, y) 6= (2, 1), resulta do teorema 3.17 que f e´ cont´ınua no conjunto
R2 − {(2, 1)}. Agora, estudaremos o comportamento de f ao longo de
duas retas que passam por (2, 1). Ao longo de x = 2, f se anula, e ao
longo da reta y = x− 1,
f(x, y) = f(x, x− 1) = (x− 2)(x− 2)
(x− 2)2 + (x− 2)2 =
(x− 2)2
2(x− 2)2 =
1
2
.
Logo, f na˜o tem limite em (2, 1) e, portanto, na˜o e´ cont´ınua a´ı.
Vejamos mais uma pec¸a u´til para a verificac¸a˜o da continuidade
de certas func¸o˜es, a partir do conhecimento da continuidade de outras.
Com antes, n assumira´ os valores 2 ou 3.
Proposic¸a˜o 3.20. Sejam f : D ⊂ Rn −→ R e g : J ⊂ R −→ R, J um
intervalo, tais que f(D) ⊂ J . Sejam X0 ∈ D e y0 = f(X0) ∈ J . Se f e´
cont´ınua em X0 e g e´ cont´ınua em y0, enta˜o g ◦ f e´ cont´ınua em X0.
Demonstrac¸a˜o. Usaremos a caracterizac¸a˜o de continuidade dada
pela proposic¸a˜o 3.16 . Para isto, seja � > 0. Como g e´ cont´ınua em
y0 = f(X0), existe δ1 > 0 tal que
y ∈ J, |y − y0| < δ1 =⇒ |g(y)− g(y0)| < �. (E3)
Ja´ a continuidade de f em X0 produz δ > 0 tal que
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ = ‖f(X)− y0‖ < δ1.
Logo, se y = f(X), para X ∈ D e ‖X −X0‖ < δ, vale
‖y − y0‖ = ‖f(X)− f(X0)‖ < δ1,
a qual, via (E3) , implica que
|g(y)− g(y0)| = |(g ◦ f)(X)− (g ◦ f)(X0)| < �.
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 29
Em resumo, temos que, para � > dado, existe δ > 0 tal que
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ |(g ◦ f)(X)− (g ◦ f)(X0)| < �,
isto e´, g ◦ f e´ cont´ınua em X0.
Exemplo 3.21. A func¸a˜o
f(x, y) =

xy√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Do exemplo 3.6 , segue-se que f e´ cont´ınua na origem. Agora, note que
ela e´ cont´ınua nos demais pontos de R2, De fato, fora da origem f e´
o quociente (com denominador na˜o-nulo) de duas func¸o˜es cont´ınuas, a
saber: a func¸a˜o polinomial p(x, y) = xy e a norma g(x, y) = ‖(x, y)‖,
que sa˜o cont´ınuas, o que vem de 3.18 e 3.14 , respectivamente.
Exemplo 3.22. Seja h(x, y, z) =
√
1 + x2 + y2 + z2, (x, y, z) ∈ R3.
Note que h = g◦p, onde g : [0,+∞) −→ [0,+∞) e´ dada por g(t) = √t, e
p : R3 −→ R e´ a func¸a˜o polinomial p(x, y, z) = 1+x2+y2+z2 > 0. Como
g e p sa˜o cont´ınuas, segue-se que h e´ cont´ınua, de acordo com a proposi-
c¸a˜o 3.20 . A continuidade de g e´ conhecida do curso de Ca´lculo 1.
3-7 Exerc´ıcio
Resposta
Usando o teorema 3.20 , motre que
h(x, y, z) = log(1 + x2 + y2 + z2), (x, y, z) ∈ R3,
e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Parte 3
Sugesto˜es & Respostas
3-1 Voltar Inicialmente mostre que
|3x+ y − 4| ≤ 3|x− 1|+ |y − 2| ≤ 4 ‖X −X0‖ ,
onde X = (x, y) e X0 = (1, 2). Portanto, para � > 0 dado, tome
δ = �/4.
3-2 Voltar
(a) Como lim(x,y)→(2,1)(2x+y) = 5, de acordo com o exemplo 3.4 ,
podemos garantir que todo elemento do disco aberto centrado
em (2, 1) e de raio 1/3 e´ soluc¸a˜o.
3-3 Voltar Use os argumentos do exemplo 3.5 .
3-4 Voltar Mostre inicialmente que, para X = (x, y) e X0 = (2, 1),
vale
|2x+ y + xy − 7| ≤ 6 ‖X −X0‖+ ‖X −X0‖2 .
Agora use os argumentos do exemplo 3.5 , usando δ = min{1, �/6}.
3-5 Voltar De fato,
lim
(x,y)→(2,1)
(2x+y+xy) = lim
(x,y)→(2,1)
(2x+y)+ lim
(x,y)→(2,1)
(xy) = 5+2 = 7.
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 30
3-6 Voltar
(a) Voceˆ pode usar o limite de quociente. Se voceˆ prefere montar
um “sandu´ıche” perto de (0, 2), ponha X = (x, y) e X0 =
(0, 2). Temos que |x+y
x−y − (−1)| = | 2xx−y | < |2x|, se 1 < |x− y|,
o que e´ poss´ıvel ser feito, para X perto de X0, pois
lim
X→X0
(y − x− 2) = 0.
De fato, existe δ0 > 0 tal que se ‖X −X0‖ < δ0, enta˜o, |y −
x− 2| < 1. Donde 2− |y − x| ≤ |2− y + x| = |y − x− 2| < 1
e, portanto, |y − x| > 1.
(b) Mostre
∣∣∣x2−y2x2+y2 ∣∣∣ ≤ 2√x2+y2 |x−y|, e trabalhe numa bola centrada
em (1, 1) onde ‖X‖ > √2/2 (que bola e´ essa?). Logo, nesta
bola,
∣∣∣x2−y2x2+y2 ∣∣∣ ≤ √2 |x−y|. Donde segue-se o limite procurado.
(c) Mostre que
∣∣∣ (x−1)2(y+1)2(x−1)4+(y+1)2 ∣∣∣ ≤ (x− 1)2.
(d) A ide´ia e´ fazer aparecer |x − 2| e |y − 1| na expressa˜o dada,
o que por sua vez forc¸a o aparecimento de ‖(x, y)− (2, 1)‖.
Temos que∣∣∣∣ xy−x−2y+2√x2+y2−4x−2y+5
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (x−2+2)(y−1+1)−(x−2+2)−2(y−1+1)+2√(x−2)2−4+(y−1)2−1+5
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ (x−2)(y−1)√(x−2)2+(y−1)2
∣∣∣∣
= |(x−2)||(y−1)|√
(x−2)2+(y−1)2
≤ ‖(x,y)−(2,1)‖2‖(x,y)−(2,1)‖ ≤ ‖(x, y)− (2, 1)‖ .
(e) Ponha X = (x, y). Basta mostrar que | x sen y√
x2+y2
| ≤ | sen y|.
(Lembre que |x| ≤ ‖X‖.)
(f) ∣∣∣∣ ex cos y−1−x√x2+y2
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ex−1−x√x2+y2
∣∣∣∣+ ex ∣∣∣∣ y seny√x2+y2
∣∣∣∣
≤ ∣∣ ex−1−x
x
∣∣+ ex ∣∣∣∣ y seny√x2+y2
∣∣∣∣ ,
onde 0 < |y| < |y|. (Voceˆ lembra do teorema do valor me´dio?)
3-7 Voltar De fato, h e´ a composta de g(t) = log t, t > 0, com o
polinoˆmio f(x, y, z) = 1 + x2 + y2 + z2. Voceˆ poderia explicar por
que a composta esta´ bem definida?
UFAL – EAD – Ca´lculo 3
J. Adonai
Parte 4: Derivadas Parciais
Objetivos Espec´ıficos
• Definir Derivadas Parciais •
• Calcular Derivadas Parciais •
• Interpretar Geometricamente as Derivadas Parciais •
• Construir o Vetor Gradiente •
Objetivo Geral
• Estender a Noc¸a˜o de Derivada para Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis •
Maceio´-2010
31
Derivadas Parciais (J. Adonai) - 32
Nesta parte, estudaremos derivadas parciais de uma func¸a˜o real de
va´rias varia´veis reais. Tudo sera´ feito a partir da noc¸a˜o de derivada que
estudamos no nosso curso de Ca´lculo 1. Pariremos com um exemplo,
para mostra como fazemos isto.
Consideremos a func¸a˜o de duas varia´veis
f(x, y) = x2 + xy2 + 1, (x, y) ∈ R2.
Fixemos X0 = (1, 2), e vamos estudar o comportamento de f quando
variamos (x, y) saindo de X0, paralelamente ao eixo-x. Isto significa es-
tudar o comportamento de f em pontos da forma X = (x, 2). Portanto,
devemos estudar a func¸a˜o de uma varia´vel
g1(x) = f(x, 2) = x
2 + 4x+ 1, x ∈ R.
Observe que
dg1
dx
= g′1(x) = 2x+ 4.
Em particular, em x = 1, obtemos
dg1
dx
(1) = g′1(1) = 6.
1 x
(x, 2)
2
(1, y)
y
Bem, ja´ que esta derivada em x = 1 foi obtida a partir de f(x, y), com
y = 2, vamos indica´-la da seguinte forma:
∂f
∂x
(1, 2) = 6,
o que leremos: a derivada parcial de f com relac¸a˜o a x em (1, 2) e´ igual
a seis. (Note o novo s´ımbolo ∂, popularmente chamado “d redondo
(round)”, no lugar do d para indicar a derivac¸a˜o.) Da mesma forma,
calculamos a derivada parcial de f com relac¸a˜o a y em (1, 2). Ainda
olhando para f , fazemos
g2(y) = f(1, y) = 2 + y
2,
derivamos g2 em y = 2 e obtemos
dg2
dy
(2) = g′2(2) = 4
Portanto,
∂f
∂y
(1, 2) = 4.
Mais geralmente, se queremos as derivadas parciais num ponto qualquer
(x, y), simplesmente olhamos uma das varia´veis como constante e deri-
vamos a func¸a˜o de uma varia´vel resultante. Assim, ainda trabalhando
com f , teremos
∂f
∂y
(x, y) =
d(x2 + xy2 + 1)
dx
= 2x+ y2
∂f
∂y
(x, y) =
d(x2 + xy2 + 1)
dy
= 2xy.
Observe que podemos reobter as derivadas parciais em (1, 2), a partir
destas fo´rmulas. Fac¸a-o.
4-1 Exerc´ıcio
Resposta
Considere de
f(x, y) = x2 sen(y) + ex + 2, (x, y) ∈ R2.
(a) Calculeas derivadas parciais em X0 = (1, 0).
(b) Calcule as derivadas parciais em X0 = (x, y).
As func¸o˜es g1 e g2, postas acima, sa˜o as func¸o˜es auxiliares associ-
adas a f . Como, a func¸a˜o f que estudamos esta´ definida em todo R2,
suas func¸o˜es auxiliares esta˜o definidas em todo R.
Como vimos no nosso Curso de Ca´lculo 1, para derivarmos um
func¸a˜o em um ponto, precisamos conhecer a func¸a˜o, apenas, perto de tal
Derivadas Parciais (J. Adonai) - 33
ponto, o que permite fazer o limite de seu quociente de Newton naquele
ponto. Portanto, para o ca´lculo das derivadas parciais de uma certa
func¸a˜o f de mais de uma varia´vel em um ponto X0, basta conhecermos
a func¸a˜o perto de X0, dentro de um pequeno disco centrado nele, por
exemplo. Na verdade, basta conhecermos f em pequenos segmentos de
reta, paralelos aos eixos coordenados e centrados em X0.
Na exposic¸a˜o que faremos a seguir, sempre admitiremos que o
domı´nio D, de
f : D ⊂ R2 −→ R,
conte´m um disco de raio δ > 0 centrado em X0 = (a, b), ponto onde
sera´ efetuada a derivada parcial.
xaa− δ a + δ
b− δ
δb
f(X0)X0
f
b + δ
D
Ry
4.1 Derivadas Parciais em R2
Seja g : I ⊂ R −→ R uma func¸a˜o real de uma varia´vel real defi-
nida no intervalo I. A derivada de g em a ∈ I e´ definida por
g′(a) = lim
∆x→0
g(a+ ∆x)− g(a)
∆x
= lim
h→0
g(a+ h)− g(a)
h
,
quando o limite existe. Nesta definic¸a˜o, supomos que o acre´scimo h e´
tal que a + h ∈ I. Satisfeita esta hipo´tese, h e´ arbitra´rio, podendo ser
positivo ou negativo, a menos que a seja uma das extremidades de I.
Observac¸a˜o 4.1. Neste curso, adotaremos, tambe´m, a letra h, no lu-
gar de ∆x, para indicar o acre´scimo na definic¸a˜o de derivada.
Formalizaremos, agora, a noc¸a˜o de derivada parcial. Seja
f : D ⊂ R2 −→ R
uma func¸a˜o definida em D. Fixemos X0 = (a, b) ∈ D. Como combina-
mos, existe algum disco de raio δ > 0 e centro X0 contido em D. Assim,
podemos escrever os quocientes de Newton de f , relativos a x e y, em
torno de X0:
Q1(h) =
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
, 0 < |h| < δ,
e
Q2(k) =
f(a, b+ k)− f(a, b)
k
, 0 < |k| < δ.
Para verQ1 eQ2 como quocientes de Newton de func¸o˜es de uma varia´vel,
introduzimos duas func¸o˜es auxiliares, as quais indicaremos por g1 e g2,
definidas da seguinte forma:
g1 : (a− δ, a+ δ) −−−−−→ R
x −−−−−→ g1(x) = f(x, b)
(E4)
e
g2 : (b− δ, b+ δ) −−−−−→ R
y −−−−−→ g2(y) = f(a, y).
(E5)
Logo, Q1 e´ o quociente de Newton de g1 em a, e Q2 e´ o quociente
de Newton de g2 em b. Isto posto, podemos definir derivada parcial.
Definic¸a˜o 4.2. Se Q1 tem limite quando h tende a zero, dizemos que
f tem derivada parcial com relac¸a˜o a x em X0 = (a, b). O valor do
limite, indicado por ∂f
∂x
(a, b), por fx(a, b), ou por D1f(a, b), e´ chamado
derivada parcial de f com relac¸a˜o a x em X0. Em outras palavras,
∂f
∂x
(a, b) = lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
,
quando o limite existe.
Derivadas Parciais (J. Adonai) - 34
Definic¸a˜o 4.3. Se Q2 tem limite quando k tende a zero, dizemos que
f tem derivada parcial com relac¸a˜o a y em X0 = (a, b). O valor do
limite, indicado por ∂f
∂y
(a, b), por fy(a, b), ou por D2f(a, b), e´ chamado
derivada parcial de f com relac¸a˜o a y em X0. Em outras palavras,
∂f
∂y
(a, b) = lim
k→0
f(a, b+ k)− f(a, b)
k
,
quando o limite existe.
E´ claro que o ca´lculo expl´ıcito destes limites pode ser evitado com
o uso das derivadas de g1 e g2, como vimos no nosso exemplo inicial.
Estabeleceremos este fato com uma proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 4.4. Sejam f : D ⊂ R2 −→ R, D aberto, e X0 = (a, b) ∈
D. Se g1 e g2 sa˜o como em (E4) e (E5) , enta˜o
∂f
∂x
(a, b) = g′1(a) e
∂f
∂y
(a, b) = g′2(b),
desde que as derivadas parciais de f existam em X0.
Demonstrac¸a˜o. De g1(x) = f(x, b), x ∈ (a− δ, a+ δ), vem que
g1(a+ h)− g1(a)
h
=
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
= Q1(h),
isto e´, Q1 coincide com o quociente de Newton de g1 em x = a. Logo,
g′1(a) = lim
h→0
g1(a+ h)− g1(a)
h
= lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
=
∂f
∂x
(a, b).
A afirmac¸a˜o com respeito a` derivada de f com relac¸a˜o a y sera´ deixada
como exerc´ıcio.
Proposic¸a˜o 4.5. [Operac¸o˜es com Derivadas Parciais] Se duas
func¸o˜es f, g : D ⊂ R2 −→ R teˆm derivada com relac¸a˜o a x em X0 ∈ D,
enta˜o f + g, fg e f
g
, esta u´ltima se g(X0) 6= 0, tambe´m teˆm derivada
parcial com relac¸a˜o a x em X0, e valem as seguintes identidades:
(i) ∂(f+g)
∂x
(X0) =
∂f
∂x
(X0) +
∂g
∂x
(X0);
(ii) ∂(fg)
∂x
(X0) =
∂f
∂x
(X0)g(X0) + f(X0)
∂g
∂x
(X0);
(iii)
∂( fg )
∂x
(X0) =
∂f
∂x
(X0)g(X0)−f(X0) ∂g∂x (X0)
g2(X0)
.
Demonstrac¸a˜o. Segue-se facilmente das propriedades da derivada
das func¸o˜es reais de uma varia´vel real.
Exemplo 4.6. Seja z = f(x, y) = xy2 + e2x+y +3, (x, y) ∈ R2, e con-
sideremos o ponto X0 = (2,−1). As func¸o˜es auxiliares, g1 e g2, neste
caso, sa˜o dadas porg1(x) = f(x,−1) = x+ e
2x−1 +3, x ∈ R
g2(y) = f(2, y) = 2y
2 + e4+y +3, y ∈ R.
Em particular,
dg1
dx
(2) = g′1(2) = 1 + 2 e
3
e
dg2
dy
(−1) = g′2(−1) = −4 + e3 .
Portanto,
∂z
∂x
(2,−1) = ∂f
∂x
(2,−1) = 1 + 2 e3
e
∂z
∂y
(2,−1) = ∂f
∂y
(2,−1) = −4 + e3 .
Mais geralmente, em um ponto arbitra´rio X = (x, y), obtemos
∂f
∂x
(x, y) = y2 + 2 e2x+y
∂f
∂y
(x, y) = 2xy + e2x+y .
(E6)
Derivadas Parciais (J. Adonai) - 35
A partir de (E6) , podemos reobter as derivadas parciais em (2,−1),
por simples substituic¸a˜o.
Exemplo 4.7. Se f(x, y) = xy, (x, y) ∈ (0,+∞)× R, enta˜o pensando
em y como constante, obtemos ∂f
∂x
(x, y) = yxy−1. Agora, para x cons-
tante, vem que ∂f
∂y
(x, y) = xy log x. Em particular,
∂f
∂x
(1, 2) = 2 · 12−1 = 2
e
∂f
∂y
(1, 2) = 12 log 1 = 0.
O procedimento adotado no exemplo anterior, onde calculamos as
derivadas parciais no ponto (1, 2), a partir do ca´lculo destas derivadas
em um ponto qualquer, pode na˜o ser o mais aconselha´vel, como vemos
no exemplo a seguir.
Exemplo 4.8. Seja f : R × (0,+∞) −→ R definida por
f(x, y) = x2 + y2 +
(
arctg27(x3 + y) + sen(x2 + y2)
x2 + y2 + 1
+ exy+cos(x+y+2)
)
log y.
Para calcular, por exemplo, ∂f
∂x
(3, 1), observamos que a func¸a˜o g1 asso-
ciada a f , neste ponto, toma uma forma bastante simples, a saber:
g1(x) = f(x, 1) = x
2 + 1,
cuja derivada e´ g′1(x) = 2x. Logo,
∂f
∂x
(3, 1) = 6.
O leitor deve observar, entretanto, que este mesmo ca´lculo, a partir da
expressa˜o geral de ∂f
∂x
, deve ser bem mais trabalhoso.
4-2 Exerc´ıcio
Resposta
Calcule as derivadas parciais, com relac¸a˜o a x
e com relac¸a˜o a y, das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x, y) = sen(y/x).
(b) f(x, y) = log(x+
√
x2 + y2).
(c) f(x, y) = logx y.
(d) f(x, y) = ex
√
y.
4-3 Exerc´ıcio
Resposta
Seja
f(x, y) = y2x
y
+ (log x)7(arctg(arctg(sen(cosxy)))), x > 0.
Dado b ∈ R, calcule ∂f
∂y
(1, b),
Exemplo 4.9. Seja f : R2 −→ R definida por
z = f(x, y) =
√
x2 + y2.
Se X = (x, y) 6= (0, 0), enta˜o
∂z
∂x
(x, y) =
x√
x2 + y2
e
∂z
∂y
(x, y) =
y√
x2 + y2
.
Entretanto, f na˜o tem derivadas parciais com relac¸a˜o a x nem com
relac¸a˜o a y em X0 = (0, 0). De fato,
Q1(h) =
f(h, 0)− f(0, 0)
h
=
√
h2
h
=
|h|
h
=
{
1, se h > 0
−1, se h < 0 .
Logo, na˜o existe limh→0Q1(h) e, portanto, na˜o existe
∂f
∂x
(0, 0). Ana-
logamente, na˜o existe ∂f
∂y
(0, 0). Note que o gra´fico de f , a superf´ıcie
Derivadas Parciais (J. Adonai) - 36
z =
√
x2 + y2, coincide com a folha superior do cone de duas folhas
x2 + y2 = z2 (desenhe este cone). O ve´rtice deste cone corresponde ao
ponto (0, 0), onde f na˜o possui derivadas parciais.
Exemplo 4.10. Consideremos, agora, f : R2 −→ R definida assim:
f(x, y) =
xy
x2−y2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y)= (0, 0).
Um ca´lculo direto, via proposic¸a˜o 4.5 , mostra que em (x, y) 6= (0, 0)
valem
∂f
∂x
(x, y) = y
x2 − y2
x2 + y2
+ 4
x2y3
(x2 + y2)2
e
∂f
∂y
(x, y) = x
x2 − y2
x2 + y2
− 4 x
3y2
(x2 + y2)2
.
Para calcular as derivadas parciais de f em (0, 0), usaremos os quocien-
tes de Newton de f a´ı:
Q1(h) =
f(h, 0)− f(0, 0)
h
=
0− 0
h
= 0
e
Q2(k) =
f(0, k)− f(0, 0)
k
=
0− 0
k
= 0.
Logo, ∂f
∂x
(0, 0) = limh→0Q1(h) = 0 e
∂f
∂y
(0, 0) = limk→0Q2(k) = 0. Em
resumo, temos que
∂f
∂x
(x, y) =
y
x2−y2
x2+y2
+ 4 x
2y3
(x2+y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
∂f
∂y
(x, y) =
x
x2−y2
x2+y2
− 4 x3y2
(x2+y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
(E7)
Observac¸a˜o 4.11. Algumas palavras sobre as notac¸o˜es usadas para
derivadas parciais. O s´ımbolo ∂f
∂x
(X0) (ou fx(X0)) conte´m duas informa-
c¸o˜es:
(i) calculamos o limite quando h tende a zero do quociente de New-
ton Q1;
(ii) estamos indicando a primeira varia´vel de f por x.
Portanto, se indicamos por u e v as coordenadas de um ponto qualquer
do domı´nio de f , a notac¸a˜o adequada para o limite limh→0Q1(h) e´
∂f
∂u
(X0), o que deve ser chamado derivada parcial de f com relac¸a˜o a
u em X0. Note, entretanto, que a notac¸a˜o D1f(X0) na˜o depende da
escolha da letra que usamos para indicar a primeira varia´vel de f . O
exemplo a seguir indica os pontos do domı´nio de f por (s, t), e calcula,
claro, as derivadas parciais de f com relac¸a˜o a`s varia´veis s e t.
Exemplo 4.12. Se f(s, t) = A sen(ks−wt), (s, t) ∈ R2 e A, k, w cons-
tantes, enta˜o
fs =
∂f
∂s
(s, t) = kA cos(ks− wt)
e
ft =
∂f
∂t
(s, t) = −wA cos(ks− wt).
4-4 Exerc´ıcio
Resposta
Discuta a existeˆncia das derivadas parciais das
func¸o˜es dadas abaixo.
(a) f(x, y) = |xy|, nos pontos (1, 0) e (0, 0).
(b) f(x, y) =
{
x3/(x2 + y2), se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
, na origem.
Derivadas Parciais (J. Adonai) - 37
4-5 Exerc´ıcio
Em cada caso, verifique que a func¸a˜o f dada
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial parcial (EDP)
dada ao lado, na tabela abaixo.
f EDP
log(x2 + xy + y2) x
∂f
∂x
+y
∂f
∂y
= 2
xy + x ey/x x
∂f
∂x
+y
∂f
∂y
= xy + f
ax2 + 2bxy + cy2 (a, b, c ∈ R) x ∂f
∂x
+y
∂f
∂y
= 2f
4.2 Derivadas Parciais de Ordem Superior
Seja f : D ⊂ R2 −→ R. Suponhamos que as derivadas parciais de
f , com relac¸a˜o a x e a y, existam em D. Isto da´ origem a duas novas
func¸o˜es definidas em D:
∂f
∂x
: D −→ R e ∂f
∂y
: D −→ R.
Se estas func¸o˜es teˆm derivadas parciais em X = (x, y), dizemos que f
tem derivadas parciais de segunda ordem em X. Usaremos as seguintes
notac¸o˜es para indicar estas derivadas:
∂2f
∂x2
(x, y) =
∂
(
∂f
∂x
)
∂x
(x, y),
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
∂
(
∂f
∂x
)
∂y
(x, y),
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂
(
∂f
∂y
)
∂x
(x, y) e
∂2f
∂y2
(x, y) =
∂
(
∂f
∂y
)
∂y
(x, y).
Alternativamente, com a notac¸a˜o que indica a derivac¸a˜o parcial por um
ı´ndice,
fxx(x, y) = (fx)x(x, y), fxy(x, y) = (fx)y(x, y),
fyx(x, y) = (fy)x(x, y) e fyy(x, y) = (fy)y(x, y).
Observe que em ∂
2f
∂y∂x
a ordem de derivac¸a˜o, indicada no “denominador”,
se da´ da direita para esquerda: primeiro com relac¸a˜o a x, e depois com
relac¸a˜o a y. Ja´ na notac¸a˜o alternativa fxy esta ordem, indicada no
“´ındice”, se da´ da esquerda para a direita. Em resumo,
∂2f
∂y∂x
= fxy,
significando: derivar primeiro com relac¸a˜o a x, e depois com relac¸a˜o a y.
As derivadas parciais de terceira ordem sa˜o definidas a partir da
existeˆncia daquelas de segunda ordem. Caso existam em D as quatro
derivadas parciais de segunda ordem, obtemos oito derivadas parciais
de terceira ordem, conforme tabela que segue.
∂
∂x
∂
∂y
∂2f
∂x2
∂3f
∂x3
=
∂
(
∂2f
∂x2
)
∂x
∂3f
∂y∂x2
=
∂
(
∂2f
∂x2
)
∂y
∂2f
∂y∂x
∂3f
∂x∂y∂x
=
∂
(
∂2f
∂y∂x
)
∂x
∂3f
∂y2∂x
=
∂
(
∂2f
∂y∂x
)
∂y
∂2f
∂x∂y
∂3f
∂x2∂y
=
∂
(
∂2f
∂x∂y
)
∂x
∂3f
∂y∂x∂y
=
∂
(
∂2f
∂x∂y
)
∂y
∂2f
∂y2
∂3f
∂x∂y2
=
∂
(
∂2f
∂y2
)
∂x
∂3f
∂y3
=
∂
(
∂2f
∂y2
)
∂y
Mais geralmente, podemos definir as derivadas parciais de ordem
k para f , a partir, e´ claro, da informac¸a˜o de que f tenha, em D, aquelas
de ordem k − 1. Neste caso, por exemplo, se k1, k2, k3 ∈ N sa˜o tais que
k1 + k2 + k3 = k, o s´ımbolo
∂fk
∂xk3∂yk2∂xk1
= fxk1xk2xk3
Derivadas Parciais (J. Adonai) - 38
indicara´ que a k-e´sima derivada parcial de f obtida derivando f , k1
vezes com relac¸a˜o a x, k2 vezes com relac¸a˜o a y e, por fim, k3 vezes com
relac¸a˜o a x, outra vez.
Exemplo 4.13. Seja f(x, y) = y
x
+ x log y, onde y > 0 e x 6= 0. As
derivadas parciais de f , ate´ terceira ordem, sa˜o mostradas na tabela
abaixo.
∂f
∂x
= − y
x2
+ log y
∂f
∂y
=
x
y
+
1
x
∂2f
∂x2
=
2y
x3
∂2f
∂y∂x
=
1
y
− 1
x2
∂2f
∂x∂y
=
1
y
− 1
x2
∂2f
∂y2
= − x
y2
∂3f
∂x3
= −6y
x4
∂3f
∂y∂x2
=
2
x3
∂3f
∂x∂y∂x
=
2
x3
∂3f
∂y2∂x
= − 1
y2
∂3f
∂x2∂y
=
2
x3
∂3f
∂y∂x∂y
= − 1
y2
∂3f
∂x∂y2
= − 1
y2
∂3f
∂y3
=
2x
y3
Note, nesta tabela, as seguintes coincideˆncias:
(i)
∂2f
∂y∂x
=
∂2f
∂x∂y
=
1
y
− 1
x2
;
(ii)
∂3f
∂x2∂y
=
∂3f
∂x∂y∂x
=
∂3f
∂y∂x2
=
2
x3
;
(iii)
∂3f
∂y2∂x
=
∂3f
∂y∂x∂y
=
∂3f
∂x∂y2
= − 1
y2
,
que mostra, neste caso, que o resultado na˜o depende da ordem que
executamos a derivac¸a˜o parcial mista: as derivadas segundas mistas
coincidem; as terceiras, obtidas derivando f duas vezes com relac¸a˜o a
x coincidem; e as terceiras obtidas derivando f duas vezes com relac¸a˜o
a y tambe´m sa˜o iguais. Infelizmente, em geral, isto na˜o e´ verdadeiro,
como verificaremos no pro´ximo exemplo.
Exemplo 4.14. Retomemos o exemplo 4.10 , pa´gina 36 , a saber:
f(x, y) =
xy
x2−y2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0),
cujas primeiras derivadas parciais sa˜o, conforme (E7) ,
∂f
∂x
(x, y) =
y
x2−y2
x2+y2
+ 4 x
2y3
(x2+y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
∂f
∂y
(x, y) =
x
x2−y2
x2+y2
− 4 x3y2
(x2+y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Temos que
∂2f
∂y∂x
= lim
k→0
∂f
∂x
(0, 0 + k)− ∂f
∂x
(0, 0)
k
= lim
k→0
∂f
∂x
(0, k)− ∂f
∂x
(0, 0)
k
= − lim
k→0
k
k
= −1
e
∂2f
∂x∂y
= lim
h→0
∂f
∂y
(0 + h, 0)− ∂f
∂y
(0, 0)
h
= lim
h→0
h
h
= 1.
Resulta da´ı que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0). Entretanto, fora da origem es-
tas derivadas parciais coincidem, como podemos verificar diretamente,
Derivadas Parciais (J. Adonai) - 39
usando a proposic¸a˜o 4.5 . O resultado e´ o seguinte:
∂2f
∂x∂y
(x, y) =

x2−y2
x2+y2
+ 8x2y2 x
2−y2
(x2+y2)3
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0)
∂2f
∂y∂x
(x, y) =

x2−y2
x2+y2
+ 8x2y2 x
2−y2
(x2+y2)3
, se (x, y) 6= (0, 0)
−1, se (x, y) = (0, 0).
Estudando o comportamento de ∂
2f
∂x∂y
ao longo de eixo-y−{(0, 0)}, vemos
que, a´ı, esta derivada e´ constante e vale −1, o que, em particular, mostra
que ∂
2f
∂x∂y
na˜o e´ cont´ınua na origem. O mesmo argumento, agora consi-
derando o eixo-x, mostra que ∂
2f
∂y∂x
tambe´m na˜o e´ cont´ınua em (0, 0). E´
exatamente este o defeito de f que e´ responsa´vel pela na˜o-coincideˆncia
destas derivadas em (0, 0). Pensando na situac¸a˜o geral, isto sugere que
devemos pedir pelo menos a continuidade das derivadas parciais ate´ or-
dem dois, para obter uma poss´ıvel igualdade entre fxy e fyx. O pro´ximo
teorema, que admitiremos sem prova, se encarregara´