Geometria Analítica - Exercícios 3

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Geometria Analítica 
Lista de Exercícios 3 
 1. Determine, geometricamente, o vetor soma para os vetores dos itens abaixo de suas 
maneiras diferentes. Em seguida, determine o vetor subtração. (a) (b)
(c ) (d)
u
v u
u u
v
v v
 2. Dados ݑሬԦ = (1 , −2 , 3) e ݒԦ = (2 , 4, −1), determine: 
a) ݑሬԦ + ݒԦ 
b) || ݑሬԦ + ݒԦ || 
c) 3ݑሬԦ 
d) ݓሬሬԦ que seja combinação linear de ݑሬԦ e ݒԦ, para α1=2 e α2=-3 
 
3. Dados os vetores ݑሬԦ = (2 , 1 , −1), ݒԦ = (1 , 0, 1) e ݓሬሬԦ = (−6 , 12 , 4), calcule: 
a) 2ݑሬԦ − ݒԦ + 4ݓሬሬԦ 
b) ݑሬԦ + 3ݒ ሬሬሬԦ − ݓሬሬԦ 
c) ݑሬԦ − 1/2ݓሬሬԦ 
d) ଵଷ ݑሬԦ - ଵସ ݒԦ + ଵହ ݓሬሬԦ 
4. Torne os vetores acima unitários, ie, determine seu versor (ou, normalize os vetores 
acima). 
 
5. Determine ܲܳሬሬሬሬሬԦ para: 
a) P = (5/2 , 1 , 2) e Q = (0 , 5/2 , 5/2) 
b) P = (-1/3 , 4 , 2/7) e Q (-3 , -2/5, -5/8) 
 
6. O ponto médio do segmento ܣܤതതതത, com A = (x1 , y1 , z1) e B = (x2 , y2 , z2), é M = 
ቀ௫ଵା௫ଶଶ , ௬ଵା௬ଶଶ , ௭ଵା௭ଶଶ ቁ. Assim, calcule o ponto médio de ܣܤതതതത, dados: a) A = (1/2 , 0 , -1) e B = (7 , -4 , 2/3) 
b) A = (4 , 5 , 5) e B = (9 , 9 , -9) 
 
7. Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado nos seguintes casos: 
a) Representa o vetor ݒԦ = (1 , −2 ,1) e sua origem é P = (1 , 0 , 1). 
b) Representa o vetor ݒԦ = (−1 , 0,1) e sua origem é o ponto médio entre P1 = (1 , 1 , 3) e 
P2 = (-1 , 1 , 1). 
c) Representa o vetor ݒԦ = (1 , 1,1) e sua extremidade é P = (1 , 1 , 1). 
 
8. Verifique se os pontos dados abaixo são colineares: 
a) A = (1,0,1), B = (2,2,0) e C = (0,-2,2) 
b) A = (0,1,-1), B = (1,2,0) e C = (0,2,1) 
 
9. Sendo ݑሬԦ = (−1 , 4 , −1), ݒԦ = (ܽ , ܾ, 1/2) e ݓሬሬԦ = (1 , ܿ , 2ܽ + ܿ), e sabendo que ݑሬԦ =
2ݒԦ + ݓሬሬԦ (ݑሬԦ é combinação linear de ݒԦ e ݓሬሬԦ), calcule a, b e c. 
 
10. Considere os vetores ݒ1ሬሬሬሬԦ = (1,-3,2) e ݒ2ሬሬሬሬԦ = (2,4,-1). 
a) Escreva o vetor ݒԦ = (-4,-18,7) como combinação linear dos vetores ݒ1ሬሬሬሬԦ e ݒ2ሬሬሬሬԦ. 
b) Determinar o valor de k para que o vetor ݑሬԦ = (-1,k,-7) seja combinação linear de ݒ1ሬሬሬሬԦ e 
ݒ2ሬሬሬሬԦ. 
 
11. Sejam ݑሬԦ = (0,1,2) e ݒԦ = (−2,4, −6). Determine: 
a) ‖ݑሬԦ + ݒԦ‖ 
b) ቛ−ݑሬԦ + ଵଶ ݒԦቛ 
12. Verifique se os vetores abaixo formam uma base para o espaço ℝ3 (I.e., verifique se os 
três vetores são LI). 
a) ݑሬԦ = (0,1,2), ݒԦ = (0,0,4) e ݓሬሬԦ = (1,1,5) 
b) ݑሬԦ = (3,1,3), ݒԦ = (1,1,2) e ݓሬሬԦ = (5,1,4) 
 
13. Dados ݑሬԦ = (1, −1,5) e ݒԦ = (2,4, −1), calcule: 
a) ݑሬԦ . ݒԦ 
b) 2ݑሬԦ . [3ݒԦ + (1,0,-1)] 
c) ‖−2ݑሬԦ + (−3,1,4)‖ 
d) O ângulo entre os vetores ݑሬԦ e ݒԦ 
 
14. Verifique se os vetores abaixo são ortogonais: 
a) ݑሬԦ = (0,2) e ݒԦ = (−1000,0) 
b) ݑሬԦ = (1, −6,0) e ݒԦ = (−12, −2,4) 
c) ݑሬԦ = ቀଵସ , −7, ଽ଼ቁ e ݒԦ = ቀଶସ , − ଼ହ , − ଺଻ቁ 
15. 
a) Demonstre que não existe x tal que os vetores ݑሬԦ = (ݔ, −2,3) e ݒԦ = (ݔ, 2,3) sejam 
perpendiculares. 
b) Encontre o ângulo entre os vetores ݑሬԦ = (2,1,0) e ݒԦ = (0,1, −1) e entre os vetores 
ݓሬሬԦ = (1,1,1) e ݖԦ = (0, −2, −2). 
 
 
16. Dados ݑሬԦ e ݒԦ abaixo, determine a projeção ortogonal de ݒԦ sobre ݑሬԦ: 
a) ݑሬԦ = (1,1,4) e ݒԦ = (4,10,10) 
b) ݑሬԦ = (2,1,3) e ݒԦ = (1, −2,0) 
 
17. A medida do ângulo entre os vetores ݑሬԦ e ݒԦ é 60°. Sabendo que ‖ݑሬԦ‖ = 3 e ‖ݒԦ‖ = 4, 
calcule a norma de um paralelogramo determinado por ݑሬԦ e ݒԦ. 
 
18. Calcule ݑሬԦ ⨉ ݒԦ nos itens abaixo: 
a) ݑሬԦ = (1, −1,4) e ݒԦ = (1,1,3) 
b) ݑሬԦ = (1,3,1) e ݒԦ = (0,1, −1) 
c) ݑሬԦ = (1,0,0) e ݒԦ = (0,1,0) (Obs: Você realmente precisaria calcular?) 
 
19. Calcule a área: 
a) Do paralelogramo ABCD, sendo ܣܤሬሬሬሬሬԦ = (1,1, −1) e ܣܦሬሬሬሬሬԦ = (2,1,4) 
b) Do triângulo ABC, sendo ܣܤሬሬሬሬሬԦ = (−1,1,0) e ܣܥሬሬሬሬሬԦ = (0,1,3) 
 
20. Resolva os sistemas: 
a) ൜ݔԦ ⨉ ( ଓԦ + ଔԦ) = −ଓԦ + ଔԦݔԦ . (ଓԦ + ଔԦ) = 2 
b) ൝ݔԦ ⨉ ൫ −ଓԦ + ଔԦ − ሬ݇Ԧ൯ = −2ଓԦ + 2݇ሬሬሬሬԦݔԦ . ൫2ଓԦ + 3ଔԦ + 4ሬ݇Ԧ൯ = 9 
 
21. Calcule [ݑሬԦ, ݒԦ, ݓሬሬԦ] nos seguintes casos: 
a) ݑሬԦ = (2,1,2), ݒԦ = (0,3,3) e ݓሬሬԦ = (1,0,1) 
b) ݑሬԦ = (1,3, −1), ݒԦ = (−1,0, −1) e ݓሬሬԦ = (2,1,1) 
c) ݑሬԦ = (0,1,2), ݒԦ = (0,0,4) e ݓሬሬԦ = (1,1,5) 
d) Quais dos itens acima os vetores são ditos LI? Quais são LD? 
e) Quais itens acima formam uma base para o ℝ3? 
f) Quais dos itens acima possuem vetores nos quais um pode ser escrito como 
combinação linear dos outros dois? 
g) Qual a correlação entre os itens d, e e f? 
h) Qual o significado do produto misto entre três vetores? 
 
22. Calcule o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores ݑሬԦ, ݒԦ e ݓሬሬԦ, nos 
seguintes casos: 
a) ݑሬԦ = (2,1,4), ݒԦ = (2, −1,3) e ݓሬሬԦ = (5,2,1) 
b) Dados os pontos A=(1,3,4), B=(3,5,3), C=(2,1,6) e D=(2,2,5), tome ݑሬԦ = ܣܤሬሬሬሬሬԦ, ݒԦ = ܣܥሬሬሬሬሬԦ e 
ݓሬሬԦ = ܣܦሬሬሬሬሬԦ. 
c) ݑሬԦ = ଓԦ + 3ଔԦ + 2ሬ݇Ԧ, ݒԦ = 2ଓԦ + ଔԦ − ሬ݇Ԧ e ݓሬሬԦ = ଓԦ − 2ଔԦ + ሬ݇Ԧ 
 
23. 
a) Determine, se existir, os valores de x para que o vetor ݒԦ = ݔଓԦ + 6ሬ݇Ԧ seja paralelo ao 
produto vetorial de ݓሬሬԦ = ଓԦ + ݔଔԦ + ሬ݇Ԧ por ݑሬԦ = 2ଓԦ + ଔԦ + 2ሬ݇Ԧ. 
b) Determine x para que os pontos A=(x,1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1) e D=(3,-2,-2) sejam 
coplanares. 
 
 
Exercícios de Aprofundamento 
24. Pesquise no livro online que vocês fizeram download sobre as matrizes elementares 
do tipo Eij e entenda sua correspondência com as propriedades elementares no 
escalonamento de matrizes. 
 
25. Sabendo-se que para toda matriz nxn, A com det(A)≠0, existe uma matriz nxn, A’, tal 
que A’.A=In, mostre que: 
a) Se B e C são matrizes nxn e BC=In, então CB= In 
b) Se det(B)≠0 e B é matriz nxn, então existe uma única B-1 tal que BB-1=B-1B= In 
 
26. Seja um triângulo ABC e sejam M e N os pontos médios de AC e BC, respectivamente. 
Provar que MN é paralelo a AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de 
AB. 
 
27. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Sugestão: M e 
N os pontos médios das duas diagonais; mostre que ܯܰതതതതത=0). 
 
28. Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um 
trapézio é paralelo às bases e seu comprimento é a média aritmética dos 
comprimentos das bases. 
 
29. A área do triângulo ABC é √6. Sabendo-se que A=(2,1,0), B=(-1,2,1) e que o vértice C 
está no eixo y (é do tipo C=(0,y,0)), encontre as coordenadas de C. 
 
30. Encontre um vetor ݑሬԦ que seja ortogonal aos vetores (2,3,-1) e (2,-4,6) tal que ‖ݑሬԦ‖ =
3√3. 
 
31. Dado um triângulo isósceles, mostre que a mediana relativa à base é a mediatriz (ie, a 
mediatriz é perpendicular à base). 
 
32. Sejam ݑሬԦ e ݒԦ os vetores no espaço. Mostre que: 
 
a) (ݑሬԦ + ݒԦ)⨉( ݑሬԦ − ݒԦ) = 2ݒԦ ⨉ ݑሬሬሬԦ 
b) Se ݑሬԦ ⨉ ݒԦ é não nulo e ݓሬሬԦ é um vetor qualquer no espaço, então existem números reais 
a, b e c tais que ݓሬሬԦ = ܽ(ݑሬԦ ⨉ ݒሬሬሬԦ) + ܾݑሬԦ + ܿݒԦ 
c) Se ݑሬԦ ⨉ ݒԦ é não nulo e ݑሬԦ é ortogonal a ݒԦ, então ݑሬԦ⨉(ݑሬԦ⨉ݒԦ) é paralelo a ݒԦ. 
 
33. Responda, justificando falso ou verdadeiro, a cada uma das seguintes afirmações: 
a) Se ݑሬԦ, ݒԦ e ݓሬሬԦ são vetores no espaço, com ݒԦ não nulo e ݒԦ⨉ݑሬԦ = ݑሬԦ⨉ݒԦ, então ݑሬԦ = ݒԦ. 
b) Se ݑሬԦ, ݒԦ e ݓሬሬԦ são vetores no espaço, então: |ݑሬԦ . (ݒԦ⨉ݓሬሬԦ)| = |ݒԦ . (ݑሬԦ⨉ݓሬሬԦ)|. 
c) Se ݑሬԦ, ݒԦ e ݓሬሬԦ são vetores no espaço, então ݑሬԦ ⨉(ݒԦ⨉ݓሬሬԦ) = (ݑሬԦ ⨉ݒԦ)⨉ݓሬሬԦ. 
d) Se ݑሬԦ, ݒԦ e ݓሬሬԦ são vetores no espaço, ݑሬԦ é não nulo e ݑሬԦ⨉ݒԦ = ݑሬԦ⨉ݓሬሬԦ = 0ሬԦ, então ݒԦ⨉ݓሬሬԦ = 0ሬԦ.