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B. Dubrovin, S Nóvikov, A Fomenko
•
mo erna
MÉTODOS DE LA TEORíA DE HOMOLOGíAS
EDITORIAL MIR MOSCÚ
GEOMETRíA moderno
6 . A. Jl.y5pOBHH . C. n. HOBHKoe , A. T. CDoMeHKo
COBPEMEHHAA r EOMETPI-1R
METO,O,bl TEOPHH rOMOnOrHA
MOCIC8~ . Haylta~ r Jla 8H all p tlAalCII.HII
1iJ"'3Hlto· ",au 'MaTH"ec Ho M IIIlTopa Typbl
B. Dubrovin, S Nóvikov, A Fomenko
rno
M~TODOS DE LA TEORIA DE HOMOLOGIAs
EDITORIAL MIR MOSCÚ
Traducido del ruso por L. Popova
Impt"1l3<l en In IJltSS
Ha uenaaellO>1 w.JIoIII"
@ 1f8JU.Tell~c1&1l _Hay"" •. rll""l1lll1 lICJ(IlJIIl.rrll rf!rr911"o-
>tIlTeMIlTl,.,eelfoii :Jllwil"TypJ~, 198<\
@ traducción al e!lpellol . cditnria¡ Mir. 19111
IHDICE
PREFACIO.
CAPITUlO l. HOMOlOGIAS y
CALCULO
COHOMOLOOIAS. RECETAS DE ,u
t 1. GruPQ.!l dewbomologíucomo OIUiOS do 185 fo rmas di-
ferencia les cerradas. Su invariación homolÓpíeB . . .
§ 2. Homoto¡r¡a~ de los complejos algebraicos • _ . • • • •
, 3. C"mplejw simplicial"". Su, bomoloWlI$ y fohomolo-
gi:>s. Clu,flcadó'l d .. las 5uperficil'lS bidimPDS'OMlu c .. rradu
!: 4. 0llerllOión de PI'K"dura de cé lula a UIl cSl'ad" topológico.
ESpaCIOS cijlulatl,>l. l\"or\,\ma~ sobre r educción de 1\,\5 espacio.!
(1)Iulares. Homologíu y o¡-l grup" fundamentd de au¡miilcll!!
y a l¡runa! "tras vari .dll.du .•... .. , . . ... .. .
i 5. Homol "lt"¡a ~ )' coho",olo¡:ia,s 5;ngu larl"l. Invariación horno-
tópIca de ella><. Suc",si6n ox~cla del pu. tTumologia! relalí-
Va! •••••• ••
i d. Homologías 5lngulul'es de lO!) COmpIC\'''S celul. ros. [.11
comcidellcia de ~lIas eon 115 I>omologiu ee u ' :>.e.s. D,, ~lIdad
de Poincaré para 1M bomologías sl ,npliciales ..... .. .
§ 7. Hon,olo<ria, d~1 produoto dllec!o. Multipliución 1)[1 1118
cobolllolo¡ fu. Cohomologias do 1M H-¡¡gpae ioo ~. de los gl'Upoe
de Lle. e<>ht)tn"logiu d~1 grupo un itario .••.. _ ...
i 8. Jl<nno logia de productos oblicuo. (~paclos librado'l
t 9 . Problema do prolonll'Dción da apl"."adonea, hOll1otoplu
y seceion~~. ClulI obslaculi~Mtora d(j la ~ cobornologiu ...
§ lu. Hom" log¡a~ ~. m~todos de cálculo do los grupo~ hurnot6-
pIcos. Teorprna do Gnr lan-SfTre. Operaciones col>ombló¡:lcas.
Espacios ' ihu dos v""tor,al~ .... • . . . . .. .. ..
§ 11. Homolo/{i". y ~n, po l"ndarn~.UI.aI . . • . .. .•.
i 12. Cohomo l og¡lI.~ de l.~ superficie.'! do memnnn hiper-
elíl.tlcas. Toroa de Jacobi. Geodésicas en los .. 1i1>8<'>id • • poli -
8)1: ala. R~lneióo con los pOI~neialos de 10DU fioit~~ . ...
~¿r!·. ~:f¡~,:!,~:d~d:~ .m.6a .&lm~l~ ~(j ~a~ v.lr~o(~a~e.~ d: ~8.hl~r:
í U. lIomologlos cou ~O(OJ , c l fnu>. eo INI h~ et'!l .
CAPITULO 2. put-nos CRIlICOS DE LAS FUNCtONH suJo VES y DE LJoS
HOMOLOGlJo$ •
§ 15. Funcionas d o )[0. 5e y complejo. celulares
§ J G. Desi¡¡uald"dC'! de 1\h'""" . . . . .
i 17. Func,6o rogular do¡- Mo"",,·Smnle. A~a ~. S "'p~r¡¡,,I"es:
t 18 . Dualidad de I'uiucan! .
1
9
9
" JO
"
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6 Indlo;e
t 11'1. Pu"tos crítico. <1" In l uucion .... gUa~"" y c.atugoria
de l.u" .... "'k-Shnir"lmaH . . . . . . . . .... 2fl7
i 20. Varoedad"" crítk,u y d~.s,guald~ de!! de ,\lono. funclo-
nC5 con sImetría • .• .. 221
§ 2\ . Puntos crÍlkos de In l un. iufl al "" y topolo:¡:l~ d<ll e~ p aclo
d" l.,. curVM Q,\{.. . . . 228
§ 22. Apl iu.e,onos d~J IOONma &o bre el índice 241
§ 23. f'robJema per iód ioo del eak"lo de "al;3(io""" .• • 248
§ 2". t'lmcio"e" de M" ,"" u 5Q b .... b j "a rlcd~dO'S tridi me" .io-
u.o.les y d i .~.amu de Heegard . . . .. .. . . . . 257
§ 25. I'N'odlcidad uui tnria d ... Dott ). problemns de vnr iocJón
mul~idimcn"ionnLu . .. ..... . .. . 262
¡ 26. Too.ía d~ M~r;re y aL¡ru,,,,., ll""·i,,,ienl llll ~ n el problr.ma
plall() ,Ip " c"prpos 284
CAPITULO ) . C080RDISMOS V UTRUCTURA$ SUAVES.. • • • • 29B
i 2,. Núm~ros Ct\ racloris tlcM. Cobordi ~mo • . Ciclos r "ub-
var iedadl!!l. Sillu8 ~ura de In. va ri~dad "" . . . . . . . . 298
t 28. ~Sln'cturns sua"<l3 en la e,; let":l I,epladlmen,ional. EL
problema de c1llsifh:ac i6n. d~ In vnriedade>l suave/! (i uvarIJn-
~s n<>tm~ L.,s) . Torsl6n. d .. Roidem~ i ! tof Y La hip6tesl' rr1ncl-
pal dl' La topolog!a ccmbinatorlO . . . . • 322
\Jibli~r~lia •.... • . . • • •• . . . 334
Suplemento 1. ·haría análogo de la d ~ ~I~[SI' para 1..,. ("nciones mlll l,-
lo.m,· •. Algu""~ propl~~adf~ do I" ~ pdreotes i! de PO' S/KI n.
~~-~.. . . -Suplemento 2. PNblc"'" de Pta tc.~". bur~J &Jo<l.'l l' su ~rll elell globalell
miolmall'll en II1!I v$[iedadu de fl i~man.n . (A . , ' . fO[llpn[¡o) 353
Ind iea de malllrlU 313
PRlFACIO
Tradicional mon te. la teoría de homologias, desempofia u,n papel
fundamental en la exposición de los principios de la tO,pología.
A parti r de H. Poi ncaré. quien fun dó las bases de 111 topologia . la
teorín de homologías 50 considern como una baso inicial de los mé-
todos do la topologíA algebrn icn. En la tooria do homotopias sólo
el grupo fundamantnl y los uubrirnientos se refieren, por t radición,
a es tos prblcipios. Prác ticamente. lodos los manuales clbicos
iniciales de topología. (en tre los cuales eL mEljor es. a juicio de 105
autof!'3 , el li bro . Lohrbuch der Topo\(lgie_ de H. Seifort y W. Threl-
fall) comienzan con o~pon(lr la Ltloda de homologías de una u otra
daso de los complejos. Solo en una eLapa pOSlerior (además, dt'sde
el punto de vistn de In teoría de las hornologíps). so consideran la
teoría de los IIspncios librados y el problema gonernl sobro la clasi-
ficación de las clnses homoWpicas de a pli caciones (teoría de lU5
llOmotopías). Al mismo Liempo, los métodos de la lupologia de
var iedad('s ((jlerenciables . que comellzaWIl n deS/l.rrollarso intensiva-
monte desdll los años 30 (\Vhnn",y y otros), pllrmiton n'construir
por completo la oxposición de los principios fundamentale s d(' la
topología moullrna. Do:>s do un !\ltevo punto de vista más próximo al
a.nlilisil! clásico, rosuLta primaria la teoría elll illon tal do las varie-
dades suavllS para basur en ella luego la teoría de las bOlllOto pías *)
y de los t'spaGios ribfndo~ s uo.ves. Más aún, durante los aftos iO se
aclaró que precisamBIIL.e tlSLtl complejo ¡le las ideas y de los métodos
lopológi(JOS Lien,' nplicllcionl:'S fundllmental<ls en distintn partl:'s
do la risica moderna. Por eso los autores consideran GOIllO nocol"arios
los materiales d idát;Lkos ,t" topología en primer lugar, precisamente
los principios d", la. teorí" de las vRriodltdcs suaves, la leorín de las
hOffiotopílts y 105 espacios librados. Estos materiales han sido inc1ui-
• 1'". lo "i5l,0, lu prim"nl5 noclone. IIOh,." topología pprten..:icot~ ...
Gau~, RiemanJ\ y Poincaré. 5ur:;ieron lamhién sobro lISIa baso. Por .. u ~quel
entonr~ re~uhó imposible tal construcc ión de la \opolog!a. Poiucaró ducubrió
b teor[,. de homologlu de lo! complejo! ~ implidalea que perml~ió da, complet.·
mpnto otra coostruceión ex~ctll d@ lo! fundom~nto~ de tn topl"logfA algebntica ,
,
dos t'l1 el mlHlll~1 de B. A. Dublo,-in. S. P. Nó\' iko\'. A. T. Fom~nko
. GIl<.rn.,Lrí" moderno' . par te 11. En "sie liblXl, su ponemos rOlloddO!
eSl<Is rnnlcrial\'~ .
Lll n'solució" dc prol¡!('mlls más complejos dI:' la misma topologí ll
(cálculo d~ los grupos Ilolnotópiros. c1l1s ific!lcI6n de las variedn¡\ús
suoves, ctc.), 111 i ll'll3l (IUO numerosas Ilplicocion08 dI) In léc I,ic lI
algelJrlli co -topo16~icR 11 lo! problemas de la goometria algt¡brlliCII
y d(' l .milisis {ompl'do. ex igc un d"sarroHa dc lIorgo Illcanc". pr .. d~ lI
mente dc los mélOOu! de la ~ooríll di' homololl'llIlI. ~: n la II t.,rlltur"
espc< ializt:tda /lf l \lll l sobrt' l o pol~ica no h,,}' libros que posi bilit('u
<,1 complejo IIpl'<'lldizAje de los método!' do 1M tllono de homolof:ías
(m ~u~ npliC/ldonl's inLrlltopológiclI" ~rribll!nt'ucinnadas. J:;l vrcsc.'IIte
libro Ue-ut' por obJelo ]I('Ollf p8reia lml'nl~ .. s l /l ¡lIguna.
Al (':'( poner l a luo ría de homologí tl ~, lo~ nutore! hnn tr!!.lltUO ole
(','Hnr, (HI 1:, ml'dida ,11' lo posible, t.'I lenguajo nhstfll\·to dd álge-
brn ho rnológic8 , para ¡¡<lO (\l le-ctor sicmpro tt:mun pr().SCnte quo llú1U()-
I O'Ij~~. ciclos y rrontetl) ~ son imlÍ¡;('n('s ¡ cornélrieu contrl'tas. En
III~uno! c .. so~, (lOf ejemplo " 11 la partl' dl'dit-ad ll a I ~ :mel'sión (ospfi: t rll¡,
estn l i'lILrirción vol untarill IIIl VM 11 Hlguno! rld<'i:lo! en la cxpo~¡d ';¡ n
diríd lt's doCl 5"I)(> r;lr . Pero un:! suce ... i,·a l·s po.sle lón de l lenguaje y
de- los métodos tI!'1 al¡¡;t'hra )¡omológiclI modl'rlla. ("omo d ... mu .. ~lrll ¡I'I.
I'l"p()crlt>n<'ill . lleva 1'1 p!,nr'('~ (h,r{,<,los. c.ompliCllndo In compr~~ión dlll
sentido gt'onlétrlcn do lA \I$oríll d(' \lIS hom .. logias . .Algunos m~tod(l!l
h¡ndame-nlah.-s de In topologítl nlgt>brnic n moderna (la t&.nicA de- lAS
sw: esion('s I'Sp('('. ~rll.l~s )' de III ~ operMiones t"ohomológiclI:<J ~l' hAn
ex p\l ~ s I 09 s in tlx pl¡" :. don('~ ('Shau9\¡ \"Il~ C¡!JI' lI evArlon nI .. um~nto!ld
vo lu ml'l! !le lA o brn . Rocordamos qut' 1'11'mp1P.O de estos n¡Hodo! se
ba!/! 11610 (' 11 la9 propie.llltles rormalmenl¡' nllf\'b.¡¡iras d G In.~ mallo!-
tude-!l q ua form a n parw d ... 1'1105. Y no S(' II L;1111IU rOlls\ruceiom·s \,$pli-
c:i tn dI' I'S\.ll~ lII/1gniludc.>s. dodas en el proc('so de la argUnl c.> uLad6n.
Al fin al dl'l Iibro!H' ~ pll can I( •. ~ métoo.los dc.> la lopología a l¡,:t'br¡¡i~a
/tI es tudio d ... IlIs propiedad,,! prof\llld¡¡s d C! tiMes carar leri .'ltlclIlI
y es tructuras sllaves en In vnriedadc.>ll. Sl'g(m 111 Id('a do los au tOn'lI ,
esta obra debe ])(!rmitir e lndu('lc al ¡('clor a .!;\Curr ir a la liVrAlora
topológico. moderon .
CAP ITULO 1
HOMOLOGIAS y COHOMOLOGIÁS
RECE' ÁS DE SU CALCULO
§ 1, Grupos de cohomologlas como clases de formas
diferenciales ce rradas, Su Invarlacl6n homot6pica,
Uno de l os más importantes in\'a riant.es llOlllotópicos d .. varie-
d~d son sus grupo:'! d,' homolugías ql1e ylI fUeJ'on utilizados on el
§ tU )' H 24, 25, putLo 11 dol li bro [1] , Pasemos a.horrl fl sus dt:'fini-
cion t:'~ sis temáticas.
Hay varios métodos parn dolerminar los grupos de homologías .
.'\.1 pnll('ipio. examinemos In dt<ltlfmÍnación dI.' las homologíAS por
b~ forlllAS difor.mcialcs ( \'éase- ¡ti, pl.r le 11 . ~ 2.~).
E."aminC'ffios IHS form as difefoncialC's cC' rrfldllS del grarlo k sobre
UlllI variedad JI" ~fl'cQrdl'm"s: d indice Jt muestra ]¡l dilllen~i6n
dC' l~ varied nd), qm' 1il'[ll'1I 10n¡Jmen lo la furma :
do) ",. O.
So llama OXBe,ta (o cohomológicll .~ero) u n a fOl'ma djfect",~iall:ctrlldfl ,
si w = dw'. dondo w' ('~ ulla forma de g rado k - 1 (n..:ordomos que
d (dw') ~ O (111 . parte- r. § 2f».
m;p'SlCI6N t "j. Se IImu a grupo (espacI<J Hne .. J) d o- collomolo-
gins JI ~ ¡M": IR) el g r upo coei('nt .. de- ladas la ,; r"rma~ cC'rro ¡](ls d(!1
grupo k por el I< uhgrupo de formas c;o;~cl"s, En oLrM pal aLra3 ,
JI~ (.1/ ": 'R ) soo cllISl'S It", ec¡uivolencia do l:ls forJ1ln~ el'rradas con
exactitud b as\.n las (')<,,<'11111:
(2)
La }Itopi",dad más simplc de los grupos dC' o:,, ¡' 0"1ll1o¡;íll ~ es la
sigll)('nh' .
• \Vtrl)l.\C'6N 1. Para rUIIlquier mriedad JI" el gruJJ(J Ilo (,11": R)
I!S 1111 espacio lillc(,¡ de diml'IIsi6n q, Igual 1/1 I/Ifll,el"o de truUi,t ,'CJllt'I08
(com.pont'lde) de l()li cuales co".sta la mriedud.
- 1 J:: nCOll~ rarcmo~ en adelau(.e varj K~ delioicJOn"" d~ grup .... ,le horno-
logias }' CGhGlllG!Gguu CGIl unG~ lO Gtros t~ficien te ... YlI que e~ l (U1 ddi,"c iunes
U .. \"nn •• } mIsmo res"It,.do (Vf,,"'l ",r.5 :lh.~ju §§ 6. 141. no "' lrod,,,;iIllU' ton~'e n
temenle n ,nwio Indice q"'" m" ... " tre ... 1 origen de 1In85 u Qlras ¡'offilJ lo¡::ias.
Cap. t R.cela, dol có!culo do homolog;~.
mm(,S'I'l1ACION. Las fotmas del gtado O son IuncioJlb8 escala~3
j (x) sobro una variednd. Si la forma del grado O es cerradn, elltonc('s
dJ (x) = O. Esto signiHc.l qUQ la [unción J (x) es localmente cons-
tante. es decir. es constante en cada troto conexo de la variNlad.
Las formas cerradas de grado O son ~implem"mLe un &onjuoto d .. q
constanlüs, donde q es el número de trozos. La afirmación queda
demostrada. ya que aquí no hay foronas tlxactas.
Si hay una aplicación suave do las variedades j; .1/1 - ,11 ••
entonce5 está determinada tal apH"ació n de las formas w _ J. ((.0»
que d U"(.o» = JO (d(.o)l (fI J. parte r, § 25). Por eso esta delerm in:Hla
la aplicnC[óll do Ins gmpos do cohomologias
1"; I1It (JI,; IR.) __ f/~ (Jf ¡: 11\). (3)
porquo la.s c.lasos do uquivalellcia pasaD do uno 11 otro (por m(>rl.io
de la apHc.ación/· las (ormas corradas quedan cerradas y Il1s eXllctas,
exactas). La aplicao.;iún r 115 '10 homomorfis mo do los grupos de coho-
mologías.
Tiene lugar 01 sigoionto
rl>OftEMA 1. Si son dado:u d'J$ aplicflCiorlf':$ SIUWCS
y t!!las apl¡radoflt!s .ton h'JII1.r¡t<¡pil:ns. t!lltOIl,("es IIIS aplicaclones de grtlPQS
de cohomologías Ir y It coinciden: li "'" /2 : ll~ (.111.; R) __ Hit (M); R).
DCMOS'tll.\GIO:-;: Sea dalla una hOoUJLOpía s uave F: ¡lf¡ X 1 __ ,1l~.
donrie I es un segru~nto. t .:;;;; f ~ 2 . Y P (x, 1) = J, (x), p (.~. 2) ,;,
= l. (x). Cualqu icrfl forrua diferonciatla Q de grado Ir. sobro JI X I
puede ser escrita así
(Ii)
donde (0), os una forma de grndo k qu~ no ~ont¡ene entre las diferen-
tiale!! dt. y w~ una forma de ~rarl.o k - L ({lte no contione entre las
diferentiale~ al (las coordenadas locales en /ff¡ X 1 se eligen siempre
en forma (x'. .. . , xn. l) _ (l:. ll, dondo (Xl • ... . "'~) ~on ~oor
donadas locales sobre ;11). 50a (.o) c.ualquicr forma de grado k $Ohm
la variedad M •. Entoncl?s, la foroUfl p. ((0) = Q = (.o)¡ + (.0)2 A dt,
donde tenernos localmente
1Il2 - ~ a¡, . ' '' .0 (7". t) d:r" A
1, _: • . . •. j~- l
§ l . C"h"mol"gl •• com" cia ••• d. I"rme< c ..... r.d.t.
"
Definimos la forma DQ del grado k - t por la sigl.lh¡ute f6rmula
(locahnente):
oo ~ Z (ja¡' . .. i._ ,{x,t}dt)dX" /\
" < .. . « ~_l I
... /\ d-l-" -' _ J o»:! dt.
•
(5)
DQ .. 5 la f(lrma de grado k - t sobre la variedad MI X l. Tiene
lugar el importllnte
LimA 1. Es justQ. la fórmula- de la IIhomotopCa f1lgebmi(Q f (Vlfllse
el § 2):
d (D (F· (w»)) ± D (d (p. (ro))) "" FI (00) -Ji (00). (6)
nOIOSTAACION Mostremos q¡U) para c llalq u¡ü rll forma Q sobre
}I.(, x { llS justa la lúrmllla
dD (Q) ± D (dQJ = Q I,_~ - Q 1, .. \. (7)
Calct1l~mos dO (n), dondo Q = (J), + (J)~ 1\ dt . Tf"1l1'm05 Joclll monle.
por delinici6n
dDQ = 2: 2: ('\' '0." .. ' H
• iJrJ
t,< ... <'._1 J r
dl) dx' 1\ d.cl , 1\ ... /\ (Ú 1._,.
D dQ "" D (dw,)+ D (d,~~ I\ dl) =
~ D ( 2:
Jo.; •. . .. ¡~
+ 2: Jl>j . . . a. J. dl /\ d.cio 1\ .. . 1\ d¿ · ) +
+ D ( h h ¡¡a" ~7~ 1.-, dJ:P 1\ dI;' 1\ .. . 1\ d .r l. - , 1\ dt) .
1, •. . I~_l P
De aquí vemos que
dDQ "¡"'( _1)··'Dd!;1 _ ± ::E (h; • . . . ,.(.r, 2) -
J,·' .. . <i.
La fórmula (7) queda demost rada. S¡ :l110r1l ~l = p. «(0). enlonce~
Q II_~ = ji (w), Q 1,- 1 .... l i «(o). El lema fJttoun ,hw1<lstrlldo.
"
VohaW"H lo h d",moSlrac.ión dd loort'IMI. SeA dnda 111111 formll
t~Tr~ d8 tIl 50bno J{. (es doe lr . uw = U). Entonc,",s ' ¡tone lugar lu 11:1Il.1-
d,d
1; ((,,) - f1 ¡ro) = dDP· ,"') ± /}dl.'· (<01).
Sin l'tJlLlngo, dF* ((0)) _ F· (dw) = O. Por t!!l() tl' llcmo~ 12 (w) -
- j~ (ID) = dDF· (<<1). ~5 dl'C i T, i:l dit.-renda do 195 formas os eXlLcta.
Es Lo .s ign ifH:: II. plJr deflllición. que lO! homomorfi.~m os
H . H~ (.lft : lt ) _II~ (.11,; R) Y ,;; H~ 1M,: !l) ......
-T H~ (.1f, ; "l. )
~oitlr "h·" -"Oh10 la~ cJUHCll dc t''1,Ii'' n!cn.:i/l ¡de cohomolo!llas). El
tCOTCltnn QUl,¡I¡t d(' lllos trlldo.
H('('ord{)lno~(,'¿ase 111 , lIarte 11. § Ji). qua dos "Am,' J odes se
lIomlln IIOll1r.lópiclls equivalentes . l<i ex is ten ll\l~ apliclltionl'.S
ISlu'""s) 1: .1/, -.l/._ g= .1/._ .11\. quo anlhlls superposic iO)les
fe : .11 ....... .1/: y !tI: JI , __ .11, son llOH10túpi~,M 11 las Aphl· nclO nl".~
id~ntic3~ :
.1/ , _J/,lor _x) . • I/ , _M,\II_Y).
Por f'jllll ' plo , <'1 ""IIfI.:io (,oel íd .. 'O [l" lo el <1;5(:0 lJ~ -
= {:E {.t"')I-G; R'}, 9S equivillento JlOlllOtópicllIu('nte a un punto. 0_'
La demostrad':'" (,on~¡ste 1'11 qU I! '1" /0 D") ~8t'¡ dcformondo por
si hllc¡~ UII punl,... Es to si~ll¡fica csactPllIllotc quo unll Ilpliución
fdóntiu 1: ;t" ....... ' '', dondll :T _ Z . olS Ilornotóp,clil a la /lpIiCIlr;ión
constaute! R" _ O (en un puuto).
n:on.lill .' ~ Los "''IIritdudu }wmot"flf("ll$ <'qujlYlltlllts tit lllm t¡.(u(J It'$
8"uJIOs JI' rohutllologíll$.
olt.'IOS1'n ,(.,(I.~ Scn qUl']asapllcílCIO ILCS!: ,If, __ ,\f •• 8: J1 . - .11,
e5lab l e ~eaJl ulla cqll h '/lfencia hODlolÓpica. Considell' ffi (),5. l ll~ .ph~
cae\ones j-: H~ (.1't) _I/t (M,) Y g: l/- (.11,) _ H- (MI)' Como
las aplicaciones !g y g! son homotópkll~ /1 lB! idóntic.a.s. los horno-
morf ismos UI)· "" g-'- y (,n- "'" ,-c- ~"" tol:ac.tll.mont.e homo morfis-
,nos idénticos tic los gru po.'! do cohoruo l ogln~, .'Il,g,in el tl'orcma 1:
t ~ 1-'-: ll ~ (:\I f ) _ n- /1/1),
t _,- , -; R~ /.1',)_H· (M,).
DI.' :"lul se deduc.." qUI) lo!! Irli.~mos lI()momorfiSlllOs ¡- y gt son
isomorfjSl)\O~, ademb. f('(.íproca mouto in"('rs05: r = (g-¡-' . El
teo rlJmll (11I~da probado.
OB5ERV.\CION. Según el tE'On'ma demo.~ lrlldo , se pu('den dct "r-
miLlar los ¡n,VO! do cohomologi.u pllrll todos los aspllc.ios dI.' X,
§ 1 Cohomologiu como cle.e. do lorml. eenldol
"
pun, lo~ cuaJes existe una ,'ariedll.d Al => X, l{ue Stl anuda hacia este
I!l'<pm·,o . tomando
f{~ (X; 'il) _ Ii~ (M": Rj, (8)
PQr ejemplo, el 0..-:110 no es una variedad, petO pllra él se puede
t1elerminlH los mismos grupos do cohomologías. que. por definición.
para un campo il~' (O, U O: ) (\'énse la figura 1) .
• 11, • a,
~'jg. L
COII.OLMlIO " Los grupal ck co}WmolOgCa9 de 1.1/1 es(XIcw eucUdeo
11'0." O de un di9CQ D~ son ws mJsmos que [,)$ de un punw . es duir,
II~ p.~) es trivwl, s i k > O. H U (1\") ... ~ es un espacio lineal uni-
dllMrulonal .
Do aquí se deduce I!l lIf1mad" i lema ÚO Poin, (ln:; ~ : l o,aIDl~nte. t<n
una región cerca de cualquülr punto .soore una \'ari(lrlarl Jlf~, toda
fOfma cerrada IJ) (dw = O) os exacla: ú) = dlJ) ' , rtcg ID > O. En
",r<'(Lo. eli jamolO un dis<'o D" en coord~nadas lacalloS con centro 1,)11
"
un punto Q: {~(x'" - x~)! ';;;;: e} y empleemos eu el d isco el COfO-
.-,
lario 1 de que H ' (D~) = O. parn k> O.
Para k = 1 {'l [{'ma de Poi ncnre t·S bien conocido del cu rso de
análisis motemhico. Para 1-fo"0II1s (iI = f~ df'. d~) = O. h .'nelllQS
,-
w = d/? donde Jo' IP) = 5 h d7/'. l)or un c~rni ll() quo ,,~ del PUll_
O
to Q al punto P El!] l!i diS<lo D",
Calculemos a.hora IlIs coho mologías de "nI! circunferencia S'.
AFlIlMAC)ON 3. ÚJ:> IfrupO$ tU: Nhomologw$ ck la d"cu.l!fu~lIciu S'
II~ (SI;R) = O. k> 1; (')
JJl (S'; ~) = R: H9 (S'; R) = R.
DEMOSTnAGION. Es e,"¡donte. que las cohomología.'; de SI son tri-
viales (igu~les a. cero), !' i k> 1. Luego, RO (SI) = a. porqlle la
c[rcunfel'l.lncia es conexa. Parll cak lllDr un grupo f{' (SI ) introducimos
una coordenada 'f'. dondo IP y ~. -'- 2nrt r(!pre~(! ntan un plinto de la
eircunferencill pan It (lntl'ro ~ . La forma del grado 1 es una forma del
tipoa (Ijl) d<p z= ro, dond!' u ('1') es \lna fundón pefiódica a ('1' + 2n) =-
= a (1JI). Siempre dw ... O. ya que la dimensión de la circunferencia
e~ ignal 11 1. ¿Cuándo I).'! exacta la forma a (q¡) d'l'? E~lo si¡;:nifica que
"
«('fI) ¡Ur = dF. donde F ('J') ('., uno [unción lM}riódiCIlI . Es ev hlontc
•
qUt' F ('fJ = ~ <l {lt,) d'l/' + l·Oll~ t . Así. la funrió n F ('P) es pl'riódiclI
" ~ "
si l ' ~Io !oí so ('um ple la condición ) a /V) d'l" = O , Ó ~ w "" O.
" ,. O" estA mallero. 13 formo tll'. grodo 1¡,) _ a (1Jl) dtp sobre la dI'-
cunfrrendn es l'.'tA('tll si y sólo s i ~c cum plu Jo cOlllli cióu ~ 10 _ O.
'. P(lt e~o. dos fOI'mos ('1, = a «(JI) d'f' y ro , = b (q,) dq¡ dl'lt'rmimUl la
mismll clase de collOmologias cuando y ~Io cuando 1 00, = f CUt.
s. t.
Asl t enemos IJI {SI: R) .., 1. LII 8Íumadón está delll(lslr/lda..
COROI,A I\I O LoI ¡:rupos de cohO/J1owgfas di! "ti p/41W tJuclfrko ,in
el punto R", Q (o $in anillo) son los mismos ym! t ielle la circunferellcia
!J ckl tlpfl
U· (Rh,Q) _ 0, J.: > 1; ¡JI W,Q) "'" H O (A",Q) = R. (tO)
f>mlI:R"AC10!<l. Indiqul'mos un I)li'torlo más de cálculo de coho-
mulogíns de una clreunfc reneill. A cada forma /o) (19) - a (fJ') drp
le confrontll mos uno forma . m ... dia.
:.. : ..
':) "'- -E- J w(tp+ 't) d't _ 2.~ [5 a(tp + 1")d't]dl.jl.
" . APIR;\I.~CION l . La forma /o) u ro/¡omológicu ti la forma ¡;,.
OC)IOSl'fUC10N. La lorma /o) (cp + 1") ('s inducida por la aplicación
'P-1P+'t de 111. c ircunlerenclu S' en si mi i'!ma. Esta aplicaci6n I'S
homotÓpica 11 la idénlica . Por l'$ O ro (qo) -- /o) (ql + 'f). La suma
illlegrol para 00 se de t ipo
2.~ ~ (i.\(q/+'T,)6't¡--I>'(J¡l). ~~ 61", _ Itl(q/) . (H)
, ,
Por lo tanto, cada SlUDa integra l de esle tipo I'S cohomoJógicll a "'.
La nfi rmaci6n quedn de1Dosl rndll.. La forma ~ es de t ipo ~(~) _ CldfP ,
'"
, o
donde cr; .. con~t --o>- l a (1/') dljl. En rea li dlld:
-"
•
'" ~(q» .,, ~ U 4 (q>+1")d'T]dlJ' =-
• ~ .. +. z ..
- 2~ r 1 'N)d~]'. - ';' [.\ <(jo)",] ••.
• •
"
(E n est\l Citll,! se d¡c\) , quC' I~ forma 11) (q) es ¡ n "nt ¡&nl~ rt's pecto 11 las
ro taciones: ÜI (q¡ + 'fD) - W (rr). )
As!' fI t,ada cI&5<l d\! coholuolllgías ::u le co nh .. mtnmos una formo
invlHion le (respecto 11 105 fot adoncs) w. es dac,ir , un númoro real.
Es ",,, ¡tiente. que est /lo es una corr"spond~nc ' e biunh'oc a. y oblenBmos
H I (S I) _ '-l..
i\lb a bajo se mostrará . cómo:se puede generlllh.ot el rnon.mienlo
ci t:ado para calculot cohomolo¡íos de 10Ji t'spacios homogéneos com·
pac to~ .
,\ I'IUMACh'X ~_ La uurl,dod ori~lltada u1Taoo tk R i,rnann. 111" /tlne
un grupo de rohomclogta, Ir' (M") no Irlvial.
DEMOS'rRACIO:S . E lI:ominemo.'C un elem ento de volumen R, donde
(l tx;a lmente) tenemos: U - V 171 d$1 1\ . . . /\ d ,;". Si el con-
junto de Jos dominio.s de coordenlldas local es se elige según la arien-
tllción (es decir, todos los J8co hi 8nos dul n fun ciones de la transición
son pos ith 'os), entonccs O es la formll de grado 11 dHerllncial , y,
con CSO, l €loemos } n > O ("11 vohunen de l. \'ar il'dad .'1'1 ~ ). Es 8\'j·
~; ..
dentll que dO = U, porq uu .. 1 grado ue fo rma Q ('9 igual 8 /l . SI fuere
n _ dw, Il nlonees lendrÍlurlOS, !egún la fó rmu la de Stokcs
( ", _ \ dw~ \ Q _ O. (12)
<l.ü" ,,¡,, ~j"
(puC;5lo que M " e., <:errnda. y no lillne fronlf'ra). ObteO(~mos U0 9 con-
t radicción. La afirmllción queda demostrada.
ODSCR\'"C.IO!'i:. S i ),. vnr iodarl cen orla ,\1" ('jJ no oricn lable (por
f' jemplo. M~ = 1 P 2). "Dl onces. 1'1 grupo nn fM"; 5\ ) es t ri",.I;
eSÍ(ll'e demostra ra en el § 3. En pa r t icular, un ell'Qlcuto de \'o lumt n
Q _ ~ 'TKI W A . 1\ <k" cn 1'1 CIISO del cluuL io c,on un jaco-
hi&oo nllgati vo . no Sic' manif icsta como una form" diferencial.
SlIa JI . (.11") ..., f 1I~ (Jl" " ) li no sUllla d irccln de grupos do coho-
.-.
mologJe!. Introduzcamos ¡m el grupo /l" (¡\In) una fJ ~tr uctUrll de
anillo .
.... rJlHlAc .o,.; . 5. Stall IIlI' w. formtl$ cerrada$. Entonen. lIu formOl
toI, 1\ 111; V (w1 + d(,)') 1\ {.I t son rerrOMI V eohomo16gicas. DDt~TR"";lü"'" &ogún 111 fórmula de Lei bniz (v~~se fll . parlo l.
§ 25). tenemos:
d (Ol' 1\ Ol t) - dOl' 1\ w. ± Ol' 1\ dOl. - dú)' /\ (1)1' (HI)
Por eso
(00 , + dw' ) /\ WI _ W 1 1\ W, + d (Ol' 1\ h);). (14)
La lIfirmación q' Jeda domostradl .
,.
Conforme a e:<l " ltfirmllción, l' ] plodueLo ex turio r clll In, to rlll llS
o.l. l'lcrmiutl cor r~ lIl1n ('n lll' lo ruultipll cllOJ ión 1'11 H. (.tr'). De esln
man"rft. obtclIemo.s un flnUlo rk cohomo/ngfa. eh la >XIrI~d..d .II~.
Si (0), E 1/" 01"). (0/= E I/q (.lrn). <' 1I 10nC1'5 el II rorl uc-lo 0),0»)2 :10)
cncu\ml rll 11" 1.'1 espltei,) l {l'·. ¡,IT"). g ::< LC producto tielll' In s igmcI\lt>
pro p io.>llml ,le 1l"licOllnlUU.tividad:
115)
.... datemos ,,1 .~ent¡do goometrico d I:! ¡us grupt)!o du coho<noJogi/l.! ;
IlIs rlllf¡ n[ciones I'Xflc t .. S la, darllmos en lo.!; si¡uicntO!' plirralos.
S i ,un l' S l\nll \'Il.ricdad !lrb it[a~ia y w OS unft forma uu " r nrl!) k
cerr ll du, IIlllOIl Cl'l'l sus . inL lIg rllles por cklost son dotofm intnlos. Esto
so pU t'u<.! ~o mpronder . por cjllmplo, 1I~1. Sea M~ una va.riedad Cl:!rrada
orumtablc "·-d¡ m(' lIi~io " lIl . Como .<'ido • .,n h \'ur iedad :l/" compren-
demos. por nhora , una apl ,cación s ,u,,'e f: ." . _ .11" , es dedr, el
pllr (M·, (j ,
DEFJI.: 'C IO~ ! Al p",riodo de In 101"l1n '" Il(>r d ciclo (.U· ,jI lo deno-
min;Hf'mo.~ con'" ¡nl .. ¡;oral ) J·w .
.. '
SeR I'I·-r' ulln \'a ricd rt d arbil r ann oricntablo con borde M~ z=
_ iI{V·. ' . 1::1 borde f'S unl! "ariedlld "errado or ientablll (I':ons is lcnle,
posib lt! lncnl..o;, t' n varios ttOzos) . Cuma 'pelk"lIu comprl' ndomo8 Jlna
a plicoción P: N· -r l - "''', Ticnu lugar l,l sig uiellte
T EOlIU'A s 11) P(wa t'lto.l.quttr t'ldo (.1 f h,f) d perwdo de tu !lwmd
rxocw ro _ dú)' n IJ:ool o uro.
b) Si ti t'/.t'la lM·, f) es ,wa ¡rOl/lera rh la prllcula (N"+I , F),
donde ",. ti Ulla jrontl'ra dl' i\'''~l y ,.. 1M • "'" ,. rn tom:u, ti prrfudo
dt cualquirr fQrma crl'rad(l por ta l ('11'/0 l¡\f~, f) ~s Igual a ,~ro.
DnlOSTI\ACIO~ ll ) Si 1;1 = dOI'. enlollCOS', ,~egun l o. r,jrmul~ do
Stokes, lenemos
~ r ... - ~ ¡ · (dúl')-= ~ d(/·"I')_ ~ , . ( ... ')_0. ( t6)
,-r" M O .\Ik n~l.
y8 q Ul:! ll! vnriedlld Al· no tiOlne f rontllra.
b) S i ",. 0$ una fren terll de N-- ' (tomnndo en cuentn las o rienlo-
ciones) y F I",~ ... /, entonces, se~uTl l . fórmuln de SlokE'S, ~eneUl~
\ ' · w_ ~ dP(w) - { p.(d<u) _ O.
.Ii- N~" N~"
{ I"i I
El teorelllo queda demolllrado.
MOlIlranu)5. sin demoslrar. IIn importante becl,o : 11; lo! períodos
de una fo r lTla cerrada por lodos los ciclOll 80n i~uaJe!I a cero. enlooc.·".
l a formll. es exacto (véue "bajo el § 14).
"
J.JEMPLO. Si ,It" _ S'" es una esfe .. a , entonces . Y· (S") _ O
euando k + O, n.
DBMostJ\ACION. Si k> n, la anf'lllI.ción e! evidente por definI-
ción, Si O < k <" y. (M-, J) es un c iclo cudquiera, ('ntanee!, POl
el teoromll de SlIrd «(11 , parle II , § 10), la Imagen t (M k ) no cubro
siquier", un pun to Q E S", Por eso. el cielo (M~. f).'Ie encuentra . de
hooho , 8" "I:n _ 8"0. Ya .!Iab6ffiOS (lema de POlDellré) que en
R" cutdquier forma es OX8cta. Por 630 todos los períodos son iguales
11 aero. si O < k < n. De ahi que H" (S" ) _ O. c uando O < k < 11.
Otra conclUllion de Ij5t.o hecho puede ser obtenida del razona-
miento análogo al cAlculo de cohomnlogías de la clreunferoncia SI
(mis arriba). Utilinndo un grupo de movimientos SO (n. + i)
sobre IIDa esfera 8 .1 se puode reduci r cua lquier claso de eohomologias
a una CormA cerrada ¡nvnriallta con relación 8 SO (110 + 1) sobro 'la'
elIfora S". La forma invarianLoq¡sedeLermina por el valor en un punto
de la esfera y en 6!lte punto tiene que IK'r InvarialLte con relación
a un scupo estac ionario SO (n) c: SO (110 + t ). Tales form as da (,)
no exisllln. excepto 1M dinl ensionos cero y ,. (¡comptll&be5el).
De maDera anafaga. c~tculll mQ.~ las cohomol ogíu de grupos de
Lio y los espacios simétric~ .
Recordemos (,-éase [l). p:1rLo 11. i ti). que IIn uspacio homogé-
neo .tf de un grupo O con un ¡rupo do isolrop!a If se l18ma. simélrko,
si en 01 grupo G os dada 1111(1 t invnluciónf. os docle. un auLomorfisroo
1: G -O. fI _ 1 tal. 'IU\I I 1" _ 1 (Ins pllntos del subgrll po 11 son
Inmóvil .. s respecto al IlI1LoOlvtflsmo 1). Con It.~to. la ecuac ión J (:r.) _
_ :t pUlI los J:: pn.'u:i ,noi Jl 1, da solamentt' lo" l'IeIDl'ntos tlel s ub-
grupo ll.
Sobro) tal vnr iedad hOlDog6nca ,11 se delerminll In t~imetr(a.
1" con relación 11 ctl~lq "l ~ r plinto x. dondo.s; _ t. L •• al)liCllo;ión.s"
de la vArledad.'l1 e n s i mis ma so ,In asi: !(la f( (.t) hU punlo cn" lq ulerll
do .1(; hate mos
I (..r:) ... 8" (g (z») .. { (g) Ix): s" (z) _ x (c ult.f1do !t = 1); (18)
dondo g os un elemonto c llalqlliMa del grupo G que H"túa IllJ Af.
f .. o It.pliClICión s" Pllt ll c \ullquicr puntf) z se dll lorminó correcta-
monte, al mi~mo tiempo (1,,). O.':! lIna aplicación de u n espacio tan-
¡r¡nte cn 01 punto x respooto 111 origon de las coordenadas (véase fi l.
pa rte 11 . t O). En particular , cada grupo compaclo de Lie G es un
OII Pacio s imlitrico dp[ ¡:rupo G x G, La IIcción dol grupo G X G se
doterln ina a,í:
( t9)
La involución f{ lie llo In forlna: r (g. h) "'" (h. gJ . El .subgr"po If
ti') UM dlngonal {(R, /,in. La simBtría s" con relación 11 la nnirlnrl dd
¡;:-rupo G. z = e. SI.' detorln!nH por la fó rmuln
!I_ (el = :- '. ( ('J')
"
En cua lq uier espllcio homogéneo se elíg,m tl\ l ~1I lonll8.!l in \'8flll ll-
te!! diferencia les, q ue g-f» - w; g es cualquier elomento de G.
La d ifo:renc¡ a¡ dI<) de uon formo. invariante ot ra vez se reprl";sent a
como UlIo. lo rma ¡ovnia"w:
(20)
El \lro(lu01u Ül 1 /\ (i)~ de dos fonu¡tS iuvllrja n tea es ¡n"ariauto
también:
(2 1)
Por (os() so ¡Jeleru);n!) el Drli ll o de las forma s Invar illn ll:'!:I dd esp" ,
e(o homogéneo /lf . Resulta qUIJ para cualquier espacio homogéooo
de U D grupo compacto de Lle COlleJO ('1 anillo do cohomologfu puede
ser calculado sólo con ayuda do 1l1li formM InyarilUl les. Al mismo
tilunpo, para los espacl03 si métrico!> t iene l ugar unll dirmacl6n más
fuer te:
Tl:O HENA 4. Sea M un npado f:Qmpm;lo simi'lrico fk Uf! grupo COIn-
pacto rk ~je G. Kit/Mees;
a) rualq¡d~r forma ¡'wariante suure JIJ es (l'l'rurW;
b) clUIlquler forma urrada Bo/m' M es (ohonwlógl(Q " la 'nua.-
r!ante;
e) unn. jormtl lrwarianU (no nulil) nuntu ts cohomoMgiea 11. uro.
DI':.\IOSTII AClotl. n) Sen", unR forma iuvaril\Dte del ran¡:<I k. Coo-
sídurlllno~ lit fo rma s,::", - ~. Mostremos que ror ma '" es también
Invarian te. Por la iguald nd (18) tenem 03:
1"7'. = 1', •• ,,, (T, _ g) (22)
En realidad , si /1 _ T~ (x) , 11Iltone6S
r,é"T ~ (z) - Tr.T ,. (.e) = ¡",M (x) .
,
,,,T.T.(%)_ ~.ET •• (&).
I"T. ~ (.1') - T Ih ~) (.tI _. I<" T r ( /I) ... T ' ''.~ (V) ·
Enton~s
. .
r;", ,,. Ti!:"" - (.1 .. '.)" CI) =- 6.::n.CI)_ (0).
es d .. ~i r. la for ma ~ os ' !lv¡¡r ,allw.
C.offiO~" dptc rm in& In oplicndó" sobro un ~paeio Illn~I'" l e 011 " n
pun to x . c.n tonccs, ~.I~ _ (-I)-u) l.,.
Como I&~ formas (1) y ti) son in\QrIIllllt·';:. la últimil i~ua l t!.d t.~
just ll pua cua lquier ptmtu r:
,~_ (_ 1)·,,, (2::\)
Por e80 d~ = (_ 1)A d",. Pero las fo rlll as d", 'Y d", de rango.
k + 1 80n tawbién invariantes, mientras que oS: d", -. d:'.
Por e~
d~ _( _ 1)A.1 d~ (24)
debido a 108 mismos razonamieutos expuestos Arriba (el raniO ele
estas formas es jgu:.1 a Ir + t). gn ~oDseeuene ia do,¡ _ O; Ja primera
parle del teorema qut'da demostrada.
b} Sea cerrada la forma r,) sobra una variooad 111: dr,) _ O.
Sobre el grupo G. duhino 11 la compacidad. c,;isle una mótr ico ¡ OVII-
rla1l\.o (mhrica de KUHng) (\·¡jase pI, porto 1. § 24 y pa rto IJ § 8).
Esta mét rica determinll un elemento invarlanU! do volumen que
dcsilifnl'm05 por dp. (g).
d.1I (hg) "" d" (g). (25)
NormoHt'emo~ UII elemcnto de volumen .wbrp el grupo G11(' tal
illallllrll que el \'ol ulliel] d ~' lodo d grupo sao ¡iunl a 1:
~ dfl (g) - 1 126)
Detr:>rmln tlomoS por la lorma r,) lo forma (l). ho<"i(>ndo
;;-, ... A r:".od¡1 (g) . (27)
Com probemos que la fo rma;;; ('S invatÍll n te y ('ohomoló¡:h' ll n la
forma (1). Calculemos lo forma Ti:~. Tendrenl(.!\
1':;;-; ,.,. J 1';:,(1.1 d!1 (¡¡') - J T:G(~ rl" (h g) .... l 1';.(" di' (g') - ;;;, (28)
donde hael'mo.! ti = IIg, t lll ~u~til u(' i ón del "lIrinh)ts es 1'11/1\' 11 e in-
verli bh' .
Alli, In torma 70 es in vu.rion te. i\los tr(' IJl O~ q ue l/l.! forDuu ;- y '"
son cohomoIÓ¡icas. Ln oplinlc ión 1', do 111 vpri~d~d .11 I1n si miSnl.n
es homol6piCII 11 la id6nl;';o. Fn "{eeto. sen J! fl) UlII nlrVII en un
grupo G, q uo liga un punlo 11 r,oo uno uninlld ,1('1 ~rllpo {('('Corrl('n'lo!l.
qul" ('1 grupo G es ren",xo) Entonces. T 111" es Ir! ¡Iomol.opíll bu!lt8r1a.
Por eso Ins formas r;(I) ) (1\ son rohomoI6¡:ir~!I (>11 \ irlun (11,1 tco r~'
mil 1: T:c.J"'" (0). Por (onsigll icnto.
;;;- J T~.dl l {,) _ f ,. , (1111 &') -" " f d!I(~)"" ,I.I . (2,!))
G o r.
La segundll p.rte quodn d,'mDs lr ll.(ln.
~ .
c) YalllO!lIl d<:-mostrar lIhora, ¡¡m) 'lIla forllla illvatiauto3o sobru un
(,5pado .:ompaclo " imUdco 110 puod(" ,wr co¡'om('>l óll' ica B cero tSl
el lo. t"!I no 1111111). Rceorde ruos. qUlI l«Ilore 111. vAriedad M puedll ser
introducida una métrica de R¡¡' ml\n n (hu) t¡lIe es invHfil\.nlo con
r",IIlO:¡óll 1\ In acción del grupo G (\'lIbo:! iLl. parle 1) , t 8). La ru6trim
do Biolllanll .'>Obr() UM vMiod~d d"torrnlll ll el prodllcto BS!.'IIlI\r!le las
formas iIO br\! ~Sla var ietl!ul. El cua drado ~r,ah,f de In formA (fJ (.'!j
igua l Il
~w, ",)- . {,., /1. lO"',
; ,
(30)
Este ,'aJor s i(' lll pre es m O~'O I' qul' CQI'() si w+O, J~ n e(PClo, si
.... ~ , ~J_ ,L: a l , ... i_dT" /1. •. • /l.d.I-. entonces
>. <. " - ' -
1 w /\ .. ", - J ,,¡.!. ' •• h'_ J~al, .. . ,,,0,, .. j~ ~/ ¡; dx' /1. ... 11. dr" >0
(»¡¡lIí ,,1) ,'s una malrit, in \'l>t'l;\l a hu, h = unl (11 ,,). " = diro .lf).
Sea (JI UIIIl forma invariante. En " ,gor do invariación d I.' 11\ 11)';'-
tr ie .. (hu ) tod~ I~ operadorll! T; cOhmll llln con el op-eradtlr • . 1'or
'-'!la b form". (O es Invarian te t"mbien y. por c.o lIs igu iom te. e5 ,'eHlI '
da: d_m _ O,
S upOtlíflUn09 W = dw·. Gnlon'W~, d (w ' 1\ • ~}) "" dw ' 11. _ (oJ ±
± w' 1\ d _ w = w 1\ • w. Por oso. según 111 f6rmu l ~ di' 5 10l..C9,
h 'n"m05
(~"",) _ ~wlI. .. "'_ ,'d(w' lI. _w)_O.
~'I ,;,
(3 1)
Jo: lI lo,,~es, la fUfmll W ~9 un cero id6ntj~o . El UlOr('llia q ucda tO~:II
mnJi Ul ,Iemostrado.
Consid lJrelIlOl:l ahora . 11(11005 ejllru p l~.
&JIt)l.PI.O t E l toro T" _ H", r . donde r es un retículo enlero
numérico en !/l.... ongendrado por 11 vectores linealmente indoprn-
dientoa. El toro es un ¡ rOPO de Lle aboli"llo com pacto.
Soan :t I • ••.• :t~ coordenad as euclfdeas en IR.n. Todas IR.!! rormas
del tipo dr '. 11. . '. 1\ dJ:1. IIOn las fo rmas invarian tes (respe(.lo
R los dcsp l at.amíeoto~) sobre :it~. Por oso 011&5 dete.rnlinan 1115 fonnas
invorianteos sobre el toro T". Si 1" forllla to <% GI ... . I. (x) dJ:;' 11. . ..
. . . 1\ d,tl. sob r ~ el toro es ¡nvarillnte, esto !ignlfica que
a " .. , ' . (x+y) -a" . . . I~ (z). (32)
011 dl'Ci r , los coefi cientes de la forma ro son OODSUnte.~·
a" ... l. _ cun~ l. (33)
i \. Cohomología. como cia.". d. form~< c .. rrada.
"
Así, cualquier forma invari ante sobro 1'n es una combinación lineal
con los coeficientes constantes do lOli! prod\lcttlS exteriores de las
formas dx
'
• d:r,' , .. . , d:¡;n.
DI!DUCC10:;. El anillo de eohomologías del loro H" (1''') es un
álgobrll e:derior A (~l' ... , e,.) con las seneratriccs el' .. . , el'
do grado :1. Aqul el es una cl ase de cohomologías de la Jorma dx .
E.Jr;:~II'LO 2 . Un gnlpa do Lie compacto. Las formas invariantes
sobrc G son formas bilaterolmentll irwa ri untes diferencialt's sobro un
grupo (respecto a los d~,!;pJ azamielltOll a la izquierda y a la derecha).
Considl'rernOS, al principIO, I::ts formas in\'¡lrilln!.es respecto a los
desplRzamielllos a l a izquil'rtlll sobre cl grupo G. Demos un ejemplo
de una 1-forma in \'ariantl:' respc~to a los desploumienl.os 11 la izquier-
da con valores vedorillles quo toma valores en el álgebra de Lio 9
del grupo G : Col (g) = g-' dg. Para un ·grupo matricia l G, dond~ !; =
... ~I ~ )' dg = Idg¡h) el! una matriz con elelll(!l\los dga . q; es tpmuión
una matriz d ... las 1-forDHls. W = (w;l<).
Otr.:l cooslrucdón de la misma [arma Col no emplea In realización
matncial del ~rupo y por eso convi ... no pa ra cualquier grupo G.
Sea d Vel\tor ~ lnng(lnl~ del grupo G en un punto g. Achlt1ndo sourc E
c.on 111L despla:wmipll lo a la boquierda (Lr .) .. , obtenemos \l1J vector
do un f'spnrio tangente en la unidad del grupo, t'S decir , d(,1 úlgobra
dI! Lí O) g.
T(¡do componente de In [ormt\ OJ 1"5 in\'srinnlc respecto a los des·
plazll rni ('lIlOS a la i1.quil'rda:
(34)
S,;>H 6'.. .• 6'"\' uua haSl' en un espacio de las t-Iorma~ ;OV,\-
rinotes respl.'cto a 105 d,' splazamientos a 11\ hquicrda. Pllrll \111 grupo
1J18lrichd E' n calid nd de las formas 6' pueden .ser lomados los compo-
oe"le~ de h. forma CIJ _ (oou) ~ g-Idg eSCClliendo entre ellos 105
liocalmonto i¡ldllpeJl(lienles. Por ejcmplo, para un grupo G = SO (n) ,
donde la matriz (CIJ,) es antisimét.rica. en ca lidad de hase pueden S('c
lomadlls las formas 001 _ ' dondC' i < 1,:.
LE)f.\ 2. Elllúmera N. a3ea la dimensión del espacio de los t -jorrrws
ú¡(l(Jrlantes respeda a las de~plazamientos a la (ZlIuJl'rda. ell igual a la
dtlrumsi61t rk 1m grupo.
DE¡I1OS,.R ..... r.!~N Cualquíer I-forma iuvariante resp€'C to iI loa des-
plazamionlos a 11' izquierda 6 se dl'lermina lotalJUI'nle por su valor
sobre Uf! espacio l angclltc en 11\ unidad 0.1.,1 grupo, MiomAs, t'ste ,·alor
pu('de ser IlrlJitrario. El Jem~ queda demostrado.
OOlIOLAjH" . El espaela de lall t -jarmml tn¡.-urwntcs respecta a ItJs
desplrnamie/ltos a la izquierda. coincide con tl I'sparia g*" rk lodllll
las ¡unciones lineales sabre el ú'lgebra de Lie 9 del g1llfXJ C.
Aqlli el álg('bro etc Lie ·~e con"ideru como \111 espacio l all.l!l' uto en
Ja unidltd del ~fUpo.
Cap, \ . Recelao d91 cálculo d. homolog •• •
LIl ~1A s. Cualquier k-forma lll~'ariantl! rcspl!cto a los desplazamien-
W!; a 111. izquierda ((> posee la formlJ
(35)
(umde UI ,. .. / _ son e¡ITISlafi les.
n C~!OnIlAC !OS . gn virtud del l[lma :.1 la forma úl on la I1l1íllad
del ll:rupo puodo Sl'r oscrita as í:
(" (<1) = íj a" . . , ~O ' L (el A . . . I\O'-(e). (3G)
< lo • •• -: I ~
SQgílJlla invn,rinción respecto 11 los d(.'.'iplaln,mll'lllos 1\ la izq ui(' r. la
d(l ].1~ formas úl y Oi. la igualdad (:~(¡) toS justa (.'11 c ualqui elr punto dell
grupo. ¡;;I lomll queda domostrado.
';Oll o)I,AR/O. El álgebra de las formlls tmxv/./lIIles resperlu /1 /.Q,~ J<,.~
pm:amienws a la izq"ierda fobre el grupo de lAe G es isomorfa rll (i,lgebra
exterior A B·) por encIma del espacio s· de mI fu.nciones linell1e¡¡
sobre el álgebra de L/e 9. En otras palabms, esta álgebra coincide NUI
un espacio de la4 lune/oMs antlslmétrlcas polilineales sobre el tilgeh/a
de Lit", 9.
AoJaromo~ qué formas invariltntQ~ respec to 11 los d(\sp!nltlmi('Il-
tos a la izqui(lrda son. al mismo tieolJlo. [ormas inyariootl's r(.'speo;:.to
I.l los de;¡piuzamientos a la derecha. Señalemos, que con 109 d espla-
zamientos n la derecha por h-(. la rorntR W = g-ldg se transforma
do la manora s iguiont.e:
to¡_ (g }c ' )- ' d (;lIC ') = 1" ,,1.-'.
Do aq lIí es jm'lo el
LRM A \ La luná6n anlisl mélrlca poIWIlt>a/ 'l' (X,. . . , X~)
de A (S·) r8sponde a la forma 1/u)(Jri" nte resp ecto 11 los desplazamientos
4. la derecha si, y s610 si, es ¡Mtll. la Igualdad:
(37)pa¡:a cWllquier elenunto h dd grupo G.
DEDVCCIQN . El nnillo de cohoruologias de un grup" do Lit' c·om-
pacto cone¡¡o G coincide con el anillo A In. (9·) de las funciones
antislmétriOIlS poHUneales sobro el liJ gebra de Lie 9 invllriantes
rospect.o a los automorfísmos inlAlrioros.
Sea (JUll ( , ) significa una forma de KiIling sobre el álgl'bra do
Lle 9 tÍel grupo G. Detorminemos la función 3-lineal Q (X, Y, Z)
8Obro el Ugeb~a de Lie g, haciendo
Q (X, y , Z)..,. (IX, Y,l Z). (38)
§ l. Cohamalagl e. ca",", d .... d. fo,," .. ~.".d.,
Esta forma es nntisimlitrlca, dGbido a la i nvariación de h . forma de
KiUing (véase 111. parte I. § 24). Además, en \' ir tud de la igualdad
fhX}¡-I, hYh-') = h (X, Y) h- I , 111 forma Q el! invariante rGspecto
a los automorfismos interiores dal gr-ll pO G. Por eso es jUlIla la
A YIRMACJON e. El grupo lP (G) es no trivial pura cualquier grupo
de L/e compacto G con una fo,-m" regular de Kil/ing (e~' dl!Cir, para un
grupo no abe/fano).
&Jl1MPLO 3. Sea ,11 un ~l!pac i o simetrico del grupo G; lf, un grupo
do isotropía. F ij ando un pun to r en la variedad 111. ObUmf)llOS UDa
,
aplicación G __ M . dond~ un ('lamento del grupo ¡¡ pasa a P (8) =
= T # (:.¡:J. Todo ('1 s ubgru po H (y ~ó l o él) pasa al punto 1:. Si ¡o es
una ru rma sohre In variedad .Ir. cntonce~ se determ Ina una forni a p . ¡o
sobre al grupo G. E&la forma se anula sobre el espacio tangente al
subgrupo /l. Cunlquier clll'>C;der"Cha contigua {gH} por el subgrupo
H paS3 a un pllnto, at flpticnrSl.\ p. Por eso IR rorma p*l') I.'~ invarian te
rcsp(\~IO ... los despl a¡;ll micnto.;l 11 la Ilerecllll con ayn¡lII. de los ele-
m('ll1to~ del grupo H .
Sea (ol una forruA Jnv"rian to SObl'O In v(lricdad M . Enton~es la
fo rma p"¡o sobro 01 grupo G os invarianta respecto n los dl'splaza-
mientos n la izqnierd~ .
TSORIIMA 6. El "m tilo df W8 forrrllJe inlXlrialllu dífercnclaLts sobre
el erpac/o }wl1wgineo .1( del grupo G CO/l el grupo de isotrop(u II es
-isomorfo a l álgebra aler/or 1\ IllV «q:/h)*) (II'1uf k I'S el álgeb,," de Lie
del sl,bgrupo fr¡, e$ ded/". ,, 1 álgebro. de las funcio/~s an/lR/melrlcas
polilíneales sobre g , unuuldus sobre Ji, inlXJnarttep respeetu a (os auto-
nw'lismos interiores run ayuda de los elemenws de H.
DEloIOSTI\ACION. A rAda forma invariante (¡,) sobre .ir le conrronte-
m08 In lorma P*(j) sobre l<I grupo G. LA form a p*¡o l'~ in vn r i~ nte res-
pecto a lo~ desplaumi enlos a la iZQuierda y se IIllu la sobre k. por
eso determina cit'r to tl lernento d!l 1\ ( g/k)*). LII forma p·w es
invllr ia llte tAmbién T<.'specln a lag desplilzllmi",nlos a la derecha
en los e l a ru elJlo~ del grupo H. El! su ficiente parll esto, en virtud de
h in\'ariar,ión respec.to a los dt'spl o.zaroientos o. la izq uil'rda, que la
form a p*¡o sell i nYRrilln to Tt>Specto 11 los automorfismoli interiores
en los elementos del grupo H. El t~on:ma qUf'do demostrado.
eJE .. \tl'LO 4 Cil lculemoli el anillo de co¡'o motogills de Hit espacio
complejo proyeclivo:
Cp R = U (n + l )IU O) X U {nJ. (39)
CP" es un aspacio compar,to simlitrico. El grupo U (n + t ) también
es cone~o y compacto. Por eso, el anillo de eohomologías f:,P" se
determina por las lormas inva riantes diferencia les.
&a n (lI' , .. " en) coordlonlldas homogéncas sobre CP", es deci r.
coordenadas sobre Cn1-"O, deU'rminadas co n exactitud hasta un
••
fa ctor completo no nulo. Conaidel'i'mos en C ..... I una Z-forma real
difCNIIC: ial
(40)
A la T('s tricc.ión dI:! ula lorma sobr .. la esfcn SIM+I: ± I ~ II =- f
.-l.awbién la designemos por O. La forma n es invariante Tt'SpeclO 111
grupo U (n + t I. Mostremos qUt esta formA se obtiene de cierta
fo rma Q ~obre CP"; Q _ p .w. dOllde p: Sl~+t _ c p n es una
proyección n:lluTtll.
Hay que verifkar que (on lAS ~ranS fOtlllaciones
z~-e."!~, dl~ _et.(I/;¡;~+l::~dql), (41)
(41')
La furm~ Q pMIl el ! s i m¡ .~mll . J:l<'>bn:' In tII lera S .."... donde
• ~ t! ? .. 1, !en('IDOS ~¡· d:'·+ ~ ? dtft _ O; por eso
'-0
-f ¿; dl· 1\ dz· - -r ~ a:~ 1\ a"i· +
+ tao¡ /\ h (~ d?< + z· d:A) _ f Z d~· /\ dt.a•
Así obtenemos la 2- for mll ill\'arilwtc ÜI sobre el espado !'lirnétrlco
ep", Todos sus gradOJ! ext .. rion's w'" soo rBstinlos d" (61'0 cuoooo
k ", n, ya que los grados correspondi t'lllt's de la for ma U tam bién
son dblinl09 de (~fO (¡verHlq\II':seI).
DCDt"CC10~ . El 61¡ebro dI' (ohoJllo!o¡ias U· «(P") del (,lSpllcio
oomrlolo proyedivo Cp R conti l'"DIl en I<l ~l 61(1:l'bra de polinomios
Clw de la generatril 00 de dim('Dsión 2. odemb, 00" .,.1 = o.
Ea el i 4 $(! moa!rar'. que 110 b~y otr09 e1rmentos en H· (( P,,).
§ 2. HomoloirM de los complejos algebrllcos
O,."ISICION l. Se llama complejo (complejo de cadenas o c~
cadMu) un grupo abellaDo e escrito aditiva mente, si:
1) El grupo e se reprll68n ta como UDa suma directa e "'" )! e" t;:.
de I\IJJ allbgrupos C. de 1, d imen~ión o del ~r.do k (se dice que el
grupo e i'.'J graduAdo).
2) Es dado un operador lineal Olomomorfi ~mo) o: C. _ C.*I
tal. que 00 _ O; el homomorfismo a 8um"nta (o reduce) la dimensión
en 1 sImultáneamente para todos los k: iJ (C_) c. CH,o[O (Ca) c::
c: C. _,I. Si aCa c:: ac.+ I • se trata de un compl ejo de ceocadenns-,
,SI ac. c. C._lO se t rata de un complejO do 4co.den8Sf,
,.
D8flN1CION~. El grupc> k"dimensiona l da homologias H _ (C}
del complejo de cadena~ e se denomina gl'Upo coeiente del grupo de
cidos k-dimensionales Z. = Ker ó (o sea az_ = O) por un subgrupo
de fronteras B ~ = 1m iJ = 8e,,+! (B. e Z,.):
H. (e) = Z~/B~ (1}
Al grupo de cohomologíllS del compleJo da cocadena~ so lo llamará
grupo cociente de los cOt: iclos Z/o. .... Rer a por cafrontarAS B~ =
= OC~ _I :
(2)
Al grupo comple t o de homologí as /J. (e) o dc (,.ohomoIO'gÍIIs-
H · (e) se lo lI~maní suma direcla: H .. (e) = ~ HA (C), o H· (e) =
~ ;.o
= ~ H~ (e).
b.
IlHmPLO 1. .El comple jo d" formas d¡f('tcnciales e = ~ C_
.-.
soLre la "Iuicdo ¡] fll" es {'OIlI'XO {'on clIdG variNlad ,\1". Aquí e"
~on tod"s las k-rormn~ (>suII\'es) ~ob", 111 variedad M"; ('1 o¡K'rlldor-
O: e" -. C/o. +1 ('$ un OPNndor de> In diferendl1dón ('xtt>rior d = a.
Laa homologias oc t al cornpkjo sc d¡'Domino!wn en p.1 § t COIIOO1ulc-
gills de varicd~d .
EJI!.MP LO 2. Se detcrlllÍna un com plejo de las rormos in \'arislltC'3-
dUcrcncialcs sobro un grupo de Lia (1 ~oLre uo ..spllcio simétrico.
Todal:l csta8 formlls ~Oll c ¡'l'l'iHlll~. PUl' eso e l oIX'rlldor d ...... des 1.ri"ial,
o sea, nulo. DIlJ ll'Or(>lllfl 1.4 1".' ded lle,c qUl' las homologíll8 de este-
complejo coinc iden (panl IIn t'spacio simétrico) CO I! 19s homQlogias-
del complojo de todas las formas diferencillles.
En los plirraros s igui('nt<,s ('ncon trnr6mos llJlll ~ ('rie de <,jemplos
d l' los compll'jos.
Sean dados dos complejos (C" I, ¿¡ILI). (C,ZI. a(2J) .
OEFl N1CIOl< 3 El homomorfismo /: C< ll __ el.) quu eons('rva la
graduación. se dl'nominn homomorfismo d¡o complejos, s i él e,onmuUl
Coo la operaciÓn de las (liferenciall"S:
/al\).,., (lfZ)/, f (C~" ) e C:~u. k=O. j , ... (3)
Tiene lugar 111 sencilla
",PIRM"'CI6N 1, Un homomorfismo / de los compleju& alg~úllliCf>s,
t,¡duce un ho"wmor/isma j de los grupos de homolag ías:
/: 1I~ (Ctll , 6(1 ) ~ fldC(l). 61z.1), k o; 0, 1. ... (4)
Dl'MO~"I'R"CI6N . E l llOOlOmarfisma f traslada los dclos Z~" a ¡mi·
ciclos Zit" y las (rollt el"a ~ B~" a las fronteras B\:' para c,udqllict k.
Por l'SO el ut!lí'rmina (orNclaffil;>ole el homomorfis mo de lus g/""pus
d~ hon,,,logía~. La nfirma"ión queda dt!muslrnda.
. " Cepo 1. Roeet" . d.' dlculo d .. homol"gi ..
Por ejemplo. , una aplicAcióa suave de variedades f: M _ N
,del.erruina ulla Ilplico.ci6 n j- de los comple jo3 de las formas difl'nJn-
.(';iale~ ~o hl'tl est as variodad o.'l . qUit actúa allado In ver!lo:
,.; e (IV) _ e (JI) .
Esta aplicac.ón es lineal y e<>nwlltacla con la diferenclM: r'dw
= drro pa~a cualquier forma ID, Por I~'IO r es un homomorfismo. de
'los complejos de fo rmll.!l dif(!renciale~.
OEPINIClON " Sean 1: cm __ C(~) , g: e<l) _ e'" do!! bomomor-
fismos do los co mplejos a lgehrnillos. E-ilos Jlomomor fisillos sC! llama n
(al .. ~bra¡cam~nw) horoolÓp¡co~ . si ('s dad" un hOIDomorfislUo D: e 1 _
__ C(1J lal, ql1~ ).
Si lo.'! opcrIlJoro!l 8(1), al l ) ultulUulan (rcdllcon) fa gra •• uaci6n,
entonc'-'ll la aplicación D rlldILo!' íilum ~ l1tpJ la graduación::
D(c¡)dc"¡,z21 o D (C:"Jc:C.2; . : (6)
" ... IR~IACION 2. Las apltcador¡es h,1<llJlópU'J,s de los w'nplejo¡; i.w.lu·
·ten iguale¡; homr>/norj/¡;/lUu de /06 gru pos de lionwlogias;
/_g: H~ (cnl, f1/.I)J _ lh (Cl~) , ó\ ~). (7)
Ot:MVI:ITnAC¡ON. Si c. E C1" os lUl ciclo, <JI!\c~ = O, l;\1LtollCe.'l
¡(c.)- g (e ~ ) = Dijl.l )c. ± iJ. : .'Dr. = ± {jf.1JDc.,
<G sea, / (e.) ~ g (c~) en un grupo do homoJogias lf. (cm, am).
La afi rlUación queda UlllUo.'ltrada .
Este eje11lplo de la homotopíll algebrak,a IUE! dado al demos lrar
'la illvllria.cióll[UHnolópica de coltomologías en el leorem:l 1 .1. Oh'05
.ej emp l~ 103 !lncontraremos en lo.!! párrafos siguiou~es.
DEFlNlCION~. Sea~b. un rango del grupo H. (C. a) . La suma
al ternada de l tipo
X (CJJ) = :E ( - 1tb.= ~ ( - '1 )h rang ll. (8)
• .;0.0 . .. 0
:Se denomina cate.ctorística d o Euler del cllmpltljo (C. al.
AFlR/olACIOI'I $. La. caractcri¡;tU:a. de l:.'uler del complc;o (C. a) el
Jguo.l al número "gutente:
X (C, J, = ~ (-V;rll ng C. . (9)
.,.
DEMOS'l'RACION. Sea ZII el. rango del grupo do Jos c ielos Z.; Ih. el
rango dal grupo de las fro ntera.9 B_ . Elltonces, para ostos r angos
tendremos la!:! rolac iones:
h~ = "~-~A, (10)
13A = J1lnS'CH ¡-zUI (l t )
i 2. HomoI 09i~. d e lo . complejo •• Ige b ,,,ico.
(donde 01 OlHlrltdor (J reduce 1ft graduación). Por e.'lO,
bit = !It + '~+I - rang e lt +1
y
"
La afi\'lnfu; i6n queda dOlllo~LfIl.da, y~ que So = rMlg e G «('.8 ovidente,
'll.ue In uemos~rució'l e.'I justa t fllubién cuando e l operador aumenta
la grtlduación en 1).
Son G un gmpo abeHano arbitrario (escrito aditi\'amento). Es
determinado el com plejo e ® G = :E e t ® G. o sea 01 complejo
_;;O()
de .• cadenas con coef(cicQws en el grupo Gt . [R ecordemos. que 01
producto t ensorial de dos gru[1<l3 al!elia nos A ® B 8" co mpono dll
toda clase de sumas (¡nitns del l ipo ~ al ® b l , al E A, b, E B.
mientras que para el símbolo 0 deben cum pli rse las ~ ;gu i entes exi-
genciA.l!:
(a, + a.) ® b = a, ® b + a. ® b,
a ® (b, + b.) = o ® bl +0 ® b~.
De aqu í se d4¡¡luce una re lación útil: ma ® b "'" a ® mlJ. donde In 08
cualquior número ontoro.
I'IlOllL nMA l. Demustrllc que p ara c ualquier grupo G e3 jus ta
la fórmul a G ® Z = G. Cak"llIr el pro!lnct.o tt' lIsorinl du los grupos
fin itos cíclicos Z", ® l: n' Domost.rar que d produr:lo teLlSorial
de c nalquier gr upo al>~ liuno finito por un grupo Jo los números rea-
les (o racionaloll) ('s igual ;,. e.oro. l
El oporador () e n lllS rad"nll>; del tipo c~ ® e, rk E Ck , e E G,
opera dé'! Sigll icolR modo: á «-~ ® g) = oc" ® g. l':l conti núa Hneal-
menlo sobre todo el grupo e ® G. Aq ui os cvidl'oLl' la correlaci6n
iJi) = O. La~ llomologías ..¡..,! complejo e ® G se llaman ta mbién
nOlllologias úílL cOHlplej'l e CO'I los coeficie nh13 en 01 gru po G y 30
designa n a ~í:
¡¡~ (e ; G) = Jl~ (e oSI (,').
Sean G uo grupo abelinno escrito aditivamanl.e y (C , 8) un com-
plejo dI) CadtlnH.1. In LrOLluzcllLnoS un complejo con jugado do cocade-
nM, qUII son las fonnu s lineales (homomorfismos) C· eon valor en G.
desigtllldo en el á lgebra poe l-l oro (e. G). TelltlmOS tina doscompo-
sición na tura l en suma
C" = ~ e I (12)
Ir. ~ o
,s
(C: M)n formas lineales sobre Ca) y (>1 operad or de frc.>lttv-rll d" ('0 /1 -
jugado ¡;on a:
donu('
( 13)
T('n('lnos o·u· _ Q. Lo1! 1r"\IPO~ di' Co,ll'OlllologílHI ll .. (e·. O·) ¡",hi-
tUIIJ men1.(· S(' d l'Sia:"1l1l por JI" (e; Gl y so ¡\(l I1 (1 l1l i nan coho mololIías
dd compl cjc. e eOIl "lIlor en G.
Sea G _ k IIn rompo (por ej emplo. lO!! nÚUl('ros fllnlp:s k = R.
los co mpl t'jo,. k - ( . Jos rocinnnh',. k -- lI.r o el c llmpo fin; t" l·, . - 1.0
do p d(>m('lllo~, d ondl' P os ll1L n(,m~rQ primo) y sea e mI "0111]11 '- )0
de J08 Qsp(tdo~ linc"k 's t [o dJ Dlon~¡'Hl [in;t n C~ soLfll uJl ('°"'110 k.
Ticno lugar el
'r LO" ",\I .\ I SOIl lIIu IUlllnt:"le nJlljllgodo$ los cspucios tltll'fll.es
"A (C; k) y If . (e): f ll IHlr licuMr , tU", fft'fltll la misma. dllll c" si6n.
OI' '''''''TIUC.I('IX SII J}Ollga m o!-. q"(' ,-1 Ufll- rudor {) reduco lo gr"dllll-
cló n . Domostr<,.moil, qll" u n c1cmcnlu t!' d(' e: l"S .:oGid o ,'n el l'úO\ -
pI ejo C· si, y sólo s i . k'. B~ ) = O. doude DA, c:: CA, l'S un s ubQ-rul'"
dí' lrOll ll'r{lS. En \!fP(" o. po ra c-uoJquil'r ('\ C I11 (' II' O -;:A,-t- I dol grupo
C~-t-I ubLl'lIdrcmos: O _ (a·c-'. ;A,"¡' ,) - (d' . iJ;.+ ,). P or o lro h"Jo,
si (c·\ QC:+ ,) = O (Hl rH I' ua lquier l' letnento c;,+, d I) C" -t-,. onl onc('s
lJ·¿' Lo m .. valort'S 11l1los sohr .. cu .. lqu icr 1ll00ml'oto ;::-~~ ,.
Así obtcllemo~. qul' un espacio Z· rI(' ('oeidos d('1 complejo C·
coincide con un espacio do formas linliHles . q ue se anulll n (, JI un
lIubes pacJo de lronlo:-r8s DA,. En v ir~ud de q\lo ca da espacio C. tiene
Ulla dimensión fi nita . el c(.mplejo (e·)· co il'c ido ('on el c:omplt'jo C.
Por eso tenemos: tUI espacio de d dos Z" q lle ('oinc:ide con t l n l'spat' io
de 10fmlUl Iinl'alcs lIobre er. que se nnul nll ('n un s ubl'spado de fron -
teras B'. En otrus pal abr as. B' son tOOIlS las forma s lin('d es que so
a!'nlbn sobro ZA, .
Según lo dl!lJ1os lrado. nd{l ('I ... ml'nto ti' dft e~. donde o·c" = O.
determina una form A linE'1I1 w bre ¡!le homologl811 Hk fe ). Adf'mus.
In dimE'Miont's de los ~"plldos JI (e; k ) y lJ. (e) I'oi nc iden. 1~ 1
teorema queda demostrado.
Vllmos 1I deHlI,r la operación del pr"d ucto 10?morial e ... e(1) ®
® ell ) de dos complE' jos (D' ). (1(1) Y (e,~ . ¡jOSl) .
ll ecordemos. q \IO al valor te ll$Orill l .... oSI B d e dos ~spllcio5 llnell.-
le.!! A y B con bllSl'S (o , • .. .. a. ). (h, . .. .. h,p) Sil le I"'mará \111
tlIIP8<: lo con base 11 , oSI bJ• t "'" 1. .. .. s. I _ 1 , .• . • p. y lA (Oll -
dic ión (",0 , + }'!u~) oSI b _ }.,o, ® b + ' .gOS ® b y a ® O"b, +
+ '.tb .) "'" ;",0 ® b, + '. ,a ® bt . (Aqlli ' ., y ).~ son el!cl'l larc5.
Posi b] omell t(' . ~ 11 t T6tn do C\l 6]t'squi",r g rupos nlll' li anos e~c.J'il(lS a. li_
,.
lL vnrnenw A '1 D; enLonces, A son llnicaUlQnte númoros enteros
( véfls~ la pAgo 27)).
Sl'l'I e = ~ e •. dond ....
C~=(C(' ) ®C(21).= ~ c;'®q" , (14)
p +q->
fJ (c~' ® c~') = (O(1)c~') ® r't+ (- 1 )p r~' @81tJ4" ). (15)
Es fá cil verificar, que (Jo = O.
T F.OIlCM' .... 2 . SeMI GI l ) y C(1) complejos de espacíos lineales robre
cualquter campo k . Para las honwlngEas del valor tensorial /e/lcmos la
f6rmuIA siguiente
H .([(1)0Cm = S IIp(C'{I)) o H q {C(2J ) ( 16)
,,,-
(ser<Í# Importuntes los I:(.IIOS CWl/UU' k = t'I. , L. IQ. Zp) .
Pura demosLrar 01 toorf'Olfl pro¡'"rnos. al princ.i¡)io. una afi rma-
cIón (Iu ... iH~r.
1..1!M.... Sea e = ~ en 1m complejo de esp'fCio$ linea/.e.~ sobre un
." C(lrnp(! k. Bnlences, en cuda eSfxl/:io e .. se pUllck elegir una base rano-
nf(f' (Xn.l ' V .. . J' }I ~.r), e/l la cual ltl lUcl5n fiel operador a se escribe M'
(17)
I)KII\QS'l'Il.\C,o .... gs .,,,,,,Jcmt.<.' d" los fórr(l ul a~ (1,) que los ~'ector(!s
IIn,} ~n fronteres, los \lf'{;toros h" ./ son c ielo~ q uo no se roprC5cntun
como frnntor;ls y allí dan unn b"~,, "n 1M homolngíns fl n (e); por
[[n . los voc.L.)rc-.s x n.' os !lilA. bus.:. ('1\ u.n (I.'Ipseío de canon al:!, y no son
Cic)Ooi. Por <)90. In ¡'iI .~(' qlll1 ncr.osi t Rmos S~ construye fli.ci lmente por
inducdón . comollu nrlo pnr el .. s pac io CO•
DI':Mowm"'CfI"¡N DEL "TE .... '!.)! ... . Eli jnmos J ~. ~ ba~c-~ c"n6niws (J';;" ' ,
y',,". h:':') Y (",,~", y: ... . h;tl) ('n todo!J: lo!! espaciol! c;:' y e~" (omitimos
l o~ Indioos que numornn I(I ~ " ceVITeS bhicos do "n esp~ci o). Con!!-
tn,im(>~ nnn bA$Cl cIln6niClI p,1r:. el csp.1cin C_= ~ C~'0e,"-
J> +~-~
El pr imer gropn de JOb" VCC\I)tM (DO ciclo.<;):
l'fHl= .r~1I 0 .r,,2); apo _ 1- (.r~ l 0 y~2) + (-1)"""' Y~!I 0 x~~ .¡ .
aP'>..,.:tf,,1)0f¡~ZJ; ~M~ (-1)Ph~)0 -¡;~2) ( 18)
(por doquier en c!!Las fó rmu!ils y más abajo p + r¡ = k) .
La !Jase de fronLuras;
b,,'1= !I~I! , 0 J1~: I - ( - IJ'··¡ J.~l l 011~,~);
Y"1= I¡~l> ®y\ZI; 'hq "' !I~1\ 0h~~); li po="~ ) ®¡¡~~" (191
.0
Los voolorcs (18), (I~) son ¡incalm.enl., ind(lpendientes (;vcrlfíq"'l·~I)
y, para obte ner una bllse t'n ('[ espacio e •. h ny qllQ a fi ad i! los "l'CIOfOS
del ti po h~" ® k'l'. p + q - J; . C'lkU!f>mON la ar.c i6n dr>1 opero-
dor 8 en 111 base construida. D~'la~ [úrm uh,s (1[,) . (17), oblNI C' mos dI!'
IJI1uedin lo quo
iJ.(" ,, - b,,'1_o i)apq _ /l"_ lq, aal' ,, - ~',,_,q. DjJ" q=6 1' 'I_' '
iJbp ,/=OIl"" _Üi',,,, _ 06¡,., _ J ("~ ' 0 h;" ) - O.
011 doci r . In baso ",oJllj~ruida es r{,ll lme nte canónica. Dc- tal Dlanf rn.
los verlOrM ~' ® h~" con p + q = k formoll una l.uIse en (') Mpa-
do J/ ~ (el' ) Q9 e,I,), lo que' d l'lJíamuli d t'r no~lrar.
§ l . Complejos Ilmplldalel. Sus homologllls y cohomologlas.
Clu iflcación de las superficies bidimensionales cerradas
FQ fIllUlt'lllos. " hora, o tro I'nloq'll' de la ddinición y d¡>[ l's ~ud!()
do l o~ I!rupo~ d., IovlUolog(as y cohomologíus , fluO lI umentA mucho
IlIS pos ,bi lic!:u!rs d .. l .... ml,leo de los n" " roo;;.
Dl'fiui 'nos "" si nrplcx l/.-dinrtnsioJ!o! (do d imensl(jn n). Un s fm-
plex O-d lm .... n~jo lla¡ (',s 1111 pu u lo 1" 01; 11 11 símplex l -d imcn!>ioni\l es
un !Jcgn1l'1l lo k'<,," ,I ; .. n ~¡mp l (·.x 2-di n¡clll; ionil l 1.'5 un t r iángu lo
IUo(l; .".); Ir " ~ímI.lJ,' " 3 -d¡mcn~ ion " J eS I1 n Ir· lrAedro J a.p: ' O'.lo;~ 1
(Hg. 2).
a¡ ' J D ~«' -, . , -. «, • • • O-111M,.· lI:q 4 , . -1-6""" ... • , ,,.,., 4ii",td /·11(_,, ·
.' ,n'''MI .J.q{ """S'W'IUf
PIS". 2. S imple!(.
Por inducción. s i un slmplex n-di.(llClls ionnl o" = ra~Cl.. . a "J
es tll. d efinido 't se encuc nt rl en un ellPll<'lo n·dimens ion al R~, entono
ce" pAra construir un ~rm plu (11. + t)-dllnl'Tl s lonAI. hAY que tomar
un v6rtice nuevo " R+ ' r .. er. de es te Ili¡lHpht Tlo H" c:: fi"t l y eXI'
minnr el conjunto de todo,s lo~ pu ntos pert ('Tledentes a loS ~g[Jl('nlos
que ligan este v¡;rt ice nuevo a R-t1 COII 1011 p .. nl~ del símplex
la, " . . a "J" El cuerp(l obtenido será un sh n pl rx In + 1)-dimellsio-
na l la , . , . «,,-4-11 _ 0"+1.
E n Corma más gr.nC' rol , al !!fmpl ex: n-dim('n~ innal lo «C'nominnre-
mos (' lipsula conveXA d el (1l + 1) plllltO ('"érti r e) do un ~llncio
eucUdoo.
Las CA ros do un sl"mpl('x lI-dimC' nsioll&1 [ a~ " . . a"J son 105 s ím ·
plex tendIdos en 108 v(irtlces [a, . , , a"_ II . laoa. ' , . a .. . ta,, \. " ".
I l. Homol09ia •• ,m.pIlcI.I ....
"
... , la , ... a. ft !. Así, 111 t-fsima cara 50 obUI'Il0 al separar el
f-6aimo vértice (:ll del ( oojunlo [(:ll ••. aftl. Y elh es opuesta a e~tll'
vértl(e: 18 f-és ima CUIt arij' del slmplex OM ea
(1,
(el ¡·isimo vértice 50 ha separado).
Las caras de menor dimensión se obtil'nen. formalml'nte, de UI)-
5ímplex la • ... a~ 1 al &epafar cierto número de cualesquiera vér-
tÍ(e5.
DB.INIC10N l . La Irontl'ra orientada del slmplex o" "'" [a, .. _
... a .. 1 es una eomblnadón lineal formal do sus certUI del tipo:
8fJ~ _i¡ [CttI ... a. ,.I_ ): ( _ ni ['10 ••• ~J ••. a:~I _ ro.
P or ejemplo, para 105 !tíWl'lex 0-. 1- )' 2-dilllell.!ionales tenemos:
fJ 10:.1 = O. (3}
dlav'1,l - (o.d-I~I, (4)
iJ I ~a. .al l _ /a ,o.,J - (aUnl! + 1"<>0. ,1, (5)
De In lig. 2 está daro, qUIJ IlIs carns t lenen sigilos r~gltlore9.
1,PMA I Paro un sfmplc% n-dlmenslonol tü nf lugor la 16rmuw
/}{j (a~ ... 0. .. 1 ... o. (6).
La demostra<' ió" cOIl ~ i s ' e en el tí !cilio directo. Por ejemplo.
para n - 2 tenem05
o (o.oOI,a,l - [a.~I - (<<oo.:..! + (y ,l.
00 {aoOl .a:J _ {latl- (a,J}-{la,l- (<lo]) + {ta..l-la.oJ} _ O.
" El c~lculo M :mal6gieo " Mm lo(lo~ Jos 11: 80a"_a (~ (-t)l Or;)I);
,_o
'11 esta sumA /lI (lItn arl~' (los vért icl's al. al e~tín sefJ3radoa) se
Inclu ye do~ veces-en lo fronte ra uar,í' )' aOrij'- CIJIl .!IIgn05 OpUC$lvS,
De,rN1CION l . El campiejo 61mpliciu.i Ni un (Olljunto dll ~jlnpln
de dimensi6D arbilrafin qutl 1i('lle la~ Riguil'nt.es propicdlld.·.s:
1) junto con cuahluier slro plcx , .sus (li ras de todas lu di ln~n
siones pertenecen n est( conjnoto:
2) dos ~implel: plledon interseeal'Sl1 (tener punto! comunu) IlÓlo
por noa cara "litera de Alguna dimensi6n y, con ~~IQ. en no má~ do
una cllr~.
Un eompl"jo simplící~1 finito se compone de un número finito
de ! hnplex.
1~ "U lIwrClnU$ ..tI;) .1l¡: ;1II 1U0do 1011"$ los yútl k,,!S d e 1In complll lo
.s iruplld ll¡ fini to a •• a, .... , a.y. E nlonces. los s¡mplex r-di mco-
&ion~ 1 la"a., .. !l/,I ~e doterm inan por ciot!.o' 9tlbconjllll~ de
l os v,:rtices (:0 lo unuroerllclón dnda.
:"<':1 G cualquil'r grupo conmu1.1Ii,·o, dondo! 1(1 ley ti .. grupo so
l'.lII:fiho cumo la adición (+). Las cadcn"g ,lo! 111 dimonsión k "'0 u n
CO IIII/l l'jo s imp!icial :IOn CO luhinnCH)nc'S finit.19 linellles rorlnales dol
t ipo c_ - :E g/o/. donde CI, son difl!l'tlnles shuplo:r; k-dimeosionales
,
1l.''icriIOs on la numeración dodo de los vérlic~ de! compleJo: g/o so n
elementos arbitrorio9 tllIl grupo G. La adic ióu do las clldenas se deter-
mina llsl; ~ i c~ - :E g,O" r'; """ ~ 1:,11,. l'n lolu·ea. c. + cí.. -
_ :E (el + C;) 0/. LlUI cadenllS forman un g rolllO obO;l1iIl IlO.
J.a (ronlcrll. do 111 Cll tlonll /)r~ e~ IR "adona do la !lÍlulln~¡ó o k - 1,
·detcrmin /lda por la fórtn nln
(7)
&5 e\'idonte lo (,>r ruoill t'll!gún e l Il'IOI1 I): ai1:, -- Q. Lo" cll::lo!
'son lall13 cnd~uas ,le c~. qllo tk~ = O. l..os ciclos for,nan t~ rubi lÍ n
el grupo Z •. Lo:! dc.lo, homológ'cOll a cero (quo WJI rrollteru) son
tal(', riclo~ de c •• q ue c. _ *.+1' Esto", ciclo, fornl!l.rl un grupo de
lrooterM n •.
Ill'p ' NrCrÓN a. Al Iíl'rupu do ]¡o,noloJ:ins H . { .l( . G) de uo CO IO-
piOlO si rnplicill l ¡11 lo de RQminaremos con UJI grupo cod ... nW ,Iul
grupo Z. do todos los ciclos d o In (t¡'n ~ lI , ión k pllr Ciclos B~ homotó-
¡icos a CCi'ro (dos cic l o~ 500 llqui\'olcMIl.!I si. y sólo si. ,,;, - rí.. _
_ Dc. + ,).
Son Hltere&.'\u lus los CII~ G ... e (IlÚl.Dero1 raclonale.!». G - C.
·G __ Z (nümero~ cnteros). G = Z: (residuos por cl módulo 2)
y en general , G =- Z", (n.,iduo, por 01 móduln m, e n cspl'Cial. cuan·
do In e:I un n íi.Jnero primo y l .. os un CIHOpO). Cuando G - ~ .
todos lo! H I (M. R) soo ospacios ¡¡Malos sobre al campo 1, A la
-dimensión lit de l espacio f{ , (M. R) S~ la Ha rna /-égilDo nÍlmero !lo
BoUi del complejo ,1l,
Para un complejo simplicio! finito '0 dete rm ínil la caraclerrst ica
4e E ul &J':
si 1. es el nÜtQero de shnplex de dÜllensión ' en un comple jo .Ir.
e ntonces la caracter íst ica da Euler del complejo Jll es igual a
" , X (M ) = ~. ( - 1) 'V, •
...
(6,
'EOIIC.IA t Sean b, lM dinwuUmer fk los upacfos flt (¡lI; R)
(",¡meros de Betti), E ntott«1 tenemos la t&!laldad:
x(.1f) - S (-1) ' VI - ~ (-1)Jbr
-.. o J :'O
"
DOl05TllACION. UIl grupo de cadenll.'J ¡-dImensionales el 8lJ \.lIl
espacio lineal de la dimensión YI_ Por eso la dOluoslradón se dtlduco
do la afi rmación 2.3.
OIlSll:nVACION. La carar.lorisUco. tle Bular "1. (M)puede ser de ter-
minada (véase [U, pa r~tl ll , § 15) como llllO suma dI) singularidades
de un ca mpo voctodlll (o do ulla (unciún suave). Obtenemos la post·
biUdad de calcular X (M) partiendo d6 las homologills.
Determinemos ahora 108 objetos conjugados. Una cO:;/ldenn
k-dirncnslonlll r!' I.'! IInA fuoción lineal sobre l as cadellall/,-dimensio-
rWO!I con los cooHciontas OOLeros del co mplejo ¡l( con ,-atores en el
grupo G. De manerll que la eocadena r!' compara cadll sí.uplex k-di-
mensional (JI con un elam\!uto r!' (o/) del ¡tUpO G, a l mismo Hempo
¿. {aulI + bo,~i = ac~ (O"u ) + M' (a,v.
o, b, 90n oümeros e nterol. LtI "umll; de e~ t (I,IJ fuodolu's IinealCl! e!
olta voz una eocauena, por UlIO l as cocadenas formal! un grupo.
Una cofrontera 6¡.A do cualquier cocaden!! '" {>s una cocadona
(k + 1)..dimension~1 qu, 111 u !! t~ rfD.inl\ COD la i:ualdad
(10)
(o 05 _ J . 011 la~ eonootllcio <l % Ildl § 2), dOl\do a, os cua lquillf sim.
ple:c d9 la dillleD~ión k + 1. Saii~lem05 qun 66 _ Q. En realidad ,
6&" (a,) _ &" (O",) _ ¿o. (J O",) _ O.
Lcu cne¡clo! Mn coc.denas c" ta las, que 05c" _ O. Lo!! cocido! equi·
valeotO$ (oohomológieos) a cero son de tipo ¿. _ .s¿.-' .
IlEJlNICION 4. Un grupo de coho mologías 11" (M; G) mi un grupo
eoeio nLe de un gt"ur dI! cociclos por un lJ ubgrupu de cocid OlJ, eQui-
valentos a cero (c -.; ¿t'. si ¿o. - c~· - &--1).
Un co mplejo de cocadenas se conjuga con un complejo do coca-
deoas siluplic iales. Para 01 cnso. Cllando G _ k es un campo . obte-
nemOlJ del teoroma 2 . 1 el lJ iguiellt(>
COf!OLA RIO. L<u dlme,,-~i(Ulel ele los esptlcio, If / (M; k ) y ni (M; k ).
dlJnck k el un. campo. rotlll:;idm.
ConsideremOl'l el ClllJO e _ Z '" (residllos d~1 lIlod m), en e~peeild,
si In _ P liS UD nÚ1Ilero primo, Clt:lndo G _ Z" ~s liD campo. Sea
z E 1ft (.1/; Gl y r una cadena con coeficientes ell tnos. quo da un
cielo ;z _ z (mod 111). Tell{lmO!l
¡Ji_mu, ,; o 11 __
•
"
en las cadenas (,on coeficientes enteros. Si el elemento % cambia en
la clase de homologi/lilj % E H w CM, Z ",) . :; _ i + ay + ",1;. eot.ofl-
ces obtenewos
{Ir IJI qlJlI {j;
-m- -;;;- +-;;.-+8z= "';;i'" + {}= - u.+ Ot.
Con C!lto. íJu. = O.
De mllnerll que :lur¡e el dlOlUomor¡'swl) d I! Boksllt..,i1n 111) 1"(1(.0
correct .... mente deterOlinlldo:
i r -z_-;;¡-. donde ,t(modmJ ..... .rE l/,,{Jf; Z ... }. (11)
,.
H,(.\f¡ 1 .. )~lIq_".Uj Z).
AnUogamt'nt(l, en las cohomologias obt~ndromo~ un homomorfismo
1I~(M;Z",)~}f'I·L(.1J: Z). (12)
Arln;llAGlO:<' l . PlIra (ua!quiD" dcmmlo z E /1" (M; Z",) 0.% - O
tri H ,_1 (M; Z) d. U 66"' st , Z fe obtiene dfl dln~nw /1 EH" (M: Z)
can auuda tU la reducd6n (m6dulo m):
% "" /1 (moti m) _ 8.x "'" O.
Anáwfllrntntl. en llll cohomoloxE<u : % = Y (ruod 111) _ t'l*z _ O. (AI/II'
% E f[Q (M: Z .. ), y E lJ' (M: Z).)
D.EIIIOSTIIACI ON. Si .r_y(mOl!m) . '-'1I 1"'ltOS se puede estog'l.'r un "
_ _ ,1;
cadcnclo.zde manera qUé {)~_o y d • .l' _ -¡¡;-= O 1'0 O' _I (M ;Z ).
Por el contrario, s i 8 • .1:_0 en H q_ I (.lI; Z) . en tonces : _8: )XliiI
clerla cadena .1:. Supongamos y=;t-mz. Tenemos iJy-O e
V (Illod "~) .... 1:. La afirmación queda demosuadu,
As!, el coooc-imiento de 8. y 6. nos permite reconocer lall ¡roá-
genos de lAS llomo!ogill3 con eodicientes enteros en las bOlJlologl~s
de ruod Irl. Otro empleo: lo imagen 8.H, (M. Z",) en Jos grupos
H , _t (M. Z) escoge los elementos u , u E JI'_1 (M. Z) talu, que
mu _ O (torsión).
En efecto, d. (11l3") - /TI. (8.z) - O. por derinici6n. Por el COIl-
trario, si mI.> = O parn 1.> E H,_, (M. Z). t'ntonce.s mI.> "'" ¡ji: par!'
la cadena con coeHeientos eotrfos i, y teoomos un elemento % -
_ i(mad m) tal. que x E H" (M , Z",) y O"X .. 1.>.
U U&.IPLO Para /11 _ RP' tenemos ;t: E 1ft ( lRpl, Zt) - Zr.
:r + O. Al mismo tiempo, 8.x"¡,, O ('o 1I, ('R PI: Z) -= I v.
,.
PRQBLE,.!,\ 1. Pa ra todas las " a riedad@lI no orientables hay lJ1l
ciclo IM"I = r IIn el grupo H" (M"', Z,) la l , quo 8.:¡;cfo O Y 1m
elemento iJ.z E H " _I (M", Z) de orden 2.
y para lascohomologh s, 91 contra rio: tenemO! u E }JI (RP2, Z t) .
donde 6.u+ O y tiene el orden 2 en H' (RP·, Z).
Sea la variedad M " dividida en simpleJr: y transformada en un
complejo simpHeial. Enlonces. se pUf'dl'n determinu y calcular los
8tUP(l5 de homologías v de rohomoJogías.
Un símplu sua ve o~ de diW(lDsión k, es un~ i Dmer~ión (encaje)
difcrenciable de un slmplex (junto con algún entorno abierto de un
simplex en a~ en un l'5pac io R~) en l a variedad }.!". Consld<>remos
tml \'oriedlld tr/ungullldo, s i t'I dividirla en un complejo simlllicial
con ayuda de los símplcJI: sun'es.
Formulemos dos t8MS import81l lu 08 d(, m(ls~rati6n del punto A
será dada en ,1 § 6):
A. Los grupos de homologlns 'Y de collomologías no df pendt'n do
la lriongulad6n de la varil'dod y l on homot6picawt'nl e invariantes.
B. P ara G - R los gruPO! de (ohomolag!as roincidfn con lo,
que se dl'finieron ~r 1a9 formas diferenciales (\'l-D~e 1'1 § 14).
Acl aremos la ultima dirmad6n. ~fan: o·. un slmplo: 51.1"'0
k-dimensional en la vlIJ'iedad .u"; I<) ~ . 1.108 fO lma dir~rc n(ia l de
fT. do k. EsUi determ inada 111 int l'gral de lo rorma (oJ~ por ,,1 51m-
pIel< o·:
(Iú • • o·) - J w ••
,-
(la)
Si clo. = ~ r.~ es uoa c.adf'na «In cOelieienlf'B rellln; entoocf'S
,
puede ~er determ inada ]:a integnl de la form a por la cndenn c.:
(Iú., e,,) - ~ r, J Iú". (14)
. a:
EII virtud de ¡a f6rmula de E- to l.:t', (\hfe /11 . Pll lto l . § 2fi) (>5 correcta
la Igualdad:
(dIJJ • • e) = {r~ , 8c} - J dI<) - J IJJ.
o
(15)
Por eso cualqulH CorOla ccrrada 41. dO lido dI» _ O. dotermina
una rnnción lineal sobro l a.!! dUo8 de le,!; homolo¡;:ías ~i mplic i8Iu:
! i el' ct • son c iclo! homol6gicos. l' l _ ct + 8l". eotorn: l'S
{(lI, e,) _ (m, et) + (duJ, c') "'" {tú, c~.
Cualquier forme exacta (0). <lond a (o) "" dw' , se IITm )e en cU8lq uler
eleIo (veriffqucse).
"
Ul'urccrON. CaJ ... dasl} nI} Mhomologí3S H~ (M; ;q det¡}r-
minadas por formas d(fC~Gncilll M. define \lOa func ión l (ucal sO[¡ I'e 1"1
grupo de ho mologías simpl icialBS J{~ (M'o !R.).
La afirrunci6n B fo rrnlliada más arriba significa qua así se obtiene
cuulquil'r función li neal sobre 01 grupo 1I~ (j~{; IR) Y una forma
Cf!rradn no t ri vial {no al(actaj ¡¡ iampra da una forma no t riviol linea l
sob~. H_ (M; ~).
3 l'n .1(" UIlII vari¡}dad cont'.'at cerraJa. E s evidente qUIJ su trian-
gulaCIón cualquiera (partición en símplex) ticne la, Siguiente pro-
piedad; cualqu. iar simplex de di mansión fl - t es una cara jur;tn-
ml}nl..e ,le dos simplel( ll-dimension~\ll~ .
1' f:OIHm~ 2 r ierw lugar la ig1WlrJ¡¡d
II~(M";Z.J = Z~
(aquí 1'.2 /':S IU' grupo de dos elementos , rt$ulWJ$ (lur el módulo 2),
J)I:JIIOSTnACION. Consideremos la (.adcna : == ~ a;', donde la.
•
adlción se rcaliza por todos los shoplex n-dimensionaIM, con lodo
'ISO, su orien tación as I'lrbitrada. Sobrl) d campo Z, es Justa la
igualdnd (le las cadenAS:
" iJrs" "'" ~ .r,'-I, (16)
.-0
dhndll 0"1- ' ~on CUr¡l !; del !llmplex a". En la !:l llron {JI, = ~ 00;' cncla
,
símpl", .( (n - ·I)·diruons¡onal se encuentra exactament e d05 veces..
POf l'SO 8: = O. Es evidente que nquí no hay otros ciclos no nulos
n-dirn(ms ionales. E l teorema está demostrarla.
\" ahora Sl'a la variedad M" OfU:lllarla.
A ~'JH lIAC10N 2. Para Ul¡a uaritdad cerrada conexa orientarla U/1
grupo I¡·é$uno de lu/ltwwgCas H" (¡\f~ ; G) es Igual a G (Gcs w¡ W'upo
·cut¡/quiera),
DfM"OsTn .... cION E n cada punto de la \'l:Iriedad ,lf n es dl:lda ulJa
dase de orientación de las fflpers (jalones) tangentes. Orientemo~ los
símplex n-dimensionales en concorrlancia con la orien tación de estos
repers, sea que los símpl{jx uf y (J ~ tengan fronte ra por un simplex
.a,,-1 (véasela lig. 3 para /l. = 2), Este sí mplex se incln)'e en las fron_
teras {jo',' y {jo~ con signos opuestos. En consecucncia la Mdena
[M" I = ~ (J~ (la suma por todos los s¡mple;,; n-dimensionales) es
• un ciclo, Es evidente que cualquier otro ciclo n-d¡ luensional se ese.ribe
nsi: Z _ g 1M'''!. donde g (lS un ell}lllanlo do un g rupo G, Ya quc no
hay fronwra!! n-dimensionales, l a af irmación queda dtl-.(Dostrada.
APrR1\UCION a. S~a G == l un grupo eh números enteros, Entonces
para una ¡;arledad u rrada conexa no orientada /l.-d¡mensw"al tendremo8:
Hn(M",Z) ... O. H,,{M",Z1)=ZI'
§ l, Homo!ogia. .i"'l"li~iale •.
"
D~)lOSTRAC1ÓX . Cualquier ciclo n-dimensional debe tener el
aspeclo z_ AL a~, dando ;l.."..0 es un número entero y los slmplox
,
cr1 están orientados de manera conveniente. Si los simplox a'I' y o~
tienen frontera por el s lDlplex 0"-', entonces este s implex ~e Incluyo
en aa't y ooN con lo!! !!igno!! opuestos si, y fólo si. Jos simplex 0'1
y a ; ron r)rientados igunlmenle en Jn ,'ariedad kP' (veriflquese).
Fig. 3.
Por eso oz= O si, y sólo si, eon todos los sfmplex a1 puede ser
escogidll la única orientación. es decir, si ID "lIriedlld ]l./" es orlen-
tableo La afirmación queda demostradll.
eOROLARlO. S t o. {M" ] = ~ al' lo ~um(l dt fados los simplt :r n-di--
,
mtnsionales de la variedad 110 orienlable M" (gtncrairiz en el
grupo /In (M n , Z.». Entonces
<). 1111 ,,1+0 en el grupo Hn_,(M",Z) Y 2a.IM"]-O.
Pasamos ahora a Jp triangulación de las variedades suuves bidi-
mensionales y a ,¡:u c]asi!icnción con ayuda de lo:! complejos simpU-
ciales.
Clasifiqu6mos 18s variedades bidimensionales suaves compactas
cerradas conel.:IIS. De aquf en adelante vamoa 11 considerar sólo t ale.\!
vnri edades, y por eso no ml.'ndonaremos cada H~Z las restricciont:'.'J
impuestas 11 la vllriedad. e" uDleradas más arriba.
L!;:IIIA ~. Cuolquicr writdad suave bidImensional M' se puede
trlangu.lar sua~'tmente (es decir, partir (on cu.n"Os sua~YlS en triángulos
,uaves toles, que dos ttiánculas cualesquiera de ~sla div/sf6n no se illte~
fccan. tierU! /I un Ill/"tict coma", o bien un lado común).
DE;\lOSTRACf6.... . Sumergimos (eDClljamos) .~JI en un espado
euclídN' de dimensión finilo (V~IH;O [1], parle 11, § '3). EntoMn
"
C.p. \. Re ce ' •• del c'¡ Ic"lo d. h9rnologia.
1>ohru ¡lfl surgo una m&tri.;a de R ieman n inuucida. Para un t > O
liufic iGlll.emenle p~q lle¡¡ Q dos pl1D~OS cualesquiera x, y E ,l,~, par ..
los '-'Mies p (x, y) < 8 (p <'5 una di :'Sta ncia sobra M" engoudrada por
l a múlri c ~ del Hiernll.nn), se lLRell por la única. geodésica mLÍs corta
1'",. , Vam:ls a rocullrir ,lf" COlillA sistema finito dI! discos de radio <
< &12: D" D" . . . , D N , El d[.,c03 DI puodo ser t riangulado 5U8-vern~mte con ayuda do las geodésicas. Para «ifnAdir la triangulación
elt Jo:'S disco.'!' 'lue titlnan una ¡nt8rs~ecióll nQ vaeia con D , (por ejem -
plo. so bro D 2 ). es s uficieottl notll.f que la geod6sica port.onccienLe
11 DI n Da. COU3~ruida 80t09 0311 Di' tambi';n se presenta como una
geod~~ ;ca dt.>3<!o 01 punto de vista del disco D. y por eso la triangu-
lación pnedo sor prolon.'lada en el disco D. (anteriormonlo desruo-
ntlzando. prohablew9nto, la trianC'lllacion sobre D ,). El prO\!(lSO se
.coflclllye dentro d ~ un nÚ Duro fi nito d l pa>Kl9. El lema qlleua dll-
llIos trado.
Al princ ipio dMCrib~rDo, todos los t i p<.ls do \-ariodado$ bidimen-
5iO'II'1les. La prim~ra sorio os ll 'la tl ~r",ra con g agns JI; ; g es (>.1 g.;lll·ro
e
fi g. 4. Esfera eDil , asas S' + (r) = Mi (en la fígu ra, t = 3) .
do la l!! llpodicie. Por ejemplo, estas variedades aparecen al estud iar
las 911 perfic¡e.~ de Hiewnnn do las fundones algebraicas da ti po
w = ± ~(el polinomio P" no tiene raíces wúltiples). R ecordo-
mos q uo AP, 63 igual al conjunto de los coros de la ecuación w'-
_ PU+l (~) = O en CP~ (z, w). Estas variedades se puede rea li zar
suavemente en 31.' como lu superficies mostradas en l a fi g. 4 (véase
mb dotaUadawente It l. parte 11, § 4).
La segunda serie de las variedad(',~ (vamos a designarlns por Jlr,.)
se obtiano, si de una oslera S~ so excluyon los disco~ D~ no ¡nter-
&eCados de par e n par. y en la fron tora de cada agujerQ recubido.'S8
identifican los pllnt ().~ opue~tos d iametralmente (véase la fi g . 5. a) .
Esta operación se llama . pegadura de la osfera S' eon ~ c intas de
Moebius,_
En p!lfticular. si ~ = 1. la !'Ju pll rficio An os un plano rea l proyec-
tivo RP' (lig. 5, b), !'J i ~ = 2, la !'Juperfício M"", .!le llamará .!Iuper-
fiele (bof.ella) do Klei n. Notemos, quo ell [tI. parte 11, § 18, la super-
ficia de Klein fue def(nida como UD fa ctor del plano por algún grupo
f 3. Homolog'" .i"IP1~;' I ... ••
d~ Illovimiento.':! d i$reto. La ('oincidencia de s u realización con ¡\l!_a
es evidente de la fi g. 5, e,
Apriod tendria dorecho a uoa cdsteoeia iodopcmdiente también
una serie t mezclada.: u r.a esfera Sl a la que están unidas g IIsa8 y 1I
cintas de UOtobiu~. P~ro esta serie nnezclad llt se contiene ín togra-
mente eu la serie ,l·,!. En efooto, c0/l.5ideremo5 S~ o la que están
unidas un asa y una ci nta de l'Il o<l bius (véasa la fi ll. 6). Pero para
la lIuperficie de Kloin tiene lugar el difeol!\ornsmo reprc~entado
en la f'g. 7.
De maner a que la pegadura a S Z de un asa. y una ci nta de Moe bius
es t'quiva lonte a la pega(h.r" a S" de tres ci ntu de Moebill5 (véase
la nI!:. 8). Por consiguiente, en prc~(lnc i a de por lo menos una c inta
de Moab iu! cada asa pUII,11j sor reemplazada di feo morfamonto con dos
ciotas J e. Moebiul'l.
Como v~mos ft demostrarlo riguro.~a monte ahora, las variedades
M'. en rea lidad, ~e escrlblln Int.e.q:rll. rnento co n OSIl.S do~ series i nfi-
nitas: ,lr; y ¡l1~.
Cofl$ideromos l\Un M'" IIrbit ra r ia ("';II~ las res tr iccionl>l'I al prin-
cipio de la parte) COIl una t r illngulación ~ua vo (véllSe 01 lem3). Cor-
temos JIf'a lo IQrgo de todas las at"i ~tas do lista t r ill.ngulaeiÓn. pon ien-
do, do IIn ~ern Q no. on limbos lados de (.ltdn cortt' 105 mismas l e l rll~
(difer ~ olt's pnra distintos cortos) y fija ndo 11I. misma or¡en~ación en
ambas orillas del <:o r ..... (v~asl' lo ng. 9).
De ZIInoera q ue hornos tral\~form8do .11"'J en un conjunto de lrián-
gulos, cuyos lados 03tán IlliIli ignndos con letras y eslÍl dada la direc-
ción; Cllda ltolra :so induye !In este conjunto oxactamente dos vec·e',
.dumá5. dosletraos ig"A.lI.>' partoll&cen a di leruntu td ángulos. Comen-
..emos un proceso ¡ 'l\'CtSO de 111 pegadura de ,\1', dx igiendo. ~¡ n em bar-
go. 'IUI' cada \'el despu6s do pegar un nuevo tr iii ngtl lo a una región
ya obtonida, e~ tn últ ima pormane>.ea plan". E, eviden te que. COUlO
resul tado de este procedi miento (y de l a~ propiodada.s indicadas de lo
tlumeradón ,le log 13do! ) obtendromos ur. POlíiOno plano eooexo,
euyo~ lados !lO " cllnnotadnq con let ras y p0geen orie.ntaeJones (e,da
letra ,1I 0nellentra D.'CacL,mente dos "ecM). A eslo polígtlno lo deDO-
minnmQ.!r pOlígO\lQ rll lldnm~ Lltal (está definido por una triangulación
dada 110 uní "ocament.t». lo'i jl'lO O.':I una orientació n sobro un poligono IV
y CODfrontémo~le una palabra, que apllreco nllturalmenlu a l rondar
l. fro nl l'ra de IV (comenznndQ desde eualqu ior "ér liee): apu ota ndo
WJ1lIIl(',ulivaruenlo las [etr .. ~ que numeran los lodos du lV. al mismo
t iempo. poniondo oro lo pRlabra la lolra on ,,1 "raJo + 1. ~i la orient.-
ei6ro dul lado coi ncide con la Ind n<; itla por In orient ll"¡ón d(' 11'. Y on (.'1
erado - 1. eo 01 enso eontr!lrio. Véaso e l ejempl o en la lig. 10.
Asi. Ilemo~ eonfrorlU.do a cada Jl1" (no 1Il1ivoea mente) IO Oll po-
labr~ IV '"" a~;a~ : ... II~~; J~ C9 un número pllr de l o~ lado~ de IV;
cada letra a .. ~ incluyo ell IV e.~ ac lamente do!; " l'ees. I,o; ~ ta s . palabrns!'40
Fig. ;; a) La variedad ,\12 ... S' + (¡4) (en la figura ~ _ 4) , ohtenida con la
pegadura de l~ ""fera S' eon fI pellculu dI! Moeblu5;
h) .M~_l - RP<' , plano proyectivo rul;
el N~_2 supuf{eie (boll"lIl1) d" Klein .
Fig. 6.
Fig. 1. [.11 es/sra S' COn el na
!Vllelt3. del levéM.
Fig. 8.
§ 3. HOrTIorogru I;mplide r~ s.
oodifican {M S ) ; n codo 11'/" le correspond e un con junto iufinito de
tal~ códigos. Ahora recon"truir{\UlOS estos c6digos con operaciones.
elementales (geneudores de los homeomorfisDlos de M3), para redu-
cirlos a h. forma can6niro . Resulta que hoy s610 tres formas clln6-
nicas (precisamente ellas dan dosificación 11 (JlJ2)).
LlliIlA 3 . La palo.bra IV puede ser reconstruIda de tal medo, que
todos los virUcts de W (es lHcir, los virtlces del poUgel/o) se peguen en
Ull solo pUl/tn.
DEM05TnAClON. Supongamos. que ex isten por lo menos dos clases
de equivalencia DO vacíos d!.' loe vértices: {P} y {Q}. Es pesiblo
@<:\. d ~c e d
F¡ ~. 10 .
FIg. 11.
oonsiderar que exisle lal aris la a E ,;¡t.v. que sus pun los finales Pl'rle-
neccn n (tistintas clases: {P) y (Q/ . Efec Ll1omos lo sigllienle opera-
ción ... lementol (n\nse 111 fig. 11 ). Con segmentos en nrgrma están
designadas las aristas de aw que no nos interf'!I8n IIhora.)
Es evidente. q\le esto operación de volvl"r a pegar t'1 polígono W
¡;orresponde A un homeo\Dorfismo de l"'~ . Por ot ro parte. elita f('cona-
tJ'u¡;ción dismin uyó el llÚml!rO de ,·úrt ice5. representantes de la d"se
{P} . en uno y 81111\t'ntó (>J númao d(" ,·érlices- . rcprl!~(lntanII!S de la·
·.,
cltlsc (Q), un uno: ({P) , (Q)J ........ ({P} -1; {Q} + 1). D e m llneru
Qne eX ll'tro ioa mos pau l olinS\mllll~c la clase {P }, . pasando. los ,, /i r-
tiCB$ de e~1A dUI! a olra.i. El úl\imo puo será la operación del ex ter-
minio del últimD Vlir tice de l a c1MEI {PI (v(laso la Hg. 12). (No~em6!l,
que en el pro::o.'K> del I!xt.erm.inio de fa daso {P }, las cl asos {Q} ,
11 los (¡,¡ales SI! pasan los vór tices de la dase (P l. pucdou trnusfor-
marse.) g] po l Í!~ono (o 111 palnbru) W que tieno sólo una dll ~e de "él'-
tiCf'lI .5C I!o ma, hllbitua lllulntc, ctt'duddo • .
(p) ~CD ~ e e ce
~ (PI {f']
- -
I'Ílr. 1::: .
LEM A ~ . Sta qUi! la polabra IV tiene la /O,.mn. IV = - aa-I -
EnUmul eztsle un ho'ntJt'fl)t'fl$TW} q~ trarulorm.fJ w palabra ¡.V en /.IIUI
pal4bra eqaj"",luue W ' _ - 1-.
mmOSTII-ICI O:S . l'hJ¡;t la lig. 12.
LEM .\~, JI' = _a _a_ ~ IV' _ _ aa_.
D¡;:~OSTRACION . V/iaso la ligo 13. QU6da \'olver a des ignar a e
por a. El lema quede demo.'!!trado.
LZlIL\ l. W = _ o_b _ a· '_b-
'
_ ~ W' _ _ aba-1b·'_.
DEIoIOST"",CIOlt. Véa~e 11\ l igo t ~. El lem.'l &lit! demoslrado.
LE),!A 1 . St W = _ o~a·' - . donde el nmJUfllo ck letrQ.$ a. + 0,
entOflcel u/sie un bE a tlJ.l. ql.U' b-' íf (X:
lV _ _ a_b_a-' - b-' -
-- -
•
OEMos·rnACION. Supongamo9 lo conlrario: eGa para cualquier
ti E a. b-' E a. Pero enlonce.'!! , en UI1 conjunto do vótl ictls do IV Ilpa-
\I:ecGlI, por lo munos. dos clases de vérlict's no oquiva lenl9l!. ya que
los vértices Ea. interactlÍan (pegan) s610 con los -ror t ioo.!! E(lI: (véaso
la fi¡:. 15). Como a.p 0 y W , { ::lo U D U (J-'] + 0 (vease el lama 4.).
(IbWllemos una conlrad¡cciún con 111 afirmación dol lemll 3. SClfún
§ 3. Homologie •• lmpUd~lel.
el cual COü3ideramos W un polígo no reducido. E l loma queda de-
mostrado.
I-I':MA s. W= - aba-1b-1 - cc - :::! W'= _ a! _ fr. _ c1
D~~toSTftAC1Ó:<{. V!!ru¡e la lig. 113. El lema 8 se deduce deflnltiya-
mente del tema 5.
Así uemos demo~Lrado el siguiente teoramn.
TY.oRSI!IIA ~ (sobre la cla9ificadóo da las s uperficies bidimensio-
ulI.les) . CWllqaiera l)IVietbd Jfl btdim,M.,klnal s!.J.ave rompada coneza
'CY{f)-Q'-e c
Q
w~ _dcC''c'' __
I ~ H
W'~ _ tltJt:.tt-' __
1" '" 14.
Pilf. 15.
<D' Q a , d d , e
1'ic. 16.
cerrada es dlfecl'fl(Jrfa a ~M ck las varitdades determinadas COI¡ lag
dgultnles palabras (cMigol) W;
1) W=aa-';
2) JV = a,b,a~'b-l.Q~b:Q;'b;' . " a,b,a¡'b, ';
3) W = c~c! ... c~.
Cualquier variedad suave bidimensional conexa compacta con
borde, S8 obtienll de un disco bidimensional DI según las siguienteg
operaciones: al c<)o exclusión de UIl número finito do puntos (es decir,
de un número finito de di3<JOS C<)ü rac'lioll sufidenlemcntll pequefios);
b) con pegadura de un número fin ito dc 88/18; e) con pegadura dI! UD
número finHo de cintas de MoeblUs. Con lodo esto, ¡liS operaciones
enumeradas no deben tocar 18 front-l'rII d..,! dl!<:o inidal D'.
D<:scr ibamos más detalladamento la es lructu ro de lile "ariedodes
,11' en conc,ordsncia con esta clasíficaci6u.
I:,\: . li.
F'ig. 18.
L it variedad del tipo 1) rs dlr¡omorfo a la esfe ra oS" (,·¡!aso ¡a
ligo t 7).
La variedad del t ipo 2) as d ifeomol'f/l • la esfe". S~ con , asas (las
var iedades orientables M ;). Véose 111 ligo 18.
LA variedad del tipo 3) es difeomnrfa o lo esfere S' con cintas do
MoobiU!l (la8 varledadu no orlentnbles MtJ. Vé,.se la ligo t I).
OIlSEnVACION" l . E l cAlculo de los grupos de llOmologin.s de lu
varledsdes del tipo t ). 2) . 3) (pOf ejemplo, con coeficientes enterOll)
S 3. Homologio. slmplicieles, 4.
es ~un e.jardcio elern~ntaL El cálculo IU,le,tra quo toda, la, formu
<G8.oónicas eoumeradas no son homeoloorfas entre. si.
•
Fig. 19.
OIlS ERV .... CION 2 . TambiiÍn hay otros méLodo9 cóu.Uldlls para codi-
fi car t ,~f·}. Cualquier . ¡1.f' pund e s er reprilsontadn de la siguiente
forma;
8=± 1,
donde e = -1 !Ji. Y sólo si, lIf' = ."'} es una variedlld orlentabte
(enlonces N.,. 2g os par); e _ + 1 (para eUlllqular N) ,i, Y sólo sI,
M2 = M!. es no oricntable.
DEMOSTRAC i ÓN. Cons i(leremo~ el caso ¡1.f~ ; rv =11, ••• Ot;iJ¡-( •••
.•. a.:;:~,II.V'; N=2g. Con ayuda dI! traosfol"1llll.ciones elemeot.ales
-'¡==-=l, -dffi,-;' ;d~: p
a, p Q 1"
FIII'. 20.
(vsanse más arriba Ins lemas 3-3) 1l6vamos Wa la forma canónica
.u; (véase el teorema precedente). Esta reducción la realizamos des-
prendiendo cousecutivamo nte la, llSas ('standarizadas ctal tipo
oba.-1b-1. ConsidorelDo,
JV = a,a¡,a3 ••• alVa,lo;lai' ... a,; l. n JI -.,--' 11 11 --.--
ab Q a-1b-1 P
Luego véase la lig. 20.
Do manera que destacllmos la primera asa en forma e;\:pUcita;
d-1cdc-1 pero cambinn¡lo. tll mismo tiempo. los segmentos P y Q.
C.p. , ~"c,,¡&, de l dlculo de homo!o!jiu
Siguiendo la operac.ión de dtst8C1u l~s nHas y nCOldllDdo q\le ¡'" ... 2g
es par, oblenemos una pnlabra Ir = u,b,a7'Z,;' ... 0ilJ,oi'b'S'!::::::
!:::::: M;. Así presentamos toda5 las variedlldE'S orielllables. Pllra E')
ecaso orieotado. el t€or~ma qu(da dem(l~I I Ddo. Pan d «caso no
orientable t la demostración es cúmpl (>tam~n\e an'loga ("~a~\!_ los
l em~s a-S), y por eso la dl?joll1 (> s 11 cnrgo drl lector.
§ 4. Operación de pegadura de cé lula a un espacio topológico.
Espacios celulares. Teoremas sobre reducción de los espacios.
celulares, Homologfas y e l grupo fundamental de superficies.
y algunas otras variedades.
Sta»: X, un espacio \oJlológko; D", Illl dhco lI- d m:lPn~ioDal;
S,,-I = {JD", su fronlera. una .. "r .. ra (n - 1J·dimensionnL C"nsit!era-
m Ol> fijada la orientación ,j~l di.'eo D " ; ('5111. orie nt arión lnduco la.
or iE'nlaci6n de I:l fron\Ha S"-' . Sea dada lo aplicación de .. ~tll esfer&
en E' l espac_io X:
t: S .... I ___ X (1 ~
Conshu imos un lluevo ('SP¡¡C.IO D" Uf X, idcnti!i1""8ndo cada punlo r
sobre la esfera sn-I c.on un punto f (J:) r n el e~pacio X. Se ditequl''')
espacio D" Uf X se obti{'no del espado X mediante pegadura de IIna
célula n-dimensional (Dn. /),
L¡¡ topo logla se illtroduc·e en 0:>1 (·!>pac.io Dn Uf X de la siguient e-
manera. Al conjunto K c: D" Uf X lo llamaremos cerrado. s i su
i1Jtl'fsccdón K n X es c('naday IIna pHimogen conlplcta K nD"
es e.errada en el disco D".
EJEMPLO' La (,!:ifern S', ~ol oLtie ne de un punto· DII diante Jo
pegaduril do una c¡ll ula n-dimensional: sn = D" U/t , donde
f: sn-I ....... , es un¡¡ apliCAci6n en UD punto.
EJEMPLO 2 . Un espacio real proyectivo ~ p" puede ¡;:{'r ("cm~ide
rado como un disco D" !lue til'no pegados los puntos dianH.lralmcnta
opuo:>stos en la fron tH8 S"-' . 1\6tese que lp esfera 8 n-. con los puntos
identificados diametralmente opuestos, es tlpn-l , Por co nsiguiente,
fl P" puede considera rse como np"-l con una célula n-ri im€n~ion a.l
pegada
(2)
Aquí la apUeael6n t,,:S"-I_)l.l~n- 1 es un cubrimiento estándar.
Lema L Si las apltcadonts 1, g;-$"- ....... X fOil homot6pltas.
enlances las espacios Dn Uf X Y Dn U, X san equiualenter homot6pl.-
camente.
nEMOSTFlACiON. Que la IIplicación F: sn- l X 1 -+ X de la homo-
topía de las 8plicaclones t y ¡r, donde 1 es 1m segmento unidad. Peg&-
.T
moa al espacio X el producto D"
de su frGotera:
x 1 por la 8Jllicanón F de una parte
(3)-
E olODI'.e3 ) 1),11 espncJoII D" U 1 X Y
D"U ¡X_ ( D~ x OlU F:() c:::: X,
D" U,X 58 encuentran en X;
D"U,X _{(D"x t ) U,.X) c:.Y.
(4) '
Se/l 'PI una homo topío, que aprieta D" X I tobro Dn U S"-l X /'
por Jos rayos traudos del pu nlo • (,-{jase JD lig. 21). Le homotopía.
I~ - U""'l
JJ" J)"
r,l,:. -:.'1.
4', N cons18nto sobrl' D" U S"-I x l, por ellO d .. ler mina "n~ eflui"a-
lencia homot6picn X - D" UI X. An¡\!ogameDW, .Y -- D" U, X.
El lema queda demostrado.
J)~P IN I C I ()N t. Al espacio X se Jo llll IDal'i!mOa celular, si el rubma-
está obtenido de un con junto finito de puntos mediante la iteración.
do la operación de p'-'gar las céluJ u de d iferentes dimensiones.
El conju nto i nicial do puutos lambl{jn puedo t'onsider~rse como
células O·dimensionales.
Oas ltnVACI O:-l. Pan los clipadO!' celulufS con un DúmHD de c/ilu-
lat inli nlto. Cl: igi remOIi que tenga o un número finito de cél\llllll en
uda rlhnenai6n.
DU ISICIOS' 2 Un ~~pacio ¡;:elular X .se deno mina (ompl~jo uJulru,
si uda c6lul !) tlItll peglldll a cél\l las de una dim('n~i6n weDUl.
A la uni 6n oe todas la! células de dimensl6n k -s;;; " la 1Il1werernos·
arma:6n celular n-oimensio DlIl del complejo X. Df'siglUllnos el
IIrmu6e cehllar n_dimensionl'l dol eomplejo X medianIl' X n. Obt.o-
nemos un ~istcma ds Jos arma7.O IH!S s umergidos (ennljlldos)
Xoc::;:X, c ... c 'Xn . . . eX. (5)
OI.lS&RVACiON. Un complejo simpllolal es un caso particulor do
un complejo cel ular. Ue 8rmat6n n -d lmeulIloDal de 11n complejo
simplicilll, ea el con junto de tOdOllliUS sh npleJ: has ta una dimensión n
indusi,"e.
T OOIII'..NA 1. Cualquier espacltl ctw.lllr n equit"altntt homot6pú:d_
me,,'t .. un tompleJo cdulnr.
48
J)l:.3luSl'IUCI(lN. BasLa mostrar que cada aplicación de una esfera
Sir en un complejo celular Y es homotópicn a la aplicación do S~
en su armazón k-dimensiona l Y ~. Entone,es. en vigor uel lema 1,
el resultado do cada pagadura de una célula será hOlllot6p icamente
equhalCDI.e a liD complejo celular .
• <\si. sean: Y, un complejo celulnr; f: Sir _ Y una aplicación.
La imagen de la esfora Sil al a plic.ar f se inteJ'3oca !lÓlo con UD número
finito de célula!!. Si la imag:en f (S~ ) ~o intl'rseca con el inlerior de
alguna ('~lola Dn , donde 11 > k . entone .. s ('Sta port\! de la imogen
puede Sí't desplnnda 1'11 (a frontera . Efoctivnruente, la aplic¡¡dótL f
:BObro una preimagon erltera del illt.Qcioc do la célula /- ' (D" ) puede
ser sustituida por una aplicación suave, homotóplca a ella (véase
ftl. parle 11 , § 12), Y por 01 teorema de Sard esta Imagen no cubre
por lo menos un punto ¡llterior P cm D~. Al proyectar D"""P del
punto P en la fcontera , despl.u amo9 una parte de la imugen f (S''')
en la frontera, o sea, en elllrmnón Y,, _¡ (véasala fi/(. 22).
Repitiendo este razonamiento para todas 18.'3 células con una
·dimensión mayor que k, al fin y al cabo aprotaremoS la Imagen
I (S~ ) en el armllzón Y It del complejo Y . AsI el teorOilla e!tá demos-
trlldo fntegramante.
DEH/>/lCIO:.l 3, Una aplicaci6n 1; X _ Y de los complejos celu-
Jaro,!! so llama ct/uku'. si t.raslada un armazón k-dimBlUIional X ~
de_un complejO X en un armawn k-dimensional Y It de un complejo Y
{para cualquier k).
n:OROt.-\ 2 ClJalqu~,. aplicaclón c:mtlnua tk les complejos celu-
lares e S Jwmotópica a UM aplicación celular,
La demostración da oste teorema (teorewlI sobre la . aproximaci6n
,cclula~) es totalmente análoga a la del toorelna 1, por eso la dejamos
al lector como ajercicio,
Sean : X, un complejo celular; X It _1 y X. _~, sus armazones (k - 1)·dimansional y (k - 2)-dimensional. N61,¡¡¡;¡e qua el espacio
X 1t-11 XIt _l , donde X 11. _. está identificado en un punto, es si mplemente
i 4. Homologl •• e.-IuI... . 49
UD ramo de esferas (k - I)-dimonsionales (una para cada cél ula
P_I). A la pagadura de una célula k-di m!!II!l1ional (D", f) l e Corras·
pondl! la apHcación
de lit osfera S-I en el ra.no de las esferas (k - l ).d imenslonal!!s.
5e"n tI'-(IJl. n. ot- 1 _(Ir·'. f,). célu la.'j rI(' rlim!!nsiool'lI k
y (k-I), Definimo~ el " coefieiorl1co tle inchleudA" o ><ea el número
la-' :~. I) para 01 par do células d" y O~- I , como el grado de la
apllClld6u (6) sobre el I",shno suma ndo del fa mo X".,IX,,_a ( la
6l!Cerll s1-1• correspondiente a 1./\ cli lula o!--I).
D(>!inimos allora utl complejo de codena~ co llllaros del w mpleJo
X dosignado por C(X; G)_ ~ C,,(X; G). t:nfl eadona colulflr do
.~" la di meMi6n k es una combi nación de céhd as (ormal Ii Mal:
c . .... ~ g,tI;, dondl' o{ son eé lula'l de la dimen!![ón , •. /J, ~on elemen-
t.o!! d; un grupo G IIboJ[ano nrhitrarin escrito Ad itivnmen lp. nel¡,,¡rno'
un OJK'rador .le lron tonl por 1:1 fÓl'mu la
oa-'-=~ rc{:~-'IO':-I. o : C" (X ;G) _ C,,., (X;G) . (i)
,
(El operadOr 8 se prolonga lineal mento en cua.losq ui!! ra clldanas.)
OUl>flVAC!ON I Si X f'S I1n complf'jo , impticilll, l'n tolle.oJO el ope-
rador IJ definido aq uí coincido con un operador do frun lt<fa lId t 3
(verUiqucae).
OIlSI'.IWAC ION 2. Para G _ Z (()<lI¡ l'na~ con ..:oc feCh'llt(>s ..: nl i'rú~)
• !.enemos unu apl icación 11. (X_, X~~I) _ CA (X; Z) ~ohro tOflo
el ITU po de c,adenas.
U:~II, ~. 00"" O.
DDlOSTRÁCI ON. Se puode considera~ que cada céluh a~: D~ _ X ~
nlpnl8enta un elemE'nto r(J~l da un g~upo r<! lativo 11" IX~. X __ e)
(véa!IC 11 1. par te 11 , § 21). El opl'rador do frontera IJ psta l'n::ondrado
por el honlomorfisOlO de rrontPrII de la sucesión Olu,c t ~ del pAr
(X~ • . \' __ .)
,8,
y p'or 01 homomorfi smo j: n._1 (X" _ll_nA _' (X ~~I' X ~ _t ) (véaso
ItI, pArte n , § 2f). Te nemos para d)', que e~ unA cade na de C~ (X; Z):
(9)
••
Bu Vi¡Of de la idenUdad dJ _ O obwuemos aa _ O para las cno('nu
con coefic ientes enteros. La! cél ulas 01 dan una liase ~ambil! 1l para
las clu.lelltul con cuolqu ier grupo de coeflcien tell G. El l ema queda-
demostrfldo.
Ahol'a. el!'! posillle dlllermillor las homologlall y cohomologloH
de un complejo do lu cadenas ccJulol"Cll do ulla lluwera ordinHrin.
OlJLemlrewOll las homologlas y cohomololl'les celularp!!. Par" 105
comple jos s implicilt-lell estilS homologías t"ointiden con las simplicia-
les.
Ejemplos de los complejo:! «,lul ares.
E1ENP I,.O!. Esfera S~. Yo. bl'wOS vis to que la esfera S" se obUene
mediante la pegadu ra do \lIJa c,(jlula n.dimensiona} o" 11 otro de
dim6n.'1iÓn ilull'l (10. Aqul tenemos: 8ao _ O. 80" _ O. Lo ultimo e.s
evidonte para todos l o.\! 11 > 1. Para Ti. = 1 la fronter¡¡ de 1ma célula
(11 cs una esfera de dimensión nula So (un pllf de puntos). arle lll á8~
estos dos puntos son do siGne distinto .
Da Iqul obtenemos:
H o(S" : G)-C. 11 :;',01.
/ln(S~ ; G)_C:. (10)
H,, (S";G) _ O. k+O. ti.
51 hay un famo q de las t!sh.> rns S(J» ,, >- 1. J = f. 2 .. . . > q,
unidas en un punto . l>Otouccs hAy \In "értice 0° y q c¡; l lI l as " .-dimen-
sio nales o;', ...• o;. donde ¿¡of = o. A t al ramo se r('duce u n domi-
nio obtenido de un espacio euclldco Hno l lJ1ed ia ute la e:cdusiÓD
de un co nJunto de q puntos. D~ignemos n este raroo por X:. Tenemos:
Ho(K': G)_G,
H" (K;; G) _ G+G+ ... +G(q piezas) ( ti)
H¡(K;: G)-O, t+O, n,
CJ I!MP!"O 2. Ln partició n IJeJlllor del toro. Aquf tenemos ~J IlI(ls.
00. n:, o~, 0 1 ("éase la fil:. 23), adcmiaa. ~ _ 80\ = 80h = 80" _
_ O;
H . (1"") = G. li, (T') = G + G. NI (1") = G. (12)
EJt:MPLO 3. La superflr ie (botella) de Klein tiene las siguleJllt.·,.
eálu las: 0°, o;. 0':. o' ('·~o.se la Hg. 24), al miswo til'mllO iJa' _
-. 8O': _ 80~ ""' O. 801 _ 2!1 1
JI. (1('; Z) = O, .111 (K' ,
lr~ (KI: Z.) _ Z,.
Z) ... Z + Z,;
(1 3)
.,
t;¡UMPLO l.
a e6lulaa: ~. al,
La aupE' rricie proyecUva RP', Aqui lenemo!
o': oo' _ 00' _ O, ao' _ 20' (vllllle la lig. 25),.
/lo (Rpl; Z) ... Z, H. (DlP=; Z) _ Z ,. H, (~pt, Z) ... O. (14)
EJKMPLO $. Una .superfJcie orientable del género g: tenemos U D
4g-'gono (véase la ti,. 26 plica g =- 2). LAs « lulas: 00, 0': . . . .
• • • , o~ • • o'. Son n ulas lu fronteras de todas las célulall. Tenem09
d' d/ d'
d:~d: d~~dq
1'111:_ 23. T oro.
d·/;\'d'
dL-/
F{s:. 25. Plano proyectlvo.
Flg. 24. S\lpfrf¡ci~ de
d' d' , d'
d:
d'
di d,
d'
d' ,
J' (Ji d'
YIg. 26. RosqulUa.
KlelD.
d'
• d'
dJ
d'
<1,'
las homologi8.ll (G - Z): Ho _ Z, H. - Z + ... + Z (Zg su-
mandos).
BJGMPLO 5. Un espacio proyeclivo iflP~. Hemos visto más arriba
que tR P" _ D" U,,, iR P"" , dondE' jn: S~-l_ J\ P"'l I'!S un cubrl·
miento cst{¡odar. Oblencmoll por tina «luh "lo "'" (D u !~) t ' JI ca d&
dimensión k: 0°, ••• • o", Moslremos que &ot/o+l _ O. aou ...
_ 2o'-"-¡ . La aplicación do la frontera S'" do Untl c61uJo 0 .... 1 co
lIn ormu6n m-dimeneional dl.l un espacio proyecUvo, I.'S un GU.bri·
miento l'!ltándar S '" _ ~ p"'. Por ('so 1.'& ncc(>serio cnlcula r el grodo
de 11\ aplicoci6n
S". _ RP"' _ IRP'"/IRP"'- I _ S". (15}
. EstR aplicación ~I' represl'ntll en la figur!l 27. Es una SUIIW Íl>n el
sentido d~1 gnlpo :"1" IS"')) de dOl! flplkallione-s S'" en Sn<. POfll m
IrnJlllr I!s tllS dos aplicadonl'.! tI(>,,!:'n grado + 1. por eso 80"'''' ' _ 20"' .
Si m Ci'I pOl, log s ignos de los grados son opuestos y &0'"" "'" O.
,.
A.J ob1;l~mllS UDa forma de bomologíll del MPlcio
fl.P~ para G ",. Z y G _ Z.:
proyeetivo
¡O, n_2k Z,II .. 2k+1, (16)
(17)
1". /I'..llPW l. El asp,u:io compll'jo pr,}ye.: li v,:, Cp · . Sean (:.'
" :~ ) coordenadas hlJl1lo~~ lIcas en Cp .... La ('Cum: ión %,"" O
s·
~-R-Osn
"d, .. U
"i~. 21.
delo'fmina en Cp" una .!! ubvariodad coincidente con CP~- ' . La dile_
rencln CP ~ , .cp ".-I e~ un espacio complejo n-dimensional C~ (con
las coofdonodaSt , /:l~ ... . , ~ ,,/:¡~) . P0rl'SO la dHerencia ::;P" , c p n- l
determina una relula 2n-dimonsioDal a~". CoDtinuando e~ le proceso
obtendremos la putieión del e.5paeio complojo proyoctivo ep·
ell IQ5 edlulas do dimoJlsión IIQr"' . (J', •• " ah. E~ cviuenla que
IIqní tadas lIS fron1;lrllS son l1ulas. Por tI.so I/ ,~ (CP"; Cl =- c,
O ~ k :"; n, H!~+I ( r" P" ; GI :o O.
Los cornplej~ celular", convienen pllfll cakulll,f homolopíu.
flOCordl'lUos que 11 un eSpACIO X lo llamare mos /l.-conexo, s. es
Iinea lment.o conexo y todos lo! grupos J"[, (X ) "" O. cuando j'" n.
Tr.ORllMA 3. Todo col1l.pltfo celular n-celllzo K es equivalenl.
homolóplcafl'l(!nlt 11. Ull compwfo celaLJ.r ¡{ con virtlu único (1"0 y sIn
las dlu.lu dt dlrnensloMs 1, 2, ... , n.
Antes do demostrar el I.!:!orerna CODlIiderem03 dos ejemplo3.
!.JlUI:PLO l . Sna n = O. La rodueción del complojo liDealmente
GOneJl:o K 111 K con UD v,k tice WI Mi: s i se lleno una arista 0'1 (une
célula unidimCn.!ional ). cuya frontera aal ... (1':1 U o:. se compone
de dOI v6r lices dIsLlnto!, ~I + (J~I ' entonces ponrUDOS la identifl.
cación. ¡'educiondo toda la IIris ta a l ti. un punto ~, = ;:, que será
un vtir ~ica . Las demás ~lulo~ no las cambiamos. Se obtiono un nue vo
complejo K' con un mOllor número de v~rticu, et.c. , hasta qua lI egue-
mo! 11 un compllljo con UD vorlice. r..os complejo.!! K y K' son homotó-
..
p(camenU\ equi val ent es (la d(\Dlos traclón se da m's abajo). Como
result~tlo. obtenemos el complejo K con un v6rt ice a", l-célulll;;¡
y 2-<;;iólula o!- E l 1-arnHn6n X, es un tamo de circunferoncias.
01: K, ... SI V ... V SJ.;, donde N es un número 1-célula ;1>
¡ = 1, .. " N. Un grupo lI,(K,) l'S libro con generatrices {on =
." a, (véase I tI. parte 11, § 1!l). Las células aj se pegan mediante las
aplicaciones de una frontora S} "" aó} _ K •. que dan algunos ele-
ooeot09 V, de un grtJpo libre fI , (K,) con las generatrices a, . ...
• • _, al" _ Asl, el grupo:n, (K) es dedo por las generatrices a, • . •.
· • " a l" Y las relaciooes V , = t para todas las o-t 2-cclulares en el
complejo K (con un vértice). Pasando a un gru po N , (K: Z) oht&-
Demos 10l; &idos básicos lad, ... , (a",) y las relaciones V J = O (Bll una escritura ad itiva) en un grupo comnullldo. Do e~ lo modo so
"edfica la definición del grupo dlO homologias }[I (K; ;::) =
.., l1, (K)/In, (K), n, (K) I dada on [iJ, paft e 11 , § 19.
Si n>O, entonces los grupos Hn+1 (K; Z) y
1t nt. (K) son conmulotiY<J:!. Ellos son dados puf las mismas genera·
tr ict's al' es decir , por las o~ .. , (n + f)-télulas en R (i = 1. . ..
• .. , N) Y por las relociones iguales de las fronteras de llls <J1 '2c
{Ii + 2)-cél u19s. Oht.enemos el:
COl1OLAmo (teorema de I-Inrowicx). Til'ne lugar la igualdad
l1n +, (X) = H~ +I (X, Z) para un complelo /I-CCl/lt:TO (n> O).
DEII'OSrBACION. elida aplicación de une ('sf",ra (n + 1)-dimeu-
sional ell un complejo (('I ular K, es homotópica 1I uno aplicación
en UII HmatÓn (" + 1)-dimensional (,'(iasl' el teorema 2) . Por <'so.
cualquiera aplic;ación dI) est.e tipo se represonta en formo de combi-
nación lineal con los cot.'fici l)nt~s ellteros de las (¡llulns o j" en
K(I = 1,. ., N). Cadll relación ~ i'IO ~ '1 __ O en 1'1 grupo n~+I (K )
,
lIS .. HlO !lplicación de un disco D~+: en un complejo K ta\, quo su
restri«ión en la front era 8 "+1 es una combinación lineal ~ A,O?·I.
,
Semejante aplicadón cs I,omolópica a una IIplicación qUl' trll-"I¡l ·
da D"+I a un armll1:ón de dimen.~jÓn n + 2: odt'más la homolopíll
es ~on8tanto en 18 frontero S"+' ila demostradóu es comple~amcnle
anll]oga 8 la del t eorema 1). P or e.~. cada relación de la fl)rmll
c;2 ),,10":-1 I'S IlomotúpiC3 o cero_ en el grupo 1t"+l (K), es cquiva-
~ente o la relac ión_ ~ f_IO~" es homológica o COfO_ en el gru po
lJ"+1 (K; Z). El corola rio q ueda dl'mostrado.
PRO[!.I.F.MA ! . Dumul'stre la IIf irm aci6n inv(H'so, Sea f( un con, -
piejo celu lar conexo. si mplemente conexo. Si 114 (K; 1) = O.
t.uando 0< k< n, entonces n. (l() c; O \lo" los mi5mo, k y
n ~ (K) - lf" (l(~ Z).
DL'IOS'I'RA": ION' DeL TEon&.\u,. Fi¡nulO~ un vórtice C}O y lo vui·
roos con los demás v~rticU3 01 mQdianl~ lu via!! (curva.~) y,. Se
puede consid~rar que toU!l!J (lstll' víllS !lO cneUOII Lran en un armu.ón
1lllidimen.,iOIlll.L u('1 complejo K. P"!luemoll al com plejo K gemic[ rcu-
J03 por cada vía y/. Obtelldr.¡rn09 un nuevo complejo csl ulaf k ,
q ua eontie 'le 111 complejo K y, además. la, eélula9 11: y 01 (vbslI 1,
fr,. 28). Los In ter iores de l., cél ulas 0"1 no so interaoc.all, por eso l.
I IF¡
;,'" <)
-Flg. 28.
if"¡;: , (1". t " "
Fi,. 29.
Unh'm do ellas e.stá contraída en K . . '\si, u n .3patio cociente K _
_ KA"" / U al obLtloido modiollt9 c?'IL r,,~ei6n d e todo, las célulu 01
•
en at os equivalenLehOIIlGLópic:uneoLe 11 K.. PGr otro lado, el com·
plejG K se contrae nn K Col IIC micí reulo !lO coo trae nn el diámetro) ,
por IW> K ..., k. ~ K. El cO'llplejo K t i"nG exactamente una c.é lu la
O-dIIlUl!l~tonal ('·'¡ rtleo).
Lue¡ro, ~(\a que el cornplejo K tiene Ul\ vértice y y!l. no eOll l'enG
dlulu de dimJns ión t, 2, ... , k - 1, k < l •. EntoncO!l un arma-
zón k·d i me!L'10n~1 del complejo K e3 uu rllmo de e~reras k-di men5iG-
nnl M 5~. CIlda es rl.lra 51 .s homotópica o cero ea K Gn virtud de la
fI-conexión , por e50 e9 posible pegarla pClr u n disco D~P (se pll9d9
eonslderu quo el disco D~t1 SG encuentra en uo n rma~Ón (k + t )-
d lroenslOlIIll dll l compLejo K). Peguemo5 a la aplicación de l dí.wo
D~; . un du,eoD"+' (por la mitad de la rronu- r!l.). De e5t.e modo obten·
drem03 un complejG K" equivalente lIorQotópicamente a K . que cou-
lleno por una cólula excesiva ~~I y aA~' eu cada cúlulo k-d imun·
IIlonal en K. El co njunto de la.s células 0' ... 1 es coutrllíble en K. por
eso K ,.. K/ U !T't ' -- K. -- K. El complejo K es equivalen te
,
nomot6 \l ica lnea~~ a. K y no tiene eélul¡¡9 de Ln dimensión t, 2, ..•
• . . , k - 1, k. El tIIOrema 3 qUi'da dOWOSLrltdo.
Oj 4. Homolo gi • • ulula",. 13ft
El teorema de la clasifioación de las superficies cen adas (véase
el § 3) permite indicar una roproseotaci6n estánd a.r MI en forma
de UD eonjunto dI) células: M'"",," 06 U (U a~) U ,o', tlonde (JO es \1n
• punto; a él está pegado un ramo de clrcunferonelas V S1. y d6l!pué,
•
a este ramo, en concord ancia con una palabra W , se pega el d isco
D2 (un., célula bldlmOll5ional al) (vbsa la f ig. 29).
Un caso especial de M} cnando g = I S(l IDuestra en In lig . 30 .
Fi,. 30.
Do manero quc la" c ircllu !el'\'ncias {S1.} $0 pu c-dcn numernr COD
las letras 11,. a •• . ..• a n (n = 2g ¡mrl'l.1n y 1I=fl. pur3 JU!o.l y un
polígono fundamenlol TV ~ pUl,(k Id ... ntificM con uno. cé lull'l bidi_
Pl~nsional 0 2• Como MI grupo n , í .;¡ S:'J liS ltbw con ~norfltrices
.-,
ti" ••. , an , l~ pegad"rIl de una célu l~ o~ por la \lll\¡,bra IV _
_ a~ : ... a:: introduco una (¡n iCll 1'611lc ión en 11., (M2).
Así . UD gru po rund"ment~1 n,(II12) ad mite la "i gui<, llte repre·
sentación por l ,,~ gen(' rfllrice s y n·I;.cionf's;
W"", a,¡",, ~' ,
a " ...• a~:
b~' ... a,bra;;'b¡¡' .... t (HIJ'i1 Mi ,
W =a~a~ ... a~"" 1 p~ ra M~.
( 18)
PHOBLEMA 2. DowOlIlrar el i$omorf ismo do los sig uiontcs grUj)QS.
correspondil:lntos a difTolrentes reprt'sontaciones de n, (l}Jt):
1 . a) ti, . b, •... ,a" b.: W=a,b,a~'b~' .. . tl f b¡f1Ji'b,' .
b) ii l' b, . ... . asb,; lV "", a, ... 4,b, . .. b,a~ 'f,~' ... (i(bi' .
2. (1) a" .•. • a~ ; W ... a: . . a~.
b) a" ""li, • .. .• -a~, b.; lV=-!l ~b~~'b , . . . -a;;;¡~a~ 'b •. I."", !-, /2, !l es
par.
o) tL es arbit rar io'. a, ... .. a.: IV ... ;;, == .. ,.. ~ .•. (:,,'1,
••
PAODLL\lA 3. DemO!l lu r que para d iferenl~ .sup"rficies, loa
grupo, :t , (Af1'), e incluso (H, (M") _ 1\,lIn , . :'1,1 son 00 isomorfos.
PROIILCJ.!A" CluUlent todas la~ ! uperficif8 bidimE'nsionSIIl9
suaves conexas (no compactas).
l'IlonL'¡'I.\ 6. Demostrar IIHe J(I igualdad a cero del índico d ~ la
inlcr.l('Cc ión de cualesquiera dos dclmil unid¡mDn!ionalc~ l!l:I lo con·
dlclón n(!c es~rio y suficiente para la reaUud60 de una va riedad
hidimelUlioDsl Qrienlable 8U8VO COIIC'l(8 M' (abiert . o con fronlera)
en fo rma dI' un dominio plnno. (La veried"d bidimensional piona
es orientable lIulorolHieamen te).
l'IlOO LtlM A s. Para que la vetiedad h,d imensioual abierta MI
SOl. homeomorfa a un dominio aLil'rto en una vatied~d bidimensional
compacta oorndn, es oeeuarlo y slIficienl(j q\lo un grupo<) [JI ( .. 1'('; Z)
(o 1'11 (M'» tenga 11 11 número finito de gt'ncr/ltrices. Dewuéstrdo.
¡>1l0Cr..ElI1A 7. Demostrllt que cu8lquier/l varIedad abierta con exll
bidimensional .M I tiene un grupo flwdllnle ntd Ubre, y que tal varle-
• dad JI(S es equivalente homotóplcamlln Lo a u n ramo finito V SI
.-.
" (k < 00) , o bien n un I"lupn infinito de las circunfereocifls V Sl.
,_o
on~r'RVAC ION . S<, puedo introducir UI13 1lI~1.ricl\ de R iemaun de
curvntura const a nte sobre cad>! variedad l:ornpncta conexo suave
cerrada hid imensional. Con eato, sobre l a esfera S' y el plano proyt'C-
Uvo ~pt se puede introducir unll métrica de curvatura coustnute
positiva (esta afirwaci6n C!!I evitllmtc); so bre el toro y so bre la supe!'-
licie de Klein !!le puede introduci r una mé tr ica de curvlltul'~ nulll.
La exisLencill do semelanto mótriea sobro pi to ro l'igue <le l a ",pro--
Mlotación: 1"' = !'lttr , dOli da el grupo r _ Z (o ) EB Z (b) tillno
dos genorlltrices Q, b , que nrtúaD sob~ flt como traducdonl's. I::at.á
claro que el grupo r e!tá ro llrNlontado por I II~ isomelrias de u n plnno
euclldeo IRt. U na s ituación a ná loga lif'fle lugar también en el caso
de la superficie de Klein, que Ildml te JII representad6n de la forma
(Rt/r, dondE! un grupo dE! movimi entos r eslá engendrado por la :'l
t ransformaeionl!!J
TI(.J:, ,,) = (z , ,, + 1). T~I.J:. 11) _ (.J: + -}, -Y)'
ullidas por la relaci6n 1:.T1T,T1 = 1.
Sobre. todall laJI demás \'aried llde.!l bidimenl iooll l t'!I (cont'-"II~ COI" -
paetassuaves cerradas) se puede introducir una métrica de Ril'mantl
da curvatura conltante DcgaLil·lI. Pan e!ltu var iedadl'$ !lI' ex is te
unll ropre~()nLad6n: Jll' _ L,/r . dOllde Lt es IIn plano de Lobllchevs-
ki (provisto, por cOlIsilrui(ln Le , dll IIl1a m6triea de cur vatuto COD!!-
tnnte /legatjvll). r es un ¡¡:rupo isomorfo (1 n} (.~/t) y qUIl u .. túa so l.tre
Lt por h a ü!Ometriag (movimlenLos) (véaso IIJ. por te 11. § 20).
Raoli zamoa una acotación útil a propÓ!ito da la& operaclonea .
• llledicJ¡1\.II de peg¡\dora de uas y de la cinta de MOE'bius. Remll.a
que "t.s operaciones son ca50ll particularea de una operación mb
general. llamada 4SUm a conexa de dos vorledadca do igual dlmen-
aiónl. Describamoa esa operación mlis delaUodamenle.
Sea o M~ y M: dos variededes suav(ls cerudas do igual dimensión.
Enca jemos las vericdBdes M~ y M~ en UII espacio euclidoo M .
donde N es bastante ¡rande. y coloQuemos M~ y /11; en RN de tal
minera que UD per de puntos: % E MI a V E MI tenga ll una dislaneia
a eotro sí. donde e> O es bastante pequeflo . adamia. sus planos.
t.n¡entea T ~ y T, son para lelos entre sI. Con esto SE' pupda considerar
que MI y .101 1 no so intersecao en p; ..... por ejemplo. se encuentrall'
a diferentes lados de un l, iPi'rphno 1It1"_1 e R ... · (ng. 31).
;, ~.
••
o
0-
.' .'
Hg. :>1 .
z }------i',
" " CJ-~·: 8"" ..... -.0. 0 -.'
.'
Flg. 32. ~· i¡; . JJ .
Eu vigor dd pa rulol ilHUO ue los pI linos r ~ y T ~ estos dml plaDmI
n-d illleosion3les se pueden induir co un !\Ihespacio t'uelídeo (It + t )-
dimcns ionlll R"+' o:::: Rilo', y ISO puede conl id l>rar qut' el ~gmenlO
r~. vI. que une 1011 puntos ~ e 11 I'n ",~+ ' . es ortogonll l ll T" fl'n el
puntú:r) )' a 1'~ (e '\ el pllnlo ~). Ahora pO<lt!mo~ ('umi nar nn cilindro
de rad iO suficlentelllente jX'quefio e> O con u u t"jO Ix, "J, Cllyas
beses -esferas SN-I_ fIO onClIentr lln tn 1'0: y 7' ~ (los puntos x e !I
800 los C(l ntro~ de Ins esfl'rns). Vamos a construir un3 nue~!l varJedlld
II-dfwpn! ional (d(,5ign6mo~lll por .", '*' M ,) . al (Ortllr MI y M~
1115(,',05 de radio ~ con centro CIl ;( y con ('1 !;entro 1'1I y. unÍl'lhl /, lae
,,. Cap. lo R..,eI •• del "'Iculo de homOologl.,
"fera! n-dimensionales obtonidas mediante el cil indro arr ib.ll. cons-
truido (VéaSII la fi g. 32).
N6te.se. que la variedad obtenida M 1 :f¡:: ftf, está dotermintlda
I1nivocamcnle (si M J y MI S01l conexas) en et 81guiento sentido: al
cambiar IOl! puntos %. y por otros puntos z' E J"'l' y' E /lfl • la \"urio-
dad M I :#= MI es reemplauda por otra difeomorfa. Clato está. quela operación ::f¡: (>5 o5O<:lllti'l.: (M "#= N):#= Q ::::; fI[ *' (N :#; Q)
-(direomorfismo). Adclnás, la opernción -iF es conmutativa.
Comlidel't'mos ahora de.'Jde el punto de vls tl!. de la o peración de
tomar una suma .:oOOX8. las operacionll3 de pegar el asa y la dota
.de Mot'hius, inlroducillas 8n~. Es evidente que la operación de
pegar IIn astl elItándar ab4- Ib-' e5 equivalente a l a toma de una suma
conllxa do la variedad ¡oicial M' y del toro TI. Luego, la opcraeión
ue P'lgar la dnta do Moebius os cquivalelHII a la toma de IIDa .!Iume
e.onoxa de h variedad inieilllllP y \In 111/1 00 proyootivo IR.P' (vell~e
la fil&' . <13)
E5 1I\' idente qUIl ¡1ft .¡¡: S' :o::: .11-: (difeomorfismo); ¡'1f}, *' M~. ~
~ ,ll;,. ~ .; MJ, -* .lf~. ::::: M~,.I"; MI # M:_ l *' M; ... ¡ ~
::::: JII '1;: .If~ .. !.
A, í. por ejemplo, la superfic ie de Klein M una suma conexa de
dos 1l11111vs proycctivG$ Rpl (v';a.w ruh arriba).
De m~llela que un con junto de clases de la~ variedadcs difeo-
raodas M' (las 'I'3rieJlld~ Stt suponen COrup8CtOS corradM cone:Hls)
Sil trllnsforma 1'0 un sollligrupo ahuliaDO P con doS gl\llurlltticcs :
a (el toro 7") y b (01 plauo proyectivo RP') entre las cualM nxls Le
sólo la rc]aci,)ll: a '* b =- b *' /¡ '* b. (Demuestre que no hay otrlla
rc lllcionei!.) Como clemente nulo ('1\ el Stlmi¡:rupo P ac lúa una esfera
bid im"nsiOnal.
Utiluando partidonM cl'.l ularcs do 1119 s uperficies arriba Oblo.
niuas. ('ji f¡\eH ..:nlcular las homologías do ~odas laa supt'rfi<,il's bidi·
ulellsionales ceuadas y ttlmbión ul grupo fundamental:
, E.<¡fLt-ItA 8'. Sus homologíH5 ya fueron Ga lcu l~das: lIt (S': Z) ...
- lI t (S': Z) """ l , IIL - O. LUl'go. slIbl'mos que 11¡ (SI) '"" O
Y n , (SI) "" n, (S') ... z .
¡ SUI'ER FlCI E.S ORI&.'\UULM JI~ E n viaor do la orientabilldad
tenomos: 1ft (¡1~; Z) =- H. (M, ; Z) _ !.. E n este caso un grupo
fund amuntal se. da por ~~ _generatrices _~ I ' :,' .. a" b, . .... ~ .. '
y por lo rolaclón IIlblll lb I ... a,b~ , b I _ 1. Eata relaclon
,denpareGe en el ¡Tupo conmu tado H, (M;; l ) _ n,/ln\ . n,l Y obto-
nomos III (M¡¡ Z) _ Z + ... + Z (2g sumandos) .
~ SUJ'tUfICII!S NO OIUS~'TAOLE5)j ~ En vi rtud de no oriontabili-
·dnd (veo.i'IP § 3), }{o (M:; Z) = Z . H I \M~; Z) _ O. En un ¡tUpO
fundDmental rt l (,\f~) so Liencn ~l generlHrlces a" . .. • a~, unidas
por la rc lpción a!Q~ .. Q~ == 1. En las homologias HI (,il{~; Z) _
... n, l [n l' 11 11 las generatrices a .. .. . , al< conmutan y C!ltáll unidas
'mlldillllW I ~ relación 2 (a l + . .. + 11,,) .,. O. Por eso H. (M~; l )=
••
_ z + . .. + z + ',. Aquí b .s generatrices en los grupos Z.
, ,
~n a,. , . _, a,,_.: la generatriz en el grupo Z. es a l +. . + a".
Consideremos ¡¡hora el llamado $e.'!pacio lonticula['l L p • que se
obtiene de la esfot'a SI: 1:) II + I t . 11 _ 1 media nte la factorlu.-
dón por la acción del grupo I p:
( 11<. !:Tt ) (ZI' za)..... "tI! T. ~t' T . ( 19)
CUIndo p = 2. obl.Eonaruos un espacio tridhnaDsional proye<llivo
R P~.
Para construir la partición ce lu lar del espnelo lenticullu L,.
part8mo~ , pl'imerltment.e, la oll fern S¡ do In mAnoril siguionte: sea
q_O • ... , p-l. Las cólulas cr~ ~on lales puntos (tp zz), que
"J- pe.", p>O. o/<lJI< Z."1 Ij,+ I ) ; o;. ~on tlll~ punto! (~I' zJ,
'" qutl Zt - pe~ . p > O. ,, _=¡-: o, • .som 1A11I~ punto., (z" O), que
2nq ~ I + 0 ( ""'- )
z, - e'.,p<'P < ! : 0;. son pu nto. e " . O .
E~t¡j paftici60 celular está repreSllntn.11l. osquem,HicaOlen~e en la
ng. 34 , doude la e~ feru Ss Sol ide"tHica CO ll UlI espacio trid¡mell.~ i onal,
eom plldado pur un pont.o inf ini tamente alejado (p = 3),
Flg. 3~ .
Con una orientaciuo nOCQSll ria dI) os tas células olo\.endromo.:
oa: - a;H-a;, W; - a~+ ... +a~ , 8O"~ - a:+I-a~. (20)
(Aqur (q + t ) se rplluco por 01 módulo p). De,pu~~ rle la identifi-
cación por la ace l61l del ¡rrup() ',z ". las eé llll n a~, a~. a', a: con
diferentes q se pegnr'll en una so¡~. Ob(.endromos lA partici6n celular
dll 13 lente L¡. compuesta de cuotro c';;lll lu: o', a t , a' , a". ademb.
de ¡liS fórlUu as (20) 811 de.llIcl' <pie 8a$ _ O. 80~ "" pa ', ae' _ O.
8. C.p. l o R.C.'" d.1 dlculo o. homologlu
De '(ju i se deduce:
11. (L,.; Z ) _ Z = Ho (l~p; 1.). 1/ . {L¡ti Z) - O.
H J (L,,: 1:) = Z". (21)
Para JO!' cocfidfnlc~ Z" tendremos:
JI , (L p : Z,,) = l /" i ". O. 1,2,3, ." (22)
PAOilLt;.)IA ~ . Hallar lus grupos de cohomologías H ' (L p ; Z).
La var iedad ¡cnHal de leut e d~ dil1wosl6n 21/ - 1 StI denOlllina
fact or de In esfora 8 1n_ 1 por la ncelóu de UII grupo Z"" donde la
acción de ID geoeralriz ticno la Corma
(23)
Coo 8lIto. tod<JS los númcro~ ql' .. " q~ . 1 doben ser recíprocawent.o
primo" coo m. para que 1111 espAcio cociento sea una varif'uad ("ct l-
liquí'SI'). Esta variedad so uesigno Itl'í:
(24)
E,·ldenltllnCllt t! . 1I11ll'IilOS n , (L'''- ') = Z ...
PflOOLEMo\. ,. Construya sohre lit estera stn_ L una pa rt ición celular
pa rll que el grupo Z", IICtíL8 tfll.~\adaodo libremente le.!! táluhs (es
decir, engendra lo p!l. rtición «llular do la Ion te). Calcule las horuolo-
glu de las voriedades lenticulares.
PI!OIlI" P.o'II, \ 10. Muest re, que pa ra 111 - 11. = . . "" 11"-1 --
"'" i \In espac.io len t icular es un espacIo librado suave con loMO
Cp"-I y con fibro . que es la ri rcu ufct¡¡ l'l cia S I
U~-I( I , .. . , 1) -" ....... CP-I, F _ SI. (25 )
PRO"J.ElIA 11 C¡¡lcul(' el a Dillo de coholllolo~ías de los espacios
lenticulnfes (ton los coefi cienlell e n el grupo G _ Z",).
Es interesante 1" partición de una serie de espacios librados sua-
ves. Coll$idercmos aqui los CIUOS mb si mples. cuando una fibra F
es la esCora $"-1 partida en las c'lula~ o). U 0,.-' = S"·' . Un ejem-
plo importante es una var iedad do los ('tcrueotos line.ales:
F_S ..... I.
Si la b09tl 1t1 " eslá parUda e l ) las c¡¡ lulos dj . cnlollces las células
en un eSJllleio fiorado M'~-I so dl'lerm innn do l a condición
p-l (ol) =o'x F "" ojx(ol>UO-;'- I) . (26)
ya que el espacio fibredo sobre un di$C (I es lch 'l al (producto directo) .
"'ase [11, plltte 11 , § 24. Así. toneOlOS ('o Mt~' 1 lAS células
(2 i)
.,
.donde 0'1 es uno célula arbUfaría (de d imensi6n 9) en la base M".
Pero es dificil calcular un operador de la frontera de e.!Itas células.
(;on81doL'COlos ua ej6mplo: liD agpaciO MI do los elementos linoales
hllci¡¡, una lIuperficio cerrada "1; del género g > 0 , con una partició n
celular estándar (véase más arriba):
M~=a4'U { O") •... ./_1 • •. . • 2g} Ua2 • (28)
En el 8!lpacio },f" obtendromos l~ células do dlmoollión 0 , 1. 2. 3
(0 )( 0". aj ){ <4. o' x ~,
00 )( o.,. a} x o).. al X aJ.. (29)
UD vértice es una (Jo X a'P. todas las células unJdimeosioneles son
delos. La variedtld M' ea orientable. Por eso la célula t r idimensiooal
(J I x o}o os un ciclo. VorHiqueso que la célul a O'J X at en una fibra
(!s hmbién UD d elo on ¡as homologias; poro on n , (I1P) la fr ontera
iJ (aJ x a;) da un conmuta tlor de Ia.S curvas 11; y \l'¡.. La cél ula
0 1 X aS. no e.5 un tielo. Tleno l ugar la fórmulll
(30)
El símbolo (O})"·IM lllgni fica qlla (l 1l la f~o nLeril do la célula
o' X o~ se incluyo (jI ciclo unidimensionAl o~ repotido 2 - 2,
veeos (con una orieutación co nveniente). ElilriofluO UIIII de laa port! •
.ciaDos $Il la base .~f: . tenemos para 80':
• Buz_ 11 (a¡b, r¡j'b;') = IV (o , b). (31)
.-,
donde Ifts curvllS a ¡ os Win repl'CS6otadlU por las células 01, y las
curvas b" por las células (J~., en la base ¡If~.
PR0 8LEMA 12. Dlllnuestl'G la fórmul a (30) paru la hontera de la
úlula 0 1 x 0"',:. , utUitondo un ca mpo vect.or ial sobro Mi, que tielle
exactamente un punto s ln¡ Illnr con (jI grado 2 - 2g (vlÍase 111,
parto f1, § 15).
Paca el grupo Jt l (,tI 3} Lclll' mos las !(enerntdces a,. •. , ., 0-,.
b l , • •• , b,. V (aq" í \' ~ una libra F _ S ') Y l~ s relacion .. s
(a" vI " ,¡'Iij 'l'-' =- J. Ib,\·J - b,yb,· ... · • ... 1, (32)
• •
..,:-u=W (a . /,0) _ U (a.h,ai'b¡' )_ U ¡ah hll . (33)
._. 1_.
Vl.' rifio.:or que las J, omo l ogjll~ N , (11/1) tknl' !I I~ l forma:
H _Z, Il, ... Z+ . . + !.+ Z2. 'Z' H._l. + .. + Z, JJ3 --1. (a4)
~ !>' ... -
"
§ S. Homologlas y cohomologlas singulares. Invari<Ki6n
homot6pica d e 8111S. Sucesi6n en,dll del p ar.
Homologlas relallvlJ.
El métQda mli~ ¡coernl para la dC'lorminn~ j 6" ]'ornotúpicamrnlo
inVtll'ill nt e do las hOTllolo¡:íllS y c-oIJOmolollí IlS. que \'/l.mos 1\ utilbnr
aq uí , 110 ~.xjgt' la t's truc! ura de "lIri odod. ,,1 dd complejo simplidll l
o del cclulll f
Sel> X cu~lqll í(' r (I:¡ pl,do lopoJo:i¡¡ico.
I' EI'INICI"" l. UI! :Impuz ,inguwr I,:'-dlml!nsionnl se d cnomi n l\>
par (o·, j). donde /: cr" ...... X I'S una aplic;¡d6n continua de un si ",·
pl ol" ('§tJnd~r k-rlhnensioll lll (! = iu • ... (%. 1 ('JI u n espado X.
Cadena .ringuUlr k-dfmfn"""lll ~c o('"omina 1/1 operación lormd
fin it./I. lin('1I1 c~ = ~ III (",~, /,). dontl{' 1:1 ,\cO /! ('Icmontos de un grupo
•
olJeliallo escriLo adiUv8metlh' G. y (cr~ . JI) SQ tI ~¡mpl('x rcguil,lres de
di.Dlenslón k.
A la fronlera de un ~ímpJe.~ smgular ~e l a ll amo c,ombi oaciÓD
formal lineal del tipo
8 (0\ f) - ¿: (-1)' (0:- 1• fI~- I)
, . '
donde 0:-1 = [IZo '.' (xq ... a~l C~ la q-né-",inl ll CllrIlo de nn ~impI6"
e~tllndar, I I A_ I es 1,. res tricción de la aplicación f sobre la CIll'8o
" 0: - 1 (la cara do un símpl(,.'f ~ingll/nr, ell tambi~n un IIlmploI
s inglllllr). La frouterll de una cadena singular tiene, por defini-
ción , la fOrn1l':
&.-:2; CIV(o': . ',).
,
Del lema 3.1 se deduc" que {¡dc. = O. U" ddo s ingulllr es unlt
carlena Ca tal. quo ék. C1 O. Una honlen singular es uoa eadenll. I'A
tol o que l'A = 8c_+1• Ln froulera singular es un ciclo. Lo~ grupos do
homolog/o, singularell (simpllci llles) H~ (X; G) son cIH~(' S oc eq .. u-
valencia de 105 c iclos k-dimensional('s con exactitud Ilas :a las fron-
ten.s.
Los grupos de cohomologías s ingulares /1. (X ; G) se determinan
como el1 l"1 § 2: las cocade l1a5 son forma s Jinelll('~ en las cad(>nll8 y 11 0
operador 1) está conjugüdo 11 iJ. Lu eOIl1odjd~d (' 11 la "tilizafi6n dI" 16,
I,onlologlas singulares cOOllÍslo en qUl" pIllA t: uelq uil"re aplicación
cO l1tinna de 1011 espacios 4>: X _ Y 101'1 hODlunwr(¡smos inducidOll (JI .
y (JI. do 101 grupos de bomol cgí~ s y cohomologfl\!l singu[arM
4>.:Jf,(X ¡ G) ..... lf,(Y; G),
q: . :J/- (Y ; G) _HA (.Y: G}
(1)
(1')
f S. Homologl .. singular •• 63'
118 eon.:lnl)'en de una nJanera evidon te. Aquí 111 (Udella sin¡tular-
c. _ ~ SI (n~ , /1) pua a !loI'r una eadona sillgular Ii'. (c_) -
- ~ 61 (o~, q> • '1)' Las tohomologl/ls se IlpJjc~n PJI (' 1 lado opuesto:
",.: II~ (Y¡ G)_H- (X; G). donde la eoc!ldann C"~ ppsa a SIlr
,. (c· ), ndC'más (<rolo (,~ ). ;.> -= (/, q'. (;'~ » por de(inieJón. Las-
aplicaciones 'r. y <rolo sobre l b cadenn )' eOCAdena!! son conIDutaÜ-
vas con un operador de frontera )' por eso 5011 definidas sobl'9 las-
clases de homologlas y \·ohomologias.
DtI la definidón de las ¡jOrnologías sin¡tllarl'9 (cohomolog5I\l1).
se deduce con e\' idenciA q ua los espacios equivalentes topológica-
mento (homeomorlos) tlClnen iguales homologlAs y cohomologías.
Demostremos una a firol oción más fuer te: la inv",riación howntóplca.
de l as }J(.>woJogí m:l ai n fJulfll'~ a (para h a collomolo¡ias todo.s 105 razo-
namientos son los mismos).
TJroIl&llAI . Sean <ro: X_Y, cry X_Y , apIfoocione~ homotó-
plctu. Entanctl , los homomor//sJlIQ.f IlIducido~ d.t /01 srupos de 1w1TW-
logfa, "'o-. "" .: JI ). (X; G) _ H~ (Y; G) colncldtn: qto. EI~ . (porl;l.
UJ, rohomologtru fp; = 1(': ).
DltM09TRACI ON. &lito : 1, un segmento [O, 11 ; 11>, u na hOlDotopia,
que uoe las aplicacionel!l !JI. y 1Pt:
11>(::1', t ) :X x '_Y, (l)[ f_~ =!JIO' dllt_ l -fil¡. 0,,1::;>; 1, %€X.
(2).
Pora cualquier simple.'!: singular (a , /) está uetermiDada 111 aplica-
ción cle un c¡¡¡ndro o X J en UD espacin Y:
(1) (J X 1) (a , t ) _ Il> (J (o) . t): a X I _.v. X 1 __ Y. (3)-
ParUmos el cilindro o X J en símplell: s i O " la, ... a. l, los
ví rUccs en el cilindro o X J tendrán una fo rma at (ba.!'e infe rior)
y al (base superi or). Los si mpl l'lI del cilindro a x J t ipnl:ln la forma.
00"'" lag ... a~a!"~+ 1 ..• a.lJ, q _ O, ... , k (4)
(véase la fig . 35 para k - 1, 2). La aplicar.IÓn !ll U X f) = T deler-
mina UDa (k + 1)-eadenll >ll nGulll r ~impli cill l D (o, f):
. -
D {o, n -( -t )~-I ~ ( -i)O(o". J). (5)
.-.
Obtenemos \ID Ilomomorfismo de los grupos de las caden ll.9 singula res:
D: C. (X)_C .... I{Y). (6).
Lt":II! A l. Tltnp Iu.gar la identidad:
D . fJ + ( - t )~- ¡ d. D -!JII_ - 'Po • . (71
DDIOSTflACIO)l. DMigoemos por d la, ... Ct~ 1 a la suma de los
aimplex del tipo (4):
• dla~ ..• a,I ,..(- 1 )~-1 ~ (-1)~ la~
.-.
... a.:a~ ... al ). (8)
Adolnh.
. .
8 1~ ... Ct. I _ ~ ( - l)llao .. ' r.z.\ ••• Ct.I. lO)
_.
EntonC('s .
d8 1a" ... a .. I +( - f)'-l rJdla.. ... !;t\/""'{r.z.! . •• aIJ-Ia! .. . a:, .
(tO)
Esta ¡:frialdad es goomÍ' triea mante eviden Ln: la frontora dol cilind ro
[a, ... (1. , 1 x 1 o;O\ULa do un cilindro sobro la frontera del sim-
piel: a la, . .. a.l y do las baSCll inferior y superior loma ndo e n
CUl'ntl\ el s igl\<). De osta i¡ ualdad ~ deduce la atirrnllción. del l eoma.
0, .~., kW
FiC. 3S. PUUCIÓIl d" CIlindros en aimple,..
Del loma NSnha (viSase el § 2). qUfl lu!! homomorfi , mos de los
grupos de hornolo¡:-ias cp .... a .... O. t coi nciden (patl!. cualquier cielo
J .. tenemo, !pO. z" - CP I.lI~ _ aD,~). El !.eorama quedl\ demostrauo.
CO It OLARIO. ÚJ¡;; elilpa.clot homot6ptcame/lu equivalen/es ti.ellel'l lo,
grupolJ t/JolMrfosdehonwlogCtU (coholMlogi¡u) 1J¡n.gulare$ (¡¡lmplicwUI).
:EJEJlIPLO 1. Cual qulot espac io cont rllc ta bJe (por sí rnisltlo) X es
equIvalente homot6picamonte a un puntu. D,term¡ne rnu~ 111,.5 homo-
logias alngular6S s impllclalu do un punlO (X - . ):
Los k·simplex a¡nglllares del punto. _ X:
(11)
lenamos u n si rnplax SiD &,u.lar para cada dimeD~16n k (ya Que hay sólo
o lla a plicaci6n 1). La fronteta de un sSmplex (0"') tiene la forma:
• 8(0'-)-:E (-l)q(~ -I ). (12)
~.
ti S. Homologl4s slft9UI ....
Por eso tenelllOS:
I O. si k es impar o k _ O; J «(1". f) - (Ii'-I, f) . si k os par.
..
(t 3)
De aquí: 110 (-¡ Gl ... G, Hit (-; Gl = O si k> O (el ddo 0-'- ' . /)
Bi k soo pares. es 111. f]"(lotera de 111. clldena (uI' . f) .
I!lt:UPLO l. Si el espacio X ~ Iiuealmente cooexo. entonces
H , (X: G) ... G. En ereel.o, toda! IIIS cadena.! O-di monsional8ll son
ciclos. La eadoIUl del tipo ::E 1, (~. "l, 1, (o' ) - z., E X es una fron-
,
tera s I. y scSlo si. :E 1, - O. Dos simple .. cual69quiera O-dim6~io
nsles (o'. r y (04. lf). 1(0') - x" 8 (qO) - z •• 900 homol6glcos:
al qJ: 10, 1 _ X ll.'I uua curva quo une los puntos %1 y %~. entonet8
(14)
Por OSO el ciclo ~ " (u" /¡) es homol6gico al c iclo (~ gil (o ' , /)
por consiguiente, R o (X: G) - G.
[)Q modo análogo se d6munstr4 que para el espacio X que consu
de 11 eompooeot.&s du eOflexi{1Il UOOlIl. el grupo 11, (X : Gl es una suma
directa deo n ejemplares del grupo G.
Para IIlgunos objotiyoB convienen mAs la ... homologillll y eoho-
mololl'ías singulares cúbicas. Demos su definkióo
Un cubo n-dimensi onal ostiindar unidad ro¡ 1;\8 un con junto (le
punto, (.El' ., .E •• ) en un espac io R", quo sa tisfAce la relación
O ~...:, .::¡;;; 1. S i n_O. ento n':'&lI P es un punto. La cara del cubo
1~1" (f s:I< 1, , ..• 11 . e _ O, 1) es un cuuo 1"-1, donde %, - ••
En total . el cu bo tieno 2n carA" ).~ln.
Un n-cubo sinRular o!n despacio )(.as '111 pnr (l". n. donde
1: /" -~ X 69 una Rplio.;ac ió n continua.
Las car.n del "uho lOi ngull1r (l". n tienen, por ddinidón . l.
forma
1= l • .... 11, e_ O,!. (t 5)
Ell a..<! se deno ,nLUa/l coras '-inlorior (!l _ O) o l-s uJl('rior del cubo
~iniulllr (I~. f) . Cua ndo 1 < l. tiene lugRr "nll. identidad simplo:
!l. '1 -0. 1. 116)
Sila C" .. (X; Gl un grupo d.:o c. dona~ si nRulares cúbica! de dimen-
sión 11 co n coefi ciento! PO un grupo G. 0.'1 dl)Cir. 1m ¡nipa de com bl-
DlIcionE'! form ales fi ni tas lineaJo! da forma
(1 i)
"
Cap. lo Recet •• M' ~1t"lo d. hornolo>gin
La froll lul\ <l o] cnbo s ingular (I ~ dl' LIt'O
" d(/ ", f)=~ ( _1 ); p·\ ( / "-J, f) -í.t(l"- ' . f)1 . (18)
.-.
El operador (J se prolonga en todas las cadenns IineBlmenlc.
De In identidad (16) se deduce. quo J i) (In, f) = O. Vil n-cubo sin-
gular (1". f) so denomina degem;raoo , si la aplicación f; i" _ X
se descompono en la superpos ¡ l~j ón de la proyección sobre unn carf'
1" _ /"" Y las aplicaciones g: 1"-1 _ x .
L as combinaciones lincales de los (.uhos n-dimensionah.'s singu-
lares forman un SUhgruPDD" (X; G) (In U1l gru po de cadenas en (X; Gl·
Puesto que u n oporallor trallsrorma un cubo degenoudo de nuevo
en un cubo degenerado, es posihle, ruc~oriundo por los cubos dege-
nerados singulares, delerminat un grupo de cndenas cúbicas singu-
Isres «normlllizadas. C~ (X¡ G), supOlliondo
en (X; G) _ ¿.~ (X; G)!D" (X; G) . (19)
y el operaJor de fr ontern o: C" (X; G)_C n _1 (X; G) (que sera.
designado también pOl' la letra a), Como a ntes, iJi) _ O. Por eso es
posible definir un grupo de homologia.s singulares eúbiea~ como un
gl'UpO de ciclos normali1-atlO$ con exactitud hasta los ciolos I¡omoló.
gicos a cero (do forma análoga se defin en la ~ cohomologías).
Mos tremos. quo los grupos de homologías construidos son t ambién.
homotópic8rnent6 invariantes.
TeORI'-'>IA ~ kas I1plicacJones h(¡ nwt6picas qJo. q¡,: X _ Y de /os
tspacjf)$ topol6gicos, inductn igualts homoDlOrfismos er •• , 'p, . : H " (X;
G) _ H n (1'; G) th /os gruJWs de lwmologf.u s ingulares cúblca.s t ¡gUiJ-
Its homonwrflsmo8 de los grupos de rohCJm%gfof cúblt:Uf (f': .... o:p~.
L8 demostración de este leoroma l'lI igual a la demostración del
teorema 80álogo para un coso si mplic¡a\ (más arriba). Es necesario
constru ir un operador D de homotopía tllgebraica. que confr onta
a cada cubo n·dimensionol singulsr en 01 espacio X un c ubo (n + 1.)-
dimensional singular en el espacio Y. Si (Jl : J X X _ Yes una homo-
tapia ent r e las aplicaciones lJ'o. !p,. entonces el operedor D se deter-
mi na asl:
D (1", f) = (1,,+1. $ (t X 1)),
ya que
¡nH=Jxt", 1 x !:IMI _lxX.
El operador D t ransforma loo cubos degenerados una vez más en
degenerados (verifiquese). Por eso está definido t ambién so bre u n
grupo do cadenas norronlindBs.
La igualdad
Di) ± OD= 'f¡ . - 'ro.
s So HomoJogr •• , 1ng<JJ.f.'
l!e d~mUCSlrO lnl~gralll~ lll e por IllLal o¡'1I nI lema 1. Ln dl'mostrllcl6n
se concluyo lo .n lsmo q ue e u el caso de las homolo¡:íos si uguhf$S
sirnp(icilll le'.
I!J[NPW s. Ca lculemos J¡ omol ol:íll ~ "In¡¡:ulal1;!l5 cubica., del punto
X _ _ (y , do ~to modu, de la homologla do cualquier I'spnc io con·
t r~ct ll hle) ,
En \'~ da dimonsi6n /1 teDemos exactlunento por un c ubo (1", l . ),
dOjl( la 1" (1") - -. Si 11 > O todos es tos cubos, Mln degenorados,
Por eso 109 gru pos de l a" c-adcnllS norm" lizadll5 cúbicas tienell 18.
lórma
C.(X;G) _ G _ H g(X;G), C,,(X;G) = O si Il >O.
Qu.ie~ decir que las homolol;ins cúbicas de un punto son las m isma,s;
que lila homolnl;:ln simpliciall's arriba conSlruidlls.
OIlS I'J".ACION. Si so c~m:«truY"Ia" J.omolo¡:I/lS Ji. (X; G~, part íon·
do de los A"rupos cun,ple tos do cedenas singulures cúbicas C. (X ; Gj,
en I OIlCl~, In~ homo1o¡:íllS de un Plinto on l'st a lt'o rín sNán 110 t r; .
viales.
T'110U t t:~, .. t H) Dd"rDli nar un gfl' jJ{' }J" (.; Z) ; b) df<m o .. l rn r
que lÍ~ fX; .! ) _ L ll "_h(X, ¡í _(_, l ) JWrn Cllflh l"iH (>~JJlleio X.
~ ... ~
Dllfj,lomos fll ,offl 1,,5 he,lllo logiol! r~ ltt lh-nll s ingul a re:5 . L¡,s den·
l1icíOll t:" ~qu ¡ 1'.011 i¡¡-Ho Je." qm, pira las ";lI' iOI1 I (>5 ¡¡intpl icia1 y cúJ., ;('".
Stlnn; X, UII espocio lopológico: y, IIU 6ubupacio. Enl olln~ . Jos
' '"rus (lo co d(>na~ singu lal"c'!:' C~ (Y) St' enC1u,'nt rlln r u los gr upos
Cl X) . Consideremos uo grUllO de clldl'nllS n lntlvAs CA (X, Y) _
... C. (X)fC. (Y) (no elll' r i IJi m ,,¡¡ explh:lIl1meole aquí Iúl:! cOI.' ficlun "'"
de G, el gru po G e~ arIJ itrario). E l operador de frontera iJ t rftllSrOfW"
Ct (Y)~" C~_. (Y). por t'1IO é l d t'le rmina derlo oPtlrlldor dll IrOOI.>r/l
• Cl (X, ) ' ) _ C. -1 (X , Y) para lo!! g rupos eodentc6. Este lIomon10r-
n, mo lo «('¡¡ignamos t ambién con f). T('ncm06 llJl l"ompl('jo d(' cnul'nas
relIl1;"II :« y un complejo con jugpdo do COCfl!lllnOl:l.
Como onles, dpfj uim os los cid08 r('l nlivo! Z. (X, Y). pllrn los
CUII Il'S //C. '" O. Las fron lcras n .la tivos B. (X, Y) c: Z. (X . Y )
tienen 111 forllla c. """ OC,.H' Al II' I'UPO ce'dcnlt\ Jh {X. Y) .. r
- Z. {.X . Y)JB. (X, Y) SI.' lo lI am~rá grupo d!' h o ntú l (,gÍl~sn, l " ti"b"
(de diu1o.'nsiÓn J..),
Un grupo de llo mologflls ¡¡ ~ (X) li~n" unH Ilpl ¡raci(,n nOlura! t' n
un ¡rupo d e homolnglas rclali,",, ~; C"" II (ide> tlí' /l . IX) ~(' puodo
cOJlllider3r como l"l'1:. li vo. O blenl'mo .• los hOnJomorfi- ",Ol'
'"
"
,
Auumás, la i nmersión (el enca je) de IO:f C$paeios Y _ X d ~"iglllldo
por la letra' delermioll 1.1 11 t homomorlismo da inmersión.
(21)
Con~Lrulmo, ahora 1.10 homomorfis mo de frontera iJ • • que opliea
el ¡nlpo H . (X. 1') en UD grupo lf. _1 (Y) (para 11\5 cohomolo¡ías un
11OllIOffiorfi,mo 6.. que aplic.1l H-- I (Y) --+ H- (X. 1'). Sea c. E
E C. (X, Y). un deJo relativo. 13, posiblo considerarlo CO lll O UDa
cfldello, ordioatlll (o . ltbsoluta. ). a! d&ci r. como un ell'mll1l1..O de
C. (X), d&torroinada con exactitud hasta unll eadeno arbltrnrill de
C. (Y) . La rron t.era c._, _ ueA el! UD d elo (h - 1)-dimensiOllu l e n Y.
Entonces 8. (cA) cormspollde a 11M c llU& de hOUlologiaa dl'l ciclo
[ligo 30.
'". _1 = lJc. por defi nicl6n (véase la (ji. JO). La e! ue de homologlas
iJ~. 00 depende de la elecci6n del reprG5onlant.e en}" clase c. (Vl'ri-
fiq ucso). Obl.cne lllos u n homomorfiSIDO definido corroclaroenttl
lJ. : H .(X, Y)-If._dY ). (22)
Combinando ho momor[iSI1IOS l • • I y 8 •• obtenemos una suee~Lóo
de homomorflsmos
~ H (YL' , " ". '4
. .. - ~ ) -- H.(X ) _ I/h (·V. , Y} - H ._L(Y) - ...
• .. _Hg(y)_ H,(X) __ H , (X , y) -O (23)
TP.OROIA. , . La :tu.t:t:Ji6n (23) t':Jel!ddn:. t :J decIr a) Ker i, _ fw a •.
b) K cr 1 _ 1m t •• o) Kor iJ. "'" 1m J.
nl!)LOSTRA.CLON . al Verifique mos que el núcleo Ker f. coi ncIda
con la lmago Ll 1m B •. Soa CA_ I E e __ ! (Y) u n ciclo tal. q ue i. (Ch') =o
- O. Esl.o signi fi ca quo on 01 espacin X se encontrará u nG cadena
c. E C. (X) ta\, que ik. _ CA _ ,_ La eadena c. es un ciclo relativo
y la duo do homolo¡rras del ciclo c~ " , coi llcida con 8. (c.l por defi-
niel6n. El punto al q Ullda demG, trado.
s S. Homologl.s ,¡ngul.,.. 89
b) 5(>11 c~ un delo en el ospacio X tal , qua I (.:..,) =- O. E .!!to s igui·
Ciu qlu", rJr~ _ ° y se t'ncontrn ráJl un !!; cadena Ck+l en el espacio X
y UllA "Adeoa C"~ en el t'spl.lcio Y hlE's. q'¡e
;:+lJr~.,_c~.
Enton¡;e,. . ()e" _ ik.., _ O. pClr eso ;~ es u u ciclo on el espacio Y
homológ¡co al cido e_. Hemos moslrado quo lo elase do homología
del c iclo e. t iene 1m repreJl(!ntA nto e n el ellpacio Y . o sea. e~ E 1m t •.
c) Sea el un ciel o oo la t ivo en e" (X. Y). ademh. 0 ee" _ ° en
UD grupo 11 •• , (Y). Esto s ignifica, que el cielo ik" es hO"rnol6gico
a cel'o 6n el espllC.tO Y: Oc. - ik~;;;' 8.!1una cadena en C. (Y). Enlon-
ces. In cadena c~ - c~ l!lI u n cielo "nbsoluta. en 01 espacio X y da un
ele mento equi V/d ento al ciclo e" en un gru po relativo 11" (S, Y).
De m~n (.> I ·1I ' IUO 01 c ielo CA ...... Cl - ;~ se e ncuentra e n una imagl'lJ del
homomorfismo J. Verifique la exactituo en el térmi no Ro (X. Y).
E l h!Ur"pUI qu(oJa demostllldo In~grameDte, Para los coltomQlogíos
SO I1 nnálogas la ~ut'llcJa do los ralonamienlos y la \'<,rifitación
de la 1',"lIetitud .
LII 5uc •• .!! ión (23) ljEl ,¡ ('nc minll s\lce..~ ión Ulllctll (homológiCe.) del
pllr (X. Y),
QbSl'rvo m os qua s i l' I.'S un su bcompleJo s ilnplicill l (celular) ('D
\In complo¡jo ~j mplie illl (cclulnr) X , !:nlonees 109 h"molllorfisulo" de la
sUC('., ió n homol6gicII (y cohomológicll) del pllr para la.!! h(lOlOloglll1l
simplicinlC's y n .. lu lllr('$ ~ Ot' l{" rruinan de UIlU IlIanera cvidcllle . Le
dCJllmos como ejcrdcio tll lt'(tor la v('rifi¡;lldóll dI' ItI clIaelitud de las
lIucl's iones obtl'nida~ . qul.' es 10 11llDllmte auálogll ti In dt)lIl(1sl r lt<:h\n
dcl Icore mo 3.
C" 11 0 LA ltl O. D e la ti/al/IV" f':lIIe/a dd par :sr dt duct- la. iflllu/dud
H.(X . ·) _ H . (X ) . k > O.
lIo l X, el _ O. k _ O,
dendc X t, 1.111 t!Spaclo I1n tolmrnle <'0111.'::10 .
I.)I:MOS1'IIA,,; ' ON. H{'alm,·uto. si ,;: > ° LOlLolJlos:
11. (e) - 11. (X) _ H ~ (X , .)_IlA~.<e)(X)~
(2")
SI k - I _ O, la in moniun N . le) ........ 11. (X) es un iSODlorfisnm. ,'.0100
N:! mus t raba 1I11 te5. r <or ('''0 I'tl ra todo k> O tcno onus una ~ucl!slón
uacla
(2:;')
Ellto da de i Ilmt'd illto 11 11 I.'KJillu rfismo de est0511rUI)os. )'0 quo K cr i ...
_ Oc. I mi = f1. (X, . ).
7.
Parn k "" O te"emos In l!UI;C~IÓn \'x ttda
(21))
dOllllo l . 1'.'1 lln isomorfislUo, Por l<lSO el CM() l lI rio (I Uada uumosLtuJo.
Una propiodad Ox~rll or,Hnnriamll" t.-, imporlanl,.u da las honlollo-
gífl5 n>la t i\"1IS es su . nalll ralidnd. ':OD (,'S Ilplicuciol\l's conti n uas do
I ().~ plln.'S
(X . -" · )~n· .Y'I. (27)
<londl' X ' c: X, Y ' c: }' f I (X') c: l O"~ t"n~mn~ l;l~
1 . : If~{X)---..Jfk(Y)' f·: fl~ OT)_ lr(X).
apliclldol"lC!
!.;H~(X, X')_Jf" (Y. Y') • .f·: lI ~ {l ' . l"1-1I" (X,
l. : JI ~ (X') - .. H . IY' ) . '"': 1/" 0")- /J ~ (X'J.
(28)
X') . (29)
{OO)
T rnlas las construcciones de los homomorflsmOJ de la sucesión E!x:acla
(' ran tmHura lest: coromutllbllD con las nplicaciones ~ont¡nuas. Por
('su se titHlI!J un h omol'DorfiSIDo d I! lIu c('!;iol1('s \:IX!l.c l lllj
,.. f1.(X' )"::"
j ,.
~. H dY') ~
Par;\ Il1s rohomologr~.~
!.:. 1/- (X . X') ~
t ,.
!.:. HA ('y, Y ') ...l..
H.(X) ~ H.( X , .y') ~ H._¡{X') _
l'~ ~ /. ~/ .
1l~(Y) .!... II ,, (Y , Y ')!:. 1I, .. dY') -
tencmos Ilnalogllmenla:
,. II ~ (Xl II"" (X')
t" /'
11' IY) " H" (Y' )
!:..J/ ~ · ' ( X , X')_
1'· ,.
__ u-·, (y , Y') _
E8to propiedad es muy úti l. POI' eJcmplo, lieno IUJ{ur tal
.A "n~IACION I Qut te tenga UI. tlplicaciófI de los pnrts
f: (X, X ') _ (Y , l").
d onde el homomorfismo f. J'_~ un i.!Iomorfismo pa ra
(31)
(32)
(33)
1f1o(.Y.) !:II~(yl y H. (X') !.:..HIo(Y' ) (34)
~ .
.E/donces, /os gruplJS relat iws lf~ (X, X') !J ll. (Y, Y') son isomorfQs
taml¡¡ln 111. dI .I'u. isorn/lfjbmo (;IIJ:lI ,jgtcamtmlt! para las CQJwlIlI!logL<II¡.
DK~!OnTlACIllS:. Conslderarllos e l diagra ma (31). Si '1 E [[ " (X, X)
y I.a. ... 0, eTl~oncos , lanemO$
(35)
, S. 1-I0000oIOQI ... ingular .. 11
Por ~ l. (8.o;r;) _ O. dondu8. o;r; E H" _I (X'). De la condiei6n
(aabemos, que l .: H ,. _. (X') _11._. (Y ' ) es un isomorfismo) oble-
,nemos l . (iJ.a) _ O _ 0.1% _ O. Por ello 1% - j (~) . Ptlellto que
l . (a) - O. tenemos J.J (~) - J U. (M) .. O y por liSO f. (~) !lb
- t. (y) . Consideremos 6 _ r~ (y) E H . (X' ). Entonces ~ ~ " (6)
y a _ Jl, (6) = O. Por eso, a. "'" 0 , si t. (a) "'" O.
DemOft tremos que eualquior elemento y del grupo H. (Y, Y')
tiene lo forma y =- l. (6). Si (J. y =< O, entonces V _ 1 (~). Considere-
mM un elemento JI-~ (~) _ a. Te Domos l. (a) _ y. Si iJ.yCP O,
entonee~, ¡ntrodueimo~ el elemento r !a. (y) _ a.~ . Entonces, la
im8gM l. (~) lI~ r' a l. qull d. U. (~) - y) - O. Do \.'St a man0l'a ¡.
afirmaCión queJa demostradft .
06SI!II.VAo t::ION. Lo ¡afirmaci6n y s u demostraolón siguen lI iendo
eorroctlt$ en la siguionte (ortna: si sa exige un bomorfismo de opll-
caeiond en la~ homologla3 on eunlquier por de los tres grupos JI. (X),
If. (X '), 1/. (X, X '), <l nto ncts, h. tercera aplicaclóu eo las lIomolo-
rial! también será un IlIOmorlismo. Para las cohomologíu todo es to
e.II anA logo.
Ara, lIdelaote se demostrará que las hOlllologiall si ngulares coin-
ciden con las celubres y slmplicillles pata 101 cODlpll'jos celulares
y simplida lcs, ut¡li tando 1M propiedades formales de las homolo-
¡ias, dem0.8tradas máll arri bo, y una importante prop iedad que abora
vamos a demostra r .
Tieno lugar el siguiente
TIlOR.F..M,. , . Sean: K , un com.plejo CI1llllar; I. , S il lubcompltljo,
Entoflt"Cfi , liS correcta la tflUlldnd
1/,. (K , L) _ [{. (KIL) , ,,> O. (36)
Con KII. dellg1tamOJ un lI'ptJ('lo coetente, oblenldc medw.llle ron tracclón
de todo L en un pun to. NotemDJ, q¡u KIL es equtlJQ.lente homot6plca-
L
l'IV. 31. K U el. .
mente a un rompltJo cdulor K U el. (,,68$0 la fig. ;H) , donde eL el
un cono sobre L. obtenlcW de L x I mediante [a COlllmcclÓIl de la baSd
6I.Iptrlor en UII punto.
Dalllos la domostración para las homologinll shnpliclalclI (sin¡:-u-
laros). Inl rodu(',imos un opr rador de suhpll rtición bllrieéntr ica .
Cap. l . IfKefes d.t , " /cuJo d e homologl' l
D6(¡ nimo~ 111 subpartlción de un IIhnplex la •. .. a. l _ o".
A la $ubparLición de un simplex unidimensionol se lo IlsUlO su p~ rti
ción Gil do~ e OIl u n vértice n u evo en el cenl ro. P aro Sllbpal'Ur UD
.Im plex bid imensionlli laoUla, l (triángulo). va mos a subpurl ir,
primerame nt(l. lodas la~ caras unid ilDensionales. DespmJs tomant03
el vértico nue \'o en el centro del tr iángulo y lo unimos con lodO!! los
v/irtlces en las ca rns , los on t iguos y lo~ lIue\'os (" lIase la lig. 38).
• • .,
1" '11' . 38_
Luego obramos 8nalogaO::II' nlo: tomemos un plinto en el cen t ro de UD
sim ple;,: k-d imensional : lAs caros }':I I"~lá n su bpa rti da~. El conjunto
de royos que unen elI llt vért ice nuevo con un sí.mplex ot'( , en l.
frontera. da nuevQll sfmplex 01 en una sub partición baricéntriu.
Sea (Ol , fJ un sfmplex si ngular en el espacio X . Sean oto .. .
. .. , o,.. todos 108 shnplex k-dimenslonales de una subdivisión bari-
céntrlcs de un sImple;,: OA. De~ignamo~ por ~ (o', f) a una codena de
forma
• ~ (o'" fl= ~ (o: . II°t)
•••
(37)
(se loma la suma por lodos los ,i mplex de la subpartici6n o' ). E l
operador p se prolonga linealmente en todo el grupo de las t:adenu
slnlrlllrlres s implit: iales C. (X ):
p : C~(.\') ...... C.(X ). k .,.. 0, t , (38)
T iene lugar
LUlA 2 El operador P conmuta con e l !¡omomor'/ismo de Irontera
iJV el homol6pko algebraicQmenu a un operador Idlntko.
nEJIIO~TnAClON. La I¡ ualdad a~ ... IW es evi den te (caras . interio--
res- de la s nbpart icfón del símple:r se Incluyen en la cndena dI' dos
vecea eon d iferentes signos). Construiremos UDa bomotophl alge braI-
ca D \,¡I, I, que OD ± DiJ _ ~ - 1. DeterminAmos para E"ato uno t rian-
gu.laclón del produGto direGto o· x 1 del slmplex o· sobro un
segmento 1 tal. q\le o- X O e~ uD símplel: y (lA X 1 es una su bpllrU-
cIón baricénlrica o'. Para k _ O, " 2 la t riangulación OA X J se
indica en la Cig. 39. En el cuo general, la triangulación o' X I se
cons truye así: ~ea t:onstrulda la t riangulación de un simplex 0'-1 X 1:
de esta manera , lu caras litera les en o· x J ya Están t rianguladas.
La base inforio r do IJA X 1 la dojamossin cambios; eo la base supo-
rior tomamos una subpartid60 barlcéolric8 . Ahora yo. está triangu-
lado toda la frontera o (Oh X /). Uoilmdo el eeulrn ¡le lo base supe-
, ¡orcon todos los vértices delo triangul8ci6n de la fronLH8 iJ (o ~ X 1)
obtenemos la triangulacíón Oh X l.
Sea (O A, f) uo simple" siogtllar I!n el l'spacio X. Está d¡¡fioida Ulla
aplicaci6n ctriviah:
;:cI' x / _X. !(:r. t) = f(J:). (39)
Designamos por D (O A, n la cadena (k + 1 )-d imeD.sio.aal (OA X 1,1) =
.". D (o·, !). donde OA X J está triangulado asl, romo se indicalD¡!;s
6'~1 6/,'
EJ ~/ ,.p d '-<o " • .! N
Fi¡: . 39 FI¡:. liO.
ar riba. El operador D. por construu;ión, da uua ho motopí~ buscarla.
El lema qUl'da demostrado.
DIlMOS'l'RACION DEL 'lEon!>.>!.... En virtud eJe la in\'arinci&u homo-
t6pica do homologías, tenemos lo igualdad:
H" (K U CL, CL) - H. (K U eL • • ),
puesto qua el cono eL se contrae en un punto. Ademb.
H. (K U CL • • ) """ H " (K U CL) = 1I~ (KIL)
cuando k> O (véase el corolario dl'l teOl'emn 3). Es sufidl'utl' CO II
demostrar , que
Hk (K U eL, eL) = fl ~ (K. L)_ (!¡U)
Sea é cualquier ciclo k-dimensional re lativo ell H., ( K U eL. eL)_
Cons truimos un ciclo homológic.o a r!' quu su cncu," II tnl .'11 UII gru po
}f~ (K, L).
Partimos el COIIO CL en dos mitnd<.'s CIL y C.L (véare 111 fig. I,Ü).
En virtud d"l lema 2 se plwdl' rCl'mplazar 1'1 ciclo c" P'"· 1J II ("ido
~I'·c· l.omol6gico 8 ~ I . ('on ~iDlpl ex pequl'flos. AUlUcntnn,lv "'1 (itl"
ra udo la snbpar t ieión) . oblonemos que el si mplex que se intll,",eea
conC,l.. $21 on::;uen lro íntollramonl.!! en el cono CL. ExcluynmM lodos
105 jimplo.'\. quu so intor,eea n co n CIL . Con &S to no cambiamos la
cJns~ de las hO tnologi/l.~ tc lntivas (modu lo CL) del cielo ¡P' ¿. ..... t!'.
El del" ... btc nido ,Jo ya !lO onCUen~1'1l ~n el gr upo Jl ~ (K U C.L. C,L) -
- Jl~ (K . l.) (ya que C,L,e conlraetn en '~). Por lo tanlo se ha eoo~
trUldo un ciclo;~ on .,,1 Il rupo H _ (K . l), homol6gico 01 cicl" r!' .
Si el d d » t!' para tl l par (K . L) ~ horuolóll'i cO a CNO o?u el grupo
11. (K U Cl.. eL), OnLf) ACDS .. 1 rawnn fUi onlo id lin tioo :ill uliliZll
paru , qlllta ~ una cadcnll, 1iwiltl JlLO do vurtieo superio r del cono. s ub-
IJ/lrli ~ndo el'- y 111 cadeAa qun lo limiln.
1:;1 too r~ l\l rl l(lIcd ll de llto~ tra,lo.
§ 6. Homologfas slnguJatM de complejCls celularas.
Colncrdencia de ellM con las homologlilS u lulares.
Du;alidad de Polncar' para Las hOtnologlal slmpliclales
Cnlclll om , ,~ h, Ilo molo:; í .. s sin~ IIJ.lres d~ hloS esfcras 5", 11 ...
""' 1. 2 .. . . Por doqU Hlt ou este It,¡rrllfo ,'0 111 0.'1 a tOlllnr t-o ca lidAd
de 1:'f"¡W (lo:> cOl!ficil! lIlo~ 111 grupu de lu:& !I(I1Dcm~ e ILteros.
1r"(>I1UIoI. l. Para" > O ti~11lJ ¿¡,.g/u la Igua/(/ad
1= 0, I = n,
1 "",, 0, n. (1)
Olo:\lOS'I'II .l-ClON. Sea ,,_ l . CItIeUIl'1l1 1)~ h Olllo log í as J~· UIIO ,\i l"(' ul\-
fcrencia S' do UTla sUCe.5 iÓn eucta d"l par (DI . dD 'J. dOlido aD' = S·
'50n dos punl.OS. eon esto H~ (DI. S·l _ "_ (SI) en vi rtud tl!,1 teo-
rema 5.4. Tenem03:
lfl(DI) _HI (DI , S')_ H.(S' ) ~ J/o (D I) __ lI (2 )
Pero Hl (DI) = 0 , R o (D I) _! , lf. (S ~) =- l El Z , porque .)"'G
eOWlta de do~ compo llontcs CO!lI.'.1:0S. I'or e~o la suceSión (2) obt.one
la forma
0 __ 111 (S I)_2 $ Z __ Z--+O,
de dOllu t' 111 (S ' ) = Z. S i 1.:> 1. teMnlOS
}(~ (D I) ___ H. (D', S o) _ }(_ .I (.5'*) .
(3)
(')
donde ll_ (DI) "" H~ .I (,s-) _ O, uso l'~, H~ (0 1, SI) .. 11_ (SI) - 0,
Las homl.l logías do la cir.::-unferenGill están calculadli.'l.
Yn ha sido domoslrado el teorolua para las homologíli.'l de llna
esfcrll S ,.-.. De la sucoslón exacta del pa r (D ~ , S··') obtendremos
... _lf_ (0") _,,~ (D\ S· ·') _.ff __ 1 (S~·I) _ H •• d D") ..... •• , (5)
Si k> 1 obtenemo" !lna ~ u(('g i6o ex&Cta de forma
de donde H~ (S" ) = 1f ~_1 Ur- I ). k> 1. SI k _ t , obteneDlo~ uua
&ue('!lió n
o Stli.
O ....... If¡fD". S .... l ) ....... Z _ Z ....... O.
En vIrtud de la exact Hud lIu ~t.a sucuión. el homomorfismo l - Z
es U1I Isomodismo por ~s.o lf ¡ (O". S·-I) _ H¡ (S") = O. De aquí
so despl't'nde h. corroce i6n do 1,\ afirmadón el ol t(·orom .. también
parA la osferll S". El te(¡('t' m" quedn domo.:>tradu.
tlIlH:IlVAI!lÓ~ . I d elltHiqll l" ruu~ un slmplex /i·dinllmsiouo. l o" CO II
u n .lIsco D"; enhmCI'8. lA "pli<:adón idenllen "''' _ ... u .letl"rrnina un
d do relativo singular ell 1'1 grupo JI " (O·. S~") ... H" (oS"). Est.!
cido es una generatri ,t pn lID grupo de homo log'~~ si ogulares /l . (5" ).
1'lIoer.I?-'oI.A l. Sean (J" = (a D ••• a" l uu símplir.tl ,,-d imCru!io nal;
p e~ un .. permutadólt de los \'{'rtie{'S a • . ' . a" , (~ determina la
apheno,;iúft o" ....... o" . CHi" ul llr un ol 'jIIwnhl corl'l'spondion\.t! IlU e l
grupo '/" (S").
conOLAlllO 1. Las hom%glas sing¡¡la!'<'I d" 1111 ,'W/W de es feras n-d l-
me//SII1 //IlIf!c1l S~, " S.'V l iel/en la j ormn:
H~l V ~)_ O. bp.O. 'l. H.(V S:)=-Z .
•
N ......
DC.'4ÜoH1AC,t)!\ . COII" tol, 'r.'ntus 1.1 l'a r : tu I)~ =- K. U dO~ _ I_ ).
E vitlontell\\' rt tc t ('nC'lll tl~ Il / IK . 1.) = ~f{,(0". ¡¡IJ"J. Si 1>0,
Stlgún 1.11 teoreDl3. t.eni1mo~ III (D" , dO"J = /J , (S" l, El corolario
qu~d " rlemostrndo.
w nOLAlHO 2_ Lo flplit:d.('It511 J: S" -- S~ Ik/ ¡{rad<J del!' f <klerm,llla
un h(í/lwrrwrlismo f.: 11ft (S" I _ /J " (S"), '/'u ell I/Iulliplicllciú/I por
~l /IIit/rrro do!:, f.
Da;M~TIIACION Lu II pliCil.ciÓn f del grado k "'" deg I de 1" E'lICua
S" fl n :ji mism .. , es po:!iblC' rO It~l l'u¡rln del modu ~ñ~ lado en JI!. ng. 41
«('ualq uicr otra ap1irlldón de gr"do k ('3 h'l mutÓpiea a ésla). Aqui
totlll ... l a~ e:.[tlras ,1,.\ rrtrn tl se aplican en una !OIII, idénticamente e n
cada .,umnudo. r.~ apliell. ci\Ín d{' esfera en u! tllnlO d 'l k E's furas trans-
forma 1" ~""er lltri\!. dol gnlJ)o 11" ( S ") = Z un In ~ lIm¡1 dI! I.otlos las
gtJnl" r a~r¡ce.s del ramo. La uplk.ac. i6n del fllWO do (ls fe ras en uno esfera
tl'fm!llorma ':llda geul'rll lri~ UIl homoJog¡as /I-dimens iollale3 del tll;mo
"
" .. Ulm ¡¡en('ra tri~ del grupo JJ .. (S" ). PCl r eso la I'Iplicarión paSlInte
JI ~ (8", = _ H ~ (S") Ul lll tí ¡,ILrl 1:. ~'fH'r~lrL~ ,1,·] ~ru¡x.lf .. (S~ ) ...
_ Z en k = deg l. De IIqu! $0.' Lk.u urll ,,1 rofoJnrio .... qu<1 r ido.
$" ~': sn <) - - <)
,
F'g. ~!.
conOLMl'O l . Para WI c(}mp/~fa ulular K Unemos
! 0, J~n . HJ (K~K._I)- Z E9 •• . EDZ, /_n , (7)
d<l/ldc tI numero dI'! sU/IIomro& el Igual 01 ntiml'l'O de t:t"luul$ n-dimtll-
,Iu/U~le~.
LA d" lI!osLración SI' ut'dllcl' Inmt'dilltllllll'lllP do l cOTolo.r io 1 ;. ('1
tooreml\ l .
reor,.:"). 2 ¡"'8 ho"w/o)¡íl> ~ sill!,lIlurl."s d<l \JI) romplt/o Ct."lula/' roill_
cifk" (0/1 fU$ ham%ltfo' cellllarrs .
(;ono ...... I1II). Llu }tOma/alifas CC/1I 1a,.e.~ son !/OIIIQlópiromenlt irl/;o/,UII!-
ItS. ¡JOS hOnlolo¡;fil$ ,j¡IIJI¡;dn.lt'~ SOl! 1m ((l .' " ¡lart lrulnr de fus ce/u Ion'
11 po" no toillcldm tnmbUn con las Imlculurtl. !I 80n homot6pirul/!,nlt
itwarkmtu.
f' rim(lrn d('lnostrart'mo~ "1 lt'''N' 'n" paru lo! «.mplejoll slmpl ,cit.-
¡t'S, que se d<.>d ucr muy s impll'm .. nt{' de hedil"'.' )'11 drmostrlldos. elida
~ írnpl t'x puede ser considrrlldo como un ~¡mpl t'x ~i ll g ulllr (o·. /J.
J:;SLo da un t'uellje (inmerSIón) de un com pll'jo dI' clldl'n~!!- slmplicllI ll' s
en las singulart'S
C"~' ~I(KJ _ C""'(K), (8)
que. c\' identcmentc. conrnutll <.;00 un o()C flulor de frOllterll ¡J. Por
eso leMmos la aplicación do horoologías
Jt;m pl (K } _Fl/..'<1I! ( K ¡. (O)
Si L rs un sllbcomplejo simplieial en K . eoto~ lenem(l:j In apli-
uclón d\!< grupos relativos
H1a1mJl1 (K , L) _H~n~(K . L ) (JO)
y de toda la ~ u <.;es i 6n (lxaetll del par (K . L). Sea que está demolll rado,
por inducción, el teorema para los cornplejo~ de dj!Oen~ i61l ~n- 1.
; ,. Coincidencia d. di.tinlOJ ~po, d . hornotogi.. 77
Para los complejos n-dimensionales K" tenemos la aplicación de
sucesiones exactas
Ir¡~rnlPI (K", f("- I) ~ ff'r p1 (K" - L) ~ Hjl",pl (K")--,..
¡ ¡ j
_If!~f {K~. K~-L) ...... If,ln; (K~- ') _Hr "8 (K") _
_ H'fInI'L (K", K"-L) ~ fl}'~l~ l (K"-I) _
¡ ¡
_FI;"'4 (K~ . K"- ') ~ lJ?~'HKn-,) """""t. (11)
Sabemos lo ;siguientc: 11.) :por ioducción Il;'mpl (iC"""I) """
~ H~~ (K n-I);
b) HjIT"PL (K ", K '- ' ) "'" H}ln~ (K\ K n-I) _ ¡ O, i.+.n , Z+ ... + Z. J= n
(el número de los ~umandos es igual al núrnero de los si mplex de
dimensión n) , COI OO se muest ra más arriba. Por consiguiente. teniendo
lo lIplicación de s ucesiones ox ac ~as (11). co nduimos, que la apli-
cllcióo
(12)
es un isomorfismo para todas las j (véase la afirmación 5.1).
El teorema queda domostrarlo para los complejos simpliciales.
Or. MOS TIIACION . Sean: K , un co mplejo celular general; K n, su
armazón n-dimensional.io sea , la reunión de todas las cél ulas de
dimonsión no s uparior a n. ~nt () ncos. K"lK.~-1 es un ramo de e9feras
,.-dimensionales, cou una "gfera en cada céluln n-dimousional. De
lQst»,) rem<l. 5.4 y 1 obtell~m(lS,
H .(K". K~-I)"",e" (K), :H,(K" . K·~- r)=o, ;I+n ( t 3)
(GO~fidQn k's e Llt ~t<l9), donrl 'l C n (K ) IJj un g~[lpO dJ clld6nas r;:elu.
lAre~.
QuedQ dett-rrn;LlAdo el homorLlo~f¡';mo o = ¡-o ..
Cn(K):::=: H,, (K ". K"- L) 2 Hn_,(K"- L, K'>-t);:;e~_I(K) (t4)
GOma una supcrposl<.;ión
LCM A 1. Eltoperadnr J: en (K\ _ C,,~, (K) . rudo por la frjrmuw
ñ -= ja., rol flclrkcon /In op~r"Mr (le /ror¡lcrI"l en !IT/ ro'np l~jo de cadenas
celularu.
Cap. 1. Rec.t~. d .. L dlculo de h<>molegl.~
DI':l>105T"R ACI<'l:-' Sea OH una célo,La n-d imllllsionfl l en tl l <,ompll'Jo K.
Ella l'!I g('noratri ~ on el gr upo JJ ~ (o" , O,, ~- l ) c:: f{~ (R", X " - ' ) -=
== C~ (K) . Con un homu.tlOrfislUo de fro nt(>ra ll" (o ", va" ) .....
-- H ~ _, (s n-l), lo o" pasará H St.'l la gl'lll'l"atr iz d!'1 grupo 11 n _. (S"- ' ).
Su imllgl'n en el gru po H " _I (K'H, K~-l) = C,,_. (K) ¡.". d l1 (urma
iJa" - LJ lo" :o ;' -!Ja~' - I ( 1 :»
,
(s umll ¡.oor tod~s las (úlulas d .. <li,uell.-; iÓu n - 1), en v;rLud d,,1 coro.-
18rlQ '2 dd tcoromll 1. Aquí lo" : o"; , J l'S Ull cooliciontl' de iocide nc iH
d", cél ulas, cllícul nhl ... CQillO grado de- In nplin\c i6n (Jo" __ K"- l' K· ... 1
"11 01 i-<5simu sum~ndo. (\"t'a~l' 1'1 § 5). La fórmul a (t5) coi ncidl' con
1111 aperlldor de frontora en lu ~ cudeuas c.e lull1res. determinado ante ;!.
':11 el § 4. El Il' lDa queda 11 .. ,oosulld a.
Las homoJogía!; cel ulares poseen Ia:s ~iguientes propiedndes:
n) son igunJ ... s a cero ell di mens ioncs flla yOte! quo la dim"n,,¡ón
del complejo lI'r (K~ ) _ O, j > 11 .
b) 1'1 grupo IJ~L (K") ('s isomod o ... UII grupo de cide~ Z';fl e
e Cn (K"j . ylL que uo hay fron teras.
c) el grupo H j l (K") dep .. nd e sólo de l armazón K ;.¡- I, o !!(IIl , ~
el mismo grupo para K i.¡-!. K'+s . .. .. K"-J, K~ .
S~IL que está de.mostrada , pOf induc.cíún . la coillcidencia do ho rno-
logias celul lLrcs y si ngullu· ... s pa ra los complejos de dimensión ';;;n - -l .
Considel"t'mo~ ('1 pllr (K", X "-' ):
~ JJ jL n~ (K"-L) ~ H~ln, (K"j ~
..!.. }f'/"~ (K " , K" - l ) !;. l!j~f (K~-I) __ o (16)
'l\'ul'mos H·/"~ (K" , K~-l) = O il i j ';- n. P or &.~o , de (1li) utldu-
CiDlO.~ que
J-I jh'~(K")=ll'r'(K"- ' ) s i l + n - 1, n. (17)
D(I aqui 'tenemos
o,
ll'l"* (X ··) _ { JJ"rM tK"- I) = 11':1 (K " -I).
Quedan 1119 dimensiones j _ n. n-I-
D(' (16) (('" cm os;
O _ H~n, (K" ) _ H!ln, (K", K "- LJ !::. H:-:~\ (K "- L) .:..;..
11 11 11
0 __ 1I;,n, (K" ) -o- C:: i (K") !.- .%:;O~ I (Kn-l) l .
_ [{::~~ (K " ) __ f1 ;:~~ (K n , K n-,)
.11 '" lr,.'~~ (K P) -o- O.
(lS)
I 6. Colncidend. d. di.Unloo tipoo d. homologl .. ••
Do aquí, uti litt:lndo l"1 ICOlO i solJro la coiucidoncio do un I,omo mor-
flama a en las cllden,, !! colulllrell con el homomorfis l'lJo
la.: lI~n8 (K" , K"-t) !:. Il~~~ ( K n- I) .!.. /f~~ (K". K~- I ),
lI eillmo~ o 1" cOR<;l usión tl~ que:
9) l'I grupo H ;,l'" (K~) !!<I! halla en cr:/ (K") como un ll úcloo
de a o !SC1a, coincide con 1r:1 (I(") .
b) e l grU¡KI /J~~~ (K~ l cI, iucld,' con Z:'! I/lm (j y [Klr C!lO coi n-
cido con H'::'! ¡ (K").
El teorema qucdn uemO!l lraUo.
La dewostrucion dl,1 «,orem. para las ('.oholllologías el! 10t«l-
mente aná loga,
OUSeftVACI ON I M rol<TANTl' [>f1 rll In deJlloslrnción dada aquí del
It'Orema de coincidencia de In" hom.Jloglas oolllJare:'l con IIIs singu-
larl"s ~[mpl i cia / e9 111 cons l rucc!ón explícita de US( II S hetnolo¡I 'ls no
es csencial . Son ¡,oportllllt..,·" tlÓ lo Ins propi l'd~d (>s fMtnlll es dC' ellws
teOt¡o~ de homologías. Ln .'jI,·pl< ra\' ión de cstm' pr'lpiedadc.'l puras per-
mite (lar una ,tef inició" oa:r.; iomíilica. 11 In !.eorlA de humologiag
tSl~nrod-Eul cnbergl . Es!:! d,'linición l"S la ~ Iflu i ente.
a) Se lI:!ffiorá teoría d.., hOillo/nl/ílls ~ 11 011 . fufJción~ (de otro.
modo: . runcton) . quo cnn lroll l ll ~ u da complojo ccl ul:l r K (o a cada
par (K. q , dondl' ,. e K l"S un i'<ubcomplc jo) un " urtido de gwpo&
"beUollo.'l N , (K) (o ll¡ (Ji". l~ ) . l '* 0, t , 2 •..•• y 11 clldll a pli-
cación continun (pUN!C con,,¡dcnír.;cla cl" luJar) de compll"jos
f: K - K ' (o j : (K. L) _ ( 1\' . l :). dondl' j (l.) c: L') es un sur-
tido dp IlOllIomorf,,,mOiJ
l . : H, (K) _ H, (K'), l_0.1.2 . . ..
i .: 11, (K . L) _ fl, (K', L' l,
StI req uiere que a In superpm;fcióo de aplicaciones lo correspondo la
super posición tic homomorfismos
(Jg) . - 1.1. ; (19)
• la aplicación idén tica le debe corresponder el llomomorfi "mo idén-
tico: 1. <= 1.
b) La teoría dfl homolollhl.!! in troducido debtl \.enor las .'I iquicntes
propieuades (. A"iomas lit' h teoria de homolo¡¡:i9s. ):
t. Invarlo.cltJl~ Mrrwt6pi<'a . Si I lIs IIplicadonM j y S son 110Ulotó-
pIcas, ent onces los homomorf i"mo" f. y S., rol nciden:
J - ¡; - j . = F. ••
2. E!tán tUtD'minaoo$ 101 o{lD'odort-I Ih.- JrOlll t rtl
o: 11 ... (K, L) -lI m_¡ (L) . m _ 1. 2, .
80 C.p, 1. Recete. dol cálculo de .... mologlu
<IQ nd f:'! l. "~ un :lubcomple jo (oll el compll'jo K . qUII c()umllta con la!
lIJ1lic(lci'JUt's continuas do: pares de complejos. o sea,
JI. - I . a; f: (K . L) _ (K'. L'), 1(1..) c: l.' .
3. E!J;(lct/ tud. Dcsignemoo plJl" t , j los II nca jOl!l evidentes
, ,
LcK c: (K. Ll.
Se f,'quiere que sea eXllcta la ~uceslón de los grupos y h omomorfismo!!
. .
ll",{I.) ~ lJ",(K) ~
--Hm (K, L ) -!. fim_1 (L)_
4. CfJrte. H,,. (K, !..) _ f1", (KI L. *), dondo L es 1m :lubcom-
pIojo eo K; K I L (>5 un complojo MeiollLe, do n,l" L está contraído en
u n punto·.
5 . . Vot'ma cWII. 11m (e) """ O s i In> O (aquí· es un pUlltO).
PROBL!UlA lo Domostrar qall la ~eorío (Le homologías está deter-
minada por las propiedades enu meradas uní vocamente, si H. (*l .,.
= G os Un grup() dado.
Para las hOrDoloqias celulares y ,1n\t,¡¡'u:lIs todMI IIsta~ pl"Opiedados
se cumplen (vÓlln3 ~ Los H 4, 5); pcocisalu!mt.o por oso coinciden ontre
.sí. E n 01 § 5 tamhión s~ o:mrninó un ~je'nplo do /tomologia.!j singu-
laros c úbicas (no reducidll~), dando no S" ,:;ulu"lo tll axioma do 1l0C-
mación (las homologhs dl!1 punto son no trivialll5 011 llls di ml.'_ll.!jio_
n 08 po~itivni).
Si so excltlye de "'- I.<lOríll ,I!! h [uuulo';l"ía" la condición de noclua-
-eión, ontoncllS obt..mrtra ru (l~ la defin(.:;i.) n d!' la teoría ~zlrMrdlr¡aria
de lt/s Jwlllologio"u . LlI~ IlOJtt.olo¡:ill.s s; n '~lllare~ c lÍbioas es un e jemplo
... trivial. de la teoría oUraorlltnarill d .J 111.9 hotDologías (v,jase el pw-
blem>!. en el § 5). OtJ'Q ejempl o w'¡ ~ co mplicado (y más importaute)
dala tooría Elxt rllordiraarill de las hOlUo log ía.s (la teoría delos bordis-
mos) se onoootrará en 01 capitulo 3.
Por atlalogia OOtl la definició n do la Leoda de homologias se da
una .definición alt iDwát ica de la Leür¡a de ~ohom<llogías una formu-
lación e.u cta do 103 a.domas y l a demostración del teorema de uni-
cidad dala teoría d9 cDhClmologia'i so l as dojamCl.!j alloctor su calidad
d e ejerciciQ.9). En a,te oa mino 119 pf),ib le obtoner la demostradóu
de la coincidencia d e las (}oh.o ,uo l o~ í as, definida~ en el § t modiante
fo rJU/l~ 'diferen::iaIM, con otro, ti pos de coholUDl ogía,. Sólo hay que
tran~rormar cualquior com plejo 011 una variedad. Lomundo un peqllEl-
íío entorno de Sll encaje en un ospncio euclídeo. No damo, aquí taI~
con!ljdoracione~, ya que en el § t 4 sel".J. inJicado otro ca mino más co n~
trucLivo do la rtomo!ltraciÓn de eoinchlencia do cohomologi as , defi-
nidas por l a~ formas, con otro, Lipo~ <le eoho tDología,.
"
Indiquemos otra aplicación del operador de la aubpartici6n hui·
~ntrjCil del ...olllplejo aimpHeie.J en el cuo de variedades (t dullllded
de Poinearét). v/iase también el § 18. Sea trinfl{l'ulada una. aplieaci6D.
suave, liS decir. lrall.'Jformada IIn un complejo limplicial compueslo
por sfmplex SU8 VM. Supollgamo~ que la subpartici6 0 el! bastante
pequcf'¡a (Si G3 necesario. efectuamos repotidu aubparliciones bar!·
e6Mrica.!I). Sea o! UII símplox on M". Definim0810s poliedros dnal611
D (0':) _ a";;.- , que :IOn células de dimollld6n n-k.
a) • un símplex lI·dimcruriooal a;. l e es dual un vértice Da;' de
una subpan icion barie4iotrica , que 58 orw::uent:ra eD el centro de UD
simplu o,';;
b) a un simp18J1; ()..dimonaloo.u a; lo es dWl I uoa dilul. n -dimen-
sional (poliedro) Do~, que (\.'1 Ja 5Ullla de todos los simplex de uoa
FI,. '2. Trlaagulaci60 Inicial d.lH~ ¡lIdleada COD 1"IN1S cont¡nuu: l . partición
dua l. con IIn .... de Ir .. " dL.coaUnuol.
IUbpartici6n barielintrlCfl con u n vértice 0"; (v6ase la 'ig. ~2 para
n _ 2);
el 11. una ar ista oA cn M~ , ]e corresponde unA c~H u]n (n - 1)·d¡·
Dlensional Dog, que es ] 1:\ eU lDa de todos 10.'1 sl mp]e.x de la diDlensión
11 - 1 de una subpSlrti eión bll ricéntrica, que tlencn el cPlltro de l.
arisl.a a~ como su vértice y qUII son IIdyacent&!l transvel'lllllment.!l
a esta IlrlSu.:
d) 11 una cara 0";1 en ",... le corresponde una célul a t -dimenslo-
nal 00"; 1, que &e compone de todos los simpli«,s l-dimensiooale.s
(eo e l CIlSO dado. de dos) de una subpartlci6n barie4nf rica, que t ienell
el centro a"~ 1 como su v/i rti~ y que soo adyll.con tes lrAnSVel'll ll.1 ment&
• 0";1 (v/iasa la ri f{. 42).
e) Es evidento la geooraliuci60 9nc6lllvfl: a nJl simplex o~ en
Al" ie es dual una dlllla DO'~ de dimensión /1. - k, que toS la sUllla
de LOdos los símplu que Uenen el centro a; CO lno ~u vértiCl' y so n
' _ lll te
s, C"p. " R .. « .t •• del ,.kulo da homologiu
!lrlyll.()enWII lrlllls\'('Tse l uumle a e"lc centru. JAlS dl"l,,!! Do~ V'II'l<'ll
a ,11" e n u n o.;omplejo (de policdro~) .
Propiedadcs <lel opcr!.ld flr D .
1) La ¡ nlcrse~ción o~ I) D(I~ es un punto (el cen tru ai;).
2) ~ i no se toman l'll cuenta Jos s ignos es justa lB íg wddorl
(20)
LIIS propil'dadl's t ) y 2) sun t'\' ü len les d¡r~talll~nle parn las di-
men .~¡ones n = 1, 2,3. 1::5 (úei l compn'nder, que $011 justas para.
todas I ~s n > ;.l.
La propi('dnrl 1) nos perm i\(· definir el producto bil i nenJ cscn!.u"
d ~b. dono!.' aECJ( M") es UIln cnd¡'ntl . b ECj)-j (M") es unH C,(lCtl-
,h'll" ~"I,~ 1111 cum¡fi{ljo dun l de Ini< e¡> I1ila.~ Do!. a - I J..ro {. u=-
,
_ ~ f1~Do~ . lEn la última iglll<l,ln,¡ 1'" ,,(,hr~cnti,>mll) (I"e " lit
,
c.Í' llIln Du~ se le cOllfroll t" un" c"T:toll'llfl J,>sigllnda por el rn i.\Jllv
.símb"lo, filie tleuf' 01 ~'alor I NI C~tR c':lu ln y O t'll IIt~ d'-m~~.
Tnles COCl'l d('fl n~ Dot form nu uu:'\ 11i\.~ .. oln L'I grllpo C~l- J).
Sonn Jo. y I¡ r(l~idl1o"~ mó,l l1lu 2 . S"l)("l,l!·"mlJ~
o{ ., f:mt =-. • \ ~ (nwd 2).
1< ~ b = ~ }, 1 ~1 ~ 6,~.
"
D" la propiedad 2) se deduce, fJor ddinicióu.
(ó,, ) .. b ~ ti .. Wú) .
(2 1)
(22)
(2:1)
es decir, los operndores de fron t"r¡, ~Oll ~onj\lgados, DI) (23) SC' d e-
duco:
(24)
ya que" ambos l:.ompl ejos son las p¡orti <.;iolle~ celuh' res d(' la mis ma
variedad Al" y tiCllen igualc-s l'olllol ogíns en cnda dilllcnsión. Esto-
(lS corolario del teorema sobre la iU\'flri oci61l homotópico d{l]as homo-
logín! celub r{lS. Al isomorfismo (2-4) S(' lo lIalllH t dual¡dad do Poill-
ca~ • . Para llls ,'aried:-odlls orientabh's Il\s igualdades (23) y (24) se
ClL mpl tl ll sobre l. Más abajo (véase el § 18) 11\ tlllfllídad de Poi ncar-é
se dedw;irá dc Ulln mallera algo (hs \ in t/l .
Utilizamos '·fuiflS veces, ant.es do d('f inir exactamen te los grupos
do homologh,.'I. l os térmi nos ~cido k-dllnensionflh y «p ... lic ul"
Ik + IHl imonsionll l. onl ll vnri eolld .,, ~. NJ mprelldiencl o lo sigUI/mio(!:
~ 6. Co;nc idencl. de distonlo. tipo. da homolog!a •
"
• dcl!,lt SO da ';0100 (M ·. f). tlo ndo .. l'I h ('jj UlliI "MÍI,dnil o r i,;ontndll
C('!'Tadp y sn aplíucjón f: M· ....... jl1 ~ .
• pelíeulnl (H;l. , . n I!<! dll CO IllO lIna vllric. ln,1 orienbdll. cornpllclll
W A. , con borde y 11I IIp licm;iÓ'l f; W"d _ .lr, lA' . p"lkullll t i"n \l
111 fronterA
(25)
.r:: l grupo de citlu~ !Ion los ~"mil s forrn ulc-.; do .e[clo~ .
"'lIclori~lIndo por loló ddos í>qll h ·a1on t O:lI! a cero, /) s-lft, por las tront.e-
ra .! (25), tJulend remos grllpu:< " ma nera de hOnJtJlog ias , lJamnl!os
.bordi"mo~ y dui gnadns por Q. (M M). Es posible dof inir los hord is-
mas p I"'" rUHlquÍ<' f l'o1l1pl{'jn O. (X), Illl t urnluu-Tlu' lIt.' i"lro.llll"l'Jl les
. uordi llmns re l at i v(l.~' ~2~ (X, Y) . PMA los ],ordls »},,~ "'" j ,, ~l o el
(('ore »)¡. lIobft! 11, iu\'nrj¡1I ¡ó n I" ""otópicll , tieUl' l ugar In 1!" ~,,5ión
u nl"lfl del pnr (X, l'J)' h>o~la 111 proPI{'dod O. (X, 1' ) '- U. (X})').
P"ro ,,~Utl los ('SPIU' ¡U," c'IJILrn.' I ~ hl "s (por .' icmplo, ~I punto . ) lo!>
oord i~",ol'l rt'su l ltlll no tr¡\' i~ !t·s e n IOli t1 i m(! n ~ i o"t'!I p,l ~ .livn ~. 1,11 CIlusn
rs muy si mple: IU) c~ t!n "",rieuad CerraUA ¡lf~. u; muc ho m,...nos, , ).~
fronLl.'.1I rto un R "nrk¡l1111 fon llOtd(' (k + t)-dimel)~lonol. Pur I."jl."m~
plo, s i lo \"flril-d nd M' (>!1 un bnrd" d(' 111 dn lll W·. I." n lOI1(""1' In dllSl.'
P , {J I ', - O, }~u p;.rticul..r , ep' nn I' ,~ un bllt!l(' {H.I!tnl'(' 1",. ,lel.l.lIl".!I
Ncl ! m .
l'" formll anil logll SI' definen lo ~ dJO.d is lflOil ~or el 111611,,10 2.
(1 f lovrdismoll n,o ori!'ntn bl('s. , donde 101! ciclos ( .1/ . j) son I"s nplj-
caflOlles :1/. - X tic tod •• s In., va r;edltdl'S et'!T;,dns (¡.o ... Mo orioll -
ta das) , 11 1M! pcllcul ,. . se lomo n tnmhj(~n no "r¡{'nttl,ta_~, Ello!'! SI.' (1 {'-
signlln por N~ (X)
1'f'Otll. e M.\ 3 Domoslrllr qu.' ~ pl 110 , ~~ oord,' d.., lIillglll'" ,,",'i.'-
dlld t.ruliml'nsion:.I. J)l."mo~lrar qUII Lodos I'US pr.luuclnl:' rlirl'C !()$ ... n
sí m¡smo~ '¡P ' X X 'fP ' In lllpocn !on lJ(Jrdl~
""\J !U .t\~I A.~ . D('lUos t rar , IIUI'..,¡ In VAriad,." lLl ~ l·" "U ¡,,,rdt,. u >-(' ''.
M k ~ dW"-+' , ell to ll<"e!:' 1/1 ,'IIr~dl'ríll l icfl de E"lt,. 'f (.l/ ~ J t'S 1l"r.
S(' t'unt'n 10M hnlllonlor!iSl1los lIalllr1l11'~
!7. (X) _Jl~ IX, l)_Jl~ (X; R). j .... ¡Xl- U , IX: '"! I ) ' (2')
&> dil:c, qUll l tl d~:K: 110 homologín" lIe In i," ~¡:('n rlt· {'~ I o~ homu-
morfi~ Il\OS san . <:I e lo-" lca),znbll,jt CO IUO ll11n imn~l'" c.on lill1rll ,I!.' 1 ..
vnricfl"(! J , ".~ deCir , lo m iHIIO ' ¡1m h,' I1I /)s <:omp,'.:.mdido oll1es "omo
ciclo, P l."ro el cs t",llu ¡le l o~ lIl i ~ mOll h(1rdi :-;m(1~ y ¡It, ¡'l~ prnl,ll' lIl llS
donde se utiliZlIll, PI! más ,Io/"íd l (\'é ll sc .~ I § 27)
'"
s. C.p. 1. Reut •• del <"cuto de homologl ..
§ 7. Homologlas del p,odudod irecto. Muttlplkacl6n
e n las cohomologlas. Cohomologia, de los H.ospacios
y de 10$ glupeu do lie. Cohomologlas de l grupo unitill rlo .
Sonll K L y K~ eompllllos cclubrl'~ . El pr,}(l ucto dited o de los
m ismos K L X K~ toS ta mbiéu IIn eoropl llJo c., lulnr. sus c6JulHS son
productos do ¡as célulruJ do IOl! complejos K , y X" Por eso. el ¡,upo
do 1M ~ Ddonas eon (oofici"nl~'8 Il n tl'roII celulAfe! C .. (K, x K, • .t)
$'1 d('! tipo
C .. (K¡K,; Z) _ r C.(K¡; Z)®C, (K . ; Z).
~+' ....
L[I frontera del prod uc~o de dos célula.<! u; X aJ l!6 obtiene put la f6,-
mulll
("I signo (- t)' ti¡>lIll en cuen ta la otien lncióu). De aqul ob~enewotl:
.\I'ItUIAClON 1. E l complejo rk ta~ Cd<k"O' lO" eo<:jfctentu entero.
tkl p",duc/o directo K, X K I tk los complejo, «{uúuu, el el prodW:ÚJ
lel"orlol de los oompkjo. e (K , ; Z) 11 C (Kt; Z):
C {K , x K.: Z)"",C{K,. Z ) 0C (Kz; Z)
(\"oSG el § 2).
Evidentomonte. este hochl,l es COUL'C!;o también en el CIUIO c uando
el) ,'n ¡jo los números on Lor~ , en calidad de coeficientes, se toma UD
anillo conmutativo arbitrarlo con unidad , en pa rt icular, un campo.
Aplicando el !.corema 2.2. obtenemos;
CO IlOI.AIIIO. P ara las I!.(mwwgúu el,l1l ~/u;u1lulI tlt un Ulmpo k tI
JIUW Ju igua ldad
H", (K. X Kt : k) _ 2.: H ... (K.: k)0H,(K=. k).
"'+.-
En ¡:eneral. para cualqul tl f anillQ G e.tltá defi nido el hQmomorfi.!l ffio
(no iSOlDorfismo). d ado por la mul t iplicación wnSQrial de 11,15 ciclos
Aquí 10l' c ie los <", = ::E ajQ~. Ct-~ b,a; SI treDslorman en el cielo , ,
e.0ct - :E a,bJ ('" v O'j). Tpnt>ffios: ,. ,
J«(, 0 cz)- ec, 181 (3+(- I)"e, ® J et
Por ~so 111 c,f1denll c, ® e. es un ciclo. Al cambiar e, por el + iJc.
sUll\ltulmQ!I el cielo e, ® e. por el \¡o!llológico (el + de) ® e, -
_ el ® e. + a (e ® '"1)' La aplicación eonatrutda 1) eS correcta.
" 7 . ... MuU¡pl lucl6n en le. coho ..... log¡ •• ..
Si e _ k el! un campo. entonw!'! . la mult iplicación tensoria! da un
IlIO lUorriSI\IO.
De fo rma análoga !le uefin o la .(Jlu!Liplrcació n tensorilll en 1M co·
horno logias con los COefl clentos on 1'1 anillo:
~ H h(Kt; G)@}f' (Kz: C)_}/",(K!)(K~: Gl
-+!-...
(iSOlUorf(81U0. si e _ le e~ 1m campo).
La a plicación diaaonnl 4: K ....... K X K. dondo ,11; se trans forlJla
en (,11; • .l'). i ndur.e el homomorfis mo de ooltomologín:
U· (K )(' K : G) ~ H · (X; ej.
TEOR I/lt .\ J S ea G un anillo alOCÚlllt 'IJ COlllllutatirl() con. u/IlUnd.
Entonen . la oplic.oción p(lSanle
6·(a®b) ~ a b : H ' (K; GJ@ II'(K :Gl -
_H .... '(Kx ,, ; Gl ":':'lI k "(K ; Gl
do f ll la sumo djr«fu rk le, grupas de colUlmowcfas He íK ; C) =
_ L JI! (K; C) Ul¡" ertl'llcturo. rkl 1l1l11 lD aJ/odat lvo antteO/unutatwo
,;;."
con ullld.Jd, I E l/O (K; e) . ba = (- I )~'aú.
n ll: :>tOSTRACION. Lo asociatividad y la II. IHiconrnulati,' idlld s,,
deductn do las siguien tes [)ropiedadesovident08 de! producto t (' !! ·
-'liria ! :
a) tUoci ativitlad. SI e, E H~ (K,; Cj , c, E }fl (K~; G). c, E
E 1f'"( K.; G) . t' ntonC"s I~ elemen tos (c, ® e,) 18> e,. c, ® k , @ r,)
en el grupo JI • • I . ... IK, ® K I @ K.; G) coinciden.
b) AnliconmUlIltl vid ld. S i cE Jj . (K). c' E 11' (K) y/: f( X 1(-
-.. K X K es uno IIphcadó" f (.l' . ~l - ÚI. ,11;), que v,~rnmtn lo..,
racto .... ! . t'ntonc{>s. " Ic ® e' ) _ (-1) IC' 18\ c. H¡iy qUl' nprovcchar
el hecho quo Al permutor las célulAS o· X a l _ al X n-" , la .-, ricntll·
c l6n del producto cambjll por el factor (- 1)· 1.
C:OfllO III unidad en el nnillo H' (K; Gj sl'rá un t'lemento 1 E G _
- 1/' (. ; G). Realment e. la proyoc.ción d e In di~ l:o nll l 6 un 1111 fnctor
K~K ,< K~K.
eIi una RpliCAción idé nticA. Por eso ó' 14 ® 1) _ a . El h'oremft lI\1l',llol
rlell.lO!'lrlldo.
nBSEflv .... cION' Pll t U lus l ormn.~ dift' nll1tinlf'S ~obn' l a~ ,n rio-
d Rdu M, y M~ tod o ('H un6.Jnjlo: ~i e~ l.nn oJlld n~ dos f(,r, nn~ ;:;;_
-= ~ " 1 '" t. d,l'J, A . . 1\ uz. I, . ~= ~ ¡.!J1 . ' Ir/y" 1\ . . t\ úlJ" .
86 C~p. f. Recel .. de! calculo de homo loglas
ento"C('5 ... " prncluc l" I "u~"rh,l ;;¡ ® ';:¡ l'~tr. defin; (lo CO IIlQ un" fo rma
sobro M, .V~ ,
w"-(~® ~= 1'; (-;:¡) A I' ~ (~) =
= (::E f " .. , ~d,·" A ... A d..>',,) A <Sc" . J j (ly" A .. . A dyJ,),
dond" p , : .]f, X .I1 ~ __ M" P.: .~fl X ,1{ t _ .~(~ f!On pruye.~c i o ll o;>,;.
Cnalqui ... r forma ."I1Il\V", sobro ,1/, X :112 PUIIUO all r d!'~~rroJl»(11l .", uuo
seri\) vOtlv('rqonte de los prodncLl'S da fo, mns so tHII los fac t (Jr(·.g ,H I
y .I/, . El ¡, rodu~to len."lorial d" dos fo r mas Cl' rratl3S está cerrado ~n
M, X .11. : 01 prod ucto l.ell.llor ia t do "na fo rmu ce .. raJa en la exact a
es una forma 01l:ac ta. La dofinició n do la ,Q l.l ti plicaci 6n oxterior <l o
las formo",~ .. pUlIda c<¡ mprendor así: s i JI, = .l f,. entonc.)s . t\!!l~ m".~
una diOB"nno. l .1 ,. {(x. ;r)} =- ,1/, e MI X '\ [1 Y u na "colac,ón
on ~ di"gOll lll á.'" (:i ® r0 = W /\ ~ (~.n .M,) . ~ /\ w _ (_1)41/;/\
/\ W.
O''-SBH VAi.\i(l~ 2. Para 10."1 CQmplcjos finitos simplicia ll':; K la
multipJj ~aci6n do las cocaderms simplk .iales 110 pu('.de dl'fin ir as í:
o rd('< 'lemus todos los vértices dsl oo lUplojo K : Oi g, a " a~. . .• <:t ... .
Cualquier lIi.npl ol' ,,~ c K so \Jscrib'l , por t!S<J. e n r<>rlllo de un ju.'go
ordell<ldo de los vértices
d'=(Q:jo · ··cr.J~)' ¡londe J.<i.<· ·· <i_·
Senn: 'X. una " ,,;:eadona d s dimsusión k ; IS. una cocadoull (j" o..I imon.
s ión 1 (o sea. las h lllCiollOS n uuu\ ricas do los s iml' lex dll d i ", cllsione~
k y l. r.orre."lpond ientcmeute). So d(lr i n~ IQ rocn dona de dimensión
k + I d l La mllnora siguientll:
(au ~ . a~ · ')={a. o~)(tI. oj) .
donde 0""-' = (aJ.a J, .. _ a Jhl) '
a~-(aJ.a; , . .. a i.)' (J~ -(<<;Aalk" '" aJ ~ .I ) ·
(2)
La uuided dI;! esta mult iplicación de cor.ndenas o; U p, es una coca-
dena. que tiene el va.lor 1. E Gen CQdn vérliCI.I (G es un a ni llo COll-
mutativo con unidad). ¡¡;vidantc mentll. esto llS un cocielo. Ln multi-
plicación de las CI.I cu.denps no os 8.lltico nlllu t aUva.
~1l01ll. t;."A I Verifíquese la iguald ad (fórmula do Lei bniz):
6(a u P) "" (60;) u P+ ( _l)d.~,,« u (6p).
1'1(Ü'<I . l<.." .\ 2 D()m lle~tren, 1¡\l0 l a ~ig ll icn te diferencia de d05 pro-
ductos es cuhomol6gica 11 cero, si 'X y IS son cocidos:
o; U r, - ( -- l) '·I~ ' .J f;< __ "'i. k= dl'Jla. l=d<'g¡¡. ba- 6B -O.
87
Por eso oblonern/)fj u n Anillo IInUco n wula t ivo d .. COllOffiOl ogíRS (ton
unidAd 1 E H ' (K; G) ... G) U* (K ; G) z: ~ II~ (K; G) .
. -. PH OI:l1.RI«,\. 3. Domos lror. Ilu(' ('sla multiplicaciÓn on las eoho-
mologíae coinoide con In mtroduci dn más arriba.
La multiplicación do Il\s cad('nlts con toefjcitln L~ Nlt.!roll permito
dilOn.!r una operación impor lllJltOl, J o tallado (o cor le). S i 1I~+1 es
1111a 'ladona de C_+1 (Ki l ), a y ~ S4l0 c~adenas correspondien tes
dD el>. (K; l ) y el (K; Z ). lIotonces hacemOS por definición,
(3)
Lo. fórmula (3) pnrll torios los W con los a" y ::" ., dados, define una
cOl\lIdl'nll de rliml.'lIl1iÓn l:
II _ a~ ,...., Z ~.I E el (K : Z).
l'j'O!lI..!t.\\A t . Dl'mOIJ lrnr. que la oIX!rtlclón de tallado n dol
cido Zh H por un cot'ido a" ti-' c_urroctamenk' defin ido sobcü los gru-
pos do homología.s
H"(K: l),... II ~+I(K; l )c If¡ (K; Z).
l'nOIlLl:Jo\A ~. ])omoslr.u, quu con las aplicllciones conti"l,l~ de los
,
Clornpl ojo~ K _ ¡~ teuemos (en homol ogills)
l . (l. (a) ('1 ~) = a ('1 f. (~) .
l·liO"LE ~l "'. DOlno,¡lr¡u·. qu(: el opcr¡¡d'lr D (,·éllse l' ] § U) !!ti dll
por lnlh.do a _ a n IM"I. o.Iondl.l LHQ I .... ~ es la i'illUla de lodos los
~¡ mp] ... t n · ,Hmensionalcs .
En el CIISO <¡ uando un ¡ rupo Je cooficiunl~ G Ot' un cam po . los
upados /{~ "1 H~ son conJu¡:-ados"l In operación JI! t nllado ~ rcpn'"'
SQnla como una multipl icación t·n IlIs 1I0111010glas.Pero pan' I.~
hOUlol0¡¡ítls ..:on cOl}fic i ~1l1es cnLeros és t a es útil.
"J '~ 'fPLO. Clllculemn .. un flniHo dI! cohomologia., de lIn ~spllcio
comph'jo proycr.livo CP" CO II cotlricion t.os reales. Las homo]n¡i.s
rp~ ya las conocemos ("l;nSl' d § 1), por eso 1.l'IIt'rnos:
}fll'l = Jfu +! -= 0 ,
H V« CPft, fll = H,.(Cr, R) -R, k~n. ('¡
E n el ~ 1 fuo indi~da unlO 2'[urllla el' l.Iuu engendra un !l lIiI1 o ct"
polh\omio.¡ de una ganllralrh e, E H' (CP~, 1ft ) con lIna re)¡teión
e";' _ 1] r;; n vi r tud do (4) MW subanillo coill\!idu con todo el anillo
H· (CP'\ .R). Así obtenl'llloJ: para el' '' el anill o H· (CP" , A)
son .pollnom ios ~ rllnll!l\lo:!. de u na gOll l)ratrh el dI) dimensión 2
"
Cep. \. Ruelas dol dlculo de homotoglM
Sea 1: K ->o- L una aplicación couliul.la. La misma pued(. H ' I ' COD-
siderada corno celular, en virtud del l .. {¡rema 4.2. Ella cfl!l'"ndra la
aplicaci6n da los productos directos
F = f X 1: K X K __ L X L,
supoll icndo F (x , y) _ U (x), I (y». La nplic,adón F consen'a la
dillgonlll F (<1) c: /lo y trallsform¡¡ un producto leuMrial de las clases
dll Itomologitls (cohomologías) ('n un j>n¡ducto tonsor ial d(' BUS ¡má-
gem·s. De IIquí ~\l drducc una concJu~wn jmpor lan~: como la mulU-
plicBl'ión f'n ¡as c.obomologins (!~ Iá derruid, por In fórmuln (j b =
=!l.* (a ® b) en ambos complejos J( y L. (>1\10111:('5 la aplicación
continua f conmuta con la operación de 1 .. multipl icación d" las clrn;(>!I
do cohomoJogíllS, o 51'8
f* (ab) = r (a) r \ b.!.
De rnllnr.ra que /*: H* (L) -+ 11* (K) (>~ un homomorfismo de los
anil1o~ do cohomologías.
Apliquemos este resultado al r~tlldH) d ~ !o~ IlIIillos do cobomolo-
gíllS de los grupos do Lio (y, fin mauo más gcn!' fal. de H-I'spacios).
Recordemos (véase [1]. parte 11. § 22) . que un lI-fJ8pacio ~lIern l X
tiene una multiplic.nci6n continua x. y = 'f (.r. y) E X (o t: X X
X X _ X) con .unidad hOlnotópica~. ('1\ decir, cou lln I'lemento
destacado Z~ E X tal, qua las IIplicaci0111'S del producto sobre Zo
'fl(z~. z): X-X,
'fl(z. z.): X-X
ambas son hOJuotópicas 11 una aplicaci6n idéntica. Introduzcamos
definiciones algebraicas útiles.
DI':I'IS ICIO", \. Sea H _ L' H~ un álgebra graduada an1!conm¡l-
.. " tathl! con unidad H~B'c:H~+I, ¡¡x=(- 1») / ;¡;y, donde zERA,
Y6H1. A H Sil la denomina "álgebl'lI de Hopf", s i es t1adu UD
homomorfismu, qua consena la dimensión
a: B_H®H A(z)=z®i+f0z+.tj0y, + . • • +:r~0y~,
dondo 0< deg x,. deg v, < d!'g x. Este homomorfismo}, se deno-
mina frecuentemente la diagonal. de álgebra H.
EJ[.l!PLO l. Sea lf -= (R, !.xl un álgebra d{' polinomios c,on toofi-
~ient~s realES de lo generatriz ;r. Couó'ldl'remos que 10 dimensión
del elemento x es par y positiva. Obtenemos un álgebra graduada
que, evidentllmen te. cumple la condkión de Bnticonmutali\'idad.
Damos sobre H una estructura d{'IIiJg~bra de Hopf. tomando). (z)
"'" z 0 I + 1 ® z . Entonces . es ohl'io q f,e
.-,
A(.:ri) - z"®1+i0z" + ~ CL,¡ ' 0"¿'-' .
;_~ L
IUbtl>LO L Sea H _ 1\ Ivl un a lgebrl u le.rior de uno gun&-
ratrh y. donde la dimensión 11 es impar y JH.Is iliva. Esla también.
8lI un álgebra gfaduedll onticonmutativa. Le estrllc turn dl1l álgebra.
de Mopf es dada por la fórmula lo (V) _ " 0 t + 1 ® y.
EJeMPI,,() l. Se llama álgebra anticonDlu~ativa libre Ilquella,
donde en una base conveni onte uo existe n re.Jllcioncs no triviales;
tales SOD Jos ejemplos t y 2 del ¡I¡abra do polinomios y del álgebr ..
IIXl.(lrlor. Un álgebra genera l libre anticonmutaUv8 graduad!' H _
- >. H_ . donde todos los H . son espacios lineales ue d imensión.
.s;-.
finit a y /1 , es un campo tle coeficientes (H. _ fi), tiene la forma.
KI:r" . ", .r ... , .• ) ® t\ ¡V,. '"',11.> ... ].
donde las dimensiones deg:%, de Ins genera trices :1:, son paros, y lAS'
íli0l8usionc.'J deg 11, son Imporel!. O sea. Wus mo.l'l sencillame'nl,¡' las
generat riee! (%), !lf) Y ninR'"n~ relación 110 1.r i\'ie l f'xt"epto 111 unt!_
conmuta tividad, dI.' dvnd (> I\C dl'du('c que
y: "'" -y: = O,
¡/lVJ - - IIN" 1I'%j = %j!J l ' %'%j - z,z,.
Es necesario , q\\e sea Unilo ('1 núml'co de l l!! ceneratricl'S ne dimeu-
lión dada. En senll'jllnte ' Igl'brll 11 se pUl'do determinar la estruc-
tura del á lgebra de Hopl con euyda de mutilO! prO<'('uimil'nl0S ojo) :.
tomllmos plica I~ genorn tric.el!
>'(%J) - Xj® t + 1 ® -TJ+ :E¡¡:~I)®¡;,/, .
,
>' Ü'f} - lIf ® I + 1 0 Y'I+ ~ ~~l) ® ¡;~I). ,
donde uf'i ¡qll, deg u~l/, d('g ~~j ) , deg ~~j) > O )' dcg /iy' + de" i:,~"_
- d!1'll xJ' deg~'}+ deg~~L)_ deJ:Yf (por lo u('rolí s, los ell'menl<'l$
¡¡~I.I, ii~n, ~~/) , ~I) son arhi' rnrio~). Ya que e l (iI"ebra 1f "';< Ii L~.
entonces, de las cOlld icion(,$ dll mulliplicntividud y adltividad dol
homomorfismo i.. , .se deduce que los elemClltos J. (x), ;.., Iv) ddill\'ll
el homomorfismo H _ H ® Ll.
TEOA&IoI.A. z (de Hopl) . Un 6-¡gebra de cohomologtas delll-l's[J(Jeio K
tS dlgtbra de H opj, o UD. Stl tiene un homom.(H'fismo
don de
l.: JJ.(K, R) __ Il· {K , R)@ U· (K, tn .
J. (.x)_ ;l'@1+ 1 @ x+ ~ ,ctil @tI' l ,
,
deg Z<'>' deg .\1( . ) > O
-) lIecordeml>S, quo DO • . ~;gl m"" la ."ooc¡e ti vid ft,h .1 ... 1 .... pll~~c j (¡" J,._
110 ... 1 A.
• 0 c .. p. 1. R.c.t~1 del cálculo de homologl ..
para cualq«ier ewmelll<J .r; E j{' {K . ~q. q > O. (ColIsídoramos quo
un II-c~pllcio N! un complejo ct'lular.)
IIl'lIOS'l'RACION, Puosto quo He (K X K; a) ~ He (K; IR ) ®
(81 JI" (K; -:l.), ontonces, la m ultiplicación 1/>: K X K __ K JeHoe
un homomorfismo
y.":H"{K: riI.)_ H "{K; IRJ®H*(K; IR).
Tonlamos "" = 'Polo y verificamos S\L~ propiedades. Tenemos 'Pez =
... .1'(0) ® 1 + t ® !¡(~) + '5'. ,t<i) ® y"¡, donde deg xl!), dog y ll) >
> O. Considerornos 01 onCRjo 1 X i: K X .lo e K X K. COliJO
'1' (;¡;, .l'n) Il~ hOlnotópiea a una aplicación idéntica, eLlloncc>s,
{1 X t) " '~.J: = X = .cI0) ® 1. Por consiguiente, % (0) = x; por ana-
logia, y (O) = J:. El teorOlDa I¡ueda dornostrado.
La aplicación do este teorema esta basad a en 111 siguie nte "rir-
illll<:ión algebra ica. quo d!lllcdho la l's lruc~UfU dO;l las 'lg(loras do HopC
,sobra los númllros realos.
TeOIlE.'I ... 3. ClWlquler álgebra de Hopf .~Qbre UII campo de caracte-
rísltea nula, el; decir, de númrros rar«!/I!l'les ev.'nplejlJs reales. es !Jn
.álgebra libre ullliconmu.latiVa (véas(l ('1 eje lll plo :i mas arri ba).
COROLAlIlO. El álgebm all cohomQl¡)g[a~ de clI~!'/.u(er g/'uPQ de Lit
{de dimenst6n ftnlta) es «fUl úlgebra e;vlel"Ío¡' /\ IVI' ... , V~ l.
m:)1m" '/lAC10N D¡¡:L COROLAIUO Con.'lidere!llf)$ ¡ '15 g¡·'\['rntric.C3 I¡ores
{XI' Yq). Si so t itlno aunque SNl una so la dl' dim~ n~ i':¡n plll', entollces •
.en e l ¡'¡Igeora hay elO;l m ento31b dimensión tll11 g raud O) COl1l0 se q ll ie,·a.
Esto !lO puerta sllceuer' cm lns coho lnologill '> ell) un complejo de tlim!:'n-
,j)ión finita (do UDn variodad). El cO I'olar io q UPlln demosl rntlo .
l:Jl:!MPLO 1. La circunfllrencia SI e:'l un grnpo ,1,' Li ... Tcnemos:
E.1EMPLO 2. Calculemos collolllologias do un grupo unitar io
U (n). l\fostremos q ue tieno l ugar la igUAldad
H *(U(lI), IR) = AIYt. Ys • .... Y2~_ll · d(lgy¡= i
nI,lMOSTRAGION'. Un grupo UU(tllfio t· .~ equivalento (como una varil)-
dlHt) a un prodllMo direc to fj (11) = S ' x SU (n) · (véase [ti. pRr 11 ,
§ 22), por e~o es s uficiente domos trar . qu('
H*(SU(/I) , IR) .... !\ IV3' ... , Yh-d· (6)
Cuando 11 = 2. el g r upo SU (2) como ulla variedad. coincide coo
UDa esf",rn S3, por "'so e n \la~9 caso 99 evidonte la igualdad (6).
SU,-"- 21
Telle,uo,; IIn espllcio fibrado tlStándar SU (n) -_ S2·' - ' . donde
ln ('-sft.<r$ S~'1-1 es un espllcio homogéneo del grupo SU {nI y In fibra
se ~n - 1) es un grupo de isotropía.
S 1. L. ,"ultipl iceclón en lo. cohomolog í •• ••
CO rl .'l truimo9 unA purl iei ón ~cltlla r del es pacio SU (n), bAsnlldo
MI" pll. r lk ió n do I11 I'sfo, r R SJ~- o y rl e l a HlJn SU (n - 1). Al p rin-
cipio. crm lji tlorc lnos .,1 (;eso " - :i. T{'ue mo9 tl u c.spllc io fih rndo
,H;I ') S (; (3) _ S ' . Fijl'mOl! un ,"lÍ rI.iro 0° soun; In (o.dera S' . En lit pr(l i·
maltCot {'nwru dc este punto. le fi bre SU (2) ",. s~. t omamo, I~
ú lula ... t's t>Ílldore!l S3 "-" oe U a', Es tr i"ia l el espacio librado so lne
el cO II \(J Il'nlCnto dtl ... ~ lo punlo $I ....... a· (véase !tI . parle J[ § 2 .... ). el!
docir.!;(' plI{'de in l rOlhlcir ~obre oH las coordenndas del p rodu!l lo ,tirce.-
lo: 1' _' (Sh,aO) """ (S' ....... O) X S~· (2). Pero Ss ....... on es mI disco fl-d ir
rncn,iona l J)&. por ('-'>O 1,- 1 (Ss ....... aO) = D~ X S'. Esle prodllc lo so
p"rlt' e n w lula!! do la s ig"'l'uW Ulanera : D' X S' _ a' U o~, donde
0
'
_ DI X DI. Así. la partic ión cd ular del g ru po SU (:i) consis te
de CU/II-ro c(ílulos: SU (3) = (JO U a l! U OS LI o'. Por e~o lenomO!! e n
lIS cohomologlas dO:! t?..9tc {'spac io: 1[0 (S O (~, . R) "" 1f3 "'" lP =
_ /P "'" .iI., ht.., tlc máll Goho móIO¡Ill! son nul as.
5~g(¡ ll ",1 teofom l1 u~ n"llf. ",s pos il.o l" &...~ . : ogor II'!I gl- lIerlllrlGolS
11~ E H" (SU (3). (t). 115 E lP (SU (:-i), 'ft) lll l t'~, que y' = y! .... O
e /I,¡J, = -YoJ/3 :¡do O SOIl !;cllcrnlrice;¡ eu (.'1 grupo " " (~U IJ). R).
Ahora Gon~ i¡] orcmoll un c:oso !j:(·n ... rlll. Se .. llu~ (>s tá ya domo;¡tr:tull,
la igusldad (6) para Iss hun .... logí,ls JI·(SC 1" - 1'. ñ ). La IlIlfti-
cUm cch 11a r del grupo) SU (,,) 0.'11(, lm¡:l>.ndrau:\ Ilor un ('!I va~, io fil) rullo
SU (ti) _ SU- I ron ti lia fibrA F _ SU (1/ - 1) , pnrli da l' ll G~lul"s
,
o~ COll un vértiGO <J} eu In fi bra. Ln.~ ní lu Jas 0 11 111 bnso sou a U y 0="-'.
YII quc {r l (OU) _ P y ,.-1 {al" . ' ) _ ot,,- , X 1', tImemos I n9 coit u-
lIS e n .'SU (n)
(7)
1'cnt' III U5 (J(lr i nd ur.c ióa : ... 1 121'lI lIcrn do CC hl"I.~ l' n SU (n - 1.) es
Cgual a l nÚIIH,l fO de los "odcl " lI l ittl'al !ll l' n t~' io" lopílnt li l' u l.l·oS, y lnm-
hié n:
MOSl l'('mos, que I~ c~l nl a.'l o'; X a" y o~ X o:~~ · lIo n todos ¡Ol! «oci-
dQ/J. Para (,,~ X nO ).qno r"pl~lIl' ,Han los olo Oll pntOll 1/1 ell l a h l1rB , es
ohl'lo. ya que una ,·(ilul .. n U Ol\' " /lparoct' .. a 1/\ d i onen~ió n 211 - 1.
L:ts d.' más célll!;15 l'Il l a fih ra l"1.! rH,·se nt:m S l\ ~ ])I"/Jd u~to~ (110.' in tluc-
ciÓn) .
Sea Yh - I - (tJ~~ X ,," "-') 1111(' l·0<:",1I1113. CO'lccn lrada un estll
110\,,' /1 célul a. Si Ó/lJ ft_1 """ (J 0"\ (,. •• (SU '."n. "I\IOllt"'" un d á l ge /¡rll
11· (se (n). ~r() nbtel1drín"lU~ IlIIft ;;Ol~..Inelón 110 Lrj.' ¡,,1 COI I N:! las
il'nera l rices cxll' rion'~ /la • •.•• Vh -~' ESl o COll trJltlice l·1 tuon;onn
dt.' lI o llf. ['or c ... lI ~ igu¡Ullt",. en v ir t ud de Cjjl~ t.Q orOffiA, d á lgdml
JI . (Si' (n). a) l''' IH il'ne IJo' ,¡ rgl'b l'a .'xlI'f lOr I\ [ Y~, .... lIJ" -d.
11:1 f ang o de e~ l8 álgebra (' 11 Cl'ldll di m(>nsión eoine.id", con el nümero
d I:' l a5 célulos (7). P or ('50 1/" (/'iU ("J . • '1. » = " (1/, . ... , v~~ -d,
DEMOSTnACTON DEL TEORUIA 3 S l' Hn .tI' l't. . el (lmenl().~ ho-
rnogéuc-os del á l¡ebflll l/ . z E I/d"K' ; . donde O < dC>Ii:.t , '"
E; d ... gzJ• 1 ~ j; .r,} 5('/1 un sistema mini,",,] do gt'1I1' ratricc!< del
.álg('bra de Hopf H. Esto significa . quo cualq "ier elemento del
ál¡¡:ebra R se fC' preseulfl P IL for ru a do un polinomio P (X I ' :1", •••. )
d(' l as g<'ntornlri(NI (toS posihle. qu .. no unh·ocllmentc) . al mismo
t Iempo . uingunu do los {'l e m('n l\l~ :1'-. no pu¡td .. &' f rCpN'SPll tAdo en
fnf lQ& de UII polinomio do los lll"llO l'C'~ Xl: X~.¡::. P (.1' , ..•. . .e,. _').
P.1fn un e!C'D1('u to "QlIslituyt'nh' X I considCl'clllOS sus grados z;.
Sea s, mI nÚlIlHo miniDl:l 1 tal. que :1::'= O. Por ejcnlplo. pUl
cunil¡uil.'r r lC'mC' ulo de d i m~nsió lI impar ..el t.e1~ UIOS: ~I ~ :!. Si
cua lq uiC'r grado del JI t ons t itu)'eult, l'$ diHjo lo do cero, t'.onsidC'rll re-
IIJ OS qUl1 ~j .. oo.
P rilll t'l tl dt'lno~ tl"tllUoS quo el1 C' 1 ¡j l l:Wbtll dI! [] opf no pucd~r, heber
01T1l5 n ,la¡;lOIl I"K, \·.\ce plo las dt' f<)f ,na .1: ;'= U Y correlado'n~$, d\'llu-
cidru; dt' la Illl liconmutati v id/l.J.
LUI_~ Ú}II monomios di! JOI'/II0 %;~X~~_"';'. . %~J , donde (i :;;;
~ 1, < SI' s,,,, · ¡,¡tUptllditntt., / llIrolmtnlt y fornJ611 una base dI' un
('/Ilirio L,«lorlnl H .
DEJIOST'lÁCION Es posi ble f l'd ucir l'lllllqui l' f monomio ti la forn ,.
¡" d lc ll da ~Il el ll'm~, l'n vi rtud do II IIUconmu tlllivida d . ¡\ (l~lOS 010-
uumilJs ~e Jos dcnomi n/l. remo!l con normales. E l grado (dimensión)
de \1n monomJo normal 5(' defi no por III (,lrpreSlón n = r~ dúg J:~ + ...
. . . + r l dC'gI¡.
A la co mbinllción Ii ceal de los wO/lOmios normales se l a 11nma·
rcomo"" un pol m(/Iuio norm;:t l. Es nccl'sl\ rio demoslnr, q uo IIn poli.
nomio norma l 1l<l t.rivia l no es igual a cero. La demostrnción 111 v¡¡mos
a fl;!/lltzar mcrl itlnle la inducción por el grado de poHllom ios. S upon.
gaDJOS. que pllr/l los grados <n y/I ('s U drmostrada la afirmAción
sobre la indcopendt>ncil\ de los monomios nor males en H . De 8'lui se
deduce. ('o pArticular, que los produclos tenllOriRles do lorrn ll (l 0 t.
en el álgebra II ® }{ , d onde a y b son Inono/n ios lIor mRlcos del grado
m¡o. nor que n. !(In lambien 1i l\C ll l mE'nte indepc!fid ientcs.
Sea P (%~ • .. . , oZl) UII polinomio nor mal del grado n . Rocolt'cte-
mes ju ntos los términos ton f'.l fiJllyor grado do la "lIr iable X" y saqua-
mos ('!!lO! grado del p/'lrénl rsis. Q hl E' od rcmos:
dondt' eo 1'1 poli nomio R la \'ar lll blc :r~ se conUene y;:t C'n u n gradv
m",n"r .
Supo ng;, OlO ~ . que t ellemll! una fl' ladó n Uf) fu rm a P (%~ .
. . .. x ,) = O. rlonde r es d mln imo pusi bl e. D(, llloli l rl'1Il0s que
, 7. L-. multlplic.ción on 1.1 coh<wnologl.. 93
r ... t , Q """ cOO~l . Si:a Il_I un id.:.:. l .,,, el álg.¡ lIra 11 , l'n~ndrado
por los elementos ,l.". .. ,l.-.,. Entonc~.!I, lonemos:
t(:ftQ (Xl_l •••• , XI»)-
' -, 1
~ .(~ ® (J + ~ (C;,,; ® 4 -')( 1 ® Q) (rood I~_, ® 11),
,_o
al mÍ!mo t iempo ,. in (.le, .... X I» no ('onUen .. Uirm inos de forma
%14 ® .ztb , donde t + I _ r . Si dog Q > O, entonces dl'g z. y defl Q
son menores que n, por MO las ex presiones, que se contienen en
). (P (:tA' .... z,.». SOD linealmente independiellles según por s u-
·puesto de induceión. Asl, deg Q = O; es posi ble cOllsidera r , que Q _ 1 . r deg % _ _ 11. Si r> 1, entonces en la expresión
.
;. (~1. ) _ ~ C~·~ ® .t~- I (Olad r ~ _, ® JI)
,-,
se incluyen términos IiDeal mente independi entes. que no Plll·dan
abreviarse con nada en ;. (H (Zl' ••• .:r,». Asi. r = 1, y 111 re lll-
dón (8) t iena 111 formll %. _ -R (;Z: __ I ' •••• x ,), lu q ue 110 el' po-
sible en vi r tud de I n condición de min imal del sistema de gl'lJera-
trices. El loma quedo. demostndo.
Ahora mostrOmD."! que si el grado deg:fh es pnr , entunceS .l't :;k O
para cua lquier 8. Real mente. s¡ )'a está demostrado. que :I:'¡' 0;6 0,
enton~, en la eJ:pr0.9ión ). (;z::) so inclu yan tGrminos dI' l a forma
C}7¡ >81 r~-t. distintos de cero, para 0< t < l. Estos t\Írmino! 300
independientes y 0 0 puedtm abreviarse junto con 10 3 demas 5U"'lIn ·
do.s on ). (xl) (verifiquG.~).
Así,hemos demostrado que para el s istema minimal de lIt'nera·
tn(l(lll en el álgebra dtl Hopf 11 no hay otras relacionols. t'xce pto la
IDt icouruutaLividad. L II.!I gQnora triccs de dimensión par éngendra n
en H un" s ubiílgebrll de polinomios IR. [r·. %~ •• . • 1; las implll'"e3
a una sublilgebra exterior 1\(.,;;. :f; .... \. toda el 6.lgeura Il, tlv l-
dentemt'nte, es su produc to tensor ial. El tt'orOnlll está demostrado.
htdiquOffi Oll OLtOS cJcmplo~ de H-espacio!.
~J ~IoIP1.O l. Si K es un complejo, en tonces4¡lS po~iblD definir un
espac io de curvas Q (K, ;¡:,,) _ X, que oomionu .n y terminan en un
punto x. (véase U), parle 11. § 22). Aquí $1' li eDtI la multiplicación
d. cur Vll!I, una unidad tlomolópica r •. Es mb, esta mul t iplicación
M .asoclativa homotópicamt'nte. y tiene un 'oleloooto horno tópica-
m lln \{) inVer60' :r; ____ i";
a) apl¡c8cione~ (x 0 11)" z: X x X X X _ X Y ~ .. (y .. 1): X x
x X x X _ X son howotópicas; b) apllcacióu x ...... ;z: .. z: X _ X
~ homolópica It una a plicndón cOliStante X - %0'
"
PJ CllPLO ~ .o\d l'.más ¡Je 10.'< gru pos do Lie. la ley de mullipl knt' i6n
con u nidod .se puado in Lroduc , r $(obre \IUn ('s le ra Il1'pl.a- rli mt! n~ion,, 1 S1,
Pflrlicndo do 108 llamadO!! número" dt! Cnl.,y: UI! espac io H' e, un
j l::l'brll con divis ió n (per o nr. OSO('lIll¡IIII). IJ " muhipl ic:tt;ión I/jl i·
Il tlnl 8O.l .I n M í : s i (VI' Y.) es IIIt ¡JIU uf! cUAternio\l, (q;. q~l l'.'I .. I r o ]1l1 r .
l'rI Lv IIO"('>!. 6U ponga 1ll 0!~
('1" (J.)-(q;. '1~) .. ~ (q , q; -;¡-;lh, Ú¡,-I- ,úg;J.
( l - ' "' 0 ._ q.1 q.- 112 ..... ¡qdi i Iq. li
Adl' "llí3 u,' Jos grupo!' ¡J(' L iE> G Y lo~ prodllClOs G X SI X
)( 5 1 "" HO II couoei dos otro!! e jemplos de 10.'1 R-c!lpacios simple-
mt'ul,' r OllOXOI:I de dimensión rini tA. VOl' oJE' luplo, si se t iello una
m ul tipliCAción en J., c~fera S"-' con unida.!:c E s n_l, cn tOllces 1('11('-
IOUS 111M aplica.: ión d O) llIulli ¡llicac ió n :
(.l", y)--rOy.
1;',,('.·>'I''' III .... ul ''.
SI-I =-o. (D~ X S~- I) U (S~·' '< D")
(1 .. p"~A(lurll 1,01' lInn frontera O'omílll S',· , y s n-! ). La AplicflCióll Ij>
t'~ l,o ~ ilJ l l' pl""lm. ¡:n r t:. Itas l:. la 1l1,l i(oAció n
1('1»: Sl"-' = (D" X S .. -t}U(S~- · x D") _ 8".
d 'Itl .l1l S'' · , l'" un ut"'IIAclor en S" (afcet úa l'S!!' o peración) ,
Co u~ ¡lkr('u,o~ uu t'ompl"'J"
K .. =S" UJ' ,"J D ~
con \",:111111 ' 0", 0' "' , 01~ . Po r j>~t,
, K ( O. JI ( .. ) - l , lo¡100. 11, 211. 1- 0, n, 2n.
&-1111 u. .. E II "(K .. , Z2)' u.l .. E}P~ (Kh) . clases b/isica s de coito-
mologlns (mocl 2).
" " \l" UO' .' ~ M'lstrar, qut' ¡.¡~ - ¡.¡z,,' ! I l A multiplicación ' ;<mo
utli dllfl. o S('l!., "': S"·, y sn-t __ S" - I tieno a l R"lIdo + I en cnelA
fllCt ol'
ConocclIlos I.'Jl'mplos dI.' muIt ip tkAció lI sobrO;! lAS ,).~ fl' rflS sn.1
para 11 _ 1. 2, 4, 8 (número:!' r l'" I ... ~ \"l, co WJlI('j~ .(. , cuaLern io5 H
y número.!! de CMI .... y I(). Se tie ne .. n ' ''Ol"f'm A difici l (Adam!) cll! qUII
pnru o lros JI"" J , 2 . 4, 8 la le~ t"'01ll1,le ;05 K .. no ('xis tell y (K, _
= ~ P:, K, "'" [ P'. K. = tíP' , K~ - -<"pI) .
OI'1Il0S un empleo m ás de 111 1U1Iltip l icnc.16n t"'ol)()mo lógin . 1Je-
mostremos, que un grupo !t ' ~ _1 (S ~ , l oS i nfin ito para. n p Uf!'.!!.
17. Le mult¡pl¡cacló" a" l.> coho"",,,lolliu ,.
COnsideremos S" X S". donde n es lla r. En el anillo /f. (S" x
x S~) cscogemo~ una b~o 1. 1 ® u, u ® 1, u ® u, donde u E
~. H" (S") es un elomento búsico. Consideremos una apli.:aci6n de-
un ramo o:p:
rVsncr x r, S"V~- ~" X~ U ~X~).
'JI: S"V s~ _ S"
<le grado r. en el primee 8u¡nando y de grado J.l en el segundo.
Tenemos IJ'. (u) = i. (u ® 1) + (1 1&1 u) JI.
Como u l .. O. obtenemos. q ue ~on f.t. A + O lB aplicad"n <p no-
se prolonga hasta la Apli c.ación '1): S" X S" _ S", ya que de 1m
condir.i6n u~ = O se dedudrín :p. (u') = O. Pero ~ .. (u') =:» 2i.f.tu ®-
® u .. O. La portici6'l cellllar S" X S" es lo .~iguicn te:
S" )( S " oc: (o" U o" U Ofi U ,,~" ) ... (S~V S") U f7!",
La 9p licación S!*- , "'" aDt" --+ S" V S" ~ S" no es IIOIllot6picfl ti Cl,ra.
con cualesquiera ~, A *- u , ya (jU O, do olra forma. la aplj(nc ión
SO prolongarla solol'l' un di«e" 1)2" y, de este m"do, wil", fod"" los
S~ X 8 " .
VJW)< ' ":MA 8. Demostr(l,r, \¡tll' ,, ] núrrwro A~< es un invari(l,n~\' adi-
tivo dt' una c.l IlSC homolópi..:a dl'. una apl icac,ió n constrllidn S"'-<_
.... S" para cualesql,icC/\ It pare!:! .
l'nORl _E1d .~ ~. Co nsl rulr 1111>1 ,,(!liCllción 11': S "-I ,, $" -1 -~ S"-' ¡Jllra-
cUllleH]uieru n pA J1.'~ cu n >. = 2, ~¡ ~-- 1.
l'I1 Vl)UJ:MA I Q Sea S2~-\ !... S" e;! C()ff("c l" en los Imnt(J~ "'0 '
zl ES~' (\.611~(l.rlJ, pMIO. !I. § 10) ~' ~,~~ - ' = ,C(.(o ) . .1/ ~ '= /-I{J'd
son !:,,, hlll1<tldad<!.'! cerr. ld ;\ ~ , S"" {M, , M~ } :< tI c" l; ridl' nlo do
ellgnrrdm (vé~~e [t I, pllftt' 11, § J5)·), S\lP'"II:;,m<)_~
y~ {Al;"", M~-'} .
D!!mostrllr, que para l;l s a pli<;adones a rrih3 cunstru j "3 ~ I
- J ('1) tien ... IlIgar la igllHldad l' ~ 2)"fI .
Demostrar, qut' pnfll un complejo K = S~ U D:" , rlond él la
pegadura está h li'chll por 1(1, nplicllll íón J: s·n_ , ...... S", l On\ll n Oi>
u: -= ylL2n en 1'1 nnillu l/" (X, Z ).
l'1l0 nLCMA JJ . Demo~lrnr , qUt' para cuahl u ier es pllC!U fi l ,r"d"
WIl\'(l
el c<)efideoll! y __ ± L
. ) El cooficiento de 9ngancne en I1 JI" .. definido ""lo par:> las ~u, va~ c.e'· ... -
das ~n 10(" . Pero do modo ao'lol(O ~ "ehne un coef";;i~ ,,to ,l~ 'JllItD"c lle p .• n J a~
"ubv" ... ~oJ"dM M~, M~ pO R'~" CO en S7~~') eonlO u .. ¡lid¡e~ da ¡ " !(>~C IÓ"
de unft de ella3 con un" pclícula , <¡\lD ""l O. !en~ída ~\"bT't' 1" olno.
§ 8. Homologlas de productos oblicuo5 (espacios librados!
I~a r"lacirío de la., homol (Jgia ~ d~ fibr a. base y espac io pa ra los
espncius fi brados es i ncon memw rabll'nlcnlc mb eompleja q lle pa ra
uo pl'Oduclo d irecto. Cons idOrllnlos los cU i! (jcientes COIDO un CAmpo.
sin ,m'oc ionarlo 0 11 adelao te. S u pon >t".'\mo ~ qUE' S9 t iene un esp8clo
1ibrtldo E .!.. B eon una l ibra F. doo,' (l todos l o~ E, B. F son com·
ploj()S cehllares o 50n homotó"icamunte uq uivalen tes a 1.1111». La
par t ición wl ular del ospaelo E yn fu e ind icado rnls arriba (§ 7):
s i oJ,. son cé l u\ll ~ de 18 fi bra P y aY, soo eéluL1S de hase ,
entonce", una preimogE'Q p-t (a J¡) os un prod ucto direc to al x F ,
y t o n emo~ IllS cé lulos en E
a);+<J "'" a';¡ • ., O"~.
Do !llanera quo una parUción CE'lulRr form!tl mente I!<S la w isma , que
en un producto di recto. Pero ul operador do frontera es\.á arre, lado
coo mayor eompll'j irlnd . y~ h .. mD.'l dado un ejemplo (véase § ,>
de un espaeio do elt.montos lineA I!;IS haeill \lnn superfi cie de g.!! nero "
donde son evid antcs estas compl .. ji rlaucs. Va OlOll a enumerar In
propiedades simples del operador ti \! frontera en E.
1) SI a~ es un vértice en la OO5l', entonces para la~ célu las
(J~ _ o~ x o~ tenemos un a igua ldad eviden te:
aak "" oJ¡. x (oah
2) SI a1:+J =ol x o~, en tonces , la frontera es do forma
,jo~+I_ ot x(ao~) + A . (1)
.donde A !IOn cél ulas de una preimll.gon cnlera p- ' (Da],) , ademb ,
bajo tIO'L .se entiende la etaU51lrtl t opológiea de la imagen de la
-edern sq-, que es lA frontera ikJ~ .m la ba!e B. En todo e.RSO,
A c: p-I (81-' ), donde lJ'- ¡ es un nrmazón de la base de dimen-
.s ión g- .1.
rR O!l l.J'!M~ 1. &>a que In ba~e B s implem eute conexo. tiene un
v6rtice 0\ y no tengo células de d i [JIen~¡ón 1. Entonces. es corree·
ta la rónnula
aat:+J - o,," X (w,,)+ (_ 1)1 (aoL) X ~+ 6.10 (2)
-donde 0. , c: p-I (B""'l) .
VI OI OI! a suponer en adelante, que 58 consideran los espacios
íi brtldos E ~ B , donde os oorrocta la fórmula (2). Por ejemplo. es ta
fórroll ln es correc tA. evidentemente, en el caso cuando la baso no
tiene células de d imon.a ión q - 1. Es to os cor recto pnra B '"'"'
"" sn en > 1). B "'" cpn, B '"'" !HP", l' l nmbién, si B es una vade-
, 8. Homologlef de productos oblicuo. 97
dad tompleja de Grassmonn. ramo do oolDras, producto di recto de
8II!eras '1 una serie de otros.
OBSl:RVACION. En roalidad , los ra:¡;onamientos quo hacemos y las
deducciones que se formulan serán corrootos (después da a lgu nas com-
pHeacioD&!!) !;la un C8!!O más general: un grupo :ni (B) deba actuar
trivialmente ea losgrupos l/ . (F). Para los cspacioll librados de eJe-
mentos lineales esto sign'Jlica, por ejemplo, q ue la base eguna varie-
dad otientable (la fibra Cl:l una esfera). Si la fibra es uno es!ero, ent.on-
ces esta condi t!ón siempro sorá cumplida para H. (P, Z2) sin de-
pender de la orientabilidad de la base ydel espacio libradu, 'la que
H. (S". Z,) nunca tiene automorfismos no triviltles. Las cotretcio-
Q(tlj surgidlt.g on 01 caso cuando III (U) actúa no tri vialmento en If. (P),
serán indicadas on el § ti (más aba jo).
As!. estudiamos \Ina clase de l'spacio~ fíbrados paf l! los cual,,!!
es corrUGta la fórmula (2).
De3arrollemog en soríe la frontera rt'spec lo 11. [o,.q nrlllilW Il"S do
base :
... ,
d d a " , 1-- ¡+~-I (' ' ) on e a=¿:" ... " ... XOF ... ' l ." son UU[)1uro~ ~c ce'[)1llono de
• productos de células (q - k)-d imonsional('~ tle bn~o por ,'é lu los
'(j .+ k - 1)-dimensionales de fib ra. Por definición, tenemos:
04+) =-00 +°, +°1 + .. ..
ao-oj¡X(ao~) , Ot-±(OOh)X (J~,
Para un complejo de entlenas tenemos
e" (E)_ ~ eq (B) ® e) (F ). ~+T ... n
El operador do frontera es de forma
a.r(a ® b)=a 0 8,..b±{0"a) ® b+OI(a 0 b)+., (3)
donde
Oa (a 181 b) Ee~_a (8) (31 eJ+a_, (F)
para aEC'l{B), bEe¡(F).
Prestemos atencion a quo Jos operadores 80 y &, son los mismos
que en el producto dirtcto Eo = B X F. Los operador"s OJa con k ;;. 2
en el producto directo son igual~s a tato. Ellos caracterilan los gr¡¡-
dos de «deforwaci6m del operador de frontera en un complejo e (E)
en comparación con el producto directo Eo = B X F.
Para estudiar las homologías H. (E) se utiliza 01 .método de
«rnldo. o fmétodo de aproximaciones sucClBivas, ,~ uccs¡vamellte por
1_nl I~~
"
Cap. 1. Rae.t. .. del dkulo d. homol<>g¡ft~
k = 0, 1. 2, 3 • .. . (llamado sU(:~sión espectral de Laray). La
esencia do este métod o COOSiSlo en 1(1 siguiente:
PASO o. Pueslo que b: = 0, podemos calcular fhomologíAS de
aproximnción nula. respecto sólo 11 esto toperador de frontera en
aproximación nuh . au• Obtenomos:
/I,,(C(E), do) = ~ C,, (B)0 H,(f') - L l!.i¡'/J .
'1+1_" I+q- n
De esltl modo, JI n (e, do) SQD cadenas en Jo. Lose B con val or CIl las
homologias de Cíbra F; E';,lJ = Cq (E. 11, (F»).
PASO \ . En los do-ciclos por módulo de fronteras 1m do (o sea,
en 108 grupos 11 .. (C, do» esta c!l'tcrrninndo correctamente el opera-
dor dI' ql\e tiene la propiE'dad ti) "" O. Tencmm; un complejo
E<n=~e<qL/j, d , :E~!lj _E!.'21 .;.
El! nuestras ¡dpules>s las homolog!as l!.Il UDA prinlora apro:¡imacJón,
e!:I dedr pnra un complejo (Et'), di)' coindden con las IIOOlOlogias
del produc~o directo (véanse las formas 00 ya,):
Hn(Eltl, d,)= ¿: 1/'1(8. ll¡ (F) =
v+J ....
"'" ~ H'1{B) ® H 1 (F) =lJ,. (B ® F).
El operador d, 98 liD oporr.dor de frontero; en ¡:lS cadenas en In base B
con f,oeficient<.>s en JI,. (F) .
Se tiene un.¡ de,¡¡;omposieión directa t'\'¡dcllte
lfn(B!), dl ) _ ~ H 1 W) 0HJ {F), q+i_
donde los sumouuos cst6n representado,¡¡; por lo~ d" cicio." ~ E Eq~J =>
= Cq (B, H¡ (F» (on exactitud ha!! tll ln ~ ",+fronlrras 1m d" Los
grupos 110 d.-homologías ff ~ (1:.'('), d,) so designan pOI'
E'~.= 3 E'Q~>J => ~H'l(U)®HJJF)=Hn(B®F),
Q+l_
Para un producto directo Eo = B X F todo el proccdimiCll1,o se
tormina aquí. Para un producto oblicuo npa:recen los siguientes
pA.,~OS, ([UD utilizan a,. 0a' . , ,
rASO 2. E l operador O. ongondra un op6l'ador de tronten di
en Jas homologllls de la ~primera oproximneióm Elt) = H,. (EtIl, d,)
Y tiene la propiedad ~ = O. Aparcc ... n las hornologias di.' ~scg\lndll
aproximación'
E',t"" lf" (E!aJ, diJ= ~ II q ,J(E'2). du, q+J_
E,,"' = ¡; E't ¡.
9+1-"
§ l . Homologia l d~ produdOI oblicuos .9
:raMmos
dt : ~:l; _ Eq2J$. 1+ " Eq~)J «oHq (8) 0 FlJ(F).
Los elementos de los g rupos Eq~'¡ = Hq ,(ElI), di) estú n represen-
ttdos por los elementos (d2-cicJos) z E Eq~r J = H'I (H) ® ll) (F) oon
e:-actitud hasta las da-fronteras.
Esta sucesi6n de "ccrnidos" 511 prolonga en ¡¡delante: s p/lrecen.
complejos El ') = ~ ~:\ Clm un operador de frontera
j . EY·L¡-~E:+·I)=H (", ,) d) -I!J 'l. , * oC', , .
Es obvio. que todos los grupos E',í.J con q < O o con j < O 601) ig¡.ra-
le.s a cero para todos los r ~ O. Por eso el operador d. "'" O en los.
grupos E'';.'}. si q < r. En este caso tenemo.s
F2;= E;jl)"""E';+,~J _ ... _~':') . q<r.
Estos grupos se Llesignan por E..,:,j.
Teoc('D) /l (de Ler;.}') *¡.
1) Todas las difer( 1I,igles a, e.~fán definidas corredam~lIt~
y ~ ... O.
2) La suma directa E.:-)= ~ ~':'l es tRomorfo. al ,,'rtlpo
'1 +.1-..
H. (E) paro. !tn campo de r~elicumtes.
,~) Los grupos E~~), son isorMrtos a los grupos IIq (B) ® 11) (F).
Así. como resultado de .pasar por estos fillrOS& I)emos ol,tenido
los ciclos en un espacio E (como núcleos de todos l Q~ homomorfismos
d, por l'i módulo de las imú¡:-enes precedentes). con exsctitud h~~ta
las fron t l.'t3S.
COROL .... RlO, En un preduc/o oblIcuo los ran gos de grvpos de ¡¡omolo-
gÚl.t, Jw blando en geru:,ral. bWI meno/no que cn el dirl.'Clo (o sea, los
lIúmero~ de Be/ti bf. (B) ~ b~ (Eo) pura todo.~ los k. E. "" B X F).
Es/o se ckduce del hecho de que ya E~" = H n (E.); después se realiza.
telli!trodo~ de una parte de los ricios mediante los operaooru o¡. d~ • ...•
tJrogtelldo s610 SU8 núcleos (d,-ctclos) , !actori:'(lrldo por d,-!rontUlLI,
pasando detpués a d,+l' etc.
Damos la. defin ición d~ 108 operadores d~ 1.'11 los grupos E~~¡' .
Como íJ E = O. + al + 8~ + ... y Ol:ar .." 0, obtenemos la igun -d,"
O = 01 = D: + (iVII + ai).) + (d; + 8.al + o~a.) +
+ (ala~ + 02[)¡ + o.a s + íJ1o.) +
+ (aJ + 0IU, + vla~ + VeD. + v.O.) + (4)
· 1 De todos loa IdlLlIlrl8ln Ut;bUld05 \In. eo;w libr<>o ."0 ~""l"r.'m8 no~ d.5
" f.tlruer easo hllport.ILnte. cU3ndo n ,mp051 ble la d~m"str~c,6" sjo te.;ur"'"
. 1 ellguaje ligurwo del ilgebra h"moI6glca.
,.
Aplicando la igualdAd ganer~l (4) a l o,~ grupos Cq•J (E) por separado,
obtendromos una cadena d t! igualdades
O = a: : Cq ,/-Cq,J_a .
° -= orfJt + °100 : Cq,J -..- Cq _ I "_,,
o = al + {joD. + ú.oo: Cq,J --. Cv_',J' (5)
o - {VJ_ + 0,,\ + úava + u.uo,
o = oi + 0,u3 + fJ,f\ + ooJ4 + {J,Og.
1) Cons ideremos UD operador al en do-cielos (o~ = 00) mod d,·
fron~ras, es decIr, en las do-homolog'Ías E<q~; '
SI fJ,¡¡: = 0, cntoncQ.S tanClnos
,j I (x + J,z) = O,X + alo~ ... 0IX - °0 to,x).
De esta mnll l.'ra. d I (jstá definido correc,tamout.c 1.'1'1 do-cic\os mod do·
fronteras, Por consiguiente, tenemos de (5)
olx ... - oo8_x - o,o~ = -oofJ,x ,
ya que {JoZ - O. Por eso obtoncm05
olx _ O mod (1m do)' dí ~ O en E''' ..
AsI, dt está definido correcta mento, y ~ = O en l o~ grupos H. (El '. do),
2) Construir un operador d. eo 109 grupos H. (E('), dJ = 8(1).
Consideremos en las cadenas C. (E ) un reprilsentante :z; de UD elel
men to de B~~J t aL que
o"z = 0, OIX = ° mod (1m °0 )
alX ... uoY (6 )
La cadena iJgx puede no tener la propiedad (6). Tenemos
{Jo{J,z = - J.pgZ - Q10 1Z = - 8,DoY =- /J,jJJY'
.olo.x = -aiJ,z - arJJ~x - a¡;{jX ....
= -/J1fJoJI + 1m /Jo = a/!J.y + iJfy + 1m 00 (~
(a¡;ox = O). De los correlaciones (i) se deduce. que un eleluento
a,x - 0lY = d~
ya satisfa ce las condiciones (6). Así obtenemos:
d~.t = ¿¡,x - 01&;101:1; + [Im 00 + 81 (Ker uo)l.
Con esto
j ' 8. Ho",olo g!o. d .. p.odudos oblicuo.
Correeción de 10 dcfinición de <4.%:
que ~ __ % + ao'Z. + a,v = -; (Oov "'" O); entonccs
8;; - a;'obé1;'% = o~ + a.obz + a.o,v =
<= (a~ - 018; '01%) - aofJl 'Z. - ~z - a;a1v -
- ooa~ - apoo + ó~'Z. + a, (O; 'OOOlV + &;'atoov) _
, ..
= (0 • .% - 0,&;'01%) + 1 m iJ o + al (Kef o¡"
(op,v = ooa;.'OtOOV = O). De manera que d. está definido correcta"
mente eo J:.~~~. Verifiquemos la iguahlad dld l <= O en E~~}. Sir
8.:: .... 0 , aoY ..,0, .%, entonres tenemos
d.:r = o~:r - o,fJ;'a,:t:,
d'.:,,:r = a l (a l .% - a, {{; 'a~) = 0,0;'0, (a.% - a.cJQ'a,z) =
"" -Joo,.x - a.a~ - a,a:fL - iJ~iJoY - a.iJ,y - o. (8,y - u.z) =
"'" - iJo (a,.x + él.!! ) = 1m iJr.
(a .o"x <= O), De ellle modo, I'J opl:rador d~ = o: - ó,O; '{), esta defi-
nido correctamente en Jos grupos E;,:J y tiene la propiedad dsd, = o.
3) El o~rador d, en lOIl grupOIl E~~'; lE: I Jq ,) (E"', d2) ~e dcfin <t
da la mj¡¡ma manera, partiendo dC'1 operador a, en tal1'8 cadl'no8
;t ~ C9 ,J (E), donde uaZ "" O, aJ:r = VoY, a,x - a,y = 00Z + a,w
y donde a¡¡w == O (d.-cielo!') , ~on exacti tud l,asta la unificación de
IPs imágenC's dio i ~ 2, de hs Ílon teras do todos los ont.'riores ope-
radaros di' Sin calcular, apuntoDlOS que tollos los optlIodorC's d,.
puedlln Iler defi ni dos corl1.'ctamen\e , corrigiendo el operador a"
que octúa de Cq,J en C9 -'.J+'-,. f"l'l Jos adiciones dI" l as imágenCl! ~o' ~" _ . . 0,_, . por onologle con dl. Con esto tendl'l>mos d.,d, = O
Y d,: C¡'} __ E'q'!" ,IH_L por defimción. 1\0 nos imporl !! In form a
exacta de" opt'rador d t _
Acbremo.!! l a idea de dl'mos~l'acióll dE' l uonmfl de Ler8y (d3de>
más IIrriba) para un caso partkuJar, c.uando todo.!! Jos {JI ('on t ;;;. 3
son lrivi!!le!!_ Aqul" se puede v('riJ!ear todo IL ast ll el fi n si n n'currir
ti longuaje del áJ~e¡'rll IIOIDOlógi('o , medilln h ' ciilculo dirccto". Ya
se ha comprobndo]a cOl'ncd ón {h·] opeoIador d~. Hoy (l ll C ol'mOslral
que las homologíes H. ¡EL2" d~) = }j~" "'" E,;, coinr.idir~ Jl con
las homologbs lf.., (E) sobro un campo de coefIcientes.
SilO. % un e!t>.m .. nlo du II n (E) , reprEsentodo por un cic:lo que ~
la ca den a '$ E C n lE) -= ¿; Cq ,1 (E). LI lI ll1oTt' llLOS d iltración t del
'1+' - "
elemente> x E H. (E) o lal número miniwol q, que:r puede ser rea-
liu,do por un dclo:i= de una prcimagen complet,a p_l /B9) dc un Of1Ll8-
102 C.p. 1. Recela¡ del dlclJlo de ~molog¡.s
zón q-d ime.nsiOnl!l 0:1 0 b"5(' y no pu('J\l ser n 'a lindo por !lna ca dOI\8
-de p-I (BQ-' ):
:;= .(q + xo_,+ . .. +xo=Jy+6. , L\Ep- ' (~- L).
XqEC'I./, :L:q_tECq_,./I- ' •..• , :toECo• n•
Como ()~ = O. tenemos la (OH = "o + dI + Q:) desco,oposición
de Jf!¡% resllOC lo a los grupos e q,j:
ó~ ... Oif" + (",Xv + 80x,,_,) +
+ (o,x" + 0,%,,_, + QoX,, -.) +
+ (O:I q_, + ()tIq _ ~ + o"xq_ , ) + ... = O.
De la cond ición iJf!¡Z "" O nos quoda
f)oxq - 0, alx" = - o¡;¡Xq _., a~.r,, '" -8.x,, _. - 00-%'1 _0'
0 0 lI.q uí deducimos. que le cado:ma x q es un ciclo do 18s diforoncie leg
do, di' di' ya que
do ... 00 (x q) - 0, di"" J I (x'I) - -00 (x,,_¡),
di x" == u¡xq - iJiJ;lJ ¡.Eq = {}r" + iJ¡I"_l =- - ooxq_l •
Así, al cicJox do la fil lución q le corrosponde la cadena x q E Cq:.1 (E) .
q l\e define el ciclo de todas las diferenciales d" r = 0, t . :t, ...
Por eso x q quedo en los g rupos E1--:/ (fin nuestro caso ¡f-l = E(31).
MosLremos, que Iq no es frontera d ... ningu nn de las d iferellctales
d, (r = 0, 1, 2) . y por lo ll111to, da un elemento no nulo en &lqj).
Si x q = o,.t "" d~ para z E (.'" .1+1 (EJ. enlonce9 111 fil tración del
.elemento -; _ x - OsZ es meDor que q, ya q uo
; = (xq - o~) + (.Eq _¡ - o¡z) + .. . ,
además, X q _¡ - ()&' = O. Por eso ;¡; -:P {J,.t , ya que, por eOlldicióll,
q es mÍllÍllL'\l. y el ciclo x no ~ pos ih'lt; sacad o del arma~6n B q. Se~
Zq = d ,v, donde 00v = O Y v E C q+I.¡. Se verifica fácilmente , qu~
un ciclo .% - aEl' tendria filtración <q. Por e30 J:q <lo> di (Ker do).
Lue-go, si x q =- dtw "'" o~w - U¡a;'OIW para JI) E C q +2.J_¡ (donde
a¡¡w "" 0, a,w = iJou), enlonJ:es. sncu mos ; del a rmazó n q-dimensio nal
;; -x - o¡;w. Este contradicción muestra, que el ciclo de todas 1M
dUerencioles XQ E CQ•1 (EJ pasa a sor E<,,":I y O/l disUnta de cero en E',¡":/. si la filtración de la c1nse do homologías .% E Ilq+1 (E) e!I
e:tactamonte q.
i l. Homologle. do p'odudo1 oblicuo. foa
Tenemos el encaje
Por el contrario, quo so dé un ciclo de todall lalI diferenciales ti,: Xq E
E eq,) (E), no igual a cero en E,,'.j), Conocimos lo sIguIente (que
todos 109 Oi = O con t ~ 3):
{}u%q = 0, Q¡Zq = 0011,
a,xq - iJ,y = fJ~z + iJ1w , o~ "" O,
¡; E Cq_!.J~~' Y ECq_,.¡." wECq_',¡H '
TomelllOll
.¡. -= ;¡"q+ ;rq_, +l"q_l + .r q_~ + •. . ,
donde .%.,-1 = -(y + «') , x q _ . = -1",
a;; = o"xq + (iJ1xq - doY - 0oW) +
+ (O,z, - {}oz - a,!! - o,w) + 11 ~ 6,
donde 6 E p-I (Bq- ,) . CamLial1do al representante X~, y también
a y, ' I! , z, obten l' lU Olj, en virtud de las relaciones (4) y (5), un ciclo
-J: de rilLración q, con la condic ión de que a, _ o. i;;;' 3.
A.5 í, cada elemeulo de 105 grupos En"")=- ~ Eq:"] repfCsen ta
.,'¡' j -n
un dewonto de J[n (E).
Coropleffi t.\Dtos (~in t.!('fUoslr:u, ión)
1) Los olementos de filtrad ón '1 - O siempr(l son ciclos de \.odos
los dr, r ~ 1; los ¡;>rupos E11',~ ~On isomorfos a 1I n (E) . Los grtlpOS
&<u':"~ Mln grnpos coc ientes; el ho momorfismo 1/ .. (F) _ Et~ e
e H n (E) coinllide con 01 homomorfismo de enca jo de fibra t; F _ E .
2) Los elClmenlos dc filtración fl. (j = O) no puedon.ser frontare~;
aquí E:t:~ = H .... (B ) y e~~gl c; II n (B),
El howomorliSlllO dc proyección el\ un ~\lmall(lo i "'" O
S E'~':"J= J!,,(E)_E'-,,7~cH,,(B)
q '¡',-
coincit..le con In proyección eo la base
P .. : Hn(l'.')-f/,,(B).
Para las cohomologías todo e.'l Análogo: ~e ticlll! una .5ucesi60
6,) , dOlida
6r:E1· J _ s:.+" J- ~, I, 1:i,.6,. =- O, E;.¡. I =Il*(Er• ,s,);
~ El' 1 _ H " (D x F) _ ~ ll~ (8) ® f{J (1");
q+¡-"
· ..
Cepo l. Rece !e, del dlcul0 de homologlu
0:) ~ Jtl.;, J.,. ll · (E) (como u n grupo);
,. ,
d) todos los grupos E~ y los operadores 6, 5011 conjugados con
(E<;I, d r) en los hOlllologías. Peto aqui S(' til.'lIl"lI una nueva propie-
dad importante:
o) todos los E: = ~ EJ' i son ~"iIlo~ IlnUconmulat!v!ls , además,
H" (Bx F)=Ei como un anill r,; ~ í etEE'I,;, fJEE'I' ; entonce5.
c~EEl'~·i+j . a{I _ (_1iq+JI,q+J¡~a: POI"" 6, ti/me lugar l.l fórmula
do Lcilmiz.
(notemos, quo l'1 ti nillo E:' no es iSQmol'fo al anill o H* (E), hablando
en general: la I.'xfepción es un caso. cuando E:' es un álg1!hra libre
anliconmuLat iva; un Lonces, esto eS justo también pal'O 11· (E».
Estos htlchos no Jos demostra remos, (moque los utjli zarO?mo~ (en
especial, el e» más abojo. en los dlrlllQS.
Consideremos algunos ejamplos do lo aplicación del teorema do
Letlly. Como será visto. la construcción d¡, los o peradores d,. l';;;' 2,
no tieue imporLonc!a alguna en los cúlcu l(Js . son importantE~ sól/)
UUS propiedades formales.
EJ~3IPLO 1. SM E = S2t·+1 -+ CP~ = }) con fibra F = SI 1m
espacio fibrado <.'s ttlnrlllt (véaso [tI. ptll'lc 11. § 24). Cakul<.'ID05 un
anillo f{* (CP~) , utili1.ando infoTmndón sobro lJ- (SI) Y 1I- ($1'''+')
y condir;ión nI (E) = O.
J o O O O
"
, ,
.
,
""
O u .. rz. O
"-< O " .... .1
O , ;---... H~(Cf''' III'~p'l ¡{~'e!'" t~<'! fe!''') 1', " i',' " ¡-"'" . 0 o
O , J
En el término E: = H- (E) ® 11- (F), véase la fig. 43 (todas
las cé lulas no nulas de Ej,j las tilnDmOS para j = O. 1) . Aqui H*(SI) =
= 11. [u]. u' = O, dcg u = 1 Y H* (8) es inc.ógnila, salvo lR con·
dici6n nI = O. Loo grupos h:~.J !!<;I1l 110 triviales s610 cuanuo 1 =-
..". O, t . Por eso sólo tl1 *- O; cuandu i", 3 todos Jos 15 , """ O por
razonamientos de Uimensión. pueslo que {';,E? J c: &7-1-' ,;- '·'.
Los grupos EJ'U son ciclos de todos los 6 .. r;;;' 2, E l elemento
6~ (a) E lIt (CP") = El,Q <.'IIIWlldra UII grupo 11 ~ (C p n); de otro
~ e. Homologíu de productos oblicuos
modo . tendri/lm09 H' (E) _ f{1 (SI ) 0;6 O. o b{sn H I (E) -=¡I::. o. lo qu&-
ea Imposible. Sea v = 6. (u) ;i= O. Para /.IV teuem09
6z(uv)_vl , 6,(1.111")",,"'+ ' .
De la condicl6n N ' (E) _ O COD l~2n . dcduclmO!: HtiH (c pn) _Do"zl (CP") es UII espacio unidimeus ioDol, engendrAdo por un ele·
!p.ento vi liara f"¡¡;;; n. Aquí uJiliumO! lo. e&lructura circular do 1""
dlterellcial 6. (véase 111 fig. 43).
IUEMPLO l. Sea E .!., S" un espacio librado de Serre con fibra,.
P - Q (S". ':¡;o) (nudos en la e ... fera). Aquf E es GOnlraIble y H. (E) "'"
- O. Pafa la hue B - $" tenemoe. quo H o (S") y H" {$"l son espa··
clos unidimensionales; los uemés JJ 1 (S") = 0, J -+ O. n. t.uJ¡omo~
logias de la fihra F por ahora son incógnitas.
/
2/t ·Z U,
o
o
o
n- , u, o
o d
d .~ D
d ,
o , ou
~ o o
o o ~
~U-.!.!!.. o o
d , d
-
" "
I' ig. t.~.
En el ttírmino E~~; __ H (8) <El H I (F)
ltloa una diferencial no lrh' i ll~ úniclI (véo."o la lig. 41,) tene-
cI .. :u_u"
d,,: v0u¡-+u: , (8)
LII forma de diferellcia l d,. (v"ase (8» !ro obtiene Inmcdialamente del
teorema de Leray junto COII conditi611 /(. lB) _ O y UDA fOrD)!1 de
b01Xlología9 de lo baep. 8 .... S". POI' e~o IlIs llOmologllls H .. (F) li&-
uen la formA!
1f~("_I ) (P) . que ee un espacio unidimensiona l,
H J (F) - O. I+k(n - l ).
PRO/lI.I.lIA~. Demos trar. utilizando la mul tiplicación coho woló·
gica (JO! coo(¡cicnte:s, es un campo =t, C.Q ) que:
a) /l. (QS~» os un anillo de los po linomios de una generatriz u
de di mensión n - 1, s i n es impar;
il) y .. (Q (sn» ",. A tul 181 !\ {v]' dcg Ir =- n - 1 , deg v -
_ 2/J - 2. n (,>s por.
T' I<OnLnfA 3. DemO!l trar . que si en l a triada d e espacios (E . P . B)
cual6S(/lIiNII. dos tienen un ft de Itts s iguientes prop iedades, entonces ,
el te l'C(' fQ t l\IDLién In tiene (sesupDue. que un espncio librado E ~ B
satisfa ce las condiciones del teorema de LerIlY):
a) los grupos de homologías lf. con ceefic iclntes en algun ca mpo,
son iguRIC's 8 cero;
b) los grupos do homo1ogias ll. ti",nen un numero fi nito de
gt'nuratriees NL ca,la d imensi60;
el todo~ los grupns de homologias ean ('.O(!fieh,nlos onwros son
grupos fillitos (00 decir. l!l ~ homologias con coeficientes en R. ()
o e son igua lt"8 a cero);
dJ todo! los grupos de ho ruo logi8~ co n coeficientes enleros son
fini tos y no tienan d omontos de orden p. dondo p es un número primo
(t'o!! d f,.'Ci r . las homolo¡rias con c:oofi eientes en un campo Zp son igunle,
a ('ero).
PRO DLt!MA , . Estudio. r las dHncnc!ulcs d" 6. en los espllcios n·
brado! : lit RP!n.L _ Cr' (la fiL ra SI) cou coefici ontes en los cAmpol
Z~. 01.. ,,, p > 2, fl. o Q:
IJ) SU (11) _ Si"-I (libra Sf1(n- 1));
c) SO (n) _ S"-' (Ubra SO (n-I» :
d) S·ftO, _ tlP" (Jibrll $3);
e) 1'" .• _ s n-I «(ibr:t l' "_l. ~ _I );
1) ~. ~ _ G~ . • (Ubra U (k»);
g) V!, ~ _ G!. h (fibra SO (Ir)).
Utilice la elitructura circulllr en las COhOIllOlogíll !l parn lo!! ujo roplo!
bl -«l.
PRonLUIA~. Demostrll r los siguit'ILI l'S bcc.hos:
a) Si todas las ItOmologías de un complejO simplemonte conoxo K
son fi ni tas (es deci r , si H " (K. R) = O para '1 > O), entoncu. lodos
los grupns )¡olDot6picos son finitos;
11) todos los grupos n,,+1 (S~) son finitos (e.'tcepto t =- O e l =
:3 11 - 1, si n es par).
¡)O/DICACIO~. Considero un espacio f¡ lI rado do Semi E .!,.. K con
·Ulla r¡ il ra Q (K. k~). donde E e! conlracta ble. Itere este espacio fi·
Ibrado. Para e.~tud¡ar lo! grupos n, (K) util ice la igualdad ;'1, (Kl -
=- nl _l (Q (K)) =- ... Para el primer grupo no t rivial homot6·
~ • • Homologl •• d. F>' oducto. ob licuo. ,.,
pico utilice la ilt\llIldad: si n~ (X) <3 O. q < l.. enLonces n, (X) _
_ JI, (X. Z). Pase al cubrimiento uolversnl, si se encuentra un
grupo :n, (vliase el problema 7 más abajo).
Se tit-n9 un procesamiento de d rans[ormllción de la apllcaci6n
-en un e.spacio librado». qu~ conserve tJp~ homot.6picos:
a) s i K eL I.'S un encaje, en tonces se toma un espacio E (K. L)
de las curvu (rutas) qu~ s .. eomiell7.an en K y se torminan dondo se
quien en L. Evidentemente, E (K. L) .... K (se COD uae a K ). Tene-
mos u na aplicacl6n (E (K. L)'!"" L. que controutR a la curva su
extremo. Esto es el 8lIpado fibredo de Serte (demuústrelo);
p) para una aplicación general K..!.. L es necl'sario C<losiderar
un .c.illndro. el - (K x J (O. 1» V.1L, donde (,r. 1) "J (x). Es
evidente. qUe e,""" L. Luego, el::> K x o = K. Aplicando al pa.r (e, . K x O) la construcción n). obtl'ndrt'mo9 un espacio fib'raao
K_E(K, L) ...!. G/ _L.
Es fác il ver, que pes homotópieo a f . Utilizando ests~ construcciones,
resuel va los prolllllm81l Biguientes.
PROnl.CllJr 6. Demostrar. que s i la ap]¡cllciÓIl J do los complejos
aimplemelnle wnexos induce un hQmomorfismo de los grupos de
bomolo¡-Iu R .. (K. R) 3tH .. (L , R), en t ollc~s. la apliCAción J
induce 1111 isomorFismo do gru pos de homotOlli(l.'
~¡J( 0 R:::::>:n¡ (L) ® R.
ApliCfldo al caso. cuanJo K "" S' X SI X ... X S1.<-\ y L =
E> SU (n). CoMhu~'a la Ilplicaciun K _ L, utilizando la ."OuJtipli-
cación oln SU en).
l'fIOD1..8~IA 1. S i X ('s un f{-('spnelo (por ('jolllplo, X =- Q (K)),
entonen pflra todo q > O dOluostrflr la igualdad
Hq (X , :t)...:H,(X, RJ,
donde X es un cubrimiento univcrsal. Sea D = al (X) y K (D . 1) ""
= B un espacio t.nL quu n , (a) '"" D Y 111 (8) "" O. t> t (véase 01
,
f 10 más abajo). Considerar una a plicación X. _ B , 11', (X) ~
~;'t, (B) _ D.
Trall~forrUllrla 811 un espacio [jbrado. FfnJlar lA. ribrll.
l'Rf.lI'ILl!lllA S. Considerar 1111 encajo (Inmersión) natural sn V
V S" - S" X S'. '1'rall!!forUlIIl'\a 011 un ~pacio librado. H allar
11\5 bOU10lo~í llS Je la fibra r. H A. llar 105 grupos IlDlllotópicos n, (S" V
V S") 0 il = ?
1'110 111,.0.1 ..... Sean: X, simplemente con('.'I:o . y H* (X, R). UD
álg('.bre libro (IIntioonlllutati\'lI). Hallar los grupos ;'t, (X) ® R.
PIWDLE".MA 10. Sl.'a ni (X) _ O con i';;;; n - L llUffillstr/llr la
igualJlId ", (X. iIl.).óOlE ;"1 (X) ® lit para / < 2,,-1.
108
§ 9. Problema de prolongacl6n de aplicaciones. homotopras
y secciones. Clase obstaculizadora de cohomologlas.
A. Planteamos el siguiQnte problema: 6(l3n dados un complejo-
cl'lulllr K y su subc,omplejo L c:: K (por ejemplo, L "'" K '·' es un
armazón de! coIDplC'jo K). Sea dada una aplkación L -.!.... X. Para sim-
pHficar la po r te algcbroicll. suponemos qlJe X f'S 1m espacio simple-
mente C(lllexo (11 hllJUotópicaml'ntc simple. t a l. quo 11, (X) {'s un gl"U-
po abeliano y ar.túa trivialmente e l l todos los grupos l'tl (X».
¿Es posible prolongar la aplicación 1: L _ X haslll la aplica-
ción F: K_X?
Sea (Ji una célula en K tal. qut' (Jo' c: L. En In frontera Ja' ya
tenemos una aplicAción j: L _ X. Esta Ilplic,llc.ión define un "lo-
mento a. (oj, /) E )1, •• (X):
Sl-I _ 001 -.!.... x.
Es evidente que lit aplicación I se pt1ede prQJOllgaf en IInll c~lula
01 si, y sólo si. o: (0 1, 1) = O ell el grupo 11 1_1 (X). En p.articular,
siempre C'S po1!iLle prolongarlA. si 111 _1 (X) "'" O. Si a: (o', f) ""'" O,
entorl/'eR es jmposibJIl prolongAr In aplicación J eu In célula oi (a C'S
IIn .. obstaculo~).
E n el caso generAl. habiendo cornC'lIundo a prolongar IInll IIpli-
cación con primera dimensión (al. qm' se ticuen células en K, que
no se enC\lentrilll en L, para llIl cierto i tropezaremos con un iobstá-
eulo. no trivinl.
(JI -+ o: (a', J) E )1,_1 (X).
Esto es una coeadena eu (R, L) {I en un grupo de coea denas
el (.« . .L,,1I' /_'1 (X». Designemos ti est/! ('oc,adena por 0:,.
TifltlO lugar el
, LE7tlA l . 'La cocutkno. al el un cocido.
nEMOSTRAClolS Por de inición, t('llemos; óu'l (a'+') = a, (801+').
Demostremos que la co('adena af se nnula en 80 +1. Rf.'CordelDos, que
al (al) fu(' definido por una ap icación iJal __ X. Para simplificar.
~an K y L complejos si mpliciaJes; enlOllces. 00'+1 y 00' son ('esferas,
quo se encuen tran fn K. donde (JQ es un shnpl llx de dimen:<¡ión f}.
Súrge lasiguiente ~ituación unh'ersal: pllra un simplex q41 hay una
flplicllci6n do su flrmat611 (t - l )-dimen:o;ionlll en X (ni (X) = O
o ni no ¡¡ctúa En los gf\lpo~ )1;,_,). Sea repr('s~nta do Cl:J E n,_. (X) por
una aplicación de la frontera de la cflra e.on el número J: si cr'-+-' =
- (O •... , 1+ 1), entonces. 111 'Cara j·ésima es (O. 1, .. . , j,
. ... i + 1) (el número J e~tá borrado).
PROSI,.EMA \. Demostrar la igualdad
'H
:3 a.,(-1)j_OEn,_,(X)
j_G
para cualquier l:.
".
(1)
, En electo, el hecho es que eada cara de dimonsión i - 1 se in-
cluye dos votas en la suma (1) y. además. con signos opuestos (el
grupo ;"1;'_1 (X) es abl'liano). Al mismo tIempo. de 'nuestras eondlclo-
nes se deduce qu(> el punto inicial en lo definición do n,_, (X) es
in~ign¡l¡cante. Par eso Cl.J os un cociclo.
LIlMA z. Si a, = 6~ pamclerta coca.dena f) E CE-I (K, L, n,_! (X)),
eritoncesu posible transformar una aplfeac/6n¡ erl un annaoon (' -1)-
dlrrunl>i(mill KH. no translormándo14 en 1m ar=6n (1 _ ~)-dlm.Qn
'sumal K'-' y "11 todlJ el L ck to.l rrwdJJ. qlU para una. nueva aplicaci6n t
tendrá lugar a, _ O.
PI.'.MOS'l'RACION. Con Ins condiciones del lema, sustituimos le. apli-
cación I en la célula 0 1- / por una nueva aplicació n r oí-. _ X, de
manera que ellas coinciden 011 00'1- ,: COII esto, un par de aplicadooe3
J, {de la célula 0 1-' . definen j,¡ntas una aplicación S i- I _ X, que da
un elemento -~ (0"-1) en el grupo n¡_1 (Xl. De~pllé.':l de somojante
tl'3TIsformsción de la nplicl'lción f obtendremos para la nueva apli-
ación 1. el hoeho q ue r;J., = r;J. I - 613 _ O.
Gl lema quedll demostrado.
Como resultado de los lamas 1 y 2 o btenomos
CO!\"CLUSION: Está definido l ol pr imer obstaculo' para prolongar
!a aplicación <7., E H I (K, L; rt/_, (X)) al intentar la prolongación
.da la. aplicación f delliubc.omplejo L U KI_' en el complejo L U Kl.
Su igno.ldo.d a cero es suficicnt.e para la prolongao.;ión (vénso.< el loma 2).
Evidentemente, e~ posiblo la prolongaci6n. si nl_, (Xl = O.
PROIILRNA:z. Sean: nq (X) = O con i < q, y /; K~ ....... x.. una
aplicación de un armazón lJ·dimensio nal. Sea quo X no lione cél ulas
.de dimeusione!l 0< p < q - t (un complejo reducido , véase § 4),
Entonces, cualq uiera c<ílula 0'1 del complejo K donne el elemento
~ (09) E 11 ... (Xl mediante la aplicaCión 0'1_ X. Demostrar que el
obstáculo para prolongar 1!sta a pUcación ('o. 01 armazón Kq~ , es UDa
cocadona <:x, "'" <Sj}, En particular, la aplicación f so prolonga en
Kq+l. s i 13 es un cocido.
B, Considurtlwos un . obsUiculo para la homolopiu .. do dos apli-
caciones f y ~ : K ___ X. I[Ue ya coi ncidon 011 01 armazón K ..... '. En
·cualquiera célula o' e Kq del armazón Kq tenemos dos aplicacio-
nes " g: o~_ X. que coi ncide n en la frontero.: f 11'11'7- g I""q·
Conjuntamente / y g dan una aplicación de la esfera sq _ X. Esta
e~ 1111 celemento di.~tiDtivo ' a; (oq, f. g) E 1'I~ (X). Allí, tenemos una
reocadena distintiva.
PROBLEMA 3. MoSLr~f. quo ól:t = O. Mostrar q uo lJarll un <:(\So.
a = 6f\ es p()~i hlc c8 1l1bior ]a hOlllOl opíu ,'ntrc ! y g en un armazón
K'I-' , sill tomllr el IUW92Óll K'i:-~. y dl'spu6:s tendremos I;t lOS O. Por
~so 111 distintivu St1 rncuentra (ln IF (K, 11 (X». p"OnL¡;~¡.\~ . Sea que ¡"Demos un p~ J' dI. L ), L e K y lil<a dada
una aplicllc;ón f: L _ T" en un' toro n·dimensioual . La condición
IlP('.esaríll de la prolongación de la oplicació n f do L sobrl' K es la
sig llicnLI': s i 'l' E 11, (L) Y .!l .. nc.ajc i ; L _ J,- IrUlls fo r mn ('sIc cJe-
ml'nlo ('n la lll\Hllld. i", (1') ,.., L e nlonc('s debo ser f", IV) = I ¡.n el
toro 1'h, DeulOst wr que ~st¡) cond ición es suficiente para 111 pruloll-
¡ación. DI:Ulostrflt que para prolongar la nplkución (lS también sufl-
(iculo uua coudicilÍn análoga 00 1115 JlOlllo lO!l'í~.s. o sra parA VE II I (Lj"
Tnl sitUllción surg~' . por l'Jl'mplo. en j¡\ ll.'oríu de nudos (,,6ase (1 •
pArto 1I. § 20).
PROIlLE)f ... ~ rl>dlar UII con junto 11 (K. T" ) (le cJa5l'S homotó-
pic~s dI.' l,pl k3Ciol!e~ J( _ r' (purtklllarmenle, para Il ... 1 e'n S') .
Con mo yor gl'nero lidad : "eo X = K (D. n) uu ('~I)ado tal (.compl(>Jo
¡jo Eulenbl'rg.l'.lA('LanCl ), 1](1 (' ni IX) _'C" O. i *' 11, Y :1 " (X) = D U
U)I grupo Ilb('lin IlO. Demostrar qu(' :-( (K . X) = Ir' (K, D). Vcri-
ficRr para n = 1, qUfI }Jl (K , D) y 11 (K. X) Sl' determina u por los
b omomorfismos ::1 1 (X) __ D. I~sto resu lt ado sobre .n (K , X) es Justo
para los grupos no Rbl'linnos JJ con" = L Ej"ilipl os:
n = 1 : D= Z , K(1: . 1)=51•
D=Z)< . .. xl , X(D, J)=T".
D =l1,(J1.f',). K(D, 1}= M1 (~uperfÍf.io del gén('ro C;;--1),
D -.lm , K (D, 1)=S"n'_m (par<1 m _ 2 tenemos K (l: , 1) =
= lIP'" o g{f1'''' . ¡\" __ (0) ,
D= P (grupo libre) . K (P, 1)"", SIV ... V SI (ramo de
circ ll nferenci;¡~).
lIa y much[~imos ejemplos di' espacios K (D . 1) con di.~lintos gru-
pos D = 111 (X). El único espacio. quo s .. construye simple mente,
K, (D, 2) es ~l caso n ",. 2, D .... Z , K (D, 2) = GP" = S""ISJ.
(yéa:;e 111 , p. 11 , § 24).
PROI:ILIDoU e. SllP K" un compl tljo de d í men~ión n. Hnlhu las cia-
ses homotópiclls da aplicacionM K" _ $". Demos trar la Ig ualdad
ji (K", 5") = /f" (K", ;:) .
C. Es completamente a nálogo e.l problema do construcción y de-
hOlootopía de secciones de espacios fibrados E..!. B con fib ra P.
donde la base B está reprt'sen lad¡¡ e o for ma de IUl complejo to impltdll. l
o celulMr. Otra vez, para hRCBI'lo más flicil , supon6mos que la bllw n-
es aimplowento cone:O:lI (o, más lt~bilmcllte. n, (8) no actúa en los
grupos n . (F) mediantp trasladono,~) y 111 fibra F es también 8 1010-
plemente cooe:¡¡8 u homotópksmente simple.
, ~, T ... ",. a. los obsliculo. 1111
Sen dodll unll sección If' en un arrollóo 0"- ' e B , Sobra UD 5im-
pIel' 0'1 c::: B' so tiene un producto direc to ¡r' (oq) = o' X F,
En lo fro ntera 000 "" 89-1 se tiene una sección 11': iJo'I_ iJo'I X F.
dood~ p~ _ 1. Por eso I'Jo< tá d~finid!l lA o plic adón 80Q - 5*-1 _ F.
que da un e)r.'mento cr: (o", '1') E 11:.., _ 1 (F) (cocad('na obs taculhadora),
PROBLEMA J. Demostnr quo (1 ... _ O,
¡>RODL[;tdA ti Demoslrar que pe ro a _ ll~ es posible lrnfisformer'
la sección on el armazón B 9- I , !lO I,OcPlldol1l <'11 B~-1, q uo a""" O,
De w all{'rn qua el E Hq (R. 1{0_1 (F).
r IlOl.lL\t~IA ~ SNI qu(' In n il rll ('11 unn osforn Strl """ F, Most.far
que 01 u bstácu lu a E IJq (8, 1fq _1 (F» 1'1' IlnH _daso do Eular- de
olspacio fi brndo, (viasl' 111 . lmrle 11 , § 25), dofi.nidll con ayuda de
~no.dón en un os pacio fi brarfo COII i mpllrl'lI q - t para los espacios..
fibrados eco un grupo G ...,. Su fl}) como Utl elemonto de nq (0 .. ;1. ).
'PIlOSUlMA 10. Coll5. del'l.m .~ un obstúculo pa rll la homotopia de·
des secciones 1f, )' ~ , : B -.- E. dondl' PIf'¡ - pt¡', ,.,. 1, SM q l1e coin-
Giden las &l!<:dones ('n u n armn7.Un o q_1 c::: B . Ueh'rminnr <>1 ohslá-
culo pora lo 100l)lotQpí~ y eSludiar SIIS propttHlodl's
a (q' ,. or.) E IIq fB. nq (F).
EJEMPLO I Sl'n cn"tnlc laLI" Jo mlrl', 11, (Jo') = O P'"'II lodo t;
enlom'l',1, s iompr(\ ... .\' is lo la ~~eción, }' loua!! h , SCCci()11P.~ son homo-
lópk8,~ , p or ujC'mplo:
a) F \J~ un conjunto rll' m (,Lr iCIIS d.) Riorn ann posi tivas (~n U I1 pun-
10 ded,) sobro 1l0A , ·al'ip.dllol JI". Sabemos (\'éllse 111 . parte JI. § 8).
quu 8i(' m pro t!):¡~ t6la lIorciún (mé t rlc.lI) y qUl' dos 5cHiones (dos m~
tricas positivas) 811 n hOlflolóp ieas. l-' {'IllOIICrs es posible unirbs con
uoa curn l. Si la métrica es inddinida (por cj·cmplo. de forma (p, q».
entont, ... _~, t.'l!.t ... rc.!\uhlldo lI O ('s corrPl' lo. <euA es I.on los grupos rI ¡ (F) '
para e,.l~ CA8O ? Nolemos. (¡lle F __ GL (n, :\ )/ (0 (p, q). p + q ... 11.
b) F es u n conjunto de .suJX'rricil's horizont ClIes- PO un puolo.
dado do espAcio E _ B ndt' eont'xionos (véAl'e rt l. parte II , § 24),
donde h lo dpmosLrndA In <>;,ti",lencl8 de lA conuión).
l!1.et.II'L\12 St'A E ~ B un ps pncio fi br/ldo con 110 grupo G =-
_ O (rI) Y unt!. fibra '1". Cons.i doremos un t's pllcio fibra do n ~o(j:hlo
de k-jnJonrs (ortonormnlizados): E., .!. 8,13 fibra Fk = l'~, ~ I I':.ril'·
dad \le S Udl'1 d I) 1.- J lllolI(.'~ e l! a"). EI1 porticlll ¡¡r , pnra k "'" 11. L(l-
11 ('111 0 5 F,. co o (nj. y pa ra k = 1, tenemos F, ... 5"-' , Los rUrloc i-
mif'ntol! sobro los grupos 11Omotóp icos do fibra. lo~ o btllnemos dl' 111 ,
pArto 11. § 24:
n ¡ (V ,,~ ) - O.
I Z. n .. __ (V ,., . ) - i! t.
¡<n_A:,
n-k es impar .
ti_k es par.
"12 Cap. 1. Receta. d .. 1 c41oulo d .. homologl0.
La clase o b.sLac uli.!:udorll de COhOffio!ogías para construir seccion&.!l
·de estos espadas fibradoo t iene forma (~el primer obs táculo, )
(%~EHQ-hl(B. !t,,_A(Vn • A))
para todo k = O. 1, 2 ..... 11. - 1.
DEFINIC¡ÚN t. La clase a~ (mod 2) so denomina ~clasa da Stiefel-
W itney. de espacio tlbrlldo y se designa por
Wq =an-<¡+I(mod2)EH9 UJ. Zll . q=1, .. .• n..
Por definición, se supone U·'-o = 1 Y .5 (' forma un epollDomio de Stie-
:fel-Witney-t
W (t ) ..... 1 + W,t + ••• +JVqt9 + ....
donde t es una variable fMma!. A las clasl;'s de Stiefel - Whitoey de
unn variedad Sllave IIf" lAs llamflr(\l\lúS doses de espac io fibrado tBn-
-gent(,.
PROBLEMA !l. DemOSlra,·, que la Igualdad ~V, = O es necesaria
y suneienw para orientabiUdad de la variedad lIfn. Mosuar, que
Wn es una característica de Euler (mod 2).
PROB I.t::MA 12. Domostrar. q ue para los produc tos direc tos de
varied~dos (o para Jos productos diroc.tos do espacios librados) te-
-.nemos
W (t) = W (11 IV (t)
(el producto en un anillo de eohomologías II* ( • 2. t ) Y W, W 50n
·polinomios de Stiefel - Whitney de l o~ f/le tores).
PROBLIl MA u . DemOlltrar. que para un oopacio librado no trivial
·uni dimensional eSllÍudar 1] sobre RP~ (. cinta de l\toebius». véase [1J,
-par te ll. § 24) tenemos
W (t)= t+Wlt , W, E H'(IRP~ , ZJ = Z,. Wt + O.
'Calyuler un polinomio de Stiefcl-Whitney de un espacio fibrado tan-
.-gente ""' sobre lR. P". utilitando ·el s iguicnt.c t O/¡ult.ado: ""' lB 1 =
= 1] e ... el 1] (véase el problema 1 de [11. parte n, § 21j).
PROBl..JU{.I; lo. Examinar h campos vocwriales lh •. . .. 1] ~ sobre
una variedad M"" (en posición genoral). Surge un «ciclo de .singularl-
·dlldes' . donde los campos 500 lineaLmente dependionl.<ls. Mostrar,
,que esto es un ciclo (mod 2) en un g rupo H~ _I (i\f", Z.,) , dual. seg ún
Pol neani. a una cl ase de S tiefel-Whitney W,,_~ +1.
E 1EMPLO 3. Consideremos uo espacio librado complejo E ..!.- B
·con fibra C~ y un grupo G ... U (n), y 109 espacios librados asociados
·de k-jalones unitarios (complejoS)!ln él E~...!- B. fibra F~ .,. V~~.
'Conocemos los grupos homotópicos (véase [1 J. parte II, § 24): •
11, (V~. JlJ= O, 1~2 (n - k) , n2( .. _~)+ 1 (~. JI)=Z,
t ,. Teo'¡. do 10$ oblt.!i~ulo. .,8
1::1 primor obstáculo pa ra construir la lI&CCión del espncio Obrado
It • ..!... B eJi un clolllent() de l'ohouJ()lo¡¡:IL!I con c()lIfic.ieules entero.s
O: .. _a< , E H' ..... ')/l · ~ (S, n: .. _:u. ., W!: a» - 11° (D . Z).
DE"I' IN IC ION Z La daso ~q se denomina telase de Cllern. (q-
"" 1, . • .• ) dol espllcio fi brado E...! B . Si B = JIu es una variedad
e!lDlpleja, ont.onCO:'s. la.!- c l lllQs de Chucn del espucio fibrado lsogenle
~ llaman c1ese~ de esta varicd ll.d . S(' IrHroducc el t polinomio de
Chorn t
o: (t) = I + el! + .. . + cqt'l + . ...
dondo l e8 u na varíablo formaL
1'ltOBLEMA I ~. DC'mO!> ltY [ Ilue para el producto de espacio! fibra-
dos (o vari8dndo~ ) e" justA lit rÚl'lUu la
o: (t) = e (1) ~ (t),
donde e, ~ lIon polinomioa dl' Chefn d a factores,
PROIlt.EMA 1&. Most rur. qlle parll un U¡,oopacio fihra do e~tá odar
'1 &obre CP" teuemos
o: (l) ""' I + c,t,
dond e r . E JI' (CP" . L ) <',. uu d omollL. ... básico.
Q Ha Unr el poli noUlio 010 Ch" rll de 1111 es pado fllll'ado tangente t
aobre C P", uliliundo II I hec ho II l' qUi:' t E9 1 - '1 m ' , . lB TI
(Idellluéstrclol . \'lIaso 111, pnrw 11 , t :M),
PROOLI!.MA u . i\foslrnr '111<' pora ",' ri ... dad('l> co mpl<'J'\'I J/~" la
clno e,. coinCide con In cnrno,;tl'risticn de Eulcr, lIa ll nr 101:1 polino·
mios do CIIBrn de l as .!I upcrfiGi ... .!I ,lo I\iem.uw .
PRODLI'-WA \8. I\(O.!l~rar í!1I;' 1'1:1 posibl(' I'('dueir " " gnopo \'s truc t ura l
<lel U (n)-espac io fi bf(lUO a SU (11) ~i. Y 561" s i, r, - O.
PRODLIlMA 11. Para un ,-",pacio fi hrodo cO lllplt"jo-conjugll.do 1
a un e~pacio fihrado ~ con hase D (VéIl8" 111 , parte JI. § 24) dl'mostrar
l. igullldad
dI, f¡--rl-t , ;)
, C~ , (~ ) = 0:" (t ),
e: •• ,ct, _ - e\ l " (~),
PRO Il LI?-MA 20 . Demostrnr que Ins clII Be.i d e Ch<'l"Il r ~. eOIl!-iuer adas
en el ~rupo I/'UI (O, R), coinCidan co n lAS defin idlls nocdiunllO (' ll/lO-
xJOMsenlos ('s paciosfibr:l(loe (vh.se 11 1. parte t I. ~ 25) B.~ to ('(',.\llla,
espec.illlml'ntl' r'dl pnrn ItI c!nse e,. De m:mf'rn qll'" 111" dnK'~, nnll~
riorml'ntl' de(inldas como c..:prl'sionoJ!l del tensor , l¡. '::1I t\'nlurJ' loros-
'"
pués dl' norll1l1l;i6nl Ücnl'1l ~¡I,)m l,re inLl\!rr;¡lt's con cocJic.íentes t'lIlllfOll
por ciclos el! e llo quicr eSllllci" ribrado.
PJlOllL ,~'~I "!J J)cmolllrur. q\l" el polinomio dI' Chcrn ('llO.! 2)
do un pSjI:tcio fibrado {'.omplcj .... i dt..finc .. 1 polinomio dt! StidC'l-
\Vi ln"y del m i$mo espacio fi budo como r CIl I.ocomo t'spacio (ibrado
r t. d.-,ndo r U una o perll.dVII d", 4matt"ri .. \lisaci6 o.. - \';; lIse 111.
pa r le 11. ~ 24.
ruF..lII'LO l. Considt' rE'lllos un O (")-cs p;,,.; ;o fibrado rl"ol f) . Es
po.-< ible ~c.ompl ,, :d fi cllr» oste csp",;;o fibrado (véase 11], p. 11 . § 24) :
'l - C1j - ,.
El espacio librado ~ ... CIl Ue"c nn "ropO' G _ U (n) y ('slá
,"utoconjug'adOJ'. E8lo signifiu que los espacio.!! fibredos t l' ¡ son
¡!!Ornorlos: , ~"' (co mprobarlo).
D&NfNlClO:-;' L,, ~ ciAses do Che rll de t - I )'c~ , ospado fibrado
comph'jo, = (. 11 .'10 duno minan da8es (arfJderfsticu~ (de Poutl' in¡¡uin)
de un ('¡¡pa60 li brado rea l '1 y !la dl'~ignnll por Pi (l¡) E 11" (8. Z).
Del isouu¡ rfismu ¡;::::; t ohtcnemo:<
Cu ro - Cu m =-- PI ( '1 ).
CZ' t I {~) =- - CU ~ I (~),
y, dehido :l ello, 2C~ f'H = O. Por toM!, no .se COn!liderll ll 1119 d Ul'S
C2 1+ 1 en el (II.!IO ren!.
PROBLlOI" u. CIIlcuJar 111.'1 dnSI:S p, (Cp" ) .
PROBLE1tIA u . Hallar JI\. clllse PI (M!,;. ) para ulIa vllr i ('d~d no
. ¡ngulll.T Jrf4 , dada en C~ por II na ecuac ión (en un dominio f¡llito
ca c: CP') de ¡ rfl.do fl.
PROIlLENA ZI. Demostrar l a coi ncidencia de IIIlI clases p , con las
dalles, defi nid llll IlIedill nt l' conoxionl's en los espac ios fibrndru¡ ("éase
11 1. parte 1 J. § 25).
PROBLl':MA 1$. Demostrar que si una "fl.riedad orientable M ,
es un borde de nna variedad orienta bl e. o sell, Al. _ aw~, entonces
P, (M' ) = O. En forma general: si 1Il ~ = aW"+I, entoucl'$ cada poli.
nomio de d imensión" dtl las c la$ell 11'., y P. es trivial (para un c~
no orien ta blo, &610 de W.,). Expre..,ar l a.'l dase9 P. (mod 2) medianw
IV.,.
§ 10. Homologlas y método. de dkulo de 101 g:rupos
homot6pkos, Teoremas de Cartan-Sene. Operaciones
cohomol6glcas. Espacios fibrados vectoriales.
r. Noci6n de operación cohom .. l6giea. Ejemplos
E¡.o mil}' dateil el problema dI.' cálculo de 10.'1 grupo! hOIl,lotó.
picos ele variodlldes y de compl ejo.'l finito .... Este problemll es ¡nso,
lubl (> olgorltnllca mllnte en el mlill fue rte sentido de la lógica mllto-
militA por .. Jos cO "'I,I ",jo$ uo O"Oll l":':019 ~i mpl llmO llle. ,tol l/l r un grupo
"',8['1,;11 &obre lod os Ir,:;: " " l"c l,, ~o pnrn un CASO rn{.s IlUportil n ll!
Y- s i mpl u do los CQtJl pl f' j ,,¡¡ "impl c nw nl.c (Hlt'lOS {por ('jcnJplo. e&fe-
fu I (" cAlc ul o concreto de los grullos h O!llowpicos ~s"l l" un pro-
blcnllt muy d¡([dl, 110 rt'Sltc!to. t os uuaodo.'l geolnEÍtrkos d ircc ' us
"t-,m ito l) o}¡wner IllgwlO!I J'ellll!t flllo!l 3Obro los gruPtl.!l h omoló piC08
(l'éIlSO 111. pllrle 11 ) (; 11 Ci .!I"lu" CI150.' j)ll rticul ol't.,s. Se cOlIs igut' forrnul6r
métodolJ rl"gnhHlls do rii klllo d u .gr"pos h Ofll olópi,'o,¡ bll ~illtdoS(> en la
looríll homológica do lo~ l'S pD.C;O~ ¡i hrA,h.l1l junto con ill ll'orío do las
homol opílll!. fo r mulodas mlÍ .~ IItribo . Mos lrlu"tlmos nqul UII modo d e
Obloller inforlllll<:iú ll sobrl' I ~ , ~ 1'0 r les infinllas ,te grupo..~ homot6-
picos JI. (K ) ® Q, donde ID es .,1 ca lnVf' do los m.i meroll rae ionalell
pllrA 106 ctHnp l ('jo~ s im pleme"lo tonexo!. 10 qllt! ya file O)(OminllOdo
pa~i¡\lmenltl en 105 problemo" del § 8 . No re mOll que e l mi lcu lo d e la
par te (i" ita (tors ión) dl'_ 11l.~ g rupos J,omot6 pieo.'! :t i (K) . cumo se ye'"
mil ,. .. J¡3JU. l'.'dee ,lp.<;nrrolJ ar ",ó lod",. i.lcoolpa.rn bll'men lc más eum-
pIejo.'!. LfI bllse .1 .. lodus J v~ ma'"l( lo:¡ Il lgebraic<I!S para I.'Okll lflr los
gruJlf'l~ homotó picol!. snl."" yo rU rm\l llIda. \('o ri A lit' In!" homolugíu.
!!fin I!I~ 1 11\1II0 rl A~. oopo>rAdOlOl'" .. oJ¡om()l(¡g¡(Bs~. l'll ¡[('<'ir, f1 Jllic;teio-
nes 9: lIq (K.. L: GI) _ " /' IK. l.; G~). que lilmen las l.' igllitm lCS
propiedadl'!;
o) LII n l)Ji ~ación O l'stá d l' fiuld a p~rll tndos los cmnplf'j ul:! K. fJ
y es Iolllllo tó p kll lllenlc il\\"Iui o lll l';
lo) In II plielleio u e es ~""lura h (otros 11Ír'ninos ~O ll . run eludHl t
o ~·o '· Mill n te.); ... 11 10 s igu ifio":' q ue 1'11" con lll\,tlt CIlO "pliendon ¡·., con-
tinu"" ,: (K. L)_(K. L') A,· ..... '.&.
El lIlII'I.o 1 a {r} = .:r"'. uOIIII" .r. E IIq (K . L: G,). Aquí p ...", mq.
Par/l G. , Gl _ Z p' d onde m _ p es Ull núm~ro primo, len{'mo~
O (z + U) .... .:r." + y". 1) P.z} = 1.0 (:¡o). ya que}.J' ~ ).. En ""le caSI>
e "', ,m il upl ir.nc: ión litwnl. Paro el I":A mpO rncioOlIl 4;l = G, __ e,
la npli .. "ción a no \'11 un ]¡nnlOffiorrillnlO.
1t.I E~IPJ.o ~ fI (x) ... - b. (.1") . dandi' .r E Hq ( K . l.; Z , ,). ti. 1-'") E
E IW' (1<.. ' J; Zp ).
Ln df'rini d ón d ... 1 h omnmorfis ml) ,s .. ru" rl ad n 1m d § 3: s ; 1,1 clo-
m<lll1" .r. !!'II re pl" .. >lot·"to por IHUI l"<,,;ad llnn ("on ,~oef;"'I·"I (,1I ",,1"'<0.'
i E e" (A'. L; ;:) , .r = ; .no ll p . l"lII OIIl."ell t).:r "'"' ( ~t.~ ) ,uvl l .. I" p.
SI' titllW un o g ... . u .. raliz f!o: ión nnlurnl .s I ' ti, . . < • • ti ,. tI, · "" ""mu-
modism(l 6, _ 6.: .~ i ;c f l(.'r ti • . (> S('II. In <'0(11 (1.'11>< (+. ,~;. ) m(,tI ,>
tS COI'OOloló,, ;cn " t: l·ro . 1,"ton<'W!. 1.. ti;' "'" I'U t.~ I'o>r ('1'" 1,,,1(, ,
d\l[in i,¡n In rel" .. ión
y (modp) ,,- 1i1 (x) _ - _ (i.l" -/'I:z; . - ' ( , , l' l ' /
,.
1'llnnLU'" I Verlfico r (lile 62 es un J¡ o mO"lorf¡~ ruo correctamente
tlc! inio..I<>
IlQ (K, L: Zp)C: Ki.'r61~Hq" ' ( K , L¡ l p)/Itn 6 ..
quo con mll\';l C<ln l a.!) 1I!I!ica., lones cOl1linn(l~ , o soa. r6~ "'" fJ,,",
Const rui r, por nnalog;a. homomorfismos s uperiores
6. ; n Ker ll, ...... HO" I/ U Iro 6,.
,< l .... l
lh.I bom.omorfisw(ls 6_. ~ i k ;;> 2, no oS lán t1 ennidos por Juqll ¡~ r
y BO Il lnultiforme~, Vor eso e ellos !le lu~ Usmu úp,m,ciune.s coholllolll-
¡:iclIs .. superiore~ o .. parciales., El ,'alor ole l('Is horunmorfismos 6_
"s el aigll.iente; si conocemos la es lrLI ~ ~urn di! U· (f(. L; .i p ) Y l.
acción de los operadores 6 ... . enlouoos pod" mos ro<;onSlCUlr un grupo
de co ltomologí n.~ oon u\)()licientcs cn L~rolJ JI. (K. L ; Z)/l'". dond ..
r Jl es une pRr Le poriódice del orden , primo~ uuLre si c.on p .
pRl)eLIIMA 2. El nútl!eo dc lodos lo;; 6h soloro H· (X; Z ) es 111
resu lt.:ldo de la redllcclón del mod p . Ie tltl grupo con c.ooflcien lOl
ellleros H· (K ; Z ),
"1\081.&"" 1. S i '" - 6_/1 )' x#. bq ; cuando !J < k, enlone ..... el
elumf'uto x rcpl'('senla IIn cl"mento gt"MruLri ~ ; E H· ( K; L ) de
or!lCll pl.
Dl\ I)Ste modo. el cOlloci miolllo ti" los opuradores 6~ para todo!
los p CII l aM (·ollOmol o¡¡:í n.s lJ· (X; Z ,,) (o un las ¡Ioroologías 11. (K ; Z ,),
!londe están conjugada! I!. los cohomoló¡::icas) pClrmilu rI'lC01\ ~Lruir lps
/lo/llologíall y cohomologías con coeficientes c.ll t-cros,
Los opeutlores 3 .. l ienen la." si!{uicIIWs Inopi ... dades:
a) tJ~t.á n ¡Jpfjnidos en todo:! los grupos Ht para todos los q (o en
$U' sub¡rupos) y son homumo..r ismos;
b) w nmula n con un homomorfi~mo ti ,le la sucesión exacle (Iel
par (!comprobarlo!)
• Hq(K, L¡ Z,,)_Il" I (K, L; Z,,) . 6611 - 6_6.
Si k _ 1. la oporacl6n 6" =- Ii. Muí. duH oiua por doquier y 011 uní-
voca.
DeF INICióN l. Las operaci ones O. que t ienen IRs propiodedell a)
y b) se llaman U!stabl es • .
La cllusa principal , que (acU ila los eálculu.s de II;IlI grupos horno-
l6pl.;o.~ n, (k) ® Q. os lA aus¡>nc ia de operacion6.!l cohomol6¡icll.s no
t riviples (quo no 50 redueOl1 11 UIII!. opereción de elevllc i6n 11. potencia)
'en 1:.. c.úho lnologÍlls rac lonllles ¡¡- ( ; Q) (asto I!8rá demo.\l t redo mAl
Ilba jo). LIl úniclI opl'rnci6n eohomológica , establa t en las cohomolo-
g{aa Tllcionllles (Teflle ~. complcjns) es 111 de multlplíClLdón por un
n(hnoro (&.!\caillr):
O(x ) _ '.%: II ~ ...... I/o'
S lO, C4i lcu to d . grupa. ho ..... lóp tcO> 11 7
El {'J. 'mplo d el opcrlHlur ll .. mm·lllrH. {\l1e Jm' ('ohumo!oglnll
lJ- ( : Z l') lient.-n o J)f'r3c1oHe,~ cúllomológiclls \'.; l llblcs !la trivinlcs,
Sin rlt'<nos t:rllción . ín diquClool'I lJ ,m h a}' nlllcJ,m< opcr¡.ciOIWs n t nbll',"
no tr i\'[a lclI en lAS roho mologÍll lj de m6(l u lo p ( véas<> 1.0\5 1).
TEO'H:M ... , (S t l'""rnd) , t) St'II, l' ,.. 2, Pllrll cuo lr¡lder mime,.o
~~ O .~" tje ne una operarlljll roluJmológu~a, t'slr~bw O. deS'{;fIIldll, pv"
Sg', que da un }iOm()m ()rli ,~ nw
Sq' : ¡¡'l /K , L: Z :)_Il<h 1 (K. L: ¿ :l
f)fJra todos lel q. lA operaciÓn S(l t une lall IIlgl.l.ienl( ,f pro/,tt'dades
1) Sq' (~) - O. s i 11 < 1:
1.0) Slt"", t ;
el Sq ' (x) _ ":.g _ i :
di S'1" (xYI = l' S1 (7) Sq~ iy) :
; ¡' . - I
f.'} SI, I ( X I = Ó"x.
2 ) S.'a p> 2. Poro CIA.tfl'1u1cr t ;;:, O I'~t';'l dr!I ,.td,J¡; l a.' " ['{'I·(I,.
cion('s nlubi('s St~
St;': JJ ~ (K. l . :: L ,,) _/lh2'tJ- I) {K. ,J ; Z ,.)
taltl , (JIU
~) St~ l.') = O. q<21;
bJ Stt- I:
e¡ St~ lr) ~ r'. q = 21:
dI St~ (xy) _ L; SI~ (.rJ St~ (.9) .
..... ; - .
Tndos las op..'racio ,,~ t·s tAlole .. !liJ.I'XprCS~lh 1101' mQtho d (> pr,,(/uclus
(supprJlos lrión) ele o perad(l TlO:'~ t1 ~ S l eon rotl (l'S un tl.'ORHna dí ríc il ),
!in), iJ. l1 lre ,,-!las re/aci o nes ulgl· l, rai..:¡¡::¡ llO triv ioif.'::¡: como"", I,,:.I/l r;oo,;
miis n¡l\· llll,Lo. todn ('s lo est.,.uc lurn crea un p f<)C~O co mplicndo p¡lrll
ca lcula\' In porte fi nit lt d I' Jos g"u po~ homolópiros . No temos, IIUO lu
mas ,~imp l l.' i1 u,~ tracj 6n doJ Inl empIco es In CSI"Ul' ! ur" dI' un "omph'jo
bic",IIlIRr: el (o lemflIlL', :c E Ilk"' ~ (S~) d e. r'llll "" {·,,,,"'pJ"jn hi,' ,·I"lR l'
f(,, = iY'·q+· U .. s~
l n l. que
fI ~ (K ;< : a, ) - O ,. II h >hl (K.,: (.' 2l ·~ C:
(que tOI"Dwn , eorn's po rttlo onte mc"l'l' , : y /1 ') . » 'H'" \, 1 r" .~o q ....: 1/.
k + fJ....L.. 1 -_ 2n. l'slu compl['jo .!lC' exnmÍlló [' TI «) § 7.
1 9 MA l. Si se IUIl/a ¡¡na oper(J.c tJlI cO/¡ (. /II ol,í t;(ca " " I r/ujol
O : Jiq ( ; r; ,) ->- [Jg~~ .. J ( : (;~ ) 1/1 J. q uo 1) (z) + O. el/fol/res d .. /emell (11
:r.,.0. (¡ .. "de ,¡r E n.""(S"I),
n.
ll a)lU~-rJ, ,\I ():;. El ti l'O IlOlIIo lúl,i t u d I,) 1111 eom pll·j .. K" [»I r"
~;= U lieul' Jonn ll do ramo K ~ _ S~. t· ·V S ' , Cun~ it.l.,n>mo'!' 1 .. "¡I,[ j •
•
" Iwión K~ __ SI, idén tico I' IL uu ,.,OlU llIlI.lO S'I y q uc !fI ~'~'OCIll ,-[
Nlgund" S~·~+ l en un [lIlIll"_ P ursl,} qUtl SI -=: K~, I,·n~", ... l' \ln~
" proy<,ccióu K,,-K,. tul, qlltl
:t* = ! : JJ ~ _ l1 v , :\*= I I : H 1. ~ ~I _Hq ... ~ + I .
J' ut'oll lo '1001 HIn",) """ 1\*0 {;). ¡lOr dt·lilll<;¡{m ti" "!k-rac Ión l:olo<l 'llo I6·
a:ir ~" tl' lU' mus 'l lIl' O ... O (n *, ) = U (z) . [':1 ¡,-,mo qUI·da dl'lllO!'t rado.
!Jn t' j e lllptll ' rJ Vi .l l : q = 11 . ..l, l'olI !J, JIIll lL ilJlkar iúlJ pur 1.' E Z "'"
"..: JI " (8"); U = ó.; H'~ (K; :r~) --. JJ" ~ 1 tK: Z . ).
JI . Compll'jos dll E ulcnlocrg- J\lacL.a lle r Opt' rn tlolles.
)"11 illlrod"ji",u.<; .C,O IlIl)I IIJn~ ,1(, E"I"ld)(· .. ¡:- ;\hu:I .. I\""~ K IIJ. /1 )
-= A IDlt·~. q uo
:t,,{K) _ D. :1¡(A I = O. j:¡l: n
(\'énsc ,'1 § '.») . 'fom"IIIQ" ~O IllU un "ed lu ' l tI.· Lltl..,$ cO lllploJo.s t' l.:¡ I<: '1
(nlll~ '''51) pato. lodos los (D . '11)' qllo s., .. n ·¡"lnrl'll () homol lÍ p' ~I'
IIHlIIl e t'q ui vII1"nl\'¡c o. ellos.
I ~~ .'dd" nl (. l u ~iGuicnte;
K (D, x D 2 • '1) = K (V , . 11) X K (D • . ,,),
Q (K (D, 11) = K (D , 11 _ 1).
8f"Ct i\"I,l!lt'OIIl(l . u t il icemos 111 ~ igHJ (l utc iguHl dlld (\'Óo ~u / 11
pll ...... ' 11 , § 24); 11. ) (Q (X) =- :'1, •• ( X ) .
1'11' 110 1"¡{lIr el s i¡:uianLt>
TOOtlt:JIl'" l _ Pura t' ltn lq,'lcr rom pl,,¡Q C't'lll lnr X la d a.", IWlll v/Óp'CII
de /(1 upllC/Júún. ! : X _ K. (U . n ) "'$ d"'jllllWI roml'lelnmell lt' ¡>o,' t'/erla
tl~I/UI!/ID /Úllln gru.po ck ColUJ/1WWKíus .r E 11" ( X : O): e ;, JUSIO ('1 iso-
morfismo c¡¡ nón ico IX; K (D. n)l ::::::: /1" (X: DJ.
---¡)'itMOS'l'II..\CTON. ,. ) Se" d odll una ,:ocMlcna i' E e" (X; D). J)1<1Il~
lo o ¡,lkll('ión del armllz6n Xn-~ en un punl o. Demos lo apllcllc-iÍ!n en
e l a r OUlU)1I X" ,.s i; n un a célulll o" e S " le corrollpolldl! un .,10ffiOIlW
;(0" ) E n~ (K (D, nI) _ D . La rmnltlro. dO")'" . ,,~ l¡\ aplicad o e n un
pun lo. Apliq u¡'ffio! lo dlulll on _ K (D . 11) en (·ofleordll.ndR eon el
ol f' IIJ(' Jllo ; (on) dt> n .. (K (D. n)). P m IO/lltut'm 09 la aplicación el!
un arma.zó .. X n tl . ESle e.!! po~iblc si. l ' só lo s i. 6i = O (VéRSO d § O).
En tlddllUlo. s npuncmos por illuu.;dóu . que en e l ormazón X··ul
yA I!stá conslruida la aplicación 1: X',,,'' _ K (D. n). Yo II U$
nI ( K (D , 11) = O CUA /ldo ; =F 11. l,1 ohstáculo pata pro l oll~,.r Ji
"pli.;"cióll t es igunl a Cl: ro, y prol o Jl i:nm Ol:! l as IIplicaciollcs j)or los
flr lll azone~ so hre Lodo:!! Jos X.
, l O, C'lculo do g.upo. homolóp;eo. H'
b) Sl'an dadas dos aplicaciones ¡: X _ K, g: X _ K, construi-
d"$ po r .tOl! ciclos coh omológicol! ,:, x, x - :: - Ó!J; es POOill lo, e n
concordancia con e l § ~ trollsformar la aplicación ¡ en e l armazón
de dJme nsión n - -t d t' tol modo, q ue -;: -x _ 6y, Después ollten-
dremos x """ ;: So deduco de In igull l dlld d e ~odos Jos grupos 1IJ (K)
¡Íl.ra j > n, quo la~ apliC¡I.(~.ionl's sou b omolópicas,
El teoroma 2 qUl;'dll dt'mostrado.
TEQREMA 3, El conJu.nto de todas las Opf!r(lcíones coho/Jw l6glCus
A: H" (JI, L; D) _ H I> (.i'll. L; G) estrí en correspondencia natural
reclproramell te un''''Oca con ws elementos del grupo HP (K; G) =
=}fJ' (K (D. nI; G).
O!o ~I()S-r 'lACIÓN . Con:!ideremos un elemen to «can6nko~ u E: '
EH" fK (D , n ) ; D I. que se ,h'fine Asi: por 01 looreIDII d o Hurcwlcz
t&n&mo:s que H " (K (D. /1), Z) = n" = D. Luego, H~ (K; GI ) =
... Rom (D. G. ), dond" H o m (D. GIl :son llOmomoI"fi5wos de un
gruJXl abeliQllo D en G I . S i D = G, . entonces en un conjunto
Hom (D. D) so tiene un el únHJlllO ~ utl i dad. u E HOIll (D, D J o sea,
un l ... mo mor fismo idélltico. Dl' la demostración dl'l teorema 2, vom os,
qUI' la cO\"J"e;spo mlc lIcill JI" (X. D) ~ IX , KI so es lllb]¡,c.(' lisí: s i ('stá
dada In aplic ac ión 1, ('nl.ofln,g
If)- r(u) EH "{X¡ D ).
Dl'moslremos {'l \.(oOl'tlma 3. Si ;se da la Opl'I'II~ióJl col,o Hlológica 6.
entoncE';S '1111' da definido el ('J(!monlo ti (Il) E 11" (K; G). 'l 'tm.'r!los la
corresp'Hldondn O ...... f) (u).
S"lln dado~ e l e ll' Ill('nto U (u) E IlP (K¡ G¡ Y cual'luicf comple-
jo X. F ijamos el elemento :ro E FIn (X; D). E n vi r tud d,,1 teorema 2
t.Ememos lmll Q¡>licaci6n 1: X - R, flonde ¡*/j =:ro. S np(' llemos. que
a (x) = o U*u) = ,*0 (u.). Cl Leo rema 3 qued :, dl'lnu~lmdo .
TF.ORElI A lo . P nra cuu tquier grllpo ubdiano ¡inHumente enger!dratk
V el alllllo de cohomolog¡as 11*(/( (D, nI; Q) e8 un úlgeora ollli.con-
mutatil'tl, e"Kfmdrmla pur 1,(8 gef!cmlri.:es tk U f! espuc¡') lineal D* =
= H ow (D, IQ) = H " ( K ; V) .
D~;~IO:;TnAClO". El g r Ullo D l'oS una :l uma dired ll d(' ¡liS gr upo.!. dd i-
tos D = Z X . .. X 1': x: Z"" x: Z "" X Demos tremos
fthora parQ D = Z "" que ff'l (/( (D, n); Q) = O. q > O. Para
K "'" f{ (D; 1) ""s to fil O;- p.s tableci rlo ('11 el § \J. yn qm.'
K (D, i) = S""/Z", = L~v - I ( 1, ., .• 1) . ¡V _ al .
Sea que esto ya está de mostrado pa ra p < I~ .
Consideremos el espacio libra do de Serro.
E ___ f{ (D, n), F = K (l). n - 1) ,
'"
C.p. 1. Rec"t •• d.1 <~Iculo el .. homolog'.'
JI} (E) = O. 1> Q. De la sncesión espl'Gtnl eD las cohornologías
JI. (; {,) !.eno:-/llOS E~,q = 0, si q> 0, EI'o = H~ (JJ; <1:;'). Por
eso tooos los d~ .... O con r ~ 2 Y E:',o = Eg,o - H9 CE; 1[;) _ O.
Por oso EV = Hq (O) - Hq (K (D. n» = Q. Para D = Z",. y por
eso pllr8 D = Z .. , x. . X Z"'4 l ~nemos Hq (K (D, 11); 10) = O
para !.odas los q > O.
Sea D = Z. Consideremos un espacio librado do ~crfe. supo-
niendo por inducción . que el teorema eslG demost rado para todo~
los p < n. Tenemos dos casos:
a) JI os par, H* (K (D. 11 - 1); J'\l) = A 111,, _¡];
b) n es impar, H" (K (D. n - 1); (,1 ) '.c ~j {u,,_,J.
Debemos deducir de esto y de lo condición llq (E; 10) =- O con
q> O. que In sucesión espe-ctral tieno;) una de las dos formas siguien-
,,"
(.
.-, I I
dt~ (l, 1> 2, ¡"",n:
, O
"
O ,,' d,, ¡u)= .. : dn (")=O.
O O
.) I O , " .'
I O •
h)
d i - O, 1;' 2, 1+";
"'-2 . ' ,'. d" (ul=v, d,,(~)=O .
O
0- ' ,
"'
O
Aquí se utiliza sustancialmente la. multiplicación c.ohomo!ógicR ólU
l a sucesión espólctra.l. Después el resultado necesario ya ca.si e~tf,
evidente de Ia.s tllblss indicada.s, ya que en ambos casos tenemos
E1M "" O pua todos los p, q.
",
Como D .. ZX ... xZxz...,x
dllmost~ado.
x Z .... 01 h>oJ'o;>mn 4 qued a-
111 . Ctikulo de 108 g rullos hODLOlópicOB n i oS' Q
TEOIlI'aIA 11. (Cllrtll.n-&rr ('), S~a que 1m (l/dUo de cohom()kiIÚJ~
tk WI ellpacfo simp~n&ente cont .l"O (4 homot6plaJlnt'nle 8i/1lp~) X sobt"(
Q hils lo l4 dlmtll$1611 k es IJ<I/1WIfo 11 Un á lgebra libre IlII f icanmu la,tlva
COI! fentralrict!1I librts ~J E fJ<t.f (X: Q ) , donde (,tJ < k. EfII.:JllI:el. Ion
Judas las stgulentu allrmncfOIl':S:
11) tt Mmomo,-/ismo de lIU,..,wu::
H: n I (X) 0 Q _ Jl 1 eX: 10)
tiene un nlidea nulo pa'" ¡t\cW! 10$ I < l. - 1.
b) la tmagm H (n, (Xl @ Q ) tU'/lt! un prorludll elealar nulo to_'~
todo, /os elonmtos :r; E l/- (X; l;' j. fes q/U r e dUC(Jmpcr,tn /la fr(vi(ll-
m~mlt tn 101 prodll<'lo, ;t ,.,. JlZ, d¡'g JI > O. dl'g : > O.
('.) el grupo n i ¡X) 0 ~ ti ¡,omollo (ron/ugado) .. 1111 factor
Hl ex; O)/I'. MIl/k r 11' com!xme exoctam/'llte de todos lo, tlemenlo~
dacompo1libl#:: no tr ivia l lll"lIlt' ell tl produdQ, I < /: - 1.
DU IOSTRA C,¡ON. En ";rtn¡[ dl<1 ló'orem/l 4 ~~ justa n u~!:!Lr~ a firma-
cIón va ra tos comph .. jo~ K (O, 11), Y por lo 1111110. ¡mea cu~ lesq tli er/l
prodtl(loll d;~dos (/Iqul l.- ~ ~):
1( _ K (DI' a , ) X K (IJ •• 0:.0;.) X K (1)). 'l .) Y . , .. (*¡
a l < -:l . < (la < ' ,
,
OOIOOS una aplic llcl6 1l X __ R. don rle ¡.: C'i' lá nm~'ruido C'n fo ....
ma (" ) parll un juegn del ¡ ,,~ :;rll pt.>!I abctiano>l li bre, 0 1 d(" los r nngos ,
ig"'/II t!! ¡o l númcro do ~nl:'rnlr¡ c(·., ¡¡bn'~ ZJ t' n In d ;"u' n~¡.sn«¡, En
vir t ud d .. t ~(lorcmll 2 101l'lInl~ UU/I ft l ,l icllc1ÚU I 111 1. que 1''': JI" x
X (1( ; 11;') _ 11* (X; '1,.) es un i~omorrjs l/Ju Ion ~ta 111 climl'n!¡ó n l • .
MgÚIl f'on dlciom,'S dld l ('ON'mll. En concordancill ~()n el pf'Ocodimil.'oll,
ind ic~dn CII e l § 8. Lr/lll , lorm",mos In nptk/ll'ioll I f'll 11 11 ,-S[,/I<'iO (,-
brado/ : X_K. 111 (¡[¡rlt 1.' . rlundl' X' ('s 1u."nol ú l"(I,me"h' t'!Jl1 ¡\,n-
Ir nl(' (\ X.
Pu('s to qU I! 1" 1:',> un ' '''o lllorriSfl1r, en lI i l/l" II ... "m<'1> n"~llo r "I1It' ~.
$O deduce de lit sucesión es t)O.<e ~r {\ 1 de es l!' E'~pHci(l h l, r.ldo ¡1II".·d i~ll\
menl.(o: 1/ . (F; Q) _ O l'll dimell~iQn("s m,'non'"" ¡IUE' ", - 1. Pllr"
X ~ ill1vj¡lm l' nh' c,cr1t'_\JJ~ l'" p,,~i b l ... wons idt'rn ,' . 'ji" ! d grllpo Ú, IICI-
es n l,dilt ll" li bro . ..,. i' lo '1100 ( ' o¡,,~ ¡'lo !'xllclnml'nr,- CO l1 el priUler gruplo
homOl,ipicn 110 lri,' jlll d ú-J CO Ollllejo X. I'or~!f()" Ni 1In isumorriSI!l ('
NI UU ,,)'Upo:t~ (XI __ 't f (K). A~L t.endr<'mo! ni 11") .... 0 , de lit IIUCC-
.ió" (':\ 110,.(11 de "5,,:' '';0 filmtdo (v":;aw 111 . pnfl" 11. ~ 22).
L"~!A S. ["S evhvllw/.,gi(IS ti" U'; ~~,) de un e~p"do simplemente
com.',r() r SOl< Iri ¡;i" u>S ,"i)I, q < k - 1. I!"fltotlces :t i (F) 0 Q ~ O
(Q/I,<I.- 1-
DlD"')~1'nAG!ÓN llEL LEMA. POl" el leorema de Hurewk.7, ,,1 primer
gru l'O n" tri"ial n,. , (p¡ I'S fin;\..(! . Co nsidl'remU$ lI nl) nplicllción
(csp"eio fjll r~do) /; It_ K (n" , W). 2) con rib ra F3' P ucil lo que
]{. lA: (n ". (F). 2); '1;1) = O, ¡II' la I<,wl'sióll {lSp~tral m~ulLEI que
ll'" (F,: !!,) -= JI. (1"; Q). 0 >11 í1!:1 lv, el espacio p. ya tieno un :;rupo
nulo :1 ... , (F., ) '""' o. :t j (P,) = O. j ~ '.:l., PM i nducc ión. rl'dudmos
el " ' Ill ~ ,, 1 LpQTI'mn n,rl' i",ot..., d,\ H ur",,,,i(" ·¿. El loma queda (lclfIos-
t ra ,lo.
!J/;.)¡')~'I'n ... CI(\,'I DP.L TI:ORE!o\A OE C .. \RTM": _ ~I!RRE D QI lvtu ll obl .. -
o(>])'u", qll C' JI( (F) ® ¡, :". O P" I":\ túllus los i < k-lo El Il'On- ma
soh ..... pI i.~Olll<Jrf;S IlIO d ~ los grllro~ 11 . IX) ® Q ~:t ( (K) ® ~~ se
dedll .. e Hhol':' de l •• ~\lce.~ió n e\".Uf :" d,' I n~ jj'rll l'OlI hU'llotól¡;" "~ <.le un
eSJ!lIc ¡tI r'¡,r'ldo.
CO/lOLATIlO 1, I'tln<c'wlquiU gru/,,, de Lle ~'tJlI "0 lt-Idall'S ws grufJns
JIO/lu.fÚplro., 11, (G) ® ~ s6w con, ,' :!.q - I Impare$. y correspondell
eX(ld(lIl1c" I,' a lf"l$ gellcrafrice¡¡ I ¡bl'('.< rl~ 1 (/Ir U/u 11* (G: IQ)
= A l;f , ~ ... _, .rj~ l .
';0 1101. ,\1\10 2. P UJ'{¡ al/U I!sjera S', '''''~iII U$
ti = ~k: JI " (S") 0 iQ = Q. ,1~" -1 r,)" ") 18> Q = Q.
!tI (S") ® Q = ,). ;'-'" / 1, 211 - 1.
II '~ 2k + t : JI" (S '1 ® '0=O,
nl(S" 10 ,¡J-= 0 , j..,o.l/.
De In dl'JUosl rttd6 11 del corulllr 'o :! M' ,ledll"l' d,-,l s i!fuknte he<:\,o
("é/l~l' (l l § 7):
1l.(Q (S~) 10) - IQ [";n-tl. 1I = 2k + 1,
• Alxn_d ® oQ IXh_tl. 11 _ 2k,
COROLARIO 3. Si X es a l l compk ja (,1 - 1)-ro" .. .l'O (o ~ea, nI (X ) = O
p;:tra j < 11). entonces paJ-a todos ws g"ul'n~' Ilq (Xl para IJ < 2n - 1 ,
knl!/MS .. 1 iso/ll.t/rflsnw
H: nq (X) 081 Q _llq (X) ® Q.
La demostraci6n se "-,duce HI I,echo de que los productos de cobo-
mologias pUl'den s urgir sólo en 111 dH(wMión 2n. P OI." eso 01 anillo
f{* (X; Q) p~rl\ un complojo (n - t)-<:On/lXO eS siompre libre, has ta
la dimensión 2n _ L
PRODLi:MA 4. Cnkll lar los grupos homotópicos de los ra mos de
esfl'ras S~ V Si , JI / (S~ V sq) 081 ~,
B IL todos 105 casos. el cálcu lo de 1011 grupos n I (X ) 0 Q para los
.complejos simplt'lllcnte conexos ¡jt\ reduce ,,1 ('"&lculo de IlIs homolo-
i 10. C~lcu lo de grupo< hornolópko. .o,
l íes nlc ;ollslos 1/" (fJ (X) ; ~.,. ya que C-SIC An.lllo llI\ 1111 álgtl brA AltU·
eOIl IlHII Ali\' 1I li b('(' , 011 \' inuu del § j .
I,;f'ollQ LAl<lQ , _ SI X I ¡cnt Un tipo hrnnolÓplco d~ 1m J/-~¡;pneio ha,la
la dimi' /I.d6,/ N. entoneN! JI" (X : Q) <!fl u.n úlgt'bra li¡'r~ IU/1,to 16 di·
mnwólI N - 1 Y llene lll gar l'l I~ omoi'lt~mo
(~ :l'(XHH.:·r = ~ H 1 (X i Q)/f ,
I ';;.\ _~ I';;S _ t
(](JI/tU: r ~Ol/:¡t¡¿ dr W<VI~' [<Ir e1cmc'llcn d~:l(Umporllblc. ( 11 produclcs no
t"¡I)I!II~.~ y ,1Ie t'I; "lO espoe¡<1 (íllllUgada <1 .1(.
IV . Apliclld6n a hUi f'spllcins rJbrados n !ctorIRlu. CJIl5eS
earl'l<:kríatlcl'ls.
Consi dere mos ufln npliClIciÓ II os l.urnl G~ .. v X GI.", •
•
.... G~ .. l .• V+M' eng",ndrndll por ulla lI umn dl rocta de_ lo!!! e.~pncins
Illlcu lt's . Aquí C •. N ''>1 "I) ~ de 1"8 ,-nri¡o.On,ll'S .I{' Grll.'Il! IIl$UII r", nld.
complejas y cua lerlfi M. CtlAnd" .\' _ oo. ,\/ _ oo. " htendremos 111
lI pli l' (O' Ión
• r. .... '< G, .... _ C. _l . ""
1,1 (\'I,;Il~ 11/ . l)IIrte 11 . j 2-1)
• BG~ X HG¡ ....... B (G~ ./1,
Ilonlle I)G~ es un es pflcio d ,l .• if¡cltdor (uni\"Il/'iltl I) ,Id g"lIP" G" r G.
<'S lino,) 01> los grupos O (,,) . SO (,,) . 1../ (n) . S" tIIl . Ahor~ lIo le!l',1". qUf).
stgulI 11)8 Imul ladn.'l ll J. pltr l<.' 11 . ~ :2<\. COI! l'lIrltj~'!' O /n ' .:: O (,) .L. IJ .
SO (n ) c: SO (n -j- t I . U ('1) e t (n + 1). Sp (n) e Sp (u -1 1), ~ I
ti po homo tó pko t..--e I<llt nhilh".: ",,,act.1 m{'u lt! l's lo lI iJl ll it.,·a . 11''':' para
cuolq,,¡f: r t:omph,jo X ,II! rl i mclI~¡ó" <N h/l r un ¡Mlllorf,S,"/) de
('ln5j!! homotópi,·_lts ,hl IlfJli<"r ... io tl8.'i IX. Hel
l,\' . n~ .... - IX, GH , .. J,
dond,' ;\' .'. k Jl ~ r n G -= O (n). SO (n) ,
N "", 2k VlIr/1 G ..... U ("l. S I) ("l .
N = 4~' p"rll. O = Sp (11).
H abl nlldo cn r il:or . C II !t I. pnrw 1I , t 24. (>$to fu", demostrado pl\rll
I X, GI. Plle~L., f["e n , (G) ..,., n>-tl (80). dI" lit ig" a1,l:ld ni (e •. G.)
_ U p >l ra UIl enrAjl) Id{' :;: r upoJ G~ c: (;, !(' dedurtl
n ¡..{BG" 8GI) ~O
por ll Ins mis mos "R lorell d I) 1. P or cso ... 1 onca je BG , -'- BC. pn rD 10i
parl~' indicAdo!' (G, . G. ) 1"~ IRb i J iz8 el tipo hOlllo tópiCQ.
C.p. l. Recet •• del cálculo de homo log l.~
Es posi Ll o mtrodu¡;ir un oIí mlt,·. G .. _ U. SO. u. se. S I' .
O=][m O(1) c:O f2I c . .. COCV¡C
.~-""
SO.=limSO (t) cSO(2Jc: .. . cSO(.lV)C .,
N_""
U = lhn U\ I )cU(.::!)C . . . c:L'(.\"/C
.~'-..,
SU _ línl SU( I¡ cSU(2)c .. c::SU(N)c:
S~ ....
5p = Iírn Sp(1) c::: Sp(2/ c . . ' c: Spf¡Y) C. .. .
~'- ...
Pllrll I(lS gru pos C " los ¡·sp.lcios l"li,crs¡¡),' .~ HG .... yo s{)n JI-csp:lriQs
G~ " C ... - ... C; ... (~ lnnll Uil"t<'1..'l).
,
80 BO -... JiU.
,
NSO ;< RSO ....... nS(}.
,
m i ·< B U ...... 1JC.
BSU X BSL' ..!. use ,
• BS!, ? 8S"_85,,,
dondl, '" plIJX'1 de _unidlld dp j{-t.'spacio, x" E EG", 10 dcsempcilll
cUlIlqllicr punlo fij ¡¡ do (¡vcrHí queMI). I·:s Jlo.~i hlfl decir d e olr¡¡ ¡n¡¡-
nera: (·1 /JO (n) li(\ne UIl tipo h"llIoI6I'j~o d.! "l-espacio has t a la di-
mensión N = n. el ESO (11). ¡Hlsta X ""'" 1/: el HU (n) y el ESU (n),
hasta la dim{'nsióll N = 211; el nSp(n), h"st~ 11[ dim'."'lIlón ¡\' '"'" 4". J\ lás
adelanle (vlíaso § 25) !SO mostrará. 'Iue BU.el Q (U). OSI' e!:
2:: Q «(1 (Q (SOJ)). liSO ~ Q (U (L1 (S,,)) .
Conocemos l o~ f'n ill os 11· (G. ~) pnra C "''' SO, U. SU. Sp.
véase. § 7 . Do llianera qu€'. en virtud dol loon' mil de Carlan - S€'rn',
~onQCOtn08 los grupos n, (G) ® ~: , \"f-R l"le pi corolildo t m il I< IIrrilw .
De o:;lc modo. los grupos ni "1-1 (J!G) €o ~ ""'" :'1¡ (G) 0 ~ son tumbitl.11
conocidos pArn "esotro:;. Al tnismo t'€'mpo . l a Iwso de lo :'!- {>spll<:. io~
co.njugado:l (;'IJ (iJG) 0 10)· hlls tll la dWHUlsión N, coincido rOIl la
base multiplicatinl d.cl anillo 11" (BC; el )¡ (tsLa la dinWI¡.~ ión ,\'
(véaSl:' nuís ,,,·ribll). yll que HG tio llo un tipu IlOmotópico do ff-o:;pacio
el! estn~ dilJw J\s ionl's.
Ad(l1\l.!iS. 1011 <l uillos Il* (BG; ~) ", il'JlIpro y .. n todas 111S dim"n-
s iones su n álgebras ~nlk.OllmlJlati\'as IiI'fOS. uldllSO. s i BG nI) os llU
/I-osJlacio. Esto so dod uce del t;iguil'ule problt'11111 (teon'wa,le Bo .. d):
, lO. Cálculo d. grup o_ homolóplco_
'"
PRom.RM.\ 5 Sea do do UTl espac io librado de Serro E _ B. la
• fibrtl F = Q (B). donde E es co ntractable y B es s implemente cone-
lIO. Si H * (F; ('1) es UTl á lgebra exter ior . e ntonces H - (B; ~) es
un á lgebra do polinomios. Pnra 01 cuo H· (F; Q) "'" A [xl ts le
teorema fue d6 IDOStrfl.do lDás !Irriba. Demostrar, al princi pio, este
hecho parn 1/. (F ; !li) - A [.tI" x~J. des pués pnra A 1%" %~. xII
....
Para los grupos G tenemo~ :
H*(BSO{2k): Q) -O IP" . . . , P,-" xl .
H·(BSO (2k + I ) ;f~·) "",O l p l ' .. . • pd ,
H · (BU(k); Q) _G', Ic" ... , e_l,
1I- (8SU(k); 0 ) -Q (("1, . . .• c~l .
1f~(OSfJ (k) ; Q ) _ QIY" •.. , Y-"
deg PI _4t.
des¡ x- 2k.
P .. - X' ;
deg PI =o 4fi
deg (', =- 2ft
cleg (' , " 21;
deg"V, =- I.t.
Con estO. de una conl'ltrllcc ión ex plicita dc duo! carac lPris UCilS da
Charn (', (y l a construcc ión e x plic ita da todas las dClllá" closes que
da ella se deduce. véase el § 9) sabemos, q UIl 11\5 dllscs ," ,. ;(. PI' )'.
tienen coofieic n t.cs cntero/; , <'5 doc[r. perLcnecen a unu i!llagen
}[. (OG; Z) _ f1. (00: Ili!). Sigu iendo 1)1 nn(¡logo llo mot6pieo do la
t.kll je~ o rd ina ria de l a teorla de grupos de Lio, ligada a 1111 s ubgrupo
de Cartan (.nu imal con m utativo.) , eons id('rlIUlo8 t ll ulJ.¡ién el C IlSO
• de toro uH,~ifRal r" e G:
• 1'" e SO (2k) ,
, 1""" -= SO(2k + 11.
,
r- c:: U (k),
,
1" - ' e SU (f,') ,
,
7"k c Sp(kl.
Parll G~ .,. T" Ij·"I'IIIO';. sC!I{UJ l().'j resu ltados del ~ .. (m{¡s arr iba):
BG" _ sr ~- ': f>'-' . ... ", I' f>~ Y H '" (81""; ~) _
- t:' lt , ..... 1,,1. l,Eff2(BT"; Z).
" ""'tl .. r .... .... \ 1 )(>m (}", lr~ t q\\C 1" IIpllc>.ción
" W(nr.;IO,":rr'"fBr; i!.,i)
lO.
HO I j['lle lllkJl'(I (lJOIllOIllOrlismo) y 111 J mn¡¡en I[)I ¡. SI' I:Om pOl JI' ()XIlC~
(¡l meoLlO dI' Ilol( uvrniQS in "lIri¡¡ nIO~ n·~p('r.I.!/ 111 grupo ,lo \V"y l. P~r¡j
e (n) "J ¡¡TUPO da Woy l " ... ,'ompo",' ,¡~, lud "" l1ls ]ll' m",tadU r1l\'! de
las gOlll.t!1trkl'S t,. PM II. SO (211) \'\ grul)() do \V (>y l tllmh¡lÍn (' nrlli~nl)
r('tkdcml'.~ do.: ¡oH pllr<:!S (tI' t i) ....... (-t, > -lj) . Para SO (2n + 1) el
gr"p(' di' \Ve),!! rOllli f> rl lol Itl JlIJ,i<Ín todns la ~ rl..rI(\xioM'.~ 1, ....... l , .
Para Sp (11) el grupo dt, W l'yl e~ el mis mo qw.' pllrll SO (2 .. + 1) .
Así. la ¡"'''gen f m / .• (Jf· wc; el) C" 11" (/)T~ ; iQ) ... ~ do la
formo:
'1 SO (2k), t* (Pv) ..... r· tt, . .. 11 . t* (;(1,) = /,
; ,.-: . • ''1 q
b)SO(2k + 1l,t*(Pq)= ~ t ~, .. . t f;
i, '- . '< '" '1
el U (k), ¡. (~/) -- ~ 1" . . I' j ' c. ~ 1.;
1" '- '1
d) Sp(k), ¡"(¡'/l e: ~ !~ • . . . H},
, ,< . . -.... ;}
Compür<u': .stas rÓI'mu lll~ (OU 111. p Ar le JI , ~ 2~" doude SI' c so;·ogi ó
la base da I ,,~ _poliuo mios de NewIOfl&: ~ t'l' = 7"".
PRODLP.MA r. I)t' duci r ilts fór mulas (l tI ItI relación enl¡·c los clnses
e, r 7",. l-In ll ~l' I ~s fórJl1 ulas pnrll llls cJ lI .~e~PJ (r~) poro hoc.er n·lIl un
U-espacio fibrú lo ~ medinnte i<ls cllli<t'S rq a),
PIlOflJ.EM.\ ti. DNludr lo,. ht'c!l<ls indictulos sub r ", las cohom<lJ ogl ;¡s
1/* (BG: Q) rl l' JIl ~ suc.eMOJ1CS e~píwl.ra J l's . e);(:ogirndo los .' .~ p1trios
fibrnu os Iwcl'lwriOil.
PIIOIJLEIlfA P. Dl'must rar , quo pllra un compll'jo X dl' ¡jiml'nsiú"
<l\', los dll S('~ ho motúpicnlj' dI' las nplicsciolll')j IX, DG~ J . o 1M! l"Ia-
~ elj' dl' l·q uhall'ndll. de los l'spa l,ios librados vl'c.\.flrio l llS ~ .. stnlJ llL<a-
con fibra IR". ( n. H" (los tri 80n clJatf'rni os). forman g rupos a h('-
Ji llU<).'I . pue~ to qm~ BG es un E-es pac.io (N "'" 1/ para 0, SO: iV = :lit
pa ril U_ SU; N"", <lit para Sp). Ln adi r ión de las :.plicacic.nes
X -:O- BG se cugendrll. mediante la multi plic.ación ~ e n BG (o mcdiouto
la. Sllmll direota de espllcios fibra rlol!, I'éa~(' má~ arrib3).
Demostrar las igualdades
IX. BG,,] ® O~ Hom (H" (lJG~ : Q)_ H " (X ; 10»
(SI.' t ic llen en (:Ul'l)t1l lo~ 11oruoIDorfismos do J o..~ !lni ll os) o. lo (lile (>lj'
lo mi.smo: I.'Il ~Ul grulJO I X . BG" llo~ e~ p¡l(' i o~ nhra dos ,,(j~ toria l ('s ~on
ddinit!os cc. rnpl etamente por Jos cla~('s caractt'risl ic lls, t:IHl e:l" :lctil ud
h.as lft Jos l'Ienwntlls de orden finito.
L II su ma rlirecla de es pados fihrado.< so <I ('li " o por el .'ncaJll de
bloquo (~flll l ógical1ll'nte paJ"ll O. SO, SU. Sp):
U (m) x U rn) c:: U (m + 1/.) .
§ tO. Cálculo d .. grupo. homot6pico.
Con esto los toros Wllximllles se mulUplicllu direct nmcnt e. Los juegos
de las generatriU's f, .... t:.. E}j~ (liT"'; Q) pnta (J (m) y t; . ...
.• .• t;; E lJa (BT',; t>l para U (n) lormolJ 1111 juego de geuf)rnlrkes·
:, •• . . , t m+ n E f¡~ (B1""''': 10) p>lra !J I grupo U (m + n). Aqu í.
1, ... ti para i ~ j';;;; 111 Y IJ+m = tj para 1 ,,¡;; 1 ~ rJ.
Dtl.'lComponil.'lldo un pol in omio simétrico ('¡emental e¡ (t, . .. ,
.. " t~+m) modia nte eJ (/; •. ... t;,.) = eí y c; = cq (1;. '.' t~}
ohwnemos las [órnlUlns de adieiún. il\diead,, ~ en .... 1 § 9 sin demostra-
ción:
e, = ~ eje;.
J+_ '
O, para la magnitud c(z)-~ elz', e'($)-=~, e,;.',
::Ec;zq. "o = 1, teoemos :
e(z) _e ' ($)eM(z).
C· (i)""
( 1)
Ahora eonsiderolllos ('1 .~ nr¡,,::ter d", CheTO.o (G = U (n»:
" "
eh i= .:E exp (u,) = h (~ \%:,::"') .
0-' m_'
Para la suma ~ lB '1 tenemos
eh (f. + '1) = eh , + eh 1l. (2)
"1l0SLP.J,l A ¡o. Deducir forlllalmente (2) de (1) y vkevot:'<R. s in
recurr ir n Ins gelle rll trkes ti en 1111 I,oro olB.ximnl.
El producto ten.~orinl de espacios fibr~dos E ® '1 so u('termirlR
mt'diilllW el encA)l' (¡wálogallllllltc quo parn O. SO)
U (m) X U (1/) _ U (ml/).
COIl esto. los toros ma.ximllles están relAdollBdo~ de un" formll ",ás
complejA: ~e tieno una apl tc.ar.ión do toros
1" ~ y T~':::" T"''' ,
HT'" x 87"' ..!. 81''''''
I~l, que
donde
tJ ~ E H"'(H7·"'n ; IQI. lÍ E JP ( H1' ''' ; Oj,
'_EJJZ ( lJP'; Q).
La fórmula (3) se deduce inmedin. IBmcn lc de l it fórmu l" l·.\plíci tl:l
pAra lA nplicoc ión 'i' en lAS mAlrkell diagonales (P ·I,\l"ifi1Iuese !).
".
Oc la rórmulo (3) ~e deduce quo
cht~ .® 'l) "" ch ~r hl¡'
por cuan tu
(;11; eh 1]= (~ ll'\" IIIZ/íJ)
.. , (i: OXI¡(ztjl ) '" ,. ,
(4)
- Z ex II.!Z (I;~ · tj)1 - '1'- (~. exp (~I' J) .
o" ' .J
Phrll los e,ptl. io~ proyediYos c,l mpl eJ ... :. CP" t .. nt'!nOil ("liase (\1 pro-
b1 emll ,"11 11L Ilurll' 1 J. § 24)
't (l-P~ ) E9 I ... r¡ lB ... EB '1 (11 + I sumandos), (5)
<lo"du "1 ( 'l) "" t t: ¡P ((1'''; .!. ). 1: 1/ p n). ('s un espacio ([budo
l angl' nCr. D,' In (órmula (.":1) Jullto con (1) o btenemos
e (:)c: ('1 + :I)~ · ' =- f + c,. + ... + c~:",
P \z) _ ( 1 - r 1t1)". ' _ I + p,;: + _ .. + p_z' + . . (6)
,\quí 1, = t . ..... ... = 1" +1 "'" I I'/lr .. IIn rspllc io librado 't ED 1
Y PI (r) ... ( - !l 'cu ( r Ea :r): por definición de cl ases P, (y) "'"
,.,. (_ 1)' COI (q'); IJoro para l' = r¡¡ ¡..,nllmos rl - tri¡ ... , E9 t
( vé.llso li], purlu 11. § 2"'). Como (, «() ..... (-1)/ <' , (,J . obt6nf' mo~:
P, (1]) - - Ct (11 EB 1]) - t1 , PI ('1) - 0, ,> t.
De aquí sr dlld llce que
p¡(t) _ ( - t )' C~I ('1 ~ .f).
(1 + S 1', ('1 ) 1;21) .... (1 - :21~)"· ' = p (CW), (1)
VnO:8 L.e&lA ,lo Hallar ",1 t;o rát; lllf ue CIII:lnl d .. Jos ¡:rados simét ricos
S't y de los grados e:o:teriofll!l t\j~ 0 .. 1 U-t'spacio fibrlloo ~,
PR08LEMA 11. H!tllar Ins cla&!:ll y el c:\rlic ter de Chl'rn vara los
productos di rectos CP· ' ® ... ® Cp·.
l' Il0llLIWA ,s. E X8 1llÍna r la clase c, para vari .. dados X~-', dada,
en { P~ por ulla 0<!1I8t; ióu algebrl\ic8 (00 ~ ,o a: uJllr) li t' grado k . 01'-
mostrar que la cOndIción e, (.Altl) _ O es equivBloultl a k = ti. + 1.
I'R OBL!:lIlA u . I·lpllnr la ra raclerislk .. '\ de Eu ler ;{ (X~- 1) )' el
número [cl'- I , r X~ - IJ).PROBLR)IA ¡l. I nvl'st igar ¡os rllSOI!' 10= 4, 1.: .- 3. Ha ll ar Ins 1,0-
mologias X!.
I'R08LI\~IÁ 11. Demostrar que lae hipl.'tsuperlic illlJ dadas por la
ecuO(1ión no singula r en CP". son siruplementl' conl':US.
,,.
V. ClasUicael6u de Iu operac:loncB de Steenrod en las di ·
mcnslolleB pequeiias
Trataremos do mostrar un método da cálculo de IOB arupos
homol6pieos de &lIferas. buado on el hecho do la existencia da la
sucesión oepectul (;00 aoa propiedades formalos (véase el teoreMa de
Leray), la existencia y las propiedades formales de las operaciones de
Steenrod Sq' y .st~. y también de los co mplejos de Eulenuerj'-
MaeL/me K (n. n) para n _ Z, Z n (y de Mto modo para todos
105 grupos abalianos con un núml'ro Hni to de g<lnetatl'ices). Para esto
es necesario calcular, al pri ncipio. todas las operaciones 00110(11016-
,ien de mod p . Construimos un complejo K _ K (l'! . n) par:a cuelo
qw.or grupo abalieno, según el si~ienl(l 05quema:
al !!ti tiene sólo una céluh o E K (n. n);
b) no hay células de dimensión " donde 1 :¡¡;; I ~ 11. - 1;
el las c6lulas (J1 está n en (·orrCllpondonei!t bhm[vocn con Ins ge-
neratrices %} E 1t;
d) lit! células O~·I se pegnn al armnón IC' ya construido Gon-
forme a la. n1bcioDelI y_ e ntre las genaratdcu %1 de un grupo n,
K" .. I _(n o:+I ) U K R •
l· "
". -(~"'J.zJ=O, "'1_ Mil números enteros}, '1',:00':+1 _ /(10. Pera
,1 armuón Kn+ 1 obtenomos
n¡ (K~·') _ O,
1'1 .. (K". ' ) _ no
1<71,
ElCOgemoi'l a lguna base de las generatrices I%¡ E 11 .. t\ X (K"·') y
hapmos pegadura de dlulll (véase e l § q)
ObleDdrewO.!l UD a rmaz6n K"··. De lo~ teoreMas gellenle!! de la
aproximac ión celular \enelDos, según el § 4:
j .s;;;: n,
Itara ndo esta cO!lll trllceión, t m8.tamon los grupos n .. +1 (A ... ··).
pasando 8. /("-+1, despuás mnlamos nn •• (K".'), pasa ndo a K" ... .
ale. En el Umlta n + q _ 00 obtendremos un complejo celular In-
finitO' K (n, n).
1-0 11 16
'50
Pero la misma construcci6n K (tt. 11) 110 no! importa, lo impor-
tanto. u qua esl.o cowplejo niste. Sabemos lo siguiente;
a) X(Z . 2) _ CP-, H ·CCPOO,lp)-Z, (t l , f EH '(CP-;Zp)parato-
dos lo~ p;" 2.
W+I h) K (Z,,,,, i )_S-lZpll_l!m L,¡. (l, t •... ,1) .
. \- ...
Tonl'm(ls 1"1 espacio librado (\·~.sc el § 4)
L2NH 1 1 1) . ' ° 1" h (, , ... . _ '-' , , , (8)
que se ob~icne de un espacio filltado guneralitado de Hopf (111.
par te 11 , § 2)
,.
S~·V+ I _ Cp''1
,
mediante factor ización de 111 ~sle ra S~:·" = {=o • .•.• zl!' :E j11'" = .
"" 1 J por u n ¡ rupo Z-"k. (lo ' .. . . 1"'·) ....... (exp (2.J\¡/P"f ;,_ ...
. . . , exp J2nilp" IN)' CaICllJllodu las cohomolog[as de un espacio
fi brado (8) de In sucesión &Spl,IC tral sobre Z. tenemos
, I • I O I
I O I
I I
Por eso
I ' I I d.: .. _pl>v . .. -0, " .~ O ,.,,",,_ "1,,,,,.,.
, I O I " I ,
, I 3 I • I
}{%1(K; Z)- Zpllt q _ t , 2, 3,
flZ'/+ I (K; Z)= O, q>O.
Tenemos sobre un rampo l ~:
ds" - 0, dr- _ 0, EJ,q _ Ef" - lF.'"
T\lnemo~:
H·(K(Z.~ 1) , Z,.) -A¡uI0Zl' (VI ,
.... _ pA ....
un álgebra li bre (pues lo que 01 álgebra adjunta E:. es libreo. enlo n<:e3
"¡ropia HfO (K . lf') es libre). Según la informaci6n sobrt']IIS (oho-
IDI;l 0ila! COl! coeficientes eo leros. teoemo9 en H· (K; Z,,):
0J(u.u")_O, I<h. 0, (11') ... 0 (para todos los al .
61\"_11, 6,,(1.1';-)_';-'"
i io. Cilculo de grupo. homo t6pl~o.
'"
A propósito, notemos la propiedad
"o (uv) = (6,.u) v ± u (6 h !».
¡¡i ambos 611. (u l. 6 ... (v) e!ltán doterminados. Esta propiedad se deduce-
illlllediatamente de la dofinic ión da Ó ... medianw un operador de-
lrontera sobre IIIS oocadenas con coeficientes enteros.
?RoaLBMA 11. Utilizando la información arriba mencionada de-
lIIostrar. que H· (K (Z,/I. nI. Zv) _ O. P y q 80n primos entre sI..
En una sucesión especLrll1 de cualquier el:lpacio fibredo COD 18>
base simplemente coneJ<8. (Yéa~e el § 8) en las cohomologÍas. tenemos.
m'o = JI'I (B), Eg·q = H" (F».
Tenemos las eplicacioDllS p: E_B. 1: F _ E.
p·:HQ(B)_JfV (E. F) es una ~proyeeción" .
,.: lf9 (E) __ H4 {F} es una "restricción".
Es posible definir una aplil-ación multiforme: la transgrp~ión
Hq(F) ::;lAq~:! H~tl(B) .
donde
6: Jf9(P)_Hq .. 1 (E. P) y AQ_6-'(p·HQ""(B)n1m6)
es el dominio de defillición de un llOmomorlismo multiforme , !la-
definido por doquier. Es evidentl', que AV::::O 1m t · y. con esto,
~- (Im i') = O. La definición de transgresión mediantl' diferencialeS'
d, es l a ~ill"oien~e:
A9 = n l\t'f d,"" E~1-QI ~ H9 (F).
"',
"t = dft , en el grupo Aq,
Pueslo que todas las operaciones Sql. S~. 6. 6~ conmulen con las--
.pUcaciones continuu p · O = 6p·, Y también con el homomorfismo·
6: Hq (F) ->- Hq ... ¡ (E. F) en las Zp·conomologills. tenemos quo
ladas las operaciones estables 6. 6 .... Srl. SlJ conmutan con la trans-
gresi6n -ce = 9,.. Esto s ignifica. que para Jos dementas :t: E Aq.
dondo está definidll la transgresión (flara los elementos . trlln~gresi
VO/l&). sus imágene~ se encuentnn también en el dom in io de definici6n-
de la transgresión (son , lransgro~ivO$). y con esto es justa la igual-
dad;
61"=19, 9=6, 6h • Sql, St~. (9}
Ca lculemos ahora algu nas cohomologflls ceslables(de los comple-
jos K (l: . n) y K (Zp"" n).
'"
El CASO K ... K (Z. n). p = ~. Pa nt 11 _ 1. 2 es wnocidn l.
r~pu e.!l lA. H· (X (Z. 2); Z.).... Z. l u l. deg 1./. _ 2. ConsllleretDM
una s ucClIl ión t'spedral del espacio filJrado t ' _ K (Z , 3). F_
- Q (B) = K (Z. 2). En el té rmiuo E~ ,' tenemos e:,q _
... H · (F; Zt) sa bemos, qUIl un elel1lNl~O u E ¡.p (F; Z,) es trans-
gresivo por elUSIl!I t rivialu y, al mismo tiempo. 'f tu) =- d. (u) ""
= v E H' (8 ; Z.) "'" Z •. En vi rtud d6 1115 propiedllde.s de I n ope-
radones Sql (\"ase el pun to f de este pa rágrafo y 1115 propiedades da
l a transgres ión) los elementos Sqt (u) _ ul • Sq' Sq: (u) = (u')' = u·
son tr lln!brroslvos. y c;ou e!lto
T (u4)_Sq~(v)E Jl I(B; ZI) '
'f (¡¿i ) _ Sq\ Sq: (v) E 11" (B , Ztl (tO)
Sto ded m;e Inmed iatamente de aquí . que el algebra H4 (B; Z,} lieOI
lorlna de 1m ' Igebra de polinomiOll de las genera trices T (u . ):
H· (B; Zt) _ Z, [v , SqZv, Srrsq1v, •••• 1
B. _ B=K(Z, 3) , 6~v_ O. Sq'v - V1.'
Ahora pasemos a los siguientes espac;ios Jibudos:
E _ B ~. F=K(Z, n -t), B,. _ K(Z. n).
Al pasar de P "'" K (l.. 3) a IJ = B , _ K (l. 4) obtendremos por
aoalorll, los viojos elementos trl nsgl'Mivo!l en s:.q "'" H' (F: Z , )!
v, Sqtv , . ..• SqSI S9: 1-•..• Sq'u.
~. tambié n 10$ I1\HlVOS. IO.!j;rlldos mGdjln~e la poteuc;iacióo de forma
2'; rJI _ Sr;'v. '" _ StfSq"'IJ • ... ltt>rando e .. ~te procedimie nto obten·
dremO.!l l u pri lDllfU cohomologías Ir'" {K (Z, nI ; Z ~) para q < 11
(liS generatr icoll &/Itán indic;ad3s)
._0
• O
. -, ,
S q'"
$q'u
S q' Sq'"
,
S q'u
7
S q'"
Sq'S q'u
3
,
•
•
Sq' u
S q'Sq'u
S 'I'Sq' u
§o.IO. CAI~ul .. de g.rupo. homolópico . 133
Pita K ~ K (Zi' n) d I"llzonamiento (>s complelamenle amilogo,
~eJo comienza con el ""spacio fibrado
E_D ~ K(Z I' 2), F = K(Z 2' 1) - 1\P"'.
Aqui son I.rllnsgrcsivos los cll:lIlcntos
uE 111 (F; 1. ~), Sq'u =6.u = u:.
Sq2 SqlU= (UZ)Z , ... , 8q1.1 Sq~'-l ... SqlSq'U= (jj.~2 ... )z.
Iterando este razonamiento obtendremos una tabla de los grupos
testableSB JlMO (K (Zt' n); Z.), q < n
.~ I " I I , I 3 • , •
1
1 S.'. 1 S,'. 1
Sq'u S,,' .. S q· ... S,,· ...
• S9'S"',,
Sq·Sq' .. 5q"Sq' .. S q'Sq' .. Sq·S q' ..
ODSERVACIO:-> : En los cálculos sllcesi"I.·os utilizaremos s6lo los
grupos H .. ·q (K; Z.) con pequoños q < 7, por eso no necesitamos
las demos traciones de los de talles do las afirmllciones Clf~tuada~;
para p<.>queños q < 7 lo¡las I's tas afirmaciones se "cl"ilican por una
consideración 1'I1'Illcntald e las sucesiones cspt'clral l's (véase más
arrlba).
Ta mbién indiquemos 11"·9 (K (Z2~ ' 11); Z~) . q < n:
•
No efoctuamos el análisis c.omplc lo del caso anó.logo K = K (.l pA. n)
y de las cohomologills H* (K; Z p). Las soluciones son lal! siguientes:
Para K = K (l, n) tenomos ¡r,q (X; Z p). q < n
2p-1
C~p, t. R~,,,t ... del ,.!culo de homologi ..
Para K~ K (Z"h, ro) tenemos H"'" (K; Zp). q<"
q_o! 1'1 1 2p-2 2p-t
" I O"" lo I O I SI;'" Il.SI~ I SI~ ... U
(pllTa k = 1 teoemos 61 "= ,'lO).
Asi vemos, que todas las operaciones eohomológicas «eslabl69
e en dimension(jl:! indicadas se reducen a la iteración de cuadrados
y grados Sql, St~, 6., dando
6:U"(K, L;ZpJ-H"~q(K, L¡ Zp),)
y conmuhn con nD homo morfismo de Ilofronlera. En cuanto a la~
-operaciones establos de forma
9:H"(K. L; Z) _l/u .. q(K, L; Zp).
O:H" (K. L¡ Zph)_U"o-q(K. L; Zp),
todas ellas se reduceo a las operaciones St~. Sq', /l. (después de I ~
r(lduceión según el módulo p) y, además, a las operaciones de 1&
misma forma efectulldas COD el oIcmonto 6~u.
La operacIón ostllble 9: Ir (X; Zp) _l""'~ (X; Zp) tlena,
-como so dice, una , d¡mensión* q:
deg9 "'" q.
Todas llls operaciones est.a bles forman UD dJ~bra de Steenrod.
graduada .41'
-donde AO IIOn esca lllres y Aq se compone de todas las operaeiooos di
8fado q.
Do nuestros r(lSultado5 (véanse las tablas más arriba) obtanemOf
UDa base da las álgebras Ap = A en las dimensiones pequefias q:
B
,-01 2 , 4 5 6 7
Sr s,' s,' s,' s,' s,, s" S,'S,' Sq'Sr'
S9'S,' 5'1"59' S q'Sq' S,'Sq' Sq' S,"
Sq ·SqIS.
t 10. C'lculo de 9"'PO' homo!óp1co.
2p-2 2p_1
St~
Prestemos. atención a un corolario curio50 de lal! resuhadal! obte-
nidos. esencial para p -= 2: \a bMe de operaciones es menor que
todos los posibles productos (superposiciones) de opere.e[oDes de.
Steenrod Sql,. $,/- .. Sq;~ . Esto significa que he.r relBciones no
.ulvial es entre loe productos de las opcrflciooos Sq. La idea del
hallazgo de estas re·lllciones es la siguiente: co n!ideromos los pro-
ductos IRPj' X • _. X RP'; Y liD elem(lOto
u"""tl· · . t nEH " (fl.Pjx ___ xIRP:;Z,) ,
O+t, E'H'(Rf''j, Z2,.) -=Z1_
Para el elemento t¡ t,mem<)~ Sq'll ... tl. Sr/ti = t j • Sr/ti _ O para
j"", 0, 1 De aquf !'lO dl'duco q Ul' cualquier operación de forma
Sq!' Sqi~ (u) puedo .!Ier calculada, parUendo s610 de lAs pro-
piedades formales de Ills opcrnciones de Steenrod Sq' (:r;g) =
= ~ SqJ(x) Sr/' (g). Al misme> tiempo resultará, quo todas In
J+~_'
operaciones básiclls 1) E H "'" (K (Z ~. 1/ ): Z,), para q < n . nctúan
no trivialmente on 01 ('!,rme'uto u: O (u) o;i=. O. I!i U rp 0_
Comprobomos esto Jirec,tanu'n le paro q'¡;;;~:
q=2: Sq2u= ( ~ tltl) u,
1<1
q= 3: Srf'u~ ( ~ tlllt lt ) u, 1<;< ·
, ..
(SCI< O' J-' 2] ' " ... t 'J IIn po linom io ~il!l é tri("o e lemenI IlJ . )
. <., J
q - 4: Sq'u ,"" (, ,,j~ .. r 'rtJI_tr) u a,u
Srt Sq'u - a"o,'¿;
r¡'" 5: Sq'u ... a,u. Sq' Sq'u _ °,0'1101;
q - 6: S¡fu-o,u, Stf Sq'u _ O~(lIU,
Sq2u -= a.ozu.; (11)
9 _ 7: Sq'u_ o,/J., SrfSq'u- u.o,/.!;
Sq' Sq:u = I1so1U Sq' Sq' Sq'u = 0 ,0,0'11.1 ;
q=8: Srf u=o¡u . Sr}' SIJ1u - O"JO'¡u,
SqG Sq~u = OIO~U ; Sq' 5q> Sq tu ... O'~O':lO , U.
Como Sol \"(1 de la tallla pl"{'!loen4adll loda" las operaciolles bli!icu
8 E A' - At ron q O!O; 8 actúAn ind",pend ien le y lineal mente en UD
elemento u:
9 (u) ... O - O _ O
Vamos. que pAro nna ba$O ,'n el álg.·blll dI' S loonrod ti = A. son
sufic ientes lo~ producto", de fOrlllA
Sql~ . •. Sq" (12)
dondo t_ ;;. 2i __ 1' '._, ;;' 2Il _ Z ' • .. , ': " 21 "
'J'OdM lO!! prod uc tos de forma (t 2) !>Oll indllpcndien les linea lmente
)' dan una base a dUi va comple ta 00 el á lgebra A o'
Vamo8 11 bUSCllr IlIlI relociones de forma
$q'SqJ-:B A' ·' Sq"Sq' , 0>=" ".h
dondo 4 ;;;' 2b, 0<1 <2;.
PROBL:E)IA u . Ha llar los coeficieotes "k~ pua lodos 101 q.
Para 9<8, Dledin n t1l cálculo dirll(.lo de la tabla (11) obtenemos
A!';~ - 6!t~C':¡~1 (~lo siempre es jUl to). Asl . tenemos la tabla ds
reladobes
Sq'Sq' =6! ... O.
Sq'Sq'=Srf.
Sq' Sr! = O Sq'Sq24 _ S(r'I+1 ( t 3)
Sq2Sq~=Sq'Sql . Sr¡1 Sq' - Sq' Sq' .
Sql Sq3 = S¡f Sq'
-§ 10. C'lculo d. grupo. homol6pico. 13.
VI. Cálculo de 108 primeros] grupos bomot6pic:os CIItablcs uo-
triv iales de esferas. f
Consideremos la aplicación S" _ K (l. n) = K. Transforme-
mos, esta aplicación en un (,-,pacio librado, sin cambiar 106 tipos ha-
motópicos: 6qui r es un isomorfismo entre J/" (S"; Z) y
Ir. (K (L. n); Z) = Z. PIIU la fibra F = F, obtenemos de la BUce--
5.ión ex.acta: n¡ (F) = O. f':¡;;; n, n, (F) = n, (8"), 1;;" n + 1. E n.
la dimensión n + q < 2n In sucesión es pectral del espado librado-
se reduce a la sucesi ón e:>:ac_t a (t es UDa transgresión)
,
O_Jf"+q{F)_Il" .. q~ ' (K; ZrJ:- O, lI i q>O,
puesto q ue ~ E~·'f=E2,O+E~·m pus p+q<2n y H"+"1(8")_
1'+'1"''''
""O. cunnd o 9>0, J/"(8") R: H " (K) . ,.
Así tenemos:
I~
,
H '''''f{ F; Z,,) ~ H",h ' (K; Zp).
donde 1;8q' ... Sq'1;.
""[ó¡,=ó/> "[, TSt~=St~T, }¡J(F; Z¡r)=O. j':¡;;;n.
De la Illbln de grU!KlS H~+-1( K¡ Z ¡rj so deduce el resultado para
H"+'f(F; Zp):
2p-3 2p-2
o o
COXCLUSION. Para todos los p > 2 en los gnlpos 1l".q (F)
<= n".q (8") ton 0< q < "¿p - 3 < n no huy p-c,ompOllentes no-
trivi¡¡les; el grupo
1lt,:'~2P _3 (1') = ¡¡;r2~"_ 3 (sn) + 0,
ya que 6.,,"'" O; en la dimemsión Zp - 3 tenemos
JJ;:~2"_3 (F; Z) = Zp "'" ¡¡~~z,,-a (Sh).
". Cap. ,. R.tolos del calculo d e homologr8'
Para p = 2 esle r azona miento Rctúa de 19 m isma manera, c oa
esto, 6. = Sq' (2p - 3 =- 1 pora p "'" 2):
p>2.
Obtenomos cohomologias H'f (F; , Z~) jun to con la acción de opera
clones de Sleenrod:
1I"~~ (F; 7.) _ 11 ... .,.' (K (:..: " ,,) ; 'l .) "" Aq"
. I s,'. I
,
•
Sf ' v= O
, 5 ,
(Hi)
Aquí 't (v) = Sq"/l, . 't (w) = Sqlu. En vi r tud de la relación Sq*Sq' -
= Srj'Sq' t&1I91005 junto coa la con dición Sq'u = O:
Sq"v = Q. (15)
(;o010 Sq"Sql = Sq'Sql + Sr/', '~5 justa la corr el flci6n
Sq~w = Stlu .
De la igualdad Sq"srt = Sif + Sq'Sq' so deduce que
Sq'w_ Sq2 Sq' l)
(16)
( [7)
P lisamos 01 siguieote pl\5o. Consideremos una eplica.ción (es pacio
fibrooo)
FI=F~K(Z~. n+ t ), ,
.donde f.: n"+1 (F)n ,,+L(K (Z1. n+ 1») e~ 1'" isomorfismo. Obtenemos
nJ(F~)-=O, i~,,+ 1,
nJ (F~) = n J (F,)= '[(,J (S" ),
'En el caso esta.ble es cómodo representar como una sucesióu e:ZAcla
~a sucesIón ellpectral y la transgresión '[
j* T 1_
.ir'+9 (F; Z2)_1l"+9(F2; Z..)_Aq_
, - j -
_H"'+q~ j (F, Z2) -U" ... q., (F~ ; Z11.
además. ,. y T conmu18n con las operaciones de Steenrod. Aq _
_ R"+'''' (K (la. n+ 1); ZI)' Con la apHcae[ón f- Ja chlse IUQda-
mental /.IEH"+'(K (Z., n+ t ), Z,) pasa a v,
f - (u)=v
Por MO la imagen ,-A se compone de la, operaciones de Steonro d
emp18lldu para un elemento v
'_A9 "'" A9 (v)
Junto con la tabla de H· (F; ZI) (véase m" a rriba) obtenemos l.
tabla de homologiAII H'" (F,: Z,)
,- 2 3 , , •
(18)
Aq ut ;; _ ''"(lb). Y % _ "\""" (Srf 4) , ya qUl" Lcniamos Sr/' 1) ... O
y v _ ,. (u). en tono.;M ¡'" (8911.1) = O. Por 8150 S9' U. "'" 'f (z). % E
E J!".' (P,; Z.). Por consiguiOOIO SgI (Sq'u ) ... srtSq"u "{l< o. Por
~,
' ''(SqlSqIU)_ T(SqZ,t:) , Sqa% E f{"+'(F~ ¡ Zll
La rolaci6n S9{~ _ O Ap3reeió un la u bIo (t8) como resuH3do de
correlación Sq'w _ S91Sq'v on la tabla (l it), pueslo qlle Sr/Sq' I-'-
- ,. (SglSglu),
Sean: a = Sq'Sq' v _ Sq1w "'" ó,w; b _ Sq'z = r' (So/Sr/u) _
_ rlSq' (Sr/Sq'u) . TloM Ingar la s¡¡\Iien!!.' afirmación gljllera l:
I.S)'A 2 . Si a - ,·(.i) _ 6~w y b_ 'f-16.(;). tnlonce¡ lQ¡ elt/lltlll -
tos b, ;;; ... t·w tn N'"ePa; Zs) Io n tak~ , qut b- 6".,;;.
r..a demostraci6n del lema se deduce de Ja ~ propiedades ('Iemen-
tll (,9de un homoro.orf¡!lmo de corrontera en un complejo de cadeollS
C" (E; Z). Los detail 08 se Jos dojamos . 1 lector.
BaN ndoDos en e l leIDa 2, obtenemos: 8ql=6 .. =3,. a=-Sq1w.
b _Sq':r., Sqf%_6,;; , Por eso , en pnrtieuJar, 18ne[!lOS Srtz _
- 3.3,.w_0.
CO,'1Cl<UnON, Como SqlJ'. _ 6 ,%+0, obt.oll llmos el reru lllldo (nn u x
X (P,) - 1l .. +t (F.; Z»:
Ahora pa$(!mos al t.ercer p8M. Consideremo§ una aplicación (el
espacio libr~d (»
P:...!-X(Zt, n+ 2), fibrll F"
LH aplicació " 1" I n" •• (F.) e~ un isolllorfismo. Para FJ. de la.
sucesión e,,;actll de los grupos homotópicos; se deduce:
nJ(PJ =0, j ~ n+2,
ndF,J=n , (f't)_nj(S") j ~ ,, + 3.
En el caso estable q < n la suc.t'5ión espl'C.lral otra vez se reduc,irlO 11 la.
9xactll
\ 0 ". \ 0 H"" (F ' Z ) _H"",F" )_A.;-I ....... II"'q · J( ~,· Z )_ 2 ' ! •• 2 r2. 2 •
donde Aq-J "'" H - q·¡ (K (Z • . /1 + 2); ¿ .J .
Por dofin ición, ~ = ,. (u.) , donde u l'~ una c.lllse fundamentlll en.
Ins cohomologías H''': (1( (l •. n + 2) ; L,). P(lr consiguiente.
obtenemos
'" (A'1-1) = A1-1 (.e).
P~ra la ~ COIJOOlOlogíllS H',.q (F~; ZJ obtenernos In tllhlll
,- I , I 3 '. ,
I I ~ Q w ~. Sq"w
Aqul ;;;=01''';;; y ~.; - -r"" '62; ~eg (UI el ¡t'ma 2 (véase'más arriba).
D¡i:DUCCIO!'l. El grupo
~2~l (S") _ n~2J3 (F.) = m2.~ 3 U's; Z) ... la.
puesto que 6¡;;'*0. Como n!,a~.(sn ) ... z,. n!!J3(S")= O para p>3 •
• obtenemos definitivamente eJ siguiente teorema
TEORE1dA 6. ÚJS grupos hompMpiCQs utobletl n .. +~ (8"'J, paro. tJ <
< 11 - 1. l lenen los sIguientes ~'(llores (para q ~ 2 ¡¡lase tamblln lil .
parte JI. § 23):
n~(S") =Z. n .. +l (S") =Z: . n" .2(S")=Z~1 1'I:nr3(S")=Z21'
l'ROBt.EMA l' Calcula r los grupos n n.q , (S" ) paro q E;;; 9. Si q> 10 surgen dificultad es más S()rias. La sUJM!rac.ión de eslas dilj·
cultades cUMta mucho trabajo. Es to {K'.rmiLe calcular todos los gru·
pos n",.q (sn) para q o¡;;; 30 (Ilprox imlldaml'nle). Pero es dudoso, q ue
'"
:Sell posible una solución general aceptable para todos los q. auuqulI
~elllalmente 80S pro habla hallar en In bibliografia aspeeial bada mucba
información valiosa sobre grupos hOOlOlópicos superiores.
VII. Clasea homot6pleas estables de las aplicaciones de COO1-
1I1e)05 celulares.
Con frec lIonda Burge la sig¡.lionto s ituación: se ha dado \ln COUl-
plej!> (n - 1)-1:000':0 celulnr K. Sea quo el complejo K no t iene
células de dimensiooes 1':';;; 1';;;;; 11 - 1; !ro die,e , qUQ hay que c8 1-
-eular clases homolópicos estables de aplicaciones del complejo X
en K, s i dim X < 2n - 1.
HE' aqui otra cuestión: examinar el obstáculo a ifl para la prQ-
longncióo de la aplicación!: X""I _ K so bre uo armal6n (n + g +
+ l)- dimensional coo q < 1/. - 2 . Ys hemos vist.o, que para,. l(!s
• Mpacios fihl'8dos E __ B. donde la fibra Ji' y la blloo B son (11. - t)~
-GQnexas, la s uc811 ión QSp6ctra! en las homologíllS hasta la dimen."liÓn
211. - 2 ~ reduce 11 la eXActa
H* (E).!:. n* (FJ ~ H* (B) !::...H* (E) .
Vemos que la complej idad de la teoria de homologías del pro-
ducto oblicuo 110 las dimensiones c811tables. es la misma, que pan
l os grupos de homotopias. Se puede decir, Que en Ins dimensiones
• k ,s;;. 211. - 2 la leot"ÍA de homologías del espacio fibrado E _ B
ea la misma que la del par (E. F). además. B _ E/F. porque las
células 110 triviales en E. que no .!le encuentran en B o en F, pueden
aparecer por primera Vel: en la dimensión 211. (producto de células
de base y de fibra) . Así. todo se simplifica en las dimensiones esta-
bh~~ .
J..J,;~IA l. Las clases }uJllwt6picas edables t.k aplicaciones forman
un ¡:rupo a~liano IX, KI.
DEMO STRACION. Consideremos dos aplicaciones f . g
1: X __ K. g: X __ K.
y el producto directo de las mismas
f x e: X_K x K.
donde [j X el (x) = (f (x). f{ (x)).
El complejo K x K. es (n - 1)-conexo; no tiene células do di-
mcn~iones 1 :;;;; t :;;;; n - 1 Y la imagen U X e) (X) !le encuentra en
el arma:oón de dimeDsión k";:; dlm X, con apl icación celular. Cuan do
k ~ 2n - 2. la i magen (f X e) (X) pasa a per tenecer al ramo
K V K c:: K X K porque las células csobnnteiJO en K X K. que
na 'le encuentran en K V K. aparecen en la dimensión 211. Esto
' 42 Cap. 1. Ro(etal d., l dle" l., do h<>molog l81
se relaciona u 111 iwagt>n en K X K ,le cualquiera homotopía de apli·
caciones: és ~8 se encuentra en K V K. Se t iene la ev iden te aplica-
ción de . pliegue.
Yo: KV K_K.
idénLica en cada s umflndo.
Definimos In suma de clases homotópiclls
J. g E Ix . Kl . / + g - 1( (j x g) .
consid('flllldo I y g co mo clases C"O[Uhlt'." y la dim X ~ 2n - 2. Las
propiedades do grupo y l a. conmuta ti vi dad de esta operodón son
obvias (vnriliquen!iO).
LEMA~ . Sean dados la aplicación estable f : >."".q -+ K Y el obslúcu,-
lo para prolungar la aplicación a U) E C h+q*¡ (X"~+l . .1T".q (K)}
(lIiUSt el t \:1) sobre el armazón X~+lIH . E/I/oncet, el obsMculo a (J>
Mpende aditioomenle dI!! elemento f E IX. KI 11 a (J.!) = Aa (j ).
DEMOSTftIl C!<lN. El obstáculo a (f) tiene significado eu cr"·Q<I,
dpfinido mod iante la apl icación
80"+<)'>' _ S"+<)' _ K.
Al su mOr los oplicac,iones f + g = -x (j X g), las clases homot6pi co9
de aplicaciones 80"~;> 1 _ K. engendn das por J y g, también se-
suman. por ¡lofinición de adición, en grupos ni (aq uí. en situación
estable , no es necesario inquietarlll.! por un pun to inicial y por la
acción de nI)'
2" _1
Yfl hemos construido la aplicadón f: K_ n K{D}, nJ), quo-
nJ ;;.n
engendra un isomorfismo de r.. -eohomologias y grupos de homo to-
pios n,(K)® (1 hllsta Ifl dime_llsión 2n- 2, yllaso mAs s rt lba. p. ur.
Aqll i los grllpo~ DI son abelianol:! libres.
Constru imos aplicoción . in'·crsa» dto IIrmatón
~n_ 1 ~n-2
g' ( n K(D,. n,l) _K.
It}>"
así que f.c. = A -=p- O en ~-cohomología~ y en la homoLopías fC ) ® Q
con f < 2n - 2, es dech;, f.g, (.t') '"'" J • .t' . g.;'" (y) - í.y. VAmos .' cons-
t rui r ta l aplicación cinversat K med ian te inducción por el arma zón.
Formulamos uno hipótesis ínu tlcli"II. que un obstáculo np~rec¡ d o.
para prolongación do yu construida flplicflciól1 g".¡ de nn armllzón
(n + q)-dimensionaJ sobre un arrnflzón (n + q -1- )-dinlt'n sio l1AJ es
unll clase de cohomologí&!! do ordon f inito )l. Luego. I.tilizando lo~
lemas 3 y 4, posemos 11 una aplicación )lK" .. q y • . cambióndolo en Uf)
armazón (n + q}-dimensional , ll egaremos 11 un obstáculo II UJO (véase
el § 9) . Prolongando lo nplil;ación de In claso Ü~g".,.q) sobre el nrrna-
".
IÓn do dimensión TI + q + 1, ohtcDdreD)~ la aplicación ' •• "",_
.le. Al fin de cuentAS. lIeg'femos a la aplicac ión g. VII. I)lOlJ a demo&-
Lru, que el orden de c1uo de cohomoloalu de obstáculo sobro¡el'
armu60 " + q para la aplicación 8~.q 01 finito. El armazón·
(~ K (D" '1,»1"-1 08 hOlnotópicamcn t e oquivo,l eole al armazó¡¡,
'1 • do f"mD V (K {DI' ",»)"'.0. Cada co mplejo (K (D I. nI»'''·' tiene
9Iemento:'~ orden infinito sólo en la.s cohomologíu de la primera.
dimensión no tri\' ia l fI¡l;egú n los resul tados del p. V 30bre cohomolo-
ru raciona les de los cOlJl pl l'jo» de Corma K (ti. n). Al forma r una.
apllcftcióo inversa Gn .. /, const rujllJ(ls todo separadamente en cada-
Jumll.Ddo del ramo V K (D,. nJ»"'-~' Por uo encontraremos SoÓlo-
1
UD obst 'eulo de orden finito.
De aqui se dedueo la siguionte afirmación.
T &OREIIIIA 1. Para cualqui#tr cr>mpletr> X 1M tl(l~es horrwt6plf:ru
utabkl de las apliCClclrm~r X en un completo (n _ t ) .. ame.xo-
K(dlm X :¡;;;; 2n. - 2) JorrMtl un grupo abeUano Ix. KI. para~el9U.'
tI,ne lugar la IglUlldlnl.
l.\'. Kl 0QI':::< liom (H · (K ; Q)_II-(X, Q».
Elto significa lo 'IiI\'1IIon1(' . la dallO homotópiea !le defina por UIV
hOlllomorfi~mo de ~ohomolog!~s con C'xaeti tud hnll t~ los elemen t~
da orden fi nito; ca" es to c ualq uierbomomorfis mo pU1'9.manta alge-
hr.rco II·:}}· (K; Z) -~ 1/. (X; 2 ) o o.: 11_ (X: Z) -.. H . (1\ : Z),
MI posibltl multiplicarlr> por 1I n número no nulo ')".".0, a- _ Aa- ,
lIa - },u_, u ! qUl' d Io omomod ismo Nla (o An. ) eoe rea liu mediante
una aplicación cont inun J: X_K.
§ H . Homologlls y grupo fu ndamental
Sea que tenemos un (\Jn' plejo 00 simplemente conexo (c:el uhu"
o Inclu~o SiOlplicia l) K con un grupo rund~mental D = n, (K).
Coosid('rlllllOS un cubrimi"ntn llni~'er,sal
K_K
donde 01 grupo D aclua l ibre y diS(.r.' lamenw e n k. t ransformando-
~n~;~I:Xj~~;c~:J:;~u~:: on ou o. A Cllda r~ l u l a ,,~ en K le corres-
p-·{,,~) .. o:, U o~\,U . ..
en un número, igual nI nlÍmflro do elemento, de D "", n, (K). El gru~
po D Actuando Qn p.' (11;) de.fine la pormut ac lón de elilulllS O~l" E B-
ec;jamos una céluln en la preimllgcn p- ¡ ((J~) y la designemo, por ü~_
14.
Todll.! las célu los do K so obticncn en forma
gE D _nl (K ),
al miSmo tte01po , todfls tns célu las g (~~) son di ferent.es
q uierll clldenR en k tiene la forma
donde ~/" son números enteros . •
Cua l·
( ' )
Un operador de frontera lJ en Kconmula..:on la acci6n del g rupo O
en cilul ll..'l y con la mu ltiplicación por los númoros A¡; es na tural
int roducir un tanillo de grupo. r "", z IDI. cuyos e emonlos lIon
lumas fln it lls ~ " ,81- "1 son números, fJ, E D. y la mult iplicac ión
tiene forma
Es eviden te de la fo rffi ll de cadenas ( 1) e ll el com pl oio K , que útil
son Clldenas ron cocfi cien l81l on u n a nillo r (polllble mente , no coo-
muta tivo, si .u grupo D es no conmu tativo).
Un Ilomomor(ismo p: r _ r ' en eualq u ier anillo r ' permite exa'
m¡nar un complejo de cadena'!! con coefieiontea e n r ' pa ro K:
p '(a) _ ~p ('E i.N • 8"11') ~~ . aEc, Ub, , ,
es una cadena con coefi cien tes en r '. Luego. lIfl permite multiplicar
las cadenas p (a) por cuo.lesquiera olcmentos de r '; esta multipll-
caclóa conmuta con o. A l as homologías de este complejo las Ua-
Ularemos homologías co n cO('fic ientes en 111. re prt'sen tación p: r _ r' ,
r _ L 1;"1 (K)I y 1M designemos por 1f~ (K ).
I';Jr:MPLO 1. Si r' _ r y p _ 1, entoncas, tenemos por defln ici6n
I1~(K)= H,(k) .
I:Jt:~IPLO ! . SI z_ r ' y p:r_ z t ieno la forma
t endremos
H1f(K) c= H t (K ).
Verificar esta igualdad .
EJl""M.PLO , . SI K ea una- va riedad no orienta ble, K = Id". en tono
CIllI se tiene noción do _orien tación de cul'va.t . o 10110, un homomod i81ll0
t 11. u.~ homologla. )' e l gn¡po fundamental
'"
• n¡{K) -Z • .", {±1 } (v"'M 11 1. pa rtQ 11. 117); surge u o ho Ulo-
mod isnlo
p:T_ Z .
donde
AJas hOUlOlo¡i as Uf (K) Ins Ult/noremos dLOlllo loglns cun COl'ficienlGs
locales-. Se definen de mtllleTn eviden te las cohomologías JI! (K)
Qled{anl.e un compl ejo conju¡:ado.
PROBLEM.A l . DemOJllrnr . que tenemos JJ r, (M") _ Z pll TO una
variedad certa da .'W' .
,
SOR que tenemos u n eSI)ado librado h.' _L/ co n ribru F )' (¡IIO
:¡~ (O) _ D ac túe reapecto 11 un grupo II q (P) ru,'dillUtt' l a!! It:)$ lnchr
Del! ¡: JI, (F) _ H 'I (F). l E D. DI' maJ tUU que i ll l,odur iIlt O~ 1>:1
atclón (operaci6n) do 11 1'1 /lu llJa (' ~ Z 11)1 en 11" (F) '-' M, . l\I(\s
~neTa l meote: Sl'a que l os e lemen los del anillo r act úen COIUO opora-
dores en uo espacio Iinoal M (o sea, dada la rcprt'sclltaciou p riel
I nillo en forma de lraus!or macioJl('s lintales M _ :1f). Ul,r¡ " iJno:s
las homolo¡íll.S /{p (n • . M) . ~ell. R "'" K Y !len .I Ad" un COlopl l'jo de
r -cadenns k (véas~ más nrri bs). F'onnll l mente so deri non IIIS C¡ldenAs
con VAl er en M:
nt¡ E/If •
.¡ la operacl 6n de l fi nillo r en ('s l~s Cfldenlls
,(a) - 1) ,(mJ) ~j.
~ onde ,(m) está defin ido on vir t ud de Is reprcsoulRción p. Es~a
~Chioci6n conm u\.a con una fronlora 8. q uo.st' define nnt utalnnmte.
Surgen las llomologlos, dOll i¡:- lllldos pOr H~ (8. ¡l/), do nde r
Ictúa on .H media nto lA reprCS(lo t ación p (o . como se di co. lIT es un
r-m6dulo). Las t;ohoroologlas JI! (8. ;11) se deCi nen. como siem pre.
medianl" un complejo de t;oc¡"Hhm IlS cOll ju¡arlo.
,
Hay f - mód ulos pnra los o!spncio:s fibrados E _ LJ con fib rn P
do! grullO 1/1 (F) en "Irt lld do lI.::tuoc i61l de n i (Ol e n llna fibra mI"-
d i 'IIt1~ Ira"laciones porel ,' lo.s . Te ne mos IIU homologhs I/~ (8. If 1 (F»).
ObSER\· ... CION. En 01 teorema do Loray ( v{ia~ el § 8) para \1110 ""se
no simplemente concx1l. t.1~ ~ -+ H q (D , ll¡ (I)). Es necesa.r io cam-
~ia r (.>~ I~ por Una ba~e F.',¡~'¡ _ JJ~ (11 . 1ft (P» . LI< f(,p rcsonlaci ón p
mide Jo .derormoción~ ll" o perAdo!" dJ' 'odo In (Iemb fit' rmnllcce
t ierto.
10_ 011:&
...
,
EJUPw. Para el cubrimitlnto E_n con fibra <l(l k puntClJ
F _ PI U ••• U P, lenemo::!
Hq(F) - O. q ;¡b. O.
l/o (F) _ M tiene un rango k.
El grupo '"'1 (E ) lH; ltí lt en 1(\ l ibra F y e o [os grupos.11 _ 11. (l').
I>nOBl.E.),fA z.. Demos',rar las igualdadc!
PROULF'J.lA. So Calcular los grupos l/e (IJ • • H) Y J1~ (8 . JI). donde
p es ~ ulllql1iera represe ntnci6n de r en tlulomo,fismos de un espacj()
IinoRL
pnOBLEMA ~. Calcular las homologias de I1n espacio lenticular
(véase el § 1,) U,::-' (q, o ••. , q,, _tJ para ulla upresentación p: l'I, X
X (L) zo Z .,. _ (raíces del grado m de 111 unidad. que actúan en
e - M).
Cons truir tales N!presentaciones lineales
p:Z",_GL {k. C).
para todos los q = O. 1. 2, . Al prino;: ipio. erectuarlo par.
n = 2 (lentes trldimcHls!ona ll'S).
PROBLC)fA.). Hallar la pnrLic ión oxplic illlmt'llU! o;elular do UDa
esfora $"'-' , invnriantc rQ8pp.clo a la Ar,I" ACión do un grupo Z,. .
donde unll trAnsformaci6n blÍsica T ac tua M í :
, ( !!!.! ~
., 1:,,)"- t '" %1> t .. z~,
(1;111 + " , . + 1:1" 1~ _1)
2 ,~ lq_l )
t .. z ..
(véa~ 01 § 4). Esta pllf'Uci6n celular Uone pan n _ 2 IlIs células
/-0. 1. ,,'. m- I
y un operador de frontora
ÓU-_O, bO ' _ (t -T)~ ,
ao~=(t+T+. " +T",""I)OI , 00-' _ (1_J"I) 0 2•
UUlJ.undo toles ropro.s"ntaciones lineole,a del grupo 1"1:1, que todQ'
Jos H: ("1 , C") ... O. cons t ruyamos un intoresonte in\'lI r ionlf
§ 11. la. homoloqla. y al g rupo lundam .. n!al '47
topológico. lo ttorsión de Reidemeisteu I\onsiderernos un complejo
do ca deno s de la representación p. Los grupos do cndenas son espacios
lineales complejos con bas('~ lliarcOldas (cMuhs ~~). En virtud de 111
condición H: = O. q # O. tenemos la sucesión exact¡¡ de cadoD3s
O_Cr...!C~_l_ .. . ~CC-O.
donde en cada C~ hlly UIlR LAsc mll rcada eV) ={~}. El arbitrio en
la elección de~? l'S ,,1 ~igui'-' nte: ~_±g(~~). gEn l' Electunmos
el ~iguiente prOI.'1lSlmienlo; cscojnmos en C~_I atril base: su primera
parte es una b¡¡se en un grupo ilCl:, obtenido de oj. La segund&.
parte se escoge arbilrariame·nte on un espacIo C&_,lIrna.
Des ig nomos o una base nue\"a en Cf:-I por e"-I. Hay" un tlE' t ermi-
nante de paw del (e', ti ) d" uno b¡¡~ e ¡¡ lo otra. La baSl' tJ cn la
segunda parte de ce_2/lrna pas aen C::_1 oon ayud¡¡ de i) ; allí esta
base se completa llasta una bllSe completa en C~_z mediante la elec-
ción Ire base l'O C~_2/lma. Aparece UDa bllse ¿'-z en C'l:_ 2' T l'ne-
mos un de!orminante tle pa~o del (In-l. ;» de unn base vieja ell
~_ 2 a una nueva (la baste' "\' Ie ja" en c:: estlí fij arln por célullls) .
Luego, p9~amos a G::_3. etc. Obtenemos ! ba$('s 6"" en lodos lo~ e:
y llIl juego de números dct (e%. é-I').
Con sidef'('D)o$ el nú¡nero
R {C, p)_det (<.''' -1 , ¿'-I) del (e"-' , ;"-:)-J .. .
• •. det (e"-t" e"-"y- I~+I ... de t (,0. eO)l-Il"+1
A este numero 10 dl' IlOminaremos ,torsión dl1 Reidc rncistCM R.
El arbitrio en la elcrción de las c~¡¡u las básicas y sus orientaciones
lIe\'ll al cambio R ..... ),R. dondo h = ±dctp (1'11)'
Rl'sulla. que cstl'- nu mero (con el(nctitl1d h nsl1l. las multiplica-donl's R _ ),R . J. """ ± df't p (n,) no depeJHJo dlO la tri~ngll l ación.
y U un invatianw topo1 ógico (Iinool a tratos) dol complt'jo iTI"oriantu
de difeo morfísmo do ulla \"arit'rlad. !\o lo demo~tramos (véase [631),
PROBLEMA (¡. Cllkular 10 ton;ión R para 1(\s ll'ntcs tr idimClls io-
da!(lS L~ (q). donde q es un residuo (mod p). si p: Z " __ Vi. M =
= e con ac l IHI<: ióo de .!" "o forma de mu1tiplicnrcÍ<)1I por iY¡-:-
".
'"
Anillo de c.ohom"logi3l! .[0 la Itm tu L~ ('1) LO Il P impar y c U/llquiur
q tit'oC dOI! generatrices u E ¡JI. ~. E 11':
I/t(L, ZI') _Z ~.
"'(D. :Z,,) _ZI'(Il),
H'1(L . Z")_Z,, (fI_6 .. u ruod p).
¡P(L , Zp) = !,. {II:)
( ± lf' C.1 111111 j.,'t-· " c r ll ltiz r lldud,ln mQII /1 dc\ grllpCJ IP (L. Z ) = Z ).
pr;L'UI. r:~M; J)pmOSLrAT qlll' ti proUuc.to en H* (L. Z"l Liene l a
formo:
Ut' = qrf'. (2)
HCCOl',I Il IllOS. que 111 lllnte L = [,~ (q) bIl c vcLSlruí ll as.: L _ SJll.".
d ond e In /.:l'n!:rntrh g E Zp ac tu R en 111. ClIfcra 5 ' osí (\'bso 01 § 4.):
- - , (
2"'; 2, .... ' 1
(z ,. :1- t" :,. ('! P %: . . 1:.12+ IZ1\2_ L
Como 6.14 "'" v y w está definido unívocamente CO I1 exactit ud lL asto
en un s igno. 01 arbitrio en l a elección del número q surge 11 ca UllO de
trllnsformac.ioncs ,,_ Á.u , 10 - ±w p. es rL'Clprocllmenle si mplo
<:011 p). Al mismo tj(lmpo . o btunemos do (2):
¡t-.. },u., U_AV, w ...... ± U' , UV_±).2qW.
":O:'¡CLl'SIO:'-. Como el a nillo de colio.nologí as y operadore.!l 6., o.
son homOlópiwmentc i nvaria.ntes, los residuos q y ;¡ _ ±Pq son
cqllival entl'5. si se cons idcun los ill v(lria nl{>s hOUlOlóplcos de las
lentes. Por .)jemplo:
a) p _ 3. q _ 1 Ó ti "" 2. Los r(~¡ dUOll do forma ±;'." son 1 y 2
en lp (}. *" O).
b) P :. 5, q "" 1. 2. 3. 4, }.~ "" (1. 4. 9 =- 4, 4' "" t G llII 1).
Resi duos de forma ±i..': (1, l.) pn l$'
Por eso L: (t) y L: {2l son Ilomol6plcawl' nttl no equÍ\'nlentes,
cl p - 7, q _ 1. 2. 3. 4, 5, 6.
A' _ t , 4. 2. 2. 4. 1.
-~.' ... G. 3, 5. 5, 3. 6.
Aq ui un inva r i1m to hOlllo16pico (±}.:) no da nada, ya qU6 (±¡'.')
son todos los C!l!liduos (mod 7). dill li nlOll de 1:01"0.
vnom..r..MA l. Aclarar. cuáles lcnt.es son topol6gi<:amente distinta!
paNI p = 7. l1tilh/lndo la tot!!lón R. (Es interesonto. que aqui apa-
rocen por l¡rimera vez; topol6gicamoote di ll tint.8s vllried/ldcs corradas,
homotópictl mente equivalentes. Para lBs va riedades ll imple menta
-eonnlls esta cuestión es m" co mpl eja.)
f 11 . Lit 1>0lI'l01091 ... r .1 go'upo fund ...... nf .. l ".
LIIS homologlal! y cohomologi lls con cooridl'llll'S en la reprl'llenta-
dóo p porll l' = Z [:t,] también aparecer) e n los problemas sobre
la proloni'ación de aplicaciones del su bcoroplejo L __ X sobre el
complejo K=> L. si :n, (X ) ActÚA en l'l~ (X ) y cen prolongación de-
Les secclonos do (,spacios ribrados. véase el § 9, donde estos problcmas
fueron considerados en 1111 cno s implemento e,onexo.
Cons ideremos en calidad de ejemplo inl(,l"eson le l a cuestión sobre-
la con'lrncción en Ullll. voriodod n-dimensional (por ejemplo. en una
variedad 4-d imensiooal M') de una métrica do slgnlltura (+ - - -l·
Ya que el intl!rior de un cono de lut; en e l espado de Mlnko'Wski
R, • se contrae homolópicaml'ntc! /1 un eje unidimensional tompo-
ral mediante deformacióll canónica, tlflton~s un conjunto de conos
de lut; posibles (NI docir, de formas C40b de tipo (+ - - -» e n 1,\.'
es eqllivalente hOlllo tópica monte a un conjunto de direcciones RP'
I¡ara (Rn tenemos QtP".') . Por eso. OUelItro prohloma es eq uivo.1ente
• de construcci6n de un campo de ditt'cclones uDidimensionnle~
en M·, es dedt. de scc::cl6n de un espaeio Cibrfl(lo tangt'n te
e..!. .lJ4, fibra F _~ P' .
Puesto que las parti culoridades de un Collmpo vectorial típico eslán
concen t radas en puntos aislados (o sea . para los campos vectoria les
el obstácu lo surgo 5610 .!II p rolongar el C.!lWpO on un armazón 4-di-
1DoMional del 3-d imt!nsiona l) . lo mismo ~ justo para los eampOIl dO"
dif(!cdones. Tenemos uno coclldenn obstoculi tlldorl1 " (véase 01 § 9).
«E C' CM'. 11' •• (F» _ C' (M', Z). p\I(>eto quo Ji~ (lP3) =-
'_ Ji, (S') "'" Z . S in enlbor¡¡-o es correcto (loneiderar estll l'ocadeno
tumO una dase de cohomologías del grupo II~ (M' , Ji , (F) , donde
l'l, (M') actúa en l'l 3 (F) .
PkOlU.EMA ,. Mostrar, que s i a: - O en un ¡¡tU PO lit (M'. l'l, (f)
es posible cambiar In seeción (campo de di recrion('!l) en un 3-nrmllZón
de base, de tal modo 'lUU o: = O y es posibll' construir 1" .'Sl"Cc.iÓn
'0 todll la ¡H'.
Por l'o nsiguion tf1, tonomos dos cesos.
1) 1.80 varIedad /1.,4 {'s or icntohle y com pac;la. Aquí la ~ccl6n do
11, (M~) en 11. ( ¡¡ Pi) _ Z es t rivial, /J' (M' , Z) = z.
I'I<OB t.EJlIA jO. Demostrllr quo a: _ X (,~{') ~':'< una carllcterís t lcn
de Euler (Sil igual qtl0 J)<ll'n 10.'1 eampos vt'Ctorilll l's).
2) La variedad M 4 e9 no Ori l'n tSlble. Aqul teneolo~ a: E U' X
x (l\f'. Z ) = Z. donde" Pl'! una representación n I;) tri vinl l'l , (.11 ')
en l'll (F) = !..
paOOl,.f;M.A u . Deltlo,~rllr quo en e,te eMO a: ... X (.""). Así 00
.robos casos l a coostrucción dol cllmpo de dtrt>cciones (de mótric(l
do signutura + - - - ) eq uivale a la condIción A (M' ) = O.
PSlrn 109.'1 variefllldE'!l no c,(!rrll das 1.'.'1 inli>rel\ll nl 0 construir on .11'
\lna l11é tricn g40b' la cual r .. ern de un conjll ll to complldo ~o aproxima
100
Il la m6trk o d~, l'o'linko ws kL D" m31l"ra que 111 " nriedad a hLOH;) .Ir·
(topol úgiGll ml;'nk) permito 81.1 cOUl pnd .atión medi ante un punto 00
Jlnsla la vnriE'dad ;tl'::o M'IEn el lU ismo punto 00 E jij-, en vir tl/tI
de p roJlj cdados de l A rull lriclI da ~lillkows k.i, tenemos un puuto sen-
gulllr de grado 2 del campo do d irEoCe-ionos lHlscado (¡dcmosLrlltlol)
.lEs posible constru¡~ l'1l liJO un C,IUllJlO de direcciones (',on un solo
P\LDh,l singular de grado 21 E l pl'Obl('¡na MI reduce al Iln te rior, pero
es Ill!('esario que X (.tr') .: 2 6 X (.1/') .., t.
¡'){OnLE,lU' 12 Demostrar que las l la llcs h o molópicas do u, ropo.
de dirOfei oncs (o do métr icps de tonna ('j, i) en la variuda.1 ;\1".'
son definidns por los h<.o IflOID0I·fisOl05:n, (.:If"· ') _ Zs = (±t) (cur-
vas ccrrnd:.s. cuy3 r,ircun valllci/in carobltl la di recc i ón de las flochas,
:y do" _ 1), y tumbién por una c.lase de coho rnolog(as
l'E }/~ (M""¡, nn (BtI"'» .
U L)¡ I'LCI. S C'iW oxcluidos ..tu Jl.3 una roe t!! y U Ii punto. B I domln¡o
1"Csl¡lllto U c:; R'¡ tiene un t ipo J¡omotópico S' V S' ( \m re mo).
Sfa dado un cnmpo de direccioncs ('n .,1 do mulio U
U~ RPZ.
Uns, clase l'ODlotópiclo [/) ('s dot<.>roH llo da por un homoDlorCismo
a, (U)_ Z .!:.. z ,,,,,, n, (RP1) y t flmhi~n por Ullll c lflso de CUlIOlnoJO-
gh, (± 1')
±YE ll~ (U, 1tz ('R.P2)) = llHS1V SI, Z)s.: l .
dondo n, (U) = Z flctúa:clI:1: 2 (RP~) M I \"I.rlud de que l. (!tI (U» c:;
c.. ni (lR p l). En el ca 90 dado. ocurre la iO\·¡lr.;i6n do la orhm tnei611
(l . acc ibn do r es no Lrivi:Ii). El cubrimie nl-o k sobre K = S' V SI
Pig.4S. La ac;c.iÓn; r _ ~ + l .
1.iene la forma 1ll0lllroda en la Ug. 4.'). To,las las 2·cocad.mas 1'101\ 00-
<ciclos no col¡omol6gicos a cero. c: (K) z: l/; (K) - Z (veri[icarlo).
Cons ideremos 'como un ejom plo útil el problllma ~obre las clases
.homot6picas de aplicaciones de UD toro T' en un plano proyec ti vo
IIpr;
i 12. Cohomologi" de s~pe,.ficicl. de RI ...... nn UU
El invnria nte mas sim ple de una. a plicación 1 es el homomorf18mo
inducido de grupos fundamllntal05
1 .. :11: , (P)=Z+Z. __ 1I:1:(L'tPI) _ Z •.
Si el homomorfismo 1 .. es trivial . la a pl icación I sobre un armazón
unidimeMional puede ser co ntraído en un punto. Clasetl homot6-
pica.!! dtl t ales a plicadono.s (donde l. (11:1) => O) se rtlducen a clases
horuo tGpicu de aplicaciones de una esfe rn S· 0 11RP ' Y son determI-
na dos unívocame nte pO I" un grado de a plicació n (veri ficarlo). El
mb IntCt05a n te III caso e.na ndo 1'1 hOlllomodbmo le es no trivial. S in
rrultringlr la. generalidad el p09i Ole cOIu;iderar , que l . (a.) _ i.
/ .. (b) _ O. donde a y b son 01 paralelo y merid iano de un toro. Con-
aiderem09 dos IlpliCllciones 1 y g: 1" _ D\P' lales. que 1 .. - , .. .
Considerando el loro partido e n 111 pnrtición eehliar es tándar
de 111 .. o ndic iÓn le - K • • meoJianto una homotopla l h~ v ll mo:'l la5 apll-
u.cionl'sl y g n coinc idir en un armll.1;ón unidimenSIOnal. Un pll.f de
aplirnrlonea 1 y g sobN! u lIU cél ulA ",a. que eoillloid.! n un la fro ntera
8a', define UD .elemr-n to llist ioti vG_ dGI pllpo n. (RP "') = Z . desie-
modo por cr; _ cr; (at . J, g) E Z. ...,. 11", (ap'), qUL $0 ropn>5enta li D
eh'men to de gtupo de cnhomGIGglas
U~ ( i-; nI ('R.p:»). (3)
Aq\li P _ 1 .. - g.,
pn.)1ILRJ.t .... IS. Domostrar quo uI grupo (3) os igual a Z" lIi P
l'lI 110 t r ivinl.
1)0 mn ot>ra que Lenl'mos no mb de dos dif/!.rcn teli ciAses homot6-
pkn dI' aplicllcion('f! f: TI ..... 11.1)1 con un homomorfismo fijado le
de grupos fundamontall's.
§ U . Cohomolo g ias de las supe , ficles de Rle mann
hlpe, e llpticu . TOfOS d e Jac:obl. G eodésicas en los elipsoides
po lia,da les, Re~¡6n con los potend . les d e ~onas fi nitas
Ulln ~uper fl c i e de fl ielll8.nn hipcrclfpt ica de género {J es dalla
por la ('cunei6n
w l -P7,I"(z)=O ó w' - P1J+I(Z)-O,
donde P I,+1 (1), Pt,H (~) son polino mios s in raíces múltiplell (vea..sa
IiJ, pnto 11. § 4.) .
En cUIIlq11ier s uperfi rio do Riemnnn 11 están definidas la5 d ifa-
reuciales Jlolomorhs <tl (d iforcllcinlt'!I da primer género), qun en coor-
denada!! locales I '=< U + IV tienen 1ft forma
<tl_/(:)d:,
", C"p. 1. Receta. del dl'u1o de homologo,
donde f (z) ('J! ti lia fuución rompl"lo-analiUca <le %. Aclnroremos má.
abajo la forma posible de I (z) .
En un dcm¡Jlo importHl11~ de lll~ !\uperficies do Ricmann R,
de gen('fo g> (J IDS difere"'1cí nl,·s 1l()I l) morfa.~ tienen In forma
k= 1. 2, •. . , g, (1
donuo la .o;<upcrficio Otlt/Í dada ]lor IIn polinumio
'1" _ I (z - z,) Jo,) grado 2g + 1.
.-,
Po, .. , (z) _
Verifiquomos que estas dift>rencia lcs ~on holnrnorlll.S. Es c\'ideolc
qua 500 holomorfas fuera do los pun tos z =- Zt (los ceros del polino-
mio P. ,+I) Y= "" 00, E,¡ el ent'lrno dd punto z == 1:, es po~ible tornal
como parámutro Jocal t ... 11 z - ;;; , _ Cntoll(eS z ... ;,,1 + ::,. dz =
= 2~ (l(;. Y lHs ox pws iones i ) loman la forma
w~ =2 (~'+~l)--' d{..
~ / 11 ( ~'+:' -'j) V J .... ,
por eso Ins dif('rl' llc¡[ll c~ w" ro n z = Z¡ ~Oll también holomorfas. EII
un {Junto intinitameolc alej,,¡lo z.- 00 s irve de plI.rámelro local
1" ¡ 1 2<11:.
• - --_ . z = -¡:o, dz - --,-,- , dI;' dOlldc V .~. •
---cc~"~'~"~-~'~'==~ (¡),. = - ,,~,
/ 2' +1 V 11 (I - ~'IJ
.-.
(3)
Y w~ SOl) lombirn holomorlas pllfn k ~ g.
C1Jalquiern di fN encin l hol"morf~ (u ('~ lo.:.o llllent <1 ,,"xacl/ll: w ..
= I (:) eh = dJ (.::). donde 7 (~J es IIna rUMión primi tj"a y 1( .. )
es también una función complcjo-nnuJl t ica. Por !'so , In 1-forrnil W
en la superficie R es cerrada: dfiJ = O. Uno forma no nula fiJ nUllca
es exacta, porque 110 hoy fund ones holomodas no trivi~ les en una
auporfieio compacta R (véose 111. rnrte 11. § 4). Por anologín, la
forma-fiJ ... f(z)dz también es cerr"ua y no e,·Hleta.
Las formns fiJ" .. . , (¡) , p ll ra IIlla s uperfic.ie lliperelíptiCIl Rt
Ilon linea] ,uentl' indepondientf'.S (soLre los números Gomplojos). Por
1 - t -
ellO, los fo rm as Rew,. = 2(CI)~ ;- w~ ) , 1m w~ = 2T(w,. - w.)c om-
ponen hl bllsc NI \lll g r upo dl' cohomologias Ji' (R¡¡; :t) _ R +
.. . + t't (2g sumandos).
OIlSERVACION. El grupo de cohornologhls Jll (R; ¡Jt) de c lI lllq \lierll
superIicie de n iemann R se uf'Cine nJllu(anle uilerendalcs hol onlo/"""
fas. Su exis te ndll 1'5 un leoremn llifícil (,"t¡IIse IHlIJ .
s , 2. Cohomologla. de .. ,perlicf •• do Riemlnn lO.
PROIILr:NA 1. Dem~lrar que cualesquiera g + 1 ditorencillles.
holornorfas sobro una slI perfil"le de Ritmann de ~nexo g. son linelll·
menw depond iente8.
Escolamo8 una base do ciclo!' 4,. b¡. j "" t. .... g, en la8 horno-
logias JI. (R,. Z) tal. que sus Indices de Inters~tlones dos a dos
u..ngan lo formo (véaso (IJ. pllr tu I1 , § 15):
a, oa¡ _b,Ob¡= O (lIOb/ - Z"j, /, ¡-=l •... , g. l4r
Corta ndo la superficie R , pm estos ciclos, la tra nsformamos en un
4g-ágono Ji, (véaso el § 3).
Quedan defill idos los pClríodos de cua lquiera diferencial cerrada
por los cielos a,. b¡:
~(II"",A" Y IIl_BI , l_1, . . .. g. (5)-
-, &,
Sean: (11', otra diferencinl ~rl'tld ll; A;, B j, sus A-y B-períodos.
LUtA \ . El JUlra lo relul."i6n:
, J (11 A (,j' - ~ (A,Bí-B¡A;).
I 1- 1
(6)·
OE.,\lOSTR AClO!ll . En el 4g-ágono ¡¡, 111 Corma cerrada es eXllct/l :
111 "" dI. Por eso 111 1\ (11' = d (j(,';). Y en virlud de lA fórmu la de
Slokes
í ./1.'- í / •. H, "R,
Sean Q y Q' puntos en las aristns al Y al' del 4g-ágooo ñ,. que F.O
junlllln on uno on la suporfieit' 11
"
":n10nCC5. QQ' I'S un cirio en la
.,
" ~; • " R
"
"
,
"
Flg. 40.
! u(M'rHde R. Jlorno[ógico (11 ci¡;] o b j (v~nSl.' lA l igo 46), por eso tene--
mo,: J 1iJ=/(Q')- J(Q) - J ~)_O¡.
w "
'104 Cepo t. Recele. d.1 cálculo do homologl • •
.Análogamente , para los puntos R, R', que se pegan en los borde.!!
·b,. bj'. obtendremo~:
/ (R') -/ (llJ
- Al '
De aquí se deduce igualdad
J M~
~,+61 + .. ;:'+b¡'
= J /0'+ l/fIl'- J (/+B,) w' - J (/-A¡)ÜI'=A ¡Bí-B,Aj,
a l 6 , 41 &,
lo quo uomuoslrSl el lcma.
TF.oR~4 l. Para W/I per(odc!s (A" B I ) y (Aí, Bi) rk w:rdi/uenciales
/101()m()r/as fIl. {iI' se eumpkn. las /I/glli/mles reklci()n.es (rclaeilmes bUi-
/U'ales de n lemann):
,
L: (A ~R~- B~"H, )=O,
.-,
,
-ir ~ (A~B~-B~.4~) >0.
.-,
si la diferencial ro c.~ dlstú,tll de erro.
(7)
(8)
Df..lIOSTf<ACI6N- Si (loclllmonle) (O -- f (z) dz. 0)' = g (z) dz son
diferonciales l\Ololllorflls. en tonces. O) /\ 0)' = Ig dz /\ di: = O. Por
eso, en virt1ld del lema
,
~ (A_B~-B~A¡J=O .
. -,
La primera relación queda demostrada.
Consfdoreruos ahora la ¡nlag",l - ir .~ O) /\ oo. Puesto que
- ",
.(0] /\ 0)>:> -2l lf lt d.Z' /\ dy. donde (iJ=f(;.)dz. esta integrol e.s posi·
tiva cuando O)-=¡!:O. Por eso tendremos, uti lit8ndo el ¡aoHI al caso
-(0)' '''' 00:
0< - +, l' w /\0>= \ IIl l d,z /\ dy ... - ~, ~ (AkB~-A_Bl). ¡J~ A,
El teorema queda d~_mostrRdo.
8Cla tiI, •••• , ro, una base de difereDciale8 holomorfu sobra la
"',perficie hip9rdíplica de Ri('wann R,. Sea.
A'J= ~(t)., t.I=1, g. (9)
"
Del teorema demostrodo so deduce
COROLARIO ,. lA matrl~ Al) e:s liD degenerada.
DI:U\IOSTlIAC10N. De la fórwula (8) se deduce. que una diferencial
holomorra coa los A-periodos nulos, es idénticamente Igual a cero.
5.i la matriz A!I hubiese !lido degenerada, olltonCQS se podda cons-
truir una diCerencial holomorfa no nula con los períodos nulos.
El CQrol/trio quena demostrado.
Según el corolnri r¡ 1, os posible oscoger una base nueva
,
C,~.¡-l + ... +c«~ d " IP:~"".I" z= ¿¡ tl ~Wt_l+t,
. f p,,, •• (.) '_1 k_ t • .. . , 8
tal , que los A-pí'riodos tengan la form a
~1fl, _ 811 '
"
/ , 1=1. .. , n .
(10)
(11)
Sea B/I = ) <PI uoa mn t riz !tt> n-perlodo~, construida por est8
" base. Del teorema 1 se doduce el sigu iente corolario.
COROLARtO 2. La malr!::. n. 1 es simétrica y tiellt! una par~ imaglnar/J:J
dellntda positiva.
1JE:.'IOS'rI1ACtON. La ::;íluolria de n/ I se deduco do (7), p ara ÜI = (j'¡,
fil' = qtJ. Apliqllomo~ ahora la desiguahlad (8) a IlU:l diferencial
bolomorfa fil = "'1'i'1 + .. + z,'llll' dondo XI. son JIl.i. wl"ros reale-s.
Para osta dileNnc iúl los poríodos A ~ lieneu forma A~ = x~, y los
periodos B" la forma B~ =- ;¡:lnl~ + .. + x I/ B,,, . Do aquí se
deduce- la desigu:lld:ld
•
0< ~ h (x_(X¡B¡k+ .. . +xtB~.) -..r:. (xtnu + .. . +.%,.B,..)J-
• ¿; z¡x.lm B¡.,
_.J _ _
lo qua demuestra la dllfinición positiva de la matriz 1m BJ~. El
eorolario queda demostrado.
Construimos por la matriz (Bu) on un e:;p~cio C~. un foUculo r
sobre números enteros, cn~,'endL"D.do por los \'ector\'s linealmente
, .. Ce po 1. R .. c~ •• d.1 dle ... ,o d. ho ..... logl ..
iodr ¡K'nd ienl(,!I t " . ...... . ' dond(> (tt)' = 61_ . ( ... . u )! ~ ll ,~ , k -
_ 1, 2. . ' . g.
El retículo r d(>fine un ton, 2C-o.IiUll'n5lonal ]", = ('/r ( .... 68SO-
H I. partc Ir. § <1). Hornada toro tú Jarobl (o /XIrlednd de Jaco /A ) de IR
superficie do n iemonn R .
C.ONCLUSION. EltOfl) do ~acoll¡ r 'lll es aholiftllll (v6ase [j}, parte 1I .
§ 4) , E:taminemos. e,omo un ejemplo, un co~o dll$uperftcies t!¡> género I
(.cur vo!! olípt icast); wI "" P, (z) = (1 - J,) h - z. ) (~ - : ~). En
cst.c caro hay dos ddos a" b, (véoso In ri g. 47).
- ~', ~ 1!J /-
--------'"
"
FIl!. 47. Cicl O,!J en la luperflde el íp tica do RI~mlDP R,: ..,t _ (. _ :,1
('_0'; (1 _ •• l.
CaD l. linn pUDlud. le dcslKna l. pnl. del ciclo ~, que dneallsa !obr. ID
M1l1n<la baja,
Aquf Sil til)oe 11M dirt'Nlo\'in! hoJomorfa IfI - cd,!yP. (z). don-
de el numeru e ~e l'M:OIl't! dI! In «Indicl6n ~ !p _ I. Tomemos 't _
.'
... B" <::O J til, r!nnoo 1m 1: > O. Los \'('CLor~8 1, 1: detl'rminnll tItI toro
" bidimen~¡oJ\al de Jacobi T' tle la superficÍI" do Hjemaon B,. La mis·
mil superficie R, es equi\'aleo tc a l I.oro (como uoa var iedad: " tase
It l, pa r lo 11 , i 4.) .
Es ln cqui valencia se conslruye así. Fija mo.'l un punto p . sobre
la SUp('rficie R" Para un (lunto lltbittario P en R, o~Hn/)mos la
magni tud A (P), suponiendo
p ,
A (P)-¡·~S /" .
P, P , 1 PJ (o)
(12)
La cUrYo (el c .. mino) da integración, q Ull conduce e ll la super-
ficie do Riemann dl"l punto P, en el punto p , e~tá delinidl\ no uni-
votaOlentl", con e)"ac l itud 1,Isla nñad ir walquicr c.ielo. rl'lr eso
A (P) está dl"finida sólo con oxac titud I,pst,,- Ja combi noción lineal
con coeficientes enteros de los A· y /J-perlodos de IR difN'encia l q-:
A (P ) - A (P) + 11· 1 + m'1", n, m son ~nlero~. {ia}
De manera que ~st' definid., la IIpli r.ndÓn A (P ) de la .'!!\Iperficle
elíptica de RicDlanll n, en su toro dc hc obi r.
i 12. CohomoIoOO.' de ."pe,lIc1e. de Riemann , ..
",rlllblACIOY t. La aplkucUiIl A (P ) ~s regular por doquIer , " na
su dif~l~ncial ~n nlngumt parú s~ anula.
I.a demostración es evide nt..l.
r.onOLAIUO. La aplú:acl6,¡ A (P) ea un llOlTWr!lsmo (COtnpkf(¡-
anlllWco)_
DL\iO$TRACION. De Jn anler ior afirmnción se deduce, que A (P)
e.'I un cu brimiento . .F.s tLl claro. que A (P) t ransforma las gcnera tricCl
a,. o, !lo.! grupo n, ({t,) e'l III!! generatrices d(' l g rupo n, (TI )_ Por
('sn 01 <"" ubrimien to ,1 (P) es lrÍ\' ial (véllSfl (ti , parle 1[_ § f 9). El
corolario quorta demos l rllllu.
OBSJ:n\-A.Clo:>. En In looría de fu nciones complejo-analiticu sa
demuos lre que cualqujl>r toro complejo 1"' ea un tOtO de l;'\cobi de la
suporfic ie e lf p tte.a do Aioma nn.
P arll el CllSO de /lu purf icies h i JX! re llplicllS H" donde g > 1. para
cualq u¡l't juego do puntos Q, . . , " Q¡ do In sU IKl rfic ie R,. esU. def¡ -
Ilido el vecto~ A (Q I' _ .. Q,) = (., " , _ .. A'), donde
AII.(Q" - - ,- Q,l - J. ql. +, ., + X !J'a, {,- L . -. , g ( 14)
Aqul "'" ___ , "', " S llllA ba~ estándar de las diferenc ial!'s halo-
tl:lol'fa s , normali t odl'lS por la condición 1 q>~ - 6'l_ Las (·urvAS de
",
intC¡::fl'ld6n dasd6 un punto fij udo Qn has ~ D. los pu ntos Q¡. , .. , Q"
se el igen con\'encionllto.,n te_ Estas curvas estlÍ l1 definidas 5610 con
e:uetit lld hasta IR.'! combin"ciones con coeficientes enteros de los
~ido~
Ol)l - Q~Oa + ± m ,a, + ~ n,"'I' ( t 5)
. - \ i_t
Por eso los magnitudes AA (QI' .. . , Q,) estA n doli nidns con oxocU-
t ud hnsta los períodos de (j¡rc rcncia los Ilolomorfll5:
AA (Ot . . " Q,) __ AA (Ot .. " , Q~)+ ~ m,6u + ~ nJOa l ' ( 10) ,
o blt'n
A (Q I' _'" Q,)_A (Q" __ -o ( 17)
dondl' r
"
. , .. e" SOI\ voc tore.'! cons truidos mil .'! arri bn y generatrices
d(\1 retículo r . Por C!(I ,,1 vodor-func i6n A (Q" , .. , Q,) 101M ,'nloTOS
en 01 toro de J ocobi T'~ - e' /r de lo super [(cie do Riemnnn R ,_
Estn oplicación /le lJ ama aplic-acwn rk A bcl.
AflmMACJON 1. La I1p lictlt'ilSn tk A~l ti; Inutrllbk, " no hay coind_
fUntes M tre lo, plinto, 01' . __ , Q 1:_
, .. e .. " , 1 Rece'ft' d .. 1 c~leuto d .. ho mo!o9í ..
DEMOSTnJ,ClON Pon simplifi('.ar lo~ cáku l o.~. considereraos, que
~n tre l os pun tos Q, . ... , Q, no 111l)' pllnt os do rnmihc.ación. E nt onCe!.
1:'11 el entorno do un punto Q~ ('~ posíhll' tomur 111 coordenada z = 1)
('n calidad de un parámetro loen!' Calculemos jacobillno do una traJa-
lormac.ión A <QI> .• _, Q,) o sea. dH (OAi (0, - . ... Q,JíJz h )). El
cálculo es có modo hacerla en la base w\, •. • . "', (fórmula (1». Enton-
c(>s obtendremos
DAl ~t - I
--_ j, k= J, .. _. g. {J;¡~ V Pt.¡¡., (t.1
Obtendremos do nqu¡ pn rll d jacobillno buscado:
. .. (Mi j_
'"
. ---lIVp,'l"('~)
.-.
(Hemos utilizado la ex pre~ i óll conocida del ál gebrn para un . determi-
nante de Voodermondel .) Está clllro, que cst(l jllcobia no t"s distinto
de cero, si los números %1" _, z, SO" difcfl'nll's de plU ( '11 par. La
/!firmación queda demost r:ul tl.
OBS.EIWAC10N. E( problema de inv(!rsión de la aplicación de A lJel
es conocido ell la gffi mel.ria de las superficif's de Riemalln como el
Iproblema do invcrsión do Jacob i ~ . Est" probl"ma nd mite una solll-
ción explícita; cualquiera [unción si métricu dI' la, coordenodas
JI!" •. , ¡, de (os puntos Ql" ... , Qf se ux prosu medillllle una a-fun-
ción de hcobi-Ri",w/II1I1 (V':;II~ !t . parlo 11., § "). cOlls truida pOI"
un toro (lIbeliano) de ]lIcobi 1" ' . D~nu.)~ uno f"rmu[a para co 1eulllr
la suma de las coordenadas ¡, + + JI~ de lar puntos Q". ., Q"
sin brindar oqul fórmulas generllles:
d' ;1+ " +.¡,=~ lne (Yh . . , y,) + r:", (18)
dOnde el operador :z tiene la form/l
ademas,
' v '+ v" di= fa¡;- ". + , "v, , (1 9)
k_1, . . . , g (20)
(las magnitudes r:"fJ. esUn detarminadDS por las fórmulas (10»). e 1.'.6
"Una constante.
, ...
Lo" propios puntos Q, • .. " Q.l l'e determ inan a partir de las ecua-
don,,! A (Q" •• •• Qw) = y. uniVOCl\ml.lDte , con exac titud hasto l a-
pl'rmulneión .
Utilicemos la translorma('ión de Abel /1 la integración de las
l't uadones de Kovalth'skayo pa.ra el Olovi mitmto de un cuerpo sólida.-
pesado con un punto fi jado. Las eeUaCiODtlS del problema de Kava-
lé"sl: lIya ' ¡('ncn la forma (véase 13t 1)
2,. =qr,
(2 1).
~ _(lons t.
Llls ecuaciones (2 1) puaden ser (I~r i t.as eD forma do Horn illon .
pero 110 lA damos (véase más nbajo S'..lplem{'nto 1). Estas l'\: unr ionu-
t¡ljnen )¡¡s siguien~s intl'¡:mles:
f{ _ 2 (p' + 9') + r - 2111'l (entrgia).
L - 2 (Pr, + 9'(2) + '1'. (moml:lnto),
K _ (pi _ q' + Il",.',) ' + (2pq + "v.)' (in l/)gnl de J(ovnlé,·ska ya).
(24) ·
Ademál!. se c umpl(> la co ndición do conex ión v: + v: + ,,: "* 1.
ConsidoremOll UM. s uperficie ctl Dlpatible del nivel de ('stas in te-
grales: 11 -= ah. L = 2l. K = k". donde h. t. kl son consta ntes.
Si se cumple In condición de conexión 'Y: + 'Y: + 1~ "'" 1. lu .
ecnaciones (22) - (24) dan una superf icle bidimensional (var iedad.
invatia.nte de un s is tema rliná mico (2t» .
lnltotluc inlo! 185 coordenadllll'l' '1 en tos ta supl'rfic ie (vnl ables ·
dll Kovll lhskayo). suponif!ndo
ah + n (Z,. :r.l :¡= yR 111) R ¡l.)
' 1.1 - (TI zJIdonde X I t - P ± iq. R (z) - -:' + 6hz1 + .ti¡llz + ¡.t' _ }.:I
R (Xl' x,) .:.. _X~X! + i)h;tt~. + 2~l (X I + .%1.) + .. 1 - k".
PRO I.ILI!MA Z De rooll trar. que en !to.! vllrlabJes SI' $ , lll~ ecuaclonu .
(21) se elK-r ibirán en formn
;1- ± ~t.~ $1- ::;: f ~~I~ (25} ,
donde C[) (:) es un polinomio de quinto itadO. que tiene la ror llla
$ (:) =- {r [(: - 3h)1 + J.l' - k"1 - 2¡,IP) X
X (s - 3h. _ k) (: - SIl + k). (26)-
'"o
OBSEnVACIOx. La ocuación (25) coincIde con 1/1 &cund6n de con tnu·
1.ativiúad en la superficie de l\i\'tl l de dos inl .. grnlO!. indicarlA en [ti.
par te JJ . § 30.
Los segundos llIiembros do las bCUlldonu.'l (2.5) SOl! luucion!l!l uní vo-
«as e n una $uperCicio biperelípticlII de lUCIDllll n do género 2 . dada
por la ecuación w .. d> ~). Por U50 o!Jt.e nomos movi mientos de un
pllr rle punto! (PI ' PI) por ~ta S!lptlr ric. ill d(> l\ioolllO".
Por ejomplo. ~o n todas la, n,k(>~ d,·¡ po.¡ltnomio \l) (Ji:) t eDios y
distintll!l. Designümoslas por 110 < a, < /l. < /j~ < Oc- Si l o.~ datos
i niciFlles llflfll 01 sistema (25) 90 oseogon r~ll \ BS y taJos. <¡n!! 11 1 :¡¡¡;:; S, ~
'" /11, el) ~:J. o¡;;; al' onLonceH on ':ull l quicr lnslD ntlJ l IU$ nUILltlros
.$, (t) sedn reales y sa t isfarán las mis rllils dL'l!I iguald lldl'S. Lu~ puntos
PI - PI (t). P, "'" PI (l) I<e mon'o'/i u en la 1I00pi!l"ricie de Il¡omano
por 10$ cirios eneon lrad()$ lSohl'f' 10$ !!t'gmcnIO$ 1,1 .. 11tl Y lat . u ,1
", -. ,
Flg. ~8.
(véue la fig. 48). Estos ciclos están pcglld(lll de do:! ejemplares
(4\ .0,]+ Y 101 , 4,]- , la,. 0 ,1+ y ra~, a41- por los ex t remos de los scgmen-
tos correspondIente". Un . punto de (a:¡N (P I' P I) se mueve por un
toro bidimensi()na l (real). Para j"lograr las eeuneionC!! (25). apliq ue-
mOl a ellas la lra nsformación d .. Abe!. <.:ons truidll por uno r,urvp
h lpereli ptlcll de g~nllro 2, dada por la ecuación 11 .... = <ti (:). Aqui
tenelÍlGs dos dHoronciaJes boJomorh .. ~ independientes yL y
<v (o)
C
"',',',,,-y $ (0) , Hacemos
(27)
-(Po u cuelquior punto de la superficie de Rielllan").
AJ' In )lACION 3. De:puls eh la trant/orrntu:Un (27). las ecuacto,¡ts eh
Kova.lélJfh'oya (25) pasan a un sl¡~ma lineal eO/1 los (()fJ/icientes con/¡-
tard~: de la siguknte Jormo.:
tr A ' (P,(t), p!(t» _ O,
, ,
r,At(P,(t), P t(t» - T'
,.,
(28)
D&)1 0 STAACION. Su pongamos que los puntos PI (t). P, (ti se dis.-
Un¡ruen de Jo;¡ punloJs de runHi<:adón al>' •.• , a ... Entonces os pAr'-
metros loeales l'O el entorno do es tos punro" son ' 1' .r,. Por eso. OD
virtud de las ocu.!I.cionos (25) tendremos:
:r Á' ( P,(l), Pt (t))- \'~ ~(.,) +~1"?";~·'( .·.¡-,-
LA arirOlllción queda domoslrada.
= -.!.. Ir (()f¡i
l! 1"<1> (6,)
,
-,-.
PJlOBLr...'lCA l . Demostrar , que un sistemn de In forma
tU, '" l ' an;;¡
--di ' 1 ' .
d ' a J, ¡r iiiTa;)
--dt ' . ',
(29)
con \lna transformación d" Abel tambiá 'l paSll 11 ser tUl sis tema con
Jo.s ('oof, cien t('s <:OlUl l llntl'!S.
E l! ' -¡1l0r ele In arirruacion 3 tenemos:
A' (P, O). Po¡ (1 )) - , 1' (P,( t,¡), P,(t,,)).
De manen que después d lJ l l!(lSO o 1>1 \'a ricdlld do Ja.;obL elllislema
de oCullcione!l do 1<ovnl6v!lkuya se resulllvo eompletamenle. Pfltlt
obtener una dllPendencia u plicilll del tiempo' de las variables
6 1, " l' es noc(Osario invtlrtir el cambio de \'a rta blGS (27). o SCII. solu·
tionar el problema de invcnióll de 1acobi.
CONCLUII ION'. La varioded invarianto {H _ eh. L = 2l. K _ k l •
T - I} del proble ma do Kovalévskaya (el prolongarse en un d omi-
nio COlO pIejo). es un toro do Iacobi r· de l a s uperfic ie de Riem~UIl
{w' =z <P (z)}.
Ahora demos olr6.'l e jem plos de lW:l si !! te mlls do Hllmiltoo. q ue
admiten la integl'ación con ayuda de la lrftnsformación do Abe!. es
dooir, de tale!! .'IiStOlDIIS. cllyO!! toros iu \'o rl ll nl t'!'I . 111 prolon garse ell
un dOOli nio com pl ejo. 5011 tor6.'l de 1ocobl de lal! SI 'I>t'r[ic.iCII rll' !t ie-
mann.
II_GII U
r,JF.iMrw J R<,cordcmos, que 111 .ecuaci6n de con mull\ ~lv idnd.
b'é~~e 11] . pllrlo J L § 30).
(31)
dondl' :t = - ,¡tic,,:;! + ,,(.x) es un ope rador de Sturlll-Llouville ;
A • • Al' At , !>Gil 0p"rBdo~s dll"l'VlIcialell rO!lpecto a ~ , de 105 órdl;lnO$
pri mero. terc(>ro y quin to; el' el' son (:oDstanl(!ll. Esta cc.ullc ion puode
.wr I'scr il/l Iln forw~ de Lagrllngo
(32)
con lagrllogi:lIIu
L - L(u, u ' ,
(33)
LIIll! 501"r¡l)n~~ úel !l i~ lcma (3Z) son fkJwnein!l' l\ Il • .' ri odi(o~ 000 zoons
finHns (bil0nll leS) y casi pcriódk-oll del opu.'\dor :t (Véas6 1 t l . plrlo 11 ,
§ 30). J:;J 5;51('011\ de HaOliltoll correspond ien te, coo dós gr/ldos de
li~rtlld, t iello dos inLcgral e.."1 indepeudientes JI' JI en lu voluclón,
o sea, I'S inLu¡rtnble c:o mple l amo)" LI" Las cOOrdenadllS l'xpllcilns
YI' )'2 on la! superfi Cie! de n ivl'l do e.~la..~ ¡ulogrll les tiene fe rml\ (plHa
el CII SO el - O)
U--2()'l +Y2)'
r(3u
'
-u·)=)'tY.- -} ~ ¡.¡ i.J• (34)
'<,
donde~" ., " , SOIl ra(ces dlll polin(Jmio, p$ ("1) = O; LII ex pl'e!liÓn
do los .. oeflciontes del polinomio P, (A.) pOl" medio de Ls ~ ('.onsts nw-s
el ' cI ' e. Y da 1M iutegraws JI ' JI es duda 1111 1ft,! fórmulu (30.30)
de la parte 11 del libro [iJ. En estiloS coordenadas l a ecuAción (32)
le. escribe en una forma coincifllml.c COII (Z,'i) dOtipulÍs de voh'er ,
dosi¡nar -'1_ )'J. t_~ (11), pule 11. ecuaciones (30.33» y por Oso.
tambi6n s-e i ntogra por el cambio de Ahol. (Lo. ! uperficio de Rie manD
de género 2 os dlldll, en este caso, por el poUnomio P, 0..),)
PrO!temos 1I11111Ción a que las fórmulas (29) descrlbon la dllpllri-
denclA tempural u (r. , t) de 1811 sol\mit\nell de la ecuRción de f( dV
(véase [11. pnte TI. §: 30), Jondo Si ...... )'1 (¡veriCIql!esol).
o.,sz,lI.V:.o.CI OH. LAS ecullciones de coumutntividad de órdenf'S supe-
riores sé inlf'¡rlln tIImbién por la transformación de Abel y por eso
denon, como vllriedllde~ invar ill nt<'s (on un dominio complelo):
los loros da Ja.cobl do bis ~uperllc ¡úS h ¡ptll'1lllptl clI~ de Ri\l mo.nn de
vénoros 5uperioro!.
§ 12. Conomolog'.' de .uperfiel.' de Ri.",.nn
r,Ji","'''LO 2.
una partícultt.
En ... 1 probl"OJIl .le Neumll l\Jl sobro e.l
en llll" OI!fera bidimensional
'bajo la influen,;ia ,.h> "n powndal cuadnitico
,
U(.r)= ~ ~ n,.r1. It¡=oonst.
~o
18s ecullc.ioo tJs d I' movimi anto tionell In forma
X ¡ "" -Q,l', + i>, (t) x"
,
.r~_~ ,1'1=1.
,~~
t=o, 1. 2.
'"
Jn()vimitmto do
(35)
($6)
(37)
(37')
donde ¡,. (t) C~ un m ulti pLicndor ,Il' Ln~rlll1;¡:(). qll~ s urgú u cllu~n do la
l\lIperp,,~iGi611 dio' In cooexión (35). El 1\ iRU'ma (37), (3i') P"I',f(· Sl'r
ohlcnido de UIl flujo do T-l oOlilloo en RS c(¡n lHlmiltOllilloo
,
H = ~ Z a ; .1 '!++(:t.2y2_(.ry)~)
; -0
JXIr una acotaeió r, ('Il JI<. ~1\rer!, ,1;" = 1.
I'HODLI~A .¡ Dl' luostrar !jU!' ¡ns fUIU:ioo!' s
F~{x, y) =.:1"1+ ~ 1.'=0. 1,2,
.~.
(.':18)
(39)
son un s is tt'mll dll int t'lfl'll los lndf>ptl-nd i(' n tl'g (' n I ~ io\'oh1Ci611 par~
un sistcmll COTl hnmntoDinno (:i8).
El propio hamiltoniano H tilllle la forma
11= ~ :Lt a,P!.
'-0
l'RO ))LElIIA ~_ eomprol,ar que I.~ Iransfor(llneió"
,
x'_y , lJ' c: -7 . [J'=L ,¡¡ ' F,
.="
I~O,
(41)
Ir/lusforma un flujo do l [Hm iltnn ro ns lr"ido t'n un flu jo gcod"sico,
en un olipsoid(, triaxial (. pw!,ll)mn oc J neol,i . )
".
~ J'¡ ~ 1 11,2)
-,
.-,
'"
Ca p . 1. Rece'.' d el dJ""lo de homologl ..
(ltl5 gcodésiC.IIs el"! un elipsoi de tr iaxia l fueron halladas por J aeobi).
).(ostremo5 que e l problemll de Neuma nll (y. por cons iguiclllu,
vi problema de J:\cobi) se inll:!¡¡t:t por la lransformltd6n <le ¡\h~\.
Il educimos ul probl l\mo de Ncumann. siguiendo 109 trabajos moJer-n08, :.1 yn cons iderado problema sobre lo! potonciales bizonnlllS
(. ecUlI.donG!! de conmutat ividadt (32».
SOliO 1/'0- 'IJl .• ' 'll= funciones propi35 do un operador Z ""' -d" 'dl.,1 +
+ 11 ("") con propios \laloro!' ao. "1 ' a., corre.~pond i l.lfllemente . o soa,
¿oo lucionl>s da 1lC1Iaciones difcr6l1eiale!\
, ~ O, 1 .2. (43)
Las ecuacionos (/13) vud\'en o escribirso ",n ffl rrua
"Ji = _ a,'l"'j + ti (;r) 1/'/' I .,. 0, l . 2,
quo l'o iocidc con IA9 ecuo.eiones (3i) del proble llltl de Ncu mann de!'
puó" do \'Qlvllt n dll5i~nnr % _ l. ~I ....... %,. U (x) - A (t) (mu1ti lllinl<
dor de Logra/1ge). Qu~da por satisfacer la o:cuación de (ollu f6o
~ z1 os 1. E!lCojamos pau e~to un potencio l bitnnal u (x) . de tal
mant!'rlI.. quo l os ceros Ao ..... A. de l pvliuomio ('()Jnl" l)OlHlil'nle
Ps (A) (véase uui s arriba) longall l'l f<l rm A:
A..,=>a,,< ~. , < i..,;""' a, <~<"~ -cz-: ,
• P, (Á)_ n (Á- Á,)
'-0
(45)
(oextrornosderech03;d¡o ltllrun89 en 1'1 e!'ptl\'lro del operador :t: \'éQ B
! ti . p:l rw 11 . § 30). Runlt. q utl las soluclooes qUe neec.sila mosde lu
ocllaclonoo (/,3) l\C exprll8l\ lI si mplemen te por lall varir.lbles )'1' y,.
detarmlnlldrls por las ig ualdade5 (34) .
PIlOBl.I':MA • . Demos trAr que las fun dOIll'S do forma
t"",O, 1. 2,
donde a, SO /1 COIlSlanlt!5 '1 satl5IIlccn 18.lI ec uac iones (43) •
•
s i ,,= -2(Y ' +YI)+~ '., .
• -0
(4Gl
y; - 2, 'V p~ (y,)/ IY, - y,), 'I'~ = 2t V P,(V,)/(l'z - Y, )'
pnOUI.!.MlA 1. Dl.moslrf\r. q\le ~ i se o.«eogen consta ntes a •. "'10 a,
en forwa
a,=1 n (QI-OJ) J-I I~. 1= 0. l . 2.
; .. ,
§ 13. P,opj"dede. de- la. " .,Ied. d" , d" KA),I .. , oo.
entoaCtls, parn 1!l1; fu nciones '~I do forma (46) se cumplo la condició n
de conoxión
~+~+~_ t. ~~
Las fó r mulas (4ü), (/j i) dan una completa reducción del problema
de Neumann (y, por cOll~iguhmte, del probl('ma de lacobi) al pro-
blema de inversión de J acobi para l a superficie de Hiemann de géne-
r o 2 con plUltos de ramificación (4.5).
Es r ll rioso n otar quo, a pesar de la coincidl'ncia de los toros
invariant(\S y los flu joll ('n ellos (I h ~ s t a en un dominio complejol)
pa ra la (\cunción (32) de potcndales bizonales, así como ta mbién para
los problemas de Neu manll y Jncobi, todos estos sistemlls de Hamil-
ton no son !'.a nónicamente equivalentes (¡ verifiquese l).
Los qistemas de Neumann y Jocobi con dos grados de li bert.ad .
considl'trados en o.Illl a ll e por noso tr l,s . casi automá t il' amento vuel v(!1l
a ('.srd birse p"ra las d ¡'ll ensione~ grandes. La i ntegrft c;ón de esto~
s i ~ tI'JI]II.q siell1pr(' put'do l'i.'t t l'duci rln ti potendnJes de zonns filliL 8~.
& B. Propiedade s más simples de las varIe dades de Kahler.
Toros abelianos
l>ErINI CiO~ J A Uflo' \";1ri<ldad cuml,le j" /ll:~ con una m~trj cJl
Ill'rmitiana dsz -= g",¿ d;.a I¡¡~. c\olHlo ¡,,~= g~o.' ~" In lIamor! d,'
Ka.hltr. si uno 2-(orOlo f('111 corre~ p,)ndjenw. Q - + h 1!,,¡rd~"' 1\ Ili ~
0<' es oorrada : aU _ CJ. Til'lle ¡ugur lfl afir ffi:,ción (V~IISC [ir , p:ute l .
§ 27): para una métr ic.!l ole KahJ¡'r la forma Q~ = Q ti . .. 1\ f! ( Il fac-
tore:!) e~ un elemf:'nt" rte ,,<!lmUI'Il 110 n "Jo mú lt i p le:
Q"=cdV "P'c l" det {!o~dz ' l\ /\ dz"/\¡/z'/\ . . I\dí", c.pO.
("1 )
COllOLAR IO. Las j l/mms ~!I, i = l . ... , n en una IHlrieaud C"o mpactll
de Kuhur lW son cohom{>fúgicotl (J I/ulo. Por eso. I{>s grupos Il"(M"" . :1)
SON 11 0 trivjales.
DEI>!OS"!"RAC'(j/< . Si la formn Q e~ e.~acta,
formll Q " es oxactn, Q " _ d r (» /\ Q /\
va riedad (.o mpacta lenl'.OJo.~:
J n"-==c 1 11V ~ O.
)1'" ""n
fl = dw. " nlonces la
1\ Q). P ero en una
Esto :,lIgnifica que la form a n no I'S l'xa.cta. El t;orolario qlleda de-
mostra do.
EJJ'.MI'!.O' CllalquierA SU¡:Hl rfiótl de I\ iernl'lnn e.'l una varied ad de
K ahlt>r por ratonamientos de dimensión.
&I" ~"'I'I.O 1: Una mll lr ic" I'Pr ln it innn en CP" ~e obtil'ne de la
fur om
" " . (I~z=:B (h~dr" - (l: z~d? ) ( ~z' c/z' J
A_O ~-o /· n
(2)
en uo ('sp'.cio C"· ', A la cu" 1 cun sllll'ralUO"- cornil unA rul'ru ~ l'n 111
o~ fem $S". ' ; Iz·¡t·+ ... +I:~ I!=- 1. V(,f ifi qllcnlll!l ' IUO! la form.l di'
(!.S h, .,tl r l;m le respec to A In! Irllllsform"c:io/le,
-i' ..... ",¡vi', :"' __ "'.~?
Co u ];, t ransformación illllicnda u blontl rll mo.s:
d;:~ _ e'" (d"z· + h~ J<JI). a? _ e- l. (di- -ii' dq.),
/ls f que
~ di!' i? - ~d:- i'i." + Ir 1:: (z" d~'-? di'J ] d<p + rI'I"' .
. . - .
:E =" dí· --- ~ =" d? - irlq'. r z' 11:; __ ~ ? d:J + tdf'.
" • J I
]'or c:o lIsig"ien l<';
~ dr!' a-:"- (~ r!' di·) (~ :1 eI:l) .-
_ ~ dzAII?_(~~. d? ) ( ~;I di' ).
De ffilllmrll que t's posible ('(III.'!idel/l r In fOf WII d~~ co mo unll métrica
CII CP~. L:l fnr oll1 Q, dofinlofl ror t's l ll mi' tlcll. e~ flc l tipo:
E n ¡ !I esfora SZ" +! tenelll (¡S L: ¿<::".", 1, (1 " dund,' ~ t~ 11:"+ ::E z~ rlr!' RO
-O. Por eso la acot lle i6n de !J. (nrm\! n on lH o ... feru d"
(')
Esh fo r Ula 03 c:o:rra tla (ha , ido considerada eu el § 1 ,1 eJt.:a min ll r un
Iluillo ele cohOffiolo-gias del eSI)!lcio CP·). por eso la \'a r icdlld { p n
e5 d I! Ko bl<'r .
I'",JOIIPLO s Ahora demos un ejemplo de u n, var iedad COlDIII " J"
CO Dlpa tl tll . que no admite una estruc t ura de Ka1L\(,r , o sea la var i90nd
do .Hopf. })eslgnemos por r a un gru po. qul,! nC'úll Iln eL o:spllcio
Cn ....... O. cngendrsdo por 111 t ruusfor mllción z _ 2, . E~ tli. elaro. que un
·facto"r (C",U)/ r por ~.s ta ucci6n es tilia varilldad com pleja rompuct~.
homeornorh I!. un producto d irecto SI X ,52".'. Bntoncc5.
ni (SI X ~,... I . R) = o {n> t }. Y no ,es posihle iaL¡::oduc,i..r uoa
estructura do Kahl ¡,r ('n e.!l t a variedad si ~ >. ,j .
& 1," d~ida!l (.'11 la y" r~ed !l~ do .KahJ.e.r 1q:lJ)e ríodos d,o l,!l r:ql'ma
.Q que $(In ¡¡w; jnlegrp,le.s por los c..icJ,os bi.d,i),llcn!\io~If;S de H " (M . ... Z).
So dlc,o QUO l{l .variedad es 4t 1l0.r)IIC, !li lM9!1 los Rt\rj odoa d¡tI)¡j {or,ma
() sou eU,te.~t;ls ,(o se haceu enteros despuéll d,o u\uLtipliGl\.rse ,por un
mi."JUlO o,ú,o)e~o, 0_ M2).
Por l'jelllJ)lo. pJl.rlt liI "lIde;dad r;p~ SlIberoOS que }(!I..Cp~. Z)_
- l. pur ellO e.s pO.!lihlo roultipijcac u,na m6triClI d$I pol:' .~ nÚllIem
eonvonienta. pil ra que 01 único ~'¡odo de la form a O se vuelva un
número ('nlel'o,
l'ROBLE"' ''' 1. La gllneratriz en el g rupo IlI (CP '" , Z) es una sub--
"ariedad e pI. dada en CP" pOI:' las ecuaciones .11= ... _ ;" _ 0.
" Calcula¡' e.1 periodo du In 101'ma g-+ ~ dI' A a?por est.e .cielo
.-. (mu ll,lpliCl\dor nOrm&UZlInw) ,
,U'II'I MACJON l . Una $ub~Y1l'Iedad cOMpkjo-6f1o.l!ttco. N I ... lk lo.
uariniud rk ,Kahkr M I .. , es de Kahk r, Si ¡lIu es eh R odge, t!Ilton~1
NI ... w/IIbUn tI de Hodge.
Dblo.s'tUAClóN. SOll R: f: N"'" _llf'a, una inOl.ersió.n; rbl • una
mé lrka hlJr.mi.t.ialla . q ue da CJI llf"" URa l'sl r uctuta de Kabler; Q, una
forma et'rtada. conoxa COII dla , .En,\om;es. di' induce una métrica
11etmiU8I\a r ~~I en t\,h. y la forma eonexa con ell a es igual .!, /*0
y tnruhi.í,1 c~rtll.do. Por eso, la voriodnd NI'~ es ae Kahle r. S i e e!I
CUAlquier cido bidimens ionnl en la vAril'dad N2"', entonces os jll ~ ta
la iRunldnd
PlI rll u n e,ielo con cOIlfiejentes enteros e, el cJdo I.e ~s tambIén eoo
«Ldlelentes entl'ros, por eso J Q es un número enltoro piltll lo "n~ie.
, ..
dRd de Nodge MZ" . Dc ~quí :;0 dt,duce, quo N'''' es de Hod~t', La
a$irmadón es tá. demos trado .
En la variedod CP~ se destllcnn subl'orlcdadcs complejas eom-
pa.:. la$ y II. lgtlhrllicl'S' La d ase más sim pl" do 0&1/19 variedades !le da
por un juego de eeulLcíoncl< (linltl-l':!l'cdone15 cum ple las-)
p'!:~'''', :z~).-: ~ ' }
F Alto" .. ~ ~ ) ... O,
(5)
dond Q todas las funciones F, . ' ... F~ son polinomios homogéneos:F¡ (ca¡., ' , .. un) - ~F' · (~D • . , ,,:,,).
.s, Cap. 1. Rece'". del dlculo de homologl ..
COIWLARlO. Todas las subvariaciones wmplejas rtgularts en el'"
SOn IXlri~des de HodlJtI.
OUSI!.RV "'" CION. Ceda subvariedau de este 1.Ipo define un cielo
N .... e CP". Para las subvariedlldclJ algebraicas oompactlls este
ciclo nunCA es cohornológico 11 nlllo. Rea l mente , sean: f: N~"'
_ CP", UDa inmersión (un encaj e); Q, una forma estándar en ep'.
En~onccs, f·Q os una 2-forma en N""', conexa con una métrica ¡ndu'
cida de Kahl(lf . Por eso, U*R)'" es un múltiplo no nulo de un elemenro
de "olnmen en ~m. En virtud de co rupacUda d. tendremos:
de donde J Q'" <#< O. El ciclo f.N= no es fronte rD en el""
l .i'otm
porque la forma Qm es cerrada y s u integral por c.ultlquiera lIontera
es igusl a cero. en "virtud de la fórml,ln de Stokes.
Ahora consideremos el caso, cuando los toros complejos l'tn :;
= C"/r son de Hodgo, donde el re t ículo r está en~ndrado por 2n
vectores Iinoalmente independienws e" ... , etn' La métric_a de
Kll. lLler on l'1 toro rt,. se obtiene, si tomamos l'n en cualquiera métriUl
herm¡t iana con eoefJciont l'S constllntes. Si e.n el toro T2n está dada
alguna métrictl de Kahlor, entonces. es posible hacerla media (inUl'
grarla) por el toro TU y obtl'ner una métrica con coeficientes cons'
tantes.
PROnLE.'IJI z. Demos trar que s i un;,} mélri(-a inicial es ue Hodge,
entoncl's. d('spués de hacorla medill, obtendremos una métrica de
Hodge con los mis mos períodos (consideramos, que el volumen del
toro Tt" es igual a i ).
Asf. es suficiento con examina r un caso do métricas con COtl ri-
cientes consta ntes. Cada tal métrica l'S definida por cier to producto
escalar hermftiano en en = R~"!
•
"" ,,- ~ H(r,y)= ~ ho:&ZIZ2'
.... '
(6)
H (z . y) puede sel considarada como una función biltoeal de "alof
complejO en Rtn X iR .... que satisfac e las relacionos:
H (y.x)= H(z,lI), H (ix,y)_ tH(z,y). (7)
Si H (x, 1/) = JI (x, y) + lG (x, y), donde F (x, U) y G (x. y) SOD
reales. entonces de la8 igualdades (7) se deduce, que F (z, V) =
lO.
- p (v. x). G (z. 1/) - - G (y, xl. F (%, 11) - G (iz. 11). Por eso. la
forrua F (.l' . 1/) NI definida como positiva y lodll la forma 68 de!lntt
por u na pllrl.e imaginar iA de G (z, ¡tl.
AJ/I.DMACION 2. El toro TI .. _ c",r tll de Jlodge 6'. y 1610 .tI, exlllU
un4 forma 4nttslmétrfcI'I rtal G (x , 1/) ... -G (y.;¡:) tal, que:
t ) la forma. F (x . y) .... G (iz. 1/) el rlmétrlca y definida po$itu>a.
2) G (t .. , 8&) es Wl nrlnuro entero pora cualesquiera dos ¡'-'CWrtB det
retfculo .
A ('Stas condicione.! sa las llaman rdatwnn de FrobelliUI.
DEblOSTR.ACION. En virtud de los ra1:onaruientos arriba menciona -
dos es suficiente con demo,slra r que la eondici6n 2) es aq\lj\'alent&
a que la métrica en 01 loro Tl n , defi nida por una forma hermiliana
./1 (x. 1/) _ G (iz, 1/) + fG (,2: . l/l, es do Hodge. Sabemos que el rango-
del g rupo H I (T'''. Z) es igual a e:" = 1l (2n _ 1) (numero de co nlbi.
oRc iono,!), donde l a bA.8(, do I ()~ cicl os bidimMll io/lDles (.In 1'1n t ie ne
111 formA c .. ~ = 1M .. + " Cllk' O ,z;:;; A, "" O!t; 1 (a. < ~). L3 forma (;
ee coneXA con la métrica do ' a hlor , por 1'.'10 I:! I Lóco 1"-" es do Hodiftt
si, y s610 si. las inWllI'll les do la forrTtll. G por lodos los ciclo!!!' .. o son
entoras.
La acoLación de la fo rma Gen I!l c ieJo (' .. ~ es Igual a G (e ... e&) X
X dA 1\ d~. y la intttgrd por e!:lte cido os igult l a G (e .. , e,). L R
afirmaei6n queda demostradA.
E n el § -4 de lo parlo 11 dc] Iil>ro [11 ClIt' introd uc ida lino iOlpUT·
taote clA!:16 de toros IIhclionns cOlli plejos. Si ¡],)finimo5 una m~trl!
" (BII / ) con las igualdades '"H _ ~ S UCI' I ~ ,.: ~ n, en lollces,
,-,
para el toro abeliano lo mntrit (Bkl) <Icho s('r ,~im,~ t rica y h' ller unll
parte Imaginar ia posilh'a. En flarticular, eu l'] flllrltgrnfo anteTiIo!'
se ulonró que los 101'Oll de Jaco!.>i de las superficies de Riemann son
. OOll lln05. Tiene l uga r la !lilJuieut., afirmación.
Á.U., ..... CTO¡.; l_ CUlllquur toro abeliono ti ¡L, lIodge.
DEMQSTNAC10N. Damo.!! IOUl formll IlcrmitirulU /J (,1:. y) ( " n I ~
Igualdad
Aqui la matriz (ti.J) ea invt!l'$fl a IR matriz; po:s itivlI defio i.rn
1m B . La parto imaginllri a de lo forma H (:r , YI (>!'j del lipo
(\J ~
on vir tud de la simctrla de l a matriz (~./). Co mprobemos, que 1;"
forma al1tisl métricll G (:r , y) lomll VllloI'('-s cDtero:s cn la bu!:' t I' ..
".
"t'," 1"" rel ícu lo r. 'l'cU\' rll!l5. pa..rll m. t ~ 1/:
(; (e .... (',) _ +. tia; ló! 8; - 616:') ... o.
-,
.o C (· ,~ , Cn!l)- ~ di f't_ J ( 6~" ñlJ-81J6~) -
. ;
= ~ ~'J (I,.:~ , ¡'¡, - b:, ,¿.iJ) "" bj ... - 11;" ,_ o,
. ,
doude " ... J¡"u LlIlruulU: Hlo las ul'signudOIl(l); {,j _ .." Re BJ~' bj~ •
- lID BJ~ ' As!. la (orlllft G (:1:,11) .,s con ,"ooficiall(.es ,enletos en el
toro 1'b = (:"', r. Es o,,¡denlo que 1" m;jLriCII herm¡.~i~ nll (8) •
definido poSiLi\·!I¡nanlo. Lft a firmnci Ón qUNlft demoslrada.
PROIl'Ji) I"" . Demost rar la corre.-:dÓll do lino afirmación invern o
-CII!\lqlr iur loro de Bo,leu liS abcliano.
NOll"tl1011. ("D o.'onclU!IÓn. qutl la iruponllurill. de la clase de toras
de HOdge (o Ilbolianos) consiste en que cualq uier tOI'O ¡¡beHallo puede
ser rC(l li tado expllcitllmentc COI! apula de ij-fu llcion .. ~ como Iml
9ubYll r inc i6n algcbr81ca regular en un l'Sp.1Civ pro~' .. cti\·o COIllP '~JU
<Lofshetz). -Eli te teorema 05 jU!to par~ lod llo $ 111o ~ \'II r i('dad('$ ,1(, H od~
(Kodai ra; "':II.SO (211).
§ U . Homologl .. con coefldenfes en los haces
¡':s n lnveniente doserlbir un t ipo más d(' homologi,." qUe ~ltD'
UIIII importune.ia osencial on diforent~s dominios de las mRteD,iticu
-(per" no en los limitos de los matcrial!'.!! de o~te libro).
Sea X U D es puci o recubierto con los dOUlinios abiertos U4 ,
·U U", - X .
• Exigimos que tll re..:ubdrnil.uto fl/",,} 8('0 _localmente l inllOl
(es decir , sólo jlll'gOS finitos dl-' los doro. nios U .. pUl'ut'n intcrsecarse).
OEfWICIOI'" 1. a) Se Ilanla prtluu }' a. 11\ corres pondencia q ue ,.
cadA dominio U e X le confronlll un C"r llpo abellllno (anillo, CAmpo)
Fu ; se exl¡o. que 11 UII eno:ajc (inOll' r:si6n) (' -= V le cornlspond~ IIJ
h OIl\" mOI' (is mo do u~s tJ;iccióM
lUI' : F, - ... Fr.' . (1)
S , U e II e H' t .ontQUc('s i o \!' = l o v(v",. ,El P1V[¡IlZ ,F doflnb .. e\
1'I'O h lll Jo' Iv tlll cualquior rluU\inio U c: X.
'"
11) El prehlu: P S8 lI11l1la h", •. si lkno ll,ls , iguientes pro piedades:
l) 5 .. 0. que un dominio U Sil rl'pM:!l'enla en forma de unión .de
dol!'liníos U,, :
U - U (]" .
•
Enlollces. ~ j i,,<>.l' (t) = O pn~1\ todo!! los r.t, un elermmto / f Fu dobe
* r Jlulo.
2) Cu~lquiet punto liel\l.' 1m ","torno basUlntc pequl.'úo f} 1«1.
qne un juego de oloonl' nt.os troordinndos./. E F ila se represen'la como
IIn con;11 nto de rest .'lccioll('!j de un elemonto común I E Fu. Aquf
U - U Oo.' l!o.~ = U .. n U" - U,,u
• tu",~u~t/J - tu""I),J", (. coord ¡n9cI6n.),
iU"-,A - f,,.
A LIII co njunto \' lIdo 0 lo: c<lrrospondo sie mpre un ~ i:'I'I); Fe _ Q.
Con el ~u,brim¡ellln fUo.J se relacio,1I11 1,111 comp1ujO si mplk ¡II¡.
tllen 'h! de recl\hr.i mienlot, e,~ ign:ldo por ¡\' (U .. ):
'¡1m! ver tk,el! n:" corl"W1 polldl'.1L 8 dominios (.; ,. :
2 lal! aristas 0:'1\ CMN'Sponrtcu 11 ptlres (lI G • [1,,). si la intor-
sección 6!1110 vacín. U,. n U~,.. 0;
3) los tr¡állg\J l o~ o"!. ~, c/¡rrl°~pnnd,, 1I 01 trí" (l.. " . U~, Uy). (l ontJo
la in ~er~cc i {¡n Ni li D vn dn . U", n ·C ~ n U,. " 0 :
4) lo l .~ implex (J~l .. o:r.. (""'rre~pnn¡{~ n lIn jllego.., d I.' dom in ios
(tlo.,o. " 0 Ua. k) Inl Q.<t, 'luo la i"tpfsl'cción e". n n Va" l'!! no
neta.
Apnre-cen t cohomol¡l¡i.s ti'" lcc\lhrimienlo.tcon eOl'(¡e i('nlcs (' 11 e l
(ttelll.1 F ; ro.;Aden os J. -'¡illluns iOlwl es quo son r .. ncionQl:I Iineah'~ en
los Si ml,l(>x o!-.. . ". ti.· llimr,,~ i,)n 1 .. en el non' io N {U,,) o·"n valor
. n los grllPos F (F",. n . .. n U".) . Aqui lll.~ cOCIllI,'nas tielwn su
dominio do vnlores I.! Il .:" d l' ~¡ mpll'x A Ull /l. ' ·"'·I. dl'IW ,.. 1(\ corrt°s pnnde
! U corron~erlt
' '''" "h'
( c~. o~ ) H' (,rlC\Wlltra on 11 11 crupo FII,_
.... . ",,."" ...
U = U"'t n ." n U" •• "
U c Uq - U ... n ... n (¡"''I n . .. U" •• ,
lel domi "io UUo., tl s llí horrado u(¡ la inte.·spceión).
).
'"
A las cohornologltls de rt'eubrimif'nt<t se las ¡bmar"n grupOlo
{'()(' Ienles de los coclclo9 por IIIS colrOll te rllS:
H9 IN IU .. ) , F) - Kcr (111m ó _ Z'l lJ'.
8"' 11 qut! llll rocubrimlen lo {V~ } ca t6 . inl:l<: l"i l,.,. en fU ",¡ : s i l •.
intf' rs<"C t"ió n r~ n Ua. (OS 110 VAeío., cntollCl'1I Ys se encuenlra nWif"
monte (' 11 U",. Es fá cil de \"t'rifil' Ar que SI.r lrO una aplicación s implidi l
(un l!-i mpl cx p .. ~a a. scr simplex) de los 1Ier \'105 d o es tos r&ubrlmiu
t()~:
"'!JI' N {1 ' ,1 --o> N (U .. ).
Do JnI1 Il('1'1l. que. utilhando (1), ! ('n omo!! una llplicaci6n do coc ~
denft So y c(lhomologl,, ~ :
R'" (N lU,,}, F) <ru~ lf" IN P's}. F ).
T atl ll L'Sla estruc t ur A {pa ra los n c ubr i mh' ll los baslallle . {I('q ~t
iio~) o.! cscri bo 111.5 COI'O UlOlogh.s ¡;o n cCH' rid cntes en el l,a ,,: 11· ( X , n
es un . Umit(' de I's pcdrOI (1I'uv) de lodo:! los recubrimielll rtS IItI
es p"eio X .
Lns dtHn t~ ntú.~,¡; (le es to . IÍllIi\o (l r l eSltec t ro. están repre>'Olltallos
por todos los dt"'Hmlo"- posibles z " E H" (N {U ,,}, F) pnra todO$
lo~ re.'ubri.mi"nto!l r()~íbles {U .. }.
Los "l«mentos -'"l' E JI (N {U" J. PI y Xw E l/a (N {JI',}, F) se roP~.~t' lll tl n ron un m¡ ~ m" (·1'·!nl'1I10 d n ¡ l'1 (X , F ) s i , y sólo l> i. lan ...
mos JI(l M (;(,1'10 rl)ru br imi eulo 'l,¡j" pcq ul.' ii o 1'. imsr.rito O" U y w
LrEM PW I H~ z .' '''I S I ~ nt c. S t·/1.Il F u - G (UII grupo abeliallb.
el mismo para todos los l! +- 0 ) aplirneionos lu v idéntiCI)S
I ~· v _ 1 : G ~ G.
Si X _ ;I-{" es una \" lIrie,la,1. y un r(!Cubrlmiento es tal, que tO<!M
los r onjunl.os U ... n, . . n U,,~ son contt!lc tables (por ejemplo,
U .. l!on figuras convexlIs. peqll('iias por s u t ll mafio en una mít rlCl
AfR). enklnces es jus ta In igualdM d
H·(N (Veo ), G)=H·(M~ . e ).
PROtlLCMA 1. Demolllra r qUl' ('n este cnso e l nervio es un complejo
etlu¡va lente homoJ611'icnmente 11 _~f".
&!I!::o.IP¡.Q ' . Hnc('s contimllll! (fll nriollll lcs). Aquí Fu es lln anillo
(espacio lin{'al) do las fllnc ioTle., de alguna ch,se : continuas , suavl'll,
1lolomorlas. algebraicas, e tc. en el dominio U c: .Y.
s U. Homologlu con coo¡icion; ... fI" los hacfI.
'"
I'!< U/ll,J;;)I" l . DeOOO,Hrar quo 11" tX. F) son funciones di) la misma
.Jase. d .. rinidas 8 1obnlmpnto en toda la \'ariedad X = JI" Y Pu ,..
- 110 (C':. f ' lu).
DI]f' IN1CION OE;NERAL. A un haz F. definido por un preha2 F. sa la
¡(¡¡.mará 'Iue!lO preha¡; tal. qm' "tu = H O (U. P lu) para cuolquiol'
dominio U
El grupo If' (X . F¡ apn o-oce. poo' ejBmpIo. en III siguien~e pro-
blema: 1I0a dado 1111 juC'.ge de 11, ,, opad.es princ,ipalest lo. d I" una funCión
ten 105 dominios U". donde U Va. "'" X . Aqu[ X = 1\1"'" flS una
•
variodnd c.omploja . Les pnl"tes principa les fo. son. p or ejemplo,
partos do Lnuront d r. una fu nción incógnita I c~rc!l da los polos'. Es
necesario hallar \lna función meromoria f en X 1.<1 1. que Ia.s fuociones
(f -ta.) son holomorfas €In I<>s riomínios Ua.. Está claro. que es nece-
sarill Ir. .<";oordinaeió". o !'ea. fu. - h "'" g ... ~ son holomorfas en l as
i nto r~eecionei< VI' n U~. Indicar 111. ¡",llIción de ostc problemaeen las
cohomolo~ias f{ (X. F') an un ha~. dond~ F (U) = HO (U. F) es
UD osplluio Iinoal de las funcio ne", 1",lo morfos en 'll dOll llnio U .
Demostrar quo el prohlema es ri)ljQl uble. si fJ¡ ( X. F ) = U.
,
E./ I'JJPt.o a. Un ej"mplo lOá~ de un hllz: S{'{1 X -+ Y unn 'lpHca-
ción Gonl inulI. A U II dominio U e Y le corrospondo ¡-' (a e) e X.
Hagamo'<
F(¡ _ [{J tr' (U» .
Aparecen lns cohoooología:! fJq (Y. 1"'). j;;;;¡' O. q ~ 0, En III w'ri/mle
máll gcMflll del teorema de Leray (véase el § 8) es necesario rambiar
p
Et· j por 11" (Y , p J). Todo lo dem6~ siguQ ~ie"do correcto. Si X -.. Y
ilS un espacio nbrado . d ondllla bm¡o el! un comphljo celulllf y simple-
mento conexa. entonclllI tenemo!'!
H1 (Y , F J) ,.,.lIq (Y, Hi (F»,
donde F .., p-! (y) es nna fibra . Demostrarlo .
CJCM PI.o 4. E l problema sobl'1l la clasificación de n n espado
flbrlldo con una base X y u n gru po estructural G. que fuo cons idorado
en el § 25 do la pa r tll Ir (lcllibro [11 desde otro punt.o de vi~~a. da
un ej."npl o de IHI~ (¡¡ablando en gIln(l ra l. de los gru pos no con muta-
• ti"o~). Sea d ado un e",pllcio fibrado E -+ X con un grupo G y uoa
fibra P. S i {U,,} es ue recubr imiento X. donde p-' (U",) =- U", X 'jf,
entonco..~ la estructura dll un espacio fibrado e~ defin ida por 1115
laplicllcion(ls ne pegadu ra. ("é~so [11 , par lo Il . § 2~)
t.u~ = i' ~(1: (!'"AnV~ -G (2)
'"
Al m; :> ,"o tiempo para C'" n c~ n U .. tencmo~
~'''' 9 '' ~~'-'''' - 1. (3)
La cOlldi"¡ún (3) s iRuifica , que l'\ juegu (i'''D) l' ~ un cocido u"idimen-
8iul\~1I'n ('\ r<'cubrirnil' IlLo {COI) 0.:0 11 va lor t'lI l' \ ho z F, y F (U",) Sl)n
fun c íam'iS wnLilllla~ sobm C" con y¡dor {>1l G. Si IIll f>sp>u"io fibr a dO"
es di roclo. l'nl'llIces lendrelnos «('$ posible, qlle al pr incipio hayn qu~
dc~m"nuznr ni J'(' cuhrimionto) 1111 jUf'¡¡:o dt· r""don,,;; 'fa : U ,, --G
tal. qll(' A", ~ .,. ,¡-~" r ~ . De mnne-ra que lA.~ c1a.':!c8 d .. l o~.pacio fibrado
~on el .... "wni,os de Jll (X. F). E"lo no ('8 un grupo. si G es no abtoliono.
l')lnIlLI':MA ~ C,knl;'l" N' (X, F). s i G l'tI un gru po Ilbeliano,
PIIO" ... :M.II ¡ Delllo~trllr qm' ,,11 Iw z F .~" hre una variedad sunve,
do ude Fu t·~ 1111 CSllndo linenl dt' l ml runc i "t"'~ ""n ves en un dominio U
(rná~ l'Xllc tllrnlmle, ~\JOVIlS l'1l IIn domiuio el'rraJo Ü =- U). Hene
'loJlomolog¡n~ tr l\'ial~ ... con r¡ > O: 1.I~ (M" . F) .:. O. q > O;
110 1.11 " . 1') ..... C· (M ") 1'8 tU! "lidio ele fu nciOJll's ~oilrl' JI". 8obr~
la.~ ~' I"'¡ o d/ldll" compldng ~ ti¡,TlI' un h/l7. holomorfo, pnn 1.'1 qUí: 11"
es de)'lo cstl' ¡U'flll'.
VI\\lBL.HM . \ f, PUl' !l IlRlo¡¡-ía. s i fi'S dado un f'spado fibratlo voctoria l
'lon btl!'e H = 11/ ": ~~a n lo'u SCCdOlll'''' SUII\'fi'S de UlJ I'splH' iQ fi J.,rndo
SO!)TIl tllI dOll1in'lo U. Demostrar J(l igunldnd {no ~I!rá c ifi'rto esto (' O
lmll varian"" holomorfa):
1]1 (M ". F¡ = O. q > O,
no (.U", F) I'S un I'spacio de secd"MS de un espocio fi hrndo.
¡:.lOICA!: I,",;" ApTÚ\' oohar el hecho dr que I:<S posib lCl prolongtlr una
función "l1A~", del d om ini o U sohrl.' toda la \·aril.'dau /Ir.
PI<.OBLEMA ~ S"a" 1'101, FI 'I , 10'121 . Lras linces, donde p"ro todo U
OC forma esférica lo SlIfíciellwmenLe p<'queiio. 1l'ngRll1üS ulla slI\'('sión
e¡.: acta Ill' 1<15 grupo~:
o:u ~u
O ..... FI1) - FU' -- Fí] ' ...... O,
con esto, todos lo!' CJ.[1 y ~u cunmutan con los apllc.&cion\\s
¡al' : F~r' ...... r~\ k= 0, t, 2, Coustrulr uua suce~ión l':<lIcto de
cohomologías
0-+ 11° ("""", {o'<~) ~ 1I0 ( ¡1I", FUl) ~
!.. ]1U( M" , f'1$1¡ ~ 1I' ( ,u" , p<O)) ~
"
•
11 1 ( .~r', F ot ') .!. If' (M~. F(~).l ..!.
{ft(iIf " , F IO)) ~
P.JE\\t 1.0 l. &on: {o'I), fun ciono;>s l:\\ I¡I\ I.'~ realt"!I con ('1 r! omin iu U;
F¡1' 1111 haz cvns lan le do forma Fl"=Z y F1r funciones W Il valm
§' 1 , . Hornolog1u "O,,· "o .. ,;"i.,,,,., • .,ro lo. he""_
en: G _ S' "",IRa.: . Calcu lar JJ' {M " , F(1»); clasificar IQS espileios fi-
brad os con cl grupoG' "", S', utilizando las prohrlll\ln~ dados arri ba.
EJ}':lIPLO 2. Sean: FIJ' , un l'sJlIlcio lim'a l d<l las funciones 11010-
morfas en el dominio U; Fil" = Z, un l l<l~ const.anlo!; F/J' un grupo
con opcraeión da IDllltiplícación tle las funciones holoroorf~s él} U,
que no se anu lan. La al'!iC3(ión a: Z _ FV' es únrl inmcr~ión (un·
encaje) dc las constantes , la oplleadón ~: FiJ· ....... FU' til!n{' la for-
ma f .!.. e¡¡p (2n lf), lo in~eriJlelón dt!l haz jf\~ tlS multiplil'lIli,·a.
PROlll.DtA l. DeUlostl·"r quo ,,1 grupo lf' P¡", ¡:Ú) cIlIl!ifica los
1·espncios fihrados hol')IT1orlos (\"';oso (1) , partll 11, § 25). ¿Cuál es
la' relacló"n del grnpo FI ' (JI"; 7>0)) ton la clll.l\ificaciÓh <.lo los ospaeios-
librados holomorfos. (1110 sun prodllclolf IOPQlógicAlOcllte directos
(es dodr. si n "~trucl!1r,, cOnl l.lcjll)?
r..JIDolPl.O s . Por ddinidÓn. 1'011 INlsores 1111< seox iolll">l do d iftlTlmle.,;
potenci as ton~or;Ales dI' un l·spnrio fibrnd o 1.lIog!'UI l' dl' tus Yl.lt"torQS
r covcclores. Con los 1,n1 SO~.>~ IIsI';" re l lldonAdo~ lo.~ hIlCC~, dondo
Fu son campo;; tensorillles ~lln,'e~ sobra el dOluini" Fe ,lfn en la
has!.! I\'~. En el erlso nMnrlo 5C tomnn t('n!lOfOS ~ntlsimti\.J'kos (con los
indice!'; inferiores), o ¡seo. forilllls rlHeren riall·s. po'¡emo:; (k,fjn ir lo~
haces F', don<.lll Fh sou fOrmll.'l.'lobrll el dominio U e !lI n . Surgo unn
, sucesión eXlleta d tl tos haces. (t'.~ deci r . da Iml grupos F~ ])rlta todos
los peq\leños tlominíos de formf' o!';léticn lJ e "rn):
O_R _ PO ~F'~ ... .!.. F"-...-O ('1
Aqhí R ea un haz coustan te (eonstanl{!!l) y d operndor d ..... rUlllqnier
dominio U trnnsfnrma los formas del grado i ll ll lag for mo,," dd grado
¡ + 1. La eX {Jctitu,1 rll' In su<:·c;¡ ión dl' 1M llll':es (·1) se uedur.e dl' l
corohrio 1 dl'l leem¡.nw 1.2. qu~' afirma que pal·a los domiui 05 pequl.'-
.lio", tlo for ma olifé r ictl U cadll lormn corrade. '" con dog ,,¡ > O (Og
localme nte I'Xllct3, o ¡¡en <1(' del> = O Y dcg ro > O "'"' dllducl' W = dOl' .
Escoj~mos un ha." de fQl"lIla~ e('HndAS Zt, c:: ¡¡¡" donde Z¿, _ Ker d
(1-forffios cerradas ell el ,Iominio L' e .1fH). Tenemos \In" ~Ilct'sión
\!xaelll de hoCt"s. por dc{itllc ión:
o_n -...- F(~' ..:!.. Z' ...... O.
Consider('mos In S\\CN\..ÍÓn oxacto do lA!!- co¡' o!llolol!í,,~ ,11' osto~
, .
0_ /l"(.II'" Jll ..... lJ" f.lI". l· .. ·• -+ !I" IM". Z 'l-
,-_, 11 ,--",--, _ _ ,
c . ,,l/ n ) l u"-
~,<"' •• '."''''
M"
, _1""" •• c. "a~. ,
.,,/¡,r .\In
1H1 ~es:
t · tiJiw!Hln td res ul t ado dol probl e ma /o. ("é~!! .. , 'lItis Iltdbn) , lene-
mo!" 11' (oH" , f'" ) __ O. PQr "i:'(l ttm .. moJo; una aplicación ~obre (. npi+
·01ol"fi~n.lo, ).
lI~(M" , Z') -!. 11' (M" , R) __ O.
El nlÍde" .. l(! In aplicación':! tiene rOtula dj. I os una función s uav l.>.
DI) n'l"í eon.' Iu i'\los
lf' (M n , R) _ Kerdl l m d = Jl" (M " , Z')/ (d!)
'(0 se" . cluaes dl.> formas cerradas por Ins ""XAC.tAS).
Complicnlldo este razonamicnto . e .'! posi hle ohtener ya menc ionado
.. teOf('ma de Rhllm& (ni:!se § 6): los gcupos de cohor}]olog¡ll~ detormi+
nados mediallte laa formas difCn"Dc.¡alos c.oi"ddl' n con Jossimplicislu
Hq (M" . 'lI) PIHIl uldo q. Moslrllnl<'S e.« to ptll·o q ";;; 2.
Cons iderlln"'''' los lloces
/l.) P,&IR _ Fl·; b) Zf¡= d (Pb)
son 2-formll s cerrndas.
Tl'nomos dos sucl'siones de lial:Cs
a) O __ R _ F" _ (<'<JI R _ O;
b) 0 _ F"I R ~ FI _ Z~ -+ O.
De la sucesión I'xncta do cohomologlns par3 a) concluimos. utiHzando
el resullndo del prohlema " (" 4!nsc más a rribll):
11) H~ (M". po/m ~ 1P (M'I . R).
Do la sllc(,.$iÓn oxac t~ b) tt' lwmo~ :
b) HU (M". Zl)l (df) ~ HI 1.11". f'''IR).
Puesto 'l tlO H~ ( ;\'l ~ . Z") son formas corrarlas , tenemos defin itiva-
mente:
V (.J."")/(df) 9!Ii [(' (M" . m.
CAPITULO 2
PUNTOS alncos DE LAS FUNCIONES SUAVES
Y DE LAS HOMOLOGIAS
§ , 5. Funclones de Morse y complejos ce lulares
S upongamos, que en una variedad compacla SUlH'B Jlf sea
da da una fu nción de Morsa (o sea, todos sus puntos críticos son no
degenerados). Estudiaremos la estructura de los s uperficif>5 de nivl:'l
le ... {/ (x) = el y de do m io.iog de men<:)res volares M e - {t (x) < c l.
L eMA l . (1\'1 , Morse). Sean: I (x), una fu.ncíór¡ sua~'6 sobre ftf; :to.
UI1 pUTIlo estacionario no tU~nuado o crWco para f. Es posible lIollar
tales r;qorckno.oos locales yl • . , ., gn en e l eutamo c1d punto .ro' que en
listas coortUnadas la función f se escrlblrá as¡:: f (y ' , ... , y~) =
... _(y')2 _ , .. _ (y~)2 + (y'-+I)2 + .. , + (y")2, ( El lIIimero l. SI!
llama Endice de l punto edUco.)
DEMOSTRAC10N. Al principio, hagamos la demostración cuando
n = 2; para 1'1. mayores los ra~oullmientos 9011 completlunente aná-
Jogo.s.
E n virtud del carácter local de l a afirmación ddlsma, os posible
considera r , que 1 (X'l' X'.) es dada en un disco O: (O) de radio E> O,
1 (O) "'"' O, douda O as un punto crítico para f. Existon funciones
suaves g" g~ t ales, que f = X'/tl + xlg.; g, (O) "'" 81 (Q) •
,,'
En realidad, t iene lugar la igualdad:
Luego
donde
, J :t !(tr)dt=-/(t· x ) - f(O·L)=f(x) .
•
,
1(:1:)= ~ 8J(u) .r;<7odt=:r<'
. , ..
,
,
~ 8J (t"') dl _ .x«g .. (x).
. , ..
g .. (x) _ r ~dt.
,1 íJ:r.""
•
C.p. 2. Pun lO' c,i, ico • ., I>omologiu
Es'" clll ro quo g,,(O)-O, puesto quo ul Vrad 1(0)=0, Por coos;-
gu ienle, existen func iool's IIUllves " ... (;¡:) ta ll's, que 1l..,(,I:)-
_ .t~/¡d (Z) . Así: fez) _ x<'x~" .. a (.x), donde !le puede considt'rar, que
hol - h .... Luego: h.(O)-1I1.,..(0)1\ -11 ::!~~.\1. En realidlld:
Do IIqui
¡¡h.lu) dt _
,,'
,
( j' '({tU) "~o
"
Luego hllglllll03 ht demoslrllción del lema con n = 2. En 1&8
coordenlld llS locales (z' , ZS) 111 función I es de la forma:
f"'" (XI)2 h u +2;¡:' .t2h .: + (XI)l hu.
Se pucdí' considerar que hu (O) ~ O. En erec to, la mll.~dz 11 h .. ~ (O) 11
es si moS trici\ y regular y por es.n (I! po.~ibl e, medii\nte e8mbio Hnl/aI
de <,oordcni\dlls, Tlldueirlll a 111 formll dill gona l. Ya que desde el
prindpio se tlubiesen podido con~iclt' r"r J/lR coordenad/ls (x ' , xl)
tille!, que n h .. ~ (O) 11 e! do for mll !lltlguolIl , l' !I(l p'uede decir que
hu (O) ... O. En tonce.s "11 (x).",. O también t'1l algtin entorno abierto
del PUIIl'O O, y en este ent<lrno ~nemo.,;
I(z) _ hll ( ,I: ' )I+2%lzl ~+(;rlp -*.-) +(~)I (hu - :!: ) =
"" hu (z' +~;ft ) 2 + (,xZ}Z (hn- ::: ).
P UelJ to que hllhu - h:, :1= O en algún entorno del puoto O (lA matrIz
11 h ... B (O) n t'S rcgull\r) , entonCe8, efectuAndo el reemplazo
~I _V~(;¡;'+ ::: x1 ); yl_ V\lill - ~!:1 :r2,
obtenemos:
I(y' , yJ) _ ±(y')I±(y'F·
Debido a que el Cll.mbio de eoordelJatllls es si n duda localmente rOGu·
le r , el lema queda demostrado,
1?
Demos la demostración del lrma de Marso en el coso de un n
arbitrario
Rile-a rdemos. que B' lliUllHrica la matriz 11 h .. ~ (O) 11 ar ribfl intro-
ducida. En adelante pasamos a la demostración por inducción. Sea.
que la función / en las coordenadas II l , y', .. . ,11" yo t iene la forma
j(y)=± (yl)l± ... ± (11'-1)1+ ~ !f1I1BP", (y) ,
" , ~ .. h
donde Ins fUllciones P ar. (y) forman tlnll JUatriz si métrico y regular
en el punto O. Estli. claro, que cuando k = 1 se cumple este supuesto
de illduccióu (véase la cons trucción de la m atriz 11 ho.fJ. 11. que desem-
'peña el papel de la mat riz 11 P ae n cuando k = 1). Heescribimos la
función J (y) de la siguiente m llllera :
f{y)=-±(y'F ± ... ±{yk_, )'l + p,, ~ (y) (v")2 + ¿: yay~p ... ~(y)
"'.~ .. " (a.+J'i cuando 13"" k)
lo maLriz (n X n) 11 P d (y) 11 está representada (lll l a lig. 49. Puesl~
que 11 Po.~ 11 es simétrica y regulnr, existe un cam bio lineal de varia·
Flg . .\9.
Ik.: • ~ I ¡:""".óO
" "f e: ,t·f
.J(z,I/) _
,
,. b
b ,b
Flg. 50.
b
,
, ,
b ,
bIes Il. yhH,. . yn [el, que en u n punl.o (en..,l origen de eoordene-
dais) la matriz 11 P,, ~ (O) U ~ reduelrá 11]/1 forma dJllg(lnnl; I'n per ti-
culer. se puedo considerar q ue ¡liS coordenadas y~ • .. ,y" son I'SCQ-
gidasoxact8me nte de esta rn;tnera y. por cOnl;iglliente, p u. (O) *' o.
Considc.remos le función q (y) = VI Fu. (y) 1 y efectuomos el (lImbio-
de las variables: (yl) _ (:1) por fórmula s
3t ""'yl con 10:;;;;1';::;;;"' - 1; k+ t .;::;;; t ';::;;;n.
z~..,..q(y) ( ¡t+ ~yl :~: ~~~ ) .
.,.
Hallemos el jacobia no do cambio (y) ..... (z) (m el punto O tve<l.'!&
111 fig . 50). Es evidente qUIl ~!o= q (O)=VI PuCO) ,.p 0, o sea
."
det 1 (J, y) ce (JII~ 9= O. Según et teorema sobre las fnnciones implí-
...
'"'
C.p. 2. Punlo. criHco. y hOMOloglaI
cilos. la! funciones (: 1, ...• z" ) son coorWlIlodll3 loeall's on ,,¡¡tia
en~orno ~ur",: io n t.c men te poque.;o del punto O (lo quo C.!I ovidonl.e .
en virtud de q ue In. mntrÍ'.!: del cambio de tOOl'donadas es triangular!.
As!. obtenemos:
J(:) - ~ ± (zlp + PU :~~; -2P •• q~) ~ Vi ~~: +
1<·-1 .>.
-r Pu (~y' ;¡:)2 +2 ( q~:J -:z yl :.~: ) ~ yIP,~+
i> A 1>" 1".
El paso de la ind ucción ha co ncluido, JD qua dem uestra la alirmacióo
CL e<:esllríll para un n arbitrarío.
OBSl"-RV "CIO.\I. El le ma demostra do no l;\lI muy importante para el
estudio de las superfk itlS do nlvol d6 h. funcIón / (x) 00 un entorno
del pu nto crít ico. E!t~ claro d" antemano que la topología de 10l
nivcl~ ~ defino por b. Corma tl'-f a causa do su regularidad.
l.D(.,\ 2. Se(J. / (:c:) .mll jtUlCt6n $lWlJe sobre 1..I/U1 uarledad rompacf4
cerradtl M'" y ql«l el stglMnl" la, b l (doncU a < b) no conung(J valorrl
crftjc<!1 eh la lunclr5n 1 (el dedr, en el cOIljunlo 1-1 la, bl fU) hay pUflWt
critioo,). Entonces . la variedad 1 .. el dtleomorl(l a I~ y la IJarledad M ..
( con bord.!) es dlfeomorfa a M6 '
D~OS't'fl ACION. En virt'ud de vo mpacidad de M se t ien/) un e> O
tal. quo 01 segmento [a - e, b + ti tampoco contiene valore.s cr[U·
.coa de la fu nci6n I (x). Se puede considorar. que en llf es dada UllI
métrica po.siti\'a de Riemann ; ento nces Yam~ a oJ:alllinar un campo
vectorial grad 1 (x) _ o (z). Este campo no llene singularidades ti!
la "ariedad (con borde) ¡-I la - E, b + ti y 'ti (x) es or togonal tU'
,pacto a l a~ hipersuperfitie.s de nivel 1-' (a). 4'¡¡;;; a ~ b. Coll.!lidore.
mes 165 treyectorias integraIOIJ del campo o (z), que comienia n ! d
j-L (b) y terminan en 1- 1 (a). véase la Hg. 51.
En virtud de la compacidad do lIf, os poSible realizar la dofol:'
ma,clón 8Ua\'0 de la 8upcrJ icie 1_1 (b) a lo largo de las trayecloriu
integrll.llls del campo., (.2:) sobre la superficie ¡-' (a) . E5 evideote,
que ¡-I (b) y ¡-l (a) son t¡Uf60 mortas. P or ana logia se determina 0.1
difeomorfi! Dlo entre ll/ .. y 11[" . ya q ue 1(1. p reilOagen complota
1-1 la, bl ea dif60morfll a l. x l . donde 1 es un segmeo lo. El 103m.
q uedll demos trado.
Ahora CQnsideremos la condueta da lrus 5Up<'rfiei es 003 nivol oorc.
do 105 puntos critlcos do la función f (:t).
Sea. :tR E Al" Iln punto erí~ ¡co no degMorado para' 1 (:t). donde 1 (:to) = u. Entences, en vigor del lema 1 (de MOtse), en un eulerno
blllltante pt'qmifio U (:t,) del' punto z. se pueden Introducir uóú
181
coordcnadas curvilíneas Zl, .... z" tales. (¡ut' J (x) _ (X ' ¡S - .. •
.• . _ (V.)" + (x ....... ')· + .. . + (:c;n)., Com'¡¡\erarnos quo ..,.1 c('utro
O del en torno U (%0) ru; t á ubicado en :1:0, y ¡¡He,! (O) = O. EXllminemos
tj"es hipersuporfic,ics: fo- t~. 1_. , donde", > O m; bastante pequeiio.
Estas 5e dan por Ia.~ eClIacinnB3 (en el dominio U)
(_ ",1)2._ ... _(:r1)z+ (xl.+I ):+ ... + (.:t")~= { ~.
- ,.
Aqul " es un ¡ndice del pun to e,rítico. Es ovidente, que en los COOT-
acnadas (:el •.••• xn) la I!uperf ide fu es un cono con un vértice en O;;
y 8mhas IHlperficies 1':1:.$ son h.lperboloides (véase la lig. 52).
f"ro -~) _.l==l=:::;r==I==lrfaJ
Fig.51. Fig. 52.
LEMA l. En el caso. CU/WM /_1 I-e. e1 - ,l f+.,/l/..., contttrlt
!6/o un punto crftko del índice A, la var lednd M +. el de Upo homo-
tópico de un complejo celular. que se obtíelUl de M _& al pegar a .,1 .....
una célula (JI. (de dimensiQn i.., donck" es un ¡ndlce del punto crít/cQ xo}
a la jrot¡lera f - 8 = a.M -o'
DOlOSTI'.ACION. COllslruimo" la deformación \(',: /11+. --.. ,I-f+ ••
dOllde q; ~ = 1. Y 'f ,: ,lf +. --.. /J/ _. U al.. idéntiClI .m 111 _.; lo exi -
stencia de ta l dcformacióD demu('5tra el lema. Consideremos un
campo vector ial tI (x) = -grad f (x) y. en calidad de '}', consi-
det emI,Js]a deformación de puntos;t" fuera de M _. Y fuerl!. d,, ] entorno
U a lo largo de 1M IrAy~ctorias integrales del c.umpo v (x). En el
811 10tl111 U. en calidad do 'p, . COD~ideremo5 ht de!o:rmnción mostrada
e1l le fig. 53. Aquí e.l segmento Afl representa cond¡c.jon~ l meDte nn
d;!Co DJ, (.xl, .... xl.). cuya frontero (la esferp SI.-I) l':ltá :lllmergida
suavf:\me nle en el horlle f -. del dominio M_. (en ~ I rliblljO i.. = t
y l a frontera -la esfera So- es un pllr de los puntos A y li). El
res"ltado de dllforlI),,,,.ión lOe ffiuos lrn en la f¡g. &1. El l('ma qu('da
demos~rado.
"l'EORE;loI.A. 1. CWllquler rariedad suaue compacta concxa cerrada M"
t, dtl tipo honwt6pico ck 1m complejo telular. en el cuul a cada punto-
''''
.crltieo p ~ ckf Endice ). /11 correspolllu; /l ll n clilul<l d~ dimerulólI }" dowk {Pd 80fL puntos cr<tlcos ck cierta fUIIf:. i61/ rk ¡\{or8e I1rJbr e M .
D~;.u05TR"C ION . Consideremos la función do Moese sobre M. dOlido
!lO ¡: lIIda nivel crítico I 90 halla exa.:.\amcnto UI\ punto critico. Hay
mudHIS de es tas f\¡neiunl'5 (véa!!e 111 , p. JI. § 10). De ma nero. que el
tcoo rc llIll S4' deduce du ¡os lemas anLcriON!! y del t eorema 5 del § t O.
p. 11 del libro [ti.
En una >!llrie dI;) casI»! las prop j cd fld('~ analilicll.S de l a fu nción f
restri ngun los lndi(;('s de ¡os puntos critico:l.
I'flOOLr.lolA \ . Si I - Re F (:' • ... , t " ) es una pe r le real de la
fuución c:omplejo-BllaIHica en C~ , E'lltoncflS l'1 Indico es ¡¡¡'1 \81 a n
(\" cun](luior punto c. rí tico no d llgenerndo (t~. .., z:) = : D-
u
,., ~- - - - ~ - -
~/ I
."--'.
-", -"e
,
,
, ,
,
,
Fig. 53.
"
, ,
, ,
Pi,. 54.
!'ROBL""'A. 2. Si / es uall función armónica ~o Rn, entoncl'S 01 Indica
<le un punto crítico no de¡cncrado no puedo ser igual a O o n (princi-
pio del máximo),
Pero no hay funciones armóniCIlS y analíticas sobre una variedad
-«Impac ta. Ind iquemos una aplicación topol6¡ica del results do del
problema t : sea M 1n una suuvari(ldad compleja co mpacta en Cp r.' ""
_ el'! u Cp~- I . Entonces la . part.c finita . V de le variedad M""
se halla ell eN. Lo intersección W '""' Cp N- 1 n AF es -sección
hiperplanll>. La parte rea l de una de coordenadas complejas en C/
da uoa función de Morsa I en una par té fi nita V de la vadodad :\11'\
Todos los punws criticos para f t ienen un Indico n. De aquí y del
teoramll os lácil deducir , que la variedad ¡l111n es :homot6picamenle
equivalente a un co mplejo cel ular lW U o~ U· . U o~ 1 U o"',
donde k es el nú¡;nero de los puntos criticos de la func ión I en la parl"
finita V e C". (Da lUostrlflo me ticuloSillnente). De aqul se deduceD
las igualdades
n,(W)=n,(AfI'l), ' < n_t,
H ,(W )=- If,(MI'I), t<lI - l' ó n<t<2n.
La inmersión (el encaje H~ _1 (W) _ H ~ _, (M1n) es un homo morfismo
sobre (epimor{¡smo).
,ss
§ 1 &. DesIgualdades do Moue
Hlly una estroeha Iiguón entre el númoro de los .puntos es ta.-
donaríos (críticos) de l~ funciones J (,1;) sobre Ja variedad suave
«rrada ,l,P' y las ¡n"ariantes topológicas de "aricdad, o sea, grupos
de homologfas, ca. racterís.tiCII de "Eu ler . at(,.
En el § 15, p. 11 del libro [ tifu e dado el (.eoreula de que el número
~ (-1)" fl~.lf) no depende de la fum;ión de Morsa f sobre M" y
».
<coi ncide con la ca.ract.erlstira de Euler . Aqui J.1). (n e.'I el número de
los pun tos c.tfticos del i ndice '" para ,. Utili1.8ndo 103 re5ultado~ del
§ 15 obt.enelnos la siguiente afirmaci6n:
TEOIlEMA t. Si bit. (.M") son rangos de /.os grupos de homologías dt la
t>ari",dad M" (con cualquier campo de cfJejiclmtcs), entonces t ienen
.lugar las desigu.aldo.tks (d, MQrse) para cualquj~r fUMI.6,¡ (de ilforse)
j sobre .11" (o sea. la wal tiene $6lc puntJM crltlcO$ l/a degMl'7otfo$):
¡t ~ (j) >- bl. (M") para lodo 1.. = O. f. . .. 11 .
I)J:!M05TRACION. Según el teorema t 5.1 de es", ca pitu lo la fun-
<ción I cllgtlndrll llobre la variedad j lf~ Ulla estzuctw;a de espac.io celu-
lar. E sto significa. que la variednd Jlf" es homotópicamente equiva-
l ente a un espacio cel ular K. que se obt¡elltl mediante s ucesivas
~glldura9 de J~ células KI+t = K, U (JM, al mismo tiempo el
número sumar io do la~ cl! lulns de dada dimensión i.. es igual procisa-
mente al número )l\ (j) de los puntos crltico!\ , del Indice 1.. . Como
ya (lsta demostrado en el § /, (véase el teorema / •. t), scmejnnte espacio
'Celular es equivaJenl(l ho molópica mente a un c<.i mplejo celular K
'Con el número de cólulll3 )l " (j) de dilllensión i... De manera que K
es equivalente homotópica mente a M" y H q (K) ... Hq (l1{") para
todo q y todos 10$ coefi c i enttl~ G. YII que el rango dtll gru po de homo-
togías H" (.ir, siompw es ItO mayor que el número de células de
d i men~ión ii., el teoremll pstá demo.,trado.
Este teorem<l . sin <,mb<lrgo . no dll un juego completo de rela c.iones
entre log números f"~ (1). que l'Stfin idenlifknd05 ~implomellto con
los números dI! c,élullls de l co mplejo k ~ M~, Y los númoros de
Bl'tti b,. (.i~f") = (ra ngo H A (Jf"). Conocemos una relaci ón más
("é8.:!e el § 2).
(1)
El juego completo de est.as teJaciolles es e.6modo expresar algebraica-
mente así: formamos 1113 {uncIones generadores P (J~r, t) = ~ bl.tl.
(políDomio do Poincllré de 111 variedad Mn) y Q (Mn,J. t) '"" ~ "'~ (1) t I.
(polinomio de Poincaré do la función' uefinido de hecho para cual_
, .. c,p. 2. !"unlo. e.llr.:o. y homoI<>9i'"
qu;()r complojo celul a r K. donde ¡.t ),. C5 el número do célula, do di-
DloDsi6n '-) . EnLoU1.:e. Ile ( t) !lO deduw. haciCJ1du t = - 1. quo la
dir"reod ll Q - P se dh·j da por (t + t). Ht'Su lta que lo razón
(Q - P)/1 + t tieno cvefiticntllS no nega t ivos (enteros). Lo. demo&-
lución !lIr IÍ dnd .. mas ahojo 80 U" rulpoeto mb general'. E,\I cómodo
también ¡ellernlizar JOll clesigU!ll dlldes do i\ lorsc en UM función l:on
puntos eTílicos degoncrodo!!.
Sea t (~) una fnn clhn infinil lllnolnle di(C'rt.>nei.ble.
DBrJ1'>I C10N l. El punto x, E M se llama punw topo16g~fIU'nli:
rtguÚlr pllra In función / (z). !i so tiena un entorno 3bil' rlO U ...
_ U (L.) homeoworfo 111 prodUcto di recLo de la su perficie de n ivel
por un segUlt'n to {/_I (a)} X l (-l . 111 (dundo a - f (xo))' ("éaoo-
,.,
V
r'{a·t}
-f~tu o.,
rfll)r (1'((41
...
Fig. 55.
l. fi g. 55). Al mismO' t iempo. ~~ necesariO'. que o5te lJOmeornorfis wo.
realice un howromorfJsmo de Hbr:l~. plllrll que la9 superficies
(f_1 (a). t) colncidon CO n los snperfi cies do nive l 1_1 (a + t) el! el
e Dtorno U.
Ol:l'IN1CION 2. Al pun to. ;1:, E .11 so 1" II llwnrá punto b'l/¡,rco,clonal
(punto do bi(ul't'.aciÓn) pll ra la [undón /. s i %, no O!I un punlo topoló-
aicl\monte 00 degenerado.
Fig. $U.
Consideromos t'jempIOll. Si x., E M o, un punto critico no degene-
rado do la función de Morse I (:r) !IO bno 111. entonces, ovidenlemente.
z, es un plinto bifur<;tlcionll l (véRse la fig. 56).
S 16. o."gualda"", d. MOtI.
Pero el punto crítico de¡euerado :1'. de la fu nción s uavo f no.
siempre es un punto bilUKacional.
,..JE/IIPLO. Cons idere mos M _ 1R1 (:1'), f (:1') - ro, Xg = O E R1.
Entonces, :1'0 (lS un pu nto crlLico degenera do para " pero. al mismo.
tiempo. Xo es un punto to pológica mente no degenerado (no, bifurcll-
clonal) pera ¡ (V6850 la Jig. 57).
;¡~t:' -L F-rr<"
Flg. S7,
Seu jll ~ un .!l. varicd3d s uave compacta cerrada y sea tol llrable 1,.
función !S UII VO f (x), es dadr . que t iene un nú mero fini to de puntos-
bifutflc ioual es (!XIr l'jeln ¡>lo. / es l a [unción de Morso oo bre M).
Sc-o n ( l ' CI' •••• CN (/1' < co) \'!llores Ildlicos pllra 1/1 funclÓn.
I (o sea. j- ' «(,,) tiene por Jo menos un punto bifureucion.al) . Como-
j ~i e ne sólo un númoro Hnilo de los puntos bJhm:ocionales. torlos
ellos son a islados. Sea {z}« un conjunlo do puntos bifuKDcionaJ¡os en
nivel (J (:1') = c .. ). OInsidl'rt'mOll M e .. - {J (z)"; c",). Los grupos.
reJativos de homologjas H . (M e .. = ,1!~ ........ {x },,)sun lo!; importsn llsi-
mos in\'sriantllll de punl.O~ t.ifurcac.iooll l@s do la hilleiÓII f. (Al gTUpo,
JI. (M." . J! ......... {x },, ) es posihl~ comprenderlo. o CDW!8 del aisla-
miento de 10$ puntos {:r}". CI,mo el grupo 1/. (lIT .". 'U ,,,""::::.~ {x l .. ).
donde U {xl" e~ un jUf'go de a nLornos obit'r LOII bDstllntt' pequeños
dt los puntos {x l ...
[l E I'IN I C1 0~ 3 . Al /Jolillnmlo de Pojllcar~ de In función ¡ : JI! _ 'R. "
., "
lo ll fl marcm(l3pollnom lo Q(M.f.t) .... ~ ~ b.(M • . M , ,(x} .. ) ~ •
.. _1 __ n .. a
dondQ b. (X. y) _d iml/.< X. Y).
TEORK;1lA 2. S~UII l' ( ,11. t)!I Q (JI. j, t) {QS puU"olllios ck Pomcarl
orrtw ill lrodu(iilln . 1::" loIII't" lo difercncla Q - P fe divide rn 1 + /.
JI 111 raZoÓ" (Q - P )/t + t I /(ne ~ficullus el1kro, 119 I1tgo li~'Os.
l.~~U l . Sean a < Q W;>i "úlll.eros dd domll¡/tl de lo~ lo'lI/on" de fa
jUl/clÓ" J; .\f _ lR l la les, que en el segmmto lo. bJ 1<0 Iwy !)filar!!! (rUi-
C08 de f. E.'" lonJ:I'.~. ,11" le UN/ 1m!' IJ M~, Y lf. (Mft. ,l!b) = O.
La dt·mosl.rDeiú lI tll'l l¡Ol1l:l fue d",j ~ so el ~ 15 pora 1!\1I funcione &.
de Morsc. La demQs trlldón general la onl it imo~.
186 CBp. 2. Punto. c.mco. y homologr ••
l.E~A 2. f l ene lugar la Igualdad
/7" (Mo" , /lf,,, "'" {.x}"l = b" (M ... -H. M.,, _~)
para (li~ún e> O suficIentemente peqw·,lo.
O!.Mo~,.n"CION. Es suficiente demoslrBr quo .\!on isomorfos los
·mismo.\! grullo.\! H~(_1f<", lIf." '-(l"l .. ) y H_ (.~[O"H' Ilf<,,_.). Esta
"Última nfirmllci6n S" d" duce d e la dllfinici6n d" grupo
H.P1<" , M .", ....... ( x },,) y del lema preced"nte. Consideremos ahora
t re~ polinomio~ dol lipa do Poi nearé de forma especial: P {AI,,) =
- ~b,.(M,,)t\ P{Mb, M a)=¿; b,.(Mb. M,,)t!', dando a<b
u. ' \ _¡
' (0 &'8 . MI> ~ iltft ); P (Imil) ~ 23 dim (Irnillt ~ , ) t~ . dondtl el Q¡leN\dM
(~ )
ó ... ,: H,..,( .'l1~, JI,,) _lIh (Af,,) e¡, un Opt'l"lIf1or de fronlul"a en lo
sue;¡sion ,¡,mr;lll del par (Mb • JI1,,) (vea >K' el § 3).
!.,IO'I A 3. Tiene lugar la igUfllda.d.
DE)I' IS·rn.'C lo~ . Considllromo~ 111 sucusión exacta homológica del
,lo'lr Ph. llfg) :
& _+. f j
--- H" (Mft) ....... JI. (-'11» __
.!.. H. (M¡,.
'De la exactitlld de la aucesiÓII se d&du~ el siguiente sistema de
.n¡lac iont's;
b_ (M~ . 111 "J = diOl (1m (;)) + dim(Im (a_»;
dim (1m (/» ~ b~ (JI1 6 )-dim T (i» =
"'" b~ (Mb)-{b~ (M .. ) -dlm (1m (au ,»)) =
_ {b_ (M b)-b_ (M,,)}+dim (1m (a_~t»¡
lb~ (M~, M",,)-dim <'m (j» _ b~ (MI>' Al 4)- {b~ (Jf6 ) -b_ (M,,))_
-di ul (fm (a_ .. ,») = R,. -dilo ([.n (a,. .,» -dim (lm (a_» .
. donde R_ -b~(,Vb' Ma)-{b,.(MI» - bh(M,,)} .
A3i: R A '""' dün ( fIn (aA+,)) + dim (1m (a_)).
I"R~ = /- dim (1m (aH ,»+ t (th- , diDl (1m (a)))),
·0 sea . ? r' R _ = (1 + 1) P (1m a), lo que demue~tra ¡jI loma. tI',
Ahora pasemos directamente a la demostración del teorema.
'Cons ideremos todos los valores c rlti.co!! e" e~, ... , e N (N < 00) para
18'
la fuoción f (x) (o sea taleg. que en j-I(ej) hay por 10 menosIIn solo
punto de lJifurcerión .-le le fundón j). Luego consideremos los I\úme~
ros 0,,_ a" " II N , a~ +1 tillas. que 110 < e" a, < CI + l < 01+,; (!N < aN+l (o seR, los "olores no critieos {a,} dividen "- los valol'tls
.criticos {el); vhlle In fjg . 58).
g • e • ._
Fig. 58.
Do los lemll.$ prec.edent.e~ obtenemos:
P (Ma .. , ,M. I ) - {P (M"h\)- P (M" ,) = (1 + t) P (rm 0)1'
Sllluando estas igualdades Sl'glÍn i. desde O hasta N + 1, obtenemos.
e\'id~nlemcnte;
Q (M. t)- P (/110",*,) -P (M.,) = (1 + t) K (1),
dando el polinomio K (t) (iPlla los cocficientllS no negali\'os. Con
-esto, hemos aprov~hado 1'1 hecho de que
P(!l-Iohl • AJaj) =- P(M<I' Mo¡"-{x)¡)
(aslo ~ deduce do los lemas precedentes). Ahora l)(Jlcmo:< , que
JI (Al"",,,) ¡¡¡;r P (,\1), ya que a" .... , es posib le consid~J1Irlo Uln IIrande.
que uN+I>mb:/(x). Y por <,so llfGN = M; luego: P( il'lao) ... O. %€M •• ,
puesto que a Ilu es posihle cOllsiderarlo escogido de tal modo, que
ag< mín / (x). o Sl'Q. Muo = 0, y en la dertnici6n del polinomio
ri " de Poi ncaré la SUIDllci6n pOI' k c,olllilHlZU desde k = O. Asi. dcriniti\'a ~
mente. Q (M. /) _ P (.11) ~ (1 + t) K (/), [.) qU() de mucst ra el l
teOTt>rn:t .
Ahora consideremos los corolarios de e¡¡ to Leoromll. Sea tomado
en calidad del grupo de c.ooricienU\S G un grupo IR de nÚW6toS rOllles.
Entonces, los uúmeros ú. = rang (H.) se \llIm:ul números de Betti
del espacio ftf. Sea/ una fuución suavo to lerllble sobro la varit>dad Al;
ollCribimos el polinomio de Poincllrá para I (x) en for mll Q (111, f) =
= L fI_tAc, y el polinomio do Poillcaré para ftf en forma P (M) =
"'" "".2,j b.tA. Los números f1k los delnomlnRmos ~números de Morsot
.~.
de la fu nción suave /; (una interpretación particularmento Glata de
estos números surge en el CIISO. cuando I es unll fu nción de Morse
sobre jI). Entonces. en virtud del teorema arriba demostrado obte-
nemos:
, ..
De ~qu i ob ! (,IU~moB que el polinomio :¡; (tIa -b~) t" tione lo! eo@fi.
," eieIlLt·,~ !JO IlPsalj \"os. O sell. ,... >b •. De mllll('rn quC' JO$ números
de Seu; bit da la '-Ilriooad N eslimllrl flor 1Ih.'1jo Jos rnímero5 de-
Morse fllt - Luego. I. .... t" _ L: b.'· + (i + t ) K (1): pal'll t.,. - '1, oblcne-
(lo ; (A)
mos 21(_1)1t 1,.=~(_1)~b •. donde en 1'1 I;l'{:undo mi~m bro S&
\_1 lit,
encucnl rll In carsr ll'r ís UCII do Euler de la \"arie{]lId JIl (louma de
al t<!rnaeión \Ie los nÍlm(> ros de BeUI : X{M) "'" L: (- 1)· b.). De lOS'
'" nefa Que 111 8Umll. clo IIl1ernaciün de los númerOIl de MorS(l'para 1",
' unc ión IIrbitraria tolerado f sobre 111 r,:¡;ulta un in\'orionlo homo t6-
pico de In variedad JI (en partkuh. r , ello es la llli!nlll para lA r Ull ció~
IIrbi lrarill ~UIl\'O /J.
Luego d~lItroll('mos en serie (1 + 1)_' respecto /1 Z:
(1+ t)-I ~:E ( -I) ... zQ;
.-,
enlonces
(~ (JI. -o.) t") f. (-1)"" lO > O.
r_l o.-D
(18 decir. lit serie del priml"r miemhro tiene por sus cooficientes
(después do la I'(lducción do términos semojan ll"S) los numcros DO
nB¡at ivos. Dt' aquí , fi jBndo cil'rto A. obtenemos el sislema do In
siguien tes dul¡:uald"des:
().Io-b~) ( - t)l + (IIL- Ot) (_ t )"-1 +
+ (¡12-b.l (_ 1 ) ~ _2+ •.. + (1I1-/¡~) ;;;'0.
es decir.
~1-Jl1-I+ ~1_:- ... ± JI .. ,o~ - b1-. + o~- . . . ± b.-
SeR ahorll 1 (.rl la (unción de Moul" sobre UDa vllr iedad COLllp<lcta
/11. En este casq os números (].lA) adq uioren un ~eDt i do pnrtlcu ln.:
men te geomHrlru. Sea r, un punto (",rhico no dOg1lnerado (y. por'
cónsiguienle. bilurc"donal) pan la fun cl6n f (z) (sea (índice .1',) -
_ ~,) . HlI ll llmos las d iolCnsiones do los :TUpos ll., (lite. M.,(z,» =
- H , (!I1 c+ • . ¡\f . ... ). dorido e> O es lo s ufícientemente IK'quefl.o.
e _ / (.ta) es UD valor critito; adomb, 5118 .:1:0 ua punto crítico único
IHI UD nivel crítico 1-' (e).
PUllSto que se cumple 1,. identidAd H. (X, Y).c;;¡¡ H, (X/Y. ')
porll un par de (,oIDplejo8 cclulaN's (X. Y) (don do Y l"S un subcolnpllljo.
del complejo Xl . ('atonces R, (.lf.+ • .l/ c_.) 3!' 1I, (AJc+.!:lf~_ •• e ).
En virtud do la I'quivoloncia homotóplCII anteriorrl'lente e~tudiad.
§ \6. O."igualdod •• do MO ... 189
Jlf .+ ....... tlfe_. U a~ (donde a),. es un célula d o dimetulión A). teoo-
mos. que H. (Af<h/.~"< _., .) al: H. (al./óal., . ) es H. (S.I. • • ) .
ijonde CJ~/{ja~ = SJ.. es unll esfera de dimensión J... Asi.
, ¡ R. si k=z~ ••
HA (Mc ' Me)'(.1'~)So¡H1t(S, .)- O, si k+J...
Consideremos a lgu.llos t!jem lllos illl3trucUvO/l. cuando .1'0 es un
,punto c.rít.ico degenerado para I (x). Sea , por ejemplo, f (z, y) =
= RE' (zn), donde z >= x + iy . En In fiR. 59 se muestra la conducta
do los nivoles de ¡. De mnoera que Me+.IMe .... a,¡ S' V S'.
PiS". 59.
~-~--~
Pi,. 60,
Como hemos demostrado anteriormonto, mediante perturbacio-
nes pequefias de la función ,. es posible transformar los puutoll crlti-
cos degenerado:!! en una reunión de puntos críticos no degenerados .
. En el ejemplo examinado. el puukl O para Re (z") se d0.9integrll en
ta reunió n (n - 1) de los singularidades no dogeneradas (véanse
los detalles más arriba). Esta obStlrvación es el rellejo de una afirma-
ción general: el polinomio Q (M, f) no se cambia con una perturba_
Gión bastante pequefi'l de l o funGión f. En efecto. Q (M, 1) está e:xpre-
sado por los términos de los gl"UPOS de lJOmologias relativas
lf. (.i\.f,+~, M ...... ) que. evidentementa. no cambian ante perturba.-
cione.~ suficientemente de la funci 6n l. De manera que el polinomio
Q (M. !) nos comullic!I. que cantidad de puntos críticos no degenera-
dos dfl cada indicG 1.. surge con la 'desintegración de las singularidades
degeneradll.9 de la función I (para una perturbación s uIicientemente
pequeúa de la 'misma) .
, ..
Pon fi nali'lfU'. fOI\~idcrl"m05 UD ('j ('mplo m.! d~ l a sillgular idad
deg(' ncrada de , . Stoll I (;t", 11. ~) = r - Sr (v! + 1").
Delllmo~ al loctor In comprohndün, util¡~lIlJdo la flg. 60. qU&
parA el CllSO .l/.+.IM~_. "'"' S' V S~ , y clI\eular las h omolollías.
H ... (Mc + l • ¡'IJ,_.).
§ 17. Funci6n regular ck MOt~.S,"8Je . "'S8S. SuperficlC!s
Es posi blo d~mOillr llr qu,," en cualqu ier variOtla d cerrsdn eOlle:Ut
ellA\'C ~,om p8cta. siumpre ex is to \Inn 'unciólI tle Mor~ que llOIlO un
9010 míni mo y un solo máximo.
Por ojcmplo. para hls vari e dlldl.'_~ oricn tllbles bidim ... m¡on.'I\c~
M~ es po~ible hollar tAl {¡meión entro lAs fundon('s de la 81~ura parn
las i¡ullersionl's _hucnllAA de In sU]ll'rncio ell !{3 (vtÍase lo lig. 6 1).
,
Fig.6l.
- - - -- A·¡
___ J. .,
- - - ;../
- --".~
--- .... ,
___ ;l."
___ A._,
- _ _ __ I..J
f ig. 62.
Se puede mos trAr, que en ulla vft riedad 9.ierllpre hay flmcione! do-
Morsc con los ~' alo re.a crí~icos ordcnad~ rel!peclo a los índifes, o SCII .
I (x ... ) _ / (r .. ), donde). = ~~ y / (r ... ) > / (xl')' donde). > ,... )., ,..
son' {ndices 'do I~s punto! x ... y.l'l' I't'!IpeeliVAmente. A estas flmcioncs
se ~ás denominan R veces' tregubres» (o h lncloM!' de Sma'le). A difl>--
ren'cia de l as funalones genera les de Morse. ('s tAS funciones de Mors&
ya DO ser '-n den.o;as por doqu.ier en el es pacio de todAS h.s fun ciones
SU'\'OS sobre M.
TltOIl.t.MA l . En. CUQlqul~r IJd riedad ct lToda fU(U:!!'" compac/ IJ. slem.pre-
MI( una /und6n rcgu.lQr, que tiene ezadQmtnrt un punto de mdzlmo
(punto dd fndice). "" n = dim .l f) !I eXllclamente un. punto ti- mini".".
(punto del fndice O).
SI fthora, de acnerdo con el teorellla del § t5, se reconst ruye por
1(1 función regular de Morsa la pertición ¡¡(,lular de M"", entonces en
cada paso se pegarán células de dimelL5ión roRyor que la dimensión.
da In ctih,i las precedent'e,-.
DEMOSTRAClOS nEL Tl!:ORlnIA . Introducimns tIna noci6n útil com-
plemonhria: campo seme)lIntu a gr¡lIlientol parA la funci6n !u•• o
·,.
I (x) sobf1l J,fR. Des ignamos por ~ (1) la derh'odtl de la función!_ lo,
largo del CIImpo ,.
nEFINICION'- Un campo l'cClorill lauave ¡ sobre 111 se ¡lIuna leFlU'--
janttl a f!"odlmtal, si; 1) ,,(f) .. O sobro un conjunto J1,1'-. {"l' ...
• • _, %1' l. donde {XI} son pl,lnto~ críticos para la función de MOr!l8jj
2) p lllll e oalquier punto .TI hay un entorno Abierto U (XI) tal, qUBt
en cualquier s isti'ma de f(lorde nlld81!. en 01 cual
el cllnpo ~ es de form a
t<JO) - (-.r' , ... , _r-; ::r~+ I • •.. , x") .
E s ev idente, que llorA cllAl quier fundón de MOr'!!e J !'JObr!! M h /ly
toles c ampos ¡ (por t'jcmpl 0, , = grlld / rupeclo 11 alguna rntitricII
de lliemllnn sobre M).
Sea n XI E M un punto c.ri tico para /, (indi<,e % 1) "'" ). y t Ull ca mpo
5emejllole ti. gradient.<tl para ,. Consideremos así lIa.Dlndo d¡8iTllma
de separn lri7; del punto .e,. o sea, el tot.d de toda.!! las t rayéCtor ias
io\.e¡:rnlps del campo t , c/Llrnnte8 o salien tes d~l punto .r., Entone!;'! .
en 01 entorno U (;r/) este dillgrama tiene la formll repreecn tllda en
a lig. U2.
LAS trayectorias entrantes llenan el disco D~ (z', . .. , z~); l/u
saliente" el disco D"-I. (Zl.H , ••• , ro).
Consideremos do, esferas: S/,.-I _ rr n (J(.r) _ I (XI ) -e};
S· -~- I _ D"" - /" n (f (x) _ /(.J;¡)+e} para 'In e suficientemente
pequ(oll u. Se puede considerar, q ua S"-I _ 8D , $"'-1.-1 """,éJ~~- 1
en el en torDO U(.r¡); "éase 111 lig. 63.
Cousidaremos \Ul11 . dilataciÓn. de los discos d(x /) y D~-~( :.:,)
i lo largo de las trayectori A.'!! integl'llJu do} campo ~; entoO«'5 las
esforos 8"-/ (z,) y $"-1.-1 (2: ,) también !e deformarin sUllvcIDenla
de algún modo, moviéndoae a lo largo de las trayectorias 51ll aulo--
secarse hasta que eucuentren lIl¡:ún otro punto criUc.o xJ. (Claro que
las t rAyectorias del campo ~ puedl'n inl.t>rsecllf"U !SÓlo en los plintos
criticos de la función l.)
1.WA l. Sea que en la fibra I\{ ~ . ,/lr •• "'" r' la'. b'1 hall 6610
do: punla$ crítico: z. e V. de la función 1, ton nto a' < a = I (zo) <
< J (v. ) - b < b'; :ea , 1It1. campo semejante a gradtenlal pora f.
SUpOllgal1lQ$ qut/ el< la fibra f- I [a'. b'j8e cumple la relacl6n D"- I. (x.) n·
nD~' (V~) - 0 (aqu t ), - ind (zo); )" "'" iod (Yo». Entonee8 etl la
wrltdlld ftl" hay un" .¡uevll. fUllcidn di! ¡~IOT$I g tal, qlU! J - g JlUra
'M ¡- ' [a', b ' ] , ad,.,,,,á, g tune $obre Al 108 m', mo: punto8 crfU~, qU#"
.. ,
la lunewn Jj el .:ampo ¡ e, stmejall~ 1I frad~'ltal rombién para 14
l und6n g; g (z.) > g ÚI. ); g"" f + eon~t tfI llI, I!nWrnos U (z.).
U (110)' .J
O&MOS1'IlACION. De las condiciones deL leWA se deduce que en la
l ibrn r l la', b'] UD se inteJ'8oosn los diRgrarola de separaLrit de lo,
rr- ,-- ,,-.-¡'··'
OOfof(~4" JJn-,. - -- - ---- { · f(tr,} O' f·f(.rn-~
f'ig. 63 •
. ,.
FI¡ 64.
.jIuntO$ x. e Yo (véase la ng 6ol). o !!lea, (0"-" (%.) U 01. (%,» n
n (0"-1 (Yo) U D"' (11, )) - 0 De!Jignemos: W - r 1 la'. b'l:
A __ [j'-1. (z,,) U ti' (%~);
Entonces, es evidente
w '- (A U Bl!l:'!l U-t (b') " « A U E) n r l (b'))) / (a . b'l e!
'" / -1 (a' ) " ({A U Bl n '-' (a'») 114' , b' )
La mislJlII relación puedo Ber cSGrita así: t'1 complemento IV'..(A U B )
.es d¡(Mmorfo al producto di recto
·WI (6) " (S" ·1' (Yo) U 8"-1.-1 (z,») 1 [a ', 6'1 QI
fiiIII (/1 (a')" (S~'-l (V. ) U $1-1 (z.») 110' , b'[.
-donde I [4', b'l es un;segmento. (Para simplificar, consldera mQ.!l que
,o' ~ O; b' ... t .) En particular, el difeomorfi~mo entre la voriodad
.(1 (b') ...... (S,.-1· (v.) U 8 .. -).-1(%, » y la var iedadJ-L (a') ...... (S"·-1 (.v, ) U
U 81.-1 (%,)) SI) realiu a lo largo de la!! trayoc.tori rus in te¡t'alu y
del campo t. Considerellll» 80bre r 1 (a ') una función suave a (%)
tal, q,ue a (%) "" O en un entorno sufici entemente poquefio A n 1-' (a')
ya (%) - 1 en UD entorno blllltante pequeño 8 n r' (a') . E! posible
,hacerle. yo que A n 81- 0. EJor la función a dada sobre r' (a'),
vamos a OOOljt;rui , una función sUllve (J. (%) en todo IV. prolongando (l
con valores constant05i a Jo largo de los trayectorias ' integrales del
-campo t (estns trayeeiorlu 110 se intersoolu tuera de A U B). L,
función obtenida (l (z) sobre lV e5 cOlIs tante a lo largo de cualquier
§ 17. Funcl6n -,.SU1" , do Morso-s",.I .. , ..
Lrayllclvr i. y. que no SI' incluyo en un en torno .biorw de A U B.
a"" O en U (A) Y a = 1 ('n l.i (B).
Con.'l[dere mo! la ('IIII; ;6n .!Iua\·e p (i. y) _ i". dada por el gráfico
de In fig. 65.
FIII. GfI.
En la fig. f,#i!O(> mUI'sl ra In evolución dc IlIS lí neas de inl cr.ro .... d6n
del grii fico -: = fJ (x. ji) (' 011 e l pillno y _ t (COllst) ('on el ca m bio de t
desdo O hn~t.n 1.
Egcribnmo~ do h. s ignicnt .... m~n(' ra 11l~ coo(lkioues fOf tltll les pucs-
t u en In (lind ón p:
1) ...!".. (p (;: /i» > O para IM\o (";" 0 Y ... (r, y) Cl"l'ce dI! O n i ,
" CUBn\ll1 i croce do O B 1:
2) p(Q.. O) - ú; p (b, 1)=a :
, - -3) - - - (p (.t, O}) El 1. para todo:- x cn un en tornu ¡le 11;
" 1:.(,, (;.. 1) _ I para torlo T (-n un II ll lorno de b (\63"e 1" n it'o (jj).
0'
U-~ I IJr
.. , C.p. 1. Punto . c r!li<:'" y ho mol"1li ..
Definamos. ~horll . ]/1 fun ción bu~ada ¡¡ (.1') _ P U (xl , a. (,1:».
x E W. B nlonc.!:!" ,(x,) =- p (f (%0) ' a. (.rl» _ P (11, O) > P (u. i) -
"'" P (1 (v,l. a. (Yo» - g (y.) . A~i, g (z ,, ) > g (y, ). Do las (ondiciones
1) - 3) e n 111 función p. 96 clbtl uco qll l' b fundón g (x) sati.,la te toda,
las OXigI'lI C.iR S formuladas en lo con,l[ciún del lema. El lema quodll
deoloshndn .
I.OIA:. CUfls/dererrws JI' .,. [- . fu'. b'l. SI'4n :t". v. E W; 1 (XI ) <
< / (Yo) y "(x,) -= (índice eh J o". el prmto x , ) ;;.. A (y, l - (tI/dic. de
/ en el punto Yo)' Enlonces. lobre M }¡uy una luncidn g Ih .\Torse lal,
que g (.1',) > g (yo); g tiene 101 mismos pu,dol erfUcos qUl! f; In funct6"
g (x) sIlU'/D.n rodas lal reltontn cOlldicumcs del lema preadellte.
P'I~==71
;(a,Di
J¡(~' fJ \¿::;;;::=J",,J
11, ) ( ,1)
Fig. 67 Vig. 68.
DE.IOSTIIACION. En el caso cuando A n B "" 0 . el lomll ya está
deroostrlldo (véase el lema prc«,dentt'). En caso general. A n B<is
r¡:. 0· Reduz.cllmos esta cuo a la s itmlclón: A n 8 - 0. Exnmina-
mos 1& superficie {/ (.:.t ) _ 1f2} = V (consi deramos a' = O; bl = t ;
0<f(~D)<+<f(yo)<1). Hacemos ,, - ),,(~c)' ~' - ~(Yo). Se,
A n B + 0 . Esto s ignifica . que Sn -I.-1 (;1'0) n Sl'-I (¡/ol "'" 0 el!
la superfic ie V. vl1a:;e la flg. 68. (En rcalidlld , si esta inter!lecci6n
es vad. , entonces A n B _ 0.) PUllll to que (112 E [a'. b' l no Il.)
valor critico, entoncell V"- I es unto. variedad ~ua'\' o (n - f)-dimonsi(l-
Dal. y Iss osfens 5"-1.-1 (;:r~) y 5 1' - 1 (Vo) son lIubvar ledades lIuaVM
en Y.
Por cusnto d lm sn-1- 1 (rJ+ dlm Sl.'-I (/10) - n-"-t + h' -1-.
= n-(~-A')-2< n-:f . (loloneo", ~e deduce dol leo~ma gen ...
-
ral sobre ran t-rcguh.rldad (\'b se [ti. p. 11, § t O), quo existe UD'
isotopfa dCl eucllje (de inmertl i6n) t: 5 1--1 _ V . tan pequelia coro,
se quiera en b. inmOI1llón pr6xima. la c UIII yo tendrá una int.eNJecd6n
vada con la e~ ferll. 8" -1- 1 (;:ro) ' E~ tá claro. que es posible prolon·
¡ lit esta i!tOtopill en un entomo J>Ilq uetlo de h. superficie V. hadén·
dolll (a l. isotopl.) ldéntlell fuer. de ellto entorno. Sometiendo el
".
(;~OlPO Sl"JUlljlUllp a grndi t' nlll l ~ " la i ~otoph. buscada. obtendremos
y ti d olS diogrllmas ¡\ y II do ~paralrj:t n o intersct'lldos (v<ÍnM' 18
rig . O',) .
Hell;lI)s reduc_idn I ~ s it\1ndón 111 rllEO A n n .,. 0. J!:I ¡cmt, queda
domot; Lr~do.
De oele modo queda delllostreda por completo ID n firOllllJ.ióu
de l teoroma s"Lro lo e,l"iq,'n<'in de una rundún tl'::ular de MOl'$e.
5.~j~:.
~. f l~($~'fJ
FIg. 69. FIII'_ 70.
s/f'"''
W$$#!JtMma~
HZ
FII:_ ¡ l .
Lu .\I+!j¡'1HHIIIMais conteúdos dessa disciplina
História geral- Mapa Mental - Direitos Autorais
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