licao07 o potencial eletrico 1de2

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Física 3
O Potencial Elétrico 1/2
Giovani Manzeppi Faccin
Lição 07
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 1 / 25
O Potencial Elétrico
Nas aulas anteriores estudamos a força
eletrostática, correspondente ao
resultado da interação entre uma carga
de prova e um campo elétrico.
Força Eletrostática:
~F = q ~E
Essa força é conservativa, ou seja, independe da trajetória que a carga
de prova q irá percorrer.
Nos ocupamos em encontrar formas de calcular o campo elétrico ~E , de
forma a podermos calcular a força.
A primeira forma estudada deriva da Lei de Coulomb:
~E =
1
4pi�0
∑
j 6=i
qj
(|~rji |)2
rˆji
A segunda forma estudada foi a Lei de Gauss:
∮
~E · d ~A = Q�0 .
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O Potencial Elétrico
Por outro lado sabemos, pelo Teorema do Trabalho-Energia Cinética,
que:
W = ∆K = −∆U → ∆U = −W
Aplicando a definição de trabalho:
∆U = Uf − Ui = −
∫
~F · d~s = −q
∫ ~sf
~si
~E · d~s
Como a força elétrica é conservativa, o resultado desta integral de
linha não depende do caminho adotado.
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O Potencial Elétrico
Observe que, em cada problema, é preciso convencionar a
configuração de cargas na qual a energia potencial total será nula.
Tipicamente, essa escolha consiste na configuração na qual as cargas
estejam infinitamente separadas entre si. Mas não é a única
possibilidade!
Medindo a energia potencial sempre
em relação a este referencial, podemos
definir o potencial elétrico V :
Potencial Elétrico:
V =
U
q
O potencial elétrico é uma grandeza escalar, dado em Volts: 1V≡1 JC .
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A Diferença de Energia Potencial Elétrica
A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f num campo
elétrico será:
∆V = Vf − Vi = Uf
q
− Ui
q
=
∆U
q
= −W
q
Procure não confundir o
potencial elétrico com a energia
potencial elétrica. São
grandezas diferentes!
Diferença de Potencial Elétrico:
∆V = −W
q
Do ponto de vista de efeitos físicos, apenas diferenças de potencial são
relevantes, uma vez que elas estão diretamente relacionadas ao
trabalho da força elétrica.
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Superfícies Equipotenciais
Superfícies Equipotenciais correspondem a trechos no espaço que
possuem em comum um mesmo valor para o potencial elétrico.
Acima temos exemplos para o caso de campos elétricos uniformes (a),
cargas pontuais (b) e dipolos elétricos (c).
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Superfícies Equipotenciais
A importância destas superfícies se dá pelo seguinte fato:
Caso uma partícula carregada se mova ao longo de uma superfície
equipotencial, o trabalho da força elétrica neste movimento será nulo.
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Calculando o Potencial a Partir do Campo
Se soubermos o campo elétrico
e a trajetória percorrida por uma
partícula carregada no campo
elétrico poderemos, a partir da
definição de trabalho, encontrar
o potencial elétrico:
dW = q ~E · d~s
∫
dW
q
=
∫
~E · d~s → ∆W
q
=
∫
~E · d~s
∆V = −
∫
~E · d~s
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O Potencial Elétrico de Uma Carga Pontual
Vamos aplicar a equação anterior ao
caso de uma partícula pontual, de
carga positiva:
∆V = −
∫ ∞
R
~E · d~s
O caminho é uma linha reta, paralela a
rˆ , e vamos mover a carga de prova do
ponto P até o infinito. Isso resulta em:
V∞−VR = −
∫ ∞
R
∣∣∣~E ∣∣∣·|d~s| cos θ = −∫ ∞
R
Edr
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O Potencial Elétrico de Uma Carga Pontual
Por convenção, o potencial elétrico no infinito é nulo. Logo V∞ = 0.
Ao mesmo tempo, o campo elétrico de uma carga pontual é um
resultado que conhecemos já faz algum tempo:
E =
1
4pi�0
q
r2
Logo:
0− VR = −
∫ ∞
R
1
4pi�0
q
r2
dr = − q
4pi�0
∫ ∞
R
r−2dr =
=
q
4pi�0
[
1
r
]∣∣∣∣∞
R
→ −VR = − 14pi�0
q
R
→ VR = 14pi�0
q
R
.
Se mudarmos a notação, chamando R de r para representar a
distância até a carga onde se calcula o potencial, teremos:
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O Potencial Elétrico de Uma Carga Pontual
Potencial Elétrico da Carga Pontual:
V =
1
4pi�0
q
r
Observe que, caso o sinal da carga fosse negativo, teríamos −q ao
invés de q na equação acima, e o gráfico teria uma singularidade no
sentido negativo do potencial.
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O Potencial Elétrico de Um Conjunto de Cargas Pontuais
O resultado anterior, aliado ao
princípio da superposição, nos
permite calcular diretamente o
potencial elétrico de um
conjunto discreto de cargas
pontuais.
Potencial Elétrico:
V =
1
4pi�0
n∑
i=1
qi
|~ri |
Basta somar a contribuição de cada carga diretamente, de modo
similar ao que fizemos em aulas anteriores para o caso do campo
elétrico.
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Exercício
Qual é o potencial elétrico
líquido no ponto P devido às
quatro partículas ilustradas, se
V = 0 no infinito, q = 5.00 fC,
e d = 4.00 cm?
a) V ≤ −10−2 V b) −10−2 < V ≤ 0 V
c) 0 < V ≤ 10−2 V d) v ≥ 102 V.
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O Potencial Elétrico de Dipolos
Vamos calcular o potencial elétrico
no ponto P , causado pelo dipolo ao
lado.
V =
2∑
i=1
Vi = V+ + V− =
=
1
4pi�0
(
q
r+
+
−q
r−
)
=
q
4pi�0
r− − r+
r−r+
.
Para pontos muito distantes do
dipolo, valem as aproximações:
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 14 / 25
O Potencial Elétrico de Dipolos
r− − r+ ≈ d cos θ e r−r+ ≈ r2,
o que resulta na situação aproximada
mostrada ao lado.
Substituindo na equação para o
potencial do dipolo, teremos:
V ≈ q
4pi�0
d cos θ
r2
.
lembrando-se que o momento de dipolo
p = qd , temos:
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O Potencial Elétrico de Dipolos
Potencial de Dipolo Elétrico:
V =
1
4pi�0
p cos θ
r2
Não se esqueça: essa equação foi calculada supondo-se estar a
grandes distâncias do dipolo.
Essa aproximação é bastante razoável, por exemplo, para medidas do
efeito de dipolos moleculares macroscopicamente distantes do ponto
de medida do campo.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 16 / 25
O Potencial de Distribuições Contínuas de Carga
Para calcular o potencial elétrico
gerado por distribuições contínuas de
carga, primeiro precisamos encontrar o
potencial dV atribuído a um elemento
de carga dQ:
dV =
1
4pi�0
dQ
r
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 17 / 25
O Potencial de Distribuições Contínuas de Carga
Somando ao longo de todos os
elementos de carga, teremos o
potencial gerado pela distribuição:
V =
∫
dV =
1
4pi�0
∫
dQ
r
Potencial de Distribuições de Carga:
V =
1
4pi�0
∫
dQ
r
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 18 / 25
Exercício
Considere o bastão isolante
mostrado ao lado, o qual foi
uniformemente carregado com uma
densidade linear de carga λ.
Qual o potencial elétrico em P?
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 19 / 25
O Potencial de Um Disco Carregado
Vamos encontrar agora o potencial de
um disco carregado com uma
densidade de carga uniforme σ.
O elemento de carga dQ será:
dQ = σ
(
2piR ′
) (
dR ′
)
o qual se encontra numa distância
r =
√
z2 + R ′2 do ponto P .
O potencial elétrico gerado por esse
elemento será:
dV =
1
4pi�0
dQ
r
=
1
4Zpi�0
σ (2ZpiR ′) (dR ′)√
z2 + R ′2
=
σ
2�0
R ′dR ′√
z2 + R ′2
.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 20 / 25
O Potencial de Um Disco Carregado
Somando as contribuições de cada elemento:
V =σ
2�0
∫ R
0
R ′dR ′√
z2 + R ′2
Fazendo a substituição u = z2 + R ′2, teremos du = 2R ′dR ′, o que
resulta em:
V =
σ
2�0
∫ z2+R′2
z2
1
2du√
u
=
σ
4�0
∫ z2+R′2
z2
u−
1
2 du =
σ
4�0
[
2u
1
2
]∣∣∣∣z2+R′2
z2
Logo:
V =
σ
2�0
[(√
z2 + R ′2 − z
)]
.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 21 / 25
Exercício
Um bastão de plástico foi dobrado em um círculo de raio R = 8.20 cm.
Ele possui uma carga Q1 = 4.20 pC
uniformemente distribuída ao longo de um
quarto de sua circunferência e uma carga
Q2 = −6Q1, uniformemente distribuída ao
longo do restante de sua circunferência.
Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico:
No centro do círculo (ponto C)?
a) V ≤ −1 V b) −1 < V ≤ 0 V
c) 0 < V ≤ 1 V d) V > 1 V
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 22 / 25
Exercício
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 23 / 25
Exercício
Um bastão de plástico foi dobrado em um círculo de raio R = 8.20 cm.
Ele possui uma carga Q1 = 4.20 pC
uniformemente distribuída ao longo de um
quarto de sua circunferência e uma carga
Q2 = −6Q1, uniformemente distribuída ao
longo do restante de sua circunferência.
Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico:
No ponto P, que se encontra ao longo do eixo central do círculo,
numa distância D = 6.71 cm do centro?
a) V ≤ −1 V b) −1 < V ≤ 0 V
c) 0 < V ≤ 1 V d) V > 1 V
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 24 / 25
Tarefa Para Casa
Exercícios Sugeridos - Capítulo 24 do livro do Halliday, 8ª edição:
7, 16, 22, 27, 29.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 07 25 / 25