como calcular Limite

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Profa. Lena Bizelli 
 
LIMITES 
O limite de uma função  y f x , é o número real para o qual a função (os valores de y) está tendendo, 
quando x se aproxima de um valor a, por exemplo. Ou seja, para dizer que um limite existe, ele deve ser 
igual a um número real. 
Observe que como x está sobre a reta dos Reais, x pode aproximar-se de a pela direita (por valores maiores 
que a) ou pela esquerda (por valores menores que a). Assim, dizemos que o limite de uma função existe se, 
e somente se, existirem os limites laterais e eles forem iguais. 
     lim lim lim
x a x a x a
f x f x f x   
   
Para determinar o limite  lim
x a
f x
, o primeiro passo é substituir x = a na função e observar o resultado: 
1) Se o resultado der um número real, o problema está resolvido. 
2) Se o resultado der uma indeterminação 0 cte 0, ,etc.
0 0
    você deve tentar manipular a função 
algebricamente para obter uma forma em que, substituindo o valor de x = a, obtenha como resultado 
um número real. 
3) Se não for possível manipular a função algebricamente, para eliminar a indeterminação, isso 
significa que o limite não existe, ou seja, 
   ouf x f x    
Se depois de substituir o valor de x = a, para o cálculo do limite
 
 limx a
f x
g x
, encontrar como resultado 
cte 0 ,
0
 então   limx a
f x
g x
  dependendo do sinal da função que zerou, ou seja, da função que está no 
denominador. Nesse caso, você deve estudar o sinal de  g x e utilizar a regra de sinais no quociente, para 
determinar se o limite é igual a +∞ ou -∞. 
Agora, para determinar o limite 
 
 limx
f x
g x
, onde    ef x g x são polinômios, o procedimento é dividir o 
numerador e o denominador pelo termo de maior expoente, simplificar e calcular o limite da função obtida 
depois da simplificação. 
Se uma função tem um limite, ele geralmente pode se encontrado. Contudo, existem funções para as quais é 
bastante complicado determinar o valor do limite. Nesse caso, se você dispuser de um programa gráfico 
(Graphmatica, por exemplo), esboce o gráfico da função e verifique, a partir dele, se a função tem um 
limite ou não. 
Agora tente resolver os exercícios dados a seguir, para verificar se você compreendeu as idéias apresentadas 
até aqui. 
 
 
Profa. Lena Bizelli 
 
Exercícios 
Determine o valor do limite e, no caso dele não existir, verifique se a função tende para +∞ ou para -∞. 
1) 
2
2
5lim
3x
x
x

 2) 3
5lim
6 2x
x
x  3) 0lim 3x x x  4) 
2
3
6 9lim
3x
x x
x
 
 5) 24
2 8lim
12x
x
x x

  
6)
 
2
25
3 10lim
10 25x
x x
x x
 
  7) 1
1lim
1x
x
x

 
8) Sabendo que   1, 3,
3 7, 3
x x
f x
x x
     encontre o valor dos limites: 
 (a)  
3
lim
x
f x
 (b)
 
 
3
lim
x
f x
 (c)  
3
lim
x
f x 
9) 3 5lim
6 8x
x
x

 10) 
2
3
4lim
2 5x
x x
x

 11) 
3 25 2 1lim
1 3x
x x
x
 
 
 
 
Algumas Respostas 
1) 1
5
 2) -∞ 3) Não existe 4) 0 5) 2
7
 
6)  f x   quando 5x  e  f x   quando 5x  
7) 2 8) (a) 2 (b) 2 (c) 2 9) 1
2
 10) 0 
11) -∞ (Neste caso, esboce o gráfico da função para obter o resultado)