Definição de limite matemático e demonstrações

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Definição de limite matemático e 
demonstrações
APRESENTAÇÃO
O estudo de limites, pela definição formal, é essencial para definir com precisão o 
comportamento de uma função nas proximidades de um ponto no domínio da função. O 
conceito de limites é fundamental para entender cálculo diferencial e integral.
Os limites laterais permitem aproximar um ponto do domínio da função tanto pela direita como 
pela esquerda, podendo determinar o valor do limite na vizinhança desse ponto, além de 
verificar a existência do limite.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário ter estudado limites 
intuitivos, pois em limites laterais serão utilizados conceitos de aproximação.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá os conceitos e definições de limites formalmente. 
Você vai compreender geometricamente o conceito de limites e poderá acompanhar os conceitos 
apresentados na resolução de exercícios.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer a definição formal de limites.•
Demonstrar limites pela definição.•
Interpretar a definição de limites.•
DESAFIO
Construir um gráfico da função permite visualizar a solução de uma forma plausível, chegando-
se a conclusões específicas de acordo com o seu comportamento.
Você precisa confeccionar o gráfico e fazer uma análise a respeito de uma função.
a) Construa o gráfico da função f(x) nas proximidades da abscissa 1.
b) Determine o valor do limite da função.
c) Com base nos resultados obtidos em a e b, explique a solução encontrada.
INFOGRÁFICO
A pressão sanguínea é a pressão que o sangue exerce nas paredes das artérias. Ela é composta 
por dois números. O de maior valor é chamado de pressão sistólica, e o menor é a pressão 
diastólica.
Neste Infográfico, você verá como funcionam os limites laterais utilizando o exemplo fictício de 
cálculo da pressão sanguínea.
CONTEÚDO DO LIVRO
A existência de um limite, por exemplo, não depende apenas de aproximar a variável x de um 
ponto x0. Para se ter um limite L, são necessárias aproximações pela direita e pela esquerda em 
torno de x0. Já os valores obtidos são valores aproximados do limite L.
No capítulo Definição de limite matemático e demonstrações, base teórica desta Unidade de 
Aprendizagem, você verá como calcular um limite formalmente e estudará definições e a 
interpretação geométrica dos resultados. Você também irá aprender a calcular limites laterais e a 
verificar a existência de um limite.
Boa leitura.
CÁLCULO DE UMA 
VARIÁVEL 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Reconhecer a definição formal de limites. 
 > Demonstrar limites pela definição.
 > Interpretar a definição de limites.
Introdução
A definição formal de limites, embora seja um pouco complexa, nos permite analisar 
as pequenas variações das constantes ε e δ (épsilon e delta, respectivamente). 
Veremos que a função f(x) não está definida em um certo ponto a, mas que para 
uma condição especifica, existe um limite.
Definição de limite
Seja f(x) éuma função e x0 um ponto no domínio da função f(x), suponha que 
desejamos aproximar x pelo ponto x0, pela esquerda e pela direita, como 
mostram as Figuras 1a-b, mas sem que x se torne o próprio x0.
Definição de limite 
matemático e 
demonstrações
Daniele Cristina Thoaldo
Figura 1. (a) x à esquerda de x0. (b) x à direita x0.
y y
x x
a b
As letras gregas δ (delta) e ε (épsilon) são usadas para denotar pequenos 
números reais positivos. Observe que desejamos fazer com que f(x) fique muito 
próximo de L, desde que x0 possua uma certa distância de δ, ou seja, x0 ≠ x.
Valor absoluto (módulo)
Geometricamente, o valor absoluto ou módulo de um número é a distância 
entre dois pontos em uma reta (Figura 2).
Figura 2. Interpretação geométrica.
Se existir um x no intervalo aberto x0 – δ < x < x0 + δ, então f(x) está no 
intervalo aberto y0 – ε < f(x) < y0 + ε.
Propriedade (1)
Para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, para todo x ∈ Df (domínio da função), 
x – δ < x0 < x + δ, x ≠ x0 ⇒ L – ε < f(x) < L + ε
Definição de limite matemático e demonstrações2
A Figura 3 ilustra uma situação em que f(x) está definida em x0, mas não é 
contínua em x0, pois para que a função seja contínua em cada ponto do seu 
domínio, dizemos que f(x) é contínua.
Figura 3. L ≠ f(x).
Limites pela definição
Definição
Seja f(x) uma função em um intervalo aberto próximo à x0, exceto no próprio 
x0. Dizemos que f tem um limite L, em x0, se, para todo ε > 0, existe um δ > 0 
tal que, para todo x ∈ Df, e escrevemos:
lim
→ 0
( ) = 
Se:
0 < |x – x0| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε
Definição de limite matemático e demonstrações 3
De acordo com Guidorizzi (2018), o limite de f em x0 não depende do valor 
(caso f esteja definida em x0 que f assume em x0, mas sim dos valores que f 
assume nos pontos próximos de x0. O conceito de limite é um conceito local, 
pois para o limite de f em x0, analisamos os valores que f assume em um 
pequeno intervalo aberto contendo x0.
Figura 4. Definição.
y
L + ε
L – ε
x0 – δ x0 + δ x0 x
L
A partir de agora, veremos alguns exemplos.
Exemplo 1
Mostre que:
lim
→ 0
( + ) = 0 + 
Definição de limite matemático e demonstrações4
Solução:
Seja f(x) = ax + b e L = ax0 + b. De acordo com a definição, devemos mostrar que, 
para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que:
se 0 < |x – x0| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε
Então:
0 < |x – x0| < δ ⇒ |(ax + b) – (ax0 + b)| < ε
Desenvolvendo a segunda desigualdade em que envolve ε, nos fornece o 
valor de δ.
| + − 0 − | < 
| − 0| < 
| − 0| < 
| − 0| < 
Fazendo δ < 
| + − 0 − | < 
| − 0| < 
| − 0| < 
| − 0| < :
0 < | − 0| < 
0 < | − 0| < 
0 < | − 0| < 
0 < | − 0| < 
Note que δ < 
| + − 0 − | < 
| − 0| < 
| − 0| < 
| − 0| < não é o único valor que fará 0 < |x – x0| < δ implicar |ax – ax0| 
< ε.
Exemplo 2
Mostre que:
lim
→2
(3 − 1) = 5 
Definição de limite matemático e demonstrações 5
Solução:
Seja f(x) = 3x – 1, x0 = 2 e L = 5. Para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que:
se 0 < |x – x0| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε.
Precisamos determinar um valor para δ > 0 apropriado em que, se x ≠ 2 e x 
estiver a menos de δ de x0 = 2, isto é, sempre que:
0 < |x – 2| < δ
Seja verdade que f(x) está a menos de ε de L = 5, de modo que:
|f(x) – 5| < ε
Então:
| (3 − 1) − 5| < 
| 3 − 1 − 5| < 
| 3 − 6| < 
| 3( − 2)| < 
3| − 2| < 
| − 2| <
3
 
Assim tomando δ < 
| (3 − 1) − 5| < 
| 3 − 1 − 5| < 
| 3 − 6| < 
| 3( − 2)| < 
3| − 2| < 
| − 2| <
3
 , temos 0 < |x – 2| < δ = 
| (3 − 1) − 5| < 
| 3 − 1 − 5| < 
| 3 − 6| < 
| 3( − 2)| < 
3| − 2| < 
| − 2| <
3
 , então:
| (3 − 1) − 5| = | 3 − 1 − 5| = | 3 − 6| = 3| − 2| < 3
3
= 
O que mostra que:
lim
→2
(3 − 1) = 5 
Interpretando a definição de limites
Para entender como interpretar o limite, seguiremos com mais alguns exemplos.
Definição de limite matemático e demonstrações6
Exemplo 3
Seja o:
lim
→1
(√3 + 6) = 3 
determine um δ > 0 que sirva para ε = 2.
Solução:
Para determinar δ > 0, temos:
0 < | − 1 e| < |√3 + 6 − 3| < 
Iniciamos resolvendo a inequação 0 < | − 1 e| < |√3 + 6 − 3| < para determinar um inter-
valo que contenha x0 = 1 para que a inequação valha para qualquer x0 ≠ x.
| √3 + 6 − 3| < 2 
−2 < √3 + 6 − 3 < 2 
2 + 3 < √3 + 6 < 2 + 3 
1 < √3 + 6 < 5 
12 < 3 + 6 < 52 
1 < 3 + 6 < 25 
1 − 6 < 3 < 25 − 6 
−5 < 3 < 19 
−
5
3
< <
19
3
 
A inequação é validada para qualquer pertencente ao intervalo aberto , logo 
vale para todo x ≠ 1.
Determinando um valor δ > 0, devemos centrar o intervalo de 1 – δ < x < 1 + δ, 
centrando o intervalo ( )− 53 ,
19
3 . Usamos a distância mais próxima de 1 até ( )−
5
3
,
19
3
. 
A Figura 5 mostra a menor distância sendo 8
3
, isso significa que em qualquer 
número positivo menor que δ = 8
3
, a inequação 0 < |x – 1| < δ colocará x no 
intervalo de ( )− 53 ,
19
3 .
Definição de limite matemático e demonstrações 7
y
x
11
3
8
3
8
3
5
3–
–1
–11
2
3
4
5
–3 –2 2 3 4 5 61
Figura 5. Função e intervalo.
Exemplo 4
Dado:
lim
→−3
(2 + 4) = −2 
e ε = 0,02, determine um δ positivo tal que |f(x) – L| < ε sempre que 0 < |x – x0| < δ
Solução:
Sabe-se que: f(x) = 2x + 4, x0 = –3 e L = –2.
Definição de limite matemático e demonstrações8
Temos:
| ( ) − | < 
|2 + 4 − (−2)| < 0,02 
−0,02 < |2 + 4 + 2| < 0,02 
−0,02 < |2 + 6| < 0,02 
−0,02 − 6 < |2 | < 0,02 − 6 
−6,02 < |2 | < −5,98 
−
6,02
2
< | | < −
5,98
2
 
−3,01 < | | < −2,99 
Figura 6. Representação do delta. 
No estudo de limites, analisamos o valor na vizinhança, reconhecendo 
o valor do limite dessa correspondência.
Interpretando limites laterais
Os limites laterais são limites que existem quando x se aproxima de um número 
x0 pela esquerda (x < x0) ou de um número x0 pela direita (x > x0). 
Segundo Thomas, Weir e Hass (2012), para se ter um limite L quando x 
se aproxima de x0, uma função f deve ser definida em ambos os lados de x0, 
e seus valores de f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de x0 
de cada lado. 
Definição de limite matemático e demonstrações 9
Definição: Quando x0 tende à direita
Seja f uma função, x0 um número real. Dizemos que um número L é o limite 
lateral à direita da função f quando x tende para x0 (Figura 7) e escrevemos:
lim
→ 0
+
( ) = , 
se para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que |f(x) – L| < ε sempre que x0 < x < x0 + δ.
Usamos o símbolo x → x0+ quando os valores são maiores que x0.
Figura 7. Limite da função pela direita. 
Definição: Quando x0 tende à esquerda
Seja f uma função, x0 um número real. Dizemos que um número L é o limite 
lateral à esquerda da função f quando x tende para x0 (Figura 8) e escrevemos:
lim
→ 0
−
( ) = , 
se para todo ε > 0 existe um δ > , tal que |f(x) – L|<ε sempre que x0 < x < x0 + δ.
Usamos o símbolo x → x0+ quando os valores são maiores que x0.
Definição de limite matemático e demonstrações10
Figura 8. Limite da função pela esquerda. 
Exemplo 5 
Dada a função:
( ) = √ − 5 
determinar, se possível,
lim
→5−
( ) 
lim
→5−
( ) = lim
 →5−
√ − 5 
= √5 − 5 
= √0 
= 0 
Solução:
Iniciamos calculando o limite quando x tende à direita:
lim
→5−
( ) 
lim
→5−
( ) = lim
 →5−
√ − 5 
= √5 − 5 
= √0 
= 0 
Definição de limite matemático e demonstrações 11
O limite quando x tende a esquerda lim
→5−
( ) 
lim
→5−
( ) = lim
 →5−
√ − 5 
= √5 − 5 
= √0 
= 0 
 não existe, pois a função só é 
definida x ≥ 5.
Teorema: Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto 
possivelmente no ponto x0, então:
lim
→ 0
( ) = 
se e somente se:
lim
→ 0
−
( ) = lim
→ 0
+
( ) = 
Exemplo 6
Seja:
( ) = {
2 + 1, para < 2
− + 7, para ≥ 2
 
Determinar, se existirem:
lim
→2+
( ) e lim
→2−
( ) 
Esboçar o gráfico da função.
Solução:
Se x < 2, então f(x) = x2 + 1.
Assim,
lim
→2−
( ) = lim
→2−
2 + 1 = lim
→2−
2 + lim
→2−
1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 
Se x ≥ 2, então f(x) = –x + 7.
Assim,
lim
→2+
( ) = lim
→2+
− + 7 = lim
→2+
− + lim
→2+
7 = − 2 + 7 = 5 
O gráfico da função é apresentado na Figura 9.
Definição de limite matemático e demonstrações12
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 1 3 4
x
y
2
Figura 9. Limite de uma função. 
Como os limites laterais são iguais, concluímos que o limite existe, logo:
lim
→2
( ) = 5 
Exemplo 7
Considere a seguinte função representada pelo gráfico da Figura 10.
Figura 10. Exemplo. 
Definição de limite matemático e demonstrações 13
Determine:
a) lim
→−2−
( ) 
b) lim
→−2+
( ) 
c) lim
→−2
( ) 
d) lim
→−1−
( ) 
e) lim
→−1+
( ) 
f) lim
→−1
( ) 
g) lim
→1−
( ) 
h) lim
→1+
( ) 
i) lim
→1
( ) 
Solução:
A função não está definida, portanto:
lim
→−2−
( ) = ∄ 
Quando nos aproximamos de –2 pela direita, observa-se no gráfico que o 
limite tende a –2, logo:
lim
→−2+
( ) = 0 
Como:
lim
→−2−
( ) ≠ lim
→−2+
( ) ∴ lim
→−2
( ) ∄ 
Quando:
→ −1, lim
→−1−
( ) = −1 
Quando:
→ −1, lim
→−1+
( ) = 1 
Definição de limite matemático e demonstrações14
Como:
lim
→−1−
( ) ≠ lim
→−1+
( ) ∴ lim
→−1
( ) ∄ 
Quando:
→ 1, lim
→1−
( ) = 1 
Quando:
→ 1, lim
→1+
( ) = 1 
Quando:
→ 1, lim
→1
( ) = 1 
Observe em (i) que como os limites laterais:
lim
→1−
( ) = lim
→1+
( ) = 1 
logo o limite:
lim
→1
( ) = 1 
pois estamos interessados em saber o que está acontecendo na vizinhança. 
Para aprender a plotar gráficos usando GeoGebra, busque pelo estudo 
“Estudando Limites com o GeoGebra”.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2012. (E-book).
GUIDORIZZI, H. L; Um curso de cálculo. 6 ed. São Paulo: LTC, 2018.
Definição de limite matemático e demonstrações 15
JARDIM, D. F. et al. Estudando Limites com o GeoGebra. Revista Científica Vozes dos 
Vales, ano 4, nº 8, p. 1–19, 2015. Disponível em: https://www.researchgate.net/profile/
Jaqueline_Da_Silva5/publication/286220543_Estudando_Limites_com_o_Geogebra/
links/5666e68908aef42b57867571/Estudando-Limites-com-o-Geogebra.pdf. Acesso 
em: 26 jan. 2021.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. 
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage, 2011. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, K. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
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testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores 
declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Definição de limite matemático e demonstrações16
DICA DO PROFESSOR
A interpretação gráfica, na maioria dos casos, torna a resolução simples. Fazer o gráfico e saber 
calcular algebricamente comprova a veracidade do limite em determinado ponto. 
Uma vez com o gráfico plotado, é possível fazer a análise do comportamento da curva, tendendo 
a um ponto x tanto pela direita quanto pela esquerda, facilitando a visualização quanto 
à existência do limite.
Nesta Dica do Professor, você verá a interpretação de gráficos utilizando o conceito de limites.
 
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EXERCÍCIOS
1) 
Para o limite , assinale a alternativa que determina o intervalo 
com δ>0 que sirva para ε = 1.
 
A) [-2,0].
B) [-1,1].
C) [0,2].
D) [1,3].
E) [2,4].
2) 
Considere o limite utilizando limites laterais e avalie as afirmativas:
I. 
II. 
III. 
Assinale a alternativa correta. 1. 
A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
B) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
C) Apenas a afirmativa III é verdadeira. 
D) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.•
E) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
3) Dado limx→4(2x+2)=10 e ε=0,1, assinale a alternativa que representa o valor de δ 
positivo. 
A) 0,05. 
B) 0,06. 
C) 0,07. 
D) 0,08. 
E) 0,09. 
4) 
Considere a função e avalie as afirmativas:
I. limx→-1- f(x)=1
II. lim x→ -1- f(x)=2
III. limx→-1f(x)=∄
IV. limx→-1+f(x)=2
V. limx→-1 +f(x)=3
Assinale a alternativa correta.
 
A) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
B) Apenas as afirmativas I e V são verdadeiras. 
C) Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras. 
D) Apenas as afirmativas II e V são verdadeiras. 
E) Apenas as afirmativas III e V são verdadeiras. 
5) Dado o limx→4(-x+4)=0 e ε=0,02, assinale a alternativa que representa um δ positivo. 
A) 0,02. 
B) 0,04. 
C) 0,06. 
D) 0,08. 
E) 0,1. 
NA PRÁTICA
O rigor matemático é necessário para que se possa aplicar os conceitos corretamente, e não seria 
diferente para calcular um limite pela definição formal e limites laterais.
Acompanhe, neste Na Prática, como interpretar geometricamente os limites laterais, utilizando 
software livre para a confecção do gráfico.
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Limites laterais
Neste vídeo, conheça os limites laterais de funções e suas aplicações e veja algumas resoluções 
de exercícios.
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Aprendizagem da definição formal de limite de funções: análise da aplicação de uma 
tarefa exploratória com o Geogebra
Neste link, conheça os resultados de um estudo que visa a compreender como os estudantes 
interpretam o limite de uma função em um ponto, representado simbolicamente por sua 
definição formal ou geométrica.
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Ferramentas educacionais para cálculo diferencial e integral
O uso de ferramentas educacionais permite aprender certos conceitos abstratos, pois com elas é 
possível facilmente plotar um gráfico e fazer uma análise. Veja, neste artigo, algumas dessas 
ferramentas.
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Lista de exercícios
Para aprender Definição de limite matemático e demonstrações, é importante que você treine 
fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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