6ª Aula Forma escalonada de uma Matriz

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Álgebra Linear
Assunto: A forma escalonada de uma Matriz
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
10 de março de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 1 / 20
A FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ
Pensando em simplificar os trabalho de encontrar a solução de sistemas
lineares, passamos a discutir operações que podemos fazer com as
linhas e colunas de uma matriz
Definição 1
Uma matriz m× n está na FORMA ESCALONADA REDUZIDA
POR LINHAS se satisfaz as propriedades a seguir:
(a) todas as linhas nulas, se existires, aparecem na parte inferior da
matriz;
(b) o primeiro elemento não nulo, a parti da esquerda, de uma linha
não nula é 1. Chamamos esse elemento de 1-líder dessa linha;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 1 / 20
(c) em cada linha não nula, o 1-líder aparece à direita e abaixo dos
1-líderes anteriores;
(d) se uma coluna contem um 1-líder, então todos os elementos
naquela coluna são iguais a zero.
Por exemplo,
A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 e B =

1 0 0 0 −2 4
0 1 0 0 4 8
0 0 0 1 7 −2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 2 / 20
(c) em cada linha não nula, o 1-líder aparece à direita e abaixo dos
1-líderes anteriores;
(d) se uma coluna contem um 1-líder, então todos os elementos
naquela coluna são iguais a zero.
Por exemplo,
A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 e B =

1 0 0 0 −2 4
0 1 0 0 4 8
0 0 0 1 7 −2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 2 / 20
Uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas parece como
uma escada de pivôs descendentes, desde o canto superior
esquerdo da matriz.
Definição 2:
Uma matriz m× n A que satisfaz apenas as propriedades (a), (b) e (c)
da definição 1 está na FORMA ESCALONADA POR LINHAS.
Uma definição semelhante pode ser formulada para a forma
escalonada reduzida por colunas e a forma escalonada por
colunas.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 3 / 20
Uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas parece como
uma escada de pivôs descendentes, desde o canto superior
esquerdo da matriz.
Definição 2:
Uma matriz m× n A que satisfaz apenas as propriedades (a), (b) e (c)
da definição 1 está na FORMA ESCALONADA POR LINHAS.
Uma definição semelhante pode ser formulada para a forma
escalonada reduzida por colunas e a forma escalonada por
colunas.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 3 / 20
Uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas parece como
uma escada de pivôs descendentes, desde o canto superior
esquerdo da matriz.
Definição 2:
Uma matriz m× n A que satisfaz apenas as propriedades (a), (b) e (c)
da definição 1 está na FORMA ESCALONADA POR LINHAS.
Uma definição semelhante pode ser formulada para a forma
escalonada reduzida por colunas e a forma escalonada por
colunas.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 3 / 20
Por exemplo,
A =

1 5 0 2 −2 4
0 1 0 3 4 8
0 0 0 1 7 −2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

e B =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
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E como podemos usar as seguintes operações:
Definição 3:
Um OPERAÇÃO ELEMENTAR nas linhas (colunas) de uma matriz A
é qualquer uma das seguintes operações:
(a) Tipo I: permuta de quaisquer duas linhas (colunas), que
denotamos por
ri ↔ rj (ci ↔ cj)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 20
E como podemos usar as seguintes operações:
Definição 3:
Um OPERAÇÃO ELEMENTAR nas linhas (colunas) de uma matriz A
é qualquer uma das seguintes operações:
(a) Tipo I: permuta de quaisquer duas linhas (colunas), que
denotamos por
ri ↔ rj (ci ↔ cj)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 20
(b) Tipo II: multiplicação de uma linha (coluna) por um número não
nulo k, que denotamos por
kri → ri (kci → ci)
(c) Tipo III: Adição de um múltiplo de uma linha a outra, que
denotamos por
kri + rj → rj (kci + cj → cj)
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(b) Tipo II: multiplicação de uma linha (coluna) por um número não
nulo k, que denotamos por
kri → ri (kci → ci)
(c) Tipo III: Adição de um múltiplo de uma linha a outra, que
denotamos por
kri + rj → rj (kci + cj → cj)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 20
Por exemplo,
Da matriz A =

0 0 1 2
2 3 0 −2
3 3 6 −9
 obtemos
B = Ar1↔r3 =

3 3 6 −9
2 3 0 −2
0 0 1 2
, C = A 13 r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
1 1 2 −3
 e
D = A−2r2+r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
−1 −3 6 −5

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 20
Por exemplo,
Da matriz A =

0 0 1 2
2 3 0 −2
3 3 6 −9
 obtemos
B = Ar1↔r3 =

3 3 6 −9
2 3 0 −2
0 0 1 2
, C = A 13 r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
1 1 2 −3
 e
D = A−2r2+r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
−1 −3 6 −5

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 20
Por exemplo,
Da matriz A =

0 0 1 2
2 3 0 −2
3 3 6 −9
 obtemos
B = Ar1↔r3 =

3 3 6 −9
2 3 0 −2
0 0 1 2
,
C = A 1
3
r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
1 1 2 −3
 e
D = A−2r2+r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
−1 −3 6 −5

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 20
Por exemplo,
Da matriz A =

0 0 1 2
2 3 0 −2
3 3 6 −9
 obtemos
B = Ar1↔r3 =

3 3 6 −9
2 3 0 −2
0 0 1 2
, C = A 13 r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
1 1 2 −3
 e
D = A−2r2+r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
−1 −3 6 −5

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 20
Por exemplo,
Da matriz A =

0 0 1 2
2 3 0 −2
3 3 6 −9
 obtemos
B = Ar1↔r3 =

3 3 6 −9
2 3 0 −2
0 0 1 2
, C = A 13 r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
1 1 2 −3
 e
D = A−2r2+r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
−1 −3 6 −5

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 20
Por exemplo,
Da matriz A =

0 0 1 2
2 3 0 −2
3 3 6 −9
 obtemos
B = Ar1↔r3 =

3 3 6 −9
2 3 0 −2
0 0 1 2
, C = A 13 r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
1 1 2 −3
 e
D = A−2r2+r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
−1 −3 6 −5

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 20
Por exemplo,
Da matriz A =

0 0 1 2
2 3 0 −2
3 3 6 −9
 obtemos
B = Ar1↔r3 =

3 3 6 −9
2 3 0 −2
0 0 1 2
, C = A 13 r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
1 1 2 −3
 e
D = A−2r2+r3→r3 =

0 0 1 2
2 3 0 −2
−1 −3 6 −5

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 20
dizemos que colocarmos uma matriz na forma escalonada reduzida por
linhas (colunas) ou na forma escalonada por linhas (colunas), já que
Definição 4:
Uma matriz m× n B é chamada de EQUIVALENTE POR LINHAS
(COLUNAS) a matriz m× n A se B pode ser obtida de A pela
aplicação de uma sequência finita de operações elementares nas linhas
(colunas) de A.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 8 / 20
Por exemplo,
se A =

1 2 4 3
2 1 3 2
1 −2 2 3
 e B =

1 2 4 3
4 −3 7 8
1 −2 2 3
, então B é
equivalente por linha a A, pois
B = A2r3+r2→r2 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 9 / 20
Por exemplo,
se A =

1 2 4 3
2 1 3 2
1 −2 2 3
 e B =

1 2 4 3
4 −3 7 8
1 −2 2 3
, então B é
equivalente por linha a A, pois
B = A2r3+r2→r2 .
(prof(a)Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 9 / 20
Teorema 1:
1 Toda matriz m× n A = [aij ] diferente da nula é equivalente por
linhas (colunas) a uma matriz na forma escalonada por linhas
(colunas);
2 Toda matriz m× n A = [aij ] diferente da nula é equivalente por
linhas (colunas) a uma única matriz na forma escalonada
reduzida por linhas (colunas).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 10 / 20
Teorema 1:
1 Toda matriz m× n A = [aij ] diferente da nula é equivalente por
linhas (colunas) a uma matriz na forma escalonada por linhas
(colunas);
2 Toda matriz m× n A = [aij ] diferente da nula é equivalente por
linhas (colunas) a uma única matriz na forma escalonada
reduzida por linhas (colunas).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 10 / 20
Por exemplo,
sendo
A =

0 2 3 −4 1
0 0 2 3 4
2 2 −5 2 4
2 0 −6 9 7
 ,
iniciamos procurando a primeira coluna com um elemento não nulo,
esta é chamada COLUNA PIVÔ e o elemento é dito PIVÔ.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 20
Como o pivô é a31 temos que permutar a linha r3 como a r1 para
começarmos a obtermos o primeiro 1-líder, assim
B = Ar3↔r1 =

2 2 −5 2 4
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
2 0 −6 9 7
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 20
Como o pivô é a31 temos que permutar a linha r3 como a r1 para
começarmos a obtermos o primeiro 1-líder, assim
B = Ar3↔r1 =

2 2 −5 2 4
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
2 0 −6 9 7
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 20
Multiplicamos r1 pelo inverso do pivô para obtermos o primeiro 1-líder:
C = B 1
2
r1→r1 =

1 1 −52 1 2
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
2 0 −6 9 7
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 13 / 20
Multiplicamos r1 pelo inverso do pivô para obtermos o primeiro 1-líder:
C = B 1
2
r1→r1 =

1 1 −52 1 2
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
2 0 −6 9 7
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 13 / 20
E como não queremos nenhum número não nulo na coluna desse 1-líder,
multiplicamos −2 por r1 e somamos com r4 em C, assim:
D = C−2r1+r4→r4 =

1 1 −52 1 2
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
0 −2 −1 7 3
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 14 / 20
E como não queremos nenhum número não nulo na coluna desse 1-líder,
multiplicamos −2 por r1 e somamos com r4 em C, assim:
D = C−2r1+r4→r4 =

1 1 −52 1 2
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
0 −2 −1 7 3
 .
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Já que a primeira linha tem um 1-líder passamos as demais com o
mesmo objetivo:

1 1 −52 1 2
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
0 −2 −1 7 3
 r3 ↔ r2−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 2 3 −4 1
0 0 2 3 4
0 −2 −1 7 3

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 15 / 20
Já que a primeira linha tem um 1-líder passamos as demais com o
mesmo objetivo:
1 1 −52 1 2
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
0 −2 −1 7 3

r3 ↔ r2−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 2 3 −4 1
0 0 2 3 4
0 −2 −1 7 3

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 15 / 20
Já que a primeira linha tem um 1-líder passamos as demais com o
mesmo objetivo:
1 1 −52 1 2
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
0 −2 −1 7 3
 r3 ↔ r2−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 2 3 −4 1
0 0 2 3 4
0 −2 −1 7 3

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 15 / 20
Já que a primeira linha tem um 1-líder passamos as demais com o
mesmo objetivo:
1 1 −52 1 2
0 0 2 3 4
0 2 3 −4 1
0 −2 −1 7 3
 r3 ↔ r2−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 2 3 −4 1
0 0 2 3 4
0 −2 −1 7 3

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 15 / 20
1
2r2 → r2−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 2 3 4
0 −2 −1 7 3
 2r2 + r4 → r4−−−−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 2 3 4
0 0 2 3 4

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 16 / 20
1
2r2 → r2−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 2 3 4
0 −2 −1 7 3

2r2 + r4 → r4−−−−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 2 3 4
0 0 2 3 4

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 16 / 20
1
2r2 → r2−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 2 3 4
0 −2 −1 7 3
 2r2 + r4 → r4−−−−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 2 3 4
0 0 2 3 4

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 16 / 20
1
2r2 → r2−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 2 3 4
0 −2 −1 7 3
 2r2 + r4 → r4−−−−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 2 3 4
0 0 2 3 4

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 16 / 20
Se o objetivo for encontrar uma forma escalonada passamos aos
próximos 1-líderes, multiplicando r3 por 12 , se for a forma escalonada
reduzida zeramos o elemento a12, multiplicando r2 por −1 e somando
com r1:
1
2
r3 → r3
−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 2 3 4

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 17 / 20
Se o objetivo for encontrar uma forma escalonada passamos aos
próximos 1-líderes, multiplicando r3 por 12 , se for a forma escalonada
reduzida zeramos o elemento a12, multiplicando r2 por −1 e somando
com r1:
1
2
r3 → r3
−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 2 3 4

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 17 / 20
Se o objetivo for encontrar uma forma escalonada passamos aos
próximos 1-líderes, multiplicando r3 por 12 , se for a forma escalonada
reduzida zeramos o elemento a12, multiplicando r2 por −1 e somando
com r1:
1
2
r3 → r3
−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 2 3 4

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 17 / 20
−2r3 + r4 → r4−−−−−−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

que está na forma escalonada e é equivalente por linha a A.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 18 / 20
−2r3 + r4 → r4−−−−−−−−−−−→

1 1 −52 1 2
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

que está na forma escalonada e é equivalente por linha a A.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 18 / 20
Se desejamos a forma escalonada reduzida continuamos zerando as
colunas onde temos os 1-líderes:
−r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−→

1 0 −4 3 32
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

4r3 + r1 → r1−−−−−−−−−→

1 0 0 9 192
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 19 / 20
Se desejamos a forma escalonada reduzida continuamos zerando as
colunas onde temos os 1-líderes:
−r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−→

1 0 −4 3 32
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

4r3 + r1 → r1−−−−−−−−−→

1 0 0 9 192
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 19 / 20
Se desejamos a forma escalonada reduzida continuamos zerando as
colunas onde temos os 1-líderes:
−r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−→

1 0 −4 3 32
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

4r3 + r1 → r1−−−−−−−−−→

1 0 0 9 192
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 19 / 20
Se desejamos a forma escalonada reduzida continuamos zerando as
colunas onde temos os 1-líderes:
−r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−→

1 0 −4 3 32
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

4r3 + r1 → r1−−−−−−−−−→

1 0 0 9 192
0 1 32 −2 12
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA10 de março de 2016 19 / 20
−32r3 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 0 0 9 192
0 1 0 −174 −52
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

que está na forma escalonada reduzida e é equivalente por linha a A.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 20 / 20
−32r3 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 0 0 9 192
0 1 0 −174 −52
0 0 1 32 2
0 0 0 0 0

que está na forma escalonada reduzida e é equivalente por linha a A.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 20 / 20