9ª e 10ª Aula Definição e propriedades dos Determinantes

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Álgebra Linear
Assunto: Definição e propriedades dos
Determinantes
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
22 de março de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 1 / 25
DEFINIÇÃO DE DETERMINATE
Aqui discutiremos conceitos referentes a um número muito importante
associado as matrizes quadradas, o determinante. Mas para isso pre-
cisamos conhecer o que são permutações e suas inversões:
Definição 1:
Seja S = {1, 2, . . . , n} o conjunto de inteiros de 1 a n, ordenado de
maneira ascendente. A reordenação que denotamos por
j1j2 . . . jn
dos elementos de S é chamada de PERMUTAÇÃO.
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DEFINIÇÃO DE DETERMINATE
Aqui discutiremos conceitos referentes a um número muito importante
associado as matrizes quadradas, o determinante. Mas para isso pre-
cisamos conhecer o que são permutações e suas inversões:
Definição 1:
Seja S = {1, 2, . . . , n} o conjunto de inteiros de 1 a n, ordenado de
maneira ascendente. A reordenação que denotamos por
j1j2 . . . jn
dos elementos de S é chamada de PERMUTAÇÃO.
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Por exemplo,
para S = {1, 2} as permutações são
12 e 21.
Observação
1) Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função
bijetora f : S → S. Por exemplo, à permutação 12 corresponde a
função f : S → S dada por
f(1) = 1
f(2) = 2,
já à 21 corresponde g : S → S dada por
g(1) = 2
g(2) = 1.
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Por exemplo,
para S = {1, 2} as permutações são 12 e 21.
Observação
1) Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função
bijetora f : S → S. Por exemplo, à permutação 12 corresponde a
função f : S → S dada por
f(1) = 1
f(2) = 2,
já à 21 corresponde g : S → S dada por
g(1) = 2
g(2) = 1.
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Por exemplo,
para S = {1, 2} as permutações são 12 e 21.
Observação
1) Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função
bijetora f : S → S.
Por exemplo, à permutação 12 corresponde a
função f : S → S dada por
f(1) = 1
f(2) = 2,
já à 21 corresponde g : S → S dada por
g(1) = 2
g(2) = 1.
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Por exemplo,
para S = {1, 2} as permutações são 12 e 21.
Observação
1) Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função
bijetora f : S → S. Por exemplo, à permutação 12
corresponde a
função f : S → S dada por
f(1) = 1
f(2) = 2,
já à 21 corresponde g : S → S dada por
g(1) = 2
g(2) = 1.
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Por exemplo,
para S = {1, 2} as permutações são 12 e 21.
Observação
1) Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função
bijetora f : S → S. Por exemplo, à permutação 12 corresponde a
função f : S → S dada por
f(1) = 1
f(2) = 2,
já à 21 corresponde g : S → S dada por
g(1) = 2
g(2) = 1.
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Por exemplo,
para S = {1, 2} as permutações são 12 e 21.
Observação
1) Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função
bijetora f : S → S. Por exemplo, à permutação 12 corresponde a
função f : S → S dada por
f(1) = 1
f(2) = 2,
já à 21 corresponde g : S → S dada por
g(1) = 2
g(2) = 1.
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Por exemplo,
para S = {1, 2} as permutações são 12 e 21.
Observação
1) Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função
bijetora f : S → S. Por exemplo, à permutação 12 corresponde a
função f : S → S dada por
f(1) = 1
f(2) = 2,
já à 21 corresponde g : S → S dada por
g(1) = 2
g(2) = 1.
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Por exemplo,
para S = {1, 2} as permutações são 12 e 21.
Observação
1) Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função
bijetora f : S → S. Por exemplo, à permutação 12 corresponde a
função f : S → S dada por
f(1) = 1
f(2) = 2,
já à 21 corresponde g : S → S dada por
g(1) = 2
g(2) = 1.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo,
para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos
3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123,
132, 213, 231, 312, 321}.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132,
213, 231, 312, 321}.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132, 213,
231, 312, 321}.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132, 213, 231,
312, 321}.
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2) Como podemos colocarqualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132, 213, 231, 312,
321}.
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2) Como podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na
primeira posição, qualquer dos n− 1 restantes na segunda e assim
até a n-ésima posição, há
n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1 = n!
permutações de S;
3) Representamos por Sn o conjunto de todas as permutações de S.
Por exemplo, para S = {1, 2, 3} temos 3! permutações, ou seja,
S3 = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que
1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que
3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e
2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que
3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e
3 > 2 obtendo
123.
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Definição 2:
Uma permutação tem uma INVERSÃO se um inteiro maior jr preceder
um menor js. Dizemos que uma permutação é PAR se o número total
de inversões for par, ou IMPAR, se for impar.
Por exemplo,
em S3 as permutações 123, 231 e 312 são pares, pois
123 não tem inversões, já que 1 < 2 < 3;
231 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 213 e 2 > 1 obtendo
123;
312 tem duas inversões, já que 3 > 1, obtendo 132 e 3 > 2 obtendo
123.
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Com esses conceitos podemos definir determinante:
Definição 3:
Seja A = [aij ] uma matriz n× n. A função DETERMINANTE,
denotada por det, é definida por
det(A) =
∑
(±)a1j1a2j2 . . . anjn
onde o somatório envolve todas as permutações j1j2 . . . jn do conjunto
S = {1, 2, . . . , n} e o sinal é + ou − conforme a permutações seja par
ou impar, respectivamente.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então
S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e
a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então
S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e
as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33
+ a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31
+ a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 6 / 25
Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 6 / 25
Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32
− a12a21a33 − a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33
− a13a22a31.
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Por exemplo,
se A é uma matriz 2× 2, então S = {1, 2} e a permutação 12 é par e 21
é impar. Assim,
det(A) = a11a22 − a12a21.
E se A é 3× 3, então S = {1, 2, 3} e as permutações 123, 231, 312 são
pares e 132, 213, 321 são impar. Donde,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 6 / 25
Observação
1. Em cada parcela do det(A) as linhas onde tomamos os elementos
estão na ordem natural e as colunas na ordem j1j2 . . . jn. Assim,
cada parcela do somatório que defini o determinante tem n
elementos multiplicados com exatamente um elemento de cada
linha e coluna.
2. Como temos n! permutações, ver-se que o determinante de uma
matriz é resultado da soma de n! parcelas e o denotamos também
por
|A| .
Por exemplo, se A é 10× 10 teríamos 10! = 3, 6288 · 106 parcelas na
soma.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 7 / 25
Observação
1. Em cada parcela do det(A) as linhas onde tomamos os elementos
estão na ordem natural e as colunas na ordem j1j2 . . . jn. Assim,
cada parcela do somatório que defini o determinante tem n
elementos multiplicados com exatamente um elemento de cada
linha e coluna.
2. Como temos n! permutações, ver-se que o determinante de uma
matriz é resultado da soma de n! parcelas e o denotamos também
por
|A| .
Por exemplo, se A é 10× 10 teríamos 10! = 3, 6288 · 106 parcelas na
soma.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 7 / 25
Observação
1. Em cada parcela do det(A) as linhas onde tomamos os elementos
estão na ordem natural e as colunas na ordem j1j2 . . . jn. Assim,
cada parcela do somatório que defini o determinante tem n
elementos multiplicados com exatamente um elemento de cada
linha e coluna.
2. Como temos n! permutações, ver-se que o determinante de uma
matriz é resultado da soma de n! parcelas e o denotamos também
por
|A| .
Por exemplo, se A é 10× 10 teríamos
10! = 3, 6288 · 106 parcelas na
soma.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 7 / 25
Observação
1. Em cada parcela do det(A) as linhas onde tomamos os elementos
estão na ordem natural e as colunas na ordem j1j2 . . . jn. Assim,
cada parcela do somatório que defini o determinante tem n
elementos multiplicados com exatamente um elemento de cada
linha e coluna.
2. Como temos n! permutações, ver-se que o determinante de uma
matriz é resultado da soma de n! parcelas e o denotamos também
por
|A| .
Por exemplo, se A é 10× 10 teríamos 10! = 3, 6288 · 106 parcelas na
soma.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 7 / 25
3. Por isso desenvolvemos propriedades e mecanismos para
reduzir esses cálculos.
Por exemplos, quando n = 3, repetimos a
primeira e a segunda coluna de A e formamos somas de
produtos dos elementos sobre as linhas da esquerda para direita e
subtraímos das direita para esquerda, ou seja, temos a seguinte
notação:
a11
!!
a12
!!
a13
|| !!
a11
}}
a12
}}
|A| = a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
− − − + + +
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 8 / 25
3. Por isso desenvolvemos propriedades e mecanismos para
reduzir esses cálculos. Por exemplos, quando n = 3,
repetimos a
primeira e a segunda coluna de A e formamos somas de
produtos dos elementos sobre as linhas da esquerda para direita e
subtraímos das direita para esquerda, ou seja, temos a seguinte
notação:
a11
!!
a12
!!
a13
|| !!
a11
}}
a12
}}
|A| = a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
− − − + + +
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 8 / 25
3. Por isso desenvolvemos propriedades e mecanismos para
reduzir esses cálculos. Por exemplos, quando n = 3, repetimos a
primeira e a segunda coluna de A e formamos somas de
produtos dos elementos sobre as linhas da esquerda para direita e
subtraímos das direita para esquerda, ou seja, temos a seguinte
notação:
a11
!!
a12
!!
a13
|| !!
a11
}}
a12
}}
|A| = a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
− − − + + +
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 8 / 25
3. Por isso desenvolvemos propriedades e mecanismos para
reduzir esses cálculos. Por exemplos, quando n = 3, repetimos a
primeira e a segunda coluna de A e formamos somas de
produtos dos elementos sobre as linhas da esquerda para direita e
subtraímos das direita para esquerda, ou seja, temos a seguinte
notação:a11
!!
a12
!!
a13
|| !!
a11
}}
a12
}}
|A| = a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
− − − + + +
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PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
Teorema 1:
Se A é uma matriz, então det(A) = det(AT ).
Por exemplo,
det


1 2 3
2 1 3
3 1 2

 = 2 + 18 + 6− 9− 3− 8 = 6
e
det


1 2 3
2 1 1
3 3 2

 = 2 + 6 + 18− 9− 3− 8 = 6.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 9 / 25
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
Teorema 1:
Se A é uma matriz, então det(A) = det(AT ).
Por exemplo,
det


1 2 3
2 1 3
3 1 2


= 2 + 18 + 6− 9− 3− 8 = 6
e
det


1 2 3
2 1 1
3 3 2

 = 2 + 6 + 18− 9− 3− 8 = 6.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 9 / 25
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
Teorema 1:
Se A é uma matriz, então det(A) = det(AT ).
Por exemplo,
det


1 2 3
2 1 3
3 1 2

 = 2 + 18 + 6− 9− 3− 8
= 6
e
det


1 2 3
2 1 1
3 3 2

 = 2 + 6 + 18− 9− 3− 8 = 6.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 9 / 25
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
Teorema 1:
Se A é uma matriz, então det(A) = det(AT ).
Por exemplo,
det


1 2 3
2 1 3
3 1 2

 = 2 + 18 + 6− 9− 3− 8 = 6
e
det


1 2 3
2 1 1
3 3 2

 = 2 + 6 + 18− 9− 3− 8 = 6.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 9 / 25
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
Teorema 1:
Se A é uma matriz, então det(A) = det(AT ).
Por exemplo,
det


1 2 3
2 1 3
3 1 2

 = 2 + 18 + 6− 9− 3− 8 = 6
e
det


1 2 3
2 1 1
3 3 2


= 2 + 6 + 18− 9− 3− 8 = 6.
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PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
Teorema 1:
Se A é uma matriz, então det(A) = det(AT ).
Por exemplo,
det


1 2 3
2 1 3
3 1 2

 = 2 + 18 + 6− 9− 3− 8 = 6
e
det


1 2 3
2 1 1
3 3 2

 = 2 + 6 + 18− 9− 3− 8
= 6.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 9 / 25
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
Teorema 1:
Se A é uma matriz, então det(A) = det(AT ).
Por exemplo,
det


1 2 3
2 1 3
3 1 2

 = 2 + 18 + 6− 9− 3− 8 = 6
e
det


1 2 3
2 1 1
3 3 2

 = 2 + 6 + 18− 9− 3− 8 = 6.
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Teorema 2:
Se a matriz B é obtida de A pela permutação de duas linhas (colunas)
distintas de A, então det(B) = −det(A).
Por exemplo,
det
([
2 −1
3 2
])
= 4 + 3 = 7
e
det
([
3 2
2 −1
])
= −3− 4 = −7
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 10 / 25
Teorema 2:
Se a matriz B é obtida de A pela permutação de duas linhas (colunas)
distintas de A, então det(B) = −det(A).
Por exemplo,
det
([
2 −1
3 2
])
= 4 + 3 = 7
e
det
([
3 2
2 −1
])
= −3− 4 = −7
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 10 / 25
Teorema 2:
Se a matriz B é obtida de A pela permutação de duas linhas (colunas)
distintas de A, então det(B) = −det(A).
Por exemplo,
det
([
2 −1
3 2
])
= 4 + 3
= 7
e
det
([
3 2
2 −1
])
= −3− 4 = −7
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 10 / 25
Teorema 2:
Se a matriz B é obtida de A pela permutação de duas linhas (colunas)
distintas de A, então det(B) = −det(A).
Por exemplo,
det
([
2 −1
3 2
])
= 4 + 3 = 7
e
det
([
3 2
2 −1
])
= −3− 4 = −7
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 10 / 25
Teorema 2:
Se a matriz B é obtida de A pela permutação de duas linhas (colunas)
distintas de A, então det(B) = −det(A).
Por exemplo,
det
([
2 −1
3 2
])
= 4 + 3 = 7
e
det
([
3 2
2 −1
])
= −3− 4 = −7
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Teorema 2:
Se a matriz B é obtida de A pela permutação de duas linhas (colunas)
distintas de A, então det(B) = −det(A).
Por exemplo,
det
([
2 −1
3 2
])
= 4 + 3 = 7
e
det
([
3 2
2 −1
])
= −3− 4
= −7
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Teorema 2:
Se a matriz B é obtida de A pela permutação de duas linhas (colunas)
distintas de A, então det(B) = −det(A).
Por exemplo,
det
([
2 −1
3 2
])
= 4 + 3 = 7
e
det
([
3 2
2 −1
])
= −3− 4 = −7
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Teorema 3:
1 Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = 0;
2 Se A tem uma linha (coluna) nula, então det(A) = 0
Por exemplo, ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
−1 0 7
1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 + 14− 6− 0− 14 + 6 = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 11 / 25
Teorema 3:
1 Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = 0;
2 Se A tem uma linha (coluna) nula, então det(A) = 0
Por exemplo, ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
−1 0 7
1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 + 14− 6− 0− 14 + 6 = 0.
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Teorema 3:
1 Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = 0;
2 Se A tem uma linha (coluna) nula, então det(A) = 0
Por exemplo, ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
−1 0 7
1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 + 14− 6− 0− 14 + 6 = 0.
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Teorema 3:
1 Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = 0;
2 Se A tem uma linha (coluna) nula, então det(A) = 0
Por exemplo, ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
−1 0 7
1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 + 14− 6− 0− 14 + 6
= 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 11 / 25
Teorema 3:
1 Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(A) = 0;
2 Se A tem uma linha (coluna) nula, então det(A) = 0
Por exemplo, ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
−1 0 7
1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 + 14− 6− 0− 14 + 6 = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 11 / 25
Teorema 4:
1 Se B é obtida de A pela multiplicação de uma linha (coluna) de A
por um número real não nulo k, então
det(B) = k det(A), k 6= 0
2 Se B = (A)kri+rj→rj , então
det(B) = det(A);
3 Se A é triangular superior ou inferior, então
det(A) = a11a22 · · · ann.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 12 / 25
Teorema 4:
1 Se B é obtida de A pela multiplicação de uma linha (coluna) de A
por um número real não nulo k, então
det(B) = k det(A), k 6= 0
2 Se B = (A)kri+rj→rj , então
det(B) = det(A);
3 Se A é triangular superior ou inferior, então
det(A) = a11a22 · · · ann.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 12 / 25
Teorema 4:
1 Se B é obtida de A pela multiplicação de uma linha (coluna) de A
por um número real não nulo k, então
det(B) = k det(A), k 6= 0
2 Se B = (A)kri+rj→rj , então
det(B) = det(A);
3 Se A é triangular superior ou inferior, então
det(A) = a11a22 · · · ann.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 12 / 25
Esses resultados nos permite obter um método útil ao cálculo de deter-
minantes, dito redução a forma triangular:
Transformar A por meio de operações nas linhas (colunas) para a forma
triangular, controlando as mudanças no determinantes das matrizes
resultantes de cada operação.
Para isso é conveniente usarmos a notação:
det(A) = −det(Ari↔rj ), i 6= j
det(A) =
1
k
det(Akri→ri), k 6= 0
det(A) = det(Akri+rj→rj ), i 6= j.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 13 / 25
Esses resultados nos permite obter um método útil ao cálculo de deter-
minantes, dito redução a forma triangular:
Transformar A por meio de operações nas linhas (colunas) para a forma
triangular, controlandoas mudanças no determinantes das matrizes
resultantes de cada operação.
Para isso é conveniente usarmos a notação:
det(A) = −det(Ari↔rj ), i 6= j
det(A) =
1
k
det(Akri→ri), k 6= 0
det(A) = det(Akri+rj→rj ), i 6= j.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 13 / 25
Esses resultados nos permite obter um método útil ao cálculo de deter-
minantes, dito redução a forma triangular:
Transformar A por meio de operações nas linhas (colunas) para a forma
triangular, controlando as mudanças no determinantes das matrizes
resultantes de cada operação.
Para isso é conveniente usarmos a notação:
det(A) = −det(Ari↔rj ), i 6= j
det(A) =
1
k
det(Akri→ri), k 6= 0
det(A) = det(Akri+rj→rj ), i 6= j.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 13 / 25
Esses resultados nos permite obter um método útil ao cálculo de deter-
minantes, dito redução a forma triangular:
Transformar A por meio de operações nas linhas (colunas) para a forma
triangular, controlando as mudanças no determinantes das matrizes
resultantes de cada operação.
Para isso é conveniente usarmos a notação:
det(A) = −det(Ari↔rj ), i 6= j
det(A) =
1
k
det(Akri→ri), k 6= 0
det(A) = det(Akri+rj→rj ), i 6= j.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 13 / 25
Por exemplo,
se A =

4 3 2
3 −2 5
2 4 6
, então
det(A) = 4 det(A 1
4
r1→r1) = 4 det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

−3r1+r2→r2
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

−2r1+r3→r3
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 14 / 25
Por exemplo,
se A =

4 3 2
3 −2 5
2 4 6
, então
det(A) =
4 det(A 1
4
r1→r1) = 4 det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

−3r1+r2→r2
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

−2r1+r3→r3
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 14 / 25
Por exemplo,
se A =

4 3 2
3 −2 5
2 4 6
, então
det(A) = 4 det(A 1
4
r1→r1) =
4 det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

−3r1+r2→r2
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

−2r1+r3→r3
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 14 / 25
Por exemplo,
se A =

4 3 2
3 −2 5
2 4 6
, então
det(A) = 4 det(A 1
4
r1→r1) = 4 det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

−3r1+r2→r2
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

−2r1+r3→r3
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 14 / 25
Por exemplo,
se A =

4 3 2
3 −2 5
2 4 6
, então
det(A) = 4 det(A 1
4
r1→r1) = 4 det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

−3r1+r2→r2
 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

−2r1+r3→r3
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 14 / 25
Por exemplo,
se A =

4 3 2
3 −2 5
2 4 6
, então
det(A) = 4 det(A 1
4
r1→r1) = 4 det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

−3r1+r2→r2
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

−2r1+r3→r3
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 14 / 25
Por exemplo,
se A =

4 3 2
3 −2 5
2 4 6
, então
det(A) = 4 det(A 1
4
r1→r1) = 4 det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

−3r1+r2→r2
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

−2r1+r3→r3
 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 14 / 25
Por exemplo,
se A =

4 3 2
3 −2 5
2 4 6
, então
det(A) = 4 det(A 1
4
r1→r1) = 4 det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
3 −2 5
2 4 6

−3r1+r2→r2
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

 =
4det


1 34
1
2
0 −174 72
2 4 6

−2r1+r3→r3
 = 4det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 14 / 25
= 4(−174 ) det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

− 4
17
r2→r2
 =
−
17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

 = − 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

− 5
2
r2+r3→r3
 =
− 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 0 12017

 = − 17 · 1 · 1 · 12017 = − 120.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 15 / 25
= 4(−174 ) det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

− 4
17
r2→r2
 = −
17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

 =
− 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

− 5
2
r2+r3→r3
 =
− 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 0 12017

 = − 17 · 1 · 1 · 12017 = − 120.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 15 / 25
= 4(−174 ) det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

− 4
17
r2→r2
 = −
17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

 = − 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

− 5
2
r2+r3→r3
 =
− 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 0 12017

 = − 17 · 1 · 1 · 12017 = − 120.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 15 / 25
= 4(−174 ) det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

− 4
17
r2→r2
 = −
17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

 = − 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

− 5
2
r2+r3→r3
 =
− 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 0 12017

 =
− 17 · 1 · 1 · 12017 = − 120.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 15 / 25
= 4(−174 ) det


1 34
1
2
0 −174 72
0 52 5

− 4
17
r2→r2
 = −
17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

 = − 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

− 5
2
r2+r3→r3
 =
− 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 0 12017

 = − 17 · 1 · 1 · 12017 =
− 120.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 15 / 25
= 4(−174 ) det


1 34
1
2
0−174 72
0 52 5

− 4
17
r2→r2
 = −
17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

 = − 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 52 5

− 5
2
r2+r3→r3
 =
− 17 det


1 34
1
2
0 1 −1417
0 0 12017

 = − 17 · 1 · 1 · 12017 = − 120.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 15 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj , então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri , então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj , então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj , então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri , então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj , então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj , então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri , então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj , então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj ,
então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri , então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj , então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj , então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri , então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj , então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj , então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri ,
então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj , então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj , então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri , então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj , então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj , então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri , então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj ,
então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Com a redução forma triangular podemos calcular o determinante
da matriz identidade de qualquer ordem:
det(In) = 1
E das matrizes elementares:
1 Se E1 = (In)ri↔rj , então det(E1) = −det(In) = −1;
2 Se E2 = (In)kri→ri , então det(E2) = k det(In) = k, k 6= 0;
3 Se E3 = (In)kri+rj→rj , então det(E3) = det(In) = 1;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 16 / 25
Daí, podemos ver mais algumas propriedades:
lema 1:
Se E é uma matriz elementar, então det(EA) = det(E) det(A) e
det(AE) = det(A) det(E).
Teorema 5:
Se A é uma matriz n× n, então A é não singular se, e somente se,
det(A) 6= 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 17 / 25
Daí, podemos ver mais algumas propriedades:
lema 1:
Se E é uma matriz elementar, então det(EA) = det(E) det(A) e
det(AE) = det(A) det(E).
Teorema 5:
Se A é uma matriz n× n, então A é não singular se, e somente se,
det(A) 6= 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 17 / 25
Daí, podemos ver mais algumas propriedades:
lema 1:
Se E é uma matriz elementar, então det(EA) = det(E) det(A) e
det(AE) = det(A) det(E).
Teorema 5:
Se A é uma matriz n× n, então A é não singular se, e somente se,
det(A) 6= 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 17 / 25
Demonstração:
Se A é não singular,
então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares.
Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) =
det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek)
= det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizeselementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek)
6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0,
então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular.
Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
Demonstração:
Se A é não singular, então A é o produto de matrizes elementares. Daí,
existem E1, E2, . . ., Ek tais que
A = E1E2 · · ·Ek
Assim,
det(A) = det(E1) det(E2 · · ·Ek) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek) 6= 0.
Reciprocamente, se det(A) 6= 0, então devemos mostrar que A é não
singular. Procedendo por contradição, supomos que A é singular,
então A é equivalente por linha a uma matriz B que tem uma linha
nula. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 18 / 25
A = ErEr−1 · · ·E2E1B.
Assim,
det(A) = det(ErEr−1 · · ·E2E1) det(B) = 0,
pois det(B) = 0. Logo, por contradição, segue o resultado.
E um resultado associado é:
Corolário 1:
O sistema Ax = 0 tem solução não trivial se, e somente se, det(A) = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 19 / 25
A = ErEr−1 · · ·E2E1B.
Assim,
det(A) = det(ErEr−1 · · ·E2E1) det(B) = 0,
pois det(B) = 0. Logo, por contradição, segue o resultado.
E um resultado associado é:
Corolário 1:
O sistema Ax = 0 tem solução não trivial se, e somente se, det(A) = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 19 / 25
A = ErEr−1 · · ·E2E1B.
Assim,
det(A) = det(ErEr−1 · · ·E2E1) det(B) = 0,
pois det(B) = 0.
Logo, por contradição, segue o resultado.
E um resultado associado é:
Corolário 1:
O sistema Ax = 0 tem solução não trivial se, e somente se, det(A) = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 19 / 25
A = ErEr−1 · · ·E2E1B.
Assim,
det(A) = det(ErEr−1 · · ·E2E1) det(B) = 0,
pois det(B) = 0. Logo, por contradição, segue o resultado.
E um resultado associado é:
Corolário 1:
O sistema Ax = 0 tem solução não trivial se, e somente se, det(A) = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 19 / 25
A = ErEr−1 · · ·E2E1B.
Assim,
det(A) = det(ErEr−1 · · ·E2E1) det(B) = 0,
pois det(B) = 0. Logo, por contradição, segue o resultado.
E um resultado associado é:
Corolário 1:
O sistema Ax = 0 tem solução não trivial se, e somente se, det(A) = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 19 / 25
A = ErEr−1 · · ·E2E1B.
Assim,
det(A) = det(ErEr−1 · · ·E2E1) det(B) = 0,
pois det(B) = 0. Logo, por contradição, segue o resultado.
E um resultado associado é:
Corolário 1:
O sistema Ax = 0 tem solução não trivial se, e somente se, det(A) = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 19 / 25
Por exemplo,
para
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 = 0
3x1 + x2 + 2x3 = 0
tem-se
A =

1 −2 1
2 3 1
3 1 2
 e
det(A) = 6− 6 + 2 + 8− 9− 1 = 0.
Portanto, Ax = 0 tem solução não trivial.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 20 / 25
Por exemplo,
para
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 = 0
3x1 + x2 + 2x3 = 0
tem-se A =

1 −2 1
2 3 1
3 1 2
 e
det(A) = 6− 6 + 2 + 8− 9− 1 = 0.
Portanto, Ax = 0 tem solução não trivial.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 20 / 25
Por exemplo,
para
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 = 0
3x1 + x2 + 2x3 = 0
tem-se A =

1 −2 1
2 3 1
3 1 2
 e
det(A)
= 6− 6 + 2 + 8− 9− 1 = 0.
Portanto, Ax = 0 tem solução não trivial.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 20 / 25
Por exemplo,
para
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 = 0
3x1 + x2 + 2x3 = 0
tem-se A =

1 −2 1
2 3 1
3 1 2
 e
det(A) = 6− 6 + 2 + 8− 9− 1
= 0.
Portanto, Ax = 0 tem solução não trivial.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 20 / 25
Por exemplo,
para
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 = 0
3x1 + x2 + 2x3 = 0
tem-se A =

1 −2 1
2 3 1
3 1 2
 e
det(A) = 6− 6 + 2 + 8− 9− 1 = 0.
Portanto,
Ax = 0 tem solução não trivial.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 20 / 25
Por exemplo,
para
x1 − 2x2 + x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 = 0
3x1 + x2 + 2x3 = 0
tem-se A =

1 −2 1
2 3 1
3 1 2
 e
det(A) = 6− 6 + 2 + 8− 9− 1 = 0.
Portanto, Ax = 0 tem solução não trivial.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 20 / 25
Como consequência podemos dividir as matrizes em singulares e não
singulares e mostrar que:
Teorema 6:
Se A e B são matrizes n× n, então det(AB) = det(A) det(B).
Por exemplo,
seja A uma matriz 4× 4 com det(A) = −2.
a) O conjunto de todas as soluções do sistema Ax = 0 é apenas a
solução trivial;
b) Se A é transformada para forma escalonada reduzida por linha B,
está será a matriz I4;
c) O det(AC), onde C é uma matriz 4× 4, é det(AC) = −2 det(C).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 21 / 25
Como consequência podemos dividir as matrizes em singulares e não
singulares e mostrar que:
Teorema 6:
Se A e B são matrizes n× n, então det(AB) = det(A) det(B).
Por exemplo,
seja A uma matriz 4× 4 com det(A) = −2.
a) O conjunto de todas as soluções do sistema Ax = 0 é
apenas a
solução trivial;
b) Se A é transformada para forma escalonada reduzida por linha B,
está será a matriz I4;
c) O det(AC), onde C é uma matriz 4× 4, é det(AC) = −2 det(C).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 21 / 25
Como consequência podemos dividir as matrizes em singulares e não
singulares e mostrar que:
Teorema 6:
Se A e B são matrizes n× n, então det(AB) = det(A) det(B).
Por exemplo,
seja A uma matriz 4× 4 com det(A) = −2.
a) O conjunto de todas assoluções do sistema Ax = 0 é apenas a
solução trivial;
b) Se A é transformada para forma escalonada reduzida por linha B,
está será a matriz I4;
c) O det(AC), onde C é uma matriz 4× 4, é det(AC) = −2 det(C).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 21 / 25
Como consequência podemos dividir as matrizes em singulares e não
singulares e mostrar que:
Teorema 6:
Se A e B são matrizes n× n, então det(AB) = det(A) det(B).
Por exemplo,
seja A uma matriz 4× 4 com det(A) = −2.
a) O conjunto de todas as soluções do sistema Ax = 0 é apenas a
solução trivial;
b) Se A é transformada para forma escalonada reduzida por linha B,
está será
a matriz I4;
c) O det(AC), onde C é uma matriz 4× 4, é det(AC) = −2 det(C).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 21 / 25
Como consequência podemos dividir as matrizes em singulares e não
singulares e mostrar que:
Teorema 6:
Se A e B são matrizes n× n, então det(AB) = det(A) det(B).
Por exemplo,
seja A uma matriz 4× 4 com det(A) = −2.
a) O conjunto de todas as soluções do sistema Ax = 0 é apenas a
solução trivial;
b) Se A é transformada para forma escalonada reduzida por linha B,
está será a matriz I4;
c) O det(AC), onde C é uma matriz 4× 4, é det(AC) = −2 det(C).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 21 / 25
Como consequência podemos dividir as matrizes em singulares e não
singulares e mostrar que:
Teorema 6:
Se A e B são matrizes n× n, então det(AB) = det(A) det(B).
Por exemplo,
seja A uma matriz 4× 4 com det(A) = −2.
a) O conjunto de todas as soluções do sistema Ax = 0 é apenas a
solução trivial;
b) Se A é transformada para forma escalonada reduzida por linha B,
está será a matriz I4;
c) O det(AC), onde C é uma matriz 4× 4, é
det(AC) = −2 det(C).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 21 / 25
Como consequência podemos dividir as matrizes em singulares e não
singulares e mostrar que:
Teorema 6:
Se A e B são matrizes n× n, então det(AB) = det(A) det(B).
Por exemplo,
seja A uma matriz 4× 4 com det(A) = −2.
a) O conjunto de todas as soluções do sistema Ax = 0 é apenas a
solução trivial;
b) Se A é transformada para forma escalonada reduzida por linha B,
está será a matriz I4;
c) O det(AC), onde C é uma matriz 4× 4, é det(AC) = −2 det(C).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 21 / 25
Um resultado particular do teorema anterior será:
Corolário 2:
Se A é não singular, então
det(A−1) =
1
det(A)
.
Demonstração.
Se A é não singular, então AA−1 = In e det(A) 6= 0.
Daí,
det(AA−1) = det(In) ⇒ det(A) det(A−1) = 1
⇒ det(A−1) = 1
det(A)
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 22 / 25
Um resultado particular do teorema anterior será:
Corolário 2:
Se A é não singular, então
det(A−1) =
1
det(A)
.
Demonstração.
Se A é não singular, então
AA−1 = In e det(A) 6= 0.
Daí,
det(AA−1) = det(In) ⇒ det(A) det(A−1) = 1
⇒ det(A−1) = 1
det(A)
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 22 / 25
Um resultado particular do teorema anterior será:
Corolário 2:
Se A é não singular, então
det(A−1) =
1
det(A)
.
Demonstração.
Se A é não singular, então AA−1 = In e
det(A) 6= 0.
Daí,
det(AA−1) = det(In) ⇒ det(A) det(A−1) = 1
⇒ det(A−1) = 1
det(A)
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 22 / 25
Um resultado particular do teorema anterior será:
Corolário 2:
Se A é não singular, então
det(A−1) =
1
det(A)
.
Demonstração.
Se A é não singular, então AA−1 = In e det(A) 6= 0.
Daí,
det(AA−1) = det(In) ⇒ det(A) det(A−1) = 1
⇒ det(A−1) = 1
det(A)
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 22 / 25
Um resultado particular do teorema anterior será:
Corolário 2:
Se A é não singular, então
det(A−1) =
1
det(A)
.
Demonstração.
Se A é não singular, então AA−1 = In e det(A) 6= 0.
Daí,
det(AA−1) =
det(In) ⇒ det(A) det(A−1) = 1
⇒ det(A−1) = 1
det(A)
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 22 / 25
Um resultado particular do teorema anterior será:
Corolário 2:
Se A é não singular, então
det(A−1) =
1
det(A)
.
Demonstração.
Se A é não singular, então AA−1 = In e det(A) 6= 0.
Daí,
det(AA−1) = det(In)
⇒ det(A) det(A−1) = 1
⇒ det(A−1) = 1
det(A)
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 22 / 25
Um resultado particular do teorema anterior será:
Corolário 2:
Se A é não singular, então
det(A−1) =
1
det(A)
.
Demonstração.
Se A é não singular, então AA−1 = In e det(A) 6= 0.
Daí,
det(AA−1) = det(In) ⇒ det(A) det(A−1) = 1
⇒ det(A−1) = 1
det(A)
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 22 / 25
Um resultado particular do teorema anterior será:
Corolário 2:
Se A é não singular, então
det(A−1) =
1
det(A)
.
Demonstração.
Se A é não singular, então AA−1 = In e det(A) 6= 0.
Daí,
det(AA−1) = det(In) ⇒ det(A) det(A−1) = 1
⇒ det(A−1) = 1
det(A)
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 22 / 25
Outro resultado está relacionado a mais um tipo de matriz:
Definição 4:
Dizemos que A e B matrizes n× n são SEMELHANTES se existir uma
matriz não singular P tal que B = P−1AP .
Corolário 2:
Se A e B são matrizes semelhantes, então det(A) = det(B).
Demonstração.
Se A e B são semelhantes, então existe P não singular tal que
B = P−1AP ⇒ det(B) = det(P−1) det(A) det(P )
=
1
det(P )
det(A) det(P ) = det(A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 23 / 25
Outro resultado está relacionado a mais um tipo de matriz:
Definição 4:
Dizemos que A e B matrizes n× n são SEMELHANTES se existir uma
matriz não singular P tal que B = P−1AP .
Corolário 2:
Se A e B são matrizes semelhantes, então det(A) = det(B).
Demonstração.
Se A e B são semelhantes, então existe P não singular tal que
B = P−1AP ⇒ det(B) = det(P−1) det(A) det(P )
=
1
det(P )
det(A) det(P ) = det(A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 23 / 25
Outro resultado está relacionado a mais um tipo de matriz:
Definição 4:
Dizemos que A e B matrizes n× n são SEMELHANTES se existir uma
matriz não singular P tal que B = P−1AP .
Corolário 2:
Se A e B são matrizes semelhantes, então det(A) = det(B).
Demonstração.
Se A e B são semelhantes, então
existe P não singular tal que
B = P−1AP ⇒ det(B) = det(P−1) det(A) det(P )
=
1
det(P )
det(A) det(P ) = det(A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 23 / 25
Outro resultado está relacionado a mais um tipo de matriz:
Definição 4:
Dizemos que A e B matrizes n× n são SEMELHANTES se existir uma
matriz não singular P tal que B = P−1AP .
Corolário 2:
Se A e B são matrizes semelhantes, então det(A) = det(B).
Demonstração.
Se A e B são semelhantes, então existe P não singular tal que
B = P−1AP ⇒ det(B) = det(P−1) det(A) det(P )
=
1
det(P )
det(A) det(P ) = det(A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 23 / 25
Outro resultado está relacionado a mais um tipo de matriz:
Definição 4:
Dizemos que A e B matrizes n× n são SEMELHANTES se existir uma
matriz não singular P tal que B = P−1AP .
Corolário 2:
Se A e B são matrizes semelhantes, então det(A) = det(B).
Demonstração.
Se A e B são semelhantes, então existe P não singular tal que
B = P−1AP
⇒ det(B) = det(P−1) det(A) det(P )
=
1
det(P )
det(A) det(P ) = det(A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 23 / 25
Outro resultado está relacionado a mais um tipo de matriz:
Definição 4:
Dizemos que A e B matrizes n× n são SEMELHANTES se existir uma
matriz não singular P tal que B = P−1AP .
Corolário 2:
Se A e B são matrizes semelhantes, então det(A) = det(B).
Demonstração.
Se A e B são semelhantes, então existe P não singulartal que
B = P−1AP ⇒ det(B) = det(P−1) det(A) det(P )
=
1
det(P )
det(A) det(P ) = det(A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 23 / 25
Outro resultado está relacionado a mais um tipo de matriz:
Definição 4:
Dizemos que A e B matrizes n× n são SEMELHANTES se existir uma
matriz não singular P tal que B = P−1AP .
Corolário 2:
Se A e B são matrizes semelhantes, então det(A) = det(B).
Demonstração.
Se A e B são semelhantes, então existe P não singular tal que
B = P−1AP ⇒ det(B) = det(P−1) det(A) det(P )
=
1
det(P )
det(A) det(P ) =
det(A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 23 / 25
Outro resultado está relacionado a mais um tipo de matriz:
Definição 4:
Dizemos que A e B matrizes n× n são SEMELHANTES se existir uma
matriz não singular P tal que B = P−1AP .
Corolário 2:
Se A e B são matrizes semelhantes, então det(A) = det(B).
Demonstração.
Se A e B são semelhantes, então existe P não singular tal que
B = P−1AP ⇒ det(B) = det(P−1) det(A) det(P )
=
1
det(P )
det(A) det(P ) = det(A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 23 / 25
Finalizamos com a seguinte observação:
Observação
Em geral, det(A+B) é diferente de det(A) + det(B).
O que acontece em relação à soma de determinantes é
Se A, B e C são matrizes n× n com todos os elementos iguais exceto
uma k-ésima linha (coluna) e essa k-ésima linha (coluna) de C for a
soma das k-ésima linha (coluna) de A e B, então
det(C) = det(A) + det(B).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 24 / 25
Finalizamos com a seguinte observação:
Observação
Em geral, det(A+B) é diferente de det(A) + det(B).
O que acontece em relação à soma de determinantes é
Se A, B e C são matrizes n× n com todos os elementos iguais exceto
uma k-ésima linha (coluna) e essa k-ésima linha (coluna) de C for a
soma das k-ésima linha (coluna) de A e B, então
det(C) = det(A) + det(B).
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Finalizamos com a seguinte observação:
Observação
Em geral, det(A+B) é diferente de det(A) + det(B).
O que acontece em relação à soma de determinantes é
Se A, B e C são matrizes n× n com todos os elementos iguais exceto
uma k-ésima linha (coluna) e
essa k-ésima linha (coluna) de C for a
soma das k-ésima linha (coluna) de A e B, então
det(C) = det(A) + det(B).
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Finalizamos com a seguinte observação:
Observação
Em geral, det(A+B) é diferente de det(A) + det(B).
O que acontece em relação à soma de determinantes é
Se A, B e C são matrizes n× n com todos os elementos iguais exceto
uma k-ésima linha (coluna) e essa k-ésima linha (coluna) de C for a
soma das k-ésima linha (coluna) de A e B, então
det(C) = det(A) + det(B).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 24 / 25
Finalizamos com a seguinte observação:
Observação
Em geral, det(A+B) é diferente de det(A) + det(B).
O que acontece em relação à soma de determinantes é
Se A, B e C são matrizes n× n com todos os elementos iguais exceto
uma k-ésima linha (coluna) e essa k-ésima linha (coluna) de C for a
soma das k-ésima linha (coluna) de A e B, então
det(C) = det(A) + det(B).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 24 / 25
Por exemplo,
se det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3, então
det


a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 =
det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+ det


2b1 2b2 2b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+
det


−3c1 −3c2 −3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3 + 2 · 0− 3 · 0 = 3.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 25 / 25
Por exemplo,
se det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3, então
det


a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 =
det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+ det


2b1 2b2 2b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+
det


−3c1 −3c2 −3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3 + 2 · 0− 3 · 0 = 3.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 22 de março de 2016 25 / 25
Por exemplo,
se det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3, então
det


a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 =
det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+
det


2b1 2b2 2b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+
det


−3c1 −3c2 −3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3 + 2 · 0− 3 · 0 = 3.
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Por exemplo,
se det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3, então
det


a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 =
det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+ det


2b1 2b2 2b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+
det


−3c1 −3c2 −3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3 + 2 · 0− 3 · 0 = 3.
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Por exemplo,
se det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3, então
det


a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 =
det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+ det


2b1 2b2 2b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+
det


−3c1 −3c2 −3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 =
3 + 2 · 0− 3 · 0 = 3.
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Por exemplo,
se det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3, então
det


a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 =
det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+ det


2b1 2b2 2b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+
det


−3c1 −3c2 −3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3 + 2 · 0− 3 · 0 =
3.
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Por exemplo,
se det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3, então
det


a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 =
det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+ det


2b1 2b2 2b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

+
det


−3c1 −3c2 −3c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 = 3 + 2 · 0− 3 · 0 = 3.
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