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Calculo II – Listas para N1 – 2016S2 
Prof. Mestre Rosário Ribeiro 1 
 
1ª parte – 0,5 pontos 
 
1. Utilizando a tabela de integrais, obtenha as integrais indefinidas. 
a) ∫ dxx32 
b) ∫ + dxxx )3( 2 
c) ∫ − dxx)5( 
d) ∫ dxx
5 
e) ∫ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ dx
x
x 62 
f) ∫ + dxxx ))cos()(sen( 
g) ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+ dxxx
x
51 23 
h) ∫ dxx 3 
i) ∫ dxex2 
j) ∫ − dxex x )5)(sen( 
k) ∫ dxx2 
l) ∫ +− dxxxx )53( 24 
m) ∫
+ dx
x
x 1 
n) ∫
− dx
x
x
2
2 43
 
o) 
p) ∫ dxx2
1 
q) ∫ dxx3
1 
r) ∫ dxx32
1 
 
2) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x2 e pelo eixo x. 
3) Dada a função y=x calcular a area sob o gráfico de x=0 a x=3 
4) Calcule a area compreendida entre o eixo x e a curva f(x)=(x2 –2x+8)/8, entre x=-2 e 
x=4. 
5) Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y = x2 – 3x + 2 e o eixo x que 
é y = 0. 
6) Calcule as integrais definidas. 
a)
 
b) dx 
4
0∫ x 
c) ∫
4
0
dx 
2
x 
d) ∫ +
2
0
dx )52( x 
e) ∫ −
5
0
dx )5( x 
f) ∫ −+−
3
1
2 dx )34( xx 
g) ∫− +
0
3
dx )2(x 
h) dx 
2
0
3∫ x 
i) ∫ −
4
0
2)4( dxxx 
j) dx 1
3
2∫ x 
7) Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as 
integrais. 
a) dx 4
3
1∫ 
b) ∫ +
3
0
 )2( dxx 
c) ∫
2
0
2 dxx 
d) ∫ −
2
0
 )24( dxx 
 
3) Encontre a área da região limitada pelo 
gráfico de 232 2 +−= xxy , o eixo dos x e as retas 
verticais 0=x e 2=x . 
 
EXEMPLO: Determinar a área limitada pelas curvas 
y = 5x – x2 e y = 2x. 
 
dxx 3 2∫
dx∫
3
0
 4
131
Exercícios
1) Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x.
- Pontos de interseção - Área
2) Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y2
2y
0y4
y4x
2
2
±=
=−
−=
[ ]
.a.u
3
32
A
8.
3
2
.2A
3
2
.x42A
dx)1.()x4(.2A
dxx4.2A
4
0
2
3
4
0
2
1
1A
4
0
=
−−=
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
−−=
−−−=
−=
∫
∫
43421
ou
.a.u
3
32
A
3
8
8.2A
3
y
y4.2A
dy)y4(2A
2
0
3
2
0
2
=
»¼
º
«¬
ª −=
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
−=
−= ∫
y = 5x – x2
y = 2x
530
y
x
¯
®
­
=
=
=−
=−
−=
°¯
°®
­
=
−=
3x
0x
0)3x(x
0x3x
xx5x2
x2y
xx5y
2
2
2
.a.u
2
9
A
9
2
27
A
3
x
2
x3
A
dx)xx3(A
dx)x2xx5(A
3
0
32
3
0
2
3
0
2
=
−=
−=
−=
−−=
∫
∫
x4y −=
A1
2
-2
y
x
Calculo II – Listas para N1 – 2016S2 
Prof. Mestre Rosário Ribeiro 2 
 
2ª parte – 0,5 pontos 
 
Calcule as integriais 
 
soluções: 
 
Integrais substituição 
 
Soluções: 
 
 
 
Integrais por partes 
 
Soluções: 
 
 
 
SEÇÃO 5.4 INTEGRAIS INDEFINIDAS E O TEOREMA DA VARIAÇÃO TOTAL   1
1-2 Verifique, por derivação, que a fórmula está correta. 
 1. sen2x dx
x
2
sen 2x
4
C
 2. x 2 sen x dx x 2 cos x 2 x cos x dx
3-4 Encontre a integral indefinida geral.
 3. x x 2 1 x dx
 4. 2x sec x tg x dx
5-22 Calcule a integral. 
 5. 
1
0
1 2x 3x 2 dx 6. 
2
1
5x 2 4x 3 dx
 7. 
1
0
y 9 2y 5 3y dy 8. 
3
1
1
t 2
1
t 4
dt
 9. 
2
1
t 6 t 2
t 4
dt 10. 
2
1
x 2 1
x
dx
 11. 
2
0
x 3 1 2 dx 12. 
1
0
u( u 3 u ) du
 13. 2
1
x x 2 dx 14. 
3
2
x 2 1 dx
 15. 
1
1
x 1 3x 2 dx 16. 
4
1
t
2
t
dt
 17. 
8
1
3 r
1
3 r
dr 18. 
0
1
x 1 3 dx
 19. 
2
5
x 4 1
x 2 1
dx 20. 
3
6
 cossec2 d
 21. 
2
3
 cossec x cotg x dx 22. 
2
0
(x 2 x 1 ) dx
 23. A água vaza de um tanque a uma taxa de r(t) litros por hora, 
onde o gráfico de r é como abaixo mostrado. Expresse a 
quantidade total de água que vazou durante as primeiras 
quatro horas como uma integral definida. Em seguida, use a 
Regra do Ponto Médio para estimar esta quantidade.
6
1 t
r
2
0 2 3 4
4
5.4 INTEGRAIS INDEFINIDAS E O TEOREMA DA VARIAÇÃO TOTAL Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
2   SEÇÃO 5.4 INTEGRAIS INDEFINIDAS E O TEOREMA DA VARIAÇÃO TOTAL
 3. 27 x7 2 2x1 2 C 4. x2 sec x C 5. −1
 6. 263 7. 
19
15 8. 
28
21 9. 116 10. 
6
5 (3 2 2) 11. 867
 12. 
29
35 13. 116 14. 
28
3 15. 2 16. 
2
3 17. 
63
4
 18. 14 19. 36 20. 
2
3 3 21. 1 23 3 22. 
5
3
 23. 
4
0
r t dt 19,6 L
5.4 RESPOSTAS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
2   SEÇÃO 5.4 INTEGRAIS INDEFINIDAS E O TEOREMA DA VARIAÇÃO TOTAL
 3. 27 x7 2 2x1 2 C 4. x2 sec x C 5. −1
 6. 263 7. 
19
15 8. 
28
21 9. 116 10. 
6
5 (3 2 2) 11. 867
 12. 
29
35 13. 116 14. 
28
3 15. 2 16. 
2
3 17. 
63
4
 18. 14 19. 36 20. 
2
3 3 21. 1 23 3 22. 
5
3
 23. 
4
0
r t dt 19,6 L
5.4 RESPOSTAS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
2   SEÇÃO 5.4 INTEGRAIS INDEFINIDAS E O TEOREMA DA VARIAÇÃO TOTAL
 3. 27 x7 2 2x1 2 C 4. x2 sec x C 5. −1
 6. 263 7. 
19
15 8. 
28
21 9. 116 10. 
6
5 (3 2 2) 11. 867
 12. 
29
35 13. 116 14. 
28
3 15. 2 16. 
2
3 17. 
63
4
 18. 14 19. 36 20. 
2
3 3 21. 1 23 3 22. 
5
3
 23. 
4
0
r t dt 19,6 L
5.4 RESPOSTAS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
SEÇÃO 5.5 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO   1
1-6 Calcule a integral fazendo a substituição dada.
 1. x x 2 1 99 dx, u x 2 1
 2. x
2
2 x3
dx, u 2 x 3+
+
 3. sen 4x dx, u 4x
 4. 
dx
2x 1 2
, u 2x 1
+
 5. x 3
x 2 6x 2
dx, u x 2 6x
+
+
+=
 6. sec a tg a d , u a
7-35 Calcule a integral indefinida. 
 7. 2x 1 x 2 x 1 3 dx+ ++ 8. x 3 1 x 4 5 dx
 9. x 1 dx 10. 3 1 x dx
 11. x 3 2 x 4 dx+ 12. +x x 2 1 3 2 dx
 13. 
2
t 1 6
dt+ 14. 
1
1 3t 4
dt
 15. 1 2y 1,3 dy 16. 5 3 5y dy
 17. cos 2 d 18. sec2 3 d
 19. 
3x 1
3x 2 2x 1 4
dx
+
 20. 
x
x 2 1
dx+
 21. sen3 x cos x dx 22. tg 2 sec2 d
 23. t sen t 2 dt 24. 
(1 x )9
x
dx
+
 25. sec x tg x 1 sec x dx+ 26. t 2 cos 1 t 3 dt
 27. e x sen e x dx 28. cos4 x sen x dx
 29. x 1
x 2 2x
dx
+
+ 30. 
e x
e 2x 1
dx
+
 31. x 3 1 x 2 3 2 dx 32. cos x
x
dx
 33. sen 2x 3 dx+ 34. cos 7 3x dx
 35. sen 3 sen 3x dx
36-43 Calcule a integral definida, se existir.
 36. 
1
0
 cos t dt 37. 
4
0
 sen 4t d t
 38. 4
1
1
x 2
1
1
x
dx+ 39. 
3
0
dx
2x 3+
 40. 
1
0
2x 1 100 dx 41. 
4
0
1 2x dx
 42. 
1
0
x 4 x 5 4x 3 1 dx+ + 43. 
3
2
3x 2 1
x 3 x 2
dx
 44. Mostre que a área sob o gráfico de y sen= de 0 a 4 é 
igual à área sob o gráfico de y = 2x sen x de 0 a 2.
5.5 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
2   SEÇÃO 5.5 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO
 1. 1200 x
2 − 1 100 + C 2. 23 2+ x 3 + C
 3. − 14 cos 4x + C 4. −
1
2 (2x + 1) + C
 5. − 12 (x 2 + 6x ) + C
 6. sec aθ
a + C
 7. 14 x
2 + x + 1 4 + C 8. − 124 1− x
4 6 + C
 9. 23 (x − 1)
3 / 2 + C 10. − 34 (1 − x )
4 / 3 + C
 11. 16 2+ x
4 3 / 2 + C 12. 15 x
2 + 1 5 / 2 + C
 13. −
2
5 ( t + 1)5
+ C 14. 1
9 (1 − 3t)3
C+
 15. − (1 − 2y)
2,3
4,6 + C
 16. − 16 (3 − 5y)
6 / 5 + C
 17. 12 sen 2θ + C 18. 
1
3 tg3θ + C
 19. −
1
6 (3x 2 − 2x +1 )3
+ C 20. x 2 + 1 + C
 21. 14 sen
4 x + C 22. 13 tg 3 θ + C
 23. +− 12 cos t
2 C 24. (1 + x )
10
5 + C
 25. 23 (1 + sec x)
3 / 2 + C 26. − 13 sen 1 − t
3 +C
 27. − cos (e x) + C
 28. − 15 cos
5 x + C
 29. 12 ln x
2
+ 2x + C
 30. tg− 1 (ex )+ C
 31. 17 1 − x
2 7 / 2− 15 1− x
2 5 / 2 + C
 32. 2 sen x + C
 33. − 12 cos (2x + 3) + C
 34. − 13 sen (7 − 3x ) +C
 35. (sen 3α ) x + 13 cos 3x + C
 36. 0
 37. 12
 38. 4 2
3 −
5 5
12
 39. 12 ln 3
 40. 1101
 41. − 263
 42. 323
 43. 18
5.5 RESPOSTAS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
SEÇÃO 7.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES   1
1-15 Calcule a integral.
 1. ∫xe 2x dx 2. ∫x cos x dx
 3. ∫x sen 4x dx 4. ∫x 2 cos 3x dx
 5. ∫x 2 sen ax dx 6. ∫ sen cos d
 7. ∫t 2 ln t dt 8. ∫e cos 3 d
 9. ∫
1
0
te 1 dt 10. ∫
4
1
 ln dx
 11. ∫
2π
0
x cos 2x dx 12. ∫ 10 x
2e x dx
 13. ∫x 3e x2 dx 14. ∫ sen ln x dx
 15. ∫x tg 1 x dx
7.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES
 16. Faça primeiro uma substituição e então use a integração por 
partes para calcular .∫x 5 cos x 3 dx
 17. Calcule ∫ . ln x dx Ilustre e verifique se sua resposta é 
razoável usando os gráficos da função e de sua primitiva 
(considere C = 0).
 18. Encontre a área da região delimitada por y = sen−1x, y = 0 
e x = 0,5.
19-20 Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das 
coordenadas x dos pontos de intersecção das curvas indicadas. A 
seguir, ache (aproximadamente) a área da região delimitada pelas 
curvas.
 19. , y xe x 2y x 2= =
 20. = =, y ln xy x 2 5
 21. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume 
gerado pela rotação da região delimitada por y = sen x, y = 0, 
x 2π e x = 3π em torno do eixo y.
 22. Encontre o valor médio de f (x) = x cos 2x no intervalo [0, π/2]
Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
2   SEÇÃO 7.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES
 1. 12 xe
2x − 14 e
2x + C
 2. x sen x + cos x + C
 3. − 14 x cos 4x +
1
16 sen 4x + C
 4. 13 x
2 sen 3 x + 29 x cos 3x −
2
27 sen 3x + C
 5. −
x 2
a cos ax +
2x
a2 sen ax +
2
a3 cos ax + C
 6. 18 (sen 2θ − 2θ cos 2θ)+ C
 7. 19 t
3 (3 ln t − 1) + C
 8. 110 e
− θ (3 sen 3θ − cos 3θ)+ C
 9. 1 − 2/e
 10. 2 ln 4 − 32
 11. − 12
 12. 2 − 5/e
 13. 12 e
x2 x 2 − 1 + C
 14. 12 x [sen(ln x ) − cos (ln x )] + C
 15. 12 x
2 tg− 1 x + tg− 1 x − x + C
 16. 13 x
3 sen x 3 + 13 cos x
3 + C
 17. 23 x
3/2 ln x − 49 x
3/2 + C
 18. 112 π + 6 3 − 12
 19. 0,080
 20. 7,10
 21. 10π2
 22. − 1π
7.1 RESPOSTAS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
2   SEÇÃO 7.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES
 1. 12 xe
2x − 14 e
2x + C
 2. x sen x + cos x + C
 3. − 14 x cos 4x +
1
16 sen 4x + C
 4. 13 x
2 sen 3 x + 29 x cos 3x −
2
27 sen 3x + C
 5. −
x 2
a cos ax +
2x
a2 sen ax +
2
a3 cos ax + C
 6. 18 (sen 2θ − 2θ cos 2θ)+ C
 7. 19 t
3 (3 ln t − 1) + C
 8. 110 e
− θ (3 sen 3θ − cos 3θ)+ C
 9. 1 − 2/e
 10. 2 ln 4 − 32
 11. − 12
 12. 2 − 5/e
 13. 12 e
x2 x 2 − 1 + C
 14. 12 x [sen(ln x ) − cos (ln x )] + C
 15. 12 x
2 tg− 1 x + tg− 1 x − x + C
 16. 13 x
3 sen x 3 + 13 cos x
3 + C
 17. 23 x
3/2 ln x − 49 x
3/2 + C
 18. 112 π + 6 3 − 12
 19. 0,080
 20. 7,10
 21. 10π2
 22. − 1π
7.1 RESPOSTAS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.