Manual Capítulo I

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MANUAL UNIVERSITÁRIO 
DE ELECTRODINÂMICA 
CLÁSSICA 
 
 
 
 
 
 
 
Rogério Uthui 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 2 
 
 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
MANUAL DE 
ELETRODINÂMICA CLÁSSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maputo 2012 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 3 
 
PREFÁCIO 
No desenho deste curso de Electrodinâmica tentou-se adequar o facto de a Electrodinâmica Clássica ser 
um dos primeiros cursos de Física Teórica que são dados aos estudantes dos cursos de Física e de Ensino 
de Física nas universidades moçambicanas. 
Entende-se, pois, que o estudante tenha um domínio em fase de cristalização dos conceitos da Física 
Geral (neste caso, das disciplinas de Mecânica e de Electricidade e Magnetismo) e do uso do aparato 
matemático superior que normalmente é coberto nas disciplinas universitárias de Análise Matemática, 
Álgebra Linear e Geometria Analítica e Física Matemática. 
Para alargar o espectro dos potenciais utilizadores deste manual a estudantes dos cursos de Engenharia 
Eléctrica, Comunicações e outros, normalmente com um currículo menos preenchido de disciplinas de 
matemática superior, adoptou-se uma explanação mais para o lado fenomenológico e com níveis 
progressivos de complexidade à medida que se avança nos textos. 
Desta maneira, entende-se que o estudante ao terminar este curso de Electrodinâmica Clássica a nível de 
graduação terá bases muito sólidas para cursos mais avançados e direccionados a nível de pós-
graduação, sem prejuízo de perceber claramente os fenómenos tratados e bases da teoria que os 
descreve. 
Para além disso, incluí-se no Manual uma parte prévia que trata principalmente dos aspectos 
matemáticos que serão usados com alguma frequência no manual. 
 
A preparação deste manual surgiu da realidade que se vive actualmente de falta de livros, de uma 
maneira geral, adequados a todas as vicissitudes do ensino superior moçambicano (a expansão 
geográfica, a expansão demográfica e os desafios de desenvolvimento do país) que de alguma maneira 
limitam o acesso pleno da miríade de fontes existentes em diferentes meios incluindo a Internet. Não 
espanta, pois, que nos tenhamos inspirado na classe real de estudantes universitários moçambicanos, 
sem contudo olhar para os principais misconceptions característicos na interpretação de fenómenos nesta 
área do saber. 
 
 
 
O Autor 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 4 
 
babxa
rrrr ≡⇒= 0
Antes da ordem do dia: 
APARATO MATEMÁTICO A SER USADO NESTE MANUAL 
A disciplina de Electrodinâmica clássica, assim como todas as disciplinas de Física Teórica, utilizam 
muito aparato matemático na demonstração de conceitos e derivação de fórmulas. O estudante 
universitário está de alguma forma familiarizado com estas operações, uma vez que as pode ter 
analisado na disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica. Nesta secção inicial expomos as 
fórmulas fundamentais de modo a sistematizá-las num único espaço. Ao longo do Manual, algumas 
delas serão demonstradas. As áreas cobertas são vectores, geometria diferencial, sistemas de 
coordenadas, e matrizes. 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
1 
Produto escalar ou produto interno ou produto ponto 
(dot) 
θcos.. baba rrrr = (0.1) 
2 Produto vectorial ou produto externo 
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
senbabxa
vvv
rrrr == θ.. (0.2) 
3 Propriedades dos produtos escalar e vectorial 
3,1 Comutativa
 
abba r
rrr .. = (0.3) 
3,2 Distributiva do produto escalar
 
).().().( cabacba rr
rrrrr +=+ (0.4) 
3,3 Vectores perpendiculares
 
baba
rrrr ⊥⇒= 0. (0.5) 
3.4 Componente do vector b na direcção do vector a
 
a
babcompa r
rrr
v
.= (0.6) 
3.5 Anti-comutativa axbbxa r
rrr −= (0.7) 
3.6 Distributiva do produto vectorial (0.8) 
3.7 Vectores paralelos (0.9) 
4 Identidade de Lagrange ).)(.().)(.()).(( cbdadbcadxcbxa r
rrrrrrrrrrr −= (0.10) 
5 Produto triplo de vectores 
5.1 Produto escalar triplo de vectores 
 
baxcacxb
ccc
bbb
aaa
cbxa
zyx
zyx
zyx rrrrrrrrr ).().().( === 
(0.11) 
)()()( cxabxacbxa rr
rrrrr +=+
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 5 
 
5.2 Produto escalar triplo Tem o significado de volume do paralelepípedo (0.12) 
5.3 Produto vectorial triplo cbabcacxbxa r
rrrrrrrr )..()..()( −= (0.13) 
6 Vectore rs ecíprocos 
6,1 
Sejam dados os vectores a’, b’ e c’ tais que: 
ܽᇱ ൌ ሺܾ ൈ ܿሻ ሾሺܽ ൈ ሻ · ܿ⁄ ܾ ሿ (0.14) 
6,2 ܾԢ ൌ ሺሺܿ ൈ ܽሻሻ ⁄ ሾሺܽ ൈ ܾሻ · ܿሿ  (0.15) 
6,3 ܿᇱ ൌ ሺܽ ൈ ܾሻ ሾሺܽ ൈ ሻ · ܿሿ⁄ ܾ (0.16) 
6.4 
Então, a’, b’ e c’ são vectores recíprocos de a, b e c 
respectivamente, de tal maneira que: 
ሺܽᇱ · ܽሻ ൌ ሺܾᇱ · ܾሻ ൌ ሺܿᇱ · ܿሻ ൌ 1 
 (0.17) 
7 Decomposição de vect m s lqores nu a ba e qua uer 
7.1 
Decomposição de um vector a numa base não –
ortogonal { }321 ,, eee rrr 
ܽ ൌ ሺ݁Ԣଵ · ܽሻ݁ଵ ൅ ሺ݁Ԣଶ · ܽሻ݁ଶ ൅ ሺ݁Ԣଷ · ܽሻ݁ଷ 
 
(0.18) 
8 SISTEMAS DE COORDENADAS TR I N MAIS COMUNS IDIMENS O AIS 
 
ݔ ൌ ߩ cos߶ ൌ ݎ sin ߠ cos߶ (0.19) 
ݕ ൌ ߩ sin߶ ൌ ݎ sin ߠ sin߶ (0.20) 
ݖ ൌ ݎ cos ߠ (0.21) 
ߩ ൌ ሺݔ ൅ ݕ ሻ ଶ ଶ ଵ ଶ⁄ (0.22) 
ݎ ൌ ሺݔ ൅ ݕ ൅ ݖଶ ଶ ଶሻଵ ଶ⁄ (0.23) 
ߠ ൌ arccos ሺݖ ⁄ ݎሻ (0.24) 
߶ ൌ ܽݎܿ tanሺݕ ݔ⁄ ሻ 
 
(0.25) 
 
Sistema de coordenadas: 
Coordenadas de P: 
 
Elemento do volume: 
 
Elementos métricos: 
 Rectan s gulare
 
ሺݔ, ݕ, ݖሻ 
 
 
ሺ݀ݔ݀ݕ݀ݖሻ
ሺ݀ݔ݀ݕ݀ݖሻ 
 
Esfé ares rico Pol
 
,ሺݎ, ߠ ߶ሻ 
 
ሺݎଶ s ݀߶ሻ in ߠ ݀ݎ · ݀ߠ ·
ሺ1, ݎ, ݎ sin ߠሻ 
 
Cilín c lares dri o po
 
ݖሻሺߩ, ߶, 
 
ሺߩ݀ ߶ሻ ߩ · ݀ݖ · ݀
 
ሺ1, ߩ, 1ሻ 
 
OPERAÇÕES DE GEOMETRIA DIFERENCIAL 
9 Gradiente 
 Coordenadas rectangulares ݃ݎܽ݀ ݂ ൌ డ௙
డ௫
ଓԦ൅ డ௙
డ௬
ଔԦ൅ డ௙
డ௭
ሬ݇Ԧ (0.26) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 6 
 
coordenadas cilíndricas ݃ݎܽ݀ ݂ ൌ
డఘ
డ௙ ߩԦ ൅
௥
ଵ డ௙
డథ
߶ሬԦ ൅
௭
డ௙
డ
ሬ݇Ԧ (0.27) 
Coordenadas esféricas ݃ݎܽ݀ ݂ ൌ డ௥
డ௙ ݎԦ ൅ ଵ
௥
డ௙
డఏ
ߠԦ ൅ ଵ
௥ ୱ୧୬ఏ
డ௙
థడ
߶ሬԦ (0.28) 
coordenadas generalizadas ݃ݎܽ݀ ݂ ൌ ௤భሬሬሬሬԦ
௛భ
డ௙
డ௤భ
൅ ௤మሬሬሬሬԦ
௛మ
డ௙
డ௤మ
൅ ௤యሬሬሬሬԦ
௛య
డ௙
డ௤య
 (0.29) 
Aqui, f é uma função escalar, qi – a base do sistema de coordenadas e hi os elementos da métrica 
10 Divergência 
 
Coordenadas rectangulares ݀݅ݒ ܣԦ ൌ డ஺ೣ
డ௫
൅
డ஺೤
డ௬
൅ డ஺೥
௭డ
 (0.30) 
Coordenadas cilíndricas ݀݅ݒ ܣԦ ൌ ଵ
ఘ
డ൫ఘ஺ഐ൯
ఘడ
൅
ఘ
ଵ డ஺ഝ
డథ
൅ ೥డ஺
డ௭
 
(0.31) 
coordenadas esféricas   ݀݅ݒ ܣԦ ൌ
ଵ
௥మ
డ൫௥మ஺ೝ൯
డ௥
൅ ଵ
ୱ୧ ఏ௥ ୬
డሺ஺ഇ ୱ୧୬ఏሻ
డఏ
൅ ଵ
௥ ୱ ୬୧ ఏ
డ஺ഝ
డథ 
(0.32) 
coordenadas generalizadas ݀݅ݒ ܣԦ ൌ ଵ
௛భ௛మ௛య
ቂ డ
డ௤భ
ሺܣଵ݄ଶ݄ଷሻ ൅
డ
డ௤మ
ሺܣଶ݄ଷ݄ଵሻ ൅
డ
డ௤య
ሺܣଷ݄ଵ݄ଶሻቃ (0.33) 
Aqui, A é uma função vectorial, qi – a base do sistema de coordenadas e hi os elementos da métrica 
11 Rotacional 
 
coordenadas rectangulares ݎ݋ݐ ܣԦ ൌ ቮ
ଓԦ ଔԦ ሬ݇Ԧ
߲ ߲ݔ⁄ ⁄ ݖ⁄߲ ߲ݕ ߲ ߲
ܣ௫ ܣ௬ ܣ௭
ቮ (0.34) 
coordenadas cilíndricas ݎ݋ݐ ܣԦ ൌ ቮ
ߩԦ ߩ⁄ ߶ሬԦ ሬ݇Ԧ ߩൗ
߲ ߲ߩ⁄ ߲ ߲߶⁄ ߲ ߲ݖ⁄
ܣఘ థߩܣ ܣ௭
ቮ 
(0.35) 
coordenadas esféricas 
ݎ݋ݐ ܣԦ ൌ ቮ
ݎԦ ሺݎଶ sin ߠሻ⁄ ߠԦ ሺݎ sin ߠሻൗ ߶ሬԦ ݎ⁄
߲ ߲ݎ⁄ ߲ ߲ߠ⁄ ߲ ߲߶⁄
ܣ௥ ݎܣఏ ݎܣథ sin ߠ
ቮ 
(0.36) 
coordenadas generalizadas ݎ݋ݐ ܣԦ ൌ ଵ
௛భ௛మ௛య
ቮ
ݍଵሬሬሬԦ݄ଵ ݍଶሬሬሬሬԦ݄ଶ ݍଷሬሬሬሬԦ݄ଷ
߲ ߲ݍଵ⁄ ߲ ߲ݍଶ⁄ ߲ ߲ݍଷ⁄
݄ଵܣଵ ݄ଶܣଶ ݄ଷܣଷ
ቮ(0.37) 
Aqui, A é uma função vectorial, qi – a base do sistema de coordenadas e hi os elementos da métrica 
12 Laplaciano 
 
coordenadas rectangulares ׏ଶ݂ ൌ డ
మ௙
డ௫మ
൅ డ
మ௙
డ௬మ
൅ డ
మ௙
డ௭మ
 
 
(0.38) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 7 
 
coordenadas cilíndricas ׏ଶ݂ ൌ ଵ
ఘ
డ
ఘడ
ቀߩ
డఘ
డ௙ቁ ൅
ఘ
ଵ
మ
డమ௙
డ మథ
൅ డ
మ
డ௭
௙
మ 
(0.39) 
coordenadas esféricas 
ଶ
 ׏ ݂ ൌ ௥
ଵ
మ
డ
௥డ
ቀݎ
ௗ
ଶ డ௙
௥
ቁ ൅
௥మ ୱ ୬
ଵ
୧ ఏ
డ
డఏ
ቀsin ߠ డ௙
డఏ
ቁ ൅
௥మ ୱ୧୬మ ఏ
ଵ డమ௙
డథమ
 (0.40) 
coordenadas generalizadas       ׏ଶ݂ ൌ ଵ
௛భ௛మ௛య
ቂ డ
డ௤భ
ቀ௛మ௛య
௛భ
డ௙
డ௤భ
ቁ ൅ డ
డ௤మ
ቀ௛య௛భ
௛మ
డ௙
డ௤మ
ቁ ൅ డ
డ௤య
ቀ௛భ௛మ
௛య
డ௙
డ௤య
ቁቃ (0.41) 
Aqui, f é uma função escalar, qi – a base do sistema de coordenadas e hi os elementos da métrica 
 
IDENTIDADES DE OPERADORES DIFERENCIAIS 
14 
 
݃ݎܽ݀ሺ݂݃ሻ ؠ ݂ · ݃ݎܽ݀ ݃ ݃ · ݃ݎܽ݀൅ ݂ (0.42) 
݀݅ݒ൫݂ܣԦ൯ ؠ ݂ · ݀݅ݒ ܣԦ ൅ ܣԦ · ݃ ܽ݀ݎ ݂ (0.43) 
ݎ݋ݐ൫݂ܣԦ൯ ؠ ݂ · ݎ݋ݐ ܣԦ ൅ ሺ݃ݎܽ݀ ݂ሻ ൈ ܣԦ (0.44) 
݃ݎܽ݀൫ܣԦ · ܤሬԦ൯ ؠ ܣԦ ൈ ൫ݎ݋ݐ ܤሬԦ൯ ൅ ൫݀݅ݒ ܣԦ൯ܤሬԦ ൅ ܤሬԦ ൈ ൫rot ܣԦ൯ ൅ ൫݀݅ݒ ܤሬԦ൯ܣԦ (0.45) 
݀݅ݒ൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯ ؠ ܤሬԦ · ݎ݋ݐ ܣԦ െ ܣԦ · ݎ݋ݐ ܤሬԦ (0.46) 
ݎ݋ݐ൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯ ؠ ܣԦ൫݀݅ݒ ܤሬԦ൯ െ ܤሬԦ൫݀݅ݒ ܣԦ൯ ൅ ൫݀݅ݒ ܤሬԦ൯ܣԦ െ ൫݀݅ݒ ܣԦ൯ܤሬԦ (0.47) 
݀݅ݒሺ݃ݎܽ݀ ݂ሻ ؠ ׏ଶ݂ ؠ ∆݂ (0.48) 
ݎ݋ݐሺ݃ݎܽ݀ ݂ሻ ؠ 0 (0.49) 
݀݅ݒ൫ݎ݋ݐ ܣԦ൯ ؠ 0 (0.50) 
ݎ݋ݐ൫ݎ݋ݐ ܣԦ൯ ؠ ݃ݎܽ݀ ൫݀݅ݒ ܣԦ൯ െ ׏ଶܣԦ 
 
(0.51) 
Aqui, f e g são campos escalares e A e B, campos vectoriais 
 
FORMAS RADIAIS 
15 
 
݃ݎܽ݀ ݎԦ ൌ
ݎԦ
ݎ
 (0.52) 
݀݅ݒ ݎԦ ൌ 3 (0.53) 
݃ݎܽ݀ ݎԦଶ ൌ 2ݎԦ (0.54) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 8 
 
݀݅ݒ ሺݎݎԦሻ ൌ 4ݎ (0.55) 
݃ݎܽ݀ ሺ1 ݎԦ⁄ ሻ ൌ
െݎԦ
ݎଷ
 
(0.56) 
݀݅ݒ ሺݎԦ ݎଶ⁄ ሻ ൌ
1
ଶݎ
 
 
(0.57) 
݃ݎܽ݀ ሺ1 ݎଶ⁄ ሻ ൌ
െ2ݎԦ
ݎସ
 
(0.58) 
݀݅ݒ ሺݎԦ ݎଷ⁄ ሻ ൌ 4ߨߜሺݎሻ… δ é a função Delta de Dirac (0.59) 
 
TRANSFORMAÇÕES DE INTEGRAIS DE VECTORES 
15 
 
Teorema de Gauss (divergência) ׬ ൫݀݅ݒ ܣԦ൯ܸ݀௏ ൌ ׯ ܣ.ሬሬሬԦ ݀ܵሬሬሬሬԦௌ
 
 (0.60) 
Teorema de Stokes ׬ ൫ݎ݋ݐ ܣԦ൯. ݀ܵሬሬሬሬԦௌ ൌ ׯ ܣ.ሬሬሬԦ ݈݀ሬሬሬԦ௅ 
 
(0.61) 
Primeiro Teorema de Green  
ර ሺ݂ · ݃ݎܽ݀ ݃ሻ · ݀ݏ
ௌ
ൌ න ݀݅ݒ ሺ݂ · ݃ݎܽ݀ ݃ሻ · ܸ݀
௏
ൌ න ሾ݂ · ׏ଶ݃ ൅ ݃ݎܽ݀ ݂ · ݃ݎܽ݀ ݃ሿ · ܸ݀
௏
 
 
(0.62) 
Segundo T reo ema de Green 
ර ሾሺ݂ · ݃ݎܽ݀ ݃ሻ െ ሺ݃ · ݃ݎܽ݀ ݂ሻሿ · ݀ݏ
ௌ
ൌ න ሺ݂ · ׏ଶ݃ െ ݃ · ׏ଶ݂ሻ · ܸ݀
௏
 
 
(0.63) 
 Aqui: f e g são campos escalares, A – campo vectorial, V – volume abrangido delimitado 
pela superfície fechada S; dl, dS e dV – elementos de comprimento, superfície e de 
volume. 
 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 9 
 
INTRODUÇÃO 
 
O conteúdo moderno da disciplina chamada Electrodinâmica Clássica, que se lecciona a cursos de Física 
e de Engenharia, corresponde quase que na totalidade à teoria do campo electromagnético, cujas bases 
foram colocadas por James Clerk Maxwell (1831 – 1879) na sua obra fundamental “Tratado sobre 
Electricidade e Magnetismo”, que viu a luz em 1873. Gustav Hertz, com as suas experiências (1887 – 
1889) conseguiu demonstrar a veracidade da teoria de unificação da electricidade e do magnetismo e da 
propagação das ondas electromagnéticas. Ele mesmo desenvolveu e transformou as equações de 
Maxwell até o seu aspecto actual. 
 
§ 1. Micro e Macro - electrodinâmica 
A teoria clássica do campo de James Clerk Maxwell tanto na forma integral como na diferencial, tem 
um carácter macroscópico ou, por outras palavras, ela é uma teoria fenomenológica. Isto significa que 
na sua formulação não se tem em conta a estrutura atómico - molecular das substâncias que preenchem o 
meio no qual se verifica a acção do campo. 
A presença de substâncias na região onde se tem o campo eléctrico é considerada através da introdução, 
nas fórmulas, dos coeficientes de susceptibilidade (dieléctrica - ε e magnética - μ), de condutibilidade 
- γ, e outros, que são considerados constantes, não dependendo nem da intensidade nem da frequência do 
campo. 
O facto de a teoria de Maxwell ser fenomenológica encerra em si muitas limitações. 
A análise do problema tendo em considerando a existência da substância conduziu ao aparecimento da 
teoria electrónica clássica, inventada por Lorentz (1853 – 1928). Outro exemplo de dois approaches 
distintos (fenomenológico versus estrutural) pode ser a termodinâmica versus a teoria molecular - 
cinética que estuda o mesmo objecto científico mas sem ter em conta a sua estrutura (no primeiro caso) e 
considerando a sua estrutura, no segundo caso. 
A teoria de Lorentz é clássica porque ela considera que em todas as escalas de organização da matéria 
(mega, macro e micro - mundo) as leis são exactamente as mesmas, não têm diferenças qualitativas. 
Daqui segue que as equações de Maxwell são válidas também para os electrões e átomos, posição que a 
mecânica quântica nega e demonstra com exemplos válidos e fenómenos verificáveis que existe uma 
diferença substancial na análise de processos ocorrendo numa ou noutra escala. 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 10 
 
Ao se analisar o micro - mundo, salta logo à vista a não homogeneidade espacial da substância, a 
distribuição das suas micro - cargas e seus micro - campos. De facto, a densidade do material nuclear é 
1014g/cm3, enquanto que fora do núcleo, mas muito perto deste, a densidade é zero! 
A intensidade do campo eléctrico E≈2.107 unidades CGS dentro do núcleo e praticamente zero fora do 
átomo. 
 
 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 11 
 
CAPÍTULO I 
CAMPO ELÉCTRICO CONSTANTE NUM MEIO HOMOGÉNEO 
 
§ 2. Lei de Coulomb, intensidade do campo eléctrico 
Os fenómenos eléctricos e magnéticos são as duas faces de uma mesma moeda; dois lados de um único 
processo indivisível electromagnético. 
Na electrostática nós analisamos os fenómenos claramente de origem eléctrica. Nós sabemos, porém, 
que na realidade, eles são acompanhados por campos magnéticos cujo aparecimento nos foge ao 
analisarmos pelo método macroscópico. 
Todas as micro-cargas do corpo, independentemente da existência ou não de qualquer interacção 
externa, encontram-se em movimento constante de modo que não existem cargas estacionárias nos 
corpos. O conceito de “carga imóvel” não é mais senão o valor médio das micro - cargas a nível 
macroscópico. 
O movimento das micro - cargas está relacionado com o aparecimento de campos magnéticos que não 
podemos detectar por instrumentos de medida uma vez que estes apenas registam a média macroscópica 
do movimento das micro - cargas. 
A lei empírica mais fundamental, na qual se apoia a electrostática é a lei de Coulomb, de interacção 
entre duas cargas pontuais. Um corpo considera-se pontual quando as suas dimensões são desprezáveis 
em relação às distâncias até aos outros corpos, nas condições de um problema dado. 
r
r
r
qqKF
rr
2
21
12 = (2.1) 
K – é uma constante de proporcionalidade e depende da escolha do sistema de unidades, tal que nos 
sistema CGS e SI tem valores diferentes: 
 CGS: K = 1; 
 
 SI: 
 
Aqui, ε - é a constante dieléctrica do meio ; ε0 =8.85.1012F/m é a constante dieléctrica do vácuo. 
 r
r
qq
επ
=F
0
rr
12
3
21
12 4
1
ε (2.2) 
O vector o seu módulo é dado por: 
2
9108.99
4
1
C
Nm=επ
=K
2
0
⋅ε
;rr=r 1212
rrr − | |.12 rr=r rr −
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 12 
 
Assim, a fórmula (2.2) pode-se reescrever da seguinte maneira: 
 )rr(
)rr(
qq
επ
=F
0
123
12
21
12 4
1 rrrr
r −−ε (2.3) 
O campo eléctrico é caracterizado pelo vector intensidade do campo E
r
, para a investigação do qual 
usa-se uma carga de prova, pontual e positiva. 
 q
FE
rr = (2.4) 
Pode-se imaginar a intensidade do campo E
r
 como sendo a força com que o campo age sobre uma carga 
positiva e unitária, colocada no ponto de observação. 
 [ ] CGSeléctricocampodeunidades=
m
V;
m
V=E 4103
11 ⋅ 
 
§ 3. Campo de cargas pontuais, volumétricas, superficiais e lineares num meio homogéneo. 
Em muitos casos práticos, temos que determinar a intensidade do campo eléctrico para uma dada 
distribuição de cargas. Existem muitas formas de solução deste tipo de problemas, conhecido como o 
“problema directo da electrostática”. 
Neste tipo de problemas pede-se, normalmente, para “investigar o campo da carga pontual Q, colocada 
no ponto M com coordenadas xo,yo,zo num meio homogéneo (ε=const)”. Procuremos o campo no ponto 
de observação A com coordenadas x, y e z, conforme mostrado na figura 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1. Explicação do processo de cálculo do campo eléctrico. 
Sobre a carga de prova q colocada no ponto A irá agir uma força F definida pela lei de Coulomb a partir 
da qual se pode determinar a expressão para o campo eléctrico de acordo com a fórmula (2.4): 
 r
r
Qq
πε
=F
0
rr
34
1 (3.1) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 13 
 
 
 (3.2) 
 
A determinação do vector intensidade do campo eléctrico E
r
, normalmente faz-se através do cálculo das 
suas componentes (projecções) num dado sistema de referência. Assim, teremos: 
 
 
 (3.3) 
 
 
 
A partir destas expressões obtém-se, finalmente, o módulo do vector E
r
: 
 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
++=
E
EzE
E
E
yE
E
ExE
EEEE
z
y
x
zyx
),cos(
),cos(
),cos(
;222
rr
rr
rr
 (3.4) 
 Se o campo for criado por algumas cargas, q1, q2, q3,….,qN, então será válido o princípio de 
sobreposição, segundo o qual o campo total é igual à soma dos campos criados por cada uma das 
cargas individualmente, isto é: 
 ∑
=
=
n
i
iEE
1
rr
 (3.5) 
Em muitos casos a carga está distribuída por um corpo de dimensões finitas. Nesses casos especiais 
importa analisar o caso em que se tenha uma distribuição homogénea de carga por uma linha, uma 
superfície ou pelo volume de um corpo maciço. 
A resolução do problema directo da electrostática nesses casos deverá passar pelos seguintes passos: 
a) Dividir o corpo no qual a carga está distribuída, por comprimentos, superfícies ou volumes 
elementares, conforme o caso; 
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
−⋅
−⋅
−⋅
3
0
3
3
0
3
3
0
3
44
1
44
1
44
1
rπε
)zQ(z=
r
rQ
πε
=E
rπε
)yQ(y=
r
rQ
πε
=E
rπε
)xQ(x=
r
rQ
πε
=E
0
x
0
z
0
x
0
y
0
x
0
x
r
r
r
r
r
Q
πε
=E
0
rr
34
1
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 14 
 
Figura 1.3. Cálculo do campo 
eléctrico de um anel 
carregado 
b) Introduzir o conceito de distribuição linear (λ), superficial (σ) ou volumétrica (ρ) de carga. Ter 
em conta que no elemento de comprimento (dl), superfície (dS) ou volume (dV), está contida 
uma carga elementar dQ que se pode considerar pontual e para a qual se pode aplicar a lei de 
Coulomb: 
 dV=dQdS;=dQλdl;=dQ ρσ (3.6). 
c) Usando a definição de campo eléctrico (fórmula 3.2) e as expressões (3.6), escrever a expressão 
da intensidade elementar do campo eléctrico Ed
r
criado pela carga elementar dQ; 
d) Por fim, usando o princípio de sobreposição, somar ou integrar os campos elementares conforme 
se trate de uma distribuição discreta ou contínua de cargas. 
 
Exemplo 1: campo eléctrico de um segmento de recta carregado uniformemente. 
Uma barra fina, de comprimento L é carregada uniformemente com densidade linear λ. Calcular o campo eléctrico num 
ponto situado a uma distância x de uma das extremidades. 
Resolução: A lei de Coulomb é aplicável, somente, para cargas pontuais. Pode-se dividir a barra em pequenos elementos 
(infinitesimais) de comprimento dl, cuja carga é dq = λdl. Esses elementos são cargas pontuais para as quais se pode 
aplicar a lei de Coulomb e, seguidamente, achar-se o campo total pelo princípio de sobreposição, integrando ao longo do 
comprimento da barra. 
 
 
 Figura 1.2. Ilustração das condições do problema. 
 ( ) ( )2020 4
1
4
1
lx
dl
lx
dqdE +=+=
λ
πεπε 
 
( ) ( )Lxx
L
xLxlxlx
dlE
oo
L
o
L
o +
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−=+= ∫ πε λπελπελπελ 4114144
00
2 
 
 
Exemplo 2: campo eléctrico de um anel carregado uniformemente. 
Tem-se um anel de raio R, carregado com carga Q distribuída uniformemente com densidade λ. Achar a distribuição da 
intensidade do campo eléctrico ao longo do eixo horizontal que passa pelo centro do anel a uma distância x do seu 
centro. Por razões de simetria as componentes verticais de dE se anulam e restam só as componentes horizontais dEx . A 
densidade linear de distribuição da carga λ=Q/2πR. Como no caso anterior, divide-se 
o anel em elementos de carga de comprimento dl e carga dq=λ.dl. Calcula-se, 
seguidamente, o campo criado por cada elemento de comprimento no ponto desejado 
e integra-se pelo perímetro de todo o anel. 
 
 ( ) ( )
( ) ( ) 23220
2
02
322
0
2
322
0
2222
0
22
0
4
.
4
4
.
4
cos
4
1
xR
xQEdl
xR
xdEE
xR
xdl
xR
x
xR
dl
xR
dldE
R
x
x
+
=⇒
+
==
+
=+⋅+=⋅+=
∫∫ πελπε
πε
λ
πε
λαλπε
π
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§ 4. Linhas de força do campo eléctrico. Fluxo do vector intensidade do campo eléctrico 
Um campo vectorial pode ser representado graficamente com a ajuda de linhas de força do vector dado. 
Para o campo eléctrico, as linhas de força são aquelas para as quais o vector intensidade do campo 
eléctrico E
r
 é tangente em cada ponto. As linhas de força do campo eléctrico começam nas cargas 
positivas e terminam nas cargas negativas e podem vir do infinito ou sair para o infinito. Para o caso do 
campo eléctrico E
r
, as linhas de força nunca estão fechadas. Por outro lado, as linhas de força do 
mesmo campo eléctrico nunca se intersectam, uma vez que isso implicaria a existência de alguns valorespara o campo eléctrico nos tais pontos de intersecção, facto sem nenhum sentido físico. 
Na representação gráfica das linhas de força do campo eléctrico, una maior densidade das mesmas 
indica um maior valor de campo, enquanto que para o campo constante, as linhas de força são rectas 
paralelas. 
Lembremo-nos do conceito simples de fluxo de um vector através de uma superfície. Num campo 
homogéneo ( E
r
 = const.), o fluxo φ que passa pela superfície perpendicular So (veja a figura 1.2) é dado 
pela fórmula: 
 0SE=φ ⋅ (4.1) 
Para uma outra área S, inclinada num ângulo α em relação a S0 , teremos: 
 (4.2). 
O ângulo α, é o ângulo entre o vector campo eléctrico E
r
e o vector nr , normal externa à superfície S. 
 
Figura 1.4. Desenho explicativo do conceito de fluxo do vector campo eléctrico através de uma superfície. 
A expressão E.cosα é a projecção En do vector campo eléctrico E
r
na normal à superfície. Deste modo, 
 
 φ = En.S (4.3) 
 
αSE=SE=φ n cos0 ⋅⋅
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 Para o caso em que temos uma superfície de formato qualquer, escolhe-se nela uma superfície 
elementar dS muito pequena, que pode ser considerada plana (veja fig. 1.3) e escreve-se a expressão do 
fluxo elementar do vector E
r
através dela: 
 
 (4.4). 
O fluxo total através de toda a superfície será dado através da integração da expressão (4.4) por toda a 
superfície atravessada pelas linhas de força do campo, 
 
 (4.5) 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5. Fluxo através de uma superfície S, de formato qualquer. 
 
§ 5. Teorema de Gauss na forma diferencial e integral. 
Os exemplos mostrados no §3, embora simples e propositadamente escolhidos, dão uma indicação de 
que a determinação do campo eléctrico utilizando a lei de Coulomb e o princípio de sobreposição pode 
conduzir a cálculos volumosos e pesados e que nem sempre são possíveis sem recurso a técnicas muito 
avançadas de integração com uso de métodos numéricos. 
Nos casos em que se tem uma distribuição espacial simétrica de carga, a determinação do campo 
eléctrico pode se simplificar bastante com o uso do teorema de Gauss para a electrostática. 
 
Figura 1.4. Dedução do teorema de Gauss para a electrostática. 
∫∫ ⋅⋅
ss
n SdE=dSE=φ
rr
αdSE=d φ cos⋅
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Seja dω um elemento de ângulo sólido, a partir do vértice do qual se podem ver as superfícies 
elementares dS0 – esférica e dS - não esférica (no caso, plana). Devido ao facto de serem infinitamente 
pequenas, as superfícies elementares dS0 e dS podem-se considerar planas e o ângulo entre elas pode-se 
indicar pela letra α. Desenhemos um raio vector rr que sai do ponto de origem e passa pelo centro da 
superfície elementar dS. No ponto de intersecção do raio vector com a superfície, desenhemos uma 
normal externa nr . É claro que o ângulo 
 ^ ),( nr rv=α 
Uma vez que a área elementar, 
 ^
0 ),(coscos nrdSdSdS
rv== α (5.1) 
Podemos escrever a expressão para o ângulo sólido elementar: 
 22
cos.
r
αdS=
r
dS=d 0ω (5.2) 
Se colocarmos uma carga pontual Q no vértice, então poderemos calcular o fluxo elementar do vector 
campo eléctrico através de uma superfície qualquer aberta S, visível a partir do ponto onde se encontra a 
fonte, sob o ângulo sólido ω: 
 
00 πεε
Qd=
rπεε
)n,E(dSQ=dφ
44
cos
2
ωrr⋅ (5.3) 
Integrando por toda a superfície 
 ∫ ⋅
00 πεε
Q=
πεε
dQ=φ
44
ωω (5.4). 
Onde ω é o ângulo sólido total, sob o qual se vê a superfície S a partir do ponto onde se localiza a fonte. 
Se a superfície S envolver completamente a carga Q, então o ângulo sólido total do qual se vê esta 
superfície fechada é 4π. Assim, o fluxo do campo eléctrico criado pela carga Q através de uma superfície 
fechada que a envolve é dado por: 
 
000 4
4
4 εεπεε
πωπεεφ
QQdQ
S
=== ∫ (5.5) 
Se a superfície fechada contiver algumas cargas então o fluxo através dela será: 
 ∑Qεε= 0
1φ (5.6) 
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Exprimamos o teorema de Gauss na forma diferencial. Seja ΔV um volume elementar delimitado pela 
superfície fechada ΔS e que contém a carga ΔQ = ρ.dV. Para este elemento de volume, o fluxo 
elementar será: 
 ΔV
εε
=dSE=Δφ
0ΔS
n ρ1∫ ⋅ (5.7) 
Dividindo termo a termo por ΔV, obteremos: 
 ρϕ
0
ΔS
n
εε
=
ΔV
dSE
=
ΔV
Δ 1∫ (5.8) 
Passando para o caso limite, em que se comprime o volume ΔV até ser infinitamente pequeno, passando 
para um ponto: 
 ρϕ
0
ΔS
n
VV εε
=
ΔV
dSE
=
dV
d 1limlim
00
∫
→Δ→Δ
 (5.9) 
A expressão no meio é conhecida por divergência, uma operação diferencial e que exprime a potência 
de uma fonte de campo. 
 ρ
0εε
Ediv 1=r (5.10) 
Esta é a expressão do teorema de Gauss na sua forma diferencial e tem o significado físico de que o 
campo eléctrico tem origem nas cargas eléctricas. Para casos em que não temos nenhuma carga eléctrica 
dentro do volume escolhido, 
 0=Ediv
r
 (5.11) 
A partir da fórmula (5.9) podemos obter a expressão que também é conhecida por 2º teorema de Gauss: 
 
 ∫∫ =⋅
S
n
V
SdEdVEdiv
rrr
 (5.12) 
Esta fórmula permite transformar um integral pelo volume num integral pela superfície e vice e 
versa. Assim, o fluxo do campo eléctrico pode ser calculado através da integral pelo volume ou pela 
superfície que delimita esse mesmo volume. 
 
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Exemplo 3: Aplicação do teorema de Gauss no cálculo de campo eléctrico 
Usando a teorema de Gauss determine o campo eléctrico E a ema distância x de um fio infinito, carregado com uma 
densidade linear constante λ. 
 
Resolução: 
: 
 
 
 Figura 1.5 
A solução dos problemas aplicando o teorema de Gauss obedece aos seguintes passos: 
1. Identificar o tipo de simetria que se tem no problema (cilíndrica, esférica, etc…); 
2. Escolher uma superfície gaussiana com a mesma simetria que a do problema eque 
passe pelo ponto no qual se pretende calcular o campo eléctrico; 
3. Escrever o teorema de Gauss e obter a expressão do campo eléctrico. 
Eis, pois, a solução do problema: por questões de simetria, a superfície gaussiana analisada é 
um cilindro de raio x, cujo eixo de simetria coincide com o fio. O fluxo só passa pela superfície 
dos lados do cilindro. Aplicando o teorema de Gauss: 
 
o
hxhE εε
λπ =⋅2 ⇒ 
x
E
oπεε
λ
2
= 
 
Para comparação, vejamos como se resolve o mesmo problema usando a lei de Coulomb e o princípio de sobreposição. Para 
isso escolhamos elementos de comprimento dl , com carga dq e calculamos o campo que cada um deles cria num ponto a uma 
distância y. O resto é um problema de geometria e reduzem-se as variáveis de integração a partir da semelhança de triângulos: 
 
 
Figura 1.6. Fio infinito com carga. 
αλπεα cos4
1cos 2
0
⋅⋅==
r
dldEdEy 
Esta equação é difícil de integrar pois tem duas variáveis α 
e l. 
Usemos algumas semelhanças geométricas no problema para 
eliminar uma das variáveis. Devido à semelhança dos 
triângulos, podemos escrever: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⋅
α
αα
cos
cos
xr
rddl
x
drd
r
dEy
ααλ
πεα
λ
πε
cos.
4
1
4
1
0
2
0
=⋅= 
 
Integra-se para α variando de 0 até π/2 (infinito), multiplicando por 2 por causa da simetria do problema. 
x
Esen
x
d
x
E
00
2
00 224
2.cos2
4 πε
λππε
λααπε
λ π =⇒⋅=⋅= ∫ 
 
 
§ 6. Dieléctricos num campo electrostático. Vector indução eléctrica. 
Até agora temos estado a analisar o campo eléctrico num meio dieléctrico homogéneo e não limitado. 
Como exemplo particular de tal dieléctrico podemos considerar o vácuo, que é caracterizado pela 
permeabilidade dieléctrica ε = 1. 
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Quando a região onde se encontra um campo eléctrico estiver preenchida por um dieléctrico homogéneo 
( const=ε ), então no denominador da fórmula para o cálculo do campo aparece a constante 1>ε , isto 
é, o campo e as linhas de força enfraquecem em ε vezes em relação aos respectivos valores no vácuo. 
Nos casos reais, temos vários dieléctricos com limites e fronteiras e as anomalias que isso traz ao campo 
são muito difíceis de analisar. 
Na teoria analisam-se dieléctricos ideais, cujas cargas estão ligadas às moléculas (cargas ligadas). Por 
outras palavras, não se analisam os campos cujas intensidades são tão fortes que podem retirar electrões 
das moléculas. Assume-se que as cargas ligadas, nas moléculas, podem se deslocar apenas um pouco da 
sua posição normal. A condutibilidade eléctrica dos dieléctricos ideais é igual a zero. 
Ao se electrizar um dieléctrico, (por exemplo através da fricção) pode-se transmitir uma quantidade 
limitada de cargas livres superficiais. Contrariamente ao caso dos metais, em que a carga superficial 
pode ser retirada através da ligação de um ponto qualquer à terra, para se conseguir o mesmo efeito nos 
dieléctricos, teriam que se ligar todos os pontos da superfície que recebe carga à terra. Não existe, neste 
caso, o conceito de cargas livres distribuídas pelo volume. 
Sob a acção do campo eléctrico ocorre a polarização do dieléctrico. No caso da Física geral 
consideram-se dois mecanismos de polarização (electrónica e por orientação). 
Na polarização electrónica pressupõe-se a existência de moléculas não - polares, nas quais as cargas 
negativas ou positivas estão dispostas simetricamente em relação ao centro de cargas. Sob acção do 
campo ocorre uma reorganização das cargas dentro das moléculas (i.e., polarizam-se) e podem ser vistas 
como dipolos. O momento dos dipolos moleculares 
 
 (6.1), 
onde l
r
 é o vector que sai do centro da carga negativa ao centro da carga positiva. 
O momento do dipolo induzido é proporcional ao campo: 
 
 (6.2). 
onde β é a polarizabilidade da molécula, que caracteriza o grau da molécula se reorientar sob acção de 
um campo externo. A polarização de um dieléctrico caracteriza-se pelo vector polarização que é a 
soma algébrica dos momentos dipolares moleculares por unidade de volume. 
 ∑
=
=++++=
N
i
iN pppppP
1
321 ...
rrrrrr
 (6.3) 
lq=p
rr
Eβε=p
rr
0
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aqui, N é número de dipolos moleculares por unidade de volume. Num campo homogéneo, pode-se 
considerar que todas as moléculas de uma substância homogénea estão polarizadas da mesma forma. 
 EENpNP
rrrr
00 αεβε === (6.4) 
O coeficiente 
 βα N= (6.9), 
chama-se susceptibilidade dieléctrica. Exemplos de dieléctricos com moléculas não polares são os 
gases: H2, N2, CO2, CH4, os líquidos toluol, exano, benzeno e alguns cristais sólidos: naftalina, enxofre, 
etc. 
O segundo mecanismo de polarização por orientação, acontece nos dieléctricos cujas moléculas na 
ausência do campo têm as cargas de sinais diferentes dispostas sob forma de um dipolo. Quando o 
campo externo for nulo, E = 0, os momentos dipolares estão orientados çãoticamente e o vector 
polarização 
 0=P
r
 (6.10) 
Quando há um campo externo, P
r
 é diferente de zero e pode-se descrever pela fórmula: 
 EP
rr
0αε= (6.11) 
São exemplos de substâncias com moléculas polares os seguintes: gases: H2S, SO2, NH3; líquidos: água, 
nitrobenzol, éter; cristais dipolares: HCl, HBr, etc. 
A polarização do dieléctrico ocorre sob acção de um campo inicial, e é devida à redistribuição das 
cargas ligadas contidas nele. O campo resultante é a soma do campo externo e do campo do dieléctrico 
polarizado. 
Macroscopicamente, as cargas ligadas têm uma densidade volumétrica ρlig. Para além disso, na 
superfície do dieléctrico surgem cargas ligadas superficiais com densidade σlig. O campo das cargas 
ligadas obedece à lei de Gauss. 
 
0
lig
lig εε
ρ
=E div
r
 (6.12) 
Para o campo total: 
 ( )ligEdiv ρρεε += 0
1r
 (6.13), 
Ou, na forma integral: 
 dVr
E lig∫ += 3
00 4
1
πεε
ρρ
εε
r
 (6.14) 
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A resolução de problemas em electrostática simplifica-se muito quando se introduz uma grandeza 
auxiliar chamada vector indução eléctrica D
r
 que se distingue pelo facto de na sua origem se 
considerarem apenas as cargas eléctrica livres. Para o vector D
r
 é valido o teorema de Gauss.(6.15) 
que faz parte do sistema de equações de Maxwell. Existe também o conceito de fluxo de indução 
dSD
S
nD ∫=φ e o teorema de Gauss na forma integral para o vector indução escreve-se assim: 
 ∫ ∑∫ ===
VS
nD QdVdSD ρφ (6.16), 
onde ∑ Q é a soma algébrica das cargas livres no volume V delimitado pela superfície S. Para um 
dieléctrico homogéneo, (ε = const. ) pode-se escrever: 
 EDEdiv
rrr
00 εερεε =⇒= (6.17), 
no sistema SI as unidades do vector indução [ ] 2m
C
m
Volt
m
FD =⋅= , coincidem com as unidades da 
densidade superficial da carga. Um exemplo seria o cálculo do campo num condensador com diferentes 
camadas de dieléctricos com constantes ε1 = 2, ε2 = 4 e ε3 = 1, como mostrado na figura 1.7 abaixo. O 
vector indução do campo num condensador plano σ=D é valido para todas as camadas. Assim, 
0
3
0
2
0
1 ;4
;
2 εεε
DEeDEDE ===
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.7. Exemplo que mostra a relação entre E e D. 
§ 7. Carácter potencial do campo electrostático 
O campo electrostático tem energia, com a qual pode realizar trabalho por exemplo ao transportar cargas 
e corpos com carga. Calculemos o trabalho realizado pelo campo de uma carga pontual Q ao transportar 
uma carga q, ao longo de um deslocamento elementar ld
r
. 
 (7.1). 
ρ=D div
r
ldEq=ldf=dA
rrrr ⋅
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Figura 1.8. Trabalho realizado pelo 
campo eléctrico. 
Aqui Eqf
rr = é a força que actua sobre a carga q e E
r
 é a intensidade do campo no ponto com raio 
vector r
r
 
 rdr
QqldfdA r
rr
2
04πεε=⋅= (7.2). 
 Aqui utilizamos a igualdade 
 ( ) rdr=ldrrdl ^cos r 
onde dr é um elemento de linha de força. O trabalho total: 
 
 (7.3). 
Daqui vê-se que o trabalho para deslocar uma carga num campo 
eléctrico não depende da forma da trajectória mas sim das posições 
inicial e final. Os campos com esta característica chamam-se campos potenciais. É claro que o integral 
linear 
 ∫∫ = 2
1
2
1
ldEldE l
rrrr
 (7.4) 
é o trabalho para movimentar uma carga unitária q = 1 do ponto 1 para o ponto 2 e o integral de linha 
∫2
1
ldE
rr
 não depende da forma da trajectória de integração, ou seja, na electrostática verifica-se a 
igualdade 
 ∫∫ = 2
142
2
132
ldEldE
rrrr
 (7.5). 
 
 
 
 
 
 Figura 1.9. Ilustração do sentido de contorno para o integral de linha. 
Analisemos o integral numa linha fechada 13241, mudando de sentido 142, como mostrado na figura, 
 
 (7.6). 
 
∫∫∫ − 2
241
2
142
2
132
ldE=ldE=ldE
rrrrrr
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∫∫
21
2
11
4
1
44 rrπεε
qQ=
rπεε
qQ=
r
dr
πεε
qQ=ldEq=A
0
r2
r10
r2
r1
r2
r1 0
rr
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Donde segue que 
 0
2
13241
2
241
2
132
===+ ∫∫∫∫
L
ldEldEldEldE
rrrrrrrr
 (7.7) 
O integral por uma linha curva fechada chama-se circulação e tem o sentido físico de trabalho do 
deslocamento de uma carga unitária por um circuito fechado. Campos cuja circulação é igual a zero 
chamam-se potenciais. 
Usando o teorema de Stokes, conhecido da análise vectorial, segundo o qual “a circulação de um 
vector por uma linha fechada qualquer L, é igual ao fluxo do rotacionário deste vector através de uma 
superfície S delimitada pela linha fechada L”, podemos escrever: 
 ∫∫
S
n
L
SdErot=ldE
rrrr
 (7.8) 
 Para que o campo E
r
 seja potencial, então 
 rot E
r
 = 0 (7.9) 
 
§ 8. Potencial do campo electrostático num meio homogéneo 
O trabalho do campo electrostático pode, também, ser determinado pela variação de uma grandeza 
energética que caracteriza o campo em cada ponto – o potencial eléctrico. 
Se colocarmos uma carga de prova q num campo de uma carga positiva Q, então aquela irá se afastar no 
sentido de diminuição do campo eléctrico, isto é, para o infinito. Neste caso o campo realiza trabalho 
∞A que conduz ao aumento da energia cinética da carga de prova. O potencial do campo no ponto onde 
começou o movimento 
 q
A∞=ϕ (8.1). 
 Assim o potencial do campo num ponto dado é numericamente igual ao trabalho realizado pelo campo 
para empurrar uma carga unitária positiva desde esse ponto até o infinito. Também se pode dizer que 
 
 (8.2) 
O potencial do campo num ponto é numericamente igual ao trabalho das forças externas contra o campo, 
para deslocar uma carga unitária positiva do infinito ao ponto dado. O potencial do campo num ponto é 
igual à energia potencial de uma carga unitária positiva colocada nesse ponto. Uma carga q num ponto 
q
W=ϕ
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com potencial φ, tem energia potencial W = q.φ. Assim, o trabalho para deslocar uma carga q de um 
sítio com potencial φ1 para outro com potencial φ2 é dado por: 
 ( ) ( )122121 WW Wq=Wq=WW=A −−−− (8.3). 
A unidade do potencial é o volt. 
 
§9. Potencial de um campo de cargas pontuais, lineares, superficiais e volumétricas num meio 
homogéneo. 
A fórmula para a determinação do potencial do campo de uma carga pontual a uma distância r da carga 
obtém-se da fórmula do trabalho do campo para deslocar uma carga q do ponto r1 ao ponto r2. 
Colocando r1 = r e r2 = ∞ podemos calcular o trabalho: 
 ∫∞∞ ==
r r
QqfdrA
04πεε (9.1) 
Donde se pode obter o potencial 
 r
Q
q
A
04πεεϕ ==
∞
 (9.2) 
O princípio de sobreposição dos campos é válido também para o potencial, isto é, o potencial de um 
sistema de cargas pontuais é igual à soma algébrica dos potenciais das diferentes cargas: 
 Nϕϕϕϕϕ ++++= ...321 (9.3) 
Este princípio é valido para outras distribuições de carga (volumétrica, superficial, ou linear). Para cada 
caso, teremos:(9.4) 
 
 
 
§ 10. Gradiente do potencial e sua ligação com a intensidade do campo 
O gradiente do potencial é o vector virado no sentido do maior aumento do potencial e é numericamente 
igual à variação do potencial por unidade de comprimento. Lembremos que o trabalho para deslocar 
uma carga do ponto A1 (x,y,z) ao ponto infinitamente perto A2(x+dx, y+dx, z+dz) será igual à diferença 
de potencial destes pontos: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ldEAAAA rr=−−=− 1221 ϕϕϕϕ . Assim, 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
rπεε
λdl=
rπεε
dQ=d
rπεε
δdS=
rπεε
dQ=d
rπεε
ρdV=
rπεε
dQ=d
00
00
00
44
44
44
ϕ
ϕ
ϕ
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 26 
 
 ϕdldE −=
rr
 (10.1), 
onde dφ é o diferencial completo da função φ(x,y,z). O sinal negativo significa que o campo desloca a 
carga positiva no sentido da diminuição do potencial. Reescrevamos a equação anterior da seguinte 
maneira. 
 ldgraddzz
dy
y
dx
x
ldE
vrr ⋅−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−= ϕϕϕϕ (10.2), 
Onde a expressão para o gradiente é: 
 z
k
y
j
x
igrad ∂
∂+∂
∂+∂
∂= ϕϕϕϕ rrr (10.3) 
daqui, segue que 
 ϕgradE −=
r
 (10.4). 
Ou seja, desdobrando para cada componente do vector E: 
 
222
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂−=
zyx
E
z
E
y
E
x
E
z
y
x
ϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
 (10.5) 
 
§ 11. Campo eléctrico de um dipolo 
Conhecemos já o cenceito de dipolo eléctrico - um sistema constituído por duas cargas pontuais de 
sinais diferentes e igual valor, colocados a uma distância curta uma da outra. Este modelo é útil porque, 
em muitos casos, as moléculas podem ser analisadas como dipolos eléctricos. A característica 
fundamental do dipolo é o momento dipolar q onde o vector está dirigido da carga negativa 
à negativa. O momento dipolar eléctrico determina tanto o campo eléctrico próprio do dipolo como a 
magnitude das forças externas que actuam sobre o dipolo. Sobre a cargas +q e -q num campo 
homogéneo, actuam as forças 
=→p →l. →l
Eqff
rrr == 21 que formam um par de forças. O momento de rotação do 
par de forças será: 
 (11.1) 
na forma vectorial escreve-se 
 (11.2) 
)^(....... EpsenEpsenlEqsenlfK
rr=== θθ
ExpK
rrr =
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 27 
 
 
 
 
 
 
 
 a) b) 
Figura 1.10. Forças que agem sobre um dipolo num campo homogéneo (a) e não homogéneo (b). 
. 
Quando o dipolo está num campo não homogénio (figura 1.10 b) para além do momento rotacional actua 
ainda a resultante das duas forças, diferentes aplicadas nas extremidades (pólos) do dipolo. A não-
homogeneidade do campo caracteriza-se pela derivada do campo em relação às coordenadas, e o campo 
aumenta rapadimente ao longo do eixo z, então 
z
E
∂
∂ será o seu gradiente. A partir da figura, e 
introduzindo os ponto z, (z + zΔ ) e (z - zΔ ), podemos escrever que: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
Δ∂
∂−=Δ−
Δ∂
∂+=Δ+
z
z
EzEzzE
z
z
EzEzzE
)()(
)()(
 (11.3) 
e a força procurada: 
 ( ) ( ) z
z
EqzzEqzzEqfff Δ∂
∂=Δ−−Δ+=−= 221
rrrrr
 (11.4) 
Tendo em conta a igualidade θcos.2 l=Δz , a força de equilíbrio pode ser reescrita como: 
 
 (11.5) 
O sentido desta força depende do sinal de cosθ e, portanto, do ângulo θ: Parav 2
πθ < a força é colinear 
ao campo e o dipolo de certa maneira “ estica-se” no sentido do aumento do campo. Para 2
πθ > o 
dipolo é empurado para as zonas com menor 
→
E . Este último fenómeno não se observa normalmente, 
uma vez que, devido à acção simultânea do momento de rotação, o dipolo orienta-se ao longo de vector 
intensidade de campo (já que quando 10 cos =⇒= θθ ). 
θθ cos.cos
z
Ep
z
Eqf ∂
∂=∂
∂= rlrr
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 28 
 
2
0
2
0 4
cos
4
cos
r
p
r
q
πεε
θ
πεε
θϕ == l
r
gradp
r
gradp
r
rp
aq
1
4
1
44
.
00
3
0 πεεπεεπεεϕ
→→→→
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
( ) ( ) ( ) 3
11
r
xx
xrx
o−=⎟⎜⎜∂
∂=⎟⎞⎜⎛∂
∂
222 zzyyxx ooooo
⎟⎠
⎞
⎝
⎛
++−+−⎠⎝
Encontremos, então, o campo do dipolo usando o método sugerido no §10, isto é, calculando primeiro 
o potencial e a partir dele, a intensidade do campo. A partir da fig. 
1.11, podemos entender o significado dos símbolos usados. 
O potencial o campo resultante em A pode ser visto como a soma 
algébrica dos potenciais criadas pelas cargas +q e –q separadamente: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
+−
−−
°−+°−°+° rr
rrq
rr
q
r
q
r
q
πεεπεεπεεπεεϕ 4
11
444
 (11.6). 
 Figura 1.11. 
Limitemo-nos a analisar apenas o caso para o qual r >> l (este caso é muito comum na análise do campo 
de dipolos moleculares) assim, ; 2rrr ≈−°+ θcosl=− +− rr e pode-se considerar que θθθ ≈≈ 21 . 
 
 (11.7) 
 
Na forma vectorial, pode-se obter esta fórmula multiplicando o numerador e denominado por rr : 
 
 (11.8) 
 
por fim, tendo em conta que →
→
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
3
11
r
r
r
grad
r
grad aq podemos reescrever a expressão (11.8). 
 
 (11.9) 
 
Demonstremos esta igualdade vectorial: diferenciando, podemos verificar que o gradiente no ponto 
onde está a carga é: 
2
11
rr
gradq =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ; i.e 
222
2
11111 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
rzoryrxrr
grad
o
q
o
 (11.10) 
De seguida, diferenciemos; 
 
 (11.11) 
 
3
0
3
0 4
.
4
cos.
r
rp
r
rp
πεεπεε
θϕ
→→
==
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 29 
 
32
111
r
r
r
r
rr
r
r
grad
r
grad qq
→→→
==⎟⎠⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Tomando os quadrados das derivadas parciais ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
3
2
3 , r
yy
r
xx oo e 
2
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
r
zz o , encontramos a expressão 
procurada. O vector gradq tem o mesmo sentido que o vector 
→
r ; calcular a derivada pelas coordenadas 
do ponto onde se encontra a fonte, significa que o mesmo se desloca. Daí fica claro que a grandeza 
r
1 
cresce mais rápido quando r decresce mais rápido. Isso ocorre quando nos deslocamos ao longo e 
→
r . 
Por isso: 
 (11.12) 
 
A fórmula (11.7) encontrada para a expressão do potencial como função das coordenadas polares r e θ
, significa que, de facto, nós introduzimos, implicitamente, um sistema de coordenadas esféricas, 
colocando o início das coordenadas no centro do dipolo e o eixo polar dirigido ao longo de (fig. 
1.11). O potencial do campo, φ, não depende de ângulo azimutal uma vez que o campo do dipolo tem 
simetria axial. O eixo de simetria é o eixo do dipolo. Definamos os componentes da intensidade: 
→
p
 
0
4
cos111
44
cos111
2
cos.
4
cos.1
2
03
3
0
2
02
3
0
2
01
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂=∂
∂=−=∂
∂−=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−=∂
∂−=∂
∂−=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂=∂
∂−=∂
∂−=
r
p
rsenrsenh
E
r
psen
r
p
rrh
E
r
p
r
p
rrrh
Er
πεε
θ
ψθψ
ϕ
θψ
ϕψ
πεε
θ
πεε
θ
θθ
ϕ
θ
ϕ
πεε
θ
πεε
θϕϕ
θ (11.13) 
Aqui, ψ é a coordenada azimutal e h1, h2, h3, os coeficientes de Lamé no sistema de coordenadas 
esféricas. Daqui pode-se obter o módulo do campo: 
( ) θπεεθθπεεπεε θθψθ 2302230230
2222
222 cos31
4
cos4
44
cos4 +=+=+=++=
r
psen
r
p
r
senppEEEE r
 (11.14) 
O ângulo β entre →E e →r , define-se a partir das fórmulas (11.13): 
 tg θβ tg
E
E
r
O
2
1== 
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3
0
1 2 r
pE πεε=
Às vezes, em casos notáveis, analisam –se as posições gaussianas (pontos situados ao longo do eixo 
do dipolo e pontos ao longo da sua perpendicular, saindo do centro do dipolo, também chamado de 
plano equatorial) θ = 0 ou θ = π. Nesse caso . No segundo caso, ⇒= 2
πθ 3
0
2 4 r
pE πεε= 
§ 12. Campo eléctrico de um corpo polarizado 
Usemos os resultados obtidos anteriormente para analisar o fenómeno de polarização dos diélectricos, 
tendo em conta os processos atómico-moleculares na base da polarização. Como já foi dito, a 
polarização dos dieléctricos acontece sob a acção de um campo primário cujo potencial podemos 
escrever como sendo: 
 (12.1) 
 E, correspondentemente, 
 
 (12.2) 
O potencial do campo no dieléctrico, pode ser visto como a soma dos potenciais dos dipolos atómicos 
moleculares dipϕ∑ . Sabemos que o potencial do dipodo molecular 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛===
→→→
r
grad
e
p
re
rp
re
p
q
ooo
dip
1
44
.
4
cos
32 πππ
θϕ . 
Nestas fórmulas retirou-se o permeabilidade dieléctica ε uma vez que ela só aparece como resultado da 
análise fenomenológica da polarização. Neste caso ela será tida em conta através da introdução do 
potencial dipϕϕ ∑=´ 
 dipo ϕϕϕ ∑+= (12.3) 
Calculemos a expressão geral para o potencial do campo de um corpo polarizado, com volume V, no 
ponto de observação A (fig 1.12). 
 
 
 
 
 
 Figura 1.12. Cálculo do potencial de um corpo polarizado. 
´ϕϕϕ += o
´
→→→ += EEE O
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O volume elementar escolhido dV pode ser visto como um dipolo com momento dipolar que cria, 
no ponto de observação, um campo com potencial dφ´ que se pode determinar como: 
dVP
→
 
 (12.4) 
 
O potencial do campo de todo o corpo obtém –se através da integração por todo o volume: 
 
 (12.5) 
e o potencial total:…. 
 
 (12.6) 
Agora transformemos a expressão sob o sinal de integral de acordo com as fórmulas da análise 
vectorial: 
 
 
donde segue que (12.7). 
 
Logo: 
 
 
 
Assim, a expressão (12.6) terá a seguinte forma: 
 
 
 (12.8) 
 
 
Usando o teorema de Gauss podemos transformar o primeiro integral da direita: 
 
 
 (12.9) 
 
 
Assim: 
 
 (12.10) 
 
Onde Pn é a projecção do vector polarização na normal à superficie do corpo dieléctico e S, a sua 
superficie. Revisitando as fórmulas (9.4) que expressam o princípio de sobreposição para o potencial 
2
0 4
cos1
4
´
r
PdV
r
graddVPd
o
q πε
θ
πεϕ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
→
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛= V q dVrgrad
P 1
4
´
0πεϕ
v
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+= V q dVrgrad
P 1
4 0
0 πεϕϕ
v
ψψψ gradaadivadiv →→→ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ .
→→→ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= adivadivgrada ψψψ .
→→→ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Pdiv
r
P
r
div
r
gradP q
111.
dV
r
PdivdV
r
PdivdV
r
gradP
oo
q
o πεπεπεϕ ννν 44
1
4
´
→→→
∫−⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∫=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∫=
dS
r
PdV
r
Pdiv
o
n
So πεπεν 44 ∫=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∫
→
∫∫ −= V
o
n
S
dV
r
PdivdS
r
P
044
´ πεπεϕ
v
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Figura 1.13. Visualização do conceito de 
cargas ligadas. 
eléctrico, vemos que a componente normal do vector polarização Pn tem o sentido físico de densidade 
superficial das cargas ligadas σlig e tem o sentido de densidade volumétrica ρlig destas mesmas 
cargas . 
→
Pdiv
 (12.11) 
 
Ficou demonstrado um dos teoremas fundamentais da eletrostática: o campo de um dieléctrico 
polarizado define-se pela distribuição das suas cargas ligadas superficiais e volumétricas (12.12). 
 
 (12.12) 
 
 
Todas as outras cargas anteriormente analisadas, são cargas livres. Se o campo primário φ0 for devido a 
estas cargas livres, então:(12.13) 
 
E o potencial do campo resultante será obtido da seguinte maneira: 
 
 (12.14) 
As cargas ligadas são sempre tratadas por cargas reais, uma vez que a sua presença não muda a carga 
total do corpo polarizado. 
 
§ 13. Cargas ligadas volumétricas e superficiais: relação entre os vectores E, D e P. 
Para explicar melhor a fórmula (12.11) do parágrafo anterior, analisemos o campo homogéneo entre as 
placas de um condesador plano. Nas suas placas há cargas 
livres cujas densidades superficiais são +σ e -σ 
respectivamente. Sob a acção do campo destas cargas o 
dieléctrico entre as placas do condesador polariza-se. 
Consideremos o dielétrico homogéneo com volume V, 
espessura L e os seus lados paralelos às placas e com a mesma 
superfície S. Sejam oϕ e 
→
E o potencial e o campo prim io ár
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
→
lig
lign
Pdiv
P
ρ
σ
∫∫ +=
V o
lig
S o
lig dV
r
ds
r πε
ρ
πε
σϕ
44
´
∫∫ +=
V oS o
dV
r
ds
r πε
ρ
πε
σϕ
440
∫ +++∫=+=
S o
lig
o
lig
o dSr
dV
r πε
σσ
πε
ρρϕϕϕ
ν 44
´
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Figura 1.14. Visualização do conceito de 
cargas ligadas. 
em qualquer ponto, i.e.,o campo que existe no vácuo. 
Quando o dieléctrico se polariza, irão surgir cargas ligadas nos seus lados: cargas ligadas negativas do 
lado de placa positiva e cargas ligadas positivas do lado da placa negativa. Assim, nos dieléctricos 
surgem cargas ligadas com densidades ligσ+ e ligσ− , que criam um campo adicional no 
dieléctrico, contrário ao campo primário. 
´´,ϕ→E
´
0´, EEEo
rrr +=+= ϕϕϕ no nosso caso ´EEE o
vvv −= . 
O produto é o momento dipolar eléctrico do dieléctrico, uma vez que VP
→ →
P (polarização ) é a soma dos 
momentos dipolares por unidade de volume. 
 (13.1) 
como , então l.sV =
 eigP σ= (13.2) 
Neste caso P = Pn e assim eignP σ= . 
eigσ− eigσ+ Olhando para um caso mais geral, imaginemos que num 
campo homogéneo se colocou um corpo do mesmo 
dieléctrico que no caso anterior, com área dos lados S e S´, 
tal que 
 ),´cos( nPSS r
r= 
As cargas ligadas em ambas as faces são numericamente 
iguais: 
 e ´.. ´ SS eigeig σσ = ),cos(´
´
nP
S
S
eig
eig rr==σ
σ
 
),cos(.´ nPeigeig
rrσσ = . Uma vez que, ,Peig =σ de acordo com (13.2) então, para o caso mais geral, 
 
 (13.3) 
A outra equação nas fórmulas (12.11) é div . Ela pode ser reescrita como: .eigP ρ−=
→
 
 
E 
l..SVP eigσ=
→
neig PnPP == ),(cos´σ
→→
∧
αεαεεα gradEEdivEdivPdiv ooo ..
r+== →→→
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o que significa que a div podem ser diferentes de zero se o dieléctrico não fôr 
homogéneo (isto é, gradα ≠ 0) ou quando divE≠0. Este facto significa que existem cargas livres (que 
não estão sendo analisadas). Assim, as cargas ligadas volumétricas só aparecem em dieléctricos não 
homogéneos. Como falamos antes, o fenómeno da polarização pode ser visto de duas maneiras, na 
equação diferencial de 
eigePdiv ρ
→
→
E . 
Primeira: através da introdução formal, na fórmula de divergência da permeabilidade relativa ε e 
considerando apenas as cargas livres: 
 
o
Ediv εε
ρ=→ . 
Segunda: através da introdução da densidade volumétrica das cargas ligadas na expressão: 
 
 
Colocando nesta última expressão as fórmulas para e 
→
D
→
P chegamos à equação principal que liga os 
vectores 
→
E (campo eléctrico), (indução eléctrica) e 
→
D
→
P (polarização). 
 
 (13.4) 
Ou seja: 
 , o que implica que 
→→→ −= PDEoε
 (13.5) 
→→→ += PED oε
Tendo em conta que , podemos recrescer a fórmula: 
→→ = EeP oα
 
 
Comparando a fórmula (13.5) com a fórmula podemos encontrar a ligação entre a 
permeabilidade dielétrica 
→→ = ED oεε
ε e a sua suscaptibilidade: 
 αε +=1 (13.6) 
 
o
eigEdiv ε
ρρ +=→
→→→ −= PdivDdivEdiv oε
→→→→ +=+= EEED ooo )1( αεαεε
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Figura 1.15. 
§ 14. Condutores num campo eletrostático 
Na electrodinâmica macroscópica, analisam-se modelos idealizados: condutores e dieléctricos. Os 
condutores caracterizam-se pela existência, neles, de cargas livres que, sob a acção do campo, 
movem-se dentro desses corpos sem limites. Nos metais sólidos e líquidos as cargas livres são os 
electrões de condução ou de valência. 
Na teoria fenomenológica os processos que se verificam nos condutores sob a acção do campo podem 
ser explicados com sucesso admitindo a mobilidade das cagas tanto do mesmo sinal como de sinais 
diferentes. 
 Sob a acção do campo, as cargas redistribuem -se (indução 
eléctrica) de acordo com o esquema mostrado na fig. 1.15. 
O campo das cargas móveis está representado a tracejado 
no desenho. Dentro do condutor o campo primário é 
compensado até zero uma vez que o movimento das cargas 
continua que o campo resultante se anule. Daqui segue que 
dentro do condutor não pode existir campo electrostático 
(macroscópico). 
No caso da indução eléctrica, devido à distribuição das cargas 
existentes ocorre uma deformação do campo mesmo fora do condutor. As linhas de força do cmpo 
resultante estão dispostas ao longo da normal à superficié do condutor. Se o vector intensidade fosse 
orientado sob uma certa inclinação, então a sua componente tangencial levaria ao movimento de cargas 
na superficie. 
O estado de equilibrio na superficie só será possível quando E = En , i.e, o campo eléctrico é igual à 
sua componente normal. 
Sabe-se que (de exercícios da electrostática). 
o
nEE εε
σ== 
O equilibrio das cargas na superficie só é possível quando o campo resultante, em todos os pontos desta 
superfície, tiver o mesmo potencial, ou por outras palavras, a superfície de um condutor num campo 
electrostático é uma superfície equipotencial .const=ϕ . Uma vez que dentro do campo , então 0=→E
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 36 
 
para quaisquer dois pontos seus, i.e, todos os pontos no condutor têm o mesmo 
potencial (dentro do condutor ou na sua superfície) que é o potencial do condutor. 
∫ ==− 2
1
21 0. ldE
vvϕϕ
 
§ 15. Energia de interacção de cargas eléctricas 
A introdução do conceito de potencial facilita a análise do lado energético da interacção das cargas 
entre si e com o campo. Sejam q1 , e q2 duas cargas pontuais de mesmo sinal situados a uma distância 
r uma da outra num meio dieléctrico homogéneo (veja a fig.1.16). Representamos por 12ϕ e 21ϕ os 
potenciais nos pontos M1 e M2 respectivamente,nos quais estão localizadas as cargas. Aqui tenhamos 
em conta que 12ϕ é o potencial do campo criado pela carga q2 num ponto M, onde está localizada a 
carga q1 , e vice-versa . 
 
 
 
 
 
 Figura 1.16. Energia de interacção de duas cargas eléctricas. 
Movendo a carga q2 do inifinito para o ponto M2, as forças externas realizam o trabalho: 
 W
r
qqqA
o
===∞− πεεϕ 4
12
212 
(Neste caso a carga q, considera-se fixa). Este trabalho determina a energia potencial da carga q2 no 
ponto M2 . a grandeza +A∞ pode ser vista como o trabalho do campo de carga q1 para empurar a carga 
q2 para o infinito. Da mesma maneira podemos encontrar a energia potencial de carga q1 no ponto M1: 
 W
r
qqqA
o
===∞− πεεϕ 4
21
21 
Convém falar, logicamente, da energia de interacção das duas cargas e, por isso a expressão para W 
escreve-se de forma simétrica: 
 ( 212212
1 ϕϕ qqW += ) (15.1). 
Para um sistema de três cargas pontuais q1, q2 e q3 a energia pode ser determinada escrevendo a 
energia de interacção para cada par de cargas: 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 37 
 
 
( )
( )
( )3232323
3131312
2121211
2
1
2
1
2
1
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
qqW
qqW
qqW
=
+=
+=
 (15.2) 
Somando estas equações, obteremos: 
 ( ) ( ) ([ ]3231323212131212
1 ϕϕϕϕϕϕ ++++= qqq )W (15.3) 
Introduzindo a notação 13121 ϕϕϕ += e etc, teremos para três cargas: 
kk
K
qW ϕ∑
=
=
3
12
1 e para n cargas, 
 kk
n
K
qW (15.4) ϕ∑
=
=
12
1
De uma maneira geral, para uma distribuição qualquer de carga, divide-se toda a carga numa soma de 
cargas volumétricas elementares dVρ e cargas elementares superficiais dSσ e passa-se da soma à 
integração: 
 dSdVW (15.5) 
SV
σϕρϕ ∫+∫=
2
1
2
1
Onde ϕ é o potencial de todas as cargas volumétricas e superficiais no elemento de volume dV ou no 
elemento de superfície dS. 
 
§ 16. Energia potencial da carga um campo eléctrico externo. Energia do campo eletrostático 
A expressão (15.4) permite determinar a energia de um sistema de cargas pontuais num campo eléctrico 
externo. Se considerarmos que o nosso zero de pontencial é o potencial no inifinito, podemos exprimir 
esta energia potencial através do trabalho do campo para a movimentação das cargas dos respectivos 
pontos de localização até ao infinito. Assim a energia das cargas q1, q2, ...qn no campo externo com 
potencial ),,( zyxϕ será: 
 W (16.1) (∑
=
=
n
i
iiii qzyx
1
.,,ϕ )
Onde xi, yi, zi são coordenadas do ponto, no qual se localiza a carga qi . É possível expressar a energia 
doutra maneira, na qual entre de forma explícita o volume do espaço ocupado pelo campo. Para isso, 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 38 
 
resolvemos um problema auxiliar: encontremos a energia de um condutor fino e isolado, com carga, com 
um potencial φ0, num campo homogéneo. 
A energia eléctrica do condutor será igual ao trabalho, contra as forças eléctricas de repulsão, realizado 
quando se acrescentam sucessivamente cargas elementares dq ao condutor. O transporte de cada carga 
dq a partir do infinito (onde 0=ϕ ) até ao condutor, está relacionada com o trabalho pela expressão: 
 dqA ϕ∫=−
Reescrevamos esta expressão tendo em conta a ligação entre o potencial 1ϕ , a carga q e a capacidade 
C do condutor: q= ϕ.C ; dq = Cdϕ : 
 W
C
qqCdCA oo
o
o ====∫=−
222
22 ϕϕϕϕ
ϕ
 (16.2) 
Analisando o processo análogo de carga de um condesador plano, como um processo de transporte de 
cargas elementares de uma placa para outra, podemos obter a energia de um condesador carregado: 
 ( ) ( )
22
1 21
21
ϕϕϕϕ −=−= QQQW (16.3) 
Se tivermos em conta a expressão para a capacidade de um condesador plano: 
 
21 ϕϕ
εε
−==
QCeSC ol 
bem como a ligação entre a diferença do potencial e a intensidade do campo eléctrico l.21 E=−ϕϕ , 
teremos 
( ) ll
l SESECW oo
222
2222
21 εεεεϕϕ ==−= 
Lembramos que volume do espaço onde temos campo: VS =l.
 VEW o
2
2εε= (16.4) 
O aparecimento do volume na fórmula para a energia de interação das cargas eléctricas tem um grande 
significado físico: a energia eléctrica está localizada no espaço ocupado pelo campo. Isto demonstra-se 
experimentalmente usando campos variáveis. Por causa disso, podemos introduzir o conceito de 
densidade volumétrica da energia w: 
 
dV
dWw = (16.5) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 39 
 
No caso do condesador plano, o campo é homogéneo e, por isso, W = const o que significa que 
V
Ww = assim 
 
22
2
→→
=== DEE
dV
dWw oεε (16.6) 
Esta fórmula é válida mesmo para campos não homogéneos. Para a energia do campo num dado 
volume V, encontramos: 
 dVDEdVEwdVW
V
o
VV 22
2
→→
∫=∫=∫= εε (16.7) 
No caso mais geral, considerando o primeiro integral na expressão (15.5) e a expressão 
teremos 
→= Ddivρ
 
 
§ 17. Sistema completo de equações de Maxwell e condições de fronteira para o campo 
electrostático 
 
Resumamos os principais aspectos já analisados, do campo electrostático: 
1. O campo electrostático (campo do vector ) é criado por fontes, que são cargas eléctricas ( ligadas 
ou livres); 
2. As fontes do vector são apenas cargas ligadas; 
3. O campo electrostático é potencial, isto é, a circulação do vector através de uma linha curva 
fechada qualquer é igual a zero. 
Estes aspectos expressam-se matematicamente através do sistema de equações de Maxwell que na sua 
forma diferencial escrevem-se da seguinte maneira: 
 
⎩⎨
⎧
=
=
ρDdiv
Erot v
v
0
 (17.1) 
Onde ρ é a densidade volumétrica das cargas. Na sua forma integral, estas fórmulas têm o seguinte 
aspecto: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=
∫∫
∫
SV
L
QSdDdVDdiv
ldE
vvv
vv
..
0.
 (17.2) 
→
E
→
D
→
E
∫∫ →→→→→ +=∫−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫=∫=∫= VnsVVVV dVEDdSDdVgradDdVDdivdVDdivdVW 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 ϕϕϕϕρϕ
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Quando se transcrevem estas equações no sistema CGS, as equações contendo , ε e ε0 têm um aspecto 
diferente: