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ÍNDICE Prova 1 – Tipo A (1ª Avaliação) Resolução da Prova 1 – Tipo A (1ª Avaliação) Prova 1 – Tipo B (1ª Avaliação) Resolução da Prova 1 – Tipo B (1ª Avaliação) Prova 2 (2ª Avaliação)* Prova 3 (3ª Avaliação)* Lista 1 Resolução da Lista 1 Lista 2 Resolução da Lista 2 Lista 3 Resolução da Lista 3 Lista 4 Resolução da Lista 4 Lista 5 Resolução da Lista 5 Lista 6 Resolução da Lista 6 Lista 7 Resolução da Lista 7 Lista 8* Lista 9* Lista 10* Lista 11 Resolução da Lista 11 Lista 12 Resolução da Lista 12 Lista 13 Resolução da Lista 13 Página 2 8 11 17 20 27 33 34 37 38 41 42 48 50 52 54 58 60 64 66 71 73 75 77 78 85 87 94 97 *Gabarito/Resolução não divulgado ou não encontrado. ' & $ % Cálculo I 1a Avaliação Tipo A Nome: Matr.: E02- Curso: ' & $ % Cálculo I - 1a Avaliação Instituto Tecnológico Prof.Dr. Marcos M. Diniz Prof. Dr. Jeronimo M. Noronha 24 de maio de 2013 �� ��Nome: Matr.: 1. A energia cinética E de um corpo é dada pela expressão E = 1 2 mv2, em que m é a massa do corpo e v sua velocidade. Um objeto de massa m, preso a uma mola, tem sua velocidade descrita pela expressão v(t) = v0 cos t, em que v0 é uma constante e t é o tempo. Determine: (a) (1 pt.) o valor da energia cinética em função do tempo; (b) (1 pt.) os valores máximo e mínimo que a energia cinética atinge; (c) (1/2 pt.) em que instantes o valor máximo é atingido. Tipo A Página 1 de 5 Nome: ' & $ % 2. (21/2 pts.) Determine o domínio, a função inversa e a imagem da função f(x) = x+ 2 x− 3 . Tipo A Página 2 de 5 Nome: ' & $ % 3. Determine, justificando seus cálculos, os seguintes limites: (a) (1 pt.) lim x→5 x2 − 25 x− 5 (b) (1 pt.) lim x→0 |2x| x (c) (1 pt.) lim x→0 x3 cos(e 1 x ) Tipo A Página 3 de 5 Nome: ' & $ % 4. (2 pts.) Em um certo dispositivo elétrico, a corrente I, dada em função do tempo t, sofre uma alteração no instante t = 3 em seu comportamento funcional, dado pela expressão I(t) = t , se t ≤ 327 t2 , se t > 3. A transição em t = 3 é uma transição contínua? Justifique sua resposta. Tipo A Página 4 de 5 Nome: ' & $ % (Questão Desafio: Esta questão vale um bônus adicional de um ponto para quem obtiver uma solução completa. Tente resolver a questão desafio somente após resolver as quatro questões da avaliação.) Q.D. Mostre que a média harmônica, a média geométrica e a média aritmética de dois números reais positivos encontram-se em sequência crescente, isto é, se x > 0 e y > 0, então 1 1 x + 1 y 2 ≤ √xy ≤ x+ y 2 . Em que circunstâncias ocorre a igualdade na inequação acima? Tipo A Página 5 de 5 Nome: Instituto de Cieˆncias Exatas e Naturais Projeto Newton Gabarito da Prova- Tipo A Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jeroˆnimo Noronha Neto 1. (a) Como E = 1 2 mv2 e v = v0 cos t basta fazer a composic¸a˜o E = 1 2 (v0 cos t) 2 = 1 2 m(v0) 2 cos2 t (b) Como cos t varia no intervalo [−1, 1], o cos t2 varia no intervalo [0, 1], logo: Emax = 1 2 m(v0) 2.1 = 1 2 m(v0) 2 Emin = 1 2 m(v0) 2.0 = 0 (c) O valor ma´ximo e´ atingido para cos2 t = 1,ou seja cos t = ±1. Enta˜o t = kpi, k ∈ Z Obs: Quando cos t = −1, temos que cos2 t = 1 e portanto, a func¸a˜o atinge seu valor ma´ximo. O valor mı´nimo e´ atingido quando cos t = 0 2. (i) x− 3 6= 0 ∴ x 6= 3 ∴ Df = R\{3} (ii)y = x− 2 x− 3 ⇔ yx+ 3y = x+ 2 ⇔ yx− x = 3y + 2 ⇔ x(y − 1) = (3y + 2) ⇔ x = 3y + 2 y − 1 f−1(y) = 3y + 2 y − 1 (iii)A imagem da func¸a˜o f coincide com o domı´nio da func¸a˜o f−1 que e´ R\{1} (pois y 6= 1) 1 3. (a) lim x→5 x2 − 25 x− 5 = limx→5 (x− 5)(x+ 5) x− 5 = lim x→5 x+ 5 (func¸a˜o polinomial, logo cont´ınua) = 10 (b) lim x→0 |2x| x = lim x→0 2 |x| x na˜o existe, pois lim x→0− 2 |x| x = lim x→0− 2 (−x) x = lim x→0− 2(−1) = −2 lim x→0+ 2 |x| x = lim x→0+ 2 x x = lim x→0+ 2 = 2 (c) Como cos(e 1 x ) e´ uma func¸a˜o limitada, pois | cos(e 1x )| ≤ 1, e lim x→0 x3 = 0 (polinomial,logo cont´ınua), enta˜o o limite do produto e´ zero: lim x→0 x3 cos(e 1 x ) = 0 4. (i) lim t→3− I(t) = lim t→3− t = 3 (pois a func¸a˜o identidade e´ cont´ınua) (ii) lim t→3+ I(t) = lim t→3+ 27 t2 = 27 32 = 3 (pois a func¸a˜o e´ racional,logo, cont´ınua) (iii)I(3) = 3 Como lim t→3− I(t) = lim t→3+ I(t) = I(3), enta˜o a transic¸a˜o e´ cont´ınua em t = 3. 2 Obs: Para concluir a continuidade da func¸a˜o, na˜o basta calcular os limites laterais e mostrar que coincidem. Isso garante apenas a existeˆncia do limite quando t → 3. Para concluir a continuidade e´ necessa´rio mostrar que este limite coincide com o valor da func¸a˜o no ponto: I(3) 5. Quaisquer que seja x > 0 e y > 0,vale (x − y)2 ≥ 0. Esta desigualdade e´ equivalente a`s desigualdades abaixo: x2 − 2xy + y2 ≥ 0(somando 4xy) x2 + 2xy + y2 ≥ 4xy (x+ y)2 4 ≥ xy(extraindoaraiz) x+ y 2 ≥ √xy Agora, esta u´ltima desigualdade equivale a 1√ xy ≥ 2 x+ y (multiplicando por xy) xy√ xy ≥ 2xy x+ y √ xy ≥ 1 1 x + 1 y 2 Finalmente, essas igualdades sa˜o va´lidas se, e somente se, a primeira o for,isto e´, se (x− y)2 = 0, o que ocorre se, e somente se, x = y. 3 ' & $ % Cálculo I 1a Avaliação Tipo B Nome: Matr.: E03- Curso: ' & $ % Cálculo I - 1a Avaliação Instituto Tecnológico Prof.Dr. Marcos M. Diniz Prof. Dr. Jeronimo M. Noronha 24 de maio de 2013 �� ��Nome: Matr.: 1. A energia cinética E de um corpo é dada pela expressão E = 1 2 mv2, em que m é a massa do corpo e v sua velocidade. Um objeto de massa m, preso a uma mola, tem sua velocidade descrita pela expressão v(t) = v0 sen t, em que v0 é uma constante e t é o tempo. Determine: (a) (1 pt.) o valor da energia cinética em função do tempo; (b) (1 pt.) os valores máximo e mínimo que a energia cinética atinge; (c) (1/2 pt.) em que instantes o valor máximo é atingido. Tipo B Página 1 de 5 Nome: ' & $ % 2. (21/2 pts.) Determine o domínio, a função inversa e a imagem da função g(x) = x− 2 x+ 5 . Tipo B Página 2 de 5 Nome: ' & $ % 3. Determine, justificando seus cálculos, os seguintes limites: (a) (1 pt.) lim x→3 x− 3 x2 − 9 (b) (1 pt.) lim x→0 |3x| x (c) (1 pt.) lim x→0 x2sen( 1 x5 ) Tipo B Página 3 de 5 Nome: ' & $ % 4. (2 pts.) Em um certo dispositivo elétrico, a corrente I, dada em função do tempo t, sofre uma alteração no instante t = 5 em seu comportamento funcional, dado pela expressão I(t) = t , se t ≤ 5125 t3 , se t > 5. A transição em t = 5 é uma transição contínua? Justifique sua resposta. Tipo B Página 4 de 5 Nome: ' & $ % (Questão Desafio: Esta questão vale um bônus adicional de um ponto para quem obtiver uma solução completa. Tente resolver a questão desafio somente após resolver as quatro questões da avaliação.) Q.D. Mostre que a média harmônica, a média geométrica e a média aritmética de dois números reais positivos encontram-se em sequência crescente, isto é, se x > 0 e y > 0, então 1 1 x + 1 y 2 ≤ √xy ≤ x+ y 2 . Em que circunstâncias ocorre a igualdade na inequação acima? Tipo B Página 5 de 5 Nome: Instituto de Cieˆncias Exatas e Naturais Projeto Newton Gabarito da Prova- Tipo B Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jeroˆnimo Noronha Neto 1. (a)Como E = 1 2 mv2 e v = v0sent basta fazer a composic¸a˜o E = 1 2 (v0sent) 2 = 1 2 m(v0) 2sen2t . (b) Como sent varia no intervalo [−1, 1], o sen2t varia no intervalo [0, 1], logo: Emax = 1 2 m(v0) 2.1 = 1 2 m(v0) 2 Emin = 1 2 m(v0) 2.0 = 0 (c) O valor ma´ximo e´ atingido para sen2t = 1, ou seja sent = ±1. Enta˜o t = pi 2 + kpi, k ∈ Z Obs: Quando sent = −1, temos que sen2t = 1 e portanto a func¸a˜o atinge seu valor ma´ximo. O valor mı´nimo e´ atingido quando sent = 0. 2. (i) x+ 5 6= 0 ∴ x 6= −5 ∴ Dg = R\{−5} (ii)y = x− 2 x + 5 ⇔ yx+ 5y = x− 2 ⇔ yx− x = −2− 5y ⇔ x(y − 1) = −(2 + 5y) ⇔ x = −(2 + 5y) y − 1 ⇔ x = 2 + 5y 1− y g−1(y) = 2 + 5y 1− y 1 (iii)A imagem da func¸a˜o g coincide com o domı´nio da func¸a˜o g−1 que e´ R\{1} (pois y 6= 1) 3. (a) lim x→3 x− 3 x2 − 9 = limx→3 x− 3 (x− 3)(x+ 3) = lim x→3 1 x+ 3 (func¸a˜o racional, portanto cont´ınua) = 1 6 (b) lim x→0 |3x| x = lim x→0 3 |x| x na˜o existe, pois lim x→0− 3 |x| x = lim x→0− 3 (−x) x = lim x→0− 3 = −3 lim x→0+ 3 |x| x = lim x→0+ 3 x x = lim x→0+ 3(−1) = 3 (c) Como sen(e 1 x 5 ) e´ uma func¸a˜o limitada, pois |sen(e 1x5 )| ≤ 1, e lim x→0 x2 = 0 (polinomial,logo cont´ınua), enta˜o o limite do produto e´ zero: lim x→0 x2sen(e 1 x 5 ) = 0 4. (i) lim t→5− I(t) = lim t→5− t = 5 (pois a func¸a˜o identidade e´ cont´ınua) (ii) lim t→5+ I(t) = lim t→5+ 125 t3 = 125 53 = 1 (pois a func¸a˜o e´ racional,logo, cont´ınua) Como lim t→5− I(t) 6= lim t→5+ I(t), enta˜o a transic¸a˜o lim t→5 I(t) na˜o existe e por- tanto a transic¸a˜o e´ descont´ınua em t = 5. 2 5. Quaisquer que seja x > 0 e y > 0,vale (x − y)2 ≥ 0. Esta desigualdade e´ equivalente a`s desigualdades abaixo: x2 − 2xy + y2 ≥ 0 (somando 4xy) x2 + 2xy + y2 ≥ 4xy (x+ y)2 4 ≥ xy (extraindo a raiz) x+ y 2 ≥ √xy Agora, esta u´ltima desigualdade equivale a 1√ xy ≥ 2 x+ y (multiplicando por xy) xy√ xy ≥ 2xy x+ y √ xy ≥ 1 1 x + 1 y 2 Finalmente, essas igualdades sa˜o va´lidas se, e somente se, a primeira o for,isto e´, se (x− y)2 = 0, o que ocorre se, e somente se, x = y. 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ Projeto Newton - Cálculo I Lista 1: Semana de 20 a 26 de Abril de 2013. 1. Encontre todas as intersecções com os eixos da equação y = x 2 + 3x (3x+ 1)2 . 2. Use as propriedades dos logaritmos para expandir a expressão logarítmica. ln ( x2 − 1 x3 )3 3. Determine se a função é impar ou par ou nenhuma das duas. a) f(x) = 6x2 − 3. b) f(t) = { 1 se t > 0 −1 se t < 0 c) f(h) = (h− 1)2. 4. Determine o domínio e a imagem da função h(x) = |x − 2| + 4 e faça um esboço de seu gráfico. 5. Determine se o gráfico de y = |x| possui simetria em relação ao eixo x, ao eixo y ou a origem. 6. Encontre o domínio da função h(x) = 1 4 √ x2 − 5x. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ Projeto Newton - Cálculo I Resolução da Lista 1 1. Para encontrarmos as intersecções com o eixo dos y, basta tomarmos x = 0 e substituir na equação: y = 02 + 3(0) (3(0) + 1)2 = 0 Resultando em y = 0. Logo a intersecção com o eixo y é apenas o ponto (0, 0). Para a intersecção com o eixo dos x, tomamos y = 0 na equação: 0 = x2 + 3x (3x+ 1)2 x(x+ 3) = 0 x = −3 e x = 0 Assim obtemos novamente o ponto (0, 0) e também o ponto (−3, 0). 2. Usando as propriedades de logaritmo de potência, multiplicação e divisão, temos que: ln ( x2 − 1 x3 )3 = = 3 ln (x2 − 1)− 3 ln x3 = 3 ln [(x+ 1)(x− 1)]− 9 ln x = 3[ln (x+ 1) + ln (x− 1)− 3 ln x] 3. Para que uma função seja par, é necessário que f(−x) = f(x) para qualquer valor de x no domínio da função. Do mesmo modo, para que a função seja ímpar, é necessário que f(−x) = −f(x), dadas as mesmas condições. Sendo assim, temos que: 1 a) f(−x) = 6(−x)2 − 3 = 6x2 − 3 = f(x) (Função Par) b) f(−t) = { 1 se t < 0 −1 se t > 0 −f(t) = { −1 se t > 0 1 se t < 0 (Função Ímpar) c) f(−h) = (−h− 1)2 = (−1)2 · (h+ 1)2 = (h+ 1)2 6= ±f(h) 4. Trabalhando com o módulo, a função terá a seguinte forma: h(x) = { x+ 2 se x ≥ 2 −x+ 6 se x < 2 Sendo assim, a funçao terá D(h) = R e seu valor mínimo será no ponto (2, 4), resultando em Im(h) = [4,+∞). Por fim, temos o seguinte esboço: 2 5. Por se tratar de uma função par, já que f(x) = f(−x), teremos simetria em relação ao eixo y e não teremos em relação à origem, que ocorre em funções ímpares. Por fim, como Im(f) = R+, não teremos simetria em relação ao eixo x, pois toda a função está apenas de um lado do eixo. 6. Para que o valor da função exista, devemos ter que: x2 − 5x > 0 x(x− 5) > 0 f(x)g(x) > 0 Analisando o sinal das funções separadamente e depois multiplicando, temos que: D(h) = (−∞, 0) ⋃ (5,+∞) 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ Projeto Newton - Cálculo I Lista 2: Semana de 27 a 3 de maio de 2013. 1. Determine se f(x) ≥ g(x) ou f(x) ≤ g(x) sobre [0, 1], sendo f(x) = 3√x e g(x) = 4 √ x. 2. Encontre os zeros da função f(x) = sen (x+ pi). 3. Determine as interseções (caso existam) entre f(x) = senx e g(x) = cossecx. 4. Verifique a identidade tg2 x+ 1 = sec2 x. 5. Verifique a identidade ln(1 + ex)− ln(1 + e−x) = x. 6. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é m = f(v) = m0√ 1− v 2 c2 onde m0 é a massa da partícula no repouso e c é a velocidade da luz no vácuo. Encontre a função inversa de f e explique seu significado. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I GABARITO Lista 2: Aulas 4 e 5 1. As func¸o˜es f e g assumem valores iguais em x = 0 e x = 1, ou seja f(0) = g(0) = 0 e f(1) = g(1) = 1. Os pontos (0, 0) e (1, 1) sera˜o os pontos de intersecc¸a˜o das func¸o˜es. Pore´m isso na˜o acontece para os valores 0 < x < 1. Por ra´pida inspec¸a˜o, podemos perceber que para nu´meros entre 0 e 1, a func¸a˜o 4 √ x assume valores maiores que a func¸a˜o 3 √ x. Por exemplo, 4 √ 0, 03 ∼= 0, 41 e 3√0, 03 ∼= 0, 144 ou ainda 4 √ 0, 5 ∼= 0, 84 e 3√0, 5 ∼= 0, 79. Pore´m, para determinarmos o que pede o exerc´ıcio, precisamos usar as propriedades desses nu´meros positivos menores que 1. Uma delas e´ que o produto entre o nu´mero x e o nu´mero x− 1 e´ negativo ou nulo, ou seja, Como x ∈ [0, 1], enta˜o x(x− 1) ≤ 0 x2 − x ≤ 0 x2 ≤ x Multiplicando por x2, que e´ uma func¸a˜o crescente em [0, 1], na˜o altera a desigualdade. Da mesma forma, logo abaixo podemos extrair a raiz cu´bica e depois a raiz qua´rtica, pois elas tambe´m sa˜o crescentes no intervalo e na˜o alterara˜o a desigualdade. Assim, procedemos x4 ≤ x3 3 √ x4 ≤ x 3 √ x ≤ 4√x f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [0, 1]. 2. Achar os zeros e´ achar os valores para os quais a func¸a˜o se anula. A func¸a˜o seno assume o valor 0 nos arcos que sa˜o mu´ltiplos inteiros de pi (kpi). Logo, para esta func¸a˜o espec´ıfica, que na˜o e´ a func¸a˜o seno pura, temos que ter: x+ pi = kpi x = (k − 1)pi, k ∈ Z. Como k e´ um inteiro qualquer, tomando todos os valores inteiros de k, na˜o ha´ diferenc¸a entre kpi e (k − 1)pi. Portanto essa func¸a˜o se anula nos mesmos pontos da func¸a˜o sen x, apesar de terem gra´ficos bem distintos. Voceˆ consegue ver a diferenc¸a entre essas duas func¸o˜es? 3. A func¸a˜o cossecante e´ igual ao inverso da func¸a˜o seno. Para acharmos as intersec¸o˜es, devemos igualar as func¸o˜es: sen x = 1 sen x sen2 x = 1 sen x = ±1 Olhando no ciclo trigonome´trico os arcos que assumem esses valores sa˜o os mu´ltiplos ı´mpares de pi/2 e 3pi/2, ou seja, podemos escrever esses valores reais da seguinte forma: S = {x ∈ R | x = (2k + 1)pi2 , k ∈ Z} 4. Devemos mostrar, a partir da definic¸a˜o de tangente, que o lado esquerdo e´ igual ao lado direito: tan2 x+ 1 = sec2 x sen2 x cos2 x + 1 = sen2 x+ cos2 x cos2 x = 1 cos2 x = sec2 x 5. Nesta aqui temos que usar as propriedades da func¸a˜o logar´ıtmica e algebrismo com quocientes: ln(1 + ex)− ln(1 + e−x) = x ln[ 1 + ex 1 + e−x ] = ln[ 1 + ex 1 + 1 e x ] = ln[ 1 + ex e x+1 e x ] = ln[ex] = x 2 6. A func¸a˜o f dada e´ uma func¸a˜o onde podemos achar a massa a partir da velocidade do corpo, ou seja, m = f(v). Achar sua func¸a˜o inversa equivale a encontrar uma func¸a˜o onde podemos achar a velocidade em func¸a˜o da massa do corpo, isto e´, v = f(m). Para isso, basta isolar o termo que antes era independente, tornando-o dependente. Nem sempre e´ fa´cil fazer isso. Mas neste caso m = m0√ 1− v 2 c2 √ 1− v 2 c2 = m0 m 1− v 2 c2 = (m0) 2 m2 v2 c2 = 1− (m0) 2 m2 v = c √ 1− (m0) 2 m2 f(m) = c √ 1− (m0) 2 m2 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 3: Aulas 6 e 7 Nas treˆs questo˜es iniciais calcule os limites a seguir: 1. lim x→1 ( 1 + 3x 1 + 4x2 + 3x4 )3 2. lim x→1 2x2 + 2x− 4 x− 1 3. lim x→1 √ x− 1 x− 1 4. Explique porque a func¸a˜o f(x) = { ex, se x < 0 x3, se x ≥ 0 e´ descont´ınua no ponto a = 0. 5. A forc¸a gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade massa a uma distaˆncia r do centro do outro planeta e´ F (r) = GMr R3 , se r < R GM r2 , se r ≥ R onde M e´ a massa da Terra, R e´ o seu raio e G e´ a constante gravita- cional. F e´ uma func¸a˜o cont´ınua de r? 6. (a) Mostre que a func¸a˜o valor absoluto F (x) = |x| e´ cont´ınua em R. (b) Demonstre que se f for uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo [a, b], enta˜o h(x) = |f(x)| tambe´m o e´. (c) A rec´ıproca da parte (b) e´ verdadeira? Em outras palavras, se h(x) = |f(x)| for cont´ınua em [a, b] seque que f(x) tambe´m e´? Se for assim, demonstre isso. Caso contra´rio, encontre um contra- exemplo. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Gabarito da Lista 3 – Aulas 6 e 7 Resumo dos conteu´dos da Sec¸a˜o 2.3 Alguns limites ba´sicos Para a, b,∈ R e n ∈ N tem-se L1. lim x→a b = b; L2. lim x→a x = a; L3. lim x→a xn = an; L4. lim x→a n √ x = n √ a (se n par, suponha a > 0). Propriedades de limite Sejam a, k ∈ R, n ∈ N, f e g func¸o˜es tais que lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M. Enta˜o P1. Multiplicac¸a˜o por escalar: lim x→a k f(x) = k L; P2. Soma ou diferenc¸a: lim x→a (f(x)± g(x)) = L±M ; P3. Produto: lim x→a (f(x) g(x)) = LM ; P4. Quociente: lim x→a f(x) g(x) = L M , se M 6= 0; P5. Poteˆncia: lim x→a (f(x))n = Ln; Limites laterais LL. lim x→a f(x) = L ⇔ lim x→a+ f(x) = L = lim x→a− f(x) 1 Resoluc¸a˜o das questo˜es 1, 2 e 3 Vamos resolver as questo˜es 1, 2 e 3 da lista de exerc´ıcios aplicando alguns resul- tados da sec¸a˜o 2.3. Soluc¸a˜o da questa˜o 1: Sejam f(x) = 1 + 3x e g(x) = 1 + 4x2 + 3x4. Enta˜o, lim x→1 f(x) = lim x→1 1 + 3x = 1 + 3 lim x→1 x; por L1, P1 e P2; = 1+ 3.1 = 4; por L2; lim x→1 g(x) = lim x→1 1 + 4x2 + 3x4 = 1+4 lim x→1 x2+ 3 lim x→1 x4; por L1, P1 e P2; = 1 + 4.12 + 3.14 = 8; por L3. Como lim x→1 g(x) = 8 6= 0 temos que lim x→1 f(x) g(x) = lim x→1 1− 3x 1 + 4x2 + 3x4 = 4 8 = 1 2 ; por P4 e, logo, lim x→1 ( f(x) g(x) )3 = ( lim x→1 1− 3x 1 + 4x2 + 3x4 )3 = ( 1 2 )3 = 1 8 ; por P5. Soluc¸a˜o da questa˜o 2: Observe que, neste caso, na˜o podemos usar a propriedade P5, pois lim x→1 g(x) = lim x→1 x − 1 = 0. Para resolvermos o limite vamos usar o seguinte resultado enunciado na pa´gina 92 do Livro texto: P. Se f(x) = g(x) para x 6= a enta˜o lim x→a f(x) = lim x→a g(x), desde que o limite exista. Para isto, observe que 2x2 + 2x− 4 = 2(x2 + x− 2) = 2(x− 1)(x+ 2), e, logo, 2x2 + 2x− 4 x− 1 = 2(x2 + x− 2) x− 1 = 2(x− 1)(x+ 2) x− 1 . (1) 2 Mas, as func¸o˜es f(x) = (x− 1)(x+ 2) x− 1 e g(x) = x+ 2 sa˜o iguais ∀x exceto x = 1 e lim x→1 g(x) = lim x→1 (x+ 2) = 3. Enta˜o, pela propriedade P tem-se lim x→1 (x− 1)(x+ 2) x− 1 = limx→1(x+ 2) = 3. (2) Combinando (1) e (2) e aplicando a propriedade P1 obtemos lim x→1 2x2 + 2x− 4 x− 1 = limx→1 2(x− 1)(x+ 2) x− 1 = 2 limx→1 (x− 1)(x+ 2) x− 1 = 2 limx→1(x+2) = 2.3 = 6 Me´todo pra´tico: lim x→1 2x2 + 2x− 4 x− 1 = limx→1 2(x− 1)(x+ 2) x− 1 = 2 limx→1 (x− 1)(x+ 2) x− 1 = 2 limx→1(x+2) = 2.3 = 6 Soluc¸a˜o da questa˜o 3: observe que temos a mesma situac¸a˜o da questa˜o 2, pois lim x→1 g(x) = lim x→1 x− 1 = 0. Para aplicar a propriedade P, observe que √ x− 1 x− 1 = ( √ x− 1)(√x+ 1) (x− 1)(√x+ 1) = x− 1 (x− 1)(√x+ 1) . Logo, as func¸o˜es f(x) = x− 1 (x− 1)(√x+ 1) e g(x) = 1√ x+ 1 sa˜o iguais ∀x exceto x = 1. Ale´m disso, aplicando P2 e L4 temos que lim x→1 ( √ x+ 1) = lim x→1 √ x+ 1 = 1 + 1 = 2. Portanto, podemos aplicar a propriedade P4 para obter lim x→1 √ x− 1 x− 1 = limx→1 ( √ x− 1)(√x+ 1) (x− 1)(√x+ 1) = limx→1 x− 1 (x− 1)(√x+ 1) = limx→1 1√ x+ 1 = 1 2 . Me´todo pra´tico: lim x→1 √ x− 1 x− 1 = limx→1 ( √ x− 1)(√x+ 1) (x− 1)(√x+ 1) = limx→1 x− 1 (x− 1)(√x+ 1) = limx→1 1√ x+ 1 = 1 2 . 3 Resumo dos conteu´dos da Sec¸a˜o 2.5 Definic¸a˜o de continuidade Uma func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto a se lim x→a f(x) = f(a), ou seja, i) a ∈ Df ; ii) existe lim x→a f(x); iii) lim x→a f(x) = f(a). Continuidade de func¸o˜es polinomiais e racionais C1. Se p(x) = n∑ i=1 bi x i e q(x) = n∑ i=1 ci x i sa˜o func¸o˜es polinomiais com bi, ci,∈ R, 1 ≤ i ≤ n, enta˜o p(x) e´ cont´ınua em R e p(x) q(x) e´ cont´ınua exceto para x tal que q(x) = 0. Logo, lim x→a p(x) = p(a) e lim x→a p(x) q(x) = p(a) q(a) . Continuidade de func¸o˜es trigonome´tricas C2. As func¸o˜es cos(x) e sen(x) sa˜o cont´ınuas em R. Logo, lim x→a cos(x) = cos(a) e lim x→a sen(x) = sen(a). Continuidade da exponencial e da logar´ıtmica C3.A func¸a˜o ex e´ cont´ınua em R e a func¸a˜o ln(x) e´ cont´ınua em seu domı´nio. Logo, lim x→a ex = ea e lim x→a ln(x) = ln(a). 4 Continuidade da composta C4. Se g e´ cont´ınua em a e f e´ cont´ınua em g(a), enta˜o a composta f ◦ g e´ cont´ınua em a. Resoluc¸a˜o das questo˜es 4, 5 e 6 Vamos resolver as questo˜es 4, 5 e 6 da lista de exerc´ıcios aplicando alguns resul- tados da sec¸a˜o 2.5. Soluc¸a˜o da questa˜o 4: Como a func¸a˜o f e´ dada por sentenc¸as, vamos usar o resultado de limites laterais dado em LL. Assim, lim x→0+ f(x) = lim x→0+ x3 = 0; por L3; lim x→0− f(x) = lim x→0− ex = e0 = 1; por C3. E logo, lim x→0+ f(x) 6= lim x→0− f(x) e por LL, ∄ lim x→0 f(x). Portanto, pela definic¸a˜o de continuidade, f e´ descont´ınua em a = 0. Soluc¸a˜o da questa˜o 5: Note que e´ a mesma situac¸a˜o da questa˜o 4. Assim, lim r→R+ F (r) = lim r→R+ GM r2 = GM lim r→R+ 1 r2 = GM R2 ; por P4; lim r→R− F (r) = lim r→R− GM r R3 = GM R3 lim r→R− r = GM R3 .R = GM R2 ; por L2. Logo, lim r→R F (r) = lim r→R+ F (r) = lim r→R− F (r) = GM R2 e F (R) = GM R2 , portanto, lim r→R F (r) = F (R) e F e´ cont´ınua em r = R 5 Nos outros pontos de r 6= R temos a continuidade pelas as propriedades das func¸o˜es racionais. Soluc¸a˜o da questa˜o 6(a): A func¸a˜o modular f(x) = |x| e´ cont´ınua em R. Defato, lim x→0+ f(x) = lim x→0+ x = 0; por L2; lim x→0− f(x) = lim x→0− −x = 0; por L2. Logo, lim x→0 |x| = lim x→0+ |x| = lim x→0− |x| = 0 = |0|. Soluc¸a˜o da questa˜o 6(b): Como g(x) = |x| e´ cont´ınua e f(x) tambe´m e´ cont´ınua temos, pelo resultado C4, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = |f(x)| e´ cont´ınua. Como a func¸a˜o modular e´ polinomial antes e depois do 0, enta˜o ela e´ cont´ınua em toda a reta real. Soluc¸a˜o da questa˜o 6(c): Na˜o. Considere, por exemplo, a func¸a˜o descont´ınua f(x) = 1 se x ≥ 0 −1 se x < 0 Enta˜o, |f(x)| = 1 e´ cont´ınua, mas f na˜o e´. Veja os gra´ficos. f(x) |f(x)| 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 04: Aulas 7, 8 e 9. 1. Calcule os limites abaixo, justificando seus ca´lculos: (a) lim x→3 √ x+ 13− 4 x− 3 (b) limx→0x 3sen ( 1 x2 ) 2. Determine os limites e limites laterais nos pontos a, b e c, se existirem, da func¸a˜o cujo gra´fico e´ apresentado abaixo: 3. Determine, justificando sua resposta, em quais pontos a func¸a˜o g : R→ R definida abaixo e´ cont´ınua: g(x) = x2 − 4 x− 2 , se x < 0 2, se x = 0 −x 3 + 2, se 0 < x < 3 4, se x = 3 ex−3, se x > 3 1 4. Determine a derivada da func¸a˜o f(x) = √ x em um ponto x = a (a > 0). 5. Um circuito ele´trico possui um dispositivo que, ao ser acionado, descarrega- se segundo a func¸a˜o Q(t) = 8− t3, 0 6 t 6 2, sendo o tempo t dado em segundos e a carga ele´trica Q dada em Coulombs. Determine a intensidade da corrente ele´trica “de sa´ıda”do dispositivo no instante t = 1s. (Lembre-se que a corrente ele´trica e´ a taxa de variac¸a˜o da carga ele´trica em relac¸a˜o ao tempo!) 6. Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para concluir que a equac¸a˜o ex = x4 admite uma raiz entre 1 e 2. 2 Instituto de Ciências Exatas e Naturais Projeto Newton Resolução da Lista 04 de Calculo Diferencial e Integral Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jerônimo Noronha Neto Data: xx/05/2013 1. (a) Como é um limite indeterminado 0 0 , é necessário retirar a indeterminação. Isto é feito multiplicando o numerador e o denominador por √ x+ 13+4, ou seja: √ x+13−4 x−3 = √ x+13−4 x−3 √ x+13+4√ x+13+4 = √ x+13 2−42 (x−3)( √ x+13+4) = x−3 (x−3)( √ x+13+4) = 1√ x+13+4 Logo lim x→3 √ x+ 13− 4 x− 3 = limx→3 1√ x+ 13 + 4 = 1√ 3 + 13 + 4 = 1 8 . (b) Como |sen( 1 x3 )| ≤ 1, a função é limitada e limx→0 x3 = 0, assim teremos lim x→0 x3sen( 1 x3 ) = 0. 2. Como limx→a− f(x) = 3 e limx→a+ f(x) = 7 teremos que limx→a f(x) não existe. Como limx→b− f(x) = 4 e limx→a+ f(x) = 4 então limx→a f(x) = 4. Como limx→c− f(x) = +∞ e limx→c+ f(x) = −∞ então limx→c f(x) não existe. 3. Com exceção dos pontos 0 e 3 sabemos que a função g é continua em x ∈ R/{0, 3}, pois é obtida através de soma, diferença, produto e divisão de funções contínuas. Vamos verificar o que ocorre no ponto 0: lim x→0− g(x) = lim x→0− x2 − 4 x− 2 = 02 − 4 0− 2 = 2; lim x→0+ g(x) = lim x→0+ (−x 3 + 2) = (−0 3 + 2) = 2. 1 Assim lim x→0 g(x) = 2 = g(0) portanto g é contínua no ponto 0. Agora no ponto 3: lim x→3− g(x) = lim x→3− (−x 3 + 2) = −3 3 + 2 = 1; lim x→3+ g(x) = lim x→3+ ex−3 = e3−3 = e0 = 1. Assim lim x→3 g(x) = 1 6= 4 = g(3) e g não é contínua no ponto 3. Reunindo as informações obtemos que g é contínua em R/{3}. 4. Vamos determinar a derivada de f pela definição: f ′(a) = lim x→a f(x)− f(a) x− a = limx→a √ x−√a x− a = limx→a √ x−√a ( √ x)2 − (√a)2 = limx→a 1√ x+ √ a de onde f ′(a) = 1√ a+ √ a = 1 2 √ a . 5. Como Q(t) = 8 − t3 para 0 ≤ t ≤ 2, teremos I(t) = Q′(t) = −3t2 e I(1) = −3.12 = −3. 6. Considere a função f(x) = ex−x4, que é contínua, pois é obtida por operações elementares em funções contínuas. Como f(1) = e1 − 14 = e− 1 > 0 e f(2) = e2 − 24 = e2 − 16 < 0, teremos pelo Teorema do Valor Intermediário que existe 1 < x < 2 tal que f(x) = 0, ou seja ex = x4. 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 05: Aulas 11 e 12. 1. Usando a definic¸a˜o, calcule a derivada no ponto x = a das func¸o˜es: (a) f(x) = 1√ 2x (b) f(x) = e2x, sabendo que lim h→0 eh − 1 h = 1 2. Verifique se a func¸a˜o definida por f(x) = x2 , se x ≥ 0 x2 sen ( 1 x ) , se x < 0 e´ deriva´vel em x = 0. 3. Em cada caso abaixo, encontre a equac¸a˜o de uma reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) e paralela a reta r dada: (a) f(x) = x3 e r : y = x+ 5 (b) f(x) = 1 1 + x2 e r : 25y − 4x = 1 (Sugesta˜o: Procure uma ra´ız inteira da equac¸a˜o resultante). 4. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo: (a) f(x) = x 1 + x2 (b) f(x) = tg x (c) f(x) = ex cosx (d) f(x) = x2 + x+ 1 + x−1 + x−2 5. A lei dos gases ideais que relaciona a pressa˜o P , o volume V e a temper- atura T e´ PV = nRT , onde n e R sa˜o constantes. Supondo a temperatura constante e igual a 10, e supondo nR = 1, encontre a taxa de variac¸a˜o do volume em relac¸a˜o a` pressa˜o quando a pressa˜o e´ 20. 1 6. A taxa de variac¸a˜o da massa M em relac¸a˜o ao tempo t de uma substaˆncia radioativa e´ proporcional a` sua massa, isto e´M ′(t) = −λM(t), onde λ e´ uma constante. Encontre a func¸a˜o que satisfaz esta equac¸a˜o, com M(0) = M0. Qual o tempo t0 para o qual M(t0) = 1 2 M0? 2 Instituto de Cieˆncias Exatas e Naturais Projeto Newton Resoluc¸a˜o da Lista 05 de Calculo Diferencial e Integral Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jeroˆnimo Noronha Neto Data: xx/05/2013 1. (a) f ′(a) = lim x→a f(x)− f(a) x− a = limx→a 1√ 2x − 1√ 2a x− a . Como 1√ 2x − 1√ 2a x− a = 1√ 2x − 1√ 2a x− a 1√ 2x + 1√ 2a 1√ 2x + 1√ 2a = 1 2x − 1 2a x− a 1 1√ 2x + 1√ 2a = a−x 2ax x− a 1 1√ 2x + 1√ 2a = −1 2ax 1 1√ 2x + 1√ 2a temos f ′(a) = lim x→a −1 2ax 1 1√ 2x + 1√ 2a = −1 2a2 1 1√ 2a + 1√ 2a = −1 ( √ 2a) 3 2 (b) f ′(a) = lim h→0 f(a+ h)− f(a) h = lim h→0 e2(a+h) − e2a h = lim h→0 e2a(e2h − 1) h = 2e2a lim h→0 e2h − 1 2h = 2e2a.1 = 2e2a 2.Calculando os limites laterais: i) lim x→0+ f(x)− f(0) x− 0 = limx→0+ x2 x = lim x→0+ x = 0 ii) lim x→0− f(x)− f(0) x− 0 = limx→0− x2sen( 1 x ) x = lim x→0− xsen 1 x = 0 1 Pois sen 1 x e´ limitada. Segue que: lim x→0− f(x)− f(0) x− 0 = 0 Logo f e´ deriva´vel em x = 0 e f ′(0) = 0. 3. (a) Se y = x + 5 enta˜o a declividade da reta e´ 1, logo deve existir um a real tal que f ′(a) = 1. Como f ′(x) = 3x2 enta˜o f ′(a) = 3a2 = 1. Logo, a = ± 1√ 3 Como pede-se apenas uma reta escolhemos a = 1√ 3 . Neste ponto f(a) = ( 1√ 3 )3 = 1 3 √ 3 . Assim a reta tem declividade 1 passa no ponto ( 1√ 3 , 1 3 √ 3 ). Sua equac¸a˜o e´ y − 1 3 √ 3 = x− 1 3 √ 3 ou y = x− 2 3 √ 3 (b) Neste caso a declividade da reta e´ m = 4 25 . Devemos encontrar a tal que f ′(a) = 4 25 . Agora pela regrada divisa˜o f ′(x) = (1 + x2)1′ − 1(1 + x2)′ (1 + x2)2 ou f ′(x) = −2x (1 + x2)2 Enta˜o −2a (1 + a2)2 = 4 25 e assim e´ fa´cil ver que a = −2. 2 Enta˜o a reta tem declividade m = 4 25 e passa pelo ponto (−2, 1 5 ). Sua equac¸a˜o y − 1 5 = 4 25 (x+ 2) ou 25y − 4y = 13. 4 (a) Usando a derivada do quociente: f ′(x) = (1 + x2)x′ − x(1 + x2)′ (1 + x2)2 = 1 + x2 − x.2x (1 + x2)2 = (1− x2) (1 + x2)2 . (b)Usando a derivada do quociente que tgx = senx cosx ,obtemos: tgx = ( senx cosx )′= cosx(senx)′ − senx(cosx)′(cosx)2 = cosx.cosx− senx(−senx) (cosx2) = cosx2 + senx2 cosx2 =( 1 cosx )2=(secx)2=secx. (c)Aplicando a regra da derivada do produto: f(x) = (ex)′cosx+ ex(cosx)′=excosx+ ex(−senx)=ex(cosx− senx). (d)Aplicando a fo´rmula de derivada de poteˆncias tem: f ′(x) = 2x+ 1 + 0 + (−1)x−2 + (−2)x−3=2x+ 1− x−2 − 2x−3. 5. No problema PV = 10 e assim V (P ) = 10 P =10−1 Tomando a derivada,obtemos: V ′(P ) = −10P−2=−10 P 2 3 Para P = 20,obtemos: V ′(P ) = −10 202 = −1 40 . 6. Observe que o problema 1b) nos diz que (e2x)′ = 2e2x.Em geral (ekt)′ = ket A func¸a˜o exponencial f(t) = e−λt satisfaz enta˜o: f ′(t) = (−λ)e−λt = −λf(t) Como a multiplicac¸a˜o por uma constante C na func¸a˜o faz a derivada ficar multiplicada pela a constante C, podemos considerar a func¸a˜o mais geral M(t) = Ce−λt que satisfaz M ′(t) = −λM(t) Como M(o) = M0, fazendo t = 0 temos M(0) = Ce −λ.0=Ce0=C.1=C ou seja M0 = C. Assim M(t) = M0e −λt. Queremos a meia-vida t0 da substaˆncia,ou seja, 1 2 M0 = M0e −λt0 ou e−λt0 = 1 2 . Enta˜o ln(e−λt0)= ln 1 2 =− ln 2 ou −λt0 = − ln 2 e assim t0 = ln 2 λ . 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 06: Encontros 18 e 19. 1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo: (a) f(x) = 3 e2x+2 cosx− 3 senx (b) g(x) = sen(2x) e−3x (c) h(x) = (1 + x2) √ x 2. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo, dizendo que grandezas elas re- presentam e em quais unidades: (a) v(t) = cos(senh t), se v(t) representa a velocidade (dada em m/s) em um instante t (dado em segundos) de uma part´ıcula em movi- mento retil´ıneo; (b) V (t) = 5−2t 1 + t2 , se V (t) exprime o volume de a´gua (dado em m3) em um reservato´rio a cada instante t (dado em segundos); (c) P (t) = arccos(t) log3(t) , em que P (t) fornece o momento linear (em kg.m/s) de uma part´ıcula em um instante t (dado em segundos). 3. Verifique que as func¸o˜es y = e−x cos(2x) y = e−x sen(2x) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial que descreve ummovimento harmoˆnico amortecido: d2 y dx2 + 2 d y dx + 5y = 0 4. A Lei de Resfriamento de Newton afirma que “a taxa de perda de calor de um corpo e´ proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre o corpo e o ambiente”. Considerando constante a temperatura Ta do meio ambiente e sendo K a constante de proporcionalidade referida pela Lei: (a) escreva a equac¸a˜o diferencial que a func¸a˜o temporal da temperatura do corpo, T = T (s) deve obedecer; 1 (b) sento T0 a temperatura inicial do corpo (isto e´, T (0) = T0), diga qual a soluc¸a˜o da equac¸a˜o, mostrando que ela satisfaz a equac¸a˜o do item (a); (c) esboce um gra´fico para a func¸a˜o. 5. O numero de ce´lulas de levedura em uma cultura de laborato´rio aumenta rapidamente no ı´nicio, mas eventualmente estabiliza. A populac¸a˜o e´ mo- delada pela func¸a˜o: n = f(t) = a 1 + b e−0,7t , em que t e´ medido em horas. No instante t = 0 a populac¸a˜o e´ de 20 ce´lulas e esta´ crescendo a uma taxa de 12 ce´lulas por hora. Encontre os valores de a e b. De acordo com esse modelo, o que ocorre com a populac¸a˜o de levedura depois de muito tempo? 6. Questo˜es geome´tricas para pensar. Mostre que: i. a derivada da a´rea de um c´ırculo em relac¸a˜o ao raio fornece o comprimento da circunfereˆncia; ii. a derivada do volume de uma esfera em relac¸a˜o ao raio fornece a a´rea da superf´ıcie esfe´rica; iii. a derivada do volume de um cilindro em relac¸a˜o ao raio (supondo sua altura constante) fornece a a´rea lateral do mesmo; iv. a derivada do volume de um cilindro em relac¸a˜o a` altura (supondo agora o raio constante) fornece a a´rea de uma base do mesmo. Fac¸a um esforc¸o para “enxergar geometricamente” cada uma dessas relac¸o˜es (pense, por exemplo, o quanto muda o volume de uma esfera quando se varia “so´ um pouquinho” o raio da esfera). Apo´s ter conseguido enxergar esses quatro exemplos, ficara´ mais fa´cil de “entender geometricamente” por que a derivada, em relac¸a˜o a` medida da aresta, do volume de um cubo fornece a a´rea de exatamente treˆs faces laterais!! 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 06: Encontros 18 e 19. GABARITO 1. a) f ′(x) = 3(2x)′e2x + 2(− senx)− 3 cosx = 6e2x − 2 senx− 3 cosx b) g′(x) = [cos(2x)(2x)′] e−3x + sen(2x)[(−3x)′e−3x] = 2 cos(2x)e−3x − 3 sen(2x)e−3x = [2 cos(2x)− 3 sen(2x)]e−3x c) Como h(x) = [ eln(1+x 2) ]√x = e √ x ln(1+x2) temos h′(x) = [√ x ln(1 + x2) ]′ e √ x ln(1+x2) = [ ( √ x)′ ln(1 + x2) + √ x[ln(1 + x2)]′ ] (1 + x2) √ x = ( 1 2 √ x ln(1 + x2) + √ x 2x 1 + x2 ) (1 + x2) √ x 2. a) v′(t) = cos′(senh t)(senh t)′ = − sen(senh t)cosh t A taxa de variac¸a˜o v′(t) da velocidade e´ a acelerac¸a˜o medida em m/s2. b) Temos que V ′(t) = (1 + t2)(5−2t)′ − (5−2t)(1 + t2)′ (1 + t2)2 Como 5−2t = e−2t ln 5 enta˜o (5−2t)′ = −2 ln 5e−2t ln 5 = −2 ln 5.5−2t 1 e substituindo teremos V ′(t) = (1 + t2)(−2 ln 5)5−2t − (5−2t)2t (1 + t2)2 = 5−2t [−2 ln 5(1 + t2)− 2t] (1 + t2)2 A taxa de variac¸a˜o do volume V ′(t) sera´ a vaza˜o medida em m3/s. c) Como (arccos t)′ = −1√ 1− t2 enta˜o P ′(t) = −1√ 1− t2 log3 t+ arccos(t) 1 t ln 3 pois (log3 t) ′ = ( ln t ln 3 )′ = 1 t ln 3 . A taxa de variac¸a˜o P ′(t) do momento e´ a forc¸a medida em kg.m/s2 3. Seja y = e−x [A cos(2x) +B sen(2x)] Fazendo A = 1 e B = 0 ou A = 0 e B = 1, temos os dois casos solicitados. Enta˜o y′ = (e−x)′ [A cos(2x) +B sen(2x)] + e−x [A cos(2x) +B sen(2x)]′ y′ = −e−x [A cos(2x) +B sen(2x)] + e−x [−2A sen(2x) + 2B cos(2x)] y′ = e−x [(2B −A) cos(2x) + (−2A−B) sen(2x)] e y′′ = −e−x [(2B −A) cos(2x)− (2A+B) sen(2x)] +e−x [−2(2B −A) sen(2x)− 2(2A+B) cos(2x)] y′′ = e−x [(−3A− 4B) cos(2x) + (4A− 3B) sen(2x)] Logo d2y dx2 + 2 dy dx + 5y = e−x[{(−3A− 4B) + 2(2B −A) + 5A} cos(2x) + {(4A− 3B) + 2(−2A−B) + 5B} sen(2x)] = 0 4. a) A taxa de variac¸a˜o da temperatura no tempo dT dt e´ proporcional a T − Ta, isto e´ dT dt T − Ta = k ou dT dt = k(T − Ta) b) A ide´ia e´ procurar uma soluc¸a˜o da forma T (t) = Aekt+B, ajustando os valores de A e B. Subtitu´ındo T (t) e T ′(t) = kAekt na equac¸a˜o, obtemos kAekt = k(Aekt+B−Ta). Assim B = Ta e nossa soluc¸a˜o e´ T (t) = Aekt + Ta 2 . Falta determinar A. Como T (0) = T0, segue que fazendo t = 0 obtemos T0 = A+ Ta ou A = T0 − Ta. Assim T (t) = (T0 − Ta)ekt + Ta. c) Quando o tempo aumenta, T (t) deve tender para Ta a temperatura ambiente.Enta˜o k deve ser negativo, para que lim t→+∞ e kt = 0. Temos dois casos: Figura 1: T0 > Ta Figura 2: T0 < Ta 5. Seja f(t) = a 1 + be−0,7t com f(0) = 20 e f ′(0) = 12. Como f ′(t) = −a(−0, 7be−0,7t) (1 + be−0,7t)2 , obtemos f(0) = a 1 + b = 20 e f ′(0) = 0, 7ab (1 + b)2 = 12. Da segunda equac¸a˜o temos usando a primeira: 12 = 0, 7b 1 + b a 1 + b = 0, 7b 1 + b 20 3 ou seja 12(1 + b) = 14b ou b = 6. Voltando para a primeira temos a 1 + b = 20 ou a = 140. Enta˜o f(t) = 140 1 + 6e−0,7t Quando t cresce, e−0,7t tende a 0, logo f(t) se aproxima de 140 6. i) A = pir2 dA dr = 2pir ii) V = 4pi 3 r3 dV dr = 4pir2 iii) V = pir2h dV dr = 2pirh iv) dV dh = pir2 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 07: Encontros 21 e 22. 1. Determine dydx , onde y e´ a func¸a˜o definida implicitamente pela equac¸a˜o: (a) y4 + xy2 − x2y = 0 (b) ey cosh−1(y) = x (c) xy + yx = 2 2. Calcule as equac¸o˜es das retas tangente e normal a lemniscata dada impli- citamente por 3(x2 + y2)2 = 100(x2 − y2) no ponto (4, 2). 3. Verifique que arcsenh(tg x) = ln(secx+tg x) 4. Uma piscina tem 8m de largura, 10m de comprimento, 1m de profundi- dade nas extremidades e 3m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados. Despeja-se a´gua na piscina a uma taxa de 0, 6m3/min. Seja h a altura da a´gua em relac¸a˜o a` parte mais profunda da piscina. A que velocidade h estara´ variando no instante em que h = 1m? 1 5. Quando o sangue flui ao longo de um vaso sangu´ıneo, o fluxo F (volume de sangue passando, por unidade de tempo, por um ponto dado) e´ pro- porcional a` quarta poteˆncia do raio R do vaso, ou seja, F = kR4, em que k e´ uma certa constante. Essa lei e´ conhecida como Lei de Poiseuille. Uma arte´ria parcialmente obstru´ıda pode ser alargada por uma operac¸a˜o chamada angioplastia, na qual um cateter do tipo bala˜o e´ inflado dentro da arte´ria a fim de aumenta´-la e restaurar o fluxo normal do sangue. Mostre que a variac¸a˜o relativa ocorrida em F e´ cerca de quatro vezes a variac¸a˜o relativa ocorrida em R. Como um aumento de 5% no raio da arte´ria afetara´ o fluxo de sangue? 6. Usando os princ´ıpios da f´ısica, pode ser mostrado que, quando um cabo e´ pendurado entre dois postes, toma a forma de uma curva y = f(x), que satisfaz a equac¸a˜o diferencial: d2 y dx2 = ρg T √ 1 + ( d y dx )2 , em que ρ e´ a densidade linear do cabo, g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade e T e´ a tensa˜o no cabo no ponto mais baixo, tendo sido o sistema de coordenadas apropriadamente escolhido. Verifique que a func¸a˜o y = f(x) = T ρg cosh (ρg T x ) e´ uma soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o diferencial. Qual a inclinac¸a˜o da reta tan- gente ao cabo no ponto em que x = 0? 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 07: Encontros 21 e 22. GABARITO 1. Vamos derivar implicitamente em relac¸a˜o a x, onde y = y(x), usaremos: (P1) Derivada da soma (P2) Regra do produto (P3) Regra do quociente (P4) Regra da cadeia (P5) [ f(x)g(x) ]′ = f(x)g(x). [g(x) ln(f(x))] ′ (P6) Regra da poteˆncia: (xn)′ = nxn−1 (P7) Derivada de (α.f)′ = α.f ′ (a) y4 + xy2 − x2 = 0 (y4 + xy2 − x2.y)′ = 0′ (y4)′ + (xy2)′ − (x2.y)′ = 0 P1 4y3 dy dx + x′.y2 + x.(y2)′ − ( 2x.y + x2 dy dx ) = 0 P2 e P4 4y3 dy dx + 1.y2 + x.2y dy dx − 2xy − x2 dy dx = 0 P4 e P6 dy dx . ( 4y3 + 2xy − x2) = 2xy − y2 dy dx = 2xy − y2 4y3 + 2xy − x2 (b) ey. cosh−1(y) = x ( ey. cosh−1(y) )′ = x′ (ey)′. cosh−1(y) + ey(cosh−1(y))′ = 1 P2 ey dy dx . cosh−1(y) + ey 1√ y2 − 1 dy dx = 1 P4 dy dx ( ey ( cosh−1(y) + 1√ y2 − 1 )) = 1 dy dx = e−y cosh−1(y) + 1√ y2 − 1 dy dx = e−y √ y2 − 1 1 + cosh−1(y) √ y2 − 1 1 (c) xy + yx = 2 (xy + yx) ′ = 2′ (xy) ′ + (yx) ′ = 0 P1 xy. [y. ln(x)] ′ + yx. [x. ln(y)] ′ = 0 P5 xy. [ dy dx . ln(x) + y 1 x ] + yx. [ 1. ln(y) + x. 1 y dy dx ] = 0 P2 e P4 dy dx [ xy ln(x) + xyx−1 ] = − (yxy−1 + yx ln(y)) dy dx = − yx y−1 + yx ln(y) xy ln(x) + xyx−1 2. Determinando as equac¸o˜es das retas tangente e normal a limniscata no ponto (4, 2). 3(x2 + y2)2 = 100(x2 − y2)( 3(x2 + y2)2 )′ = ( 100(x2 − y2))′ 2.3(x2 + y2).(x2 + y2)′ = 100(x2 − y2)′ P4 e P7 6(x2 + y2). ( 2x+ 2y dy dx ) = 100 ( 2x− 2y dy dx ) P4 e P6 6(42 + 22). ( 2.4 + 2.2 dy dx ) = 100 ( 2.4− 2.2dy dx ) x = 4 e y = 2 dy dx = − 2 11 Como a equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por y − y0 = m(x− x0)⇒ 2x+ 11y = 30 e da reta normal y − y0 = − 1 m (x− x0)⇒ 2y − 11x = −40 3. Verifique que sinh−1(tan(x)) = ln(sec(x) + tan(x)) Seja y = sinh−1(tan(x))⇒ sinh(y) = tan(x) da´ı ey − e−y 2 = tan(x) fazendo u = ey teremos u− 1u 2 = tan(x)⇒ u2 − 2 tan(x)u− 1 = 0 2 Figura 1: Curva Limniscata sendo esta u´ltima, uma equac¸a˜o do segundo grau de varia´vel u, da´ı u = 2 tan(x)± √ 4 tan2(x) + 4 2 u = 2 tan(x)± 2 sec(x) 2 u = tan(x) + sec(x) pois u ≥ 0 ey = tan(x) + sec(x) pois u = ey y = ln(tan(x) + sec(x)) da´ı segue que, sinh−1(tan(x)) = ln(sec(x) + tan(x)) 4. Queremos determinar a que velocidade h esta´ variando no instante em que h = 1m x h = 10 2 ⇒ x = 5h da´ı podemos calcular o volume do prisma de a´gua Ab = 5h2 2 3 volume do prisma V = Ab × 8⇒ V = 5h 2 2 × 8⇒ V = 20h2 Assim, teremos V (t) = 20h2(t) da´ı dV dt = 40h(t) dh dt como dV dt = 0, 6 segue que 0, 6 = 40.1 dh dt ⇒ dh dt = 0, 015m/s 5. F = kR4 Temos que ∆F ∆R ≈ dF dR ∆F ∆R ≈ 4kR3 ∆F ≈ 4kR3∆R ∆F F ≈ 4kR 3∆R F ∆F F ≈ 4kR 3∆R kR4 ∆F F ≈ 4∆R R sendo, ∆R R = 5% teremos ∆F F = 20% 6. y = T ρg cosh (ρg T x ) note que dy dx = sinh (ρg T x ) 4 assim, ρg T √ 1 + ( dy dx )2 = √ 1 + sinh2 (ρg T x )ρg T = √ cosh2 (ρg T x )ρg T = cosh (ρg T x ) ρg T = d2y dx2 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 08: Encontros 24 e 25. 1. Encontre os pontos de ma´ximo e mı´nimo globais da func¸a˜o f(x) = 18x+ 15x2 − 4x3, no intervalo [−3, 4] e determine os valores ma´ximo e mı´nimo globais que a func¸a˜o assume. Ale´m destes, a func¸a˜o admite outros pontos de ma´ximo/mı´nimo locais? Se sim, diga quais. 2. A figura abaixo mostra o gra´fico de uma func¸a˜o em que aparecem pontos cr´ıticos e pontos de inflexa˜o destacados. (a) Determine quais sa˜o pontos cr´ıticos, dizendo quais destes sa˜o de ma´ximo local, mı´nimo local ou de inflexa˜o (horizontal) e determine os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o. (b) Determine quais os pontos de inflexa˜o e os intervalos de concavidade para cima e os de concavidade para baixo. 1 3. Um objeto de massa m e´ arrastado ao longo de um plano horizontal por uma forc¸a agindo ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda fizer um aˆngulo θ com o plano, enta˜o a intensidade da forc¸a sera´ F = µmg µ sen θ + cos θ , em que µ e´ uma constante chamada coeficiente de atrito e 0 6 θ < pi/2. Mostre que F e´ minimizada quando θ = arctanµ. 4. Considere a func¸a˜o f(x) = x4 − 8x3 + 16x2 + 4. Determine: (a) seus pontos cr´ıticos, dizendo quais os de ma´ximo/mı´nimo locais, e intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o; (b) os intervalos de concavidade para cima/para baixo e seus pontos de inflexa˜o. 5. Uma pessoa, viajando de carro de Bele´m ate´ Salino´polis, percorre a distaˆncia de 228 km em cerca de treˆs horas. Pode-se afirmar que o motorista viajou a` velocidade constante de 76 km/h? Pode-se afirmar que em pelo menos um momento da viagem o motoristo esteve a 76 km/h? Justifique sua resposta. (Utilize no Teorema do Valor Me´dio) 6. Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x) = x x2 + 1 , e determine quais sa˜o de ma´ximo e quais sa˜o de mı´nimo utilizando: (a) o Teste da Primeira Derivada; (b) o Teste da Segunda Derivada; e diga qual o me´todo que voceˆ preferiu. 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 09: Encontros 27 e 28. 1. Calcule os limites laterais (ambos) indicados abaixo: (a) lim x→a± 1 x− a (b) lim x→3± 1 (x− 3)2 (c) lim x→2± x− 5 x2 − 3x+ 2 2. Calcule os limites no infinito indicados abaixo: (a) lim x→+∞ 2x3 − x+ 5 5x3 − 8x2 + 2x (b) lim x→−∞ −x4 − 3x− 25 2x5 − 8x3 + 9x (c) lim x→0− arctan( 1 x ) (d) lim x→+∞ ( 3 + 2 e−2x ) 3. Determine intervalos de crescimento/decrescimento, concavidades, limites pertinentes e esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 3x5 − 20x3 + 2 4. Determine intervalos de crescimento/decrescimento,concavidades, limites pertinentes e esboce o gra´fico da func¸a˜o g(x) = x+ 1 x2 + 1 5. Ummodelo usado para a produc¸a˜o Y de uma colheita agr´ıcola como func¸a˜o de n´ıvel de nitrogeˆnio N no solo (medido em unidades apropriadas) e´ Y = kN 1 +N2 , em que k e´ uma constante positiva. Que n´ıvel de nitrogeˆnio fornece a melhor produc¸a˜o? 1 6. A energia gasta por um peixe ao nadar a uma velocidade v em relac¸a˜o a` a´gua, por unidade de tempo, e´ proporcional a v3. Acredita-se que os peixes migrato´rios tentam minimizar a energia total necessa´ria para nadar uma distaˆncia fixa. Se o peixe estiver nadando contra uma corrente u (u < v), enta˜o o tempo necessa´rio para nadar a uma distaˆncia L e´ L/(v − u) e a energia total E requerida para nadar a distaˆncia e´ dada por E(v) = av3 L v − u, em que a e´ uma constante de proporcionalidade. Determine o valor de v que minimiza E (na˜o deixe de mostrar que o valor encontrado e´, de fato, um ponto de mı´nimo!) 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 10: Encontros 33 e 34. 1. Determine a famı´lia de primitivas (primitiva geral) de cada uma das func¸o˜es abaixo: (a) g(x) = 8x9 − 3x6 + 12x3 (b) f(x) = 3 e2x+7 sec2 x (c) h(θ) = cos(2θ) + sen(5θ) 2. Determine f em cada um dos casos abaixo: (a) f ′′(θ) = 12 sen(2θ)− 18 cos(3θ), f ′(0) = 0, f(0) = 3. (b) f ′′(t) = 2 et+3 sen t, f(0) = 0, f(pi) = 0. 3. Expresse, em termos de integral das func¸o˜es, a a´rea das regio˜es hachuradas em cada caso abaixo: (a) 1 (b) 4. Calcule “geometricamente” as integrais abaixo, fazendo interpretac¸o˜es em termos de a´rea: (a) ∫ 2 −2 √ 4− x2 dx (b) ∫ 3 −1 (3− 2x) dx 5. Determine o valor de ∫ 5 0 f(x) dx, se f(x) = { 3 se x < 3 x se x > 3 6. Use as propriedades da integral para mostrar que √ 2pi 24 6 ∫ pi 4 pi 6 cosxdx 6 √ 3pi 24 sem calcular a integral. 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 11: Encontros 36 e 37. 1. Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo: (a) g(x) = ∫ x 0 cos(s) ln((s2 + 5) + es) ds (b) f(x) = ∫ 3x2 5 e2ξ ξ2 dξ (c) h(x) = ∫ x2 x θ cos(2θ) dθ 2. Calcule as integrais dadas abaixo: (a) ∫ ex ex+1 dx (b) ∫ √pi 0 ξ cos(ξ2) dξ (c) ∫ a 0 t √ a2 − t2 dt 3. Determine a a´rea de cada uma das regio˜es delimitadas pelas curvas abaixo, desenhando um retaˆngulo t´ıpico aproximado, colocando sua base e altura: (a) y = x2 + 1 , y = 3− x2 , x = −2 , x = 2 (b) y = 3x2 , y = 8x2 , 4x+ y = 4 , x > 0 4. Determine o volume do so´lido obtido a partir da rotac¸a˜o em torno do eixo y da regia˜o delimitada pelas curvas x = y2 + 1 e x = 5: (a) pelo Me´todo do Fatiamento; (b) pelo Me´todo das Cascas Cili´ındricas. 1 GABARITO 1. a) g(x) = ∫ ( ) ( ) g’(x) = (x) (x ) b) f(x) = ∫ f’(x) = ( ) ( ) . ( ) = . = c) h(x) = ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) Logo, h’(x) = x.cos(2x) + ( ) ( ) = x.cos(2x) + ( ) 2. a) ∫ { = = = ∫ = ln|u| + C = ln( ) + C b) ∫ ( √ ) { = = = = = √ = = ∫ ( ) = [ ( )] = ( – ) = ( ) = c) ∫ √ { = = = = = = = ∫ √ ( ) = ∫ √ = [ ] = = 3. (a) y = x2 + 1 , y = 3 - x2, x = -2 , x = 2 Pode-se resolver a alternativa (a), de duas maneiras. (1ª Solução) Tem-se que a área A, será: A= ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) = [ ] [ ] [ ] = = 8 (2ª Solução) A = ∫ | ( )| = ∫ | | Como a função é par, = 2∫ | | | | = { ( ) Assim, = 2.[∫ ( ) ∫ ( ) ] = 2.([ ] [ ] ) = 2.{[ ] + [ ( )]} = 2.( ) = 8 (b) y = 3x2 , y = 8x2, 4x+y = 4 , x ≥ 0 (*) Determinação de a : Função: y = 8x 2 (1) Reta: y = 4 4x (2) Substituindo (2) em (1), tem-se: 8 = = { = ( ) = Portanto a = (**) Determinação de b : Função: y = 3x 2 (3) Reta: y = 4 4x (4) Substituindo (4) em (3), tem-se: = { = ( ) = Logo = Com isso, a área A será: A= ∫ ( ) ∫ [( ) ] = ∫ ( ) ∫ [ ] = 5. ] [ ] = = 4. Considere a figura a seguir: (a) Pelo método do fatiamento A(y) = = = ( ) = [ ( ) ] = ( ) V =∫ ( ) = ∫ ( ) = 2 ∫ ( ) = 2 .[ ] = = (b) Pelo método das cascas cilíndricas dV = 2 = ( √ ) V = ∫ ( √ ) = 4 ∫ √ { = = = = = = = V = 4π∫ ( ) √ = ∫ ( ) = [ ] = ( ) = = UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 12: Encontros 39 e 40. 1. Determine as integrais abaixo: (a) ∫ t sen(t) dt (b) ∫ 9 4 ln ξ√ ξ dξ (c) ∫ e3θ cos(θ) dθ 2. Primeiro fac¸a uma substituic¸a˜o e enta˜o use integrac¸a˜o or partes para cal- cular as seguintes integrais: (a) ∫ t3 e−t 2 dt (b) ∫ pi 0 ecos x sen 2x dx (c) ∫ sen(lnu) du 3. Calcule as integrais dadas abaixo: (a) ∫ sen6x cos3xdx (b) ∫ 1 0 ξ √ ξ2 + 4dξ (c) ∫ x2 + 1 (x2 − 2x+ 2)2 dx 4. Um foguete acelera pela queima do combust´ıvel a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lanc¸a- mento (incluindo o combust´ıvel) seja m, que o combust´ıvel seja consumido 1 a uma taxa r, e que os gases de exausta˜o sejam ejetados a uma veloci- dade constante ve (relativaao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete a um tempo t e´ dado pela seguinte equac¸a˜o: v(t) = −gt− ve ln m− rt m em que g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade, e t na˜o e´ muito grande. Se g = 9.8m/s2, m = 30000 kg, r = 160 kg/s e ve = 3000m/s, ache a altitude do foguete 1 minuto apo´s o lanc¸amento. 5. (Questa˜o importante, que aparecera´ futuramente, em outras disciplinas, quando se for estudar Expansa˜o em Se´ries de Fourier) Sejam m e n inteiros positivos. Mostre que:∫ pi −pi sen(mx) sen(nx) dx = { pi , se m = n 0 , se m 6= n 2 Q1 a) ∫ tsen(t)dt = −tcos(t)− ∫ −cos(t)dt = −tcos(t) + sent+ C b) ∫ 9 4 ( lnζ√ ζ ) dζ = [ 2 √ ζln(ζ) ]9 4 − ∫ 9 4 2 √ ζ 1 ζ dζ = 6ln9− 4ln4− ∫ 9 4 2√ ζ dζ = 6ln9− 4ln4− [ 4 √ ζ ]9 4 = 6ln9− 4ln4− 4 = 12ln3− 8ln2− 4 c) ∫ e3θcos(θ)dθ = e3θsen(θ)− ∫ 3e3θsen(θ)dθ = e3θsen(θ)− 3 ∫ e3θsen(θ)dθ = e3θsen(θ)− 3 [ −e3θcos(θ)− ∫ 3e3θ(−cos(θ)dθ ] ∫ e3θcos(θ)dθ = e3θsen(θ) + 3e3θcos(θ)− 9 ∫ e3θcos(θ)dθ∫ e3θcos(θ)dθ + 9 ∫ e3θcos(θ)dθ = e3θ(sen(θ) + 3cos(θ)∫ e3θcos(θ)dθ = e3θ 10 (sen(θ) + 3cos(θ)) Q2 a) Fazendo u = −t2, dudt = −2t, isto é, tdt = −du2 , logo∫ t3e−t 2 dt = ∫ t2e−t 2 tdt = ∫ −ueu (−du 2 ) = 1 2 ∫ ueudu = 1 2 [ ueu − ∫ 1eudu ] = 1 2 (ueu − eu) = eu 2 (u− 1) = e−t 2 2 (−t2 − 1) = e−t 2 2 (t2 + 1) + C 1 b) Fazendo u = cos(x), temos du = −sen(x)dx, Para x = 0, u = 1 e x = Π, u = −1∫ Π 0 ecosxsen(2x)dx = ∫ Π 0 ecosx2sen(x)cos(x)dx = 2 ∫ Π 0 cos(x)ecosxsen(x)dx = 2 ∫ −1 1 ueu(−du) = 2 ∫ 1 −1 ueudu = 2 ( [ueu]1−1 − ∫ 1 −1 eudu ) = 2 [ (e+ 1 e )− (e− 1 e ) ) = 4 e c) Fazendo v = lnu⇒ u = ev, temos dv = 1udu⇒ du = evdv∫ sen(lnu)du = ∫ sen(v)e(v)dv∫ sen(v)evdv = evsen(v)− ∫ evcos(v)dv = evsen(v)− [ evcos(v)− ∫ ev(−sen(v))dv ] ∫ sen(v)evdv = ev(sen(v)− cos(v))− ∫ evsen(v)dv 2 ∫ sen(v)evdv = ev(sen(v)− cos(v))∫ sen(v)evdv = ev 2 (sen(v)− cos(v)) + C logo ∫ sen(lnu)du = elnu 2 (sen(lnu)− cos(ln(u))) + C = u 2 (sen(lnu)− cos(ln(u))) + C QUESTAO 02 I = ∫ Π −Π sen(mx)sen(nx)dx como sen(a)sen(b) = 1 2 [cos(a− b)− cos(a+ b)] I = ∫ Π −Π 1 2 (cos(mx− nx)− cos(mx+ nx))dx) = ∫ Π −Π 1 2 (cos(m− n)x− cos(m+ n)x)dx) 2 (a) se m 6= n I = [ sen((m− n)x) m− n − sen((m+ n)x) m+ n ]Π −Π = 0 pois sen(KΠ) = 0 para todo K inteiro. se m = n I = 1 2 ∫ Π −Π (cos(0)− cos((m+ n)x)dx = 1 2 [ x− sen((m+ n)x) m+ n ] = Π 3 LISTA 12 3o questa˜o Item (a) Devemos fazer a seguinte mudanc¸a de variave´l: u = sin(x) du = cos(x)dx Assim, ∫ sin6(x) cos3(x) dx = ∫ sin6(x) cos2(x) cos(x) dx = ∫ sin6(x)(1− sin2(x)) cos(x) dx = ∫ u6(1− u2) du = ∫ (u6 − u8) du = u7 7 − u 9 9 + C = 1 7 sin7(x)− 1 9 sin9(x) + C Item (b) Devemos fazer a seguinte mudanc¸a de variave´l: u = ξ2 + 4 du = 2ξ dξ e ainda, ξ = 0→ u = 4 ξ = 1→ u = 5 1 Assim, ∫ 1 0 ξ √ ξ2 + 4 dξ = ∫ 5 4 √ u du 2 = 1 2 [ 2 3 u 3 2 ]5 4 = 1 3 (5 √ 5− 8) Item (c) Devemos fazer a seguinte mudanc¸a de variave´l: x− 1 = tan(u) x = 1 + tan(u) dx = sec2(u) du 2 Assim, ∫ x2 + 1 (x2 − 2x+ 2)2 dx = ∫ x2 + 1 ((x2 − 2x+ 1) + 1)2 dx = ∫ x2 + 1 ((x− 1)2 + 1)2 dx = ∫ (1 + tan(u))2 + 1 (tan2(u) + 1)2 sec2(u) du = ∫ 1 + 2 tan(u) + tan2(u) + 1 sec4(u) sec2(u) du = ∫ 1 + 2 tan(u) + sec2(u) sec2(u) du = ∫ ( 1 sec2(u) + 2 tan(u) sec2(u) + 1 ) du = ∫ (cos2(u) + 2 sin(u) cos(u) + 1) du = u 2 + sin(2u) 4 − cos(2u) 2 + u = 3u 2 + sin(u) cos(u) 2 − cos 2(u)− sin2(u) 2 = 1 2 (3u+ sin(u) cos(u)− cos2(u)− sin2(u)) mas x− 1 = tan(u), logo, u = arctan(x− 1) e sec2(u) = 1 + tan2(u) = 1 + (x− 1)2 = x2 − 2x+ 2 cos2(u) = 1 x2 − 2x+ 2 ⇒ cos(u) = 1√ x2 − 2x+ 2 sin2(u) = 1− cos2(u) = x 2 − 2x+ 1 x2 − 2x+ 2 ⇒ sin(u) = x− 1√ x2 − 2x+ 2 Logo, ∫ x2 + 1 (x2 − 2x+ 2)2 dx = 1 2 ( 3 arctan(x− 1) + x− 1 x2 − 2x+ 2 + x2 − 2x x2 − 2x+ 2 ) +C ∫ x2 + 1 (x2 − 2x+ 2)2 dx = 1 2 ( 3 arctan(x− 1) + x 2 − x− 1 x2 − 2x+ 2 ) +C 3 4o questa˜o Devemos fazer a seguinte mudanc¸a de variave´l: u = 1− 4 750 t du = − 4 750 dt dt = −750 4 du Assim, v(t) = −9, 8t− 3000 ln ( 30000− 160t 30000 ) v(t) = −9, 8t− 3000 ln ( 1− 4 750 t ) ∆S = ∫ 60 0 [ −9, 8t− 3000 ln ( 1− 4 750 t )] dt = [ −9, 8 2 t2 ]60 0 − ∫ 60 0 3000 ln ( 1− 4 750 t ) dt = −4, 9 · 602 − 3000 ∫ 60 0 ln ( 1− 4 750 t ) dt = −4, 9 · 602 − 3000 ∫ 51 75 1 ln(u) ( −750 4 ) du = −4, 9 · 602 + 3000750 4 ∫ 51 75 1 ln(u) du = −17640 + 562500[u ln(u)− u] 51 75 1 = −17640 + 562500 ( 51 75 ln ( 51 75 ) −51 75 + 1 ) = 14844, 1m 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ Projeto Newton - Ca´lculo I Lista 13: Encontros 42 e 43. 1. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. No primeiro caso, calcule-as: (a) ∫ ∞ 0 e−2t dt (b) ∫ ∞ 0 x (x2 + 2)2 dx (c) ∫ 0 −∞ 1 2s− 5 ds 2. Encontre o valor me´dio, fM , da func¸a˜o f(x) = √ x, no intervalo [0, 4]. Encontre c ∈ (0, 4) (cuja existeˆncia e´ grantida pelo Teorema do Valor Me´dio!), tal que f(c) = fM . Esboce o gra´fico da func¸a˜o e um retaˆngulo cuja a´rea e´ a mesma da regia˜o sob o gra´fico da func¸a˜o, no intervalo considerado. 3. Um tanque esfe´rico com raio igual a 3m esta´ preechido ate´ a metade com o´leo de densidade igual a 900 kg/m3. Determine o trabalho necessa´rio para bombear todo o o´leo para uma sa´ıda situada 1m acima do ponto mais alto do tanque. 1 4. Um balde furado de 5 kg e´ levantado do cha˜o ate´ uma altura de 12m, a` velocidade constante, com ajuda de uma corda de densidade linear igual a 0,8 km/m. Inicialmente o balde conte´m 36 kg de a´gua, mas a a´gua vaza a uma taxa constante e o balde acaba ficando vazio justamente quando ele atinge os 12m de altura. Qual o trabalho realizado? 5. A curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ac¸a˜o exclusiva da gravidade e´ conhecida por catena´ria, e pode ser descrita pela equac¸a˜o y = a cosh(x/a). A superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o de uma tal curva em torno do eixo x e´ conhecida por cateno´ide, que e´ um exemplo de superf´ıcie mı´nima, possuindo a propriedade de mi- nimizar a energia associada a` superf´ıcie. Tais superf´ıcies sa˜o capazes de descrever a estabilizac¸a˜o das pel´ıculas de saba˜o 2 e seu estudo possui diversas aplicac¸o˜es em engenharia. Considere a catena´ria dada pela equac¸a˜o y = coshx, −1 6 x 6 1 . Determine: (a) o comprimento da catena´ria; (b) a a´rea do cateno´ide gerado a partir da rotac¸a˜o desta catena´ria em torno do eixo x. 3
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