Problemas de Designação e Programação Linear

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Designação – P1
Trabalhadores A, B e C
Tarefas P, Q e R
Matriz de custos:
Custos
P
Q
R
A
1
2
3
B
2
4
6
C
3
6
12
Cada trabalhador pode realizar somente uma tarefa e uma tarefa pode ser realizada somente por um trabalhador. 
Como designar as tarefas para os trabalhadores de forma a minimizar os custos ?
Problemas de Desiganção
Professores x Disciplinas:
Desempenho
Maximizar interesse
Tarefas x Pessoas
Minimizar tempo
Maximizar produtividade
Designação – P2
Trabalhadores A, B, C e D
Tarefas P, Q, R e S
Matriz de custos:
Custos
P
Q
R
S
A
1
2
3
4
B
2
4
6
8
C
3
6
9
12
D
4
8
12
16
Cada trabalhador pode realizar somente uma tarefa e uma tarefa pode ser realizada somente por um trabalhador. 
Como designar as tarefas para os trabalhadores de forma a minimizar os custos ?
Ex 1 - Restaurante
O gerente de um restaurante que está encarregado de servir o almoço, em uma convenção, nos próximos 4 dias tem que decidir como resolver o problema do suprimento de guardanapos. As necessidades para os 4 dias são 110, 210, 190 e 120 unidades respectivamente. Como o guardanapo é de um tipo especial, o gerente não tem nenhum em estoque e suas alternativas durante os 4 dias são comprar guardanapos novos ao preço de $10 cada um ou mandar guardanapos já utilizados para a lavanderia.
O guardanapos já usados que forem para a lavanderia podem receber 2 tratamentos:
(a) Devolução em 48 horas ao preço de $3 a peça.
(b) Devolução em 24 horas ao preço de $5 a peça.
Considerando que o objetivo do gerente é minimizar o custo total com os guardanapos formule um modelo para o problema.
As seguintes observações devem ser levadas em conta:
O tempo da lavanderia é considerado ser exato, ou seja, o guardanapo enviado as 15 horas de um dia volta as 15 horas do dia seguinte (serviço de 24 horas) ou seja após o almoço. Idem para o serviço de 48 horas. Após a convenção os guardanapos serão jogados no lixo.
A previsão de vendas para os próximos 3 meses (em milhares de unidades) é apresentada na tabela abaixo:
A fábrica é capaz de produzir 16 mil unidades durante os meses de Outubro e Novembro ao custo de R$ 2,00/unidade e 8 mil unidades nos demais meses ao custo de R$2,80/unidade. 
Adicionalmente, o estoque ao final do mês pode ser armazenado ao custo de R$ 1,00/unidade ao mês.
Dada a demanda corrente não há estoque ao final do mês de setembro e também não se deseja existência de estoque ao final do mês de dezembro.
Apresente o modelo de programação linear que minimize o custo total de produção para atendimento da demanda prevista.
Mês
Previsãode Vendas
Outubro
10
Novembro
16
Dezembro
10
Ex 2 - Multiperíodo
Set
Out
Nov
Dez
Jan
Estoque Set
Estoque Out
Estoque Nov
Estoque Dez
Produzido
Outubro - QPO
Produzido
Novembro - QPN
Produzido
Dezembro - QPD
Entregue
Outubro - QEO
Entregue
Novembro - QEN
Entregue
Dezembro - QED
A previsão de vendas para os próximos 3 meses (em milhares de unidades) é apresentada na tabela abaixo:
A produção de setembro foi de 12 mil unidades. A variação na quantidade a ser produzida acarreta alguns custos:
A produção pode ser reduzida de mês para outro a um custo de R$ 0,50/unidade e pode ser aumentada a um custo de R$ 2,00/unidade. 
Adicionalmente, o estoque ao final do mês pode ser armazenado ao custo de R$ 1,00/unidade ao mês.
Dada a demanda corrente não há estoque ao final do mês de setembro e também não se deseja existência de estoque ao final do mês de dezembro.
Apresente o modelo de programação linear que minimize o custo total de produção (taxa de variação da produção mais custo de estocagem) para atendimento da demanda prevista.
Mês
Previsãode Vendas
Outubro
10
Novembro
16
Dezembro
10
Ex 3- Multiperíodo
Ex 4 - Multiperíodo
Deseja-se investir $14.000, $12.000 e $15.000 em cada mês do próximo trimestre. Foram identificadas 4 oportunidades de investimento: Investimento 1 requer $5.000, $8.000 e $2.000 no mês 1, 2 e 3, respectivamente, e tem um valor presente de $8.000; Investimento 2 requer $7.000 no mês 1 e $10.000 no mês 3, tendo um valor presente de $11.000; Investimento 3 requer $4.000 no período 2 e $6.000 no período 3, tendo um valor presente de $6.000; Investimento 4 requer $3.000, $4.000 e $5.000, tendo valor presente de $4.000. Como realizar o investimento?
Multiperíodo 5
Valor inicial existente: $80000 
Período de Investimento: 4 meses 
Papéis do governo com prazo de 2 meses: retorno de 3% 
Papéis do governo com prazo de 3 meses: retorno de 6,5% 
Depósito bancário: juros de 1% 
No início do quinto mês no mínimo $ 40000 são necessários 
Máxima quantidade investida em papéis de 2 ou 3 meses é de $ 32000
Mathematical model
Objective function (total return) Max z = 0.03B1 + 0.03B2 + 0.03B3 + 0.03B4 + 0.065C1 + 0.065C2 + 0.065C3 + 0.065C4 + 0.01D1 + 0.01C2 + 0.01C3 + 0.01D4 
B1 + C1 + D1 = 80000 
B2 + C2 - 1.01D1 + D2 = 0 
-1.03B1 + B3 + C3 - 1.01D2 + D3 = 0 
-1.03B2 + B4 - 1.065C1 + C4 - 1.01D3 + D4 = 0 
1.03B3 + 1.065C1 + 1.01D4 >= 40000 
B1 <= 32000 
B1 + B2 <= 32000 
B2 + B3 <= 32000 
B3 + B4 <= 32000 
C1 + <= 32000 
C1 + C2 <= 32000 
C1 + C2 + C3 <= 32000 
C2 + C3 + C4 <= 32000 
Bi , Ci , Di >= 0, for i = 1, 2, 3, 4
Decision variables 
Βj = amount to be invested in government bonds at the beginning of the month j 
Cj = amount to be invested in government bills at the beginning of the month j 
Dj= amount to be invested in bank deposits at the beginning of the month j
Objective function (total return) Max z = 0.03B1 + 0.03B2 + 0.03B3 + 0.03B4 + 0.065C1 + 0.065C2 + 0.065C3 + 0.065C4 + 0.01D1 + 0.01C2 + 0.01C3 + 0.01D4 
Basic rule of capital flow: 
Invested amount (start t) + Cash available (start t) = 
Available amount (end t-1) + Cash available (end t-1)