ATPS CALCULO III

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Curso: ENGENHARIA MECÂNICA,ELÉTRICA E PRODUÇÃO
Disciplina: CÁLCULO III
Professor: 
Alunos CURSO
Nome:	 RA: 
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Nome: 	 RA: 
Nome:			 RA: 
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
Anápolis.
2013
ÍNDICE
											PG
Etapa	1	Integral Definida , Integral Indefinida	 03
 Passo 1	 História e Surgimento da Integral	 	 03
 Passo 2	 Desafio A						 	 05
 Passo 2 	 Desafio B							 06
 Passo 2	 Desafio C							 07
 Passo 2	 Desafio D							 08
 Passo 3									 09
 Passo 4									 10
Etapa	2	Integração por Substituição. Integração por Partes		 11			
 Passo 1 Surgimento das Técnicas de Integração	 11 
 Passo 2					 				 14
 Passo 3									 15
 Passo 4									 15
Etapa 1
Passo 1
Façam as atividades apresentadas a seguir.
1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.
2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.	
História e Surgimento da Integral: 
Juntamente com Gauss e Newton, Arquimedes cientista e matemático grego, foi considerado como um dos três grandes nomes da história.
Começou a calcular a área pelo “método de exaustão”, consiste na inscrição de sucessão de polígonos regulares no circulo conforme aumenta os números de lados dos polígonos dentro do circulo aproxima-se cada vez mais da área exata do circulo. Esse “método de exaustão” era um procedimento muito complicado, Issac Newton e Leibniz descobriram método geral de obtenção de áreas que utilizasse a noção de limites.
 Figura 1 – Preenchimento da área pelo modo de Exaustão
 Integral Indefinida: Todo e qualquer tipo de integral serve para calcular área de um gráfico, usa-se muito em gráficos de curvas onde dificulta o calculo da área. O processo de encontrar antiderivadas é denominado antiderivação, antidiferenciação ou ainda integração. 
Utilizando Métodos dos Retângulos para encontrar Áreas
Dividi-se o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais em cada um deles constrói um retângulo que se estende no eixo x até algum ponto da curva y=f(x), onde para cada n, a área total dos retângulos pode ser vista como aproximação da área exata sob a curva acima do intervalo [a,b]. Quando maior o numero de n, aproximasse para calculo da área exata de um limite.(figura xx).Assim,se A denota a área exata sob a curva e An, denota a aproximação de A usando n retângulos, então : 
 	A= lim An
n->+∞
	 Figura 2 – Preenchimento da Área pelo método de Retângulos
3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar as páginas:
 GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso em:
22 abr. 2012.
• Curso de GeoGebra. Disponível em:
<http://www.youtube.com/playlist?list=PL8884F539CF7C4DE3>.
 Acesso em: 22 abr. 2012.
Passo 2
Desafio A
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de :
 
 
RESPOSTA CORRETA: Alternativa (b)
 F(a)=12
 F(a) =
 F(a) =
 F(a) =
 F(a) =
Desafio B
Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:
C’(q) = 1000 + 50q
C(0) = 10000
 = + 
1000q + 50 + C = 1000q + 25 + C
=10000 + 1000q + 25
RESPOSTA CORRETA: Alternativa (a)
(a) C(q) =10.000 +1.000q + 25
(b) C(q) =10.000 + 25q +1.000
(c) C(q) =10.000
(d) C(q) =10.000 + 25
(e) C(q) 10.000q 
Desafio C
No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?
 = 
U = 0,07t du = 0,07dt 
16,1. = . du
230. + C = 230 + C
 + C
= 230 - 230 = 304.319 – 264.562 = 39,76
RESPOSTA CORRETA: Alternativa (c)
(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo
(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo
(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo
(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo
(e) Nenhuma das alternativas
Desafio D
A área sob a curva y = de x = -3 a x = 2
dx
U = du = xdx 2du = xdx
 dx = 2xdx
 2du = 
= 2 + C = 2 + C
 = 2 - 2
= 5,436 – 0,446 = 4,99
RESPOSTA CORRETA: Alternativa (a)
a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22
Passo 3
Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.
Para o desafio A:
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio B:
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio C:
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).
Para o desafio D:
Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (e).
Ao associar as letras das alternativascorretas conforme as respostas dos exercícios referente ao Passo 2 juntamente com os números dados, obteremos a seguinte seqüência: 3019
Passo 4 
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de
Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
Etapa 2
Passo 1
Façam as atividades apresentadas a seguir.
1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integração por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição.
2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será Imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.
Integral por parte:
Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G'(x)=g(x), então:
 f(x)G'(x) dx = f(x)G(x) - f'(x)G(x) dx
Pela derivada do produto de duas funções, segue que: 
(f(x)G(x))' = f'(x)G(x)+f(x)G'(x) = f'(x)G(x)+f(x)g(x)
e integrando os membros desta última igualdade, obteremos:
 (f(x) G(x))' dx =  [f'(x)G(x) + f(x)g(x)] dx
isto é,
f(x)G(x) =  [f'(x)G(x) + f(x)g(x)] dx
assim,
f(x)G(x) =  f'(x)G(x) dx + f(x)g(x) dx
donde segue o resultado.
Exemplo: Para calcular x.ln(x)dx, tomamos g(x)=x e f(x)=ln(x). Assim, uma primitiva para g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f'(x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que:
 f(x)g(x)dx = f(x)G(x) -f'(x)G(x)dx
Substituindo as funções acima definidas, teremos:
x.ln(x)dx = ln(x).x²/2 -(1/x).xdx
Logo,
x.ln(x)dx = ½ x² ln(x) - x + C
A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.
Integral por substituição
Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções. Para obter a integral da forma:
 f(u(x)) u'(x) dx
substituímos u=u(x) na integral acima e calculamos a integral
 f(u) du
Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada.
u=x²+3x.
(x²+3x)(2x+3)dx=udu=u²/2+C=(x²+3x)²/2+C
u=x²+1.
5x/(x²+1)dx=(5/2)2x/(x²+1)dx=(5/2)du/u=(5/2)ln(u)+C=(5/2)ln(x²+1)+C
u=x+1.
x/(x+1)dx=(u-1)/u du=du-du/u=u-ln(u)+C=x+1-ln(x+1)+C
Passo 2 
Considerem as seguintes igualdades:
I) = II)
U= du= 2t -6 = 
= 
 = =
Podemos afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa
(d) (I) e (II) são falsas
Passo 3 
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos.
Cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).
Ao associar a letra da alternativa correta conforme a resposta do exercício referente ao Passo2 juntamente com os números dados, obteremos a seguinte resposta: 4
Passo 4 
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de
Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
Conclusão do Desafio
Referente às respostas obtidas com os desafios desenvolvidos, podemos concluir que a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto é de 30194.
	
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