Apostila Álgebra

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Apostila super divertida de 
 
Álgebra Linear 
 
Profª Samara Ortiz 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
Capítulo 1 – Matrizes........................................................................................................... 2 
Atividade 01......................................................................................................................... 9 
Lista de Exercícios 01A....................................................................................................... 10 
Lista de Exercícios 01B....................................................................................................... 13 
Lista de Exercícios 01C....................................................................................................... 14 
Capítulo 2 – Determinantes................................................................................................. 19 
Lista de Exercícios 02A....................................................................................................... 25 
Atividade 02......................................................................................................................... 26 
Lista de Exercícios 02B....................................................................................................... 27 
Capítulo 3 – Sistemas Lineares........................................................................................... 28 
Lista de Exercícios 03A....................................................................................................... 34 
Lista de Exercícios 03B....................................................................................................... 37 
Atividade 03......................................................................................................................... 40 
Capítulo 4 – Vetores............................................................................................................ 41 
Lista de Exercícios 04A....................................................................................................... 52 
Lista de Exercícios 04B....................................................................................................... 53 
Lista de Exercícios 04C....................................................................................................... 54 
Capítulo 5 – Espaços Vetoriais............................................................................................ 56 
Lista de Exercícios 05.......................................................................................................... 59 
Capítulo 6 – Transformações Lineares................................................................................ 60 
Lista de Exercícios 06A....................................................................................................... 69 
Lista de Exercícios 06B....................................................................................................... 71 
Capítulo 7 – Autovalor e Autovetor...................................................................................... 72 
Lista de Exercícios 07.......................................................................................................... 75 
Capítulo 8 – Cônicas........................................................................................................... 77 
Lista de Exercícios 08.......................................................................................................... 81 
 
 
 
 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
 CENTRO DE CIÊNCIAS DA ADMINISTRAÇÃO 
 E SÓCIO-ECONÔMICAS – ESAG 
ÁLGEBRA LINEAR – PROFª: SAMARA ORTIZ 
 
2 
 
Capítulo 1 – Matrizes 
 
 
1. HISTÓRICO 
 
 A teoria das matrizes foi criada no século XIX pelo inglês Arthur Cayley (1821-1895). 
Ao criar as matrizes teve como preocupação sua estrutura algébrica, sendo que no princípio 
as matrizes eram utilizadas para resolver sistemas lineares de equações. 
Além de suas aplicações na álgebra vetorial, as matrizes são largamente aplicadas 
nas mais diversas áreas, como exemplo: 
• Nas Engenharias: redes de malhas dos circuitos elétricos, na obtenção de deformações 
em estruturas, no dimensionamento de redes de esgoto. 
• Na economia, administração e contabilidade: tabelas de custos, problemas estatísticos. 
• Na física e mecânica 
• Na computação: um grande número de operações executadas por computadores são 
feitas por programas que envolvem matrizes. 
______________________________________________________________________________________ 
Álgebra Matricial - Aplicações 
 
Projetos assistidos por computador (CAD – Computer-aided design) foram introduzidos no início dos anos 70 
nas industrias automobilísticas, sua aplicação gera uma economia de milhões de dólares a cada ano. 
Hoje, a computação gráfica é o coração, e álgebra linear a alma, de projetos de carros modernos. 
Muitos meses antes que um novo modelo de carro seja construído, os engenheiros projetam e constroem um 
carro matemático – um modelo de arame que existe apenas na memória do computador e em terminais 
gráficos. Esse modelo matemático organiza e influencia cada passo do projeto e da produção do carro. O 
modelo abaixo é um Lincoln Mark VIII (Ford,1993), trabalhando em mais 2600 estações gráficas, os 
engenheiros da Ford aperfeiçoaram o modelo original, desenharam as linhas de fluxo da carroceria, ajustaram 
todo o interior, planejaram e desenharam as partes mecânicas e produziram milhares de desenhos técnicos 
para as peça que os fornecedores irão produzir. Os engenheiros até fizeram um teste de estrada para a 
suspensão do carro matemático, colocaram o carro num túnel de vento matemático e fizeram repetidamente 
testes de colisão no computador! 
O carro em modelo de arame é armazenado na forma de muitas matrizes para cada componente principal. 
Cada coluna de uma matriz fornece as coordenadas de um ponto da superfície de uma componente. Há 
colunas adicionais que descrevem quais os pontos que devem ser ligados por uma curva. Um scanner 
tridimensional gera o conjunto de dados originais, ao passar os sensores por um modelo de argila em tamanho 
real. Cada parte no interior do carro também é armazenada na forma de matrizes. As componentes menores 
são desenhadas numa tela de computador com auxílio de programas gráficos, e as partes maiores são 
formadas fazendo junção matemática das partes menores. 
Posteriormente, os programas matemáticos fornecem mais pontos, curvas e cores que geram as superfícies 
externas do carro, fazendo com que o carro pareça tão real que a sua aparência na tela é como se fosse um 
carro de verdade. Independentemente de se estar trabalhando no design global do carro ou modificando uma 
componente pequena, os engenheiros realizam diversas operações básicas com as imagens gráficas, tais 
como trocar a orientação ou a escala de uma figura, ampliar uma pequena região ou mudar entre posições bi 
e tridimensionais, observa-se que todas as manipulações das imagens, na tela, são realizadas através de 
técnicas da álgebra linear . 
 
Fonte: Álgebra Linear e suas Aplicações (David C. Lay) 
 
 
 
 
 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
 CENTRO DE CIÊNCIAS DA ADMINISTRAÇÃO 
 E SÓCIO-ECONÔMICAS – ESAG 
ÁLGEBRA LINEAR – PROFª: SAMARA ORTIZ 
 
3 
 
2. DEFINIÇÃO 
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da 
ciência e engenharia. Chama-se matriz do tipo mxn a toda tabela constituída por elementos 
dispostos em “m” linhas )( *Nm ∈ e “n” colunas )( *Nn∈ . 
Obs.: }0{* −= NN 
• Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou 
ainda matrizes. 
• Cada elemento de uma matriz costuma ser indicado por “aij”, onde “i” é a linha a que 
pertence o elemento e “j” é a coluna. 
• Usaremos letra MAIÚSCULApara denotar matrizes. 
• A notação de matriz é feita usualmente por colchetes [ ], parênteses ( ) ou duas barras 
║ ║. 
• O número de linhas e colunas especifica a ordem de uma matriz, ou seja: 
 A3x3 matriz de ordem 3 , com 3 linhas e 3 colunas, lê-se 3 por 3. 
 A3x4 matriz de ordem 3x4, com 3 linhas e 4 colunas, lê-se 3 por 4 . 
 
O modelo adotado para representar matrizes nas aulas será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe o exemplo: 
 
 
 
 
[ ]
mxnij
mnmmm
n
n
n
mxn a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A =




























=
......
::
::
......
:
:
:
:
......
......
321
3333231
2232221
1131211 Onde: m é o numero de linhas 
 n é o numero de colunas 
aij é o elemento da matriz 
 ij indica a posição do elemento 
 i é a linha 
 j a coluna 
 












−=
3
2
13
520
321
33xA
 
 
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4 
 
Esta matriz é identificada como uma matriz A de ordem 3x3, podemos identificar seus 
elementos pela notação ij, ou seja: 
a11 (lê-se a um um) é o elemento localizado na 1ª linha e 1ª coluna : 1 
a21 (lê-se a dois um) é o elemento localizado na 2ª linha e 1ª coluna : 0 
a13 (lê-se a um três) é o elemento localizado na 1ª linha e 3ª coluna : 3 
Qual o valor do elemento da matriz A na posição: 
a33 ____ a32_______ a23_______ a12______ 
 
3. TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES 
 
A) Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas (m) é igual ao número de colunas 
(n). (m=n) 
Ex: 





=
82
21
22 xA 










−
=
210
984
321
33xA 












=
2001
0241
1131
0521
44 xA 
[ ]211 =xA 
 
A1) Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde 0=ija para ji ≠ , ou seja os 
elementos que não estão na diagonal principal são nulos. 
Ex: 










=
300
020
001
33xB 
 
 
A2) Matriz identidade é uma matriz quadrada (m=n) ou unidade onde 0=ija , para ji ≠
, e 1=ija para ji = , ou seja os elementos que não estão na diagonal principal são 
nulos. Representada por : In 










=
100
010
001
3I 





=
10
01
2I 
 
 
A3) Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo 
da diagonal são nulos, m = n e 0=ija para ji > . 
 










=
200
540
321
33xB 





=
c
ba
B x 022
 
 
 
 
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5 
 
 
 
A4) Matriz Triangular Inferior é aquela em que m = n e 0=ija para ji < . 
 
 












=
d
c
b
a
C x
233
042
000
000
44 
 
A5) Matriz Simétrica é a matriz quadrada onde jiij aa = 
 
 
A6) Matriz Anti-Simétrica é a matriz quadrada onde jiij aa −= . Uma matriz é anti-
simétrica se TAA −= ou AAT −= . A diagonal principal sempre é nula. 
 










−−
−=
028
205
850
A
 
 
 
B) Matriz Nula ou Zero é aquela que 0=ija para todo i e j. 
Ex: 





=
00
00
22xA [ ]0021 =xA 
 
 
C) Matriz Retangular número de linhas≠número de colunas, m≠n. 
 
Ex: 





=
134
212
32xB 





=
3
2
12xB 
 
 
C1) Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna.(ou vetor coluna) 
Ex: 





=
3
1
12xC 












=
w
z
y
x
C x14 
C2) Matriz linha é uma matriz retangular que possui uma linha. (ou vetor linha) 
 
Ex: [ ]2221 =xF [ ]mwzyxF x =51 
���� = �1 04 3
 
 
���� = 
 4 3 −13 2 0−1 0 5 � 
a
13
 = 8 a
31
 = -8 
a
23
 = 2 a
32
 = -2 
a
13
 = -1 a
31
 = -1 
a
23
 = 0 a
32
 = 0 
���� = �1 2� 
 
 
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Matriz transposta 
 
A matriz transposta da matriz “A”, de ordem mxn, é a matriz "" tA , de ordem mxn, que 
se obtém da matriz “A” permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice. Ou seja: 
ji
T
ij
aA
aA
=
=
 
Ex: 





=
642
351
32x
TA
 
 
Propriedades 
 
TT
TTT
TT
AkkAP
BABAP
AAP
⋅==
+=+=
==
)(
)(
)(
3
2
1
 k=constante 
 
A matriz pode ser quadrada ou retangular. 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 
Diagonal Principal 
 
A diagonal principal de uma matriz quadrada é formada pelos elementos ija onde ji = . 
 






=
2221
1211
22
aa
aa
A x )............,,( 332211 mnaaaa 
 
 
Diagonal Secundária 
 
A diagonal secundária de uma matriz quadrada é formada pelos elementos ija onde 
1+=+ nji . 
 
 
 
 
 
 
Traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. 
 
 
 
 
 
Ex: O traço da Matriz A ⇒ traço =1+2=3 










=
333231
232221
131211
33
aaa
aaa
aaa
A x






=
20
01
22 xA
ii
n
i
mn aaaaatra ∑
=
≅+++=
1
332211
���� = 
1 25 43 6�
 
 
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4. OPERAÇÕES COM MATRIZES 
Multiplicação por Escalar: 
Multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar (nº qualquer). 
K.A = B, onde bij = K. aij 
Propriedades: 
P1 Multiplicação pelo Escalar 1 � 1.A=A 
P2 Distributividade das Matrizes � K.(A+B)=K.A+K.B 
P3 Distributividade dos Escalares � (K1 + K2).A= K1.A + K2.A 
P4 Multiplicação pelo Escalar zero � 0.A = 0 (matriz nula) 
Exemplos: 
Seja ���� = �2 46 8
, resolva: 
a) 2.A = 
b) �� .A = 
Adição de Matrizes: 
Sejam Amxn e Bmxn (matrizes de mesma ordem), A + B = Cmxn, onde: cij = aij + bij 
Propriedades: 
P1 Comutativa � A + B = B + A 
P2 Associativa � A+(B+C)= (A+B) + C 
P3 Elemento Neutro � 0 + A = A 
P4 Elemento Oposto � A + (-A) = 0 (matriz nula) 
Exemplo: Sejam ���� = �2 46 8
 e ���� = � 5 716 9
, resolva: 
a) A + B = 
b) A + 2B = 
Multiplicação entre Matrizes: 
Sejam Amxn e Bnxp, o produto de AxB é Cnxp. Cada elemento cij é obtido multiplicando-se 
ordenadamente os elementos da linha “i” de A pelos elementos da coluna “j” de B, somando-
se os resultados obtidos. 
O produto só existe se o nº de colunas da 1ª matriz for igual ao nº de linhas da 2ª 
matriz. 
Exemplos: 
Sejam ���� = �2 10 3
, ���� = �2 41 1
, ���� = �32
 e ���� = �1 3� resolva: 
a) A x B = 
 
 
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b) A x C = 
c) A x D = 
d) C x D = 
e) D x C = 
 
5. INVERSAS DE MATRIZES 
 
Recordemos que a matriz identidade n x n é a matriz diagonal = 
















1000
0100
0010
0001
L
MOMMM
L
L
L
 
 
que tem todos os elementos da diagonal principal iguais a1 e todos os outros elementos 
iguais a zero. Deduz-se imediatamente da definição de produto matricial que I atua como 
uma identidade para a multiplicação de matrizes: 
AI = A e IB = B 
 
 
Definição: Matriz Invertível 
A matriz quadrada A é denominada invertível se houver uma matriz B tal que AB = BA = 
In 
A matriz não invertível é denominada matriz singular. 
 
Teorema 1: Unicidades de Matrizes Inversas 
Se a matriz A for invertível, existe precisamente uma matriz B tal que AB = BA = In 
 
Teorema 2: Inversas de matrizes 2 x 2 
A matriz A2X2 = 





dc
ba
 é invertível se e somente se ad – bc ≠ 0, e nesse caso A-1






−
−
−
=
ac
bd
bcad
1
. 
 
Esta equação nos fornece a seguinte metodologia para escrever a inversa de uma matriz 
invertível 2 x 2: 
 
♥ Primeiro, permute os dois valores da diagonal principal. 
♥ Depois troque os sinais dos dois elementos que não pertencem à diagonal. 
♥ Por fim, divida cada elemento da matriz resultante por ad – bc. 
 
 
 
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9 
 
Exemplo: ,
95
64






=A
 então ad – bc = 36 – 30 = 6 ≠ 0, e assim, 










−
−
=





−
−
=
−
3
2
6
5
1
2
3
45
69
6
11A
 
 
Teorema 3: Álgebra de Inversas Matrizes 
Se as matrizes A e B do mesmo tamanho são invertíveis, então: 
� A-1 é invertível e (A-1)-1 =A 
� Se n é um número inteiro negativo, então An é invertível e (An)-1 = (A-1)n 
� O produto AB é invertível e (AB)-1 = B-1 A-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 01 – ENTREGAR! 
 
 
1) Uma loja de discos vende 70 Lps, 40 fitas cassete e 15 Cds por semana. O preço de 
venda dos Lps é R$ 10,50, fitas cassetes por R$ 9,50 e Cds por R$ 12,90. O custo para a 
loja é de R$ 8,00 para um LP, R$ 6,50 para uma fita cassete e R$ 10,10 para um CD. 
Encontre o lucro semanal para esta loja através de operações com matrizes. 
 
2) Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Para a produção desses doces são 
utilizados três ingredientes básicos: X, Y e Z. As quantidades de cada um dos ingredientes 
ficam assim distribuídas: para a fabricação de um doce do tipo 
A são necessárias 5 unidades do ingrediente X; 3 unidades do 
ingrediente Y e 4 unidades do ingrediente Z. Na fabricação de 
um doce do tipo B são necessárias 8 unidades do ingrediente 
X; 2 unidades do ingrediente Y e 7 unidades do ingrediente Z. 
a) Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces 
do tipo B por dia. Qual a quantidade total utilizada diariamente 
dos ingredientes X, Y e Z? 
b) Suponha que a doceira trabalhe 20 dos 30 dias do mês, qual 
o consumo mensal (em unidades) dos ingredientes X, Y e Z? 
c) Se os preços unitários dos ingredientes X, Y e Z são respectivamente: R$ 0,40; R$ 0,50 
e R$ 0,60; encontre o custo total da produção diária e mensal da doceira. 
 
 
 
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Lista de Exercícios 01A 
 
1) Escrever as matrizes: 
a) A é de ordem 4x3 com aij = -1 para i ≠ j e aij = 1 se i = j. 
b) A é de ordem 2x5 com aij = k para i = 2j e aij = 0 se i ≠ 2j. 
c) A é de 5ª ordem com aij = 2 para i + j = 4 e aij = 1 se i + j ≠ 4. 
d) A é de terceira ordem com aij = i + 3j – 2. 
e) A é de 4ª ordem com aij = k para i = j e aij = -1 se i ≠ j. 
f) A=(aij)3x4 onde aij = 2i - 4j. 
g) A=(aij)4x4 onde : 





<−
>+
=
=
jiseji
jiseji
jise
aij
1
 
2) Associe à figura uma matriz de 4ª ordem, utilizando aij = 0 se os pontos i e j estiverem 
ligados; caso contrário utilizar aij = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
3) O quadrado desenhado tem os lados medindo 4 cm, construa a matriz de 4ª ordem, 
sendo aij igual a distância entre os pontos i e j. 
 
 
 
 
 
 
 
4) Para que valor de x e y a matriz “A” é uma matriz diagonal? 
 
 
5) Ache a transposta da matriz: 
 
 
 






−
−
=
9173
8532
42 xA
1 3 
4 2 
 
 
1 2 
3 4 










−−−−
−+
=
000
11534
032
33 yxyx
yx
A x
 
 
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6) Encontre a matriz B=(bij)3X3 onde bij = 2i – j ² 
 
 
7) Encontre a matriz C=(cij)4X4 onde cij 5+i se i=j 
 i + 2j se i > j 
 3i - j se i < j 
 
8) Encontre os valores de x, y,z de modo que a matriz A seja uma matriz diagonal 










−+
+
+−
=
103
04
3203
33
yx
zx
yx
A x 
 
9) Determinar a matriz AT 






−−
−−
=
51175
43132
42 xA 
 
10) Dada a matriz: 










−
−=
724
052
631
33xA 
 
a) Identifique a diagonal principal 
b) Determine o Traço 
 
11) Encontre a transposta da matriz B=(bij)3X3 onde bij = i ² – j ² 
 
12) Calcule x, y, z e t para que A=B, sendo B(bij)2X2 com bij = (i - j)² e 






−−
−+
=
tzyx
tzyx
A x 4
223
22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 
 
Respostas da Lista de Exercícios 01A 
 
1a) ���� = � 1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 1−1 −1 −1� 1b) ���� = �
0 0 0 0 0� 0 0 0 0
 
1c) ���� = !!
!"1 1 2 11 2 1 12 1 1 11 1 1 11 1 1 1#$$
$%
 1d) ���� = 
2 5 83 6 94 7 10� 
1e) ���� = � � −1 −1 −1−1 � −1 −1−1 −1 � −1−1 −1 −1 � � 1f) ���� = 
−2 −6 −10 −140 −4 −8 −122 −2 −6 −10� 
1g) ���� = �1 −1 −2 −33 1 −1 −24 5 1 −15 6 7 1 � 2) ���� = �
1 0 1 10 1 1 11 1 1 01 1 0 1� 
3) ���� = !!
!" 0 4 4√2 44 0 4 4√24√2 4 0 44 4√2 4 0 #$$
$%
 4) x = 2; y = 1 
5) ����' = � 2 33 −7−5 18 9 � 6) ���� = 
1 −2 −73 0 −55 2 −3� 
7) ���� = �6 1 0 −14 7 3 25 7 8 56 8 10 9 � 8) x = 1; y = 2; z = -1 
9) ����' = �−2 513 −7−3 114 −5� 10) Traço = 3 
11) ����' = 
 0 3 8−3 0 5−8 −5 0� 12) x = 2/11; y = -3/11; z = 1; t = 1 
 
 
 
 
 
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13 
 
Lista de Exercícios 01B 
 
1) Encontre a transposta da matriz B=(bij)3X3 onde bij = i ² – (- 2j )² 
2) Associe o triângulo abaixo a uma matriz B3x3 onde bij é a distância entre os vértices. 
 
 1 
 
 
4 u.m. 
 
 3 2 
 3 u.m. 
3) Dadas as matrizes : 









=
312
520
321
33xA 










−
−
=
121
124
211
33xB 










=
2
3
1
13XC 
Determine quando possível: 
a) A - 2B 
b) -B -3A 
c) O traço da matriz A . 
d) A transposta da matriz B. 
e) Identifique a diagonal principal e a diagonal secundária das matrizes A e B. 
f) O produto B . C 
g) O produto C . A 
h) Qual o valor do elemento a23 da matriz A3x3? 
i) O produto A².B 
4) Verifique se as matrizes admitem inversa: a) 




−
=
12
36
22xA b) 





=
02
35
22 xA 
 
 
 
 
Respostas da Lista de Exercícios 01B 
1) ����' = 
 −3 0 5−15 −12 −7−35 −32 −27� 2) ���� = 
0 5 45 0 34 3 0� 3a) � − 2� = 
−1 4 −1−8 −2 34 −3 1 � 
3b) −� − 3� = 
−4 −5 −11−4 −8 −16−5 −5 −10� 
3c) Traço A=6 
3g) �. � = *ã, é .,//í123 
3h) a23 = 5 
3d) ����' = 
 1 4 −1−1 2 22 1 1 � 
3f) �. � = 
 2127 � 
 
3i) A².B= 
17 53 4411 78 6424 50 45� 
 
4) a) e b) admitem inversa. 
 
 
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14 
 
Lista de Exercícios 01C 
 
1) Dada a Matriz B= )( ijb de ordem 4x3, em que 2jibij −= , calcule 41b . 
2) Ache os elementos da matriz A= )( ija de ordem 3, em que 22 jiaij += . 
3) Calcule a soma dos elementos da 2a coluna da matriz 32)( xijbB = , em que 
12)( −+= jibij 
4) Escreva os elementos da matriz 22)( xijaA = tal que 



=
≠−
= jise
jise
aij
,0
,1
 
5) Construa a matriz 33)( xijaA = definida por 



=
≠−
=
+
jise
jise
a
ji
ij
,0
,)1(
 
6) Construa as matrizes: 
a) 31)( xijaA = , tal que jiaij −= 2 . b) 24)( xijbB = , tal que 



>−
≤+
= jiseji
jiseji
bij
,
,
 
7) Quantos elementos têm uma matriz quadrada de ordem 6? 
8) Determine a transposta da matriz 23)( xijaA = em que 



≠−
=−
= jiseij
jiseji
aij
,
,
. 
9) Qual é a matriz transposta da matriz identidade de ordem 2? 
10) Dada a matriz 





=
43
21
A , mostre AA tt =)( . 
11) Calcule x e y, sabendo que: 





=





−
+
16
7
3
32
yx
yx
. 
12) Determine a,b,x,y, sabendo que 




 −
=





−−
++
70
13
2
2
bayx
bayx
 
13) Dadas as matrizes 










−=
215
36
420
yA
 e 









 −
=
z
xB
84
13
560
, calcule x, y e z para que
tAB =
 
14) Dadas as matrizes 





−
=
52
30
A , 





−
−
=
10
42
B
 e 





−
=
06
24
C , calcule: 
a) A+B b) A+C c) B+C+A 
 
 
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15 
 
15) Dada a matriz 










−
−
=
210
432
011
A , obtenha a matriz tAAX += . 
16) Sendo 31)( xijaA = tal que jiaij −= 2 e 31)( xijbB = tal que 1++−= jibij , calcule A+B 
17) Ache m, n, p e q, de modo que: 





=





−
−
+





51
87
3
2
qq
nn
pp
mm
 
18) Calcule a matriz X, sabendo que 










−=
34
01
21
A , 





−
=
202
315
B e BAX t =+ )( . 
19) Ache x, y, z e w, de modo que: 





−
−
=





−
−
−





58
01
14
32
wz
yx
 
 
20) Sejam as matrizes 22)( xijaA = com 22 jiaij −= e 22)( xijbB = com 1+= ijij ab . 
Calcule: 
a) A – B b) B – A c) (A+B)t d) At – Bt 
21) Sendo 





=
1
0
A , 




−
=
1
1
B
 e 





=
2
2
B , calcule X tal que X+A – (B+C) = 0. 
22) Dadas as matrizes 





−
=
43
12
A , 




 −
=
52
10
B
 e 





=
16
03
C , calcule: 
 
a) A – B b) A – Bt – C 
23) Dadas as matrizes 




 −
=
826
240
A , 





−
−
=
0612
963
B e 





−
−
=
211
010
C , calcule o 
resultado das seguintes operações: a) 2A – B + 3C b) 




 +− CBA
3
1
2
1
 
 
24) Sendo 










−
=
1
2
3
A
 e 










−
=
8
4
10
B , resolva a equação 0
2
12 =+− BAX
 
25) Dadas as matrizes 




 −
=
10
21
A
 e 





−
=
01
24
B , resolva: 



=+
=−
BYX
AYX
23
2
 
 
 
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16 
 
26) Se 





−
=
13
12
A , 




−
=
01
21
B
 e 




 −
=
12
14
C , calcule uma matriz X de ordem 2 tal que 
CXBAX ++=−
32
. 
27) Efetuar : a) 





⋅





654
321
80
79
 b) [ ]










−⋅
4
2
0
321
 
28) Resolver a equação matricial [ ] 





=•
321
642
321X
 
29) Dada a matriz 









 −
=
100
001
012
A , calcule A2 . 
30) Dadas 





=
15
23
A e 





=
03
10
B , calcule AB e BA, mostrando que AB≠BA. 
31) Sendo 





=
10
32
A , 




 −
=
02
13
B e 





=
4
1
C , calcule se existir: 
a) AB b) AC c) BC 
 
32) Sabendo que 










−=
300
040
001
A
 e 










=
20
040
002
x
B , calcule x para que A . B = B.A 
33) Considere as matrizes )( ijaA = e )( ijbB = quadradas de ordem 2, com jiaij 43 += e 
sabendo que C = A + B, determine C2. 
34) Calcule a e b, de modo que as matrizes 





−
=
01
31
A
 e 





=
20
ba
B
 comutem. 
35) Resolva a equação 










=⋅










11
8
3
231
012
001
X
 
36) Se 





=
12
21
A
 e 





=
20
13
B , determine tBAX )( 1−⋅= 
37) Dadas as matrizes 





=
57
23
A
 e 





−
=
11
11
B , calcule 1−+ AAB 
 
 
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17 
 
38) Sendo 










−
−−=
534
201
321
M , 










=
100
010
001
N e 










−
−
−
=
023
102
110
P , calcule: 
 a) N – P + M b) 2M – 3N – P c) N – 2(M – P) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas da Lista de Exercícios 01C 
1) 341 =b 2) A3x3 = 










181310
1385
1052
 3) 8 4) A2x2 = 






−
−
01
10
 5) A3x3 = 









−
−−
−
011
101
110
 6a) A1x3 = [ ]101 − 
6b) B4x2 = 












23
12
41
32
 7) 36 elementos 8) A = 





−
−−
101
210
 9) 4���5 ' 





10
01
 10) A igualdade é válida. 
11) x = 5; y = -1 12) x = 1; y = 2; a = 2; b = -5 13) x = 2 ; y = 8; z = 2 14a) A + B = 






−
−
62
72
 
14b) A + C = 






−− 54
54
 14c) B + C + A = 






−− 64
92
 15) X = 










− 450
561
012
 16) A + B = [ ]222 
17) m = 5; q = -1; n = 2; p = 2 18) X = 










−−
−
11
02
44
 19) x = -3; y = 3; z = 12; w = -6 20a) A–B = 






−−
−−
11
11
 
20b) B – A = 






11
11
 c) (A + B)t = 






− 13
73
 d) At – Bt = �−1 −1−1 −1
 21) X = 





2
1
 22a) –B = 






−− 15
22
 
22b) A – Bt – C = 






−−
−−
28
11
 23a) 2A – B + 3C = 





 −−
2273
1313
 23b) �� � − 6�� � + �8 = 





−
−
242
411
 
24) X = 









−
5,1
0
1
 25) 










−
−
=
7
2
7
1
7
2
7
6
x
 










−−
=
7
3
7
2
7
10
7
5
y
 26) X2x2 = �28 123 3
 27a) 





484032
695337
 27b) 8 
28) X = 






1
2
 29) A² = 










−
−
100
012
023
 30) �6 33 5
 ≠ �5 19 2
 31a) �� = �12 −22 0 
 31b) �� = �144 
 
31c) �� = �−12 
 32) x = 0 33) �� = �1 00 1
 34) a = 2; b = 0 35) X3x1 = 










1
2
3
 36) X2x2= :1/2 11/2 0< 
37) �� + �=� = � 6 3−5 15
 38a) 
2 3 21 1 −37 −5 6 � 38b) 
−1 5 50 −3 −511 −8 7 � 38c) 
−1 −6 −4−2 1 6−14 10 −9� 
 
 
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18 
 
Lista de Exercícios 01D 
 
1) Verifique se as matrizes admitem inversa. Em caso positivo, determine a matriz inversa 
(em forma de fração) e confira utilizando a propriedade A⋅A-1 = A-1⋅A = I. 
a) � = �5 57 3
 
b) � = �3 28 6
 
c) � = �6 83 4
 
d) � = �18 1725 23
 
e) > = �3 103 10
 
f) ? = �9 106 7 
 
g) @ = �100 1508 8 
 
h) A = �98 13783 116
 
i) 4 = �1 00 1
 
j) B = �0 53 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
 
Capítulo 2 – Determinantes 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
O determinante associa a cada matriz quadrada a um escalar (ou a uma função); ele 
transforma essa matriz em um número real. Este escalar permite saber se a matriz tem ou 
não inversa, pois as que não têm são aquelas cujo determinante é igual a 0. 
Um determinante é um número que é atribuído a um reticulado quadrado de 
números, de uma determinada forma. Essa ideia já tinha sido considerada em 1683 pelo 
matemático japonês Seki Takakazu e, de forma independente. Em 1963 pelo matemático 
alemão Gottfried Leibniz (um dos inventores do cálculo), cerca de 160 anos antes que uma 
teoria de matrizes fosse desenvolvida. Durante os 120 anos seguintes, os determinantes 
foram estudados, principalmente, no que diz respeito a sistemas lineares de equações. 
Depois, em 1812, Augustin-Louis Cauchy publicou um trabalho no qual usava 
determinantes para obter fórmulas para o volume de certos sólidos poliédricos. Sejam 
),,( 1111 cbav = , ),,( 2222 cbav = , ),,( 3333 cbav = , e considere o “cristal” ou 
paralelepípedo da Fig. 1. Cauchy mostrou que o volume desse cristal é igual ao módulo do 
determinante associado ao sistema acima. 
A utilização dos determinantes, feita por Cauchy, na geometria analítica deu partida 
a um intenso interesse em aplicações de determinantes que durou cerca de 100 anos. Um 
resumo do que era conhecido no início de 1900 preencheu um tratado de quatro volumes 
por Thomas Muir. 
Na época de Cauchy, quando a vida era simples e as matrizes pequenas, os 
determinantes desempenharam um papel fundamental na geometria analítica e em outras 
partes da matemática. Hoje, os determinantes têm pouco valor numérico em cálculos com 
matrizes de grande escala que ocorrem tão frequentemente. Mesmo assim, as fórmulas 
com determinantes ainda fornecem informações importantes sobre matrizes, e um 
conhecimento de determinantes é útil em algumas aplicações de álgebra linear. 
 
FONTE: ÁLGEBRA LINEAR E SUAS APLICAÇÕES. David C. Lay. 
 
 
 
 
 
 
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20 
 
2. CÁLCULO DE DETERMINANTES 
Entenderemos por determinante, como sendo um número ou uma função, associado a uma 
matriz quadrada, calculado de acordo com regras específicas. 
É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante. 
Regra para o cálculo de um determinante de matriz de 2ª ordem 
Dada a matriz quadrada de ordem 2: ��C� = �D EF G
 
O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma: 
det (A) = ad - bc 
Regra para o cálculo de um determinante de matriz de 3ª ordem (Regra de SARRUS) 
Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da 
seguinte maneira: 
1 - Reescreva ao lado da 3ª coluna, a 1ª e 2ª colunas da matriz. 
2 - Efetue os produtos em "diagonal", atribuindo sinais negativos para os resultados à 
esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. 
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à 
matriz. 
 
3. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
 
 
3.1 O Determinante é igual a zero (0) se: 
 
P1 – Quando uma das filas (linhas ou colunas) da matriz for nula (igual a zero). 
Ex: 










−
−=
720
050
630
33xA det A = 0 
 
P2 – Quando duas filas (linhas ou colunas) forem iguais ou proporcionais. 
Ex: 










−
−=
222
151
131
33xA det A = 0 












=
8421
5431
16842
6421
44 XB
 det B = 0 
 
 
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21 
 
P3 – Quando uma das filas é combinação linear de outras filas paralelas. 
Ex: 










=
1454
311
715
33xA det A = 0, pois C3= C1 + 2C2 
 
3.2 Transformações que não alteram o Determinante: 
 
P4 – O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua matriz transposta. 
Ex: 






=
30
21
22 xA det A = 3 





=
32
01
AT det AT = 3 
 
P5 – Teorema de Jacobi: um determinante não se altera, quando se somam aos 
elementos deuma fila fixa (linha ou colunas) os correspondentes elementos de outra 
fila paralela multiplicada por uma constante qualquer. 
Ex: 






=
30
21
22 xA det A = 3 B2x2= C1 + 2C2 





=
36
25
B det B = 3 
 
3.3 Transformações que alteram o Determinante: 
 
P6 – Um determinante muda de sinal quando as posições de suas filas paralelas se 
trocam entre si. 
Ex: 
54
32
det =A = 10-12=-2 
32
54
det =A =12-10=2 
 
P7 – Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de uma matriz por um número 
qualquer, o novo determinante fica multiplicado ou dividido por este número. 
Ex: 
42
53
det =A = 12-10=2 Multiplicando os elementos da 1ª linha por 4 tem-se: 
42
2012
det =A = 48-40=8 
P8 – Se uma matriz for triangular superior ou inferior, seu determinante será o produto 
dos elementos da diagonal principal. 
Ex: 










−
−=
222
051
001
33xA det A = -10 












=
4421
0131
0042
0001
44 XB
 det B = 16 
 
 
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22 
 
Exemplos: Aplique as propriedades para determinar o determinante das seguintes 
matrizes, justifique sua resposta: 
 
a) 










−=
200
150
231
33xA 
 
b)










−=
210
150
230
33xA 
 
c)










−=
211
251
231
33xA 
 
d)












=
1521
5731
2941
1521
44 XB
 
 
e)






=
30
20
22 xA 
 
f)












=
8021
5031
16041
6021
44 XB
 
 
4. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM QUALQUER 
 
4.1 Teorema de Laplace 
O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e 
somar os produtos de cada termo pelo seu respectivo cofator. 
 
Menor Complementar 
Dada a matriz 










=
333231
232221
131211
33
aaa
aaa
aaa
A X 
 
 
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O menor complementar de aij é o determinante da matriz obtida retirando-se da matriz “A” 
a respectiva linha i e a coluna j . O menor complementar é representado por Dij . O menor 
complementar de 11a é: 
23323322
3332
2322
11 aaaa
aa
aa
D ⋅−⋅=





=
 
Ex: O menor complementar de 22a e 23a em 










=
314
123
051
A
 é: 
303
34
01
22 −=−=





=D
 
19201
14
51
23 −=−=





=D
 
 
Cofator ou Complemento Algébrico 
Considerando a matriz quadrada de 










=
333231
232221
131211
33
aaa
aaa
aaa
A X chama-se cofator de aij o 
número real que se obtém multiplicando-se ji+− )1( pelo menor complementar de aij . 
DijAij ji ⋅−= +)1( 
Complemento Algébrico = Aij 
Menor Complementar = Dij 
Obs.: se i+j � número par, então (-1)i+j = 1 
 se i+j � número ímpar, então (-1)i+j = – 1 
Assim, para matriz A, 111111 )1( DA ⋅−= + 
 33322322
3332
23222
11 ()1( aaaa
aa
aa
A ⋅−⋅=





⋅−= ) 
O Determinante de uma matriz quadrada “A” de ordem qualquer pode ser obtido pelo 














=
nn
n
n
aanan
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
 
nn AaAaAaDetA 1112121111 ⋅++⋅+⋅= L , ou seja, o número que se obtém multiplicando cada 
termo de uma linha ou coluna fixa pelo seu cofator adicionando-se os resultados. 
 
 
 
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24 
 
Ex.: 










−=
223
121
231
A
 det (A) = ? 
 
Resolução:1a. Linha 
2)24(1
22
12)1( 1111 =−⋅=





⋅−=
+A
 
 
5)32(1
23
11)1( 2112 =−−⋅=




−
⋅−=
+A
 
 
8)62(1
23
21)1( 3113 −=−−⋅=




−
⋅−=
+A
 
 
116152)8(25321det 131312121111 =−+=−⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅= aAAaAaA 
1det =A
 
 
4.2. Regra de Chió 
A Regra de Chió é usada no cálculo de determinantes de matrizes de ordem n, 
consiste em reduzir a ordem da matriz. Assim, se tivermos uma matriz A de ordem n, 
aplicaremos a regra de modo a obtermos uma nova matriz de ordem n-1, tal que 
)det()det( BA = . 
♥ Só poderemos utilizar a regra de Chió se houver algum elemento da matriz igual a 1. 
♥ Caso contrário, devemos fazê-lo aparecer utilizando a 5a. propriedade (JACOBI) 
 
REGRAS 
1a.) Suprimo a linha e a coluna que se cruzam no elemento 1=aij 
2a) De cada elemento restante subtraímos o produto dos 2 elementos supridos situados, 
respectivamente, na mesma linha e coluna. 
3a) Calculamos o determinante da matriz obtida e multiplicamos por ,)1( ji+− onde i é a linha 
suprida e j é a coluna suprida. 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
Lista de Exercícios 02A 
 
1) Aplicando as propriedades dos determinantes, ache o valor dos determinantes 
associados as matrizes, justificando sua resposta. 
 
a)












−
=
24396
10087103
0140
8132
44xA
 b )










=
87032
3403
1025
33xA c)










=
92144
0567
002
33xA d)










=
000
1513
1225
33 xA 
 
 
2) Determine o valor dos determinantes associados às matrizes: 
 
a)












−−−
−−−
−−
−−−−
=
1322
1413
2101
2132
44xA
 b )










−
−=
135
112
131
33xA c) 





=
52
31
22 xA d)












−
−
−
=
2000
1300
1510
1312
44xA
 
 
 
3)Verifique se as matrizes são inversíveis. Em caso positivo, determine a matriz inversa: 
 
a)






−
=
11
32
22 xA b) 





=
21
43
22 xA 
 
4) Dada a matriz 










−
−
−
=
111
403
211
33xA encontre A² : 
 
 
5) Dadas as matrizes: 










−
−
=
695
243
172
33xA 










−
−
=
137
184
390
33xB 










−
−−=
918
721
534
33xC 
 
Calcule: 
a) A + AT b ) B + BT c) C - CT d) A – 2B 
 
 
6) Dadas as matrizes: 










=
400
210
821
33xA 










−
−
=
300
120
132
33xB 
 










−−
−=
212
031
001
33xC 










−−−
−=
231
011
004
33xD 
 
Calcule: 
a) A.B b ) C.D c) 2A + C d) D – 2CUNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
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26 
 
Respostas da Lista de Exercícios 02A 
 
1a) Det(A) = 0 1b) Det(A) = 0 
1c) Det(A) = 90 1d) Det(A) = 0 
2a) Det(A) = -55 2b) Det(A) = 30 
2c) Det(A) = -1 2d) Det(A) = -12 
3) a) e b) são inversíveis. 
4) �² = 
 6 −3 −4−7 7 2−3 0 7 � 5a) A + AT = 
4 −4 6−4 8 −76 −7 12� 5b) B + BT = 
0 −5 10−5 16 210 2 2 � 
5c) C - CT = 
 0 4 −3−4 0 −83 8 0 � 5d) A – 2B = 
2 11 −5−5 −12 4−9 −15 4 � 6a) A.B= 
2 1 230 2 50 0 12� 
6b) C.D = 
 4 0 0−1 −3 0−11 −5 −4� 6c) 2A + C = 
3 4 16−1 5 4−2 −1 10� 6d) D – 2C = 
2 0 03 −7 03 −1 −6� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 02 – ENTREGAR! 
 
Calcular o determinante pelo método de Laplace (inclusive nas matrizes 3x3) e pelo método 
da triangulação (ver livro Álgebra Linear – Steinbruch): 
 � = �−2 −3 −1 −2−1 0 1 −2−3 −1 −4 1−2 2 −3 −1� 
 � = �−2 3 1 −10 1 2 31 −1 1 −24 −3 5 1 � 
 
 
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27 
 
Lista de Exercícios 02B 
 
1) Determinar o valor de x: 
a) I2 J � 2 11 J 7 3 43 J 7 1 5I � 56 b) I
4 6 J5 2 �J7 4 2JI � �128 
2) Calcule o determinante pela Regra de Chió e confira pela Regra de Laplace: 
a) �1 2 0 11 2 1 30 1 4 12 2 1 3� b) �
1 1 2 34 2 0 12 �1 0 10 1 2 3� c) �
1 1 2 31 �1 4 50 2 1 21 0 1 3� 
d) �2 3 0 24 2 0 12 0 �1 23 2 1 0� e) �
0 2 3 14 2 1 50 2 1 20 1 �1 3� f) �
0 2 0 30 4 5 22 3 6 70 2 4 5� 
3) Calcule o valor dos determinantes utilizando operações elementares sobre linha de 
matriz, para transformar a matriz dada em uma triangular e aplicar propriedade 9 dos 
determinantes: 
 
 a) 	�0 1 1 01 1 2 31 3 �1 42 0 5 4� b) �
2 4 �2 15 0 �8 31 0 3 00 6 3 4� c) �
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0� 
d) �1 2 3 40 0 5 06 7 8 00 0 9 10� e) !!
!"1 0 0 0 03 2 0 0 02 10 1 0 01 20 5 �2 00 30 9 10 �1#$$
$%
 
f) �1 0 2 03 4 5 60 7 0 89 0 10 0� 
g) �0 1 0 23 0 4 00 5 6 07 8 9 10� h) �
3 1 0 12 0 2 53 2 0 00 3 3 2� i) �
1 0 1 12 0 3 45 4 2 14 0 0 2� 
 
 
 
 
 
 
Resposta questão 1: a) x = 8; b) x = 2 
Resposta questão 3: a) -7; b) -410; c) -3; d) 250; e) 4; f) -80; g) 118; h) 9; i) -24 
 
 
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Capítulo 3 – Sistemas Lineares 
 
1. INTRODUÇÃO: 
Chama-se de equação linear, nas incógnitas x1; x2; x3; ...; xn toda equação do tipo: 
 a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b 
Onde: a1; a2; ...; an são os coeficientes das incógnitas; 
 x1; x2; ...; xn são as incógnitas; 
 b é o termo independente.
 
 
OBS: O expoente das incógnitas deve ser um. 
Exemplos: 
São equações lineares: 
a) 5x + 3y = 6 
b) x - y - z + t + p = 4 
c) 5x - 4y = 0 
d) 3a + 4b - 5c = 6 
Não são equações lineares: 
a) x + 4y - 3zw = 0 (produto de duas incógnitas) 
b) 1/x + 4/y - z = 3 (0 expoente de x e de y é -1) 
c) 3a - 4b - c = 3 (o expoente da variável c é 1/2) 
 
2. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR: 
Uma equação linear admite infinitas soluções. 
Exemplo 01: Seja a equação linear x - 2y = 4. Esta equação admite como solução os 
pares: (6,1); (0,-2); (4,0), ...; e infinitos outros que obedeçam a relação: x = 4 + 2y. Portanto 
a cada novo valor atribuído a y temos o correspondente x. A solução que representa as 
infinitas soluções pode ser representada da forma: S = {(4 + 2y; y)}. Y é dito, neste caso 
variável livre. 
 
3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: 
É o conjunto de “m” (m ≥ 1) equações lineares, nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn. 
Obs.: Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. 
 
 
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Portanto as operações elementares sobre linhas das matrizes, serão utilizadas 
para a resolução de sistemas lineares. 
Exemplo 02: Seja o sistema linear: 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
− + =





6
2 1
3 4
 
Forma Matricial: 
1 1 1
2 1 1
3 1 1−










. 
X
Y
Z










 = 
6
1
4










 
Matriz Incompleta: 
1 1 1
2 1 1
3 1 1−










 
Matriz Completa (ou Matriz Ampliada): 
1 1 1 6
2 1 1 1
3 1 1 4−










 
Onde a primeira coluna é formada pelos coeficientes da variável x, a segunda coluna 
pelos coeficientes da variável y; a terceira pelos coeficientes da variável z e, a quarta coluna 
são os termos independentes. 
Um sistema de equações lineares é determinado quando admite solução. 
 
3.1 Sistema Possível Determinado 
Um sistema possível é determinado quando permite uma única solução. 
Exemplo 03: O sistema 
 
é possível e determinado, pois tem como raízes unicamente: x =______ e y =_______ 
 
3.2 Sistema Possível Indeterminado 
Um sistema é possível e indeterminado quando admite mais de uma solução 
(infinitas soluções). 
Exemplo 04: O sistema 
 
 
é possível e indeterminado, pois admite infinitas soluções: 
x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 ... 
y ... 
 
2J + 3K = 18 3J + 4K = 25 
4J + 2K = 100 8J + 4K = 200 
 
 
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3.3 Sistema Impossível 
Um sistema de equações lineares é impossível quando não admite solução. 
Exemplo 05: O sistema 
 
 
é impossível pois a expressão 3J + 9K não pode ser simultaneamente igual a 12 e a 15 
para os mesmos valores de x e y. 
 
3.4 Sistemas Equivalentes – Método de Gauss 
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução. 
Exemplo 06: Os sistemas 
 
 e 
 
 
são equivalente pois admitem a mesma solução: x =_______ e y =________ 
Um sistema de equações lineares se transforma em um sistema equivalente quando se: 
I – Permuta duas equações. 
II – Multiplica uma equação por um número real diferente de zero. 
III – Substitui uma equação pela soma de outra equação previamente multiplicada por um 
número real diferente de zero. 
Quando se deseja permutar a equação 2 pela equação 3 de um sistema: 
 
 
 
 
 
Quando se deseja multiplicar a equação 1 por ½: 
 
 
 
 
 
3J + 9K = 12 3J + 9K = 15 
3J + 6K = 42 2J − 4K = 12 
3J + 6K = 42 2J − 4K = 12 
2J + 4K − 6L = 10 4J + 2K + 2L = 16 2J + 8K − 4L = 24 2J + 4K − 6L = 10 2J + 8K − 4L = 24 4J + 2K + 2L = 16 
L23 
2J + 4K − 6L = 10 2J + 8K − 4L = 24 4J + 2K + 2L = 16 
L1·(½) 1J + 2K − 3L = 5 2J + 8K − 4L = 24 4J + 2K + 2L = 16 
 
 
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Para resolver um sistema linear pelo método de Gauss (do escalonamento) 
realizamos as operações nas equações do sistema, visando “zerar” algum termo, assim, 
obtendo a solução do sistema. 
Quando se deseja substituir a equação 2 pela soma dela com a equação 1 
previamente multiplicada por (-2): 
 
 
 
 
: 
 
 
 
Este sinal de igualdade não possui o significado convencional, é empregado para indicar 
que a expressão utilizada no lugar da equação 2 não altera o sistema. 
: 
 
 
 
: 
 
 
 
: 
 
Obtendo-se que z = _______ 
 
A solução única destes sistemas equivalentes é: 
x = ______ y = ______ z = ______ 
3.5 Sistema Linear Homogêneo 
Em um sistema homogêneo, os termos independentes são todos nulos. Todo o 
sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução. 
Exemplo 07: 
 
1J + 2K − 3L = 5 0J + 4K + 2L = 14 4J + 2K + 2L = 16 
2J − 5K − 3L = 0 7J − 2K + 4L = 0 3J + 8K − 5L = 0 
1J + 2K − 3L = 5 2J + 8K − 4L = 24 4J + 2K + 2L = 16 L2= L2 + (-2) ·L1 
L3= L3 + (-4) ·L1 
1J + 2K − 3L = 5 0J + 4K + 2L = 14 0J − 6K + 14L = −4 L2= 6·L2 L3= 4·L3 
1J + 2K − 3L = 5 0J + 24K + 12L = 84 0J − 24K + 56L = −16 L3= L2 + L3 
1J + 2K − 3L = 5 0J + 24K + 12L = 84 0J + 0K + 68L = 68 
 
 
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Resolva os sistemas, apresentando o seu conjunto solução: 
a) 6 3 0
4 2 0
x y
x y
− =
− + =



 b) 
x y z w
x y z w
x y z w
x y z
+ + + =
+ + + =
+ + − =
− − =







0
2 0
2 3 0
0
 c) 
x y z
x y z
x y
+ − =
+ + =
+ =





0
0
0
 
 
4. REGRA DE CRAMER 
Dado o sistema:



=⋅+⋅
=⋅+⋅
222
111
cybxa
cybxa
 
∆==−
22
11
1221 ba
ba
baba
 
x
bc
bc
bcbc ∆==−
22
11
1221 
y
ca
ca
caca ∆==−
22
11
1221 
A regra de Cramer diz que: Os valores das incógnitas de um sistema linear de “n” 
equações e “n” incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante ∆ dos 
coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante ∆x, ou seja: 
x =∆x / ∆ y =∆y / ∆ 
A Regra de Cramer é válida apenas para SPD. 
Exemplo 08: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 





=−+
=+−
=−+
6534
122
323
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = Δx1 / Δ = 
x 2= Δx2 / Δ = 
x3 = Δx3 / Δ = 
 
Logo o sistema é SPD e o conjunto solução é S = (____;____;____). 
∆= 
1 3 −22 −1 14 3 −5� ∆J� = 
3 3 −212 −1 16 3 −5� ∆J� = 
1 3 −22 12 14 6 −5� ∆J� = 
1 3 32 −1 124 3 6 � 
 
 
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6. DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES 
Discutir um sistema linear em função de um parâmetro (parâmetro no sistema é uma 
variável em função da qual são colocados um ou mais coeficientes ou termos 
independentes das equações) significa classificar o sistema em determinado; 
indeterminado ou impossível, para cada valor do parâmetro. 
Para discutir um sistema linear S de n equações a n incógnitas, procedemos da seguinte 
forma: 
⇔≠∆ 0 O sistema tem uma única solução (SPD) 



≠∆∆
=∆
0
0
youx
O sistema não tem solução (SI) 



≠∆∆
=∆
0
0
yex
O sistema tem infinitas soluções (SPI) 
 
7. DISCUSSÃO DE SISTEMAS HOMOGÊNEOS: 
Todo sistema linear homogêneo é sistema possível, pois admite pelo menos uma 
solução (a trivial). Assim, um sistema linear homogêneo só pode ser classificado em: 
determinado: tem apenas a solução trivial; ∆ ≠ 0 ⇔ S é determinado 
indeterminado: tem infinitas soluções, dentre elas a trivial. ∆ = 0 ⇔ S é indeterminado 
Exemplo 09: 
Discutir o sistema homogêneo dado em função do parâmetro a: 





=−+
=++
=−+
02
028
024
azyx
zyx
zyax
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de Exercícios 03A 
 
1) O sistema linear 
 
x y 1
4x my 2
− =

+ =
 
 
é possível e determinado se e somente se 
(a) m = 2 (b) m = 4 (c) m ≠ -4 (d) m ≠ 1 (e) 4m = 1 
 
2) Se o sistema linear 
3x 5y 12
4x 7y 19
− =

+ =
 
for resolvido pelo método de Gauss, o valor de x será dado por uma fração cujo 
denominador vale: 
 
(a) 41 (b) 179 (c) -179 (d) 9 (e) -9 
 
3) O valor de m para que o sistema seja possível e determinado é: 
N J − K − L = 12J + K + 3L = 6OJ + K + 5L = 9 
 
(a) m = -5 (b) m ≠ -5 (c) m = 5 (d) m ≠ 5 (e) m≠10 
 
4) Ruth vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos I, II e III, a preços de x, y e z, 
respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão 
representados na tabela a seguir. 
 
Dias Sacolas Tipo I Sacolas Tipo II Sacolas III Total (R$) 
Primeiro 0 1 2 13,00 
Segundo 5 2 1 21,00 
Terceiro 5 1 1 18,00 
 
Com base nessa tabela, o valor de x + y + z é igual a: 
(a) R$ 30,00 (b) R$ 25,00 (c) R$ 20,00 (d) R$ 15,00 (e) R$ 10,00 
 
5) No sistema abaixo, o valor de K para que o sistema seja impossível é: PQJ − 2L = 0 2J + 4L = 1 
 
(a) K = 2 (b) K = -1 (c) K ≠ -1 (d) K = 3 (e) K = 1 
 
6) O sistema linear R J + 3K = 42J − .K = 2 nas incógnitas x e y, será impossível quando: 
 
 (a) Nunca (b) p ≠ –6 (c) p ≠ 6 (d) p = –6 (e) p = 6 
 
 
 
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35 
 
7) Se o sistema de equações lineares 



=−
=+
2
433
ayx
yx
 
(onde “a” é um número real) é 
impossível, então: 
(a) a = 2 (b) a = 1 (c) a = 0 (d) a = -1 (e) a = -2 
 
8) Um supermercado vende três marcas diferentes A, B e C de sabão em pó, embalados 
em caixas de 1 kg. O preço da marca A é igual à metade da soma dos preços das marcas 
B e C. Se uma cliente paga R$ 14,00 pela compra de dois pacotes do sabão A, mais um 
pacote do sabão B e mais um do sabão C, o preço que ela pagaria por três pacotes do 
sabão A seria: 
 
(a) R$ 12,00 (b) R$ 10,50 (c) R$ 13,40 (d) R$ 11,50 (e) R$ 13,00 
 
9) O sistema 



=+
=+
0 my x 
0 y mx 
 
 
(a) é impossível, se m = 0 
(b) tem mais de uma solução, se m = –1 
(c) tem solução única, se m = 1 
(d) admite apenas solução nula, qualquer que seja m 
(e) admite mais de uma solução, qualquer que seja m ≠ 1/2 
 
10) Dado o sistema de equações lineares, sabe–se que (x , y, 20) é solução do mesmo. 
Nessas condições, determine x e y. 
 
 
11) Em um estacionamento há motos e carros, num total de 50 veículos. Sabe-se que 
existem 150 rodas. Qual o total de carros e motos no estacionamento? 
 
12) No Parque de Diversões Dia Feliz, os ingressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 
6,00 para crianças. No último domingo, com a venda de 400 ingressos, a arrecadação foi 
de R$ 3.000,00. A razão entre o número de adultos e crianças pagantes foi: 
 
(a) 3/5 (b) 2/3 (c) 2/5 (d) 3/4 (e) 4/5 
 
13) O sistema linear é:N5J + K − L = 0−J − K + L = 13J − K + L = 2 
 
(a) Impossível. 





=+−
=−+−
−=+−
63
18268
934
zyx
zyx
zyx
 
 
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(b) Impossível e indeterminado. 
(c) Possível e determinado. 
(d) Impossível e determinado. 
(e) Possível e indeterminado. 
 
14) Resolvendo o sistema abaixo, obtém-se para z o valor: 
 
N J + K + L = 02J − K − 2L = 16K + 3L = −12 
 
(a) – 3 (b) – 2 (c) 0 (d) 2 (e) 3 
 
15) Num bar paga-se R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 
pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante 
custa: 
 
(a) R$ 0,70. 
(b) R$ 0,50. 
(c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel. 
(d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel. 
(e) R$ 0,20 a menos do que o preço de cada pastel. 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) c 
2) a 
3) d 
4) e 
5) b 
6) d 
7) d 
8) b 
9) b 
10) x = -5, y = 3 
11) 25 motos e 25 carros 
12) a 
13) e 
14) d 
15) e 
 
 
 
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37 
 
Lista de Exercícios 03B 
1) Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos 
coeficientes numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações 
 possui a seguinte representação matricial: 
 
O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos 
coeficientes numéricos das incógnitas. 
 
Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de 
Cramer no cálculo das incógnitas do sistema. 
Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações utilizando 
a Regra de Cramer. 
 
2) Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de 
equações lineares: 
 
 
3) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá 
encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos 
superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: 
Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 
66 kg. 
Determine o peso de cada uma deles. 
 
 
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4) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 
pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas 
as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada 
sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não sócios que 
compareceram ao show. 
5) Resolver os sistemas pela Regra de Cramer: 
a) R 3J 7 K � 92J 7 3K � 13 d) N2J 7 K 7 3L � 02J � K � L � 0J � 2K � 3L � 0 
b) NJ 7 2K � L � 22J � K 7 L � 3J 7 K 7 L � 6 e) N
J � K 7 L � 02J � K � L � �3J 7 K � 2L � 0 
c) N J 7 2K 7 3L � 72J 7 K 7 L � 43J 7 3K 7 L � 14 f) N
J 7 2K 7 3L � 72J � K 7 L � �1�2J � 3K 7 3L � �11 
 
6) Se (x0, y0, z0) é a solução do sistema abaixo, então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a: 
a) -8 
b) -7 
c) -6 
d) -5 
e) -4 
 
7) O sistema: 
 
a) só apresenta a solução trivial; 
b) é possível e determinado não tendo solução trivial; 
c) é possível e indeterminado; 
d) é impossível; 
e) admite a solução (1; 2; 1) 
 
8) O sistema: 
 
 
a) é impossível; 
b) é possível e determinado; 
c) é possível e indeterminado; 
 
 
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d) admite apenas a solução (1; 2; 3); 
e) admite a solução (2; 0; 0). 
 
9) O sistema de incógnitas x e y, é: 
 
a) impossível, para todo k real diferente de -21; 
b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63; 
c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21; 
d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3; 
e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63. 
 
10) Considere o seguinte sistema de equações de incógnitas x e y: 
 
Esse sistema tem uma única solução para certo número real k que é um: 
a) quadrado perfeito 
b) número primo 
c) número racional não inteiro 
d) número negativo 
e) múltiplo de 5 
 
11) Se tivermos o seguinte sistema, então x + y + z + t é igual a: 
a) -1 
b) 7 
c) 5 
d) 4 
e) 5/9 
 
 
 
Respostas: 
1) x = 1, y = 2 e z = –1 
2) y = 2 
3) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 
4) 120 sócios e 80 não sócios 
5) a) (2; 3) b) (1; 2; 3) c) (0; 5; -1) d) (0; 0; 0) e) (1; 3; 2) f) (1; 2; -1) 
6) B 7) D 8) C 9) C 10) A 11) C 
 
 
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40 
 
ATIVIDADE 03 – ENTREGAR! 
 
 
1) Um capital de R$ 20.000,00 é investido parte a 5,5%, parte a 4,5% e o restante a 4,0% 
e rende um juro anual de R$ 1.015,00. O rendimento do valor investido a 5,5% é R$ 
305,00 a mais que o rendimento das outras duas parcelas investidas juntas. Determine 
cada uma das partes investidas. 
 
2) Quatro amigos, após a prova de álgebra linear, resolverem ir a um barzinho para 
comemorar. No bar os pedidos ficaram assim distribuídos: 
João tomou dois chopes, comeu uma porção de fritas e três porções de queijo. 
Paulo tomou um Chopp, uma porção de fritas, uma porção de queijo e uma caipirinha. 
Marcos comeu duas porções de queijo e uma caipirinha. 
Matheus tomou três chopes e comeu três porções de fritas. 
Por suas despesas eles pagaram: João R$ 14,50; Paulo R$ 9,00; Marcos R$ 8,00 e 
Matheus R$ 12,00. Baseado nessas informações quais são os preços unitários do Chopp, 
da caipirinha, da porção de fritas e da porção de queijo? 
 
3) Utilizando a técnica do escalonamento, classifique e resolva os seguintes sistemas 
lineares: 
 
a) 
2 4
2 1
2 3
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + =
+ + =





 b) 
3 4 2 2
2 2 3 5
3 2 3
2 7 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
+ − + =
− + − =
− + + − =
+ + + = −







 c) 
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ + = −





2
2
2 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 4 – Vetores 
1. Introdução 
 
Em vários ramos da engenharia, são utilizadas certas quantidades tais como, temperatura, 
área, comprimento, peso, etc. Estas quantidades possuem apenas uma magnitude, 
podendo ser representada por números reais chamados de escalares e pela respectiva 
unidade. 
Ex.: Temperatura =28ºC, área=20 m², comprimento= 10 m, peso = 5 kg. 
Porém existem outras quantidades como força, velocidade, intensidade de campo elétrico, 
indução magnética, entre outros, que não ficam definidas somente por sua magnitude, 
estas quantidades requerem uma direção, intensidade (ou módulo) e um sentido. Estas 
quantidades podem ser representadas por setas com comprimento e direção adequados, 
emanando de um ponto dereferência “0” e são chamados de vetores. Ex.: 
 
 
 
 1.1 Segmentos orientados 
Considere o segmento orientado AB: 
A B 
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos assim definidos: 
• comprimento (denominado módulo) 
• direção 
• sentido (de A para B) 
 
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos. 
O primeiro elemento é chamado de origem e o segundo elemento é a extremidade. 
AB≠BA 
 
 
 
 
 
 
A B AB 
 
 
A B BA 
 
 
 
 
 
 
 
4 
STTU 
 
 
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1.2 Segmentos Equipolentes 
 
Equipolência é uma relação entre dois segmentos orientados. 
 
Dois segmentos (A,B) e (C,D) são equipolentes se têm as mesmas coordenadas 
canônicas (mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido). 
Denotaremos a relação de equipolência por (A,B) ~ (C,D). 
 
Quando (A,B) ~ (C,D), a figura formada pelos pontos ABCD no espaço afim é um 
paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
Supondo (A,B) ~ (C,D) e introduzindo as coordenadas dos pontos: ),,,( aaa zyxA = 
),,,( bbb zyxB = ),,,( ccc zyxC = ),,,( ddd zyxD = a condição de eqüipolência entre os 
segmentos (A, B) e (C,D) , é expressa igualando-se as coordenadas, ou seja: 





−=−
−=−
−=−
⇔
cdab
cdab
cdab
zzzz
yyyy
xxxx
DCBA ),(~),(
 
 
Exemplo 1: 
Dados em R3 os pontos A= (2, -1, 0), B = (-2, 3, 2), C = (4,1,1) e D = (0, 5, 3). Os segmentos 
(A, B) e (C, D) são equipolentes? 
 
 
Propriedade 1: Se ),(~),(),(~),( DBCADCBA ⇒ 
Observe: 





⇔
−=−
−=−
−=−
⇔
cdab
cdab
cdab
zzzz
yyyy
xxxx
DCBA ),(~),( ),(~),( DBCA
zzzz
yyyy
xxxx
bdac
bdac
bdac





⇔
−=−
−=−
−=−
 
 
 
Propriedade 2: A equipolência é uma relação de equivalência. De fato, pela definição dos 
segmentos eqüipolentes, facilmente verificamos as relações reflexiva, simétrica e transitiva, 
a saber: 
 
a) reflexiva: ),(~),( BABA 
b) simétrica: ),(~),(),(~),( BADCDCBA ⇒ 
c) transitiva: ),(~),( DCBA e ),(~),( FEDC ),(~),( FEBA⇒ 
 
B D 
A C 
 
 
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43 
 
1.3 Vetor 
Conjunto infinito de todos os segmentos orientados do espaço que são equipolentes entre 
si, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo 
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. 
Assim, a ideia de vetor nos levaria a uma representação do tipo: 
 
 
 
Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos 
orientados que o compõe. 
Exemplo 2: 
Dê cinco representações do vetor ( )5,2=AB . 
 
2. Adição de Vetores 
 
Dados os vetores 
( )11, yxu = e ( )22 , yxv = 
Definimos: ( )2121 , yyxxvu ++=+ 
 
Exemplo 3: 
Dado os vetores ( )2,3 −=u e ( )1,5=v encontre vu + e represente graficamente. 
 
2.1 Propriedades de Adição 
 
uvvuA +=+⇒1 ( ) ( ) wvuwvuA ++=++⇒2 
uuuA =+=+⇒ 003 
⇒4A Dado o vetor u , ( ) 0=−+ uu 
 
3. Multiplicação de um número real (escalar) por um vetor 
 
Dados os vetores ( )11, yxu = e r um escalar ℜ∈r . 
Definimos: ( )11, ryrxur =⋅ 
 
Obs.: 
Se r>0 o novo vetor possui a mesma direção de v e tem como comprimento r vezes o 
comprimento de v . 
ABABVetor −=
 
 
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Se r<0 o novo vetor será o oposto do vetor |r| v . 
Se r=0 o novo vetor é o vetor nulo. 
 
Exemplo 4: 
Dado o vetor VTU = (3, −1) e r = 2 encontre ZVTU e represente-o graficamente. 
 
3.1 Propriedades da Multiplicação 
 
( ) ( )usrursM ⋅=⋅⇒1 (associativa) 
( ) usurusrM +=⋅+⇒2 (distributiva em relação à adição de escalares) ( ) vrurvurM +=+⇒3 (distributiva em relação à adição de vetores) 
uuM =⇒4 
 
4. Espaço Vetorial 
 
Conjunto com estrutura algébrica que satisfaz as oito propriedades (quatro de adição e 
quatro de multiplicação de um vetor por um escalar). 
 
→ Vetores formam um espaço vetorial. 
→ Matrizes formam um espaço vetorial. 
 
4.1 Dependência Linear 
 
Um conjunto de vetores ( )rvvv ,....., 21 é linearmente dependente (LD) se existir escalares 
não nulos ).....,,( 321 nxxxx tal que: 
 
 
Caso a equação acima seja somente resolvida quando 0321 === xxx os vetores são ditos 
linearmente Independentes (LI). 
 
Regra prática para saber se é LD ou LI 
 
Vetores LD → det = 0 
Vetores LI → det ≠ 0 
 
Exemplo 5: 
Dados os vetores ( )3,21 −=v e ( )6,42 −=v , eles são LD ou LI? Apresente o gráfico. 
 
Proposições Gerais 
Prop1 → se 1v e 2v são colineares então são “LD” 
Prop2 → se 1v , 2v , 3v (não nulos) forem LD, então são coplanares (mesmo plano). 
Prop3 → dados os vetores { }321 ,....., vvv se um deles é combinação linear do outro então 
são LD. 
→
=++++ 0.....332211 nnvxvxvxvx
rrrr
 
 
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Combinação Linear 
Dizemos que v é combinação linear de a e b , se existir escalares não nulos x e y tal que: 
 
 
 
Exemplo 6: 
Escreva o vetor a (-8,7) como combinação linear dos vetores )1,2( −=o e )3,4(−=c . 
 
5.Norma de um vetor (módulo ou comprimento) 
 
Norma é o comprimento do vetor v . 
Indicação →v lê-se norma de v . 
No plano 22 yxv += . 
No espaço 222 zyxv ++= 
 
Exemplo 7: 
a) Dado o vetor )4,3( −=v encontre a norma deste vetor. 
b) Encontre a sendo )1,4,3( −−=a . 
 
Propriedades da norma 
 
01 ≥→ aP se 00 =↔= aa 
axaxP =→2 
babaP +≤+→3 
abbaP +=+→4 
abbaP ⋅=⋅→5 
 
Exemplo 8: 
Dados os vetores )4,2,1( −−=a e )3,5,1(=b mostre que são válidas as 5 propriedades da 
norma. 
 
6.Vetor Unitário ou Versor 
Dizemos que um vetor u é unitário se o seu comprimento é 1, isto é, quando 
1=ur
 
Para determinar um vetor unitário ao vetor v fazemos: 
v
v
u r
r
r
=
 
byaxv +=
 
 
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7. Um vetor no plano em função dos versores dos eixos coordenados 
Vimos anteriormente que um VERSOR é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar 
um versor a cada eixo, ou seja: o versor “i” no eixo dos x e o versor “j” no eixo dos y, 
conforme figura: 
 
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, 
base do plano cartesiano Oxy. 
Verifica-se que um vetor ),( yxu = , pode ser escrito univocamente como: jyixu rr += 
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, 
poderíamos considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , 
conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria: kzjyixu
rrr
++=
 
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 . 
 
 
8. Vetores no Plano 
 
8.1 Vetores Colineares 
Dois vetores 
→
u
 e 
→
v
 são colineares se tiverem a mesma direção. Ou: 
→
u
 e 
→
v são colineares