Lista de exercícios de Derivada

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Tópicos de Matemática Aplicada — 2016/02 — Turma B1
Lista de exercícios 4 (Outubro de 2016)
1. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções. Não se preocupe com a
simplificação das expressões obtidas.
(a) y = (x2 + 3x− 1)(x3 − x2 + 5x− 3)− 5x
3
6
+
4
3x3
+
3
2x− 1 +
5x2 + 2x+ 1
x2 + 1
(b) y = (3x2 + 1)12
(c) y = 1
3
√
2x+ 1
(d) y = senx+ senx cosx (senx cosx significa (senx) · (cosx).)
(e) y = sen2 x (“sen2 x” é uma forma de escrever (senx)2.)
(f) y = senx2 (senx2 significa sen(x2).)
(g) y = cos 3
(h) y = 2
(
sen
√
x2 + 3x+ 1
)3
(i) y = 3
√
x2 sen(3x) + 2x
5
(Note que o denominador dentro da raiz é constante.)
(j) y = cos(sen(x2 + 1))
(k) y = cos(x2 + 1) sen(x2 − 1) + cos(x2 − 1)
2. Em cada item abaixo, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
(a) y = x2 − 2x+ 1 no ponto (−1, 4).
(b) y = x2 no ponto (1, 1).
(c) y = x3 no ponto (1, 1).
(d) y = x3 no ponto (0, 0).
(e) y = 3
√
x no ponto (0, 0).
3. Considere a curva C no plano xy dada por x4 + 2xy3 + 2y4 = 5. Verifique que os
pontos (1, 1) e (−1,−1) pertencem a C. Encontre a equação da reta tangente a C
em cada um destes pontos. (Sugestão: Use o método de derivação implícita. Você
seria capaz de resolver o problema sem usar este método?)
4. Uma escada de 2 metros de comprimento está encostada contra uma parede. A parte
inferior da escada está sendo empurrada em direção à parede a uma velocidade de
50 cm/segundo. Qual é a velocidade com que a parte superior da escada se arrasta
contra a parede quando a distância entre a parte inferior e a parede é de 120 cm?
1
5. Um comprimido dissolve-se em água (ou no estômago de um paciente) a uma taxa
proporcional, em cada instante, à área de sua superfície naquele instante. Mostre
que, quando um comprimido de formato esférico se dissolve, seu raio decresce a uma
taxa constante.
(O volume de uma esfera de raio r é V = 4
3
pir3, e a área de sua superfície é A = 4pir2.)
Observação: O comportamento descrito acima não é um mero “chute”, ou seja, não é
um modelo inventado arbitrária e artificialmente, só para a formulação do problema.
O modelo descrito faz sentido, fisicamente!
Observação: Os exercícios 4 e 5 foram tirados (com adaptações) da seção 4.5 do livro
“Cálculo com Geometria Analítica”, volume 1, de G. F. Simmons. Há exercícios deste
tipo, também, na seção 2.6 do livro de Hoffmann e Bradley (ver sugestões a seguir). Tais
exercícios são recomendados.
Os exercícios indicados a seguir referem-se ao texto
L. D. Hoffmann e G. L. Bradley, Cálculo: um curso moderno e suas aplicações,
!! 9a Edição !! , ltc, 2007.
Seção 2.4: 1, 3, 5, 11, 13, 15, exercícios 17 a 36 (faça tantos quantos quiser/puder), 37,
39, 41, 43.
Seção 2.6: 1, 3, 5, 9, 11, 17, 25, 41, 44, 49.
Problemas de Revisão do Capítulo 2: 61, 62, 63.
2
Respostas:
1. (a) (2x+3)(x3−x2+5x−3)+(x2+3x−1)(3x2−2x+5)−5x2/2−4/x4−6/(2x−
1)2 − 2(x2 − 4x− 1)/(x2 + 1)2
(b) 72x(3x2 + 1)11
(c) −2
3
(2x+ 1)−4/3
(d) cosx+cos2 x− sen2 x (Obs.: Isto é igual a cosx+2 cos2 x− 1, para todo x ∈ R.
Você consegue demonstrar esta identidade? Dica: sen2 x+ cos2 x = 1.)
(e) 2 senx cosx
(f) 2x cosx2
(g) 0
(h) 3
(
sen
√
x2 + 3x+ 1
)2(
cos
√
x2 + 3x+ 1
)
(x2 + 3x+ 1)−1/2(2x+ 3)
(i) 1
3 3
√
5
(
x2 sen(3x) + 2x
)−2/3
(2x sen(3x) + 3x2 cos(3x) + 2)
(j) −2x sen(sen(x2 + 1)) cos(x2 + 1)
(k) −2x sen(x2 + 1) sen(x2 − 1) + 2x cos(x2 + 1) cos(x2 − 1)− 2x sen(x2 − 1)
(Obs.: Pode-se reescrever esta expressão como 2x
(
cos(2x2)− sen(x2− 1)). Para
demonstrar isso, use a identidade cos(a+ b) = cos a cos b− sen a sen b.)
Para conferir o resultado em um exercício de derivada, você pode usar a ferramenta
http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator.
Mas cuidado: há mais de uma forma de escrever uma expressão matemática! Se o
seu resultado não “bater” exatamente com o do WolframAlpha, isto não siginifica,
necessariamente, que esteja errado. Utilize essa ferramenta com parcimônia. . . Faça
os exercícios por conta própria, antes de apelar para esse recurso!
2. (a) y = −4x. (b) y = 2x− 1. (c) y = 3x− 2. (d) y = 0 (a reta tangente é o eixo x).
(e) x = 0 (a reta tangente é o eixo y).
Obs.: O item (e), de certa forma, tem uma “pegadinha”.
3. Reta tangente a C no ponto (1, 1): 3x+7y = 10. No ponto (−1,−1): 3x+7y = −10.
4. 37,5 cm/segundo.
5. Dica: Denote o raio, o volume e a área de superfície do comprimido no instante t por
r(t), V (t) e A(t), respectivamente. A tradução do enunciado para o matematiquês,
então, é dada por d
dt
V (t) = −C · A(t), onde C representa uma constante positiva.
Agora, utilize as fórmulas dadas para relacionar V (t) e A(t) com r(t).
3