Derivadas_ Aplicações

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DEFINIÇÃO
O conceito de derivada na obtenção de retas tangentes e normais, em taxas relacionadas e em
problemas de máximos e mínimos.
PROPÓSITO
Representar o conceito de derivada de uma função na determinação das equações das retas
tangente e normal, na resolução de problemas de taxas relacionadas e no estudo do
comportamento de funções para a obtenção de máximos e mínimos locais e globais.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica
ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
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OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar o conceito de derivada na obtenção das retas tangente e normal em um ponto
MÓDULO 2
Aplicar o conceito de derivada na obtenção das taxas de variação através de taxas relacionadas
MÓDULO 3
Aplicar o conceito de derivada no estudo de funções e de seus pontos extremos
MÓDULO 4
Aplicar o conceito de derivada na análise dos pontos críticos e nos problemas de otimização
MÓDULO 1
 Aplicar o conceito de derivada na obtenção das retas tangente e normal em um ponto.
/
INTRODUÇÃO
Uma das interpretações gráficas para a derivada de uma função real é que esta representa a
inclinação da reta tangente ao gráfico da função, em um determinado ponto. Desta forma, a
aplicação da derivada de uma função real permite a obtenção da equação da reta tangente e da
reta normal ao gráfico, no ponto analisado.
DERIVADA COMO COEFICIENTE ANGULAR
DA RETA TANGENTE
A derivada de uma função real em um ponto q do seu domínio foi definida por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se este limite existir e fornecer um número real, a função terá derivada no ponto q do seu domínio.
A utilização das diversas regras de derivação facilita a obtenção de uma equação analítica para a
função derivada de f(x), simbolizada por f’(x).
Observe a figura 1: o quociente utilizado no limite representa a inclinação da reta secante que liga
os pontos (q, f(q)) e (x, f(x)). Esta reta faz um ângulo α com o eixo positivo x. A inclinação desta
reta, que na Geometria Analítica é representada pelo coeficiente angular da reta (ms), é calculada
pelo valor da tg 
/
 
Fonte: Autor
 Figura 1
Ao aplicarmos o limite neste quociente, o valor de x se aproximará cada vez mais do ponto q,
fazendo com que a reta secante tenda cada vez mais à reta tangente ao gráfico no ponto q (figura
2).
 
Fonte: Autor
 Figura 2
Desta forma, a derivada da função em um ponto pode ser interpretada como o coeficiente angular
da reta tangente ao gráfico da função no ponto analisado (figura 3). Isto é, a derivada vai valer a
/
tangente do ângulo que a reta tangente forma com o eixo positivo x.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: Autor
 Figura 3
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE AO
GRÁFICO DE F(X)
A Geometria Analítica nos mostra que existem várias formas de apresentação da equação de uma
reta no R2, isto é, no plano definido pelos eixos x e y. Uma forma de apresentação da equação da
reta será dada pela equação reduzida: , m real.
/
Este tipo de equação é obtido pelo coeficiente angular da reta e pelas coordenadas de um ponto
que pertence à reta.
Neste item, deseja-se obter a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto ( q, f(q) ).
Assim, este ponto de tangência, obrigatoriamente, pertence à reta.
, M REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como foi analisado no item anterior, o coeficiente angular da reta tangente é igual à derivada da
função no ponto ( q , f(q) ).
 ATENÇÃO
Portanto, substituindo o valor de m pela derivada se obtém a equação da reta tangente ao gráfico
de f(x) no ponto ( q, f(q) ): .
Então, se você souber o valor da função e de sua derivada no ponto q, a equação da reta tangente
que passa nesse ponto poderá ser obtida.
Ressalta-se que, a obtenção da reta tangente pode ser aplicada para verificar se os gráficos de
duas funções são tangentes entre si em um ponto. Este conceito se baseia na afirmação de que se
os gráficos são tangentes no ponto p, assim, eles apresentam uma tangente comum que passa
neste ponto.
EQUAÇÃO DA RETA NORMAL AO GRÁFICO
DE F(X)
/
A reta normal ao gráfico de f(x) em um ponto q é a reta ortogonal (perpendicular) à reta tangente
ao gráfico neste ponto (figura 4).
 
Fonte: Autor
 Figura 4
A Geometria Analítica nos apresenta o conceito de que existe uma relação entre o coeficiente
angular de duas retas ortogonais. Assim, se a reta n é ortogonal à reta t: 
Então, o coeficiente angular da reta normal é dado por .
Esta relação se baseia no fato de que o ângulo que a reta normal faz com o eixo x, simbolizado no
gráfico por β, vale 90° + α.
Em relação à derivada da função no ponto q, o coeficiente angular da reta normal será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
 ATENÇÃO
Assim, a equação da reta normal ao gráfico de f(x) no ponto q será definida por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que o ponto ( q, f(q) ) pertence à reta normal. Desta forma, se você souber o valor
da função e de sua derivada no ponto q, pode-se obter também a equação da reta normal que
passa no ponto q.
TEORIA NA PRÁTICA
Um avião desenvolve uma trajetória de uma parábola com uma equação dada por 
, com a altura (h) e posição horizontal (x) medidas em km. Quando o avião
estiver a 3km da sua saída, ele soltará uma bomba. Esta bomba, após o lançamento, descreverá a
trajetória da reta tangente na trajetória do avião. Determine a que distância do ponto de partida do
avião a bomba se chocará ao solo. Considere que o solo é totalmente plano e está na mesma
altura da saída do avião, isto é, h = 0.
RESOLUÇÃO
A equação da reta tangente, que será a trajetória da bomba será dada por:
, em que ( q , f(q) ) é o ponto de lançamento da bomba.
/
Para 
Portanto, a reta tangente será 
Quando a bomba tocar o solo, 
MÃO NA MASSA
1. OBTER A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE À FUNÇÃO F(X) = 3X2 + 2X – 1
QUANDO X = 2.
A) y=15x-11
B) y=14x-13
C) y=15x+10
D) y=14x+3
2. OBTER A EQUAÇÃO DA RETA NORMAL À FUNÇÃO F(X) = -XX2+1 NO
PONTO X = 2.
A) 75x + 150y - 240 = 0
B) 125x + 15y - 244 = 0
C) 100x + 150y - 220 = 0
/
D) 125x + 120y - 240 = 0
3. UMA RETA QUE TEM ÂNGULO DE 45° COM O EIXO POSITIVO X É
TANGENTE À CURVA F(X) = 2 + 5 LN (X2) NO PONTO P. DETERMINE AS
COORDENADAS DO PONTO P E A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE. CASO
SEJA NECESSÁRIO, USE NA SOLUÇÃO LN 100=4,6.
A) (15, 14) e y = 4x + 6
B) (16, 12) e y = 3x + 12
C) (10, 25) e y = x + 15
D) (12, 24) e y = 2x + 8
4. OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES F(X) = – 2X2 + 16X – 24 E G(X) = X2 + BX + C
SÃO TANGENTES NO PONTO DE ABSCISSA IGUAL A 3. DETERMINE O
VALOR DE B + C.
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
5. SEJA A FUNÇÃO F(X) = 2X2 + 1. SEJAM DUAS RETAS TANGENTES AO
GRÁFICO DESTA FUNÇÃO. UMA DAS RETAS É TANGENTE AO PONTO P(1,
3). A OUTRA TANGENTE INTERCEPTA A PRIMEIRA RETA NO PONTO DE
ABSCISSA ZERO. DETERMINE O PONTO DE TANGÊNCIA DA SEGUNDA
RETA AO GRÁFICO DE F(X) E SUA EQUAÇÃO.
A) (–1, 3) e 4x + y + 1 = 0
/
B) (–1, 3) e x + 4y + 1 = 0
C) (1, 3) e 4x + y + 1 = 0 C
D) (1, 3) e x + 4y + 1 = 0
6. PARA QUE VALORES DE K, A EQUAÇÃO EX = KX2, COM K REAL
DIFERENTE DE ZERO, TEM APENAS UMA SOLUÇÃO?
A) k= e22
B) k= e24
C) k= e28
D) k= -e24
GABARITO
1. Obter a equação da reta tangente à função f(x) = 3x2 + 2x – 1 quando x = 2.
A alternativa "B " está correta.
 
A equação da reta tangente será dada por 
y- f(q)= f'(q)(x-q)
Para x = 2 → f(2) = 3.22 + 2.2 – 1 = 12 + 4 – 1 = 15
Usando as regras de derivação f'(x) = 6x + 2
Assim, f'(2) = 6.2 + 2 = 14, sendo a reta tangente y - 15 = 14(x - 2) → y = 14x - 13.
Então, a alternativa correta é a letra B.
2. Obter a equação da reta normal à função f(x) = -xx2+1 no ponto x = 2.
A alternativa "B " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
/
3. Uma reta que tem ângulo de 45° com o eixo positivox é tangente à curva f(x) = 2 + 5 ln (x2)
no ponto p. Determine as coordenadas do ponto p e a equação da reta tangente. Caso seja
necessário, use na solução ln 100=4,6.
A alternativa "C " está correta.
 
Se a reta tangente faz ângulo de 45° com eixo positivo x, então mt = tg 45° = 1
Assim,
f’(p)=mt=1. Mas, f’(x)=5 2xx2=10x, assim: 1 = f'(p) = 10xp→xp=10
Substituindo na função yp = f(xp) = 2 + 5 ln (100) ≈ 25
Portanto, o ponto P será ( 10, 2 + 5 ln100) = ( 10, 25)
A equação da reta: y- f(p)= f' (p)(x-p) → y-(25) = 1 ( x – 10) → y = x + 15.
Assim, a alternativa correta é a letra C.
4. Os gráficos das funções f(x) = – 2x2 + 16x – 24 e g(x) = x2 + bx + c são tangentes no ponto
de abscissa igual a 3. Determine o valor de b + c.
A alternativa "D " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
/
5. Seja a função f(x) = 2x2 + 1. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função. Uma das
retas é tangente ao ponto P(1, 3). A outra tangente intercepta a primeira reta no ponto de
abscissa zero. Determine o ponto de tangência da segunda reta ao gráfico de f(x) e sua
equação.
A alternativa "A " está correta.
 
Como f'(x) = 4x, a reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x = 1 tem m = f'(1) = 4.1 = 4
A equação da reta será y – 3 = 4 (x – 1) → y = 4x - 1
O ponto da reta para x = 0 → y = 4.0 – 1 = –1. Assim, ponto de interseção das duas retas (0, –1).
A segunda reta passa no ponto (0, –1) e é tangente ao gráfico de f(x).
Considerando que Q (a ,b) é o ponto de tangência.
Equação da reta: y – (–1) = f'(a) (x – 0) → y + 1 = 4a x
Mas, esta reta passa no ponto (a, b ) que pertence a f(x): (a, b ) = ( a, 2 a2 + 1)
Então, substituindo na equação da reta: (2a2 + 1) + 1 = 4a . a → 2a2 = 2 → a2 = 1 → a = ± 1
Como a = 1 é o ponto dado no enunciado, o ponto Q (– 1, 3).
Reta tangente: y + 1 = – 4x → 4x + y + 1 = 0
Então, a alternativa correta é a letra A.
6. Para que valores de k, a equação ex = kx2, com k real diferente de zero, tem apenas uma
solução?
A alternativa "B " está correta.
/
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A RETA PX+QY+11=0, COM P E Q REAIS, É TANGENTE AO GRÁFICO DE
G(X)=X2+3X+1 NO PONTO DE ORDENADA 73 E COM ABSCISSA MAIOR DO
QUE 1. DETERMINE O VALOR DE (P + Q + 11):
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
2. SEJA A FUNÇÃO H(X) = 3X2 + LN X , X > 0. SEJA R A RETA NORMAL AO
GRÁFICO DE H(X) NO PONTO COM ABSCISSA X = 1. DETERMINE A
ABSCISSA DO PONTO EM QUE ESTA RETA CORTA O EIXO DOS X.
/
A) 22
B) 33
C) 15
D) 12
GABARITO
1. A reta px+qy+11=0, com p e q reais, é tangente ao gráfico de g(x)=x2+3x+1 no ponto de
ordenada 73 e com abscissa maior do que 1. Determine o valor de (p + q + 11):
A alternativa "C " está correta.
 
g(x)=73→x2+3x+1=73→3x2+9=7x+7→3x2-7x+2=0
Resolvendo a equação do segundo grau: x=7±72-4.3.22.3=7±56={213. Assim, x = 2, pois deve ser
> 1.
Reta tangente é do tipo: y-73=g'(2)(x-2) g'x=2xx+1-x2+3.1x+12=x2+2x-3x+12
assim, g'2=22+2.2-32+12=59
e a reta tangente será y - 73=59(x-2) ou 5x – 9y + 11 = 0 
Desta forma, a alternativa correta é a letra C, pois p + q + r = 5 – 9 + 11 = 7.
2. Seja a função h(x) = 3x2 + ln x , x > 0. Seja r a reta normal ao gráfico de h(x) no ponto com
abscissa x = 1. Determine a abscissa do ponto em que esta reta corta o eixo dos x.
A alternativa "A " está correta.
 
Como h'x=6x+1x→h'1=6+1=7
Então mn=-1h'1=-17
Para x = 1 →h1=3.12+ln1=3
Portanto, a reta normal terá equação: y - 3 = -17(x-1)
/
No ponto em que corta o eixo x, y = 0, portanto 0 - 3 = -17x-1 → x – 1 = 21 → x = 22
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
MÓDULO 2
 Aplicar o conceito de derivada na obtenção das taxas de variação através de taxas
relacionadas.
INTRODUÇÃO
Outra interpretação diz que a derivada de uma função real em um ponto representa uma taxa de
variação instantânea para este valor do domínio da função. No entanto, em certos casos, não se
conhece a função que relaciona diretamente as duas variáveis envolvidas no cálculo da taxa
desejada. Logo, a taxa de variação deve ser calculada, de uma forma indireta, através de taxas
conhecidas de outras variáveis.
Este método se baseia em definir um elo entre as duas variáveis desejadas, por meio do
relacionamento de outras variáveis e, assim, através do conceito da regra da cadeia, se obter a
taxa desejada. Por isso que se denomina taxa relacionada.
TAXAS DE VARIAÇÃO ATRAVÉS DA
DERIVADA
Seja a função f(x) que determina a relação entre a variável y e a variável independente t. Para se
determinar a taxa média de variação de f(x) quando a variável t varia entre dois valores, utiliza-se a
equação:
/
TAXA MÉDIA = 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta taxa nos apresenta a proporção entre a variação da função em relação à variação do domínio,
representado por t.
 ATENÇÃO
A derivada de f(t) no ponto q, como já sabemos, é o limite deste quociente quando t tende ao
ponto q. Assim, a derivada será o limite da taxa média quando t tende a q, que será denominada
taxa de variação instantânea ou simplesmente taxa de variação.
Em outras palavras, quando t vai se aproximando do ponto q, as taxas estão sendo calculadas
com períodos de variação do domínio cada vez menores. Quando t tender a q, a taxa, agora, será
calculada praticamente para este instante do domínio, por isso denominada taxa instantânea no
ponto q.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por exemplo, se a função f(t) relaciona a posição de um objeto com o tempo, a taxa média da
variação de f(t) com t representa a velocidade média do objeto, e a derivada da função f(t), em
relação a t, representará a taxa de variação instantânea da posição de acordo com a variação do
tempo que, na Física, denominamos velocidade instantânea ou simplesmente velocidade.
Outro exemplo: se a função V(R) relaciona o volume de uma esfera com o raio, a derivada da
função V(R) em um ponto R = R0 representa a taxa de variação do volume da esfera de acordo
/
com a variação do raio, para o instante em que o raio assumir o valor de R0.
Por fim, um aspecto prático importante. Quando se pede uma taxa e não se define a que variável
ela se refere, normalmente está se pedindo a taxa em relação à variável tempo.
TAXAS RELACIONADAS
Em certos problemas, precisa-se estudar a variação de y em relação a uma variável t, porém não
temos esta dependência direta registrada por uma função real.
 EXEMPLO
Por exemplo, pode haver casos em que conhecemos y em função da variável x, e a variável x em
função da variável t. Assim, para calcular a taxa de variação de y em relação a t, deveremos
compor a taxa de y em relação a x com a taxa de x em relação a t.
Esta composição é organizada usando o conceito da regra da cadeia. Apesar do exemplo ter sido
dado para apenas duas taxas, este método permite o relacionamento de diversas taxas. Essa
composição entre as taxas é denominada Taxas Relacionadas.
A obtenção de uma taxa, através do método das taxas relacionadas, tem sua aplicação em nossa
vida prática. Às vezes, a medição das taxas indiretas, intermediárias, são mais simples de serem
obtidas do que diretamente a taxa desejada.
 EXEMPLO
Um exemplo hipotético: às vezes, é mais fácil obter a variação do raio com o tempo do que obter
diretamente a variação do volume com o tempo. Por isso, torna-se mais simples usar o método de
taxas relacionadas para o cálculo da variação do volume pelo tempo, usando-se a variação do raio
com o tempo e depois do volume pelo raio.
/
 ATENÇÃO
Ressalta-se que, para a aplicação deste conceito, como já informado, não existe limitação de
quantas variáveis podem ser usadas para se criar o relacionamento. O único ponto importante é
que a cadeia de relacionamento deve estar completa.
Por exemplo, caso se deseje obter a taxa instantânea de uma variável y em relação a uma variável
t, mas só se conheça o relacionamento de y em relação a x, de x em relação a v,de v em relação
a u e, por fim, de u em relação a t. Assim, deve-se buscar um ou mais relacionamentos para se
sair da variável t até se chegar à variável y.
Em outras palavras, conseguiremos fechar a cadeia se relacionarmos a taxa de y com x, do x com
v, do v com u e de u com t. E obteremos a taxa relacionada, através da regra da cadeia:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É óbvio que conhecendo-se todas as funções poderia se obter uma função composta de forma a
se obter uma função direta de y com t e depois aplicar diretamente a variável na função, como feito
no primeiro item deste módulo. Mas, às vezes, a composição de funções pode ser mais complexa
do que se calcular as derivadas individuais ou até mesmo, pode existir o caso em que não
conhecemos uma função intermediária, mas apenas a taxa de variação correspondente.
Até aqui, usamos exemplos de taxa relacionada através de uma única cadeia, mas podem existir
casos nos quais, ao se definir o elo, verifica-se a abertura de ramificações.
 EXEMPLO
Por exemplo, deseja-se obter a taxa de variação de y em relação ao t, porém y depende de u e v e
as duas variáveis dependem de t.
/
Também, neste caso, usaremos a regra da cadeia para calcular a taxa desejada através das taxas
relacionadas, mas é necessário se observar a relação matemática entre as variáveis e usar a regra
de derivação específica. Vide alguns exemplos:
a) 
b) 
TEORIA NA PRÁTICA
Um carro de corrida percorre uma trajetória retilínea através de um movimento acelerado. Sua
posição, marcada a partir do ponto de partida, segue uma equação dada por s(t) = t4 , com s
medido em metros e t em segundos para 0 ≤ t ≤ 3,5 s. Determine:
 
a) A taxa de variação média da posição do carro, em relação ao tempo, entre os instantes t = 0 e t
= 1s;
b) A velocidade e a aceleração do carro para quando ele estiver a 81m de sua partida.
RESOLUÇÃO
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
/
MÃO NA MASSA
1. A VARIÁVEL K DEPENDE DIRETAMENTE DA VARIÁVEL X, ATRAVÉS DA
EQUAÇÃO K = 2X2 + 2X + 10. DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DE K EM
RELAÇÃO A X, PARA QUANDO X = 10.
A) 40
B) 42
C) 51
D) 63
2. UM BALÃO DE GÁS DE FORMA ESFÉRICA É ENCHIDO DE MODO QUE
SEU RAIO AUMENTE COM UMA TAXA DE 2CM/S. DETERMINE A TAXA DE
VARIAÇÃO INSTANTÂNEA DO VOLUME DO BALÃO PELO TEMPO, EM
CM3/S, PARA QUANDO O RAIO ATINGIR O VALOR DE 10CM.
A) 800πcm3/s
B) 1800πcm3/s
C) 700πcm3/s
D) 900πcm3/s
3. UMA DETERMINADA ÁREA A, EM M2, É MEDIDA PELA EQUAÇÃO V2 + U.
X , COM U, V E X MEDIDOS EM METROS. SABE-SE QUE AS MEDIDAS V, X E
U VARIAM COM O TEMPO E TÊM TAXAS, RESPECTIVAMENTE DE 2M/S, –
1M/S E 3M/S. DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DA ÁREA A PARA UM
INSTANTE EM QUE V = U = X = 1M.
/
A) 8m2s
B) -6m2s
C) 6m2s
D) -8m2s
4. UMA FÁBRICA TEM UMA PRODUÇÃO QUE DEPENDE DO PREÇO
UNITÁRIO DO PRODUTO NO MERCADO. ASSIM, A RELAÇÃO ENTRE A
QUANTIDADE DE ITENS PRODUZIDOS (Q), EM MILHÕES , PELO VALOR
UNITÁRIO (V), EM REAIS, É DADA PELA EQUAÇÃO V2+10QV+10- Q2=0.
QUAL A TAXA DE VARIAÇÃO DA QUANTIDADE PRODUZIDA (Q) EM
MILHÕES PELO TEMPO, MEDIDO EM DIAS, QUANDO O PREÇO UNITÁRIO
ESTÁ R$1,00, SABENDO QUE O PREÇO DO PRODUTO ESTÁ AUMENTANDO
A UMA TAXA DE R$0,50 POR DIA.
A) 3724 unidades de milhões/dia
B) 5724 unidades de milhões/dia
C) 5734 unidades de milhões/dia
D) 1744 unidades de milhões/dia
5. A TEMPERATURA DE UM FORNO (T), MEDIDA EM °C, DEPENDE DA
PRESSÃO EM SEU INTERIOR, MEDIDA EM PASCAL (KPA). ACONTECE,
PORÉM, QUE A PRESSÃO É REGULADA NO FORNO PELA TENSÃO DE
ALIMENTAÇÃO DE UM EQUIPAMENTO (V), MEDIDA EM VOLTS. SABE-SE
QUE T=P2+508 E P = V210-10. DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA EM RELAÇÃO AO TEMPO, EM MINUTOS, PARA UM
INSTANTE DE V = 15V, SABENDO QUE A TENSÃO DE ALIMENTAÇÃO ESTÁ
CRESCENDO A UMA TAXA DE 8V/MIN.
A) -75°C/min
B) -135°C/min
/
C) 75°C/min
D) 135°C/min
6. EM UM CIRCUITO ELÉTRICO, COM DUAS RESISTÊNCIAS EM PARALELO
RA E RB, CALCULA-SE A RESISTÊNCIA EQUIVALENTE ATRAVÉS DA
FÓRMULA 1REQ=1RA+1RB. A RESISTÊNCIA RA CRESCE COM O TEMPO
COM UMA TAXA DE 0,1Ω/S. A RESISTÊNCIA RB DECRESCE COM O TEMPO
COM UMA TAXA DE 0,2Ω/S. DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DA
RESISTÊNCIA EQUIVALENTE COM O TEMPO, QUANDO RA = 50Ω E RB =
100Ω
A) 145Ω/s
B) 245Ω/s
C) 155Ω/s
D) 255Ω/s
GABARITO
1. A variável k depende diretamente da variável x, através da equação k = 2x2 + 2x + 10.
Determine a taxa de variação de k em relação a x, para quando x = 10.
A alternativa "B " está correta.
 
Taxa de variação de k por x é dada por dkdx=2.2x+2=4x+2.
Para
x= 10→ dkdx=4.10+2=42.
Assim, a alternativa correta é a letra B.
2. Um balão de gás de forma esférica é enchido de modo que seu raio aumente com uma
taxa de 2cm/s. Determine a taxa de variação instantânea do volume do balão pelo tempo, em
/
cm3/s, para quando o raio atingir o valor de 10cm.
A alternativa "A " está correta.
 
Deseja-se obter a taxa dVdt. Não se tem diretamente a relação entre V e o tempo.
Porém, o enunciado informa dRdt= 2cm/s
Sabe-se, porém, que, pelo balão ter a forma esférica,
V=43πR3 →dVdR=43π3R2=4πR2
 
Portanto:
dVdt=dVdR.dRdt=4πR2.2=8πR2cm3/s
 
Para R=10cm→ dVdt=8π102=800πcm3/s
 
Assim, a alternativa correta é a letra A.
3. Uma determinada área A, em m2, é medida pela equação v2 + u. x , com u, v e x medidos
em metros. Sabe-se que as medidas v, x e u variam com o tempo e têm taxas,
respectivamente de 2m/s, –1m/s e 3m/s. Determine a taxa de variação da área A para um
instante em que v = u = x = 1m.
A alternativa "C " está correta.
 
Deseja-se obter a taxa dAdt, porém não se tem a relação direta, mas, sim, as taxas temporais das
variáveis u, v e x.
Derivando a expressão A = v2 + u . x em relação à variável t se tem:
dAdt=2vdvdt+udxdt+xdudt
Deseja-se esta taxa para quando v = u = x = 1, substituindo estes valores e as taxas conhecidas
dA/dt=2.1.2+1.3+1.(-1)=6 m2/s
/
 
Assim, a alternativa correta é a letra C.
4. Uma fábrica tem uma produção que depende do preço unitário do produto no mercado.
Assim, a relação entre a quantidade de itens produzidos (q), em milhões , pelo valor unitário
(v), em reais, é dada pela equação v2+10qv+10- q2=0. Qual a taxa de variação da quantidade
produzida (q) em milhões pelo tempo, medido em dias, quando o preço unitário está R$1,00,
sabendo que o preço do produto está aumentando a uma taxa de R$0,50 por dia.
A alternativa "B " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
5. A temperatura de um forno (T), medida em °C, depende da pressão em seu interior,
medida em Pascal (kPa). Acontece, porém, que a pressão é regulada no forno pela tensão
de alimentação de um equipamento (V), medida em volts. Sabe-se que T=P2+508 e P = V210-
10. Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, em minutos, para um
instante de V = 15V, sabendo que a tensão de alimentação está crescendo a uma taxa de
8V/min.
A alternativa "C " está correta.
 
Deseja-se obter a taxa dTdt, porém não se tem diretamente a relação entre T e o tempo.
Conhece-se a relação de T com P, P com V e V com o tempo, assim, pode ser usado o cálculo da
taxa através das Taxas Relacionadas: dTdt=dTdP·dPdV·dVdt
dTdP=P2+508'=2P8=P40C/kPa, dPdV=V210 – 10'=V5kPa/V e dVdt=8V/min
/
 
Para V=15V→P=V210 – 10=15210-10=12,5kPa
Assim,
dTdt=dTdP.dPdV.dVdt=P4.V5.8=2 PV5=2 12,5 155= 75°C/min
Assim, a alternativa correta é a letra C
6. Em um circuito elétrico, com duas resistências em paralelo RA e RB, calcula-se a
resistência equivalente através da fórmula 1Req=1RA+1RB. A resistência RA cresce com o
tempo com uma taxa de 0,1Ω/s. A resistência RB decresce com o tempo com uma taxa de
0,2Ω/s. Determine a taxa de variação da resistência equivalente com o tempo, quando RA =
50Ω e RB = 100Ω
A alternativa "A " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
/
1. UM CILINDRO DE ALTURA 20CM TEM UM RAIO QUE VARIA COM O
TEMPO, ATRAVÉS DE UMA TAXA DE 2CM/S. DETERMINE A TAXA DE
VARIAÇÃO DO VOLUME DO CILINDRO NOINSTANTE QUE O RAIO ESTIVER
EM 10CM.
A) 80πcm3/s
B) 400πcm3/s
C) 800πcm3/s
D) 800cm3/s
2. UMA VARIÁVEL Z ESTÁ RELACIONADA COM X , Y E U ATRAVÉS DA
EQUAÇÃO Z = X LN Y + COS U. SABE-SE QUE X, Y E U VARIAM COM O
TEMPO COM TAXAS MEDIDAS, RESPECTIVAMENTE, DE – 2 UNIDADES DE
X/S , 5 UNIDADES DE Y/S E 3 UNIDADES DE U/S. DETERMINE A TAXA DE
VARIAÇÃO DE Z POR TEMPO MEDIDO EM SEGUNDO PARA O INSTANTE EM
QUE U = Π/2, X = 2E E Y = E.
A) 5 unidades de z/s
B) 15 unidades de z/s
C) 25 unidades de z/s
D) 50 unidades de z/s
GABARITO
1. Um cilindro de altura 20cm tem um raio que varia com o tempo, através de uma taxa de
2cm/s. Determine a taxa de variação do volume do cilindro no instante que o raio estiver em
10cm.
A alternativa "C " está correta.
 
/
Sabe-se da Geometria que o volume do cilindro
V=πhR2=20πR2cm3
 
Deseja-se dVdt=dVdR.dRdt, mas dVdR =2.20πR = 40πR 
Assim,
dVdt=40πR.2=80πR cm3/s
 
Para
R=10cm → dVdt=800πcm3/s
 
Desta forma, a alternativa correta é a letra C.
2. Uma variável z está relacionada com x , y e u através da equação z = x ln y + cos u. Sabe-
se que x, y e u variam com o tempo com taxas medidas, respectivamente, de – 2 unidades
de x/s , 5 unidades de y/s e 3 unidades de u/s. Determine a taxa de variação de z por tempo
medido em segundo para o instante em que u = π/2, x = 2e e y = e.
A alternativa "A " está correta.
 
Como z=x In y + cos u →dzdt=x1ydydt+dxdtln y-sen u dudt
Como dxdt=-2, dxdt= 5 e dudt = 3, para u = π/2, x = 2 e y = e:
dzdt=x1ydydt+dxdtlny-senu dudt=2ee·5+-2lnln e -senπ2·3=10-2-3=5
MÓDULO 3
 Aplicar o conceito de derivada no estudo de funções e de seus pontos extremos.
/
INTRODUÇÃO
A primeira derivada de uma função está associada à inclinação da reta tangente ao seu gráfico,
assim, pode ser relacionada ao comportamento da função em relação ao seu crescimento ou
decrescimento em um determinado ponto do seu domínio.
Da mesma forma, a segunda derivada da função mede a variação da primeira derivada, podendo
ser relacionada com a concavidade de uma função em um ponto.
Ao se combinar a análise de crescimento e de concavidade, pode-se obter os pontos de máximo
ou mínimo local da função, denominados pontos extremos.
Este módulo analisará estes conceitos de forma detalhada.
ESTUDO DO CRESCIMENTO DE UMA
FUNÇÃO
 RELEMBRANDO
Inicialmente, vamos relembrar a definição de crescimento ou decrescimento de uma função:
Uma função será classificada como estritamente crescente em um intervalo I, se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função será classificada como estritamente decrescente em um intervalo I, se:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por outro lado:
Uma função será classificada como crescente em um intervalo I, se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função será classificada como decrescente em um intervalo I, se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já visto no módulo anterior, a derivada pode ser interpretada como o coeficiente angular da
reta tangente em um ponto. Assim, o sinal da derivada está diretamente relacionado ao
comportamento de crescimento da função. Para se analisar este comportamento em um intervalo I,
deve-se verificar o comportamento em todos os pontos de I.
 ATENÇÃO
Desta forma, seja f(x) uma função contínua no intervalo I, então:
/
Se f'(x) > 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) será estritamente crescente em
I;
Se f'(x) < 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) será estritamente decrescente
em I;
Se f'(x) = 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) é constante em I.
EXEMPLO
1. Determine os intervalos em que a função , x > 0, é crescente ou decrescente.
RESOLUÇÃO
Derivando a função
 
Para se verificar o comportamento da função, deve-se analisar o sinal da derivada.
Como a função somente é definida por x > 0, a parcela – x será sempre negativa. Logo, o sinal de
f’(x) será dado pelo sinal contrário à parcela .
 f(x) estritamente crescente;
 f(x) estritamente decrescente.
 
Deste modo, f(x) será estritamente crescente para e estritamente decrescente
para
/
ESTUDO DA CONCAVIDADE DE UMA
FUNÇÃO
Uma determinada função em um intervalo I pode ter uma concavidade para cima (côncava) ou
concavidade para baixo (convexa). A figura 1 apresenta um exemplo destes dois tipos de
concavidade em um intervalo (a, b).
 
Fonte: Autor
 Figura 1
Uma função em um intervalo I tem concavidade para cima quando o gráfico de f(x) estiver sempre
acima das tangentes a este gráfico. Uma função em um intervalo I tem concavidade para baixo
quando o gráfico de f(x) estiver sempre abaixo das tangentes a este gráfico.
Se lembrarmos que a função derivada também é uma função, assim a derivada da função
derivada, isto é, a derivada de segunda ordem de f(x) analisa o crescimento ou o decrescimento da
/
primeira derivada em um determinado intervalo. Como consequência, será uma ferramenta para se
analisar a concavidade de f(x).
 ATENÇÃO
Vamos provar isto de uma forma intuitiva: Observe que no intervalo I, em que a função tem a
“concavidade para cima”, a função é decrescente no início do intervalo, atinge um ponto de
mínimo, e depois é crescente na segunda parte do intervalo. De forma oposta, no intervalo I, no
qual a função tem a “concavidade para baixo”, a função é crescente no início do intervalo, atinge
um ponto de máximo, e depois é decrescente na segunda parte do intervalo.
Complementarmente, no ponto de máximo ou no ponto de mínimo, a tangente ao gráfico será
horizontal e, assim, seu valor de coeficiente angular m = 0. Portanto, nestes pontos, a derivada terá
valor nulo. Este detalhe será explorado com mais profundidade em um item posterior.
Juntando os dois conceitos, conclui-se que no Intervalo com “concavidade para cima”, a derivada é
negativa no início (função decrescente), depois nula (no ponto de mínimo) e depois positiva
(função crescente). Logo, a função derivada será estritamente crescente. Consequentemente, a
derivada da função derivada (derivada de segunda ordem de f(x): f”(x)) será positiva.
Analogamente, no intervalo com “concavidade para baixo”, a derivada é positiva no início (função
crescente), depois nula (no ponto de máximo) e depois negativa (função decrescente). Portanto, a
função derivada será estritamente decrescente. Consequentemente, a derivada da função derivada
(derivada de segunda ordem de f(x): f”(x)) será negativa.
 RESUMINDO
Desta forma, resumidamente, seja f(x) uma função que admite derivada de segunda ordem em um
intervalo I – Teste da Concavidade:
 Se f”(x) > 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) terá concavidade para cima
em I;
/
 Se f”(x) < 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) terá concavidade para baixo
em I;
PONTO DE INFLEXÃO
Seja um ponto p do domínio de f(x), com f(x) contínua em p. Se a função muda de nome de
concavidade antes e depois de p, diz-se que p é um ponto de inflexão de f(x).
Em outras palavras, se a concavidade na vizinhança à esquerda de p é “para baixo” e na
vizinhança à direita de p é “para cima”, ou vice-versa, então p é ponto de inflexão da função.
Importante: a derivada da função em um ponto de inflexão pode ser nula, pode não existir ou até
mesmo ser diferente de zero, mas obrigatoriamente, a função f(x) tem que ser contínua em p.
EXEMPLO
2. Analise a concavidade e a existência de pontos de inflexão para a função
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, foi calculada a derivada da função .
A análise da concavidade é feita através da derivada de segunda ordem:
 : f(x) concavidade para cima;
 : f(x) concavidade para baixo.
 
Desse modo:
/
A função f(x) terá “concavidade para cima” para e a função f(x) terá “concavidade
para baixo” para . No ponto , a função f(x) é contínua e muda de concavidade,
assim,é um ponto de inflexão de f(x).
EXTREMOS LOCAIS OU RELATIVOS
 ATENÇÃO
Seja uma função f(x) definida em domínio S tal que S ⊂ R:
 A função f(x) terá um máximo relativo ou local em um ponto p de seu domínio se existir algum
intervalo aberto I ⊂ S (vizinhança de p), contendo o ponto p, tal que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O ponto p será denominado ponto de máximo relativo (local) de f(x) ou maximizante;
 A função f(x) terá um mínimo relativo ou local em um ponto p de seu domínio se existir algum
intervalo aberto I ⊂ S(vizinhança de p), contendo o ponto p, tal que
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O ponto p será denominado ponto de mínimo relativo (local) de f(x) ou minimizante.
Os pontos de máximo e mínimo locais são denominados Pontos Extremos Relativos de f(x). Os
pontos extremos podem ocorrer em pontos do domínio onde a função é contínua e derivável,
contínua e não derivável ou até mesmo descontínua.
/
Para o caso do ponto extremo em um ponto contínuo e derivável, o teorema a seguir apresenta
uma forma para obtê-los.
TEOREMA DE FERMAT
Seja um ponto p interior ao domínio da função f(x) que é um ponto extremo de f(x). Se a derivada
de f(x) existir no ponto p, então a derivada é nula.
 ATENÇÃO
O teorema só vale nesta direção. Em outras palavras, se o ponto é máximo ou mínimo local e a
derivada existe, então, obrigatoriamente, ela será nula. Quer dizer, obrigatoriamente, que a
tangente ao gráfico da função neste ponto será horizontal.
Na figura 2, pode ser observado que os pontos p1 e p2 são pontos nos quais existem extremos
locais para a função f(x).
 
Fonte: Autor
 Figura 2
/
O teorema não diz que todo ponto extremo tem derivada nula, pois existem pontos que são
extremos locais e não têm a derivada definida. A figura 3, abaixo, mostra um exemplo. O ponto
para x = 0 é um ponto de mínimo local para a função g(x) = |x|, porém a derivada de g(x) não existe
neste ponto.
 
Fonte: Autor
 Figura 3
Da mesma forma, o teorema não está dizendo que todo ponto com derivada nula é ponto extremo,
pois existem pontos cuja derivada é nula e não são nem máximo nem mínimo locais da função.
Aqui cabe uma afirmação importante: a derivada nula só pode acontecer em três casos: máximo
local, mínimo local ou ponto de inflexão. São os únicos pontos possíveis para se ter uma tangente
horizontal.
Por fim, no caso em que a função é descontínua, a análise para verificar se o ponto é ou não um
ponto extremo só será possível pela análise dos valores da função. Em outras palavras, não se
tem, neste caso, nenhuma ferramenta para ocorrer a verificação.
Na figura 4, por exemplo, o ponto p1 é um ponto de máximo local, pois existe uma vizinhança
contendo p1 em que todos os pontos levam a um valor de f(x) ≤ f(p1). Da mesma forma, o ponto p3
é um ponto de mínimo local, pois existe uma vizinhança contendo p3, em que todos os pontos
levam a um valor de f(x) ≥ f(p3). Por fim, p2 não é nem um ponto de mínimo local nem um ponto de
máximo local.
/
 
Fonte: Autor
 Figura 4
O Teste da Primeira Derivada, como ferramenta importante, pode ser usado para analisar se
qualquer ponto é ou não um ponto extremo para esta função. Mas cuidado, ele só pode ser usado
nos pontos em que a função é contínua.
 ATENÇÃO
Teste da Primeira Derivada
 Se a derivada de f(x) mudar de positivo para negativo em p, então f(x) tem um máximo local em
p. O ponto p será um maximizante para f(x).
 Se a derivada de f(x) mudar de negativo para positivo em p, então f(x) tem um mínimo local em
p. O ponto p será um minimizante para f(x).
 Se a derivada de f(x) não mudar de sinal em p, p não é um ponto extremo local.
Por fim, cada extremidade do domínio da função sempre será um ponto extremo local dela quando
for uma extremidade fechada. Na figura anterior, a função tem ponto de mínimo local para x = a,
mas não tem ponto extremo para x = b.
EXEMPLO
/
Determine os pontos extremos locais da função , caso existam.
RESOLUÇÃO
Observe que a função é contínua em todo seu domínio (x > 0). Sua derivada 
 existe para todo domínio. Desta forma, não existe descontinuidade nem
pontos onde a derivada não existe.
Pelo teorema:
 (não faz parte do domínio) ou 
Assim, o ponto é um ponto extremo local para f(x). No próximo item, aprenderemos
como classificar este ponto através da derivada de segunda ordem.
A obtenção deste ponto extremo pode ser feita também usando o segundo método:
Como f(x) será estritamente crescente para e estritamente decrescente para 
, então, em existe um ponto extremo e ele é um ponto de máximo local.
TEORIA NA PRÁTICA
Uma determinada ação de investimento tem seu valor modelado pela função
, em que t é o tempo medido em dias a partir de um determinado
dia de referência e g(t) o valor da ação no dia t. Um investidor deseja comprar as ações em um
momento em que elas estiverem com um comportamento de crescimento de seu valor. Qual o
período indicado para este investidor, e em que dia a função atingirá seu menor valor?
RESOLUÇÃO
/
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
MÃO NA MASSA
1. OBSERVE O GRÁFICO DE H(X). MARQUE A ALTERNATIVA QUE
APRESENTA, ENTRE OS PONTOS REPRESENTADOS, QUAIS NÃO SÃO OS
PONTOS EXTREMOS DE H(X) PARA X ∈ [A,B].
 
FONTE: AUTOR
A) Apenas p2
/
B) Apenas a e p5
C) Apenas a e p2
D) Apenas p2 e p5
2. SABE-SE QUE A FUNÇÃO F(X) = X2-2KX TEM UM PONTO EXTREMO EM X
= 4. DETERMINE O VALOR DO K REAL.
A) 10
B) 12
C) 16
D) 20
3. SEJA A FUNÇÃO F(X) = 2X3 + 9X2 – 24X + 9. QUAL É O INTERVALO EM
QUE ESTA FUNÇÃO É ESTRITAMENTE CRESCENTE?
A) x<-4 ou x>1
B) -4<x<1
C) x>1
D) x<-4
4. SEJA A FUNÇÃO F(X) = 2X3 + 9X2 – 24X + 9 PARA X ∈ [-5, 3]. MARQUE A
ALTERNATIVA QUE APRESENTA, RESPECTIVAMENTE, UM MAXIMIZANTE,
UM MINIMIZANTE E UM PONTO DE INFLEXÃO DE F(X).
A) 1, -4 e 32
B) -4, 1 e -32
/
C) 3, -5 e -12
D) 0, 2 e 12
5. SEJA GX=XE1X, X≠00, X=0. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA
O INTERVALO NO QUAL G(X) TEM CONCAVIDADE PARA BAIXO.
A) x < 0
B) x > 0
C) 0 < x < 1
D) x > 1
6. SEJA GX=XE1X, X≠00, X=0 DETERMINE E CLASSIFIQUE OS PONTOS
EXTREMOS E OS PONTOS DE INFLEXÃO DE G(X), CASO EXISTAM.
A) x = 1 é um maximizante, e x = 2 é um ponto de inflexão.
B) x = 2 é um maximizante e não tem ponto de inflexão.
C) x = 1 é um minimizante e não tem ponto de inflexão.
D) x = 2 é um minimizante, e x =1 é um ponto de inflexão.
GABARITO
1. Observe o gráfico de h(x). Marque a alternativa que apresenta, entre os pontos
representados, quais não são os pontos extremos de h(x) para x ∈ [a,b].
/
 
Fonte: Autor
A alternativa "C " está correta.
 
Os pontos p1 e p6 são pontos extremos onde a derivada existe. Observando o gráfico, p1 é
minimizante de h(x) e p6 é maximizante de f(x).
No ponto p4 a derivada não existe, porém é um ponto extremo, sendo minimante de h(x).
Nos pontos p2, p3 e p5 existe uma descontinuidade. O ponto p2 não é ponto extremo, mas p3 é um
maximizante e p5 um minimizante de h(x).
Por fim, a extremidade do domínio para x = a, por estar aberto, não é ponto extremo, mas para
x = b, com domínio fechado, é um ponto minimizante de h(x).
Assim, a alternativa correta é a letra C.
2. Sabe-se que a função f(x) = x2-2kx tem um ponto extremo em x = 4. Determine o valor do k
real.
A alternativa "C " está correta.
 
A função é contínua em x = 4. A derivada f'(x)=2x-kx, existe para x = 4.
Portanto, se x = 4 é um ponto extremo, em que existe derivada, obrigatoriamente f'(4) = 0.
f'2=2.4-k4=0→k2=8→k=16
/
Assim, a alternativa correta é a letra C.
3. Seja a função f(x) = 2x3 + 9x2 – 24x + 9. Qual é o intervalo em que esta função é
estritamente crescente?
A alternativa "C " está correta.
 
f'x=6x2+18x-24 = x2+3x-4 é definida em todo domínio.
x2+3x-4 é uma equação do segundo grau com raízes em -3±9+162=-41, então
f'(t)<0→x2+3x-4<0→ -4<x<1 - função estritamente decrescente
f'(t)<0→x2+3x-4<0→ x<-4 ou x>1 - função estritamente crescenteAproveitando para estudar a concavidade
f’’(x) = 6 ( 2x + 3), então
f’’(x) <0 →2x+3<0→ x<-32 - concavidade para baixo
f’’(x) >0 →2x+3>0→ x>-32 - concavidade para cima
Desse modo, a alternativa correta é a letra C.
4. Seja a função f(x) = 2x3 + 9x2 – 24x + 9 para x ∈ [-5, 3]. Marque a alternativa que apresenta,
respectivamente, um maximizante, um minimizante e um ponto de inflexão de f(x).
A alternativa "B " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
/
5. Seja gx=xe1x, x≠00, x=0. Marque a alternativa que apresenta o intervalo no qual g(x) tem
concavidade para baixo.
A alternativa "A " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
6. Seja gx=xe1x, x≠00, x=0 Determine e classifique os pontos extremos e os pontos de
inflexão de g(x), caso existam.
A alternativa "C " está correta.
 
A função é descontínua para x = 0 e como g(0) = 0, a função tende para o infinito para quando x
tende a zero por valores positivos. Assim, analisando esta vizinhança, verifica-se que, neste ponto
de descontinuidade, não existirá um ponto extremo.
Analisando o crescimento e decrescimento de g(x), determinado no exemplo anterior, observa-se
que a função é decrescente antes de x = 1 e crescente depois de x = 1, então, este ponto será um
minimizante de g(x).
Analisando a concavidade da função, determinada no exercício anterior, constata-se que a função
muda de concavidade para x = 0. Porém, este ponto não será um ponto de inflexão. Lembre-se de
que, para ser um ponto de inflexão, a função necessita ser contínua no ponto, e a função não é
contínua em 0.
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
GABARITO
/
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA AFIRMATIVA CORRETA
RELACIONADA A G(X) = X3 - 3X NO INTERVALO DE (0, 1).
A) g(x) é estritamente decrescente com concavidade para cima.
B) g(x) é estritamente crescente com concavidade para cima.
C) g(x) é estritamente decrescente com concavidade para baixo.
D) g(x) é estritamente crescente com concavidade para baixo.
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM PONTO MAXIMIZANTE
DA FUNÇÃO H(T) = T2 ET
A) -2
B) -1
C) 0
D) 2
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma afirmativa correta relacionada a g(x) = x3 - 3x no
intervalo de (0, 1).
A alternativa "A " está correta.
 
g'(x) = 3x2 - 3 = 3(x2-
1)→g'x>0→x< -1 ou x>1:gx estritamente crescenteg'x<0→-1<x<1: gx estritamente decrescente 
/
g''(x) = 6x →g''x>→x>0: gx concavidade para cima g''x<0 →x<0: gx concavidade para baixo 
Assim, a alternativa correta é a letra A.
2. Marque a alternativa que apresenta um ponto maximizante da função h(t) = t2 et
A alternativa "A " está correta.
 
h'(t) = 2tet+t2et=tet2+t:h't>0→t<-2 ou t>0:htestritamente crescenteh't<0→-2<t<0:htestritamente decrescente
Assim, t = -2 será um maximizante da função e t = 0 um minimizante.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
MÓDULO 4
 Aplicar o conceito de derivada na análise dos pontos críticos e nos problemas de otimização.
INTRODUÇÃO
Ao se analisar o comportamento de uma função, existem pontos que devem ter uma atenção maior
por serem pontos em que a derivada é nula ou não existe.
Como já estudado, estes pontos podem ser de máximo ou mínimos locais, ou até mesmo, em
alguns casos, pontos de inflexão. Este módulo apresentará os testes que devem ser feitos para se
classificar a natureza dos pontos críticos de uma função.
Outro ponto abordado é a resolução dos problemas de otimização, isto é, a busca dos pontos de
uma função que a levam a ter o maior valor ou o menor valor dentro de seu domínio. Estes pontos
serão denominados de máximo ou mínimo globais.
ANÁLISE DOS PONTOS CRÍTICOS
/
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo aberto I. Um ponto p pertencente a I será um ponto
crítico de f(x) se a f’(p) = 0 ou f’(p) não existir. Assim, os pontos críticos serão os pontos que devem
ser analisados caso você esteja interessado em obter os pontos extremos de uma função.
 RELEMBRANDO
Como visto no item anterior, os pontos em que a derivada é nula podem ser classificados em
máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Os pontos em que a derivada não existe
podem ser um destes três casos, mas, também, não ter nenhuma classificação específica.
Para se classificar os pontos críticos em que a derivada não existe, deve ser feita uma análise do
crescimento e decrescimento da função e de suas concavidades, raciocínio já realizado no módulo
anterior. Para o caso de ser um ponto crítico com derivada nula, a classificação do ponto se dará
pelo teste da segunda derivada.
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA
Seja p um ponto crítico de f(x) com derivada nula, assim:
Se f”(p) > 0, então p é um ponto de mínimo local de f(x);
Se f”(p) < 0, então p é um ponto de máximo local de f(x);
Se f”(p) = 0, então nada podemos concluir.
 
No caso em que f’(p) = 0, deve ser feito um teste complementar. Continua a derivar e a verificar o
valor da derivada no ponto p, até que se obtenha uma derivada de ordem n tal que f(n)(p)≠ 0,
assim:
 
 Se n for par e f(n)(p) > 0, então p é ponto de mínimo local de f(x);
 Se n for par e f(n)(p) < 0, então p é ponto de máximo local de f(x);
/
 Se n for ímpar, então p é ponto de inflexão de f(x).
EXEMPLO
1. Determine e classifique os pontos críticos da função .
RESOLUÇÃO
Então, os pontos críticos são x = 1 e x = – 1.
Analisando a segunda derivada: 
 x = 1 ponto de mínimo local;
 x = – 1 ponto de máximo local;
2. Determine e classifique os pontos críticos da função f(x) = 2 x5, g(x) = – x4 e h(x) = 2x4.
RESOLUÇÃO
a) 
Portanto, nada podemos afirmar pelo teste da segunda derivada. Deve-se continuar a derivar até
achar a ordem da derivada diferente de zero no ponto x = 0.
/
, como a ordem da derivada é 5, ímpar, x = 0 é ponto de inflexão.
 
b) 
Logo, nada podemos afirmar pelo teste da segunda derivada. Deve-se continuar a derivar até
achar a ordem da derivada diferente de zero no ponto x = 0.
, como a ordem da derivada é 4, par, e g(4) (0) < 0, então x
= 0 é um maximizante de g(x).
 
c) 
Assim, nada podemos afirmar pelo teste da segunda derivada. Deve-se continuar a derivar até
achar a ordem da derivada diferente de zero no ponto x = 0.
, como a ordem da derivada é 4, par, e h(4) (0) > 0, então x = 0
é um minimizante de h(x).
/
MÁXIMOS E MÍNIMOS GLOBAIS -
OTIMIZAÇÃO
Em determinadas aplicações, estamos interessados em obter o valor de x que leva a função a
atingir seu maior ou menor valor em todo o seu domínio. Estes pontos são denominados Extremos
Globais ou Absolutos da função.
Os problemas que buscam valores máximos ou mínimos de uma função são denominados
problemas de otimização.
 ATENÇÃO
Seja uma função f(x) definida em um domínio S ⊂ R:
 A função f(x) terá um máximo absoluto ou global em um ponto p de seu domínio se
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 A função f(x) terá um mínimo absoluto ou global em um ponto p de seu domínio se
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os candidatos a serem pontos extremos globais de uma função em um domínio S serão os pontos
extremos locais e as extremidades do domínio, caso existam.
É importante ressaltar que uma função pode não possuir máximos e/ou mínimos globais. Por
exemplo:
 a função f(x) = x , com domínio nos reais, não tem máximo e nem mínimo global;
 a função f(x) = x2 , com domínio nos reais, tem mínimo global no ponto x = 0, porém não tem
máximo global;
/
 a função f(x) = x + 2 , para domínio em [0, 2], tem ponto de máximo global em x = 2 e ponto de
mínimo global em x = 0.
Apenas no caso de uma função contínua em domínio S fechado pode-se garantir que,
obrigatoriamente, a função terá ponto de máximo e mínimo global. Funções com estas
características são consideradas compactas, isto é, têm valores limitados e são definidas em um
domínio fechado.
TEOREMA DOS VALORES EXTREMOS OU TEOREMA DE
WEIERSTRASS
Se f(x)for contínua em um intervalo [a,b] fechado, então f(x) assume um valor de máximo absoluto
f(c) e um valor de mínimo absoluto f(d) em algum ponto c e d de [a,b].
TEORIA NA PRÁTICA
O consumo de energia (C, em Wh) de um determinado equipamento, depende da velocidade de
rotação de seu eixo principal (v, em rpm). O modelo, que relaciona as duas variáveis, é C = 4v2 –
160v + 2000. O equipamento pode trabalhar com velocidade de eixo entre [10, 25]. Determine qual
a velocidade que permite o menor consumo do equipamento.
RESOLUÇÃO
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
/
MÃO NA MASSA
1. CLASSIFIQUE OS PONTOS CRÍTICOS PARA A FUNÇÃO F(X) = 36X2 – 63 X
– 3X3 – 2.
A) x = 7 é maximizante e x = 1 é ponto de inflexão de f(x).
B) x = 7 é maximizante e x = 1 é minimizante de f(x).
C) x = 7 é ponto de inflexão de f(x) e x = 1 é minimizante de f(x).
D) x = 7 é minimizante de f(x) e x = 1 é maximizante de f(x).
2. SEJA A FUNÇÃO F(X) = 100 - 2X - X2. VERIFIQUE A EXISTÊNCIA DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS PARA F(X).
A) A função não tem máximo global, mas tem mínimo global em x = 1.
B) A função não tem nem máximo nem mínimo global.
C) A função não tem mínimo global, mas tem máximo global em x = 1.
D) A função tem máximo global em x = 3 e tem mínimo global em x = 1.
3. CLASSIFIQUE OS PONTOS CRÍTICOS PARA A FUNÇÃO HX=1X2-16
A) x = 4 é maximizante de h(x)
B) x = 0 é maximizante de h(x)
C) x = – 4 é minimizante de h(x), e x = 4 é maximizante de h(x)
D) x = 4 é minimizante de h(x), e x = 0 é maximizante de h(x)
/
4. UMA FÁBRICA PRODUZ UM EQUIPAMENTO. SEJA A VARIÁVEL P, QUE
REPRESENTA QUANTOS EQUIPAMENTOS SÃO PRODUZIDOS POR HORA.
VERIFICOU-SE QUE A FUNÇÃO P(T) = 2T3 – 24T2 + 90 T REPRESENTA P EM
FUNÇÃO DE T, MEDIDOS EM HORAS. DETERMINE O INSTANTE EM QUE A
FÁBRICA APRESENTA O MAIOR VALOR E O MENOR VALOR PARA A
VARIÁVEL P, RESPECTIVAMENTE, NO INTERVALO DE T∈[1,7].
A) 7h e 1h
B) 3h e 7h
C) 3h e 5h
D) 1h e 5h
5. DETERMINE OS PONTOS DE INFLEXÃO, CASO EXISTAM, PARA A
FUNÇÃO GX=4XX2+2.
A) Apenas x = 6 e x = -6 são pontos de inflexão de g(x).
B) Apenas x = 0 e x = -6 são pontos de inflexão de g(x).
C) Apenas x = 0, x = 6 e x = -6 são pontos de inflexão de g(x).
D) Apenas x = 0 e x = 6 são pontos de inflexão de g(x).
6. DESEJA-SE CONSTRUIR UMA CAIXA DE FORMA CILÍNDRICA COM
VOLUME DE 2M3. NA LATERAL DA CAIXA E NO FUNDO UTILIZAREMOS UM
MATERIAL QUE CUSTA R$5,00 O METRO QUADRADO. NA TAMPA
SUPERIOR, O MATERIAL TERÁ UM CUSTO DE R$10,00 O METRO
QUADRADO. QUAL A DIMENSÃO DA CAIXA QUE VAI MINIMIZAR O CUSTO
COM GASTO DO MATERIAL PARA CONSTRUÍ-LA?
A) r=43π3cm e h=83π3cm
B) r=23π3cm e h=123π3cm
/
C) r=23π3cm e h=103π3cm
D) r=23π3cm e h=183π3cm
GABARITO
1. Classifique os pontos críticos para a função f(x) = 36x2 – 63 x – 3x3 – 2.
A alternativa "B " está correta.
 
f'x=72x-63-9x2=-9(x2-8x+7), que é definida para todo domínio.
Assim, os únicos pontos críticos serão aqueles que f’(x) = 0.
f'x=-9x2-8x+7=0→x2-8x+7=0→x=8±64-282=8±62=x=7x=1 
f''x=-92x-8=-18(x-4)→f''7=-18.3=-54<0f''1=-18.-3=54>0 
Logo, x = 7 é maximizante e x = 1 é minimizante de f(x).
Aproveitando o exercício, a função tem concavidade para cima para x < 4 (f’’(x) > 0) e concavidade
para baixo para x > 4 ( f’’(x)<0). Portanto, x = 4 será um ponto de inflexão de f(x).
Assim, a alternativa correta é a letra B.
2. Seja a função f(x) = 100 - 2x - x2. Verifique a existência de máximos e mínimos absolutos
para f(x).
A alternativa "C " está correta.
 
f'x=-2-2x, definida em todo domínio
Portanto, os únicos pontos críticos serão os pontos em que f’(x) = 0 → 2x = -2 → x = -1
f''(x)=-2<0, assim f''(1)<0 : x = 1 maximizante de f(x).
O domínio da função f(x) é aberto, então, não se pode garantir a existência de mínimos e máximos
globais. Deve ser verificado o comportamento da função nas extremidades do domínio.
Veja que, quando x tende a ∞, a função vai tender a – x2, portanto vai tender a –∞.
/
Da mesma forma, quando x tende a - ∞, a função vai tender a – x2, portanto vai tender a – ∞,
também. Assim, pelo comportamento da função, ela não tem mínimos globais. Não existe nenhum
ponto que leva a função a ter o menor valor do domínio, pois esta função tende a – ∞.
Mas esta função tem um máximo global que será x = –1, que leva a função a ter o seu maior valor,
f(–1) = 101.
Logo, a alternativa correta é a letra C.
3. Classifique os pontos críticos para a função hx=1x2-16
A alternativa "B " está correta.
 
h'x=-2xx2-162,
não é definida para x = ± 4. h'x=-2xx2-162 = 0 → x = 0
Portanto, existem três pontos críticos: x = 0 e x = ± 4
Em x = ± 4, a função h(x) é descontínua, assim, há que se verificar a vizinhança dos pontos.
Observe que a função tende para mais ou menos infinito ao se aproximar destes pontos. Portanto,
estes pontos não são pontos extremos. Como informação, o que existirão nestes pontos serão
assíntotas verticais da função.
A classificação de x = 0 pode ser feita pela segunda derivada, percebendo-se que h’’(0) < 0, ou se
analisando o crescimento de h(x).
h'x=-2xx2-162>→x<0 e h'x=-2xx2-162 < 0 →x> 0
Assim, como h(x) é crescente antes de x = 0 e depois decrescente, x = 0 é um maximizante de
h(x).
A alternativa correta é a letra B.
4. Uma fábrica produz um equipamento. Seja a variável p, que representa quantos
equipamentos são produzidos por hora. Verificou-se que a função p(t) = 2t3 – 24t2 + 90 t
representa p em função de t, medidos em horas. Determine o instante em que a fábrica
apresenta o maior valor e o menor valor para a variável p, respectivamente, no intervalo de
t∈[1,7].
A alternativa "A " está correta.
/
 
p't=6t2-48t+90, que é definida em todo domínio.
Como p(t) e p'(t) não têm descontinuidades, deve se preocupar apenas com os pontos em que
p'(t) = 0→p't=6t-5t-3=0→t= 5h e t=3h.
p''t=12t-48→p''3=36-48<0 e p''5= 60-48> 0
 
Logo, em t = 3 a função apresenta um ponto de máximo e, em t = 5, apresenta um ponto de
mínimo.
Como o domínio é fechado [1, 7], obrigatoriamente terá um máximo e mínimo globais. Os
candidatos a máximo e mínimo globais serão: t = 1, t = 3, t = 5 e t = 7h. (extremidades do domínio
e extremos locais).
Achando os valores de p(t): {p(1) = 68p(3) = 108p(5) = 100p(7) = 140 , assim o máximo global
acontecerá para t = 7h e o mínimo global para t = 1h. Veja que, neste caso, os pontos 3 e 5 são
máximos e mínimos locais, respectivamente, mas não são globais.
Assim, a alternativa correta é a letra A.
5. Determine os pontos de inflexão, caso existam, para a função gx=4xx2+2.
A alternativa "C " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
6. Deseja-se construir uma caixa de forma cilíndrica com volume de 2m3. Na lateral da caixa
e no fundo utilizaremos um material que custa R$5,00 o metro quadrado. Na tampa superior,
/
o material terá um custo de R$10,00 o metro quadrado. Qual a dimensão da caixa que vai
minimizar o custo com gasto do material para construí-la?
A alternativa "D " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO COM A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.
 
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA AFIRMATIVA CORRETA
RELACIONADA AOS PONTOS CRÍTICOS DE
FX=X2+4X+8, X∈-4,016X, X∈(0,4]
A) Apresenta apenas um ponto crítico em x = –2, com um ponto de mínimo local em x = –2.
B) Apresenta apenas um ponto crítico em x = –2, com um ponto de máximo local em x = –2.
C) Apresenta pontos críticos em x = 0 e x = –2 , com um ponto de mínimo local em x = –2.
/
D) Apresenta pontos críticos em x = 0 e x = –2 , com um ponto de mínimo local em x = –2 e um
ponto de inflexão em x = 0.
2. DETERMINE O PONTO DO DOMÍNIO DE F(X) = 2X + 2 COS X, COM X ∈[0,
Π], EM QUE A FUNÇÃO TERÁ UM MÁXIMO GLOBAL.
A) 0
B) π/4
C) π/2
D) π
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma afirmativa correta relacionada aos pontos críticos
de
fx=x2+4x+8, x∈-4,016x, x∈(0,4]
A alternativa "C " está correta.
 
A função f(x) é descontínua em x = 0, assim não vai existir derivada de f(x) neste ponto.
Portanto, x = 0 é um ponto crítico.Veja que f(0) = 8 e f(0+) não existe.
Analisando a vizinhança de x = 0, observe que antes do zero a função tende a 8 e depois tende ao
infinito, logo, neste ponto, a função não tem mínimo local, nem máximo local nem ponto de
inflexão.
Para x∈[-4,0), f'(x) = 2x + 4 → f'(x) = 0 para x = -2 - ponto crítico de f(x).
Como
f''(x) = 2 > 0 →x= -2 é minimizante de f(x)
Para x∈(0,4], f'x=-16x2→∄ x
tal que f'(x) = 0
/
Alternativa correta, portanto, letra C.
2. Determine o ponto do domínio de f(x) = 2x + 2 cos x, com x ∈[0, π], em que a função terá
um máximo global.
A alternativa "D " está correta.
 
A função f(x) é contínua em todo domínio e sua derivada f'(x) = 2 – 2 sen x, também.
Assim, os candidatos a pontos extremos serão f'(x) = 0 → 2 sen x = 2 → x = π/2.
Mas, f''(x) = –2 cos x e f''( π/2) = 0, não podendo concluir nada sobre este ponto.
Mas, f3x=2 sen x e f3π2≠0. Como a ordem da derivada é ímpar, x=π2 é um ponto de inflexão.
Como o domínio é fechado, os únicos pontos para máximo e mínimo global serão as extremidades
do domínio. Como f'(x) = 2 – 2 sen x > 0 para x ∈ [0, π], então f(x) é estritamente crescente e,
assim, o ponto de mínimo global será em x = 0 e o ponto de máximo global será em x = π.
Assim, a alternativa correta é a letra D.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos quatro módulos foi possível utilizar o conceito da derivada em diversas aplicações.
Inicialmente, aplicamos o conceito da derivada como coeficiente angular e definimos as equações
das retas tangentes e normais ao gráfico de uma função.
No segundo módulo, utilizamos o conceito da derivada como taxa instantânea e obtivemos taxas
relacionadas através da utilização da regra da cadeia.
Por fim, nos módulos finais, aplicamos a derivada no estudo das funções quanto ao crescimento,
concavidade e obtenção de pontos extremos locais e globais e o ponto de inflexão. Desse modo,
/
esperamos que você, a partir de agora, tenha capacidade de aplicar a derivação em diversos
problemas.
REFERÊNCIAS
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 1. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 9, p. 225-282.
HALLET, H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 4, p.157-
204.
LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Cálculo, com aplicações. 6. ed. São Paulo: LTC, 2003. cap. 2,
p.171-178, cap. 3, 189-232.
STEWART, J. Cálculo, Volume 1. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 3, p.255-260,
cap. 4, p. 278-289 e 331-341.
THOMAS, G. B. Cálculo, Volume 1. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. cap. 4, p. 212-261.
EXPLORE+
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CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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