EstruturaI_1_1a unidade - editado em 08/12/13.pdf.pdf

Prévia do material em texto

Notas de Aula da Disciplina FIS101 - Estrutura da Matéria
I (1a Unidade)
Trancrito por Bruno C. Credidio
8 de dezembro de 2013
Sumário
1 A Radiação Térmica e a Origem da Teoria Quântica 2
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 O Corpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Teorias Clássicas da Radiação de Cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Aparato Experimental e Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 A Teoria Quântica de Einstein para o Efeito Fotoelétrico 9
2.1 Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 A Descoberta do Elétron e a Relação e/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 O Efeito Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 A Natureza Dual da Radiação Eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1
Capítulo 1
A Radiação Térmica e a Origem da
Teoria Quântica
1.1 Introdução
Sabe-se que corpos aquecidos emitem radiação numa ampla faixa de frequências. Sabe-se,
também, que a emissão de radiação é dependente da temperatura do corpo. Em tempe-
raturas mais baixas, os corpos emitem mais na região infravermelha, e em temperaturas
mais altas, emitem mais na região visível, em direção ao azul ou violeta. A intensidade da
radiação é definida como a energia irradiada por unidade de área por unidade de tempo.
Em 1879, Josef Stefan1 determinou experimentalmente (empiricamente) que a intensi-
dade total da radiação emitida (energia total por unidade de área por unidade de tempo)
por um corpo aquecido era proporcional à temperatura absoluta do corpo elevada à quarta
potência. Mas notou também que o valor da intensidade total dependia do tipo de corpo,
mesmo estando à mesma temperatura. Escreveu como:
R = eσT 4 (1.1)
Onde e é a emissividade do corpo, variando entre zero e um, a depender do tipo de corpo;
σ é a constante universal de Stefan-Boltzmann; T é a temperatura absoluta do corpo e R
é a intensidade total da radiação medida para todo espectro de frequências emitidas.
A intensidade da radiação emitida por um corpo aquecido depende da faixa de frequên-
cias selecionada para realizar a medida da emissividade. Se selecionarmos medir a inten-
sidade da radiação entre uma frequência ν e ν + ∆ν, teremos uma intensidade ∆R nessa
faixa de frequências.
1Josef Stefan nasceu em Klagenfurt, 24 de março de 1835 e morreu em Viena, 7 de janeiro de 1893. Foi
um físico e matemático.
2
CAPÍTULO 1. A RADIAÇÃO TÉRMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUÂNTICA 3
Define-se a radiância espectral R(ν, T ) como a intensidade de radiação por unidade de
frequência:
R(ν, T ) =
∆R
∆ν
, quando ∆ν → 0 (1.2)
Experimentalmente, encontram-se curvas de radiância espectral com o seguinte aspecto:
Figura 1.1: Curvas da radiância espectral em função da frequência para diferentes tem-
peraturas.
∫ ∞
0
R(ν, T )dν = Intensidade total da radiação emitida pelo corpo aquecido. (1.3)
As primeiras medidas experimentais precisas da radiância espectral foram feitas por
Lummer2 e Pringsheim3 em 1899. A medida da intensidade da radiação se tornou possível
com a invenção do bolômetro, em 1878, por Samuel Pierpont Langlon. Usado inicialmente
para medir a radiação do Sol em determinadas faixas de frequência. Outro fato experimental
também conhecido e que pode ser observado nas curvas de radiância espectral é que a
frequência nos pontos de máximo é proporcional à temperatura. Isto é chamado de Lei do
Deslocamento de Wien.
νmax ∝ T ; νmax = βT (1.4)
2Otto Richard Lummer nasceu em Gera, Alemanha, 17 de julho de 1860 e morreu em Breslávia, Polônia,
5 de julho de 1925. Foi um físico.
3Alfred Israel Pringsheim nasceu em Olawa, Polônia, 2 de setembro de 1850 e morreu em Zurique, Suíça,
25 de junho de 1941. Foi um matemático de confissão judaica. Estudou na Universidade de Heidelberg e
fez fortuna na construção civil.
CAPÍTULO 1. A RADIAÇÃO TÉRMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUÂNTICA 4
c = λν; β =
T
νmax
(1.5)
λmax · T = cte; β = T
c/λ
(1.6)
cβ = Tλ (1.7)
1.2 O Corpo Negro
O conceito de corpo negro ou radiador integral foi introduzido por Kirchoff em 1882. Por
definição, é um corpo que absorve toda a radiação nele incidente. Superfícies ?pintadas?
com negro de fumo ou fuligem (uma forma de carbono amorfo) se aproximam bem da
definição. Um modelo para um copo negro é o de uma cavidade com um pequeno orifício
comunicando para o exterior. Uma radiação incidente no orifício atinge as paredes internas,
ocorrendo um processo de múltipla reflexão/absorção. Essas absorções provocam elevação
da temperatura do corpo. Diz-se que o orifício tem propriedades de um corpo negro pelo
fato de absorver toda a radiação nele incidente. Por outro lado, se o corpo estiver aquecido,
haverá energia eletromagnética no interior da cavidade, e uma parte dessa energia sairá
pelo orifício. A análise do espectro da radiação emitida dará informações do espectro da
radiação do interior do corpo.
(09/10)
1.3 Teorias Clássicas da Radiação de Cavidade
A origem do estudo da radiação dos corpos aquecidos estava relacionada com a necessi-
dade de medir a temperatura dos autofornos usados na siderurgia pela análise da ?luz? ou
radiação emitida através das janelas de inspeção dos fornos. A medida e o controle da tem-
peratura são importantes para a qualidade da liga metálica produzida. A curva de radiância
espectral mostrada anteriormente é a curva de um corpo negro aquecido. Vários modelos
teóricos baseados na teoria clássica do eletromagnetismo tentaram reproduzir resultados
obtidos experimentalmente sem sucesso. Wilhelm Wien tentou explicar o comportamento
da curva usando a termodinâmica e a teoria eletromagnética de Maxwell e conseguiu de-
monstrar matematicamente a Lei do Deslocamento que tem seu nome em 1893:
Encontrou também uma expressão que se ajustava à curva experimental para altas
frequências apenas. FIG 1.3.1 Entre 1900 e 1905, Lord Rayleigh e James H. Jeans apre-
sentaram uma teoria com hipóteses diferentes da de Wien, que descreveremos a seguir.
Consideraram uma cavidade com paredes metálicas com temperatura uniforme T e admi-
tiram que o interior da cavidade estava em equilíbrio térmico com as paredes. A radiação
absorvida pelas paredes fazia os osciladores moleculares vibrarem e reemitirem de volta a
CAPÍTULO 1. A RADIAÇÃO TÉRMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUÂNTICA 5
radiação para o interior da cavidade. A superposição das ondas no interior da cavidade pro-
duziria ondas estacionárias com nós nas paredes. A energia média dos osciladores poderia
ser calculada pelo princípio da equipartição da energia da mecânica estatística. Admitindo
dois graus de liberdade para os osciladores correspondentes às duas direções de polarização
possíveis para a onda eletromagnética. Em outras palavras, era admitido que o número de
osciladores com uma certa energia podia ser calculado pela distribuição de probabilidades
de Boltzmann para um gás ideal a uma temperatura T em equilíbrio térmico. Iniciaremos o
raciocínio com um problema unidimensional, considerando uma cavidade de comprimento
a ao longo do eixo Ox. FIG 1.3.2 Os osciladores das paredes geram ondas eletromagnéticas
que se propagam ao longo do eixo Ox nos dois sentidos. Consideremos que o vetor campo
elétrico esteja na direção Oy (uma possível direção de polarização). No espaço entre as
paredes metálicas, a onda estacionária resultante da superposição das duas ondas pode ser
genericamente descrita por:
A condição de contorno nas superfícies metálicas impõe que o campo elétrico seja nulo
em x = 0 e x = a para qualquer instante de tempo:
Ou seja, nem todas as frequências são permitidas, apenas aquelas múltiplas de c/2a
podem existir de modo permanente na cavidade. Temos, então, valores discretos e equidis-
tantes defrequências possíveis. A cada onda está associada uma frequência da radiação.
Contudo, como existem dois modos possíveis de polarização para a onda (vetor E na di-
reção y, ou z ou combinação), podem existir duas ondas associadas à mesma frequência.
Para calcular a quantidade de ondas estacionárias existentes em um intervalo de frequências
entre ? e ∆νmin, basta contar o número de frequências possíveis nesse intervalo e multipli-
car por dois. Chamaremos essa quantidade de N(ν)∆ν (essa quantidade é proporcional ao
intervalo considerado). N(ν) é a quantidade de ondas por intervalo mínimo de frequências.
Por exemplo, considere um intervalo:
Entre ν e ν + ∆ν teremos m valores possíveis de frequências:
A quantidade de ondas associadas será 2m.
Observemos que, neste caso unidimensional, N(ν) = 4a/c não depende de ν, pois 4a/c é
constante. Para valores de frequência muito elevados (m muito grande, m?108), o intervalo
c/2a será, relativamente, muito pequeno, e podemos considerar a aproximação diferencial
∆ν como dν.
Consideremos, agora, uma cavidade tridimensional com forma de um cubo de arestas
a paralelas a Ox, Oy e Oz, de paredes metálicas a uma temperatura T . Nesta situação,
podemos ter uma onda estacionária proveniente da superposição de duas ondas que se
propaguem em sentidos opostos em uma determinada direção do espaço, contanto que os
componentes desta onda satisfaçam a condição de contorno de valor do campo elétrico zero
nas paredes do cubo. Genericamente, a onda estacionária pode ser escrita como:
Se considerarmos os componentes do campo que propagam ao longo dos três eixos,
deveremos ter o campo se anulando nas paredes do cubo. Por exemplo, para a onda que se
propaga ao longo do eixo Ox (vetor E na direção Oy ou Oz), temos:
"Duas polarizações"
CAPÍTULO 1. A RADIAÇÃO TÉRMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUÂNTICA 6
Como, em x = a deveremos ter Mas,
14/10//
Se colocarmos mx, my e mz como um sistema de seis eixos ortogonais, a cada ponto
do espaço definido por (mx,my,mz), teremos uma frequência possível, e como os valores
de mi variam de unidade em unidade, a densidade de pontos neste espaço (o número de
pontos por unidade de volume) é igual a 1. O dobro do número de pontos contidos num
volume arbitrário qualquer, vezes a densidade de pontos, dá a quantidade de ondas possíveis
associadas àqueles valores de (mx,my,mz). O raio de uma superfície esférica neste espaço
vale:
r =
√
m2x +m
2
y +m
2
z =
2aν
c
(1.8)
Como mx, my e mz são inteiros, o espaço está restrito a um octante. O volume infinitesimal
em coordenadas esféricas para uma variação dr do raio é dado por:
Vesfera =
4
3
pir3 (1.9)
1
8
Vesfera(octante) =
1
8
· 4
3
pir3 (1.10)
1
8
dVesfera =
1
�82
· �4
�3
pi�3r
2dr (1.11)
dVoctante =
1
2
· pir2dr (1.12)
De (1.8), chegamos a:
dVoctante = frac12pi
(
2aν
c
)2 2a
c
dV (1.13)
Como a quantidade de pontos deste espaço vale 1,
Quantidade de pontos em dVoctante =
4pia3
c3
ν2dν (1.14)
A quantidade de ondas vale o dobro desse valor e é definida por
N(ν)dν = 2 · 4pia
3
c3
ν2︸ ︷︷ ︸
N(ν)
dν (1.15)
O volume da cavidade é V = a3, assim:
N(ν) =
8piV
c3
ν2 (1.16)
CAPÍTULO 1. A RADIAÇÃO TÉRMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUÂNTICA 7
Observe que, neste caso, N(ν) é proporcional ao volume.
O sistema de ondas estacionárias na cavidade é um sistema em equilíbrio térmico com
as paredes a uma temperatura T . As ondas põem os osciladores moleculares da parede em
estado de vibração que, por sua vez, reemitem a radiação
Um sistema mecânico análogo é o de um gás confinado em um recipiente e em equilíbrio
térmico. A distribuição de velocidades das moléculas do gás prevê uma energia média
igual a 12KBT por molécula por grau de liberdade, sendo KB a constante de Boltzmann.
Cada grau de liberdade está associado a uma forma de energia (translacional, rotacional,
vibracional, etc.).
Considerando o sistema de ondas estacionárias da mesma forma que o gás e que os
dois graus de liberdade correspondentes à onda eletromagnética estão associados à energia
armazenada no campo elétrico e no campo magnético, cada onda terá uma energia média
igual a KT .
Multiplicando pela quantidade de ondas com frequências entre ν e ν + dν, N(ν)dν
teremos as energias das ondas estacionárias nessa faixa de frequências:
Energia das ondas na faixa =
KT · 8pi
c3
V ν2dν (1.17)
dEnergia
V
= ρ(ν)dν = ρ(ν)dν, ρ(ν) =
KT · 8pi
c3
ν2 (1.18)
21/10
1.4 Aparato Experimental e Resultados
Estando o ânodo positivo em relação ao cátodo, os elétrons emitidos pelo cátodo, quando
da incidência da luz, são capturados pelo ânodo. A corrente indicada no microamperímetro
depende da tensão V conforme os gráficos seguintes:
(Gráfico 1)
Com o potencial elevado (positivo), todos os elétrons emitidos pelo cátodo são captu-
rados pelo ânodo caracterizando a região saturada. Com potencial zero (campo elétrico
nulo) existe corrente, o que demonstra que os elétrons são emitidos com uma certa energia
cinética. Com potencial negativo, o campo elétrico desacelera os elétrons emitidos e no
potencial −V0 o campo é suficientemente intenso para impedir que o elétron mais veloz
alcance o ânodo. Ou seja, o mais veloz dos elétrons (energia cinética Kmax) é desacelerado
pelo campo e não consegue atingir o ânodo.
Kmax = eV0 (1.19)
Observa-se, pelas duas curvas, que o potencial de parada é independente da intensidade
da luz. Variando-se a frequência da luz (cor), mantendo-se a intensidade constante, observa-
se uma variação em V0 em função desta frequência.
CAPÍTULO 1. A RADIAÇÃO TÉRMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUÂNTICA 8
(Gráfico 2)
O resultado experimental mostra uma dependência linear entre o potencial de parada e
a frequência.
(Gráfico 3)
Não se observa o efeito fotoelétrico para frequências menores do que a frequência de
corte do metal. (Equação 2)
Capítulo 2
A Teoria Quântica de Einstein para o
Efeito Fotoelétrico
2.1 Hipóteses
A energia da onda eletromagnética é transferida para a matéria de modo discreto em “pa-
cotes” de energia (posteriormente chamados de fótons) com valor (Eq. 3). Parte desta
energia é usada para remover o elétron do material e o restante aparece na forma de energia
cinética.
ε = hν = W +K, onde: (2.1)
W = Trabalho para arrancar o elétron do metal.
K = Energia cinética que o elétron adquire.
Alguns elétrons estão mais fortemente ligados ao metal (os elétrons mais profundos) e
outros estão mais fracamente ligados, necessitando de menor trabalho para serem arranca-
dos. Para estes elétrons, a sobra de energia será maior e teremos energia cinética máxima
Kmax.
W0 = Trabalho mínimo ou “Função Trabalho” (2.2)
Quando a frequência ν for igual a frequência de corte νc, os elétrons não são mais
ejetados e Kmax = 0.
hνc = W0 (2.3)
9
CAPÍTULO 2. A TEORIA QUÂNTICA DE EINSTEIN PARAO EFEITO FOTOELÉTRICO10
hν = W0 + eV0 (2.4)
V0 =
h
e
ν − W0
e
(2.5)
Comparando com a equação do primeiro grau:
y = ax+ b (2.6)
Portanto, podemos determinar a constante h/e pela medida da inclinação do gráfico V0×
ν. A função trabalho também pode ser determinada pelo mesmo gráfico, por extrapolação
quando ν = 0, sendo conhecido o valor da carga eletrônica e, ou, ainda, pela frequência de
corte νc obtida por extrapolação quando V0 = 0, sendo conhecido o valor de h. O valor da
constante de Planck obtido pelo efeito fotoelétrico concorda muito bem com o valor obtido
pela radiação de cavidade. O valor atual é 6, 6262 × 10−34 J/s. A teoria de Einstein do
efeito fotoelétrico explica os fatos experimentais observados. O aumento da corrente com
a intensidade da luz é devido à maior quantidade de elétrons arrancados por unidade de
tempo devido ao maior número de fótons que se chocam com o metal por unidade de tempo
sem, contudo, alterar o valor do potencial de parada(energia cinética máxima). O potencial
de parada depende apenas da frequência da onda e da função trabalho (característica do
metal). O aparecimento imediato da corrente após a incidência da luz também está de
acordo com a teoria do efeito fotoelétrico, uma vez que a transferência de energia do fóton
para o elétron é quase instantânea.
2.2 A Descoberta do Elétron e a Relação e/m
1. Primeiras especulações que a eletricidade fluía na forma de um grande número de
cargas discretas feitas por Benjamin Franklin em 1750.
2. Experimentos de eletrólise de Faraday em 1883 sugerem que a eletricidade existe
somente em múltiplos de uma unidade fundamental de carga.
3. Em 1874 Stoney calculou a carga elétrica de um íon monovalente em uma solução
e chamou esta carga de “electron”. O valor calculado estava errado (1/16 do valor
atual).
4. Nesta mesma época, em 1870, haviam sido descobertos os raios catódicos por Sir
William Crooks e, em 1897, Sir J. J. Thomson descobre que estes raios eram elétrons
carregados negativamente, se movimentando dentro do tubo em altas velocidades.
5. Em 1898, Thomson calcula o valor da carga elementar pela observação da velocidade
de queda de pequenas gotículas de água carregadas na atmosfera. Encontrou um valor
35% maior que o atual e, em 1903, encontra um valor 30% menor que o atual.
CAPÍTULO 2. A TEORIA QUÂNTICA DE EINSTEIN PARAO EFEITO FOTOELÉTRICO11
6. H. A. Wilson, em 1903, aplica um campo elétrico ~E a uma nuvem de gotículas carre-
gadas, de maneira a equilibrar o peso e manter a nuvem em suspensão. Ele observa
a presença de camadas de nuvem, indicando regiões com diferentes cargas na nuvem.
7. Em 1908, Robert Millikan e L. Begeman repetem o experimento, trabalhando com
uma única camada e encontraram um valor 16% menor que o atual.
8. Em 1910, Begeman encontra um valor 3% menor que o valor atual.
Neste mesmo tempo, outros experimentos também reportavam valores próximos para a
carga eletrônica. Experimentos realizados por Rutherford e Geigen na emissão de partícu-
las alfa espontaneamente em materiais radioativos. Em 1909, Millikan realiza o experimento
da gota de óleo para determinar a carga elementar. O experimento consistiu em pulveri-
zar (atomizar) óleo de forma a produzir pequenas gotas esféricas eletrificadas e mediu a
velocidade de queda e ascensão das gotas entre duas placas de um capacitor.
30/10/2013
Sob a ação da gravidade, uma pequena gota esférica cai na atmosfera (ou em outro
gás) com uma velocidade final constante dada pela fórmula de Stokes: (Eq. 1) Obs: Para
uma medida mais precisa, o coeficiente de viscosidade deve ser corrigido em função do
raio da gota e da pressão atmosférica, pela expressão: (Eq.2) (Eq. 3) Sendo a velocidade
de queda medida experimentalmente e todos os outros valores conhecidos, determina-se,
então, o raio da gota. O próximo passo consiste em aplicar o campo elétrico de modo
que a placa superior seja positiva com relação à placa inferior e a gota movimente-se para
cima com uma velocidade /v1 (velocidade final constante). (Imagem 1) Obs: Verifica-se,
experimentalmente, que a velocidade final é diretamente proporcional à força resultante
aplicada quando a velocidade é pequena. Sem campo elétrico, a força devido à gravidade,
vale: (Eq. 4) Com campo elétrico, a força resultante para cima, vale: (Eq. 5) Chamando
de /v a velocidade final sem campo e /v? a velocidade final com campo aplicado e notando
que as velocidades finais são diretamente proporcionais às forças, temos que: (Eq. 6) Logo,
a carga total da gota pode ser determinada a partir das medidas das velocidades. Do
resultado de inúmeras medidas, Millikan concluiu que as cargas observadas eram sempre
um múltiplo de um valor fundamental. O valor encontrado em 1917 /e=1,592x10E(-19)C.
Posteriormente, novos experimentos com raios X e com gotas refinaram o resultado e o
valor aceito atualmente é de /e=1,602x10E(-19)C. A Relação /e/m Muitos experimentos
foram realizados para determinar a razão entre a carga e a massa do elétron utilizando
diversas técnicas. Utilizando-se o método da deflexão, destacam-se o método de Thomson
e o método de Classen. No método de Thomson utiliza-se o tubo de raios catódicos e um
par de placas defletoras onde estabelece-se um campo elétrico perpendicular às placas e
um campo de indução magnética uniforme paralelo às placas e perpendicular ao feixe de
elétrons preenchendo o espaço entre as placas. (Imagem 2) Inicialmente, ajustam-se os dois
valores de campo para que a força elétrica seja igual à força magnética e o feixe de elétrons
não seja desviado: (Eq. 7) Determina-se, portanto, a velocidade do elétron a partir destes
CAPÍTULO 2. A TEORIA QUÂNTICA DE EINSTEIN PARAO EFEITO FOTOELÉTRICO12
dois campos. Em seguida, aplica-se apenas o campo de indução magnética e mede-se o
raio de curvatura do desvio da tragetório inicial. Esta tragetória passa a ser circular com
raio /R: (Eq. 8) No método Classen, utiliza-se um canhão eletrônico a partir do filamento
aquecido que emite elétrons que são acelerados por uma ddp conhecida. (Eq. 9) O feixe
de elétrons, então, entra em uma região de campo magnético uniforme onde descreve uma
trajetória circular. Mede-se, então, o raio da trajetória. (Eq. 10) Em 1973, o valor de /e/m
encontrado foi de 1,7588x10E11C/kg.
04/04/2013
2.3 O Efeito Compton
Considerando o modelo corpuscular para a radiação incidente no momento da interação e
aplicando-se a conservação da energia e da quantidade de movimento, pode-se estudar o
efeito Compton. Vejamos:
Considere, para a radiação X incidente de frequência ν, o fóton com energia E = hν. Os
fótons devem ser considerados como partículas sem massa de repouso mas com quantidade
de movimento P . Uma partícula relativística que tem massa de repouso tem energia
E =
m0c
2√
1− (vc )2 (2.7)
Onde m0 é a massa de repouso e v é a velocidade relativa do fóton. Como E = h/nu é
finito e a velocidade do fóton é v = c, deveremos ter m0 = 0. A relação entre a energia de
uma partícula e a quantidade de movimento é, em geral, dada por:
E2 = p2c2 +m2c4 (2.8)
Como, para o fóton, m0 = 0,
p =
E
c
(2.9)
Já que E = hν e que λ = cν , temos:
p =
hν
c
ou p =
h
λ
(2.10)
Consideremos que os elétrons do alvo estejam praticamente em repouso (a energia do
fóton de raio X é várias ordens de grandeza maior que a energia de ligação do elétron ao
átomo): Da conservação da energia, devemos ter:
E0︸︷︷︸
energia do fóton
+ m0c
2︸ ︷︷ ︸
energia de repouso
= E1 + E (2.11)
CAPÍTULO 2. A TEORIA QUÂNTICA DE EINSTEIN PARAO EFEITO FOTOELÉTRICO13
Da conservação da quantidade de movimento:
~p0 + 0 = ~p1 + ~p (2.12)
E0
c
~µ0 =
E1
c
~µ1 + ~p (2.13)
Mas,
E = E0 +m0c
2 − E1 (2.14)
E′ =
(
E0 +m0c
2 − E1
)′ (2.15)
E′ = (E0 − E1)′ − 2 (E0 − E1)m0c2 +m20c4 (2.16)
De (2.8), temos:
p2c2 +��
�
m2c4 = (E0 − E1)2 + 2 (E0 − E1)2m0c2 +���m20c4 (2.17)
E de (2.13), vem:
~p =
E0
c
µˆ0 − E1
c
µˆ1 (2.18)
~p · ~p =
(
E0µˆ0
c
− E1µˆ1
c
)
·
(
E0µˆ0
c
− E1µˆ1
c
)
=
(
E0
c
)2
− E0
c
· E1
c
(2.19)
cos(θ)− E0
c
· E1
c
(2.20)
cos(θ) +
(
E1
c
2)
(2.21)
∆λ =
h(1− cos(θ))
m0c
(2.22)
Esta expressão concorda muito bem com os resultados experimentais. O máximo desvio
Compton ocorre para θ = pi rads.
∆λmax =
2h
m0c
= 4, 86× 10−12 m
= 0, 0486 Å (2.23)
CAPÍTULO 2. A TEORIA QUÂNTICA DE EINSTEIN PARAO EFEITO FOTOELÉTRICO14
Este valor ficou conhecido pelo nome histórico de comprimento de onda Compton dos
elétrons.
Experimentos posteriores detectaram elétrons ejetados do processo simultaneamente
com a incidência da radiação, confirmando o valor da energia e a direção dos elétrons espa-
lhados. Além da radiação espalhada em todas as direções, obedecendo a equação de Comp-
ton, a experiência mostra ainda a presença de radiação com aproximadamente o mesmocomprimento de onda na mesma direção da radiação espalhada (radiação inalterada). Isso
pode ser explicado no desenvolvimento teórico. Foi considerado que as energias dos elétrons
livres eram suficientemente pequenas quando comparadas à energia do fóton incidente para
que esses elétrons pudessem ser considerados em repouso. Essa radiação também incide
nos elétrons mais internos que estão fortemente ligados e que não são ejetados, mas que
transmitem o impacto ao átomo inteiro, o qual possui uma massa muito maior que a do
elétron. Para o Carbono, a massa é 22 mil vezes maior do que a do elétron que é ejetado.
Substituindo essa massa na expressão do deslocamento Compton (??), resulta em um valor
muito pequeno para o desvio que não é mensurável. Esse espalhamento sem mudança no
comprimento de onda havia sido calculado classicamente por Thomson e recebeu o nome de
espalhamento Thomsson. Nesse caso limite, a explicação clássica e quântica dão o mesmo
resultado.
06/04/2013
Para a radiação eletromagnética de "grande"comprimento de onda (onda de rádio, mi-
croondas e visível), a energia do fóton é bem menor que a energia de ligação e predomina o
espalhamento Thomson. Para Raio X, o espalhamento Compton é mensurável e na região
dos raios gama, predomina o espalhamento Compton. A energia cinética do elétron espa-
lhado cresce com o aumento da frequência da radiação incidente. Podemos calcular a razão
entre a energia cinética do elétron e a energia do fóton incidente. Da equação 1
E −m0c2︸ ︷︷ ︸
energia cinética do elétron espalhado
= E0 − E1 = hν0 − hν1 (2.24)
Ecinérica = K
hν0
=
hν0 − hν1
hν0
=
ν0 − ν1
ν0
= 1− ν1
ν0
(2.25)
Mas c = λν .. ν = cλ :
K
hν1
= 1− λ1 − λ0
λ1
=
∆λ
λ1
=
∆λ
λ+ ∆λ
=
h
m0c
(1− cos(θ))
λ0 +
h
m0c
(1− cos(θ)) (2.26)
Como ∆λ é função do ângulo θ apenas, temos que quanto menor (maior energia do
fóton incidente), maior será a razão entre a energia cinética e a energia do fóton incidente,
ou seja, quase toda a energia do fóton incidente é transformada em energia cinética do fóton
espalhado.
CAPÍTULO 2. A TEORIA QUÂNTICA DE EINSTEIN PARAO EFEITO FOTOELÉTRICO15
Exemplo 2.1 : Considere o efeito Compton para raios X com λ igual a 1,00 Å e raios
gama com λ igual a 1, 88× 10−2 Å(de uma fonte de Cs137), observando o desvio Compton
a 90o.
Resolução: Para raios X, temos:
∆λ =
h
m0c
·
(
1− cos(pi
2
)
)
=
6, 6× 10−34
9, 1× 10−31 · 3× 108 = 0, 024 Å (2.27)
Para raios X, temos:
K
hν0
=
0, 0243
1− 0, 0243 = 0, 0237 = 2, 37% (2.28)
Para raios γ
K
hν0
=
0, 0243
1, 88× 10−2 − 0, 0243 = 0, 564 = 56, 4% (2.29)
Ou seja, mais da metade da energia do fóton incidente é transformada em energia
cinética neste caso.
2.4 A Natureza Dual da Radiação Eletromagnética
Os resultados experimentais mostram que a radiação eletromagnética pode ter característica
ou ondulatória ou corpuscular a depender do experimento realizado. Os experimentos de
difração mostram resultados compatíveis com a teoria ondulatória, enquanto que fenômenos
como o efeito fotoelétrico e o efeito Compton retratam da interação da radiação com a
matéria só são compatíveis com a teoria corpuscular. Este aspecto dual é, hoje, conhecido
em muitas situações e plenamente estabelecido.
Outro efeito interessante que também mostra a natureza corpuscular da radiação é a
produção de raios X pelo choque de elétrons em um alvo de metal duro como o Tungstênio.
Considere o arranjo experimental seguinte:
Foto 3 (Aparato experimental)
Os elétrons são acelerados até uma energia cinética k = eV e subitamente desacelerados
quando se chocam com um alvo. A teoria eletromagnética prevê a emissão de radiação de-
vido à desaceleração ocupando um espectro contínuo com o comprimento de onda variando
de zero a infinito. Contudo, a experiência mostra a existência de um comprimento de onda
mínimo que depende da ddp de aceleração.
Foto 4 (Gráfico da intensidade x lambda, uma curva que surge em um lambda mínimo,
cresce até um pico, e cai assintoticamente)
O elétron é desacelerado do choque com os átomos pesados do alvo. Se considerarmos
que a quantidade de energia transmitida ao átomo é pequena por causa de sua grande
massa, a quantidade de energia cinética perdida pelo elétron deve ser igual à energia dos
raios X emitidos.
CAPÍTULO 2. A TEORIA QUÂNTICA DE EINSTEIN PARAO EFEITO FOTOELÉTRICO16
O elétron pode perder energia cinética em um ou vários choques consecutivos com
diferentes átomos, de forma que raios X com diferentes comprimentos de onda podem ser
emitidos.
Adotando o modelo corpuscular para o raio X emitido, a energia do fóton deverá ser
igual à diferença entre as energias cinéticas do elétron antes e após o choque.
hν = K −K ′
hc
λ
= K −K ′
hc
λmin
= K = eε (2.30)
Se a energia cinética do elétron for para zero em um único choque, teremos k′ = 0 e o
máximo valor possível para a energia do fóton de raio X correspondendo ao mínimo valor de
lambda. Esta expressão está de acordo com os resultados experimentais e também pode ser
usada para encontrar o valor de h/e a partir das medidas de lambda mínimo e do potencial
de aceleração.
Exemplo 2.2 : O comprimento de onda mínimo do raio X produzido pelo choque de um
elétron com energia de 40 keV vale 3, 11× 10−11 m. Estimar o valor de h/e.
λmin = 3, 11× 10−11
h
e
=
ελtextrmmin
c
=
40× 103 · 3, 11× 10−11
2, 99× 108 = 4, 147× 10
−15 V.s
Exemplo 2.3 : Em que comprimento de onda um radiador de cavidade a 6000 K irradia
mais por unidade de comprimento de onda?
Gráfico da radiância com um máximo em um lambda max
λmaxT = 2, 898× 10−3 m.K
λmax =
2, 858× 10−3
6000
= 4830 Å
Exemplo 2.4 : Um filme fotográfico é feito com AgBr. Sob incidência da luz, o AgBr é
dissociado formando Ag (escura) e Br. A energia mínima para dissociar este composto é da
ordem de 10−19 J. Calcule o comprimento de onda de corte acima do qual não sensibiliza
o filme.
Resolução: A energia do fóton deve ser maior ou igual à energia de dissociação.
λ <
hc
10−19
= 1, 99× 10−6m
	A Radiação Térmica e a Origem da Teoria Quântica
	Introdução
	O Corpo Negro
	Teorias Clássicas da Radiação de Cavidade
	Aparato Experimental e Resultados
	A Teoria Quântica de Einstein para o Efeito Fotoelétrico
	Hipóteses
	A Descoberta do Elétron e a Relação e/m
	O Efeito Compton
	A Natureza Dual da Radiação Eletromagnética