09.Parametrizacao Curvas

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9. Parametrização de Curvas
LOB 1036 - Geometria Analítica
Profa. Paula C P M Pardal
LOB 1036
� Equação cartesiana de uma reta no plano:
� � �� � �	 ∴ 	� � 	
�� (1)
� Equações paramétricas de uma reta no plano:
�� � �
 � 	�	t� � �
�		�	t ∴	 �� � 	
��� � �
��	 (2)
� Diferença entre as equações (1) e (2)?
� Em (1), existe uma relação de dependência entre as coordenadas � e �.
� Em (2), as coordenadas � e � são obtidas independente uma da outra→ à medida
que se corre um parâmetro (�) em um intervalo � (� ∈ �), as coordenadas 
�, ��	do
ponto que pertence à reta são obtidas.
9.1 INTRODUÇÃO
2
LOB 1036
� Seria possível encontrar equações paramétricas para as cônicas anteriormente
estudadas? Isto é, seria possível obter cada coordenada do par 
�, �� no plano
independentemente, a partir do valor de um dado parâmetro?
� Nas aulas anteriores foi visto que as cônicas podem ser representadas pelas seguintes
equações cartesianas:
3
9.2 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DAS 
CÔNICAS
Cônica Equação
Parábola �� � 4��
Elipse ���� � ���� � 1
Circunferência �� � �� � ��
Hipérbole ���� � ���� � 1
LOB 1036
� A partir de qualquer destas equações, para encontrar um ponto que pertence à
cônica, é necessário atribuir um valor para � e determinar � ou vice-versa.
� Objetivo: a partir de um mesmo número, encontrar um valor para � e um
valor para � → determinar as equações paramétricas das cônicas. Isto
significa escrever a equação de uma cônica no formato:
�� � 	
��� � �
��
em que � é um parâmetro, � ∈ �.
4
LOB 1036
1) �→ �: �� � 4��→ � � � �� � ��� ��		, � ∈ ℜ
2) �, �→ ângulo �:
� ��� � !→ � � � 4����� � 4�����, � " #�
� Equações Paramétricas da Parábola.
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Equações Paramétricas da Parábola
P
x
y
�
��O
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1) �→ �: !()( � (*( � 1→ +
� � �
� � , �� 1 � -()( , � . �
2) �, �→ ângulo �:
� /� � �012�� � �23��, 0 5 � 5 27
� Equações Paramétricas da Elipse.
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Equações Paramétricas da Elipse
���
��
� P
x
y
�
��O
LOB 1036
1) �→ �: �� � �� � ��→ / � � �� � , �� � �� , � . �2� �, �→ ângulo �:
� /� � �012�� � �23��, 0 5 � 5 27
� Equações Paramétricas da Circunferência.
7
Equações Paramétricas da Circunferência
� P
x
y
�
��O
LOB 1036
1) �→ �: !()( � (*( � 1→ +
� � �
� � , �� -()( � 1 , � 8 �2� �, �→ ângulo �:
� /� � �230�� � ���� 		, � " ,
#
�
� Equações Paramétricas da Hipérbole.
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Equações Paramétricas da Hipérbole
���
��
�
P
x
y
�
�
�
O
LOB 1036
Note que: 012�� � 23��� � 1 ou 012� � � 23�� � � 1 (a)
� 012� � !) e 23�� � *→ (a)→ !) � � * � � 1→ !()( � (*( � 1→ Elipse
� 012� � !9 e 23�� � 9 → (a) → !9 � � 9 � � 1 → �� � �� � �� →
Circunferência
� Dividindo (a) por :;<= >: 1 � ?@A-BC?- � � �BC?- � → 1 � ��� � � 230� �
				-D-EFG;?@B-EIJ								
 1 � * � � !) �→ !()( � (*( � 1→ Hipérbole
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LOB 1036
a) Há quatro eqs. paramétricas possíveis para a parábola:
� � � 4����� � 4����� �
� � 4����
� � �4�����
�� � 4������ � 4���� �
� � �4�����
� � 4����
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Observações
Eixo sobre Oy
Concavidade (+)
Eixo sobre Oy
Concavidade (-)
Eixo sobre Ox
Concavidade (+)
Eixo sobre Ox
Concavidade (-)
LOB 1036
b) Há duas eqs. paramétricas possíveis para a elipse:
/� � �012�� � �23�� /
� � �012�
� � �23��
c) Há duas eqs. paramétricas possíveis para a hipérbole:
/� � �230�� � ���� 		 �
� � ����
� � �230�		
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Eixo maior sobre Ox Eixo maior sobre Oy
Eixo real sobre Ox Eixo real sobre Oy
LOB 1036
� Parametrização→ em vez de pensar em uma curva como um gráfico
de uma função ou equação, considera-se uma forma mais geral de
pensar → uma curva é considerada uma trajetória de uma partícula
em movimento, cuja posição está mudando em função de � → cada
uma das coordenadas � e � da posição da partícula se torna uma
função de uma terceira variável �.
� � 	 � 	KLMLNOPMQRLÇÃU 	�� � 	
��� � �
��
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9.3 CURVAS PLANAS
LOB 1036
� A curva ou trajetória de uma
partícula se movendo no plano
Oxy não é sempre o gráfico de
uma única função ou equação.
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	 � , �
��posição da partícula 
em �
LOB 1036
� A trajetória da figura anterior falha no teste da reta vertical→ não pode ser descrita
como o gráfico de uma função na variável �.
� No entanto, é possível descrever a trajetória por meio de um par de equações� � 	 � e 	� � � � , em que 	 e � são funções contínuas.
� Tais equações descrevem curvas mais gerais que aquelas como � � 	
�� e
também a localização da partícula �, � � 	 � , �
�� , para qualquer �.
� Variável �→ parâmetro para a curva; seu domínio �→ intervalo do parâmetro.
� Se � é um intervalo fechado � 5 � 5 �: 	 � , �
�� → ponto inicial da curva;	 � , �
�� 	→ ponto final da curva.
� Se equações paramétricas e um intervalo são fornecidos para uma curva →
parametrização da curva.
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LOB 1036
DEFINIÇÃO:
� Para definir coordenadas polares: primeiro são fixados uma origem V (polo) e um
eixo polar a partir de V. Então, cada ponto W pode ser localizado associando a ele
um par de coordenadas polares �, X , no qual � � ,	Y
V, W� fornece a distância
orientada de V a W e X, o ângulo orientado a partir do eixo polar até o raio VW:
Z [, \
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9.4 COORDENADAS POLARES
� W
�, X�
xXV
origem (polo)
eixo polar
LOB 1036
a) Assim como na trigonometria: X positivo → medido em sentido anti-horário; X
negativo→ medido em sentido horário.
b) Embora um ponto no plano possua um só par de coordenadas cartesianas, ele
possui infinitos pares de coordenadas polares:
i. O ponto a 2 unidades da origem ao longo do raio X � #] tem coordenadas
polares � � 2 e X � #] e também: � � 2 e X � �^#] ; e � � 2 e X � � ��#] .
ii. O ponto W 2, _#] pode ser alcançado girando _#] em sentido anti-horário, a
partir do eixo polar, e avançando 2 unidades ou girando #] em sentido anti-
horário, a partir do eixo polar, e voltando 2 unidades (suas coordenadas polares
seriam � � �2 e X � #]).
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Observações
LOB 1036
� Quando coordenadas polares e cartesianas são utilizadas em um plano, as duas
origens são posicionadas juntas e o eixo polar é tomado como o eixo Ox positivo.
Os dois sistemas de coordenadas estão relacionados pelas equações a seguir:
/� � �012X� � �23�X
� Para cada 
�, �� " 
0,0�, existe
um único X	`	a0,27� que satisfaz
as eqs. acima, cada uma
fornecendo uma representação em
coordenadas polares do ponto
�, ��.
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Relacionando Coordenadas Polares e Cartesianas
� W �, X � W
�, ��
x
y
�
�XO eixo polar
origem 
comum
LOB 1036
� Equação polar é uma equação do tipo � � 	 X ou X � 	
��.
� O gráfico de uma equação polar é o lugar geométrico de todos os pontos
no plano �X que satisfazem esta equação.
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Equação Polar
Eq. Cartesiana Eq. Polar Equivalente�� � �� � 4 � � 2
� � � X � 74�� � �� � 9 �� � 92302X
�3�� � �� � 4� � 1 � 0 � � 1 � 2�012X
�� � 4 �� � 80122302X
�� � �� � 2���� � 2�^ � 2��� � �� � 0 � � 1 � 012X
LOB 1036
TESTES DE SIMETRIA
1) Simetria em relação ao eixo Ox: se o
ponto �, X está no gráfico ∴ o ponto�, �X ou ��, 7 � X está no
gráfico.
2) Simetria em relação ao eixo Oy: se o
ponto �, X está no gráfico ∴ o ponto�, 7 � X ou ��,�X está no
gráfico.
3) Simetria em relação à origem: se o
ponto �, X está no gráfico ∴ o ponto��, X ou �, 7 � X está no gráfico.
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Gráficos em Coordenadas Polares
�, X
x
y
O �, �X ou	 ��, 7 � X
�, 7 � X ou	 ��, �X �, Xx
y
O
�, X x
y
O��, X ou	 �, 7 � X
LOB 1036
EXEMPLO:
Represente a curva a seguir no plano �X e encontre sua equação cartesiana:
� � 1 � 012X
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LOB 103621
9.5 EQUAÇÕES POLARES 
DAS CÔNICAS
� Uma vez explicadas as
coordenadas polares, como
as cônicas podem ser
escritas nesse tipo desistema?
� Observe a figura ao lado.
LOB 1036
� Da figura anterior, tem-se que a excentricidade pode ser definida como 3 � gh.
� i é a distância entre um foco e um ponto qualquer da cônica e j é a distância
entre esse ponto qualquer e a reta diretriz da cônica.
� Já foi visto também que a excentricidade pode ser definida como3 � kl?-âABl)	@A-9@	C?	nCBC?kl?-âABl)	@A-9@	C?	oé9-lB@?→ tipo de cônica e o seu grau de achatamento.
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Cônica Excentricidade
Elipse 3 � 0� � �� � ��� , � 8 �	 ∴ 0 . 3 . 1
Hipérbole 3 � 0� � �� � ��� ∴ 3 8 1
Parábola 3 � 1
Circunferência 3 � 0
LOB 103623
� Para encontrar equações polares gerais das cônicas, coloque um dos focos,i�, na origem do plano �X e a diretriz, � � �, à direita da origem. Assim:
P
x�XF1�O
foco na 
origem 
�012X
cônica
� � �
A
B
�
diretriz
eixo polar
LOB 103624
� A partir da figura no slide anterior, em coordenadas, tem-se:
Wi� � � e Wt � � � i�u � � � �012X. 
� Mas: 3 � gh. E, comparando as duas últimas figuras: i � Wi� e j � Wt.
� Portanto: 3 � gh � vgwvx � 9�y9BC?z.
� Assim, uma equação polar de uma cônica com excentricidade 3, em que� � � 8 0 é a diretriz vertical é:
� � �31 � 3012X
LOB 1036
i. Há mais três eqs. polares possíveis para uma cônica com excentricidade 3:
� � � �@�y@BC?z
� � � �@�{@?@Az	
� � � �@�y@?@Az	
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Observação
diretriz vertical: 
� � ��
diretriz horizontal: 
� � �
diretriz horizontal: 
� � ��
LOB 1036
1. Represente graficamente no plano �X os pontos cujas coordenadas polares são: W� 1, #� ;W� 2, #^ ; W^ 2, � #] ; W� 2, ��#] e W| �3, #� .
2. Determine as coordenadas polares de um ponto cujas coordenadas cartesianas são � � �� e� � � �� .
3. Determine as coordenadas cartesianas de um ponto cujas coordenadas polares são � � 3 eX � #].
4. Represente graficamente no plano �X as equações polares a seguir. Encontre suas
respectivas equações cartesianas:
a) � � 423�X �� � � � 2 � � 4
b) � � 2 � 4012X �� � �� � 2���� � 8��� � 8�^ � 12�� � 4�� � 0
c) � � 23�2X �] � �] � 3�����3���� � 4���� � 0
EXERCÍCIOS
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