aula 1 matematica financeira

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Universidade Regional do Cariri
Centro de Estudos Sociais Aplicados
Departamento de Economia
Curso de Economia – Campus Iguatu
MATEMATICA FINANCEIRA
PROPORÇÕES
IGUATU-CE
MARÇO 2016
1- Razão
Em nossa vida diária, estamos sempre fazendo comparações, e quando
fazemos comparações, estamos relacionando dois números.
Na linguagem matemática, todas essas comparações são expressas por
um quociente chamado razão. A palavra razão vem do latim “ratio”, e
significa divisão. Temos, então:
5 1
20 4

1
2
2 1
10 5

De cada 10 alunos, 2 gostam de
Matemática
Um dia de sol, para cada dois de
chuva
De cada 20 habitantes, 5 são
analfabetos
RazãoComparação
Uma razão é uma divisão entre dois números.
São exemplos de razões:
3
 ou 3:5
5
4,5
 ou 4,5:2
2
1- Razão
Usa-se uma razão quando queremos comparar
unidades, entre si.
Por exemplo:
Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de
sumo de laranja e 2 litros de água.
O sumo de laranja está para a água na razão de
3:2 ou na razão 3/2.
1- Razão
A Maria e o João dividiram uma pizza entre
si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o
João ficou com 5 fatias.
Qual é a razão entre o número fatias da
Maria e o número de fatias do João?
Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).
1- Razão
 Numa razão, os termos (números) têm um nome
próprio, tendo em conta o sítio onde se escrevem.
Por exemplo:
Na razão 3/5 ou 3:5 o número 3 chama-se
antecedente e o número 5 chama-se consequente.
1- Razão
Se as grandezas são da mesma espécie (comprimento e
largura, ou área e área), suas medidas devem ser
expressas na mesma unidade e nesse caso, a razão é
um número puro.
Ex: Se temos que determinar a razão entre as áreas das
superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo
que a quadra de vôlei possui uma área de 180 m2 e a de
basquete possui uma área de 240 m2, vamos escrever:
Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete:
2
2
180 3
240 4
m
m

1- Razão
Se as grandezas não são da mesma espécie (quilômetros
percorridos e o tempo transcorrido), a razão é um número
cuja unidade depende das unidades das grandezas a
partir das quais se determina a razão. Para irmos de uma
cidade A para uma cidade B, percorremos 240 km. Se
fazemos este percurso em 3 horas, a razão entre a
distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é
igual à divisão entre as medidas das duas grandezas.
Não podemos esquecer a unidade resultante desta
divisão:
240
80 /
3
km
km h
h

2- Proporção
Em uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30 alunos
entrevistados na Faculdade Pitágoras, 10 gostam de Matemática, portanto
também poderíamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos da
mesma faculdade, 40 deverão gostar de Matemática. Na verdade, ao falar
de 40 alunos dos 120 alunos estamos afirmando que 10 estão
representando em 30 o mesmo que 40 em 120.
Escrevemos:
10 40
30 120

Uma propriedade fundamental das proporções é a seguinte: em toda
proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36
2 9
4 18

2- Proporção
Considera a razão .
Se multiplicares ambos os termos da razão pelo mesmo
número, por exemplo, por 3, obtemos uma nova razão:
Quando escrevemos a igualdade temos uma proporção.
Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões.
2
7
3
3
2 6
7 21



2 6
7 21

2- Proporção
A proporção deve ler-se:
“2 está para 7 assim como 6 está para 21”.
Numa proporção, os números (termos) que lá aparecem têm
um determinado nome de acordo com o sítio onde se
encontram escritos.
 Os números 2 e 21 são chamados os extremos.
 Os números 7 e 6 são chamados os meios.
2
7 1
6
2

2- Proporção
Multiplica os extremos da proporção
 Produto dos extremos: 2 x 21 = 42
Multiplica os meios da proporção
 Produto dos meios: 7 x 6 = 42
O produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios. 
Chama-se à igualdade anterior a PROPRIEDADE 
FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES.
2
7 1
6
2

2
7 1
6
2

2- Proporção
 Exercício
Numa escola, a razão do número de professores para o
número de auxiliares é de 16:2.
Que conclusão podemos tirar da informação dada?
RESPOSTA
Como a razão entre o número de professores e o número
de auxiliares é de 16:2, podemos concluir que para cada 16
professores existem 2 auxiliares.
2- Proporção
• Se o número total de professores e auxiliares for igual a
108, quantos professores e quantos auxiliares têm a
escola?
18 108 16 108 1728
96
16 18 18
x x x
x

      
RESPOSTA:
Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores. Então,
para 108 trabalhadores haverá x professores.
A escola tem 96 professores e
108 – 96 = 12 auxiliares.
2- Proporção
Uma propriedade fundamental para série de razões iguais (ou
proporção múltipla) é a seguinte: em uma série de razões iguais, a
soma dos numeradores está para a soma dos denominadores assim
como qualquer numerador está para o seu respectivo denominador.
6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 8
3 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4
  
      
  
Divisão Proporcional
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros
números dados significa encontrar parcelas desse número que são
diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas,
reproduzam esse número.
Grandezas Proporcionais
A proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou
inversa. Esquematicamente, se duas grandezas são
diretamente proporcionais podemos representá-las como:
x y ou x y   
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais
quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa
determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa
mesma razão.
Grandezas Diretamente Proporcionais
 Quando vais ao bar comprar um sumo, por exemplo,
verificas o seguinte:
1 embalagem custa 0,5 euros;
2 embalagens custam 1 euro;
3 embalagens custam 1,5 euros;
4 embalagens custam 2 euros;
5 embalagens custam 2,5 euros;
6 embalagens custam 3 euros;
...
Grandezas Diretamente Proporcionais
 As duas grandezas (custo e número de
embalagens) variam sempre na mesma razão:
 Se uma das grandezas duplica a outra também duplica
 Se uma das grandezas triplica a outra também triplica
 ...
 Quando isto acontece dizemos que as
grandezas são diretamente proporcionais.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Número de embalagens (x) 1 2 3 4 5 6
Custo em euros (y) 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Podes escrever os dados anteriores numa tabela.
Como o valor das grandezas varia, podes usar uma letra
(variável) para representar cada uma delas.
Neste caso, a letra x representa o número de embalagens e a
letra y representa o custo.
Divide cada um dos valores de y pelo correspondente valor de x.
O que observas?
Grandezas Diretamente Proporcionais
Dividindo os valores correspondentes de y e x, temos o seguinte:
O número que obténs não varia. É sempre igual e, por isso,
chama-se constante. Neste caso o seu valor é 0,5.
Como as grandezas são diretamente proporcionais
diz-se que essa constante (neste caso, 0,5) é a constante
de proporcionalidade direta.
0,5 0,5 0,5 0
0,5 1
,5
1,5 2 2,5 3
; ; ; ; 0, ;
1 2
5 0
5
5
3 6
,
4
     
Grandezas Diretamente Proporcionais
 RESUMO
Dadas duas grandezas X e Y, Y é diretamente
proporcional a X se:
 Para X = 0 também Y = 0;
 Para X ≠ 0 e Y ≠ 0, o quociente entre dois
quaisquer valores correspondentes é um número
constante(k).
O número k é a constante de proporcionalidade direta.
Y
X
Grandezas Diretamente Proporcionais
 Num papelaria, um cliente pagou por 7 cadernos iguais a quantia de
8,75 euros.
Quanto teria pago se tivesse comprado 9 daqueles cadernos?
RESOLUÇÃO:
Podemos usar uma proporção. Sabemos que 7 cadernos estão para
8,75 euros, pelo que 9 cadernos estarão para x euros. Assim:
Resposta: Por 9 cadernos o cliente teria pago 11,25 euros.
7 9 8,75 9 78,75
11,25
8,75 7 7
x x x
x

      
Grandezas Diretamente Proporcionais
 Para fazer um determinado bolo, a razão entre o peso (em
grama) do açucar e o peso da farinha é de 5:2.
Se usares 160 g de açucar, quantos gramas de farinha deves
usar?
RESOLUÇÃO:
Podemos usar uma proporção. Sabemos que 5 g de açucar
estão para 2 g de farinha, pelo que 160 g de açucar estarão para
x g de farinha. Assim:
Resposta: Deveremos usar 64 g de farinha.
5 160 2 160 320
64
2 5 5
x x x
x

      
Grandezas Diretamente Proporcionais
 Uma torneira deita uniformemente, para um tanque que de inicio
estava vazio, 4 litros de água por minuto.
Ao fim de meia hora quantos litros de água deitou a torneira ?
RESOLUÇÃO:
Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 4 litros de
água estão para 1 minuto, pelo que x litros de água estarão para
30 minutos (meia hora). Assim:
Resposta: Ao fim de meia hora a torneira deitou 120 litros de água.
4 4 30 120
120
1 30 1 1
x
x x x

      
Grandezas Diretamente Proporcionais
 A mãe da Teresa comprou 1232 dólares americanos por 1000 euros.
À mesma taxa de câmbio, quantos dólares americanos poderia comprar
com 50 euros?
RESOLUÇÃO:
Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 1232 dólares
americanos estão para 1000 euros, pelo que x dólares americanos
estarão para 50 euros. Assim:
Resposta: Com 50 euros, a mãe da Teresa poderia ter
comprado 61,6 dólares americanos.
1232 1232 50 61600
61,6
1000 50 1000 1000
x
x x x

      
Grandezas Diretamente Proporcionais
1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000
Duas grandezas são diretamente proporcionais, 
quando ao aumentar uma, a outra também 
aumenta na mesma proporção.
x 2
X 3 x 4 x 6
x 2
X 3 x 4
x 6
Grandezas Diretamente Proporcionais
1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000
500
3 000
2 500
1 000
1 500
2 000
1 65432
Duas grandezas são diretamente proporcionais, se 
ao representa-las graficamente obtemos uma linha 
reta que passa pela origem.
Grandezas Diretamente Proporcionais
1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000
P
N
=
500
1
=
1 000
2
=
1 500
3
=
2 000
4
=
3 000
6
= 500 = k
P
N
= k P = k N
Duas grandezas são diretamente 
proporcionais, se estão ligadas por um 
quociente constante.
Proporção Inversa ou Grandezas 
Inversamente Proporcionais
Se duas grandezas forem inversamente proporcionais
podemos representá-las como:
x y ou x y   
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada
razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.
3- Regra de Três
Exercícios 2
Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de 30km/h e
27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma distância. Se um
gasta 18 minutos a mais que o outro, determine o tempo gasto pelo
ciclista mais lento.
Regra de três simples
Exercícios 1
Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45 kWh,
quanto consumirá se aumentar o tempo de seu banho para 20 minutos?
W = P.T, onde:
W - energia consumida;
P - potência do eletrodoméstico considerado;
T - tempo de utilização do eletrodoméstico.
V = E/T, onde:
V - velocidade;
E - espaço;
T - tempo.
3- Regra de Três
Exercícios 2
Se 45 máquinas realizam uma obra em 16 dias, funcionando 7
horas por dia, quantas máquinas seriam necessárias para
realizar esta obra em 12 dias, funcionando 10 horas por dia?
Regra de três composta
Exercícios 1
Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400
peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão 7
operários, trabalhando 9 dias?
Grandezas Inversamente Proporcionais
120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6
Duas grandezas são inversamente proporcionais, 
quando ao aumentar uma, a outra diminui na 
mesma proporção, e vice-versa.
÷ 2
÷ 3 ÷ 4 ÷ 6
x 2
X 3 x 4
x 6
X = 120 km
Grandezas Inversamente Proporcionais
20
120
100
40
60
80
1 65432
Duas grandezas são inversamente proporcionais, 
se ao representar-as graficamente obtemos uma 
curva chamada hipérbola.
120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6
Grandezas Inversamente Proporcionais
= k
k
t
=VV · t = k
Duas grandezas são inversamente proporcionais, 
se estiverem ligadas por um produto constante.
120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6
V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4) = (20)(6) = 120