Prova de Casa 2_Etapa 2

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Física – Departamento de Física Geral 
Disciplina: Métodos da Física Teórica II (FIS 114) Profa: Suani Pinho 
Nome: Data: 02/12/2013 
 
2ª Prova – Etapa 1 - 2ª Parte 
 
 
5) (2.5) Sobre norma e relações de recorrência: 
 
 a) (1.25) Mostre que os polinômios associados de Legendre obedecem a relação de recorrência: 
 
 
 
b) (1.25) Os polinômios de Hermite obedecem a equação . 
Mostre que a norma do polinômios de Hermite vale . 
 
6) (2.5) Considere o fluxo de calor em um cilindro maciço infinito cuja distribuição da 
temperatura no tempo t=0 seja representado por u(r,ϕ,z,t=0) = Ψ(r,ϕ,z), tratado no material de 
Paulo Miranda. Obtivemos em sala de aula os coeficientes da série de Fourier (expressões 
(IV-16) a (IV-18)) e os coeficientes da série de Fourier-Bessel (expressão (IV-19)). 
a) (1.25) Construa as expressões dos coeficientes Ami, Bmi, Cmi e Dmi, ou seja, obtenha a 
expressão (IV-28) a (IV-32) a partir das expressões obtidas em sala de aula. 
b) (1.25) Obtenha a solução geral (expressão (IV-34)). As relações (IV-35) e (IV-36), 
usadas para obtenção de (IV-34), também devem ser deduzidas. 
 
 
7) (2.5) Considere uma membrana estendida sobre um suporte circular fixado ρ=c no plano z=0; 
ela sofre um deslocamento inicial z=f(ρ), sendo abandonada em repouso naquela posição. 
Mostre que seu deslocamento transversal é dado por: 
 
 
 
 
8) (2.5) Sendo K a condutividade de uma esfera sólida, temos que o fluxo de calor K ∂u/∂r na 
superfície r=1 da esfera é uma função prefixada f(cosθ) onde f é tal que a variação do fluxo de 
calor no tempo é nula, de modo que a integral de f(ξ) no intervalo de -1 a 1 é nula. Se u=0 no 
centro r=0, mostre que as temperaturas estacionárias u(r,θ) na esfera, 0 ≤ r ≤ 1 é dada por: