aplicações equações diferenciais

Prévia do material em texto

EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS 
Cristiane da Silva
Aplicações de equações 
diferenciais parciais 
em engenharia
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Solucionar problemas envolvendo a equação da onda.
 � Resolver problemas por meio da equação de Laplace.
 � Utilizar métodos numéricos para a resolução de equações parciais.
Introdução
Uma equação diferencial muito importante é a equação diferencial da 
onda, que descreve a propagação das ondas, que podem ser sonoras, 
luminosas ou aquáticas. Essa equação surge em áreas como a acústica, 
o eletromagnetismo e a dinâmica de fluidos. Outros problemas que 
merecem destaque são aqueles envolvendo o método de Fourier, uma 
opção de resolução de problemas muito importantes na física, como, 
por exemplo, o da condução do calor em uma barra, o das vibrações 
em uma corda ou o problema de Dirichlet, para a equação de Laplace. 
Neste capítulo, você estudará a respeito das equações diferenciais 
parciais, bem como verá suas definições, seus conceitos e teoremas. 
Além disso, verá exemplos de representações gráficas e de resoluções 
de problemas envolvendo as equações da onda e de Laplace.
1 Equação da onda
Uma equação diferencial parcial que ocorre com frequência é a equação de 
onda. Boyce e Diprima (2017) destacam que essa equação, ou uma de suas 
generalizações, aparece em diversas análises matemáticas de fenômenos 
envolvendo a propagação de ondas em um meio contínuo. Como exemplos, 
pode-se mencionar os estudos de ondas acústicas, ondas de água, ondas ele-
tromagnéticas e ondas sísmicas, os quais se baseiam nessa equação.
Para melhor visualização, será utilizado um exemplo de investigação de 
vibrações mecânicas. Imagine que uma corda elástica de comprimento L esteja 
esticada entre dois suportes no mesmo nível horizontal, de modo que o eixo dos 
x esteja ao longo da corda, como mostra a Figura 1 (BOYCE; DIPRIMA, 2017).
Figura 1. Uma corda vibrante.
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 532).
x = 0 x = L
u(x, t)
x
Pode-se pensar nessa corda elástica como uma corda de guitarra, um esteio 
ou, ainda, como um cabo de transmissão de energia elétrica. Imagine que a 
corda seja colocada em movimento, de modo que vibre em um plano vertical, 
e denote por u(x, t) o deslocamento vertical da corda no ponto x, no instante t. 
Se forem desprezados os efeitos de amortecimento, como a resistência do ar, 
e se a amplitude do movimento não for muito grande, então u(x, t) satisfará a 
equação diferencial parcial a2uxx = utt no domínio 0 < x < L, t > 0. A equação 
a2uxx = utt é conhecida como a equação de onda unidimensional. O coeficiente 
constante a2 que aparece na equação é dado por , onde T é a tensão 
(força) na corda; ρ é a massa por unidade de comprimento do material da 
corda e a as unidades de comprimento/tempo, ou seja, de velocidade (BOYCE; 
DIPRIMA, 2017).
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia2
Observe, a seguir, um exemplo de como descrever o movimento da corda 
e determinar a solução da equação de onda satisfazendo algumas condições 
de contorno e iniciais.
Para descrever completamente o movimento da corda, faz-se necessário especificar, 
também, as condições iniciais e de contorno adequadas para o deslocamento u(x, t). 
Supõe-se que as extremidades permanecem fixas; logo, as condições de contorno são:
Como a equação diferencial a2uxx = utt é de segunda ordem em relação a t, parece 
razoável fornecer duas condições iniciais. A primeira é a posição inicial da corda:
e a segunda, a sua velocidade inicial:
onde f e g são funções dadas. Para que as equações u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ≥ 0, 
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L e ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L sejam consistentes, faz-se necessário 
supor que:
O problema matemático, então, é determinar a solução da equação da onda que 
satisfaz às condições de contorno e às condições iniciais. Esse é um problema de valor 
inicial na variável temporal t e um problema de valores de contorno na variável espacial x. 
Por outro ponto de vista, também pode ser considerado como um problema de valores 
de contorno na faixa semi-infinita 0 < x < L, t > 0 no plano xt, como mostra a Figura 2.
3Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
t
x = L
x
u(0, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
a2uxx = utt
ut(x, 0) = g(x)
u(L, t) = 0
Figura 2. Problema de valores de contorno para a equação da onda.
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 533).
Assim, são impostas uma condição em cada ponto dos lados semi-infinitos e duas 
condições em cada ponto da base finita. 
É importante destacar que a equação da onda modela vários outros problemas 
ondulatórios, além das vibrações transversas de uma corda elástica. Por exemplo, basta 
interpretar a função u e a constante a apropriadamente para se obter problemas que 
tratam de ondas em um oceano, ondas acústicas ou eletromagnéticas na atmosfera, 
ou ondas elásticas em um corpo sólido. Se o problema tiver mais de uma dimen-
são espacial significativa, a equação da onda deverá ser ligeiramente generalizada. 
A equação da onda em duas dimensões é a seguinte:
Essa equação apareceria, por exemplo, ao se considerar o movimento de uma 
superfície fina elástica, como a superfície de um tambor. Analogamente, em três 
dimensões, a equação da onda é a seguinte:
Em consonância com as duas últimas equações, aqui as condições de contorno e 
iniciais também têm de ser generalizadas de maneira adequada.
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 532–533).
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia4
A equação unidimensional da onda (hiperbólica) utt = a
2uxx pode ser sim-
plificada pela mudança de variáveis m = x + at, n = x – at. Então, u(m, n) = 
f(m) + g(n), onde f e g são funções arbitrárias. Voltando às variáveis originais, 
tem-se que:
que é a solução geral da equação diferencial parcial dada, pois ela é de se-
gunda ordem e a solução possui duas funções arbitrárias. Do mesmo modo, se 
u(x, t) = f(x + at) + g(x – at), onde f e g são funções duas vezes continuamente 
diferenciáveis, é possível mostrar que u = u(x, t) é a solução da equação 
diferencial parcial: utt = a
2uxx.
Do ponto de vista físico, a solução u(x, t) = f(x + at) + g(x – at) representa a superposição 
(combinação linear) de duas ondas unidimensionais, tal que f = f(x + at) permanece 
constante ao longo de cada reta x + at = C1, e g = g(x – at) permanece constante ao 
longo de cada reta x – at = C2, onde f é a onda que se desloca com velocidade a para 
a esquerda e g é a onda que se desloca com velocidade a para a direita.
Observe, agora, o primeiro problema de Cauchy que estuda a equação 
unidimensional da onda sujeita a duas condições iniciais, isto é:
onde p = p(x) é a posição inicial e q = q(x) é a velocidade inicial da corda. 
Como toda solução da equação da onda é da forma u(x, t) = f(x + at) + g(x – at), 
utilizando as condições iniciais, pode-se escrever:
5Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
que é um sistema com duas equações em f e g. Integrando a equação af'(x) 
– ag'(x) = q(x) em relação a x e incorporando x0 à constante de integração, 
tem-se que:
que, reunida com a relação f(x) + g(x) = p(x), permite obter o seguinte sistema:
Resolvendo esse sistema, obtém-se:
Assim,
A solução do primeiro problema de Cauchy é, então, dada pela fórmula 
de d’Alembert:
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia6
O segundo problema de Cauchy trata da equação unidimensional da onda 
quando o cordão flexível sob análise sofre uma interferência externa, dada 
pela função G = G(x, t), estando sujeito a duas condições iniciais. Nesse caso, 
tomaremos a = 1 para simplificar o entendimento. Aqui, esse problema se 
restringirá à seguinte resolução:
Agora, considere um ponto (r, s) ∈ R2 e associe a ele uma região triangular 
M ⊂ R2, de modo que a equação homogênea associada possua solução nessa 
região. M* representará a reunião de M com a sua fronteira, formada por uma 
curva C, obtida pela reuniãode três segmentos de reta (C0, C1 e C2), que são 
os lados do triângulo. Considere que a função G = G(x, t) seja integrável na 
região M e que seja possível realizar a integral dupla:
O teorema de Green no plano permite escrever:
que também pode ser escrita como:
7Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
Mas:
Assim,
Como M* pode ser descrita por uma das formas:
é possível inverter a ordem de integração na integral dupla para obter:
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia8
Dessa forma:
Se u = u(x, t) for uma solução do segundo problema de Cauchy, então:
Assim, u = u(x, t)é a única solução do segundo problema de Cauchy sob 
as hipóteses feitas anteriormente para a região M* dada.
2 Equação de Laplace
Uma das equações diferenciais parciais mais importantes que ocorrem em 
matemática aplicada está associada ao nome de Laplace: em duas dimensões, 
a equação é uxx + uyy = 0, e, em três dimensões, uxx + uyy + uzz = 0. Por exem-
plo, em um problema de calor em duas dimensões espaciais, a temperatura 
u(x, y, t) tem de satisfazer a equação diferencial α2(uxx + uyy) = ut, onde α
2 é a 
difusividade térmica (BOYCE; DIPRIMA, 2017).
A equação de Laplace é dada por:
Pode ser utilizada para descrever a temperatura u = u(x, y) em uma região 
plana, como, por exemplo, uma placa metálica. Embora, inicialmente, a tem-
peratura varie em função da fonte de calor, após um determinado tempo, ela 
se estabiliza, de modo que ocorre um processo estacionário. Resolver uma 
equação de Laplace depende fortemente da topologia (forma geométrica) da 
região sobre a qual a função u = u(x, y) está definida, o que nem sempre é 
9Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
um processo fácil, razão pela qual, às vezes, são utilizados métodos numé-
ricos. Observe, a seguir, um exemplo da solução da equação de Laplace por 
diferenças finitas.
Resolver o problema com os seguintes valores iniciais:
corresponde a resolver a equação de Laplace sujeita às condições apresentadas, o 
que pode ser equivalente a obter uma função suficientemente diferenciável (suave) 
u = u(x, y) na região retangular do plano cartesiano, dada por [0,80] × [0,60].
Utilize o método das diferenças finitas para obter os valores aproximados da tem-
peratura estacionária nessa região. Esse método permite trabalhar com aproxima-
ções das derivadas por diferenças da função em malhas “finas” da região sob análise. 
A temperatura em cada ponto (x, y) da placa será identificada com u(x, y) e será cons-
truída uma grade retangular sobre a placa metálica.
Essa grade depende da precisão que o cientista esteja interessado, e, para efei-
tos visuais, tomaremos uma grade com 7 linhas horizontais e 9 linhas verticais para 
mostrar como funciona o processo. Essa grade, montada sobre a placa metálica, é 
apenas uma referência para as medidas reais da placa. As derivadas parciais podem 
ser aproximadas por:
onde (i, j) representa o par ordenado relativo à grade. Assim, ∆x = ∆y e as aproximações 
para as derivadas serão:
que também podem ser escritas na forma geral:
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia10
sendo válidas para i = 1,2,3,4,5,6,7 e j = 1,2,3,4,5. Sob essas circunstâncias, há 35 equações 
no sistema linear, além de 28 outras condições de contorno, dadas por:
u(0, j) = 100 j = 0,1,2,3,4,5,6
u(8, j) = 0 j = 0,1,2,3,4,5,6
u(i, 0) = 0 j = 1,2,3,4,5,6,7
u(i, 6) = 0 j = 1,2,3,4,5,6,7
Esse problema seria resolvido como um sistema linear comum de equações, e, para 
essa situação, utiliza-se planilhas, como as do Excel.
Fonte: Sodré (2003, documento on-line).
Observe, agora, a solução da equação parabólica por diferenças finitas. 
Considere uma equação diferencial parcial parabólica que descreve o fenô-
meno de distribuição de temperatura em uma barra metálica fina de 1 m de 
comprimento, isolada lateralmente e submetida a temperaturas iguais a 100°C 
nas extremidades, isto é:
O número c é uma constante que depende das características térmicas do 
metal. Nesse caso, tomaremos c = 1 para facilitar o aspecto didático. Com o 
método das diferenças finitas, essa equação é escrita como:
Tomando ∆t = m(∆x)2, a equação diferencial parcial parabólica poderá ser 
escrita da seguinte forma:
11Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
Para que o processo iterativo seja estável, um bom valor para m deve ser 
um número positivo menor do que 0,5. Um detalhe especial nesse caso é que 
0 < x < 1, mas t > 0. Assim, parece não haver possibilidade de trabalhar sobre 
uma região retangular, porém, ao limitar o valor de t a um intervalo, como, 
por exemplo, 0 < t < 10, já se terá obtido um bom cálculo para a distribuição de 
temperatura, uma vez que a série que gera a solução é fortemente decrescente 
para 0 quando t se torna grande.
3 Os métodos numéricos nas equações 
diferenciais parciais
Os métodos numéricos são muito importantes para a resolução de equações 
diferenciais parciais, as quais podem ser resolvidas por uma dada função, 
como uma série infinita de senos ou cossenos (BOYCE; DIPRIMA, 2017).
Muitas das formulações matemáticas conduzem a equações diferenciais 
parciais, sendo que três abordagens podem ser utilizadas para a solução de 
alguns problemas: experimental, analítica e computacional. Na abordagem 
experimental, constrói-se um modelo físico, de forma a desenvolver os estudos 
sob análise de medição direta dos parâmetros determinantes ao problema em 
questão. Já na abordagem analítica, as técnicas matemáticas disponíveis 
nem sempre são suficientes para determinar as soluções, de modo que, em 
muitos casos, não se pode apresentar uma solução para o problema. Por fim, 
na ausência de soluções analíticas, a abordagem computacional atua como 
uma importante ferramenta, pois, por meio dela, são feitas simplificações 
que permitem a elaboração de um modelo computacional consistente a ser 
resolvido através de métodos numéricos (FERREIRA; LIMA; CORRÊA, 
2010, apud BRAIDA et al., 2016).
De acordo com Ferreira e Lima (2010), a ideia dos métodos numéricos é a 
discretização do contínuo que torna finito o problema e, assim, viabiliza sua 
solução por meio de computadores. Essa discretização é realizada inicialmente 
pela discretização do domínio e, em seguida, pela discretização das derivadas, 
que aparecem na equação diferencial e nas condições adicionais. Assim, é 
possível passar de um problema contínuo — a equação diferencial e suas 
condições adicionais — para um problema de dimensão finita. Muitos dos 
problemas envolvem quantidades que se conservam e levam a certos tipos 
de equações diferenciais parciais, por isso a importância de trabalhar com os 
métodos numéricos nessas equações.
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia12
Os métodos numéricos são eficientes, de fácil entendimento e progra-
mação. Como tais métodos envolvem séries, estudaremos as séries infinitas 
trigonométricas, que são chamadas de séries de Fourier (BOYCE; DIPRIMA, 
2017). Observe a seguinte série:
No conjunto de pontos em que essa série converge, ela define uma função 
f, cujo valor em cada ponto é a soma da série para aquele valor de x. Nesse 
caso, diz-se que ela é uma série de Fourier de f. Agora, deve-se determinar 
quais são as funções que podem ser representadas como uma soma de uma 
série de Fourier e encontrar maneiras de calcular os coeficientes na série 
correspondente a uma função dada (BOYCE; DIPRIMA, 2017).
Certas propriedades das funções seno e cosseno são importantes para 
discutir as séries de Fourier. Assim, desenvolveremos algumas propriedades 
das funções trigonométricas sen(mπx/L) e cos(mπx/L), onde m é um inteiro 
positivo. Uma função f é dita periódica com o período T > 0 se o domínio de 
f contiver x + T sempre que contiver x, e se f(x + T) = f(x) para todo valor de 
x (BOYCE; DIPRIMA, 2017). A Figura 3, a seguir, apresenta um exemplo de 
uma função periódica.
Figura 3. Uma função periódica de período T.
Fonte: Boyce e Diprima(2017, p. 494).
y
x
T
2T
13Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
Boyce e Diprima (2017) afirmam que, se T é um período de f, então 2T 
também o é, como qualquer múltiplo inteiro de T. O menor valor de T para o 
qual a equação f(x + T) = f(x) é válida é chamado de período fundamental de f. 
Uma função constante pode ser considerada periódica com qualquer período, 
mas não tem período fundamental. Assim, se f e g são duas funções periódicas 
com período comum T, então seu produto fg e qualquer combinação linear c1f 
+ c2g também são periódicas com o período T. Considere, por exemplo, F(x) 
= c1f(x) + c2g(x); então, para qualquer x, 
Desse modo, é possível mostrar que a soma de qualquer número finito, 
ou mesmo a soma de uma série infinita convergente, de funções de período 
T também é periódica com o período T. Além disso, o produto fg é periódico 
com o período T. As funções sen(mπx/L) e cos(mπx/L), m = 1, 2, 3, ... são 
periódicas com período fundamental T = 2L/m. Para conseguir visualizar, 
basta lembrar que sen x e cos x têm período fundamental 2π e que sen αx e 
cos αx têm período fundamental 2π/α. Ao escolher α = mπ/L, observa-se que 
o período T de sen(mπx/L) e de cos(mπx/L) é dado por T = 2πL/mπ = 2L/m. 
Como todo múltiplo inteiro de um período também é um período, cada uma 
das funções sen(mπx/L) e cos(mπx/L) tem o período comum 2L (BOYCE; 
DIPRIMA, 2017).
A ortogonalidade das funções seno e cosseno é a segunda propriedade 
essencial das funções sen(mπx/L) e cos(mπx/L), de modo que generalizaremos 
o conceito de ortogonalidade de vetores. O produto interno padrão (u, v) de 
duas funções reais u e v no intervalo α ≤ x ≤ β é definido por:
As funções u e v são ditas ortogonais em α ≤ x ≤ β se seu produto interno 
for nulo, ou seja, se:
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia14
Um conjunto de funções é dito um conjunto ortogonal se cada par de funções 
diferentes pertencentes ao conjunto for ortogonal. As funções sen(mπx/L) 
e cos(mπx/L), m = 1, 2, … formam um conjunto ortogonal de funções no 
intervalo –L ≤ x ≤ L. Elas satisfazem às seguintes relações de ortogonalidade:
Boyce e Diprima (2017) destacam que esses resultados também podem ser 
obtidos por integração direta.
As fórmulas de Euler-Fourier são dadas por:
Observe que essas fórmulas dependem apenas dos valores de f(x) no intervalo 
–L ≤ x ≤ L. Como cada um dos termos na série de Fourier é periódico com período 2L, 
a série converge para todo x sempre que convergir em –L ≤ x ≤ L, e sua soma também 
é uma função periódica de período 2L. Logo, f(x) é determinada para todo x por seus 
valores no intervalo –L ≤ x ≤ L.
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 496).
15Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
Exemplo 1
Suponha que existe uma série de Fourier convergindo para a função f, dada por: 
Determine os coeficientes nessa série de Fourier.
Essa função representa uma onda triangular (Figura 4) e é periódica com período 4. 
Vimos que o período é 2L, então, nesse caso, L = 2, e a série de Fourier tem a seguinte 
forma:
onde os coeficientes são calculados com L = 2. Substituindo f(x) com m = 0, tem-se:
Para m > 0,
y
x
2
–6 –4 –2 2 4 6
Figura 4. Onda triangular.
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 497).
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia16
Essas integrais podem ser calculadas por partes, com o seguinte resultado:
Por fim, segue que:
Substituindo os coeficientes encontrados na série, obtém-se a série de Fourier de f:
Exemplo 2
Seja:
17Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
Suponha que f(x + 6) = f(x) (Figura 5) e encontre os coeficientes da série de Fourier de f.
y
t
1
–7 –5 –3 –1 1 3 5 7
Figura 5. Gráfico de f(x).
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 498).
Observe que, nos pontos de descontinuidade, não foi atribuído valor para f(x), como 
em x = –1 e em x = 1. No entanto, isso não afeta os valores dos coeficientes de Fourier, já 
que eles são calculados por uma integral, e o valor da integral não é afetado pelo valor 
do integrando em um único ponto ou em um número finito de pontos. Portanto, os 
coeficientes são os mesmos, independentemente dos valores que, porventura, forem 
atribuídos a f(x) nos pontos de descontinuidade. Como f tem período 6, segue que 
L = 3 nesse problema. Em consequência, a série de Fourier de f tem a seguinte forma:
onde os coeficientes an e bn são dados com L = 3:
Analogamente,
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia18
Assim, a série de Fourier de f é:
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 497–498). 
Para saber mais sobre os métodos numéricos para a resolução de equações diferenciais 
parciais, consulte a obra Matemática superior para engenharia, volume 3, capítulo 21, 
de Erwin Kreyszig.
Vimos que, dada a importância das equações diferenciais parciais nas 
ciências física e matemática, tem-se a necessidade de encontrar métodos 
eficientes para se encontrar suas soluções. O método de Fourier, também 
chamado de separação de variáveis e representação por série trigonométrica 
ou transformada de Fourier, mostrou-se um método extremamente eficiente 
na resolução de problemas envolvendo equações diferenciais parciais.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
BRAIDA, F. et al. 101 conceitos de arquitetura e urbanismo na era digital. São Paulo: Pro-
Books, 2016.
SODRÉ, U. Equações diferenciais parciais. Londrina: UEL, 2003. Disponível em: http://
www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edp.pdf. Acesso em: 28 jan. 2020.
Leitura recomendada
KREYSZIG, E. Matemática superior para engenharia. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019. v. 3.
19Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia
Os links para sites da Web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
Aplicações de equações diferenciais parciais em engenharia20