Notas de Aula Máquinas I

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NOTAS DE AULA DE 
MÁQUINAS ELÉTRICAS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: José Geraldo Lanna 
Monitora: Flávia Marcelle M. Brito 
Colaborador: Vilmar Siqueira da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte/MG 
2010 
 
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Sumário 
 
CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS ........................................................................ 3 
 
CAPÍTULO II - CIRCUITO MAGNÉTICO ................................................................... 10 
 
CAPÍTULO III - A BOBINA (SOLENÓIDE) ................................................................. 20 
 
CAPÍTULO IV - INDUTANCIA MÚTUA ...................................................................... 28 
 
CAPITULO V - ENERGIA DO CIRCUITO MAGNÉTICO............................................ 30 
 
CAPITULO VI - PERDAS MAGNÉTICAS NOS MATERIAIS FERROMAGNETICOS 39 
 
CAPITULO VII - TRANSFORMADOR IDEAL............................................................. 43 
 
CAPITULO VIII - TRANSFORMADOR REAL.................Erro! Indicador não definido. 
 
CAPÍTULO IX - ENSAIOS DE CARACTERÍSTICAS .....Erro! Indicador não definido. 
 
CAPITULO X - AUTOTRANSFORMADOR....................Erro! Indicador não definido. 
 
CAPITULO XI – SISTEMA PERCENTUAL E POR UNIDADEErro! Indicador não definido. 
 
CAPITULO XII – TRANSFORMADOR TRIFÁSICO .......Erro! Indicador não definido. 
 
CAPITULO XIII – TRANSFORMADOR INSERIDO NO SISTEMA TRIFÁSICOErro! Indicador não definido.
 
CAPITULO XIV - RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS UTILIZANDO ¨PU¨Erro! Indicador não definido.
 
 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
 
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CAPÍTULO I - CONCEITOS BÁSICOS 
Na natureza existem perturbações de origens diversas, caracterizadas por 
manifestações variadas, tais como: calor, força, luz. Essas manifestações ocorrem 
em uma região do espaço chamado campo. Portanto, campo é um parâmetro 
geométrico, representando onde uma dessas manifestações está ocorrendo. 
Assim, onde o calor de uma fogueira é sentido, diz-se que se está no campo da 
mesma. Do mesmo modo, todo corpo está dentro do campo gravitacional 
terrestre. Baseado nesse conceito, o campo luminotécnico de uma lâmpada é a 
região até onde chegam os raios luminosos da lâmpada. A entidade característica 
da luz é o raio luminoso (lúmen), da gravidade é uma força (Newton) e do calor é 
um raio calorífico. 
O fluxo representa a somatória das entidades unitárias indicadas. Assim, temos 
que o fluxo luminoso de uma lâmpada é a soma de todos os raios luminosos que 
dela emanam. Por exemplo, uma lâmpada fluorescente de 40 W tem fluxo 
luminoso de 2300 lúmens. 
Fluxo magnético(φ) é o número total de linhas de força existente num determinado 
circuito magnético: 
 
A densidade de fluxo relaciona o fluxo e a área em que o mesmo incide 
perpendicularmente. Assim dizemos que o iluminamento sobre o plano de uma 
mesa de trabalho é a relação entre o fluxo luminoso da lâmpada e a área da 
mesa, ou seja: 
A
B φ= ⇒ lux
m
lúmen
=2 
 
Densidade de fluxo magnético (B) se refere à concentração de linhas de força em 
uma dada seção (área): 
A
B φ=
 
 
A intensidade de campo mede onde a manifestação é maior ou menor. No caso 
da iluminação, onde tem mais luz ou menos luz. Normalmente, a intensidade é 
maior nas proximidades da perturbação, por isto, existe mais luz perto da 
lâmpada, assim como, existe mais calor perto da fogueira. Quando afastamos da 
perturbação a intensidade diminui. 
Intensidade de campo magnético (H) é a razão entre a fmm e o comprimento 
médio do circuito magnético, isto é: 
 
l
fmmH =
 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
Pág. 4 
Magnetismo é uma perturbação caracterizada por uma manifestação de uma 
força, que pode ser de atração ou repulsão. Por exemplo, corpos de material 
ferroso são atraídos ou repelidos na proximidade de um imã ou de um circuito 
elétrico com corrente circulante. O magnetismo é oriundo de uma ordenação dos 
diversos dipolos existentes em um material. Esta ordenação é obtida na prática, 
atritando-se o material com um imã ou por eletromagnetismo que é a produção de 
magnetismo em um circuito quando uma corrente elétrica circula pelo mesmo. 
Após estes procedimentos aparece a manifestação de força. 
Eletromagnetismo: a corrente elétrica percorrendo um condutor gera na região 
do espaço próxima ao mesmo a manifestação de uma força, ou seja, magnetismo. 
A força é uma grandeza fasorial que apresenta módulo, direção e sentido, 
conforme fig. 1. 
• Módulo: depende do valor da corrente em Ampères e do meio onde se 
instala o circuito; 
• Direção: as forças elementares são mostradas como linhas circulares 
concêntricas em relação ao condutor chamadas de linhas de fluxo; 
• Sentido: segundo a regra da mão direita de Fleming, temos o dedo polegar 
no sentido da corrente, o sentido das linhas de fluxo será indicado pelos 
demais dedo da mão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
corrente I 
(entrando no papel) 
Φ 
Fig. 1 – Linhas de força em um condutor percorrido por uma corrente elétrica 
I (A) 
A 
a 
 C 
Seção AA do condutor 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
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1.1 Força entre condutores paralelos percorridos por correntes elétricas: 
 
Consideremos agora, um circuito conforme fig. 2. Observando as forças geradas 
pelos condutores 1 e 2, verificamos que na região do espaço entre os dois 
condutores as forças produzidas por ambos se somam, aumentando a intensidade 
magnética nesta região. Nas regiões acima do condutor 1 e abaixo do condutor 2 
a concentração de força é menor do que na região central. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na natureza as perturbações tendem a se propagar partindo das regiões de alta 
concentração (intensidade mais alta) para regiões de baixa concentração 
(intensidade mais baixa). O calor flui do corpo mais quente para o corpo mais frio. 
Deste modo, no condutor 1 aparece uma força para cima e no condutor 2 aparece 
uma força para baixo ficando demonstrado a existência de uma repulsão entre os 
condutores. 
Num caso prático, conforme mostrado na fig. 2.1, um sistema elétrico trifásico é 
mostrado em uma estrutura poste x cruzeta com os 3(três) condutores distribuídos 
sobre isoladores. 
O condutor do extremo direito tem uma corrente I1 penetrando no papel e o 
condutor próximo tem a corrente I2 saindo do papel. Haverá uma concentração 
maior de energia na região entre os condutores e haverá uma força de repulsão. 
 
I condutor: 1 
condutor: 2 
I 
F1 
I 
F2 
Fig. 2 – Forças geradas pelos condutores 1 e 2 
1 
2 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
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Fig. 2.1 – Sistema Elétrico Trifásico em uma estrutura Poste x Cruzeta 
 
 
Esta força pode ser calculada pela lei de Ampère: 
 
D
xII
xF 2171004,2 −= 
 
onde: F = Força em Newton; 
 I1 e I2 = Correntes nos condutores em ampere 
 D = Distância entre os condutores em metro. 
 
Para o circuito da fig. 2, como as correntes são iguais (I1 = I2 ), temos: 
 
D
I
xF
2
171004,2 −= 
 
 
1.2 Tensão induzida em um condutor que se movimenta em um campo 
magnético: 
 
 
Fig. 2.2 – Condutor em movimento em um campo magnético 
 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
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O condutor CD repousa sobre o plano H. Um fluxo magnético φ faz um ângulo 
2/piθ = com o plano H. 
Suponhamos que se aplique uma força ao condutor CD deslocando-o para 
esquerda com uma velocidade (v ). 
Pela Lei de Faraday aparece tensão elétrica (f.e.m.) no condutor CD; pois passa a 
existir movimento relativo entre condutor e fluxo. 
Esta tensão vale:θφ senvl
A
eCD ...= 
 
θsenvlBeCD ...= 
 
 
onde: CDe = Força eletromotriz entre C e D; 
 B
 
= Densidade de fluxo no plano H de área A(m²); 
 v = Velocidade imposta ao condutor em m/s; 
 θ = Ângulo entre φ e v . 
 
Para 2/piθ = , a tensão induzida é máxima: 
 
vlBeCD ..= 
 
Para 0=θ , ou seja, φ e v estão na mesma direção, a tensão induzida será nula. 
 
Podemos demonstrar que a mesma expressão vlBeCD ..= pode ser transformada 
e explicitada em função do fluxo como segue: 
 
Ao sair da posição 1 e ir para a posição 2, o condutor descreve um comprimento 
ds. A área correspondente é ds.ldA = . A tensão induzida pode ser escrita 
conforme abaixo: 
 
 
dt
d
dt
dAB
dt
dslBeCD
Φ
=== .. 
 
Se tivermos N condutores 
 
dt
dNeCD
Φ
= 
 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
Pág. 8 
Esta expressão demonstra que a tensão induzida e gerada tanto pela movimento 
do condutor diante do fluxo ( vlBeCD ..= ) ou pela variação do fluxo com o condutor 
estacionário (
dt
dNeCD
Φ
= ). 
 
 
 
 
Fig. 2.2a – Condutor fixo em um campo magnético variável 
 
 
1.3 Interação entre o fluxo magnético e um condutor percorrido por uma 
corrente elétrica: 
 
Na figura abaixo, o condutor BC está exposto ao fluxo φ e é percorrido por uma 
corrente proveniente de uma fonte de tensão (V). 
 
 
Fig. 2.3 – Condutor percorrido por uma corrente exposto ao fluxo φ 
 
 
 
 
 
Capítulo I – Conceitos Básicos 
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A seção S1S2 é mostrada no desenho abaixo: 
 
 
 
Fig. 2.4 – Seção S1S2 
 
 
O condutor BC fica submetido ao fluxo φ e ao fluxo φ c gerado pela corrente i. 
Os dois fluxos interagem, aumentando a densidade de fluxo no lado esquerdo do 
condutor e diminuindo do lado direito. Como resultado, o condutor vai deslocar 
para direita, ou seja, da região de maior densidade magnética para região de 
menor densidade magnética. Para que haja o deslocamento faz-se necessário 
admitir a existência de uma força F conforme indicado nas figuras. 
 
θsenilBF ...= 
 
onde: F = Força em Newton; 
 l
 
= Comprimento do condutor em (m); 
 i = Corrente em ampère; 
 θ = Ângulo entre φ e H o plano que contem o condutor 
 
Pode-se observar na fig. 2.4 que a interação entre os fluxos φ e φ c provoca a 
deformação do fluxo φ o qual tende a se alinhar com φ c.
Capítulo II – Circuito Magnético 
 
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CAPÍTULO II - CIRCUITO MAGNÉTICO 
 
Este circuito é composto de duas partes: 
• dispositivo produtor de fluxo magnético; 
• caminho destinado à passagem do fluxo magnético produzido. 
 
O dispositivo produtor de fluxo magnético é conhecido como bobina ou solenóide, 
sendo de construção simples, é obtido enrolando-se um fio isolado formando 
várias espiras. É essencial que o fio seja isolado para evitar curto-circuito entre as 
espiras. O material que servirá de suporte para o enrolamento pode ser madeira, 
papelão, etc., conforme fig. 3. 
Para se obter fluxo é necessário fazer circular uma corrente elétrica, pois, como 
vimos anteriormente, para produção de magnetismo deve haver corrente elétrica 
percorrendo um condutor. 
Deste modo, o nosso dispositivo produtor de fluxo passa a ser um circuito elétrico 
composto de um fio enrolado (bobina) e uma fonte de tensão que poderá ser 
contínua ou alternada. Essa é a condição para que circule uma corrente elétrica I 
nas N espiras da bobina. Então, aparecem linhas de força concêntricas em torno 
dos condutores das diversas espiras. 
Observando os condutores superiores e inferiores, conforme fig. 3, verifica-se que 
o fluxo magnético resultante na região central é aditivo e tem sentido da direita 
para esquerda. O retorno do fluxo se dá por cima e por baixo, partindo do ponto N 
até o ponto S. O ponto N é chamado de Norte e o ponto S é chamado de Sul. Na 
parte central, o fluxo é φ e nas partes superior e inferior é φ/2. 
 
 
 
 
 
 
V 
Fig. 3 – Linhas de força em um enrolamento de N espiras 
N S Φ 
Φ/2 
Φ/2 
Capítulo II – Circuito Magnético 
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O meio físico no qual se dá o trajeto do fluxo para esse caso (fig. 3) é o ar. Mas, 
poderíamos instalar um material ferroso, como por exemplo, um arame de aço de 
seção circular, conforme fig. 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o material ferroso conduz melhor do que o ar, a tendência do fluxo é ficar 
confinado nesse material (arame de aço), não havendo condução através do ar, 
correspondente a parte inferior do carretel. Entretanto, na prática, algum fluxo 
retorna pela parte inferior sendo chamado de fluxo de dispersão (φd). 
Portanto, o caminho destinado à passagem do fluxo magnético é chamado de 
núcleo magnético sendo um item importante a ser considerado. Existem diversos 
materiais para construção do núcleo magnético, alguns oferecem um caminho de 
fácil passagem para o fluxo (núcleo de material ferroso), enquanto outros 
apresentam dificuldade a passagem do fluxo (núcleo de ar, madeira, vácuo, etc.). 
Esse grau de dificuldade representa a oposição do meio à passagem de fluxo é 
chamado de relutância. A relutância depende de: 
a) comprimento do trajeto do fluxo (l); 
b) área da seção transversal do material onde o fluxo transita (A); 
c) natureza do material, chamada de permeabilidade do meio (µ). 
 
Temos a expressão matemática que quantifica a relutância: 
 
A
lR
µ
=
 
 
Concluímos que para obtenção de magnetismo a partir de energia elétrica, 
devemos montar um circuito elétrico composto de uma bobina e uma fonte de 
tensão, fazendo circular uma corrente elétrica (I) nas espiras da bobina. Nesse 
circuito elétrico, carregado, surge uma grandeza chamada força magnetomotriz 
(fmm). Esta grandeza vale: 
NIfmm =
 
Fig. 4 – Linhas de fluxo em um enrolamento de N espiras e circuito magnético 
Φ 
Φd 
Arame 
de aço 
Capítulo II – Circuito Magnético 
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Aparecendo força magnetomotriz, finalmente surge o fluxo magnético (φ), 
caracterizado por um conjunto de forças elementares, representadas por linhas. O 
fluxo é uma grandeza fasorial, cujo módulo é expresso por: 
 
R
NI
R
fmm
==φ
 
 
A permeabilidade dos diversos materiais é relativa a permeabilidade do vácuo, 
cujo valor é: 
Ae
Tm7
0 104
−
= piµ
 
 
Nas aplicações práticas será informada a permeabilidade absoluta, assim todo 
valor dado deverá ser multiplicado por µ0 para relativizá-lo ao vácuo: 
 
0µµµ xr= . 
 
Apresentamos a seguir as grandezas definidas anteriormente e sua respectiva 
unidade no sistema internacional (SI): 
 
 
Grandeza Unidade 
φ : fluxo magnético Wb : Weber 
β : densidade de campo Wb/m2 = T : Tesla 
H : intensidade de campo Ae/m : Ampère espira por metro 
fmm : força magnetomotriz Ae : Ampère x espira 
R : Relutância Ae/Wb : Ampère espira por Weber 
µ : Permeabilidade Tm/Ae : 
ou Wb/Ae.m 
Tesla x metro por Ampère espira 
Weber por Ampère espira x metro 
 
 
2.1 Analogia entre os circuitos elétrico e magnético: 
 
No circuito elétrico, temos as grandezas fundamentais: tensão, resistência e 
corrente ligadas entre si pela Lei de Ohm. Há circulação de corrente, quando 
uma força eletromotriz é aplicada sobre uma resistência inserida em um 
circuito, conforme fig. 5a). 
No circuito magnético podemos dizer que há circulação de fluxo magnético, 
quando uma força magnetomotriz, produzida por uma bobina é aplicada sobre 
um núcleo com uma relutância inserida, conforme fig. 5b). 
Capítulo II – Circuito Magnético 
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Circuito Elétrico Circuito Magnético 
fem (força eletromotriz) fmm (força magneto motriz) 
R (resistência) R (relutância) 
I (corrente) Φ (fluxo)σ (condutividade) µ (permeabilidade) 
 
A relutância é um parâmetro que só depende do material, da sua natureza e da 
sua geometria, do mesmo modo que se observa para resistência no circuito 
elétrico. Com efeito, 
A
l
A
lR
σ
ρ == . O parâmetro σ é chamado de condutividade. 
No circuito magnético 
A
lR
µ
= , onde: 
ρ - resistividade; 
σ – condutividade; 
µ - permeabilidade; 
l - comprimento do fio para o circuito elétrico e comprimento do núcleo para o 
circuito magnético; 
A - seção transversal do fio para o circuito elétrico e seção transversal do 
núcleo para o circuito magnético. 
 
2.2 Características dos materiais magnéticos: 
 
Como vimos anteriormente, a permeabilidade é o parâmetro que mede o grau 
intrínseco de oposição que um material oferece à passagem das linhas de 
força. 
Existem os materiais não magnéticos, chamados de diamagnéticos e 
paramagnéticos, cujas permeabilidades são próximas do vácuo 70 104 −= piµ 
Tm/Ae. 
Os materiais ferrosos, entretanto, apresentam permeabilidade elevada em 
relação ao vácuo. Esses materiais são chamados de ferromagnéticos. Para 
fabricação de núcleos magnéticos de transformadores e motores são 
especificados materiais ferrosos aos quais é adicionado silício no percentual de 
até 6% conseguindo uma liga de ótima permeabilidade. 
Fig. 5a) Circuito Elétrico Fig. 5b) Circuito Magnético 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 14 
Os materiais diamagnéticos e paramagnéticos, com permeabilidade próxima a 
do vácuo, obedecem à Lei de Ohm do circuito magnético, havendo uma 
proporcionalidade entre o fluxo magnético (φ) produzido e a força 
magnetomotriz (fmm) produtora do fluxo, conforme mostrado na fig. 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os materiais ferromagnéticos apresentam proporcionalidade entre fluxo e fmm 
para baixos valores de fmm. Para valores elevados de fmm, o fluxo não aumenta 
na mesma proporção do aumento do Ampère-espira. A variação apresenta uma 
reta inicial, enquanto para valores maiores de fmm aparece um patamar horizontal 
chamado de saturação, conforme fig. 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva completa, composta da reta e do patamar é chamada curva de 
magnetização. A curva tem no eixo horizontal a intensidade de campo (H) e no 
eixo vertical a densidade de fluxo (B). As unidades são respectivamente Ae/m 
(Ampère-espira por metro) T (Tesla). Podemos conceituar o parâmetro H, 
intensidade de campo, como sendo a quantidade de força magnetomotriz 
necessária para impelir o fluxo através de 1 metro de comprimento do núcleo. 
fmm (Ae) 
φ (Wb) 
Fig. 6 – Curva de magnetização (materiais não magnéticos) 
H
m
fmm
= 
B
A
=
φ
 
proporcionalidade 
saturação 
Bp 
Hp 
Fig. 7 – Curva de magnetização (materiais ferromagnéticos) 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 15 
Para um determinado ponto da curva, conhecendo o valor de B, é possível 
determinar a fmm (Ae) necessária para impelir o fluxo em 1(um) metro linear do 
núcleo considerado. Através da curva também se pode determinar a 
permeabilidade do material, já que: 
 
H
B
=µ
 
 
 
2.3 Resolução de circuitos magnéticos: 
 
Os circuitos magnéticos podem ser constituídos por um único material, por dois 
ou mais materiais, ou seja, podem conter trechos de núcleo com diferentes 
permeabilidades, comprimentos e seções. Quando um dos trechos é o ar, 
intercalado entre dois materiais sólidos, o mesmo recebe o nome de entreferro. 
Na fig. 8a), temos um núcleo com 3 materiais diferentes, formando três trechos 
em série, todos com a mesma seção transversal, porém com diferentes 
comprimentos e permeabilidades. Sendo assim, esse circuito magnético é 
composto por três relutâncias distintas colocadas em série: R1, R2 e R3. A fmm 
será produzida por uma bobina de N espiras, instalada sobre o montante da 
esquerda, na qual circula uma corrente I. A fig. 8b) representa o circuito 
magnético simplificado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que sejam conhecidas a fmm, as dimensões (comprimento e seção 
transversal) do núcleo e as permeabilidades dos materiais, é possível calcular o 
fluxo, aplicando-se a Lei de Ohm. Analogamente, o fluxo magnético que 
corresponde à corrente no circuito elétrico será calculado através da expressão: 
 
 
321 RRR
NI
++
=φ 
Fig. 8a) – Circuito magnético Fig. 8b) – Circuito magnético simplificado 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 16 
Para os circuitos com relutâncias em paralelo calculamos a relutância equivalente: 
321
1111
RRRReq
++= , a fmm é a mesma sobre os ramos em paralelo, do mesmo 
modo que a tensão é a mesma nos terminais das resistências em paralelo. O fluxo 
será calculado por: 
eqR
NI
=φ . 
Para os circuitos mistos, calcula-se a relutância equivalente em paralelo, 
simplificando o circuito para relutâncias em série. Ver circuito magnético na fig. 9a 
e circuito magnético simplificado na fig. 9b. 
 
 
 
 
Fig 9a) Fig 9b) 
 
fmm
R0+Req
Ø
Req=
(2xR1+R2)+(2xR1+R3)
(2xR1+R2)x(2xR1+R3)
Ø
R0
fmm
Ø
Ø
Ø1 Ø2
Ø2Ø1
2xR1+R22xR1+R3
fmm
R0
2xR1+R2R02xR1+R3
fmm
 
 Fig 9a) Circuito magnético 
 Fig 9b) Circuito magnético simplificado
Φ1 Φ2 
Φ1 Φ2 
R0 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 17 
2.4 Exercício Resolvido: 
 
Questão 1: 
 
 
 
 
O circuito magnético acima possui µr aço = 2000 e as dimensões do núcleo são 
constantes para todo o circuito, sendo 2,5cm de espessura e 2,5cm de 
profundidade, exceto a perna central do núcleo que possui 5cm de profundidade. 
Pede-se: 
a) Os fluxos magnéticos; 
b) As densidades de fluxo. 
 
 
Solução letra a): 
 
NIfmm = Aexfmm 2001200 == 
 
A
lR
µ
= 0µµµ xr= 
mAe
Wb
.
104 70
−
= piµ 
 
( )
( ) Wb
Ae
xxxx
R direitoaço 7,598.158105,25,21042000
10.5,79,95,7
47
2
=
++
=
−−
−
−
pi
 
 ( )
( ) Wb
Ae
xxx
xRefd 4,885.273.1105,25,2104
1010,0
47
2
==
−−
−
pi
 
 
( )
( ) Wb
Ae
xxxx
R esquerdoaço 2,917.158105,25,21042000
10.5,795,95,7
47
2
=
++
=
−−
−
−
pi
 
 ( )
( ) Wb
Ae
xxx
xRefe 7,942.636105,25,2104
1005,0
47
2
==
−−
−
pi
 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 18 
Calculando o circuito elétrico equivalente: 
 
 
Wb
AeRRRD efddireitoaço 1,484.432.14,885.273.17,598.158 =+=+= − 
 ( )
( ) Wb
Ae
xxxx
xRC 1,847.31
1055,21042000
1010
47
2
==
−−
−
pi
 
 
Wb
AeRRRE efeesquerdoaço 9,859.7957,942.6362,917.158 =+=+= − 
 
Wb
Aex
RERD
RDxREReq 1,616.5119,859.7951,484.432.1
9,859.7951,484.432.1
=
+
=
+
= 
 
R
fmm
=φ 
 
Wb
RcR
NI
eq
c 00037,01,847.311,616.511
200
=
+
=
+
=φ 
 
Sabemos que ED fmmfmm = , logo ED RExRDx φφ = 
 
555,0
1,484.432.1
9,859.795
===
RD
RE
E
D
φ
φ
 
 
Temos que CED φφφ =+ , ou CEEx φφφ =+555,0 
 
WbE 00024,0555,1
00037,0
==φ 
Capítulo II – Circuito Magnético 
Pág. 19 
WbD 00013,000024,000037,0 =−=φ 
 
Contra prova: 
- A fmm na perna central vale: AexxRcfmm CC 78,111,847.3100037,0 === φ 
- A fmm disponível nas relutâncias em paralelo será: == ED fmmfmm 
Aefmmfmm C 22,18878,11200 =−=−= 
 
Wb
RD
fmmD
D 00013,01,484.432.1
22,188
===φ 
 
Wb
RE
fmmE
E 00024,09,859.795
22,188
===φ 
 
Resumo: WbC 00037,0=φ 
 
WbD 00013,0=φ 
WbE 00024,0=φ 
 
Solução letra b): 
 
A
B φ= 
 
T
xxA
B CC 296,01055,2
00037,0
4 === −
φ
 
 
T
xxA
B DD 208,0105,25,2
00013,04 === −
φ
 
 
T
xxA
B EE 384,0105,25,2
00024,0
4 === −
φ
 
 
 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 20 
CAPÍTULO III - A BOBINA (SOLENÓIDE) 
Trata-se de um dispositivo, constituído de um fio isolado que é enrolado em torno 
de um núcleo feito de um determinado material. Anteriormente, foi explicado como 
este dispositivo transforma energia elétrica em energia magnética. 
O comportamento da bobina depende da natureza da fem ou tensão aplicada ao 
circuito elétrico, que pode ser proveniente de uma fonte de tensão contínua ou 
alternada. 
Sob tensão contínua, a corrente terá sentido único consequentemente o fluxo 
também apresentará um sentido único, determinado pela “regra da mão direita”. 
Temos então numa seqüência o aparecimento das seguintes grandezas: tensão 
aplicada (V) ⇒ corrente (I) ⇒ força magnetomotriz (fmm) ⇒ fluxo magnético (φ). 
Sob tensão alternada, a corrente não será unidirecional, produzindo um fluxo cujo 
sentido muda em função do tempo, conforme indicado nas figs. 10ª) e 10b)
. 
 
 
 
 
 
 
Além disso, surge nos terminais da bobina (H1 e H2) uma grandeza adicional, 
denominada tensão induzida (e). Temos então numa seqüência o aparecimento 
das seguintes grandezas: tensão aplicada (V) ⇒ corrente (I) ⇒ força 
magnetomotriz (fmm) ⇒ fluxo magnético (φ) ⇒ tensão induzida (e). 
A produção de tensão induzida é baseada na Lei de Faraday que diz: “Quando 
existe um movimento relativo entre um condutor elétrico e um fluxo magnético, 
aparece no condutor uma força eletromotriz (tensão elétrica)”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 10a) – Circuito magnético Fig. 10b) – Circuito magnético 
N 
Φ 
S 
movimento 
Fig. 11a) – Produção de tensão induzida a partir de fluxo 
Tensão alternada (+V) Tensão alternada (-V) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 21 
A produção de tensão induzida pode ocorrer de duas maneiras: 
• Seja um fluxo magnético invariável no tempo, produzido por uma corrente 
contínua (DC), instala-se um condutor elétrico conforme mostrado na fig. 
11ª). Fornecendo energia mecânica ao condutor de modo a movimenta-lo 
para cima aparece então uma fem no condutor. Esta fem é uma grandeza 
fasorial sendo sua direção e sentido, dados pela “regra da mão direita” - o 
dedo indicador no sentido do fluxo, o polegar no sentido do movimento do 
condutor, o dedo médio indicará o sentido da fem induzida. Vê-se aí a 
conversão de energia mecânica em energia elétrica, conforme ocorre nas 
centrais elétricas. Nesse caso, o fluxo é constante e o condutor varia de 
posição. 
 
 
• Agora, seja um fluxo magnético variável no tempo produzido por uma 
corrente alternada (AC) de valor eficaz (I). Instala-se o condutor conforme 
fig. 11b). Mesmo sem movimento do condutor irá surgir uma fem induzida 
no condutor. Esse é o princípio básico de funcionamento dos 
transformadores. Nesse caso, o fluxo é variável e o condutor é 
estacionário dentro do fluxo (em posição fixa). 
• 
I
Ne−~
+
V
Ø
 
O módulo da tensão induzida (e) depende da quantidade de condutores enlaçados 
pelo fluxo. Se a bobina possui N espiras enlaçadas pelo fluxo o valor da tensão 
induzida será dado pela expressão abaixo, onde fica indicada a variação do fluxo 
no tempo: 
dt
dNe φ−=
 
N 
Φ 
S 
Fig. 11b) Produção de tensão induzida a partir de fluxo 
I 
V 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 22 
O sinal (-) menos dessa expressão indica que essa tensão induzida (e) é contrária 
à tensão aplicada (V) já que o fluxo Φ é função da corrente I e esta por sua vez é 
função de V. Trata-se, portanto de uma força contra-eletromotriz. 
 
Para o nosso estudo, vamos considerar φ o fluxo total produzido pela bobina e λ o 
fluxo concatenado ou enlaçante que pode ser calculado pela expressão abaixo: 
 
 
φλ N=
 
 
 
É importante saber diferenciar uma tensão aplicada (V) de uma fem induzida (e). A 
primeira é oriunda de uma fonte de tensão, enquanto a segunda “nasce” no 
condutor, nas entranhas do mesmo e situa-se nos terminais de entrada da bobina. 
Cálculo da tensão induzida: 
dt
dNe φ−= como: wtsenmaxφφ = 
temos: ( ) wtNwsenwt
dt
dNe cosmaxmax φφ −=−= 
Vemos que a tensão de auto indução é uma cosenóide estando portanto em 
atraso de 90º relativamente ao fluxo.Na figura 11d vemos a onda de tensão V 
adiantada de 90º em relação ao fluxo. A tensão e esta atrasada de 90º em 
relação ao fluxo. Conclui-se que e está defasado de 180º em relação a V. Portanto 
e é uma onda oposta à V (tensão da fonte). 
 
 
 
 
Também podemos explicitar a expressão acima em função da corrente. Para isto, 
vamos conceituar uma grandeza chamada auto indutância (L) ou coeficiente de 
auto indução, que mede a relação entre um fluxo produzido por uma corrente e o 
valor da corrente elétrica que o produz. 
Temos então que 
i
L λλλλ==== iL ••••====λλλλ e e
dt
diL
dt
d
====−−−−====
λλλλ
 onde wtIi senmax= 
A unidade da indutância (L) é o “Henry” e o símbolo é H. O sinal negativo refere-se 
ao enunciado pela Lei de Lenz abaixo. 
Lei de Lenz: Esta lei complementou a Lei de Faraday dizendo que “a tensão 
induzida (e) é contrária à corrente (i)” que lhe deu origem. Se a corrente (i) é 
Fig. 11d) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 23 
produzida pela tensão aplicada (V), segue-se que a tensão induzida (e) opõe-se a 
tensão aplicada (V), conforme visto linhas atrás. 
Conforme a expressão )
2
(cos maxmax wtsenNwwtNwe −=−=
piφφ , o valor máximo do 
módulo da tensão induzida ocorre para 1)
2
( =− wtsen pi ou wt=0, e será dado pela 
expressão: 
maxmaxmax
φφφφpipipipiφφφφ fNNwe 2−−−−====−−−−==== . 
 
O valor eficaz será: rmsrms fNfNe φφφφφφφφ .,. max 2444444 ======== 
 
Analisando a expressão acima, verifica-se que a tensão induzida depende do fluxo 
que enlaça (fluxo máximo multiplicado pelo número de espiras), da quantidade de 
espiras enlaçadas e da freqüência de variação do fluxo. Sendo a curva do fluxo 
uma senóide e a curva da tensão induzida uma cosenóide verifica-se um 
defasamento de pi/2 entre elas. Como se trata de um circuito puramente indutivo, a 
corrente (i) e o fluxo (φ) estão atrasados de pi/2 em relação à tensão aplicada (V) 
da fonte. 
Podemos fazer a representação fasorial conforme indicado no diagrama da fig. 
12a e comparar com o diagrama senoidal da fig. 11d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão aplicada (V) está representada formando um ângulo 00 com a horizontal. 
A corrente wtIi senmax= com valor eficaz (I) está atrasada de 900 em relação à 
tensão, por se tratar de um circuito puramente indutivo. A tensão induzida (e) está 
atrasada de 900 em relação a corrente e ao fluxo. Com relação à V, e está 
deslocada de 180º e, portanto, oposta. 
Fisicamente, pode-se dizer que, a tensão induzida (e) se opõe a tensão aplicada 
(V), sendo, portanto uma força contra eletromotriz. As grandezas acima descritas 
estão indicadas na fig 12a. 
Vê-se que, a tensão induzida na bobina é produzida pela corrente que circula na 
mesma bobina, daí chamá-la de tensão de auto indução ou self indução. 
Cálculo da auto indutância (L) de uma bobina: 
Para uma corrente I circulando nas N espiras da bobina, o fluxo concatenado será: 
φ 
I 
e (tensão de 
auto indução) 
V (tensão 
aplicada) 
Fig. 12a – Diagrama fasorial 
w 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 24 
φλ N= como 
i
L λ= temos 
i
N
L
φ
= vimos anteriormente que 
R
Ni
=φ então 
R
NL
2
= substituindo o valor da relutância 
A
lR
µ
= 
teremos: 
l
AN
L
µ2
=
 
 
Analisando a expressão acima, verifica-se que a auto indutância depende da 
quantidade de espiras (N) da bobina,da permeabilidade (µ), do comprimento (l) e 
da seção (A) do núcleo. Todos são parâmetros construtivos da bobina e do 
núcleo, portanto a auto indutância é uma grandeza que depende apenas da 
construção da bobina e respectivo núcleo. Para excitação DC, temos 0=
dt
dφ
, 
logo a tensão de auto indução será nula. A corrente DC produz fluxo 
magnético, porem não produz tensão de auto indução. 
Reatância indutiva: 
Do mesmo modo que uma resistência, a bobina oferece oposição à passagem da 
corrente elétrica, oposição esta, cujo nome é reatância, cuja unidade de medida é 
ohm (Ω). O valor da reatância pode ser deduzido como segue: 
φpiφpiφφ fNfNfNfNerms 222244.444.4 max ==== . Dividindo ambos os membros 
da expressão por i temos 
i
fN
i
erms φpi2
= como 
i
N
L
φ
= substituindo iLN =φ 
encontramos 
i
fiL
i
erms pi2
= logo: fLX L pi2= 
 
Após as considerações anteriores podemos afirmar que uma bobina real, de 
resistência não desprezível, pode ser apresentada conforme figura 12b abaixo, 
considerando alimentação em AC. 
0I
CV
N Le = 0I X
RI 0=RE
VF ~
XL
R
 Fig. 12b) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 25 
Teremos 2(duas) quedas de tensão: ER na resistência e e tensão de auto indução 
na reatância XL Podemos calcular a tensão na fonte: 
 
0CVFV =+
vr
 
)( eRECVFV
vvvr
+==−
 
)eRE(FV
vvr
+−=
 
 
A energia na resistência produz calor por efeito joule 2OR RI=Ξ 
A reatância produz energia magnética a ser gasta para produzir o fluxo. Conforme 
vamos deduzir mais adiante o seu valor é: 
2
2
1
OL LI=Ξ 
O diagrama fasorial correspondente está indicado na figura 12c abaixo 
 
α
α
 
 
 
A tensão ER está em fase com Io. A soma fasorial de ER com (-e ) dá o valor da 
tensão da fonte( VF), que agora está adiantada de um ângulo α menor que pi/2 
devido a introdução da resistência. 
Se a resistência é desprezível, R=0, ER=O. Temos então VF=e O circuito passa a 
ser conforme figura 12d: 
c
j X L
Vc=I 0ee=V
Ø24,44 N f=
0I
N Le = 0I XVF ~
 
 
 
Neste caso não existe energia térmica (Joule) e apenas energia magnética 
destinada à produção de fluxo. Considerando a excitação em DC, temos que a 
indutância 
R
NL
2
= sempre existe já que depende do número de espiras e da 
relutância do núcleo; portanto apenas da construção da bobina. 
Fig. 12c) 
Fig. 12d) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 26 
Entretanto, a reatância indutiva deixa de existir, já que, mesmo sendo 0≠L , em 
DC, a freqüência é nula e vamos ter: 02 == fLX L pi . Conseqüentemente, 
0== LO XIe e portanto não há tensão de auto indução. O circuito apresenta-se 
conforme mostrado na figura. 
R
I 0 =
VF
e = 0
0=LX
L 0>
R
VF
I 0
 
 
 
Existe energia térmica (Joule), e energia magnética para produção de fluxo. Se 
analisarmos sob a equação de Faraday, temos: 0244,4 == φNfe uma vez que 
f=0 comprovando, mais uma vez, que a tensão de auto indução é nula quando a 
excitação for em DC. O circuito fica mais simples conforme mostrado na figura 12e 
acima. 
 
Vamos agora estudar a variação da relutância do núcleo e a sua influencia nas 
demais grandezas. Para tanto vamos elaborar um quadro para DC e outro para 
AC. A variação da relutância do núcleo pode ser feita conforme esquema da figura 
12e1. 
 
 
Em DC: 
Posição R L XL IO fmm Φ ΣR Σm 
 (l/µA ) (
R
N 2 ) (2pif L) ( R
V
 ) ( ONI ) (
R
NIO ) RI0
2 2
2
1
LT
 
X=d ⇑ ⇓ 0 constante constan
te 
⇓ consta
nte 
⇓ 
X=0 ⇓ ⇑ 0 constante constan
te 
⇑ consta
nte 
⇑ 
 
Em AC: 
Posição R L XL IO fmm Φ ΣR Σm 
X=d ⇑ ⇓ ⇓ ⇑ ⇑ * ⇑ ⇑ 
X=0 ⇓ ⇑ ⇑ ⇓ ⇓ * ⇓ ⇓ 
 
 Fig. 12e) 
 
 Fig. 12e1) 
Capítulo III – A Bobina (Solenóide) 
Pág. 27 
* Se a bobina tiver uma resistência desprezível em relação à reatância, temos 
o seguinte entendimento: se a relutância aumentar, a conseqüente redução de L e 
XL aumentará o valor de Io Analisando a expressão do fluxo R
NIO
=Φ podemos 
dizer que a corrente Io e a relutância ( R ) variam na mesma proporção mantendo 
o fluxo constante. 
Representação gráfica: 
 
Uma curva de magnetização, representa a relutância de um núcleo magnético, 
pois os eixos correspondem ao fluxo e a fmm. O eixo das abscissas representa a 
bobina e, portanto o circuito elétrico. O eixo das ordenadas representa o núcleo 
onde está o fluxo. Deste modo, podemos apresentar no gráfico, através de duas 
curvas de magnetização duas situações de um núcleo correspondentes à duas 
relutâncias diferentes, bem como considerar também a excitação da bobina, se 
em AC ou DC. 
Vamos considerar a excitação em DC, e a variação da relutância conforme 
mostrado na pg. 22. Para X=0 R=Rf e para X=d R=Ra. Vê-se no gráfico 
I=constante e dois fluxos correspondentes a cada valor de relutância. 
 
 
 
Analogamente, com excitação em AC, o fluxo é constante e têm-se dois valores 
de corrente correspondentes a cada valor de relutância. 
 
 
 
 
 
Capítulo IV – Indutância Mútua 
Pág. 28 
CAPÍTULO IV - INDUTANCIA MÚTUA 
 
Vamos estudar agora a influência que uma bobina (1) exerce sobre uma outra 
bobina (2), ambas instaladas sobre o mesmo núcleo magnético. 
A bobina (1) tem N1 espiras enquanto a bobina (2) tem N2 espiras. Excita-se a 
bobina (1) com uma fonte AC. A bobina (1) vai produzir um fluxo φ1 variável com o 
tempo. Esse fluxo, por sua vez, gera uma tensão de auto-indução (e1) na própria 
bobina (1), contrária à tensão aplicada V1 pela fonte AC. Por outro lado, este fluxo 
também enlaça as N2 espiras da bobina (2) conforme fig. 13a). Na fig. 13b) é 
apresentado o diagrama fasorial, indicando a posição relativa das grandezas. 
 
 
Como esse fluxo é variável no tempo, será induzida uma tensão de mútua (e12) 
nos terminais da bobina (2). Trata-se de uma tensão induzida em uma bobina por 
um fluxo gerado por outra bobina. Esse fenômeno é chamado de mútua indução 
e a tensão induzida chama-se tensão de mútua indução. 
Por convenção indica-se a polaridade instantânea considerando como positivo o 
terminal onde a corrente deixa a bobina para o circuito externo. 
O valor de (e12) será conforme lei de Faraday: max.121212 44,4 φφ fNdt
d
Ne == . 
Analisando essa expressão, verifica-se que as espiras são da bobina 2 (N2) e o 
fluxo φ1 é produzido pela bobina (1). A bobina (1) que foi excitada por uma fonte 
externa, chama-se primário e a bobina (2), onde a tensão foi mutuamente 
induzida, tem o nome de secundário. No primário temos: tensão aplicada (V1), 
corrente primaria (I1), fluxo produzido (φ1), e tensão de auto indução (e1). Na 
bobina secundaria, temos apenas a tensão de mútua indução (e12) produzida pelo 
fluxo (φ1) originado no primário. 
 
Aqui também temos o coeficiente de mútua indução ou indutância mútua, cujo 
símbolo é (M). 
Cálculo da indutância mútua (M): 
Temos que 
1
1
212 I
NM
φ
= como 
R
IN 11
1 =φ teremos: R
NN
M 2112 = 
Fig. 13a) Circuito magnético Fig. 13b) Diagrama fasorial 
φ1 
I1 
e12 V1 e1 
w 
Capítulo IV – Indutância Mútua 
Pág. 29 
Podemos também considerar a excitação da bobina (2) e tensão de mútua 
indução na bobina (1). Assim temos: 
2
2
121 I
NM
φ
= onde o fluxo (φ2) será produzido pela corrente I2 
R
IN 22
2 =φ teremos: R
NN
M 2121 = 
 
Como se vê: max.121212 44,4 φφ fNdt
d
Ne == 
 
É também uma grandeza que depende, exclusivamente, da construção das 
bobinas e do núcleo sobre o qual ela está montada. A unidade da indutância 
mútua é o “Henry”. 
Vamos deduzir uma expressão relacionando as indutâncias de auto e de mútua. 
Temos que 
R
N
L
2
1
1 = e R
NL2
2
2 = logo: 2
2
2
2
1
21 R
NN
xLL = 
 
M
R
NN
LL == 2121 
 
A indução mútua é à base da transferência da energia de um enrolamento para 
outro enrolamento, desde que acoplados magneticamente. Inicialmente, a energia 
do circuito elétrico da bobina (1) foi transformada em energia magnética com a 
produção do fluxo (φ1). Posteriormente, a energia magnética deste fluxo (φ1) foi 
armazenada na bobina (2) disponibilizando nessa, novamente uma tensão 
elétrica. 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 30 
CAPITULO V - ENERGIA DO CIRCUITO MAGNÉTICO 
A energia elétrica na entrada de uma bobina é transformada em fluxo magnético, 
no núcleo, gerando uma energia magnética (Ξ) que fica disponibilizada no 
núcleo. O nosso objetivo, neste momento, é calcular esta energia. Podemos 
explicitá-la em função da auto indutância, ou do fluxo magnético, ou do volume do 
núcleo. 
Considerações: 
dt
dNe φ= ; 
i
NL φ= ; BA=φ ; 
R
NL
2
= 
 
a) Energia fornecida pelo circuito elétrico da bobina: 
Resulta uma expressão em função da corrente e da auto indutância. 
diiLdti
dt
diLdti
dt
dNdtied ...... ====Ξ φ 
 
∫∫ ==Ξ diiLdiiL ... , temos que: [ ]JLi 22
1
=Ξ
 
b) Energia armazenada no núcleo 
Resulta uma expressão em função de duas grandezas pertencentes ao núcleo: 
fluxo e relutância. 
 
2
2
22
.
2
1
2
1
L
NLLi φ==Ξ , temos que: [ ]J
L
2
2
1 λ
=Ξ . [ ]J
L
N 22
2
1 Φ
=Ξ [ ]JR 2
2
1 φ=Ξ
 
 
c) Energia armazenada no núcleo em função do volume do mesmo. 
 
ABlAB
A
lARB
L
ABN
L
N 22222
22
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
µµ
φ
=====Ξ 
Chamando “v” o volume do núcleo, temos que : [ ]JBv 2
2
1
µ
=Ξ
 
Enfatizamos que, uma bobina com resistência desprezível, converte a energia 
elétrica que lhe é entregue para energia magnética. Entretanto, não há conversão 
desta última em trabalho mecânico ou em calor; ou seja, a energia não é ativa. No 
primeiro semiciclo da corrente, a energia elétrica flui da fonte para bobina sendo 
convertida em energia magnética e fica armazenada na bobina nesta forma. No 
semiciclo negativo da corrente, a energia armazenada anteriormente, flui da 
bobina para fonte de tensão. Esta energia cíclica, que vai e volta chama-se 
energia reativa. Para ser possível a conversão desta energia magnética na forma 
de energia ativa, mecânica, por exemplo, que é a mais comum, esta energia 
magnética deve ser variada. Para isto, pode-se manter constante a amplitude da 
corrente no circuito elétrico DC, variando-se a relutância do núcleo. Teríamos 
então dois estados de funcionamento, caracterizados por duas relutâncias 
diferentes R1 e R2. Na fig. 14ª, a relutância R1 é representada pela curva de 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 31 
magnetização do núcleo oa. Quando se varia o estado do núcleo, por exemplo, 
variando um entreferro, a relutância muda para R2, representada pela curva de 
magnetização ob. Vê-se que, o fluxo magnético variou de φ1 para φ2. Houve, 
portanto, uma variação da energia magnética, correspondendo aos dois estados 
0a e 0b. A área hachurada representa a variação de energia magnética e a 
conversão em energia mecânica gasta para mover o núcleo e variar a relutância. 
 
O trabalho gasto para movimentar a parte superior (parte móvel) do núcleo vale: 
FdxdWmec ==== 
 
A variação da energia magnética entre oa correspondente a relutância R1 e ob 
correspondente a relutância R2 vale dWm . 
A energia elétrica para suprir a variação da energia magnética vale: 
eidtdWl ==== onde dt é o tempo gasto na variação. 
Temos então: 
 
dWmecdWmdWl ++++==== 
 
FdxdWmeidt −−−−==== 
 
como 
dt
d
e
λλλλ
==== vem dWmecdWmdti
dt
d
++++====••••••••
λλλλ
 então: 
FdxiddWm −−−−==== λλλλ (equação 1) 
 
Se o entreferro for mantido constante, X= constante, 0====dx 
 
λλλλiddWm ==== 
 
nessa condição a energia magnética é igual à energia elétrica fornecida e não há 
conversão em energia mecânica, apenas armazenamento no núcleo magnético. 
Chamamos a atenção que a energia magnética dWm é função do fluxo magnético 
do núcleo e da posição relativa do núcleo (fig.14b). 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 32 
Portanto temos: 
 
),( xfWm λλλλ==== 
 
dx
x
WmdWmdWm
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂
==== λλλλλλλλ
 
 
comparando com a equação 1 temos: 
 
λλλλλλλλ
λλλλλλλλ dxWmid ∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
),(
 
 
dx
x
xWmFdx
∂∂∂∂
∂∂∂∂
−−−−====
),(λλλλ
 ou 
 
λλλλ
λλλλ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
),( xWmi 
 
x
xWmF
∂∂∂∂
∂∂∂∂
−−−−====
),(λλλλ
 
 
∫∫∫∫====
λλλλ
λλλλλλλλ
0
)( diWm 
Assim, conhecendo-se a variação de energia magnética, pode-se determinar o 
valor da corrente no circuito elétrico e a força produzida no dispositivo conversor. 
 
5.1 Exercício Resolvido 
 
Questão 1: 
 
Determinar a energia e a força gerada no entreferro de um circuito magnético 
onde a variação abaixo deve ser verificada: 
 
2
2
2
x
N
fmm λ= 
 
Solução: 
 
2
2
2
x
N
Ni λ= ∴∴∴∴ 23
2
x
N
i λ= 
 
∫∫∫∫∫∫∫∫ ============
λλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλλλλλλ
0
2
3
2
0
)( dx
N
diWm 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 33 
23
3
3
2
0
2
3
2
3
1
3
x
N
xd
N
x φφφφλλλλλλλλλλλλ
λλλλ
====••••======== ∫∫∫∫ 
 
x
x
NF δδδδ
λλλλδδδδ )
3
( 23
3
••••
==== 
 
x
N
F 2
3 3
3
••••====
λλλλ
 
 
x
N
F ••••••••==== 3
3
33
2 λλλλ
 
 
x
N
NF ••••••••==== 3
33
3
2 φφφφ
 
 
xF ••••••••==== 3
3
2 φφφφ 
 
Escolhendo 2 valores quaisquer; como x=0,20m wb035,0=φ 
NF 0000057,020,0035,0
3
2 3
====••••••••==== 
 
Os entreferros apresentam grande valor de relutância e de energia armazenada. 
Quando se varia o entreferro, altera-se a relutância, obtém-se, portanto variação 
da energia magnética. 
Esta energia, na prática, manifesta-se através de ação de uma força F de tração 
entre as faces do entreferro conforme figura 14c. 
 
 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 34 
Se Eef é a energia armazenada no entreferro e lef é o comprimento do entreferro, 
podemos escrever: 
 
eflFEef ••••==== 
7
2
7
2
22
2
1081042
1
2
11
2
12
1
−−−−−−−−
••••
••••
====
••••••••
••••••••
====••••••••====••••••••••••••••====
••••••••
========
pipipipipipipipiµµµµµµµµ
µµµµ ABBABA
l
BlA
l
Bv
l
E
F
ef
ef
efef
ef
 
 
7
2
108 −−−−••••
••••
====
pipipipi
ABF 
 
F – Newton 
B – Tesla 
A – m2 
 
Questão 2: 
Calcular a corrente no eletroímã da figura a seguir, de modo a permitir o 
levantamento da peça inferior, de ferro fundido, que pesa 65Kg. Considerando a 
excitação AC em 60Hz e resistência desprezível: 
 
 
 
 
 
Cada entreferro levantará 32,5kgf = 324N 
 
7
2
108 −−−−••••
••••
====
pipipipi
ABF 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 35 
 
02.1
108
324 27
2
=∴
•
•
=
−
BAB
pi
 
 
001.====B T 
 
0008042101 4 ,====••••••••••••====••••==== −−−−ABθθθθ wb 
 
wb
AeRaço 248805
10421042000
1050
47
2
====
••••••••••••••••••••
••••
====
−−−−−−−−
−−−−
pipipipi
 
 
wb
AeRff o 106631
1048104700
1030
47
2
=
•••••
•
=
−−
−
pi
 
 
 
wb
Ae
ntreferro 229952911497642
1042104
10502
47
2
....
,Re ====••••====
••••••••••••••••
••••••••
====
−−−−−−−−
−−−−
pipipipi
 
 
wb
Aeq 10307665Re = 
 
Aefmm 82460008010307665 ====••••==== ,Ai 5.16
500
8246
== 
 
 
No entreferro aberto (curva Oa fig. 14d) 
 
Aia 5.16= Aefmm 8246= 
HLa 024,0
10307665
5002
== 
 
No entreferro fechado (curva Ob fig. 14d) 
 
wb
Ae355436106631805.248Re =+= 
HLb 703,0
355436
5002
== 
 
Ω=••== 04,9024,06028,62 fLaX La pi 
 
VV 16,1495.1604,9 =•= (tensão necessária para o atracamento) 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 36 
Ω=••== 89,264703,06028,62 fLbX Lb pi 
 
Aib 56,0
89,264
16,149
== 
 
A redução no valor da corrente foi de 16.5-0,56=15,94A 
Não há variação do fluxo conforme se comprova abaixo. 
 
wbaberto 000799,010307665
8246
==φ 
 
wbxfechado 000787,0355436
50056,0
==φ 
 
 
 
 
 
Fig. 14d 
 
 
Variação da energia magnética. 
Podemos variar a energia do circuito magnético, variando a relutância e 
conseqüentemente a indutância já mostrado na pág. 23 
Pode-se também variar a corrente no circuito elétrico (Ver expressões de pág.26) 
No caso de excitação em DC, podemos variar a energia, mantendo a corrente 
constante e variando a relutância do núcleo de Rb para Ra. O fluxo no núcleo ira 
variar de θb para θa, conforme figura 14f. 
 
 
 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 37 
 
 
Fig. 14f - energia 
 
 
Se N for o numero de espiras da bobina, os fluxos concatenados serão: 
aa NΦ=λ e bb NΦ=λ 
Genericamente, a energia toma a forma da expressão: 
λdId o=Ξ e ∫=Ξ
λ λ
0
dIO 
 
No caso de excitação em AC, com uma bobina de resistência desprezível, que 
contem uma indutância pura, temos a variação conforme figura 14g 
 
 
Fig. 14g - coenergia 
 
 
A variação da relutância de Ra para Rb acarretará a variação di da corrente, 
mantendo o fluxo constante. De uma maneira geral, a energia toma a forma da 
expressão: 
did λ=Ξ e ∫=Ξ
i
di
0
λ que corresponde à área hachurada entre as curvas da fig. 
14g. Conceitualmente, em AC, o sistema tende a manter a energia magnética do 
Capítulo V – Energia do Circuito Magnético 
Pág. 38 
núcleo, respondendo com variação de corrente à toda variação provocada pelo 
núcleo magnético. 
Em DC a indutância do circuito será 
R
NL
2
==== . Para o entreferro aberto a relutância 
será máxima = (Rmax.) então L será mínimo. A reatância XL=0 já que f=0. A 
corrente i será então definida por 
r
Vi DC==== onde r é a resistência ôhmica da 
bobina. 
Para o entreferro fechado a relutância será mínima = (Rmin.) e a indutância 
R
NL
2
==== será máxima 
Apesar da indutância aumentar, a reatância permanecerá nula já que f=0 
Teremos então 
R
Vi DC==== o que demonstra que a corrente não altera com a 
variação do entreferro quando a excitação é em DC. Na fig. 14f, a variação da 
energia magnética corresponde à área hachurada entre as curvas e vale: 
λidd =Ξ e ∫=Ξ λdi O circuito elétrico mantém a sua energia constante e 
qualquer variação provocada no núcleo magnético, acarretará variação do fluxo 
magnético 
 
 
Questão 3: 
 
Calcular a energia nos entreferros para o circuito do exercício resolvido no item 
2.4 da apostila. 
 
Solução: 
 
2
2
1 Bv
µ
=Ξ 
 ( ) 2
7
24
2 208,0
104
101,0105,25,2
2
1
2
1
×
××××
×==Ξ
−
−−
piµ Do
efd
efd B
v
 
Jefd 01076,0=Ξ 
 ( ) 2
7
24
2 384,0
104
1005,0105,25,2
2
1
2
1
×
××××
×==Ξ
−
−−
piµ Eo
efe
efe B
v
 
Jefe 01834,0=Ξ 
 
Capítulo VI – Perdas Magnéticas nos Materiais Ferromagnéticos 
Pág. 39 
CAPITULO VI - PERDAS MAGNÉTICAS NOS MATERIAIS 
FERROMAGNETICOS 
Estas perdas são devidas a dois fatores: 
a) Perdas por histerese: na fig. 15 está representada a variação do fluxo 
magnético com a corrente de excitação que circula na bobina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Partindo da origem, ponto para o qual, o material está desmagnetizado, já que a 
fmm e o fluxo são nulos, vai se aumentando a corrente para o lado positivo e o 
material se magnetiza conforme a curva de magnetização oa atingindo a 
saturação no ponto a. Em seguida a corrente é reduzida, o fluxo reduz, porém não 
cai à zero, mantendo um valor residual correspondente à ordenada ob. Este fluxo 
residual é conhecido também como remanente ou remanescente. Invertendo-se o 
sentido da corrente, será produzida fmm de sentido contrário à anterior. Será 
necessário gastar uma quota de fmm para retirar o magnetismo residual, operação 
representada pelo trecho bc. Vê-se que, no ponto c, o fluxo é nulo e a abscissa oc, 
representa a quantidade de fmm gasta para desmagnetizar o núcleo em análise. 
Esta abscissa oc chama-se força coercitiva. Em seguida, aumentando-se a fmm 
para o lado negativo, temos uma nova curva de magnetização correspondente ao 
trecho cd. Um acréscimo de fmm obedecendo ao trecho de resultará no 
magnetismo residual oe e força coercitiva of. Continuando o processo, 
aumentando a fmm para o lado positivo, atingimos novamente o ponto a através 
do trecho fa fechando o ciclo. A área interna deste ciclo representa uma perda de 
energia e pode ser medida por integração. Verifica-se que a quantidade de ciclos 
produzidos depende da freqüência de onde se deduz que as perdas por histerese 
dependem da freqüência. 
Capítulo VI – Perdas Magnéticas nos Materiais Ferromagnéticos 
Pág. 40 
As perdas podem ser empiricamente determinadas pela formula de Steinmetz: 
 
2
100
B
fkpH = 
 
onde k é uma constante para cada material (coeficiente de perdas por histerese). 
Para chapa magnética de aço silício de baixa liga, k ≈ 4.5 e para aço de alta liga k 
≈ 2,70. 
Unidades: 





kg
WpH : ; 



2:
m
WbB ; [ ]Hzf : . 
Fisicamente, estas perdas representam a energia gasta pelos dipolos para 
mudar de sentido dentro do material. 
b) Perdas por correntes de Foulcaut: Na fig. 16, está representado um 
núcleo ferromagnético e seção AA da culatra superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vê-se que, o núcleo sendo metálico, pode ser um condutor elétrico, e mais, está 
estacionado dentro de um fluxo magnético variável com o tempo. Aplica-se então 
a Lei de Faraday, e uma tensão elétrica é induzida no núcleo. O material do 
núcleo forma um circuito elétrico fechado e esta tensão induzida faz circular 
corrente no sentido indicado pela regra da mão direita. A função precípua do 
núcleo é conduzir fluxo e não corrente elétrica. Estas correntes irão aquecer o 
núcleo devido ao efeito Joule e são, portanto indesejáveis. 
Fig. 16 – Núcleo ferromagnético de seção AA 
i 
i 
Ф 
seção AA 
Capítulo VI – Perdas Magnéticas nos Materiais Ferromagnéticos 
Pág. 41 
A determinação quantitativa destas perdas pode ser feita pela fórmula a seguir: 
 
2
2
100
BfkpF 





=
 
 
onde as unidades são as mesmas da expressão anterior. Nota-se que, as perdas 
por Foulcaut aumentam com o quadrado da freqüência, portanto são mais 
acentuadas do que as perdas por histerese que aumentam com a primeira 
potência da freqüência. O valor de k é função da espessura da chapa e do 
material do núcleo. Assim temos: 
 
 
Descrição Espessura K 
Chapa de baixa liga 1mm 22,40 
Chapa de baixa liga 0,5mm 5,60 
Chapa de baixa liga 0,35mm 3,20 
Chapa de alta liga 0,5mm 1,20 
Chapa de alta liga 0,35mm 0,60 
 
 
 
 
Capítulo VI – Perdas Magnéticas nos Materiais Ferromagnéticos 
Pág. 42 
 
Nota: os valores de 
H
B
 já estão multiplicados por µo = 4pi10-7. 
Capítulo VII – Transformador Ideal 
Pág. 43 
CAPITULO VII - TRANSFORMADOR IDEAL 
O transformador é uma máquina constituída de um núcleo de material 
ferromagnético, normalmente aço silício parafreqüência industrial até 100 Hz, e 
de material magnetodielétrico para freqüências elevadas. O núcleo é constituído 
de dois montantes (pernas esquerda e direita) e duas culatras (inferior e superior). 
Sobre os montantes do núcleo são enroladas duas bobinas, sendo bobina 1 com 
N1 espiras e bobina 2 com N2 espiras, (conforme mostrado na fig 17ª). O conjunto 
acima descrito (núcleo + bobinas) é conhecido como parte ativa e pode ser 
colocado dentro de um tanque contendo óleo isolante cujas finalidades são isolar 
e resfriar o transformador. Esse transformador é do tipo imerso em óleo. O 
transformador que não possui tanque, apenas a parte ativa é chamado de tipo 
seco. 
 
 
 
 
 
 
Funcionamento em vazio (no load): 
Chamando a bobina 1 (N1) de primária e a bobina 2 (N2) de secundária, vamos 
excitar a bobina primária N1, aplicando uma fonte senoidal de tensão, cujo valor 
eficaz é V1, conforme indicado na fig. 17a). Vimos no capítulo III que surgem na 
seqüência: corrente I0, fluxo φm e tensão de auto indução e1 que também 
aparecem indicadas na fig. 17a). A tensão e1 é uma força contraeletromotriz, 
contrária à V1. As grandezas mencionadas estão situadas na bobina primária, 
exceto o fluxo que é produzido no primário, mas transita no núcleo. Esse por sua 
vez, pertence às duas bobinas, já que é comum a ambas. Pode-se dizer então que 
o núcleo promove o acoplamento magnético entre as bobinas N1 e N2 permitindo 
que o fluxo φm transfira energia da bobina N1 para bobina N2. O acoplamento 
magnético é um efeito de indução mútua, quantificado pelo coeficiente de mútua 
indução 
R
NN
M 21= e o resultado da transferência é o aparecimento de uma 
tensão elétrica de mútua indução e12 nos terminais da bobina N2. Salientamos que 
as bobinas são isoladas eletricamente entre si, o que comprova que a geração de 
tensão no secundário é por via magnética, através do fluxo φm. As tensões e1 e e12 
são geradas pelo mesmo fluxo φm, portanto, ambas estão em fase e possuem o 
mesmo sentido, conforme diagrama fasorial da fig 17b). Observa-se, também que 
a tensão e12 fica disponível no secundário, porém não há corrente no secundário 
I0 
V1 
φm 
e1 e12 
Fig. 17a) Transformador a vazio Fig. 17b) Diagrama fasorial 
w 
Capítulo XIV –Resolução de Circuitos Trifásicos Utilizando PU 
Pág. 44 
já que o circuito do mesmo está aberto. Portanto, não há potência, nem energia 
sendo entregue pelo secundário à carga. A energia que entra pelo primário é 
gasta para: 
• produzir o fluxo (φm); 
• suprir as perdas por histerese e Foulcaut (PHF) situadas no núcleo. 
 
Funcionamento com carga no secundário (on load): 
Neste caso, fecha-se à chave S e uma corrente I2 flui conforme indicado na fig. 18, 
observando a Lei de Lenz. “O sentido da corrente é tal que tende a contrariar a 
tensão que lhe deu origem”. Como a tensão e12, tende impelir corrente saindo para 
carga pelo terminal X2, pela Lei de Lenz a corrente I2 sai para carga pelo terminal 
X1. A corrente I2 gera um fluxo φ2 contrário à φm cujo sentido é determinado 
aplicando-se a regra da mão direita. Por sua vez, o fluxo φ2 gera duas tensões 
induzidas: e2 e e21, uma de auto indução no secundário 
max22
2
2
2
22 44.4 φφ fNdt
di
L
dt
d
Ne =−=−= , e outra de mútua indução no primário 
max21
22
121 44.4 φφ fNdt
di
M
dt
d
Ne =−=−= . Como os fluxos φm e φ2 são contrários, 
conseqüentemente as tensões primárias (e1) e (e21) também o são. Portanto, 
haverá uma redução transitória da tensão nos terminais H1 e H2 da bobina N1. 
Como V1 é constante aumenta a diferença de potencial entre a tensão aplicada V1 
e a tensão nos terminais da bobina H1 e H2. Conseqüentemente a corrente do 
primário poderá aumentar. Chamando o acréscimo de corrente de I1a, a corrente 
do primário passa a ser aIII 101 += . Agora no primário temos o fluxo am 11 φφφ += , 
onde 
R
INm
0
1=φ e R
I
N aa
1
11 =φ . No núcleo o fluxo φ1a surgiu para neutralizar o 
fluxo φ2 oriundo da carga. Segue-se que o transformador em carga passa a manter 
o fluxo φm, suprir as perdas e atender a carga adicional do secundário. 
 
 
Resumindo temos que, em vazio, existe o fluxo φm e em carga φt=φm+φ1a+(-φ2). 
Como φ1a= -φ2 segue-se que o fluxo total no núcleo com o transformador em carga 
continua sendo φm. 
Capítulo XIV –Resolução de Circuitos Trifásicos Utilizando PU 
Pág. 45 
Vemos que no circuito magneticamente acoplado, a corrente secundária produz 
um fluxo contrário ao fluxo produzido pelo primário, tentando reduzi-lo. O primário 
nesta situação, aumenta a corrente para restabelecer o fluxo mútuo no núcleo. Há, 
portanto, uma variação de energia magnética do núcleo. Deste modo, instalando-
se uma potência ativa no secundário, seja uma resistência ou um motor, a energia 
magnética do núcleo irá variar desde a condição sem carga até a condição de 
plena carga, propiciando no secundário a conversão em energia térmica se a 
carga for resistiva ou energia mecânica se a carga for um motor. 
 
O circuito magnético funciona como um reservatório de energia intermediário 
conforme mostrado na figura acima. 
Na ausência de carga no secundário, a energia é simplesmente armazenada no 
circuito magnético (reservatório), e não produz trabalho. Quando a carga é ligada, 
ela solicita mais energia do circuito magnético e o nível do mesmo tende a 
diminuir. 
O circuito elétrico da esquerda, automaticamente, repõe energia no reservatório 
do circuito magnético (intermediário) fazendo com que o mesmo volte ao nível 
anterior. 
Podemos fazer uma analogia hidráulica. Na figura abaixo temos um reservatório 
fechado na parte superior, com duas válvulas R e V. Uma roda pode ser movida 
pelo jato de água que sai da válvula V. Suponhamos o reservatório cheio até o 
nível H +∆ H com ambas válvulas fechadas. Abre-se a válvula V, mantendo-se R 
fechada. Haverá escoamento através de V para roda e consequentemente 
teremos conversão de energia potencial para cinética na água e conversão em 
energia mecânica na roda. O escoamento termina quando ∆ H for zero. Se 
mantivermos R fechada, mesmo com V aberta, não teremos escoamento e não 
haverá conversão em energia mecânica na roda. Existe energia potencial na água 
armazenada no nível H. Para conversão constante, precisaremos abrir R de modo 
a manter constante o nível H + ∆ H. 
Na outra figura, o transformador é um reservatório de energia magnética que pode 
fornecer energia para um motor elétrico M. Se a chave S estiver aberta, não 
haverá fluxo de corrente no secundário, e a conversão da energia magnética do 
núcleo em energia mecânica no motor é zero. Se a chave S for fechada, haverá 
circulação da corrente I2 no secundário que produzirá o fluxo Φ2 oposto à Φm. 
Como sabemos, este fluxo Φ2 tende a reduzir o fluxo Φm, Para que isto não 
aconteça, o primário providencia o fluxo adicional Φad, acarretando, portanto, uma 
Capítulo XIV –Resolução de Circuitos Trifásicos Utilizando PU 
Pág. 46 
variação da energia magnética no núcleo.
 
 Nesta condição, haverá conversão em 
energia mecânica. Na analogia, H se identifica com Φm e ∆H com Φad 
 
 
 
 
Para o transformador ideal podemos estabelecer algumas condições que são: 
• Todo fluxo produzido pelo primário enlaça a bobina secundária. Portanto, 
não há fluxo de dispersão. 
• A potência do primário é igual à potência do secundário (S1 = S2). Portanto, 
não existem perdas nos enrolamentos, nem no núcleo. 
 
Temos que: 
a) 
dt
d
Ne 111
φ
−= e 
dt
d
Ne 1212
φ
−= . A relação entre as tensões será: 
a
N
N
e
e
==
2
1
12
1
 que representa a relação de transformação do transformador. 
b) 21 SS = então 21211 IeIe ×=× . Vem então: 
aN
N
e
e
I
I 1
1
2
1
12
2
1
===
 
c) Do item b) tiramos: 212211 fmmfmmININ=== 
 
d) Chamando 
1
1
1 I
e
Z = e 
2
12
2 I
e
Z = vem 2
1
2
12
1
2
1 aaa
I
I
e
e
Z
Z
=×=×= . Podemos 
 
escrever então: 221 ZaZ = .