Máquinas Eléctricas_ Prof P.Barros

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UNIVERSIDADE ÓSCAR RIBAS 
FACULDADE DE ENGENHARIA ELECTROMECÂNICA 
 
Engenheiro Electromecânico. Paulo Barros 
UNIVERSIDADE ÓSCAR RIBAS 
 
 
MÁQUINAS ELÉCTRICAS 
Professor Eng.Paulo Barros 
 
Máquinas Eléctricas Electromecânica Prof: Paulo Barros 
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Máquinas Eléctricas Electromecânica Prof: Paulo Barros 
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DEDICATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quem pensa claramente e domina a fundo aquilo de que fala, exprime-se claramente 
e de modo compreensível. Quem se exprime de modo obscuro e pretensioso mostra 
logo que não entende muito bem o assunto em questão ou então, que tem razão para 
evitar falar claramente (Rosa Luxemburg). 
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PREFÁCIO 
O presente trabalho foi escrito como suporte de um curso ministrado a 
engenheiros Electromecânicos e técnicos ligados, de algum modo à automação 
industrial. Ele enfoca os tipos de Máquinas Eléctricas e seus aspectos associados à 
automação. 
O trabalho é dividido basicamente em cinco grandes assuntos: 
1. Introdução ao Magnetismo e Electromagnetismo; 
2. Introdução aos sistemas de automatização e Máquinas Eléctricas. 
3. Transformadores. 
4. Máquinas de Corrente Contínua. 
5. Máquinas de Corrente Alternada. 
 
Na primeira parte, falo do fundamento de corrente eléctrica, magnetismo e 
electromagnetismo, Corrente continua, Alternada Monofásica, Alternada Trifásica. 
Noções de sistemas trifásicos, Factor de potência, Campo magnético. Indução 
magnética. Fluxo electromagnético, Força electromagnética.. 
 
Na segunda parte, falo sobre a Introdução aos sistemas de automatização, 
 Dispositivos de comando por intervenção Humana, Dispositivos de comando 
automático, Contactor translação e acessórios, Estrutura de um sistema automatizado. 
 
Na terceira parte, falo sobre a Introdução às máquinas eléctricas, Principio de 
funcionamento, Classificação das máquinas eléctricas, Transformadores, Transformador 
monofásico, Transformador trifásico, Simbologia, Ligações dos enrolamentos, 
Aplicação de utilização. 
 
Na quarta parte, falo sobre o Dínamo / Motor de corrente continua, 
Constituição, Principio de funcionamento, Classificação dos dínamos, Identificação dos 
terminais, Balanço energético, Regra dos três dedos mão direita, Função das lâminas, 
Obtenção de corrente continua, Comportamento do fluxo magnético, Estudo dos 
motores corrente continua. 
 
Na quinta parte, falo sobre Motores AC assíncronos e Síncrono, Motor 
assíncrono trifásico de rotor curto-circuito, Motor assíncrono trifásico de rotor 
bobinado, Tipos de arranques, Motor monofásico, Constituição das máquinas rotativa, 
Protecção dos motores, Dimensionamento das canalizações. Enfoca ainda o uso de 
computadores nesse processo. 
 
Consciente das limitações, apresento as minhas desculpas pelas omissões que 
detectarão e peço a vossa indulgência para a apresentação e para a paginação destes 
apontamentos. Apesar disso, espero que os leitores encontrem nestes apontamentos as 
linhas mestras para o primeiro contacto, simples, com a teoria das Máquinas e também, 
que deles tirem proveito para obterem boas classificações. 
 
Paulo Barros 
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Sumário 
1. Noções Básicas da Teoria dos Circuitos ............................................................................. 8 
1.1. Noção de Dipolo ........................................................................................................ 8 
1.1.2. Corrente num Dipolo ........................................................................................... 9 
1.1.3. Diferença de Potencial aos Terminais de um Dipolo .......................................... 9 
1.1.4. Potência num Dipolo .......................................................................................... 11 
1.1.6. Convenção Gerador ........................................................................................... 12 
1.1.7. Componentes ...................................................................................................... 13 
1.1.7.1. Introdução .................................................................................................. 13 
1.1.7.2. Fonte de Tensão.......................................................................................... 13 
1.1.7.3. Fonte de Corrente ...................................................................................... 15 
1.1.8. Grandezas Alternadas Sinusoidais .................................................................... 17 
1.1.9. Compensação do factor de potência .................................................................. 21 
1.1.10. Sistemas Trifásicos ............................................................................................. 25 
1.1.11. Ligação de Cargas.............................................................................................. 30 
1.2. MAGNETISMO .......................................................................................................... 39 
1.2.1. Campo Magnético e Linhas de Campo Magnético ........................................... 39 
1.2.2. Fluxo Magnético ................................................................................................ 41 
1.2.3. Densidade de Campo Magnético ....................................................................... 41 
1.2.4. Classificação das Substâncias quanto ao Comportamento Magnético ............. 42 
1.1.5. Permeabilidade Magnética ................................................................................ 43 
1.2.6. Relutância Magnética ........................................................................................ 45 
1.2.7. FENÔMENOS ELECTROMAGNÉTICOS ..................................................... 46 
1.2.8. Campo Magnético criado por Corrente Eléctrica............................................. 47 
1.2.9. Fontes de Campo Magnético ............................................................................. 48 
1.2.10. Força Magnetizante (Campo Magnético Inductor) .......................................... 51 
1.2.11. Força Magneto-Motriz....................................................................................... 52 
1.2.12. Lei de Ampère .................................................................................................... 54 
1.2.13. Força Eletromagnética....................................................................................... 54 
1.2.14. Indução Eletromagnética ................................................................................... 56 
1.2.15. CIRCUITOS MAGNÉTICOS ........................................................................... 60 
1.2.16. Variação no tempo – Noção de força electromotriz .......................................... 68 
1.2.17. Perdas em Materiais Ferromagnéticos .............................................................. 72 
2. Conceito de Automação................................................................................................. 80 
2.1. Contator ..................................................................................................................... 84 
2.2.1. Contatores – aspectos construtivos, classificação e aplicações ......................... 84 
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2.2.2. Classificação dos contatores .............................................................................. 85 
2.2.3. Tipos de contatores ............................................................................................ 86 
2.2.4. Circuitos eléctricos lógicos comcontatores ....................................................... 91 
2.3. Dispositivos de Protecção e de Comando .............................................................. 94 
2.3.1. Curto-circuito e protecção ................................................................................. 95 
2.3.2. Disjuntores ....................................................................................................... 103 
2.4. INTRODUÇÃO AOS MOTORES ELÉCTRICOS ............................................ 107 
3. Transformadores ......................................................................................................... 117 
3.1. Introdução............................................................................................................ 117 
3.1.1. Valores nominais .......................................................................................... 119 
3.1.2. Transformador Monofásico ......................................................................... 119 
3.1.3. Princípio de funcionamento ......................................................................... 120 
3.2. O TRANSFORMADOR IDEAL ......................................................................... 122 
3.2.1. Circuito equivalente do transformador ....................................................... 125 
3.3. O TRANSFORMADOR REAL .......................................................................... 129 
3.3.1. Ensaio em vazio e em curto-circuito ............................................................ 131 
3.3.1.1. Ensaio em vazio ........................................................................................ 132 
3.3.1.2. Ensaio em Curto-circuito ......................................................................... 132 
3.3.1.3. Transformador em carga ......................................................................... 133 
3.3.2. Queda de tensão ............................................................................................... 135 
3.4. Autotransformador ................................................................................................. 136 
3.5. Transformadores em sistemas trifásicos ............................................................. 138 
3.5.1. Banco de Transformadores Monofásicos .................................................... 138 
3.6. Métodos mais comuns de refrigeração de transformadores ............................... 144 
3.7. ASSOCIAÇÃO DE TRANSFORMADORES..................................................... 145 
4. MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA.............................................................. 154 
4.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 154 
4.2. Classificação das máquinas de corrente contínua............................................... 160 
4.3. Princípio de funcionamento das máquinas de corrente contínua. O 
funcionamento do colector .............................................................................................. 162 
4.4. Modelo matemático da máquina de corrente contínua. ..................................... 164 
4.5. Balanço energético. .............................................................................................. 167 
4.6. Obtenção da expressão do binário electromagnético. ......................................... 168 
4.7. Características dos motores de corrente contínua .............................................. 169 
5. Máquinas de Corrente Alternada ............................................................................... 181 
5.1. Máquina Síncrona ............................................................................................... 181 
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5.1.1. Máquina síncrona isolada da rede. .............................................................. 184 
5.1.2. As características exteriores ........................................................................ 188 
5.1.3. Máquina síncrona ligada a uma rede de potência infinita .......................... 190 
5.1.4. Balanço energético ....................................................................................... 193 
5.1.5. Funcionamento como gerador (ou alternador) ........................................... 195 
5.2. Máquinas de Indução Polifásicas ........................................................................ 202 
Descrição das máquinas de indução polifásicas.......................................................... 202 
5.2.1. Obtenção de um circuito equivalente .......................................................... 205 
5.2.2. Análise do comportamento da máquina assíncrona através de circuitos 
equivalentes ................................................................................................................. 208 
5.2.3. Características do motor de indução ligado a uma rede eléctrica .............. 213 
5.2.4. Ensaios do motor de indução ....................................................................... 217 
5.2.5. Ajuste de velocidade das máquinas de indução. .......................................... 220 
5.2.6. Arranque dos motores trifásicos de indução ............................................... 226 
5.2.7. Motores Monofásicos ....................................................................................... 261 
Bibliografia........................................................................................................................... 281 
Projectos Da Disciplina de Máquinas Eléctricas .................................................................... 282 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1: Introdução ao Magnetismo e 
Electromagnetismo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Noções Básicas da Teoria dos Circuitos 
1.1. Noção de Dipolo 
O electromagnetismo está presente na natureza, de diversas formas: electricidade 
estática, fenómenos de magnetização, queda de raios. Os fenómenos correspondentes 
podem ser descritos através de equações onde intervêm derivadas parciais das diversas 
grandezas em jogo; campo magnético, campo eléctrico…Em certas situações, a 
resolução destas equações, as equações de Maxwell, pode ser tão complexa que se tenha 
de recorrer a métodos numéricos (método dos elementos finitos, por exemplo) . 
À escala de frequência dos circuitos eléctricos estudados neste curso (frequências 
relativamente baixas), pode considerar-se não estarem presentes muitos dos fenómenos 
descritos pelas equações de Maxwell, pelo que o comportamento dos dispositivos 
eléctricos que serão estudados é bastante mais simples. Para esta gama de frequências, 
diz-se que os sistemas se encontram em regime quase-estacionário. 
Genericamente, estes comportamentos poderão ser descritos por duas grandezas: 
correntes eléctricas que circulam através dos terminais de acesso dos dispositivos e por 
diferenças de potencial aos seus terminais. 
 
Figura 1.1 - Multipolo (n-pólos) 
 
A diferença de potencial (ou tensão) uij entre um terminal i e um terminal j mede-
se com recurso a um voltímetro, exprime-se em volt (símbolo V) e representa uma 
energia por unidade de carga. A corrente ik que entra (ou sai, segundo a convenção 
escolhida) do terminal k mede-se com recurso a um amperímetro, exprime-se em 
ampere (símbolo A) e representa a quantidade de carga que atravessa uma secção por 
unidade de tempo. Carga, ou mais precisamente carga eléctrica, é uma propriedade 
física das partículas sub-atómicas que constituem a matéria e pode tomar valores 
positivos,negativos. Não pode ser criada nem destruída. Uma carga eléctrica é 
representada pela letra q e exprime-se em Coulomb (símbolo C) 
Neste contexto, os componentes eléctricos mais simples são os dipolos. A maior 
parte dos multipolos pode-se decompor em dipolos elementares . 
 
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Figura 1.2 – Dipolo 
Um dipolo, caracteriza-se pela corrente i que o percorre e pela tensão u aos seus 
terminais. 
 
1.1.2. Corrente num Dipolo 
Em regime quase-estacionário, pode afirmar-se que a corrente eléctrica é devida ao 
deslocamento de electrões (cargas) pelo que a corrente que entra no terminal A é igual à 
corrente que sai no terminal B. 
 
Figura 1.3 - Corrente num dipolo 
A corrente i que percorre um dipolo, corresponde à quantidade de carga eléctrica q 
que atravessa uma secção recta desse dipolo, por unidade de tempo: 
 
 (1.1) 
 
corrente de um ampere (1 A) corresponde à passagem de 1 coulomb (1 C) por segundo. 
O sentido de referência da passagem de corrente, pode ser escolhido de forma arbitrária: 
se a corrente passa efectivamente no sentido escolhido, o seu valor (a sua intensidade) é 
positiva; se passa no sentido contrário, é negativa. 
NOTA: Tendo em conta que nos condutores metálicos habituais, os portadores de 
carga são electrões (cargas negativas), a passagem de A para B de uma corrente positiva 
de 1 A, corresponde, fisicamente, à passagem de B para A de um conjunto de electrões 
que totaliza, num segundo, uma carga de –1 C. 
 
1.1.3. Diferença de Potencial aos Terminais de um Dipolo 
O trabalho produzido pela passagem de cargas através de um elemento, traduz-se 
por uma diferença de potencial entre os terminais desse elemento. 
A absorção pelo elemento, de uma energia eléctrica de um Joule (1 J) quando uma 
carga de um Coulomb (1 C) passa de A para B, resulta de uma diferença de potencial u 
de um volt (1V) medida entre A e B (o potencial VA do terminal A está 1 V mais 
elevado do que o potencial VB do terminal B). 
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Figura 1.4 - Diferença de potencial medida entre o terminal A e o terminal B 
 
Se, pelo contrário, o elemento fornece uma energia de um Joule (1 J) quando uma 
carga de um Coulomb passa de A para B, essa energia resulta de uma diferença de 
potencial u de um volt (1V) medida entre B e A (o potencial VA do terminal A está 1 V 
mais baixo do que o potencial VB do terminal B ). 
 
Figura 1.5 - Diferença de potencial medida entre o terminal A e o terminal B 
 
Quando o elemento absorve energia, o potencial do terminal de entrada da corrente 
é superior ao potencial do terminal de saída. Quando o dipolo fornece energia, o 
potencial do terminal de entrada de corrente é inferior ao do terminal de saída. 
A diferença de potencial aos terminais de um dipolo também se pode designar por 
tensão aos terminais desse elemento. O sentido de referência desta tensão, pode ser 
escolhido arbitrariamente: se o potencial do terminal “+” é, efectivamente, superior ao 
do terminal “-”, a tensão é positiva; caso contrário, é negativa. 
 
Figura 1.6 – Animação multimédia “Tensão aos terminais de um dipolo” 
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1.1.4. Potência num Dipolo 
Por definição de tensão aos terminais de um dipolo, a energia dW absorvida ou 
fornecida por um dipolo num intervalo de tempo dt é igual ao produto da carga dq que o 
atravessa, pela diferença de potencial u aos seus terminais: 
 (1.2) 
Por definição de corrente que atravessa uma secção de um dipolo, tem-se: 
 (1.3) 
Pelo que resulta que a potência p absorvida ou produzida pelo dipolo, vem: 
(1.4) 
Para saber se o produto ui corresponde a uma energia absorvida ou produzida, há 
que ter em conta os sentidos de referência escolhidos para a corrente e para a tensão aos 
terminais do dipolo. 
 
1.1.5 Convenção Receptor 
Os sentidos de referência das tensões e correntes são escolhidos conforme se 
representa no esquema da figura 1.7. 
 
Figura 1.7 - Convenção receptor 
 
Com o sentido de referência escolhido para a tensão, uma tensão u positiva, 
significa que o potencial VA do terminal A é superior ao potencial VB do terminal B. 
Com o sentido de referência escolhido para a corrente, uma corrente i positiva 
corresponde a um movimento de cargas positivas de A para B pelo interior do dipolo. 
Sendo o potencial do terminal de entrada, superior ao do terminal de saída da corrente, o 
dipolo absorve potência eléctrica. O produto u i é positivo. 
Se u é positivo e i é negativo, o potencial do terminal de entrada da corrente é 
inferior ao do terminal de saída. O dipolo fornece potência eléctrica. O produto u i é 
negativo. 
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Se u é negativo e i é positivo, a transferência de cargas faz-se do terminal ao 
potencial mais baixo, para o terminal a potencial mais elevado. O dipolo fornece 
potência eléctrica. O produto u i é negativo. 
Finalmente, se u e i são negativos, a transferência de cargas faz-se do terminal ao 
potencial mais elevado, para o terminal a potencial mais baixo. O dipolo absorve 
potência eléctrica. O produto u i é positivo. 
Com a convenção representada na Figura 1.7, um produto p = u i positivo, 
corresponde a uma absorção de potência eléctrica por parte do dipolo. Um produto p = 
u i negativo, corresponde ao fornecimento de potência eléctrica; neste caso, fala-se de 
convenção receptor. Habitualmente, esta convenção é escolhida para todos os dipolos 
que absorvam energia (resistências, indutâncias, condensadores, de facto, todas as 
cargas eléctricas, resistências de aquecimento, lâmpadas, motores, etc.). 
 
1.1.6. Convenção Gerador 
Os sentidos de referência das tensões e correntes são escolhidos conforme se 
representa no esquema da Figura 1.8. Neste caso, alterou-se o sentido convencional da 
corrente. 
 
Figura 1.8 - Convenção gerador 
 
Com o sentido de referência escolhido para a tensão, uma tensão u positiva, 
significa que o potencial VB do terminal B é superior ao potencial VA do terminal A. 
Com o sentido de referência escolhido para a corrente, uma corrente i positiva 
corresponde a um movimento de cargas positivas de B para A pelo interior do dipolo. 
Sendo o potencial do terminal de entrada, inferior ao do terminal de saída da corrente, o 
dipolo fornece potência eléctrica. O produto u i é positivo. 
Se u é positivo e i é negativo, o potencial do terminal de entrada da corrente é 
superior ao do terminal de saída. O dipolo absorve potência eléctrica. O produto u i é 
negativo, segundo esta convenção. 
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Se u é negativo e i é positivo, a transferência de cargas faz-se do terminal ao 
potencial mais elevado, para o terminal a potencial mais baixo. O dipolo absorve 
potência eléctrica. O produto u i é negativo. 
Finalmente, se u e i são negativos, a transferência de cargas faz-se do terminal ao 
potencial mais baixo, para o terminal a potencial mais elevado. O dipolo fornece 
potência eléctrica. O produto u i é positivo. 
Com a convenção da Figura 1.8 um produto positivo, corresponde a um 
fornecimento de potência eléctrica por parte do dipolo. Um produto negativo, 
corresponde à absorção de potência eléctrica; neste caso, fala-se de convenção gerador. 
Habitualmente, esta convenção é escolhida para todos os dipolos que forneçam 
energia (fontes de tensão e corrente, pilhas, baterias e outros geradores eléctricos,etc. 
 
1.1.7. Componentes 
1.1.7.1. Introdução 
Baseados no Princípio da Conservação da Energia, pode afirmar-se que uma fonte 
de energia eléctrica é um conversor (dispositivo ou máquina eléctrica) com capacidade 
para transformar um outro tipo de energia (química, mecânica, térmica, solar, potencial, 
cinética) em energia eléctrica. 
Como exemplos de fontes/conversores de energia eléctrica, tem-se: 
 Pilha ou bateria - conversão de energia Química em energia Eléctrica 
 Painel Fotovoltaico - conversão de energia Solar em energia Eléctrica 
 Gerador - conversão de energia Mecânica em energia Eléctrica 
 Motor - conversão de energia Eléctrica energia Mecânica 
Uma grande parte das fontes utilizadas em circuitos eléctricos, pode ser reversível 
isto é, o sentido do fluxo de conversão de energia pode ser invertido. Assim: 
 Uma pilha ou uma bateria, quando estão a carregar, estão a converter a energia 
Eléctrica em energia Química 
 Um gerador pode funcionar como motor quando converte em energia Mecânica 
a energia Eléctrica que absorve 
Um painel fotovoltaico é um exemplo de uma fonte não reversível pois, absorvendo 
energia eléctrica, não a consegue converter em energia solar. 
1.1.7.2. Fonte de Tensão 
Uma fonte de tensão ideal independente1 é um dipolo com capacidade para impor 
uma diferença de potencial aos seus terminais, independentemente do valor da corrente 
que a percorre. 
A equação que caracteriza uma fonte de tensão ideal é: 
 (1.5) 
designando-se, genericamente, por E(t) a força electromotriz da fonte. 
No caso de uma fonte de tensão contínua (DC), E(t) representa um valor 
constante. 
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Figura 1.9 - Exemplos de fontes de tensão contínua e não contínua 
 
Os símbolos mais utilizados para representar uma fonte de tensão, são: 
 
Figura 1.10 - Fonte de tensão ideal 
 
Quando se liga uma fonte de tensão a um outro elemento passivo estabelece-se um 
percurso fechado onde circula a corrente i(t) . 
 
Figura 1.11 - Fonte de tensão ideal a alimentar um elemento passivo 
 
no entanto, a corrente que a fonte de tensão fornece, depende dos elementos que ela 
alimenta: 
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 uma fonte de tensão ideal pode ser deixada em circuito aberto, isto é, sem 
qualquer ligação aos seus terminais. Neste caso, são nulas a corrente i(t) 
que ela fornece e, consequentemente, a potência p(t) = u(t) i(t) ; 
 os terminais de uma fonte de tensão ideal não podem ser ligados entre si 
por um condutor ideal (curto-circuito) pois essa situação corresponderia a 
anular a tensão do gerador; enquanto a fonte de tensão impõe u(t) = E(t) , o 
curto-circuito impõe u(t) = 0 
 duas fontes de tensão só podem ser ligadas em paralelo se tiverem valores 
iguais de força electromotriz; através da Lei das Malhas obtém-se E1(t) = 
E2(t) , que só é uma expressão verdadeira se as duas forças electromotrizes 
forem iguais. 
 
Figura 1.12 - Fonte de tensão ideal em vazio, em curto-circuito e duas fontes de 
tensão em paralelo 
1.1.7.3. Fonte de Corrente 
Uma fonte de corrente ideal independente2 é um dipolo com capacidade para 
impor a corrente fornecida, independentemente da tensão que apresenta aos seus 
terminais. 
O símbolo para representar uma fonte de corrente, é: 
 
Figura 1.13 - Fonte de corrente 
 
não existindo símbolos específicos para representar uma fonte de corrente contínua 
(DC) ou alternada (AC). 
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A equação que caracteriza uma fonte de corrente ideal é: 
 (1.6) 
Quando se liga uma fonte de corrente a um outro elemento passivo estabelece-se 
um percurso fechado onde circula a corrente i(t) 
 
Figura 1.14 - Fonte de corrente ideal a alimentar um elemento passivo 
no entanto, a diferença de potencial u(t) aos seus terminais, dependerá do elemento que 
a fonte alimenta: 
 os terminais de uma fonte de corrente podem ser ligados entre si. Neste 
caso, são nulas a tensão aos seus terminais u(t) e, consequentemente, a 
potência u(t) i(t) que ela debita; 
 uma fonte de corrente não pode ser deixada em circuito aberto, pois isso 
corresponderia a anular a corrente que ela fornece; deve sempre existir um 
caminho para que a corrente se feche; enquanto a fonte impõe i(t) = I (t) o 
circuito aberto impõe i(t) = 0 
 duas fontes de corrente só podem ser ligadas em série se impuserem o 
mesmo valor de corrente; através da Lei dos Nós obtém-se I1(t) = I2(t) que 
só é uma expressão verdadeira se os dois valores de corrente forem iguais. 
 
 
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Figura 1.15 - Fonte de corrente ideal em curto-circuito, em vazio e duas fontes de 
corrente em série 
1.1.8. Grandezas Alternadas Sinusoidais 
Introdução 
As funções alternadas sinusoidais são particularmente importantes para a análise 
de circuitos pois a maior parte dos sistemas de produção e distribuição eléctrica gera e 
transporta energia através de grandezas cuja evolução no tempo se pode considerar 
sinusoidal; a sigla, normalmente utilizada para designar esta forma de energia eléctrica é 
“AC” e deriva da designação inglesa Alternating Current. 
 
Figura 1.16 - (a) Grandeza alternada sinusoidal; (b) Grandeza Alternada não 
sinusoidal (c) Grandeza contínua 
A grande vantagem da alimentação em AC, comparativamente à DC (Direct 
Current) onde as grandezas têm uma evolução constante no tempo, verifica-se na 
eficiência do transporte de energia por esta se poder fazer a muito alta tensão de forma 
económica; a tensão alternada produzida numa central é elevada por um transformador 
que, consequentemente diminui, aproximadamente, na mesma proporção a corrente; as 
perdas R i2 são assim menores em alta tensão, do que seriam se a energia fosse 
transportada ao nível de tensão a que é produzida. Esta foi a principal razão porque os 
sistemas AC se impuseram face aos sistemas DC. 
O conceito de “grandeza contínua” em electrotecnia é diferente do conceito 
matemático de “grandeza contínua”; entende-se que uma “grandeza contínua” é uma 
grandeza cujo valor é constante no tempo. 
 
Definição 
Uma grandeza alternada sinusoidal, x(t) , pode ser descrita pela expressão 
matemática: 
 (1.7) 
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sendo x(t) o valor instantâneo, XM a sua amplitude máxima, (ωt +ψ) a fase, ω a 
frequência angular que se expressa em radianos por segundo [rad / s] e ψ a fase inicial 
expressa em radianos. 
A frequência angular relaciona-se com a frequência f , expressa em ciclos por 
segundo ou hertz (Hz), através de: 
 (1.8) 
A frequência pode ser expressa em função do período T , através de: 
 (1.9) 
Todos estes parâmetros da sinusóide estão graficamente representados na figura 
seguinte 
 
Figura 1.17 - Representação gráfica de uma grandeza sinusoida1 
 
 
 
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Figura 1.18 - Animação multimédia de uma grandeza sinusoidal 
Dadas duas grandezas sinusoidais com igual frequência, descritas pelas 
expressões: 
 (1.10) 
designa-se por desfasagem entre as grandezas, a diferença de fases iniciais, (φ - γ). 
 
Figura 1.19 - Representação gráfica do desfasamento entre duas grandezas sinusoidais 
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De acordo com o exemplo dado, diz-se que a grandeza x(t) está avançada (φ - γ) 
radianos, relativamente a y(t) . A afirmação dual também é válida: a grandeza y(t) está 
atrasada (φ – γ) radianos, relativamente a x(t). 
Valor Eficaz 
O conceito de valor eficaz de uma tensão ou corrente alternada sinusoidal está 
directamente ligado à potência associada a esse par de grandezas; é através do valor 
eficaz que se pode comparar a potência associada a grandezas AC com potências 
associadas a grandezas DC. 
Fisicamente, o valor eficaz de uma corrente alternada é o valor da intensidade de 
uma corrente contínua que produziria, numa resistência, o mesmo efeito calorífico que a 
corrente alternada em questão. 
Matematicamente, o valor eficaz, Xef , de uma grandeza periódica x(t) é 
determinado através de: 
 (1.11) 
O caso particular de uma grandeza alternada sinusoidal expressa por x(t) = XM 
sin(ωt +ψ) , a expressão anterior conduz a: 
 (1.12) 
Poder-se-á assim escrever: 
 (1.13) 
Graficamente, o valor eficaz está relacionado com a área sob a curva que 
representa a evolução temporal do quadrado da grandeza, tal como se representa na 
figura seguinte. 
 
Figura 1.20 - Representação gráfica do cálculo do valor eficaz 
 
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O valor eficaz de uma grandeza altera-se com a amplitude, com perturbações na 
forma da onda, mas não é afectado por variação da frequência, nem da fase inicial. 
1.1.9. Compensação do factor de potência 
Introdução 
Os motores e grande parte das cargas alimentadas pelas redes de energia eléctrica, 
são cargas de carácter indutivo, isto é, para além de consumirem energia activa, também 
são consumidores de energia reactiva. 
 
Figura 1.21 - Representação esquemática de um motor monofásico alimentado em 
corrente alternada 
Em termos de diagrama vectorial, tem-se: 
 
Figura 1.22 - Diagrama vectorial do esquema da Figura 1.21 
sendo a Ῑa componente activa da corrente e Ῑr a componente reactiva. A presença da 
componente reactiva (devida à indutância) faz com que tensão e corrente aos terminais 
da fonte não estejam em fase; a corrente está atrasada φ relativamente à tensão. 
A fonte que alimenta este motor deverá ser capaz de fornecer as potências: 
 (1.14) 
 
 
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ou seja, deverá ter, pelo menos, uma potência aparente de: 
 (1.15) 
e ser capaz de fornecer uma corrente de amplitude eficaz I . 
Caso a fonte não tivesse de fornecer a energia reactiva (devida à presença da 
indutância), poderia ter uma potência aparente de apenas: 
 (1.16) 
fornecendo uma corrente de amplitude eficaz Ia = I cosφ 
Esta solução é possível e implementa-se através da introdução, no circuito, de um 
condensador; este procedimento é conhecido por compensação do factor de potência. 
Os inconvenientes de não se proceder à compensação do factor de potência são: 
 as fontes de energia eléctrica (os geradores das centrais eléctricas) e as linhas ao 
terem de produzir e transportar energia reactiva têm, forçosamente, de diminuir 
a energia activa produzida ou transportada, de forma a não ultrapassarem a sua 
potência aparente nominal, uma vez que: 
 
 as linhas de transmissão têm maiores perdas pois, como não são ideais 
(resistência nula), mas antes caracterizadas por uma impedância não nula, as 
perdas associadas serão tanto maiores quanto maior for a corrente que as 
percorre: 
 
 as quedas de tensão nas linhas são maiores pela mesma razão indicada no ponto 
anterior. 
Sistema monofásico – Compensação total 
No caso de um sistema monofásico, a compensação do factor de potência efectua-
se com a montagem de um condensador em paralelo com a carga (e, portanto, com a 
fonte), tal como esquematizado na Figura 1.23. 
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Figura 1.23 - Representação esquemática de um motor monofásico alimentado em 
corrente alternada, com condensador de compensação de factor de potência 
O valor da capacidade C deverá ser dimensionado para que o respectivo diagrama 
vectorial seja: 
 
Figura 1.24 - Diagrama vectorial do esquema da Figura 1.23 
A corrente do condensador deverá compensar totalmente a componente reactiva do 
motor. A corrente absorvida pelo motor, Ῑ , não sofre qualquer alteração. As alterações residem 
na corrente fornecida pela fonte que, para além de ter diminuído a sua amplitude eficaz de Ῑ para 
I cosφ (reduzindo, assim, as perdas e as quedas de tensão nas linhas), também passou a estar em 
fase com a tensão na fonte (a fonte deixou de fornecer energia reactiva). A potência activa que a 
fonte fornece não sofreu qualquer alteração, porque a corrente da fonte é exactamente igual à 
componente activa da corrente antes da compensação. 
Com a introdução do condensador, procedeu-se à compensação total do factor de 
potência; do ponto de vista da fonte de energia, é como se o conjunto Motor+Condensador se 
comportasse como uma carga resistiva; é como se o condensador fornecesse toda a energia 
reactiva que o motor necessita absorver: 
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Figura 1.25 - Representação esquemática das potências activa e reactiva antes e 
após a compensação 
A potência reactiva absorvida pelo motor é: 
(1.17) 
Como a potência reactiva fornecida pelo condensador, QC é: 
 (1.18) 
a igualdade entre estas duas potência conduz a: 
 (1.19) 
que deverá ser a capacidade do condensador para compensar totalmente o factor 
de potência. 
Sistema monofásico – Compensação parcial 
Os regulamentos não impõem a necessidade de uma compensação total do factor 
de potência, limitando-se a impor um valor mínimo para o factor de potência ( cosφf ). 
Para uma compensação parcial do factor de potência, partindo de um sistema que 
consome um determinado conjunto de valores iniciais de Si , Pi , Qi e cosφi ˂ cosφf , 
pretende manter-se a potência activa solicitada ao distribuidor de energia eléctrica, Pi , 
e, através da instalação de um condensador com um valor C na entrada da nossa 
instalação, conseguir solicitar à rede um valor menor de potência reactiva final, Qf , que 
assegure um valor de cosφf 
Partindo do valor de potência activa pretendida, Pi , e impondo cosφf , obtêm-se o 
valor final da potência aparente, a solicitar à rede: 
 (1.20) 
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assim, como o respectivo valor da potência reactiva: 
 (1.21) 
A diferença entre Qi e Qf deverá ser fornecida pelo condensador: 
 (1.22) 
Deste modo, será possível calcular o valor de C , tal que: 
 (1.23) 
1.1.10. Sistemas Trifásicos 
Definição 
Os sistemas alternados sinusoidais são de particular importância na electrotecnia 
pois constituem a maior parte dos sistemas de produção e transporte de energia 
eléctrica. 
Um sistema trifásico de tensões alternadas sinusoidais fica completamente 
especificado pela sua frequência angular, ω = 2πf , ou pelo seu período, T , pela 
amplitude máxima, UM , ou pelo valor eficaz dessa amplitude, U , e pela fase na origem, 
φu . É descrito pelo conjunto de equações: 
 (1.24) 
Em notação complexa o sistema de equações toma a forma: 
(1.25) 
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Figura 1.26. Sistema trifásico de tensões alternadas sinusoidais. 
Cada uma das grandezas deste sistema é designada por fase e a sua sequênciatemporal determina a sua numeração. 
A sequência de fases 123 é designada por sequência positiva e a sequência 132, 
por sequência negativa. 
Sistema Equilibrado 
O sistema trifásico diz-se que é equilibrado porque são idênticas entre si as 
amplitude das 3 fases, assim como o desfasamento entre elas. Quando tal não acontece, 
designa-se por sistema trifásico desequilibrado. 
 
Figura 1.27. Diagramas de exemplos de sistemas trifásicos desequilibrados. 
Uma das características dos sistemas trifásicos equilibrados é a soma das tensões 
das fases ser nula em qualquer instante. 
(1.26) 
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No diagrama das amplitudes complexas também se pode verificar que num 
sistema equilibrado de tensões se tem: 
 
Figura 1.28. Diagramas da soma das amplitudes complexas. 
Tensões Simples e Compostas 
Um sistema de tensões trifásico alternado sinusoidal pode ser entendido como um 
conjunto de 3 fontes monofásicas alternadas sinusoidais: 
 
Figura 1.29. Três fontes monofásicas alternadas sinusoidais 
O esquema da figura anterior pode ser redesenhado na forma esquematizada na 
figura seguinte: 
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Figura 1.30. Fonte trifásica alternada sinusoidal. 
Os condutores 1, 2 e 3 são designados por condutores de fase e o condutor N por 
condutor de neutro. 
No entanto, aos terminais desta fonte não se têm, apenas, disponíveis 3 tensões 
alternadas sinusoidais de igual amplitude, como se verá seguidamente. 
Admita-se a existência de 3 malhas fictícias tal como se representa na figura. 
 
Figura 1.31. Fonte trifásica alternada sinusoidal e malhas fictícias. 
 
Substituindo as expressões de u1(t) , u2 (t) e u3(t) , obtém-se: 
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(1.27) 
As tensões entre os condutores de fase constituem um sistema trifásico 
equilibrado de tensões; têm uma amplitude √3 superior à tensão entre os condutores de 
fase e o neutro e estão avançadas π/6 relativamente a estas. 
As tensões entre os condutores de fase, u12 (t) , u23(t) e u31(t) , designam-se por 
tensões compostas, enquanto as tensões entre cada condutor de fase e o neutro, u1(t) , u2 
(t) e u3(t) , se designam por tensões simples. 
Quando não existe o risco de se confundirem valores eficazes e valores máximos, 
designa-se o valor eficaz da tensão simples por US e o de uma tensão composta por UC . 
Num sistema trifásico equilibrado a relação entre estes dois valores é: 
 (1.28) 
O diagrama vectorial das amplitudes complexas das tensões simples e compostas, 
encontra-se representado na Figura 1.32 onde, por simplicidade gráfica, se admitiu que 
a fase na origem da tensão simples u1(t) era nula, isto é φu = 0. 
 
Figura 1.32. Diagrama vectorial das tensões simples e compostas do sistema 
trifásico. 
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Uma fonte de tensão trifásica equilibrada pode, então, ser entendida como um 
conjunto de 6 fontes monofásicas: 
 entre cada um dos condutores de fase e o neutro, existem 3 fontes monofásicas 
que apresentam um valor eficaz de U (tensões simples) 
e entre os condutores de fase, existem outras 3 fontes monofásica que apresentam 
um valor eficaz de √3U (tensões compostas). 
 
Figura 1.33 - Diagrama representativo das tensões simples e compostas do sistema 
trifásico. 
As tensões u1, u2 e u3 são tensões simples e as tensões u12 , u23 e u13 são tensões 
compostas; se as primeiras tiverem um valor eficaz de U , então as segundas têm um 
valor eficaz de √3U. 
Normalmente, um sistema trifásico designa-se pelo valor eficaz da sua tensão 
simples e composta ou, mais simplesmente, pelo valor eficaz da sua tensão composta. 
Assim, por exemplo, o sistema trifásico da rede portuguesa designa-se por 230V / 400V 
ou apenas por 400V. 
1.1.11. Ligação de Cargas 
Ligação em ESTRELA 
Uma carga trifásica é um conjunto de 3 cargas monofásicas, isto é, 3 impedâncias. 
Cada uma das impedâncias é designada por fase da carga. Se estas 3 impedâncias forem 
iguais, designa-se por carga equilibrada; será uma carga desequilibrada, caso contrário. 
As cargas desequilibradas serão analisadas na secção Cargas Desequilibradas. 
 
Fig 1.34 - Cargas Monofásicas. 
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Uma das formas de ligar as 3 impedâncias é, à semelhança do que se fez para as 
fontes, ligar cada fase da carga a uma fase da fonte, tal como se esquematiza na Figura 
1.35 . Este tipo de ligação designa-se por ligação estrela. 
 
Figura 1.35 - Carga trifásica ligada em estrela 
Circulando em cada uma das malhas que inclui uma fase do gerador, uma fase da 
carga e se fecha pelo condutor de neutro, verifica-se que, a cada fase da carga,UF , (isto 
é, a cada uma das impedâncias da carga) fica aplicada a tensão da fase do gerador, isto 
é, uma tensão simples,US , (uma tensão entre o condutor de fase e o neutro). 
Carga ligada em estrela UF =US 
As amplitudes complexas das correntes (em valor eficaz) que circulam na carga 
são: 
(1.29, 1.30, 1.31) 
 
 
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Onde, por simplicidade, se admitiu que u1(t) tem uma fase inicial nula. 
Este conjunto de 3 correntes, tem a mesma amplitude e estão desfasadas entre si 
de 2π/3, pelo que constituem um sistema trifásico equilibrado de correntes. Assim 
sendo, a corrente no condutor de neutro será nula pois, aplicando a Lei dos Nós a 
qualquer um dos 2 nós do circuito, se obtém: 
(1.32) 
O diagrama vectorial das correntes e tensões nas fases de uma carga equilibrada 
ligada em estrela encontra-se representado na Figura 1.36. 
 
Figura 1.36 - Diagrama vectorial de tensões e correntes nas fases de uma carga 
equilibrada ligada em estrela 
Nesta situação de equilíbrio, o condutor de neutro pode ser retirado, mantendo-se 
as tensões nas fases da carga iguais às tensões nas fases do gerador. 
No caso de uma carga ligada em estrela, as correntes na linha de transmissão, I L , 
(correntes entre o gerador e a carga) são iguais às correntes nas fases da carga, I F , (isto 
é, as correntes que atravessam cada uma das impedâncias da carga). 
Carga em estrela I L = I F 
 
 
 
 
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Ligação em Triângulo ou Delta 
As 3 cargas monofásicas referidas na secção anterior podem também ser ligadas 
sequencialmente, formando um triângulo, como se esquematiza na Figura 1.37. 
 
Figura 1.37 - Carga Trifásica Ligada em Triângulo ou Delta 
Para alimentar esta carga com a fonte de tensão trifásica, liga-se cada um dos 
condutores de fase da fonte, aos vértices do triângulo formado pela carga, tal como se 
esquematiza na figura seguinte. 
 
Figura 1.38 - Fonte de Tensão trifásica a alimentar uma Carga Trifásica Ligada 
em Triângulo ou Delta 
Neste tipo de ligação, o condutor de neutro fica desligado. 
A tensão de cada fase da carga, UF (isto é, a tensão aplicada a cada uma das 
impedâncias da carga) é uma tensão composta, UC , (tensão entre duas fases da fonte) 
cujo valor eficaz é √3 US . 
Carga ligada em triângulo UF = UC 
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(1.33, 1.34, 
1.35) 
Este conjunto de correntes forma um sistema trifásico equilibrado, desfasado φ do 
sistema de tensões compostas que está aplicado às fases da carga. 
Relativamente à carga ligada em estrela, cada fase da carga suportaagora uma 
tensão √3 vezes superior (tensão composta) pelo que, a amplitude a corrente que a 
percorre é, também, √3 vezes superior. 
O diagrama vectorial das tensões e correntes nas fases da carga encontra-se 
representado na Figura 1.39. 
 
Figura 1.39 - Diagrama vectorial das tensões e correntes nas fases de uma carga 
ligada em triângulo 
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Relativamente às correntes que percorrem as linhas de transmissão, a sua 
determinação tem de ser efectuada com recurso à Lei dos Nós (ver Figura 1.38). 
 
Em termos de amplitudes complexas em valor eficaz, obtém-se: 
(1.36, 1.37, 1.38) 
 
Cargas Desequilibradas 
Uma carga trifásica considera-se desequilibrada quando pelo menos uma das 
impedâncias é diferente das outras duas, ou no módulo, Z , ou na fase, φ. 
Um exemplo de uma carga desequilibrada é: 
(1.39) 
ou seja, uma carga que na fase 1 é representada por uma resistência, na fase 2 por uma 
indutância e na fase 3 por uma capacidade. 
Se esta carga for ligada, por exemplo, em estrela, e alimentada por um sistema 
trifásico equilibrado de tensões, cuja amplitude da tensão simples é , a corrente em cada 
uma das fases da carga (e também a corrente nas linhas, uma vez que são iguais), será, 
em valor eficaz: US 
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(1.40, 1.41, 1,42) 
 
Cujo diagrama vectorial está representado na Figura 1.40 e onde se admitiu que os 
módulos das impedâncias são todos diferentes, isto é, 
 
 
Figura 1.40 - Diagrama vectorial de uma carga desequilibrada 
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A corrente na fase 1 está em fase com a tensão na fase 1 porque a carga é 
representada por uma resistência; como na fase 2 a carga é representada por uma 
indutância, a respectiva corrente na fase está atrasada π/2 da respectiva tensão na fase da 
carga; finalmente, a capacidade que representa a carga da fase 3 faz com que a corrente 
na fase esteja adiantada π/2 relativamente à respectiva tensão na fase. 
Tanto através do diagrama vectorial, quanto através das expressões matemáticas 
das correntes nas fases da carga, se pode verificar que: 
 (1.43) 
concluindo-se, assim, que o sistema de correntes não é equilibrado. 
Comparação entre cargas em Estrela e em Triângulo 
Cargas Equilibradas Ligadas em Triângulo, se terem deduzido as mesmas 
expressões: 
 
O que será CORRECTO concluir é que: Quer a carga esteja ligada em estrela, 
quer esteja em triângulo, as EXPRESSÕES para o cálculo das potências são as mesmas. 
Em cada um dos tipos de ligação, as tensões aplicadas a cada fase da carga são: 
 
a corrente na fase da carga será a respectiva tensão a dividir pela impedância (igual nos 
dois casos), pelo que se obtém: 
 
ou ainda, atendendo à relação UC = √3 US entre tensão simples e tensão composta: 
 
 
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expressões das quais se pode já concluir que: 
 
Como as relações entre correntes na linha e na fase para os dois tipos de ligação são: 
I FY = I LY para a ligação estrela e IL∆ = √3 IL∆ , o conjunto de expressões anteriores 
pode escrever-se na forma: 
 
concluindo que, a corrente na linha quando uma carga é ligada em triângulo é 3 vezes 
superior à corrente na linha quando essa mesma carga é ligada em estrela. 
 
Como o valor da tensão composta não depende da forma de ligação, das expressões 
genéricas, 
 
conclui-se que, para uma mesma carga se tem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2. MAGNETISMO 
1.2.1. Campo Magnético e Linhas de Campo Magnético 
Campo magnético é a região ao redor de um imã, na qual ocorre uma força 
magnética de atração ou de repulsão. O campo magnético pode ser definido pela medida 
da força que o campo exerce sobre o movimento das partículas de carga, tal como um 
elétron. 
A representação visual do campo é feita através de linhas de campo magnético, 
também conhecidas por linhas de indução magnética ou linhas de fluxo magnético, que 
são linhas envoltórias imaginárias fechadas, que saem do pólo norte e entram no pólo 
sul. A Figura 1.41 mostra as linhas de campo representando visualmente o campo 
magnético. 
 
Figura 1.41: Linhas de campo magnético. 
Assim, as características das linhas de campo magnético: 
 são sempre linhas fechadas: saem e voltam a um mesmo ponto; 
 as linhas nunca se cruzam; 
 fora do ímã, as linhas saem do pólo norte e se dirigem para o pólo sul; 
 dentro do ímã, as linhas são orientadas do pólo sul para o pólo norte; 
 saem e entram na direção perpendicular às superfícies dos pólos; 
 nos pólos a concentração das linhas é maior: quanto maior concentração de 
linhas, mais intenso será o campo magnético numa dada região. 
Uma verificação das propriedades das linhas de campo magnético é a chamada 
inclinação magnética da bússola. Nas proximidades do equador as linhas de campo são 
praticamente paralelas à superfície e a medida que se aproxima dos pólos, as linhas vão 
se inclinando até se tornarem praticamente verticais na região polar. Assim, a agulha de 
uma bússola acompanha a inclinação dessas linhas de campo magnético e se pode 
verificar que na região polar a agulha da bússola tenderá a ficar praticamente na posição 
vertical. 
Se dois pólos diferentes de ímãs são aproximados haverá uma força de atração 
entre eles, as linhas de campo se concentrarão nesta região e seus trajetos serão 
completados através dos dois ímãs. Se dois pólos iguais são aproximados haverá uma 
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força de repulsão e as linhas de campo divergirão, ou seja, serão distorcidas e haverá 
uma região entre os ímãs onde o campo magnético será nulo. Estas situações estão 
representadas na Figura 1.42. 
 
Figura 1.42: Distribuição das linhas de campo magnético. 
No caso de um imã em forma de ferradura, as linhas de campo entre as superfícies 
paralelas dispõem-se praticamente paralelas, originando um campo magnético uniforme. 
No campo magnético uniforme, todas as linhas de campo têm a mesma direção e 
sentido em qualquer ponto. A Figura 1.43 mostra essa situação. Na prática, dificilmente 
encontra-se um camponmagnético perfeitamente uniforme. Entre dois pólos planos e 
paralelos o campo é praticamente uniforme se a área dos pólos for maior que a distância 
entre eles, mas nas bordas de um elemento magnético há sempre algumas linhas de 
campo que não são paralelas às outras. Estas distorções são chamadas de espraiamento. 
 
Figura 1.43: Campo magnético uniforme e espraiamento. 
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1.2.2. Fluxo Magnético 
O fluxo magnético, simbolizado por ɸ, é definido como a quantidade de linhas de 
campo que atingem perpendicularmente uma dada área, como mostra a Figura 1.44. A 
unidade de fluxo magnético é o Weber (Wb), sendo que um Weber corresponde a 1x108 
linhas do campo magnético. 
 
Figura 1.44: Fluxo magnético : quantidade de linhas de campo numa área. 
1.2.3. Densidade de Campo Magnético 
A densidade de campo magnético, densidade de fluxo magnético ou simplesmente 
campo magnético, cuja unidade Tesla (T), é uma grandeza vetorial representada pela 
letra B e é determinada pela relação entre o fluxo magnético e a área de uma dada 
superfície perpendicular à direção do fluxo magnético. Assim: 
 
onde: 
B: densidade fluxo magnético, Tesla [T] 
Φ: fluxo magnético, Weber[Wb] 
A: área da seção perpendicular ao fluxo magnético, metro quadrado [m2] 
1T = 1Wb/m2 
A direção do vetor B é sempre tangente às linhas de campo magnético em 
qualquer ponto, como mostra a Figura 1.45. O sentido do vetor densidade de campo 
magnético é sempre o mesmo das linhas de campo. 
 
Figura 1.45: Vetor densidade de campo magnético: tangente às linhas de campo. 
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O número de linhas de campo magnético que atravessam uma dada superfície 
perpendicular por unidade de área é proporcional ao módulo do vector B na região 
considerada. Assim sendo, onde as linhas de indução estão muito próximas umas das 
outras, B terá alto valor. Onde as linhas estiverem muito separadas, B será pequeno. 
Observação: se as linhas de campo não forem perpendiculares à superfície 
considerada devemos tomar a componente perpendicular, como será estudado 
posteriormente. 
1.2.4. Classificação das Substâncias quanto ao Comportamento Magnético 
As substâncias são classificadas em quatro grupos quanto ao seu comportamento 
magnético: ferromagnéticas, paramagnéticas , diamagnéticas e ferrimagnéticas. 
1. Substâncias Ferromagnéticas: 
Seus imãs elementares sofrem grande influência do campo magnético indutor. De 
modo que, eles ficam majoritariamente orientados no mesmo sentido do campo 
magnético aplicado e são fortemente atraídos por um ímã. Exemplos: ferro, aços 
especiais, cobalto, níquel, e algumas ligas (alloys) como Alnico e Permalloy, entre 
outros. 
2. Substâncias Paramagnéticas: 
Seus imãs elementares ficam fracamente orientados no mesmo sentido do campo 
magnético indutor. Surge, então, uma força de atração fraca entre o imã e a substância 
paramagnética. Exemplos: alumínio, manganês, estanho, cromo, platina, paládio, 
oxigênio líquido, etc. 
3. Substâncias Diamagnéticas: 
Substâncias Diamagnéticas são aquelas que quando colocadas próximas a um 
campo magnético indutor proveniente de um imã, os seus imãs elementares sofrem uma 
pequena influência, de modo que eles ficam fracamente orientados em sentido contrário 
ao campo externo aplicado. Surge, então, entre o imã e a substância diamagnética, uma 
força de repulsão fraca. Exemplos: cobre, água, mercúrio, ouro, prata, bismuto, 
antimônio, zinco, etc. 
4. Substâncias Ferrimagnéticas: 
O Ferrimagnetismo permanente ocorre em sólidos nos quais os campos 
magnéticos associados com átomos individuais se alinham espontaneamente, alguns de 
forma paralela, ou na mesma direção (como no ferromagnetismo) e outros geralmente 
antiparalelos, ou emparelhados em direções opostas. 
O comportamento magnéticos de cristais de materiais ferrimagnéticos pode ser 
atribuído ao alinhamento paralelo; o efeito desses átomos no arranjo antiparalelo 
mantém a força magnética desses materiais geralmente menor do que a de sólidos 
puramente ferromagnéticos como o ferro puro. 
O Ferrimagnetismo ocorre principalmente em óxidos magnéticos conhecidos 
como Ferritas. O alinhamento espontâneo que produz o ferrimagnetismo também é 
completamente rompido acima da temperatura de Curie, característico dos materiais 
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ferromagnéticos. Quando a temperatura do material está abaixo do Ponto Curie, o 
ferrimagnetismo aparece novamente. 
1.1.5. Permeabilidade Magnética 
Se um material não magnético, como vidro ou cobre, for colocado na região das 
linhas de campo de um ímã, haverá uma imperceptível alteração na distribuição das 
linhas de campo. 
Entretanto, se um material magnético, como o ferro, for colocado na região das 
linhas de campo de um ímã, estas passarão através do ferro em vez de se distribuírem no 
ar ao seu redor porque elas se concentram com maior facilidade nos materiais 
magnéticos, como mostra a Figura 1.46. Este princípio é usado na blindagem magnética 
de elementos (as linhas de campo ficam concentradas na carcaça metálica não atingindo 
o instrumento no seu interior) e instrumentos elétricos sensíveis e que podem ser 
afectados pelo campo magnético. 
 
Figura 1.46: Distribuição nas linhas de campo: material magnético e não 
magnético. 
A blindagem magnética (Figura 1.47) é um exemplo prático da aplicação do efeito 
da permeabilidade magnética. 
 
Figura 1.47: Efeito da blindagem magnética na distribuição das linhas de campo. 
 
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Portanto, um material na proximidade de um ímã pode alterar a distribuição das 
linhas de campo magnético. Se diferentes materiais com as mesmas dimensões físicas 
são usados, a intensidade com que as linhas são concentradas variam. Esta variação se 
deve a uma grandeza associada aos materiais chamada permeabilidade magnética, μ. A 
permeabilidade magnética de um material é uma medida da facilidade com que as linhas 
de campo podem atravessar um dado material. 
A permeabilidade magnética do vácuo, μ0 vale: 
 
A unidade de permeabilidade também pode ser expressa por [T.m/A], ou ainda 
[H/m]. 
Assim: H=Wb/A. 
A permeabilidade magnética de todos os materiais não magnéticos, como o cobre, 
alumínio, madeira, vidro e ar é aproximadamente igual à permeabilidade magnética do 
vácuo. Os materiais que têm a permeabilidade um pouco inferior à do vácuo são 
chamados materiais diamagnéticos. Aqueles que têm a permeabilidade um pouco maior 
que a do vácuo são chamados materiais paramagnéticos. Materiais magnéticos como o 
ferro, níquel, aço, cobalto e ligas desses materiais têm permeabilidade de centenas e até 
milhares de vezes maiores que o vácuo. Esses materiais são conhecidos como materiais 
ferromagnéticos. 
A relação entre a permeabilidade de um dado material e a permeabilidade do 
vácuo é chamada de permeabilidade relativa, assim: 
 
onde: 
μr: permeabilidade relativa de um material (adimensional) 
μm: permeabilidade de um dado material 
μ0: permeabilidade do vácuo 
Geralmente, μr ≥ 100 para os materiais ferromagnéticos, valendo entre 2.000 e 
6.000 nos materiais de máquinas eléctricas e podendo chegar até a 100.000 em materiais 
especiais. Para os não magnéticos μr ≅ 1. A tabela 1 mostra uma relação simplificada 
dos valores de permeabilidade relativa dos materiais. A tabela 2 apresenta valores de 
permeabilidade magnética relativa para alguns materiais ferromagnéticos utilizados em 
dispositivos eletro-eletrônicos. 
Observação: devemos ter em mente que a permeabilidade de um material 
ferromagnético não é constante e seu valor depende da densidade de campo magnético a 
que está submetido. Esse assunto será estudado no item sobre curvas de magnetização. 
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1.2.6. Relutância Magnética 
A relutância magnética é a medida da oposição que um meio oferece ao 
estabelecimento e concentração das linhas de campo magnético. A relutância magnética 
é determinada pela equação: 
 
onde: 
ℜ: relutância magnética, [Ae/Wb]; 
l: comprimento médio do caminho magnético das linhas de campo no meio, [m]; 
μ: permeabilidade magnética do meio, [Wb/A.m]; 
A: área da secção transversal, [m2]. 
A relutância magnética é uma grandeza análoga à resistência eléctrica (R) que 
pode ser determinada pela equação que relaciona a resistividade e as dimensões de um 
material: 
 
Podemos notar que a resistência eléctrica e a relutância magnética são 
inversamente proporcionais à área, ou seja, maior área menor resistência ao fluxo de 
cargas eléctricas e ao fluxo de linhas de campo. Estas grandezas são diretamente 
proporcionais ao comprimento do material. Entretanto a relutância é inversamente 
proporcional à permeabilidade magnética, enquanto a resistência é diretamente 
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proporcional à resistividade eléctrica. Materiais com alta permeabilidade, como os 
ferromagnéticos, têm relutâncias muito baixas e, portanto, proporcionam grande 
concentração das linhas de campo magnético. 
Quando dois materiais de permeabilidades diferentes apresentam-se como 
caminho magnético para as linhas do campo, estas se dirigem para o de maior 
permeabilidade. 
Isto é chamado de princípio da relutância mínima. Na Figura 1.48, podemos 
perceber que o ferro, de alta permeabilidade, representa um caminho magnético de 
menor relutância para as linhas de campo, concentrando-as. Já o vidro, de baixa 
permeabilidade, não proporciona grande concentração das linhas de campo. Isso 
representa um caminho magnético de alta relutância. 
 
Figura 1.48: Campos magnéticos de alta e baixa relutância. 
1.2.7. FENÔMENOS ELECTROMAGNÉTICOS 
Descoberta de Oersted 
Em 1820, um professor e físico dinamarquês chamado Hans Christian Oersted 
observou que uma corrente eléctrica era capaz de alterar a direção de uma agulha 
magnética de uma bússola. Para o experimento mostrado na Figura 1.49, quando havia 
corrente eléctrica no fio, Oersted verificou que a agulha magnética se movia, 
orientando-se numa direção perpendicular ao fio, evidenciando a presença de um campo 
magnético produzido pela corrente. Este campo originava uma força magnética capaz de 
mudar a orientação da bússola. Este campo magnético de origem elétrica é chamado de 
campo electromagnético. 
Interrompendo-se a corrente, a agulha retornava a sua posição inicial, ao longo da 
direção norte-sul. 
 
Figura 1.49: Experiência Oersted. 
 
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Conclusão de Oested: 
Todo condutor percorrido por corrente eléctrica, cria em torno de si um campo 
electromagnético. Em decorrência dessas descobertas, foi possível estabelecer o 
princípio básico de todos os fenômenos magnéticos: 
 
1.2.8. Campo Magnético criado por Corrente Eléctrica 
No mesmo ano que Oersted comprovou a existência de um campo magnético 
produzido pela corrente elétrica, o cientista francês André Marie Ampère, preocupou-se 
em descobrir as características desse campo. Nos anos seguintes, outros pesquisadores 
como Michael Faraday, Karl Friedrich Gauss e James Clerk Maxwell continuaram 
investigando e desenvolveram muitos dos conceitos básicos do eletromagnetismo. 
As linhas de campo magnético são linhas envoltórias concêntricas e orientadas, 
como mostra a Figura 1.50. O sentido das linhas de campo magnético produzido pela 
corrente no condutor é dada pela Regra de Ampère. A Regra de Ampère, também 
chamada de Regra da Mão Direita é usada para determinar o sentido das linhas do 
campo magnético, considerando-se o sentido convencional da corrente eléctrica. 
 
Figura 1.50: Linhas de campo magnético criado por uma corrente eléctrica: 
concêntricas. 
Regra de Ampère – Regra da mão direita: Com a mão direita envolvendo o 
condutor e o polegar apontando para o sentido convencional da corrente elétrica, os 
demais dedos indicam o sentido das linhas de campo que envolvem o condutor. 
Para a representação do sentido das linhas de campo ou de um vector qualquer 
perpendicular a um plano (como o plano do papel) utiliza-se a seguinte simbologia: 
 : representa um fio, uma linha de campo ou um vetor com direção perpendicular 
ao plano, com sentido de saída deste plano. 
 : representa um fio, uma linha de campo ou um vetor com direção perpendicular 
ao plano, com sentido de entrada neste plano. 
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O campo magnético gerado por um condutor percorrido por corrente pode ser 
representado por suas linhas desenhadas em perspectiva, ou então com a simbologia 
apresentada, como mostra a Figura 151. 
 
Figura 151: Simbologia para representação do sentido das linhas de campo no 
plano. 
1.2.9. Fontes de Campo Magnético 
Além dos ímãs naturais (magnetita) e os ímãs permanentes feitos de materiais 
magnetizados, é possível gerar campos magnéticos através da corrente elétrica em 
condutores. Se estes condutores tiverem a forma de espiras ou bobinas, pode-se gerar 
campos magnéticos muito intensos. 
Campo Magnético gerado em torno de um Condutor Rectilíneo 
A intensidade do campo magnético gerado em torno de um condutor retilíneo 
percorrido por corrente elétrica depende da intensidade dessa corrente. Uma corrente 
intensa produzirá um campo intenso, com inúmeras linhas de campo que se distribuem 
até regiões bem distantes do condutor. Uma corrente menos intensa produzirá poucas 
linhas numa região próxima ao condutor, conforme mostrado na Figura 1.52. 
 
Figura 1.52: Representação do campo magnético em função da corrente elétrica. 
O vector B que representa a densidade de campo magnético ou densidade de 
fluxo, em qualquer ponto, apresenta direção sempre tangente às linhas de campo no 
ponto considerado. Isso pode ser comprovado pela observação da orientação da agulha 
de uma bússola em torno de um condutor percorrido por corrente elétrica, como mostra 
a Figura 1.53. 
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Figura 1.53: Vector campo magnético tangente às linhas de campo. 
A densidade de campo magnético B num ponto p considerado é diretamente 
proporcional à corrente no condutor, inversamente proporcional à distância entre o 
centro do condutor e o ponto e depende do meio, conforme mostrado na equação 
matemática: 
 
onde: 
B: densidade de campo magnético num ponto p, [T]; 
r: distância entre o centro do condutor e o ponto p considerado, [m]; 
Ι: intensidade de corrente no condutor, [A]; 
μ: permeabilidade magnética do meio, [T.m/A]. 
Permeabilidade magnética no vácuo: 
 
Esta equação é válida para condutores longos, ou seja, quando a distância r for 
bem menor que o comprimento do condutor (r<<ℓ). 
Campo Magnético gerado no centro de uma Bobina Longa ou Solenóide 
Um solenóide é uma bobina longa obtida por um fio condutor isolado e enrolado 
em espiras iguais, lado a lado, e igualmente espaçadas entre si, como mostra a Figura 
1.54. Quando a bobina é percorrida por corrente, os campos magnéticos criados em cada 
uma das espiras que formam o solenóide se somam, e o resultado final é idêntico a um 
campo magnético de um imã permanente em forma de barra. Podemos observar que as 
linhas de campo são concentradas no interior do solenóide. 
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Figura 1.54: Representação do campo magnético gerado por um solenóide 
percorrido por corrente. 
Entre duas espiras os campos se anulam pois têm sentidos opostos. No centro do 
solenoide os campos se somam e no interior do solenóide o campo é praticamente 
uniforme. Quanto mais próximas estiverem as espiras umas das outras, mais intenso e 
mais uniforme será o campo magnético. 
A densidade do campo magnético (densidade de fluxo magnético) no centro de 
um solenoide é expresso por: 
 
onde: 
B: densidade de campo magnético no centro da espira circular, [T]; 
N: número de espiras do solenóide; 
Ι: intensidade de corrente no condutor, [A]; 
l: comprimento longitudinal do solenóide, [m]; 
μ: permeabilidade magnética do meio, [T.m/A]. 
O sentido das linhas de campo pode ser determinado por uma adaptação da regra 
da mão direita, como ilustra a Figura 1.55. 
 
Figura 1.55:Regra da mão direita aplicada a uma bobina. 
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Um Eletroímã consiste de uma bobina enrolada em torno de um núcleo de 
material ferromagnético dealta permeabilidade (ferro doce, por exemplo) para 
concentrar o campo magnético. Cessada a corrente ele perde a magnetização, pois o 
magnetismo residual é muito baixo. 
1.2.10. Força Magnetizante (Campo Magnético Inductor) 
Se em uma dada bobina for mantida a corrente constante e mudado o material do 
núcleo (permeabilidade μ do meio), a densidade de fluxo magnético no interior da 
bobina será alterada em função da permeabilidade magnética do meio. Pode ser 
chamado de vector campo magnético indutor ou vetor força magnetizante (H) ao campo 
magnético induzido (gerado) pela corrente elétrica na bobina, independentemente da 
permeabilidade magnética do material do núcleo (meio). 
O vetor densidade de campo magnético na bobina pode ser dado por: 
 
Resolvendo: 
 
Definindo: 
 
O módulo do vetor campo magnético indutor ou vetor força magnetizante H numa 
bobina pode ser dado por: 
 
onde: 
H: campo magnético indutor, [Ae/m]; 
N: número de espiras do solenóide; 
Ι: intensidade de corrente no condutor, [A]; 
l: comprimento do núcleo magnético, [m]. 
O vector H tem as mesmas características de orientação do vetor densidade de 
campo magnético (B), porém independe do tipo de material do núcleo da bobina. 
Portanto, pode-se concluir que os vetores densidade de campo magnético e campo 
magnético indutor se relacionam pela equação: 
 
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Isso significa que uma dada bobina percorrida por uma dada corrente produz uma 
dada força magnetizante ou campo magnético indutor. Ao variar o valor da 
permeabilidade magnética do meio (alterando o material do núcleo da bobina, por 
exemplo) a densidade de campo magnético varia para esta mesma bobina. Quanto maior 
a permeabilidade magnética μ do meio, o efeito da força magnetizante no núcleo será 
tanto maior, ou seja, maior a densidade de campo magnético induzida no núcleo. 
Portanto: 
 
Analogamente, podemos determinar a força magnetizante H produzida por um 
condutor rectilíneo: 
 
Deve-se ter em mente que a permeabilidade magnética de um material 
ferromagnético não é constante, é uma relação entre a força magnetizante e a densidade 
de fluxo magnético resultante, sendo esse comportamento dado pela curva de 
magnetização do material. 
 
Figura 1.56: Curva de magnetização para um determinado material 
ferromagnético. 
1.2.11. Força Magneto-Motriz 
A força magneto-motriz (fmm) é definida como a causa da produção do fluxo no 
núcleo de um circuito magnético. Assim, a força magneto-motriz produzida por uma 
bobina é dada pelo produto, 
 
onde: 
fmm: força magneto-motriz, [Ae]; 
N: número de espiras do solenóide; 
Ι: intensidade de corrente no condutor, [A]. 
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Se uma bobina, com um certo número de Ampère-espira (fmm), for esticada até 
atingir o dobro do seu comprimento original (dobro do valor de l), a força magnetizante 
(H) e a densidade de fluxo (B), terá a metade do seu valor original, pois: 
 
Finalmente, 
 
onde: 
H: força magnetizante ou campo magnético indutor, [Ae/m]; 
l: comprimento médio do caminho magnético, [m]. 
A relutância magnética é dada por: 
 
 
 
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onde: 
fmm: força magneto-motriz, [Ae]; 
ɸ: fluxo magnético, [Wb]; 
R: relutância magnética, [Ae/Wb]. 
1.2.12. Lei de Ampère 
A Lei de Ampère expressa a relação geral entre uma corrente elétrica em um 
condutor de qualquer forma e o campo magnético por ele produzido. Esta lei foi é válida 
para qualquer situação onde os condutores e os campos magnéticos são constantes e 
invariantes no tempo e sem a presença de materiais magnéticos. 
Para um condutor retilíneo, equação é a mesma que determina a densidade de 
campo magnético em um dado ponto p em torno de um condutor retilíneo: 
 
1.2.13. Força Eletromagnética 
Cargas eléctricas em movimento (corrente eléctrica) criam um campo 
eletromagnético, o que é visualizado pois este campo exerce uma força magnética na 
agulha de uma bússola. No sentido reverso, Oersted confirmou, com base na terceira lei 
de Newton, que um campo magnético de um ímã exerça uma força em um condutor 
conduzindo corrente. 
Quando cargas eléctricas em movimento são inseridas em um campo magnético, 
há uma interação entre o campo e o campo originado pelas cargas em movimento. Essa 
interação é manifestada por forças que agem na carga eléctrica, denominadas forças 
eletromagnéticas. 
 
Força Eletromagnética sobre um Condutor Retilíneo 
Para um condutor retilíneo colocado entre os pólos de um ímã em forma de 
ferradura (Figura 1.57), quando este condutor for percorrido por corrente uma força é 
exercida sobre ele. Esta força não age na direção dos pólos do ímã, mas na direção 
perpendicular às linhas do campo magnético. Se o sentido da corrente for invertido, a 
direção da força continua a mesma, mas há uma inversão no sentido da força exercida 
sobre o condutor. 
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Figura 1.57: Sentido da força eletromagnética sobre o condutor. 
Assim, um condutor percorrido por corrente elétrica submetido a um campo 
magnético sofre a ação de uma força eletromagnética. Se aumentarmos a intensidade da 
corrente I, aumentaremos a intensidade da força F exercida sobre o condutor. Da mesma 
forma, um campo magnético mais intenso (maior densidade B) provoca uma 
intensidade de força maior. 
Também pode ser comprovado que se o comprimento (l) ativo do condutor 
(atingido pelas linhas de campo) for maior, a intensidade da força sobre ele será maior. 
A intensidade da força eletromagnética exercida sobre o condutor também 
depende do ângulo entre a direção da corrente e a direção do vetor densidade de campo 
magnético, como mostra a Figura 1.58. 
 
Figura 1.58: Força eletromagnética sobre um condutor retilíneo. 
Portanto, considerando um condutor retilíneo de comprimento l sob a ação de um 
campo magnético uniforme B, percorrido por uma corrente elétrica de intensidade Ι e 
sendo θ o ângulo entre B e a direção do condutor, o módulo do vector força magnética 
que age sobre o condutor pode ser dado por: 
 
onde: 
F: força eletromagnética, [N]; 
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I: corrente elétrica, [A]; 
l: comprimento ativo do condutor sob efeito do campo magnético, [m]; 
B: densidade de campo magnético ou densidade de fluxo magnético [T]; 
θ: ângulo entre as linhas de campo e a superfície longitudinal do condutor [o ou 
rad]. 
Por essa equação, quando o campo for perpendicular à corrente (θ=90º) a força 
exercida sobre o condutor será máxima, e quando o campo e a corrente tiverem a 
mesma direção (θ=0º) a força sobre o condutor será nula. Assim, a direção da força é 
sempre perpendicular à direção da corrente e também perpendicular à direção do campo 
magnético. 
A direção e o sentido da força que o condutor sofre, são determinados com os 
dedos da mão direita dispostos ortogonalmente entre si para determinar a direção e o 
sentido da força eletromagnética. O polegar aponta na direção da corrente, o indicador 
na direção do campo magnético, o dedo médio irá apontar a direção da força, desde que 
esses três dedos façam um ângulo de noventa graus entre si. A figura 1.59 ilustra a 
situação descrita. 
 
Figura 1.59: Determinação do sentido da força eletromagnética. 
1.2.14. Indução Eletromagnética 
Como visto, em 1820 Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz campo 
magnético. 
A partir dessa descoberta, o inglês Michael Faraday e o americano Joseph Henry 
se dedicaram a obter o efeito inverso,