Limites Infinitos

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Limites Infinitos
Objetivo: Esta sessa˜o dedica-se a definir e atribuir algum significado a` ideia de dizer que f(x) crece
ilimitadamente, quando x se aproxima de uma nu´mero real a e discutir Ass´ıntotas Verticais.
Para melhor entender os conceitos que sera˜o discutidos e´ relevante introduzir de maneira intuitiva a ideia
de infinito. Com este fim, e´ interessante que fac¸amoms a seguinte ‘brincadeira’:
• Pense em um nu´mero real N , positivo, ‘bem grande’. Pensou? Pode-se dizer que o infinito e´ maior que
este nu´mero.
• Pense em um nu´mero real N , positivo, ‘maior do que o anteriror’. Pensou? Pode-se dizer que o infinito
e´ maior que este nu´mero.
Poder´ıamos seguir com este brincadeira sem fim, ou seja, na˜o existe um nu´mero real que limite o infinito.
Enta˜o, conclui-se que ∞ e´ um s´ımbolo que representa algo que na˜o tem limitac¸a˜o, ou seja, e´ ilimitado, e
na˜o e´ um elemento do conjunto dos nu´meros reais.
A noc¸a˜o de −∞, segue as mesmas ideias.
• Pense em um nu´mero real N , negativo, ‘bem grande em mo´dulo’. Pensou? Pode-se dizer que o menos
infinito e´ menor que este nu´mero.
Para introduzir a ideia de que f(x) cresce ilimitadamente (dizer que f(x) cresce ilimitadamente, equivale
a dizer que f(x) −→ +∞), quando x tende ao nu´mero real a, vamos iniciar pensando no caso da func¸a˜o
f(x) =
1
(x− 2)2 . Observe inicialmente que Dom(f) = R − {2}, mas, dado qualquer intervalo aberto
I contendo o nu´mero 2, existe x ∈ I − {2}, tal que x ∈ Dom(f). Enta˜o, faz sentido questionar sobre
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
1
(x− 2)2 .
Observando a figura a segir, que descreve o gra´fico da func¸a˜o f(x) =
1
(x− 2)2 , verifica-se facilmente que
f(x) aumenta ilimitadamente, conforme x se aproxima do nu´mero 2, tanto pela esquerda, quanto pela
direita. Em simbolozia matema´tica temos lim
x→2−
f(x) = +∞ e lim
x→2+
f(x) = +∞.
Mostra animac¸a˜o: Um-Sobre-Elevado-Quadrado
1
O pro´ximo passo e´ definir, com formalismo matema´tico, as noc¸o˜es introduzidas anteriormente, ou seja,
definir matematicamente o que significa dizer lim
x→a−
f(x) = +∞/ lim
x→a−
f(x) = −∞ e lim
x→b+
f(x) = +∞/
lim
x→b+
f(x) = −∞, e atribuir algum sinificado gra´fico aos limites anteriores.
Definic¸a˜o:
• Seja f uma func¸a˜o bem definida no intervalo aberto I contendo ponto a, exceto, possivlemente, em a.
Dizemos que a func¸a˜o f(x) cresce ilimitadamente (aumenta ilimitadamente), quando x tende ao nu´mero
real a pela esquerda, e denotamos por lim
x→a−
f(x) = +∞, se dado qualquer nu´mero real N positivo, existe
δ > 0, tal que, se x ∈ Dom(f) satisfaz que x ∈ (a− δ, a), enta˜o f(x) > N .
Dizer que f(x) > N , para qualquer N nu´mero real positivo, equivale a dizer que f(x) −→ +∞,
e, em palavras, equivale a dizer que f(x) cresce ilimitadamente, quando x se aproxima de a pela
esquerda.
• Seja f uma func¸a˜o bem definida no intervalo aberto I contendo ponto a, exceto, possivlemente, em a.
Dizemos que a func¸a˜o f(x) decresce ilimitadamente (diminui ilimitadamente), quando x tende ao nu´mero
real a pela esquerda, e denotamos por lim
x→a−
f(x) = −∞, se dado qualquer nu´mero real N negativo, existe
δ > 0, tal que, se x ∈ Dom(f) satisfaz que x ∈ (a− δ, a), enta˜o f(x) < N .
Dizer que f(x) < N , para qualquer N nu´mero real negativo, equivale a dizer que f(x) −→ −∞,
e, em palavras, equivale a dizer que f(x) diminui ilimitadamente, quando x se aproxima de a pela
esquerda.
• Seja f uma func¸a˜o bem definida no intervalo aberto I contendo ponto b, exceto, possivlemente, em b.
Dizemos que a func¸a˜o f(x) cresce ilimitadamente (aumenta ilimitadamente), quando x tende ao nu´mero
real b pela direita, e denotamos por lim
x→b+
f(x) = +∞, se dado qualquer nu´mero real N positivo, existe
δ > 0, tal que, se x ∈ Dom(f) satisfaz que x ∈ (b, b+ δ, ), enta˜o f(x) > N .
Dizer que f(x) > N , para qualquer N nu´mero real positivo, equivale a dizer que f(x) −→ +∞,
e, em palavras, equivale a dizer que f(x) aumenta ilimitadamente, quando x se aproxima de b pela
direita.
• Seja f uma func¸a˜o bem definida no intervalo aberto I contendo ponto b, exceto, possivlemente, em b.
Dizemos que a func¸a˜o f(x) decresce ilimitadamente (diminui ilimitadamente), quando x tende ao nu´mero
real b pela direita, e denotamos por lim
x→b+
f(x) = −∞, se dado qualquer nu´mero real N negativo, existe
δ > 0, tal que, se x ∈ Dom(f) satisfaz que x ∈ (b, b+ δ, ), enta˜o f(x) < N .
2
Dizer que f(x) < N , para qualquer N nu´mero real negativo, equivale a dizer que f(x) −→ −∞,
e, em palavras, equivale a dizer que f(x) diminui ilimitadamente, quando x se aproxima de b pela
direita.
Teorema:
Seja r um nu´mero real positivo. Enta˜o:
(a) Se r e´ par, enta˜o lim
x→0−
1
xr
= +∞, e se r e´ ı´mpar, enta˜o lim
x→0−
1
xr
= −∞.
Para ter um melhor entendimento do enunciado, para o caso n par, imagine n = 2. Neste caso,
o limite torna-se lim
x→0−
1
x2
. Como, f(x) =
1
x2
e´ positiva, para todo x ∈ R− {0},
inclusive para x > 0, a func¸a˜o f so´ pode ‘estourar’ para +∞.
Para o caso n ı´mpar, basta imaginar n = 3. Neste caso,
o limite torna-se lim
x→0−
1
x3
. Como x→ 0−, o que significa que x < 0. Enta˜o a func¸a˜o
f(x) =
1
x3
e´ negativa, para todo x negativo. Logo, a func¸a˜o f so´ pode ‘estourar’ para −∞.
(b) lim
x→0+
1
xr
= +∞, independentemente de r ser par ou ı´mpar.
Pergunta: O que um dos limites anteriores significa graficamente?
• Suponha que lim
x→a−
f(x) = +∞ e lim
x→a+
f(x) = +∞, enta˜o o comportamento do gra´fico da func¸a˜o f e´ como
ilustra a figura a seguir, em uma vizinhanc¸a do ponto a.
3
• Suponha que lim
x→a−
f(x) = +∞ e lim
x→a+
f(x) = −∞, enta˜o o comportamento do gra´fico da func¸a˜o f e´ como
ilustra a figura a seguir, em uma vizinhanc¸a do ponto a.
• Suponha que lim
x→a−
f(x) = −∞ e lim
x→a+
f(x) = −∞, enta˜o o comportamento do gra´fico da func¸a˜o f e´
como ilustra a figura a seguir, em uma vizinhanc¸a do ponto a.
4
• Suponha que lim
x→a−
f(x) = −∞ e lim
x→a+
f(x) = +∞, enta˜o o comportamento do gra´fico da func¸a˜o f e´ como
ilustra a figura a seguir, em uma vizinhanc¸a do ponto a.
Em qualquer dos casos anteriores, dizemos que a reta vertical x = a e´ uma Ass´ıntota Vertical para o
gra´fico da func¸a˜o f . A definic¸a˜o formal de Ass´ıntota Vertical esta´ descrita a seguir.
Definic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o bem definida em qualquer intervalo aberto I contendo o ponto a, exceto,
possivelmente, em x = a. Dizemos que a reta x = a e´ Ass´ıntota Vertical para o gra´fico da func¸a˜o f, se vale
uma das afirmac¸o˜es a seguir (Basta que uma frase seja verdadeira. Na˜o precisa que mais de uma frase seja
verdadeira):
(a) lim
x→a−
f(x) = −∞; (b) lim
x→a−
f(x) = +∞; (c) lim
x→a+
f(x) = −∞; (d) lim
x→a+
f(x) = +∞.
Exemplo 1 Calcule lim
x→2−
1
(x− 2)2 e limx→2+
1
(x− 2)2 .
Soluc¸a˜o:
Considere a func¸a˜o f(x) =
1
(x− 2)2 . Observe que Dom(f) = R− {2}, pois x = 2, anula o denominador.
Isso nos conduz a indagar: O que ocorre com o comportamento do gra´fico de f(x), quando x esta´
muito pro´ximo de 2?
Por este motivo que a proposta do enunciado e´ calcular lim
x→2−
1
(x− 2)2 e limx→2+
1
(x− 2)2 .
5
A fim de apresentar uma resposta com formalismo matema´tico, se faz necessa´rio utilizar uma das
afirmac¸o˜es do Teorema anterior. Com este fim e´ importante estar sob as condic¸o˜es do Teorema.
Para tanto se e´ preciso usar um tipo de substituic¸a˜o.
Considere a substituic¸a˜o u = u(x) = x− 2. Note que
lim
x→2−
u(x) = lim
x→2−
(x− 2) = 0, mas x→ 2− ⇒ x < 2⇒ x− 2 < 0⇒ u < 0.
Portanto, u→ 0−, quando x→ 2−.
E mais,
lim
x→2+
u(x) = lim
x→2+
(x− 2) = 0, mas x→ 2+ ⇒ x > 2⇒ x− 2 > 0⇒ u > 0.
Portanto, u→ 0+, quando x→ 2+.
Temos que,
• lim
x→2−
1
(x− 2)2
u=x−2 e u→0−, qdo x→2−
============ limu→0−
1
u2
item (a) do Teorema, com r par
============= +∞.
Portanto, lim
x→2−
1
(x− 2)2 = +∞
Temos que,
• lim
x→2+
1
(x− 2)2
u=x−2 e u→0+, qdo x→2+
============ lim
u→0+
1
u2
item (b) do Teorema
========= +∞.
Portanto, lim
x→2+
1
(x− 2)2 = +∞
Exerc´ıcio 1 Determine se a func¸a˜o f(x) =
2x− 1
x2 − 9 , possui Ass´ıntotas Verticais, e, em caso aformativo,
quais sa˜o elas.
Soluc¸a˜o:
6
Considerac¸o˜es Preliminares
Observe que o Domı´nio da func¸a˜o f(x) =
2x− 1
x2 − 9 e´ R− {−3, 3}, pois x = −3 e x = 3
anulam o denominador.
Desta forma, as retas x = −3 e x = 3 sa˜o candidatas a` Ass´ıntotas Verticais.
Para verificar se realmente as retas x = −3 e x = 3 sa˜o Ass´ıntotas Verticais, deve-se verificar
o que ocorre com os limites
lim
x→−3−
2x− 1
x2 − 9 , limx→−3+
2x− 1
x2 − 9 , limx→3−
2x− 1
x2 − 9 e limx→3+
2x− 1
x2 − 9 .
Para formalizar a resposta, deve-se utilizar o Teorema. Como no caso do exemplo anterior, vamos
utilizar uma substituic¸a˜o.
Considere a substituic¸a˜o u = u(x) = x2 − 9. Note que
• lim
x→−3−
u(x) = lim
x→−3−
x2 − 9 = (−3)2 − 9 = 0.
Como x→ −3−, observando a figura abaixo, percebe-se que (x2 − 9)→ 0+, ou seja,
x→ −3− ⇒ u→ 0+.
De maneira totalmente ana´loga, obtemos que x→ −3+ ⇒ u→ 0−, x→ 3− ⇒ u→ 0− e
x→ 3+ ⇒ u→ 0+. (Pense nestas treˆs u´ltimas afirmac¸o˜es)
Estudo do Sinal de uma Para´bola
Temos que,
• lim
x→−3−
2x− 1
x2 − 9 = limx→−3−(2x− 1)
(
1
x2 − 9
)
(∗1)
= (−7)(+∞) = −∞
Portanto, lim
x→−3−
2x− 1
x2 − 9 = −∞
• lim
x→−3+
2x− 1
x2 − 9 = limx→−3+(2x− 1)
(
1
x2 − 9
)
(∗2)
= (−7)(−∞) = +∞
7
Portanto, lim
x→−3+
2x− 1
x2 − 9 = +∞
• lim
x→3−
2x− 1
x2 − 9 = limx→3−(2x− 1)
(
1
x2 − 9
)
(∗3)
= (5)(−∞) = −∞
Portanto, lim
x→3−
2x− 1
x2 − 9 = −∞
• lim
x→3+
2x− 1
x2 − 9 = limx→3+(2x− 1)
(
1
x2 − 9
)
(∗4)
= (5)(+∞) = +∞
Portanto, lim
x→3+
2x− 1
x2 − 9 = +∞
Janela de Explicac¸o˜es
(∗1) O limite lim
x→−3−
2x− 1
x2 − 9 foi encarado como os dois limites,
lim
x→−3−
(2x− 1) e lim
x→−3−
(
1
x2 − 9
)
.
• lim
x→−3−
(2x− 1) Fazer x = -3 e finalizar as contas============== 2(−3)− 1 = −7⇒ lim
x→−3−
(2x− 1) = −7
• lim
x→−3−
(
1
x2 − 9
)
u=x2−9, x→−3−⇒u→0+
============ lim
u→0+
(
1
u
)
Usar item (b) do Teorema
=========== +∞⇒ lim
x→−3−
(
1
x2 − 9
)
= +∞
(∗2) O limite lim
x→−3+
2x− 1
x2 − 9 foi encarado como os dois limites,
lim
x→−3+
(2x− 1) e lim
x→−3+
(
1
x2 − 9
)
.
• lim
x→−3+
(2x− 1) Fazer x = -3 e finalizar as contas============== 2(−3)− 1 = −7⇒ lim
x→−3+
(2x− 1) = −7
• lim
x→−3+
(
1
x2 − 9
)
u=x2−9, x→−3+⇒u→0−
============ lim
u→0−
(
1
u
)
Usar item (a) do Teorema, com r = 1
=============== −∞⇒
8
lim
x→−3+
(
1
x2 − 9
)
= −∞
(∗3) O limite lim
x→3−
2x− 1
x2 − 9 foi encarado como os dois limites,
lim
x→3−
(2x− 1) e lim
x→3−
(
1
x2 − 9
)
.
• lim
x→3−
(2x− 1) Fazer x = 3 e finalizar as contas============== 2(3)− 1 = 5⇒ lim
x→3−
(2x− 1) = 5
• lim
x→3−
(
1
x2 − 9
)
u=x2−9, x→3−⇒u→0−
============ lim
u→0−
(
1
u
)
Usar item (a) do Teorema, com r=1
=============== −∞⇒
lim
x→3−
(
1
x2 − 9
)
= −∞
(∗4) O limite lim
x→3+
2x− 1
x2 − 9 foi encarado como os dois limites,
lim
x→3+
(2x− 1) e lim
x→3+
(
1
x2 − 9
)
.
• lim
x→3+
(2x− 1) Fazer x = 3 e finalizar as contas============== 2(3)− 1 = 5⇒ lim
x→3+
(2x− 1) = 5
• lim
x→3+
(
1
x2 − 9
)
u=x2−9, x→3+⇒u→0+
============ lim
u→0+
(
1
u
)
Usar item (b) do Teorema
========== +∞⇒
lim
x→3+
(
1
x2 − 9
)
= +∞
Concluso˜es:
• Como lim
x→−3−
2x− 1
x2 − 9 = −∞ e limx→−3+
2x− 1
x2 − 9 = +∞, pela definic¸a˜o de Ass´ıntota Vertical, temos que a reta
x = −3 e´ uma Ass´ıntota Vertical para o gra´fico da func¸a˜o f .
• Analogamente, lim
x→3−
2x− 1
x2 − 9 = −∞ e limx→3+
2x− 1
x2 − 9 = +∞, pela definic¸a˜o de Ass´ıntota Vertical, temos que
a reta x = 3 e´ uma Ass´ıntota Vertical para o gra´fico da func¸a˜o f .
9
Interpretac¸o˜es gra´ficas dos resultados obtidos:
• Graficamente, os limites lim
x→−3−
2x− 1
x2 − 9 = −∞ e limx→−3+
2x− 1
x2 − 9 = +∞, implicam que o comportamento do
gra´fico de f em uma vizinhanc¸a do ponto x = −3 e´ como ilustra a figura a seguir.
• Graficamente, os limites lim
x→3−
2x− 1
x2 − 9 = −∞ e limx→3+
2x− 1
x2 − 9 = +∞, implicam que o comportamento do
gra´fico de f em uma vizinhanc¸a do ponto x = −3 e´ como ilustra a figura a seguir.
10
• Reunindo as informac¸o˜es, obtemos uma figura como a seguir.
• Gra´fico Completo: Nesta figura, a linha trac¸ejada representa uma ideia de como ‘completar’ a figura
anterior a fim de obter um esboc¸o do comportamento do gra´fico da func¸a˜o f em todo seu domı´nio.
11
Quais ideias e argumentac¸o˜es matema´ticas podem ser utilizadas para ‘completar ’ a figura
Observando a figura, verifica-se que f(x) =
2x− 1
x2 − 9 :
• e´ negativa a` esquerda de x = −3;
• tem partes negativas e partes positivas entre x = −3 e x = 3;
• e´ positiva a` direita de x = 3.
Como determinar isso matematicamente? Estudando o sinal da func¸a˜o f(x) =
2x− 1
x2 − 9 .
Para estudar o sinal da func¸a˜o f(x), deve-se estudar, separadamente, o sinal das expresso˜es
2x− 1 (que representa uma RETA) e x2 − 9 (que representa uma PARA´BOLA), e,
em seguida produzir o Quadro de Sinais, obtendo o sinal do quociente
2x− 1
x2 − 9 .
• Estudo do sinal da expressa˜o y = 2x− 1.
Como y = 2x− 1 e´ uma RETA, basta fazer uma figura bem simples como a seguir, e concluir
qual e´ o sinal da expressa˜o 2x− 1(2x− 1 = 0⇔ x = 1/2).
Estudo do Sinal da Reta y = 2x− 1
Assim,
• 2x− 1 < 0⇔ x < 1/2
• 2x− 1 > 0⇔ x ≥ 1/2.
• Estudo do sinal da PARA´BOLA y = x2 − 9. Basta voltar e observar a figura
Estudo do Sinal de uma Para´bola e concluir que:
• x2 − 9 < 0⇔ −3 < x < 3
• x2 − 9 > 0⇔ x < −3 ou x > 3
De posse destas informac¸o˜es, basta montar o Quadro de Sinais, como descrito a seguir.
12
Quadro de Sinais
x < −3 −3 < x < 1/2 1/2 ≤ x < 3 x > 3 Expressa˜o
− − + + y = 2x− 1
+ − − + y = x2 − 9
− + − + f(x) = 2x− 1
x2 − 9
Assim,
• f(x) < 0⇔ x < −3
• f(x) > 0⇔ −3 < x < 1/2
• f(x) ≤ 0⇔ 1/2 ≤ x < 3
• f(x) > 0⇔ x > 3
Observe que com as informac¸o˜es obtidas por meio do Quadro de Sinais, juntamente com as informac¸o˜es
e interpretac¸o˜es gra´ficas obtidas por meio dos Limites e´ poss´ıvel fazer uma figura que representa bem o
comportamento do gra´fico de f .
Exerc´ıcio 2 Determine se a func¸a˜o f(x) =
√
x2 − 4
x− 2 , possui Ass´ıntotas Verticais, e, em caso aformativo,
quais sa˜o elas.
Soluc¸a˜o:
O primeiro passo e´ determinar o Dom(f) para ter uma desconfianc¸a de quais sa˜o as poss´ıveis
candidatas a` Ass´ıntotas Verticais.
Como a lei de formac¸a˜o da func¸a˜o envolve a expressa˜o
√
x2 − 4, deve-se que ter
x2 − 4 ≥ 0. A fim de determinar para quais valores de x tem-se que x2 − 4 ≥ 0,
deve-se estudar o sinal da Para´bola y = x2 − 4. Observando a figura a seguir, verifica-se que:
• x2 − 4 ≥ 0⇔ x < −2 ou x > 2;
• x2 − 4 < 0⇔ −2 < x < 2.
Estudo do Sinal da Para´bola y = x2 − 4
13
Ale´m da expressa˜o
√
x2 − 4, no denominador da lei de formac¸a˜o da func¸a˜o f ocorre a expressa˜o x− 2,
enta˜o deve-se ter que x− 2 6= 0⇔ x 6= 2.
Desta forma, Dom(f) = (−∞, −2] ∪ (2, +∞).
Observe que somente x = 2 anula o denominador. Logo, a u´nica candidata a` Ass´ınto Vertical e´ a
reta x = 2.
Por conta do Dom(f) so´ podemos nos aproximar de 2 pela direita.
Mas, o que ocorre em x = -2? Substituindo x = −2 na lei de formac¸a˜o da func¸a˜o f ,
obtemos f(−2) = 0. (Ok. Isso na˜o e´ problema para no´s)
Temos que,
• lim
x→2+√
x2 − 4
x− 2
(∗1)
= lim
x→2+
√
x2 − 4
|x− 2|
(∗2)
= lim
x→2+
√
x2 − 4√
(x− 2)2
Colocar sobre a mesma raiz
============ lim
x→2+
√
x2 − 4
(x− 2)2 =
Decompor x2−4 em fatores
============ lim
x→2+
√
(x− 2)(x+ 2)
(x− 2)(x− 2)
Cancelar x−2
======= lim
x→2+
√
(x+ 2)
(x− 2)
(∗3)
=
= lim
x→2+
(
√
x+ 2)
(
1√
(x− 2)
)
(∗4)
= (2)(+∞) = +∞
Portanto, lim
x→2+
√
x2 − 4
x− 2 = +∞
Desta forma, a reta x = 2 e´ Ass´ıntota Vertical para o Gra´fico da func¸a˜o f .
14
Janela de Explicac¸o˜es
(∗1) Como x→ 2+ ⇒ x > 2⇒ x− 2 > 0⇒ |x− 2| = x− 2
(∗2) |x− 2| =
√
(x− 2)2. Usei a propriedade que diz |x| = √x2
(∗3) e (∗4) O limite lim
x→2+
√
(x+ 2)
(x− 2) foi separado em dois:
• lim
x→2+
√
(x+ 2) =
√
lim
x→2+
(x+ 2) =
√
2 + 2 =
√
4 = 2
• lim
x→2+
1√
x− 2
u=x−2⇒u→0+, qdo x→2+
=========== lim
u→0+
(
1
u1/2
)
= +∞
• Interpretac¸a˜o Gra´fica
Graficamente o limite lim
x→2+
√
x2 − 4
x− 2 = +∞ significa que o comportamento do gra´fico da func¸a˜o f em uma
vizinhanc¸a do ponto x = 2, a` direita de x = 2, e´ como ilustra a figura a seguir.
Algumas considerac¸o˜es
Para ajudar a plotar uma figura que representa bem o comportamento do gra´fico de f em todo seu domı´nio,
e´ importante fazer um extudo do sinal da func¸a˜o f . Como a lei de formac¸a˜o da func¸a˜o f envolve o Quo-
ciente das expresso˜es
√
x2 − 4 e x − 2, deve-se estudar o sinal de cada expressa˜o separadamente, e, em
seguida, montar o Quadro de Sinais.
• Estudo do sinal da expressa˜o y = x - 2
Como y = x− 2 e´ representado por meio de uma Reta, basta estudar o sinal da reta, como ilustra a figura
a seguir.
15
• Estudo do sinal da expressa˜o y2 − 4
O sinal desta expressa˜o ja´ foi discutido anteriormente. (Volte e olhe na janela logo no comec¸a da soluc¸a˜o)
Reunindo os estudos no Quadro de Sinais, temos
x < −2 −2 ≤ x < 2 x < 2 Expressa˜o
− − + y = x− 2
+ − + y = x2 − 4
− + + f(x) =
√
x2 − 4
x− 2
Portanto,
• x ≤ −2⇒ f(x) ≤ 0
• x > 2⇒ f(x) > 0
A figura a seguir descreve o comportamento do gra´fico de f . Observando a figura verifica-se que na˜o
ha´ gra´fico de func¸a˜o no intervalo (−2, 2]. Isso ocorre por conta do domı´nio da func¸a˜o, que e´ dado por
(−∞, −2] ∪ (2, +∞).
Bons Estudos!
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