livro de calculo

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE DOURADOS
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Notas de Aula - Parte II
Cálculo Diferencial e Integral I
Apostila destinada à disciplina de Cálculo Dife-
rencial e Integral I - Parte II, conteúdos de Cálculo
I. Curso de Licenciatura em Matemática, turma
2018.
Professora: Maristela Missio
Dourados, MS
2018
Apresentação
Estas notas são destinadas a complementar o material didático da disciplina Cálculo
Diferencial e Integral I, do curso de Licenciatura em Matemática, da UEMS/Unidade
Universitária de Dourados. A disciplina é oferecida anualmente na 1a Série, com carga
horária de 204 horas, compreendendo os conteúdos de Pré-Cálculo e Cálculo Diferencial e
Integral I. Os conteúdos da disciplina estão divididos em duas apostilas: Parte I contendo
os conteúdos do Pré-Cálculo e Parte II contendo os conteúdos do Cálculo como: limites;
derivadas e integrais de funções de uma variável real.
O Cálculo Diferencial e Integral, desenvolvido por Isaac Newton (1643 − 1727) e
Gottfried Leibniz (1646 − 1716) em trabalhos independentes, é um ramo importante da
matemática desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo
de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades. O “Cálculo” é uma
expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta
matemática usada para analisar, qualitativamente ou quantitativamente, variações que
ocorrem em fenômenos que abrigam uma ou mais componentes de natureza essencialmente
f́ısica.
O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou
Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral.
O conteúdo destas notas de aula foram produzidos com base em [1], [2], [3], [4], [5],
[6], e [7].
ii
Sumário
1 Limites e continuidade 1
1.1 Noção intuitiva de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definição precisa de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 O infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1 Primeiro limite fundamental: limite trigonométrico . . . . . . . . . 30
1.5.2 Segundo limite fundamental: limite exponencial . . . . . . . . . . . 31
1.5.3 Terceiro limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.4 Quarto limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.5 Quinto limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Funções cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.1 Propriedades das funções cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Exerćıcios: Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 A derivada 41
2.1 Taxas de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Derivada de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Continuidade de funções deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
iii
SUMÁRIO iv
2.5 A regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7 Derivação impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8 Derivadas sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9 Exerćıcios: Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.10 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Aplicações de derivadas 68
3.1 Máximos e mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Funções crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Teste da segunda derivada para extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Concavidade e ponto de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Construção de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 Regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Introdução a integração 87
4.1 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1 Integrais imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.2 Método da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.3 Método de integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2 O Teorema fundamental do cálculo (TFC) . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Cálculo da área de regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Caṕıtulo 1
Limites e continuidade
Todos os conceitos principais do cálculo - derivada, continuidade, integral, convergência
e divergência - são definidos em termos de limites. Neste Caṕıtulo, desenvolveremos
o conceito de limite, primeiro intuitivamente e depois formalmente, suas propriedades,
teoremas, limites no infinito e limites infinitos, sua relação com as asśıntotas de um
gráfico, assim como o conceito de funções cont́ınuas.
1.1 Noção intuitiva de limites
Consideremos uma função f (f : Df j R → R) definida em todo um intervalo aberto
contendo um número real x0, exceto talvez o próprio x0. Vamos estudar o comportamento
de f(x) para valores de x próximos do ponto x0. Tomamos o seguinte exemplo:
Exemplo 1.1 Seja f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela
sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o
valor correspondente de y.
Da tabela vemos que quando x estiver próximo de 1 (de qualquer lado de 1) f(x) estará
próximo de 3. De fato, podemos tomar os valores de f(x) tão próximos de 3 quanto
quisermos tomando x suficientemente próximo de 1. Expressamos isso dizendo que o
limite da função f(x) = 2x+ 1 quando x tende a 1 é igual a 3.
1
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 2
Figura 1.1:
Definição 1.1 (Intuitiva) Escrevemos
lim
x→x0
f(x) = L
e dizemos o limite de f(x) quando x tende a x0 é igual a L se pudermos obter
valores de f(x) arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente próximo de x0,
mas não necessariamente igual a x0.
Vamos analisar, de forma intuitiva, os diversos casos de limite de uma função, por
meio dos seguintes exemplos:
Exemplo 1.2 Seja y = 1− 1
x
, x ̸= 0.
Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas
e o gráfico da Figura 1.2 para constatar que: y → 1 quando x → ±∞. Denota-se
lim
x→+∞
(1− 1
x
) = 1 e lim
x→−∞
(1− 1
x
) = 1.
x 1 2 3 4 5 6 ... 500 ... 1000 ...
y 0 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 ... 499/500 ... 999/1000 ...
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 3
x −1 −2 −3 −4 −5 ... −100 ... −500 ...
y 2 3/2 4/3 5/4 6/5 ... 101/100 ... 501/500 ...
Figura 1.2:
Exemplo 1.3 A função y = x+ 1 tende para 2 quando x → 1.
De fato, intuitivamente, basta analisar as sucessões e o gráfico da Figura 1.3. Denota-se
lim
x→1
(x+ 1) = 2.
x 2 1, 5 1, 1 1, 01 1, 001... 1 ...
y 3 2, 5 2, 1 2, 01 2, 001 ... 2 ...
x 0, 5 0, 9 0, 99 0, 999 ... 1 ...
y 1, 5 1, 9 1, 99 1, 999 ... 2 ...
Figura 1.3:
Exemplo 1.4 A função y = x2 + 3x− 2 tende para +∞ quando x → ±∞.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 4
De fato, intuitivamente, basta analisar as sucessões e o gráfico da Figura 1.4. Denota-se
lim
x→+∞
(x2 + 3x− 2) = +∞ e lim
x→−∞
(x2 + 3x− 2) = +∞.
x 1 2 3 4 5 6 7 ... 100 ... 1000 ...
y 2 8 16 26 38 52 68 ... 10.298 ... 1.002.998 ...
x −1 −2 −3 −4 −5 −6 ... −100 ... −500 ...
y −4 −4 −2 2 8 16 ... 9.698 ... 248.498 ...
Figura 1.4:
Exemplo 1.5 Seja y =
2x+ 1
x− 1
, x ̸= 1. Observando a tabela abaixo podemos afirmar
que y → +∞ quando x → 1 através de valores maiores do que 1 e que y → −∞ quando
x → 1 através de valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites
laterais denotados por:
lim
x→1+
2x+ 1
x− 1
= +∞ e lim
x→1−
2x+ 1
x− 1
= −∞,
respectivamente chamamos limite à direita e limite à esquerda.
x 3 2 1, 5 1, 25 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 ...
y 3, 5 5 8 14 32 302 3.002 30.002 ...
x −1 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 ...
y 0, 5 −1 −28 −298 −2.998 −29.998 ...
Observando a Figura 1.5 ainda podemos dizer que a função y =
2x+ 1
x− 1
, x ̸= 1,
tende para 2 quando x → ±∞. E escrevemos
lim
x→+∞
2x+ 1
x− 1
= 2 e lim
x→−∞
2x+ 1
x− 1
= 2.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 5
Figura 1.5:
Exemplo 1.6 Observe a Figura 1.6 para comprovar que a função y =
1
(x+ 1)2
, x ̸= −1,
tende para o infinito quando x tende para −1.
E escrevemos lim
x→−1
1
(x+ 1)2
= +∞. Ou ainda,
lim
x→−1+
1
(x+ 1)2
= lim
x→−1−
1
(x+ 1)2
= +∞.
x −3 −2 −1, 5 −1, 25 −1, 1 −1, 01 −1, 001 ...
y 0, 25 1 4 16 100 10000 1000000 ...
x 1 0 −0, 5 −0, 75 −0, 9 −0, 99 −0, 999 ...
y 0, 25 1 4 16 100 10000 1000000 ...
Figura 1.6:
Exemplo 1.7 Da mesma forma, pela Figura 1.7 observamos que a função y =
−1
(x− 2)2
tende para o −∞ quando x → 2.
E escrevemos
lim
x→2
−1
(x− 2)2
= −∞.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 6
Ou ainda, lim
x→2+
−1
(x− 2)2
= lim
x→2−
−1
(x− 2)2
= −∞.
x 4 3 2, 5 2, 1 2, 01 2, 001 ...
y −0, 25 −1 −4 −100 −10000 −1000000 ...
x 0 1 1, 5 1, 9 1, 99 1, 999 ...
y −0, 25 −1 −4 −100 −10000 −1000000 ...
Figura 1.7:
Observação: Ao procurar o limite quando x tende a x0 não consideramos x = x0, pois
estamos interessados no que acontece próximo de x0 e não no ponto x0, a função f(x)
nem precisa estar definida para x = x0. Veja o exemplo seguinte.
Exemplo 1.8 Considere a função da velocidade v(t) =
4(t2 − 4)
t− 2
no tempo t. O domı́nio
de v é R− {2}.
Sabemos que para t = 2, a função v(t) não está definida. Vejamos o que acontece
se tentamos calcular o limite de v(t), quando t tende a 2, denotado por:
lim
t→2
4(t2 − 4)
t− 2
substituindo t = 2 nesta expressão temos:
lim
t→2
4(t2 − 4)
t− 2
=
4(22 − 4)
2− 2
=
0
0
resultando numa indeterminação. Essa indeterminação pode ser contornada simplificando
a expressão t2 − 4 da seguinte forma: t2 − 4 = t2 − 22 = (t− 2)(t+ 2) (diferença de dois
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 7
quadrados). Substituindo a expressão fatorada na função limite, o termo (t − 2) do
denominador será cancelado, contornando assim a indeterminação:
4(t2 − 4)
t− 2
=
4(t− 2)(t+ 2)
(t− 2)
= 4(t+ 2) = 4t+ 8.
Logo, v(t) = 4t+ 8 é a forma fatorada da função, temos que
lim
t→2
v(t) = lim
t→2
4(t2 − 4)
t− 2
= lim
t→2
4t+ 8 = 4(2) + 8 = 16
.
t 1, 9 1, 99 1, 999 ...2... 2, 001 2, 01 2, 1
v(t) 15, 6 15, 96 15, 996 ...16... 16, 004 16, 04 16, 4
Figura 1.8:
Observe pela Figura 1.8 que o ponto t = 2 não pertence ao domı́nio da função v, por
esta razão o ponto (2, 16), indicado por um pequeno “salto”, não está definido no gráfico
de v. Isto, no entanto, é irrelevante porque o valor de v(t) em t = 2 não desempenha
nenhum papel no cálculo de limite.
Então podemos concluir que, quando t se aproxima de 2 segundos tanto pela direita
como pela esquerda, v(t) se aproxima de 16m/s.
Exemplo 1.9 Seja a função: f(x) =
 x
2+x−2
x−1 , se x ̸= 1
2, se x = 1
.
Como x2 + x− 2 = (x− 1)(x+ 2), temos: f(x) =

(x−1)(x+2)
x−1 , se x ̸= 1
2, se x = 1
.
Escrevemos:
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
(x− 1)(x+ 2)
x− 1
= lim
x→1
(x+ 2) = 1 + 2 = 3.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 8
3
2
1
1
y
x
f(x)
Figura 1.9:
Podemos notar que quando x se aproxima de 1, f(x) se aproxima de 3 (veja Fi-
gura 1.9), embora para x = 1 tenhamos f(1) = 2. O que ocorre é que procuramos o
comportamento de y quando x → 1. E, no caso y → 3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Como podemos perceber para o estudo de limite, é fundamental ter conhecimento
de algumas fatorações a fim de contornar as indeterminações. Vejamos agora alguns casos
de fatoração:
Figura 1.10:
Trinômio do 20 grau: Seja f(x) = ax2 + bx + c tal que a ̸= 0. Se △ ≥ 0 e x′ e x′′ são
as ráızes da função f , então f(x) pode ser fatorada da seguinte forma:
f(x) = a(x− x′)(x− x′′).
Exerćıcio 1.1 Fatore as seguintes expressões:
a) 9x2 + 12x+ 4 b) 16x2 − 40x+ 25 c) x2 + 3x+ 2 d) x4 − 16
e) x2 + x− 2 f) 25x2 − 4 g) 16x2 − 9 h) 27x3 − 8
i) x3 − 216 j) 8x3 + 27 l) x3 − y3 m) x2 − 3x+ 2
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 9
Exerćıcio 1.2 Simplifique as seguintes expressões:
a)
x2 + x− 2
x2 − 4
b)
x3 − 64
x− 4
c)
25x2 + 5x
5x+ 1
d)
x2 − 4x+ 3
x− 3
e)
x3 − x2
x2
f)
x3 − 1
x2 + 3x− 4
Exerćıcio 1.3 Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule:
a) lim
x→1
(x+ 1) c) lim
x→1
x2 − 1
x− 1
b) lim
x→2
f(x) para f(x) =
 x+ 1, se x ̸= 25, se x = 2
Exerćıcio 1.4 Calcule:
a) lim
x→2
3x+ 2
x2 − 6x+ 5
b) lim
x→−1
3x2 − 5x+ 4
2x+ 1
c) lim
x→−3
x2 + 2x− 3
5− 3x
d) lim
x→2
x2 − 4
x2 − 2x
e) lim
x→1
(4x2 − 7x+ 5) f) lim
x→−1
(x3 − 2x2 − 4x+ 3)
g) lim
x→3
x2 − 4x+ 3
x2 − x− 6
h) lim
x→ 1
2
2x2 + 5x− 3
2x2 − 5x+ 2
i) lim
x→− 3
2
6x2 + 11x+ 3
2x2 − 5x− 12
j) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
k) lim
x→−2
8 + x3
4− x2
l) lim
x→2
x4 − 16
8− x3
Respostas do Exerćıcio 1.1
a) (3x+ 2)2; b) (4x− 5)2; c) (x+ 1)(x+ 2); d) (x− 2)(x+ 2)(x2 + 4)
e) (x− 1)(x+ 2); f) (5x− 2)(5x+ 2); g) (4x− 3)(4x+ 3); h) (3x− 2)(9x2 + 6x+ 4)
i) (x− 6)(x2 + 6x+ 36); j) (2x+ 3)(4x2 − 6x+ 9); l) (x− y)(x2 + xy + y2); m) (x− 1)(x− 2)
Respostas do Exerćıcio 1.2
a)
x− 1
x− 2
b) x2 + 4x+ 16 c) 5x d) x− 1 e) x− 1 f)
x2 + x+ 1
x+ 4
Respostas do Exerćıcio 1.3 a) 2 b) 3 c) 2
Respostas do Exerćıcio 1.4
a) −
8
3
b) − 12 c) 0 d) 2 e) 2 f) 4
g)
2
5
h) −
7
3
i)
7
11
j)
3
2
k) 3 l) −
8
3
1.2 Definição precisa de limite
Agora que já temos a ideia intuitiva de limites, vamos nos concentrar na sua de-
finição precisa, substituindo expressões vagas, como “fica arbitrariamente próximo de”,
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 10
por condições espećıficas que podem ser aplicadas a qualquer exemplo.
Para mostrar que limite de f(x) é o número L quando x → x0 ( lim
x→x0
f(x) = L), é
preciso mostrar que a distância entre f(x) e L pode ser “tão pequena quanto quisermos”
se x for mantido “suficientemente próximo de x0”.
Observe o seguinte exemplo:
Exemplo 1.10 Considere a função f(x) =
 2x− 1 se x ̸= 36 se x = 3, próxima de x0 = 3.
Intuitivamente, vemos que lim
x→3
(2x− 1) = 5, ou seja, y está próximo de 5 quando x
está próximo de 3. No entanto, quão próximo de x0 = 3 deve estar x para que y = 2x− 1
difira de 5 por menos que 0,1?
A distância de x a 3 é |x − 3| e a distância de f(x) a 5 é |f(x) − 5|, logo nosso
problema é achar um número δ tal que
se |x− 3| < δ ⇒ |f(x)− 5| < 0, 1.
Se |x− 3| > 0 então x ̸= 3. Logo uma formulação equivalente é achar um número δ
tal que
se 0 < |x− 3| < δ ⇒ |f(x)− 5| < 0, 1.
Note que se 0 < |x− 3| < 0,1
2
, então
|f(x)− 5| = |(2x− 1)− 5| = |2x− 6| = 2|x− 3| < 0, 1
Assim, a resposta será δ = 0,1
2
= 0, 05. Se mudarmos o número 0, 1 no problema
para um número menor 0,01, então o valor de δ mudará para δ = 0,01
2
. Em geral, se
usarmos um valor positivo arbitrário ϵ, então o problema seráachar um δ tal que
se < 0|x− 3| < δ ⇒ |f(x)− 5| < ϵ.
E podemos ver que nesse caso δ pode ser escolhido como sendo ϵ
2
. Esta é uma
maneira de dizer que f(x) está próximo de 5 quando x está próximo de 3. Também
podemos escrever
5− ϵ < f(x) < 5 + ϵ sempre que 3− δ < x < 3 + δ, x ̸= 3,
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 11
Figura 1.11:
ou seja, tomando os valores de x ̸= 3 no intervalo (3− δ, 3+ δ), podemos obter os valores
de f(x) dentro do intervalo (5− ϵ, 5 + ϵ).
Definição 1.2 (Limite de uma função) Seja f(x) definida em um intervalo aberto em
torno de x0, exceto talvez em x0. Dizemos que o limite de f(x), conforme x se aproxima
de x0, é o número L, e escrevemos
lim
x→x0
f(x) = L
se para cada número ϵ > 0 existir um número correspondente δ > 0, tal que, para todos
os valores de x,
0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ϵ
Interpretação geométrica do limite:
Figura 1.12:
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 12
Figura 1.13:
No primeiro gráfico da Figura 1.12, f não está definida em x0, mas existe L. No
segundo gráfico da mesma figura, f está definida em x0, mas não é cont́ınua em x0,
entretanto existe L. Na Figura 1.13, o gráfico da esquerda mostra f cont́ınua em x0, assim
L = f(x0). Finalmente no gráfico da direita, não existe L em x0.
Exemplo 1.11 Prove que lim
x→2
(3x− 2) = 4.
Solução: Devemos fazer uma análise preliminar para conjeturar o valor de δ. Dado ϵ > 0
o problema é determinar δ tal que
se 0 < |x− 2| < δ ⇒ |(3x− 2)− 4| < ϵ.
Mas |(3x− 2)− 4| = |3x− 6| = |3(x− 2)| = 3|x− 2|. Portanto, queremos
3|x− 2| < ϵ sempre que 0 < |x− 2| < δ
ou
|x− 2| < ϵ
3
sempre que 0 < |x− 2| < δ.
Isto sugere que podemos escolher δ = ϵ
3
. Provemos que a escolha de δ funciona. Dado
ϵ > 0, escolha δ = ϵ
3
. Se 0 < |x− 2| < δ, então
|(3x− 2)− 4| = |3x− 6| = |3(x− 2)| = 3|x− 2| < 3δ = 3 ϵ
3
= ϵ.
Assim,
|(3x− 2)− 4| < ϵ sempre que 0 < |x− 2| < δ
logo, pela definição, lim
x→2
(3x− 2) = 4.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 13
Exemplo 1.12 Prove que lim
x→1
(3x− 1) = 2.
Exemplo 1.13 Prove que lim
x→3
(4x− 1) = 11.
O teorema seguinte estabelece que uma função não pode tender a dois limites dife-
rentes ao mesmo tempo. Este Teorema é chamado Teorema da Unicidade, pois garante
que se o limite de uma função existir, ele será único.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 14
Teorema 1.1 (Unicidade do limite) Seja f uma função definida sobre algum inter-
valo aberto que contém o número x0, exceto possivelmente o próprio x0. Suponha que
lim
x→x0
f(x) = L1 e lim
x→x0
f(x) = L2.
Então L1 = L2.
Prova: Exerćıcio
1.2.1 Propriedades dos limites
Na Seção 1.2, usamos a definição de limites para provar que um dado número era
limite de uma função. A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para
achar muitos limites sem apelar para a demonstração.
Proposição 1.1 Se p, m e n são números reais, então
lim
x→p
(mx+ n) = mp+ n.
Da Proposição 1.1, decorre que:
a) Se c é um número real qualquer, então lim
x→p
c = c.
b) lim
x→p
x = p.
Proposição 1.2 Se lim
x→p
f(x) = L e lim
x→p
g(x) = M existem, e c é um número real qualquer,
então:
1. lim
x→p
[f(x)± g(x)] = lim
x→p
f(x)± lim
x→p
g(x) = L±M.
2. lim
x→p
c.f(x) = c. lim
x→p
f(x) = c.L
3. lim
x→a
[f(x).g(x)] = lim
x→p
f(x). lim
x→p
g(x) = L.M.
4. lim
x→p
f(x)
g(x)
=
lim
x→p
f(x)
lim
x→p
g(x)
=
L
M
.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 15
5. lim
x→p
[f(x)]n = [lim
x→p
f(x)]n = [L]n, para qualquer inteiro positivo n.
6. lim
x→p
|f(x)| = | lim
x→p
f(x)|.
7. Se lim
x→p
f(x) = L então lim
x→p
n
√
f(x) =
n
√
L com L ≥ 0 e n ∈ N∗ ou L < 0 e N é ı́mpar.
8. lim
x→p
ln[f(x)] = ln[lim
x→p
f(x)] se lim
x→p
f(x) > 0.
9. lim
x→p
cos[f(x)] = cos[lim
x→p
f(x)].
10. lim
x→p
sen[f(x)] = sen[lim
x→p
f(x)].
11. lim
x→p
ef(x) = e
lim
x→p
f(x)
.
12. O limite de uma função polinomial f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ...+ a2x
2 + a1x+ a0,
ai ∈ R, para x tendendo a p, é igual ao valor numérico de f(x) para x = p, ou seja,
lim
x→p
f(x) = lim
x→p
(anx
n + an−1x
n−1 + ...+ a2x
2 + a1x+ a0) = f(p).
Observação: A demonstração da maioria dos itens dessa proposição pode ser encontrada
em [3, 4, 6, 7].
Exemplo 1.14 lim
x→1
[x3 − 4x2 + 2x] = lim
x→1
x3 − lim
x→1
4x2 + lim
x→1
2x = (1)3 − 4(1)2 + 2(1) =
1− 4 + 2 = −1.
Exemplo 1.15 lim
x→−2
11.(x− 1) = 11. lim
x→−2
(x− 1) = 11.(−2− 1) = 11.(−3) = −33.
Exemplo 1.16 lim
x→−2
(x − 2)(x + 5) = lim
x→−2
(x − 2). lim
x→−2
(x + 5) = (−2 − 2).(−2 + 5) =
(−4)3 = −12.
Exemplo 1.17 lim
x→−2
x− 2
x+ 5
=
lim
x→−2
(x− 2)
lim
x→−2
(x+ 5)
=
−2− 2
−2 + 5
=
−4
3
.
Exemplo 1.18 lim
x→3
(x2 + x− 2)2 = (lim
x→3
(x2 + x− 2))2 = (32 + 3− 2)2 = 102 = 100.
Exemplo 1.19 lim
x→3
√
x3 − 6x =
√
lim
x→3
(x3 − 6x) =
√
(33 − 6.3) =
√
27− 18 =
√
9 = 3.
Exemplo 1.20 lim
x→2
(x3 − 2x2 − 5x+ 2) = f(2) = (2)3 − 2(2)2 − 5(2) + 2 = −8.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 16
Exerćıcio 1.5 Calcule os limites aplicando as propriedades acima:
a) lim
x→2
(3x2 − 5x+ 2) b) lim
x→−1
x2 + 2x− 3
4x− 3
c) lim
x→1
(
2x2 − x+ 1
3x− 2
)2
d) lim
x→−2
3
√
x3 + 2x2 − 3x+ 2
x2 + 4x+ 3
e) lim
x→2
(
3x2 − 2x− 5
−x2 + 3x+ 4
)3
f) lim
x→4
(
x3 − 3x2 − 2x− 5
2x2 − 9x+ 2
)2
g) lim
x→−1
√
2x2 + 3x− 4
5x− 4
h) lim
x→−2
3
√
3x3 − 5x2 − x+ 2
4x+ 3
i) lim
x→2
√
2x2 + 3x+ 2
6− 4x
Exerćıcio 1.6 Demonstre o item 1), da proposição 1.2, usando sinal positivo.
Respostas do exerćıcio 1.5
a) 4 b)
4
7
c) 4 d) − 2 e)
1
8
f)
9
4
g)
√
5
3
h) 2 i) − 2
1.3 Limites laterais
Lembremos que, ao considerarmos lim
x→p
f(x), estávamos interessados no comporta-
mento da função nos valores próximos de p, isto é, nos valores de x pertencentes a um
intervalo aberto (a, b) contendo p mas diferentes de p e, portanto, nos valores desse inter-
valo que são maiores ou menores que p.
Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando x está próximo de p, mas
assume valores menores que p, é diferente do comportamento da mesma função, quando
x está próximo de p mas assume valores maiores que p.
Definição 1.3 (Limite lateral à direita) Seja f uma função definida em um intervalo
aberto (p, b). Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende
para p e escrevemos:
lim
x→p+
f(x) = L,
se para todo ϵ > 0 existe um δ > 0, tal que |f(x)− L| < ϵ sempre que p < x < p+ δ.
Se lim
x→p+
f(x) = L, dizemos que f(x) tende para L quando x tende para p pela direita.
Usamos o śımbolo x → p+ para indicar que os valores são sempre maiores do que p.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 17
Definição 1.4 (Limite lateral à esquerda) Seja f uma função definida em um inter-
valo aberto (a, p). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f quando
x tende para p e escrevemos:
lim
x→p−
f(x) = L,
se para todo ϵ > 0 existe um δ > 0, tal que |f(x)− L| < ϵ sempre que p− δ < x < p.
Se lim
x→p−
f(x) = L, dizemos que f(x) tende para L quando x tende para p pela
esquerda. Usamos o śımbolo x → p− para indicar que os valores são sempre menores do
que p.
Exemplo 1.21 Calcule lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x), sendo f(x) =
 x2 se x < 12x se x > 1.
Solução: lim
x→1+
f(x) = lim
x→1
2x = 2 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1
x2 = 1.
Exemplo 1.22 Calcule lim
x→0+
|x|
x
e lim
x→0−
|x|
x
.
Solução:
|x|
x
=
 1 se x > 0−1 se x < 0.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 18
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0
1 = 1 e lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0
(−1) = −1.
Segue das definições de limites laterais o seguinte teorema.
Teorema 1.2 (Critério de Existência) Seja f uma função definida em um intervalo
aberto contendo p, exceto possivelmente no ponto p, então lim
x→p
f(x) = L se, e somente se:
lim
x→p+
f(x) = lim
x→p−
f(x) = L
Dessa forma, se lim
x→p+
f(x) e lim
x→p−
f(x) existirem e forem diferentes, então lim
x→p
f(x)
não existirá.
Exemplo 1.23
Seja f(x) =

x2 + 1 se x < 2
2 se x = 2.
−x2 + 9 se x > 2Calcule lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x) e lim
x→2
f(x).
Solução:
i) lim
x→2−
f(x) = lim
x→2
(x2 + 1) = 5
ii) lim
x→2+
f(x) = lim
x→2
(−x2 + 9) = 5
iii) lim
x→2
f(x) = lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = 5
Exemplo 1.24
Seja f(x) =
 x2 se x < 13x se x ≥ 1 . Calcule limx→1+ f(x), limx→1− f(x) e limx→1 f(x).
Solução:
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 19
i) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1
x2 = 1
ii) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1
3x = 3
iii) @ lim
x→1
f(x) pois, lim
x→1+
f(x) = 3 ̸= lim
x→1−
f(x) = 1.
Exerćıcio 1.7
a) Determine lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x) e lim
x→0
f(x) e esboce o gráfico de f(x) = |x|.
b) Seja f(x) = |x − 4|. Esboce o gráfico e calcule os limites indicados, se existirem,
lim
x→4+
f(x), lim
x→4−
f(x) e lim
x→4
f(x).
Exerćıcio 1.8 Seja f(x) =
 x− 1 se x ≤ 33x− 7 se x > 3 . Calcule:
a) lim
x→3−
f(x) b) lim
x→3+
f(x) c) lim
x→3
f(x)
Exerćıcio 1.9 Seja f(x) =

1
x
se x < 0
x2 se 0 ≤ x < 1
2 se x = 1
2− x se x > 1
. Esboce o gráfico e calcule:
a) lim
x→−1
f(x) b) lim
x→1
f(x) c) lim
x→0+
f(x) d) lim
x→0−
f(x) e) lim
x→0
f(x)
Respostas do exerćıcio 1.7 a) 0, 0 e 0 b) 0, 0 e 0
Respostas do exerćıcio 1.8 a) 2 b) 2 c)2
Respostas do exerćıcio 1.9 a) − 1; b) 1; c) 0; d) −∞; e) @.
1.4 O infinito
No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas envolvendo os
śımbolos de mais infinito (+∞) e menos infinito (−∞), que representam quantidades de
módulo infinitamente grande. No entanto, deve ficar claro que não é um número, e sim
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 20
uma ideia associada a uma tendência, ou seja, é um śımbolo utilizado para representar
a tendência a um “número” muito grande (+∞) ou muito pequeno (−∞). Como esses
śımbolos não representam números reais, não pode ser aplicadas a eles, portanto, as
técnicas usuais de cálculo algébrico.
Dado a ∈ R (conjunto dos números reais), temos as seguintes igualdades simbólicas:
• a+ (+∞) = +∞
• a+ (−∞) = −∞
• (+∞) + (+∞) = +∞
• (−∞) + (−∞) = −∞
• (+∞) + (−∞) = nada se pode afirmar inicialmente. O śımbolo ∞−∞, é dito um
śımbolo de indeterminação.
• (+∞).(+∞) = +∞
• (+∞).0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
• ∞/∞ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeter-
minadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a
indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais śımbolos de indeterminação,
são: ∞−∞, ∞.0, ∞/∞, ∞0, 0/0, 1∞, 1−∞.
1.4.1 Limites infinitos
Quando os termos f(x) de uma função tornam-se cada vez maiores sem atingir um
limite para x → p, dizemos então que os termos dessa função tendem para o infinito ou
que o limite da função é infinito, denota-se lim
x→p
f(x) = +∞. Ou ainda, quando os termos
f(x) de uma função tornam-se cada vez menores sem atingir um limite para x → p,
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 21
dizemos então que os termos dessa função tendem para o menos infinito ou que o limite
da função é menos infinito, denota-se lim
x→p
f(x) = −∞.
Definição 1.5 (Limite infinito) Seja f uma função definida num intervalo aberto con-
tendo p, exceto possivelmente no próprio p. Então diremos que
(a) lim
x→p
f(x) = +∞ se, dado K > 0, existir δ > 0 tal que f(x) > K para todo
0 < |x− p| < δ.
(b) lim
x→p
f(x) = −∞ se, dado K < 0, existir δ > 0 tal que f(x) < K para todo
0 < |x− p| < δ.
Definição 1.6 (Asśıntota vertical) A reta x = p é chamada de asśıntota vertical da
curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
lim
x→p
f(x) = +∞, lim
x→p+
f(x) = +∞, lim
x→p−
f(x) = +∞,
lim
x→p
f(x) = −∞, lim
x→p+
f(x) = −∞ lim
x→p−
f(x) = −∞, .
Exemplo 1.25 Considere a função y =
1
(x− 2)2
, x ̸= 2. Construindo o gráfico podemos
observar que a reta x = 2 é uma asśıntota vertical, pois existe lim
x→2+
1
(x− 2)2
= +∞ e
lim
x→2−
1
(x− 2)2
= +∞.
Exemplo 1.26 Considere a função y =
−1
(x+ 1)2
, x ̸= −1. Construindo o gráfico pode-
mos observar que a reta x = −1 é uma asśıntota vertical, pois existe lim
x→−1+
−1
(x+ 1)2
= −∞
e lim
x→−1−
−1
(x+ 1)2
= −∞.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 22
Exerćıcio 1.10 Escreva as definições precisas dos limites laterais infinitos:
lim
x→p+
f(x) = +∞, lim
x→p+
f(x) = −∞,
lim
x→p−
f(x) = +∞, lim
x→p−
f(x) = −∞.
Teorema 1.3 Se n é um número inteiro positivo qualquer, então
i) lim
x→0+
1
xn
= +∞.
ii) lim
x→0−
1
xn
=
 +∞ se n é par−∞ se n é ı́mpar.
Exemplo 1.27 Calcule lim
x→0
|x|
x2
.
Teorema 1.4 Sejam f e g funções tais que lim
x→p
f(x) = c ̸= 0 e lim
x→p
g(x) = 0. Então:
i) lim
x→p
f(x)
g(x)
= +∞ se f(x)
g(x)
> 0 quando x está próximo de p.
ii) lim
x→p
f(x)
g(x)
= −∞ se f(x)
g(x)
< 0 quando x está próximo de p.
Exemplo 1.28 Calcule lim
x→2
3x+ 1
(x+ 2)(x− 2)
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 23
Propriedade dos limites infinitos: Seja L um número real. Temos:
•

lim
x→p
f(x) = +∞
lim
x→p
g(x) = +∞
⇒

lim
x→p
(f + g)(x) = +∞+∞ = +∞
lim
x→p
(f.g)(x) = (+∞).(+∞) = +∞
•

lim
x→p
f(x) = L
lim
x→p
g(x) = +∞
⇒

lim
x→p
(f.g)(x) = L.(+∞) = +∞, L > 0
lim
x→p
(f.g)(x) = L.(+∞) = −∞, L < 0
•

lim
x→p
f(x) = −∞
lim
x→p
g(x) = +∞
⇒ lim
x→p
(f.g)(x) = (−∞).(+∞) = −∞
•

lim
x→p
f(x) = L
lim
x→p
g(x) = +∞
⇒ lim
x→p
(f + g)(x) = L+ (+∞) = +∞
•

lim
x→p
f(x) = L
lim
x→p
g(x) = −∞
⇒ lim
x→p
(f + g)(x) = L+ (−∞) = −∞
•

lim
x→p
f(x) = −∞
lim
x→p
g(x) = −∞
⇒

lim
x→p
(f + g)(x) = (−∞) + (−∞) = −∞
lim
x→p
(f.g)(x) = (−∞).(−∞) = +∞
•

lim
x→p
f(x) = L
lim
x→p
g(x) = −∞
⇒

lim
x→p
(f.g)(x) = L.(−∞) = −∞, L > 0
lim
x→p
(f.g)(x) = L.(−∞) = +∞, L < 0
Observação: As propriedades acima são válidas se, em lugar de x → p, usarmos x → p+
ou x → p−.
Observação: As propriedades acima sugerem como operar com os śımbolos +∞ e −∞.
Assim, por exemplo,
+∞.(−∞) = −∞ e L.(−∞) = +∞ se L < 0.
Temos as seguintes indeterminações:
+∞− (+∞), −∞− (−∞), 0.∞, ∞∞ ,
0
0
, 1∞, 00, ∞0.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 24
1.4.2 Limites no infinito
A expressão x → ∞ (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores
a qualquer número real e x → −∞ (x tende para menos infinito), da mesma forma, indica
que x assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo 1.29 Considere a função f(x) =
1
x
.
(i) lim
x→∞
1
x
= 0, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
(ii) lim
x→−∞
1
x
= 0, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
Definição 1.7 (Intuitiva) .
• Seja f uma função definida em algum intervalo (a,+∞). Então lim
x→+∞
f(x) = L,
significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L tomando
x suficientemente grandes.
• Seja f uma função definida em algum intervalo (−∞, a). Então lim
x→−∞
f(x) = L,
significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L tomando
x suficientemente grandes em valor absoluto, mas negativo.
Podemos estabelecer a definição precisa de limite no infinito.
Definição 1.8 (Limite no infinito) .
• Seja f uma função definida em algum intervalo (a,+∞). Então lim
x→+∞
f(x) = L se,
dado ϵ > 0, existir K > 0 tal que |f(x)− L| < ϵ sempre que x > K.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 25
• Seja f uma função definida em algum intervalo (−∞, a). Então lim
x→−∞
f(x) = L se,
dado ϵ > 0, existir K < 0 tal que |f(x)− L| < ϵ sempre que x < K.
Definição 1.9 (Asśıntota horizontal) A reta y = L é chamada de asśıntota horizontal
da curva y = f(x) se
lim
x→+∞
f(x) = L ou lim
x→−∞
f(x) = L.
Teorema 1.5 (Teorema do Limite) Se r for um número inteiro qualquer, então:
(i) lim
x→∞
1
xr
= 0.
(i) lim
x→−∞
1
xr
= 0.
Exemplo 1.30 Temos que lim
x→+∞
1
x
= 0 e lim
x→−∞
1
x
= 0.
Prova:Dado ϵ > 0, queremos achar K > 0 suficientemente grande tal que
x > K > 0 ⇒ |f(x)− 0| =
∣∣∣∣1x − 0
∣∣∣∣ = 1x < ϵ.
Tomando K =
1
ϵ
> 0 temos
x > K > 0 ⇒ 0 < 1
x
<
1
K
= ϵ.
Portanto, segue da definição que lim
x→+∞
1
x
= 0. A prova para x → −∞ é análoga.
Exemplo 1.31 A reta x = 0 é a asśıntota horizontal de f(x) =
1
x
, tanto para x → +∞,
quanto para x → −∞, pois lim
x→+∞
1
x
= 0 e lim
x→−∞
1
x
= 0.
Definição 1.10 (Limites infinitos no infinito) Seja f uma função e suponhamos que
exista p tal que ]p,+∞[⊂ D(f). Definimos:
(a) lim
x→+∞
f(x) = +∞ ⇔
 ∀ϵ > 0, ∃δ > 0 com δ > p tal quex > δ ⇒ f(x) > ϵ
(b) lim
x→+∞
f(x) = −∞ ⇔
 ∀ϵ > 0, ∃δ > 0 com δ > p tal quex > δ ⇒ f(x) < −ϵ
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 26
Exemplo 1.32 Calcule lim
x→+∞
(x2 − x).
lim
x→+∞
(x2 − x) = lim
x→+∞
x(x− 1) = +∞.(+∞− 1) = +∞.
Exerćıcio 1.11 Escreva as definições precisas para x → −∞ no infinito.
Limite de uma função polinomial para x → ±∞
Seja uma função polinomial f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ...+ a2x
2 + a1x
1 + a0. Então:
lim
x→±∞
f(x) = lim
x→±∞
anx
n.
A imagem da função tende a um número muito grande quando x aumenta cada vez mais.
Exemplo 1.33
1. lim
x→+∞
(2x2 + x− 3) = lim
x→+∞
2x2 = ∞
2. lim
x→−∞
(3x3 − 4x2 + 2x) = lim
x→−∞
3x3 = −∞
Observação: A estratégia para calcular limites no infinito de uma função racional
consiste em colocar em evidência a mais alta potência de x no denominador e numerador,
ou de forma similar:
a) Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, então o limite será
igual a zero.
b) Se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, basta dividir
os coeficientes dos termos de maior grau.
Exemplo 1.34
1. lim
x→+∞
x2 + 3x− 1
x3 − 2
= lim
x→+∞
x2
x3
+
3x
x3
− 1
x3
x3
x3
− 2
x3
=
lim
x→+∞
(
1
x
+
3
x2
− 1
x3
)
lim
x→+∞
(
1− 2
x3
) = 0
1
= 0
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 27
2. lim
x→+∞
4x2 + 7x
3x2 + 2
= lim
x→+∞
4x2
x2
+
7x
x2
3x2
x2
+
2
x2
=
lim
x→+∞
(
4 +
7
x
)
lim
x→+∞
(
3 +
2
x2
) = 4
3
3. lim
x→+∞
2x− 5
x+ 8
=
lim
x→+∞
(
2− 5
x
)
lim
x→+∞
(
1 +
8
x
) = 2− 0
1 + 0
= 2
4. lim
x→+∞
√
2x2 + 1
3x+ 5
Nesse caso dividimos o numerador e o denominador por x. No numerador tomamos
x =
√
x2, já que os valores de x podem ser tomados positivos x → +∞. Assim,
lim
x→+∞
√
2x2 + 1
3x+ 5
=
lim
x→+∞
(√
2x2 + 1√
x2
)
lim
x→+∞
(
3x
x
+
5
x
) = limx→+∞
(√
2x2
x2
+
1
x2
)
lim
x→+∞
(
3x
x
+
5
x
)
=
lim
x→+∞
(√
2 +
1
x2
)
lim
x→+∞
(
3 +
5
x
) =
√
lim
x→+∞
(
2 +
1
x2
)
lim
x→+∞
(
3 +
5
x
) = √2
3
5. lim
x→−∞
√
2x2 + 1
3x+ 5
Nesse caso dividimos o numerador e o denominador por x. No numerador tomamos
x = −
√
x2, já que os valores de x podem ser tomados negativos x → −∞. Assim,
lim
x→−∞
√
2x2 + 1
3x+ 5
=
lim
x→−∞
(√
2x2 + 1
−
√
x2
)
lim
x→−∞
(
3x
x
+
5
x
) = limx→−∞
(
−
√
2x2
x2
+
1
x2
)
lim
x→−∞
(
3x
x
+
5
x
)
=
lim
x→−∞
(
−
√
2 +
1
x2
)
lim
x→−∞
(
3 +
5
x
) = −
√
lim
x→−∞
(
2 +
1
x2
)
lim
x→−∞
(
3 +
5
x
) = −√2
3
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 28
Exerćıcio 1.12 Mostrar que se P (x) = anx
n+an−1x
n−1+ ...+a2x
2+a1x
1+a0 e Q(x) =
bmx
m + bm−1x
m−1 + ...+ b2x
2 + b1x
1 + b0 então:
lim
x→±∞
P (x)
Q(x)
= lim
x→±∞
anx
n
bmxm
.
Exemplo 1.35 lim
x→∞
(2x4 + x− 1)
x3 + x2 + 4
= lim
x→∞
2x4
x3
= lim
x→∞
2x = ∞.
Exerćıcio 1.13 Calcule os limites:
a) lim
x→∞
2x3 + 4x2 − 1
3x4 + 2x− 2
b) lim
x→∞
4x4 + x+ 3
3x4 + x3 − 1
c) lim
x→∞
4x3 + 2x2 − x+ 3
2x2 + 3x− 8
d) lim
x→∞
√
x4 + 2x− 1
2x2 − 1
e) lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2
f) lim
x→−∞
3x+ 4√
2x2 − 5
g) lim
x→−∞
2x2 − x+ 5
4x3 − 1
h) lim
x→∞
4x− 3
2x+ 5
i) lim
x→−∞
√
9x2 + 2
4x+ 3
Respostas do exerćıcio 1.13:
a) 0 b) 4
3
c) ∞ d) 1
2
e) 0 f) −3
√
2
2
g) 0 h) 2 i) − 3
4
Limites Irracionais
São limites que envolvem funções que se apresentam sob um radical. O problema maior
será “levantar” posśıveis indeterminações que surgem no cálculo desses limites. No en-
tanto, a grande maioria desses problemas é resolvida racionalizando-se a expressão que
envolve radical, ou seja,
n
√
a−
√
b
=
n(
√
a+
√
b)
a− b
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 29
Exemplo 1.36
1. lim
x→4
√
x− 2
x− 4
= lim
x→4
(
√
x− 2)(
√
x+ 2)
(x− 4)(
√
x+ 2)
= lim
x→4
x− 4
(x− 4)(
√
x+ 2)
= lim
x→4
1√
x+ 2
=
1
4
.
2. lim
x→∞
(
√
x2 + 1− x) = lim
x→∞
(
√
x2 + 1− x)(
√
x2 + 1 + x)√
x2 + 1 + x
= lim
x→∞
x2 + 1− x2√
x2 + 1 + x
= lim
x→∞
1√
x2 + 1 + x
= 0.
Exerćıcio 1.14 Calcule os limites irracionais:
a) lim
x→2
√
x−
√
2
x− 2
b) lim
x→∞
(
√
x2 + 2x+ 3− x)
Respostas do exerćıcio 1.14: a)
√
2
4
b) 1
Teorema do confronto:
Os próximos teoremas são propriedades adicionais de limites.
Teorema 1.6 (Teste da comparação) Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de p
(exceto possivelmente em p) e os limites de f e g existem quando x tende a p, então
lim
x→p
f(x) ≤ lim
x→p
g(x)
Teorema 1.7 (do confronto ou do sandúıche) Sejam f, g, h funções e suponha que
existe r > 0 tal que
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para 0 < |x− p| < r.
Se
lim
x→p
f(x) = L = lim
x→p
h(x)
então
lim
x→p
g(x) = L
Demonstração: Ver Guidorizzi pag98.
Exemplo 1.37 Seja f uma função e suponha que para todo o x, |f(x)| ≤ x2. Calcule o
lim
x→0
f(x).
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 30
Solução: |f(x)| ≤ x2 ⇔ −x2 ≤ f(x) ≤ x2.
Como lim
x→0
(−x2) = 0 = lim
x→0
x2 segue do teorema do confronto que
lim
x→0
f(x) = 0.
Exemplo 1.38 Seja f uma função definida em R tal que para todo o x ̸= 1, −x2 +3x ≤
f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1
. Calcule o lim
x→1
f(x).
Solução:
1.5 Limites fundamentais
A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão
até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas.
Apresentaremos a seguir - sem demonstrar - cinco limites fundamentais e estratégicos, para
a solução de problemas.
1.5.1 Primeiro limite fundamental: limite trigonométrico
lim
x→0
senx
x
= 1
Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja
medida seja próxima de zero, digamos x = 0, 0001 rad. Nestas condições, o valor de senx
será igual a sen0, 0001 = 0, 00009999 (obtido numa calculadora cient́ıfica). Efetuando-se
o quociente, vem:
senx
x
=
0, 00009999
0, 0001
= 0, 999991. Quanto mais próximo de zero for o
arco x, mais o quociente
senx
x
se aproximará da unidade, caracterizando-se áı, a noção
intuitiva de limite de uma função.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 31
Exemplo 1.39 Observe o cálculo do limite abaixo:
lim
x→0
sen5x
x
= lim
x→0
5.sen5x
5x
= 5 lim
x→0
sen5x
5x
= 5 lim
u→0
senu
u
= 5.1 = 5
Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 5x = u, de modo a
cairmos num limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e
denominador da função dada por 5, a expressão não se altera.
1.5.2 Segundo limite fundamental: limite exponencial
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e ou lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do
número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818.
Veja a sequência com valores de x e de
(
1 + 1
x
)x
para entender melhor a expressão
acima.
x 1 2 3 10 100 1000 10000 100000 ...(
1 + 1
x
)x
2 2, 25 2, 3703 2, 5937 2, 7048 2, 7169 2, 7181 2, 7182 ...
Notamos que à medida que x → ∞,
(
1 + 1
x
)x → e.
1.5.3 Terceiro limite fundamental
Efetuando a substituição
1
x
= z ⇒ x = 1
z
, temos uma forma equivalente ao limite
exponencial
lim
z→0
(1 + z)
1
z = e.
Ainda de forma mais geral temos:
lim
z→0
(1 + kz)
l
z = ekl e lim
x→∞
(
1 +
k
x
)lx
= ekl.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 32
As duas formas acima dão a solução imediata a exerćıcios deste tipo e evitam subs-
tituições algébricas.
1.5.4 Quarto limite fundamental
lim
x→0
ax − 1x
= ln a.
Se ax − 1 = u, então ax = 1 + u. Mas,
ln ax = ln(1 + u) ⇒ x. ln a = ln(1 + u) ⇒ x = ln(1 + u)
ln a
.
Logo:
ax − 1
x
=
u
ln(1+u)
ln a
=
u. ln a
ln(1 + u)
=
ln a
1
u
. ln(1 + u)
=
ln a
ln(1 + u)
1
u
.
Como x → 0, então u → 0. Portanto:
lim
x→0
ax − 1
x
= lim
u→0
ln a
ln (1 + u)
1
u︸ ︷︷ ︸
e
= lim
u→0
ln a
ln e︸︷︷︸
1
= ln a.
Generalizando, temos que:
lim
x→0
akx − 1
x
= k. ln a e lim
x→0
ex − 1
x
= 1.
1.5.5 Quinto limite fundamental
lim
x→0
(1 + x)a − 1
x
= a.
Exerćıcio 1.15 Calcule os limites indicados abaixo:
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 33
(a) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)4x
(b) lim
x→−∞
(
1− 1
x
)x
(c) lim
x→0
(1− x)
5
x
(d) lim
x→0
32x − 1
x
(e) lim
x→0
(1 + x)
2
x (f) lim
x→+∞
(
1 +
3
x
)4x
(g) lim
x→0
(1 + 2x)
3
x (h) lim
x→0
(
3x − 1
2x
)
(i) lim
x→0
ex − 1
sen2x
(j) lim
x→π
2
(2senx− cos 2x+ cotgx) (l) lim
x→∞
(
5− 1
x
+
3
x2
)
(m) lim
x→0
senx
tgx
(n) lim
x→0
sen4x
x
(o) lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x+3
(p) lim
x→0
(1 + x)m − 1
mx
Respostas do exerćıcio 1.15:
a) e4 b) 1
e
c) 1
e5
d) 5 ln 2 e) e2 f) e12 g) e6 h) 1
2
ln 3 i) 1
2
j) 3 l) 5 m) 1 n) 4 o) e p) 1
1.6 Funções cont́ınuas
Quando definimos lim
x→a
f(x) analisamos o comportamento da função f(x) para valores
de x próximos de a, mas diferentes de a. Em muitos exemplos vimos que lim
x→a
f(x) pode
existir, mesmo que f não seja definida no ponto a. Se f está definida em a, existe
lim
x→a
f(x) = f(a) dizemos que f é cont́ınua em a.
Definição 1.11 (Intuitiva) Dizemos que uma função f(x) é cont́ınua num ponto a do
seu domı́nio se as seguintes condições são satisfeitas:
(i) Existe f(a);
(ii) Existe lim
x→a
f(x);
(iii) lim
x→a
f(x) = f(a).
Intuitivamente, uma função f é continua em x = a quando seu gráfico não apresentar
“salto” em x = a.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 34
Se f não for cont́ınua em a; dizemos que f é descont́ınua em a. Veja os seguintes
exemplos de funções descont́ınuas em x = a:
Exemplo 1.40 Seja f(x) =

(2x+ 3)(x− 1)
x− 1
se x ̸= 1
2 se x = 1
, f é cont́ınua em x = 1?
Exemplo 1.41 Seja f(x) =
1
x− 2
, x ̸= 2, é cont́ınua em x = 2?
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 35
Exemplo 1.42 Seja f(x) =
 3 + x se x ≤ 13− x se x > 1 , f é cont́ınua em x = 1? Esboce o
gráfico de f .
Definição 1.12 (Continuidade) Sejam f uma função e a ∈ D(f). Então f é cont́ınua
em a se para todo ϵ > 0 existe um número δ > 0, tal que
|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ϵ,
ou seja, se e somente se,
lim
x→a
f(x) = f(a).
Diremos que f é cont́ınua em A ⊂ D(f), se f for cont́ınua em todo ponto a ∈ A.
Diremos simplesmente que f é cont́ınua, se f for cont́ınua em todo ponto de seu domı́nio.
Exemplo 1.43 A função constante f(x) = k é cont́ınua para todo a.
Exemplo 1.44 A função f(x) = 3x− 2 é cont́ınua em a = 2.
Exemplo 1.45 A função f(x) = ax+ b é cont́ınua.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 36
1.6.1 Propriedades das funções cont́ınuas
Seguem das propriedades do limite, as seguintes propriedades das funções cont́ınuas.
Sejam f e g funções cont́ınuas em a e k = constante. Então:
(i) f(x)± g(x) é cont́ınua em a;
(ii) k.f(x) é cont́ınua em a;
(iii) f(x) · g(x) é cont́ınua em a;
(iv)
f(x)
g(x)
é cont́ınua em a, com g(a) ̸= 0.
Teorema 1.8 Uma função polinomial é cont́ınua em qualquer número.
Teorema 1.9 Uma função racional é cont́ınua em todos os números do seu domı́nio.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 37
Exemplo 1.46 Considere a função f(x) = x3 − 2x2 + 5x + 1, f é cont́ınua em x = 3,
pois:
(i) ∃f(3) = 33 − 2(3)2 + 5(3) + 1 = 27
(ii) ∃ lim
x→3
f(x)
(iii) lim
x→3
f(x) = f(3).
Exemplo 1.47 Considere a função f(x) =
 1x−2 se x ̸= 23 se x = 2 , f é descont́ınua em x =
2, pois: ∃f(2) = 3, mas @ lim
x→2
f(x). Verifique!! Porém, f é cont́ınua em todos os pontos
do domı́nio Df = {x ∈ R| x ̸= 2}.
Observações:
1. As funções f(x) = senx e f(x) = cos x são cont́ınuas para todo número real x.
2. A função f(x) = ex é cont́ınua para todo x real.
3. Se f é cont́ınua em a e g é cont́ınua em f(a), então a função composta g ◦ f é
cont́ınua em a.
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 38
1.7 Exerćıcios: Lista 5
Exerćıcio 1.1 Calcule os seguintes limites:
Respostas:
Exerćıcio 1.2 Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 39
Respostas:
Exerćıcio 1.3 Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Exerćıcio 1.4 Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Exerćıcio 1.5 Calcule os seguintes limites:
CAPÍTULO 1. LIMITES E CONTINUIDADE 40
Exerćıcio 1.6 Calcule:
Caṕıtulo 2
A derivada
O cálculo diferencial é baseado na noção de taxa de variação, a noção aparece implici-
tamente em palavras, tais como: taxa de crescimento, crescimento relativo, velocidade,
aceleração, taxa de reação, densidade e inclinação de uma curva.
Começamos com alguns exemplos introdutórios:
2.1 Taxas de variação
Taxa média de variação
1. O problema do movimento
Seja y = f(t) uma equação horária do movimento de uma part́ıcula sobre a reta
real y. Então f(t) descreve a posição da part́ıcula no instante t, para cada t ∈ R. A
velocidade média ou taxa média de variação da part́ıcula entre os instantes t0 e t é
dada por
distância percorrida
tempo dercorrido
=
f(t)− f(t0)
t− t0
2. O problema do crescimento
Seja N o número de uma população de bactérias. Consideremos N variando com o
tempo, então podemos considerar N como uma função do tempo t:
N = f(t).
41
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 42
Dados t1 e t2 dois instantes, tais que t2 > t1, temos os números f(t1) e f(t2) de indiv́ıduos
da população de bactérias nos respectivos instantes t1, t2. A diferença △N = f(t2)−f(t1)
é a variação total do tamanho da população no intervalo de tempo de t1 a t2.
Se △N > 0 temos um aumento em tamanho, e se △N < 0 um decréscimo. Para
julgarmos com que velocidade o tamanho da população variou, temos que considerar,
também, a extensão do intervalo de tempo △t = t2 − t1. A proporção
△N
△t
=
f(t2)− f(t1)
t2 − t1
nos mostra quanto variou o tamanho da população no intervalo △t. Ou seja, é a variação
média ou taxa média de variação da população de bactérias no peŕıodo de t1 a t2.
3. O problema do metabolismo
Com relação ao metabolismo, estamos interessados na velocidade de uma reação
qúımica. Seja M = f(t) a massa de alguns nutrientes como uma função do tempo. Ad-
mitimos, por exemplo, que o nutriente se desintegra quimicamente e, consequentemente,
que M decresce. Sejam t1 e t2 dois tempos consecutivos. Seja △t = t2 − t1 a extensão
do intervalo de tempo e △M = f(t2) − f(t1) o decréscimo em massa. Calculamos a
velocidade média de reação ou taxa média de reação no intervalo de tempo △t:
△M
△t
=
f(t2)− f(t1)
t2 − t1
.
Segundo nossas hipóteses △M△t é negativo.
4. O problema da degradação f́ısica nuclear
Seja N = f(t) o número de átomos radioativos em uma amostra no instante de
tempo t. Então a taxa média de degradação no intervalo de tempo △t é:
△N
△t
=
f(t2)− f(t1)
t2 − t1
.
Tendo estudado várias aplicações da noção “taxa média de variação”, estamos
agora preparados para lidar com esta noção sob um ponto de vista puramente matemático.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 43
Seja y = f(x), qualquer função e seja o intervalo entre x1 e x2 pertencente ao domı́nio
desta função, representado pelo incremento△x = x2−x1, ainda, x2 = x1+△x. A variação
total de y no intervalo entre x1 e x2 é △y = y(x2)−y(x1), ainda △y = f(x1+△x)−f(x1).
Definição 2.1 Chamamos a fração
△y
△x
=
y(x2)− y(x1)
x2 − x1
=
f(x1 +△x)− f(x1)
△x
de taxa
média de variação ou quociente de diferenças.
Definição 2.2 Considere os pontos (x1, y1) e (x2, y2) do gráfico da função y = f(x),
conforme Figura 2.1. A taxa média de variação no intervalo entre x1 e x2 é o coe-
ficiente angular da reta secanteque liga os dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), isto é,
ms =
△y
△x
= tgβ.
x x x
y
y
y
1 2
1
2
L
y
x
y = f(x)
β
Figura 2.1:
Taxa instantânea de variação
Não é sempre satisfatório considerarmos a média de uma taxa de variação. Intuiti-
vamente estamos procurando por um termo que represente uma taxa de variação “atual”
ou “instantânea”. A transição de uma taxa média de variação para uma taxa instantânea
é a ideia básica do cálculo diferencial. Para esse propósito devemos reduzir o intervalo de
x1 a x2 a um ponto. Consequentemente mantendo x1 fixo fazemos x2 tender em direção
a x1, isto é, x2 → x1, △x → 0.
Observe a Figura 2.2. Quando x2 → x1, a reta secante L tende para a reta tangente t
ao gráfico em (x1, y1). Assim, o coeficiente angular ms =
△y
△x
de L tende para o coeficiente
angular mt da tangente a curva y = f(x) no ponto (x1, y1).
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 44
y = f(x)
L
x
x x x
y
y
y
1 2
1
2
y
α
t
Figura 2.2:
Agora, △x é o denominador de △y
△x
. Para que a quantidade tenda para um limite
finito, temos que admitir que não somente △x, mas também △y tendam para zero. Isto
implica em que y = f(x) deva ser uma função cont́ınua em x = x1. Representando o
coeficiente angular de uma reta tangente por mt, podemos resumir o processo de
limite da seguinte maneira:
x2 → x1, △x → 0,
y2 → y1, △y → 0,
ms =
△y
△x
→ mt ou lim
△x→0
△y
△x
= mt.
Definição 2.3 Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo que contém o ponto
x1. Admitimos que o limite
lim
△x→0
△y
△x
= mt = tgα
existe. Então este limite é chamado taxa de variação instantânea de y em x1.
A reta de equação y − f(x1) = mt(x1)(x − x1) é por definição a reta tangente ao
gráfico de y = f(x) no ponto (x1, f(x1)). Assim, a taxa de variação instantânea de f
em x1, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto x1.
Exemplo 2.1 (Velocidade instantânea) Uma part́ıcula move-se sobre o eixo y de modo
que, no instante t, a posição y é dada por y = t2, t ≥ 0, onde t é dado em segundos e
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 45
y é dado em metros. Qual a velocidade da part́ıcula no instante t? E no instante t = 5
segundos?
O que podemos fazer, é imaginar intervalos de tempo △t cada vez menores, para que as
velocidades médias correspondentes possam dar-nos informações cada vez mais precisas
do que se passa no instante t. Somos, assim, levados ao conceito de velocidade instantânea
v(t), no instante t, como sendo o limite de vmed, quando △t tende a zero, isto é,
v(t) = lim
△t→0
vmed = lim
△t→0
△y
△t
.
Ou ainda,
v(t) = lim
△t→0
y(t+△t)− y(t)
△t
= lim
△t→0
(t+△t)2 − t2
△t
= lim
△t→0
△t(2t+△t)
△t
= lim
△t→0
(2t+△t) = 2t metros/segundos.
No instante t = 5 segundos, a velocidade instantânea é dada por v(5) = 2(5) = 10
metros/segundos.
2.2 Derivada de uma função
Definição 2.4 Sejam y = f(x) uma função e x1 um ponto do seu domı́nio D(f) ⊆ R.
O limite
f
′
(x1) = lim
x→x1
f(x)− f(x1)
x− x1
quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em x1, e indica-se por f
′
(x1),
(lê-se f linha de x1).
Exemplo 2.2 Calcule a derivada da função f(x) = 2x− 1 no ponto x1 = 3.
f
′
(x1) = lim
x→x1
f(x)− f(x1)
x− x1
= lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3
= lim
x→x3
(2x− 1)− 5
x− 3
= lim
x→3
2x− 6
x− 3
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 46
= lim
x→3
2(x− 3)
x− 3
= lim
x→3
2 = 2
Notações alternativas. Seja y = f(x), onde f é uma função derivável. Podemos
escrever, alternativamente,
f
′
(x) = y
′
=
dy
dx
=
d
dx
(y) =
df
dx
=
d
dx
f(x) = Df(x) = Dxf(x)
para denotar a derivada de y ou f em relação à variável x.
O śımbolo
dy
dx
não é um quociente, trata-se simplesmente de uma notação. Utili-
zando a notação de incremento, podemos escrever a definição de derivada como
f
′
(x) = lim
△x→0
f(x+△x)− f(x)
△x
.
Se f admite derivada em x1, então dizemos que f é derivável ou diferenciável
em x1. Se f admite derivada para ∀x ∈ Df , então dizemos que f é derivável ou
diferenciável.
A derivada f
′
(x) é uma função que representa a taxa de variação de f(x) por
unidade de variação x. Ainda, a derivada de f em x1, é representada geometricamente
pelo coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto x1, ou seja,
f
′
(x1) = mt.
Tem-se que a equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (x1, f(x1)) é
y − f(x1) = f
′
(x1)(x− x1).
Portanto, não é dif́ıcil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x1
é igual numericamente à tangente do ângulo α. Podemos escrever então:
f
′
(x1) = tgα.
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções mas, por enquanto, vamos
calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um
exerćıcio introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.
Exemplo 2.3 Calcular a derivada da função f(x) = x2 no ponto x.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 47
Solução: Temos neste caso
f
′
(x) = lim
△x→0
f(x+△x)− f(x)
△x
= lim
△x→0
(x+△x)2 − x2
△x
= lim
△x→0
x2 + 2x△x+ (△x)2 − x2
△x
= lim
△x→0
2x△x+ (△x)2
△x
= lim
△x→0
△x(2x+△x)
△x
= lim
△x→0
(2x+△x) = 2x+ 0 = 2x.
Exemplo 2.4 Calcular a derivada da função f(x) = x2 no ponto x1 = 10.
Solução: A partir da solução do exemplo anterior f
′
(x) = 2x, façamos, simplesmente
f
′
(10) = 2(10) = 20,
ou ainda,
f
′
(10) = lim
x→10
f(x)− f(10)
x− 10
= lim
x→10
x2 − 100
x− 10
= lim
x→10
(x− 10)(x+ 10)
x− 10
= lim
x→10
(x+ 10) = 20.
Agora, qual a interpretação geométrica do resultado acima? A derivada da função
y = x2, f
′
(10) = 20, significa que o coeficiente angular da reta tangente à curva y = x2,
no ponto x = 10, será também igual a 20, conforme teoria vista acima. Ora, sendo
α o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x, α será um ângulo tal
que tgα = 20. Consultando uma tábua trigonométrica ou através de uma calculadora
cient́ıfica, conclúımos que α ≈ 87◦. Então, isto significa que a reta tangente à curva de
equação y = x2, no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual a
α ≈ 87◦.
Exerćıcio 2.1 Calcule f
′
(x1), pela definição, sendo dados:
a) f(x) = x2 + x e x1 = 1 b) f(x) =
√
x e x1 = 4
c) f(x) = 5x− 3 e x1 = −3 d) f(x) = 1x e x1 = 1
Exerćıcio 2.2 Determine a equação da reta tangente em (x1, f(x1)), sendo dados:
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 48
a) f(x) = x2 e x1 = 2 b) f(x) =
1
x
e x1 = 2
c) f(x) =
√
x e x1 = 9 d) f(x) = x
2 − x e x1 = 1
Respostas do exerćıcio 2.1: a) 3 b) 1
4
c) 5 d) − 1
Respostas do exerćıcio 2.2: a) y = 4x− 4 b) y = − 1
4
x+ 1 c) x− 6y + 9 = 0 d) y = x− 1
2.3 Continuidade de funções deriváveis
O seguinte Teorema estabelece uma relação entre continuidade e diferenciabilidade.
Teorema 2.1 Se f é uma função diferenciável em p ∈ D(f) então f é cont́ınua em p.
Analogamente, se f não é cont́ınua em p então f não é uma função diferenciável em p.
Prova: Devemos mostrar que lim
x→p
f(x) = f(p), ou equivalentemente que
lim
x→p
f(x)− f(p) = 0.
Escrevemos
f(x)− f(p) = f(x)− f(p)
x− p
(x− p).
Então
lim
x→p
[f(x)− f(p)] = lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p
(x− p) = lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p
lim
x→p
(x− p) = f ′(p)0 = 0.
Portanto, f é cont́ınua em p.
Observação: Note que não vale a rećıproca. A função f(x) = |x| é cont́ınua em x = 0
mas não é diferenciável em x = 0. Prove!!
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 49
Exemplo 2.5 A função f(x) =
 x2 se x ≤ 1,2 se x > 1 é diferenciável em x = 1?
Exemplo 2.6 A função f(x) =
 x− 1 se x ≥ 0,x se x < 0 é diferenciável em x = 0?
2.4 Regras de derivação
Nesta seção, deduziremos várias regras, chamadas regras de derivação, que permi-
tem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.
Proposição 2.1 (Derivada de uma constante) Se c é uma constante e f(x) = c para
todo x, então f
′
(x) = 0.
Prova: Seja f(x) = c. Então
f
′
(x) = lim
△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x = lim△x→0
c−c
△ x = lim△x→0 0 = 0.
Exemplo 2.7 Se f(x) = 5, então f
′
(x) = 0.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 50
Proposição 2.2 (Regra da potência) Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn
para todo x, então f
′
(x) = n.xn−1.
Prova: Seja f(x) = xn. Então
f
′
(x) = lim
△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x = lim△x→0
(x+ △ x)n − xn
△ x
Expandindo (x+ △ x)n pelo Binômio de Newton, temos
lim
△x→0
[
xn + nxn−1 △ x+ n(n−1)
2!
xn−2(△ x)2 + ...+ nx(△ x)n−1 + (△ x)n
]
− xn
△ x
lim
△x→0
△ x
[
nxn−1 + n(n−1)
2!
xn−2 △ x+ ...+ nx(△ x)n−2 + (△ x)n−1
]
△ x
lim
△x→0
[
nxn−1 +
n(n− 1)
2!
xn−2 △ x+ ...+ nx(△ x)n−2 + (△ x)n−1
]
= nxn−1.
Exemplo 2.8
(i) Se f(x) = x5, então f
′
(x) = 5x4.
(ii) Se f(x) = x, então f
′
(x) = 1.
(iii) Se f(x) =
√
x3, faça f(x) = x
3
2 , então f
′
(x) =
3
2
x
1
2 =
3
2
√
x.
Proposição 2.3 (Derivadas das funções trigonométricas) São válidas as fórmulas
de derivação
a) f(x) = senx ⇒ f ′(x) = cos x
b) f(x) = cos x ⇒ f ′(x) = −senx
c) f(x) = tgx ⇒ f ′(x) = sec2x
d) f(x) = secx ⇒ f ′(x) = sec(x)tg(x)
e) f(x) = cotgx ⇒ f ′(x) = −cosec2x
f) f(x) = cosecx ⇒ f ′(x) = −cosec(x)cotg(x).
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 51
Prova: A demonstração dessa proposição fica a seu cargo e pode ser facilmente encontrada
em [3, 6, 4].
Proposição 2.4 (Derivada do produto de uma constante por uma função) Sejam
f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = cf(x). Se f
′
(x) existe,
então g
′
(x) = cf
′
(x).
Prova: Seja f(x) = xn, por hipótese existe f
′
(x) = lim
△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x .
Temos que
g
′
(x) = lim
△x→0
g(x+ △ x)− g(x)
△ x = lim△x→0
c.f(x+ △ x)− c.f(x)
△ x
= lim
△x→0
c[f(x+ △ x)− f(x)]
△ x = c. lim△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x = c.f
′
(x).
Exemplo 2.9
(i) Se f(x) = 8x5, então f
′
(x) = 8(5)x4 = 40x4.
(ii) Se f(x) = −2x7, então f ′(x) = −2(7)x6 = −14x6.
Proposição 2.5 (Derivada de uma soma) Sejam f e g duas funções, e h uma função
definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f
′
(x) e g
′
(x) existem, então h
′
(x) = f
′
(x) + g
′
(x).
Prova: Seja h(x) = f(x) + g(x), por hipótese existem
f
′
(x) = lim
△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x e g
′
(x) = lim
△x→0
g(x+ △ x)− g(x)
△ x .
Temos que
h
′
(x) = lim
△x→0
h(x+ △ x)− h(x)
△ x = lim△x→0
[f(x+ △ x) + g(x+ △ x)]− [f(x) + g(x)]
△ x
lim
△x→0
[f(x+ △ x)− f(x)] + [g(x+ △ x)− g(x)]
△ x
lim
△x→0
[f(x+ △ x)− f(x)]
△ x + lim△x→0
[g(x+ △ x)− g(x)]
△ x = f
′
(x) + g
′
(x).
Exemplo 2.10
(i) Seja f(x) = 3x2 + 8x+ 5, então f
′
(x) = 3.(2x) + 8.1 + 0 = 6x+ 8.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 52
(ii) Se f(x) = 9x5−4x2+2y+7, então f ′(x) = 9.(5x4)−4.(2x)+2.1+0 = 45x4−8x+2.
Proposição 2.6 (Derivada do produto) Sejam f e g duas funções e h uma função
definida por h(x) = f(x).g(x). Se f
′
(x) e g
′
(x) existem, então
h
′
(x) = f(x).g
′
(x) + f
′
(x).g(x).
Prova: Seja h(x) = f(x).g(x), por hipótese existem
f
′
(x) = lim
△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x e g
′
(x) = lim
△x→0
g(x+ △ x)− g(x)
△ x .
Temos que
h
′
(x) = lim
△x→0
h(x+ △ x)− h(x)
△ x = lim△x→0
[f(x+ △ x).g(x+ △ x)]− [f(x).g(x)]
△ x
Somando e subtraindo ao numerador a expressão f(x+ △ x).g(x), temos
h
′
(x) = lim
△x→0
f(x+ △ x).g(x+ △ x)− f(x+ △ x).g(x) + f(x+ △ x).g(x)− f(x).g(x)
△ x
lim
△x→0
f(x+ △ x).[g(x+ △ x)− g(x)] + [f(x+ △ x)− f(x)].g(x)
△ x
= lim
△x→0
f(x+ △ x). lim
△x→0
[g(x+ △ x)− g(x)]
△ x + lim△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x . lim△x→0 g(x)
= f(x).g
′
(x) + f
′
(x).g(x).
Exemplo 2.11
(i) Sejam f(x) = 2x3 − 1 e g(x) = x4 + x2 se h(x) = (2x3 − 1).(x4 + x2) então
h
′
(x) = (2x3 − 1)(x4 + x2)′ + (2x3 − 1)′(x4 + x2)
h
′
(x) = (2x3 − 1)(4x3 + 2x) + (2.(3x2)(x4 + x2)
h
′
(x) = (2x3 − 1)(4x3 + 2x) + (6x2)(x4 + x2)
(ii) Seja f(x) =
1
2
(x2 + 5).(x6 + 4x) então f
′
(x) =
1
2
[(x2 + 5).(6x5 + 4) + (x6 + 4x)(2x)]
Proposição 2.7 (Derivada de um quociente) Sejam f e g duas funções e h uma função
definida por h(x) = f(x)/g(x), onde g(x) ̸= 0. Se f ′(x) e g′(x) existem, então
h
′
(x) =
g(x).f
′
(x)− f(x).g′(x)
[g(x)]2
.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 53
Prova: Seja h(x) = f(x)/g(x), por hipótese existem
f
′
(x) = lim
△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x e g
′
(x) = lim
△x→0
g(x+ △ x)− g(x)
△ x .
Considerando que toda função derivável é cont́ınua, podemos escrever
g
′
(x) = lim
△x→0
g(x+ △ x)− g(x)
△ x = f(x).
Temos que
h
′
(x) = lim
△x→0
h(x+ △ x)− h(x)
△ x = lim△x→0
f(x+ △ x)
g(x+ △ x) −
f(x)
g(x)
△ x
lim
△x→0
f(x+ △ x).g(x)− f(x).g(x+ △ x)
g(x+ △ x).g(x)
△ x = lim△x→0
f(x+ △ x).g(x)− f(x).g(x+ △ x)
g(x+ △ x).g(x). △ x
lim
△x→0
g(x). lim
△x→0
f(x+ △ x)− f(x)
△ x − lim△x→0 f(x). lim△x→0
g(x+ △ x)− g(x)
△ x
lim
△x→0
g(x+ △ x).g(x)
g(x).f
′
(x)− f(x).g′(x)
g(x)g(x)
=
g(x).f
′
(x)− f(x).g′(x)
[g(x)]2
.
Exemplo 2.12
(i) f(x) =
1
x
⇒ f ′(x) = x.0− 1.1
x2
=
−1
x2
(ii) Encontrar f
′
(x) sendo f(x) =
2x4 − 3
x2 − 5x+ 3
.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 54
Função Derivada
f(x) = k, k =constante f
′
(x) = 0
f(x) = k.x f
′
(x) = k
f(x) = x f
′
(x) = 1
f(x) = xn f
′
(x) = n.xn−1
f(x) = ax a > 0 e a ̸= 0 f ′(x) = ax. ln a
f(x) = ex f
′
(x) = ex
f(x) = sen(x) f
′
(x) = cos(x)
f(x) = cos(x) f
′
(x) = −sen(x)
f(x) = tg(x) f
′
(x) = sec2(x)
f(x) = u+ v f
′
(x) = u
′
+ v
′
f(x) = u.v f
′
(x) = u
′
.v + uv
′
f(x) =
u
v
, v ̸= 0 f ′(x) = (u
′
.v − u.v′)
v2
Exerćıcio 2.3 Encontre a derivada da função aplicando as regras de derivação.
a) f(x) = 8x11 b) f(x) = −7
5
x3 −
√
3
7
c) f(x) = 5 + x+ 3x2
d) f(x) = 3 + 5x2 + x4 e) f(x) = x3 + x2 + x+ 5 f) f(x) = 3 + 2xn + x2n (n ∈ N)
Exerćıcio 2.4 Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções.
a) f(x) = 2π d) f(x) = x4 − 3x2 + 5 g) f(x) =
√
x(
√
x+ 2)
b) f(x) = −7x+ 2 e) f(t) = 4t2/3 h) f(x) = x
3
3
+
3
x3
c) f(t) = 1− 2t− t2 f) f(x) = 5 4
√
x− x5 i) f(t) = 2t4 + 5t3 + 6t− 1
Exerćıcio 2.5 Aplicando as regras de derivação, calcule y
′
das seguintes funções, consi-
dere a,b e c constantes:
1) y = πr2 2) y = 3x2 + 6x− 10 3) y = aw2 + b
4) y = 14− 1
2
x−3 5) y = (2x+ 1)(3x2 + 6) 6) y = (7x− 1)(x+ 4)
7) y = (3x5 − 1)(2− x4) 8) y = 2
3
(5x− 3)−1(5x+ 3) 9) y = (x− 1)(x+ 1)
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 55
Exerćıcio 2.6 Aplicando as regras de derivação, encontre f
′
(x) das seguintes funções,
considere b,c e k constantes:
1) f(x) = 3x2 + 5 2) f(x) = x3 + x2 + 1 3) f(x) = 3x3 − 2x2 + 4
4) f(x) = 3x+
√
x 5) f(x) = 5 + 3x−2 6) f(x) = 2 3
√
x
7) f(x) = 3x+
1
x
8) f(x) =
4
x
+
5
x2
9) f(x) =
2
3
x3 +
1
4
x2
10) f(x) = 3
√
x+
√
x 11) f(x) = 2x+
1
x
+
1
x2
12) f(x) = 6x3 + 3
√
x
13) f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k 14) f(x) =
x
x2 + 1
15) f(x) =
x2 − 1
x+ 1
16) f(x) =
3x2 + 3
5x− 3
17) f(x) =
√
x
x+ 1
18) f(x) = 5x+
x
x− 1
Respostas do exerćıcio 2.3:
a)
dy
dx
= 88x10 b)
dy
dx
= −
21
5
x2 c)
dy
dx
= 6x+ 1
d)
dy
dx
= 4x3 + 10x e)
dy
dx
= 3x2 + 2x+ 1 f)
dy
dx
= 2nxn−1 + 2nx2n−1
Respostas do exerćıcio 2.4:
a)
dy
dx
= 0 b)
dy
dx
= −7 c)
dy
dt
= −2− 2t
d)
dy
dx
= 4x3 − 6x e)
dy
dt
=
8
3 3
√
t
f)
dy
dx
=
5
4
4
√
x3
− 5x4
g)
dy
dx
= 1 +
1
√
x
h)
dy
dx
= x2 −
9
x4
i)
dy
dt
= 8t3 + 15t2 + 6
Respostas do exerćıcio 2.5:
1) y′ = 2πr 2) y′ = 6x+ 6 3) y′ = 2aw
4) y′ =
3
2x4
5) y′ = 18x2 + 6x+ 12 6) y′ = 14x+ 27
7) y′ = −27x8 + 30x4 + 4x3 8) y′ =
−20
(5x− 3)2
9) y′ = 2x
Respostas do exerćıcio 2.6:
1) f
′
(x) = 6x 2) f
′
(x) = 3x2 + 2x 3) f
′
(x) = 9x2 − 4x
4) f
′
(x) = 3 +
1
2
√
x
5) f
′
(x) = −6x−3 6) f
′
(x) =
2
3
3
√
x2
7) f
′
(x) = 3−
1
x2
8) f
′
(x) = −
4
x2
−
10
x3
9) f
′
(x) = 2x2 +
1
2
x
10) f
′
(x) =
1
3
3
√
x2
+
1
2
√
x
11) f
′
(x) = 2−
1
x2
−
2
x3
12) f
′
(x) = 18x2 +
1
3
3
√
x2
13) f
′
(x) = 20x3 + 3bx2 + 2cx 14) f
′
(x) =
1− x2
(x2 + 1)2
15) f
′
(x) =
x2 + 2x+ 1
(x+ 1)2
16) f
′
(x) =
15x2 − 18x− 15
(5x− 3)2
17) f
′
(x) =
1− x
2
√
x(x+ 1)2
18) f
′
(x) = 5−
1
(x− 1)2
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 56
2.5 A regra da cadeia
A Regra da Cadeia nos fornece uma fórmula para achar a derivada de uma função
composta h = f ◦ g em termos das derivadas de f e g.
Teorema 2.2 (Regrada Cadeia) Sejam y = f(u) derivável e u = g(x) derivável com
Im(g) ⊆ D(f). Seja h = f ◦ g. Então h é derivável e vale a regra da cadeia
h
′
(x) = f
′
(g(x))g
′
(x), para todo x ∈ D(g). (2.1)
Prova: A prova da Regra da Cadeia fica como exerćıcio, pode ser encontrada em [3, 4].
Notação alternativa: Nas condições do Teorema 2.2, temos
y = f(u) =⇒ dy
du
= f
′
(u) = f
′
(g(x))
u = g(x) =⇒ du
dx
= g
′
(x)
(2.2)
Por outro lado, h(x) = f(g(x)) = f(u) = y, ou seja, y = h(x). Portanto
dy
dx
= h
′
(x). (2.3)
Dáı, substituindo (2.2) e (2.3) em (2.2), obtemos
dy
dx
=
dy
du
du
dx
, para todo x ∈ D(g).
Observação: Observe que ao aplicar a Regra da Cadeia diferenciamos primeiro a função
de fora f e avaliamos na função de dentro g(x) e então multiplicamos pela derivada da
função de dentro.
Exemplo 2.13 A função y = (x2 +5x+2)7 pode ser vista como a composta das funções
y = f(u) = u7 e u = g(x) = x2 + 5x+ 2 de dentro. Queremos determinar
dy
dx
.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 57
Aplicando a regra da cadeia temos:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= (u7)
′
.u
′
= 7u6.(2x+ 5) = 7(x2 + 5x+ 2)6.(2x+ 5)
Exemplo 2.14 Dada a função y =
(
3x+ 2
2x+ 1
)5
, determinar
dy
dx
.
Façamos y = u5, onde u =
3x+ 2
2x+ 1
. Aplicando a regra da cadeia
dy
dx
=
dy
du
du
dx
, temos:
dy
dx
= 5u4.
(2x+ 1).3− (3x+ 2).2
(2x+ 1)2
= 5.
(
3x+ 2
2x+ 1
)4
.
6x+ 3− 6x− 4
(2x+ 1)2
= 5.
(
3x+ 2
2x+ 1
)4
.
−1
(2x+ 1)2
Exemplo 2.15 Dada a função y = (3x2 + 1)3.(x− x2)2, determinar dy
dx
.
Neste caso vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia:
dy
dx
= 3.(3x2 + 1)2.(6x).(x− x2)2 + (3x2 + 1)3.2.(x− x2).(1− 2x)
= 18x.(3x2 + 1)2.(x− x2)2 + 2.(3x2 + 1)3.(x− x2).(1− 2x)
Se u(x) é uma função derivável, aplicando a Regra da Cadeia podemos acrescentar
as seguintes fórmulas na tabela de derivadas:
Função Derivada
f(x) = au, (a > 0, a ̸= 1) f ′(x) = au. ln a.u′
f(x) = eu f
′
(x) = eu.u
′
f(x) = loga u f
′
(x) = u
′
u
. loga e
f(x) = lnu f
′
(x) = u
′
u
f(x) = uv, (u > 0) f
′
(x) = vuv−1.u
′
+ uv lnu.v
′
Exerćıcio 2.7 Utilizando a regra da cadeia, determine a derivada de cada função:
1) f(x) = (2x+ 1)3 2) f(x) = (x2 + 4x− 5)4 3) f(t) = (2t4 − 7t3 + 2t− 1)2
4) f(x) = (x2 + 4)−2 5) f(x) = 4cos 3x− 3sen 4x 6) y =
(
2x− 1
3x2 + x− 2
)3
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 58
7) f(x) =
(x2 − 5)3
(x2 + 4)2
8) f(t) = sen2(3t2 − 1) 9) f(x) = x8 + (2x+ 4)3 +
√
x
10) f(x) = 4cos(sen 3x) 11) f(x) =
3
√
6x2 + 7x+ 2 12) f(x) =
x+ 1√
x2 − 3
Exerćıcio 2.8 Calcule y′
1) y = 32x
2+3x+1 2) y =
(
1
2
)√x
3) y = e
x+ 1
x− 1

4) y = ex. lnx 5) y = log2 (3x
2 + 7x− 1) 6) y = ln
(
e2
x+ 1
)
Respostas do exerćıcio 2.7:
1) f
′
(x) = 6(2x+ 1)2 2) f
′
(x) = 8(x+ 2)(x2 + 4x− 5)3
3) f
′
(t) = 2(2t4 − 7t3 + 2t− 1)(8t3 − 21t2 + 2) 4) f
′
(x) =
−4x
(x2 + 4)3
5) f
′
(x) = −12(sen 3x+ cos 4x) 6) f
′
(x) = −
9(2x− 1)2(2x2 − 2x+ 1)
(3x2 + x− 2)4
7) f
′
(x) =
2x(x2 − 5)2(x2 + 22)
(x2 + 4)3
8) f
′
(t) = 12t cos(3t2 − 1)sen(3t2 − 1)
9) f
′
(x) = 8x7 + 6(2x+ 4)2 +
1
2
√
x
10) f
′
(x) = −12 cos(3x)sen(sen3x)
11) f
′
(x) =
12x+ 7
3 3
√
(6x2 + 7x+ 2)2
12) f
′
(x) =
−3− x
(x2 − 3)
√
x2 − 3
Respostas do exerćıcio 2.8:
1) y
′
= 32x
2+3x+1. ln 3.(4x+ 3) 2) y
′
=
(
1
2
)√x
. ln 1
2
. 1
2
√
x
3) y
′
= e
x+1
x−1 . −2
(x−1)2
4) y
′
= ex. ln x(lnx+ 1) 5) y
′
= 6x+7
3x2+7x−1 log2 e 6) y
′
= −1
x+1
2.6 Derivada da função inversa
Seja f uma função inverśıvel, com inversa g, assim f(g(x)) = x para todo x ∈ D(g).
Segue que para todo x ∈ D(g)
[f(g(x))]
′
= x
′
ou [f(g(x))]
′
= 1.
Se supusermos f e g diferenciáveis, podemos aplicar a regra da cadeia ao 10 membro da
equação acima:
f
′
(g(x))g
′
(x) = 1 ou g
′
(x) =
1
f ′(g(x))
para todo x ∈ D(g)
que é a fórmula que nos permite calcular a derivada de g conhecendo-se a derivada de f.
Exemplo 2.16 Determine a derivada da função inversa de y = 4x− 3.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 59
A função inversa de y = 4x − 3 é y−1 = 1
4
(x + 3). A derivada da função y é y
′
= 4 e da
inversa y−1 é (y−1)
′
=
1
4
=
1
y′
.
Exerćıcio 2.9 Calcule a derivada da função f−1(x), sendo dada a função f(x):
1) f(x) = 5x3 + 6x− 1 2) f(x) = 5
√
x+ 3
x
3) f(x) = x
x+1
4) f(x) = x cos x 5) f(x) =
x+ 1
lnx
6) f(x) = x3ex
Respostas do exerćıcio 2.9:
1) f
′
(x) =
1
15x2 + 6
2) f
′
(x) =
5x2
5
√
x4
x2 − 15 5
√
x4
3) f
′
(x) = (x+ 1)2
4) f
′
(t) =
1
cos x− xsen x
5) f
′
(x) =
x(lnx)2
x lnx− x− 1
6) f
′
(x) =
1
x2ex(3 + x)
2.7 Derivação impĺıcita
Em geral, as funções são dadas na forma y = f(x). Entretanto, algumas funções
são definidas implicitamente por uma relação entre x e y. Por exemplo, x2 + y2 = 25.
Em alguns casos é posśıvel resolver uma equação para y em função de x. Na equação
anterior, obtemos y = ±
√
25− x2. Logo, temos duas funções determinadas pela equação
impĺıcita. Algumas vezes não é fácil resolver a equação para y em termos de x, tal
como x3 + y3 = 6xy. Para calcular a derivada de y utilizamos a derivação impĺıcita,
que consiste em derivar a ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a
equação resultante para y
′
.
Exemplo 2.17 Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente
por x2 + y2 = 25, encontre y
′
.
Como a equação x2 + y2 = 25 define y = f(x) implicitamente, podemos considerá-
la uma identidade válida para todo x no domı́nio de f . Derivando ambos os membros
desta identidade em relação a x, temos
(x2 + y2)
′
= (25)
′
(x2)
′
+ (y2)
′
= 0
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 60
Como y = f(x), usando a regra da cadeia, vem
2x+ 2yy
′
= 0.
Isolando y
′
, temos y
′
=
−x
y
.
Exemplo 2.18 Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente
por xy2 + 2y3 = x− 2y, encontre y′ = dy
dx
.
Sabemos que a equação xy2 + 2y3 = x− 2y é uma identidade quando substitúımos
y por f(x). Portanto, em todos os pontos onde y = f(x) é derivável, temos as seguintes
igualdades:
(xy2 + 2y3)
′
= (x− 2y)′
(xy2)
′
+ (2y3)
′
= (x)
′ − (2y)′
x.2yy
′
+ y2 + 6y2y
′
= 1− 2y′ .
Isolando y
′
na última igualdade, temos
y
′
=
1− y2
2xy + 6y2 + 2
.
Exerćıcio 2.10 Calcule
dy
dx
em termos de x e de y, onde y = f(x)é uma função diferen-
ciável dada implicitamente pela função:
a) x2 − y2 = 4
d) y5 + y = x
g) x2 + y2 + 2y = 0
j) y + ln(x2 + y2) = 4
b) y3 + x2y = x+ 4
e) x2 + 4y2 = 3
h) x2y3 + xy = 2
l) 5y + cos y = xy
c) xy2 + 2y = 3
f) xy + y3 = x
i) xey + xy = 3
m) 2y + seny = x
Respostas do exerćıcio 2.10:
a)
dy
dx
=
x
y
e)
dy
dx
= −
x
4y
i)
dy
dx
= −
y + ey
xey + x
b)
dy
dx
= −
2xy − 1
3y2 + x2
f)
dy
dx
=
1− y
x+ 3y2
j)
dy
dx
= −
2x
x2 + y2 + 2y
c)
dy
dx
= −
y2
2xy + 2
g)
dy
dx
= −
x
y + 1
l)
dy
dx
=
y
5− seny − x
d)
dy
dx
=
1
1 + 5y4
h)
dy
dx
= −
2xy3 + y
3x2y2 + x
m)
dy
dx
=
1
2 + cos y
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 61
2.8 Derivadas sucessivas
Seja f uma função definida em um certo intervalo. Sua derivada f
′
é uma função
definida no mesmo intervalo. Assim, podemos pensar na derivada da função f
′
.
Definição 2.5 Seja f uma função derivável, se f
′
também for derivável, então a sua
derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por f
′′
(lê-se f-duas
linhas de x) ou
d2f
dx
(lê-se derivada segunda de f em relação a x).
Exemplo 2.19 Se f(x) = 3x2 + 8x+ 1, então
f
′
(x) = 6x+ 8 f
′′
(x) = 6.
Se f
′′
é uma função derivável, sua derivada, representada por f
′′′
(x), é chamada
derivada terceira de f(x).
A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f , representada por f (n)(x),
é obtida derivando-se a derivada de ordem n− 1 de f .
Exemplo 2.20 Se f(x) = 3x5 + 8x2 + 1, então
f
′
(x) = 15x4 + 16x
f
′′
(x) = 60x3 + 16
f
′′′
(x) = 180x2
f iv(x) = 360x
f 5(x) = 360
f 6(x) = 0
.........
f (n)(x) = 0, ∀n ≥ 6.
Exerćıcio 2.11 Calcule a derivada segunda:
1) y = sen 5t 2) y = cos 4t 3) y = sen wt, w constante
4) y = e−3x 5) y = e−x2
6) y =
ex
x+ 1
7) y = ln(x2 + 1) 8) y =
x2
x− 1
9) y = e−x − e−2x
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 62
Respostas do exerćıcio 2.11:
1) y = −25sen 5t 2) y = −16 cos 4t 3) y = −w2sen wt, w constante
4) y = 9e−3x 5) y = 2e−x
2
(2x2 − 1) 6) y =
ex(x2 + 1)
(x+ 1)3
7) y =
2(1− x2)
(x2 + 1)2
8)
2
(x− 1)3
9) y = e−x − 4e−2x
2.9 Exerćıcios: Lista 6
Exerćıcio 2.1 Aplicando as regras de derivação, encontre f
′
(x) das seguintes funções.
(1) f(x) =
2
x7
(2) f(x) = 3x−5
(3) f(x) =
1
x2 + x+ 1
(4) f(x) =
x+ 1
x− 1
(5) f(x) =
x+ 3
x− 1
+
x+ 2
x+ 1
(6) f(x) =
x2 + 3x+ 1
x− 2
(7) f(x) =
x2.senx
ex
(8) f(x) =
cosx
x.ex
(9) f(x) = cotgx
(10) f(x) = secx
(11) f(x) = cossecx
(12) f(x) = tg2x
(13) f(x) = secx− tgx
(14) f(x) = (x2 + 1).tgx
(15) f(x) =
1
senx
(16) f(x) =
tgx
senx+ cosx
Exerćıcio 2.2 Utilizando a regra da cadeia, encontre f
′
(x), considerando (a ∈ R+),
(b, c ∈ R) e (n ∈ N∗).
(1) f(x) = cosn x
(2) f(x) = sennx
(3) f(x) = a(x
2)
(4) f(x) = (f(x))n
(5) f(x) = cos(senx)
(6) f(x) = sen33x
(7) f(x) = sen4x
(8) f(x) =
cos 7x
x
(9) f(x) = b.sen cx
(10) f(x) = cos(3x2 + x+ 5)
(11) f(x) = sen ex
(12) f(x) = x+ 3.tg4x
(13) f(x) = asenx
(14) f(x) = cotg(3x− 1)
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 63
(15) f(x) = ax
2+5x+1
(16) f(x) =
7
e2x
(17) f(x) = tg32x
(18) f(x) = esen2x
(19) f(x) = tg(cosx)
(20) f(x) =
(
ex
tgx
)2
Respostas do exerćıcio 2.1:
1) f
′
(x) = −14x−8 2) f ′ (x) = −15x−6 3) f ′ (x) = −
2x+ 1
(x2 + x+ 1)2
4) f
′
(x) = −
2
(x− 1)2
5) f
′
(x) = −
5x2 + 6x+ 5
(x2 − 1)2
6) f
′
(x) =
x2 − 4x− 7
(x− 2)2
7) f
′
(x) =
2x.senx+ x2. cosx− x2senx
ex
8) f
′
(x) = −
x(senx+ cosx) + cosx
x2ex
9) f
′
(x) = −cossec2x
10) f
′
(x) = secx.tgx 11) f
′
(x) = −cossecx.cotgx 12) f ′ (x) = 2.tgx.sec2x 13) f ′ (x) = secx.(tgx− secx)
14) f
′
(x) = 2x.tgx+ (x2 + 1).sec2x 15) f
′
(x) = −
cosx
sen2x
16) f
′
(x) =
sec2x(senx+ cosx)− tgx(cosx− senx)
(cosx+ senx)2
Respostas do exerćıcio 2.2:
1) f
′
(x) = −n cosn−1 x.senx 2) f ′ (x) = nxn−1. cosxn 3) f ′ (x) = 2xa(x2). ln a 4) f ′ (x) = n[f(x)]n−1f ′ (x)
5) f
′
(x) = − cosx.sen(senx) 6) f ′ (x) = 9.sen23x. cos 3x 7) f ′ (x) = 4. cos 4x 8) f ′ (x) = −
7x.sen7x+ cos 7x
x2
9)f
′
(x) = bc. cos cx 10) f
′
(x) = −(6x+ 1).sen(3x2 + x+ 5) 11) f ′ (x) = ex. cos ex 12) f ′ (x) = 1 + 12.sec24x
13) f
′
(x) = asenx. cosx. ln a 14) f
′
(x) = −3.cossec2(3x− 1) 15) f ′ (x) = (2x+ 5).ax2+5x+1. ln a 16) f ′ (x) = −
14
e2x
17) f
′
(x) = 6.tg22x.sec22x 18) f
′
(x) = 2.esen2x. cos 2x 19) f
′
(x) = −senx.sec2(cosx) 20) f ′ (x) =
2e2x
tg3x
.(tgx− sec2x)
2.10 Diferencial
Lembremos que uma curva fica muito perto de sua reta tangente nas proximidades
do ponto de tangência. Assim, para aproximar uma função y = f(x) quando x está
próximo de p, usamos a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)); cuja equação é
y = f(p) + f
′
(p)(x− p)
e a aproximação
f(x) ≈ f(p) + f ′(p)(x− p)
é chamada aproximação linear ou aproximação pela reta tangente de f em p. A função
linear L(x) = f(p) + f
′
(p)(x− p) é chamada de linearização de f em p.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 64
Exemplo 2.21 Utilizando diferenciais, calcule um valor aproximado para
√
3, 98 e
√
4, 05,
considere a função f(x) =
√
x+ 3.
Determinemos a equação da reta tangente em p = 1. Temos que f
′
(x) =
1
2
√
x+ 3
.
Logo a aproximação linear é
L(x) = f(1) + f
′
(1)(x− 1) = 2 + 1
4
(x− 1).
Agora,
√
3, 98 = f(0, 98) ≈ L(0, 98) = 1, 995 e
√
4, 05 = f(1, 05) ≈ L(1, 05) = 2, 0125.
As ideias por trás das aproximações lineares são algumas vezes formuladas em termos
de diferenciais. Seja y = f(x) uma função diferenciável. Considerando dx como uma
variável independente, a diferencial é definida em termos de dx pela equação
dy = f
′
(x)dx.
Dizemos que dy é a diferencial de f em x ou simplesmente diferencial de y = f(x).
Para interpretar geometricamente a diferencial, considere a Figura 2.3.
Figura 2.3:
Seja dx = △x a variação em x e △y = f(x+ dx)− f(x) a variação em y. Sabemos
que f
′
(x) é o coeficiente angular da reta T tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)).
Portanto dy representa a distância que a reta tangente sobe ou desce, enquanto △y repre-
senta a distância que a curva y = f(x) sobe ou desce quando x varia por uma quantidade
dx.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 65
Observação: Note que, quando dx for suficientemente pequeno, dy irá se aproximar de
△y = f(x+ dx)− f(x) no seguinte sentido
△y − dy
dx
−→ 0, quando dx −→ 0.
Isto significa que o erro cometido ao aproximarmos △y por dy é pequeno quando
comparado a dx. Portanto
△y ≈ dy
para dx suficientemente pequeno.
Na notação de diferenciais, a aproximação linear pode ser escrita como
f(p+ dx) ≈ f(p) + dy.
No exemplo anterior, para a função f(x) =
√
x+ 3 temos dy = f
′
(x)dx =
dx
2
√
x+ 3
.
Se p = 1 e dx = △x = 0, 05, então dy = 0, 0125 e
√
4, 05 = f(1, 05) ≈ f(1)+ dy = 2, 0125
exatamente como antes.
Exemplo 2.22 Se y = 2x2 − 6x+ 5, calcule o acréscimo △y para x = 3 e △x = 0, 01.
Usando a definição de △y, escrevemos
△y = f(x1 +△x)− f(x1)
= f(3 + 0, 01)− f(3)
= f(3, 01)− f(3)
= [2.(3, 01)2 − 6.3, 01 + 5]− [2.32 − 6.3 + 5]
= 5, 0602− 5
= 0, 0602.
Exemplo 2.23 Se y = 6x2 − 4, calcule o acréscimo △y e dy para x = 2 e △x = 0, 001.
Usando a definição de △y, escrevemos
△y = f(x1 +△x)− f(x1)
= f(2 + 0, 001)− f(2)
= [6.(2, 001)2 − 4]− [6.22 − 4]
= 20, 024006− 20
= 0, 024006.
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 66
Usando a definição de dy, temos
dy = f
′
(x).△x
= 12x.△x
= 12.2.0, 001
= 0, 024.
Observamos que a diferença △y − dy = 0, 000006 seria menor caso usássemos um
valor menor que 0, 001 para △x.
Exemplo 2.24 O raio de uma esfera tem 21 cm, com um erro de medida posśıvel de
no máximo 0, 05 cm. Qual é o erro máximo cometido ao usar esse valor de raio para
computar o volume da esfera?
Se o raio da esfera for r, então seu volume é V =
4
3
πr3. Denotamos o erro na medida
do raio por dr = △r. O erro correspondente no cálculo do volume é △V que pode ser
aproximado pela diferencial dV = 4πr2dr. Quando r = 21 e dr = 0, 05, temos dV =
4π(21)20, 05 ≈ 277. Logo o erro máximo no volume calculado será de aproximadamente
277 cm3.
Exerćıcio 2.12 Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa ciĺındrica
de altura 12 m, raio interior 7 m e espessura 0,05 m, veja Figura 2.4. Qual o erro
decorrente se resolvermos usando diferenciais?
Figura 2.4:
Exerćıcio 2.13
CAPÍTULO 2. A DERIVADA 67
1. Encontrar △y e dy para os valores dados
(a) y =
1
2x2
; △x = 0, 001; x = 1
(b) y = 5x2 − 6x; △x = 0, 02; x = 0
(c) y =
2x+ 1
x− 1
; △x = 0, 1; x = −1
2. Calcular um valor aproximado para as seguintes ráızes, usando diferencial.
(a)
√
50 (b) 3
√
63, 5 (c) 4
√
13
Respostas do exerćıcio 2.12: △V = 8, 43πm3 e erro= 0, 03πm3
Respostas do exerćıcio 2.13:
1. (a) △y = 0, 000998 e dy = −0, 001 (b) △y = −0, 018 e dy = −0, 12 (c) △y = −0, 078 e dy = −0, 075
2. (a) 7, 071 (b) 3, 9895 (c) 1, 906.
Caṕıtulo 3
Aplicações de derivadas
A interpretação da derivada como a inclinação de uma reta tangente fornece-nos
informações sobre o comportamento das funções, e assim, ela é usada em técnicas de
gráficos de funções.
Dada uma curva y = f(x), usaremos a derivada para obter alguns dados a cerca da
curva. Po exemplo, discutiremos os pontos de máximos e mı́nimos, os intervalos onde a
curva é crescente ou decrescente. A maior parte do texto desse Caṕıtulo é baseado em
[3], [4] e [?].
3.1 Máximos e mı́nimos
A Figura 3.1 nos mostra o gráfico de uma função y = f(x), onde assinalamos pontos
de abscissas xl, x2, x3 e x4.
Esses pontos são chamados pontos extremos da função, sendo:
• f(x1) e f(x3) são chamados máximos locais (ou relativos).
• f(x2) e f(x4) são chamados mı́nimos locais (ou relativos).
Definição 3.1 (Máximo local) Uma função f tem um máximo local (relativo) em c,
se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x)