Derivada 1

Prévia do material em texto

Derivada: Interpretac¸a˜o Geome´trica, Definic¸a˜o e Alguns Exemplos
Objetivo: Esta sessa˜o inicia fazendo uam interpretac¸a˜o geoma´trica da Derivda. Em seguida apresenta a
definc¸a˜o formal de Derivada, e tambe´m, alguns exemplos de como manipular e definic¸a˜o de derivada.
Coeficiente Angular de Reta
Considere a reta y = ax+ b, com a, b ∈ R, e a 6= 0. Neste caso, a recebe o nome de Coeficiente Angular,
e b de Coeficiente Linear. Para entender melhor o nome que e´ atribuido ao nu´mero a, basta basear-se na
figura a seguir, que descreve o gra´fico de uma func¸a˜o, chamar de θ o aˆngulo formado entre o eixo x e a
reta, medido no sentido anti-hora´rio. O nu´mero a e´ a tangente do aˆngulo θ, ou seja, a = tg(θ).
Para calcular tg(θ), deve-se escolher dois pontos distintos sobre a reta, como na figura, e contruir o triaˆngulo
retaˆngulo CAB, em seguida, considerar o aˆngulo α. Observando a figura verifica-se que θ = α. Logo,
a = tg(α). Neste caso, a =
CB
CA
, ou seja, a =
Cat. Oposto
Cat. Adjac.
Interpretac¸a˜o Geome´trica da Derivada
Dada a func¸a˜o f , como ilsutra a figura a seguir, o objetivo e´ determinar o Coeficiente Angular da Reta
rT , Tangente ao Gra´fico de f no ponto A = (a, f(a)).
1
Uma das maneiras de determinar o Coeficiente Angular desejado consiste em escolher um ponto B sobre
a curva que representa o Gra´fio de f , com B 6= A, construir a Reta Secante, rAB, passando pelos pontos
A e B. Observe que conforme o ponto B ‘caminha sobre a curva que representa o gra´fico de f’ em direc¸a˜o
ao ponto A, a reta secante, rAB, se ‘aproxima’ da reta tangente rT . (Ver animac¸a˜o: Interpretac¸a˜o-
Geometrica-Derivada) Desta forma, o coeficiente angular da reta secante rAB se tornara´ o coeficiente
angular da reta rangente rT . Para calcular o coeficiente angular da reta secante rAB, basta utilizar a
fo´rmula mAB =
f(x)− f(a)
x− a . Fazer o ponto B ‘caminhar sobre a curva que representa o gra´fico de f’ em
direc¸a˜o ao ponto A equivale a fazer x se aproximar de a, ou seja, x→ a. Mas, observe que na˜o podemos
fazer x = a na fo´rmula de mAB. Chamando o coeficiente angular da reta tangente, rT , de mT , temos que
mT = lim
B→A
mAB = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ⇒ mT = limx→a
f(x)− f(a)
x− a
Uma outra forma de encarar o lite anteriror consiste em tomar a abscissa do ponto B na forma x = a+ h,
em que h e´ um nu´mero real na˜o nulo (Comenta´rio meu: Este h e´ o tal ‘peteleco’ que eu comentei
um dia destes em sala de aula, oriundo das ideias de Einstein. Lembram disso?). Neste caso,
x−a = (a+h)−a = h (Neste caso, devemos encarar h com func¸a˜o de x. Mais especificamente,
h = h(x) = x - a) e f(x) − f(a) = f(a + h) − f(a). Desta forma, a fo´rmula para mAB torna-se
mAB =
f(a+ h)− f(a)
h
. Note que esta nova expressa˜o para mAB e´ uma func¸a˜o da varia´vel h. E mais,
lim
x→a
h(x) = lim
x→a
(x− a) = 0⇒ h→ 0, quando x→ a. Apo´s estas considerac¸o˜es, reescrevemos a fo´rmula
para mT como a seguir
mT = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
Exemplo 1 Considere a func¸a˜o f(x) = 3
√
x− 4.
(a) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (a, f(a)) ∈ Gr(f).
(b) Investigue o que ocorre com a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (4, 0).
(c) Com base nas informac¸o˜es obtidas no item anterior, fac¸a algum tipo de comenta´rio sobre o comporta-
mento do gra´fico da func¸a˜o f no ponto A = (4, 0).
Soluc¸a˜o:
(a) A equac¸a˜o de uma reta e´ dada pela equac¸a˜o y − y0 = mT (x − x0). Neste caso, basta fazer-
mos x0 = a e y0 = f(a), enta˜o, teremos que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e´ da forma
y − f(a) = mT (x− a), em que mT e´ o Coeficiente Angular da Reta Tangente ao gra´fico de f no ponto A,
ou seja, mT = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
Nos resta, enta˜o, calcular lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
2
Temos que,
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→a
3
√
x− 4− 3√a− 4
x− a
Multp. dividir por A (Ver Janela de Pensamentos)
=====================
= lim
x→a
3
√
x− 4− 3√a− 4
x− a
[
(x− 4)2/3 + (x− 4)1/3(a− 4)1/3 + (a− 4)2/3
(x− 4)2/3 + (x− 4)1/3(a− 4)1/3 + (a− 4)2/3
]
=
lim
x→a
( 3
√
x− 4− 3√a− 4)((x− 4)2/3 + (x− 4)1/3(a− 4)1/3 + (a− 4)2/3))
x− a
[
1
A
]
=
Fazer a conta no denominador olhando para a fo´rmula
====================== lim
x→a
(x− 4)− (a− 4)
x− a
[
1
A
]
= lim
x→a
x− 4− a+ 4
x− a
[
1
A
]
=
= lim
x→a
x− a
x− a
[
1
A
]
Usar que A=(x−4)2/3+(x−4)1/3(a−4)1/3+(a−4)2/3
====================== lim
x→a
1
(x− 4)2/3 + (x− 4)1/3(a− 4)1/3 + (a− 4)2/3 =
=
1
(a− 4)2/3 + (a− 4)1/3(a− 4)1/3 + (a− 4)2/3 =
1
(a− 4)2/3 + (a− 4)2/3 + (a− 4)2/3 =
1
3 (a− 4)2/3
=
1
3 3
√
(a− 4)2 .
Portanto, lim
x→a
3
√
x− 4− 3√a− 4
x− a =
1
3 3
√
(a− 4)2 ⇒ mT =
1
3 3
√
(a− 4)2
OBSERVE QUE o Limite anterior esta´ bem definido para todo nu´mero real a, com a diferente de
4 . Enta˜o, nos parece bem interessante olhar com bastante cuidado o que esta´ acontecendo com a reta
tangente e com o gra´fico da func¸a˜o f em uma vizinhanc¸a do ponto a = 4, ou seja, no ponto A = (4, 0).
3
Janela de Pensamentos
Note que o Limite lim
x→a
3
√
x− 4− 3√a− 4
x− a gera uma ideterminac¸a˜o do tipo
0
0
.
De fato,
lim
x→a
3
√
x− 4− 3√a− 4
x− a =
limx→a( 3
√
x− 4− 3√a− 4)
limx→a(x− a) =
3
√
limx→a(x− 4)− 3
√
a− 4
limx→a(x− a) =
3
√
a− 4− 3√a− 4
a− a =
0
0
Como o Limite anterior envolve uma raiz cu´bida, deve-se aplicar a fo´rmula
u− v = ( 3√v − 3√v) (u2/3 + u1/3v1/3 + v2/3)
com u = x− 4 e v = a− 4.
Desta forma, sendo A = ((x− 4)2/3 + (x− 4)1/3(a− 4)1/3 + (a− 4)2/3), para efetivar o ca´lculo
do Limite em questa˜o, deve-se comec¸ar por multiplicar e dividir por A.
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (a, 3
√
a− 4) e´ dada por
y − 3√a− 4 = 1
3 3
√
(a− 4)2 (x− a)
Partindo da equac¸a˜o anterior, vamos realizar alguns ca´lculos para tentar ober uma equac¸a˜o em um formato
mais ‘enxuto’.
Temos que,
y − 3√a− 4 = 1
3 3
√
(a− 4)2 (x− a)⇒
⇒ y − 3√a− 4 = 1
3 3
√
(a− 4)2x−
a
3 3
√
(a− 4)2 ⇒
⇒ y = 1
3 3
√
(a− 4)2x−
a
3 3
√
(a− 4)2 +
3
√
a− 4⇒
⇒ y = 1
3 3
√
(a− 4)2x−
a
3 3
√
(a− 4)2 +
3
√
a− 4
[
3 3
√
(a− 4)2
3 3
√
(a− 4)2
]
⇒
⇒ y = 1
3 3
√
(a− 4)2x−
a
3 3
√
(a− 4)2 +
[
3 3
√
a− 4 3√(a− 4)2
3 3
√
(a− 4)2
]
⇒
⇒ y = 1
3 3
√
(a− 4)2x−
a
3 3
√
(a− 4)2 +
[
3 3
√
(a− 4) (a− 4)2
3 3
√
(a− 4)2
]
⇒
4
⇒ y = 1
3 3
√
(a− 4)2x−
a
3 3
√
(a− 4)2 +
[
3 3
√
(a− 4)3
3 3
√
(a− 4)2
]
⇒
⇒ y = 1
3 3
√
(a− 4)2x−
a
3 3
√
(a− 4)2 +
[
3 (a− 4)
3 3
√
(a− 4)2
]
⇒
⇒ y = 1
3 3
√
(a− 4)2 (x− a+ 3a− 12)⇒ y =
1
3 3
√
(a− 4)2 (x+ 2a− 12)
Portanto, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (a, f(a)) e´ dada por
y =
1
3 3
√
(a− 4)2 (x+ 2a− 12)
Por exemplo, para a = 12, temos que 3 3
√
(a− 4)2 = 3 3√(12− 4)2 = 3 3√82 = 3 3√64 = 3.4 = 12. Assim, a
equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (12, 2) e´ dada por
y =
1
12
(x+ 2.12− 12) = 1
12
(x+ 24− 12) = 1
12
(x+ 12) =
x
12
+ 1⇒ y = x
12
+ 1
Mostrar Animac¸a˜o-Exemp-1-Derivada
(b) Para investigar o que ocorre com a reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (4, 0), basta entender
a = 4 nas concluso˜es obtidas no item anterior. Mas, observe que na˜o se pode fazer a = 4 na fo´rmula de
mT , pois a = 4 anula o denominador da expressa˜o que representa mT . Enta˜o, uma sa´ıda e´ fazer a → 4 e
verificar o que ocorre com o Limite, quando a se aproxima arbitrariamente de 4. Temos que,
• lim
a→4−
mT = lim
a→4−
1
3 3
√
(a− 4)2
Ver Janela de Pensamentos
=========== +∞
• lim
a→4+mT = lim
a→4+
1
3 3
√
(a− 4)2
Ver Janela de Pensamentos
=========== +∞
Enta˜o na˜o existe reta tangente ao gra´fico de f no ponto em que A = (4, 0)? NA˜O
A conclusa˜o e´ que na˜o existe reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (4, 0). Mas, graficamente verifica-
se que a reta vertical x = 4 e´ tangente ao gra´fico de f . E enta˜o? O que ocorreu? E´ isso mesmo.
O coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f tende ao infinito significa que a reta tangente ao
gra´fico de f naquele ponto e´ uma reta vertical, que no caso em discussa˜o, e´ a reta vertical x = 4.
De fato, o coeficiente angular de uma reta (na˜o importa que estamos falando de reta tangente ao gra´fico
de uma func¸a˜o ou na˜o) representa a tangente do aˆngulo que a reta forma com o eixo x. No caso de
5
a = 4 temos que mT → +∞, ou seja, a reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (4, 0) forma um
aˆngulo θ com o eixo x de tal forma que tg(θ)→ +∞, isto e´, θ = pi
2
. Isso mesmo, a reta tangente ao gra´fico
de f no ponto A = (4, 0) forma um aˆngulo θ =
pi
2
com o eixo x, ou seja, e´ vertical. (Muito massa isso!!!)
(c) O fato de a reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (4, 0) ser vertical, significa que o gra´fico de f
e´ ‘quase vertical’ em uma vizinhanc¸a do ponto x = 4.
Janela de Pensamentos
Para o ca´lculo do Limite lim
a→4−
1
3 3
√
(a− 4)2 basta relembrar os ca´lculos desenvolvidos para Limites
do tipo lim
x→x−0
f(x) = ±∞ ou lim
x→x+0
f(x) = ±∞
Temos que,
lim
a→4−
1
3 3
√
(a− 4)2
Jogar constante (1/3) p/ fora do Limite
================
(
1
3
)
lim
a→4−
1
3
√
(a− 4)2 =
Usar subst. u= 3
√
(a−4)2. Como a→4−⇒a<4⇒a−4<0⇒(a−4)2>0⇒ 3
√
(a−4)2>0⇒u→0+
======================================
=
(
1
3
)
lim
u→0+
1
u
Pelo Teorema
====== +∞
Seguindo ideias totalmente ana´logas a`s anteriores, conclui-se que lim
a→4+
1
3 3
√
(a− 4)2 = +∞
(Pense sobre isso!)
Pode-se notar na animac¸a˜o feita no GeoGebra que e´ exatamente isso que ele nos informa.
Muito interessante o software representar algo que no´s conclu´ımos por meio das contas!
O que poderia acontecer, tambe´m, e´ utlizar o software e perceber que o coeficiente
angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (4, 0) tende ao infinito,
e depois sair em busca da formalizac¸a˜o matema´tica para este fato.
Pergunta que na˜o quer calar: Qual e´ a relac¸a˜o desta discussa˜o toda sobre coeficiente angular de reta
tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o f em um ponto A = (a, f(a)) ∈ Gr(f) com Derivada?
Definic¸a˜o: Sefa f(x) uma func¸a˜o bem definida em qulaquer intervalo aberto I, contendo o ponto a
(Neste caso, incluindo o ponto a). A Derivada da func¸a˜o f no ponto a, denotada por f ′(a), ou
df
dx
(a),
e´ dada por
6
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a , caso o Limite exista
Ou, equivalentemente,
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
, caso o Limite exista
Observac¸a˜o: A definic¸a˜o de derivada e´ exatamente a fo´rmula utilizada para calcular o coeficiente angular
da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) no ponto A = (a, f(a)), ou seja, no ponto x = a. (kkk!!
Massa!!)
Conclusa˜o: Enta˜o, a derivada da func¸a˜o f no ponto x = a, f ′(a), representa o coeficiente angular da reta
tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) no ponto A = (a, f(a)).
Equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em um ponto A = (a, f(a))
Como dito anteriormente, a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e dada por y − y0 = m (x− x0),
em que m representa coeficiente angular da reta. No caso de uma func¸a˜o f , e de um ponto
A = (a, f(a)) ∈ Gr(f), temos que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o f , no ponto e´ dada
por y − f(a) = mT (x− a). Pela definic¸a˜o de derivada, temos que mT = f ′(a). Assim a equac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o f , no ponto A = (a, f(a)) ∈ Gr(f) torma-se y − f(a) = f ′(a) (x− a).
Voltando ao caso da func¸a˜of(x) = 3
√
x− 4
No caso da func¸a˜o f(x) = 3
√
x− 4 concluiu-se que o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f
no ponto A = (a, 3
√
a− 4) e´ dado por mT = 1
3 3
√
(a− 4)2 , ou seja, f
′(a) =
1
3 3
√
(a− 4)2 . Mas, como ja´
discutido no caso de a = 4 temos que mT → +∞⇒ f ′(4)→ +∞, ou seja, f ′(4) = lim
x→4
f(x)− f(4)
x− 4 = +∞,
isto e´, NA˜O EXISTE f ′(4). Neste caso dizemos que a func¸a˜o NA˜O E´ DIFERENCIA´VEL EM x = 4.
Se na˜o existe o limite que representa a derivada da func¸a˜o f no ponto x = a, ou seja, se na˜o existe
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a , podemos afirmar que a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em x = a.
Em que casos a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel?
Temos o caso em que lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = ±∞, como no caso da func¸a˜o anterior, e que significa grafica-
mente que a reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (a, f(a)) e´ vertical, mais especificamente, a reta
tangente ao gra´fico de f no ponto A = (a, f(a)) e´ a reta vertical x = a, e, enta˜o, o gra´fico de f e´ ‘quase
vertical’ em uma vizinhanc¸a do ponto x = a.
7
O outro caso e´ quando lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a 6= limx→a+
f(x)− f(a)
x− a , o que implica que na˜o existe o limite bila-
teral lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a .
Mas, o que sa˜o estes limites laterais?
Se o limite bilateral lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a e´ a derivada da func¸a˜o f no ponto x = a, enta˜o os limites laterais
sa˜o as Derivadas Laterias. Isso mesmo.(Que massa!! KKK)
Definic¸a˜o:
• A Derivada Lateral pela Esquerda da Func¸a˜o f, no ponto a, denotda por f ′−(a), e´ dada por
f ′−(a) = lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a , caso o limite exista.
• A Derivada Lateral pela Direita da Func¸a˜o f, no ponto a, denotda por f ′+(a), e´ dada por
f ′+(a) = lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a , caso o limite exista.
Exemplo 2 Considere a func¸a˜o f(x) = |x2 − 4|. Calcule a derivada da func¸a˜o f em todos os pontos do
seu domı´nio. Verifique qual e´ o comportamento do gra´fico de f em torno dos pontos a ∈ Dom(f), para os
quais na˜o existe f ′(a).
Soluc¸a˜o:
Ja´ que a func¸a˜o f envolve um mo´dulo, o primeiro passo e´ fazer uma releitura da func¸a˜o f . Temos que
|x2 − 4| =
{ −(x2 − 4) , se x2 − 4 < 0
(x2 − 4) , se x2 − 4 ≥ 0 .
Estudando o sinal da Para´bola y = x2 − 4 (Fac¸am isso em casa), temos que
|x2 − 4| =
{ −(x2 − 4) , se −2 < x < 2
(x2 − 4) , se x ≤ −2 ou x ≥ 2 .
Note que ocorre uma mudanc¸a na lei de formac¸a˜o da func¸a˜o f nos pontos x = −2 e x = 2. Isto levanta um
questionamento: Sera´ que f e´ diferencia´vel em x = −2 ou em x = 2? Vamos responder isso posteriormente.
Vamos analisar a derivada da func¸a˜o f em dois casos.
Caso 1: x < −2 ou x > 2⇒ f(x) = x2 − 4. Seja a ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞). Enta˜o,
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
a∈(−∞,−2)∪(2,+∞)⇒x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)
==================== lim
x→a
(x2 − 4)− (a2 − 4)
x− a = limx→a
x2 − 4− a2 + 4
x− a =
= lim
x→a
x2 − a2
x− a
Decompor x2−a2=(x−a)(x+a)
=========== lim
x→a
(x− a)(x+ a)
x− a
x→a⇒x 6=a⇒x−a6=0⇒Posso cancelar x−a
==================
= lim
x→a
(x+ a) = a+ a = 2a⇒ f ′(a) = 2a, para todo a ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞)
8
Caso 2: −2 < x < 2⇒ f(x) = −(x2 − 4) = 4− x2. Seja a ∈ (−2, 2). Enta˜o,
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
a∈(−2, 2)⇒x∈(−2, 2)
========== lim
x→a
(4− x2)− (4− a2)
x− a = limx→a
4− x2 − 4 + a2
x− a =
= lim
x→a
a2 − x2
x− a
Decompor a2−x2=(a−x)(a+x)
============== lim
x→a
(a− x)(a+ x)
x− a = limx→a
−(x− a)(a+ x)
x− a =
x→a⇒x 6=a⇒x−a6=0⇒Posso cancelar x−a
================== lim
x→a
−(a+ x) = −(a+ a) = −2a⇒ f ′(a) = −2a, para todo a ∈ (−2, 2)
Temos que fazer uma ana´lise mais detalhada para a = −2 e a = 2. Temos que,
•f ′−(2) = lim
x→2−
f(x)− f(2)
x− 2
x→2−⇒x<2⇒f(x)=4−x2, f(2)=0
=============== lim
x→2−
4− x2
x− 2
Decompor 4−x2=−(x−2)(2+x)==============
= lim
x→2−
−(x− 2)(2 + x)
x− 2
x→2−⇒x 6=2⇒x−26=0⇒Posso cancelar x−2
=================== − lim
x→2−
(2 + x) = −(2 + 2) = −4⇒ f ′−(2) = −4
E mais,
•f ′+(2) = lim
x→2+
f(x)− f(2)
x− 2
x→2+⇒x>2⇒f(x)=x2−4, f(2)=0
=============== lim
x→2+
x2 − 4
x− 2
Decompor x2−4=(x−2)(x+2)
==============
= lim
x→2+
(x− 2)(x+ 2)
x− 2
x→2+⇒x 6=2⇒x−26=0⇒Posso cancelar x−2
=================== − lim
x→2+
(x+ 2) = (2 + 2) = 4⇒ f ′+(2) = 4
Portanto,
f ′−(2) 6= f ′+(2)⇒ na˜o existe f ′(2)⇒ f na˜o e´ dieferencia´vel em x = 2
Utilizando argumentos, racioc´ınios e ideias totalmente ana´logas a`s anteriores, verifica-se que
f ′−(−2) = −4, f ′+(−2) = 4⇒ f ′−(−2) 6= f ′+(−2)⇒ na˜o existe f ′(−2)⇒ f na˜o e´ dieferencia´vel em x = −2
A figura a seguir representa o compotamento do gra´fico da func¸a˜o f(x) = |x2 − 4|. Observe que nos
pontos x = −2 e x = 2, o gra´fico da func¸a˜o apresenta um comportamento bem peculiar. (Em palavras
informais: Apresenta um Bico)
9
Mas, o que estas na˜o diferenciabilidades representam em termos de gra´fico?
• No caso em que existe ou na˜o f ′−(a) (pois, podemos ter f ′−(a) → ±∞), existe ou na˜o f ′+(a) (pois,
podemos ter f ′+(a) → ±∞), o importante e´ que f ′−(a) 6= f ′+(a) (Podemos ter, por exemplo, que
f ′−(a)→ +∞ e f ′+(a)→ −∞⇒ f ′−(a) 6= f ′+(a)), enta˜o na˜o existe f ′(a), ou seja, f na˜o e´ diferencia´vel
em x = a , e, neste caso, o ponto A = (a, f(a)) e´ um ponto anguloso, uma cu´spide, ou, como eu costumo
dizer, um ‘BICO’, como ilustra a figura a seguir.
• No caso em que f ′−(a) → ±∞, ou f ′+(a) → ±∞ (Neste caso, e´ importante que as derivadas
laterais estourem ambas para −∞, ou ambas para +∞, ou seja, na˜o pode acontecer de uma
derivada lateral estourar para −∞, e a outra para +∞, por exemplo), enta˜o na˜o existe f ′(a),
ou seja, f na˜o e´ diferencia´vel em x = a , e, neste caso, a reta tangente ao gra´fico de f no ponto
10
A = (a, f(a)) e´ vertical, mais especificamente, a reta tangente ao gra´fico de f no ponto A = (a, f(a)) e´
a reta vertical x = a, e enta˜o, o gra´fico de f e´ ‘quase vertical’ em uma vizinhanc¸a do ponto x = a, como
ilustra a figura a seguir.
Bons Estudos!
11