Aula_014_Binômio de Newton

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Definição de binômio
Conteúdo:
Introdução ao binômio de Newton
Teorema binomial
Aula 14: Binômio de Newton
14.1Coeficientes binomiais e aplicações
Definição de binômio:
Chamamos de binômio qualquer expressão da forma
a + b, onde a e b são símbolos diferentes.
(a := x, b := −y)
3xy + x
2
 é um binômio (a := 3xy, b := x
2
) (b)
14.2Binômio de Newton
(a) x − y = x + (− y) é um binômio 
Exemplo 1: Sejam x, y ∈ R
Introdução ao binômio de Newton:
Exemplo 2:
Desenvolva as potências do binômio a + b, (a + b)
n
, para 
n = 0, 1, 2, 3.
(a + b)
0
 = 1 
(a + b)
2
 = (a + b)(a + b) = 
(a + b)
3
 = (a + b)(a + b)
2
 = 
(a + b)
1
 = a + b
a
2
 + 2ab + b
2
 a
3
 + 3a
2
b + 3ab
2
 + b
3
1
1 1
1 3 3 1 
1 2 1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
Observação: os coeficientes dos termos podem ser ordenados da 
seguinte forma:
14.3Binômio de Newton
C
0
0
C
0
1 C
1
1
C
0
2 C
1
2 C
2
2
C
0
3 C
1
3 C
2
3 C
3
3
Triângulo de Pascal
Exemplo 3: 
Calcule a linha n = 4 do triângulo de Pascal e verifique
que são os coeficientes da expansão de (a + b)
4
.
14.4Binômio de Newton: Introdução ao binômio de Newton
1 4 6 4 1 n = 4
C.F.
{
C.S.
 ou 
R.S.
{
R.S.
{
C.S.
 ou 
R.S.
{
C.F.
{
Resolução: 1 3 3 1 n = 3
Cálculo de (a + b)
4
:
(a + b)
4
 = (a + b)(a + b)
3
 = (a + b)(a
3
 + 3a
2
b + 3ab
2
 + b
3
) 
= a
4
 + 4a
3
b + 6a
2
b
2
 + 4ab
3
 + b
4
)
= a(a
3
 + 3a
2
b + 3ab
2
 + b
3
) + b(a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
 + b
3
) =
=
4
C
1
4
{ 6
C
2
4
{ 4
C
3
4
{ 1
C
4
4
{1
C
0
4
{
(Binômio de Newton):
14.5Binômio de Newton
Teorema Binomial 
(a + b)
n
 = Σ
n
r = 0
 C
r
na
n−r
 b
r
 =
= C
0
na
n
 + C
1
n a
n−1 
 b + C
2
na
n−2
 b
2
 + ... + C
n−1
n ab
n−1
+ C
n
nb
n
Se a e b são números reais e n é um número natural
então tem-se:
Prova (princípio de indução matemática):
= Σ
1
r = 0
 C
r
1a
1−r
 b
r
 = C
0
1a
1
 + C
1
1b
1C.F.
 Seja P(n): (a + b)
n
 = Σ
n
r = 0
 C
r
na
n−r
 b
r
14.6Binômio de Newton: Teorema binomial
= a + b (a + b)
1
 
(1) Base de indução
P(k) é verdadeira
(2) Hipótese de indução (HI)
P(1): = Σ
1
r = 0
 C
r
1a
1−r
 b
r
 (a + b)
1
Logo, P(1) é verdadeira
Prova (continuação):
= (a + b) Σ
k
r = 0
 C
r
ka
k−r
 b
rHI
14.7Binômio de Newton: Teorema binomial
(3) P(k) é verdadeira P(k + 1) é verdadeira
⇐
(a + b)
k
 = Σ
k
r = 0
 C
r
ka
k−r 
b
r
 (a + b)
k+1
 = Σ
k+1
r = 0
 C
r
k+1a
k+1−r
 b
r
 
Desenvolvendo
(a + b)
k+1
 = (a + b)(a + b)
k
 =
= a Σ
k
r = 0
 C
r
ka
k−r 
b
r
 + b Σ
k
r = 0
 C
r
ka
k−r
 b
r
= C
0
ka
k+1
 + C
1
ka
k
b + C
2
ka
k−1
b
2
 +...+ C
k−1
k a
2
b
k−1
 + C
k
kab
k
 
+ C
0
ka
k
b + C
1
ka
k−1
b
2
 + C
2
ka
k−2
b
3
 +...+ C
k−1
k ab
k
 + C
k
kb
k+1
=
name=clic1
= C
0
k a
k+1
 + (C
0
k + C
1
k) a
k
b 
=
+ (C
1
k + C
2
k) a
k−1
b
2
 
14.8Binômio de Newton: Teorema binomial
+ (C
k−1
k + C
k
k)ab
k
 + C
k
k b
k+1
 
+ ...
= 1 = Ck+1k+1
C.F.
= Ckk+1
R.S.
= C2k+1
R.S.
= C1k+1
R.S.
= 1 = C0k+1
C.F.
Desenvolvimento indutivo (continuação):
ou seja:
(a + b)
k+1
= a(C0ka
k
 + C
1
ka
k−1
b + C
2
ka
k−2
b
2
 +...+ C
k−1
k ab
k−1
 + C
k
kb
k)
+ b(C0ka
k
 + C
1
ka
k−1
b + C
2
ka
k−2
b
2
 +...+ C
k−1
k ab
k−1
 + C
k
kb
k)
Desenvolvimento indutivo (continuação):
Usando a relação de Stifel e as condições de fronteira
obtém-se:
P(k + 1): (a + b)
k+1
 = C
0
k+1a
k+1
 + C
1
k+1a
k
 b + C
2
k+1a
k−1
 b
2
 + ... 
 + C
k
k+1ab
k
 + C
k+1
k+1b
k+1
 
Logo, P(k + 1) é verdadeira
14.9Binômio de Newton: Teorema binomial
Então, pelo princípio de indução matemática tem-se
P(n): (a + b)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
na
n−r
 b
r
 é verdadeira n ∈ 
N
8
=
= Σ
k+1
r = 0
a
k+1−r
 b
r
 
Observações:
Os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)
n
 são os
elementos da linha n do triângulo de Pascal.
(1)
O desenvolvimento de (a + b)
n
 tem (n + 1) termos(2)
( por exemplo, o segundo somando de (a + b)
3
 é T2 = C
1
3a
2
 b, n = 3, r = 1 ) 
14.10Binômio de Newton: Teorema binomial
(a + b)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
na
n−r
 b
rT.B.
( por exemplo, (a + b)3 = C03a
3
+ C
1
3a
2
b + C
2
3ab
2
 + C
3
3b
3 )
C
Tr+1 = C
r
na
n−r
 b
r
O somando (r + 1) do desenvolvimento de (a + b)
n
(3)
desenvolvimento
da potência n de a + b
ou expansão
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3 1
4 16
Determine a expansão de (x + 3)
4
.
Exemplo 4: 
Resolução: 
(x + 3)
4
 = C
0
4x
4
 + C
1
4x
3
.3 + C
2
4x
2
.3
2
 + C
3
4x.3
3
 + C
4
43
4
 
B.N.
14.11Binômio de Newton: Teorema binomial
= 
= x
4
 + 12x
3
 + 54x
2
 + 108x + 81 
Triângulo de Pascal até n = 4
C
0
0
C
0
1
C
0
2
C
0
3
C
0
4
C
1
1
C
1
2
C
1
3
C
1
4
C
2
2
C
2
3
C
2
4
C
3
3
C
3
4 C
4
4C
0
4 C
1
4 C
2
4 C
3
4 C
4
4
1 4 4 16
Resposta: (x + 3)
4
 = x
4
 + 4.3x
3
 + 6.9x
2
 + 4.27x + 81 4 6 4
14.12Binômio de Newton: Teorema binomial
Desafio Voltar
Logo, considerando a := 1 e b := x, resulta
isto é: (x + 1)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
nx
r
 
B.N.
Sabemos que 
 (a + b)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
na
n−r 
b
r
(x + 1)
n
 = (1 + x)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
n1
n−r 
. x
r
 = Σ
n
r = 0
C
r
nx
rB.N.
Prova (desafio!)
(x + 1)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
nx
r
Seja n um número natural. Prove que para todo número
real x se verifica:
Exemplo 5: 
Exemplo 6: 
Ilustração: (x − 1)
5
 = x
5
 − 5x
4
 + 10x
3
 − 10x
2
 + 5x − 1 
14.13Binômio de Newton: Teorema binomial
Seja n um número natural. Determine a expansão do
binômio de Newton de (x − 1)
n
, para x ∈ .R
Logo, (x − 1)
n
 = (x + (−1))
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
nx
n−r
(−1)
r
 
B.N.
= Σ
n
r = 0
C
r
n(−1)
r
x
n−r
 
=
isto é, (x − 1)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
n(−1)
r
x
n−r
 
Resolução: 
No teorema do binômio de Newton consideramos 
a := x , b := −1
14.14Binômio de Newton: Teorema binomial
Outra notação:
:= C
k
n = 
n!__________
k! (n − k)!
n
k
n
k
B.N.
(a + b)
n
 = Σ
n
k = 0
 a
k
 b
n−k
 
substituindo r por k , resulta
(a + b)
n
 = Σ
n
k = 0
C
k
na
k
 b
n−k
 
Observação:
(a + b)
n
 = (b + a)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
nb
n−r
 a
r
 , 
B.N.
Propriedade
Dados a e b números reais e n um número natural, o 
binômio de Newton admite o seguinte desenvolvimento:
Desafio Voltar
(a + b)
n
 = Σ
n
r = 0
 a
k
 b
n−k
 
n
n−k
Prova (desafio!)Use a condição complementar ou de simetria do 
coeficiente binomial.
14.15Binômio de Newton: Teorema binomial
Usando a observação anterior resulta
n
k
(a + b)
n
 = Σ
n
k = 0
 a
k
 b
n−k
 = Σ
n
k = 0
 a
k
 b
n−k
 
n
n−k
De fato, pela condição de simetria tem-se que
C
k
n = C
n−k
n ou seja
n
k
=
n
n−k
Resolução: 
(a + b)
n
 = Σ
n
k = 0
 
n
k
a
n−k
 b
k
k = 0, 1, ... , nTk+1 = 
n
k
a
n−k
 b
k
Consideramos a = x3 , b = , n = 9 :
 1___
x2
−
14.16Binômio de Newton: Teorema binomial
Exemplo 7: 
Determine o coeficiente de x2 no desenvolvimento de
 x
3
 ___
x
2−
1
9
Resolução (continuação): 
14.17Binômio de Newton: Teorema binomial
0 ≤ k ≤ 9Tk+1 = 
9
k
(x
3
)
9−k
−
1___
x
2
k
9
k
(−1)
k x
27−3k
_______
 x
2k
= =
(−1)
k
x
27−3k−2k
=
9
k
= (−1)
k
x
27−5k9
k
Portanto, deve ser 27 − 5k = 2 k = 5
⇐
Logo, devemos determinar k tal que (−1)
k
x
2
 
9
k
Tk+1 = 
Resposta:
O coeficiente x
2
 de x
3
 é (−1)
5
 = −1269
5
9
___
x
2−
1
Resumo:
Definição de binômio: a + b
Observações: 
(1) Os coeficientes da expansão de (a + b)
n
 são os 
 elementos da linha n do triângulo de Pascal.
(2) A expansão de (a + b)
n
 tem n + 1 termos 
(3) O termo r + 1 da expansão de (a + b)
n
 é Tr+1 = C
r
na
n−r
 b
r
 
Teorema binomial (ou Binômio de Newton): 
(a + b)
n
 = Σ
n
r = 0
C
r
na
n−r
 b
r
 ∀ a, b ∈ , ∀ n ∈ R Z+
14.18Binômio de Newton
14.19Binômio de Newton: Resumo
Notação: 
:= C
r
n
n
r
Propriedade: 
= Σ
n
k = 0
 a
k
 b
n−k
 
n
n−k
n
k
(a + b)
n
 = Σ
n
k = 0
 a
n−k
 b
k
 = Σ
n
k = 0
 a
k
 b
n−k
 
n
k