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Livro Companheiro do Professor de Matema´tica
Volume I – Nu´meros
Victor Giraldo (UFRJ)
Cydara Cavedon Ripoll (UFRGS)
Let´ıcia Rangel (UFRJ)
Colaborac¸a˜o: Tatiana Roque (UFRJ)
8 de Julho de 2014
2
Conteu´do
I Nu´meros Naturais 19
1 Nu´meros Naturais: De Onde Veˆm? 21
1.1 Contagem e Nu´mero Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Sistemas de Numerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Nu´mero × Representac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Nu´meros Naturais: Aprofundamentos e Desdobramentos 45
2.1 Relac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Relac¸o˜es de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 A Construc¸a˜o dos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1 Os Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 As Operac¸o˜es e a Ordem em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 A Noc¸a˜o de Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Nu´meros Naturais: Na Escola 61
3.1 Os Fundamentos Conceituais dos Nu´meros Naturais e a Escola Ba´sica . . . . . . . . . . 61
3.2 As Operac¸o˜es Elementares: Contextos, Interpretac¸o˜es e Significados . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 Adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Subtrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.3 Multiplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.4 Divisa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 As Operac¸o˜es Elementares: Diversificando Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 Algoritmos para a Adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2 Algoritmos para a Subtrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.3 Algoritmos para a Multiplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.4 Algoritmos para a Divisa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
II Nu´meros Inteiros 93
4 Nu´meros Inteiros: De Onde Veˆm? 95
4.1 Quantidades com Orientac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 A Cidadania Matema´tica de Nu´meros Absurdos, Falsos, Surdos, Irracionais, Imposs´ıveis,
Imagina´rios, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3 Representac¸a˜o Geome´trica dos Nu´meros Negativos e dos Nu´meros Imagina´rios . . . . . 98
4.4 A Representac¸a˜o de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3
4 CONTEU´DO
5 Nu´meros Inteiros: Aprofundamentos e Desdobramentos 103
5.1 Relac¸o˜es de Equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 A Construc¸a˜o de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 Nu´meros Inteiros: Na Escola 121
6.1 Nu´meros Inteiros: Quantidades com Orientac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 Nu´meros Inteiros: Um Sinal e Treˆs Significados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3 A Reta Numerada e os Nu´meros Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3.1 O Conceito de Nu´mero Negativo como Sime´trico (Geome´trico) de um Nu´mero
Positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.2 A Comparac¸a˜o de Nu´meros Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.3 A ideia de Infinito Negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3.4 As Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4 Operac¸o˜es Envolvendo Nu´meros Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4.1 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4.2 Multiplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
III Nu´meros Racionais 135
7 Nu´meros Racionais: De Onde Veˆm? 137
7.1 Medida e Nu´mero Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.2 Medidas e Ca´lculos de A´reas na Geometria Grega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2.1 A Noc¸a˜o de Raza˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2.2 O Me´todo da Antifairese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2.3 Nu´meros e Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2.4 Moral da Esto´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8 Nu´meros Racionais: Aprofundamentos e Desdobramentos 147
8.1 Construc¸a˜o por Classes de Equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.1.1 A Notac¸a˜o
a
b
para Nu´mero Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.1.2 O Corpo Ordenado Completo dos Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.1.3 A Identificac¸a˜o de Z como um Subconjunto de Q . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.1.4 Comparando Z e Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2 Representac¸a˜o Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9 Nu´meros Racionais: Na Escola 161
9.1 Frac¸o˜es: Um Conceito em muitos Contextos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.1.1 Frac¸a˜o no Contexto de Relac¸a˜o Parte/Todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.1.2 Frac¸a˜o no Contexto de Raza˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.1.3 Frac¸a˜o no Contexto de Divisa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.2 Frac¸o˜es Equivalentes e Nu´meros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.3 Os Nu´meros Racionais na Reta Nume´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.4 Operac¸o˜es com Frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.4.1 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.4.2 Multiplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.4.3 Divisa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
CONTEU´DO 5
IV Nu´meros Reais 183
10 Nu´meros Reais: De Onde Veˆm? 185
10.1 Medida × Nu´mero Real: A Insuficieˆncia dos Racionais para Expressar Medidas . . . . . 185
10.2 Nu´meros Surdos e Imagina´rios no Contexto da Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es . . . . . . . . . 187
10.2.1 Os Nu´meros Reais no Estudo das Curvas dos Se´culos XVII e XVIII . . . . . . . 189
10.3 A Identificac¸a˜o entre Nu´meros e Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11 Nu´meros Reais: Aprofundamentos e Desdobramentos 195
11.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.2 O Conjunto R como Completamento de Q via Cortes de Dedekind . . . . . . . . . . . 196
11.3 O Conjunto R como Completamento de Q via Sequeˆncias de Cauchy . . . . . . . . . . 197
11.4 A Construc¸a˜o Geome´trica do Conjunto dos Nu´meros Reais por Classes de Equivaleˆncia
de Segmentos de Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12 Nu´meros Reais: Na Escola 201
12.1 Nu´meros Reais no Ensino Ba´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
12.1.1 A Problema´tica Introduc¸a˜o dos Nu´meros Reais no Ensino Ba´sico . . . . . . . . 203
12.1.2 O Que Vem a Ser um Nu´mero Real no N´ıvel do Ensino Ba´sico? . . . . . . . . . 206
12.1.3 Como Introduzir Nu´meros Reais no Ensino Ba´sico? . . . . .. . . . . . . . . . . 207
12.2 O Compasso, a Construc¸a˜o da Re´gua Escolar e suas Limitac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . 207
12.2.1 O Compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.2.2 A Construc¸a˜o da Re´gua Decimal Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.3 A Re´gua Decimal Infinita: Construc¸a˜o e a Representac¸a˜o da Medida de um Segmento
de Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.3.1 Expressando a Medida via Re´gua Decimal Infinita – Parte 1 . . . . . . . . . . . 216
12.3.2 Expressando a Medida via Re´gua Decimal Infinita – Parte 2 . . . . . . . . . . . 219
12.3.3 Legitimando Qualquer Lista da Forma m, a1a2a3 . . . como Representante de um
Nu´mero Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.4 Operac¸o˜es com Reais Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.4.1 Adic¸a˜o com Reais Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.4.2 Multiplicac¸a˜o com Reais Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.4.3 A Subtrac¸a˜o, a Divisa˜o e a Radiciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.4.4 A Exponenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6 CONTEU´DO
Apresentac¸a˜o
Prezado colega,
Esta colec¸a˜o, produzida no aˆmbito do Projeto Klein para o Se´culo XXI (ICMI/ IMU), tem como tema
central a abordagem de conceitos no ensino ba´sico, tomando como base a fundamentac¸a˜o matema´tica.
Sera˜o discutidos aspectos centrais relativos ao ensino desses conceitos, tais como selec¸a˜o e organizac¸a˜o
de conteu´dos, opc¸o˜es metodolo´gicas de abordagem e suas poss´ıveis consequeˆncias na sala de aula, no
dia a dia do professor. Pretendemos que estes volumes sejam, de fato, companheiros para o professor, e
contribuam efetivamente com a pra´tica de sala de aula. Embora esta colec¸a˜o seja direcionada priorita-
riamente para professores de matema´tica do ensino me´dio brasileiro, sua leitura e´ recomendada tambe´m
a professores em geral que ensinam matema´tica, a alunos de licenciatura, a alunos po´s-graduac¸o˜es em
ensino de matema´tica, a coordenadores de matema´tica das escolas.
Nesta apresentac¸a˜o, voceˆ encontrara´ o contexto de produc¸a˜o da colec¸a˜o, os pressupostos sobre o
ensino de matema´tica que sustentam sua concepc¸a˜o, seus objetivos gerais, sua estrutura, bem como os
objetivos espec´ıficos para cada um dos volumes que integram a colec¸a˜o.
O Projeto Klein para o Se´culo XXI
Em 1908 e 1909, foi publicado pela primeira vez o compeˆndio Matema´tica Elementar de um Ponto
de Vista Superior1, do matema´tico alema˜o Felix Klein. A obra – hoje cla´ssica – conte´m as lic¸o˜es de
matema´tica elaboradas por Klein para professores, organizadas em treˆs volumes2: Aritme´tica, A´lgebra,
Ana´lise, Geometria e Aproximac¸o˜es [81, 86, 88]. Essas lic¸o˜es sa˜o motivadas pela constatac¸a˜o pelo autor
da ruptura entre a matema´tica escolar, aquela ensinada em sistemas de educac¸a˜o pre´-universita´ria, e a
matema´tica acadeˆmica, produzida nas pesquisas de fronteira:
E´ nota´vel que os desenvolvimentos modernos passaram pela escola sem causar o m´ınimo efeito
na instruc¸a˜o [ . . . ] A raza˜o e´ que a instruc¸a˜o e a marcha constante da investigac¸a˜o matema´tica
perderam todo contato entre si apo´s o in´ıcio do se´culo 19.
(Felix Klein)
1Na versa˜o original, Elementarmathematik vom ho¨heren Standpunkte aus. O termo “ho¨heren” do t´ıtulo original em
alema˜o foi convertido para “advanced” (avanc¸ado) na traduc¸a˜o inglesa da obra, o que e´ apontado por alguns autores
(e.g. [80, 126]) como um erro de traduc¸a˜o. O termo “ho¨heren” em alema˜o corresponderia a “higher” (superior) em
ingleˆs, que esta´ mais de acordo com a ideia de Klein sobre a relac¸a˜o entre a matema´tica elementar e a matema´tica
superior. O uso da expressa˜o “matema´tica elementar de um ponto de vista avanc¸ado” no t´ıtulo da obra sugeriria um
patamar hierarquicamente inferior para a matema´tica elementar, enquanto que a intenc¸a˜o de Klein teria sido propor
um olhar para a matema´tica elementar e para a matema´tica superior de um mesmo ponto de vista – como aspectos
igualmente importantes da matema´tica.
2Embora os dois primeiros volumes tenham sido traduzidos para diversas outras l´ınguas, o terceiro jamais foi editado
em outro idioma sena˜o o alema˜o. O volume I teve recentemente sua primeira edic¸a˜o em portugueˆs, publicada pela
Sociedade Portuguesa de matema´tica em treˆs partes [83, 84, 85].
7
8 CONTEU´DO
Com tal constatac¸a˜o, Felix Klein denuncia uma dupla descontinuidade envolvida com essa ruptura:
entre a matema´tica ba´sica aprendida na escola e a matema´tica superior dos cursos universita´rios de
formac¸a˜o de professores; e entre a matema´tica dos cursos de formac¸a˜o de professores e a matema´tica
a ser ensinada na escola. Segundo o autor, por um lado, durante a formac¸a˜o inicial dos professores,
ha´ pouca identificac¸a˜o da matema´tica estudada com aquela anteriormente aprendida por eles quando
alunos da escola ba´sica; e, por outro lado, durante sua vida profissional, ha´ pouca identificac¸a˜o entre a
matema´tica praticada em sala e aquela anteriormente estudada nos cursos de formac¸a˜o. Os problemas
identificados por Klein ha´ mais de um se´culo ainda se revelam atuais, e tem paralelos com questo˜es
apontadas pela pesquisa recente em educac¸a˜o matema´tica (e.g. [11, 130]).
Alguns autores [80, 126] associam o conceito de elementar no sentido de Felix Klein com a ideia
do Iluminismo sobre como tornar uma cieˆncia ensina´vel, ou como difundir o saber na sociedade. Jean
d’Alembert (1717-1783) conceitua esta ideia na importante obra Encyclope´die (1755):
Em geral, chamam-se elementos de um todo as partes primitivas e originais das quais se pode
supor que o todo e´ formado.
(Jean d’Alembert)
Neste sentido, elementarizar significa reconstruir as partes nucleares que constituem os germes com
base nos quais toda a cieˆncia superior se sustenta. Schubring [126] descreve as ideias de Klein para
a elementarizac¸a˜o da cieˆncia como um processo de translac¸a˜o histo´rica, por meio do qual as partes
superiores da cieˆncia sa˜o gradativamente melhor compreendidas. Desta forma, os elementos que as cons-
tituem va˜o sendo identificados e, em consequeˆncia, a capacidade de esclarecer e difundir seus conceitos
aumenta. Assim, para Klein, na˜o ha´ diferenc¸a de qualidade entre as partes elementares e as
superiores – estas sa˜o facetas de igual importaˆncia para a matema´tica como cieˆncia.
Ainda partindo das ideias iluministas, para Klein o papel da escola na˜o se restringe em receber o
conhecimento cient´ıfico pronto, produzido na academia, e difundi-lo. A escola tem um papel ta˜o
importante quanto a academia na pro´pria produc¸a˜o do conhecimento: criar condic¸o˜es para que
o novo conhecimento superior seja estabelecido. Segundo o autor, tal papel na˜o e´ uma consequeˆncia
da matema´tica superior por si so´, mas uma missa˜o independente da escola, determinada segundo suas
pro´prias categorias. Esta missa˜o sugere a necessidade de um meta-saber do professor, isto e´, um saber
sobre o saber (ver [126]): o professor de matema´tica deve conhecer na˜o apenas os conceitos e
teorias a ensinar, como tambe´m compreender a pro´pria natureza desse conhecimento.
Em 2008 foi celebrado o centena´rio da publicac¸a˜o original de matema´tica Elementar de um Ponto
de Vista Superior e tambe´m da fundac¸a˜o da ICMI (Comissa˜o Internacional de Instruc¸a˜o Matema´tica) –
cujo primeiro presidente foi Felix Klein. Com inspirac¸a˜o nas ideias de Klein, foi estabelecido naquele ano,
em colaborac¸a˜o entre a ICMI e a IMU (Unia˜o Matema´tica Internacional), o Projeto Klein para o Se´culo
XXI, tendo como princ´ıpio norteador estabelecer relac¸o˜esentre uma visa˜o abrangente da matema´tica
acadeˆmica e os conteu´dos e as abordagens da escola e dos curr´ıculos matema´ticos de graduac¸a˜o. O
Projeto Klein visa a` produc¸a˜o de recursos com este esp´ırito, em diversas l´ınguas e em va´rias m´ıdias,
acess´ıveis a qualquer um com interesse em matema´tica, mais especialmente a`queles responsa´veis pelo
ensino da disciplina nos anos finais da escola secunda´ria. Assim, segundo Bill Barton, presidente da
ICMI entre 2009 e 2012, o Projeto Klein devera´ produzir recursos para oferecer estrutura, amplida˜o,
organicidade, vitalidade, aplicabilidade, este´tica e valores da matema´tica – de forma a estimular os pro-
fessores tanto a cultivar sua pro´pria apreciac¸a˜o pela disciplina, quanto a expor sua vivacidade e beleza
aos estudantes (Barton [13]). Barton [14, p.4] descreve da seguinte forma a filosofia do Projeto Klein:
O aspecto primordial da filosofia do Projeto Klein e´ o que se tem chamado de esp´ırito de Felix
Klein. Isto se refere, por um lado, a` concepc¸a˜o geral de que a matema´tica e´ um organismo
vivo, em crescimento, interconectado, profundamente relacionado com suas aplicac¸o˜es e com
CONTEU´DO 9
o desenvolvimento da tecnologia. A implicac¸a˜o de tal esp´ırito e´ que a educac¸a˜o matema´tica
e o conhecimento educacional para o ensino e a busca da matema´tica demandam constante
atualizac¸a˜o e renovac¸a˜o. Por outro lado, o esp´ırito de Klein inclui sua fe´ no importante papel dos
professores da escola no desenvolvimento da a´rea. Klein confiava em seus professores, afirmando
explicitamente que seu livro na˜o deveria ser tomado como um programa, mas como um guia. Em
lugar disso, deveria servir-lhes como um est´ımulo para extrair do campo da matema´tica inspirac¸a˜o
para o ensino.
(Bill Barton)
Quando refletimos sobre modelos dos cursos de formac¸a˜o de professores, podemos verificar que a
dupla descontinuidade identificada por Felix Klein na˜o e´ um fenoˆmeno localizado, nem no
seu tempo nem no seu pa´ıs. Na de´cada de 1980, Lee Shulman [130], em seu trabalho – que e´
hoje uma importante refereˆncia para a pesquisa em formac¸a˜o de professores – apresenta a noc¸a˜o de
saber pedago´gico de conteu´do3, que vai ale´m do saber de conteu´do por si so´ e inclui todos os aspectos
e relac¸o˜es do conteu´do que o fazem ensina´vel, isto e´, corresponde ao saber sobre o conteu´do para o
ensino. Nesse trabalho, o autor critica a separac¸a˜o estrita entre o conhecimento de conteu´do disciplinar
e a pedagogia, e a consequente identificac¸a˜o da competeˆncia para o ensino como apenas conhecimento
sobre pedagogia [130, pp.7-8]. O autor identifica, a partir desta separac¸a˜o, um paradigma perdido.
Assim, como Klein, Shulman enfatiza a natureza particular do conhecimento de matema´tica ne-
cessa´rio para o professor: o meta-saber, nos termos de Klein, e o saber pedago´gico de conteu´do, nos
termos de Shulman. Ale´m disso, Klein e Shulman referem-se a rupturas de naturezas diferentes: a
primeira da´-se entre a matema´tica acadeˆmica e a matema´tica escolar; enquanto a segunda, entre a
competeˆncia para o ensino e o conhecimento de conteu´do disciplinar. Entretanto, ambas teˆm em co-
mum consequeˆncias importantes para os modelos de formac¸a˜o de professores e, portanto, para a pra´tica
de sala de aula – ou para a dupla descontinuidade, nos termos de Klein. Estas consequeˆncias se fazem
presentes ate´ os dias de hoje, na˜o so´ no Brasil. Diversos outros autores (e.g. [11, 93, ?]) teˆm apontado
para o fato de que muitos cursos de formac¸a˜o de professores falham em construir conexo˜es com a
futura pra´tica docente. Em consequeˆncia, o principal modelo para a pra´tica de sala de aula seguido
por muitos professores baseia-se nas lembranc¸as daquilo que aprenderam e do estilo de seus professores
quando eles pro´prios eram alunos da escola – como se o seu curso de formac¸a˜o (a Licenciatura, no caso
do Brasil) houvesse desempenhado um papel ino´cuo.
E´ na reconciliac¸a˜o dessas rupturas que este texto pretende atuar. Por meio da discussa˜o
sobre a abordagem dos conceitos na escola, do ponto de vista de sua fundamentac¸a˜o matema´tica,
visamos ao resgate dos lac¸os entre a matema´tica como a´rea acadeˆmica de conhecimento e a matema´-
tica como objeto de ensino, e da indissociabilidade entre o conhecimento de conteu´do de matema´tica
e a competeˆncia para o ensino.
Pressupostos sobre o ensino de matema´tica: uma exposic¸a˜o de motivos
Uma primeira suposic¸a˜o que embasa a concepc¸a˜o desta colec¸a˜o e´ a de que uma func¸a˜o essencial da
educac¸a˜o institucionalizada, isto e´ da escola, e´ oferecer o acesso de todos ao patrimoˆnio cient´ıfico e
cultural da humanidade. Quando pensamos no papel da escola, especialmente no caso da disciplina
matema´tica, na preparac¸a˜o do indiv´ıduo para as demandas sociais e na formac¸a˜o para o exerc´ıcio da
cidadania, devemos lembrar que essas demandas na˜o se reduzem apenas a` sua dimensa˜o imediata e
utilita´ria. Isto e´, os objetivos para o ensino ba´sico de matema´tica na˜o podem ser reduzidos simplesmente
3O trabalho de Shulman na˜o se refere especificamente a` matema´tica, mas aos saberes de conteu´do necessa´rios para
o ensino em geral, para quaisquer disciplinas. Em especial, esse trabalho tem sido largamente aplicado por muitos
pesquisadores em ensino de matema´tica.
10 CONTEU´DO
a` preparac¸a˜o dos estudantes para os desafios da sociedade como estes se apresentam hoje, mas deve
contemplar, ale´m disso, a construc¸a˜o da bagagem cultural indispensa´vel para prepara´-los para enfrentar,
por si mesmos, os desafios que possam vir a se configurar no futuro. Neste sentido, o acesso a` produc¸a˜o
cient´ıfica e cultural da humanidade e´ parte constituinte da formac¸a˜o para o exerc´ıcio da cidadania.
A importaˆncia da contextualizac¸a˜o de conteu´dos em relac¸a˜o a situac¸o˜es da vida cotidiana e a
aplicac¸o˜es compat´ıveis com os grupos sociais em que os alunos se inserem na˜o deve ser desmerecida.
Por outro lado, estes na˜o podem ser tomadas como crite´rio u´nico para a selec¸a˜o de conteu´dos e para a
escolha de metodologias de ensino. Esse crite´rio e´ a`s vezes deturpado, ao ponto extremo de se criarem
situac¸o˜es absolutamente artificiais apenas para justificar a abordagem (supostamente) contextualizada
de um conceito. Tais situac¸o˜es podem ter o efeito exatamente oposto ao desejado: tornar os conceitos
matema´ticos ainda mais artificiais e mais distantes da realidade do aluno. Ale´m disso, devemos lembrar
que a aplicabilidade da matema´tica a tantas a´reas distintas do conhecimento decorre justamente de sua
natureza abstrata e do fato de ela na˜o ter amarras, a priori, com nenhuma dessas a´reas.
Consideremos por exemplo, a inclusa˜o de nu´meros complexos no ensino me´dio. Dificilmente os
alunos precisara˜o deste conceito em suas vidas dia´rias (a menos, e´ claro, daqueles que seguira˜o futu-
ramente carreiras na a´rea de cieˆncias exatas). Enta˜o, em que sentido aprender nu´meros complexos no
ensino me´dio pode ser interessante? Muitos textos dida´ticos introduzem nu´meros complexos afirmando
que sua origem histo´rica esta´ na impossibilidade de resolver a equac¸a˜o x2 + 1 = 0 em R. A partir
da´ı, as representac¸o˜es, operac¸o˜es e propriedades dos nu´meros complexos sa˜o definidas e manuseadas
de forma rotineira – quase como se sua criac¸a˜o se devesse a um mero “capricho” dos matema´ticos
em inventar uma extensa˜o do corpo dos reais. Na verdade, esta afirmac¸a˜o histo´rica esta´ incorreta.
Os nu´meros complexos surgiram inicialmente no se´culo XVI, apenas como s´ımbolos cuja manipulac¸a˜o
era necessa´ria para obter soluc¸o˜es reais de equac¸o˜es polinomiais de terceiro e quarto graus (veja, por
exemplo [79, 118]). Neste ponto, as soluc¸o˜es complexas na˜o reais (assim como as negativas) eram
desconsideradas, pois os complexos na˜o reais e os negativos ainda na˜o eram considerados nu´meros.
Os complexosso´ adquiriram o leg´ıtimo estatuto de nu´meros a partir da representac¸a˜o geome´trica no
plano proposta por Jean-Robert Argand no in´ıcio do se´culo XIX. Somente muitos anos mais tarde foram
descobertas as aplicac¸o˜es de nu´meros complexos em outras a´reas do conhecimento, especialmente na
f´ısica em diversos campos da engenharia.
Nesta perspectiva, a presenc¸a de equac¸o˜es cu´bicas e de nu´meros complexos nos curr´ıculos de ma-
tema´tica pode se justificar pelas conexo˜es relevantes entre conceitos que podem ser estabelecidas a
partir de sua abordagem, que possibilitam aos estudantes uma visa˜o da matema´tica como um campo
orgaˆnico e em constante desenvolvimento – e na˜o pelo fato de que tais conhecimentos possam vir a ser
utilitariamente aplicados futuramente na vida cotidiana dos alunos. Esse exemplo ilustra outra forma
de contextualizac¸a˜o de conceitos: a contextualizac¸a˜o em relac¸a˜o a` pro´pria matema´tica. Esta forma de
contextualizac¸a˜o inclui o papel dos conceitos matema´ticos em um dado campo teo´rico, sua articulac¸a˜o
com outros conceitos nesse campo e com outras teorias, a adequac¸a˜o de representac¸o˜es e ferramentas
teo´ricas para um dado problema ou aplicac¸a˜o, os problemas envolvidos na sua geˆnese e desenvolvimento
histo´rico e aqueles que manteˆm sua importaˆncia na matema´tica contemporaˆnea. Em suma, o acesso
ao patrimoˆnio cient´ıfico e cultural da humanidade, considerado como um objetivo essencial
para o ensino ba´sico, exige a apresentac¸a˜o da pro´pria estrutura da matema´tica, como um
campo de conhecimento orgaˆnico, vivo e em permanente desenvolvimento.
Esta perspectiva demanda do professor uma visa˜o da matema´tica escolar que seja ao mesmo tempo
profunda e distanciada. Com o emprego do termo “visa˜o distanciada” na˜o temos a intenc¸a˜o de defender
um afastamento dos conteu´dos da matema´tica escolar de suas poss´ıveis aplicac¸o˜es e contextualizac¸o˜es
na vida cotidiana, mas sim de apontar para a necessidade enxergar esses conteu´dos de um ponto
de vista superior (como defende Klein), que ultrapasse a compreensa˜o pontual e isolada,
e permita localiza´-los no panorama abrangente da matema´tica como campo orgaˆnico de
conhecimento, contemplando as articulac¸o˜es entre diferentes conceitos e teorias, suas complexidades
CONTEU´DO 11
epistemolo´gicas, sua fundamentac¸a˜o e evoluc¸a˜o histo´rica, bem como seus desenvolvimentos recentes.
Esta visa˜o e´ um aspecto do meta-saber do professor: do saber sobre o pro´prio saber. Em particular, tal
distanciamento e´ indispensa´vel para a construc¸a˜o da autonomia do professor na pra´tica docente, que
exige seguranc¸a em relac¸a˜o ao conhecimento do conteu´do e liberdade de pensamento, necessa´rias para
formulac¸a˜o e escolha consciente de abordagens, metodologias e recursos adequados, ao mesmo tempo,
a` natureza de cada conceito e a`s especificidades de cada pu´blico discente.
Um aspecto especialmente importante dessa visa˜o distanciada e´ a compreensa˜o da matema´tica como
uma cieˆncia dedutiva e na˜o experimental, isto e´, cujos fatos so´ podem ser estabelecidos por meio de
argumentac¸a˜o lo´gica e na˜o pela verificac¸a˜o de exemplos. A intuic¸a˜o e´ uma componente indispensa´vel da
criac¸a˜o matema´tica e seu desenvolvimento e´ um objetivo importante do ensino ba´sico. Outro objetivo
igualmente importante e´ o esclarecimento das limitac¸o˜es da intuic¸a˜o e da consequente necessidade do
me´todo dedutivo. O pensamento indutivo, isto e´, o estabelecimento de fatos matema´ticos pela simples
verificac¸a˜o de exemplos, tem sido ampla e perigosamente utilizado no ensino ba´sico. Suponhamos,
por exemplo, que queiramos apresentar aos alunos o fato (verdadeiro) de que a soma de nu´meros
pares e´ um nu´mero par. A justificativa deste fato pela simples verificac¸a˜o de alguns exemplos consiste
em argumento matematicamente errado, embora a conclusa˜o esteja correta. Tal abordagem pode ter
consequeˆncias danosas para a aprendizagem dos estudantes, pois o mesmo tipo de argumento indutivo
pode leva´-los a concluir fatos matema´ticos que na˜o sa˜o verdadeiros. Por exemplo, e´ poss´ıvel dar va´rios
exemplos para o fato (falso) de que “se k e´ divisor de n2 enta˜o k e´ divisor de n”. E´ claro que no ensino
ba´sico nem sempre e´ poss´ıvel dar argumentos com o mesmo grau de rigor da matema´tica superior.
Entretanto, deve-se sempre buscar por argumentos dedutivos compat´ıveis com cada ano do ensino ba´-
sico. No caso da soma de nu´meros pares, esses argumentos devem chamar atenc¸a˜o para a definic¸a˜o
de nu´mero par como mu´ltiplo de 2. Assim, apresentar aos alunos o me´todo dedutivo da matema´tica,
de forma gradual e compat´ıvel com cada n´ıvel escolar, deve ser um objetivo maior que convenceˆ-los da
veracidade de um fato matema´tico particular.
De forma geral, a abordagem de matema´tica no ensino ba´sico tem sido orientada pela apresentac¸a˜o
de soluc¸o˜es e respostas para questo˜es. Frequentemente esse compromisso com a apresentac¸a˜o de
soluc¸o˜es envolve a formulac¸a˜o de “atalhos” para as respostas, por meio de regras e “procedimentos
pra´ticos”, que procuram “poupar” os estudantes das complexidades teo´ricas intr´ınsecas aos conceitos.
A perspectiva para o ensino com a qual este texto esta´ alinhado esta´ mais associada com propiciar o
contato com os problemas que movem a matema´tica – que impulsionaram a geˆnese de suas
ideias e que a caracterizam como um campo orgaˆnico de conhecimento – do que com esgotar
suas respostas. Sa˜o justamente esses problemas que teˆm sido frequentemente evitados ou suprimidos
no ensino de matema´tica, quando os conceitos matema´ticos sa˜o artificialmente naturalizados, isto e´,
quando sua natureza e necessidade sa˜o assumidas como dadas.
Por exemplo, frequentemente em livros dida´ticos, a introduc¸a˜o dos nu´meros irracionais e´ feita por
meio da representac¸a˜o decimal. O fato de que os nu´meros racionais possuem representac¸a˜o decimal
finita ou perio´dica e´ suposto como sabido, os irracionais sa˜o apresentados como os nu´meros com repre-
sentac¸a˜o infinita e na˜o perio´dica, e os reais como sendo “todos” os nu´meros (racionais e irracionais).
Em primeiro lugar, do ponto de vista matema´tico, essa abordagem e´ logicamente inconsistente, pois
incorre em uma definic¸a˜o circular: como os reais sa˜o “todos” os nu´meros, os irracionais sa˜o os nu´meros
reais que na˜o sa˜o racionais e os reais sa˜o os nu´meros que sa˜o racionais ou irracionais. Assim, a de-
finic¸a˜o dos reais pressupo˜e a sua pro´pria existeˆncia. Um segundo problema dessa abordagem esta´ no
fato de que, em geral, ela na˜o e´ precedida de qualquer justificativa para a necessidade matema´tica de
expandir-se o conjunto dos racionais. Quais sa˜o os problemas matema´ticos dos quais os nu´meros racio-
nais na˜o da˜o conta, e que fazem necessa´ria a criac¸a˜o de um novo conceito de nu´mero? A evitac¸a˜o desta
pergunta e´ uma naturalizac¸a˜o artificial do conceito de nu´mero real, na medida em que sua existeˆncia
na˜o e´ problematizada, mas assumida como um fato dado.
12 CONTEU´DO
A discussa˜o conduzida neste texto na˜o diz respeito a que estrate´gia e´ mais ou menos
“eficiente” para a aprendizagem de matema´tica, mas a um posicionamento sobre os pro´prios
objetivos do ensino de matema´tica. E´ importante alertar que nossa intenc¸a˜o na˜o e´ propor que o
caminho, por vezes tortuoso, do desenvolvimento histo´rico dos conceitos matema´ticos seja retrilhado
em sala de aula do ensino ba´sico, e sim que reflexo˜es sobre o ambiente problema´tico da geˆnese desses
conceitos e suas relac¸o˜es com conhecimento matema´tico de fronteira sirvam de inspirac¸a˜o para o pro-
fessor na formulac¸a˜o de abordagens e no convencimento da legitimidade dos conteu´dos. Ou seja, tais
reflexo˜es podem nem mesmo se fazer explicitamente percept´ıveis na sala de aula, nem serem vis´ıveis
aos olhos dos alunos, mas devem estar presentes como pano de fundo na reflexa˜odos professores.
Consideremos o exemplo de introduzir no ensino me´dio poteˆncias de expoente irracional. Na˜o e´
dif´ıcil atribuir significado para: 23, 2−3, 2
1
3 . Pore´m, e´ consideravelmente mais delicado explicar o
que significa 2pi. De fato, a definic¸a˜o de potenciac¸a˜o para expoentes naturais se estabelece a partir do
produto de parcelas repetidas. Suas ampliac¸o˜es para expoentes inteiros e, posteriormente, para racionais
baseiam-se na preservac¸a˜o de propriedades alge´bricas. Ja´ a ampliac¸a˜o para expoentes reais quaisquer
envolve necessariamente a noc¸a˜o de continuidade, que na˜o pode ser abordada no ensino me´dio com o
mesmo grau de formalismo com que e´ tratada no ensino superior. Isto na˜o significa, entretanto, que
a questa˜o na˜o deva ser abordada no ensino me´dio. Tampouco se trata de naturaliza´-la artificialmente,
procurando “esconder” dos alunos as dificuldades teo´ricas envolvidas. Muito pelo contra´rio, trata-se
justamente de mover o foco da abordagem para essas dificuldades, em lugar da resposta em si. Muitos
podem ser de opinia˜o que esta discussa˜o na˜o e´ compat´ıvel com o ensino me´dio, sendo ao mesmo tempo
favora´veis a` abordagem da func¸a˜o real de varia´vel real dada por y = 2x de dom´ınio R neste n´ıvel de
ensino, o que constitui uma incoereˆncia.
A problematizac¸a˜o, ou desnaturalizac¸a˜o, de conceitos matema´ticos tem o potencial de propiciar aos
alunos a verdadeira experieˆncia de criac¸a˜o matema´tica – mesmo sem que para isso seja necessa´rio seguir
os padro˜es de rigor da matema´tica superior. Tal experieˆncia constitui os alicerces para o desenvolvimento
posterior do pensamento do pensamento matema´tico dedutivo. Portanto, para a formac¸a˜o do professor,
este e´ um componente central da recuperac¸a˜o do paradigma perdido identificado por Shulman, ou da
dupla descontinuidade denunciada por Klein. E´ com este esp´ırito que esta colec¸a˜o e´ concebida.
Objetivos gerais: o que voceˆ encontrara´ e o que na˜o encontrara´ neste livro
Antes de iniciar nossa jornada, cabem algumas observac¸o˜es. O tema central deste texto e´ a abordagem
de conceitos no ensino me´dio, com base em sua fundamentac¸a˜o matema´tica. Entretanto, assim como
o trabalho de Felix Klein, esta colec¸a˜o na˜o pretende servir como um programa de ensino, e sim como
um guia de apoio – ou, melhor dizendo, um companheiro para o professor de matema´tica. Visando
reiterar as intenc¸o˜es deste texto, fazemos treˆs alertas importantes sobre esta colec¸a˜o:
1. Voceˆ na˜o encontrara´ neste texto instruc¸o˜es expressas para a abordagem, modelos prontos de aula,
ou listas de exerc´ıcios completas para aplicac¸a˜o direta em sala de aula. Este na˜o e´ um livro
texto para a sala de aula do ensino me´dio.
2. Por outro lado, voceˆ tambe´m na˜o encontrara´ neste texto todos os detalhes das construc¸o˜es
teo´ricas dos conceitos tratados. As demonstrac¸o˜es dos teoremas so´ sera˜o inclu´ıdas no texto nos
casos em que estas contiverem aspectos relevantes para a discussa˜o de abordagens na forma
descrita a seguir; caso contra´rio, indicaremos outras refereˆncias de leitura. Este na˜o e´ um livro
de teoria matema´tica.
3. Finalmente, voceˆ na˜o encontrara´ neste texto discusso˜es sobre aspectos psicolo´gicos, so´cio-antro-
polo´gicos ou filoso´ficos da educac¸a˜o em geral. Tais conhecimentos sa˜o de fundamental importaˆn-
cia para a formac¸a˜o do professor de matema´tica em qualquer n´ıvel, e voceˆ na˜o tera´ dificuldades em
encontrar textos de qualidade sobre esses temas. Este na˜o e´ um livro de teoria pedago´gica.
CONTEU´DO 13
Outrossim, tomando como base a fundamentac¸a˜o matema´tica, em que particularmente procuramos
resgatar a problematizac¸a˜o dos conceitos no sentido exposto na sec¸a˜o anterior, discutiremos em linhas
gerais, com intuito de provocar reflexa˜o:
• principais conteu´dos que devem ser abordados, aspectos destes conteu´dos que devem ser enfati-
zados e que amparem sua selec¸a˜o e organizac¸a˜o pedago´gica;
• erros e concepc¸o˜es equivocadas recorrentes, suas poss´ıveis causas;
• abordagens adequadas e abordagens que devem ser evitadas.
Esperamos que a discussa˜o sobre os aspectos acima possa servir ao professor (nas palavras de Bill
Barton) como um est´ımulo para extrair do campo da matema´tica inspirac¸a˜o para o ensino. A opc¸a˜o
em orientar o texto desta maneira deve-se principalmente ao fato de acreditarmos na˜o haver respostas
absolutas para questo˜es do tipo: Qual e´ a melhor forma de ensinar certo conteu´do de matema´tica
em dado ano do ensino ba´sico? Responder perguntas como esta requer o conhecimento de muitos
fatores espec´ıficos de cada contexto de sala de aula, com os quais ningue´m tem mais familiaridade que
o pro´prio professor. Assim, o que acreditamos ser importante fazer e´ construir subs´ıdios teo´ricos para
voceˆ, professor, lidar com essas respostas.
Estrutura deste livro
Cada um dos livros desta colec¸a˜o esta´ organizado em cap´ıtulos, procurando cobrir os principais to´picos
dos conteu´dos matema´ticos relevantes para o contexto do ensino me´dio. Cada um dos cap´ıtulos esta´
dividido em treˆs sec¸o˜es, a saber:
1. De Onde Veˆm? Apresenta a fundamentac¸a˜o conceitual e histo´rica dos conteu´dos tratados no
cap´ıtulo, discutindo problemas e questo˜es que esta˜o na geˆnese de suas ideias.
2. Aprofundamentos e Desdobramentos. Destaca aspectos da construc¸a˜o formal matema´tica dos
conceitos abordados nos cap´ıtulos com relevaˆncia especial para seu ensino, bem como relac¸o˜es
dessas ideias com to´picos matema´ticos mais avanc¸ados.
3. Na Escola. A` luz das discusso˜es conduzidas nas sec¸o˜es De Onde Veˆm? e Aprofundamentos e
Desdobramentos, enfoca os principais aspectos dos conceitos no ensino ba´sico.
Esta organizac¸a˜o em sec¸o˜es na˜o tem por objetivo tratar de forma estanque os diferentes aspectos
dos conteu´dos, relacionados com sua fundamentac¸a˜o matema´tica e seu ensino. Ao contra´rio, visa
justamente apresentar de forma mais evidente as articulac¸o˜es entre tais aspectos, alinhando-se com o
esp´ırito do Projeto Klein de destacar as conexo˜es entre matema´tica elementar e superior. Embora os
conteu´dos das treˆs sec¸o˜es de cada cap´ıtulo estejam estruturados de maneira articulada, e a leitura mais
recomendada seja aquela que segue a ordem dessas sec¸o˜es, esta estrutura na˜o inviabiliza uma leitura
do livro em outra ordem, dependendo do interesse do leitor.
Objetivando as reflexo˜es propostas, usaremos elementos gra´ficos espec´ıficos como destaques espe-
ciais ao longo do texto:
• Para Refletir. Contemplam questo˜es chave para as reflexo˜es sobre os conteu´dos tratados no texto,
e que dizem respeito a` discussa˜o que esta´ sendo travada ou que sera˜o retomadas no livro. Assim,
estes destaques apontam para dentro do pro´prio texto.
14 CONTEU´DO
• Para Aprofundar. Trazem indicac¸o˜es de aprofundamentos matema´ticos dos conteu´dos em dis-
cussa˜o que, embora sejam relevantes para a reflexa˜o sobre a sala de aula, optamos por na˜o
apresentar em maiores detalhes (para evitar que o texto torne-se excessivamente longo). Por-
tanto, em geral, esses to´picos na˜o sera˜o mais tratados no texto. e sera˜o indicadas outras fontes
para pesquisa. Assim (ao contra´rio dos Para Refletir), estes destaques apontam para fora do
texto.
• Na Sala de Aula. Evidentemente, as reflexo˜es sobre a sala de aula sa˜o as metas centrais desta
colec¸a˜o, portanto perpassara˜o todo o texto. No entanto, usaremos estes destaques sempre que
consideremos necessa´rio fazer comenta´rios que se refiram de maneira mais direta a alguma forma
espec´ıfica de pra´tica pedago´gica.
• Conversando com o Professor. Visam explicar melhor ao professor os detalhes espec´ıficos de
propostas para a abordagem dos conteu´dos em sala de aula.
• Ampliando a Reflexa˜o. Estes destaques correspondem a questo˜es importantes sobre os conteu´dos
matema´ticos, cujas respostassa˜o deixadas em aberto para explorac¸a˜o por parte do professor.
Em particular, os destaques Para Refletir (quando figurarem nas sec¸o˜es Na Escola), assim como
os destaques Na Sala de Aula e Conversando com o Professor (quando figurarem nas sec¸o˜es De Onde
Veˆm? ou Aprofundamentos e Desdobramentos), desempenham o papel crucial de apontar articulac¸o˜es
importantes articulac¸o˜es entre as diferentes sec¸o˜es.
Em cada cap´ıtulo, optamos por fazer um aprofundamento na fundamentac¸a˜o matema´tica formal
dos conceitos tratados. Esta opc¸a˜o esta´ alinhada com o esp´ırito do Projeto Klein, em resgatar os lac¸os
entre matema´tica elementar e superior. Ale´m disso, as respostas de algumas questo˜es importantes
para o ensino dos conceitos matema´ticos esta˜o na reflexa˜o sobre a pro´pria estrutura de sua construc¸a˜o
formal. Assim, ao longo das apresentac¸o˜es dessas fundamentac¸o˜es matema´ticas, procuraremos apontar
os v´ınculos com a sala de aula. Entretanto, na˜o faremos todos os passos e demonstrac¸o˜es dos teoremas,
e indicaremos refereˆncias bibliogra´ficas em que as construc¸o˜es detalhadas possam ser consultadas.
Cabe observar ainda que nem sempre, ao longo do texto, a exposic¸a˜o dos conteu´dos obedecera´
de forma estrita a ordem lo´gica da estrutura matema´tica teo´rica. Discusso˜es envolvendo um to´pico
podera˜o ser antecipadas a` sua abordagem espec´ıfica, em geral com o objetivo de melhor direcionar a
abordagem do conteu´do. No desenvolvimento de cada cap´ıtulo na˜o nos absteremos de fazer refereˆncia,
sempre que necessa´rio, a conteu´dos que sera˜o tratados especificamente em cap´ıtulos seguintes.
Objetivos Espec´ıficos para o Volume I –
Nu´meros
O Volume I do Livro Companheiro do Professor de Matema´tica enfoca a abordagem do conceito de
nu´mero real no ensino me´dio, da perspectiva de sua fundamentac¸a˜o matema´tica. Para atingir este
objetivo, faz-se necessa´rio discutir o conceito matema´tico de nu´mero, de forma mais ampla. Essa dis-
cussa˜o tera´ como linha condutora duas noc¸o˜es concretas elementares – contagem e medida – com base
nas quais e´ constru´ıdo o conceito abstrato de nu´mero.
Neste contexto, o problema da contagem consiste em controlar a quantidade de um conjunto finito
de objetos. Uma primeira estrate´gia para tratar este problema e´ estabelecer uma correspondeˆncia um
a um com um conjunto de refereˆncia. Note que tal estrate´gia na˜o envolve diretamente o conceito de
nu´mero e, de fato, ja´ era empregada por grupos humanos na pre´-histo´ria pelo menos alguns se´culos
antes do advento dos primeiros sistemas de numerac¸a˜o. A estrate´gia de contar por meio de correspon-
deˆncias um a um envolve apenas dois conjuntos particulares. Ja´ um nu´mero natural e´ um ro´tulo dado
a todos os conjuntos de objetos que podem ser postos em correspondeˆncia um a um entre si. Isto e´,
um nu´mero natural e´ uma propriedade que todos esses conjuntos teˆm em comum – independente da
natureza dos objetos contados. Assim, 5 e´ a propriedade abstrata que teˆm em comum cinco cadeiras,
cinco gra˜os de arroz, cinco quadrados; pore´m o nu´mero natural 5 na˜o e´ nem as cinco cadeiras, nem
os cinco gra˜os de arroz, nem os cinco quadrados. Desta forma, o conceito matema´tico de nu´mero
natural e´ uma abstrac¸a˜o que emerge da contagem por meio de correspondeˆncias um a um.
O problema da medida consiste em comparar o tamanho de uma grandeza com o de uma unidade,
isto e´, uma grandeza u de refereˆncia, de mesma espe´cie da grandeza a ser medida a. Neste sentido,
medir e´ verificar quantos vezes a unidade “cabe” na grandeza a ser medida. Caso a unidade u caiba
um nu´mero inteiro de vezes em a, enta˜o o valor da medida de a pode ser representado por um nu´mero
natural. No entanto, e´ claro que nem sempre isto sera´ poss´ıvel. Pode acontecer, ainda, de conseguirmos
subdividir u, obtendo uma nova unidade u′ (isto e´, u = n ·u′ para algum n ∈ N), que caiba um nu´mero
inteiro m vezes na grandeza a (isto e´, a = m ·u′). Ou seja, u e a sa˜o mu´ltiplos inteiros de uma unidade
comum u′. Neste caso, dizemos que as grandezas u e a sa˜o comensura´veis4. No caso particular de
grandezas comensura´veis, o problema da medida pode ser resolvido por contagem: basta contar quantas
vezes u′ cabe em a. O valor da medida pode, portanto, ser representado por uma comparac¸a˜o,
ou raza˜o de nu´meros naturais. Desta forma, o conceito matema´tico de nu´mero racional emerge do
problema concreto da medida, no caso particular de grandezas comensura´veis.
Entretanto, ja´ e´ conhecida desde a Gre´cia antiga a existeˆncia de grandezas incomensura´veis, tais
como o lado e diagonal de um quadrado, ou o diaˆmetro e o per´ımetro de um c´ırculo. Por exemplo, na˜o
e´ poss´ıvel encontrar uma unidade comum u′ da qual o lado e a diagonal de um quadrado sejam ambos
mu´ltiplos inteiros. Portanto, se o lado do quadrado e´ tomando como unidade, enta˜o o valor da medida
de sua diagonal na˜o pode ser representado como raza˜o de nu´meros naturais. Decorre da´ı a necessidade
de se expandir o conjunto dos racionais, construindo um novo objeto matema´tico para expressar tal
comparac¸a˜o, que ainda sera´ chamado de nu´mero: o nu´mero real.
4Da etimologia da palavra: que podem ser medidas juntas
15
16 CONTEU´DO
O conceito de nu´mero real encerra pelo menos dois passos de abstrac¸a˜o importantes (discutidos a
seguir). A reflexa˜o sobre esses passos apontam as dificuldades do ensino e aprendizagem deste conceito.
• De forma ana´loga ao caso dos nu´meros naturais, os nu´meros racionais e reais sa˜o usados para
medir grandezas, independente da natureza das mesmas. Desta forma, o mesmo nu´mero real 5
serve para medir cinco metros, cinco litros ou cinco quiloˆmetros por hora; pore´m na˜o e´ nem os
cinco metros, nem os cinco litros, nem nem os cinco quiloˆmetros por hora. Assim como o conceito
de nu´mero natural e´ uma abstrac¸a˜o da contagem, o conceito matema´tico de nu´mero real e´
uma abstrac¸a˜o que emerge da noc¸a˜o de medida.
• Os nu´meros racionais sa˜o suficientes para efetuar medic¸o˜es no mundo concreto. Por exemplo,
se usarmos um instrumento f´ısico para medir o per´ımetro de uma folha de cartolina circular
com 1 metro de raio, na˜o encontraremos o nu´mero pi como resposta, e sim uma aproximac¸a˜o
decimal racional do seu valor. Desta forma, verifica-se uma distinc¸a˜o importante entre o problema
emp´ırico da medida e problema teo´rico da medida: o primeiro corresponde a efetuar medic¸o˜es
com instrumentos f´ısicos; enquanto o segundo diz respeito a construir uma teoria matema´tica
consistente para a medida. Neste sentido, os nu´meros racionais da˜o conta do problema emp´ırico
da medida, isto e´, podemos dizer o que se faz na pra´tica e´ sempre contar – medir (no sentido do
problema teo´rico da medida) e´ uma abstrac¸a˜o matema´tica. Os nu´meros reais sa˜o constru´ıdos
para dar conta do problema teo´rico da medida. Neste texto, quando falarmos de medida
(salvo menc¸a˜o em contra´rio), estaremos nos referindo ao problema teo´rico da medida.
Os nu´meros inteiros podem ser pensados a partir da incorporac¸a˜o de uma noc¸a˜o de falta na ideia de
contagem, que corresponde a` necessidade de ser registrar “ganhos” e “perdas” em diversas situac¸o˜es,
isto e´, situac¸o˜es em que se precisa tanto aumentar quanto diminuir quantidades indefinidamente. Ale´m
disso, os nu´meros inteiros e complexos da˜o conta de complementar estruturas alge´bricas dos conjuntos
nume´ricos anteriores. Os inteiros complementam os naturais com os inversos aditivos, tornando a adic¸a˜o
uma operac¸a˜o invert´ıvel e fazendo a subtrac¸a˜o uma operac¸a˜o de fato, no sentido matema´tico do termo.
Assim, (Z,+, ·,!) constitui o exemplo mais elementar de anel, isto e´, e´ a menor estrutura alge´brica
poss´ıvel que conte´m os naturais e em que todos os elementos admitem inversos aditivos. Os inteiros
complementam os reais com as ra´ızes de polinoˆmios. Desta forma, (C,+,·,!) constitui o exemplo mais
elementar de corpo algebricamente completo, isto e´, que conte´m todas as ra´ızes de todas as equac¸o˜es
polinomiais, e portanto, todos os polinoˆmios podem ser completamente fatorados. Tambe´m no ensino
ba´sico esses conjuntos sa˜o apresentados a partir de limitac¸o˜es alge´bricas dos conjuntos anteriores. Do
ponto de vista histo´rico, os inteiros e os complexos demoraram a ganhar o estatuto de nu´mero, sendo a
princ´ıpio tratados apenas como s´ımbolos formais necessa´rios para a obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es reais positivas
de equac¸o˜es alge´bricas, que eram eliminados durante a resoluc¸a˜o. Os inteiros e os complexos so´ passa-
ram a ser considerados nu´meros quando lhes foram fornecidas interpretac¸o˜es geome´tricas consistentes
com suas propriedades e operac¸o˜es: associando aos inteiros a noc¸a˜o de orientac¸a˜o e representando os
complexos como pontos no plano.
Desta forma, objetiva-se chegar a` construc¸a˜o dos nu´meros reais. O papel dos problemas da
contagem e da medida para a construc¸a˜o dos nu´meros reais evidencia a importaˆncia de se refletir sobre
os demais conjuntos nume´ricos para discutir a abordagem dos reais no ensino ba´sico. Como estruturas
nume´ricos, os naturais, inteiros e racionais incorporam aspectos essenciais para a fundamentac¸a˜o do
campo dos reais. Nem sempre tais aspectos sa˜o abordados de forma adequada no primeiro e no
segundo segmentos do ensino fundamental, e e´ importante que o professor que atua no ensino me´-
dio esteja consciente dessas poss´ıveis falhas de abordagem e de suas poss´ıveis consequeˆncias para
a aprendizagem de nu´meros reais no ensino me´dio. Ale´m disso, muitas das questo˜es relativas ao
pro´prio ensino de nu´meros reais que voceˆ enfrentara´ efetivamente em sala de aula (tais como du´vidas
CONTEU´DO 17
e dificuldades frequentes dos alunos) dependem fortemente de questo˜es mais ba´sicas que envolvem o
ensino de nu´meros naturais, inteiros e racionais. Acreditamos ainda que as ideias fundamentais sobre
essas estruturas nume´ricas sejam (ou devam ser) continuamente revisitadas e aprofundadas ao longo
de todo o ensino ba´sico. Tais revisitac¸o˜es na˜o devem se consistir em meras repetic¸o˜es sucessivas de
conteu´dos vistos nos anos anteriores, mas novos olhares progressivos, sob novas perspectivas.
(N,+, ·,!) (Z,+, ·,!) (Q,+, ·,!) (R,+, ·,!)
nu´meros
naturais
nu´meros
inteiros
nu´meros
racionais
nu´meros
reais
orientac¸a˜o
comensura´veis
comensura´veis e
incomensura´veis
contagem medida
Figura 1: O conceito de nu´mero.
A sequeˆncia na qual os diferentes tipos de nu´meros sa˜o abordados no ensino ba´sico na˜o e´ a mesma
das incluso˜es dos conjuntos nume´ricos sob a perspectiva matema´tica, nem a mesma do seu desen-
volvimento histo´rico5. Por exemplo, no ensino ba´sico as frac¸o˜es sa˜o introduzidas antes dos inteiros
negativos, enquanto na sequeˆncia matema´tica das incluso˜es temos Z ⊂ Q.
Optamos por estruturar os cap´ıtulos deste livro seguindo a ordem das incluso˜es dos conjuntos. E´
importante destacar que isso na˜o significa que defendamos que a abordagem no ensino ba´sico deva
obedecer estritamente tal sequenciac¸a˜o. Assim percorreremos, principiando com os nu´meros naturais,
uma estrada que nos levara´ aos nu´meros reais. Nessa caminhada, ampliaremos sucessivamente as
estruturas nume´ricos:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Em cada passo, chamaremos atenc¸a˜o para as propriedades que sa˜o preservadas nessas ampliac¸o˜es,
para as que deixam de valer e para os recursos e possibilidades que cada nova ampliac¸a˜o nos proporciona.
E´ importante observar que, ao falarmos de ampliac¸a˜o neste contexto, na˜o nos referimos apenas a`
inclusa˜o de conjuntos, mas tambe´m a` extensa˜o dos conjuntos e as estruturas alge´brica e de ordem
associadas. Por exemplo, ao falarmos do corpo ordenado dos nu´meros reais na˜o nos referimos aos
5A ordem da aprendizagem de nu´meros no ensino ba´sico esta´ mais pro´xima da ordem de seu desenvolvimento histo´rico,
embora tampouco a reflita exatamente. Para maiores detalhes, veja por exemplo [118].
18 CONTEU´DO
nu´meros reais como conjunto apenas, mas a` estrutura formada pelo conjunto dos nu´meros reais, munido
de duas operac¸o˜es alge´bricas (soma e produto) e de uma relac¸a˜o de ordem. Para salientar esta estrutura
completa, recorremos a` notac¸a˜o usualmente empregada:
(R,+, ·,!) .
Evidentemente, na˜o e´ de forma alguma recomenda´vel empregar essa nomenclatura, ou a notac¸a˜o
acima na sala de aula do ensino ba´sico. Entretanto, esse aspecto conceitual matema´tico tem relac¸o˜es
importantes com o ensino. Na escola, em geral, primeiro os alunos devem aprender a ampliar a ideia de
nu´mero em si (por exemplo, dos naturais para os inteiros). Em seguida, devera˜o estender a estrutura
das operac¸o˜es e da ordem do conjunto anterior para o novo, discutindo quais propriedades continuam
valendo e quais deixam de ser verdadeiras. Cada um desses passos e´ um objetivo pedago´gico em si,
com suas especificidades e dificuldades peculiares.
Finalmente, salientamos que este percurso sera´ perpassado por diferentes ideias de infinito. E´
provavelmente ao lidar com nu´meros que os estudantes teˆm o contato mais expressivo com a ideia de
infinito no ensino ba´sico. Do ponto de vista do ensino, uma dificuldade particular e´ a falta de expresso˜es
para a ideia de infinito no mundo concreto. Entretanto, infinito e´ um dos conceitos mais ba´sicos da
matema´tica contemporaˆnea. Ao lidar com nu´meros no ensino ba´sico, a ideia de infinito aparece em
diversas situac¸o˜es e processos:
• na na˜o limitac¸a˜o dos conjuntos nume´ricos – e´ sempre poss´ıvel tomar um nu´mero natural maior
do que qualquer outro nu´mero dado;
• na densidade dos nu´meros racionais e reais – e´ sempre poss´ıvel tomar um nu´mero entre quaisquer
outros dois nu´meros dados;
• na ideia de limite – expanso˜es decimais infinitas dos racionais (e posteriormente dos reais);
• na ideia de cardinalidade – qual conjunto e´ maior: o dos racionais ou o dos irracionais?
Estas situac¸o˜es e sua relevaˆncia para a sala de aula sera˜o destacadas ao longo do texto.
As noc¸o˜es concretas de contagem e medida, que estruturam a discussa˜o conduzida neste texto,
levam, a um n´ıvel mais elementar, ao conceito matema´tico abstrato de nu´mero. Estas noc¸o˜es tambe´m
possuem desdobramentos matema´ticos mais sofisticados, como o conceito de nu´mero transfinito e a te-
oria da medida. Neste texto discutiremos brevemente como as noc¸o˜es concretas de contagem e medida
se desdobram nesses conceitos sofisticados – que encerram inclusive algumas propriedades surpreenden-
tes e alguns aspectos profundamente contra´rios a` intuic¸a˜o – sem a pretensa˜o de nos aprofundarmos
teoricamente nesses conceitos. Neste sentido, uma abordagem que apresente a matema´tica elementar
e a matema´tica superior de forma articulada – como componentes igualmente importantes da disciplina
– esta´ no cerne do esp´ırito do Projeto Klein, de forma a propiciar uma visa˜o panoraˆmica dos conceitos
matema´ticos da escola ba´sica.
CONTEU´DO 19
contagem
conjuntos
finitos
conjuntos
infinitos
nu´meros
naturais
nu´meros
transfinitos
Conceito de Infinito
medida
nu´meros
reais
teoria da
medida
Paradoxo de BanachTarski
Figura 2: Desdobramentos teo´ricos das noc¸o˜es de contagem e medida.
20 CONTEU´DO
Parte I
Nu´meros Naturais
21
Cap´ıtulo 1
Nu´meros Naturais: De Onde Veˆm?
Para Refletir 1.1:
O nu´mero representado por (13)7 (isto e´, 13 na base 7) e´ par ou ı´mpar? O que e´ um
nu´mero par?
Existe algum nu´mero natural cujo quadrado termine em 7?
Ao efetuar uma conta de divisa˜o, e´ necessa´rio comec¸ar pelo algarismo de maior ordem?
Que aproximac¸a˜o para o nu´mero 52.523.486 envolve o maior erro: 52×106 ou 53×106?
O nu´mero 0 e´ natural?
O que e´ contar?
1.1 Contagem e Nu´meroNatural
Os nu´meros naturais esta˜o certamente entre os objetos mais elementares de toda a matema´tica. Na˜o
por acaso, uma parte significativa da alfabetizac¸a˜o matema´tica, nas se´ries inicias do ensino funda-
mental, e´ dedicada ao estudo desses nu´meros, sua escrita, seus usos e significados, suas operac¸o˜es
elementares, e a resoluc¸a˜o de problemas envolvendo estas operac¸o˜es. O conceito matema´tico abstrato
de nu´mero natural tem sua geˆnese (histo´rica e cognitiva) na noc¸a˜o concreta e intuitiva de contagem.
No entanto, quando ensinamos nu´meros naturais, nem sempre nos damos conta das etapas progressivas
de abstrac¸a˜o, como vemos no exemplo a seguir.
Na Sala de Aula 1.2:
Em crianc¸as nas fases mais iniciais da aprendizagem de nu´meros, verifica-se que as
primeiras estrate´gias de contagem baseiam-se no reconhecimento um a um dos objetos
contados, antes da emergeˆncia dos nu´meros como objetos abstratos (ver por exemplo
[77]). Se perguntamos a uma crianc¸a pequena “Quantas bonecas voceˆ tem?”, ela
provavelmente respondera´ “Eu tenho a Aninha, a Ba´rbara, a Fla´via e a Paulinha” –
antes de ser capaz de responder “Quatro”.
Neste exemplo, a menina esta´ fazendo uma correspondeˆncia um a um sem ter consci-
eˆncia disso. Este procedimento e´ o primeiro passo para a contagem, quando se associa
um nu´mero a` colec¸a˜o de coisas que esta˜o sendo contadas.
23
24 CAPI´TULO 1. NU´MEROS NATURAIS: DE ONDE VEˆM?
Sendo assim, o nu´mero 5, por exemplo, e´ uma propriedade (abstrata) que teˆm em comum cinco
cadeiras, cinco pessoas, cinco caixas de ovos, cinco metros de tecido, e qualquer colec¸a˜o com cinco
objetos; que independe das caracter´ısticas particulares, das relac¸o˜es mu´tuas ou da organizac¸a˜o desses
objetos. O nu´mero 5 e´ a propriedade que permanece, de qualquer colec¸a˜o com objetos, quando
desconsideramos todas as caracter´ısticas, relac¸o˜es e organizac¸a˜o destes objetos. Entretanto, o nu´mero
5 na˜o e´ nem as cinco cadeiras, nem as cinco pessoas, nem as cinco caixas, nem os cinco metros. Na˜o
podemos ver, nem ouvir, nem sentir o nu´mero 5 no mundo concreto, mas apenas abstra´ı-lo como
uma propriedade compartilhada por essas colec¸o˜es e por todos as outras que podem ser postas em
correspondeˆncia com elas.
Em 1883, o matema´tico alema˜o Georg Cantor (1845 – 1918) – responsa´vel por grande parte da
fundamentac¸a˜o das Teorias modernas de conjuntos e de cardinalidade – conceituou nu´mero cardinal
(ou seja, nu´mero de elementos) de um conjunto das seguinte forma:
Se abstra´ımos a natureza dos elementos e a ordem na qual eles sa˜o dados, obtemos o nu´mero
cardinal do conjunto.
(Georg Cantor)
Figura 1.1: A propriedade que teˆm em comum cinco cadeiras, cinco rinocerontes, ou qualquer colec¸a˜o
de cinco objetos, esta´ relacionada a` ideia (abstrata) de nu´mero: ter cardinalidade cinco.
Estruturas Matema´ticas 1.1: E o que e´ abstrair?
A etimologia da palavra “abstrair” remete a isolar, separar alguma coisa de outras.
No caso que estamos tratando aqui, o nu´mero e´ abstrato porque expressa uma propri-
edade de uma colec¸a˜o de objetos quando esta propriedade e´ isolada, ou separada, de
todas as qualidades presentes nestes objetos. Quando afirmamos que duas colec¸o˜es
ta˜o distintas como uma colec¸a˜o de cadeiras e uma colec¸a˜o de rinocerontes possuem
algo em comum, caso tenham o mesmo nu´mero de entes, estamos isolando esta pro-
priedade de todas as qualidades destes objetos – na˜o importa sua cor, seu cheiro, sua
consisteˆncia, se e´ vivo ou inanimado etc.
1.2. SISTEMAS DE NUMERAC¸A˜O 25
A estrate´gia de controlar quantidades por meio de correspondeˆncias um a um ja´ era usada desde a
pre´-histo´ria, muito antes do surgimento dos primeiros sistemas nume´ricos. Historicamente, o problema
da contagem surgiu da necessidade de controlar quantidades e, em uma fase posterior, de registrar esse
controle. Este problema foi resolvido, em certos momentos, simplesmente por meio de correspondeˆncias
um a um entre colec¸o˜es de objetos e, outros per´ıodos, com um grau maior de abstrac¸a˜o. Assim, os
problemas concretos de contagem sa˜o anteriores ao conceito abstrato de nu´mero, tanto no
sentido matema´tico como no histo´rico.
Para contar, basta estabelecer uma correspondeˆncia um a um entre dois conjuntos, ou, em termos
mais formais, definir uma bijec¸a˜o entre eles. Assim, o conceito (abstrato) de nu´mero natural
emerge como uma sofisticac¸a˜o dos problemas concretos de contagem.
1.2 Sistemas de Numerac¸a˜o
Nosso objetivo nesta sec¸a˜o e´ destacar relac¸o˜es entre a histo´ria e questo˜es referentes ao ensino de nu´meros
naturais1. Necessidades ba´sicas dos grupos humanos muito antigos, tais como controlar quantidades de
animais em um rebanho, ou estoques de insumos necessa´rios a` sobreviveˆncia, ou dias transcorridos em
cada estac¸a˜o do ano, por exemplo, levaram ao desenvolvimento das primeiras estrate´gias de contagem.
Essas estrate´gias envolviam, essencialmente, comparac¸o˜es com colec¸o˜es de objetos de refereˆncias, como
pequenas pedras, ou marcac¸o˜es entalhadas em madeira, rochas, argila e outros materiais. O osso de
Ishango (figura 1.2), encontrado no Zaire e datado em torno de 12.000 antes da era comum, traz marcas
cuja interpretac¸a˜o na˜o e´ unaˆnime, mas que indubitavelmente se referem a estrate´gias para controlar
quantidades.
Figura 1.2: O osso de Ishango, Zaire, 8.000 antes da era comum.
Um pastor de ovelhas na pre´-histo´ria poderia controlar a quantidade de seu rebanho, mesmo sem
conhecer os nu´meros. Para isso, bastava que ele depositasse (em um saco de pele de animal, ou mesmo
em buraco cavado no cha˜o) uma pequena pedra2 para cada animal que sa´ısse para pastar. Na volta, ele
retiraria uma pedrinha para cada animal que entrasse. Se as pedrinhas acabassem juntamente com o
u´ltimo animal a entrar, ele teria certeza de que nenhuma ovelha tinha sido perdida, e de que nenhuma
ovelha tinha se juntado ao rebanho durante a pastagem – sem nunca identificar de fato a quantidade
de ovelhas por meio de um nu´mero. De fato, para controlar a quantidade de seu rebanho, o pastor nem
mesmo precisa conhecer os nu´meros. Evidentemente, o conto do pastor de ovelhas na pre´-histo´ria (que
e´ muito narrado em livros de histo´ria da matema´tica em geral) e´ absolutamente ficcional. Entretanto,
1Na˜o visamos a uma ana´lise histo´rica nem a um estudo axioma´tico rigoroso dos nu´meros naturais. Os que desejarem
se aprofundar mais nesses aspectos encontra˜o diversas boas fontes de leitura (por exemplo, [79, 118] para os aspectos
histo´ricos ou [46, 66, 71, 96] para os aspectos matema´ticos).
2A origem da palavra ca´lculo e´ o latim calculus, que significa “pequena pedra”.
26 CAPI´TULO 1. NU´MEROS NATURAIS: DE ONDE VEˆM?
ilustra as estrate´gias que antecederam os sistemas de numerac¸a˜o. Sobretudo, mostra o fato de que
essas estrate´gias eram puramente concretas e se baseavam meramente na comparac¸a˜o entre colec¸o˜es de
coisas, sem que houvesse se desenvolvido uma noc¸a˜o abstrata de nu´mero (muito menos de conjunto).
Figura 1.3: Na pre´-histo´ria, um pastor de ovelhas controlando a quantidade de seu rebanho.
Os primeiros registros nume´ricos de que se tem not´ıcias surgiram, juntamente com as primeiras
formas da pro´pria escrita, na regia˜o da Mesopotaˆmia3, por volta de 4.000 antes da era comum. Eram
usadas pequenas pec¸as de argila4, de diversos formatos (como discos, cilindros, cones, esferas, ovo´ides),
para contar coisas, como produtos da agricultura e bens manufaturados (figura 1.4, a` esquerda). Pec¸as
de formatos diferentes eram empregadas para contar objetos diferentes: ovo´ides para contar jarras de
o´leo, ou esferas para sacas de gra˜os, por exemplo. Essas pec¸as eram armazenadas em invo´lucros de
argila com quantidades fixas, em cujas superf´ıcies eram gravados o formato e a quantidade de pec¸as
(figura 1.4, a` direita).
Figura 1.4: Pec¸asde argila e invo´lucros de pec¸as para contagem, Mesopotaˆmia.
3A Mesopotaˆmia na˜o se refere a um povo da antiguidade, e sim uma regia˜o geogra´fica, delimitada pelos rios Tigre
e Eufrates, que corresponde ao atual Iraque, onde co-habitaram por diversos povos, dentre os quais os sume´rios, os
acadianos e os babiloˆnios.
4Tokens, em ingleˆs.
1.2. SISTEMAS DE NUMERAC¸A˜O 27
Esta estrate´gia sugere que, embora os mesopotaˆmicos empregassem a contagem concreta como
me´todo de controle de quantidades, ainda na˜o havia se desenvolvido uma ideia abstrata de nu´mero,
pois s´ımbolos diferentes eram usados para contar coisas diferentes, isto e´, a simbolizac¸a˜o da contagem
dependia da natureza dos objetos contados. Portanto, na˜o havia ainda um sistema u´nico de contagem,
que servisse para contar coisas quaisquer, isto e´, para expressar quantidades iguais de coisas distintas,
independentemente da natureza das coisas que se estivessem contando.
Por outro lado, e´ interessante observar que a te´cnica mesopotaˆmica de contagem por pec¸as e
invo´lucros ja´ continha o germe da estrutura do nosso pro´prio sistema de numerac¸a˜o contemporaˆneo:
a formac¸a˜o de grupos de s´ımbolos, que sa˜o encapsulados em um novo s´ımbolo (neste caso,
fisicamente encapsulados).
Entretanto, na˜o se verificou uma “evoluc¸a˜o linear” dos sistemas de numerac¸a˜o ate´ os dias de hoje.
Ao contra´rio, em diferentes partes do planeta, sistemas de numerac¸a˜o bem distintos foram desenvolvidos.
Esses sistemas foram usados paralelamente, mesmo por povos vizinhos e contemporaˆneos entre si,
ate´ que o sistema posicional decimal fosse adotado em larga escala. Veremos alguns exemplos mais
adiante. O crite´rio de selec¸a˜o destes exemplos na˜o se baseia na sua importaˆncia histo´rica. Procuramos
exemplificar sistemas com estruturas diferentes, de forma que seja poss´ıvel comparar caracter´ısticas,
analisar as limitac¸o˜es e as vantagens de cada um.
Voltemos a`s pec¸as e invo´lucros na Mesopotaˆmia. Em algum momento percebeu-se que, uma vez
que os invo´lucros de argila exibiam as gravac¸o˜es da pec¸as que continham, eles na˜o precisariam conter
fisicamente essas pec¸as para servir como registros de contagem. Essa constatac¸a˜o permitiu que, em um
esta´gio posterior, as pec¸as e invo´lucros fossem substitu´ıdos por registros em ta´buas planas de argila, de
mais fa´cil manipulac¸a˜o (figura 1.5). Surgiram assim os primeiros algarismos5 – s´ımbolos escritos, cuja
combinac¸a˜o representa quantidades. As representac¸o˜es de quantidades por meio de registros escritos
formados por algarismos sa˜o chamadas de numerais.
Figura 1.5: Ta´bua de argila, Mesopotaˆmia.
Na Sala de Aula 1.3:
A clareza sobre os significados dos termos nu´mero, algarismo e numeral e´ importante
para planejar a abordagem de sala de aula. Um nu´mero (natural) e´ a expressa˜o
abstrata de uma quantidade. O termo algarismo refere-se a cada um dos s´ımbolos
5Neste livro, empregamos o termo algarismo no sentido de um s´ımbolo empregado em um sistema de numerac¸a˜o
qualquer Em outros textos, o leitor podera´ encontrar o termo algarismo sendo usado apenas no contexto do sistema de
numerac¸a˜o decimal indo-ara´bico.
28 CAPI´TULO 1. NU´MEROS NATURAIS: DE ONDE VEˆM?
que sa˜o combinados para representar nu´meros em um dado sistema de numerac¸a˜o, e
cada uma dessas combinac¸o˜es de algarismos e´ chamada um numeral.
Assim, um numeral e´ a representac¸a˜o de um nu´mero em um dado sistema de nu-
merac¸a˜o. Portanto, um mesmo nu´mero admite diferentes representac¸o˜es por meio de
diferentes numerais. As propriedades de um nu´mero na˜o se alteram quanto este e´ re-
presentado por meio de numerais diferentes, embora as caracter´ısticas desses numerais
possam mudar.
Relac¸a˜o ana´loga e´ observada nas operac¸o˜es. Por exemplo, a adic¸a˜o e´ uma operac¸a˜o
entre nu´meros. Pore´m, os algoritmos para efetuar uma adic¸a˜o sa˜o desenvolvidos a
partir das representac¸o˜es, portanto envolvem a manipulac¸a˜o de algarismo e de nume-
rais.
Embora esta distinc¸a˜o seja importante para o professor como requisito para a clareza da
abordagem – pois devemos ter cuidado para distinguir as propriedades dos nu´meros
das caracter´ısticas de suas representac¸o˜es – este preciosismo de nomenclatura na˜o
deve se converter em objeto de ensino, muito menos ser cobrado em avaliac¸o˜es. Na˜o
devemos nos esquecer de que os objetivos do ensino de nu´meros sa˜o a construc¸a˜o do
pro´prio conceito, suas representac¸o˜es, suas propriedades, operac¸o˜es e aplicac¸o˜es em
diferentes situac¸o˜es.
Ao longo do desenvolvimento dos algarismos mesopotaˆmicos, um passo importante se deu quando
os babiloˆnios passaram a empregar um sistema em que um mesmo algarismo poderia assumir valores
diferentes, dependendo da posic¸a˜o que ocupasse no s´ımbolo – da mesma forma que ocorre no sistema
decimal que usamos atualmente. Por exemplo, no nosso sistema, no numeral 97, o algarismo 9 tem
valor de 90 e o algarismo 7 tem valor de 7; enquanto que no numeral 79, 9 vale 9 e 7 vale 70.
Assim, dizemos que este e´ um sistema de numerac¸a˜o posicional. Em lugar de 10, o sistema posicional
babiloˆnio utilizava 60 como base, isto e´, era sexagesimal (assim como o sistema utilizado atualmente
para representar horas, minutos e segundos).
Esse sistema de numerac¸a˜o era constru´ıdo a partir de dois s´ımbolos ba´sicos: um com valor absoluto
1 e outro com valor absoluto 10, Esses s´ımbolos eram combinados por meio de um processo aditivo
simples para formar os numerais de 1 a 59, que eram enta˜o empregados como algarismos para o sistema
posicional de base 60 (figura 1.6). O mesmo algarismo de valor absoluto 1 era enta˜o empregado para
representar o primeiro grupo de 60. A partir da´ı, os algarismos a de valores absolutos entre 1 a 59
eram usados para representar respectivamente os valores a× 60. O algarismo de valor 1 voltava a ser
empregado para representar o primeiro grupo de 602 = 3.600, e assim sucessivamente. Desta forma, os
valores dos algarismos eram dados pelas posic¸o˜es que ocupavam na representac¸a˜o de um nu´mero, e na˜o
por seus valores absolutos – da mesma forma que ocorre no sistema decimal que usamos atualmente.
O nu´mero 1908 seria expresso neste sistema como ilustrado na figura 1.7. No da figura 1.7, o algarismo
29 vale 29 mesmo, enquanto o algarismo 31, colocado em outra posic¸a˜o, vale 31× 60.
A princ´ıpio, um sistema posicional de base 60 precisaria de s´ımbolos diferentes para representar os
valores de 0 a 59, da mesma forma que usamos os algarismos de 0 a 9 no sistema decimal. Mas no sis-
tema babiloˆnio, este algarismos na˜o eram representados por s´ımbolos diferentes, mas pelas combinac¸o˜es
dos s´ımbolos para 1 e 10 no sistema aditivo. Entretanto, isto gerava algumas ambiguidades. Observe
a figura 1.8, por exemplo. Este numeral pode ser interpretado tanto como 1 + 1 = 2 (se os algarismos
sa˜o lidos no sistema decimal aditivo, apenas), quanto como 1× 60+1 = 61 (se os algarismos sa˜o lidos
ocupando posic¸o˜es diferentes no sistema posicional), ou ainda como 1× 600 + 1 = 601, etc.
1.2. SISTEMAS DE NUMERAC¸A˜O 29
1 10
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
30 40 50 60
Figura 1.6: Sistema de numerac¸a˜o posicional sexagesimal babiloˆnio.
1908 = 31× 60 + 48
Figura 1.7: O nu´mero 1908 no sistema posicional sexagesimal babiloˆnio.
Figura 1.8: Que nu´mero e´ este?
Outra diferenc¸a importante entre o nosso sistema e o babiloˆnio – que tambe´m era responsa´vel por
se´rias ambiguidades – era o fato haver um s´ımbolo para representar o algarismo zero. Assim, na˜o era
poss´ıvel diferenciar 1 de 60, pois ambos eram representados pelo mesmo algarismo. De forma mais
geral, na˜o era poss´ıvel diferenciar os nu´meros 60n uns dos outros, pois na˜o havia como indicar eventuais
posic¸o˜es intermedia´rias vazias nos numerais. Voltemos ao numeral da figura 1.8. Este tambe´m poderiaser lido como 1× 602+0× 60+1 = 3.601, ou mesmo como 1× 603+0× 602+0× 60+1 = 216.001.
Portanto, poderia haver literalmente infinitas interpretac¸o˜es diferentes para esse s´ımbolo!
Um sistema na˜o posicional, e sim aditivo, era usado no Egito, pelo menos em 3.400 antes da era
comum. Neste sistema de numerac¸a˜o, cada poteˆncia de 10 empregada era representada por um s´ımbolo
30 CAPI´TULO 1. NU´MEROS NATURAIS: DE ONDE VEˆM?
diferente. Neste sentido, o sistema eg´ıpcio pode ser entendido como um sistema de base 10, embora
na˜o fosse posicional (figura 1.9). Assim, nu´mero 1908 seria expresso como na figura 1.10.
1 10 102 103 104 105 106
basta˜o ferradura corda
flor de
lo´tus
dedo pa´ssaro
homem em
adorac¸a˜o
Figura 1.9: Sistema de numerac¸a˜o eg´ıpcio por agrupamento aditivo decimal.
1908 = 1× 103 + 9× 102 + 8
Figura 1.10: O nu´mero 1908 no sistema aditivo decimal eg´ıpcio.
Ja´ os maias, desenvolveram um sistema de numerac¸a˜o posicional, como o dos babiloˆnios, com um
sistema aditivo simples embutido (figura 1.11). No caso dos maias, o sistema aditivo era constitu´ıdo
por um algarismo com valor 1 e um com valor 5, e o sistema posicional era (essencialmente) de base
20. Assim, esses dois s´ımbolos formam os numerais de 1 a 19, que eram enta˜o usados como algarismos
no sistema posicional vigesimal. Uma diferenc¸a importante do sistema babiloˆnio e´ que os maias tinham
um algarismo para representar posic¸o˜es vazias, papel desempenhado pelo algarismo 0 no nosso sistema
decimal. O nu´mero 1908 seria expresso no sistema maia como na figura 1.12.
0 1 5
0 1 2 3 4
5 8 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
Figura 1.11: Sistema de numerac¸a˜o posicional vigesimal maia.
1.2. SISTEMAS DE NUMERAC¸A˜O 31
1908 = 4× 202 + 15× 20 + 8
Figura 1.12: O nu´mero 1908 no sistema vigesimal maia.
Para Refletir 1.4:
O fato do sistema maia ter o algarismo 0, isto e´, o um s´ımbolo que indica uma casa
vazia em um numeral, na˜o podemos afirmar que os maias admitiam o nu´mero 0. A
aceitac¸a˜o do 0 como um nu´mero significa a aceitac¸a˜o da auseˆncia de quantidade ma-
terial como uma quantidade, o que corresponde a um passo de abstrac¸a˜o significativo.
Um exemplo deste passo ocorre na simbolizac¸a˜o do resultado de uma operac¸a˜o como
0, situac¸a˜o em que e´ aceito como nu´mero. Retornaremos a esse comenta´rio na Parte
II deste texto.
Cada um dos diferentes sistemas de numerac¸a˜o apresentados nesta sec¸a˜o possui caracter´ısticas
pro´prias, que acarretam em limitac¸o˜es e vantagens para a realizac¸a˜o de tarefas espec´ıficas. Procedi-
mentos para realizar ca´lculos dependem da estrutura de cada sistema. Assim, ca´lculos considerados
fa´ceis em um sistema podem ser dif´ıceis em outro, e vice-versa.
Na Sala de Aula 1.5:
Em geral, ensinamos o sistema de numerac¸a˜o romano na escola. Mas porque ensinar
o sistema romano? Porque na˜o ensinar outros sistemas de numerac¸a˜o da antiguidade?
Quais sa˜o os objetivos de ensinar o sistema romano ou outros sistemas de numerac¸a˜o
na escola?
E´ claro que o ensino do sistema de numerac¸a˜o romano tem uma finalidade pra´tica
imediata, uma vez que ele ainda e´ usado em algumas situac¸o˜es atualmente (por exem-
plo, para representar os se´culos). Sobretudo, um objetivo importante em ensinar
o sistema romano, ou outros sistemas da antiguidade, esta´ em melhor entender a
estrutura do nosso pro´prio sistema de numerac¸a˜o indo-ara´bico decimal, por meio da
explorac¸a˜o de semelhanc¸as e diferenc¸as. Por exemplo, as ambiguidades do sistema
babiloˆnio podem nos ajudar a entender a importaˆncia do algarismo 0. Quantos e
que sistemas ensinar e´ uma escolha que depende intrinsecamente das caracter´ıstica de
cada turma, e ningue´m pode toma´-la melhor que o pro´prio professor.
Em qualquer situac¸a˜o, o ensino de sistemas de numerac¸a˜o da antiguidade pode ser
vantajoso – pore´m este nunca deve se converter em um objetivo em si. Por exemplo,
na˜o devemos forc¸ar os alunos a memorizarem algarismos ou nomenclaturas relativos a
outros sistemas. Seu uso na escola deve ser sempre orientado para ajudar a aprendi-
zagem dos nu´meros naturais e do sistema decimal – nunca para se constituir em uma
dificuldade artificial a mais.
32 CAPI´TULO 1. NU´MEROS NATURAIS: DE ONDE VEˆM?
O sistema de numerac¸a˜o que usamos hoje e´ posicional. Isto porque, em primeiro lugar, o valor
de um algarismo e´ determinado por sua posic¸a˜o no numeral e um mesmo algarismo assume infinitos
valores diferentes. Isto permite que um conjunto finito de algarismos seja suficiente para representar
todos os nu´meros naturais – o que na˜o ocorre com os sistemas na˜o posicionais.
Outro ponto muito importante diz respeito a` facilidade para construir algoritmos, relativamente
simples e funcionais, para as operac¸o˜es elementares. Este e´ um aspecto fundamental para a aborda-
gem das quatro operac¸o˜es no ensino ba´sico, que, portanto, sera´ discutido em detalhes nas pro´ximas
sec¸o˜es. Ale´m disso, os sistemas posicionais permitem uma extensa˜o natural para a representac¸a˜o de
nu´meros na˜o inteiros. Representamos os nu´meros inteiros por meio de combinac¸o˜es de poteˆncias de
expoentes positivos da base. Para representar nu´meros na˜o inteiros, devemos lanc¸ar ma˜o das poteˆncias
de expoentes negativos.
Ampliando a Reflexa˜o
1.1 A representac¸a˜o de um mesmo nu´mero me diferentes sistemas de numerac¸a˜o pode apresentar
caracter´ısticas bastante diferentes. Por exemplo, compare as representac¸o˜es para os nu´meros
3.633, 1.005 e 419 em cada dos sistemas: sexagesimal babiloˆnio, aditivo eg´ıpcio, vigesimal maia,
indo-ara´bico.
1.2 No sistema aditivo eg´ıpcio, avalie a possibilidade de determinar procedimentos gerais para:
(a) somar dois nu´meros naturais;
(b) multiplicar um nu´mero natural por 10;
(c) multiplicar um nu´mero natural por um poteˆncia de 10.
1.3 Comparando os sistemas babiloˆnio, maia e o atual, discuta a importaˆncia do algarismo 0 nos
sistemas de numerac¸a˜o posicional.
1.4 Sabemos que no sistema de numerac¸a˜o sexagesimal babiloˆnio a auseˆncia do algarismo 0 acarreta
em ambiguidades. O sistema aditivo eg´ıpcio tambe´m na˜o tem um algarismo 0. Essa auseˆncia
tambe´m implica em ambiguidades, isto e´, no sistema eg´ıpcio tambe´m pode ocorrer de um mesmo
numeral admitir leituras resultando em nu´meros diferentes? Observe e compare as caracter´ısticas
dos dois sistemas.
1.5 Considere os sistemas de numerac¸a˜o: romano, eg´ıpcio, vigesimal maia, indo-ara´bico. Para cada
um desses sistemas, deˆ um exemplo, se poss´ıvel, de um nu´mero entre 600 e 700 cuja representac¸a˜o
tenha exatamente 5 algarismos.
1.6 Considere os sistemas de numerac¸a˜o aditivo eg´ıpcio, vigesimal maia, e indo-ara´bico. Determine:
(a) o nu´mero de algarismos necessa´rios para escrever todos os nu´meros naturais n tais que
1 ! n < 1000, em cada um destes sistemas;
(b) o nu´mero de algarismos necessa´rios (ou nu´mero de algarismos que seria necessa´rio inventar,
generalizando a estrutura de cada sistema de numerac¸a˜o) para escrever todos os nu´meros
naturais n tais que 1 ! n < 10k, com k ∈ N, em cada um destes sistemas;
(c) o nu´mero de algarismos necessa´rios (ou nu´mero de algarismos que seria necessa´rio inventar,
generalizando a estrutura de cada sistema de numerac¸a˜o) para escrever todos os nu´meros
naturais em cada um destes sistemas.
1.3. NU´MERO × REPRESENTAC¸A˜O 33
1.3 Nu´mero × Representac¸a˜o
Os sistemas babiloˆnio, maia, bem como o indo-ara´bico que usamos hoje, sa˜o exemplos de sistemas de
numerac¸a˜o posicional, respectivamente de bases 60, 20 e 10. Nesses sistemas as representac¸o˜es para os
nu´meros sa˜o obtidas por meio de um processo de agrupamento sucessivo. Por exemplo, para expressar
1908 no sistema maia, utilizamos a seguinte decomposic¸a˜o:
1908 = 4× 202 + 15× 20 + 8
Mas, como chegamos a esta decomposic¸a˜o? Em primeiro lugar, verificamos