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* Cálculo Numérico Prof. Fernando Bicudo Salomão * ENC e ENP/UNIVAG * * Objetivos Ementa Metodologia, Técnicas de Ensino e Recursos Didáticos Avaliação Bibliografia * * Melhorar a familiarização e “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu lado prático e sua utilidade no dia-a-dia de um engenheiro. Rever conceitos já vistos, exercitá-los e utilizá-los de maneira prática; Apresentar ao aluno maneiras práticas de se desenvolver e utilizar métodos numéricos. Isso significa mostrar como usar esses métodos numéricos na calculadora e em um computador; Treinar o aluno a aprender outros métodos numéricos por conta própria. No seu dia-a-dia profissional, ele pode se deparar com um problema cuja solução depende de um método numérico que não foi visto no curso. Portanto, ele deverá ser capaz de encontrar a literatura pertinente, estudar o método e aprender a sua utilização de maneira conceitual e prática (usando um aplicativo computacional) por conta própria. * * * * Solução exata Introdução de um diodo no circuito: Solução utilizando métodos numéricos V R i V R D i * * Decidir? Resolver problema matemático numericamente Pacote Computacional Utilizar ou não de um método numérico (Temos métodos numéricos que resolvam o problema?) Escolher o método a ser utilizado Vantagens e Limitações de cada método (Qual o mais adequado para o seu problema?) Avaliar a qualidade da solução obtida (saber exatamente o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como determinado método é aplicado – erros / aproximações) * * Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: solução de sistemas de equações lineares. * * A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). Exemplos: a) não tem primitiva em forma simples; b) não pode ser resolvido analiticamente; c) equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares. * * Os métodos numéricos buscam de forma mais simples soluções aproximadas para as formulações matemáticas. Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio. * * Função do Cálculo Numérico na Engenharia “Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos modelo matemático” * * Passos para a resolução de problemas PROBLEMA MODELAGEM REFINAMENTO RESULTADO DE CIÊNCIAS AFINS MENSURAÇÃO ESCOLHA DE MÉTODOS ESCOLHA DE PARÂMETROS TRUNCAMENTO DAS ITERAÇÕES RESULTADO NUMÉRICO * * Fluxograma – Solução Numérica * * Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento Limitação na representação numérica (24 bits) * * Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5) Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Prejuízo: U$ 7,5 bilhões * * * * Três feirantes uniram-se e venderam uma dúzia de bananas por p1 reais, uma dúzia de laranjas por p2 reais e uma dúzia de maçãs por p3 reais. Calcule p1, p2 e p3, sabendo-se que a receita total = soma das receitas (preço × quantidade vendida em dúzias, de cada produto) em reais do primeiro feirante é dada por 10p1 + 30p2 + 20p3 = 150, a do segundo é 20p1 + 50p2 + 30p3 = 240, e a do terceiro feirante é 30p1 + 20p2 + 40p3 = 230. Solução: Para encontrar p1, p2 e p3, você deve resolver o seguinte sistema: assim temos de escolonar: * * Passo 1) Multiplique a primeira linha da matriz (I) por 1/10 para obter a11 =1 (I) Assim: Passo 2) Substitua a segunda linha de (II) (II) por essa mesma linha adicionada à primeira linha de (II) multiplicada por (-20) para obter a12 = 0 Assim: (III) Passo 3) Substitua a terceira linha de (III) por essa mesma linha adicionada à primeira linha de (III) multiplicada por (-30) para obter a13 = 0 * * (III) Assim: (IV) Passo 4) Multiplique a segunda linha de (IV ) por −1/10 para encontrar para obter a 22 = 1 Assim: (V) Passo 5) Substitua a primeira linha da matriz (V) por essa mesma linha adicionada à segunda linha de (V ) multiplicada por (-3) para obter a 12 = 0 Assim: (VI) Passo 6) Substitua a terceira linha da matriz (V I) por essa mesma linha adicionada à segunda linha de (V I) multiplicada por 70 para obter a 32= 0 * * (VI) Assim: (VII) Passo 7) Multiplique a terceira linha de (V II) por 1/50 para obter para obter a 33 = 1 Assim: (VIII) Passo 8) Substitua a primeira linha de (V III) por essa mesma linha adicionada à terceira linha de (V III) para ter para obter a 13 = 0 Assim: (IX) Passo 9) Finalmente, substitua a segunda linha de (IX) por essa mesma linha adicionada à terceira linha de (IX) multiplicada por (-1) para obter a23 =0 * * (X) Passo 10) De a resposta: p1 = 1, p2 = 6, e p3 = 4 TEMOS QUE: * * * * *
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