CÁLCULO NUMÉRICO - LIVRO

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Prof. Michele L Mourão Fernandes
2
CÁLCULO NUMÉRICO
PROF. MICHELE L MOURÃO FERNANDES
3
 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Profa. Esp. Gilvânia Barcelos Dias Teixeira
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Profa. Izabel Cristina 
 Revisão Técnica: Profa. Me. Sarah Mazzini
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Clarice Virgilio Gomes
 Prof. Esp. Guilherme Prado
 Lorena Oliveira Silva Portu 
 
 Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Daniel Guadalupe Reis
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza P. Campos 
 Victor L. dos Reis Lopes 
© 2022, Faculdade Única.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
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CÁLCULO NUMÉRICO 
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2022
5
Licenciada em Matemática, Mestre em Ensino 
de Matemática pela PUC-MG, professora no 
Ensino Fundamental, Médio e Superior.
MICHELE LANA M. FERNANDES
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LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes nas 
quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do 
conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones 
ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado 
trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a 
seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
BUSQUE POR MAIS
VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
UNIDADE 4
SUMÁRIO
1.1 Modelos Matemáticos ................................................................................................................................................................................................................................................................10
1.2 Métodos Numéricos ....................................................................................................................................................................................................................................................................12
1.3 Erros de truncamento ...............................................................................................................................................................................................................................................................12
 1.3.1 Erros de truncamento ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................12
 1.3.2 Erros de arredondamento ................................................................................................................................................................................................................................................................................................12
 1.3.3 Erro absoluto e relativo .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................13
1.4 Representação de números em pontos flutuantes .............................................................................................................................................................................................13
FIXANDO O CONTEÚDO ................................................................................................................................................................................................................................................................16
2.1 Método da Bissecção .................................................................................................................................................................................................................................................................19
2.2 Método da Falsa Posição ........................................................................................................................................................................................................................................................21
2.3 Método de Newton ....................................................................................................................................................................................................................................................................22
 FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................25
3.1 Sistemas Lineares direto .........................................................................................................................................................................................................................................................28
 3.1.1 Eliminação de Gauss............................................................................................................................................................................................................................................................................................................28
 3.1.2.Método de Fatoração LU....................................................................................................................................................................................................................................................................................................31
3.2 Sistemas não-lineares .............................................................................................................................................................................................................................................................34
 3.2.1.Método Newton......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................35
FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................37
MODELAGEM E MÉTODOS NUMÉRICOS
RAÍZES DE FUNÇÃO
RESOLUÇÃO DE SISTEMASLINEARES E NÃO LINEARES
4.1 Interpolação Polinomial ..........................................................................................................................................................................................................................................................41
4.2 Resolução de sistemas lineares.........................................................................................................................................................................................................................................42
4.2 Forma de Lagrange ..................................................................................................................................................................................................................................................................43
4.3 Forma de Newton .....................................................................................................................................................................................................................................................................44
FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................47
INTERPOLAÇÃO
5.1 Revisão de conceitos e definições iniciais ...................................................................................................................................................................................................................51
5.2 Soma de Riemann ......................................................................................................................................................................................................................................................................51
5.3 A regra dos trapézios ................................................................................................................................................................................................................................................................52 
5.4 A regra de Simpson ..................................................................................................................................................................................................................................................................53
FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................55
INTERPOLAÇÃO NUMÉRICA
UNIDADE 5
6.1 O caso linear discreto ...............................................................................................................................................................................................................................................................58
 6.1.1 O caso discreto geral.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................61
6.2 O caso contínuo ..........................................................................................................................................................................................................................................................................62
FIXANDO O CONTEÚDO ...............................................................................................................................................................................................................................................................64
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ......................................................................................................................................................................................................................66
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................................................................................................................................................................67
MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS
UNIDADE 6
8
O
N
FI
R
A
 N
O
 L
I
C
V
R
O
UNIDADE 1
Nesta unidade, vamos descrever como os modelos matemáticos podem ser 
formulados, reconhecer o uso de métodos numéricos para problemas que não 
podem ser resolvidos analiticamente, identificar e corrigir as principais formas de 
erros numéricos.
UNIDADE 2
Nesta unidade, vamos abordar a importância do uso dos métodos numéricos para o 
cálculo de raízes de funções. Definir e diferenciar os métodos da bissecção, da falsa 
posição e de Newton. Aplicar os métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 
na solução de problemas. 
UNIDADE 3
Nesta unidade, vamos abordar os métodos numéricos (direto ou interativo) para 
resolução de sistemas lineares e não lineares. Abordaremos a eliminação de Gauus, a 
fatoração LV, Gauus Jacobi, Gauss Sleide e Métodos de Newton.
UNIDADE 4
Nesta unidade, estudaremos métodos que permitem encontrar o valor aproximado 
em um ponto de um intervalo determinado, através do conhecimento de uma 
coleção de pares ordenados.
UNIDADE 5
Nesta unidade, aproximaremos os valores das integrais definidas, como visto no 
Cálculo I. Vamos revisar alguns conceitos de integrais definidas e abordaremos a 
regra dos trapézios simples e a de Simpson.
UNIDADE 6
Nesta unidade, prosseguiremos com o estudo de aproximar dados por funções 
conhecidas minimizando as distâncias. Apresentaremos e discutiremos métodos e 
casos do problema de mínimos quadrados. 
9
MODELAGEM E
MÉTODOS NUMÉRICOS
10
1.1 MODELOS MATEMÁTICOS
 Nesta unidade, vamos descrever como os modelos matemáticos podem ser 
formulados, realçando a importância do cálculo numérico e sua utilidade como 
ferramenta para resolução de problemas reais das ciências exatas, das engenharias e da 
própria matemática. Trataremos das formas de representação dos números em sistemas 
de numeração, dando ênfase a representação em ponto flutuante. Apresentaremos 
também noção de erro e de aproximação numérica.
A Modelagem matemática é a área da matemática que transforma os fenômenos ou as 
situações reais em linguagem numérica.
 Para determinar a solução de um problema, podemos seguir as seguintes etapas:
• Definição do problema;
• Levantar efeitos dominantes;
• Criar o modelo matemático;
• Resolver o problema matemático.
A figura 1, representa um fluxograma com as etapas para solucionar um problema 
através de um modelo matemático.
O Fluxograma nos apresenta duas etapas fundamentais para alcançarmos o resultado 
desejado:
• Modelagem do problema, que consiste na representação do problema através 
de um modelo matemático, tornando o modelo um problema matemático resolvível, 
podemos observar que em um mesmo problema podemos ter vários tipos de modelos 
distintos.
• Resolução do modelo, etapa que buscamos encontrar um método de resolução 
para o modelo desenvolvido é nesta face que necessitamos de métodos numéricos para 
resolver o modelo.
Nos vários ramos das ciências aplicadas, os métodos utilizados na resolução de problemas 
matemáticos, baseiam-se em duas categorias: método numérico e método analítico. 
Figura 1 : Fluxograma 
Fonte: Material do Saga
Entendemos por método analítico aquele que, a menos de erros de arredondamentos, 
fornece as soluções exatas do problema real. Em geral, tais soluções são obtidas a 
partir de fórmulas explícitas. Por outro lado, um método numérico é constituído por 
uma sequência finita de operações aritméticasque, sob certas condições, levam a uma 
solução ou a uma aproximação de uma solução do problema.
FIQUE ATENTO
11
 Quando desejamos a solução exata de um problema é preferível resolvermos pelo 
método analítico, porém a resolução de alguns modelos de problemas reais é muitas das 
vezes complexas e envolve fenômenos não-lineares, tornando impossível a resolução 
pelo processo analítico, nesses casos podemos utilizar as soluções aproximadas dos 
métodos numéricos, tornando-se estes uma importante ferramenta para resolver estes 
problemas reais.
 Vamos abordar dois exemplos simples para melhor diferenciar os métodos 
analíticos dos métodos numéricos.
Exemplo 1: 
Um método analítico para determinar (quando existem) os zeros de uma função 
quadrática f(x)=ax2+bx+c,com a≠0 é dado pela fórmula de Bhaskara, a saber:
Desse modo, os zeros reais de f(x)=x2-8x+15 são e
 Exemplo 2: (Retirado do livro do MEC, cálculo numérico, Fortaleza, 2010)
Um método numérico para determinar uma aproximação para a raiz quadrada de um 
número real p, maior que 1, é o algoritmo de Eudoxo:
do fato de p>1, temos que 1<√p<p. Escolhe-se, como uma primeira aproximação para ou 
seja, a média aritmética entre 1 e p. Pode-se mostrar que
Escolhe-se como uma nova aproximação isto é, a média aritmética 
entre p/𝑥0 e 𝑥0. Novamente, pode-se mostrar que
Continuando desse modo, podemos construir uma sequência de aproximações dada 
por:
 Logo, o cálculo numérico tem por objetivo estudar técnicas numéricas ou métodos 
numéricos para obter solução de problemas que possam ser representados por modelos 
matemáticos.
Entendemos por método analítico aquele que, a menos de erros de arredondamentos, 
fornece as soluções exatas do problema real. Em geral, tais soluções são obtidas a 
partir de fórmulas explícitas. Por outro lado, um método numérico é constituído por 
uma sequência finita de operações aritméticas que, sob certas condições, levam a uma 
solução ou a uma aproximação de uma solução do problema.
FIQUE ATENTO
𝑥1 =
− −8 − (−8)2−4𝑥1𝑥15�
2𝑥1
= 3
𝑥2 =
− −8 + (−8)2−4𝑥1𝑥15�
2𝑥1
= 5.
𝑝/𝑥0< 𝑝� <𝑥0. 
𝑥𝑖 = (𝑝 𝑥0⁄ + 𝑥0 ) 2⁄ , 
𝑝
𝑥𝑖
< 𝑝� < 𝑥𝑖.
12
Para resolvermos problemas que não apresenta uma solução exata, recorremos aos 
métodos numéricos:
• Tecnologias Digitais.
• Números Primos e Casas Decimais.
• Truncamento: É uma pausa forçada nos casos de números com dízimas periódicas 
ou irracionais, ou decimais que o processador não suporte. 
 Os métodos numéricos fornecem soluções aproximadas para os problemas reais, 
com as soluções aproximadas surgem os erros.
 Os erros cometidos para encontrar a solução de um problema podem ocorrer 
tanto na fase da modelagem como na de resolução. Vamos analisar as principais fontes 
de erros que levam a diferença entre a solução exata e uma aproximada de um problema 
real.
 Na fase de modelagem, pode ocorrer o erro nos dados da simplificação na 
construção do modelo matemático. Já na fase da resolução pode ocorrer o erro de 
truncamento e de arredondamento.
 1.3.1 Erros de truncamento 
 Quando os processos são infinitos ou muito grandes para a determinação de certo 
valor são interrompidos em um determinado ponto, surgindo os erros de truncamento.
 O erro de truncamento ocorre quando substituímos um processo matemático 
por um processo aproximado que corresponde a uma parte deste processo exato. 
Considerando um número finito de termos de uma série, estamos fazendo o truncamento 
desta série.
 Um exemplo desse tipo de erro ocorre quando calculamos ex para algum número 
real x em um computador. O valor exato é dado pela série:
 Por ser impossível somar valores infinitos termos da série, fazemos uma 
aproximação.
 A solução é a de interromper o cálculo quando uma determinada precisão é 
atingida.
 1.3.2 Erros de arredondamento
 No processo de cálculo de uma solução numérica ocorrem erros de arredondamento. 
Tais erros estão associados ao fato de os computadores ou sistemas eletrônicos utilizam 
um número fixo de dígitos para representar os números. Portanto, toda vez que o 
resultado de uma operação for um número que não pode ser representado exatamente 
1.2 MÉTODOS NUMÉRICOS 
1.3 FONTES DE ERROS
𝑒𝑥=∑ 𝑥
𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
𝑒𝑥 ≅ 1 + 𝑥 + 𝑥
2
2!
+ 𝑥
3
3!
+ ⋯+ 𝑥
𝑛
𝑛!
.
13
no sistema usado, necessitamos desprezar dígitos e arredondar o número.
 Ao registrar um valor aproximado, costuma-se usar a seguinte regra:
• somar meia unidade após a última casa decimal a conservar;
• desprezar as demais casas.
 1.3.3 Erro Absoluto e relativo
 Ao resolvermos modelos matemáticos, muitas vezes utilizamos instrumentos de 
cálculo que necessitam que sejam feitas certas aproximações, tais aproximações podem 
gerar erros, tais como de arredondamento e truncamento que foi explicada acima.
 O erro absoluto apresenta a seguinte definição:
Seja x um número e sua aproximação, chama-se erro absoluto, EAX, a diferença entre x
 no caso de ou seja, quando EAX>0, dizemos que é uma aproximação 
por falta e, no caso de ou seja quando EAX<0,dizemos que é uma aproximação 
por excesso.
 Exemplo 03:
 Como 1,41<√2<1,42, temos que 1,41 é uma aproximação de √2 por falta e 1,42 uma 
aproximação por excesso. Logo, temos:
EAX=|1,42-1,41|=0,01
EAX<0,01 , que significa que o erro absoluto cometido é inferior a um centésimo.
 Chamamos erro relativo o valor do quociente entre o erro absoluto e o valor da 
grandeza, podemos defini-lo como:
Seja x um número e uma de sua aproximação, e designamos por ERX, a razão entre 
EAX e
Ao produto 100 ×ERX, chamamos erro percentual ou percentagem de erro.
Exemplo 04:
Seja um número x com uma aproximação = 2112,9 tal que |EAX |<0,1, calcular os erros 
relativos cometidos nas aproximações.
 A necessidade de contar e registrar os objetos contados vem desde os tempos 
primórdios e o homem desenvolveu várias técnicas para fazê-lo, até chegar ao conceito 
de número que temos hoje.
 Precisamos diferenciar o conceito de número e numeral.
• Número serve para descrever a quantidade.
• Numeral é o símbolo ou conjunto de símbolos para representá-lo.
O nosso sistema de numeração é o decimal, utilizamos 10 dígitos para representá-lo: 
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Este sistema é posicional, ou seja, o valor de cada símbolo é relativo à 
sua posição.
2� ≈ 1,414 ≈ 1,41
�̅�
�̅�. 𝐸𝐴𝑋 = 𝑥 − �̅�, 𝑥 > �̅� �̅�
𝑥 < �̅�, �̅�
�̅� ≠ 0
�̅�
𝐸𝑅𝑋 =
𝐸𝐴𝑋
�̅� =
𝑥 − �̅�
𝑥 .
�̅�
𝐸𝑅𝑋 =
𝐸𝐴𝑋
�̅� <
0,1
2112,9 ≅ 4,73. 10
−5
1.4 REPRESENTAÇÃO DO NÚMERO EM PONTOS FLUTUANTES 
14
Exemplo 05:
No número 56.045 temos:
1. o algarismo 5 ocupa a posição das dezenas de milhar, podemos representá-lo 
5×10.000 ou 5×104 unidades;
2. o algarismo 6 ocupa a posição das unidades de milhar, podemos representá-lo 
6×1000 ou 6×103 unidades;
3. o algarismo 0, ocupa a posição das centenas, podemos representá-lo 0x100 ou 
0×102. 
4. o algarismo 4 ocupa a posição das dezenas, podemos representá-la 4×10 unidades;
5. e o algarismo 5 ocupa a posição das unidades.
Logo, 56045 significa 5×104+6×103+0×102+4×101+5×100
Qualquer número natural pode ser representado de modo único em uma base qualquer.
Seja B um inteiro maior que 1, então cada N∈ ao conjunto dos naturais, admite uma 
representação única da forma:
Exemplo 06:
Representar o número 69 nas bases 2 (binária), 8 (octal), 10 (decimal) e 16 (hexadecimal). 
 Exemplo 07: 
 Transformar as bases abaixo para números decimais
(1101.101)2=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=13,625 
(470,75)8=4×82+7×81+0×80+7×8-1+5×8-2=312,953125 
 A representação em ponto fixo, não é adequada para processarmos nos 
computadores ou calculadoras. Usamos uma representação denominada representação 
em pontos flutuantes, o número é representado na forma:
é um inteiro com 
e é um inteiro tal que o número 0,d_1 d_2…d_t é chamado de 
mantissa, β é a base do sistema, t é um número de algarismos na mantissa e l e u são, 
respectivamente, os limites inferiores e superior para o expoente e.
 Parafixar melhor a representação em ponto flutuante normalizada, vejamos o 
seguinte exemplo retirado do livro do MEC, cálculo numérico, Fortaleza, 2010.
𝑁 = 𝑎𝑚 × 𝐵𝑚 + 𝑎𝑚−1 × 𝐵𝑚−1 + ⋯+ 𝑎2 × 𝐵2 + 𝑎1 × 𝐵1 +
𝑎0, em que 𝑎𝑚 ≠ 0 e 0 ≤ 𝑎𝑖 < 𝐵
69 = 1x26 + 0𝑥25 + 0𝑥24 + 0𝑥23 + 1𝑥22 + 0𝑥21 + 1𝑥20 = (1000101)2
69 =1𝑥82 + 0𝑥81+5𝑥80 = (105)8
69 = 6𝑥101 + 9𝑥100 = 69
69 = 4𝑥161 + 5𝑥160=(45)16
Você sabia que qualquer número inteiro ou fracionário, pode ser exposto no formato 
xbaseexpoente,em que variam a posição da vírgula e o expoente ao qual elevamos a base.
VAMOS PENSAR?
𝑥 = ±0,𝑑1𝑑2 … 𝑑𝑝𝛽𝑐 , 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0; 𝑑1 ≠ 0;𝑑1,𝑑2, … 𝑑𝑝 ∈ {0, … ,𝛽 − 1}
0 ≤ 𝑑𝑑𝑖 < 𝐵 e 𝑑𝑖 ≠ 0 𝑙 ≤ 𝑒 ≤ 𝑢
15
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que 
citamos e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página 
interessante que pode ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! Disponível em: 
https://bit.ly/3BmJhiN Acesso em: 12 out. 2022. Disponível em: https://bit.
ly/3UOZ0OC. Acesso em: 12 out. 2022. Disponível em: https://bit.ly/3Hk4NZu. 
Acesso em: 12 out. 2022.
BUSQUE POR MAIS
 Considere uma máquina S com representação em ponto flutuante normalizada 
na base binária, com t =8 e ∈[-5,5]. Temos então:
O número n1=0,10100110×23 representado em S corresponde, na base 10, a 5,1875 e o 
número n2 10100111×23 presentado em S, corresponde, na base 10, a 5,21875, podemos 
perceber que n1 e n2 são dois números consecutivos. Portanto não é possível representar 
em S qualquer número compreendido entre 5,1875 e 5,21875. Assim 5,2, por exemplo, 
não tem representação exata em S. Esta perda se da porque o número de dígitos na 
mantissa não é suficiente.
16
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (https://bit.ly/3ULW05J) Marque a opção que apresenta o valor absoluto e relativo que 
utiliza um sistema aritmético de ponto flutuante de 4 dígitos ao registrar o número X = 
0.654987 x105, se o processo usado for o de truncamento.
a)EA = 0,000087 e ER = 0,0133%.
b)EA = 0,087 e ER = 0,12%.
c)EA = 0,00016 e ER = 0,0013%.
d)EA = 0,0014 e ER = 0,012%.
e)EA = 0,00015 e ER = 12%.
2. Mudar a representação do número (1101) base 2 para base 10.
a)26.
b)20.
c)13.
d)15.
e)12.
3. Considere o valor exato x= 3247,512 e o valor aproximado = 3247,000. O erro relativo 
corresponde a:
a)0,0122568%.
b)0,124567%.
c)0,00123456%.
d)0,00134567%.
d)0,0157659%.
4. Considere agora o valor exato x=1,512 e o valor aproximado = 1,000. Para essa 
aproximação o erro absoluto é igual a:
a)41,3.
b)51,2.
c)46,7.
d)54,2.
e)23,5.
5. Considere x=100; =100,1, y=0,0006 e =0,0004. Assim, EAX=0,1 e EAy=0,0002. Marque 
a opção que representa o |ERX |, aproximadamente.
a) 4,73×10-5
b)4,73×10-3
c)1,73×10-5
d)2,65×10-5
e)2,76×10-5
6. A forma binária do número 37 é:
�̅� 𝑦�
�̅�
�̅�
17
a)(111001)2
b)(101010)2
c)(100101)2
d)(100010)2
e)(11111)2
7. A representação em ponto flutuante normalizada na base indicada do número (5987)10 
é: 
a)0,05987× 10-2
b)0,004567
c)0,004578
d)0,5987×104
e)1,2345
8. Um administrador de sistemas, ao analisar o conteúdo de um arquivo binário, percebeu 
que o primeiro byte desse arquivo é, em hexadecimal, igual a 9F, que corresponde, em 
decimal ao valor:
a)99.
b)234.
c)105.
d)16.
e)159.
18
RAÍZES DE FUNÇÕES
19
2.1 MÉTODO DA BISSECÇÃO
 Nesta unidade, vamos abordar a importância do uso dos métodos numéricos para 
o cálculo de raízes de funções. Definir e diferenciar os métodos da bissecção, da falsa 
posição e de Newton. Aplicar os métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton na 
solução de problemas. 
 Para obtermos as raízes de funções, utilizando métodos numéricos, podemos 
utilizar, métodos diretos que é utilizado quando for possível obter a raiz por meio de 
teorema, fórmula ou expressão fechada. Métodos indiretos que é um recurso de cálculo 
infinito, no qual o valor obtido depende do valor anterior. 
 Para encontrar as raízes de forma analítica, basta considerar um intervalo [a,b] em 
que a função seja definida. Se a função for contínua nesse intervalo e existirem dois 
pontos do domínio que assumem valores com sinais distintos na imagem, então a 
função corta o eixo OX em pelo menos um ponto no intervalo [a,b].
Quando precisamos determinar o número de raízes em um determinado intervalo [a,b], 
podemos recorrer ao teorema de Bolzano.
 Consiste em um dos métodos para se determinar as possíveis raízes de uma 
equação, o Método da Bissecção consiste em dividir o intervalo que contém a raiz da 
função ao meio e por aplicação do Teorema de Bolzano, aplicado aos subintervalos 
resultantes, determinar qual deles contém o zero ou a raiz da função.
 Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e seja ε uma raiz desta função, 
sendo ε ∈ (a,b), tal que f(ε)=0.
Teorema de Bolzano: Considerando f(x)=0, uma equação algébrica com coeficientes reais 
e x ∈[a, b]: 
 Se f(a) × f(b)<0, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalor [a, b]. 
 Se f(a) × f(b)>0, então existe um número par de raízes reais no intervalor [a, b].
FIQUE ATENTO
Figura 2 : representa a interpretação geométrica do método da bissecção. 
Fonte: Material do Saga
20
 O método consiste em dividir o intervalo [a,b] de forma interativa, ao meio. Para 
verificar se a raiz está contida na primeira ou na segunda metade do intervalo inicial, é 
utilizado o teorema de Bolzano. Em seguida, o processo é repetido para aquela metade 
que contém a raiz de f(x)=0, ou seja, aquela que a função, y=f(x), tem valores numéricos 
com sinais opostos aos seus extremos.
 Algoritmo:
Se f(a).f(xn)<0, então teremos b=xn, senão a=xn.
Critério de parada, é definido por uma inequação que vamos testar em cada iteração.
|f(xn)|≤ erro
Ou
|b-a|≤ erro
 O processo desta divisão em subintervalos, pode ser repetido até que se obtenha 
uma precisão. Em cada iteração o zero da função é aproximado pelo ponto médio que 
cada subintervalo que o contém.
 Exemplo 01.
 Encontrar a raiz da função f(x)=x.ln(x)-3.2 contida no intervalo [2,3], com erro≤10-2.
• Algoritmo do método
• Verificar se no intervalo dado se encontra uma de suas raízes:
Como, f(2).f(3)<0, podemos concluir que existe uma raiz neste intervalo.
• Interações
 A raiz desejada é ε=2,953125
 Representaremos o cálculo da primeira iteração passo a passo, que representa a 
primeira linha da tabela, as demais linhas seguem o mesmo raciocínio.
I. Algoritmo do método
II. Redefinir o intervalo
𝑥𝑛 =
𝑎+𝑏
2
, para 𝑛 = 1,2,3, …
𝑥𝑛 =
𝑎 + 𝑏
2
𝑓 2 = 2. 𝑙𝑛2 − 3.2 = −1,8137
𝑓 3 = 3. 𝑙𝑛3 − 3.2 = 0,09584
a xn b f(a) f(xn) |xn- a| ε=|f(xn)|
2 2.5 3 -1.81371 -0.90927 0.5 0.90927
2.5 2.75 3 -0.90927 -0.41810 0.25 0.41810
2.75 2.875 3 -0.41810 -0.16385 0.125 0.16385
2.875 2.9375 3 -0.16385 -0.03467 0.0625 0.03467
2.9375 2.96875 3 -0.03467 0.03042 0.03125 0.03042
2.9375 2.953125 2.96875 -0.03467 -0.00217 0.015625 0.00217
𝑥𝑛 =
𝑎+𝑏
2
, o intervalo que se encontra uma de suas raízes é 2,3 ,𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 3, logo 𝑥𝑛 =
2+3
2
= 5
2
= 2,5.
𝑓 2,5 .𝑓 3 < 0, o novo intervalo será: 2,5 ; 3
21
III. Cálculo do critério de parada
Como,|f(xn)|<erro, precisamos fazer a segunda iteração.
 O processo é repetido até que |f(xn)|<erro.
Consideremos uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] e ε uma raiz desta função.
 No método da Bissecção, o xn é obtido através da média aritmética entre os 
extremos do intervalo a,b:
 A raiz, na maioria das vezes está mais próxima de um dos extremos do intervalo. O 
método da falsa posição toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos |f(b)| 
e |f(a)|, respectivamente, temos:
 Para determinar o critério de parada, que determina quando não precisamos 
prosseguir com as iterações, seguiremos os seguintes critérios:
I. f(xk )<erro
II. |xk-xk-1 |<erro
III. Número limite de iterações.
 Exemplo 02: 
 Encontrar a raiz da função f(x) = x3-9x+3, utilizando o método da falsa posição 
usando como condições iniciais o intervalo I = [0,1] e ε = 2 x 10-3.
• Iniciamos pelo cálculo dos valores de f(a)ef(b)
• Vamos calcular o valor da primeira interação:
 Calculando f(x), temos:
visto que |f(b)| e |f(a)| têm sinais opostos
2.2 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO
𝑥𝑛 =
𝑎 + 𝑏
2
𝑥𝑛 =
𝑎 𝑓(𝑏) +b 𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏) + 𝑓(𝑎)
, 𝑥𝑛 =
𝑎𝑓 𝑏 − 𝑏𝑓 𝑎
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
Seja f contínua em [a,b] tal que f(a)×f(b) < 0 e seja ε o único zero de f neste intervalo. Então 
o método da falsa posição gera uma sucessão xk que converge para ε . Ou seja
FIQUE ATENTO
lim
𝑘→∞
𝑥𝑘 = 𝜀.
𝑥1 =
𝑎𝑓 𝑏 −𝑏𝑓 𝑎
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
= 0. −5 −1.(3)
−5 −3
=3
8
= 0,375
𝐹 0,375 = 0,375 3 − 9. 0,375 − 3 = −0,322
22
• Vamos calcular a segunda iteração. Como o f(x) deu negativo, precisamos trocar 
este valor, ou seja, vamos trocar o valor de b. O novo intervalo será [0;0,375].
Logo, temos que:
Atualizando o x, temos:
Calculando f(x), temos:
I. Estamos nos aproximando do critério de parada, ou seja, |xk-xk-1 |<erro.
• Para redefinir o intervalo, utilizamos novamente o teorema de Bolzano, como o 
valor de f(x) é negativo, iremos substituir o negativo, que no caso é o valor de b, logo 
nosso novo intervalo será : [0; 0.338624]
Atualizando F(x)
 De acordo com o nosso critério de parada, queríamos que na nossa terceira casa 
fosse menor que 2, como o zero é menor, podemos parar, podemos concluir que a raiz 
aproximada desta função é 0,337635.
𝑥1 =
𝑎𝑓 𝑏 − 𝑏𝑓 𝑎
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 =
0. −0,322 − 0,375(3)
−0,322 − 3 = 0,338624
𝐹 0,3386224 = 0,338624 3 − 9. 0,336224 − 3 = −0,00879
𝐹 0 = 03 − 9.0 + 3 = 3
𝐹 0,3386224 = (0,338624)3−9. 0,336224 − 3 = −0,00879
𝐹 0,337635 = 0,337635 3 − 9. 0,337635 − 3 = −0,00023
Desvantagens do Método da Falsa Posição:
Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) em um elevado número de 
iterações);
Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o 
que nem sempre é possível).
VAMOS PENSAR?
2.3 MÉTODO DE NEWTON
23
 Para determinarmos a raiz ou as raízes aproximadas de uma função podemos 
recorrer ao método de Newton que consiste em considerar uma reta tangente a função 
dada e determinar a equação desta reta tangente. Para encontrarmos a equação da reta 
tangente podemos utilizar a equação fundamental da reta.
 Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e seja ε uma raiz desta função, 
sendo ε ∈ (a,b), tal que f(ε)=0 e f'(x)≠0.
 Em geral, utilizando várias retas tangentes a função dada até se aproximar da raiz 
e encontrando sua equação da reta temos a seguinte fórmula do método de Newton:
 Critério de parada, que determina quando não precisamos prosseguir com as 
iterações é:
Exemplo 03:
Considere x1=1, encontre a terceira aproximação x_3 para a raiz da equação 
 x3+2x-4=0, utilizando o método de Newton.
 I.F(x)= x3+2x-4, como vamos utilizar o método de Newton, precisamos derivar a 
função dada, temos:
Se x1=1, podemos substituir na fórmula de Newton, logo:
Logo a raiz aproximada da nossa equação será 1,1797.
Se x2= 1,2, temos que
Figura 3: Forma Gomética do método de Newton
Fonte: Acervo pessoal do autor
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛+1 −
𝐹(𝑥𝑛)
𝐹′(𝑥𝑛)
, para 𝑛 = 1,2,3 …
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ≤ 𝑒𝑟𝑟𝑜.
𝐹′ 𝑥 = 3𝑥2 + 2
24
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que 
citamos e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página 
interessante que pode ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! Disponível em: 
https://bit.ly/3iZ1Xz3. Acesso em: 12 out. 2022 Dispoinível em: https://bit.
ly/3Hz3uG6. Acesso em: 12 out. 2022.
BUSQUE POR MAIS
25
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Considere a funçãof(x)=x.ln(x)-3, calcule os valores de f(x) para os seguintes valores 
arbitrários:
Utilizando o Método da Bisseção, podemos concluir que uma das possíveis raízes, 
encontra-se no intervalo:
a)[1,2]
b)[2,4]
c)[3,4]
d)[1,4]
e)[2,3]
2. A função f(x)=2x-3x, possui dois zeros, um no intervalo de [0,1] e outro no intervalo 
[3,4], aplicando o teorema da Bissecção, podemos determinar na primeira iteração que 
o intervalo que contém a raiz é:
a)[0;0,25]
b)[0,25;1]
c)[0;0,75]
d)[0; 0,5]
e)[0,5;1]
3. Seja f(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)3 (x-2). Para qual raiz de f o método da bisseção converge quando 
aplicado no intervalo [-3; 2,5].
a)1
b)0,25
c)0,35
d)2
e)3
4. Considere a função f(x)=x-0,8-0,2sen(x) com raiz no intervalo usando o método 
da falsa posição encontre uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10-4.
a)0,97564
b)0,98765
c)0,96432
d)0,8765
e)0,7565
x 1 2 3 4
f(x)
0, 𝜋
2
, 
26
5. Dada a função, F(x)=ex+2-x+2 cos(x)-6 com zero no intervalo [1,2]. Use o método da falsa 
posição para encontrar uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10-4.
a)1,4356
b)1,3456
c)1,82938
d)1,74567
e)1,45677
6. A função F(x)=x2-4x+4-ln(x) com zero no intervalo [1,2]. Calcule a raiz de f(x)com precisão 
de10-4. Utilizando o método da falsa posição.
a)1,41242
b)1,34231
c)1,23456
d)1,12345
e)1,45678
7. A função F(x)=2x-cos(x) possui uma raiz x no intervalo de Calcule o valor de x com 
quatro casas decimais através do Método de Newton.
a)0,4502
b)0,3456
c)0,4567
d)0,4587
e)0,7654
8. Encontre a raiz aproximada, utilizando o método de Newton de F(x)=5x4-sen(x), com 
quatro casas decimais. Use x0=0,5.
a)0,5741
b)0,2452
c)0,4356
d)0,5678e)0,5678
0, 𝜋
4
. 
27
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 
LINEARES
E NÃO LINEARES
28
'
3.1 SISTEMAS LINEARES DIRETO
 Para determinarmos alguns fenomenos como, previsão do tempo, linhas de 
metrô, sinais de trânsito e etc., utilizamos a resolução de sistemas lineares.Veremos nesta 
unidade alguns métodos numéricos (direto ou interativo) para resolução de sistemas de 
equações lineares e não lineares.
 Apresentaremos nesta unidade métodos numéricos para resolvermos sitemas do 
tipo:
 3.1.1 Eliminação de Gauss
 
 Consiste em transformar um sistema Ax = b em um sistema equivalente com 
matriz dos coeficientes triangular superior , por meio de transformações lineares.
Ax = b →A ̃x=b ̃ ( transformação equivalente)
A determinação do conjunto solução dos sistemas lineares é um tema de estudo relevante 
dentro da Matemática Aplicada e, particularmente, em muitos tópicos de Engenharia. A 
complexidade de muitos sistemas, com elevado número de equações e de incógnitas, 
requer, muitas vezes, o auxílio de um computador para resolvê-los. Existem diversos 
algoritmos que permitem encontrar, caso existam, soluções de um sistema, recorrendo 
eventualmente a métodos numéricos de aproximação.
Teorema: Seja Ax =b, um sistema linear. Se:
I) trocarmos duas equações;
II) multiplicarmos uma equação por uma constante não nula;
III) adicionarmos um múltiplo de uma equação a outra equação.
Obteremos um sistema equivalente A ̃x=b ̃
O método de Gauss é composto por dua fases:
FIQUE ATENTO
FIQUE ATENTO
29
• fase de eliminação;
• fase de substituição.
 Na fase de eliminação vamos escalonar a matriz transformando ela em uma matriz 
triangular superior, na fase de eliminação vamos trabalhar com a matriz aumentada 
[A|B]e para uma matriz n×n este processo tera (n-1) etapas.
O procedimento da fase de eliminação consite:
I. montar a matriz aumentada [A|B], que consite em representar o sistema em forma 
de matriz.
II. determinação do pivô :akk
III. definir os múltiplos de linha mik=
IV. atualização das linhas Li←Li-mik xLpivô
Podemos destacar as seguintes vantagens do método:
 possui solução exata;
 é o método com o menor número de operações, diminuindo custo computacional;
 consiste em multiplicar casa equação por um número real (pivô) para obter o 
sistema na forma de escada:
Exemplo 01:
Vamos aplicar o método da eliminação de Gauss, para resolver o sistema.
I. Montar a matriz aumentada [A|B]
II. Para eliminar o primeiro coeficiente da segunda equação devemos encontrar um 
“pivô” que possa eliminá-lo, neste caso, o pivô será o 3.
III. Definir os múltiplos de linha mik=
 ,elemento pivô é o 3.
𝑎𝑖𝑘
𝑎𝑘𝑘
A(0)/b(0) =










− 3234
2211
1423










− 3234
2211
1423
𝑎𝑖𝑘
𝑎𝑘𝑘
𝑚𝐿2 =
1
3
, 𝐿2 ← 𝐿2−𝑚𝐿2 × 𝐿1
30
 A linha 02 recebendo ela mesma, menos o multiplicador, que são múltiplos 
convenientes da primeira equação a cada uma das equações seguintes de modo a ter 
todos os coeficientes da incógnita xk abaixo da primeira equação iguais a zero, vezes o 
elemento da linha pivô.
 Precisamos zerar os elmentos a21 e a31.
Para zeramos os elementos a21 e a31 da linha 02, que são 1,1,2 e 2, subtrair pelo elemento 
multiplicador que é 1/3 e multiplicar pelos elementos da linha 1 que são 3,2,4 e 1.
 Precisamos pegar os elementos da linha 03, que são 4,3, -2 e 3, subtrarir pelo 
elemntos multiplicador que é 4/3 e multiplicar pelos elementos da linha 01.
Para zerar o elemento da terceira linha e segunda coluna, o novo elemento pivô é o 
o elemento multiplicador
𝑚𝐿3 =
4
3
, 𝐿3 ← 𝐿3 − 𝑚𝐿3 × 𝐿1










− 3234
2211
1423
A(1)/b(1)=










3
5
3
2
3
10
1423
A(1)/b(1)=










− 3/53/223/10
3/53/23/10
1423
𝑎22 =
1
3
, = .
31
Logo, A(2)/b(2)= temos uma matriz triângular superior trivial.
V. Reescrevendo o sistema temos:
x representa a solução do sistema que foi proposto inicialmente.
 3.1.2 Método de Fatoração LU
 A fatoração L U ou decomposição LU é uma das técnicas mais usadas para resolver 
sistemas de equações lineares. Ela consiste em decompor a matriz A dos coeficientes do 
sistema em produto de duas matrizes L e U, em que L é uma matriz triangular inferior 
com a diagonal unitária e U uma matriz triangular superior.
Este método consiste em fatorar a matriz A dos coeficientes na forma A=LU, logo a matriz 
A.x=b, devemos substituir a matriz A pela matriz LU, o novo sistema vai ficar na forma 
(LU).x=b.
 Exemplo 02:
Resolver o sistema 










− 0800
3/53/23/10
1423
Logo 𝑥3 = 0
1
3
𝑥2 +
2
3
. 0 = 5
3
→ 𝑥2 = 5
3𝑥1 + 2.5 + 4.0⇒𝑥1 = −3
, x = 
Teorema: Se o determinante de todos os menores principais da matriz A forem não-nulo, 
então a fatoração A=LU é única.
FIQUE ATENTO
32
 Pelo método da fatoração LU.
 A matriz L é uma matriz triangular inferior com a diagonal unitária.
 A matriz U é uma matriz triangular superior resultante do escalonamento.
V. Vamos trabalhar com a matriz a
 Primeira Etapa- Escalonamento, zerar os elementos a21 e a31.
Elemento pivô é a11=3
 Precisamos utilizer os elementos da linha 02, que são 1,1 e 2 , subtrair pelo elemento 
multiplicador que é 1/3 e multiplicar pelos elementos da linha 1 que são 3,2 e 4.
 Vamos utilizar os elementos da linha 03, que são 4,3 e -2 , subtrarir pelo elementos 
multiplicador que é 4/3 e multiplicar pelos elementos da linha 01.
L = 
u = 
𝑚𝐿2 =
1
3
, 𝐿2 ← 𝐿2 −𝑚𝐿2 × 𝐿1
𝑚𝐿3 =
4
3
, 𝐿3 ← 𝐿3 − 𝑚𝐿3 × 𝐿1
33
Segunda etapa, o objetivo é zerar o elemento da terceira linha e segunda coluna, o novo 
elemento pivô é o o elemento multiplicador mL3
Calculando os novos elementos da terceira linha temos:
Podemos montar agora as matrizes L e U.
A matriz L será:
onde o elemento a_21, a_3,1 e a_32 são os multiplicadores das 
respectivas linhas para zerar os elementos no escalonamento.
 A Matriz U e a mesma matriz resultante do escalonamento.
 Vamos resolver dois sistemas 
 Primeiro vamos resolver L.y=b
𝑎22 =
1
3
, = .
L = , 
u = 
, temos que:
34
Sistema triangular superior, resolvendo pelo método da substituição:
Logo o vetor y =
Resolvendo o segundo sistema, u.x=y
Resolvendo o sistema pelo método da substituição temos:
representa a solução do sistema proposto inicialmente.
São sistemas em que pelo menos uma de suas equações não são lineares.
reescrevendo o sistema:
.
, 
x = 
3.2 SISTEMAS NÃO LINEARES
35
Exemplo 04:
Resolver o sistema não linear com critério de parada de 0,01 e
IX. Montar a matriz jacobiana, que consiste em derivar as equações dadas inicialmente.
As equações não lineares são equações que não podem ser representadas por retas, 
planos ou hiperplanos.
 Resolver um sistema não linear é encontrar a seguinte solução:
 3.2.1 Método de Newton
 É um dos principais métodos usados na resolução de sistemas não lineares. 
 Dada uma aproximação x^((0)), o método de Newton define a sequência {x^((k))} 
através dos seguintes passos:
VII. Resolver J(x(k))(s(k))=F(x(k)).
VIII. Define xk+1= x(k)+s(k).
Espera-se que a sequência convirja para solução ε do sistema não linear 
𝑓(𝑥) = 0, ou seja lim
𝑘→∞
𝑥(𝑘) = 𝜀.
A cada interação o Método de Newton requer:
-Avaliação da Matriz Jacobiana;
-Resolução de um sistema linear.
VAMOS PENSAR?
𝑥0
𝑦0
= 1,51,5 .
𝑓′(𝑥)= ? 
𝐹1: 𝑥2 + 𝑦2 − 4
𝐹2: 𝑥2 − 𝑦2 − 1
36
F'(x)= , Portanto, que são as derivadas parciais 
das funções F_1 e F_2.que são as derivadas parciais das funções F_1 e F_2.
X. Aplicação do Método de Newton: A.Z = b, onde:
A-Matriz Jacobiana
Z-O resultado que precisamos encontrar (termo desconhecido)
b- matriz em que substitui o x nas funções F1 e F2.
XI. Primeira interação 1
A.Z=b
resolvendo a multiplicação, chegamos no seguinte sistema:
resolvendo pelo processo da adição temos:
como z1>0,01 e z2> 0,01, precisamos fazer a segunda interação.
Para determinarmos os valores de x1 e y1,vamos resolver a seguinte soma de matrizes.
, 𝐹′ 𝑥 = 2𝑥 2𝑦2𝑥 −2𝑦 , 
A = 𝐹′ 𝑥0 = 2𝑥 2𝑦2𝑥 −2𝑦 =
2.1,5 2.1,5
2.1,5 2.1,5 =
3 3
3 −3
A = 𝐹′ 𝑥0 = − 𝑥
2 + 𝑦2 − 4
𝑥2 − 𝑦2 − 1 = −
1,52 + 1,52 − 4
1,52 − 1,52 − 1
= − 0,5−1 =
−0,5
1
3 3
3 −3
𝑧1
𝑧2 =
−0,5
1 , 
, 
𝑧1 = 0,0833 𝑒 𝑧2 = −0,25
Z = 0,0833−0,25 ,
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que 
citamos e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página 
interessante que pode ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! Disponível em: 
Disponível em: https://bit.ly/3Fs225D. Acesso em: 12 out. 2022. Disponível em: 
https://bit.ly/3PqGxqL. Acesso em: 12 out. 2022. Disponível em: https://bit.
ly/3iQMIIa. Acesso em: 12 out. 2022. Disponível em: https://bit.ly/3FtXvQc. Acesso 
em: 12 out. 2022.
BUSQUE POR MAIS
37
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Resolvendo o sistema abaixo, utilizando a eliminação de Gauss, o valor de x_1 é:
2. Considere o sistema linear , resolvendo pelo processo da eliminação 
de Gauss, chegamos a 𝑥2 igual a:
3. Considere o sistema Linear o resultado de x3, utilizando a fatoração 
LU é:
a) 2
b) 4
c) -1
d) -2
e) -3
4. Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 
unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 150 unidades de vitamina C, 180 
unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E.
Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados 
cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade (1grama) de cada alimento, determinou-se 
que: 
• O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade de 
vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E; 
• O alimento II tem 9 unidades de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 0 unidades de 
vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E; 
• O alimento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5 unidades de 
vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E; 
• O alimento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de 
vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 13 unidades de vitamina E; 
• O alimento V tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de 
a)2
b)-1
c)-3
d)-5
e)3
a)-138
b)120
c)123
d)125
e)156
38
vitamina C, 9 unidades de vitamina D, e 2 unidades de vitamina E. 
Quantos gramas do alimento I, deve-se ingerir diariamente para que se possa ter uma 
alimentação equilibrada?
a) 9,4532
b) 8,7654
c) 7,6754
d) 9,6441
e) 7,6743
5. Resolvendo o sistema a seguir pela eliminação de Gauss, o valor de x2 é:
a) -0,876
b) -0,098
c) -0,007
d) -0,876
e) -0,664
6. Utilizando o processo daeliminação de Gauss, marque a opção que determina o valor 
de x1.
a) 2
b) 0
c) 1
d) 4
e) -1
7. Considere o sistema linear:
Aplicando o método da eliminação de Gauss, o valor de x4 é:
a)3
b)5
c)-14
d)2
39
e)6
8. Resolvendo o sistema a seguir pela eliminação de Gauss, o valor de x1 é:
a)1,345
b)1,123
c)1,175
d)1,234
e)1,347
40
INTERPOLAÇÃO
41
 Nesta unidade estudaremos métodos que nos permitem encontrar um valor 
aproximado para uma função f, calculado em um ponto de um intervalo determinado, 
através do conhecimento de uma coleção de pares ordenados.
 Ao interpolarmos, vamos construir um novo conjunto de dados a partir de um 
conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.
 Utilizamos a interpolação quando temos valores numéricos de uma função não 
conhecida para um conjunto de pontos e queremos o valor desta função em um ponto 
não tabulado, ou, quando temos uma função complicada demais para que seja possível 
avaliá-la de forma eficiente, podemos então, escolher alguns dados pontuais da função 
cuja lei de formação seja complicada e tentar interpolá-los com mais sinais.Segue abaixo 
a definição de interpolação: 
 Sejam (n+1) pontos distintos x0,x1,x2,…,xn chamados “nós” da interpolação e seus 
respectivos valores na função f(x):f(x0),f(x1),…,f(x\Xn).
 A interpolação de f(x) consiste em obter uma função g(x) tal que:
Aproximar funções por polinômios é uma das técnicas mais utilizadas na análise 
numérica, isto acontece porque os polinômios são facilmente computáveis, suas 
integrais e derivadas são novamente polinômios, suas raízes podem ser encontradas 
com facilidade.
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma função g(x), 
escolhida dentro de uma classe de função definida a priori que satisfaça algumas 
propriedades.
FIQUE ATENTO
Figura 4 : Método geométrico de uma interpolação.
Fonte: Acervo pessoal do autor
4.1 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
42
4.2 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
 Dados os pontos (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),…,(xn,f(xn)), queremos aproximar f(x) por um 
polinômio Pn (x), de grau menor ou igual a n, tal que f(xi )=Pn (xi ), i=0,…,n. A representação 
de Pn (x), é dada por: 
Pn (x)= a0+a1 x+a2 x
2+⋯+anxn, obter Pn (x) consiste em encontrar os coeficientes a0,a1, a2…,an, 
da condição Pn(kx)=f(kx),∀k=0,1,2,…,n.
 Colocando o polinômio na forma matricial, as linhas da matriz são formadas por 
todas as potências dos coeficientes do polinômio até o grau do mesmo, temos:
é chamada matriz de Vandermonde.
Se os pontos x0,x1,…,xn forem distintos, temos det(v)≠0,logo o sistema va=y adimite uma 
solução única.
 Há várias maneiras para obter pN(x), nesta unidade vamos abordar três possibilidades:
 Resolução de sistemas lineares;
 Forma de Lagrange;
 Forma de Newton.
 Para abordar este tópico vamos recorrer ao exemplo abaixo:
 Como foi dado três pontos distintos, o polinômio considerado será do segundo 
Exemplo 01.
Vamos determinar um polinômio que interpola uma função y=f(x), dadas nos pontos a 
seguir.
Chama-se matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem n×n, ou seja,com n 
linhas e n colunas, da forma geral:
Nesse tipo de matriz, cada coluna(ou linha) é uma PG com o primeiro termo igual a 1, os 
elementos que surgem após 1 são chamados de “elementos característicos” da matriz.
FIQUE ATENTO
i 0 1 2
xi -1 0 2
yi 4 1 -1
43
Resolvendo o sistema pelo método da substituição 
 A ideia da forma de Lagrange consiste basicamente em escrever um polinômio 
como soma de polinômios ditos elementares, que se anulem em todos os valores dos 
conjuntos de dados.
 A interpolação f(x) pela forma de Lagrange consiste em obter uma função Pn (x) 
tal que:
Pn (x)=f(x0) L0 (x)+f(x1) L1 (x)+⋯+f(xn)Ln (x), onde os polinômios Ln (x), são de grau n.
Exemplo 02. Usando o método de Lagrange, encontrar o polinômio de grau menor ou 
igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo.
I. O conjunto de dados contém três pontos,logo o polinômio interpolador será de grau 
2 e será da forma: 
II. Comecemos a encontrar os polinômios L0(x);L1(x);L2(x). Temos
Dessa maneira encontraremos P2 (x)= f(x0 )L0(x)+f(x1)L1(x)+f(x2)L2(x)
temos:
grau.
Temos: P2 (x)=a2 x
2+a1 x+a0
𝑃2 −1 = 𝑓 −1 = 4 ⇒ 𝑎2(−1)2+𝑎1 −1 + 𝑎0 = 4 ⇒ 𝑎2 − 𝑎1 + 𝑎0 = 4
𝑃2 0 = 𝑓 0 = 1 ⇒ 𝑎2(0)2+𝑎1 0 + 𝑎0 = 1 ⇒ 𝑎0 = 1
𝑃2 2 = 𝑓 2 = −1 ⇒ 𝑎2 2 2 + 𝑎1 2 + 𝑎0 = −1 ⇒ 4𝑎2 + 2𝑎1 + 𝑎0 = −1
, 
I. 𝑎2 − 𝑎1 + 1 = 4 ⇒ 𝑎2 − 𝑎1 = 3 ⇒ 𝑎2 = 3 + 𝑎1
II. 4(3 + 𝑎1) + 2𝑎1 + 1 = −1, aplicando a propriedade distributiva,
III. 12 + 4𝑎1 + 2𝑎1 + 1 = −1 ⇒ 5𝑎1 = −1 − 13 ⇒ 𝑎1 = −2,333
IV. 𝑎2 = 3 − 2,333 = 0,667
4.3 FORMA DE LAGRANGE
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
𝑃2 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 + 𝑓(𝑥2)𝐿2(𝑥), sendo 𝑥0,𝑦0 = (−1,4); 𝑥1,𝑦1 = (0,1); 𝑥2,𝑦2 = (2,−1).
44
 Os polinômios elementares são dados por:
Exemplo 03.
Usando o método de Lagrange, encontre o polinômio interpolador para o conjunto de 
dados {(1, 3), (4, 18)}.
I. O conjunto de dados contém dois pontos,logo o polinômio interpolador será de grau 
1 e será da forma:
II. Comecemos encontrando os polinômios L0(x);L1(x). Temos
III. Dessa maneira encontraremos P2(x)= f(x0)L0(x)+f(x1)L1(x)
A forma de, Newton também é utilizada para encontramos o polinômio interpolador 
P_n (x), que interpola em (n+1) pontos distintos x_0,x_1,…,x_n é o seguinte:
No método de Newton, os valores de dk, são dados por diferenças divididas de ordem k.
 Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0,x1,…,xn. 
 Para o conjunto de dados {(x0,y0)(x1,y1),…,(xn,yn}, a diferença dividida de ordem 0 em 
relação a xi será dada por e a diferença dividida de ordem 1 em relação xi será dada 
o polinômio interpolador fica 
As formas polinomiais que utilizam a resolução de sistemas e as de Lagrange são muito 
utilizadas nos problemas reais onde temos m pontos observados. A forma de Lagrange 
tem desvantagem de ter um custo computacional alto se quisermos aumentar pontos de 
interpolação.
VAMOS PENSAR?
𝑃2 𝑥 = 4.
𝑥2−2𝑥
3
+ 1. 𝑥
2−𝑥−2
−2
+ (−1) 𝑥
2+𝑥
6
= 1 − 7
3
𝑥 + 7
3
𝑥2.
, 𝑝 𝑥 = ∑ 𝑦𝑖𝑛𝑖=0 𝐿𝑖(𝑥).
𝑃1 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 , sendo 𝑥0,𝑦0 = (1,3); 𝑥1,𝑦1 = (4,18);
4.4 FORMA DE NEWTON
𝑷𝒏 𝒙 = 𝒅𝟎 + 𝒅𝟏 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒅𝟐 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 + ⋯+ 𝒅𝒏 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 … (𝒙 − 𝒙𝒏−𝟏).
∇𝑖0= 𝑦𝑖
45
Exemplo 04.
I. Usando o método de Newton, encontrar o polinômio interpolador para os dados {(-
1,4);(0,1);(2,-1)}.
II. De ordem 0
III. De ordem 1
IV. De ordem 2
Assim, o polinômio interpolador será:
Exemplo 05.
Usando o método de Newton, encontrar o polinômio interpolador para os dados 
{(1,4);(3,8);(6,29)}.
I. Fazendo podemos encontrar as diferenças 
divididas.
II. De ordem 0
III. De ordem 1
IV. De ordem 2
por ∇𝑖1=
∇𝑖+1
0 −∇𝑖
0
𝑥𝑖+1−𝑥𝑖
.
Na definição geral podemos usar apenas para i=0,1,…,n-1?
VAMOS PENSAR?
∇𝑖1
∇00= 𝑦0 = 4,∇10= 𝑦1 = 1,∇20= 𝑦2 = −1
𝑝 𝑥 = 𝑦0 + ∇01 𝑥 − 𝑥0 + ∇20 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 =
𝑥0,𝑦0 = (1,4), 𝑥1, 𝑦1 = 3,8 𝑒 𝑥2,𝑦2 = (6,29),
∇00= 𝑦0 = 4,∇10= 𝑦1 = 8,∇20= 𝑦2 = 29
46
 Assim, o polinômio interpolador será:
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que 
citamos e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página 
interessante que pode ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! Disponível 
em: https://bit.ly/3WcudfC. Acesso em: 12 out. 2022. Disponível em: https://bit.
ly/3uQR70M. Acesso em: 12 out. 2022. Disponível em: https://bit.ly/3Ptl2Wa.
BUSQUE POR MAIS
47
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (CCSE/Adaptada) Na tabela a seguir, está representada a produção e o número de 
habitantes de uma cidade A em quatro censos.
 Utilize o polinômio interpolador do primeiro grau P1 (x)=a1 x+a0 e determine o 
número aproximado de habitantes na cidade A em 1955.
a)518.316
b)33.118,40
c)601.316
d)642.281,56
e)300.000
2.(UEPA/Adaptada) Determine a partir das informações existentes na tabela, determine 
o polinômio interpolador de Lagrange.
a)P3 (x)=x
3+12x
b)P3 (x)=x3+10xc)P3 (x)=x3+4x
d)P3 (x)=x3+8x
e)P3 (x)=x3-10x
3. Usando a forma de Newton, marque a opção que determina o polinômio P2 (x) que 
interpola f(x) nos pontos dados.
{(-1,4);(0,1);(2,-1)}
a)
b)
c)
d)
e)
Ano 1950 1960
N0 de Habitan-
tes
352.724 683.905
i xi yi
0 0.0 0.000
1 0.2 2.008
2 0.4 4.064
3 0.5 5.125
2
3 𝑥
2 −
7
3𝑥 + 1
1
3 𝑥
2 −
1
3𝑥 + 1
2
3 𝑥
2 −
1
3𝑥 − 1
2
3 𝑥
2 −
2
3𝑥 + 1
12
3 𝑥
2 −
7
3 𝑥 + 1
48
4. Calcular L1 (0,2) a partir da tabela. Utilize o método de Lagrange para n=1.
a)1,341
b)0,6
c)1,5
d)0,2
e)1,312
5. Determinar P2 (1,2) usando a tabela de diferenças divididas para n=2.
6. Calcular L2 (0,2) a partir da tabela para n=2.
a)0,2857
b)0,3122
c)0,512
d)2,373
e)1,3154
7. O polinômio de grau ≤2 que interpola os pontos que seguem.
a)P2 (x)=1+0,46x
2
b)P2 (x)=1-0,46x
2
c)P2 (x)=1+0,36x
2
d)P2 (x)=1+0,26x
2
e)P2 (x)=1+0,6x
2
a)2,630
b)1,630
c)1,412
d)1,364
e)2,627
i 0 1
x_i 0,1 0,6
y_i 1,221 3,320
i xi yi ∇yi ∇2yi
0 0,9 3,211 -2,90 0,602
1 1,1 2,809 -1,328
2 2,0 1,614
i 0 1 2
x_i 0,1 0,6 0,8
y_i 1,221 3,320 4,953
x -1 0 1
f(x) 0,54 1 0,54
49
8. O volume de água em um reservatório foi medido em tempos regulares. Os resultados 
das medições aparecem na tabela abaixo. Usando interpolação polinimial, estime o 
volume de água no reservatório para t=2,5h.
A) 10,3125
B) 11,2345
C) 12,3456
D) 11,3456
E) 12,1224
t(em h) 0 1 2 3 4
V(em m3) 0 3 7 15 30
50
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
51
5.1 REVISÃO DE CONCEITOS E DEFINIÇÕES INICIAIS
Nesta unidade, aproximaremos os valores das integrais definidas, como visto no Cálculo 
I. Vamos revisar alguns conceitos de integrais definidas e abordaremos a regra dos 
trapézios simples e a de Simpson.
 No cálculo diferencial, precisamos frequentemente encontrar a área da região do 
plano cartesiano limitado pelo gráfico da função contínua f:[a,b]→R+, pelo eixo x e pelas 
retas x=a e x=b.
 Na figura 05, representamos a área da região limitada pelas retas x=a e x=b e 
também pela função f(x).
O problema proposto no gráfico, pode ser resolvido a partir da determinação da integral 
definida ∫a
bf(x)dx.
 Para definirmos a fórmula da soma de Riemann, vamos começar recordando a 
definição de Integral de Riemann.
Dada a função contínua f:[a,b]→R+, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de igual 
comprimento (ou seja, fazemos uma partição uniforme de [a,b]) e escolhemos 
em cada subintervalo [xi-1 ,xi] um valor xi
*. Dessa forma, temos, por definição:
Figura 5 : Area da região limitada pelas retas x=a e x=b e também pela função f(x).
Fonte: Acervo pessoal do autor
Teorema fundamental do cálculo: Se : é uma função contínua, e f é uma primitiva 
de f em (a,b), ou seja, vale então 
FIQUE ATENTO
𝑎, 𝑏 → 𝑅
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥 ,∀𝑥𝜖(𝑎, 𝑏), ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)𝑏𝑎 .
5.2 SOMA DE RIEMANN
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
52
Exemplo 01. Usando a soma de Riemann, quatro subintervalos e escolhendo xi* como o 
extremo superior de cada subintervalo, aproxime
I. Temos o intervalo [0;2], precisamos dividir em quatro subintervalos, cada um deles 
com comprimento
II. No primeiro subintervalo [0;0,5], obtemos x1=0,5 e assim f(xi
*)∆x=e0,5
2
 )×0,5=e0,25×0,5.
III. No segundo subintervalo [0,5;1], temos x2=1, portanto encontraremos 
IV. No terceiro subintervalo [1;1,5], encontramos x3=1,5 e, por conseguinte 
V. No quarto subintervalo [1,5;2] encontramos x4=2 e, por conseguinte
Assim, podemos aproximar:
 Vimos anteriormente que a integral por soma de Riemann, consiste em somar 
área de retângulos faremos agora uma aproximação por trapézios.
5.3 REGRA DOS TRAPÉZIOS
∆𝑥 = 2−1
4
= 0,5.
𝑓 𝑥𝑖∗ ∆𝑥 = 𝑒1
2 × 0,5 = 𝑒 × 0,5.
𝑓 𝑥𝑖∗ ∆𝑥 = 𝑒1,5
2 × 0,5 = 𝑒2,25 × 0,5.
𝑓 𝑥𝑖∗ ∆𝑥 = 𝑒2
2 × 0,5 = 𝑒4 × 0,5.
∫ 𝑒𝑥220 𝑑𝑥 ≈ ∑ 𝑓(
4
𝑖=1 𝑥𝑖∗) ∆𝑥 = 𝑓 𝑥1∗ ∆𝑥 + 𝑓 𝑥2∗ ∆𝑥 + 𝑓 𝑥3∗ ∆𝑥 + 𝑓 𝑥4∗ ∆𝑥=
=𝑒0,25 × 0,5 + 𝑒 × 0,5 + 𝑒2,25 × 0,5 + 𝑒4 × 0,5 = 0,5. 𝑒0,25 + 𝑒 + 𝑒2,25 + 𝑒4 ≅ 0,5 × 68,08 =
= 34,04
Figura 6 : interpretação geométrica da fórmula citada acima, considerando xi* como mínimo em cada subintervalo.
Fonte: Acervo pessoal do autor
Figura 7: Representa a área pretendida (à esquerda) e aproximação por trapézio (à direita).
Fonte: Acervo pessoal do autor
53
 Comecemos recordando que a fórmula da área de um trapézio de bases maior B 
e b e altura h é:
 Observamos no gráfico, que a altura do trapézio é o comprimento do intervalo e 
as bases medem f(b) e f(a). Assim, podemos aproximar.
Exemplo 02.
Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral
I. Para a função podemos fazer
II. Podemos dividir o intervalo considerado e aplicar a regra do trapézio em cada um 
dos subintervalos,no qual
Exemplo 03.
Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral
Aplicando a regra dos trapézios, temos:
 Primeiro vimos como aproximar o gráfico de uma função por segmento de reta, 
horizontais ou não, tinhamos o objetivo de encontrar o valor aproximado da integral 
da função. A regra de Simpson tem por objetivo aproximar as funções por arco de 
parábola. Um polinômio do segundo grau fica bem determinado por três pontos, com 
isso precisaremos de três pontos do intervalo e não simplesmente dos extremos.
 Vamos enunciar a regra de Simpson:
Se f(x) é uma função contínua, e os pontos (x0,y0 ),(x1,y1 )e (x2,y2) do gráfico de f(x) estão 
igualmente espaçados horizontalmente, ou seja, se x2-x1=x1-x0=h, então podemos 
aproximar:
𝐴 =
ℎ
2 𝐵 + 𝑏 .
∫ 𝑑𝑥𝑥
3,6
3 .
𝑓 𝑥 = 1
𝑥
,
∫ 𝑑𝑥𝑥
3,6
3 ≈
3,6−3
2
𝑓 3,6 + 𝑓 3 =0,6
2
. 1
3,6
+ 1
3
= 0,18333
ℎ = ∆𝑥 = 𝑏−𝑎
𝑛
:
≈ ℎ
2
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 +
ℎ
2
𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯+
ℎ
2
(𝑓(𝑥𝑛−1)+𝑓 𝑥𝑛 =
ℎ
2
(𝑓 𝑥0 + 2.𝑓 𝑥1 + ⋯+ 2.𝑓(𝑥𝑛−1)+𝑓 𝑥𝑛 ).
∫ 1 + 𝑥3�20 𝑑𝑥.
∫ 1 + 𝑥3�20 𝑑𝑥 ≈
2−0
2
. 𝑓 2 + 𝑓 0 = 1. 1 + 23� + 1 + 03� = 9� + 1� =4
5.4 A REGRA DE SIMPSON
54
O resultado enunciado na proposição(Regra de Simposon) já era conhecimento por 
matemáticos do século XVIII, mas foi popularizado nos textos do britânico Thomas Simpson 
(1710-1761),reconhecido por muitos como um dos melhores matemáticos ingleses do século 
XVIII. Em sua homenagem, damos ao método o nome de Regra de Simpson.
VAMOS PENSAR?
Exemplo 04.
 Use a regra de Simpson para estimar o valor da integral
 Precisamos de três pontos igualmente espaçados, vamos tomar o ponto médio do 
intervalo [2,3].
 Assim podemos aproximar para:
 Portanto: 
∫ 1 + 𝑥3�32 𝑑𝑥.
𝑥0 = 2, logo ,𝑦0 = 1 + 23
� = 3
𝑥1 = 2,5, logo, 𝑦1 = 1 + 2,53
� ≅ 4,0774
𝑥2 = 3,logo, 𝑦2 = 1 + 33
� = 5,2915
𝑥1 =
2 + 3
2 = 2,5
ℎ =
3 − 2
2 = 0,5
55
1. Usando a soma de Riemann, cinco subintervalos e escolhendo x_i como ponto médio 
de casa subintervalo, marque a opção que aproxima 
a) 0,594
b) 0,324
c) 0,263
d) 0,692
e) 0,134
2. O valor de , usando a regra dos trapézios é:
a) 32
b) 30
c) 20
d) 10
e) 40
3. Utilize a regra dos trapézios e determine o valor aproximado de
a) 0,4370
b) 0,4273
c) 0,3672
d) 0,4406
e) 0,3604
4. O valor de utilize a regra dos trapézios.
a) 1,2631
b) 1,3672
c) 1,3994
d) 1,3474
e) 1,4735
5. O valor aproximado de é: (Utilize a regra dos trapézios)
a) 0,3642
b) 0,2736
c) 0,4721
d) 0,3127
e) 0,2904
6. Utilize a primeira regra de Simpson,determine o valor aproximado de
a) 8,8346
b) 3,2137
c) 4,3214
d) 3,2143
e) 3,2731
FIXANDO O CONTEÚDO
a ∫ 1𝑥
2
1 𝑑𝑥.
∫ 𝑥2 + 1𝑥 𝑑𝑥
1,2
1,0 .
∫ 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥1,51,2 , 
∫ (𝑥21,41,2 . 𝑙𝑛𝑥 + 1)𝑑𝑥
∫ 𝑥. 𝑒𝑥 𝑑𝑥2,01,6 .
56
7. Determine o valor aproximado de utilizando a regra de Simpson.
a) 1,4472
b) 0,6436
c) 0,2432
d) 0,4231
e) 0,4127
8. Usando a regra de Simpson, marque a opção que representa a aproximação da integral 
a) 0,7155
b) 0,6236
c) 0,4732
d) 0,3724
e) 0,6427
∫ 𝑒−𝑥210 𝑑𝑥.
57
O MÉTODO DOS 
QUADRADOS 
MÍNIMOS
58
 Nesta unidade, daremos prosseguimento ao estudo de aproximar dados por 
funções conhecidas minimizando as distâncias. Apresentaremos e discutiremos 
métodos e casos do problema de mínimos quadrados
 Consideremosum conjunto de dados isolados que vamos aproximar por uma 
função do primeiro grau.
Exemplo 01.
 Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (1,6), (2,13) e (4,45).
I. Uma reta tem equação do tipo y=ax+b, temos:
II. Temos o seguinte sistema: possui três equações e duas
incógnitas, podemos trabalhar com as duas primeiras e substituir a solução na terceira 
para verificar a igualdade.
 Substituindo na primeira a+b=6 ⇒7+b=6 ⇒b=-1
III. Sustituir os valores de a e b na terceira equação 4a+b=45 ⇒4.7-1≠45, ou seja, o 
sistema é impossível.
 Como o sistema não tem solução podemos concluir que os pontos citados acima 
não estão alinhados , nenhuma reta passará pelos três pontos, poderíamos escolher dois 
dos pontos e encontrar a reta que passa por eles, usando-a como função de aproximação. 
Surgem as seguintes indagações:
• Quais pontos devem ser escolhidos?
• Como dizer se uma aproximação é melhor do que a outra?
• Uma reta que não passa pelos pontos pode ter uma aproximação melhor?
 Usamos o cálculo da distância vertical entre (xi,yi) e seu correspondente (xi,axi+b) 
para medir o quanto uma reta y=ax+b se distancia de um conjunto de dados {(x0,y0 
),…,(xn,yn)}, logo, temos o cálculo do módulo |yi-(axi+b)|,que diretamente divide os casos 
em pontos que estão acima ou abaixo da reta, para simplificar o processo, calculamos 
diretamente o quadrado desse valor.
dqi=(y_i-(axi+b))
2
Esses elementos são chamados desvios quadrados.
Exemplo 02.
Para o conjunto de dados {(1,6),(2,13),(4,45)} e para a reta y=8x+2, calcule todos os desvios 
quadrados.
6.1 O CASO LINEAR DISCRETO
59
I. Temos que substituir x por 1,2 e 4 na equação da reta
II. Calculando os desvios quadrados, para y0=6,y1=13 e y2=45
 O nome método dos quadrados mínimos, consiste em encontrar os valores de a 
e b que minimizem a expressão Q. Do cálculo sabemos que os pontos de mínimo de 
uma funçao possuem derivadas nulas em relação às variáveis a e b. A derivada de Qem 
relação a a é representada por e por ser igual a zero, devemos ter:
𝑦 = 8.1 + 2 = 8 + 2 = 10
𝑦 = 8.2 + 2 = 16 + 2 = 18
𝑦 = 8.4 + 2 = 32 + 2 = 34
Para o conjunto de dados {(x0,y0),…,(xn,yn)},devemos encontrar a reta y=ax+b que minimiza 
a soma dos desvios quadrados, ou seja, tal que o valor de:
Seja menor possível.
FIQUE ATENTO
𝛿𝑄
𝛿𝑎
𝛿𝑄
𝛿𝑎
= 0 ⇔− 2∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=0 𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏 = 0⇔
60
 Analogamente, a derivada de Q em relação a b é representada por
 Juntando as equações resultantes, obtemos o sistema nas incógnitas a e b.
 Essas equações são chamadas de equações normais do problema.
Exemplo 03.
 Usando o método dos mínimos quadrados, encontre a reta que melhor se ajusta 
ao conjunto de dados {(1,6),(2,13),(4,45)}.
 Temos que x0=1,x1=2,x2=4 e y0=6,y1=13,y2=45
 Assim, vamos calcular:
III. Colocando os valores encontrados no passo II no sistema de equações normais:
fica resolvendo o sistema pelo processo 
da substituição, encontramos resolvendo o sistema pelo processo da substituição, 
∑ 𝑥𝑖2 = 𝑥022𝑖=0 + 𝑥12 + 𝑥22 = 12 + 22 + 42 = 1 + 4 + 16 =
21
∑ 𝑥𝑖2𝑖=0 = 𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 = 1 + 2 + 4 = 7
∑ 𝑥𝑖2𝑖=0 𝑦𝑖 = 𝑥0𝑦0 + 𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 = 1 × 6 + 2 × 13 + 4 ×
45 = 6 + 26 + 180 = 212
∑ 𝑦𝑖 = 𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦2 = 6 + 13 + 45 = 642𝑖=0
, 
61
encontramos 
IV. Dessa forma, a reta procurada tem equação
 6.1.1 Caso discreto geral
 No tópico anterior desta unidade, aproximamos um conjunto de dados por 
uma função do primeiro grau, obtemos os coeficientes da equação da reta através da 
resolução dessas equações.
 O Método dos mínimos quadrados consiste em encontrar a função, dentro de um 
modelo pré estabelecido, que minimize a soma dos desvios quadrados.
 Dado o conjuto de pontos {(x0,y0 ),(x1,y1 ),…,(xn,yn)}, os desvios de uma função δ(x) são 
definidos por di=|δ(xi )-yi |, e os desvios quadrados por dqi=(δ(xi)-yi)2, o modelo do método 
dos mínimos quadrados é , a escolha da função depende dos fenômenos 
descritos pelos dados ou da análise gráfica.
 Assim como desenvolvido no caso linear, no processo da função quadrática 
faremos que irá gerar três equações normais.
 Os valores de sãofacilmente 
determinados, porém para uma grande quantidade de pontos encontrá-los 
manualmente se torna demorado, para encontrarmos uma equação do segundo grau 
por exemplo são necessários cinco pontos. Após determinar os valores citados, basta 
resolver o sistema de equações normais para determinar os coeficientes da função 
δ(x)=ax2+bx+c.
Exemplo 04.
 Usando o método dos mínimos quadrados, encontrar a equação da parábola que 
melhor se ajusta ao conjuto de dado {(-2;14,5),(-1;7,5),(0;4,5),(1;2,5),(2;2),(3;4,5)}.
I. Precisamos determinar os coeficientes da equação
𝑎 = 94
7
e 𝑏 = −10.
𝑎 = 94
7
e 𝑏 = −10.
Ao processo descrito no exemplo 03, damos o nome de regressão linear dos dados e os 
coeficientes procurados podem ser encontrados diretamente em algumas calculadoras 
científica.
FIQUE ATENTO
𝛿𝑄
𝛿𝑎
=𝛿𝑄
𝛿𝑏
=𝛿𝑄
𝛿𝑐
= 0
∑ 𝑥𝑖4𝑛𝑖=0 , ∑ 𝑥𝑖3𝑛𝑖=0 ,∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=𝑜 ,∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=0 ,∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=0 𝑦𝑖 ,∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑒 ∑ 𝑦𝑖𝑛𝑖=0𝑛𝑖=0
𝛿 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 
temos: 𝑥0 = −2; 𝑥1 = −1; 𝑥2 = 0;𝑥3 = 1; 𝑥4 = 2 ; 𝑥5 = 3 e 𝑦0 = 14,5; 𝑦1=
7,5; 𝑦2 = 4,5; 𝑦3 = 2,5;𝑦4 = 2 ; 𝑦5 = 4,5
62
II. Encontrando os valores de:
III. O sistema de equações normais descrito acima fica:
aproximada) por algum método conhecido para resolver sistema. Temos: 
IV. Assim a parábola procurada tem equação y=1,0269x2-2,9839x+4,1571
 No caso contínuo não trabalhamos com um conjunto de dados , teremos uma 
função f:[a,b]→R a qual aproximaremos por outra função ∂:[a,b]→R Não podemos definir 
o desvio total pela soma dos desvios de cada ponto já que o conjunto base não é mais 
formado por pontos isolados.Segue a definição:
 Dada a função f:[a,b]→R , o desvio quadrado total de ∂:[a,b]→R em relação a f é dado 
por
Exemplo 05.
 Encontre uma função do primeiro grau que minimiza o desvio quadrado total em 
relação à função f(x)=x3+6 no intervalo [0,1].
cuja solução pode ser encontrada (ou 
∑ 𝑥𝑖45𝑖=0 = 𝑥04 + 𝑥14 + 𝑥24 + 𝑥34 + 𝑥44 + 𝑥54 = (−2)4+(−1)4+04 + 14+24+34 = 115;
∑ 𝑥𝑖35𝑖=0 = 𝑥03 + 𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 + 𝑥43 + 𝑥53 = (−2)3+(−1)3+03 + 13+23 + 33 = 27
∑ 𝑥𝑖25𝑖=0 = 𝑥02 + 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 + 𝑥42 + 𝑥52 = (−2)2+(−1)2+02 + 12+22+32 = 19;
∑ 𝑥𝑖5𝑖=0 = 𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = −2 + −1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 3;
∑ 𝑥𝑖25𝑖=0 𝑦𝑖 = 𝑥02𝑦0 + 𝑥12 𝑦1 + 𝑥22𝑦2 + 𝑥32𝑦3 + 𝑥42𝑦4 + 𝑥52𝑦5 = (−2)2×14,5+(−1)2× 7,5 +
02 × 4,5 + 12 × 2,5 + 22 × 2 + 32 × 4,5 = 58 + 7,5 + 0 + 2,5 + 8 + 40,5 = 116,5;
∑ 𝑥𝑖5𝑖=0 𝑦𝑖 = 𝑥0𝑦0 + 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦3 + 𝑥4𝑦4 + 𝑥5𝑦5 = −2 × 14,5 + −1 × 7,5 +
0 × 4,5 + 1 × 2,5 + 2 × 2 + 3 × 4,5 = −29 − 7,5 + 0 + 2,5 + 4 + 13,5 = −16,5;
∑ 𝑦𝑖 =5𝑖=0 𝑦0 + 𝑦1 +𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 + 𝑦5 = 14,5 + 7,5 + 4,5 + 2,5 + 2 + 4,5 = 35,5;
, 
𝑎 ≅ 1,0269,𝑏 ≅ −2,9839 𝑒 𝑐 ≅ 4,1571.
O método empregado no exemplo 04 pode ser estendido para encontrar polinômio de 
qualquer grau cujo gráfico aproxime um conjunto de pontos. Porém o processo ganha 
complexidade à medida que o grau do polinômio aumenta.
VAMOS PENSAR?
6.2 O CASO CONTÍNUO
63
I. Sabemos que uma função do primeiro grau é do tipo ∂(x)=ax+b.
II. Calculando o desvio total no intervalo dado temos:
III. Como o objetivo é minimizar o valor de
devemos anular suas derivadas parciais em relação a a eb. Assim calculamos:
IV. Vamos igualar as duas equações a zero, teremos:
Multiplicando a primeira por 15 e a segunda por 2, obtemos 
resolvendo pelo processo da soma encontramos: a=0,9 e b=5,8.
 Assim, a função procurada é da equação δ(x)=0,9x+5,8.
Podemos perceber que ajustar curvas pelo processo dos mínimos quadrados pode ser 
bem trabalhoso, como por exemplo, fazer o exemplo anterior ajustando por função do 
segundo grau.
o sistema:Multiplicando a primeira por 15 e a segunda por 2, obtemos o sistema:
𝑄 = ∫ ( 𝑥3 + 6 − 𝑎𝑥 + 𝑏 )210 𝑑𝑥 = 
de𝑄 =274
7
− 32𝑎
5
− 25𝑏
2
+ 𝑎
2
3
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2, 
∂𝑄
∂𝑎 =
−32
5 +
2𝑎
3 + 𝑏 𝑒 
∂𝑄
∂𝑏 =
−25
2 + 𝑎 + 2𝑏
2𝑎
3
+ 𝑏 = 32
5
e 𝑎 + 2𝑏 = 25
2
. 
, 
O ajuste pelos mínimos quadrados permite, também, obter aproximações para valores 
fora do intervalo considerado com certa segurança.
FIQUE ATENTO
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que 
citamos e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página 
interessante que pode ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! Disponível em: 
https://bit.ly/3V06JcD Acesso em 12 out. 2022. 
BUSQUE POR MAIS
64
FIXANDO O CONTEÚDO
1.Para o conjuntos de dados {(1,2),(3,9),(5,16),(7,20)} e para a reta y=3x-1, marque a opção 
que representa todos os desvios quadrados.
a)0,1,4 e 0
b)3,4,4 e 6
c)2,3,4 e 1
d)3,4,5 e 6
e)2,7,9 e 11
2. Usando o método dos mínimos quadrados, encontre a equação da reta que melhor 
ajusta ao conjunto de dados {(1,2),(3,9),(5,16),(7,20)}.
a)
b)
c)
d)
e)
3. Aproximando a função f(x)=4x3por um por um polinômio do primeiro grau, uma reta, 
no intervalo [a,b]=[0,1].
a)
b)
c)
d)
e)
4. Usando o método dos mínimos quadrados, encontre a reta que melhor se ajusta ao 
conjunto de dados {(1,3),(3,7),(4,9)}.
a)y=4x-1
b)y=2x+12
c)y=2x+1
d)y=x-1
e)y=4x-12
𝑦 =
12
5 𝑥 −
1
5
𝑦 =
61
20𝑥 −
9
20
𝑦 = 61𝑥 − 9
𝑦 =
21
5 𝑥 −
3
5
𝑦 = 12𝑥 − 4
∂ 𝑥 =
18𝑥
5 −
4
5
∂ 𝑥 =
8𝑥
5 −
4
5
∂ 𝑥 =
18𝑥
5 +
4
5
∂ 𝑥 =
28𝑥
5 −
4
5
∂ 𝑥 =
18𝑥
5 −
14
5
65
5. Ache a aproximação linear através dos mínimos quadrados para os pontos: 
{(1,1),(2,4),(3,8)}.
a)
b)
c)
d)
e)
6. Ache a aproximação linear através dos mínimos quadrados para os pontos: 
{(2,2),(4,11),(6,28),(8,40)}.
a)y=6x-12
b)y=7,6x-12,5
c)y=6,55x-12,5
d)y=2,7x-11,5
e)y=3,2x-11,2
7.Considere a seguinte tabela da função y=f(x). Encontre a aproximação linear através 
dos mínimos quadrados para os pontos da tabela.
a)P2 (x)=0.8437x2+0.8641x+1.0052
b)P2 (x)=0.7437x2+0.6641x+1.0052
c)P2 (x)=0.8437x2+0.4641x+2.0052
d)P2 (x)=0.5437x2+0.2641x+1.0052
e)P2 (x)=0.8437x2+0.8831x+3.0052
8. Sejam os pontos {(1,5);(2,7);(0,3)}. A reta que melhor se ajusta aos pontos é:
a)y=12x-4
b)y=2x+3
c)y=0,7x-1,2
d)y=0,4x+1,5
e)y=2,2x+1,3
𝑦 =
1
3 𝑥 − 2
𝑦 =
4
5 𝑥 −
1
3
𝑦 =
2
7 𝑥 −
2
3
𝑦 =
7
2 𝑥 −
8
3
𝑦 = 3𝑥 − 6
i 0 1 2 3 4
xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
yi 1.000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183
66
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 D
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 E
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 C
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 D
QUESTÃO 8 C
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 B
67
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
M. A. G. Ruggiero, V. L. da R. L. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, 
2ª edição, Editora Pearson, 1997.
M.C. Cunha. Métodos Numéricos. 2a edição, Editora da Unicamp, 2000.
N.B. Franco. Cálculo Numérico. Pearson Prentice Hall, 2007.
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Análise Numérica, Cengage Learning, Tradução da 
8. Ed. Americana, 2008
A. Quarteroni, F. Saleri. Cálculo Científico - Com MATLAB e Octave. (Online grátis para 
internet da Unicamp)
D. S. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, New Jersey: John Wiley & Sons, 3. 
Ed, 2010
ANTON,Howard e BUSBY, Robert C. Álgebra linear contemporânea. Tradução Claus Ivo 
Doering. Porto Alegre: Bookman, 2006.
ASANO, Claudio Hirofume e COLLI, Eduardo. Cálculo numérico: fundamentos e 
aplicações.2007.Disponível em:https://bit.ly/3WrWW0p.
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graduacaoead.faculdadeunica.com.br