aula 03

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Professor: Fernando 
Resolução de Equações Algébricas Transcendentes 
Introdução 
 
 Existem fórmulas para resolução de equações algébricas em que f (x) é uma expressão 
quadrática, cúbica ou bi - quadrática. No entanto, para equações em que f (x) é um polinômio de 
grau superior a 4 ou uma função em que a incógnita figura em expressões logarítmicas, 
trigonométricas, etc., podendo aparecer em expressões elementares, não existem fórmulas para 
resolver tais equações. Neste caso empregamos métodos gráficos ou numéricos. 
 
Métodos Gráficos 
 Seja a equação f (x) = 0 da qual se deseja determinar a raiz. Graficamente existem 2 
métodos: 
 
 
1 - Interseção da curva com o eixo das abscissas. 
 
Neste caso, tabela-se a função e esboça-se o gráfico. 
 
Exemplo: f (x) = x2 - 5x + 6 = 0 , nos pontos 0, 1, 2, 3, 
4, 5. 
 
 
 
2 - Interseção de duas curvas. 
Neste caso, desdobramos f (x) em duas funções 
h (x) e g (x), de tal modo que: 
f (x) = h (x) - g (x) = 0 O ponto de interseção de h 
(x) com g (x) fornece a raiz de f (x) = 0. 
Exemplo: f (x) = sen x - cos x 
 h (x) = sen x
g (x) = cos x 



 
 
 
Métodos Numéricos 
 
1 - Determinação do intervalo onde se encontra a raiz real 
Nesta fase o objetivo é o de determinar um intervalo [a; b], o menor possível, que contenha uma 
única raiz. Para cumprir este objetivo os métodos que apresentaremos a seguir apoiam-se em 
dois resultados do Cálculo Diferencial e Integral. 
 
 
 
Teorema de Cauchy-Bolzano: Seja f uma função contínua em um intervalo [a; b]. 
Se f(a) . f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto no [a; b] onde f(x) = 0. 
Assim: Se f (x) tem sinais diferentes em dois pontos de abscissas a e b, então a função se anula 
pelo menos uma vez em [a , b]. 
Ex: Isolar as raízes de f(x) = 2x – cos x = 0. 
Inicialmente, geremos uma tabela de pontos xi; f(xi). 
 
 
 
 
 Como f(0) . f(1) < 0 existe pelo menos um ponto 
 no [0; 1] onde f(x) = 0. 
 
 
 
2- Refinamento 
 Uma vez isolada uma raiz em um intervalo [a; b], procura-se, nesta fase, considerar uma 
aproximação para a raiz e “melhorá-la” sucessivamente até se obter uma aproximação com a 
precisão requerida. 
 
3 - Critérios de parada (estimativa) 
 Dizemos que xk é uma “boa” aproximação para a raiz x de uma equação f(x) = 0 se os 
critérios abaixo forem satisfeitos: 
(i) │f(xk)│ < ԑ 
(ii) b – a < ԑ 
(iii) k = número de interações 
 
Método da Bisseção ou Dicotomia 
 
Introdução: A idéia do Método da Bisseção é reduzir o intervalo [a; b] que contém a raiz, 
dividindo-o ao meio a cada iteração. 
 
Exemplo1: Determinar com precisão ԑ ≤ 0,01 e com um máximo de 10 iterações, a raiz da 
equação: f(x) = 2x – cos x = 0 
 
Solução: 
 (a) Isolamento da raiz: Já foi visto que a raiz está no intervalo [0; 1]. 
 (b) Critério de Parada: Para o exemplo considerado temos: a = 0, b = 1, ԑ = 0,01. 
Aplicando , vem: 
 
 Como o número k de iterações é um número inteiro, resulta que k = 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
x - 2 -1 0 1 2 
F(x) -3,58 -2,54 -1 1,46 4,42 
 
Partindo de: f(0) = -1 f(1) = 1,46 ԑ ≤ 0,01 
 
 k a b xk = (b + a)/2 f (xk) b - a Conclusão 
0 0 1 0,500 0,1224 1 [0 ; 0,5] 
1 0 0,5 0,250 -0,4689 0,5 [0,25 ; 0,5] 
2 0,25 0,5 0,375 -0,1805 0,25 [0,375 ; 0,5] 
3 0,375 0,5 0,438 -0,0308 0,125 [0,438 ; 0,5] 
4 0,438 0,5 0,469 0,0460 0,062 
[0,438 ; 
0,469] 
5 0,438 0,469 0,454 0,0081 0,031 
[0,454 ; 
0,469] 
6 0,438 0,454 0,446 -0,0102 0,016 
[0,446 ; 
0,454] 
7 0,446 0,454 0,450 -0,0004 0,008 
PARE! 
ԑ ≤ 0,01 
 
 Na iteração 7, tanto a amplitude do intervalo [a; b] quanto a imagem, em módulo, de x7 
são menores que a precisão requerida, isto é, b - a = 0,454 – 0,446 = 0,008 < ԑ = 0,01 e f(x7) = 
f(0,450) = 0,0004 < ԑ = 0,01. Desta forma, dizemos que x7 = 0,450 é uma aproximação 
para a raiz da equação f(x) = 2x - cos x = 0 com uma precisão ԑ < 0:01. 
 
Vantagens e Desvantagens do Método da Bisseção 
 
 A maior vantagem do Método da Bisseção é que, para sua convergência, não há 
exigências com relação ao comportamento do gráfico de f no intervalo [a; b].Entretanto, ele não é 
eficiente devido à sua convergência lenta. Isto decorre do fato de que na escolha de uma 
aproximação x = a+b/2 não se leva em consideração os valores da função nos extremos do 
intervalo. No pior caso, a raiz está próxima a um extremo. 
O Método da Bisseção é mais usado para reduzir o intervalo antes de usar um outro 
método de convergência mais rápida. 
 
 
 
Exercícios (Trabalho 2 – desenvolver no Excell) 
 
1) Determinar com precisão ԑ ≤ 0,00001 (10-5), a raiz da equação: f(x) = ex - 3x = 0 localizada 
no intervalo [0,1] 
 Solução: 
a) Critério de Parada: Para o exemplo considerado temos: a = 0, b = 1, ԑ = 0,00001. 
Aplicando , vem: 
 
 Como o número k de iterações é um número 
inteiro, resulta que k = 17 
 
 
b) Partindo: 
 f(0)= 1 
 f(1)= -0,281718 
 
ԑ ≤ 0,00001 
 
 
k a b 
xk = 
(b + a)/2 f (xk) b - a Conclusão 
0 0,0000000 1,000000 0,5000000 0,1487213 1,000000 [0,5;1] 
1 0,5000000 1,000000 0,7500000 -0,1330000 0,500000 [0,5;0,75] 
2 0,5000000 0,750000 0,6250000 -0,0067540 0,250000 [0,5;0,625] 
3 0,5000000 0,625000 0,5625000 0,0675547 0,125000 [0,5625;0.625] 
4 0,5625000 0,625000 0,5937500 0,0295161 0,062500 [0,59375;0625] 
5 0,5937500 0,625000 0,6093750 0,0111565 0,031250 [0,6090375;0,625] 
6 0,6093750 0,625000 0,6171875 0,0021447 0,015625 [0,6171875;0,625] 
7 0,6171875 0,625000 0,6210938 -0,0023189 0,007813 … 
8 0,6171875 0,621094 0,6191406 -0,0000907 0,003906 … 
9 0,6171875 0,619141 0,6181641 0,0010261 0,001953 … 
10 0,6181641 0,619141 0,6186523 0,0004675 0,000977 … 
11 0,6186523 0,619141 0,6188965 0,0001884 0,000488 … 
12 0,6188965 0,619141 0,6190186 0,0000488 0,000244 … 
13 0,6190186 0,619141 0,6190796 -0,0000209 0,000122 … 
14 0,6190186 0,619080 0,6190491 0,0000140 0,000061 … 
15 0,6190491 0,619080 0,6190643 -0,0000035 0,000031 … 
16 0,6190491 0,619064 0,6190567 0,0000052 0,000015 [0,619056; 0,619064] 
17 0,6190567 0,619064 0,6190605 0,0000009 0,000008 PARE! 
 
 Na iteração17, tanto a amplitude do intervalo [a; b] quanto a imagem, em módulo, de x17 
são menores que a precisão requerida, isto é, b - a = 0,619064 – 0,619056 = 0,000008 < ԑ = 
0,00001 e f(x17) = f(0,6190605) = 0,0000009< ԑ = 0,00001. Desta forma, dizemos que 
x17 = 0,6190605 é uma aproximação para a raiz da equação f(x) = ex - 3 x = 0 com uma precisão 
ԑ < 0,00001. 
 
Exercícios: Determinar com precisão ԑ ≤ 0,01