Dist Normal-1.pdf

Prévia do material em texto

Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Distribuic¸a˜o Normal
Jose´ Waldemar da Silva
FAMAT - UFU
6 de outubro de 2016
1 / 8
Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Distribuic¸a˜o Normal - Func¸a˜o Densidade
Densidade
Se uma v. a. X segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e
variaˆncia σ2 enta˜o sua func¸a˜o densidade de probabilidade e´
dada por:
f (x) =
1√
2piσ2
exp
{
−(x − µ)
2
2σ2
}
, −∞ < x <∞
ou
f (x) =
1√
2piσ2
e
{
− (x−µ)2
2σ2
}
, −∞ < x <∞
Notac¸a˜o: X ∼ N(µ, σ2)
2 / 8
Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Distribuic¸a˜o Normal
Propriedades
1 - f (x) e´ sime´trica em relac¸a˜o a` µ;
2 - f (x) −→ 0 quando x −→ ±∞;
3 - o valor ma´ximo de f (x) e´ obtido quando x = µ.
 
Figura 1 : Ilustrac¸a˜o da distribuic¸a˜o normal para diferentes me´dias e variaˆncias.
3 / 8
Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Distribuic¸a˜o Normal - Ca´lculo de Probabilidades
Ca´lculo de Probabilidades
A = P(x1 < X < x2) =
∫ x2
x1
f (x)dx
Padronizac¸a˜o
Z =
X − µ
σ
; f (z) =
1
2pi
e
{
− z2
2
}
; Z ∼ N(0, 1)
e,
A = P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2) =
∫ z2
z1
f (z)dz
4 / 8
Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Distribuic¸a˜o Normal - Ca´lculo de Probabilidades
Ca´lculo de Probabilidades - Tabela
a) P(Z < 0);
b) P(Z > 1, 96);
c) P(Z < 1, 96);
d) P(Z > 3);
e) P(−1, 96 < Z < 1, 96);
f) P(Z < −2);
g) P(Z > −2);
h) P(1 < Z < 2);
i) P(−2 < Z < −1);
5 / 8
Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Distribuic¸a˜o Normal - Determinac¸a˜o de quantis
Determinac¸a˜o de quantis - Tabela
a) P(Z < z) = 0, 5;
b) P(Z > z) = 0, 975;
c) P(Z > z) = 0, 025;
d) P(−1, 96 < Z < z) = 0, 95;
6 / 8
Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Distribuic¸a˜o Normal - Ca´lculo de Probabilidade
para µ e σ2 qualquer
Exemplo
Segundo a Companhia Ambiental do Estado de Sa˜o Paulo
(CETESB) a emissa˜o me´dia de mono´xido de carbono (CO) por
automo´veis a gasolina no estado em 2010 foi de 30,0 kg (30,0
kg/ano) com desvio padra˜o de 4 kg. Seja X a quantidade de
CO em kg. Determine:
a) a proporc¸a˜o dos carros que emitem mais que 36 kg/ano.
b) a probabilidade de um carro, escolhido ao acaso, emitir
menos que 26 kg/ano.
7 / 8
Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Distribuic¸a˜o Normal - Ca´lculo de Quantis para µ e
σ2 qualquer
Exemplo
Para resolver as duas questo˜es a seguir, use os dados
(informac¸o˜es) do exemplo anterior.
1 - Se “controle de qualidade” da CETESB deseja retirar de
circulac¸a˜o 5% dos automo´veis mais poluentes quanto ao CO, a
partir de qual quantidade X de CO um ve´ıculo deve ser
impedido de circular?
2 - Se por outro lado o “controle de qualidade” da CETESB
deseja premiar 1% dos automo´veis menos poluentes quanto ao
CO, a partir de qual quantidade X de CO um ve´ıculo sera´
premiado?
8 / 8
Distribuic¸a˜o
Normal
Jose´
Waldemar da
Silva
Exerc´ıcios sugeridos
Sec¸a˜o 5.1: Do 1 ao 62
Sec¸a˜o 5.2: Do 1 ao 30
Sec¸a˜o 5.3: Do 1 ao 46
Obs.: Exclua os exerc´ıcios que voceˆ considerar “repetitivos”.
9 / 8