Probabilidade

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Isabel Cristina Gomes
APOSTILA DE PROBABILIDADE
Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Estatística
Belo Horizonte − MG
2012
CONTEÚDO Probabilidade
Conteúdo
1 Fundamentos 3
1.1 Operações básicas de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Definição 6
2.1 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Regra da adição de probabilidades 7
3.1 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Probabilidade condicional 9
4.1 Definição: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Regra do produto de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Independência de eventos 10
5.1 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Teorema da Probabilidade Total 11
6.1 Partição do espaço amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 Definição: Teorema da Probabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.3 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Teorema de Bayes 12
7.1 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8 Variáveis aleatórias discretas 13
8.1 Função discreta de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8.2 Função de distribuição de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8.3 Média e variância de uma variável aleatória discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.4 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 Variáveis aleatórias contínuas 16
9.1 Função de densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9.2 Função de distribuição acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.3 Média e variância de uma variável aleatória contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9.4 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 A distribuição Normal 19
10.1 A tabela Normal Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10.2 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10.3 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11 Referências 23
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Probabilidade
1 Fundamentos
Alguns experimentos são determinísticos, isto é, produzem os mesmos resultados, desde que tenham sido
fixadas as condições em que eles ocorrem. Por exemplo, na geometria, sabendo o lado de um quadrado,
a área estará determinada, ou ainda se clicar sobre um ícone em um computador, saberá que função ele
irá desempenhar. Existem também os experimentos probabilísticos, nos quais mesmo que as condições de
ocorrência tenham sido fixadas, os resultados não são previsíveis. O resultado de uma observação não tem
efeito sobre o resultado de outra e têm um padrão de comportamento previsível a longo prazo. Ou seja,
os experimentos têm um componente de acaso. Como já foi dito neste curso, a probabilidade é a teoria
matemática utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório. Vejamos a
seguir alguns conceitos importantes:
Experimentos aleatórios: são experimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza.
• Ex.: O número de gols em uma partida de futebol, a altura de um aluno sorteado casualmente
na sala de aula, a taxa de inflação no mês de abril, face observada no lançamento de um dado,
face observada no lançamento de uma moeda.
Espaço amostral: Denotado pela letra grega Ω (ômega), é o conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório.
• Ex.: Experimento: Lançamento de uma moeda. Resultados possíveis: cara (c) ou coroa (c¯).
Espaço amostral: Ω = {c, c¯}.
• Ex.: Experimento: Lançamento de um dado. Resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Espaço
amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Ex.: Experimento: Contar o no de filhos de famílias de um determinado bairro. Resultados
possíveis: de 0 a 50. Espaço amostral: Ω = {0, 1, 2, 3, ...}.
Evento: são os subconjuntos de Ω, um resultado ou um conjunto de resultados do experimento aleatório,
são denotados por letras maiúsculas A,B, .... O conjunto vazio é denotado por ∅.
• Ex.: Experimento: Lançamento de uma moeda. Evento A: Sair cara no lançamento da moeda.
A = {cara}
• Ex.: Experimento: Lançamento de um dado. Evento B: Sair uma face par do dado. B = {2, 4, 6}.
• Ex.: Experimento: Contar o no de filhos de famílias de um determinado bairro. Evento C: ter
no máximo 2 filhos. C = {0, 1, 2}.
Eventos especiais:
• Evento simples: É um resultado ou um evento que não pode mais ser decomposto em compo-
nentes mais simples. Ex.: Sair face 4 no lançamento de um dado, sair coroa no lançamento de
uma moeda.
• Evento impossível (Notação: ∅): É o evento que nunca ocorre. Ex.: Sair face par e ímpar ao
mesmo tempo em um único lançamento de um dado.
• Evento Certo: É o evento que sempre ocorre. Ex.: Sair face par ou ímpar no lançamento de um
dado.
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1.1 Operações básicas de conjuntos Probabilidade
1.1 Operações básicas de conjuntos
União. A união de dois eventos A e B, denotada por A ∪ B, representa a ocorrência de pelo menos um
dos eventos A ou B, ou seja, é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos nos dois
eventos.
• Ex.: Experimento: Lançamento de uma moeda. Se definimos por A: ocorrência de cara e B: ocorrência
de coroa, A ∪B = {c, c¯}.
• Ex.: Experimento: Lançamento de um dado. Se definimos por C: ocorrência de face par no lança-
mento, D: ocorrência da face 4 no lançamento, teremos C ∪D = {2, 4, 6}.
• Ex.: Experimento: Contar o no de filhos de famílias de um determinado bairro. Se definimos E: ter
menos de dois filhos e F: ter entre 1 e 5 filhos, E ∪ F = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
União
A B
Intersecção. A intersecção de dois eventos A e B, denotada por A ∩ B, é a ocorrência simultânea de
A e B, ou seja, é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em ambos os eventos,
simultaneamente.
• Ex.: Experimento: Lançamento de uma moeda. A ∩B = ∅.
• Ex.: Experimento: Lançamento de um dado. C ∩D = 4.
• Ex.: Experimento: Contar o no de filhos de famílias de um determinado bairro. E ∩ F = {1, 2}.
Intersecção
A B
Observemos que, sabendo que Ω e ∅ são também eventos por serem subconjuntos do espaço amostral:
• a união de qualquer evento com o espaço amostral será o próprio espaço amostral.
• a união de qualquer evento com o conjunto vazio será o próprio evento.
• a intersecção de qualquer evento com o espaço amostral será o próprio evento.
• a intersecção de qualquer evento com o conjunto vazio será o conjunto vazio.
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1.2 Exercícios: Probabilidade
Outros conceitos importantes são:
Eventos disjuntos: dizemos que dois eventos A e B são disjuntos ou mutualmente exclusivos, quando
não têm elementos em comum, ou seja, A ∩B = ∅.
• Ex.: Experimento: Lançamento deum dado. Os eventos A e B são disjuntos.
Eventos disjuntos
A B
Eventos complementares: O complemento de um evento em um espaço amostral é o conjunto dos
resultados no espaço amostral que não estão no evento. O complementar de A será denotado por Ac e
temos A ∪Ac = Ω e A ∩Ac = ∅.
• Ex.: Experimento: Lançamento de um dado. Os eventos A e B são complementares.
A Ac
Complementar de A
Ω
1.2 Exercícios:
1.2.1 Suponha que iremos selecionar 1 estudante ao acaso de uma turma de estatística. Construa o espaço amostral
Ω se o interesse é:
(a) Saber o sexo do estudante.
(b) Saber a altura do estudante (em metros).
(c) Saber a idade do estudante (em anos).
(d) Saber o estado civil do estudantes.
1.2.2 No contexto do exercício 1, especifique dois eventos possíveis de cada uma das 4 situações.
1.2.3 Considere um experimento que consiste no lançamento de um dado equilibrado. Como já foi visto, o espaço
amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considere os seguintes eventos: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {1, 4, 5} e D = {4}.
(a) Obtenha A ∪B, A ∪ C e A ∪D.
(b) Obtenha B ∩A, B ∩ C e B ∩D.
(c) Identifique os dois eventos disjuntos entre estes 4 e explique por que o são.
(d) Obtenha Ac, Bc, Cc e Dc.
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Probabilidade
2 Definição
Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz as seguintes condições:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ⊂ Ω. Ou seja, qualquer probabilidade de um evento é um número entre 0 e 1.
2. P(Ω) = 1. Ou seja, todos os resultados possíveis juntos devem ter probabilidade 1.
3. P
(⋃n
j=1Aj
)
=
∑n
i=1 P(Aj), com os Aj 's disjuntos. Isto é, se n eventos não têm resultados em
comum, a probabilidade de que um ou outro ocorra é a soma das probabilidades individuais.
Em outras palavras, probabilidade uma função P(.) que atribui valores numéricos aos eventos do espaço
amostral. Uma pergunta natural seria: como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral?
Há três formas básicas:
1. Clássica: Supõe que cada um dos eventos simples tenha igual chance de ocorrer.
P(A) =
Número de maneiras como o evento A pode ocorrer
Número de diferentes eventos simples
(1)
• Ex.: Experimento: Lançamento de uma moeda. Espaço amostral: Ω = {c, c¯}. Considerando
que seja uma moeda 'honesta', ou seja, que as duas faces tenham a mesma chance de ocorrer,
temos P({c}) = P({c¯}) = 1/2.
• Ex.: Experimento: Lançamento de um dado. O espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ad-
mitindo que o dado seja equilibrado, ou seja, não haja nenhuma face com maior chance de
ocorrer, podemos considerar P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1/6.
2. Frequentista: Baseia-se nas frequências observadas de ocorrência do evento. Observando as diversas
repetições do experimento podemos anotar o número de ocorrências de cada valor da variável. Para
um número grande de realizações, a frequência relativa poderia ser usada como probabilidade.
P(A) =
Número de vezes em que A ocorreu
Número de vezes em que o experimento foi repetido
(2)
• Ex.: Experimento: Em 135 lançamentos de uma moeda 'honesta', foram obtidas 72 caras e 63
coroas, então P({c}) = 72/135 = 0, 53 e P({c¯}) = 63/135 = 0, 47.
• Ex.: Experimento: Em 160 lançamento de um dado 'equilibrado' a face '1' foi observada em
24, a '2' em 31, a '3' em 25, a '4' em 23, a '5' em 20 e a '6' em 37 lançamentos. Assim,
P({1}) = 0, 15, P({2}) = 0, 19, P({3}) = 0, 16, P({4}) = 0, 14, P({5}) = 0, 13, P({6}) = 0, 23.
3. Subjetiva: A Probabilidade de ocorrência do evento A é estimada como um número entre 0 e 1 que
representa um ponto de vista pessoal sobre a possibilidade de ocorrer determinado evento.
• Ex.: Um empresário abre um restaurante em uma cidade turística, acreditando que a probabi-
lidade subjetiva de sucesso é 0,8 (otimista!)
• Ex.: Se você for perguntado sobre qual a probabilidade de, diante da gravidez de uma amiga,
o bebê ser do sexo masculino, qual valor responderia? (sem assumir que os sexos masculino e
feminino são equiprováveis, e sem ter uma amostra para estimar essa probabilidade.)
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2.1 Exercícios: Probabilidade
2.1 Exercícios:
2.1.1 Considere o experimento de lançar duas moedas honestas.
(a) Escreva o espaço amostral e as respectivas probabilidades.
(b) Qual é a probabilidade de ocorrer uma cara?
2.1.2 Joga-se um dado equilibrado. Qual é a probabilidade de ocorrer um número menor que 3?
2.1.3 O gestor de um supermercado quer saber a probabilidade de um cliente pagar com cartão de crédito e também
a probabilidade de pagar com cartão de débito. Dos 1728 clientes que passaram pelo caixa em uma semana, 864
optaram pelo cartão de crédito como forma de pagamento e 174 pagaram pelo débito. Calcule as probabilidades
pedidas.
2.1.4 O diretor de uma escola perguntou aos 575 alunos se eles eram destros ou canhotos. Encontrou 46 canhotos.
Estime a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente nessa escola ser destro.
3 Regra da adição de probabilidades
Vimos anteriormente três formas de atribuir probabilidades a eventos simples. Porém, é mais comum em
situações reais termos eventos compostos, ou seja, que envolvem mais de um resultado possível do espaço
amostral. Estes tipos de eventos são gerados pela aplicação de operações básicas de conjuntos a eventos
simples. Uniões, intersecções e complementares de eventos são comumente de interesse. A probabilidade de
um evento composto pode frequentemente ser determinada a partir de probabilidades dos eventos simples
que o compreendem. Vamos pensar em como atribuir probabilidade para um evento que é a união de dois
eventos, ou seja, a probabilidade de ocorrência de A ou B:
União
A B
Estaremos então interessados em calcular P(A ∪B). Note que se simplesmente somarmos P(A) com P(B),
estaremos somando a região de intersecção entre os dois eventos duas vezes (a região mais escura da
representação da união acima). Assim, precisamos subtrair uma vez P(A∩B). Assim, sejam A e B eventos
de Ω. Então:
P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B) (3)
Observe que, se A e B foram disjuntos, a expressão acima se reduz a:
P(A ∪B) = P(A) + P(B) (4)
porque neste caso P(A ∩B) = ∅. Da definição de probabilidade e a regra da adição implicam os seguintes
resultados:
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3.1 Exercícios: Probabilidade
1. Se A e Ac são eventos complementares então P(Ac) = 1− P(A);
2. P(∅) = 0;
3. Sejam A e B eventos de Ω. Então P(A) = P(A ∩B) + P(A ∩Bc).
Exemplo 3.1. O espaço amostral de um experimento aleatório é: Ω = {a, b, c, d, e}, com probabilidades 0,1;
0,1; 0,2; 0,4 e 0,2, respectivamente. Sejam os eventos A = {a, b, c} e B = {c, d, e}. Determine as seguintes
probabilidades: a. P(A); b. P(B); c. P(Ac); d. P(A ∩B); e. P(A ∪B).
Solução:
a. Para encontramos a probabilidade do evento A, precisamos somar as probabilidades dos eventos simples que o compõem.
Assim, P(A) = P({a}) + P({b}) + P({c}) = 0, 1 + 0, 1 + 0, 2 = 0, 4.
b. Para encontramos a probabilidade do evento B faremos o mesmo processo da letra (a). Assim, P(B) = P({c}) + P({d}) +
P({e}) = 0, 2 + 0, 4 + 0, 2 = 0, 8.
c. Para encontramos a probabilidade do evento Ac: P(Ac) = 1− P(A) = 1− 0, 4 = 0, 6.
d. Para encontramos a probabilidade do evento A ∩ B devemos somar as probabilidades dos eventos simples comuns aos
eventos A e B. Assim, P(A ∩B) = P({c}) = 0, 2.
e. Para encontramos a probabilidade do evento A∪B devemos usar a fórmula da adição. Assim, P(A∪B) = P(A) + P(B)−
P(A ∩B) = 0, 4 + 0, 8− 0, 2 = 1.
Exemplo 3.2. Um estudo sobre hábitos de fumantes compreendeu 200 indivíduos casados (54 fumavam), 100
divorciados (38 fumavam) e 50 solteiros (11 fumavam). Escolhido aleatoriamente 1 indivíduo, determine a
probabilidade de obter alguém divorciado ou fumante.
Solução:
Precisamos primeiro definir os eventos: C = ser casado, P(C) = 200/350 = 0, 571; D = ser divorciado, P(D) = 100/350 =
0, 286; S = ser solteiro, P(S) = 50/350 = 0,143 e F = ser fumante, P(F ) = (54 + 38 + 11)/350 = 0, 294. Observemos ainda
que P(D ∩ F ) = 38/350 = 0, 109. Precisamos calcular P(D ∪ F ).
P(D ∪ F ) = P(D) + P(F )− P(D ∩ F ) = 0, 286 + 0, 294− 0, 109 = 0, 471.
3.1 Exercícios:
3.1.1 Se P(A) = 0, 3, P(B) = 0, 2 e P(A ∩B) = 0, 1, determine as seguintes probabilidades:
(a) P(Ac).
(b) P(A ∪B).
(c) P(Ac ∩B).
(d) P(A ∩Bc).
(e) P(Ac ∪B).
3.1.2 Uma universidade tem 10.000 alunos dos quais 4.000 são considerados esportistas. Sabe-se ainda que 500
alunos são do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da biologia diurno e 200 são
esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido, ao acaso, e pergunta-se a probabilidade de:
(a) Ser esportista.
(b) Ser esportista e aluno da biologia noturno.
(c) Não ser da biologia.
(d) Ser esportista ou aluno da biologia.
(e) Não ser esportista nem aluno da biologia.
3.1.3 Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral tais que P(A) = 0, 2, P(B) = p, P(A ∪ B) = 0, 5 e
P(A ∩B) = 0, 1. Determine o valor de p.
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Probabilidade
4 Probabilidade condicional
Algumas vezes o experimento aleatório com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas. A informação
do que ocorreu em uma determinada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrências nas etapas
sucessivas. O que acontece é que 'ganhamos' informação e podemos recalcular as probabilidades de interesse.
A essas probabilidades recalculadas denominamos probabilidade condicional, definida da seguinte forma:
4.1 Definição:
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A|B) e
é dada por:
P(A|B) = P(A ∩B)
P(B)
, P(B) > 0 (5)
Se P(B) = 0, então P(A|B) é arbitrariamente definida.
Interpretação: A probabilidade P(A|B) revela a incerteza que se tem sobre o evento A supondo que
ocorreu o evento B. Podemos interpretá-la como a chance relativa de A restrita ao fato que B ocorreu.
Exemplo 4.1. Dois dados equilibrados são lançados. Calcule a probabilidade de:
a. Obter o par (3,4), sabendo-se que ocorreu face ímpar no primeiro dado;
b. Ocorrer face ímpar no segundo dado, sabendo-se que ocorreu face par no primeiro dado.
Solução:
Para o experimento lançamento de dois dados equilibrados, o espaço amostral será:
Ω = {(1, 1), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}
sendo que cada resultado possível tem probabilidade 1/36 de ocorrer.
a. Definamos dois eventos: A = {(3, 4)} e B = obter face ímpar no primeiro dado = {(1, 1), ..., (1, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (5, 1), ..., (5, 6)}.
Sabemos que P(A) = 1/36, P(B) = 18/36 = 1/2 e P(A ∩B) = 1/36. Então:
P(A|B) = P(A ∩B)P(B) =
1/36
1/2
=
1
18
= 0, 056.
b. Definamos dois eventos: C = obter face ímpar no segundo dado = {(1, 1), (2, 1), ..., (6, 1), (1, 3), (2, 3), ..., (6, 3), (1, 5), (2, 5), ..., (6, 5)}
e D = obter face par no primeiro dado = {(2, 1), ..., (2, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (6, 1), ..., (6, 6)}.
Sabemos que P(C) = 18/36 = 1/2, P(D) = 18/36 = 1/2 e P(C ∩D) = 9/36 = 1/4. Então:
P(C|D) = P(C ∩D)P(D) =
1/4
1/2
=
1
2
= 0, 5.
4.2 Regra do produto de probabilidades
A definição de probabilidade condicional dada em (5) pode ser reescrita de modo a fornecer uma expressão
para a probabilidade de intersecção de eventos. Sejam A e B eventos de Ω, temos:
P(A ∩B) = P(A|B)P(B), com P(B) > 0 (6)
ou similarmente,
P(A ∩B) = P(B|A)P(A), com P(A) > 0 (7)
Exemplo 4.2. Dois armários guardam bolas de voleibol e basquete. O armário 1 tem 3 bolas de volei e 1 de
basquete, enquanto o armário 2 tem 3 bolas de volei e 2 de basquete. Escolhendo-se, ao acaso, um armário
e, em seguida, uma de suas bolas, calcule a probabilidade dela ser:
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4.3 Exercícios: Probabilidade
a. De volei, sabendo-se que o armário 1 foi escolhido;
b. De basquete, sabendo-se que o armário 2 foi escolhido;
c. De basquete.
Solução:
Definindo os seguintes eventos: A1 = Armário 1; A2 = Armário 2; V = bola de volei e B = bola de basquete, temos:
a. P(V |A1) = 3/4 = 0, 75, porque sabemos que no armário 1, 3 das 4 bolas são de volei.
b. P(B|A2) = 2/5 = 0, 4, porque sabemos que no armário 2, 2 das 5 bolas são de basquete.
c. Usaremos que P(B) = P(B∩A1)+P(B∩A2) = P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2) = 1/4×1/2+2/5×1/2 = 1/8+1/5 = 0, 325.
Exemplo 4.3. Uma escola de ensino médio do interior de São Paulo tem 40% de estudantes do sexo
masculino. Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que, entre as meninas, essa porcentagem é de
50%. Qual a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso seja:
a. Do sexo masculino e nunca ter visto o mar;
b. Do sexo feminino e nunca ter visto o mar.
Solução:
Definindo os seguintes eventos: M = sexo masculino; F = sexo feminino e N = nunca ter visto o mar, temos:
a. P(M ∩N) = P(N |M)P(M) = 0, 2× 0, 4 = 0, 08.
b. P(F ∩N) = P(N |F )P(F ) = 0, 5× 0, 6 = 0, 30.
4.3 Exercícios:
4.3.1 Numa cidade do interior de São Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes têm algum tipo de alergia.
Sabe-se que 50% dos alérgicos praticam esporte, enquanto essa porcentagem entre os não alérgicos é de 40%. Para
um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de:
(a) Não praticar esporte.
(b) Ser alérgico dado que não pratica esportes.
4.3.2 A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade, com informações sobre a área
de estudo e classe sócio-econômica:
Área / Classe Alta Média Baixa
Exatas 120 156 68
Humanas 72 85 112
Biológicas 169 145 73
Se um aluno ingressante é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de:
(a) Estudar na área de exatas.
(b) Estudar na área de humanas, sendo de classe média.
(c) Ser da classe baixa, dado que estuda na área de biológicas.
5 Independência de eventos
Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade
de ocorrência de A, ou seja, P(A|B) = P(A) e consequentemente tem-se:
10
5.1 Exercícios: Probabilidade
P(A ∩B) = P(A)P(B) (8)
Exemplo 5.1. Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas são apresentadas na
tabela a seguir, contendo o número de acidentes, incluindo vítimas fatais e as condições do motorista
envolvido, sóbrio ou alcoolizado. Você diria que o fato de o motorista estar ou não alcoolizado interfere na
ocorrência de vítimas fatais?
Vítimas fatais
Motorista Não Sim Total
Sóbrio 1228 275 1503
Alcoolizado 2393 762 3155
Total 3621 1037 4658
Solução:
Definindo os seguintes eventos: S = motorista sóbrio; A = motorista alcoolizado e F = vítimas fatais, o que desejamos saber
é se o evento vítimas fatais é independente da situação do motorista (sóbrio ou alcoolizado). Para verificar isso, precisamos
verificar se P(F |A) = P(F ) e se P(F |S) = P(F ). Assim:
P(F |A) = 762/3155 = 0, 242 e P(F ) = 1037/4658 = 0, 223. Assim, P(F |A) 6= P(F ).
P(F |S) = 275/1503 = 0, 183 e P(F ) = 1037/4658 = 0, 223. Assim, P(F |S) 6= P(F ). Então, o fato de o motorista estar ou não
alcoolizado interfere na ocorrência de vítimas fatais.
5.1 Exercícios:
5.1.1 Se P(A|B) = 0, 4, P(B) = 0, 8 e P(A) = 0, 5, os eventos A e B são independentes? Por quê?
5.1.2 Se P(A|B) = 0, 3, P(B) = 0, 8 e P(A) = 0, 3, os eventos B e Ac são independentes? Por quê?
5.1.3 Se P(A) = 0, 2, P(B) = 0, 2, com A e B mutuamente excludentes, eles são independentes? Por quê?
6 Teorema da Probabilidade Total
6.1 Partição do espaço amostral
Os eventos C1, C2,...,Ck formam uma partição do espaço amostral Ω se eles não têm intersecção entre si e
se sua união é igual ao espaço amostral, isto é:
1. Ci ∩ Cj = ∅, ∀i 6= j
2.
⋃k
i=1 Ci = Ω
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Ω
Partição do espaço amostral (k=6)
6.2 Definição: Teorema da Probabilidade Total
Suponha que os eventosC1, C2,...,Ck formam uma partição de Ω e que suas probabilidades P(C1), P(C2),
..., P(Ck) são conhecidas. Suponha também que para um evento A, as probabilidades P(A|C1), P(A|C2),
..., P(A|Ck) sejam conhecidas. Assim:
P(A) = P(A ∩ C1) + P(A ∩ C2) + ... + P(A ∩ Ck) = P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Ck)P(Ck) (9)
11
6.3 Exercícios: Probabilidade
Exemplo 6.1. Suponha P(A|B) = 0, 2, P(A|Bc) = 0, 3 e P(B) = 0, 8. Qual é o valor de P(A)?
Solução:
Sabemos que B e Bc formam uma partição de Ω, então podemos usar o teorema da probabilidade total para calcular P(A):
P(A) = P(A ∩B) + P(A ∩Bc) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc) = 0, 2× 0, 8 + 0, 3× 0, 2 = 0, 16 + 0, 06 = 0, 22.
6.3 Exercícios:
6.3.1 Suponha que 2% dos rolos de tecido de algodão e 3% dos rolos de tecido de náilon contenham falhas. Dos
rolos usados por um fabricante, 70% são de algodão e 30% são de náilon. Qual será a probabilidade de um rolo
selecionado aleatoriamente, usado pelo fabricante, conter falhas?
7 Teorema de Bayes
Suponha que os eventos C1, C2, ..., Ck formam uma partição de Ω e que suas probabilidades P (C1),
P (C2),...,P (Ck) são conhecidas. Suponha também que para um evento A, as probabilidades P (A|C1),
P (A|C2), ..., P (A|Ck) sejam conhecidas. Assim, para qualquer j,
P(Cj |A) = P(A|Cj)P(Cj)∑k
i=1 P(A|Ci)P(Ci)
. (10)
Este é um resultado útil por permitir resolver P(Cj |A) em termos de P(A|Cj).
Exemplo 7.1. O ELISA é o tipo mais comum de teste de triagem para detecção do HIV. Um resultado
positivo em ELISA indica que o HIV está presente. Suponha que a probabilidade de uma pessoa estar
infectada com o HIV, para uma certa população, seja 0,015. Se o HIV estiver efetivamente presente, a
probabilidade de que o teste ELISA apresente um resultado positivo é 0,995. Se o HIV não estiver efeti-
vamente presente, a probabilidade de um resultado positivo a partir do ELISA é 0,01. Se o ELISA tiver
apresentado um resultado positivo, utilize o teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que o HIV
esteja efetivamente presente.
Solução:
Vamos definir os seguintes eventos: P = resultado positivo no teste ELISA; N = resultado negativo no teste ELISA e H =
vírus HIV efetivamente presente. Sabemos que P(H) = 0, 015, P(P |H) = 0, 995 e P(P |Hc) = 0, 01 e precisamos encontrar
P(H|P ):
P(H|P ) = P(H ∩ P )P(P ) =
P(P |H)P(H)
P(P ∩H) + P(P ∩Hc)
=
P(P |H)P(H)
P(P |H)P(H) + P(P |Hc)P(Hc) =
0, 995× 0, 015
0, 995× 0, 015 + 0, 01× 0, 985 =
0, 0149
0, 0248
= 0, 601
7.1 Exercícios:
7.1.1 Um médico desconfia que um paciente tem um tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos
similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame de ultrassom o detectará com probabilidade 0,9.
Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade 0,1. Se o
exame detectou um tumor, qual é a probabilidade de o paciente tê-lo de fato?
7.1.2 Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40%
são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto
que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se:
a. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal?
b. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteira?
12
Probabilidade
7.1.3 Numa certa região, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é 0,1. Um meteorologista da
TV acerta suas previsões em 80% dos dias em que chove e em 90% dos dias em que não chove.
a. Qual é a probabilidade do meteorologista acertar sua previsão?
b. Se houve acerto na previsão feita, qual a probabilidade de ter sido um dia de chuva?
8 Variáveis aleatórias discretas
Uma variável aleatória é uma função que atribui um número real a cada resultado do espaço amostral de
um experimento aleatório. É geralmente representada por uma letra maiúscula, como X. Depois que um
experimento é conduzido, o valor medido da variável aleatória é denotado por uma letra minúscula, como
x = 25 anos.
Como já dissemos antes, uma variável aleatória discreta é uma variável que assume valores em um conjunto
finito, ou infinito enumerável de possibilidades. Muitas vezes são resultantes de contagens e assumem
valores inteiros.
8.1 Função discreta de probabilidade
A função que atribui a cada valor da variável aleatória a sua probabilidade é denominada função discreta
de probabilidade, ou simplesmente, função de probabilidade. A notação a ser utilizada é:
P(X = xi) = p(xi) = pi, i = 1, 2, ... (11)
ou ainda,
X x1 x2 x3 ...
pi p1 p2 p3 ...
Sendo uma função de probabilidade, satisfaz 0 ≤ pi ≤ 1 e
∑
i pi = 1.
Exemplo 8.1. Experimento: Lançamento de um dado equilibrado. X = face obtida no lançamento do dado.
X 1 2 3 4 5 6
pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
ou, equivalentemente, P(X = 1) = P(X = 2) = ... = P(X = 6) = 1/6.
Exemplo 8.2. Experimento: Lançamento de dois dados equilibrados. X = soma dos valores obtidos nas 2
faces.
dado 1
dado 2 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Acima estão os 36 resultados possíveis desta variável aleatória. Assim, as probabilidades são obtidas contando-se o número
de vezes que cada resultado apareceu e dividindo-se pelos 36 resultados possíveis:
13
8.2 Função de distribuição de probabilidade Probabilidade
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Soma dos valores das duas faces dos dados
Pr
ob
ab
ilid
ad
es
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
0.
20
8.2 Função de distribuição de probabilidade
A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é
definida, para qualquer número real x, pela seguinte expressão:
F (x) = P(X ≤ x) =
∑
xi≤x
p(xi) (12)
Exemplo 8.3. Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de
uma vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina e, após um
mês, passavam por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose
de vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. Os resultados completos
estão na tabela a seguir:
Doses 1 2 3 4 5
Freq. 245 288 256 145 66
Calcule as probabilidades de:
a. Uma criança desta população sorteada ao acaso tenha recebido 2 doses.
b. Uma criança desta população sorteada ao acaso tenha recebido até 2 doses.
Solução:
a. Utilizando a abordagem frequentista para atribuir probabilidades, a probabilidade de uma criança ter recebido exatamente
duas doses é 288/1000=0,288. A função de probabilidade da variável aleatória X = número de doses recebidas é:
b. Para isso precisamos obter a função de distribuição no ponto 2, ou seja, calcular a probabilidade acumulada de ocorrência
dos valores menores ou iguais a 2. Assim:
F (2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0, 245 + 0, 288 = 0, 533.
Observe que, como a variável só assume valores inteiros, esse valor fica inalterado no intervalo [2,3), ou seja, F(2,1)=F(2,45)=F(2,99).
Por essa razão, escrevemos F (x) = P(X ≤ x) = 0, 533, para 2 ≤ x < 3. Assim, a função de distribuição é:
F (x) =

0 se x < 1;
0, 245 se 1 ≤ x < 2;
0, 533 se 2 ≤ x < 3;
0, 789 se 3 ≤ x < 4;
0, 934 se 4 ≤ x < 5;
1 se x ≥ 5.

14
8.3 Média e variância de uma variável aleatória discreta Probabilidade
Doses 1 2 3 4 5
Freq. 0,245 0,288 0,256 0,145 0,066
0 1 2 3 4 5 6
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Número de doses de vacina
F(
x)
l
l
l
l
l
8.3 Média e variância deuma variável aleatória discreta
Duas quantidades são frequentemente usadas para resumir uma distribuição de probabilidade de uma vari-
ável aleatória X. A média (ou valor esperado) é uma medida do centro da distribuição de probabilidade. A
variância é uma medida da dispersão ou variabilidade da distribuição. Veremos agora como calcular esses
dois valores de uma variável aleatória discreta.
A média ou valor esperado de uma variável aleatória discreta X, denotada por µ ou E(X), é:
µ = E(X) =
n∑
i=1
xip(xi) (13)
E a variância de uma variável aleatória discreta X, denotada por σ2 ou V (x) é:
σ2 = V (x) = E(X − µ)2 =
n∑
i=1
(xi − µ)2p(xi) (14)
Ou alternativamente:
σ2 = V (x) = E(X2) + (E(X))2 , onde E(X2) =
n∑
i=1
x2i p(xi) (15)
Cálculo da média e da variância no Exemplo 8.2:
E(X) =
11∑
i=1
xip(xi) = 2× 1/36 + 3× 2/36 + 4× 3/36 + 5× 4/36 + 6× 5/36 + 7× 6/36 + 8× 5/36
+9× 4/36 + 10× 3/36 + 11× 2/36 + 12× 1/36 = 7
E(X2) =
11∑
i=1
x2i p(xi) = 2
2 × 1/36 + 32 × 2/36 + 42 × 3/36 + 52 × 4/36 + 62 × 5/36 + 72 × 6/36 + 82 × 5/36
+92 × 4/36 + 102 × 3/36 + 112 × 2/36 + 122 × 1/36 = 54, 833
V (X) = E(X2)− (E(X))2 = 51, 167− 72 = 54, 833− 49 = 5, 833
15
8.4 Exercícios: Probabilidade
Cálculo da média e da variância no Exemplo 8.3:
E(X) =
5∑
i=1
xip(xi) = 1× 0, 245 + 2× 0, 288 + 3× 0, 256 + 4× 0, 145 + 5× 0, 066 = 2, 499
E(X2) =
5∑
i=1
x2i p(xi) = 1
2 × 0, 245 + 22 × 0, 288 + 32 × 0, 256 + 42 × 0, 145 + 52 × 0, 066 = 7, 671
V (X) = E(X2)− (E(X))2 = 7, 671− 2, 4992 = 1, 426
8.4 Exercícios:
8.4.1 Seja P(X = x) = 2x+1
25
, x = 0, 1, 2, 3, 4. Calcule:
a. P(X = 4); b. P(X ≤ 1); c. P(2 ≤ X < 4); d. P(X > −1); e. Calcule a média e a variância de X.
8.4.2 Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte função de distribuição:
F (x) =

0 se x < −10;
0, 25 se − 10 ≤ x < 30;
0, 75 se 30 ≤ x < 50;
1 se x ≥ 50.

Determine as seguintes probabilidades:
a. P(X ≤ 50); b. P(X ≤ 40); c. P(40 ≤ X < 60); d. P(X < 0); e. P(0 ≤ X < 10); f. P(−10 < X < 10).
8.4.3 Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte função de distribuição:
F (x) =

0 se x < 10;
0, 2 se 10 ≤ x < 12;
0, 5 se 12 ≤ x < 13;
0, 9 se 13 ≤ x < 25;
1 se x ≥ 25.

Determine:
a. A função de probabilidade de X; b. P(X ≤ 12); c. P(X < 12); d. P(12 ≤ X ≤ 20); e. P(X > 18);
f. Calcule a média e a variância de X.
8.4.4 As árvores são sujeitas a diferentes níveis de atmosfera de dióxido de carbono, sendo que 6% das árvores em
uma condição de crescimento mínimo a 350 partes por milhão (ppm) de CO2, 10% a 450 ppm (crescimento lento) de
CO2, 47% a 550 ppm (crescimento moderado) de CO2 e 37% a 650 ppm (crescimento rápido) de CO2. Determine
a média e o desvio-padrão do nível da atmosfera de dióxido de carbono (em ppm) para essas árvores.
9 Variáveis aleatórias contínuas
Uma variável aleatória contínua assume valores em um intervalo dos números reais e é geralmente prove-
niente de mensuração. Precisamos estabelecer uma forma para atribuir probabilidades às diversas realiza-
ções deste tipo de variável, que pode assumir um número infinito de valores diferentes.
9.1 Função de densidade de probabilidade
Uma função f(x) é uma função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X se
satisfaz as seguintes condições:
16
9.2 Função de distribuição acumulada Probabilidade
1. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞,∞);
2. A área definida por f(x) é igual a 1, ou seja,
∫∞
−∞ f(x)dx = 1;
3. P(a ≤ X ≤ b) = ∫ b
a
f(x)dx = área sob a curva de f(x) de a até b.
Obs.: i. Como consequência da forma com a qual atribuímos probabilidades no caso contínuo, teremos
área zero sob qualquer valor individual, ou seja, P(X = k) = 0 para qualquer k. Isso significa que, em
se tratando de variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valor isolado é sempre
zero e, consequentemente, as probabilidades calculadas sobre os intervalos [a, b], [a, b), (a, b] e (a, b) são as
mesmas, para quaisquer valores de a e b.
ii. Um histograma que tem nas ordenadas a densidade de frequência é uma aproximação da função de
densidade. A área de cada barra é igual a frequência relativa dos valores do respectivo intervalo. A
frequência relativa é uma estimativa da probabilidade de um valor medido cair naquele intervalo.
Exemplo 9.1. Suponha f(x) = x/8, 3 < x < 5. Determine as seguintes probabilidades:
a. P(X < 4) b. P(X > 3, 5) c. P(4 < X < 5) d. P(X < 4, 5) e. P(X < 3, 5) ou P(X > 4, 5)
Solução:
a. P(X < 4) =
∫ 4
3
x
8
dx = 1
8
[
x2
2
]4
3
= 1
8
[
16
2
− 9
2
]
= 7
16
= 0, 4375
b. P(X > 3, 5) =
∫ 5
3,5
x
8
dx = 1
8
[
x2
2
]5
3,5
= 1
8
[
25
2
− 12,25
2
]
= 12,75
16
= 0, 7969
c. P(4 < X > 5) =
∫ 5
4
x
8
dx = 1
8
[
x2
2
]5
4
= 1
8
[
25
2
− 16
2
]
= 9
16
= 0, 5625
d. P(X < 4, 5) =
∫ 4,5
3
x
8
dx = 1
8
[
x2
2
]4,5
3
= 1
8
[
20,25
2
− 9
2
]
= 11,25
16
= 0, 7031
e. P(X < 3, 5) ou P(X > 4, 5) como os dois eventos são disjuntos, equivale a somar as duas probabilidades.
Assim, P(X < 3, 5 ∪X > 4, 5) = (1− P(X > 3, 5)) + (1− P(X < 4, 5)) = (1− 0, 7969) + (1− 0, 7031)
= 0, 2031 + 0, 2969 = 0, 5
9.2 Função de distribuição acumulada
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua X é dada por:
F (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(u)du, para −∞ < x <∞ (16)
Existe uma relação entre f(x) e F (x): f(x) = ddxF (x).
Exemplo 9.2. Suponha que a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X seja:
F (x) =

0 se x < 0;
0, 2x se 0 ≤ x < 5;
1 se x ≥ 5;

Determine as seguintes probabilidades: a. P(X < 2, 8) b. P(X > 1, 5) c. P(X < −2) d. P(X > 6) e.
P(1 < X < 2)
Solução:
a. P(X < 2, 8) = F (2, 8) = 0, 2× 2, 8 = 0, 56
b. P(X > 1, 5) = 1− F (1, 5) = 1− 0, 2× 1, 5 = 1− 0, 3 = 0, 7
17
9.3 Média e variância de uma variável aleatória contínua Probabilidade
c. P(X < −2) = F (−2) = 0
d. P(X > 6) = 1− F (6) = 1− 1 = 0
e. P(1 < X < 2) = P(X < 2)− P(X < 1) = F (2)− F (1) = 0, 2× 2− 0, 2× 1 = 0, 4− 0, 2 = 0, 2
9.3 Média e variância de uma variável aleatória contínua
A média ou valor esperado de uma variável aleatória contínua X, com função de densidade dada por
f(x), é dada pela expressão:
E(X) = µ =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx (17)
E a variância de uma variável aleatória contínua X com função de densidade f(x) é dada por:
σ2 = V (x) =
∫ ∞
−∞
(x− µ)2f(x)dx (18)
podemos usar a expressão alternativa para variância:
σ2 = E(X2)− µ2 (19)
onde
E(X2) =
∫ ∞
−∞
x2f(x)dx (20)
Cálculo da média e variância no exemplo 9.1. f(x) = x/8, 3 < x < 5
E(X) =
∫ 5
3
xf(x)dx =
∫ 5
3
x
x
8
dx =
1
8
[
x3
3
]5
3
=
1
8
[
125
3
− 27
3
]
=
98
24
= 4, 083
E(X2) =
∫ 5
3
x2f(x)dx =
∫ 5
3
x2
x
8
dx =
1
8
[
x4
4
]5
3
=
1
8
[
625
4
− 81
4
]
=
544
32
= 17
V (X) = E(X2)− (E(X))2 = 17− 4, 0832 = 0, 329
9.4 Exercícios:
9.4.1 Seja f(x) = 1, 5x2, −1 < x < 1. Calcule:
a. P(X > 0); b. P(X > 0, 5); c. P(−0, 5 < X < 0, 5); d. P(X < −2); e. Calcule a média e a variância de
X; f. Determine x tal que P(X > x) = 0, 05 .
9.4.2 Suponha que a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X seja:
F (x) =

0 se x < −2;
0, 25x + 0, 5 se − 2 ≤ x < 2;
1 se x ≥ 2;

Determine:
a. A função de densidade de X; b. P(X < 1, 8); c. P(X > −1, 5); d. P(X < −2); e. P(−1 < X < 1); f.
A média e a variância de X.
9.4.3 A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade do interior é
representada por uma variável aleatória Y com função de densidade dada por:
f(x) =
{
8
9
y − 4
9
se 0, 5 ≤ y < 2;0 caso contrário.
}
18
Probabilidade
Determine:
a. P(Y < 0, 8); b. P(Y > 1, 5|Y ≥ 1); c. O valor esperado e a variância de Y ; d. A mediana de Y .
10 A distribuição Normal
Dizemos que uma variável aleatória contínua X tem distribuição Normal com parâmetros µ e σ2 se a sua
função de densidade é dada por:
f(x) =
1
σ
√
2pi
e
−(x−µ)2
2σ2 , −∞ < x <∞, σ2 > 0, µ ∈ R (21)
e usamos a notação X ∼ N(µ, σ2) para indicar que X tem distribuição Normal com parâmetros µ e
σ2. Esses parâmetros representam a média e a variância da distribuição, respectivamente. A densidade é
representada na figura abaixo:
µµ x
f(x)
Figura 1: Densidade Normal
Propriedades:
i. f(x) é simétrica em relação à µ;
ii. f(x)→ 0 quando x→ ±∞;
iii. f(x) alcança o seu máximo em x = µ;
iv. Os parâmetros µ e σ2 representam, respectivamente, a média e a variância da distribuição.
Para calcular probabilidades para uma variável contínua com distribuição normal, teríamos que fazer a
seguinte conta:
P(a < X < b) =
∫ b
a
1
σ
√
2pi
e
−(x−µ)2
2σ2 dx
a qual não é uma integral fácil de resolver. Por isso as probabilidades para o modelo Normal são calculadas
com o auxílio de tabelas. Para se evitar a utilização de várias tabelas (uma para cada par de valores
(µ, σ2)), utiliza-se uma transformação de forma que a variável tenha sempre os parâmetros (0,1), isto é,
19
10.1 A tabela Normal Padrão Probabilidade
média 0 e variância 1.
Considere X ∼ N(µ, σ2) e defina uma nova variável:
Z =
X − µ
σ
(22)
e assim Z ∼ N(0, 1) e será denominada Normal Padrão. Para determinar a probabilidade de X ∈ [a, b],
procedemos da seguinte forma:
P(a < X < b) = P (a− µ < X − µ < b− µ)
= P
(
a− µ
σ
<
X − µ
σ
<
b− µ
σ
)
= P
(
a− µ
σ
< Z <
b− µ
σ
)
Para quaisquer valores de µ e σ, utilizamos a Normal Padrão para obter probabilidades.
10.1 A tabela Normal Padrão
Como dissemos, as probabilidades são obtidas a partir de valores tabelados da Normal Padrão. A tabela
que utilizaremos nos dará a probabilidade P(Z < z), como mostra a figura abaixo:
x
f(x)
x0 z
Devemos considerar algumas informações importantes para obter as probabilidades, como o fato de a área
total sob a curva ser igual a 1 e P(Z > 0) = P(Z < 0) = 0, 5, consequência direta da simetria desta
densidade. Outra consequência é P(Z < −1, 5) = P(Z > 1, 5), porque a simetria é em torno do zero.
Portanto, se quisermos encontrar P(Z < −1, 5) = 1− P(Z < 1, 5).
A tabela é organizada da seguinte forma: somando os cabeçalhos de linha e coluna, obtemos os valores de Z
que deixam as áreas correspondentes às células no corpo da tabela à sua esquerda no gráfico da densidade.
Por exemplo, abaixo do valor 1,0 temos 0,8413 de área (probabilidade), o qual encontramos olhando na
coluna 0 e na linha 1,0.
Exemplo 10.1. Obtenha as probabilidades:
a. Se X ∼ N(2, 9), obtenha P(2 < X < 5) e P(X > 4).
20
10.1 A tabela Normal Padrão Probabilidade
b. Se X ∼ N(6, 1), obtenha P(5 < X < 7) e P(X < 3).
c. Se Z ∼ N(0, 1) e P(0 < z < a) = 0, 3212, determine a.
Solução:
a. P(2 < X < 5) = P
(
2−2√
9
< X−2√
9
< 5−2√
9
)
= P(0 < Z < 1) = 0, 8413− 0, 5 = 0, 3413
P(X > 4) = P
(
X−2√
9
> 4−2√
9
)
= P(Z > 2/3) = P(Z > 0, 67) = 1− 0, 7486 = 0, 2514
b. P(5 < X < 7) = P
(
5−6
1
< X−6
1
< 7−6
1
)
= P (−1 < Z < 1) = 2× P(0 < Z < 1) = 2× (0, 8413− 0, 5) = 0, 6826
P(X < 3) = P
(
X−6
1
< 3−6
1
)
= P(Z < −3) = 1− P(Z < 3) = 1− 0, 9987 = 0, 0013
c. P(0 < z < a) = 0, 3212. Para encontrar o valor a, devemos somar 0,5 e procurar no corpo da tabela o valor que deixa
0,8212 de área abaixo dele, que é o 0,92. Então, a = 0,92.
0 1 x
f(x)
Figura 2: item (a) P(2 < X < 5)
0 0.67 x
f(x)
Figura 3: item (a) P(X > 4)
−1 0 1 x
f(x)
Figura 4: item (b) P(5 < X < 7)
−3 0 x
f(x)
Figura 5: item (b) P(X < 3)
Exemplo 10.2. Seja X ∼ N(10/3, 2/3), determine:
a. O valor de b tal que P(X < b) = 0, 025.
b. O valor de c tal que P(X > c) = 0, 050.
c. o valor de d tal que P(X > d) = 0, 350.
d. o valor de e tal que P(3 < X < e) = 0, 500.
Solução:
a. P(X < b) = 0, 025→ P
(
X−10/3√
1/3
<
b−10/3√
1/3
)
= P
(
Z <
b−10/3√
1/3
)
= 0, 025
21
10.2 Teorema Central do Limite Probabilidade
Deve-se então procurar na tabela Normal padrão o valor que deixe 0,025 de área abaixo dele. Usando a simetria, podemos
buscar no corpo da tabela o valor que deixa 0,975 de área abaixo dele, que é 1,96, e usar o simétrico negativo do mesmo, que
é -1,96. Assim:
b−10/3√
1/3
= −1, 96→ b = −1, 96×√1/3 + 10/3 = 2, 20.
b. P(X > c) = 0, 05→ P
(
X−10/3√
1/3
>
c−10/3√
1/3
)
= P
(
Z >
c−10/3√
1/3
)
= 0, 05
Deve-se então procurar na tabela Normal padrão o valor que deixe 0,95 de área abaixo dele. Esse valor é o 1,64. Assim:
c−10/3√
1/3
= 1, 64→ c = 1, 64×√1/3 + 10/3 = 4, 28.
c. P(X > d) = 0, 35→ P
(
X−10/3√
1/3
>
d−10/3√
1/3
)
= P
(
Z >
c−10/3√
1/3
)
= 0, 35
Deve-se então procurar na tabela Normal padrão o valor que deixe 0,65 de área abaixo dele. Esse valor é o 0,39. Assim:
d−10/3√
1/3
= 0, 39→ c = 0, 39×√1/3 + 10/3 = 3, 56.
c. P(3 < X < e) = 0, 50→ P
(
3−10/3√
1/3
<
X−10/3√
1/3
<
e−10/3√
1/3
)
= P
(
−1 < Z < e−10/3√
1/3
)
= 0, 50
Através da tabela Normal padrão, temos que P(X < −1) = 0, 1587. Somamos 0, 5 a essa probabilidade e procuraremos o valor
que deixa 0, 6587 de área abaixo dele, que é o 0, 41. Assim
e−10/3√
1/3
= 0, 41→ c = 0, 41×√1/3 + 10/3 = 3, 57.
10.2 Teorema Central do Limite
O Teorema Central do Limite diz que, para uma amostra grande, a distribuição da média amostral, devi-
damente padronizada, se comporta segundo um modelo normal com média 0 e variância 1, ou seja:
X¯ − µ
σ/
√
n
n→∞→ N(0, 1) (23)
Em resumo:
Se temos... uma variável aleatória x com distribuição (normal ou não) com média µ e desvio-padrão σ e
amostras aleatórias de tamanho n extraídas dessa população;
Podemos concluir que... à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias
amostrais x¯ tende para uma distribuição normal, com média µ e desvio-padrão σ/
√
n;
E podemos usar isso quando... tivermos amostras de tamanho n > 30, sendo que a aproximação me-
lhora quanto maior for o tamanho da amostra e, se a própria distribuição original for normal, então
as médias amostrais terão distribuição normal para qualquer tamanho de amostra;
Este teorema é importante porque... quando o interesse for estudar a média amostral, podemos usar
a distribuição normal para estudar X¯ probabilisticamente.
Exemplo 10.3. Uma variável aleatória X assume os valores 3, 6 e 8 com, respectivamente, probabilidades
0,4; 0,3 e 0,3. Uma amostra com 40 observações é sorteada. A variável X não tem distribuição Normal
e obtemos µ = 5, 4 e σ2 = 4, 44. Apesar de não ser simétrica, consideramos que 40 observações é uma
amostra grande o suficiente para usar o Teorema Central do Limite. Para calcular a probabilidade da média
amostral superar o valor 5, temos:
P(X¯ > 5) = P
(
X¯ − 5, 4√
4, 44/40
>
5− 5, 4√
4, 44/40
)
= P(Z > −1, 20) = 1− P(X < 1, 20) = 0, 8849.
22
10.3 Exercícios: Probabilidade
10.3 Exercícios:
10.3.1 Seja X ∼ N(4, 1). Determine:
a. P(X ≤ 4); b. P(4 < X < 5); c. P(2 < X < 5); d. P(5 ≤ X ≤ 7); e. P(X ≤ 1); f. P(2 ≤ X ≤ 2).
10.3.2 Seja X ∼ N(−5, 10). Determine:
a. P(−5 < X ≤ −2); b. P(X ≤ 0); c. P(X > −6); d. P(−7 ≤ X ≤ −6).
10.3.3 Seja X ∼ N(5/4, 1/9). Determine:
a. P(X ≤ 7/5); b. P(0 ≤ X ≤ 6/5); c. P(X ≤ 3/5); d. P(X ≥ 3).
10.3.4 Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição Normal com
média 130 Kg e desvio-padrão 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento mais adequado, os 25% pacientes demenor peso são classificados como 'magros', enquanto os 25% de maior peso de 'obesos'. Dtermine os valores que
delimitam cada uma dessas classificações.
10.3.5 Coleta-se uma amostra de 10 observações independentes de uma N(2, 2). Determine a probabilidade de a
média amostral:
a. Ser inferior a 1; b. Ser superior a 2,5; c. Estar entre 0 e 2.
11 Referências
1. Magalhães MN, Lima ACP. Noções de Probabilidade e Estatística. 6
a
edição. São Paulo: Editora Edusp (2005).
2. Triola MF. Introdução à Estatística. 10
a
edição. Rio de Janeiro: Editora LTC (2008).
3. Montgomery DC, Runger GC. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5
a
Edição. Rio de Janeiro:
Editora LTC (2012).
4. Moore DS. A Estatística Básica e Sua Prática. 5
a
Edição. Rio de Janeiro: Editora LTC (2011).
5. Vieira S. Estatística Básica. 1
a
Edição. São Paulo: Editora Cenange Learning (2012).
23
Probabilidade
 
 
Tabela da Distribuição Normal Padrão 
P(Z<z) 
 
z0
 
 
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
 
24