PROVA 1 - 09.04.12 (Graça Luzia)

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Observações:  Não é permitido o uso de calculadoras,  Por favor, deligue o celular,  Todas as respostas devem 
ser justificadas. 
 
1ª QUESTÃO: Considere a região R do plano, dada a seguir: 
(1,2) a) Determine as coordenadas do centro de massa da região R. 
(1,0) b) Determine, usando o Teorema de Papus, o volume do sólido gerado pela 
rotação dessa região em torno da reta y = x -2. 
 
(1,2) 2ª QUESTÃO: Calcule o volume do sólido cuja base é a região triangular com vértices em (0,0), (1,0) e 
(0,1) e as seções transversais perpendiculares ao eixo ox são semi-elipses com eixo maior na base, sendo eixo 
maior é o triplo do eixo menor. 
3ª QUESTÃO: Considere a região R1 do plano limitada por e . 
(1,0) a) Faça um esboço da região R1
. 
(1,2) b) Seja S1 o sólido obtido pela rotação da região R1 em torno da reta x = -4, determine a expressão 
através de integral, que permite calcular o volume de S1. 
(1,2) c) Seja S2 o sólido obtido pela rotação da região R1 em torno da reta y = 4 determine a expressão através 
de integral, que permite calcular o volume do sólido S2. 
(1,0) 4ª QUESTÃO: Determine o comprimento de arco da curva C de equações paramétricas 
]2,0[ t , 
)cos1(2y
)(2x 





t
sentt
, sabendo que C é percorrida apenas uma vez quando t varia de 0 a 2π. 
(obs: lembre que 
 
 
 ). 
5ª QUESTÃO: Seja C1 a curva de equações paramétricas 
]2,0[ t , 
cosy
cosx






tsent
t
, cujo traço está 
representado ao seguir. 
(1,2) a) Determine os valores de t para os quais a curva tem retas tangente 
verticais e horizontais e a orientação da curva. 
(1,0) b) Calcule área da região limitada pela curva. 
 
 
Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. 
MATA03 – Cálculo B Prova da 1a Unidade Data: 09/04/2012 
Semestre – 2012.1 Profa: Graça Luzia Dominguez Santos Turma: 03 
Nome do Aluno___________________________________________________ 
Assinatura_______________________________________________________ 
 
x
y
   




x
y
 
Respostas: 
1) a) 








)2(3
2
,
2
2
),(

yx
 b) 
..
6
)34(2
vuV
 

 
2) V = π/72 u.v. 
3) a) 
 
 
3 b)usando seções paralelas : 
dy
yy
V  






 

4
2
4
4
4640
 
Usando cascas cilíndricas: 
    



5
1
1
3
)1962)4(262)4(4 dxxxxdxxxV  
3c) Usando cascas: V = 
dyy
y
y 








4
2
2
4
2
)4(2
 
 
Usando seções paralelas: 
        dxxxdxxxV  

 








5
1
221
3
22
6245624624  
4) l = 16 u.c. 
5) a) horizontal: t = 
 
 
, t = 
 
 
, t = 
 
 
, t =
 
 
, e vertical: t = 0 e t = π 
b) 4/3 u.a 
 
 
x
y